Lecture Notes in Mathematics Edited by A Dold and B. Eckmann
Series: Institut de Mathématique, Université de Strasbourg Adviser: P. A Meyer
465
Edited by P. A. Meyer
Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1975
Editor Prof. P. A Meyer Départment de Mathématique Université de Strasbourg Rue René Descartes 67 Strasbourg/France
Library of Congress Cataloging il') Publication Data (Revised)
Séminaire de probabilités, Université de Strasbourg.
(Lecture notes in mathematics, 39, 51, 88, 124, 191, 258, 321, 381, 465)
Inc1udes bibliographies. 1. Probabi1ities--Congresses. I. Series: Lec­
ture notes in mathematics (Berlin) 39 etc. QA3.L28 no. 39 519.2 67-29618
AMS Subject Classifications (1970): 60 XX, 28A65, 31 XX, 60JXX, 60GXX
ISBN 3-540-07178-4 Springer-Verlag Berlin' Heidelberg' New York ISBN 0-387-07178-4 Springer-Verlag New York' Heidelberg' Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1975
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
SEMINAIRE 1972/73 (J. de SAM LAZARO et P.A. MEYER)
Exposé l
Exposé II
Exposé III
Exposé IV
Exposé V
Exposé VI
Exposé VII
Exemples de K-flots
Multiplicité spectrale, nombre d'hélices HAO •....•..
Le théorème de Ni s io •••.....•..•.•....••..•.••.•••.•
PROCESSUS STATIONNAIRES ET MESURES DE PALH DU FLOT SPECIAL SOUS UNE FONCTION, par A. BENVENISTE (1974) ......•...................•
Seconde partie EXPOSES 1973/74
2
15
30
38
52
73
89
97
C.S. CHOU. Les inégalités des surmartingales d'après A.M. Garsia.. 206
C.S. CHOU. Les méthodes d'A. Garsia en théorie des martingales. Extensions au cas continu (1972/73) .............................. 213
C.S. CHOU et P.A. MEYER. Sur la représentation des martingales comme intégrales stochastiques dans les processus ponctuels •..•.• 226
P.A. MEYER. Complément sur la dualité entre H1 et BMO •.......••.• 237
C. DELLACHERIE et P.A. MEYER. Un nouveau théorème de projection et de section ........••...••...•..•••..•.......•.........•....•.• 239
D. DACUNHA-CASTELLE. Processus et espaces de Banach invariants par réarrangement •...........•.........•..........•.............• 246
D~ DACUNHA-CASTELLE. Sous-espaces symétriques des espaces d'Orlicz 268
Ph. ARTZNER. Quelques résultats de décomposabilité en algèbre linéaire et en algèbre quadratique aléatoires •..•.••.•..••...•••. 285
K. SIGMUND. Propriétés générales et exceptionnelles des états statistiques de systèmes dynamiques stables ....•....•.......•...• 294
H. F5LLMER. Phase transition and Martin boundary ..•........•.•••• 305
X. FERNIQUE. Des résultats nouveaux sur les processus gaussiens.. 318
C. DELLACHERIE. Ensembles analytiques : théorèmes de séparation et applications .•....•.•.•.•.•••..•••...••..•.•..•..•...••......• 336
C. DELLACHERIE et P.A. MEYER. Ensembles analytiques et temps d' arr@t ...•...••••.....•.....•.......••.•..•.•..••.•....•.•.•...• 373
C. DELLACHERIE. Jeux infinis avec information complète et temps d' arr~t .••.•..•.•...•.•••••••...••...•.•.•.•••.•..••.•••••.•....• 390
IV
C. DELLACHERIE. Une remarque sur les espaces sousliniens de Bourbaki •••••••••••••••••••••.•••••••••••••••.••••••••••••••••••• 406
C. STRICKER. Mesure de Fëllmer en théorie des quasimartingales ••• 408
C. STRICKER. Une caractérisation des quasimartingales •••••••••••• 420
M; E~RY. Primitive d'une mesure sur les compacts d'un espace metr1.que •••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••• 425
G. MOKOBODZKI. Relèvement borélien compatible avec une classe d'ensembles négligeables. Application à la désintégration des mesures •••••••.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 437
+K.A. YEN. Forme mesurable de la théorie des ensembles sousliniens, applications à la théorie de la mesure (résumé) (A para1tre dans Scientia Sinica, Peking)
R.K. GETOOR. On the construction of kernels ••••••.••••••••••••••• 443
P.A. MEYER. Une remarque sur la construction de noyaux ••••••.•••• 464
P.A. MEYER et K.A. YEN. Génération d'une famille de tribus par un processus croissant ••••••••••••••••.•••.•••••••.••••••••••••••••• 466
M. NAGASAWA. Multiplicative excessive measures and duality between equations of Boltzmann and of branching processes •••..••••••••••• 471
M. WEIL. Surlois d'entrée ••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••• 486
+P.A. MEYER. Résumé du travail de Garcia-Alvarez sur la dualité
C. DELLACHERIE. Correction à "Intégrales stochastiques par rapport"494
C. DELLACHERIE. Une propriété des ensembles semi-polaires •••••••. 495
M.J. SHARPE. Homogeneous extensions of random measures ••••••••••• 496
D. HEATH. Skorokhod stopping in discrete time 515
B. MAISONNEUVE et P.A. MEYER. Ensembles aléatoires markoviens homogènes. Mise au point et compléments ••••••••••••..•••••••••••. 518
B. MAISONNEUVE. Le comportement de dernière sortie ••••••••••••••• 522
P.A. MEYER. Sur la démonstration de préviSibilité de Chung et Walsh ••••••.•••••••••••.•••••.••••••••.•••••••••••••••••••••••••• 530
N. ELKAROUI. Processus de reflexion dans Rn ••••••••.••••••••••••• 534
P.A. MEYER. Une remarque sur les processus de Markov ••••••••••••• 555
P.A. MEYER. Retour aux retournements ••••••••••••••••••••••••••••• 556
W. von WALDENFELS. Integral Partitions and Pair Interactions •.••• 565
E. KHALILI-FRANCON. Correction à ftprocessus de Galton-WatsonN •••• 589
+ These lectures were only available in the form of resumés ~ithout proofs. Such resumés being contrary to the policy of the series, they were rejected by the editors of the series.
Université de Strasbourg Séminaire de Probabilités
QUESTIONS DE THEORIE DES FLOTS
1974/75
Nous présentons sous ce titre, d'une part sept exposés d'un séminaire consacré aux flots, qui a eu lieu pendant l'année uni­ versitaire 1972/73, et dont les conférenciers étaient J. de Sam Lazaro et P.A.Meyer, et l'auditeur J. Bretagnolle, et d'autre part un travail récent d'A.Benveniste.
Ces deux parties peuvent être lues indépendamment l'une de l'au­ tre. En fait, elles se recouvrent partiellement. Le travail de Benveniste reprend certaines questions traitées dans les exposés, avec des améliorations techniques et une plus grande généralité, et d'autre part résout plusieurs problèmes laissés ouverts dans le séminaire.
Le lecteur pourra en outre se reporter à un article de J.Lazaro, • sur les hélices du flot spécial sous une fonction", à paraitre dans le Z. fur W-theorie. Cet article est résumé, sans détails de démonstration, dans l'exposé VI.
Université de Strasbourg Séminaire de Probabilités 1971/72
QUESTIONS DE THEORIE DES FLOTS (1) par J. de SAM LAZARO et P .A.MEYER
Il Y a beaucoup de livres et de séminaires de théorie ergodique. Mais la théorie ergodique qui s'y trouve est plus proche, dans bien des cas, de la théorie des groupes que de celle des processus sto­ chastiques, car il y manque l'idée probabiliste essentielle: celle d'une évolution dans la temps. Si l'on regarde par exemple les admi­ rables théorèmes récents sur les isomorphismes de flots de BERNOULLI, on constate que ces isomorphismes semblent détruire complètement la structure temporelle du processus ( savoir s'il en est nécessairement ainsi, ou si cela tient à la démonstration, est un autre problème ~ ).
Ce séminaire-ci, tenu à Strasbourg à partir de Mars 1972, avait pour objet l'étude de mémoires récents concernant les aspects proba­ bilistes de la théorie des flots. Nous ne publions ici qu'une partie
des exposés, la moitié environ. Les résultats nouveaux seront si­ gnalés au passage ( on les trouvera surtout dans les derniers expo­ sés, où l'on présente une partie de la thèse du premier auteur ; les spécialistes ont dégonflé nos illusions quant à l'originalité des premiers exposés ).
1. DICTIONNAIRE
Malgré le titre, les définitions ci-dessous ne figurent pas dans l'ordre alphabétique. Nous avons cherché à indiquer un langage com­ mode, et non à couvrir des situations très générales, ce qui explique que plusieurs termes soient pris.en un sens plus restrictif que d' habitude.
DEFINITIONS ~~~gmg~g~~m~ d'un espace mesurable (O,~) : bijection s : O~ 0 ,
mesurable ainsi que son inverse.
~~~gmg~gg~~m~ d'un espace mesuré (O,~,~)
mesure.
il préserve de plus la
~~g~=~è~~~~! ou ~~~~~de : groupe (On)neZ d'automorphismes. Cette notion se réduit en fait à celle d'aufomorphisme, car si l'on pose g1=s , on a g =sn pour tout neZ. Il n'en va pas de même dans le n ..., cas continu :
~~g~ sur (O,~,~) : groupe à un paramètre (gt)tem d'automorphismes de (O,~,~). Cette définition est trop générale, et nOUS nous
3
intéresserons seulement, en principe, à la situation suivante : - La mesure ~ est bornée • - Il existe une sous-tribu ~o de ~ telle que & soit la tribu oomplé-
tée de &0 pour ~ , et que l'applioation (t,IIl)-.;..Qtlll soit mesura­ ble de la tribu produit B(m)xAO dans AO.
=1 = 1= - Le flot est oontinu1dans L (pour feL (J1), Ilf oGt -fl11 ~ 0 avec t - Enfin, il nous arrivera de supposer que ~o est une tribu de BLACK-
vŒLL. Pour ne pas suroharger l'exposé à oette plaoe-ci, nous ren­ verrons le lecteur à l'appendice sur les tribus de BLACKWELL, à la fin de l'exposé.
Sauf mention expresse du contraire, ohaque fois que nous parlons d'un flot ( en temps continu) dans la suite, nous supposons que les trois premières propriétés ci-dessus sont satisfaites. L'utilisation de la quatrième sera toujours explicitement signalée. Il faut également no­ ter que la théorie en temps continu, avec une mesure ~ bOrnée. nous amènera parfois à des situations disc~ètes sur des espaces mesurés a-finis.
