Syllabus cálculo 2

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

RED NACIONAL UNIVERSITARIA


ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

SEGUNDO SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

CÁLCULO II

Versión modificada de la gestión I/2010, por:

Ing. Veronica Jaldin Mita

Gestión Académica I / 2013

UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 1


UDABOL

UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R.M. 288/01

VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y

competitividad al servicio de la sociedad.



SYLLABUS

Asignatura: CALCULO II

Código: MAT 112 C

Requisito: MAT 102 C

Carga Horaria: 100 Horas

Créditos: 10

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Al final del curso el estudiante deberá ser capaz de:

Dominar los conocimientos básicos del cálculo diferencial, de las derivadas parciales y de las ecuaciones diferenciales.

Analizar sistemas de costos basados en el costeo estándar, tendiente a optimizar la rentabilidad de la gestión, mediante el control en el uso de los recursos aplicados a la suma de procesos productivos.

Definir y calcular Integrales Indefinidas o Antiderivadas ya sea con empleo de tablas o los diferentes métodos enseñados.

Calcular el área entre dos o más curvas. Diferenciar entre escalares y vectores. Representar los vectores geométricamente. .Hallar la ecuación de una recta en el espacio además de resolver ejercicios

de aplicación mediante los conceptos de rectas paralelas y ortogonales el ángulo entre dos rectas.

Hallar le ecuación de un Plano usando las diversas formas de notación, además de encontrar las ecuaciones de planos paralelos y ortogonales y sus ejercicios e aplicación

Calcular derivadas parciales de orden superior. Aplicar la Regla de la Cadena en funciones compuestas. Derivar implícitamente. Calcular los máximos y mínimos de una función de dos o más variables. Calcular la matriz Hessiana. Aplicar la matriz Hessiana en el cálculo de puntos críticos

II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.



UNIDAD I: DERIVADAS PARCIALES

1.1. Introducción1.1.1. Concepto de derivada1.1.2. Tabla de derivación

1.2. Derivadas Parciales y su notación1.2.1. Concepto de derivadas parciales1.2.2. Definición de derivadas parciales1.2.3. Interpretación geométrica de las derivadas parciales

1.3. Calculo de derivadas parciales de primer orden1.3.1. Derivadas parciales de funciones de dos y tres variables1.3.2. Regla de la cadena1.3.3. Derivación Implícita

1.4. Derivadas parciales de orden superior1.4.1. Notación e interpretación1.4.2. Derivadas parciales de orden superior de dos y tres variables

1.5. Jacobianos 1.6. Diferenciales de primer y segundo orden

UNIDAD II: APLICACIONES DE LA DERIVADA PARCIAL

2.1. Máximos y Mínimos de una función de dos variable2.1.1 Condiciones de máximo y mínimo2.1.2 Criterios de determinación de máximo o mínimo

2.2. Máximos y Mínimos de una función de tres variables2.2.1 Máximos y mínimos relativos

2.3. Máximos y Mínimos condicionadas2.3.1 Condiciones de máximos y mínimos condicionadas

2.4. Aplicaciones en Economía2.4.1 Costo mínimo para dos o más artículos2.4.2 Ingreso máximo por dos o más artículos2.4.3 Utilidad o beneficio máximo

UNIDAD III GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

TEMA 3: VECTORES

3.1 Escalares y Vectores3.2 Representación Geométrica3.3 Sistema de coordenadas en el Espacio3.4 Modulo de un Vector3.5 Álgebra Vectorial y Propiedades3.6 Vectores Componentes3.7 Producto Escalar3.8 Producto Vectorial



TEMA 4: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL6.1. Distancia entre dos puntos

4.2. División de un Segmento según una Razón dada4.3. Ángulos Directores, Cósenos Directores y Números

Directores4.4. La Recta

4.4.1. Ecuación Vectorial de la Recta4.4.2. Ecuación Paramétrica de la Recta4.4.3. Ecuación Simétrica de la Recta4.4.4. Rectas Paralelas y Ortogonales4.4.5. Angulo entre Dos Rectas4.4.6. Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se cruzan)

4.5. El Plano4.5.1. Definición4.5.2. Ecuación Vectorial del Plano4.5.3. Ecuaciones Paramétricas del Plano4.5.4. Ecuación General del Plano4.5.5. Planos Paralelos y Ortogonales4.5.6. Intersección de Planos4.5.7. Intersección entre Recta y Plano4.5.8. Plano Paralelo a una Recta y Plano Perpendicular a una Recta4.5.9. Distancia de un Punto a un Plano4.5.10. Angulo entre Recta y Plano4.5.11. Distancia Mínima entre un Plano y una Recta que no esta

contenida4.5.12. Angulo entre dos Planos

UNIDAD IV: INTEGRALES

TEMA 6 :INTEGRALES INDEFINIDAS Y DEFINIDAS

5.1. Concepto de integral Indefinida simple5.1.1 Antiderivada y función primitiva

5.2. Calculo de la Integral Indefinida Simple5.2.1 Tabla de integración5.2.2 Integración por tabla

5.3. Métodos de Integración5.3.1 Método de sustitución5.3.2 Método de Fracciones Parciales5.3.3 Método de Por Partes5.3.4 Integración trigonométrica

