A Simplified Robust Control Design Method For Wide Area Damping Controllers

R. T. Bernardo and D. Dotta, Member, IEEE

1Abstract—In this work a simplified robust control design method is proposed for Wide-Area Damping Control (WADC). Several challenges are considered during the control design such as output-feedback, low order controllers as well as robustness to time variation communication delay and operating point (load level). The methods main goal is to minimize the spectral abscissa with minimum damping constraints using a non-convex optimization algorithm. The use of spectral abscissa simplifies the method application making it an alternative to the !! minimization approach proposed in the literature. The modal analysis and time-domain simulations of a Brazilian equivalent system is performed to assess the control robustness and performance.

Keywords—PMU, Wide-Area Control, PSS, optimization

I. INTRODUÇÃO Importância dos estudos de estabilidade de sistemas elétricos ganhou forte ênfase após os blecautes ocorridos

nos meados dos anos 2000 [1]. Somente o blecaute de 2003, no sistema Norte-Americano (Estados Unidos e Canadá), afetou aproximadamente 50 milhões de pessoas. No Brasil, destacam-se os blecautes de novembro de 2009 e fevereiro de 2011 (subsistema nordeste) [2]. Verificou-se, também, a clara necessidade do desenvolvimento de métodos eficientes de monitoração e controle com o objetivo de aumentar a segurança operacional dos modernos SEE (Sistemas de Energia Elétrica). Entre as melhorias sugeridas [1] [3], o uso de novas ferramentas de monitoração, como os WAMS (Wide-Area Measurement Systems) são de suma importância, pois possibilitam a captura do comportamento dinâmico dos SEE e apresentam forte potencial de aplicação na indústria [1]. Aplicações utilizando sincrofasores na área de monitoração de SEE já são uma realidade em diversos operadores do sistema elétrico americano, como apresentado em [4]. Os avanços realizados na área de monitoração motivaram o desenvolvimento de um projeto piloto, patrocinado pela Bonnevile Power Administration (BPA) e desenvolvido pelo Sandia National Laboratory (SNL), para a resolução de um antigo problema no wNAPS (Western North-American Power System) [5]. Os controladores locais existentes têm capacidade limitada para o amortecimento de oscilações existentes no wNAPS. A solução proposta pelo consórcio (BPA-SNL) consiste em implementar um controlador para o amortecimento de oscilações utilizando sincrofasores. O uso

R. T. Bernardo, UNICAMP, Campinas-SP, Brasil, raultb@dsee.fee.unicamp.br

D. Dotta, Member, IEEE, UNICAMP, Campinas-SP, Brasil, dottad@unicamp.br

Corresponding author: R. T. Bernardo

de sincrofasores melhora a controlabilidade e obversabilidade do sistema aumentando a eficiência dos dispositivos de controle existentes. Um WADC (Wide Area Damping Controllers) para o wNAPS foi projetado, implementado e encontra-se em fase de comissionamento desde setembro de 2016. Os primeiros resultados mostram a melhoria da resposta dinâmica do wNAPS, frente às perturbações, quando comparado com os controles locais [5].

No Brasil, destacam-se as aplicações a serem desenvolvidas no âmbito do projeto ESTAL [6] do ONS (Operador Nacional do Sistema), majoritariamente na área de monitoração, que já conta com 36 PMUs (Phasor Measurement Unit) instaladas (CEMIG, CTEEP e Eletronorte) e outras 100 deverão entrar em operação nos próximos dois anos. A implantação de uma rede WAMS no sistema elétrico brasileiro abre as portas para a exploração de aplicações avançadas, como as de controle e proteção em âmbito nacional.

