1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 9

Z GEODÉZIE 1

(Souřadnicové výpočty 4)

(Určení bodů PPBP, centrace měřených

veličin)

1. ročník bakalářského studia

studijní program G

studijní obor G

doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc.

prosinec 2019

2

URČENÍ SOUŘADNIC ZAJIŠŤOVACÍHO BODU

Zajišťovací body se budují u geodetických bodů trvale signalizovaných, aby bylo možno k těmto bodům připojovat geodetická měření, např. polygonové pořady

(skripta Geodézie1, str. 200). Zajišťovací bod musí být určen se stejnou přesností jako bod, ke kterému je zřizován a je také označen stejným číslem, avšak za desetinnou tečkou je pořadové číslo zajišťovacího bodu (některé trvale signalizované body jsou zajišťovány více zajišťovacími body – obr.1). Z daných souřadnic bodů A, B a P, měřených vodorovných směrů ωi na určovaných bodech Zb1, Zb2 a Zb3 a měřených délek základen b1 a b2 (obr.1) se určují souřadnice zajišťovacích bodů. Vodorovné směry a délky je nutno měřit s přesností garantující stejnou

přesnost určení souřadnic zajišťovacích bodů jako má zajišťovaný bod.

Určení nepřístupné vzdálenosti s Nepřístupná vzdálenost s mezi bodem P a zajišťovacím bodem Zb1 se vypočte dvakrát sinovou větou z trojúhelníků Zb1, Zb2, P a Zb1, Zb3, P:

( ) a

( ) .

Výpočet směrníku α = αP1

Směrník α se vypočte dvakrát. Poprvé z trojúhelníka A, P, Zb1 a podruhé z trojúhelníka B, P, Zb1. V prvním případě se ze souřadnic bodů A, P nejprve vypočte směrník ζP,A a délka sP,A. Z rozdílu vodorovných směrů na stanovisku Zb1, měřených na body A a P se vypočte vodorovný úhel

o (obr.1). Sinovou větou se vypočte úhel A :

a posléze vodorovný úhel u bodu P (obr.1):

( ) .

Směrník α ≡ αP1 = σP,A - . Druhý výpočet směrníku α se vypočte analogicky s využitím bodu B.

3

SOUČASNÉ URČENÍ SOUŘADNIC DVOU BODŮ – HANSENOVA ÚLOHA

Hansenova úloha řeší současné určení souřadnic dvou bodů A, B, na nichž byly změřeny osnovy vodorovných směrů na dané body 1,2 a na druhý určovaný bod a z nich vypočteny vodorovné úhly ω1 až ω4 (obr.2).

o Postup výpočtu

Úloha má vícero řešení, s nimiž je možno se seznámit v odborné literatuře. Pro určení souřadnic bodů PPBP měla tato metoda své opodstatnění v době, kdy měření délek bylo značně obtížné. V současné době by při vzájemné viditelnosti mezi body A, B, neměl být problém změřit kromě vodorovných směrů i elektronicky délku A,B, (zároveň ale i délky na body 1 a 2) s dostatečnou přesností a úlohu řešit jinak. Při využití možností

poskytovaných metodami kosmické geodézie je určení bodů A a B ještě jednodušší. Úloha má však i v současnosti své využití v inženýrské geodézii, při řešení strojírenských mikrosítí, kdy z přesně známé délky mezi body 1 a 2, dané např. kalibrovanou invarovou základnovou latí nebo kalibrovanou invarovou stupnicí nivelační latě se určuje Hansenovou úlohou velmi přesně (v setinách milimetrů) délka základny mezi body A a B, ze které se posléze úhlovým protínáním vpřed určuje s vysokou přesností (v desetinách mm) poloha podrobných bodů, umístěných na strojírenském výrobku.

o Jednoduché řešení

Úhly φ a ψ se při řešení Hansenovy úlohy mohou určit na základě podobných

obrazců (obr.3), v nichž jsou stejnolehlé úhly shodné. Ke známým úhlům i v obrazci A,B,1,2 se straně sA,B přisoudí zvolená délka podle velikosti uvedeného obrazce, např. 1 m (pro strojírenskou mikrosíť) nebo 1000 m (pro řešení v PPBP). Tak vznikne podobný obrazec (tvarově stejný – (obr.3), v němž ze známé (zvolené) základny s´A,B´ a úhlů k ní přilehlých se protínáním vpřed určí souřadnice bodů 1´ a 2´ ve vhodně zvolené souřadnicové soustavě (obr.2 a 3):

4

;

,

;

.