5.4. Integrales Múltiples

5.4.1Integrales Dobles


7


Integrales Triples 5.5. Integrales Definidas Simple

5.5.1 Concepto de Integral definida simple5.5.2 Calculo de Integral definida simple

5.6. Integral Definida Múltiple5.6.1 Concento de Integral definida doble5.6.2 Cálculo de Integral definida doble5.6.3 Cálculo de Integral definida triple

UNIDAD V: SERIES

6.1Concepto y definición de Sucesiones 6.1.1 Sucesiones6.1.2 Límite de sucesiones

6.2 Series numéricos6.2.1Criterios de convergencia y divergencia

6.3. Series de potencia6.3.1. Series Geométricas6.3.2 Series positivos y series negativos6.3.3 Series de términos alternos

6.4. Aplicaciones de las series en economía

III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL

Las brigadas están destinadas a incidir de manera significativa en la

formación profesional integral de nuestros estudiantes y revelan las

enormes potencialidades que presentan esta modalidad de la educación

superior no solamente para que conozcan a fondo la realidad del país y se

formen de manera integral, sino, además, para que conforme a su

preparación académica los problemas de la vida real a los que resulta

imperativo encontrar soluciones desde el campo profesional en el que

cada uno se desempeñará.

El trabajo de las brigadas permite que nuestros estudiantes se conviertan

a mediano plazo en verdaderos investigadores, capaces de elaborar y

acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez que se

acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o multidisciplinario

como corresponde al desarrollo alcanzado por las ciencias y la tecnología

en los tiempos actuales.



La ejecución de diferentes programas de interacción social y la

elaboración e implementación de proyectos de desarrollo comunitario

derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son,

sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y

tutorados por sus docentes con procesos académicos de

enseñanza aprendizaje de verdadera “aula abierta”.

Trabajar en equipos habituándose a ser parte integral de un todo

que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje común,

criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos

comunes para dar solución en común a los problemas.

Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento

histórico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciación y

en que los avances tecnológicos conlleva la aparición de nuevas y

más delimitadas especialidades.

Desarrollar una mentalidad crítica y solidaria con plena conciencia

de nuestra realidad nacional.

IV. EVALUACION DE LA ASIGNATURA

PROCESUAL O FORMATIVA

A lo largo del semestre se realizarán repasos cortos y otras actividades de

aulas, además de los trabajos prácticos y sus respectivas defensas. Cada

uno se tomará como evaluación procesual calificándola entre 0 y 50 puntos.

DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA

Se realizan dos evaluaciones parciales con contenido teórico y práctico. El

examen final consistirá en un examen escrito de todo el avanzado. Cada

una de estas se calificará entre 0 y 50 puntos.

V. BIBLIOGRAFIA

CHUNGARA V; “Cálculo II”, Teoría y Problemas. Sig-Top 515.35 C47 t.2

AYRES, F; “Ecuaciones diferenciales. Sig top 515.35 Ay74



LEITHOLD F; “Cálculo”, Ed. Mc GrawHill, 1992. Sig-Top 515.3 L53

LARSON, R, ”Calculo y geometría analitica”. Sig-Top 515.15 L32 c.2

Emir F. Vargas Peredo; “CALCULO para Ciencias Económicas y Financieras”, Edit. Maac Print, 2 005.

Charles H. Lehmann; “GEOMETRÍA ANALÍTICA”, Edit. Limusa, 1.990.

Murray H. Protter y Charles B. Morrey; “CALCULO CON GEOMETRÍA ANALITICA”, Edit. Fondo Educativo Interamericano, U.S.A. 1.980.

Roland E. Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards; “CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA-Volumen II”, Edit. Mc Graw-Hill, México 1.995.

Frank Ayres y Elliot Mendelson; “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, Edit. Mc Graw-Hill, México 1991.

William Anthony Granville; “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, Edit. Uthea.

Dennis G. Zill; “CALCULO CON GEOMETRÍA ANALITICA”, Edit. Iberoamericana, 1997.

Victor Chungara Castro; “APUNTES Y PROBLEMAS DE CALCULO II”, 2.000.

Demidovich; “5000 PROBLEMAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO”, Edit. Mir, Moscú 1980.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA.