O projeto de controladores utilizando sincrofasores para o amortecimento de oscilações foi extensivamente explorada na literatura [7] [8] [9]. Diferentes esquemas de controle bem como métodos foram considerados para o projeto de WADCs. Os primeiros trabalhos procuraram mostrar a efetividade desse tipo de controlador e as dificuldades de projeto considerando atrasos na transmissão de sinais remotos [7] [8], atrasos variantes no tempo [10] e as restrições de transmissão de dados (baixa taxa de transferência/banda) foram apresentadas em [11]. Em termos de métodos de projeto, destacam-se os métodos analíticos (Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs e Regulador Linear Quadrático - LQR) [9] [12] e os evolutivos [13]. Os projetos baseados em LMI, pela exigência de convexidade do problema, resultam controladores de mesma ordem da planta o que pode inviabilizar a sua aplicação prática. Os métodos evolutivos não têm prova formal de convergência e robustez, bem como exigem elevado esforço computacional. No projeto real implementado no sistema Norte-Americano [5], o algoritmo utilizado é baseado no Regulador Linear Quadrático assim como em [9]. Esse algoritmo não tem prova de robustez e garantia de mínimo amortecimento. A configuração das matrizes de peso Q e R podem não ser triviais dificultando a implementação prática do algoritmo.

Como alternativa aos métodos analíticos tradicionais, destacam-se os métodos de otimização não-convexa [14] [15]. Esses métodos não exigem a formulação convexa do problema evitando a síntese de controladores de alta ordem. A aplicação de métodos de otimização não-convexa para o projeto de controladores em SEE foi explorada em [16] [17]. No entanto, os projetos apresentados em [16] [17], não consideram robustez bem como usam a minimização da norma !! como

A

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função objetivo. Como em [9], a escolha das matrizes de peso para a minimização da norma !! não é trivial e não há como garantir que o amortecimento mínimo exigido seja alcançado.

O objetivo do presente trabalho é apresentar um método simplificado de projeto de controladores robustos, com restrições de amortecimento mínimo, utilizando sincrofasores. O projeto explora a robustez do controlador por meio da modelagem de diversos pontos de operação do sistema, variando o carregamento e os atrasos de comunicação inerentes da estrutura de controle utilizada. Apesar do algoritmo de projeto proposto neste trabalho, originalmente, não garantir robustez às incertezas politópicas, uma etapa de verificação foi implementada para assegurar esse tipo de robustez utilizando LMIs. A simplicidade do método facilita a implementação do ponto de vista do engenheiro de sistema de potência, facilitando a sua aplicação, por exemplo, no sistema elétrico brasileiro.

Tendo como foco o sistema brasileiro utiliza-se um sistema equivalente de região Sul-Sudeste para o teste do método de projeto proposto. Finalmente, busca-se avaliar o impacto das aplicações propostas na melhoria da operação dos SEE.

O presente trabalho está organizado da seguinte forma: a seção II apresenta a estrutura de controle estudada. A modelagem do sistema, dos atrasos de comunicação e do controlador são apresentadas na seção III. Na seção IV é descrito o método de projeto aplicado. As ferramentas computacionais e o método de otimização são brevemente descritos na seção V. O sistema teste é descrito na seção VI. Os resultados obtidos, bem como simulações realizadas são apresentados na seção VII. E, por fim, as conclusões são apresentadas na seção VIII.

II. ESTRUTURA DO CONTROLADOR A estrutura hierárquica de controle utilizada é uma

combinação da convencional estrutura descentralizada de controles locais com um controle central alimentado por sinais remotos [18]. Uma ilustração do esquema hierárquico é apresentada na Fig. 1. Os sinais de velocidade angular dos geradores são processados no controlador central e enviados à planta. Destaca-se que os sinais de velocidade angular podem ser sintetizados a partir de medidas sincrofasoriais de tensão e corrente, como descrito em [19] e [20]. Na planta, os sinais do controle central são combinados com os sinais do controlador local, aumentando a observabilidade e controlabilidade do sistema. No controle central, cada sinal de controle é o resultado do processamento dos diversos sinais medidos, caracterizando uma estrutura de controle multivariável (MIMO - Multiple Input Multiple Output) [18]. Trabalhos ilustrando o projeto do controle hierárquico, utilizando ESPs (Estabilizadores do Sistema de Potência), podem ser encontrados [8] [9] [12] [17].

III. MODELO DO SISTEMA

A. Modelo Linearizado do SEE Os SEE são representados por equações algébrico-

diferenciais não-lineares. Os fenômenos oscilatórios presentes

nos SEEs podem ser estudados por meio da linearização dessas equações não-lineares.

