Series RLC circuits

Chapter 13Chapter 13

© Copyright 2007 Prentice-HallElectric Circuits Fundamentals - Floyd

Chapter 13

RLC Circuits and Resonance



학습개요

Chapter Objectives

• 직렬 RLC 회로에서의 임피던스와 위상각을 결정

• 직렬 RLC 회로의 분석

• 직렬 공진 회로 분석

• 직렬 공진 필터 분석

• 병렬 RLC 회로의 분석

• 병렬 공진 회로 분석

• 병렬 공진 필터의 동작 분석

• 공진 회로의 응용



13.1 Impedance and Phase Angle of Series RLC Circuits

• 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스는 회로의 위상각에 대해서 서로정반대의 영향을 주기 때문에, 이 두 종류의 리액턴스 값을 합한 총리액턴스의 값은 각각의 리액턴스 값 보다 작다.

• RLC 직렬 회로의 임피던스와 위상값을 결정

총 리액턴스를 구함.

회로의 특성 (유도성인지 용량성인지) 을 파악



VS

R L C

Series RLC circuits인덕터와 캐패시터가 직렬 연결된 회로에서 각각의 리액턴스는 서로 상쇄되어전제 리액턴스는 다음과 같이 된다.

tot L CX X X= −

전체 임피던스 2 2tot totZ R X= +

위상각 1tan totXR

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

• XL > XC : 유도성 회로, 전류는 인가 전압보다 뒤진다.

• XL < XC : 용량성 회로, 전류는 인가 전압보다 앞선다.

( )( )RCLjeC

LR

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω

ωω

ωω

1tan2

211

11

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=



13.2 Analysis of Series RLC Circuits

• 용량성 리액턴스의 값은 주파수에 반비례하고, 유도성 리액턴스의 값은주파수에 비례한다.

• 용량성, 유도성 리액턴스가 서로 결합되면, 주파수에 따라 어떤 성질을나타내는지 알아본다.

RLC 직렬 회로의 전류를 구한다.

RLC 직렬 회로에서, 각 소자에서의 전압 강하를 구한다.

위상각을 구한다.



Variation of XL and XC with frequency

Rea

ctan

ce

f

XC XL

직렬 RLC회로에서 회로는 주파수에 따라 용량성 혹은 유도성이 된다. (공진 주파수에서는 저항성)

XC=XL 인 주파수에서 회로는직렬공진(series resonance.)

Series resonance

XC=XL

공진주파수 아래에서는용량성(capacitive)이 지배적

공진주파수 위에서는유도성(inductive)이 지배적

XC>XL XL>XC

capacitive inductive

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−+=

CL

CjLjRZ

ωω

ωω 1)1Im()Im(



VS

R L C

What is the total impedance and phase angle of the series RLC circuit if R= 1.0 kΩ, XL = 2.0 kΩ, and XC = 5.0 kΩ?

1.0 kΩ XC = 5.0 kΩ

The total reactance is 2.0 k 5.0 k 3.0 ktot L CX X X= − = Ω− Ω = Ω

The total impedance is 2 2 2 21.0 k +3.0 ktot totZ R X= + = Ω Ω = 3.16 kΩ

XL = 2.0 kΩ

The circuit is capacitive, so I leads V by 71.6o.

The phase angle is 1 1 3.0 ktan tan1.0 k

totXR

θ − − Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ Ω⎝ ⎠⎝ ⎠71.6o

Impedance of series RLC circuits

( )( )RCLjeC

LR

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω

ωω

ωω

1tan2

211

11

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=



What is the magnitude of the impedance for the circuit?

R L C

VS 330 μH

f = 100 kHz

470 Ω 2000 pF

( )( )2 2 100 kHz 330 H 207 LX fLπ π μ= = = Ω

( )( )1 1 796

2 2 100 kHz 2000 pFCXfCπ π

= = = Ω

207 796 589 tot L CX X X= − = Ω− Ω = Ω


( ) ( )2 2 = 470 589 Z Ω + Ω = 753 Ω

( )( )RCLjeC

LR

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω

ωω

ωω

1tan2

211

11

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=



R L C

VS

What is the total impedance for the circuit when the frequency is increased to 400 Hz?

