MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ= pravoúhlé rovnoběžné promítání na dvě (tři) k sobě kolmé průmětny.Průmětny: půdorysna 𝜋, nárysna 𝜈 (bokorysna 𝜇). Průsečnice půdorysny a nárysny se nazývá základnice.

Výhoda - snadné řešení úloh, nevýhoda - menší názornost.

Určení obrazu bodu

Bodem vedeme kolmice k průmětnám. Tyto kolmiceprotnou jednotlivé průmětny– půdorysnu v půdorysu 𝑨𝟏 bodu 𝐴,– nárysnu v nárysu 𝑨𝟐 bodu 𝐴,(– bokorysnu v bokorysu 𝑨𝟑 bodu 𝐴).

Půdorys 𝐴1 a nárys 𝐴2 bodu tvoří tzv. sdružené průměty bodu 𝐴.

Umístění soustavy souřadnic: • průsečnice půdorysny a nárysny - osa 𝒚 (základnice),

kladný směr osy míří doprava, záporný doleva• Půdorysnu ztotožňujeme s rovinou (𝒙𝒚) a nárysnu s

rovinou (𝒚𝒛).• Osa 𝑥 leží v půdorysně. Její kladný směr míří dopředu,

záporný dozadu.• Osa 𝑧 leží v nárysně. Kladný směr míří nahoru, záporný

dolů.

Zobrazení průmětů do nákresny zajistíme tak, že jednuprůmětnu otočíme kolem základnice do druhé průmětny, tímse půdorys a nárys jednoho bodu dostanou na přímku kolmouk základnici (ordinála). Osa 𝑥 a osa 𝑧 splynou.• Kladný směr osy x nyní míří dolů a záporný nahoru.• Kladný směr osy z míří nahoru a záporný dolů.

Určování sdružených průmětů bodu 𝐴 𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴 pomocí souřadnic

1. Na základnici vyneseme 𝑦-ovousouřadnici bodu – kladnou doprava, zápornou doleva od počátku soustavy souřadnic.

2. V tomto bodě na ose y vztyčíme kolmici k ose y (= ordinála).

3. Na ordinálu vyneseme 𝑥-ovou souřadnici bodu (kladnou dolů, zápornou nahoru) a tím získáme půdorys 𝐴1 bodu 𝐴.

4. Na ordinálu vyneseme 𝑧-ovou souřadnici bodu (kladnou nahoru, zápornou dolu) a tím získáme nárys 𝐴2 bodu 𝐴.

Zobrazení bodů v nákresně:

𝐵(𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0),

𝐶(𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0),

𝐷(𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0),

𝐸(𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 = 0), 𝐸 ∊ 𝜋,

𝐹(𝑥 = 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0), 𝐹 ∊ 𝜈,

𝐺(𝑥 = 0, 𝑦 < 0, 𝑧 = 0), 𝐺 ∊ 𝑦 0

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

G =G1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2y

ZOBRAZENÍ PŘÍMKY

Obrazem přímky je• přímka - pokud přímka není směru promítání (tzn. není

kolmá k některé z průměten),• bod – pokud přímka je směru promítání

Přímka je dostatečně určena dvěma body.

Platí věta: Půdorysy bodů leží na půdorysu přímky, nárysy bodů leží na nárysu přímku.

Důležité body na přímce jsou stopníky. Stopník je bod, ve kterém přímka protíná průmětnu.

• Půdorysný stopník P - bod, ve kterém přímka protíná půdorysnu.

• Nárysný stopník N - bod, ve kterém přímka protíná nárysnu.

Díky stopníkům si můžeme snadno vytvořit představu o poloze přímky v prostoru.

Každý ze stopníků má svůj půdorys a nárys.

• Půdorys půdorysného stopníku 𝑃1 je totožný s půdorysným stopníkem.

• Nárys nárysného stopníku 𝑁2 je totožný s nárysným stopníkem.

• Nárys půdorysného stopníku 𝑃2 a půdorys nárysného stopníku 𝑁1 leží vždy na základnici, protože 𝑧-ová souřadnice půdorysného stopníku je nulová (leží v půdorysně) a 𝑥-ová souřadnice nárysného stopníku je nulová (leží v nárysně).

Zvláštní polohy přímek

𝑎 ⊥ 𝜋, 𝑏 ⊥ 𝜈, 𝑐 ∥ 𝜋, 𝑑 ∥ 𝜈

Zvláštní polohy přímek

𝑒 ∥ 𝑦, 𝑓 ∈ 𝜋, 𝑔 ⊥ 𝑦

Příklad 1: Určete stopníky přímky 𝑝.