CHUNGARA, V, “Ecuaciones diferenciales”. Sig-Top 515.35 Ch47 c.2

ESPINOZA, E. “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones”. Sig- Top

515.35 Es65

VI. CONTROL DE EVALUACIONES

1° evaluación parcialFecha:Nota: 2° evaluación parcial



Fecha: Nota: Examen finalFecha:Nota:

APUNTES

VII. PLAN CALENDARIO

SEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS OBSERVACIONES

1ra. avance de materia TEMA I

2da. Avance de materia TEMA I

3ra. Avance de materia TEMA I

4ta. Avance de materia TEMA II



7ma. Avance de materia Primera Evaluación

8va. Avance de materia Primera Evaluación Presentación de notas

9na. Avance de materia TEMA III Presentación de notas

10ma. Avance de materia TEMA III



11ra. Avance de materia TEMA IV

12da. Avance de materia TEMA IV

13ra. Avance de materia Segunda Evaluación

14ta. Avance de materia Segunda Evaluación Presentación de notas

15ta. Avance de materia TEMA IV Presentación de notas

16ta. Avance de materia TEMA V

17ma. Avance de materia TEMA V

18va. Avance de materia TEMA V

19na. Avance de materia Evaluación Final

20va. avance de materia Evaluación Final Presentación de notas

21va. Avance de materia Cierre de Gestión 2da. Instancia

Presentación de notas



VIII. WORK PAPER´S Y DIF´S

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: DERIVADAS PARCIALES

TITULO: Derivadas parciales de primer orden y de orden superior

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Parcial

DERIVADAS PARCIALES

Conceptos y definiciones:

Conceptualmente la derivada de una función es la variación de la variable dependiente

con respecto a la variable independiente, por ejemplo la velocidad, que es la variación

de la distancia con respecto al tiempo.

Propiedades Básicas:



En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de primer orden:

1. a) b)

2. a) b)

3. a) b)

4. a) b)

5. a) b)

6. a) b)

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de segundo

orden:

7. a) b)

8. a) b)

9. a) b)

10. a) b)



En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales:

11. a) b)

12. a) b)

13. a) b)

Hallar los diferenciales de las funciones indicadas

Hallar los diferenciales de orden superior indicados

Aplicando la regla de la cadena, calcular las derivadas indicadas




WORK PAPER # 2

UNIDAD O TEMA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

TITULO: Máximos y Mínimos

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer parcial

Hallar máximos o mínimos de las siguientes funciones.

1. a)

2.- b)

3. a)

4.- b)

5. a)

6.- b)

7.-

8.-

9. a)

10.- b)




WORK PAPER # 3

UNIDAD O TEMA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

TITULO: Máximos y mínimos

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Evaluación Final

Resolver los siguientes problemas de aplicación práctica de los máximos y mínimos.

1.Dadas las funciones de costo y de ingreso:

. Hallar el costo mín., ingreso máx. y utilidad máx.

2.Una fábrica produce dos tipos de artículos, de unidades q1 y q2, cuyos precios son p1

y p2, respectivamente. Costos unitarios c1, c2; costo fijo Cf. Hallar la máxima ganancia y

los precios que maximiza la utilidad.

a) Si ; ;

b) Si ; ;

3. Hallar la máxima ganancia en la producción de dos artículos, de unidades q1 y q2,

cuyos precios son p1 y p2, respectivamente. El costo total de producción es Ct.

a) Si ; ;

b) Si ; ;




WORK PAPER # 4

UNIDAD O TEMA: GEOMETRÌA ANALITA EN EL ESPACIO

TITULO: VECTORES

FECHA DE ENTREGA:

1.-Graficar los siguientes vectores:a) b) c) d)

e) f) g) h) i)

j) k) .

2.- Para los anteriores vectores hallar sus Módulos.

3.- Hallar el valor de K, para que el vector tenga por modulo 10.

4.- Si: ; ; ; , hallar:

a) b)

5.- Hallar con los siguientes pares de vectores:

a) , b) , c) ,

d) , e) , f)

,

6.- Si: , , hallar t para:

a) b)

7.- Hallar por producto escalar el ángulo entre: a) , b) ,



c) , d) ,

e) , .

8.- Hallar los ángulos interiores del triángulo de vértices:a) A(3,-1,4); B(2,2,-1) y C(-1,3,1)b) A(-2,1,3); B(1,-1,1) y C(2,4,1)c) A(3,1,3); B(-1,-1,2) y C(0,4,1)

9.- Hallar el parámetro k si: a) , , b) , ,

c) , ,

d) , , .

10.- Hallar con los siguientes pares de vectores:

a) , b) , c) ,

d) , e) ,

11.- Hallar por producto vectorial el ángulo entre: a) , b) , c) ,

d) , e) , f)

, .

12.- Por el producto vectorial, hallar las áreas del paralelogramo y triángulo de los siguientes vectores:

a) , b) ,

13.- Calcular el área del triángulo de vértices:a) A(3,-3,2); B(-3,1,2) y C(2,4,-2)b) A(1,1,-1); B(2,-1,3) y C(5,4,6)c) A(-4,-4,-2); B(4,1,2) y C(2,4,-1)

14.- Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los siguientes pares de vectores:

a) , b) , .