~~g~g~~~~~~~=~~=~ég~~. Nous choisissons la définition la plus faible possible, à la manière de l'équivalence en loi des processus. A tout flot ~o:~:~, (Gt)te~ ), on peut faire correspondre un objet algébri­ que (~,~,Qt ) comme suit soit ~ la classe des ensembles ~-négli­ geables ;! sera l'algèbre de Boole ~/~ , munie de la mesure bornée ~ d~duite de ~ par passage au quotient ; d'autre part, les applica­ tions A~ Qï1(A) de & dans ~ passent au quotient suivant ~, donnant un groupe d'automorphismes Ôt de (~ ,~ ). On di~ alors que deux flots sont isomorphes si les objets algébriques (!,~,Qt) sont algébriquement
isomorphes. Il est clair que deux flots isomorphes au sens banal ( existence d' une bijection ensembliste, bimesurable, préservant la mesure et commu­ tant avec les flots ) sont isomorphes en ce sens. Clair aussi qu'un flot est isomorphe à sa restriction à une partie 0' de Q , ~-mesura­
ble, stable par les Qt et portant ~ • Ce sont les deux prooédés qui permettent, en pratique, de montrer que deux flots sont isomorphes. On peut pro.ver, en fait, que deux flots sur de bons espaces mesurés, isomorphes au sens précédent, admettent des restrictions isomorphes au sens banal. Mais nous n'aurons pas besoin de ce résultat.
DEFINITIONS 2 On se borne au cas continu.
~~~~m~~~=~~x~~~an~ par le flot: ensemble Ae~ tel que Qï1(A)=A pour tout t. On a une notion de flot induit sur un ensemble invariant A.
Cl·ette hypothèse est en fait une cons&quence de la prf!c&den te.
4
Les ensembles invariants forment une tribu l : si cette tribu est ==
~-dégénérée, le flot est dit ergodique • Nous reviendrons sur cette question au paragraphe II.
~~~g~=~~X~~~~~~ : tribu g~ telle que 0t1(g)C g pour tout t - donc en fait 0t (g)=G • On a une notion de flot induit sur g ( les flots isomorphes à un tel flot induit sur une tribu invariante sont sou­ vent appelés facteurs du flot donné ). Noter que la mesurabilité de l'application (t,w)~ 0tW peut se perdre dans cette transfor­ mation, et consulter l'appendice.
~~~g~=èè~~~~t~ : tribu ~~ telle que 0t1(~)~ pour t~O. On pose alors pour tout t ~t=Otr (!O) ( donc ~s+t=Ot1 (~s» : c'est une famil­ le croissante de tribus telle que !~O ' et l'on définit !-CD =~ !t' ~+CD == ~ ~t ' deux tribus invariantes.
La donnée d'une tribu filtrante F est une filtration du flot. La = filtration est dite exhaustive si F =A aux ensembles ~-nég1ige~b1es
=CD = pres.
On part souvent d'une tribu filtrante EO ( non nécessairement contenue dans '0 ! ) et on prend pour ~ la complétée de !O ~ !,
qui contient donc tous les ensembles ~-nég1igeab1es. Noter que dans ce cas ~t = ~t+ pour tout t, car si f est l'indicatrice d'un élément de ~t+ ' foO_& est ~l=mesurable pour tout &>0, donc f l'est aussi par convergence dans L • En revanche, la famille (~t) n'est pas forcément continue à droite.
L'objet essentiel de ce séminaire est l'étude des flots filtrés, la donnée d'une filtration introduisant une notion de "passé à l'instant tIf , qui fait que le temps n'est plus seulement un élément d'un groupe commutatif, mais bien un temps au sens '~hysique" du terme.
~~èè~~~~~èon : la tribu !-CD est dégénérée pour ~ • ~~è~g~ : flot admettant une K-fi1tration exhaustive •
Noter la différence entre ces deux notions : dans le premier cas, on considère une propriété d'une filtration donnée , dans le second cas, une propriété d'un flot.
Au lieu de K- filtration, on dit parfois filtration purement sto­ chastique, ou purement indéterministe ; une filtration est dite(pure­ ment)déterministe si !-oo= ~+CD aux ensembles de mesure nulle près. Par exemple, la filtration triviale : !t=! pour tout t • E~g~~~~~~=~~~~èg~~~~ dans un flot : processus (Xt)tem à valeurs
dans un espace d'états (E,~), tel que XsOOt = Xs+t identiquement.
5
Un tel processus est stationnaire au sens usuel ( en loi ), mais il s'agit ici d'une notion beaucoup plus précise, puisqu.'on se donne le flot sous-jacent. Chaque fois que l'on se donne un processus sta­ tionnaire, il lui correspond une filtration du flot, au moyen de la famille de tribus "naturelle" du processus (1.1) ~t = ~( Xs ' -co <S~ )
I~versement, si ~ est une tribu filtrante, (~t) est la famille de tribus naturelle du processus stationnaire (Xt ) ainsi défini
Xt=Ot ' considérée comme application de (n,~) dans (n,~). Cependant, il existe des processus stationnaires, mettons réels,
qui ne sont pas du tout triviaux et tels pourtant que ~IXt#OI=O pour tout t. La famille de tribus naturelle d'un tel processus est alors dégénérée. Nous en verrons des exemples très importants par la suite.
~gg~!~~=!=~gg~è~~~~R~~=~~~~èg~~~~, g~=~~~!g~ tout processus (Zt)t.~ l valeurs réelles finies, continu à droite, tel que ZOcO et satisfaisant l l'identité suivante (1.2) Zt+h-ZS+h a (Zt-ZS)oQh quels que soient s,t,h
Dans le cas d'un flot filtré, nous réserverons le nom d'hélice aux processus (Zt) tels que Zt soit Et-mesurable pour tout ~O •
Traditionnellement, les hélices ci-dessus sont appelées hélices parfaites , le mot hélice désignant des processus satisfaisant à (1.2) avec un ensemble exceptionnel négligeable ( dépendant de h). Nous continuerons dans ces exposés l utiliser le mot "parfaite fi de maniêre informelle.
2. THEOREME ERGODIQUE. APPLICATION AUX PROCESSUS PONCTUELS
La forme discrète du théorème ergodique est très bien connue, et nous cherchons surtout, dans ce paragraphe, à donner une démons­ tration rapide de la forme continue, et du théorème ergodique local. Nous en donnerons ensuite une application aux processus ponctuels discrets. Notations • (n,A,~) est un espace mesuré ~ , s un automorphisme.
- k Nous posons Sf = fos , Ckf = (f+Sf+ ••• +S f)/k+l. De même, si (Ot) est un flot, on pose Ttf= fOOt et Mtf = t/tTsf ds [ si f est ~o-mesurable bornée, ........ foOsw est borélienne pou~ tout w, et Mtf ~o-mesurable ; si f est A-mesurable bornée, sr-+ foO w est Iœsurable au sens de Lebes-= s gue pour ~-presque tout w, et Mtf, définie ~-P.P., est ~-mesurable ; extension facile à f positive et à feL1 J.
6
On rappelle le lemme de HOPF ( dont il existe une démonstration très simple, due à GARSIA ) : si feL l , si A est invariant par s, on a pour tout n ~ 0
1 An! sup
1 f djl ~ a.jl(Anj ••• !) Anj sup Cë > al
k~
Passons au flot : prenons heLl et prenons s=G , A invariant par 2-flt
rapport au flot, donc avec heLl • La formule
aussi pour s, et f = 2-nt/2- nt hoG du o u
précédente s'écrit
1 f djl ~ ajl(Anj ••• I) Anjsup M h > a 1
k~n k2-n t
Soit e>O ; pour ~N suffisamment grand on a lif-hlll<e, et alors
in! sup ~ _ h > a Ih djl ~ ajl(An! ••• I)-e k<2n -11:2 flt
Faisons tendre=n vers +00 : la fonction M.h(w) est continue pour pro tout w, et l'ensemble j ••• 1 tend p.s. en croissant vers sup Msh >al Comme e est arbitraire, on a étendu le lemme de HOPF au s~
cas continu :
Ll LEMME. Si A est invariant pour le flot, et heL l , ~
( 2.1)
sd s même =
On fait maintenant tendre t vers +00 : les inégalités restent vraies. Puis on prend A= { lim inf M h<b<a<lim sup M hl, et on
s~oo s s~ s voit que jl(A)=O, d'où l'on déduit que Msh converge jl-p.s. lorsque s~+oo. La convergence dans Ll (jl) vers E[hl~), l'espérance condition­ nelle de h par rapport à la tribu ~ des ensembles invariants, peut se démontrer très rapidement : voir M.SMORODINSKY , Ergodic theory, entropy, p.l0 ( Lecture Notes in M. vol 214, 1971 ). On a ainsi étendu aux flots le théorème ergodique :
Tl THEOREME. Si heL1, M h converge p.s. et dans Ll ~ E[hl __ I] lorsque - s
s-o>+oo •
Il est aussi facile d'en déduire le théorème ergodique local
T2 THEOREME. Si heL1, Mth converge p.s. et dans L1 ~ h lorsque t+O. DEMONSTRATION. Soit ~ le sous-espace de L1 formé des h tels que Mth ~h p.s. lorsque t~O. On vérifie aussitôt que ~ contient les fonc- tions de la forme ID
h= À/ e-ÀsT f ds (f bornée, À>Ü) o s car pour celles-ci Tth ~h partout lorsque t .. O. On en déduit aisé­ ment que ~ est dense dans L1• Soit alors heL1, et soient hn des élé­ ments de ~ tels que ~h-hnI1 ~ 4-n • Si nous appliquons le lemme de
HOPF à Ih-hnl, nous obtenons
2-n~1 sup lM h-M hl> 2-n l ~ 4-n sas n
D'après le lemme de Borel-Cantelli, la fonction M h converge p.s. • n unifOrmément vers M h, et la relation MO+h =h p.s. passe à la limite. • n n Donc ~=L1 • La convergence dans L1 est immédiate d'après l'hypothèse
- 1 de continuité du flot dans L •
PROCESSUS PONCTUELS DISCRETS Nous revenons à un flot (O,~,P,(Ot», ~ étant la P-complétion de
~o, les hypothèses du début étant satisfaites. Nous considérons un
processus stationnaire (Xt ) à valeurs dans un espace mesurable (~,!),
dans lequel on distingue un point noté 0 , l'ensemble làl étant mesu­ rable. La fonction (t,lII)t-;>Xt (w) est supposée mesurable ( c'est toujours le cas si Xo est ~o-mesurable ). Nous supposons ~e (Xt ) possède la propriété suivante
pour tout weO, l'ensemble P(w) = 1 t : Xt(w)~ol est sans point d' accumulation à distance finie
Nous noterons E le complémentaire de 0 : seules les " apparitions ft du processus dans E nous intéDessent ( nous les appellerons points , ou ~ ) ; le point 0 n'est qu'un artifice pour travailler sur des trajectoires partout définies. Un tel processus est appelé un proces­ sus ponctuel discret à valeurs dans E.