330 μHf = 400 kHz470 Ω 2000 pF

( )( )2 2 400 kHz 330 H 829 LX fLπ π μ= = = Ω

( )( )1 1 199

2 2 400 kHz 2000 pFCXfCπ π

= = = Ω

이제 회로는유도성(inductive)


829 199 630 tot L CX X X= − = Ω− Ω = Ω

( ) ( )2 2 = 470 630 Z Ω + Ω =

786 Ω



13.3 Series Resonance

• RLC 직렬 회로에서, 직렬 공진은 XL=XC일 때 발생한다.

• 공진이 일어나는 주파수를 공진 주파수 (resonant frequency) 라고 하며, fr 로 표시한다.

• 공진시의 직렬회로 해석 방법

공진을 정의한다.

공진 시 회로의 임피던스를 구한다.

공진 시 회로의 리액턴스가 0이 되는 이유를 설명한다.

직렬 공진 주파수를 계산한다.

공진 시 전류, 전압, 위상각을 구한다.



Series resonance공진주파수에서 XC 과 XL 는 상쇄된다. VC 와 VL 역시 크기가 같고위상이 반대이므로 상쇄된다. 공진 시에 회로는 순수하게 저항성이 된다.

대수합=0

0

등가

CL XX =RZr =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω 11

0=



공진 시 XL과 XC는 상쇄

직렬 공진 주파수에서 C와 L의 리액턴스가 같고 직렬 연결된 두 소자에는동일한 전류 I가 흐르기 때문에 C와 L 양단 전압의 크기가 같다 (IXL = IXC) . 또한 VL과 VC 사이의 위상차는 항상 180°가 된다.



공진주파수에 대한 공식은 XC = XL 에서 다음과 같이 구할 수 있다.

12rf LCπ

=

What is the resonant frequency for the circuit?

R L C

VS

330 μH470 Ω 2000 pF( )( )

12

12 330 μH 2000 pF

rf LCπ

π

=

=

= 196 kHz

Series Resonance Frequency

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω 11

01)Im( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

CLZ

ωω

LC1

=ω



• 직렬 RLC 회로에서 주파수에 대한 일반적인 전류/전압의 진폭

• 공진 주파수에서 최대 전압 (VRmax=Vs) 이 되고, f=0과 f=∞에서 최소 전압 0이 된다. • 그림 (c), (d) : VL과 VC에 대한 일반적인 형태의 주파수 응답 곡선

f=0일 때 캐패시터는 개방 회로로 볼 수 있으므로 VC=Vs가 됨. f의 값이 무한대로 접근하면 인덕터는 개방 회로로 볼 수 있으므로 VC=Vs가 됨.

• 그림 (e) : 전압의 크기는 공진 주파수 fr에서 최대가 되며, fr에서 양쪽으로 멀어지면감소한다.

• 공진시, L과 C 양단 전압의 크기는 서로 같고, 위상차는 180°가 된다. 따라서 그림에표시된 것처럼 L과 C의 전압을 합하면 0V가 되어 VR=Vs 가 된다.

• 뒤에서 설명하겠지만, 공진시 VL과 VC의 합이 0V가 되어도 VL과 VC 각각의 크기는전원 전압보다 훨씬 큰 값이 될 수도 있다.

• VL과 VC는 주파수에 관계없이 언제나 극성 (부호) 이 서로 반대가 되고, 공진주파수에서는 크기가 서로 같다는 것을 유의하자.



XL

f

XC

X• 공진주파수에서는 회로가 저항성이 되고

Z = R 이 된다.

