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Matematica Applicata 30063
CLEAManno accademico 2015–16 II semestre
M. Impedovo Lezione 1
Parte I. Calcolo integrale
Le somme di Riemann
La definizione di integrale definito
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Tre esempi
1. La costituzione della
Repubblica Italiana Art. 53
Tutti sono tenuti a concorrere alle spese
pubbliche in ragione della loro capacità
contributiva.
Il sistema tributario è informato a criteri di
progressività.
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Attuale distribuzione
delle aliquote IRPEF (febbraio 2016)
01_irpef.xlsx
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La funzione delle aliquote
01_irpef.ggb
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2. Funzione delle aliquote continua
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3. Velocità e tempo
01_velocita-tempo.ggb
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Verso la definizione di integrale definito
ESEMPIO
INPUT f (x) = 1-x2
intervallo [0,1]
OUTPUT
numero reale ("area")
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Approssimazione mediante rettangoli
(somme di Riemann)
01_somme_riemann.ggb
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Approssimazione mediante rettangoli
(somme di Riemann)
1. Si divide [0,1] in n intervalli, per esempion=5, di uguale ampiezza
∆x = (b−a)/n = (1−0)/5 = 0.2:[0,0.2], [0.2,0.4], [0.4,0.6], [0.6,0.8], [0.8,1]
2. In ciascun intervallo scegliamo un punto ckarbitrario, per esempio:
c1=0.1, c2=0.3, c3=0.5, c4=0.7,c5=0.9
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3. Per ogni punto ck calcoliamo f (ck), cioè l'altezza
di ciascun rettangolo (le basi sono tutte ∆x=0.2).
f (x) = 1-x2
f (0.1)=1-0.01=0.99
f (0.3)=1-0.09=0.91
f (0.5)=1-0.25=0.75
f (0.7)=1-0.49=0.51
f (0.9)=1-0.81=0.19
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4. Calcoliamo l'area di ogni rettangolo:
f (x) = 1-x2
f (0.1)⋅0.2=0.99⋅0.2=0.198
f (0.3)⋅0.2=0.91⋅0.2=0.182
f (0.5)⋅0.2=0.75⋅0.2=0.150
f (0.7)⋅0.2=0.51⋅0.2=0.102
f (0.9)⋅0.2=0.19⋅0.2=0.038
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5. Sommiamo le aree degli n rettangoli (somme di
Riemann)
S5 = 0.198+0.182+0.15+0.102+0.038 = 0.67
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5. Le somme di Riemann con Excel
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6. E infine ... si fa tendere n a +∞
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Generalizziamo e formalizziamo:
la definizione di integrale definito
(secondo Riemann)
Dati
[a,b] un intervallo
f : [a,b] → una funzione
n∈ (n>0), ∆x = (b−a)/n
c1∈[a, a+∆x]
c2∈[a+∆x, a+2∆x]
…
cn∈[a+(n-1)∆x, b]
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Se
esiste
è finito (cioè è un numero reale)
non dipende dalla scelta dei ck
si dice che f è integrabile su [a,b]. Il numero
reale che rappresenta il limite delle somme di
Riemann si chiama integrale definito di f su[a,b] e si indica con il simbolo
( )1
limn
k n
k
f c x→ ∞
=
∆∑
( )d b
a
f x x∫
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Definizione di integrale definito di f su [a,b]
( ) ( )
( )
definizione
1
d lim
dove
1 ,
b n
k
n k a
k
f x x f c x
b a x
n
c a k x a k x
→ ∞=
= ∆
−∆ =
∈ + − ∆ + ∆
∑∫
INPUT → OUTPUT
funzione, intervallo → numero reale
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Osservazioni
Il simbolo di Leibniz
L'integrale definito non èun'area
( )
( )
1
n
k
k
b
a
f c x
f x dx
=
∆
↓ ↓ ↓
∑
∫
( ) ( )1 1
n n
k k
k k
f c x x f c= =
∆ = ∆∑ ∑
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Osservazioni
Il segno di ∆x e il segno di f (ck)
∆x→0, Σf (ck)→∞
Il lim non deve dipendere dalla scelta dei ck
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Esempio
f (x) = 1/x
Calcolare la somma di Riemann S10 in [1,2]
scegliendo il punto medio di ogni intervallo.