L'ensemble H des w tels que P(w) = rj; est évidemment invariant. Le processus (Xt ) étant supposé mesurable, l'ensemble
1 w : :1 t , Xi; (w) là 1 = HC
est projection sur 0 de l'ensemble ~(E)~-mesurable l(t,w):Xt(w)~ol : il est donc ~-mesurable. Nous pouvons donc restreindre le flot à HC ,
qui est l'ensemble intéressant, et supposer que pour tout weO l'ensem­ ble des sauts est non vide.
Soi t Nt (w) le nombre des "points ft entre le s instants 0 ( exclu ) et t~ ( inclus ). Un argument de projection (mesurabilité des temps d'entrée) montre que la fonction
8
T1(oo) = inf 1 t>O : Xt(oo)~a est ~-mesurable, et ( par récurrence ) que les fonctions
Tk(oo) = inf 1 t>Tk_1(oo) : Xt(oo)~31
sont ~-mesurables. Il en résulte que Nt est ~-mesùrable ( car lNt~kl
= lTk~I). Soit r>Ü ; appliquons le théorème ergodique à l'auto­ morphisme 0t et à NtAr e L1 • Il vient
li;~~ N~t ~ E[ NtAr I~t] p-P.s. , donc ~ E[Ntl~t] P-p.s.
où ~t est la tribu des ensembles 0t-invariants. Sur l'ensemble où Nt>O, E[Ntl~t] est aussi P-p.s. >0 , et donc Nkt ~+ 00 avec k p-P.s •• Comme nous nous sommes restreints à HC , nous avons Nt>O pour tassez grand, et donc Nt~+oo (t~oo) P-P.s. , et l'ensemble des "points· n'est p-P.s. pas borné supérieurement. Un raisonnement semblable du côté négatif montre qu'il n'est pas non plus borné inférieurement. Nous avons établi le résultat suivant
P1 PROPOSITION. Si (Xt ) est un processus ponctuel discret sur 0 , 0 peut être partagé en trois ensembles invariants ~-mesurables
1) L'ensemble des ooeO pour lesquels P(oo), l'ensemble des points du processus ponctuel, est vide
2) L'ensemble des 00 tels que P(oo) soit non vide, et borné soit supérieurement , soit inférieurement
3) L'ensemble des 00 tels gue P(oo) ne soit borné ni à droite, ni à gauche • Le second ensemble est de mesure nulle.
[ On rappelle que la mesure Pest bornée ]
DESCRIPTION D'UN PROCESSUS PONCTUEL Après cette application du théorème ergodique, nous reprenons un
processus ponctuel discret (Xt ) sur (O,~,P,(Ot»' à valeurs dans E, et nous supposons que P(oo) est non-borné pour tout 00 ( ce qui revient à se restreindre au troisième ensemble invariant ci-dessus ). Nous allons introduire diverses notations importantes pour la suite •
a) Pour t positif, nous avons déjà défini Nt (00) comme le nombre d' éléments de p(oo)n]O,t] ; pour t<O, -Nt (00) sera le nombre d'élé­ ments de p(oo)n]t,O]. Il est facile de voir que, dans ces condi­ tions, (Nt) est une hélice du flot.
b) Pour tout k>O , nous avons défini Tk(oo) par T1(oo) = inf lt>ü, Xt(w)~31 , Tk+1(oo) = inf It>Tk(w), Xt(oo)~ol
Nous prolongeons ces définitions en posant du côté gauche
9
TO(w) = sup 1 t~ , Xt(w)~ol , Tk_l (w) = sup {t<Tk(w), Xt(w)~ol
Comme nous nous sommes restreints à un ensemble invariant convenablel les v.a. Tn sont toutes finies, et Tn ~ ± 00 avec n.
c) Nous poserons Xn(w) = ~ (w)(w) , fonction cessus (Xt ) étant mesuraRle , et chaque T
n n v.a. ~o-mesurable, X est ~-mesurable pour
à valeUB dans E. Le pro­ étant égal P-p.s. à une tout n •
d) Nous commen90ns par remarquer que la "famille de du processus (Xt ), au sens usuel, est dégénérée.
est une constante c, égale aussi à 11PIXt~oldt • Si o
tribus naturelle" En effet, PIXt~ol c était >0, le
théorème de Fubini nous donnerait que pour certains w 1 t : Xt(w)~ol est de mesure de Lebesgue >0, alors que cet ensemble est dénombrable.
Néanmoins, un processus ponctuel discret donne lieu à une filtra­ tion intéressante : définissons FO comme la tribu engendrée par les v.a. Tn et Xn pour n~O. Soit te~=; on a pour tout m
Tm(Otw) = Tm+k(w)-t
Xm(Otw) Xm+k(w) (2.3)
où k=k(w) est l'unique entier tel que Tk(w)~<Tk+1(w). Lorsque t~O, w~(w) est ~o-mesurable, et k est ~O • Il en résulte que TnoOt et xnoOt sont ~o-mesurables pour n~ , et cela signifie que ~o est une tribu filtrante. Cette filtration est dite associée au processus ponc­ tuel discret (Xt ) •
On peut expliciter un peu les tribus ~t pour t~ :
L2 LEMME. Si t~O, g;t est identique à la tribu g engendrée par les v.a.
(2.4) T' = T At x'm = XT' pour meZ m m m oN
DEI10NSTRATION sommaire). Par définition, g;t est engendrée par les v.a. TnoOt ' xnoOt (n~). Compte tenu de (2.3), l'entier k(w) est positif, et peut être caractérisé par les inégalités T_k(Otw)~-t <T_k+l (Gt w) ( la seconde inégalité étant inutile si To(Gtw)~-t , de sorte qu'on n'a pas besoin de Tl ). L'application w,->k(w) est donc ~t-mesurable, et on en déduit sans peine, par (2.3), que les v.a. (2.4) sont ~t-mesurables.
Dans l'autre sens: soit j le plus petit entier tel que T~(w)~t. On a k(w)=j-1 si x'j(w)=è , k(w)=j si x'j(w)~è Donc W~k(~) e;t ~-mesurable, et on déduit alors de (2.3) que les TnoGt , XnoGt sont g-mesurables.
Sinon, certains Tn valent +00 (n>O) ou -00 (n$Ü). On conviendra que les Xn correspondants sont égaux à è.
10
Nous conservons les notations précédentes, et supposons toujours que l'ensemble P(w) des" points" est non borné à droite et à gau­ che pour tout w.
Désignons par 0 l'ensemble de toutes les applications w de R dans Eu{al, qui ne prennent une valeur différente de a qu'aux points d' un ensemble P(w), sans point d'accumulation à distance finie, non borné des deux côtés. Cet ensemble admet un groupe d'automorphis­ mes ( ensemblistes ) évident : les translations Gt • Pour le munir d'une tribu, nous numérotons les "points' selon le procédé indiqué plus haut, ce qui nous donne des applications T de 0 dans R , Xm _ m
de 0 dans E • Nous notons alors ~o la tribu engendrée par toutes ces applications. Les formules (2.3) permettent de voir aisément que les Gt sont mesurables, et même ( par continuité à droite) que l'application (t,w)~ Gtw est mesurable. Nous laisserons de côté les questions de filtration pour l'instant.
A tout weO associons sa trajectoire t~ Xt(w) pour le processus ponctuel discret (Xt ), trajectoire que nous noterons ~(w)eO • L'ap­ plication ~ est mesurable de (o,!) dans (~,~O), d'où une loi image p = ~(P). Le système (O,iO,~,(Gt» est un fïot , pour lequel le pro­ cessus (Xt)tell. des applications coordonnées sur 0 est un pro'cessus ponctuel discret: la version canonigue du processus (Xt ).
Soit H l'ensemble des suites (tn)neZ de nombres réels, telles que tn<tn+1 pour tout n , lim tn = :1: 00 W pour n...,.:l:oo , tO;:P<t1 • Alors l'application w ~ (Tm,(w) ,Xm(w) )meZ est une bijection de o sur HxE~ • On peut écrire l'action des-opérateurs de translation sur ce dernier espace, grâce aux formules (2.3), mais c'est un peu moins facile que sur 0 . Toutes ces remarques sont bien connues, et ont par exemple été exposées par NEVEU dans ses notes sur les proces­ sus ponctuels (C.R. t.267, 1968, p.561) •
3. FLOT SOUS t~ FONCTION
Nous en arrivons maintenant à la troisième notion importante de cet exposé, celle de flot sous une fonction. Il s'agit d'une notion déjà ancienne , due à W.AMBROSE ( Representation of ergodic flows, Ann. of M. 42, 1941, p.723-739 ), et sans doute même antérieure ( il parait que von NEUMANN s'y était intéressé) : AMBROSE montrait que tout flot ergodigue était isomorphe à un flot sous une fonction, ce qui paraissait ramener une bonne partie de la théorie des flots à la théorie ergodique (discrète) ordinaire. Le théorème d'~rnROSE a
11
été étendu par AMBROSE-KAKUTANI à des flots non ergodique s très généraux ( Structure and continuity of measurable flows, Duke M.J. 9, 1952, p.25-42 ). Nous parlerons plus loin de ces théorèmes de représentation.
Dans ce paragraphe, nous allons décrire les flots sous une fonc­ tion, et d'abord montrer que ce sont effectivement des flots : la forme définitive de l'exposé doit beaucoup à une conversation avec NEVEU. Dans l'exposé suivant, nous présenterons les relations entre les flots sous une fonction et les processus ponctuels discrets, et les applications à la structure de ceux-ci.
NOTATIONS. (n,~,~) est un espace mesuré a-fini, muni d'un automor­ phisme s ; f est une fonction mesurable sur n , partout finie et partout >0 • Nous supposerons d'habitude que Ifd~=1 , mais une bon­ ne partie des résultats reste valable sans cette hypothèse. On dé­ finit les itérées de f par
fOcO , f 1=f, f n= f+fos+ ••• + fos n-1
(3.1) -1 -1 -n f_1=-fos f~= -fos ••• -fos
et nous supposerons gue f n ~ ±oo ~ n • L'ensemble où cette pro­ priété est d'ailleurs un ensemble invariant pour s, auquel on peut restreindre le flot discret, et si la mesure ~ est finie on peut être certain qu'il porte ~ ( car le théorème ergodique entraine que
f ~ ? > a ~-p.s. , donc fno+ +oop.s. pour no+oo, et de mêne à gau- che ).