Definindo ! ∈ ℝ! como o vetor de estados do sistema, ! ∈ ℝ!como o vetor de entradas de controle e ! ∈ ℝ! como o vetor de saídas realimentadas, o sistema, contendo os controladores locais, pode ser representado, na forma de equações de espaço de estados, por:

! = A!! + B!!! = C!! (1)

Em que o índice ! = 1,… ,! indica o ponto de operação dentro do conjunto de ! pontos linearizados.

Figura 1. Controle Hierárquico.

B. Atraso de Tempo A presença de atrasos na comunicação entre a planta e o

controlador é um fator inerente da estratégia de controle explorada neste trabalho. Dada a dimensão dos SEE, os sinais devem percorrer longas distâncias, o que resulta no atraso entre medição e ação de controle.

O atraso na comunicação influencia na dinâmica do sistema e foi considerado na etapa de projeto por meio de uma variação da aproximação de Padé [21]. Para um atraso de T segundos, a função de transferência da aproximação é dada por:

! ! = 6 − 2!"6 + 4!" + (!")! (2)

Na etapa de projeto, os dois atrasos (nas entradas e saídas do controlador) foram somados e inseridos apenas nas entradas do controlador (saídas do sistema). Esta abordagem torna o modelo ligeiramente mais simples por introduzir menos estados ao sistema. O sistema passa a ser representado pela equação (3), sendo ! o vetor de saídas realimentadas com

ω1

ω2

ωp

ω1 ++

+ω2

+ωm

+

+

ESP1

ESP2

ESPm

RAT1

RAT2

RATm

AtrasoAtraso

Atraso

AtrasoAtraso

Atraso

PMU

PMU

PMU

PMU

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o atraso. Nota-se que o vetor de entradas ! não foi alterado. Nas simulações não-lineares (seção VII.C) os atrasos foram inseridos separadamente.

! = A!! + B!!! = C!! (3)

C. Controlador O controlador centralizado projetado possui a seguinte

representação.

!! = A!!! + B!!!!! = C!!! + D!!! (4)

Em que !! ∈ ℝ!", !! ∈ ℝ! e !! ∈ ℝ! são os estados, as entradas e as saídas do controlador, respectivamente. Definindo ! = ! !! !, foi adotada a seguinte representação para o sistema em malha fechada, sendo ! = 1,… ,! o ponto de operação selecionado.

! = A!! (5)

IV. METODOLOGIA DE PROJETO O método de projeto proposto consiste de duas etapas

principais: a primeira corresponde à síntese do controlador e a segunda uma análise de robustez do controle projetado. Na primeira etapa, um algoritmo de otimização não-convexa é aplicado para projetar um controlador capaz de assegurar o amortecimento mínimo desejado em todos os pontos de operação selecionados. Na segunda etapa, a estabilidade robusta, para uma incerteza politópica, é verificada por meio de LMIs. Desta forma, a estabilidade dos pontos de operação intermediários, bem como da transição entre eles, também é assegurada [22].

A. Síntese do Controlador Os parâmetros do controlador são determinados por meio da

solução de um problema de otimização não-convexa que minimiza a abscissa espectral do sistema em malha fechada. A abscissa espectral é definida como a maior parte real dos autovalores de uma dada matriz. A expressão matemática da abscissa espectral é dada por

! A = max!!!,…,! !" !! , (6)

em que !!,… , !! são os autovalores da matriz A ∈ ℝ!×!. Junto a função objetivo (minimização da abcissa espectral)

é inserida uma restrição que impõe um limite mínimo de amortecimento em malha fechada. O amortecimento mínimo é alcançado por meio da alocação de polos no setor cônico !(!) (Fig.2). O setor !(!) determina a região na qual !! ≥ cos !, sendo !! o amortecimento referente ao polo ! do sistema.

Dada a matriz do sistema em malha fechada A!, no ponto de operação i, seus autovalores pertencem ao setor !(!) se, e somente se, existir uma matriz ! = !! ≻ 0 que satisfaça a seguinte desigualdade matricial [23] :

!⨂A! ! + ! !⨂A! ! ≺ 0 (7)

O símbolo ⨂ denota o produto de Kronecker, e a matriz !