15.- Calcular en los siguientes vectores:

a) ; ;

b) ; ;

16.- Hallar el volumen del paralelepípedo entre: a) ; ;



b) ; ;

17.- Calcular en los siguientes vectores:

a) ; ;

b) ; ;


WORK PAPER # 5


TITULO: LA RECTA



FECHA DE ENTREGA:

1.- Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos:a) A(-3,5,4) y B(7,-6,6) b) A(1,2,2) y B(3,-5,4)c) A(1,3,3) y B(2,7,6)

2.- Hallar las ecuaciones de las medianas y su punto de intersección en los triángulos de vértices:

a) A(4,1,4); B(-2,3,-3) y C(3,6,7)b) A(-2,-3,2); B(3,0,0) y C(0,4,0)c) A(5,-3,1); B(-1,1,2) y C(3,-1,5)d) A(4,0,2); B(3,1,4) y C(2,5,0)

3.- Si los puntos medios de un triángulo son los puntos A, B y C. Hallar las coordenadas de los vértices:

a) A(3,-2,1); B(3,1,1) y C(4,1,-1)b) A(1,1,1); B(-1,-2,1) y C(2,4,4)c) A(0,3,1); B(3,3,2) y C(2,4,1)

4.- Hallar los puntos de trisección y bisección del segmento que une los puntos A(3,1,-1) y B(-2,2,3).

5.- Determinar si las líneas rectas son paralelas, ortogonales ó ninguna de ellas. Si no son ni paralelas, ni ortogonales, calcule el ángulo entre las rectas.

a) y

b) y

c) y

d) y

e) y

f) y

g) y

6.- Encuentre la recta que pasa por A(3,1,5) y es paralela a la recta .

7.- Encuentre la recta que pasa por A(2,1,4) y sea perpendicular a la recta .



8.- Encuentre la recta que pasa por A(3,1,-2) y es perpendicular a la recta

.

9.- Hallar los puntos de intersección de la recta L con cada uno de losplanos coordenados.

10.- Hallar la distancia mínima entre las rectas formadas por los puntos A y B y los puntos C y D. (Rectas que se cruzan).

a) A(5,-2,3), B(1,2,5) y C(3,1,2), D(2,5,-1)b) A(2,-2,2), B(3,-1,0) y C(2,2,1), D(-3,2,-2)

11.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,-3,4) y es perpendicular a

cada una de las rectas y .

12.- Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas y .

13.- Determine el punto de intersección de las rectasa) y .

b) y

14.- Calcule la distancia del punto A a la recta L:a) A(3,2,5) ,

b) A(3,2,5) ,

15.- Hallar la ecuación de la línea recta que es perpendicular al plano 2x+3y-4z+7=0 y que pasa por el punto A(3,2,7).




WORK PAPER # 6


TITULO: EL PLANO

FECHA DE ENTREGA:

1.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A y tiene el vector normal .



a) A(1,4,2) , b) A(2,1,-5) , c) A(4,-2,-5) ,

2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que es perpendicular a la recta L. a) A(2,-1,3) , b) A(1,2,-3) , c) A(2,-1,-2) ,

3.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos no colineales siguientes:a) A(2,-1,5), B(6,2,-3) y C(1,0,7)b) A(8,-5,-5), B(0,9,4) y C(2,3,-2)c) A(2,2,1), B(-1,2,3) y C(3,-5,-2)

4.- Determine si los planos son paralelos o perpendiculares:a) y b) y c) y

5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y que es perpendicular al plano dado Q.

a) A(-2,3,1) , b) A(-1,0,-2) , c) A(2,-1,-3) ,

6.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que es paralelo al plano Q.a) A(1,-2,-1) , b) A(-1,3,2) , c) A(3,0,2) ,

7.- Hallar la ecuación del plano que contiene a la rectas y

a) ,

c) ,

d) ,

e) ,

8.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que contiene a la recta dada L.



a) A(3,-1,2) ,

b)A(1,-2,3) ,

9.- Calcule la intersección de los planos siguientes:a) y b) y c) y

10.- Hallar el punto de intersección de la recta L y el plano Q.

a) y

b) y

c) y

11.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta y que es paralelo a .

a) ,

b) ,

12.- Hallar la distancia del punto A al plano Q.a) A(2,1,-1) , b) A(-1,3,2) , c) A(3,-1,2) ,

13.- Hallar la mínima distancia de la recta L al plano Q.

a) y

b) y

c) y

14.- Hallar el ángulo entre los dos planos.a) y b) y c) y




WORK PAPER # 7

UNIDAD O TEMA: GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

TITULO: LA ESFERA

FECHA DE ENTREGA:


1.- Hallar la ecuación general de la esfera, que cumplen las siguientes condiciones:a) Centro C = (3,5,3) y Radio r = 2.b) Diámetro esta entre los puntos (1,2,5) y (3,6,1)c) Centro C = (2,4,4) y pasa por el origen de coordenadasd) Centro C = (2,4,3) y tangente al plano P: 2x+2y+z-9=0.e) Centro C = (3,5,4) y tangente a la recta



