Sumas de Riemann
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORCARRERA DE INGENIERIA CIVIL
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS, FÍSICA Y MATEMÁTICACÁLCULO INTEGRAL
A ASSIIGGNN A A T TUUR R A A:: CCáállccuulloo IInntteeg g rraall PPR R OOFFEESSOOR R :: IInng g .. PPiillaalluuiissaa R R aammiirroo PPEER R ÍÍOODDOO A ACC A ADDÉÉMMIICCOO:: A Abbrriill 22001155 – – A Ag g oossttoo 22001155
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7/18/2019 Sumas de Riemann
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Cálculo Integral. Proyecto Final
Prof. Ing. José Ramiro Pilaluisa Q. M.Sc. Abril 2015 – Agosto 2015 1
1 Resumen
En el presente documento damos a conocer todos los aspectos tanto teóricos como demostrativos
relacionados a las Sumatorias de Riemann, lo hacemos de una forma detallada lo cual servirá
como medio de apoyo para el estudio de este tema por partes de otros estudiantes.
Previo a definir fundamentalmente lo que es la Suma de Riemann procedemos a dar conceptos
breves sobre lo que es la suma superior y la suma inferior de Darboux de una función definida en
un intervalo (a, b) asociadas a una partición del mismo, en si estas sumas nos sirven para dar
aproximaciones al área que queremos encontrar.
También veremos algunas propiedades, específicamente aquellas que hacen referencia a la
relación entre ambas sumas y su comportamiento cada vez que consideramos particiones más
finas ya que al hacer ese tipo de particiones tenemos valores más aproximados del área, es
netamente importante conceptualizar estas propiedades ya que ellas nos garantizan la existencia
del ínfimo de las sumas superiores y el supremo de las sumas inferiores dándonos por medio de
esto los valores de las integrales inferior y superior de Darboux en el intervalo(a,b). Ya que la
Integral de Riemann junto a Darboux son equivalentes, daremos un criterio conciso de
integrabilidad de Riemann que nos permitirá estudiar la integrabilidad de una función sin
necesidad de calcular las integrales superior e inferior lo que a la larga nos facilita encontrar
diferentes tipos de aproximación de la integral.
En cuanto al aspecto de los métodos y materiales utilizados cabe destacar que nos basamos enartículos, libros, sitios web previamente verificados para dar a conocer conceptos verídicos deltema en estudio.
Al tener los resultados de la presente investigación pasaremos a comparar nuestra investigacióncon publicaciones anteriormente realizadas para de esta manera lograr obtener conclusiones yrecomendaciones validas que justifiquen la presente investigación realizada.
Finalmente anexamos aquellos medios que favorecieron tanto en el ámbito conceptual comodemostrativo de esta investigación por el hecho de que se necesita tener bases de respaldo deltema investigado.
Palabras clave:Suma superior, suma inferior, integrabilidad de Riemann
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Abstract
Through this research we present the most important aspects, theoretical and demonstration ofRiemann Sums, basically we focus on properties that help us clarify methods used for the
realization of such exercises.
We apply various research methods including analytical method, as well as established different
hypotheses that were later proven with any degree of assertiveness.
Using data from a comparison it was made between our research and concepts found in various
publications thus see the similarity between concepts and through this provide concise
information on this subject.Finally we establish conclusions and recommendations regarding the results obtained thus
ensuring a wide coverage of the subject treated.
Keywords:
Demonstration, comparison, assertiveness
2 Introducción
Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van
calculando las partes de una función por medio de particiones en forma de rectángulos con base
en un incremento en el eje X, ya que la suma de todas las áreas de los rectángulos va ser el área
total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann.
IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
Es uno de los temas a tratar en el estudio de cálculo integral es una de las pilares fundamentales
en lo que conlleva a la obtención de área es por aquello la que se necesita un concepto basto de
de suma de Riemann y área bajo la curva
JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
La presente investigación tiene como objeto principal el conocimiento sobre la sumas de
Riemann por cual es necesario conocer todo sobre los métodos, teoremas, definiciones que
conllevan hacia un mejor entendimiento y manejo de los mismo para así lograr aplicarlos.
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HIPOTESIS
- Con los teoremas que se encuentren en la investigación se realizar ejercicios “ejemplo” para
entender el sustento teórico de dicho teorema
- Una vez entendiendo la teoría y los ejercicios “ejemplo” se presenta ejercicios ya aplicados a la
integral el cual es el objetivo principal de la investigación
CRITERIOS
- Es necesario tener muy claro la teoría que permitan la ejecución y desarrollo de ejercicios de
aplicación que el cual concadenara con temas tales como integral definida para hallar el área
bajo la curva.