Nous posons 0 = OxE , avec ! =~(E) , et la mesure ~ = ~®L (mesu­ re de Lebesgue ). Nous partageons n en les ensembles On =I(y,u) : fn(y)~<fn+1(y)l, parmi lesquels nous distinguons
(3.2) ~ = 00 = I(y,u) : O~<f(y) 1
que nous munissons de la tribu induite ~ et de la mesure induite p = ~I , de masse Ifd~ ( P sera d'habitude une loi de probabilité ).
~ On construit sur 0 les applications
(3.3)
(3.4)
ë(y,u) = (sy, u-f(y»
il est facile de calculer ëk(y,u)= (sky, u-fk(y», pour ke~ ; ces applications forment un groupe discret d'automorphismes de (O,~).
Du point de vue de la mesure, si h(y,u) est une fonction positive de la forme a(y)b(u), on a
12
< jl, hos > ! a(sy)b(u-f(sY)jl(dy)du = !a(sY)jl(dy).!b(u)du
et on en déduit que s préserve ~ si et seulement si s préserve jl •
Soit (y,u)eOn ; on a fn(Y)~$f +1(y), donc f (y)+f(s-1 Y)$ u + 1 1 --n n 1 -
f(s- y) < f n+1(y)+f(s- y), ou f n+1(s-1 y ) ~ u+f(s- y)<fn+2(s-1 y ), et finalement s-1(y,u)eon+1 • L'application s-1 fait donc Wmonter d'un échelon" , l'application s descendre d'un échelon. Donc (5 rencontre toute orbite du groupe (sk) suivant un point unique. Si nous notons R la relation d'équivalence dont les classes sont les orbites du groupe, nous pouvons identifier O/R à (5 •
Remarquons maintenant que les applications 0t sont compatibles avec R : si (x,u) = (y,v) modo R , il existe un k tel que x=sky et u = v-fk(y), et alors u+t = v+t-fk(y) • D'où par passage au quotient un groupe d'automorphismes de l'ensemble O/R = (5 , que l'on peut expliCiter
(3.5) si (y,u)eO k s y, u+t-fk(y» k étant tel que fk(y) ~ u+t < f k+1(y)
Voici le résultat principal de ce paragraphe.
P2 PROPOSITION. Si s préserve jl , les Qt préservent p • Inversement, si P est une mesure bornée sur Ô , invariante par les 0t' alors il exis­ te une mesure jl cr-finie sur () , invariante par s, telle gue P=jl®,e1o.
[ La condition que P soit bornée est trop forte démonstration ]
examiner la
la périodifiée de : ll' = r sk(p)
ne#.-
la mesure P sur 0 , par
Si l'on part de jl , que l'on forme ~, puis P, puis ll' , on a F= jl si et seulement si s préserve ~ , i.e. si s préserve jl. Soit A CO; deux éléments de A ne sont pas congrus modo R , donc deux élé­ ments de B=~t1(A) non plus, et les ensembles C =SU(Bno ) qu'on ob-n n tient en les ramenant dans 0 sont disjoints • Leur réunion est 0t1(A). On a P(A)=ll'(A), tandis que
p(Q~1 (A» = r P(Cn ) = r < s-n(p). BnOn> = L < s-n(p),B >
= 15(B) = P(Gt 1 (A» Ainsi P est invariante par (Ot) si et seulement si P(A)=15(Gt1(A» pour AGO , mais ll' étant périodique cela équivaut simplement à l'in­ variance de 15 par (Gt ).
Ces remarques étant faites , on peut conclure
13
a) Si ~ est invariante par s , on a p=~ invariante par les ~ , et ~ t
P est invariante par les Gt •
b) Si P est invariante par les Gt ' P est invariante par les 0t. Soit ~ la mesure sur 0 At-+P(Ax[O,1]) ; on a aussi ~(A)=
ip(Ax[O,t]) pour tout t rationnel, puis réel. On en déduit que ~ est a-finie : en effet f est partout > 0, donc la réunion des ensem­ bles Fn=!f>1/n! est 0 tout entier, et d'autre part Fnx[O,1/n] en, donc ~(F.n) = rJI'(FnX[O,1/n]);;;: nllFIi < (J) : c'est le seul point où intervient le caractère borné de P • Du fait que P est invariante par les 0t' on déduit alors immédiatement que P=~®L = ~ , et alors l'invariance de P par s signifie que ~ est invariante par s •
DEFINITION. Si ~ est invariante par s, le système (0,!,P,(Ot» est appelé le flot bâti sous la fonction f , au dessus du flot discret (o,~,~,s).
Les notations seront légèrement modifiées par la suite, et on fera les rappels nécessaires : ne pas chercher à les retenir • Il faut signaler que la seconde partie de la proposition ( existence de ~ ) est plus importante que la première.
On poursuit cette étude dans l'exposé II •
APPENDICE : ESPACES DE BLACKWELL
Les ergodiciens ont l'habitude de travailler sur une classe de "bons" espaces probabilisés, qu'ils appellent • Lebesgue spaces" ( à vrai dire, il s'agit d'une terminologie russe ). Il s'agit mal­ heureusement d'une notion qui n'est guère utilisée hors de la théo­ rie ergodique. Nous la remplacerons par la notion d'espace de BLACK­ WELL, qui couvre à peu près tous les espaces usuels des probabilités. Pour les détails, voir MEYER, Probabilités et Potentiels, chap.III.
Un espace mesurable (o,~) est dit de BLACKWELL si la tribu ~ est séparable, et si pour toute v.a. réelle X, l'image X(o) est une partie analytique ( souslinienne ) de ~. Une sous-tribu séparable d'une tribu de BLACKWELL est encore une tribu de BLACKWELL ( c'est évident) ; un produit dénombrable de tribus de BLACKWELL est une tribu de BLACKWELL ( c'est moins évident ••• ) ; si ~ est une tribu de BLACKWELL, la tribu induite par ~ sur O'e~ est une tribu de BLACKWELL ( évident ). Enfin, si E est un espace polonais, sa tribu borélienne est de BLACKWELL.
14
Quelle est l'utilité des espaces de BLACKWELL ? Elle tient sur­ tout au théorème suivant :
T3 THEOREME. Soient (O,~) un espace de BLACKWELL, ~ une sous-tribu séparable de ~ , X une v.a. réelle ~-mesurable. Si X est constan­ te sur chaque atome de ~ , X est ~-mesurable.
Voici un exemple d'application. Donnons nous un flot (O,~o,P,
(Ot» , ~Oétant une tribu de BLACKWELL. L'application (t,w)~OtW est mesurable de ~(~)x~o dans ~o, donc si Ke~O , X(t,w)=IKOOtw est mesurable par rapport à la tribu de BLACKWELL ~(~)x~O • Soit ~ une sous-tribu invariante séparable ; prenons Ke~ • Deux points (t,w) (t',w') de ~O appartiennent au même atome de ~(~)x~ si et seule­ ment si t=t' et w et w' appartiennent au même atome de ~, mais alors il en est de même de 0tW et 0t'W', et IKOOtw=IKoGt'W', X est cons­ tante sur les atomes de ~(~)x~ , et l'application (t,w)~GtW est mesurable lorsqu'on restreint la tribu sur 0 à ~.
Si l'on considère un espace de BLACKWELL~,~), et que l'on construit la version canonique d'un processus ponctuel discret à valeurs dans E, l'espace de base de cette version s'identifie à un sous-ensemble borélien de ~~E~ : c'est donc un espace de BLACKWELL.
Université de Strasbourg Séminaire de Probabilités
QUESTIONS DE THEORIE DES FLOTS (II)
par J. de SAM LAZARO et P .A.MEYER
1971/72
Nous continuons l'étude des flots sous une fonction et des pro­ cessus ponctuels discrets, commencée dans l'exposé I. Nous commen­ ~ons par montrer que ces deux notions sont, en fait, absolu~ent équivalentes • La caractérisation des flots sous une fonction don­ née dans l'exposé l, Prop.2, donne alors un résultat fondamental de la théorie des processus ponctuels discrets, par simple traduc­ tion : l'existence de la mesure de PALM d'un processus ponctuel. NEVEU nous a signalé que cette présentation de la théorie de la mesure de PALM, que nous croyions nouvelle, avait été développée par HANEN ( Processus ponctuels stationnaires et flots spéciaux. Ann. Institut Henri Poincaré, 7, 1971, p.23-30 ).
Nous consacrons ensuite un paragraphe à la filtration du flot sous une fonction. Enfin, le paragraphe 3 est consacré au théorème de représentation d'AMBROSE-KAKUTANI : tout flot ( filtré) raison­ nable est isomorphe à un flot sous une fonction. Mais nous n'avons pas vraiment besoin de ce résultat, et le paragraphe est rédigé sous forme de bavardage mondain •
1. ~ŒSURE DE PALM D'UN PROCESSUS PONCTUEL DISCRET
PROCESSUS PONCTUELS DISCRETS = FLOTS SOUS UNE FONCTION
Nous n'insisterons pas ici sur le fait que le flot sous une fonction contient un processus ponctuel discret naturel ( les " points" correspondant aux discontinuités de la composante tem­ porelle ) : nous verrons cela en détail plus loin. Nous nous occu­ pons ici de la démarche inverse , consistant à interpréter le flot d'un processus ponctuel discret comme un flot sous une fonction.
Nous considérons un flot (O,~O,P,(Gt» ; l'application (t,w) ~> Gtw est ~(~)x~O-mesurable ; nous notons ~* la complétion univer­ selle de ~o, ~ la complétion de ~o pour p. Soit (Xt ) un processus ponctuel discret, stationnaire, à valeurs dans (E,~). Plutôt que d' exiger la mesurabilité de (t,w)~ Xt(w), nous exigerons ( ce qui est plus facile à vérifier, et se prête aussi bien aux démonstra­ tions ) que les v.a. Tn,Xn correspondantes soient ~*-mesurables.
16
Nous commencerons par supposer que pour tout w l'ensemble P(w) des sauts est non borné des deux côtés. Mais ce n'est pas indis­ pensable, et nous lèverons cette hypothèse par la suite.