∆x = (2-1)/10 = 0.1
[1, 1.1], [1.1, 1.2], …, [1.9, 2]
c1=1.05, c2=1.15, …, c10=1.95
10
1 1 10.1 0.69284
1.05 1.15 1.95S
= + + + ≈
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Somme di Riemann
1. Calcolare la somma di Riemann S 5 della funzione f (x) = 1
x nell’intervallo [1; 2] (cioè dividendo l’intervallo
[1; 2] in 5 sottointervalli di uguale ampiezza) scegliendo i punti ci in tre modi diversi:
a) l’estremo destro di ciascun intervallo (rightbox )
b) i punti medi di ciascun intervallo (middlebox )
c) l’estremo sinistro di ciascun intervallo (leftbox )
Risposta. Risulta x = 2 1
5 = 0:2.
a) ci = f1:2; 1:4; 1:6; 1:8; 2g, f (ci) =
10
12; 10
14; 10
16; 10
18; 10
20
, S 5 = 0:2
10
12 +
10
14 +
10
16 +
10
18 +
10
20
0:64563.
b) ci = f1:1; 1:3; 1:5; 1:7; 1:9g, f (ci) =
10
11; 10
13; 10
15; 10
17; 10
19
, S 5 = 0:2
10
11 +
10
13 +
10
15 +
10
17 +
10
19
0:69191.
c) ci =
f1; 1:2; 1:4; 1:6; 1:8
g, f (ci) = 1;
10
12
; 10
14
; 10
16
; 10
18, S 5 = 0:2
1 + 10
12
+ 10
14
+ 10
16
+ 10
18
0:74563.
2. Come l’esercizio precedente per le funzioni
a) f (x) = ln (x) nell’intervallo [1; 2].
b) f (x) =p x nell’intervallo [1; 2].
Risposta.
a) rightbox: S 5 = 0:2(ln(1:2) + ln (1:4) + ln (1:6) + ln (1:8) + ln (2)) 0:454middlebox: S 5 = 0:2(ln(1:1) + ln (1:3) + ln (1:5) + ln (1:7) + ln (1:9)) 0:387
leftbox: S 5 = 0:2 (ln (1) + ln (1:2) + ln (1:4) + ln (1:6) + ln (1:8)) 0:315
b) rightbox: S 5 = 0:2p
1:2 +
p 1:4 +
p 1:6 +
p 1:8 +
p 2 1:260
middlebox: S 5 = 0:2p
1:1 +p
1:3 +p
1:5 +p
1:7 +p
1:9 1:219
leftbox: S 5 = 0:2p
1 +p
1:2 +p
1:4 +p
1:6 +p
1:8 1:177
3. Quanto vale il seguente integrale de…nito?2Z
2
1
2xdx
(Suggerimento: tracciare il gra…co di f (x) = 1
2x nell’intervallo [2; 2].)
Risposta. La funzione f è simmetrica rispetto all’origine
-2 -1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
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dunque risulta2Z
2
1
2xdx = 0
4. Calcolare il seguente integrale de…nito.2
Z 2
2dx
(Suggerimento: tracciare il gra…co della funzione costante f (x) = 2 nell’intervallo [2; 2].)Risposta. L’integrale de…nito coincide con l’area di un rettangolo di base 2 (2) = 4 e altezza 2, dunque
2Z 2
2dx = 8
5. Calcolare il seguente integrale de…nito.4
Z 2
1
2
xdx
Risposta. L’integrale de…nito coincide con l’area di un trapezio di altezza h = 4 2 = 2, base maggioref (4) = 2, base minore f (2) = 1, dunque
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
x
y
4Z 2
1
2xdx =
1
2 (2 + 1) 2 = 3
Somme di Riemann. Approfondimenti
1. Il regime …scale attuale italiano (febbraio 2016) prevede per l’IRPEF le seguenti aliquote.
Reddito imponibile (ke) [0; 15] (15; 28] (28; 55] (55; 75] (75;+
1)
Aliquota (%) 23% 27% 38% 41% 43%
Qual è l’imposta per un reddito di 30000 e? E 60000 e? E 100000 e? Qual è, per ciascuno dei tre redditiprecedenti, l’aliquota media?
Risposta. 7720 e, 19270 e, 36170 e. 25:7%, 32:1%, 36:2%.
2. (Usare Excel) Per la funzione f (x) = 1=x nell’intervallo [1; 2] calcolare nei tre modi diversi (leftbox, mid-dlebox, rightbox) S 10 e poi S 100 e poi S 1000 Si dovrebbe osservare che all’aumentare di n = 10; 100; 1000 ladi¤erenza fra le somme di Riemann S n calcolate nei tre modi diversi diminuisce e quindi si può intuire che altendere di n a 1 il risultato non dipende dalla scelta dei ci.
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Risposta.S 10 S 100 S 1000
leftbox 0:718771 0:695653 0:693397middlebox 0:692835 0:693144 0:693147rightbox 0:668771 0:690653 0:692897
3. (Usare Excel) Calcolare le somme di Riemann S 10, S 100, S 1000 di f (x) = x2 in [1; 6] con il metodo middlebox.
Risposta.S 10 S 100 S 1000
middlebox 71:5625 71:66562 71:66666
4. (Usare Excel) Calcolare le somme di Riemann S 10, S 100, S 1000 di f (x) = sin(x) in [0; ] con il metodomiddlebox.
Risposta.S 10 S 100 S 1000
middlebox 2:008248 2:000082 2:000001