- Es de gran ayuda realizar ejercicios aumentando la dificultad ya que esto ayude a que elestudiante no se “estanque” en una sola manera de realizar ejercicios sino el de buscar otras
formas.
-
MARCO TEÓRICO
SUMAS DE RIEMANN
La teoría de límites de aproximaciones finitas fue desarrollada por el matemático alemánBernhard Riemann. La suma de Riemann, base de la teoría de la integración definida la cual es
motivo de estudio en la asignatura de cálculo.
La suma de Riemann es definida como una función arbitraria f definida en un intervalo cerrado
[a,b]. f puede tener valores positivos como negativos .el intervalo[a,b] se subdivide en
subintervalos los cuales no necesariamente son del mismo ancho, y formamos sumas las cuales
permiten tener aproximaciones finitas . Para hacerlo se elige n-1 puntos {x0, x1, x2, ..., xn} entre
[a y b ]que satisfagan que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b
Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacentes de anchura
común y de alturas situados entre el eje de las abscisas y la curva de la función
Consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área
de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que almomento de sumar se obtiene un margen de error muy grande.
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Sumas de Riemann cuando n= 5 rectángulos, n=10 y n=20. Cuando crece n, el área total de los
rectángulos se aproxima al área delimitada por el eje de las abscisas y la curva f
La notación para sumar todas esas áreas se la denomina notación sigma cuyo símbolo es el
siguiente: Σ
A continuación se presentan ejemplos simples para dar una idea del uso de sigma
Donde
TEOREMAS
A continuación se presenta los teoremas a utilizar para la notación sigma
Si n es un número entero positivo
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DEFINICIÓN DEL AREA DE UNA REGIÓN PLANA
“ Suponga que una función f es continua en el intervalor cerrado [a,b], con f(x) para toda x
en [a,b], y que R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. Divida
el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de longitud =(b-a)/n, y denote el i-ésimo
subintervalo por [xi-1, xi]. Entonces si f(ci), es el valor de función mínimo absoluto en el i-esimo
subintervalo, la médida de área de la región R está dada por” (Lara y Arroba, pag 203, par 3)
A=
CARACTERIZACIÓN DE LAS FUNCIONES RIEMANN-INTEGRABLES
Supongamos que f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es
integrable Riemann si y sólo si para todo > 0 existe al menos una partición P tal que
| S(f, P) - I(f, P) | <
donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f
respecto de la partición P
Sumas de Riemann
Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida
en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:
R(f, P) = f(t j) (x j - x j-1)
donde t j es un número arbitrario en el intervalo [x j-1, x j].
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La suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma de las áreas de los rectángulos
con base x j - x j-1 y altura f(t j).
TIPOS DE APROXIMACIÓN DE LA INTEGRAL
Por tanto, surge la duda de qué punto t j tomar dentro de cada subintervalo de la partición para
evaluar la función en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto t j en
el subintervalo [x j-1, x j], y las más utilizadas son éstas:
- Punto izquierdo: se toma como valor t j el límite inferior del subintervalo, es decir, x j-1.
Gráficamente:
- Punto derecho: se toma como valor t j el límite superior del subintervalo, es decir, x j.
Gráficamente:
- Punto medio: se toma como valor t j el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir,(x j-1 + x j) / 2. Gráficamente:
- Punto aleatorio: se toma como valor t j un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntosdel subintervalo. Gráficamente:
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- Punto ínfimo: se toma como valor t j aquel punto del subintervalo tal que f(t j) es el ínfimo en ese
subintervalo. Gráficamente:
- Punto supremo: se toma como valor t j aquel punto del subintervalo tal que f(t j) es el supremo en
ese subintervalo. Gráficamente:
Los dos últimos tipos de aproximación no son útiles en la práctica, pues para aplicarlos sería
necesario calcular el ínfimo o el supremo de f(t j), teniendo que recorrer todo el subintervalo.
Pero esto no es necesario; ¿Por qué?
Si una función es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann
R(f,P) tomando t j como queramos.
FUNCIONES.RIEMANN-INTEGRABLES
Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.
Toda función continúa y acotada en un intervalo cerrado y acotado, excepto en una
cantidad numerable de puntos, es Riemann-Integrable.