Désignons maintenant par W le sous-ensemble de 0 formé des weO
tels que TO(w)=O , i.e. des w qui sautent à l'instant O. C'est un ensemble de mesure nulle pour p. Nous le munirons de la tribu in­
duite par ~* • Si weW , nous poserons sw = GT ( )w e W, de sorte ) n 1 Wu 1 que Tn(sw = Tn+1 (w)-T 1 (w) , et que X (sw) = X + (w) : s est
mesurable de W dans W, et c'est en fait une bijection mesurable,
toutes les puissances de s s'écrivant snw = GTn(w)W (ne~). On pose aussi f(w)= T1(w), c'est une fonction partout >0 sur W, finie.
Formons W = Wx~ , dans lequel nous distinguons comme dans l'ex­ posé l les "boites" Wn ' W =W1 ; introduisons les Gt sur W , les Gt sur W , l'application s , la relation d'équivalence R. Et maintenant, définissons une application de W dans 0 , mesurable d'après I.(2.3).
~ (w,u ) = Guw qui commute évidemment avec Gt et Gt (~t=Gt~) • ~ applique évidem­ ment W sur 0 , car tout w se ramène par translation(de n'importe quel t=Tn(w» dans l'ensemble W. La relation d'équivalence ~(w,u)=
~(w~,u') est exactement R , de s~rte que ~ = ~I~ est une bijection1
de W sur 0 • Elle commute avec Gt et Gt par passage au quotient. La mesure obtenue en ramenant P sur ~ est donc invariante par les
Gt ' et la proposition 2 nous dit qu'elle peut s'écrire ~®~ , où ~ est une mesure positive cr-finie sur W, invariante par s • On rap­ pelle que West muni de la tribu induite par ~* , non complétée pour p.
DEFINITION. La mesure ~ ~(W,~*) est la mesure de PALM du processus ponctuel discret.
Il est agréable de considérer ~ comme une mesure sur 0 portée par W • Lorsqu'on ne suppose pas que P(w) est non borné des deux côtés pour tout w , on se restreint simplement à l'ensemble 0 des o w tels que P(w) soit non borné, dans lequel on construit Wo comme ci-dessus, et la mesure de PALM est considérée comme une mesure sur o portée par Wo •
Le théorème suivant est une importante caractérisation de la mesure de PALM, due à rœCKE ( Station~re zurâllige Masze auf lokal­ kompakten Abelschen Gruppen, Z.W-th. 9, 1967, p.36.58). Rappelons
La bijection réciproque s'écrit w'-> (YT(w),-TO(w», elle est u
donc aussi mesurable.
17
que (Nt) est l'hélice croissante qui compte les sauts du processus ponctuel (Xt ) entre 0 et t ( exposé I, § 2 ). Nous devons remercier NEVEU de nous avoir fait connaitre l'article de MECKE.
Pour des raisons de simplicité, nous supposons à nouveau que P(w) est non borné pour tout w , mais les résultats s'étendent immé­ diatement au cas général •
Tl THEOREME. Soit h une fonction sur OXlll., &*~(lII.)-mesurable et positive. On a alors
+00 (1.1) E[! h(Qtw,t)dNt(w)] =! h(w,t)~(dw)dt
-CD Wxlll.
DEMONSTRATION. Identifions n à W. Le membre de gauche est l'espéran­ ce d'une somme, correspondant aux différents sauts du processus ponc­ tuel. Le premier terme est, par exemple
E[ h(QT w,T1(w)], sur W !h(sw,f(w)-u)~(dw)du 1 ~
de même E[ h(QT w,To(w)], sur W !h(w,-u)~(dw)du o
etc. On reconnait dans le membre de gauche l'intégrale de la fonc- tion h'(w,u)=h(w,-u) sur W , par rapport à la mesure périodifiée ~ de p. Mais celle-ci vaut ~®t • On change u en -u et on obtient le côté droit.
Cette formule a des corollaires importants. Le premier
T2 THEOREME. La masse totale de la mesure de PALM ~ ~ W est le g~~~~~~~ p=E[N1] du processus ponctuel ( le nombre moyen de sauts par unité de temps ). DEMONSTRATION. La formule (1.1) avec h(w,t) = I]O,l](t).
La supériorité de la formule (1.1) apparait bien lorsqu'on essaie de démontrer directement ce théorème : on se place sur W et on a
E[N1 ] = r:~ P!N1;;-k\ = r:~ ,I!fk(Y)_U~l\~(dY)dU
00 f(y) = r ! ~(dy)! du
1 0 f(y)A(fk (y)-l)
Le premier terme de cette somme est l'intégrale par rapport à ~ de f-(f-l)+ = fAl. On démontre alors par récurrence que la somme des k premiers termes est! fkAl d~ , et le théorème en résulte. C'est beaucoup plus compliqué que (1.1).
18
REMARQUE. La mesure de PALM n'est pas absolument continue par rap­ port à P ( d'où nos précautions quant aux complétions ). Cependant, si He~O est P-polaire, i.e. si le processus (IHoOt ) est P-indistin­ guable de 0, alors ~(H)=O : prendre dans la formule (1.1) h(w,t)= IH(w). Cela s'applique en particulier au cas où H est invariant et P(H)=O •
Ensuite, considérons un ensemble He~O ( on peut étendre cela à He!* , mais peu importe ). Définissons un nouveau processus ponc­
- H tuel Xt en posant
~(w) = Xt(w) si 0tW eH, X~(w) = è sinon.
On peut déterminer la mesure de PALM de ce processus ponctuel
T3 THEOREME. La mesure de PALM de (X~) m IH'~
DEMONSTRATION. Construisons l'hélice ~ qui compte les sauts de (X~ ) : on a d~ = IHOOtdNt ' et par conséquent, avec les nota­ tions de (1.1)
+00 +00 E[! h(OtW,t)d~(w)J = E[! h(Otw,t)IH(OtW)dNt(w) ]
-00 -00
=! h(w,t)IH(w)~(dw)dt Ox~
et on voit apparaitre à droite la mesure IH'~
D'où la valeur de ~(H) elle même : c'est le paramètre du processus croissant X~ •
INTERPRETATION DE LA MESURE DE PALM Identifions 0 à W • L'événement 1 il Y a au moins un"point'entre --e: et 0 1 est représenté dans W par la bande
Be: = !(w,t) : t<f(w)Ae: 1
Alors, pour tout HCW, ~*-mesurable
-e:1p(!(w,t) : weH , t<f(w)Ae:!)=! f(w)Ae: ~(dw) H e:
Si ~(H) < co, on peut appliquer du côté droit le théorème de conver­ gence dominée, et il vient
~(H) = lim ipi weH , t<f(w)Ae: e:-'3> 0 e:
En particulier, si le paramètre est fini, on peut appliquer ceci à H=O, et diviser, de sorte que
PlweH, t<f(x)Ae:! p!t<f(x)Ae: 1
o Le second membre est la probabili~ conditionnelle pour que X eH , sachant qu'il y a un saut entre -e; et O. D'où l'interprétation
19
intuitive de ~(H) : probabilité conditionnelle de H, sachant qu'il y a un " saut" à l'instant 0 •
2. FILTRATION DU FLOT SOUS UNE FONCTION
Nous revenons à la situation de l'exposé l : une " cascade" (O,!, s,~ ), une fonction f , et nous construisons le flot bâti sous f
(2.1) (2.2)
O~<f(y)
La notation a été légèrement changée: cette tribu n'étant pas com­ plétée, nous la munissons d'un 0 , et nous désignerons par! sa com­ plétée pour la mesure P=~®LI_ • De même, nous enlèverons les - au o dessus des opérateurs de translation 0t ' les dangers de confusion ayant disparu.
Nous nous donnons maintenant une tribu ~O sur 0 filtrant la cas­
cade : ~Oc & et s-1(~O)C&o ' et nous posons comme d'habitude ~n = sne!), famille croissante de tribus. Nous supposerons que &=~ ~n • Nous pouvons associer aux ~n les tribus sur 0
(2.3)
Nous noterons Xt la v.a. (y,u).- 0t(Y'u) sur (O,!), considérée IV _.
comme prenant ses valeurs dans (O'~O). La composante de Xt(y,u) sui- vant 0 sera notée Yt(y,u) [ par exemple, Yo(y,u)= y], et la compo­
sante suivant lIl., ~t(Y'u) [ ~ü(y,u)=uJ • On peut " dessiner" les trajectoires des deux processus 'Tt' Yt •
Celles de (~iI sont des fonctions en dents de scie, dont les sauts successifs sont les valeurs
Tk(y,u) = fk(y) - u et celles de (Yt ) des fonctions en escalier continues à droite.
20
L'application (t,w) t-YXt(iii') est donc mesurable pour la tribu ~(lII.)~O : si h(y,u) est une fonction ~Ü-mesurable de la forine a(y)b(u), où a est continue sur lII., b bornée sur (O,~O)' le processus hoXt est continu à droite, donc mesurable. Ün passe de là au cas général par le r aisonneme nt habitueL
Nous avons mentio~~é au §1 l'existence d'un processus ponctuel fondamental dans le flot sous f : c'est celui dont les instants de sauts sont les Tn ' l'espace d'états étant (E,~)=(O,~O)' et les positions aux instants de saut étant les v.a. yn = YT •
n
DEFINITION. La tribu ~O étant fixée sur 0 , on pose
(2.4) ~t = ~(Xs ' s~ ) ( famille naturelle du processus (Xt ) à valeurs dans (Ô,!Ü». Cette filtration est appelée la filtration naturelle du flot sous f, asso­ ciée à la filtration discrète~) sur 0 •
En fait, il est bon de distinguer les filtrations dues aux deux composantes
(2.5) GO T(Y s~ =t = s (2.6) HO = TC,. s~ =t = s
Ces filtrations ne sont vraiment utiles que si l'hypothèse sui­ vante, introduite par GUREVI~ ( Conditions pour l'existence d'une K-partition d'un flot spécial. Tr. Mosk. Mat. Obsc. 17. 89-116 (1967 » est satisfaite1•
P1 PROPOSITION 1. §! f est ~1-mesurable, ~ ~ü =!ü • La famille
(~t)' sans complétion, est continue à droite, et les Tn (n>O) ~
sont des temps d'arrêt • On a ~~ = !o._ Fo AO t FO -Ao t d Si f est ~O-mesurable, ~ =T _ = =0 ~ =T1= =1 ,e ans ce cas
le temps d'arrêt T1 est prévisiblé.
DEMONSTRATION. 1) Xo est ~Ü-mesurable par définition, donc ses deux coordonnées le sont. La première est (y,u)~ y , à valeurs dans
(O,~O)' la seconde (y,u)~u • Donc ~g~~.