Příklad 2: Určete stopníky přímky 𝑞.

r2s2

r = s1 1

r

s

ZOBRAZENÍ DVOJICE PŘÍMEK

1. Rovnoběžky

Jsou-li dvě přímky rovnoběžné (a ani jedna není kolmá k základnici), pak jejich první i druhé průměty jsou spolu rovnoběžné (a nejsou kolmé k základnici).

a) Pokud jsou kolmé k jedné z průměten, pak se zobrazí v jednom průmětu jako dva nesplývající body a ve druhém jako dvě rovnoběžky.

b) Pokud leží ve společné promítací rovině, pak jejich příslušné průměty splynou

(na obrázku je rovina půdorysně promítací – kolmá na půdorysnu a proto splývají půdorysy rovnoběžek).

y

1

1

2 2a

a

b

b

y

r

r

s

= s1 1

2

2

2. Různoběžky

Pro průměty dvou různoběžek mohou nastat tyto případy:

a) Dvě dvojice různoběžek, jejichž průsečíky leží na ordinále.

b) Jedním průmětem různoběžek je jediná přímka a druhým průmětem různoběžky (leží-li v promítací rovině).

c) Jedním průmětem je přímka a bod, který na ní leží a druhým různoběžky (je-li jedna přímka kolmá k jedné z průměten).

y

p1 q 1

p2 q

2 r2

s2

r = s1 1

2a

2b

1b1a

M

M

L

L

T

= T1 1

1

22

2

3. Mimoběžky

Průmětem dvojice mimoběžek mohou být:

a) Dvě dvojice různoběžek, jejichž průsečíky neleží na ordinále.

b) Jedním průmětem jsou různé rovnoběžné přímky a druhým dvojice různoběžek.

c) Dvojice různoběžek a druhým průmětem je přímka a bod na ní neležící (pokud je jedna přímka kolmá k jedné z průměten).

y

p1 q 1

p2 q

2 r2

s2

r

s

1

1

2a

2b

1b

1a

ZOBRAZENÍ ROVINY

Rovina se v Mongeově promítání zobrazí

• jako celá průmětna, pokud není promítací (tzn.Není kolmá k průmětně),

• jako přímka, pokud je promítací.

Nejčastěji zadáváme rovinu v Mongeově promítánípomocí stop roviny.

Definice: Stopa rovina je průsečnice rovinys průmětnou.

Průsečnice roviny 𝜌 s půdorysnou se nazývápůdorysná stopa 𝑝𝜌, s nárysnou nárysná stopa 𝑛𝜌.Stopy se vždy protínají na základnici.

Kvůli názornosti rýsujeme půdorysnou stopu podosou 𝑦 a nárysnou nad osou 𝑦. Pokud je potřebastopy prodloužit, pak půdorysná stopa se nad osou𝑦 a nárysná stopa pod osou 𝑦 rýsuje čárkovaně.

Souřadnice roviny

Pokud je rovina zadána souřadnicemi𝜌 = (𝑥𝜌, 𝑦𝜌, 𝑧𝜌), pak tyto souřadniceznačí průsečík roviny s příslušnousouřadnicovou osou

𝜌 = 𝑋𝑌𝑍 ,

𝑋 𝑥𝜌; 0; 0 , 𝑌 0; 𝑦𝜌; 0 , 𝑍 0; 0; 𝑧𝜌

Tedy při vynášení souřadnic rovinynaneseme nejprve na základnicisouřadnici 𝑦𝜌 , v počátku soustavysouřadnic vztyčíme kolmici, na kterounaneseme souřadnici 𝑥𝜌 a 𝑧𝜌, podlestejných pravidel jako při vynášenísouřadnic bodu.

SPECIÁLNÍ POLOHY ROVINY

• Rovina kolmá k nárysně a rovnoběžná s půdorysnou

• Rovina kolmá k nárysně

• Rovina rovnoběžná s osou y

Příklad: Určete stopy roviny 𝛽 = (−3; 3; 2).

Příklad: Určete stopy roviny 𝛽 = (−3; 3; 2).

ZOBRAZENÍ DVOJICE ROVIN

1. Rovnoběžné roviny

Průměty příslušných stop rovnoběžných rovin jsou rovnoběžné.