V případě strojírenské mikrosítě, kdy je výsledkem určení délky základny sA,B stačí ze souřadnic bodů 1, 2, resp. bodů 1´, 2´ vypočítat koeficient délkové změny a s pomocí zvolené délky základny s´A,B´ ji vypočítat:

.

Poznámka: Ve skriptech Geodézie 1, str.201 je odvozeno řešení pomocí transformace.

URČENÍ NEPŘÍSTUPNÉ VZDÁLENOSTI KRASOVSKÉHO METODOU K určení nepřístupné vzdálenosti (mezi dvěma nepřístupnými body) se zvolí pomocná základna (body A, B), jejíž délka b se změří a z jejich koncových bodů se změří osnovy vodorovných směrů (obr.4).

Základna se volí zhruba rovnoběžně s určovanou délkou (mezi body 1, 2) a ve vzdálenosti umožňující volit vhodnou velikost

vodorovných úhlů i, s ohledem na přesnost protnutí v koncových bodech (1, 2) určované vzdálenosti. Z tohoto požadavku vyplývá, že by délka základny b měla být přibližně stejná jako určovaná vzdálenost s1,2.

o Postup výpočtu Po výpočtu vodorovných úhlů

i z rozdílu vodorovných směrů ψA,i na stanovisku A a ψB,i na

stanovisku B se zvolí pomocný souřadnicový systém 2y, 2x s počátkem v bodě A a kladnou poloosou +2y vloženou do spojnice A,B. Souřadnice bodu A (0,0) a B (b,0). Souřadnice bodů 1 a 2 v pomocné soustavě se určí protínáním vpřed z úhlů. Z rozdílu jejich souřadnic se Pythagorovou větou vypočte nepřístupná vzdálenost s1,2.

URČENÍ BODŮ PODROBNÉHO POLOHOVÉHO POLE GEODETICKÝMI METODAMI

Body PPBP se zaměřují (Návod pro obnovu katastrálního operátu a převod, s dodatky,

2009, předpis ČÚZK):

o plošnými sítěmi s měřenými vodorovnými úhly a délkami,

o polygonovými pořady oboustranně připojenými a oboustranně orientovanými (podrobně probráno v přednášce č.8),

o protínáním vpřed z úhlů nebo protínáním z délek nebo kombinovaným protínáním nejméně ze tří bodů ZPBP, ZhB nebo z jiných bodů odpovídající

5

přesnosti. Úhel protínání na určovaném bodě musí být v rozmezí 30 gon až 170 gon. Kratší vzdálenost od daného bodu k bodu určovanému v určovacím trojúhelníku nesmí být větší než 1500 m. Směry na body vzdálené od stanoviska více než 500 m se měří ve dvou skupinách,

o rajónem do délky 1500 m s orientací na daném bodě na dva body ZPBP, ZhB nebo jiné body s prokazatelnou směrodatnou souřadnicovou odchylkou (střední souřadnicovou chybou) do 0,04 m nebo s orientací na daném i určovaném bodě. Délka rajónu nesmí být delší než délka nejvzdálenější orientace. Pokud je délka rajónu větší než 800 m, měří se všechny úhly ve dvou skupinách. Vychází-li rajón z bodu se směrodatnou souřadnicovou odchylkou mezi 0,04 m až 0,06 m, nesmí překročit 300 m,

o rajónem do délky 1500 m, s orientací na určovaném bodě na nejméně tři body ZPBP, ZhB nebo jiné body s prokazatelnou směrodatnou souřadnicovou odchylkou do 0,04 m. Úhel protínání mezi směrem s měřenou délkou a ostatními orientačními směry na určovaném bodě musí být v rozmezí od 30 do 170 gon. Pokud je délka rajónu větší než 800 m, měří se všechny úhly ve dvou skupinách. Vychází-li rajón z bodu se směrodatnou souřadnicovou odchylkou mezi 0,04 m až 0,06 m, nesmí překročit 300 m.

Požadavky na měření vodorovných úhlů a délek, platné pro všechny uvedené metody, byly uvedeny v přednášce č.8 pro polygonové pořady.