é definida como:

! = sen ! cos !− cos ! sen ! (8)

Definindo !! ≜ !⨂A!, o conceito de abscissa espectral pode ser utilizado para verificar a alocação de polos. Se a matriz !! for estável, ou seja, possuir abscissa espectral negativa, existe uma matriz ! (definida positiva) que satisfaz a desigualdade (7) e, portanto, a matriz A! do sistema em malha fechada possui os autovalores contidos no cone ! ! . Esta relação é descrita pela equação (9).

!!"# A! ≥ cos ! ⟺ ! !! ≤ 0 (9)

Figura 2. Setor do Plano Complexo.

1) Função Objetivo O algoritmo busca por um controlador K que minimize a

abscissa espectral de A! sujeito a restrição de amortecimento (matematicamente caracterizada pela abscissa espectral de !!), para todos os pontos de operação considerados. O problema de otimização pode ser formulado da seguinte maneira.

min!

max!!!,…,!

!!! ! , !!! ! (10)

Sujeito a:

!!! ! ≤ !!! , !!! ! ≤ !!! , ! = 1,… ,! (11)

Em que ! corresponde ao ponto de operação selecionado e !!! e !!! aos valores das restrições. A cada ponto de operação associam-se uma função objetivo e uma função de restrição:

!!! ! = ! A! , !!! = −∞!!! ! = !"! !! , !!! = 0 (12)

A restrição !!! corresponde à restrição de amortecimento, sendo ! ≫ 1 o peso aplicado à restrição e ! um fator que retira a restrição do problema de otimização caso ela seja atendida.

! = 0, !" ! !! < 0 1, !" ! !! ≥ 0 (13)

B. Verificação de Robustez à Incerteza Politópica Considerando o politopo formado pela combinação convexa

dos N pontos de operação modelados, uma condição necessária e suficiente para a sua estabilidade quadrática é apresentada na equação (14) [22].

Im

Reθ

α(A)

S(θ)

TORRES BERNARDO AND DOTTA : A SIMPLIFIED ROBUST CONTROL DESIGN METHOD 455

P = P! ≻ 0, A!!P + PA! ≺ 0, ! = 1,… ,! (14)

Caso seja encontrada uma matriz P, que satisfaça a equação (14), garante-se a robustez à incerteza politópica. Desta forma, é assegurada a estabilidade de qualquer ponto de operação intermediário contido no politopo.

C. Fluxograma A metodologia proposta neste trabalho consiste em agregar

a restrição de amortecimento e a verificação de robustez com LMIs ao algoritmo de otimização não-convexa. A Fig. 3 apresenta o fluxograma do método implementado.

Figura 3. Fluxograma do Método.

V. APLICAÇÃO COMPUTACIONAL

A. Otimização Não-convexa No presente trabalho, para resolver o problema de

otimização proposto para a síntese do controlador, foi utilizado o pacote computacional HIFOO 3.5 (H-Infinity Fixed-Order Optimization) [24], com o software MATLAB R2014a.

O HIFOO busca ótimos locais para (10) e (11), utilizando como principal ferramenta o algoritmo de quase-Newton BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) [15]. A síntese do controlador é dividida em duas etapas. Na primeira, a minimização da abscissa espectral é aplicada buscando um controlador estabilizante. Na segunda etapa, a solução obtida é utilizada como condição inicial para o problema de otimização que deseja-se solucionar [25]. Sendo este problema formulado da seguinte forma:

min!! ! + ! max 0, !!" K − !!"

!

!!!

!

!!! (15)

Sendo ! ! a função objetivo (10) e ! o fator de

penalidade multiplicado à soma das violações das restrições. Enquanto o algoritmo não encontra uma solução que atenda as restrições, o parâmetro de penalidade é incrementado e o processo de busca continua. Após a execução do BFGS, o HIFOO tenta refinar o ótimo local com o método de gradiente amostrado apresentado em [26]. Este método realiza uma inspeção, em torno do mínimo local, verificando se existem valores menores na sua vizinhança. Em caso positivo, o processo de busca segue, caso contrário, é encerrado.