• 주파수가 0 Hz일 때 캐패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로로 볼 수 있으므로, XL은 0Ω, XC는 ∞Ω이 되어 결국 Z도 ∞ Ω이된다.

• 주파수가 증가하면, XC의 값은 감소하고, XL의 값은 증가한다.

Z

Series resonance

Z = R

Impedance of a Series RLC Circuits

• fr 보다 낮은 주파수 : XC > XL이 되므로, Z는 XC의변화추세를 따라 함께 감소하게 된다.

• fr : XC = XL이므로, Z=R이 됨.

• fr 보다 높은 주파수 : XC <XL 므로, Z는 XL의 변화를따라 함께 증가한다.

( )( )RCLjeC

LR

CLjR

CjLjRZ

ωω

ωω

ωω

ωω

1tan2

211

11

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=



직렬 공진에서 중요한 개념을 요약하면 다음과 같다.

• 용량성 리액턴스와 유도성 리액턴스는 같다.

• 전체 임피던스는 최소가 되고 저항성이 된다.

• 전류는 최대가 된다.

• VS 와 IS 위상각은 0 (같은 위상)이다.

• 공진주파수(fr ) : 12rf LCπ

=

직렬 공진 요약



13.4 Series Resonant Filters

• RLC 직렬 회로는 필터회로로 응용된다.

• 본 절에서는 수동 band-pass, band-stop 필터와 여러 가지 중요한필터의 특성에 대해 알아본다.

• 직렬 공진 필터를 분석

기본적인 직렬 공진 band-pass 필터를 이해

bandwidth를 정의하고 결정함.

half-power 주파수를 정의함.

dB 측정에 대해 논함.

선택도(selectivity)를 정의

필터의 Quality factor(Q)를 논함.

직렬 공진 band-stop 필터를 이해



The Band-Pass Filter

R

L CVoutVin

Resonant circuit• 직렬 공진 회로의 응용에는 필터가 있다.• 출력은 저항에서 취함을 유의.

• 대역통과필터(band-pass filter)는 공진주파수에서 특정 대역폭위/아래의 주파수를 가진 입력 신호는 큰 진폭의 감쇠 없이 출력으로통과시켜준다.

• 통과대역(passband)이라고 불리는 특정 대역 밖의 주파수를 가진신호는 진폭을 일정 크기 이상 감쇠시키며 필터에 의해 차단된다고간주한다.



( )

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

RCL

j

j

RCL

jSR

e

CLR

AR

Ae

eC

LR

RV

CLjR

RVo

ωω

ωω

ωω

ωωω

ω

1tan

22

01

tan22

1

1

1

11

( )( )RCLjeC

LRC

LjRC

jLjRZ ωω

ωω

ωω

ωω

1tan2

21111 −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=



직렬공진주파수(series resonant frequency)에서 응답은 최대가 된다.전류는 공진 시에 최대가 되고 그 전후에서 값이 작아지기 때문에 저항양단의 전압은 공진 시에 최대가 된다.

필터의 대역폭 (BW) 은 출력은최대값의 70.7% 보다 크게 되는주파수의 범위로 f1 과 f2 는 종종임계주파수(critical frequencies) , 차단주파수(cutoff frequencies) , 혹은반전력주파수(half-power frequencies) 라고 불린다.

0.707

f1 fr f2

BW

f

I or Vout Passband1.0

Bandwidth of the Passband

주파수 공식 : 12 ffBW −=



• 두 차단 주파수를 반전력 주파수라고도 한다. • 이것은 차단 주파수에서의 전력이 공진 주파수에서의 전력의 1/2이

되므로 붙여진 이름이다.

Half-Power Points of the Filter Response

• 공진의 경우

RIP maxmax2=

• f1(또는 f2)에서의 전력

maxff PRIRIRIRIPmaxmaxmax

5.05.0)707.0()707.0( 2222211

=====



필터 응답은 종종 데시벨(decibels)로 나타내는데 그 정의는 다음과같다.

dB 10log out

in

PP

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

dB 20log out

in

VV

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

동일한 임피던스 양단의 전압을 측정한 경우 데시벨(decibel)에 대한또 다른 유용한 정의는 다음과 같다.