Supposons f !1-mesurable, et établissons l'inclusion inverse. Toutes les fonctions (y,u) ...... > -u, (y,u),~ f(s-ky ) pour bO, sont !Ü-mesurables, donc aussi les fonctions (y,u) ........ Tn(y,u) (n~), et
1 Les résultats qui suivent sur la filtration du flot sous une fonction sont empruntés à l'un des mémoires ( non encore publié ) de la thèse de J. de Sam Lazaro, à l'exception bien sûr d'une ou deux remarques très simples, qui font partie du folklore des flots.
21
yn(y,u) = f(s-ny ) (n~ ). Il suffit alors d'écrire explicitement
les fonctions Tt(y,U), Yt(y,u) en fonction des T ,yn pour vérifier ~ n
que tous les Xt (t~O) sont ~O-mesurables, donc que ~O~O.
[ Il est agréable de savoir que la condition de mesurabilité ne
peut être améliorée. En effet, si les Tt (t~O ) sont ~O-mesurables, un instant de réflexion ( nécessaire à cause de l'absence de com­ plétion des tribus ) montrera que les T (n~) le sont aussi, donc
n ::1 aussi TO-T_1 • Autrement dit , (y,u) r-> fos (y) est ~O~(lI/.)-mes. sur ~ • Sous des hypothèses très faibles ( celles qu'on ajoutera ci-dessous) sur les tribus ~, ~O et sur f, cela entraine que foe- 1
est ~O-mesurable. ]
2) Soit (U,~P l'espace d'états (Oxll/. , ~OxB('R)), et soit (Zt) le processus (Yt,Tt-t ) à valeurs dans (U,~). La raison pour laquel­
le on a pris Tt-t est que le processus (Zt) est continu à droite pour
la topologie discrète sur U, et on a encore ~t=~(Zs's~). On va mon­
trer que ~t=~t+' Le cas t=O suffira.
Notons Z~ le processus Zt A1/n (tel!/. ), et Z; le processus ZtAO • Soit hune v.a. ~O+-mesurable, donc ~1/n -mesurable pour tout n • Il existe alors une fonction Hn sur Ul!/. muni de la tribu produit ~l!/., telle que
Soit H = lim inf H • Pour tout w on a pour n assez grand Zn(w)=Z=(w), donc aussi H (Znt(w),tell/. ) = H (Zt~(w), tell/. ) = h(w) est indé~endant
n ex> n <xl
de n, et vaut H(Zt(w), tell/.). La formule h=H(Zt ' tell/. ) montre que
h est ~8-mesurable.
3) Montrons que T1 est un temps d'arrêt ( les suivants se traitent de manière analogue ). Soit Te l'inf des t rationnels> 0 tels
que Tt<e ; Te est un temps d'arrêt de la famille (~t+)' et Tet~ lors­ que e+O , donc T1 est un temps d'arrêt de la famille (~t+)' et on
conclut en remarquant que ~t+=~t •
4) YT ' v.a. à valeurs dans ~O ' est ~~ -mesurable pour tout n, au~rement dit (y,u)~ sny à valeurs dans (O,~O)' ou encore
(y,u)~ y à valeurs dans (O'~n),~est ~~-mesurable. Comme ~=X ~n on voit que ~~ contient la tribu ~ • L'inclusion inverse est évidente.
'j) Supposons f ~O-mesurable. Dans ce cas T1 est une v.a. ~(j-mesura­ ble >ü , on peut l'approcher par une suite croissante Sn de v.a.
~8-mesurables, partout> 0 et < T1 • Les Sn sont des t.d'a. annon9ant
22
Tl • On procède alors par récurrence pour les autres Tn (n>Ü).
6) La tribu ~8 = ~O est contenue dans ~T du fait que 0 et Tl sont des temps d'arrêt avec O<Î1• Dans l'a~tre sens, la tribu ~T _ est
engendrée, par définition, par les ensembles de la forme Hlljt<l Tl l,
où He~t • L'événement ~<Îl1 = l(y,u) : t<t(y)-ul appartient à !ü . D'autre part, il suffit de considérèr des générateurs de ~t ' et donc des ensembles H de la forme jYseUI, jTseVI avec s~ • Si s~ il n'y a rien à démontrer. Si O<S~ , on remarque que sur lt<Î1 1 on a Y =YO ' T =TO+S • Plus généralement, FTO = A01 etc • s s = 2- =
7) L'application (y,u)t->u est ~8-mesurable, donc ~T -mesurable. L'application (y,u)t->sy à valeurs dans (O,~O) 1,1 est aussi,
car c'est XTt • Donc (y,u) t->y à valeurs dans ~(0'~1) est ~T -mesura­ ble, et on deduit de tout cela que ~lx~(~)= ~1 est contenu~ dans ~To. Pour obtenir l'inclusion inverse, on remarque que ~To c ~To du - 1 - 1 - 2- fait que T1<Î2 ' et ~T2- = ~1 . Plus généralement, ~T2=~2 ' etc.
UTILISATION DES ESPACES DE BLACKWELL
Nous allons maintenant faire l'hypothèse suivante: la tribu ~
sur 0 est une tribu de BLACKWELL, la tribu f;o qui filtre la " cas­ cade" est séparable ( donc aussi une tribu de BLACKWELL ). Nous al­ lons étudier des questions de mesurabilité un peu plus fines. On peut supposer, sans restreindre la généralité, que les atomes de A sont les points de 0 •
Notre premier l'ésul tat concerne la comparaison entre les tribus
~t et ~t engendrées respectivement par les composantes spatiale (Yt ) et temporelle (Tt) de (Xt ).
P2 PROPOSITION. Supposons gue j w : sw=w! soit ~-négligeable. Alors il existe un ensemble s-invariant 0 portant ~ , tel gue l'on ait pour
o ~
tout t HO lo~ c GO I~ (0 =(0 x~)n 0 , ensemble invariant portant =t 0 =t 0 0 0 0
P ). DEr.10NSTl-l.ATION. Soit (Ck ) une sui te d'ensembles engendrant ~O ' et soit c la fonction r 3-kIC ; la fonction réelle bornée c engendre
f;o. Le processus (coYt)te~ k est un processus réel à trajectoires en escalier ( continues à droite et pourvues de limites à gauche pour la topologie discrète sur ~ ), constant entre les sauts Tn Notons T~ ses sauts , numérotés à partir de 0 à la manière des sauts
23
d'un processus ponctuel discret. Les T~ figurent parmi les Tn , nous les appellerons les sauts vus sur la composante spatiale.
Le saut Tn(w,u) est non vu si et seulement si c(en- 1w)= c(snw), i . n-1 t n l ~ . . e. s~ s w e s w sont dans e meme atome de ~O • Ma~s alors,
-1, A - ( n-2) (n-1) -cos etant =O-mesurable, on a c s w =c s w etc. Autrement dit, si T (w,u) est non vu, tous les sauts T .(w,u) sont non vus, et n n-~
l'ensemble des T~(w,u) est borné inférieurement. Soit 00 l'ensemble des w tels que pour tout neZ, on ait c(sn+1 w)
~ c(snw). C'est évidemment un ensemble invariant, et tous les sauts Tn(w,u) sont vus pour weOo • D'autre part, jetons une fois pour toutes l'ensemble des w tels que w=sw ( invariant, ~-négligeable par hypo­ thèse ). Alors w et sw figurent dans des atomes différents de ~ , puisque ~ sépare les points, donc dans des atomes différents de ~
- n n+1 -n pour n assez grand, et s w et s w figurent alors dans des atomes différents de ~O • Donc pour tout w, au moins un saut est vu.
Ainsi, si w+Oo ' l'ensemble des T~(w,u) est non vide, et borné inférieurement. Mais nous savons que l'ensemble des (w,u) possédant cette propriété est P-négligeable (exposé 1, prop.1). Cela entraine que OC est ~-négligeable.
o c Jetons 00 : pour -Gout w, alors, tous les sauts Tn sont vus, et
TO(w,u)=sup l t rationnels < 0, coYt(w)~ c{w) 1 est ~O-mesurable. Par translation, il en est de même de To(Gs(w,u», s;;:O • IJ[ais '-O(w,u) = u = -TO(w,u), donc '-s='-OoGs= -TOoGs est go-mesurable pour s;;:O, et cela signifie ~ccgO . [ Noter qu'on a pas utilisé seulement la séparabilité de ~C' non la propriété de BLACKWELL ]
Pour le second résultat, quelques motivations sont utiles. Nous nous intéressons à un problème étudié par GUREVI~ et TOTOKI, consis­ tant à rechercher à quelles conditions le flot sous f, au dessus d' un K-flot discret, est un K-flot. On se donne donc une K-filtration discrète (~n) sur 0, et l'idée naturelle consiste à supposer f ~1-me­
surable, et à étudier la filtration naturelle (~t). Mais si l'on remplace ~O par &Ô=~l ' on obtient une seconde filtration du flot discret, ~~ = &n+l ' et cette fois f est &Ô-mesurable, ce qui pré­ sente des avantages techniques. La filtration correspondante ~~ sur o satisfait à ~Ô ~ ~~, donc ~t~ ~t pour tout t • Il est intéressant de savoir que (grâce aux propriétés de BLACKWELL )
P3 PROPOSITION • F:co ~~(])
DEMONSTRATION. Soit h(w,u) une fonction ~~oo-mesurable, nous voulons
montrer qu'elle est ~~oo-mesurable. Notre hypothèse signifie que pour tout te~, hoGt est ~~-mesurable
sur 0 , ou encore que
h(Gt(w,u)) est ~~(R)=~1~(~) mesurable.
Considérons la fonction (t,(w,u))~ h(Gt(w,u)) ; elle est mesurable sur ~(R)x(~(~)) , tribu de BLACKWELL, et la propriété précédente entraine qu'elle est constante sur les atomes de ~(R)x(~1~(R)), tribu séparable. Le théorème de BLACKWELL entraine l'existence d'
une fonction j(t,w,u), ~(R)x~1~(R)-mesurable, telle qu'on ait ident iquement
h(Gt(w,u)) = j(t,w,u) Soit ~ tel que O<~<f(s-1w) ; nous avons G_u_~(w,u)=(s-1w,f(s-1w)),
donc Gt(w,u) = Gt+u+~G_u_~(w,u) et
ou
lim ~..;>oo
et le côté droit est, pour tout t , ~(R)x~O~(R)-mesurable. Donc h est aussi FO -mesurable.
=-00
Autrement dit, nous ne perdrons rien quant à ~~oo en supposant, dans la suite, que f est ~O mesurable au lieu de ~1-mesurable.