1) Implementação Computacional da Restrição de Amortecimento

A pacote HIFOO permite síntese de controladores por meio da minimização de diferentes funções objetivo. Entre elas a minimização da norma !! e da abscissa espectral do sistema. No entanto, para a aplicação desejada neste trabalho faz-se necessária a inclusão da restrição de amortecimento mínimo no algoritmo.

Em [27], é apresentada uma metodologia para inclusão da restrição de amortecimento como uma penalidade na função de cálculo da norma !! do HIFOO. A penalidade é baseada na relação descrita na equação (9). No presente trabalho, a restrição foi implementada de forma semelhante.

A versão 3.5 do HIFOO inclui nas suas funcionalidades a otimização multiobjetivo, que permite ao projetista incluir diferentes tipos de restrições. Esta opção foi explorada para a implementação da restrição de mínimo amortecimento. Baseado no método apresentado em [27] e utilizando a função specabsc.m, nativa do HIFOO, foi criada uma nova função para o pacote. Esta função pode ser inserida como uma restrição na minimização. Dado o amortecimento desejado, a função calcula o ângulo ! (Fig. 2) para a alocação dos polos e monta a matriz !!. Em seguida, a abscissa espectral de !! e seu gradiente são calculados com a função specabsc.m. Este resultado é multiplicado pelo peso ! e pelo fator !, calculado segundo (13), formando a função de restrição !!! ! da equação (12).

Fazendo !!! = 0, a minimização é aplicada de forma a obter !!! ! ≤ 0. Esta condição só é verdadeira quando ! !! < 0, ou seja, quando o amortecimento mínimo foi atingido.

B. Programação Semidefinida e LMIs As LMIs que verificam a estabilidade robusta, definidas na

seção IV.B, foram programadas utilizando o software YALMIP [28], versão 19-Sep-2015. Este software consiste de um toolbox que realiza a interface entre o MATLAB e diversos solvers de otimização. Entre os solvers compatíveis encontra-se o MOSEK [29], cuja versão 8.0.0.74 foi utilizada no presente trabalho.

VI. SISTEMA TESTE Como estudo de caso, foi escolhido o Sistema Equivalente

do Sul-Sudeste Brasileiro, representado na Fig. 4. Este sistema é constituído por sete barramentos e cinco geradores, sendo um deles uma máquina equivalente do Sudeste brasileiro. Os geradores são representados por modelos de

Início

Linearização

Síntese do controlador (otimização não-convexa)

Robustez à Incerteza Politópica

Não

Sim

It > itmax?

Sim

Não

Sim

Conjunto de Sistemas Lineares

Conjunto de Sistemas Não-Lineares

(Pontos de operação)

Fim

Simulações Não-lineares

Controlador Robusto

Solução não encontrada

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quinta ordem e todos são equipados com RATs (Reguladores Automáticos de Tensão) de primeira ordem (Fig. 5). Os geradores, com exceção do gerador equivalente, são equipados com ESPs, cuja estrutura é representada pela Fig. 6. O modelo resultante do sistema possui 41 estados e os dados completos podem ser obtidos em [30].

Quando considerados apenas os reguladores de tensão, este sistema apresenta um modo de oscilação instável e um modo interárea pouco amortecido. A inclusão dos ESPs consegue contornar este problema e garantir a estabilidade do sistema, com um amortecimento mínimo de 6,39%. No entanto, este amortecimento pode variar de acordo com o carregamento do sistema.

A Tabela I apresenta os modos de oscilação menos amortecidos para uma variação de ±10% na potência ativa consumida no circuito. Uma redução significativa do amortecimento mínimo ocorre para a redução de 10% no carregamento. Pela análise modal do sistema, observa-se que o modo menos amortecido está relacionado com a oscilação entre a máquina equivalente do Sudeste e os quatro geradores restantes. A redução no carregamento acarreta num maior fluxo de potência do sistema para o gerador equivalente. Esse aumento no fluxo causa a deterioração do amortecimento do modo interárea.

