Definicion.- Sean f una funcion (de valores reales) definida y acotada sobre un rectangulo R

contenido en Rn y P una particion de R. Si R1, R2, ..., Rk son los subrectangulos de R inducidos

por la particion P, definimos la suma inferior de f correspondiente a la particion P denotada

por S(f, p) como

S(f, p) =m∑i=1

n∑j=1

mij∆Rij

Analogamente definimos la suma superior de f correspondiente a la particion P denotada por

S(f, p) como

S(f, p) =m∑i=1

n∑j=1

Mij∆Rij

Estas sumas tienen una serie de propiedades

Proposicion 1. Si P es cualquier particion de R, entonces

S(f, p) ≤ S(f, p)

Demostracion. Como mij = inf{f(xi, yj)} y Mij = sup{f(xi, yj)} se tiene que

mij ≤Mij ⇒ mij∆Rij ≤Mij∆Rij ⇒m∑i=1

n∑j=1

mij∆Rij ≤m∑i=1

n∑j=1

Mij∆Rij ⇒ S(f, p) ≤ S(f, p)

Proposicion 2. Si P,Q ∈ PR. Si Q refina a P entonces

S(f, P ) ≤ S(f,Q) y S(f,Q) ≤ S(f, P )

Demostracion. Sean R1, ..., Rk los subrectangulos inducidos por P y Ri1, ..., R

ik los subrectangu-

los inducidos por Q. Dado que cada Rij esta contenido en Ri, tenemos que {f(x) | x ∈

Rij} ⊂ {f(x) | x ∈ Ri} y por lo tanto inf{f(x) | x ∈ Ri} ≤ inf{f(x) | x ∈ Rj

i} y

sup{f(x) | x ∈ Rij} ≤ sup{f(x) | x ∈ Ri} ∴

inf{f(x) | x ∈ Ri} ×∆Rij ≤ inf{f(x) | x ∈ Rji} ×∆Rij

sup{f(x) | x ∈ Rij} ×∆Rij ≤ sup{f(x) | x ∈ Ri} ×∆Rij

1

Si ahora sumamos ambas desigualdades corriendo los ındices i,j se tiene que

m∑i=1

n∑j=1

inf{f(x) | x ∈ Ri} ≤m∑i=1

n∑j=1

inf{f(x) | x ∈ Rji}

m∑i=1

n∑j=1

sup{f(x) | x ∈ Rij} ≤

m∑i=1

n∑j=1

sup{f(x) | x ∈ Ri}

Recordando la definicion de suma inferior y suma superior se tiene que

S(f, P ) ≤ S(f,Q) y S(f,Q) ≤ S(f, P )

Proposicion 3. Si P y Q son cualesquiera dos particiones del rectangulo R entonces se cumple

S(f, P ) ≤ S(f,Q)

Demostracion. Consideremos la particion P⋃Q. Esta particion refina tanto a P como a Q de

tal forma que, por la proposicion 2 se tiene

S(f, P ) ≤ S(f, P⋃

Q)

y tambien

S(f, P⋃

Q) ≤ S(f,Q)

Como

S(f, P⋃

Q) ≤ S(f, P⋃

Q)

por la proposicion 1, se tiene que

S(f, P ) ≤ S(f,Q)

Definicion.-Al supremo del conjunto S(f) lo llamamos integral inferior de f sobre R y se

puede denotar∫R

(f). Y al ınfimo del conjunto S(f) lo llamamos integral superior de f sobre R

y podemos denotar∫R

(f)

2

DefinicionSea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rectangulo R. Decimos que f es integrable

segun Riemann sobre R si se tiene que la integral inferior y la integral superior de f sobre R

son iguales. Es decir ∫R

(f) =

∫R

(f)

En este caso, a este numero lo llamaremos la integral de f y lo denotarremos por∫ ∫

Rf

Teorema 1. Sea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rectangulo R. Se tiene que f es integrable

sobre R si y solo si para cada ε > 0 ∃ una particion de R tal que

S(f, P )− S(f, P ) < ε

Demostracion. ⇒ )Sea ε > 0 como f es integrable∫R

f =

∫R

f = I

y por propiedades de supremo para ε2> 0 ∃ p′ particion de R tal que

I − ε

2≤ S(f, P ′) ≤ I

y por propiedades de infimo se tiene que ∃ Q′ particion de R tal que

I ≤ S(f, P ′) ≤ I +ε

2

Si hacemos P = P ′ ∩Q′ tenemos que

S(f, P ′) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ S(f,Q′)