비율이기 때문에 데시벨(decibel )의 단위는 없다. 특히 전력비가 1:2인경우를 −3 dB 주파수라고 하는데 그 이유는 아래와 같다.

1dB 10log 3 dB2

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Decibel(dB) Measurement



• 공진 회로에서의 선택도 (selectivity)는 회로가 갖고 있는 주파수 선택성의 정도-즉, 회로가 어느 정도로 (얼마나 잘) 특정 주파수에 대해서 응답하고 그 밖의 주파수에대해서는 응답하지 않는가-를 표시한다. 따라서 대역폭이 작을수록 선택도는커진다.

• 이상적인 공진 회로의 경우에는 그림(b)와 같이 대역폭 밖의 주파수는 완전히제거됨. 그러나, 실제로는 그림(b)와 같이 대역폭 밖의 주파수를 갖는 신호의크기는 아주 작아지기는 하지만 완전히 제거되지 않는다.

• 선택도에 영향을 주는 또 다른 요소는 응답 곡선의 기울기이다.

Selectivity of a Band-Pass Filter



• RL 회로에서 Q는

The Quality Factor(Q) of a Resonant Circuit

RIXIQ L2

2

power truepower reactive

dissipatedenergy soterdenergy

===

RXQ L=

• Q 는 XL 의 함수로 주파수에 따라 달라지는데 우리는 공진 시의 Q 에 관심을 둔다.

How Q Affects Bandwidth

• 회로의 Q가 클수록 대역폭은 작아진다. 반대로 Q값이 작을수록 대역폭은 커진다.

QfBW r=



• 출력을 공진회로(resonant circuit) 양단에서 취함으로써 대역차단(band-stop 혹은 notch)필터를 만들 수 있다.

• 대역차단 필터는 하단 및 상단 차단 주파수 사이의 주파수를 가지는신호를 차단하고 그 밖의 신호는 통과시켜준다.

• 이런 형태의 필터를 대역소거필터(band-elimination filter), 대역차단필터(band-rejection filter), 혹은 노치필터(notch filter)라고 부른다.

RVoutVin

L

C

공진회로

f

Vout회로 응답

f1 fr

BW

Stopband

0.707

1

f2

The Band-stop Filter



( )

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

RCL

j

j

RCL

j

j

SLC

o

o

o

e

CLR

CLA

Ae

eC

LR

eC

LV

CLjR

CLj

V

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

1tan90

22

01

tan22

90

1

1

1

1

1

1

1

1

( )( )RCLjeC

LRC

LjRC

jLjRZ ωω

ωω

ωω

ωω

12

2 111 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=



13.5 Parallel RLC Circuits

• 병렬 RLC 회로를 분석

임피던스와 위상각을 구함.

모든 전류를 구함. 총 리액턴스를 구함.

직병렬 RLC 회로를 등가의 병렬 형태로 변환하는 방법



Conductance, susceptance, and admittance10 장에서 정의한 바와 같이컨덕턴스(conductance), 서셉턴스(susceptance),어드미턴스(admittance)는저항(resistance), 리액턴스(reactance), 임피던스(impedance)의 역수이다.

컨덕턴스(Conductance) : 저항( resistance)의 역수. 1GR

=

어드미턴스(Admittance) : 임피던스(impedance)의 역수.

서셉턴스(Susceptance) : 리액턴스(reactance)의 역수1BX

=

1YZ

=



어드미턴스(admittance)를 사용하여 임피던스(impedance) 구하기.