Nous reviendrons sur tout cela lorsque nous déterminerons les hé­ lices du flot sous une fonction. Pour l'instant, on change un peu de sujet.
3. LE THEOREllTE D' AMBROSE-KAKUTANI
Le théorème d'~rnROSE - KAKUTANI se présente comme une condition nécessaire et suffisante ) pour qu'un flot soit isomorphe à un
flot sous une fonction. A certains égards, ce n'est pas très inté­ ressant, les flots sous une fonction n'étant absolument pas plus faciles à étudier que les autres. l'lais, vu sous un autre angle, le théorème peut être considéré comme une construction de processus ponctuels discrets dans tout flot qui n'est pas absolument trivial. Dans certains cas, celui du mouvement brownien par exemple, c'est
un résultat surprenant. Nous ne donnerons pas d'énoncé formel du théorème, et nous nous
bornerons essentiellement au cas ergodique, avec de brèves indications
sur le passage au cas non ergodique.
25
Nous partons d'un flot (O,~o,P,Gt)' filtré par une famille (~t)te~
de sous tribus de ~o telle que ~o=~~ • Comme d'habitude, nous enlevons les ° pour indiquer l'adjonction de tous les ensembles P-négligeables. Nous supposons que (t,w)~ Gtw est mesurable de ~(~)x~o dans ~o, et de ~ ( J-oo , o[) ~O dans ~O • Nous choisissons un ensemble Ae~O tel que pour un reli l' ensembl e
ait une probabilité non nulle. De tels ensembles existent toujours dans les flots ergodiques , car si A e ~O est de probabilité> 0
et < 1 1 t c
E[ tb lAoGr lAc drJ ~ E[lAc E[lAI~JJ = P(A )P(A) # 0
Mais l'existence de tels ensembles, et même d'un système "P-dense" de tels ensembles, est une propriété bien moins forte que l'ergodi­ cité ( voir l'article d'AMBROSE KAKUTANl, Duke M.J. 9, 1952 ). A étant choisi, quitte à l'échanger avec AC, nous pouvons supposer que r est > 0 •
Nous posons maintenant H = À f 0 -1/À
~O - mesurable , comprise entre 0 et 1, et la fonction s ..... HoG (w) s
est, pour tout w, lipschitzienne de rapport À • D'autre part, d' après le théorème ergodique local, H converge p.s. vers lA lorsque À ~ m , de sorte que si l'on pose
(3.2) D = IR> 3/41
ces ensembles différent respectivement de AC et de A par des ensem­ bles de mesure petite pour À grand. Donc pour À assez grand,
(3.3) M = CnG (D) r
a une mesure non nulle. Tous ces ensembles sont ~o-mesurables. Je dis que pour presque tout weM on a Gtw e M pour des valeurs de t arbitrairement voisines de ± m • En effet, si l'ensemble des t~O tels que GtweM est borné, par exemple, on a lim tftIM(GsW)dS: 0,
t.;.-m 0
alors que cette limite vaut E[IMI~J, fonction p.s. >0 sur M.
Nous noterons U l'ensemble invariant des w tels que Gt weJ.1 pour des valeurs de t arbitrairement voisines de *00 • Il revient au même d'exiger la même propriété pour des valeurs rationnelles de t, donc Ue~o. Nous venons de voir que U contient M p.s., donc U est de probabilité> 0 : dans le cas ergodique, peU) vaut alors 1.
Noter l'absence d'hypothèse de continuité à droite.
26
Nous avons aussi Ue~O : c'est un résultat classique, que nous démontrons rapidement pour être complets :
L 1 LEMME. ~9:o ( donc ~9:-oo ) •
DEMONSTRATION. Soit ~ bornée ~-mesurable, et soit Y=E[~I~oJ. Par translation on a YoGt=E[~I~tJ , donc ( d'après le théorème des mar­ tingales, et compte tenu du fait que la filtration est exhaustive ) ~ = E[~I~ooJ = lim+oo YoGt • Mais d'après le théorème ergodique, toGt converge au sens de Cesaro vers E[YI~J' donc ~E[~I~ol~J. Les deux membres ont donc la même norme dans L , et ceci entraîne que
~ est ~O-mesurable.
Nous allons maintenant travailler sur le flot restreint à U, filtré par la famille ~tlU • Cela suffira complètement dans le cas ergodigue.[Pour traiter le cas non ergodique, il faudra recommencer la co~struction dans l'ensemble invariant UC , extraire un nouveau flot sous une fonction de la manière décrite ci-dessous, itérer transfiniment ce procédé jusqu'à l'épuisement de 0, possible si le flot est "propre" au sens d'AMBROSE-KAKUTANI : on renvoie à leur article pour plus de détails J.
Ainsi nous supposons désormais gue O=U. Soit K l'ensemble
(3.4) 1 w : H(w)= 1/2 , H(G w) > 1/2 pour seJ-1/4À,O[ 1 s Je dis d'abord que K est ~O-mesurable ( dans O=U): pour écrire que HoGs > 1/2 pour se J-1/4À,O[, écrire que pour tout e de la forme 2-n
il existe un ~ de la forme 2-m tel que HoG > 1/2 + ~ pour tout s s rationnel de l'intervalle ]-1/4À+e,-e[.
Ensuite, pour tout w on a GtweK pour des valeurs de t arbitrai­ rement voisines de ±oo • Nous savons en effet ( du côté positif, par exemple ) qu'il existe de très grands t pour lesquels GtweM • Alors GtweC , donc H(Gt W)<1/4 , et GtweGrD, donc Gt_r(w)eD et H(Gt _r w»3/4. Il existe donc entre t-r et t au moins un s tel que H(Gs W)=1/2, je dis que le plus petit de ces s satisfait à GsweK • En effet, entre t-r et s, HoG.(w) est >1/2, et varie de 3/4 à 1/2, donc la longueur de cet intervalle est au moins 1/4À puisque HoG. est lipschitzienne de rapport À.
Notons enfin que deux t distincts tels que GtweK sont séparés par un intervalle de longueur au moins égale à 1/4À. On définit donc un processus ponctuel discret en posant
Yt(w) = Gtw si GtweK , Yt(w)=o sinon.
27
Démontrons rapidement que TO est ~O-mesurable sur O=U, ce qui en­ traînera que toutes les v.a. Tn , yn de ce processus ponctuel sont
~o-mesurables.
Soit e>O. Soit Le l'ensemble de tous les r rationnels <0 tels que RoG >1/2 pour seCr+2e-1/4À,rJ et RoG -1/2 < Àe • Les rationnels s r de l'intervalle JTo-e,TOJ appartiennent à Le ' donc Se= sup Le est > TO • Lorsque e ~ 0, L diminue, donc S décroît vers une v.a. S. = e e Comme Se est ~O-mesurable, il en est de même de S • Or on a HoGS= 1/2 , ce qui entraîne que Se=S pour e assez petit. Il en résulte
aisément que S=To• Prenons W=K, muni de la tribu induite par ~o • Prenons s=GT '
automorphisme de W , et f=T 1 sur W, fonction partout >0 et fini~, dont les itérés tendent vers ±co. Formons W=!(w,u)eWx.ll/. : O~<f(w) 1. Pour (w,u)eWx~, posons ~(w,u)=G w • On vérifie comme au paragraphe
u ~
1 que ~ applique Wx~ sur 0, induit sur W une bijection bimesurable
de (W , ~O~(~)IW ) sur (O,~O) qui commute avec les translations. D'où l'existence d'une mesure ~ invariante par s comme au paragraphe 1, etc. Nous avons établi le théorème d'AMBROSE pour un flot ergo­ dique : un tel flot est isomorphe à un flot sous une fonction f, et cette fonction peut même être choisie bornée inférieurement ( ici,
par 1 /4À).
QU~STIONS DE FILTRATION
Si l'on identifie W et 0 au moyen de l'application (w,u)~ Guw , et de l'application réciproque w->(GT(w) ,-TO(w)), la filtration (~t) n'est en gén{ral pas du type envi~agé au paragraphe précédent. En effet, dans une telle filtration n il ne se passe rien" entre les instants Ti et Ti +1• Ce que nous allons montrer ici, c'est que la filtration(~t) peut être bien encadrée entre deux telles filtrations.
Nous commen~ons par faire une hypothèse anodine : dans les calculs précédents, nous n'avons fait aucune hypothèse de continuité sur la
famille (~t). Nous supposons dans la suite gue ~O=~O- , quitte à changer de notations si nécessaire. Alors W est ~O_-mesurable, ainsi
que Ta ' et T1 est_~ temps d'arrêt de la famille (~t-)' car !T,~l
= jTaoGt ~ -tl e Gt (~G-) = ~t- •
Nous faisons maintenant les hypothèses suivantes, qui ne sont pas
déraisonnables, comme nous le verrons dans la suite -~o est une tribu de BLACKWELL
-~O- est séparable ( donc une tribu de BLACKWELL -~O- est engendrée par des v.a. h telles que la fonction hoG. soit
continue à gauche sur .II/.
28
1 Nous verrons plus loin, par exemple, que tout flot muni d'une
K-filtration est isomorphe à un flot de ce type. Introduisons alors les tribus suivantes sur W et ~=O
(3.5) CO =c
FO ""()- Iw CO
=0 SÜ~(lIt) IW
(3.6) c* FO 1 ê* Sô~(lIt)l~ =0 ==T 1- w =0 W
Toutes ces tribus sont séparables, et les tribus (3.5) sont con­ tenues dans les tribus (3.6). Notre premier résultat entraine que
Su et Sô filtrent le flot discret comme f=T 1 1 west SÔ-mesurab e, PI' ?I* ~8 et ~0 filtrent le flot continu prop.1).
L2 LEIIJME. On a Sô == s-1 (SC) ~ w •
DENONSTRATION. Nous utilisons le théorème de BLACKWELL, en montrant que les deux tribus ont les mêmes atomes.
A quelle condition w et w' e W appartiennent ils au même atome
de Sô ? On a d'abord T1(w)=T 1(w') • Puis on écrit que w et w' appar­ tiennent aux mêmes ensembles générateurs de la forme An{t<T 1 l, Ae~t_. Ecrivant A sous la forme G~1(H), He~O_' on voit que la condition est
rr 1 (w)==T 1 (w'), et pour tout He~C_ on a IH(Gtw)=IH(Gtw') pour tout t<T(w)
Nais notre hypothèse sur l'existence de fonctions continues à gauche
engendrant ~O- entraine alors que IH(Gtw)=IH(Gtw') pour t=T(w) aussi.