Při měření mezi body polohových bodových polí nesmějí rozdíly mezi změřenými a ze souřadnic vypočtenými nebo původně určenými hodnotami vodorovných úhlů a délek překročit mezní odchylky uvedené v tab.1:

Tab.1 Mezní odchylky úhlů a délek mezní odchylka

v úhlu [gon] v délce [m]

a) mezi body ZPBP nebo mezi jejich orientačními body OB1 a OB2

0,0015 0,03

0,0015 0,05

b) mezi bodem ZPBP a ZhB 0,0020 0,05

c) mezi ZhB 0,0030 0,05

d) mezi body podle písm. a), b), c) a orientačním bodem OB3

0,0060 -

e) mezi body podle písm b) a bodem podle písm. f)

0,0100 0,13

f) mezi body PPBP 0,0300 0,15

g) mezi body podle písm. f) na technických objektech přidružených k témuž určujícímu bodu do vzdálenosti 50 m od něj

0,0500 0,04

Záznam výsledků měření se provádí zápisem do příslušných tiskopisů Úřadu nebo záznamem na polní elektronické registrační zařízení. Elektronicky registrovaná data se v textovém tvaru trvale uloží na digitální záznamové médium a jsou součástí předávaného elaborátu. Soubory s registrovanými daty musí obsahovat v hlavičce souboru informace o měření, zpracovateli (měřiči), datum měření, popř. název souboru výpočetního protokolu.

o Fotogrammetrické metody

Body PPBP a popř. současně vlícovací body se určují analytickou nebo digitální analytickou aerotriangulací. (Podrobněji bude probráno v předmětu

Fotogrammetrie).

6

o Technologie GNSS

Při určení souřadnic bodů PPBP pomocí jednotlivých metod využívajících GNSS se postupuje přiměřeně podle zvláštního předpisu. K měření a jeho zpracování se použijí takové přijímače GNSS a takové zpracovatelské výpočetní programy, které zaručují požadovanou přesnost výsledků provedených měřických a výpočetních prací. Při měření i početním zpracování je nutné dodržovat zásady uvedené ve firemních návodech pro příslušné přístroje a pro použitý zpracovatelský výpočetní program. (Podrobněji bude

probráno později).

Zaměření každého bodu PPBP se provádí nejméně dvakrát nezávisle. Měření musí být připojeno na body nejméně takové přesnosti, která má být dosažena u nově určovaných bodů.

Přesnost bodů polohového bodového pole

Základní směrodatná souřadnicová odchylka σx,y (popř. základní střední souřadnicová chyba mx,y) bodů polohového bodového pole je stanovena hodnotou 0,015 m pro body ZPBP, hodnotou 0,020 m pro body zhušťovací a hodnotou 0,060 m pro body PPBP (viz přednáška č.5).

Při posuzování dosažené přesnosti určení bodů ZPBP se mezní souřadnicová odchylka stanovuje jako 2,5 násobek a pro body PPBP jako dvojnásobek výše uvedených základních směrodatných souřadnicových odchylek (ČSN 73 0415,

Geodetické body, 2010).

Výpočet souřadnic bodů Při určení bodů PPBP plošnými sítěmi, analytickou aerotriangulací a pomocí GNSS se použije výpočet souřadnic bodů s vyrovnáním metodou nejmenších čtverců. Pokud je bod určen polární metodou pouze dvojicí měření, souřadnice se vypočtou jako aritmetický průměr. Dodržení kritérií přesnosti se posuzuje podle bodů 12.11 a 12.12 přílohy katastrální vyhlášky (Vyhláška č.26/2007 Sb.) a je uvedeno ve výpočetním protokolu. Souřadnice bodů určené geodeticky mohou být vypočteny přibližným vyrovnáním:

o aritmetickým průměrem z jednotlivých kombinací určovacích prvků. Rozdíly v souřadnicích mezi jednotlivými kombinacemi nesmějí překročit 2,5 násobek základních směrodatných souřadnicových odchylek podle bodů 12.9 a 12.10 přílohy katastrální vyhlášky,

o u polygonového pořadu rovnoměrným rozdělením úhlové odchylky na jednotlivé vrcholy pořadu a rozdělením odchylek v souřadnicích, úměrně absolutním hodnotám souřadnicových rozdílů. Mezní odchylky v uzávěru polygonového pořadu jsou uvedeny v tab.1, v přednášce č.8.

o v průběhu automatizovaného výpočtu se zpracovává (tiskne) protokol. Ten musí obsahovat nejméně identifikační údaje o měření (lokalitě), schematický náčrt sítě obsahující měřené prvky sítě, vstupní údaje, údaje o dosažených odchylkách v určovacích obrazcích sítě (např. v polygonových pořadech) a při vícenásobném určení souřadnic bodů údaje o dosažených odchylkách, včetně porovnání dosažených a mezních odchylek a určení průměru z výsledných souřadnic. Souřadnice se udávají v metrech a zaokrouhlují se na dvě desetinná místa podle § 77 odst. 1 katastrální vyhlášky.