- 어드미턴스 계산 2 2totY G B= +

- 위상각 1tan totBG

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

- 임피던스는 어드미턴스의 역수1

totZY

=

R L CVS

Impedance and Phase Angle

리액턴스보다 작다. 따라서 회로는 유도성이 된다. • 주파수가 증가하면 XL은 증가하고 XC는 감소한다. 이 때, XL= XC가 되는 주파수에서

병렬 공진이 발생한다. • 주파수가 이 값에서 더욱 증가하면 XC는 XL보다 작아지므로 회로는 용량성이 된다.

• 용량성 리액턴스값은 주파수에반비례하고, 유도성 리액턴스값은주파수에 비례한다.

• 낮은 주파수 영역에서는 RLC 병렬회로의 유도성 리액턴스의 값이 용량성

tot L CB B B= −- 우선 전체 서셉턴스(susceptance)를 계산

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=++=

LCj

RCj

LjRY

ωωω

ω1111



What is the total impedance of the parallel RLC circuit if R= 1.0 kΩ, XL = 2.0 kΩ, and XC = 5.0 kΩ?

1.0 kΩXC = 5.0 kΩ

First determine the conductance and total susceptance as follows:

The total admittance is:2 2

2 21.0 mS + 0.3 mS 1.13 mS

tot totY G B= +

= =

881 Ω

XL = 2.0 kΩ

RVS

1 1 1.0 mS1.0 k

GR

= = =Ω

1 1 0.5 mS2.0 kL

L

BX

= = =Ω

1 11.13 mS

ZY

= = =

1 1 0.2 mS5.0 kC

C

BX

= = =Ω

0.3 mStot L CB B B= − =



+90o

−90o

IC

IR

IL

전체전류

( )22tot R C LI I I I= + −

What is Itot and θ if IR = 10 mA, IC = 15 mA and IL = 5 mA?

45 mAθ = ∠ °

1tan CL

R

II

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

위상각

( )2210 mA + 15 mA 5.0 mAtotI = − = 14.1 mA

• 저항을 통해 흐르는 전류(IR)와 각 리액턴스 소자를 통해 흐르는 전류(IL , IC ) 사이에는 90°의 위상차가 있다.

• 병렬 RLC 회로의 전형적인 전류페이저도

oojj

sR e

RA

RAe

RVI 00

===

o

o

o

jj

js

L eL

ALeAe

LjVI 90

90

0−===

ωωωooo jjjs

C CeACeAe

Cj

VI 90900

1ωω

ω

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=



Draw a diagram of the phasors if IR = 12 mA, IC = 22 mA and IL = 15 mA?

• Set up a grid with a scale that will allow all of the data– say 2 mA/div.

0 mA

10 mA

20 mA

10 mA

20 mA

IR

IC

IL

• Plot the currents on the appropriate axes

• Combine the reactive currents

• Use the total reactive current and IR to find the total current. In this case, Itot = 16.6 mA



Conversion of Series-Parallel to Parallel

• LC 병렬 회로로서, L에 권선저항이 존재하는 경우• 등가 회로는 병렬공진회로의 특성을 분석하는데 도움이 됨.

등가

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 2

2 1Q

QLLeq )1( 2)( += QRR Weqp

• 여기서, Q는 코일의 quality factor로서 XL/RW임.• Q≥10일 경우, Leq는 원래의 L값과 같다.

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+−

+=

+−

=+

2

2

2

2

22

22

222222

1111

11

11

1

11

1

11)()()(

1

QQL

QL

LRLL

QRR

LRR

Lj

RL

RLj

RLR

LRLj

LRR

LRLjR

LjR

Weq

WW

WP

eqPW

W

W

WW

W

W

W

W

ω

ω

ωω

ωω

ωω

ωωω

ω



13.6 Parallel Resonance

• 이상적인 LC 병렬 회로의 공진 조건에 대해 알아 보고,

• 실제적인 경우로서, 코일의 권선 저항을 고려한 병렬 회로의 공진 조건에대해서도 함께 알아 본다.

• 병렬 공진회로의 분석

이상적인 병렬 공진 회로를 살펴본다.

