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• [GMJ91, Sez. 5.5]

• [G87]

Condition-Event nets Place-Transition nets Time Petri Nets [Merlin] Priorità Token con valore Richiami di logica Predicate-Transition (PrT-) nets [Genrich’87]

Lezione 8. Petri Nets ed estensioni

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‘Place-Transition’ Petri net - definizioni

PN = (P, T, A, M0) (* Place-Transition net *)

• P: insieme finito di posti• T: insieme finito di

transizioni• A (P x T) (T x P) insieme fin. di archi • M0: P-->Nat. marcatura iniziale

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PN per il linguaggio delle parentesi bilanciate

( )( () ( ( ) ) )

( ) ( ( ( ) ( ) ) (( ) ( ) (( ))) ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) )……...

(

)

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-- ‘Condition-event’ nets --

Sono Place-transition nets in cui• I posti sono chiamati (e rappresentano) condizioni

• Nessun posto puo’ ospitare piu’ di un token (‘1-safe’)

• Firing rule per trans. t (evento):» Un token in ciascun input place (pre-condizioni)

» Nessun token negli output place (post-condizioni)

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Uso esclusivo di risorsa comune (Condition-event)

Terminologia

Stato = marcatura Input place - output place Transizione abilitata Transition firing rule (‘token game’) Firing sequence

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Concorrenza - nondeterminismo - (t1, t2)

Conflitto - (t3, t4), solo quando la risorsa è condivisa

Comportamento ‘unfair’: (t1; t3; t5; t1; t3; t5; … )

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Per forzare un comportamento ‘fair’:

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Uso non esclusivo di risorsa (Place-transition)

… o risorsa duplicata

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Deadlock

…e possonoraggiungere un marking con nessuna transizione abilitata

Sia P1 che P2richiedono entrambe le risorse...

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Liveness

Assenza di deadlock

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Deadlock parziale

Alcune transizioni diventano permanentemente disabilitate

La rete e’ comunque live, cioè non va mai in deadlock

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Composizione di automi via PN - Componenti:

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Composizione

Da confrontarecon l’analogacomposizione di FSMs

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‘Limiti’ di Place-Transition Nets

Trattano il controllo, non i dati• I token sono indistinguibili, anonimi, non hanno un

valoreP

ToTrash ToDestination

Non si puo’ scegliere la transizione In base alle proprieta’ del messaggio (token).Non si puo’ arricchire il messaggio con …un francobollo (token)

Q

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Non si possono assegnare priorita’ alle transizioni (quando due o piu’ sono abilitate)

Non si possono esprimere parametri temporali.

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Time Petri Nets (Merlin-Farber 76)

Transizioni etichettate da coppie (tmin, tmax)

I tempi si riferiscono all’istante t0 in cui la transizione viene abilitata

Nelle PN senza tempo si assume una etichettatura (0, infinito) per ogni transizione.

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Receiver

Es. di TPN: Sender-Receiver e…

Sender

sendMsg receiveMsg

produceMsg consumeMsg

sendAck

msgLoss

ackLossreceiveAck

Channel

(0, 0)

(0, 5)

(5, 5)

(1, 1)

(2, 2)(3, 3)

(0, 5)

(5, 5)

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...timeout nel Sender

ReceiverSenderChannel

(0, 0)

(0, 5)

(5, 5)

(1, 1)

(2, 2)(3, 3)

(0, 5)

(5, 5)

(12,12)

timeout

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PN con priorita’

Etichette di priorita’ associate alle transizioni

Le priorita’ inducono un ordinamento sulle transizioni abilitate

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Priorita’ e temporizzazione...

... possono coesistere. La priorità induce un ordinamento fra le transizioniabilitate (sia dai token che dal tempo).

(Maggior priorità = coeff. piu’ alto)

…….I token arrivano a tempo zero…….

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Token con valore

I token ‘portano’ un valore• Un intero, un vettore di byte, un ambiente (Var--> Val)

Le transizioni sono arricchite da • un predicato sui token in input

• una funzione input tokens ---> output token

Ready-tuple• I token in input che soddisfano il predicato

Gli input-token usati (gli output-token prodotti) sono identificati, in predicati e funzioni, dai nomi dei relativi posti di partenza (arrivo)

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Esempio

41

734

P1 P2 P3

t1 t2

P4 P5

[P2 > P1]P4 := P2 + P1

[P2 = P3]P4 := 0

P5 := P2 + P3

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Relazioni extended PN - Data Flow diagrams

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Esercizio 1 (PN a token con valore)

P

ToTrash ToDestination

Trash

…???

Sender

…???

La scelta della transizione deve dipendere dalla parita’ del messaggio (token)

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Esercizio 2 - PN a token con valore per Dispatcher a 2 input (cfr. esempio per Extended FSM)

Un dispatcher riceve messaggi da due diversi input channel ChanA e ChanB, e ne controlla la parita’: se la parita’ e’ sbagliata, manda un ‘nack’ attraverso, rispettivamente, il canale ReplyA o ReplyB; se la parita’ e’ corretta il dispatcher pone il messaggio ricevuto in un buffer, che puo’ tenere fino a 10 messaggi.

Quando il buffer e’ pieno, l’intero contenuto viene spedito a una processing unit attraverso un altro canale. Nessun messaggio puo’ essere messo nel buffer pieno.