Raisonnons de même sur s-l(SÜ). L'appartenance à un même atome
signifie que pour tout He~Ü_ on a IH(GT1(w)(w))=IH(GT (w,)(w')). Comme T_ 1 est ~O_-mesurable, on a T_ 1 (GT1 w) = T_1 (GT1 1'), ce qui
s'écrit aussi T1(w)-TO(w)=T 1(w')-TO(w') , et comme w et w' sont dans W, T1(w)==T 1(w'). D'autre part, notons u cette valeur commune. Si
l'on a IH(Guw)=IH(Guw') pour tout He~8_ , on peut appliquer cette égalité à G;1 (H)e~O_ pour tout v<O , et en déduire que IH(Gtw)=
IH(Gtw') pour tout t~ •
Voici l'encadrement cherché. ~ ~*
P4 PROPOSITION 4. On a Süc~8=S0. Notons tout de suite deux conséquences. Considérons les filtrations
(~t) et (~t) associées à ~ü et Sb • Le fait que la famille (~t) soit continue à droite ( prop. 1) entraine que ~O+ c Sü • Le fait que ~':..CD = ~:CD (prop.3) entraine que ces tribus sont égales à ~~ • Enfin, le f,ait que GO =G* (prop.1) entraine que les filtrations sont exhaus- _____ =_CD __ =_ID_ ti ve s •
Voir exposé VI, p.13, la remarque.
29
DEMONSTRATION. Ici encore, nous utiliserons le théorème de BLACKWELL. Deux points (w,u) et (w',u') de W appartiennent au même atome
de ~B si u=u', IH(Gtw)=IH(Gtw') pour He~O_ , t<O
- de ~O- si IH(Gt(w,u»=IH(Gt(w',u'» pour He~_ , t<Ü. Comme TO(w,u) = -u est ~O_-mesurable, cela entraine u=u'. Ensuite, nous avons w=(w,O) = G_u(w,u), donc la relation IH(Gt(w,u»=IH(Gt(w',u» pour t<ü entraine IH(Gt_u(w,u»=IH(Gt_u(w',u», et enfin IH(Gtw)=IH(Gtw') pour t<O
-* - de ~O si u=u', IH(Gtw)=IH(Gtw') pour t<T1 (w,u)=T1 (w',u')=u
Il est alors évident que les trois relations d'équivalence associées aux trois tribus sont de plus en plus fines, d'où les inclusions énoncées.
BIBLIOGRAPHIE COMPLEMENTAIRE
Les mesures de PALM, les processus ponctuels ( stationnaires ou non ) ont donné lieu à une bibliographie considérable. La présenta­ tion traditionnelle est celle de KHINTCHINE (A.Ya.). Mathematical methods in the theory of queuing
( traduction) Griffin, 1960 qui contenait la première démonstration rigoureuse mais bien peu instructive) de l'existence de la mesure de PALM. Il faut citer ensuite RYLL-NARDZEWSKI (C.). Remarks on processes of calls. Proc. 4-th
Berkeley Symp. t.2, p.455-465 (1961)
et sur la réalisation canonique des processus ponctuels discrets, la Note aux C.R. de NEVEU, t.267, 1968, p.561-564.
Enfin, citons un article tout récent
CHUNG (K.L.) • Crudely stationary stochastic processes. Amer. Math. Month1y 79, 1972, p.867-877 •
Nous avons traité à part la théorie des mesures de PALM des pro­ cessus ponctuels discrets. Nous verrons dans l'exposé IV qu'elle entre dans la théorie beaucoup plus générale des mesures de PALM des hélices croissantes ( théorème de MECKE ).
Université de Strasbourg Séminaire de Probabilités
QUE?TIO~~ ___ DE THEORIE DES FLOTS (III) par J. de SAM LAZARO et P .A. MEYER
1971/ 72
Cet exposé-ci est presque entièrement consacré à des exemples de flots - en fait, à des exemples de K-flots. Nous considérons d'abord les flots des processus à accroissements indépendants (p.a.i.), et en particulier les deux" modèles" que nous consi­ dérerons sans cesse dans la suite : le flot brownien et le flot de Poisson. Puis nous étudions un flot lié aux processus de re­ nouvellement en temps continu, et enfin un exemple "simple" de flot sous une fonction, traité par Totoki dans un article récent.
1. LE FLOT D'UN P.A.I.
Donnons nous sur ~ ( la même théorie s'appliquerait à Rn l) un
se mi-groupe de convolution (~t)t>O étroitement continu, et cons­ truisons les noyaux de convolution Pt associés aux ~t ' qui for­ ment un semi-groupe de noyaux markoviens
(1)
Soit 0 l'ensemble de toutes les applications w(t) de R dans R , continues à droite et pourvues de limites à gauche ( cadlag ), telles que w(O)=O. Nous poserons Xt(w)=w(t), et nous munirons 0 de la tribu ~engendrée par toutes les applications Xt , te~ , ainsi que de la famille de tribus ~t ainsi définie
(2) ~t = ~( Xu-Xv ' u~, v~
Nous définirons l'opérateur de translation Gt sur 0 par la rela­
tion (3)
Il est très facile de vérifier que les Gt forment un groupe d' automorphismes de l'espace mesurable (O,~O), que l'application
-F o ,,-1FO (t,w)~ Gtw est mesurable, et enfin que =t=~t =c •
THEŒŒME 1. Il existe sur 0 une loi P et une seule telle gue,
pour tout te~, le processus (Xs+t-Xt)s>O soit un processus de Markov admettant (Pt) comme semi-groupe de transition, eO ~ loi initiale. On a pour tout t Gt(P)=P.
31
La condition précédente peut se dire autrement : si l'on a t 1<t2·.·.<t ,les différences Xt -Xt ' Xt -Xt ••• Xt -Xt sont
n 2 1 3 2 n n-1 des v.a. indépendantes, admettant respectivement pour lois ~t t'
2- 1 •• ·~t -t
n n-l
Il y a bien des manières de démontrer ce théorème. En voici une. Désignons par ~t la mesure symétrique de ~t par rapport à 0, par (Pt) le semi-groupe de noyaux correspondant. Soit 0+ l'ensemble de toutes les applications w+ de ~+ dans ~, nulles en 0, c.à.d. et pour-
, +( +) +() + + vues de limites a gauche. Nous posons Xt w =w t (w eO ), et nous désignons par ~+ la tribu engendrée par les applications X~ , par p+ l'unique mesure sur 0+ pour laquelle le processus (X~) est marko­ vien, avec mesure initiale &0 bien entendu, et (Pt) comme semi-grou­ pe de transition. De même, soit 0- l'ensemble des applications w- de JO,oo [ dans 2 , continues à gauche, pourvues de limites à droite sur [O,m[ ; posons X;(w-)= w-(t) , et notons X;+(w-) la limite à droite en t • Définissons la tribu ~- comme plus haut, et soit P­ l'unique mesure pour laquelle le processus x;+ (ou x; ) est marko­ vien, avec (Pt) comme semi-groupe de transition et &0 comme loi initiale ( loi de Xü+ ). Nous définissons maintenant une bijection de o-xn+ sur 0
( - +) (- +) d'fo 0 Xt(w) Xt+(w+) si t?_O w,w _>w=cp w,w e l.nl. par = X:t(w-) si kO
La loi P cherchée est alors la loi image cp(P-,p+) : la vérification de ce fait ne présente aucune difficulté, et nous laissons les dé­ tails au lecteur.
Deux exemples remarquables : si (~t) est le semi-groupe du mouvement brownien, on a défini le flot brownien: on restreint d'habitude 0+ à l'ensemble des applications continues de ~+ dans ~ , nulles en 0, on prend 0-=0+ , et 0 est réduit à l'ensemble des applications continues de 2 dans ~, nulles en 0 • Si (~t) est le semi-groupe de Poisson, on a défini le flot de Poisson : on restreint d'habitude 0+ à l'ensemble des applications de H+ dans ~, nulles en 0, crois­ santes, en escalier et à sauts unité ( continues à droite) ; 0- à l'espace analogue d'applications continues à gauche, et on ne permet à Xo+ que les valeurs 0 et -1, de telle sorte que w=cp(w-,w+) présente aussi un saut en 0 égal à 0 ou 1.
32
Nous allons démontrer que les flots de p.a.i. sont des K-flots • Plus précisément THEOREME 2 • La filtration (~t) est purement stochastique. DEMONSTRATION. Il suffit de démontrer que pour toute v.a. F~mesu­ rable bornée f , E[fl~;] tend vers E[f] dans L1 lorsque t~-oo ( cette espérance conditionnelle convergeant d'autre part vers E[fl~~oo] dans L1, d'après la théorie des martingales ). L'espace des fonctions f possédant cette propriété étant fermé dans L1, il suffit de vérifier cela pour des! formant un ensemble total dans L1• On choisit des fonctions de la forme
f = f1o(Xt1-Xt1).f20(Xt2-Xt2) ••• fno(Xtn-Xt~)
où f 1, ••• ,fn sont bornées sur ~ , et t1~1~2~2 ••• ~n~~ • Mais
alors f est indépendante de ~t pour t assez près de -00, et E[fl~t] =E[f] dans ce cas.
Nous étudierons ces flots plus tard, de manière plus approfondie.
2. LE FLOT D'UN PROCESSUS DE MARKOV
Considérons un espace d'états (E,~) - polonais par exemple - et sur cet espace un se mi-groupe markovien (Pt)t>O ' admettant une réalisation sur l'espace des applications continues à droite et pourvues de limites à gauche de 2+ dans E. Soit a une loi1de pro­ babilité invariante : aPt=a pour tout t.
Soit 0 l'ensemble de toutes les applications de ~ dans E, con­ tinues à droite et pourvues de limites à gauche. Pour tout ten posons Xt(w)=w(t) ( weO ) ; munissons 0 de la tribu ~o engendrée par toutes les applications Xt(te~), et de la filtration ~t
(4)
Nous définissons l'opérateur de translation Qt sur 0 par la rela­ tion Xs(Qtw)=Xs+t(w) pour tout se~. On a bien un groupe d'automor­ phismes, etc •••
THEOREME 3. Il existe sur 0 une loi P et une seule telle que, pour tout te~, le processus (Xt+s)s>O soit markovien, admette (Pt) comme semi-groupe de transition et a comme loi initiale. Le système
(O,~o,P,Qt) est un flot, filtré par la famille(~~.
lLe cas plus général où a est seulement supposée o-finie est aussi intéressant, mais nous le laisserons de côté.
33
Nous ne démontrerons pas ce théorème, qui est classique et facile : une méthode rapide consiste à construire le processus (Xt)te~ au moyen du théorème de Kolmogorov, puis Xt,te~ par li­ mite &