실제 (비이상적) 병렬 공진 회로를 살펴본다.

주파수에 따른 임피던스의 변화를 살펴본다.

병렬 공진시 전류와 위상각을 구한다.

병렬 공진 주파수를 계산한다.

병렬 공진회를 부가한 효과를 설명



병렬 공진 주파수 공식은 직렬 공진 주파수 공식과 같다.

12rf LCπ

=

What is the resonant frequency for the circuit?

( )( )

12

12 680 μH 15 nF

rf LCπ

π

=

=

= 49.8 kHz

R L CVS680 μH1.0 kΩ 15 nF

(ideal case)

Parallel Resonant Frequency

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=++=

LCj

RCj

LjRY

ωωω

ω1111

01)Im( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

LCY

ωω

LC1

=ω



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=++=

LCj

RCj

LjRY

ωωω

ω1111



Tank Circuit• 탱크 회로는 병렬 공진 회로의 또 다른 이름으로 코일에서는 자기장(magnetic

field) , 캐패시터에서는 전기장 (electric field)의 형태로 에너지를 저장하기때문에 생겨난 용어이다.

• 회로에 저장된 에너지는 1/2 사이클 마다 번갈아 가면서 캐패시터와 인덕터사이를 왕복한다. 즉, 처음에 에너지가 인덕터에 저장되어 있었다면, 이 에너지는1/2 사이클 동안 인덕터로부터 빠져 나와 캐패시터를 충전시킨다. 다음 1/2 사이클동안에는 캐패시터에 충전된 에너지가 다시 인덕터로 전달되어 저장된다.

• 이 과정이 인덕터와 캐패시터 사이에서 계속적으로 반복된다.



Parallel Resonant Conditions in a Nonideal Circuit• 탱크 회로에서 권선저항(RW)을 무시할 수 없는 경우

• 이 회로에서 권선저항 만이 존재한다면, 공진 시에 회로의 Q는 코일의 Q와 같다.

W

L

RXQ =

• 회로 소자의 값으로 Q를 구하면

CL

RQ 1=

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+−

+=

+−

=+

2

2

2

2

22

22

222222

1111

11

11

1

11

1

11)()()(

1

QQL

QL

LRLL

QRR

LRR

Lj

RL

RLj

RLR

LRLj

LRR

LRLjR

LjR

Weq

WW

WP

eqPW

W

W

WW

W

W

W

W

ω

ω

ωω

ωω

ωω

ωωω

ω



• 병렬 등가회로에서의 관계를 상기하면

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 2

2 1Q

QLLeq )1( 2)( += QRR Weqp

• Q≥10일 경우, Leq는 원래의 L값과 같다.

• 병렬 공진시에 CeqL XX =)(

• 따라서, 이상적인 경우가 아닌 병렬 공진시의 경우에는 다음과 같이 등가회로로볼수 있음.

)1( 2 += QRZ Wr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=++=

eqPeqP LCj

RCj

LjRY

ωωω

ω1111

= 0



Variation of the Impedance with Frequency• 이상적인 병렬 공진 회로의 임피던스는 공진 주파수에서 무한대가 되지만, 실제

병렬 공진 회로의 임피던스는 공진 주파수에서 무한대가 아닌 어떤 유한한최대값을 갖고, 공진 주파수에서 좌, 우로 멀어질수록 크기가 감소한다.

• 매우 낮은 주파수에서는 XL의 값이 매우작고 XC의 값은 반대로 아주 큰 값이 되므로총 임피던스는 유도성 리액턴스의 값과 거의같아진다.

• 주파수가 증가하면 XL의 값이 증가함에 따라임피던스도 함께 증가한다 (이것은, 공진주파수에 도달하기 전까지는 XL이 XC보다작기 때문이다).

• 공진 주파수에서는 물론 XL XC (Q>10일 때) 이며, 임피던스는 최대가 된다.