L:

f) Centro C = (3,2,-2) y es tangente al plano x+3y-2z+1=0

2.- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos no colineales siguientes:a) (6,5,6), (5,1,7), (2,4,3), (2,5,4)b) (9,0,1), (3,12,1), (12,3,13), (0,0,4)

3.- Hallar el Centro y Radio de las siguientes esferas:a) b) c) d) e) f) g) h)


WORK PAPER # 8

UNIDAD O TEMA: INTEGRALES

TITULO: Integración por Tabla

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial

INTEGRALES SIMPLES

Concepto y Definición:

Conceptualmente la Integral indefinida es el proceso inverso de la derivada de una

función.



Es decir, , donde c es una constante.

Por ejemplo;

Propiedades básicas:

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.

1. a) b)

2. a) b)

3. a) b)

4.-a) b)

5.- b)

6.- a) b)

7. a) b)

8. a) b)



9. a) b)

10. a) b)

11. a) b)

1 2. a) b)

13. a) b)


WORK PAPER # 9


TITULO: Métodos de Integración

FECHA DE ENTREGA:



1.- a) b)



2.- a) b)

3.- a) b)

4.- a) b)

5.- a) b)

6.- a) b)

7.- a) b)

8.- a) b)

Calcule las integrales por el método de Sustitución

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

11.- 12.-

13.- 14.-

15.- 16.-



17.- 18.-

19.- 20.-

21.- 22.-

23.- 24.-

25.- 26.-

27.- 28.-

29.- 30.-

31.- 32.-

33.- 34.-

35.- 36.-

37.- 38.-

39.- 40.-

41.- 42.-

43.- 44.-

45.- 46.-

47.- 48.-

49.- 50.-

51.- 52.-

53.- 54.-

55.- 56.-

57.- 58.-

59.- 60.-

61.- 62.-



63.- 64.-

65.- 66.-

67.- 68.-

69.- 70.-

71.- 72.-

73.- 74.-

75.- 76.-

77.- 78.-

79.- 80.-

81.- 82.-

83.- 84.-

85.- 86.-

87.- 88.-

89.- 90.-

91.- 92.-

93.- 94.-

95.- 96.-

97.- 98.-

99.- 100.-

101.- 102.-



103.- 104.-

105.- 106.-

107.- 108.-

109.- 110.-

111.- 112.-

113.- 114.-

115.- 116.-

117.- 118.-

119.- 120.-

121.- 122.-

123.- 124.-


WORK PAPER # 10


TITULO: Métodos de Integración

FECHA DE ENTREGA:





1.- a) b)

2.- a) b)

3.- a) b)

4.- a) b)

5.- a) b)

6.- a) b)

7.- a) b)

8.- a) b)

9,- a) b)

10.- a) b)

11.- a) b)



En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.(METODO DE

INTEGRACION POR PARTES)

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

11.- 12.-

13.- 14.-

15.- 16.-

17.- 18.-

19.-

20.- a) b)

21.- a) b)

22.- a) b)




WORK PAPER # 11


TITULO: Integrales Definidas y Cálculo de Área

FECHA DE ENTREGA:


Calcular las siguientes integrales definidas

1.- a) b)

2.- a) b)

3.- a) b)

En cada una de las siguientes figuras, calcular el área de la región sombreada.

4.- a) b)

y = x2 – x – 1 y = x + 2

2x + 3y = 6

-3

-2

Graficar la región limitada por las curvas dadas y calcular su área:1.- 2.- 3.-

4.-



5.- 6.- 7.-

8.-

9.-

10.-

11.- 12.- 13.- 14.- 15.- 16.- 17.- 18.- 19.- 20.-

21.-

22.-

23.-

24.- 25.- (Obtener el área de todas las

regiones formadas)


WORK PAPER # 12


TITULO: Integrales Dobles

FECHA DE ENTREGA:




En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales dobles que se indican.

1.- a) b)

2.- a) b)

3.- a) b)

4.- a) b)

5.- a) b)

6.- a) b)

7.- a) b)


WORK PAPER # 13

UNIDAD O TEMA: SERIES

TITULO: Sucesiones, Series y Series de Potencias

FECHA DE ENTREGA:


Encuentre la expresión más simple para el enésimo término de las sucesiones que se

dan a continuación.



1.- a) b)

2.- a) b)

Escribe cinco primeros términos de las sucesiones que se dan a continuación.

3.- a) b)

4.- a) b)

Calcular la suma de los primeros diez términos de las series que se dan a continuación.

5.- a) b)

6.- a) b)

En cada uno de los siguientes incisos, encuentre una serie de potencias de x de la

función dada.

7.- a) b) c)




DIF ’s # 01


TITULO: Concepto de integral indefinida

FECHA DE ENTREGA:

Conceptualmente la integral indefinida es el proceso inverso de la derivada.