Každé dvě rovnoběžné roviny jsou třetí rovinou s nimi různoběžnou proťaty ve dvou rovnoběžných přímkách. Jsou-li však roviny rovnoběžné se základnicí, jejich stopy jsou také vzájemně rovnoběžné, ale tyto roviny nemusí být rovnoběžné. Toto bychom zjistili z třetího průmětu.

2. Různoběžné roviny

Průměty příslušných stop různoběžných rovin jsou různoběžné.

POLOHOVÉ ÚLOHY

PŘÍMKA V ROVINĚ

Věta: Leží-li přímka v rovině, pak její stopníky leží na stopách roviny.

Nárys nárysného stopníku 𝑁2 leží na nárysné stopě a půdorys půdorysného stopníku 𝑃1 leží na půdorysné stopě.

Příklad: Sestrojte chybějící průmět přímky 𝑝, která leží v rovině 𝜌.

Příklad: Sestrojte stopy roviny, která je dána dvěma přímkami 𝑎, 𝑏.

SPECIÁLNÍ PŘÍMKY V ROVINĚ

Hlavní přímky roviny

Hlavní přímky roviny jsou přímky, které leží v dané rovině a jsou rovnoběžné s průmětnou.

Existují dva systémy hlavních přímek.

• Horizontální hlavní přímky roviny 𝜌(ℎ𝜌) jsou rovnoběžné s půdorysnou

• Frontální hlavní přímky roviny 𝜌 (𝑓𝜌) jsou rovnoběžné s nárysnou.

Poznámka: Stopy roviny jsou také hlavní přímky. Hlavní přímky jsou tudíž rovnoběžky se stopami.

Horizontální hlavní přímka 𝒉 je rovnoběžná s půdorysnou.

Proto půdorys ℎ1 je vždy rovnoběžný s půdorysnou stopou 𝑝1

𝜌roviny 𝜌 a její nárys ℎ2 je

rovnoběžný se základnicí 𝑦.

Frontální hlavní přímka 𝒇 je rovnoběžná s nárysnou.

Proto nárys 𝑓2 je vždy rovnoběžný s nárysnou stopou 𝑛2

𝜌roviny 𝜌 a její půdorys 𝑓1 je

rovnoběžný se základnicí 𝑦.

METRICKÉ ÚLOHY

Promítání pravého úhlu v MP

V rovnoběžném pravoúhlém promítání se obecně nezobrazuje pravý úhel na pravý úhel.

Platí však následující věta:

Je-li jedno rameno úhlu rovnoběžné s průmětnou a druhé není kolmé na průmětnu (není směru promítání), pak se pravý úhel zobrazí na pravý úhel.

Tuto větu užíváme při sestrojování přímky kolmé k rovině v MP.

PŘÍMKA KOLMÁ K ROVINĚ

Přímka 𝑘 je kolmá k rovině, je-li kolmá ke všem

přímkám roviny, tedy i k hlavním přímkám (i ke stopám).

Tyto hlavní přímky (stopy) tvoří jedno rameno pravého

úhlu, které je rovnoběžné s průmětnou. Proto se pravý

úhel zachová i v průmětu.

Věta: Přímka 𝑘 je kolmá k rovině 𝜌 (která není

rovnoběžná se základnicí) právě tehdy, když její první

průmět 𝑘1 je kolmý na první průmět její horizontální

hlavní přímky ℎ1 (k půdorysné stopě) a zároveň, když její

druhý průmět 𝑘2 je kolmý na druhý průmět její frontální

hlavní přímky 𝑓2 (na nárysnou stopu).

Příklad: Sestrojte kolmici k rovině 𝛽, která prochází bodem 𝐵.

ZOBRAZENÍ KRUŽNICEObraz kružnice závisí na poloze roviny, ve které leží, vůči průmětnám.

1. Kružnice leží v rovině rovnoběžné s průmětnou:Je-li rovina rovnoběžná s půdorysnou, pak:• prvním průmětem kružnice 𝑘 je kružnice 𝑘1(𝑆1, 𝑟),• druhým průmětem kružnice 𝑘 je úsečka 𝑘1 délky 2𝑟 rovnoběžná se základnicí.Je-li rovina rovnoběžná s nárysnou, pak:• prvním průmětem kružnice 𝑘 je úsečka 𝑘2 délky 2𝑟 rovnoběžná se základnicí,• druhým průmětem kružnice 𝑘 kružnice 𝑘2(𝑆2, 𝑟).

y

S

S

k

k

11

2

2

y

S

S

k

k

11

2

2

2. Kružnice leží v rovině kolmé k průmětně:

Je-li rovina kružnice kolmá k nárysyně, pak:

• druhým průmětem 𝑘2 kružnice 𝑘 je úsečka 𝐶2𝐷2 délky

2𝑟 ležící na nárysné stopě 𝑛2𝜌

roviny 𝜌. Středkružnice 𝑘 se zobrazí do středu 𝑆2 úsečky 𝐶2𝐷2.