[GJM9, Es. 5.15]

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Una soluzione

Parity(a1) = OKLength (q) < 10--------------------q := append (q, a1)

Parity(a1) not OK--------------------ReplyA := ‘nack’

ReplyA

ChanA

ChanB

Parity(b1) not OK--------------------ReplyB := ‘nack’

Parity(b1) = OKLength (q) < 10--------------------q := append (q, a1)

ReplyB

a1

b1

q

nilLength (q) = 10-------------------------ProcessingUnit := qq := nil

ProcessingUnit

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Predicate/Transition nets - Richiami di logica

Per introdurre le Predicate-Transition (PrT-) Net [G87] si rende necessario introdurre/richiamare alcuni concetti di logica...

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Linguaggi del 1o ordine (calcolo dei predicati)

Simboli di variabile: x, y, ... Simboli di costante: a, b, … Simboli di funzione: f i, gi, … Simboli di predicato: Ai, Bi, …

• ‘i’ = num. di argomenti della funzione/predicato

Connettivi logici: ~, /\, \/, , Virgola e parentesi: , ( ) Quantificatori universale ed esistenziale: ,

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Termine• Variabile, costante, o simbolo di funzione a i argomenti,

seguito da i termini fra parentesi, separati da virgole.» x

» 2

» exp(sum(x, 9), 2))

Formula atomica• Simbolo di predicato a i argomenti, seguito da i termini

fra parentesi, separati da virgole: > (exp(sum(x, 9), 2)), 4).

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Formula ben formata (fbf)• Formula atomica

• ~A, A/\B , A\/B, AB, AB x. A, x. A

» dove A, B sono fbf e x e’ una variabile.

Esempio: x. (A(x, y) B(f(g(x)), y)))

Nel seguito assumiamo che una formula sia sempre una fbf.

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x e’ legata in una formula se• E’ preceduto da un quantificatore, oppure

• E’ sotto l’azione di un quantificatore della stessa x

x e’ libera nella formula se non e’ legata Nella formula F = x.(A(x, y) B(f(g(x)), y)))

• 3 simboli x sono legati, i 2 simboli y sono liberi

Free(F) denota l’insieme delle variabili libere di F• nell’esempio: Free(F) = {y}

Una formula e’ chiusa se non ha variabili libere

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Dati• Un dominio di valori D (Nat, ...)

• Una interpretaz. dei simboli di costante (0, 1, 2…)

• Una interpretaz. dei simboli di funzione (+, *, ...)

• Una interpretazione dei simboli di predicato (‘>’, ...):

Data una interpretazione, ogni formula chiusa e’ sempre vera o falsa

Ogni formula F tale che Free(F) = x1…xn puo’ essere pensata come un predicato F(x1…xn) • che è vero o falso a seconda dei valori assegnati a x1…xn

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Predicate-Transition (PrT-) Nets [G87]

Generalizzano il caso dei token con valore Gli archi sono etichettati da multi-insiemi di termini di un

linguaggio L del primo ordine• [[ t1, t2, …, tx, tx, …]]

Ogni transizione T e’ etichettata da una formula di L (tipicamente non chiusa), che denotiamo PT.

Around(T) • l’insieme di variabili che appaiono nei termini che etichettano gli archi

adiacenti a T

Free(PT) • l’insieme di variabili libere di PT.

• Deve valere: Free(PT) Around(T)

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Esempio di PrT-net

((k) x+y = k*3 /\ y = h*2 )T

[[z, x+y, x-y, x-y]]

[[h]]

[[y, y]]

[[k]]

9

5 3

5

31

Free(PT) = {x, y, h}

Around(T) = {z, x, y, h, k}

Variabili libere in PT che non fossero in Around(T) sarebbero assunte implicitamente legate da quantificatore esistenziale (‘dangling variables’)

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Firing rule per PrT-net

Se esiste un assegnamento per le variabili in Around(T) tale che • La valutazione di PT via e’ TRUE

• La valutazione via dei termini sugli archi in input a T fornisce multi-insiemi di valori che corrispondono a token effettivamente disponibili

allora T viene eseguita, producendo token i cui valori sono espressi dai termini sugli archi in output di T, via .

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Esempio di esecuzione di trans. in PrT-net

((k) x+y = k*3 /\ y = h*2 )T

[[z, x+y, x-y, x-y]] [[h]]

[[y, y]]

[[k]]

9

5 3

5

31(x) = 7(y) = 2(z) = 3(h) = 1(k) = 102

Around(T)= {x, y, z, h, k}

[[3, 9, 5, 5]] [[1]] [[2, 2]]

[[102]] (non 3!)

((k) 9 = k*3 /\ 2 = 1*2 ) = TRUE

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Da Cond.-Event a Predicate-Trans.(PrT) nets

Sistema = insieme di individui e relazioni dinamiche Gli eventi cambiano le relazioni fra individui

Individui: Sezioni = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; Treni {a, b} Relazione U Sezioni x Treni

• (1, a) U significa ‘treno a occupa (Uses) sez. 1

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V Sezioni • (3) V significa ‘sezione 3 e successiva libere (Vacant)

Requisito di sicurezza:• I due treni non devono mai trovarsi

contemporaneamente in due sezioni adiacenti

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C-E net: un posto per ogni (s, t) in U

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Un posto per ogni (s, x) in U (x variabile)

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Fusione di transizioni, etichette parametriche

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Predicate-Transition (PrT) net finale

Un posto modella una relazioneUn token modella un elemento della relazioneUna transizione modella un cambiamento nelle relazioni

[[ ]]

[[ ]][[ ]]

[[ ]]