TAREA PARA DIF ‘s:

A partir de la tabla de derivación generar la tabla de integración de funciones básicas.


DIF ’s # 02

UNIDAD O TEMA: INTEFRALES

TITULO: Concepto de integral definida

FECHA DE ENTREGA:

La integral definida geométricamente represente el área comprendida entre a y b bajo

la curva que representa a f(x)



Sea f(x) una función definida en [a,b] como se muestra en el siguiente diagrama

f(x)

a b

El área de la región sombreada es: A =

Como, si entonces

Por lo tanto, A =


A partir de este concepto generalizar la forma de determinar el área de una región

arbitraria.


DIF ’s # 03


TITULO: Concepto de derivada y de derivada parcial

FECHA DE ENTREGA:

Conceptualmente, la derivada de una función de una variable es la variación o el

cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.




A partir de este concepto, determinar el significado o el concepto de la derivada parcial

y su interpretación geométrica


DIF ’s # 04


TITULO: Concepto de demanda y oferta

FECHA DE ENTREGA:


A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer el

concepto de demanda y oferta, sus ecuaciones y la característica de su gráfica.



Para cierto producto la cantidad demandada es 100 unidades, si el precio es 10

unidades monetarias, y 60 unidades si el precio es 20 unidades monetarias. Hallar la

ecuación de la curva de demanda, suponga que es lineal.


DIF ’s # 05

UNIDAD O TEMA: DERVADAS PARCIALES

TITULO: Definición de Ingreso y Ingreso marginal

FECHA DE ENTREGA:


A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer la

definición de ingreso, función ingreso, ingreso marginal y la característica de su gráfica.



Para cierto producto la ecuación de demanda es:

Donde q = cantidad y p = precio

Determine la función de ingreso, en función de la cantidad.


DIF ’s # 06

UNIDAD O TEMA: DERVADAS PARCIALES

TITULO: Definición de Costo y Costo marginal

FECHA DE ENTREGA:





definición de Costo, función Costo, Costo marginal y la característica de su gráfica.

Para cierto producto el costo unitario es 2 unidades monetarias y el costo fijo es de

1500 unidades monetarias.

Determine la función de costo total, en función de la cantidad.


DIF ’s # 07


TITULO: Definición de Utilidad y Utilidad marginal

FECHA DE ENTREGA:





definición de Utilidad beneficio, función de Utilidad, Utilidad marginal y la característica

de su gráfica.

Considerando los datos de DIF 6 y 7, determine la función de utilidad.


DIF ’s # 08


TITULO: Condiciones de máximo y mínimo relativos

FECHA DE ENTREGA:




A partir del conocimiento de Cálculo I, dar a conocer las condiciones de máximo y

mínimo relativos, y generalizar para funciones de más de una variable.

Para la función de dos variables:

Analice se tiene un máximo o un mínimo relativo.


DIF ’s # 09

UNIDAD O TEMA: APLCACIONES DE DERIVADAS PARCIALES

TITULO: Función de utilidad de dos variables

FECHA DE ENTREGA:

Considere una empresa que produce dos tipos de productos. Es decir,



q1 = cantidad demandada del primer tipo

q2 = cantidad demandada del segundo tipo

p1 = precio del primer tipo

p2 = precio del segundo tipo

c1 = costo unitario del primer tipo de producto

c2 = costo unitario del segundo tipo de producto

cf = costo fijo de la empresa

Ecuaciones de demanda:


Determine la utilidad en función de las cantidades q1 y q2.


DIF ’s # 10


TITULO: VECTORES

FECHA DE ENTREGA:

1.- Sean A(1,-2,1), B(1,-3,4) y C(2,4,-1). Calcular:

a) A + B b) A + 2B –3C c)

2.- Sean A(1,4,-1), B(2,5,4) y C(0,4,0). Calcular:

a) A + C b) c)

3.- Si A(1,2,1), B(-1,3,2) realizar gráficamente las siguientes operaciones:

a) A – B b) c)



4.- Dados los vectores P y Q, en cada una de las ecuaciones determinar un vector R que satisfaga:

a) P(2,3,5), Q(1,3,-4); 3R – 2P + Q = 0.b) P(1,2,-1), Q(0,3,1); R – 3P - Q = 2Rc) P(0,5,1), Q(3,1,-1); 5R + P + 3Q = 2Q

5.- Si A(3,1,4) y B(2,-1,-3). Calcular la longitud o módulo de:a) A +B b) 2A – 3B c) 5B - 3A

6.- Indicar cuáles de los siguientes pares de vectores son paralelos y en tal caso, si tienen el mismo sentido.

a) P(2,4,6), Q(4,3,2) b) P(5,7,3), Q(15,21,9) c) P(-2,-1,2), Q(8,4,-8)

7.- Sean M(3,0,5) y N(2,-1,-3). Calcular:a) b) c)

8.- Demostrar que el ángulo que forman A(1,2,1) y B(2,1,-1) es el doble del que forman C(1,4,1) y D(2,5,5).