• prvním průmětem 𝑘1 kružnice 𝑘 je elipsase středem v bodě 𝑆1, s hlavní poloosou 𝐴1𝑆1rovnoběžnou s půdorysnou stopou 𝑝1

𝜌a s vedlejší

poloosou 𝐶1𝐷1 rovnoběžnou se základnicí,velikost hlavní poloosy půdorysu je poloměr 𝑟 kružnice

Pozn.: obdobná je situace pokud kružnice leží v roviněkolmé k půdorysně – půdorysem kružnice je úsečka anárysem elipsa s hlavní osou kolmou k základnici

3. Kružnice leží v rovině obecné:Sdruženými průměty kružnice jsou různé elipsy.Skutečná délka poloměru kružnice se vždy zachová na hlavnípřímce roviny, která prochází středem kružnice (je rovnoběžnáse stopou roviny).

• V prvním průmětu 𝑘1 kružnice 𝑘 se skutečná délka poloměru𝑟 kružnice promítá do hlavní poloosy 𝐴1𝐵1 elipsy ležící naprvním průmětu ℎ1 hlavní přímky roviny ( 𝐴1𝑆1 = 𝐵1𝑆1 =𝑟).

• Nárysy bodů 𝐴2, 𝐵2 leží na nárysu hlavní přímky ℎ2. Tvoříobecné body elipsy v náryse.

• V náryse se poloměr 𝑟 kružnice nezkrácený promítá dohlavní poloosy 𝐾2𝐿2 elipsy ležící na druhém průmětu 𝑓2hlavní přímky roviny procházející středem 𝑆2 elipsy ( 𝐾2𝑆2 =𝐿2𝑆2 = 𝑟).

• Půdorysy bodů 𝐾1, 𝐿1 leží na půdorysu hlavní přímky 𝑓1. Tvoříobecné body elipsy v půdorysu.

• Průměty kružnice sestrojíme pomocí proužkové konstrukceelipsy. V půdorysu je elipsa dána hlavními vrcholy 𝐴1, 𝐵1 aobecnými body 𝐾1, 𝐿1. V nárysu hlavními vrcholy 𝐾2, 𝐿2 aobecnými body 𝐴2, 𝐵2.

PROUŽKOVÁ KONSTRUKCE ELIPSY

Rozdílové proužkové konstrukce užíváme v případě, kdy je elipsa určena hlavní osou 𝐴𝐵 a bodemelipsy 𝑀. Velikost 𝑏 vedlejší poloosy 𝐶𝑆 elipsy sestrojíme následovně.

1. Sestrojíme kružnici se středem v bodě 𝑀 a s poloměrem velikosti 𝑎 hlavní poloosy elipsy.

2. Tam, kde kružnice protne vedlejší osu 𝐶𝐷 elipsy, získáváme pomocný bod 1.

3. Sestrojíme úsečku 1𝑀.

4. Průsečík úsečky 1𝑀 s hlavní osou 𝐴𝐵 je bod 2.

5. Délka úsečky 2𝑀 je rovna velikosti 𝑏 vedlejší poloosy elipsy.

A B

M

1

2

b

a

b

C

D

VIDITELNOST V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ

a) Viditelnost v prvním průmětu (půdorysu)

Pozorovatel v takovém případě hledí na těleso ve směru „shora dolů“.

Leží-li dva body 𝐴 a 𝐵 na stejné promítací přímce kolmé k půdorysně „nad sebou“, můžeme vidětpouze „vyšší“ bod 𝐴 (𝑧𝐵 < 𝑧𝐴).

y

A

B

A =B

A

B

1 1

2

2

A2

B2

A =B1 1

y

b) Viditelnost v druhém průmětu (v nárysu)

Pozorovatel v takovém případě stojí před tělesem.

Leží-li dva body 𝐶 a 𝐷 na téže promítací přímce, která je kolmá k nárysně, pak při pohledu „zepředu“ vidíme „bližší“ bod (k pozorovateli) bod 𝐶 (𝑥𝐷 < 𝑥𝐶).

y

C1

2

2C =D2

D1

y

C =D2

CD

D1

C1