∴

I − ε

2≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ I +

ε

2

∴

S(f, P )− S(f, P ) ≤ I +ε

2−(I − ε

2

)= ε

3

∴ f es integrable

⇐ ) Se tiene que probar que ∫R

f =

∫R

f

sabemos que ∫R

f ≤∫

R

f ⇒ 0 ≤∫

R

f −∫

R

f ≤ S(f, P )− S(f, P ) < ε

∴ ∫R

f =

∫R

f

Teorema 2. Sea f : R ⊂ Rn → R continua sobre el rectangulo R. Entonces f es integrable

sobre R.

Demostracion. Tenemos que

S(f, P )− S(f, P ) =m∑i=1

n∑j=1

MijA(Rij)−m∑i=1

n∑j=1

mijA(Rij) =m∑i=1

n∑j=1

(Mij −mij)A(Rij) =

Debido a la continuidad de f se tiene que

Mij −mij = f(xM)− f(xm) < |f(xM)− f(xm)| < ε

A(R)

∴

m∑i=1

n∑j=1

(Mij −mij)A(Rij) <m∑i=1

n∑j=1

ε

A(R)A(Rij) <

ε

A(R)

m∑i=1

n∑j=1

A(Rij) =ε

A(R)A(R) = ε

∴ f es integrable

La continuidad de una funcion es una condicion suficiente para que f sea integrable

EjemploSea f : R = [0, 1]× [0, 1]→ R definida como

f(x) =

1 si 0 ≤ x ≤ 12

0 si 12< x ≤ 1

4

Mostrar que f es integrable

Demostracion. Sea ε > 0 y sea P = {0, 12− ε

2, 12

+ ε2, 1} una particion de [0, 1] y consideremos

ahora los siguientes subrectangulos

R1 = [0,1

2− ε

2]× [0, 1], R2 = [

1

2− ε

2,1

2+ε

2]× [0, 1] y R3 = [

1

2+ε

2, 1]× [0, 1]

Para estos subrectangulos tenemos que M1 = 1 = M2, M3 = 0 y m1 = 1, m2 = 0 = m3 ∴

S(f, P )−S(f, P ) = M1×A(R1)+M2×A(R2)+M3×A(R3)−(m1 × A(R1) +m2 × A(R2) +m3 × A(R3) =

1×(

1

2− ε

2

)+ 0× ε+ 0×

(1

2− ε

2

)−(

1×(

1

2− ε

2

)+ 1× ε+ 0×

(1

2− ε

2

))= ε

∴

S(f, P )− S(f, P ) = ε

la cual es tan pequena como se quiera y por tanto f es integrable

5

Proposicion 4. Sea f : R ⊂ Rn → R integrable sobre R tal que f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R entonces∫R≥ 0

Demostracion. Tenemos que dada una particion de R en Ri subrectangulos

f(xi) ≥ 0⇒ f(xi)A(Ri) ≥ 0⇒k∑i=1

miA(Ri) ≥ 0⇒∫R

f ≥ S(f, P ) =k∑i=1

miA(Ri) ≥ 0

Teorema 3. Sean f, g : R ⊂ Rn → R tales que f es continua en R y g es integrable sobre R.

Entonces

1.

∫R

f = f(ε)A(R) ε ∈ R

2. Si g(x) ≥ 0 ∀x ∈ R entonces

∫R

fg = f(ε)

∫R

g

Demostracion. Para 1 se tiene lo siguiente sea m y M el mınimo y el maximo de f sobre R por

lo que

m ≤ f ≤M ⇒∫R

m ≤∫R

f ≤∫R

M ⇒ mA(R) ≤∫R

f ≤MA(R)⇒ m ≤∫Rf

A(R)≤M

como f es continua y R conexo, debe existir ε ∈ R tal que

f(ε) =

∫Rf

A(R)∴

∫R

f = f(ε)A(R)

Para 2 se tiene que

m ≤ f ≤M ⇒ mg ≤ fg ≤Mg ⇒∫R

mg ≤∫R

fg ≤∫R

Mg ⇒ m

∫R

g ≤∫R

fg ≤M

∫R

g

⇒ m ≤∫Rfg∫Rg≤M

como f es continua y R conexo, debe existir ε ∈ R tal que

f(ε) =

∫Rfg∫Rg

∴∫R

fg = f(ε)

∫R

g

6