7

o součástí dokumentace k výpočtu plošné sítě je schematický náčrt sítě, obsahující měřené prvky sítě (délky, směry), případně elipsy chyb na určovaných bodech. Do výpočtu sítě nesmí být zahrnuty body určené pouze z jedné kombinace (např. jediným rajónem).

CENTRACE MĚŘENÝCH VELIČIN

Při měření vodorovných směrů by měla svislá osa teodolitu procházet středem značky (centrem), označující polohu stanoviska (např. střed křížku vysekaného v hlavě kamenného mezníku, kterým jsou obvykle stabilizovány body ZPBP, ZhB a často i body PPBP, střed otvoru zabetonované ocelové trubky nebo střed otvoru hřebové nivelační značky osazené v hlavě nivelačního kamene apod.). Při splnění této podmínky se jedná o stanovisko centrické. Podobně by měly být centrické i cílové signály zaměřovaných bodů. V některých případech je nutno (např. z důvodu viditelnosti cílů) postavit přístroj mimo centrický bod (v řádu jednotek až desítek metrů) a měřit tak osnovu vodorovných směrů z tzv. excentrického stanoviska. Potom je nutno určit centrační prvky stanoviska, aby bylo možno měřenou osnovu převést na stanovisko centrické. Body ZPBP, popř. ZhB mohou být signalizovány měřickými pyramidami nebo i věžemi, jejichž signální černobílá tyč bývá často excentrická (svislý průmět rozhraní černé a bílé poloviny tyče neprochází centrem bodu, který signalizuje), a to i vlivem atmosférických podmínek. Potom je nutno určit centrační prvky cíle.

Určení centračních prvků Při excentrickém stanovisku E (obr.7) se na něm změří délka excentricity e, směr excentricity *ψEC od orientačního směru (počátku). Při excentrickém cíli je nejprve nutno promítnout excentrický cíl do úrovně centru, vyznačit jeho polohu na připravenou desku (obr.5) a s ohledem na zaostřovací schopnost dalekohledu teodolitu prodloužit směr excentricity do vzdálenosti zhruba 3 až 5 m od centru (obr.6)

Promítnutí polohy signálu (bod E) se provede postupem znázorněným v obr.6. Nejprve se poloha signálu promítne přibližně na terén olovnicí, drženou v natažené ruce před okem, a to ve dvou navzájem kolmých (odhadem) směrech. Padne-li přibližná poloha mimo hlavu kamene, umístí se nad ní deska

8

(např. sololitová či dřevěná), přitlučená např. na 3 dřevěné kolíky zhruba vodorovně a na ní se pak promítne záměrný bod teodolitem ze dvou přibližně kolmých směrů. Stanoviska teodolitu se volí s ohledem na viditelnost a strmost záměr. Vzhledem k velikosti cíle se v první poloze dalekohledu cílí na levý okraj signální tyče (rozhraní černé a bílé barvy), sklopením dalekohledu se promítne svislá rovina a její průnik s rovinou desky se označí na protilehlých hranách tužkou. Obdobně se postup opakuje ve druhé poloze dalekohledu, avšak promítá se pravý kraj signálu. Svislost promítané roviny je závislá na přesnosti urovnání přístroje a na vlivu osových chyb (kolimační a úklonné) teodolitu. Měřením ve dvou polohách dalekohledu a rozpůlením promítnutých rovin se kolimační a úklonná chyba vyloučí. Teodolit se přemístí do přibližně kolmého směru (obr.5) a celý postup se opakuje. V průsečíku na sebe kolmých průměrných průmětů se nachází poloha excentrického signálu. Vzdálenost e mezi body C a E změříme dvoumetrem či pásmem a získáme tak délku excentricity e. Při obvykle malé excentricitě cíle (jednotky až desítky centimetrů) se směr excentricity prodlužuje ve směru z centru na excentr (obr.6) a signalizuje např. kolíkem s hřebíčkem tak, aby ho bylo možno zahrnout do osnovy směrů, měřených z centru (minimální zaostřovací schopnost dalekohledu teodolitu bývá kolem 2 m).