• 주파수가 공진 주파수보다 더욱 증가하면 XC의 값이 XL보다 작아지므로, 회로는용량성이 되어 임피던스는 감소하게 된다.

≅



Current and Phase Angle at Resonance• 이상적인 탱크 회로에서, 공진 시 회로의 임피던스는 무한대이므로 전원으로부터

공급되는 전체 전류가 0 A가 된다. • 그러나 실제의 탱크 회로에서는 공진 주파수에서도 전체 전류가 약간 흐르며, 이

전류의 크기는 다음 식과 같이 공진 시 임피던스에 의해 정해진다.

r

stot Z

VI =

• 공진 시 병렬 공진 회로의 임피던스는 저항 성분만을 가지므로, 위상각은 0°가된다.



실제 회로에서는 권선 저항이 고려되므로 이상적인 경우와 달리공진 시에 적은 전류가 흐르고 공진 주파수도 조금 달라진다. 코일의 Q 가 공진 주파수 공식에 미치는 영향은 다음과 같다.

2

2

112r

QfQLCπ

=+ (non-ideal)

Q >10 인 경우 실제 공진주파수는 이상적인 경우에 대해1%이내의 오차를 나타내므로 무시할 수 있다.

Parallel Resonant Frequency in a Nonideal circuit

,2

1CL

feq

r π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += 2

2 1Q

QLLeq



An External Load Resistance Affects a Tank Circuit

• 부하가 있는 경우의 Q는

)()( || eqpLtotp RRR =

)(

)(

totp

eqL

RX

Q =



13.7 Parallel Resonant Filters

• 병렬 공진 회로는 band-pass, band-stop 필터에 응용된다.

• 본 절에서는 병렬 공진 필터를 분석한다.

band-pass 필터의 구현 방법

bandwidth를 정의하고 결정함.

부하의 효과에 따른 선택도 변화

band-stop 필터의 구현 방법

band-pass, band-stop 병렬 공진 필터의 공진주파수, 대역폭, 출력전압을 결정한다.



The Band-Pass Filter

R

VinVout

병렬 공진대역 통화 필터

CL공진회로

0.707

f1 fr f2

BW

f

Vout통과대역

회로 응답

1.0



Loading Effects

• 공진회로에 부하가 연결되어 있을 때, 필터의 Q는 감소한다. • BW=fr/Q 이므로, 대역폭은 증가하고, 선택도는 감소하게 된다. • RL이 Rp(eq)와 병렬로 되므로 공진 시에 필터의 임피던스는 감소한다. • 따라서, 최대 출력전압은 Rp(tot)와 내부 소스 저항인 RS의 전압분배기 원리에 의해

감소한다.



f

R

Vin Vout

병렬 공진대역 차단 필터

C

L

공진회로

Vout

f1 fr

BW

차단대역

0.707

1

회로 응답

f2

The Band-Stop Filter

• 공진주파수 fr 에서의 출력전압 : inrL

Lout V

ZRRV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=



병렬 공진에서 중요한 개념을 요약하면 다음과 같다.

• 용량성 서셉턴스와 유도성 서셉턴스가 같다.

• 전체 임피던스는 최대가 된다(이상적인 경우 무한대)

• 전류는 최소가 된다.

• VS 와 IS 의 위상각은 0.

• 공진주파수(fr ) : 1

2rfLCπ

=

Parallel resonance



Key ideas for resonant filters

• 대역통과 필터는 두 임계 주파수 사이의 주파수를통과시키고 나머지 신호는 차단한다.

• 대역차단 필터는 두 임계 주파수 사이의 신호를차단하고 나머지 신호는 통과시킨다.

• 대역통과 필터와 대역 차단 필터는 직렬 공진회로와병렬 공진회로를 사용하여 구성할 수 있다.

• 공진 필터의 대역폭은 공진주파수와 Q에 의해결정된다.

• 임계주파수에서 출력은 최대값의 70.7%가 된다.

Series RLC circuits

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