Buscando melhorar o amortecimento desse modo, bem como a robustez do sistema, o controle hierárquico foi implementado. O controlador centralizado é projetado para fornecer um sinal de correção às saídas dos ESPs (Vcent da Fig.6), utilizando como entrada os sinais de desvio de velocidade angular dos geradores das barras 1 a 4.

Figura 4. Sistema Equivalente do Sul-Sudeste Brasileiro.

TABELA I CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA 7 BARRAS BRASILEIRO

Variação de Carga Modo Autovalor Freq. (Hz) Amort. (%)

Caso Base 1 -0,33 ± i 5,21 0,83 6,39 2 -1,38 ± i 12,22 1,94 11,23

-10% 1 -0,11 ± i 5,10 0,81 2,25 2 -1,37 ± i 12,17 1,94 11,16

+10% 1 -0,53 ± i 5,27 0,84 9,98 2 -1,43 ± i 12,27 1,95 11,59

A. Variações Topológicas e de Carregamento Para o projeto do controlador foram considerados os atrasos

de tempo de comunicação, como descrito na seção III.B. O atraso máximo foi definido em 200ms e o atraso mínimo em

50ms. Os seis pontos de operação, apresentados na Tabela II, foram modelados variando-se o atraso de comunicação e o carregamento do sistema.

VII. RESULTADOS

A. Controlador Obtido Definindo ! = arccos 0,15 , o algoritmo proposto na

seção IV foi capaz de sintetizar um controlador de segunda ordem que assegura o amortecimento mínimo de 15% para todos os seis pontos de operação. As equações (16) a (19) apresentam os coeficientes, da representação em espaço de estados, obtidos para o controlador.

A! = −17,63 −5,025−24,02 −22,39 (16)

B! = 34,15 9,72220,97 −27,13

8,882 8,85627,27 −49,01 (17)

C! = 22,87 1,8015,35 −23,30

38,09 −15,0829,94 −6,192

! (18)

D! =−7,05 7,593−4,169 −6,944

−6,115 52,0622,36 54,52

−28,42 21,2522,56 −15,38

−32,98 64,55−17,99 −14,74

(19)

TABELA II PONTOS DE OPERAÇÃO

Ponto de Operação Variação de Carga Atraso (ms)

P 1 Caso Base 50 P 2 Caso Base 200 P 3 -10% 50 P 4 -10% 200 P 5 +10% 50 P 6 +10% 200

Figura 5. Diagrama do RAT.

Figura 6. Diagrama do ESP.

B. Autovalores e Estabilidade Robusta Os autovalores mais próximos à origem do plano complexo,

para o sistema com o controle hierárquico projetado, são apresentados na Fig. 7. Os pontos de operação são diferenciados pelos símbolos utilizados, os modos interárea são identificados por losangos. A linha vermelha delimita a região do plano referente ao amortecimento superior a 15% (região à esquerda).

5

1

3

2Salto Santiago

Foz do Areia

Salto Segredo

4 6 7

Itaipu Equivalente do Sudeste

Vref

Efd- +

+VESP

RsT+11

Vt

Efd MIN

Efd MAX

KA

Δωr VESP

VESP MAX

VESP MIN

KSTAB1 + #$%1 + #$&

1 + #$'1 + #$(

#$)1 + #$)

+

Vcent

+

TORRES BERNARDO AND DOTTA : A SIMPLIFIED ROBUST CONTROL DESIGN METHOD 457

C. Simulações Não-Lineares O desempenho do controle hierárquico proposto foi testado

por meio de simulações não-lineares no software ANATEM v.10.05.04 [31]. O controlador projetado foi convertido em funções de transferência e inserido de forma a somar um sinal de correção aos ESPs originais do sistema. Os atrasos de tempo foram implementados com blocos ‘ATRASO’ no ANATEM de forma independente, ou seja, atrasos nas entradas e saídas do controlador. Os limitadores dos RATs foram mantidos e os limitadores das saídas dos ESPs foram desconsiderados em todas as simulações.