9.- Sean A(1,2,-3), B(1,-1,0) y C(-1,-2,1). Calcular:a) b) c)

10.- Calcular el área del paralelogramo de lados:a) a = (5,3,1) y b = (3,7,-1)b) c = (1,3,2) y d = (-2,-4,3)c) e = (3,5,-2) y f = (1,0,-2)

11.- Calcular el área del triángulo de vértices:a) M(1,5,4), N(-1,-2,-1) y O(0,2,-3)b) b) P(-2,1,3), Q(3,0,6) y R(4,5,-1)c) A(2,4,4), B(3,6,2) y C(1,2,6)d) D(3,3,2), E(1,1,5) y F(2,6,3)

12.- Dados los pares de vectores: A(3,1,5) y B(2,7,4); A(2,1,0) y B(-5,2,1) y A(3,5,2) y B(1,2,5)

a) Graficar los vectores.b) Calcular: , , , y .c) Mediante el producto vectorial, calcule el área del triángulo entre A y B.d) Hallar el ángulo que forman los vectores utilizando el producto escalar y el

producto vectorial.




DIF ’s # 11


TITULO: LÍNEA RECTA

FECHA DE ENTREGA:

1.- Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos:a) A(3,2,4) y B(7,6,6) b) C(2,4,2) y D(3,6,4) c)

E(1,2,5) y F(3,6,1) d) G(-1,-2,2) y H(2,4,-1) e) I(1,0,2) y J(3,6,5)f) E(3,2,4) y F(2,3,-4)

2.- Dados los vértices P,Q y R de un triángulo. Calcular la longitud de la mediana que parte de P.

a) P(2,4,2), Q(1,1,5) y R(3,7,3)b) P(-1,2,3), Q(0,-1,7) y R(1,0,-3)



3.- Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(-2,-3,-2), B(-3,1,4) y C(2,3,-1).

4.- Dados los puntos A(1,2,3) y B(3,6,7). Hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en 3 partes iguales.

5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:a) A(1,2,2) y B(3,5,4) b) C(3,2,4) y D(3,6,2) c)

E(2,3,5) y F(-3,4,7) d) G(8,-3,2) y H(5,0,1) e) I(1,1,1) y J(-3,2,-1)f) K(1,3,2) y L(2,-1,4)

g) M(1,0,5) y N(-2,0,1) h) O(4,-2,0) y P(3,2,-1) j) Q(5,5,-2)y R(6,4,-4)

6.- Hallar la ecuación de la recta en todas sus formas posibles, si:a) P(5,3,-2) y el vector dirección (2,-3,2).b) P(-1,-3,-5) y el vector dirección (-2,7,3).c) P(3,6,3) y el vector dirección (1,2,4).

7.- Hallar el vector dirección y un punto que pertenezca a las rectas:

a) b)

c)

8.- Halle tres puntos que pertenezcan a las rectas:

a) b)

c)

9.- Decidir si las rectas M y N son perpendiculares:

a) y

b) y

c) y

d) y

e) y

10.- Hallar las ecuaciones de las medianas del triángulo cuyos vértices son A(4,0,2), B(3,1,4) y C(2,5,0).

11.- Hallar la ecuación de la recta que cumple con las siguientes condiciones:a) Pasa por P(3,1,5) y es paralela a la recta



b) Pasa por P(-6,5,3) y es paralela a la recta

c) Pasa por P(2,1,4) y es perpendicular a la recta

d) Pasa por P(2,-1,5) y es perpendicular a la recta

12.- Hallar el punto de intersección entre las rectas:

a) y

b) y

c) y

d) y

13.- Hallar la mínima distancia entre la recta L y el punto P.

a) y P(8,9,7).

b) y P(4,6,5).

c) y P(7,8,9).

d) L = (1,2,-1) + t(3,4,1) y P(1,1,1).e) L: x=t,y=1-t,z=3+t

14.- Hallar la mínima distancia entre las rectas:

a) y

b) y

c) y d) y

15.- Hallar el ángulo entre las siguientes rectas.

a) y

b) y c) y d) y



16.- Hallar los ángulos agudos del triángulo cuyos vértices son A(1,0,1), B(2,-2,3) y C(7,-2,4).


DIF ’s # 12


TITULO: EL PLANO

FECHA DE ENTREGA:

1.- Hallar la ecuación del plano, cuyo vector normal es N y pasa por el punto P.a) N(1,3,2) y P(2,5,3). b) N(0,2,0) y P(3,5,4). c) N(1,1,2) y

P(3,4,4). d) N(1,3,2) y P(0,0,0).e) N(1,3,2) y P(2,5,3). f) N(1,-4,2) y P(5,-1,3).g) N(3,1,-4) y P(1,4,2). h) N(3,0,2) y P(2,1,-5).