Centrace vodorovných směrů o Centrace osnovy měřené na excentrickém stanovisku, cíl je centrický

Osnova vodorovných směrů *ψEi , měřených na excentrickém stanovisku E (obr.7) se převede na centrické stanovisko C prostřednictvím zaměřených centračních prvků, kterými jsou délka excentricity e a směr excentricity *ψEC od orientačního směru (počátku). K výpočtu centrační změny δEi je třeba ještě z daných souřadnic bodů C a i vypočítat délky sCi. Centrační změny se potom vypočtou sinovými větami z trojúhelníků E, C, i (obr.7). Například pro bod č.1 bude centrační změna δE1 vypočtena ze vztahu:

(

),

9

přičemž 1 je možno nahradit i, pro zobecnění vztahu. Znaménko centrační změny δEi (opravy vodorovného směru) je závislé na znaménku rozdílu měřených směrů *ψEi - *ψEC (obr.8). Orientuje-li se celá osnova tak, aby počátek osnovy byl vložen do spojnice excentr E – centr C, tedy ke všem měřeným vodorovným směrům *ψEi se připočte úhel ε = 400 -*ψEC , dostanou se vlastně směrníky vztažené ke spojnici E, C. Ty jsou v obr.8 označeny ψEi a vztah pro výpočet centračních změn bude mít tvar:

,

a to včetně správného znaménka oprav měřených vodorovných směrů. Nacentrovanou osnovu vodorovných směrů, kterou bychom naměřili na centrickém bodě, pak vypočteme ze vztahu (obr.7):

.

o Centrace excentrického cíle, stanovisko je centrické

Po určení centračních prvků signálu (viz výše) na bodě 3 (obr.8), tj. délky excentricity e a směru excentricity *ψ3E se měří osnova vodorovných směrů na body 1 a 2 (popř. další), z nichž je na excentrický signál bodu 3 cíleno a bude tedy nutno zavést u nich opravu δ13 , resp. δ23 na centr. Postup uvedený ve skriptech Geodézie 1, k němuž se vztahuje obrázek 8, nejprve posouvá osnovu naměřenou na centru (bod C≡3) do excentru E a přeorientovává jí do spojnice E,C (tečkovaně kreslené směry ψCi). Centrační změny δj3 jsou potom počítány sinovou větou z trojúhelníků C, E, j, kde j = 1,2, atd., a to ve dvou krocích (skripta Geodézie 1, str. 176). Jednodušší způsob výpočtu centračních změn δji je znázorněn v obrázku 9, při použití stejných centračních prvků jako v prvním případě. Z průmětu excentrického cíle E se spustí kolmice na stranu i,j (3,1 resp. 3,2 – obr.9). Délka kolmice qj se vypočte z pravoúhlého trojúhelníka C, E, pata kolmice (obr.9), kde je známa délka excentricity e a úhel (směrník) při vrcholu C, jehož jedno rameno (počátek) směřuje do bodu j (1, 2, popř. dalšího) a druhé do bodu E (obr.9):

,

10

přičemž znaménko kolmice, závislé na směrníku α (souřadnicová soustava q1,s1) či β (souřadnicová soustava q2,s2), udává i znaménko opravy směru, měřeného na bodě j (1, 2, popř. dalšího).

Centrační změna δji se potom vypočte ze vztahu (obr.9):

resp.

,

kde délka sj,i se vypočte z daných souřadnic. Druhý člen ve jmenovateli je v převážné většině případů zanedbatelný (jeho velikost závisí na velikosti excentricity e a délce sj,i).

Další možností eliminace chyby vodorovného směru, způsobené excentrickým cílem, je výpočet souřadnic cíle E v S-JTSK rajónem z centračních prvků. Pro orientaci na takto určený signál se potom vypočte směrník z libovolného bodu na excentr místo na centrický bod a není tedy nutno počítat centrační změny pro každý bod jednotlivě.

Centrace délek Ve skriptech Geodézie 1 (str. 176 a 177) je uvedena kapitola týkající se centrace délek, měřených z excentrického stanoviska, popř. i na excentrický cíl. Za současných možností měření délek elektronicky je praktické využití této kapitoly nepravděpodobné.