As Fig. 8 a 10 apresentam a resposta do sistema para um curto-circuito franco, aplicado no barramento 4 e extinto após 30ms. As simulações foram realizadas com a parcela ativa do carregamento do sistema reduzida em 10% para observar o comportamento do sistema no pior ponto de operação modelado. Os gráficos apresentam a resposta para o controle local (original do sistema) e para o controle hierárquico, considerando os atrasos totais de 50ms e 200ms.

Figura 7. Autovalores menos amortecidos com controle hierárquico.

D. Análise dos Resultados O controlador projetado não apenas é capaz de assegurar o

amortecimento de 15% nos seis pontos de operação modelados, como garante a estabilidade robusta para a incerteza politópica modelada.

Nas simulações não-lineares, observa-se uma melhora no desempenho do sistema, o controle hierárquico proporciona um amortecimento significativo das oscilações pós falta do ângulo do gerador de Itaipu (Fig. 8). Um maior esforço de controle, para controlador projetado, é observado ao analisar a saída do RAT do gerador 4 (Fig. 9). No entanto, foram mantidos os limitadores dos RATs, assegurando o nível de tensão de campo adequado. No fluxo de potência ativa entre os barramentos 7 e 6 (Fig. 10), o amortecimento satisfatório do modo de oscilação interárea pode ser observado.

VIII. CONCLUSÕES Neste trabalho, um novo método para o projeto de

controladores para o amortecimento de oscilações em SEE utilizando otimização não-convexa, é apresentado. O método é de simples implementação, não necessitando de ajustes em matrizes de desempenho durante a síntese dos controladores. O método foi aplicado em uma estrutura de controle

hierárquica, considerando variações nos atrasos de comunicação, bem como variações no carregamento do sistema. O projeto foi realizado com base em modelos linearizados dos pontos de operação e os requisitos de projeto foram impostos por meio de uma restrição de amortecimento mínimo. A análise com LMIs foi realizada para assegurar a estabilidade robusta à incerteza politópica para o sistema com o controle projetado. A inserção da restrição de amortecimento na ferramenta HIFOO e a verificação de robustez com LMIs representam as principais contribuições do método proposto.

O amortecimento mínimo de 15% atingido e a melhoria no desempenho do sistema, observada nas simulações não-lineares, indicam a eficiência do método. Os resultados positivos obtidos justificam o estudo mais aprofundado do método com sistemas mais complexos.

Figura 8. Resposta ao curto-circuito, ângulo de Itaipu.

Figura 9. Resposta ao curto-circuito, tensão de campo de Itaipu.

Figura 10. Resposta ao curto-circuito, fluxo de potência ativa entre as barras 7 e 6.

-4 -3 -2 -1 00

2

4

6

8

10

12

14

16

Re

Im

P 1P 2P 3P 4P 5P 6Interárea

0 2 4 6 8 1080

90

100

110

120

130

140

Tempo(s)

δ 4(°)

Hierárquico (200ms)Hierárquico (50ms)Local

0 2 4 6 8 10

-3

-2

-1

0

1

2

3 EFDMAX

EFDMIN

Tempo(s)

EFD

4 (pu)

Hierárquico (200ms)Hierárquico (50ms)Local

0 2 4 6 8 10-8000

-7000

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

Tempo(s)

P 7-6 (

pu)

Hierárquico (200ms)Hierárquico (50ms)Local

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AGRADECIMENTOS Agradecemos a CAPES e a FAPESP projetos número

2015/18806-7 e 2016/08645-9 pelo apoio financeiro.

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Raul Torres Bernardo, está cursando o doutorado em Engenharia Elétrica na Universidade Estadual de Campinas, São Paulo, Brasil. Recebeu o título de Bacharel em Engenharia de Controle e Automação, em 2015, pela Universidade Federal de Ouro Preto, Minas Gerais, Brasil e o título de Mestre em Engenharia Elétrica, em 2017, pela Universidade Estadual de Campinas, São Paulo, Brasil .

Daniel Dotta, recebeu os títulos de Doutor, Mestre e Bacharel em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil em 2009, 2003 e 2000 respectivamente. É professor assistente da Faculdade de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual de Campinas, São Paulo, Brasil.

TORRES BERNARDO AND DOTTA : A SIMPLIFIED ROBUST CONTROL DESIGN METHOD 459