2.- Hallar las ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados:a) P(2,2,3), Q(3,5,2) y R(1,4,3).b) P(1,2,1),Q(2,-1,0) y R(4,1,-2).c) P(7,2,3), Q(4,5,6) y R(-1,0,1).d) P(2,-1,1), Q(-2,1,3) y R(3,2,-2).e) P(-3,2,4), Q(1,5,7) y R(2,2,-1).f) P(1,4,-4), Q(2,5,3) y R(3,0,-2).g) P(1,-2,1), Q(2,0,3) y R(0,1,-1).h) P(2,2,1), Q(-1,2,3) y R(3,-5,-2).



3.- Graficar los siguientes planos.a) 10x-7y-z+19=0 b) 34x-7y-4z+19=0

c) 8x-5y+4z-21=0 d) 3x-2y-5z+10=0

4.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P y que es perpendicular a la recta L:a) P(2,-1,3) y .b) P(-1,2,-3) y .c) P(-2,-1,5) y L: A(2,-1,2), B(-3,1,-2).d) P(6,4,-2) y L: A(7,-2,3), B(1,4,-5).

5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por Q y que es perpendicular al plano dado.a) Q(-2,3,1) y P: 2x+3y+z-3=0.b) Q(1,-2,-3) y P: 3x-y-2z+4=0.c) Q(1,2,3) y P: x-y+2z=0.

6.- Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y que es paralelo al plano dado.a) Q(1,-2,-1) y P: 3x+2y-z+4=0.b) Q(-1,3,2) y P: 2x+y-3z+5=0.c) Q(1,2,-3) y P: 3x-y+2z=4.d) Q(3,-2,6) y P: 4y-3z+12=0.

7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y que es paralela a la recta dada.

a) Q(2,-1,3),

b) Q(1,-2,0),

8.- Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas L y M.

a) y

b) y

c) y

d) y

9.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P y que contiene a la recta L.

a) P(3,-1,2),

b) P(1,-2,3),

10.- Hallar las ecuaciones en forma paramétrica de la recta de intersección de los planos dados.



a) 3x+2y-z+5=0 , 2x+y+2z-3=0b) x+2y-z+4=0 , 2x+4y+3z-7=0

11.- Hallar el punto de intersección de la recta y plano dados.

a) 3x-y+2z-5=0,

b) 2x+3y-4z+15=0,

c) 4x+2y+5z=85,

12.- Hallar el ángulo entre los planos.a) 2x-y+2z-3=0 , 3x+2y-6z-11=0b) 2x-y+3z-5=0 , 3x-2y+2z-7=0c) 3x+y-z+3=0 , x-y+4z-9=0

13.- Hallar la distancia del punto Q al plano P.a) Q(-1,2,1), P=(4,0,-1)+s(0,1,0)+t(1,3,-1).b) Q(4,1,3), P: x+y+z=6.

14.- Hallar los puntos de intersección de la recta L con los planos coordenados XY, YZ y XZ.

a)

b)

15.- Hallar la ecuación del plano paralelo que diste 6 unidades del plano x-2y-2z-12=0.

16.- Hallar la ecuación del plano paralelo que diste 21 unidades del plano 2x+3y+6z-12=0.

17.- Hallar la distancia del punto P(3,-2,1) al plano formado por los tres puntos no colineales A(1,2,3), B(3,2,1) y C(-1,-2,2).




DIF ’s # 13


TITULO: LA ESFERA

FECHA DE ENTREGA:

1.- Hallar la ecuación general de la esfera que tiene su centro C y radio r.a) C(0,2,5), r = 2 b) C(4,-1,1), r = 5.

2.- Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto (2,4,4) y que pasa por el origen de coordenadas.

3.- Hallar la ecuación general de la esfera que tiene su centro en C(-2,1,1) y es tangente al plano de coordenadas XY.

4.- Hallar la ecuación de la esfera cuyo diámetro está entre A y Ba) A(1,2,5) y B(3,6,1). b) A(2,0,0) y B(0,6,0).

5.- Hallar el centro y el radio de la esfera cuya ecuación es:a) b) c) d) d) d) d)



6.- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos:a) A(9,0,1), B(3,12,1), C(12,3,13) y D(0,0,4).b) A(6,5,6), B(5,1,7), C(2,4,3) y D(2,5,4).

7.- Hallar la ecuación general de la esfera de Centro C y que es tangente al plano P.a) C(3,-5,4), P: 2x-3y+z-8=0.b) C(-1,2,0), P: x+2y+z+2=0.


DIF ’s # 14

UNIDAD O TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TITULO: Ecuaciones diferenciales de primer orden

FECHA DE ENTREGA:

La siguiente ecuación diferencial de primer orden describe el crecimiento de la

población en Bolivia:

Donde p = población y t = tiempo


Si la población actual es de 8,5 millones de habitantes, determinar la población dentro

los diez años.


Syllabus cálculo 2

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