Recíprocamente, si una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es
Riemann-Integrable, entonces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una
cantidad numerable de puntos.
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Toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-
Integrable.
3 Materiales y Métodos
Las sumas de Riemann permiten desarrollar varios tipos de metodologías entre los que tenemos
el método analítico que es propio de este ya que es necesario tener en cuenta un mayor análisis,
además al estar relacionados con valores cuantitativos, este permite tomar en cuenta un método
cuantitativo.
Al tener que aplicar los diferentes métodos estos conlleva a un solo resultado el cual debe ser
bien interpretado es por eso que también es aplicable el método deductivo.
Para el presente proyecto se utilizaron varios materiales físicos como tecnológico entres los
físicos tenemos materiales tales como libros de cálculo integral, fundamentos de cálculo
avanzado detallados en la bibliografía, en materiales tecnológicos fue utilizado básicamente el
internet como elemento de consulta
4 ResultadosSi la función f(x) es siempre finita, en el intervalo cerrado [acotado]([a, b]), el cual al disminuir
infinitamente todas sus magnitudes es decir se subdividen , la
magnitud total que intuitivamente representa la base de un rectángulo muy pequeño, con su
correspondiente diferencial de altura definida por dicha función f ( ). Por lo cual la sumatoria
de todas las áreas, generara un valor aproximado del área bajo la curva f(x) = y.
5 DiscusiónConforme a la investigación teórica, el cálculo de la sumatoria se facilita considerablemente al
considerar n particiones iguales en el intervalo cerrado (a, b).
Por ello se establece que:
Si consideramos intervalos cada vez más finos, denominados iésimo sub intervalos, seabarcara con mayor exactitud toda la medida de área a definir.Es así que al llevar la sumatoria al límite infinito se podrá definir en su totalidad la medida delárea bajo la curva, representada simbólicamente de la forma:
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Finalmente se debe considerar , como un valor máximo o mínimo absoluto de pendiendode emplear rectángulos circunscritos o inscritos respectivamente. (Anton, H. Calculus: A NewHorizon, 6th ed. New York)
6 Conclusiones En general las sumas de Riemann es una de las operaciones importantes que permiten el
cálculo de áreas
La suma de Riemann constituye una manera importante de operar en cálculo en algunos
casos lo facilita y en otros no tanto
Los teoremas de la suma de Riemann facilitan la resolución del cálculo de áreas tanto
irregulares como regulares.
Al ser esta una operación de áreas con diferenciales muy pequeños en el momento de
producirse la suma total de estos, conllevara a obtener un error grande en el cálculo de
áreas.
Al combinar la sumas de Riemann con otras operaciones tales como la operación de
limites este facilita y en cálculo de áreas con una aproximación más real
La aplicación de propiedades de sumatorias facilita el la resolución de la operación
7 Recomendaciones Conocer las propiedades de las sumatorias y aplicarlas en el momento que se requiera
Conocer las propiedades de los límites de una función
Para comprobar las sumas de Riemann se puede utilizar la integral definida de la función
dada.
Mediante las sumas de Riemann podremos calcular áreas e incluso volúmenes de
diferentes características en problemas futuros.
8 Referencias
Apostol, T. (1984). Cálculus Volumen 1 y 2.
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BARTLE et al. (2009). Introducción al Análisis Matemático de una Variable.
Granville, W. (2009). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
Leithold, L. (1998). EL CÁLCULO.
Purcell, E. (2007). CÁLCULO.
Sánchez, J. M. (2011). Historias de Matemáticas.
9 ANEXOS
BIBLIOTECA VIRTUALLibro1Descripción:
Link: http://bvirtual.uce.edu.ec:2054/lib/bgeneralucesp/detail.action?docID=11013520&
p00=sumas+riemann
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Libro2Descripción:
Link:http://bvirtual.uce.edu.ec:2054/lib/bgeneralucesp/detail.action?docID=10526589&
p00=sumas+riemann
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BIBLIOTECA FISICA.Libro1- Cálculo diferencial e integral – Granville
Libro2- El Cálculo – Leithold Louis
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Archivo pdf 2- Recuperado: 21/06/2015
Link: http://www.dawsoncollege.qc.ca/public/72b18975-8251-444e-8af8-224b7df11fb7/programs/disciplines/math/coursesupplements/supplementary_notes
_-_riemann_sum.pdf