Seminarios de Matemática Financiera Instituto MEFF RiskLab...

Metodología de Riesgos Corporativos 1

The twoThe two-factor -factor model for credit riskmodel for credit risk

A A comparison with the comparison with the BIS II BIS II oneone-factor -factor modelmodel

Juan Carlos García Céspedes & David García Martín,

Metodología de riesgos corporativos

Seminariosde

Matemática FinancieraInstituto MEFF RiskLab-Madrid

Miércoles 27 de noviembre del 2002

2

Objetivos del documento de trabajoObjetivos del documento de trabajo

•• Existen numerosas ventajas de utilizar un modelo Existen numerosas ventajas de utilizar un modelo unifactorial unifactorial enenel marco de Basilea II el marco de Basilea II (tratamiento (tratamiento análíticoanálítico, , aditividad aditividad del capital..)del capital..)

Pero ello exige pagar un coste.Pero ello exige pagar un coste.

En este papel ponemos de manifiesto que :En este papel ponemos de manifiesto que :

El modelo El modelo unifactorialunifactorial::

Sobrestima el capitalSobrestima el capital

No captura adecuadamente los efectos de la diversificaciónNo captura adecuadamente los efectos de la diversificación

Hemos extendido el modelo Bis II al caso de economías n-Hemos extendido el modelo Bis II al caso de economías n-factoriales a costa de perder solución analítica:factoriales a costa de perder solución analítica:

Contribuye a la clarificación de las restricciones que el Contribuye a la clarificación de las restricciones que el modelo modelo unifactorial unifactorial provocaprovoca

Proporciona una fórmula Proporciona una fórmula semianalítica semianalítica que que palía palía en parte laen parte lapérdida de la solución analítica del modelo pérdida de la solución analítica del modelo unifactorialunifactorial

3

ConclusionesConclusiones

2

Recordatorio Basilea IIRecordatorio Basilea II1

Modelo de Modelo de MertonMerton-Modelo Bis II-Modelo Bis II

3 Presentación del documento de trabajoPresentación del documento de trabajo

4

5 Apéndice matemáticoApéndice matemático

4

•• Creado a finales de 1974 por los países del Grupo deCreado a finales de 1974 por los países del Grupo delos 10 (G-10) para coordinar la supervisión de loslos 10 (G-10) para coordinar la supervisión de losbancos internacionales.bancos internacionales.

•• Composición hasta diciembre 2.000:Composición hasta diciembre 2.000:•• Estados UnidosEstados Unidos•• CanadáCanadá•• JapónJapón•• 8 Países Europeos miembros de las Comunidades8 Países Europeos miembros de las Comunidades

Europeas (Reino Unido, Alemania, Francia, Italia,Europeas (Reino Unido, Alemania, Francia, Italia,3 componentes del 3 componentes del BeneluxBenelux y Suecia) y Suecia)

•• SuizaSuiza•• Enero 2001: Ingreso de España en el Comité.Enero 2001: Ingreso de España en el Comité.

EL COMITÉ DE BASILEA Y EL ACUERDO DEL 88EL COMITÉ DE BASILEA Y EL ACUERDO DEL 88

••El Comité de Basilea estableció en 1988 unosEl Comité de Basilea estableció en 1988 unosrequerimientos mínimos de capital para las entidadesrequerimientos mínimos de capital para las entidadesfinancieras (BIS I).financieras (BIS I).

••La idea del regulador era La idea del regulador era garantizar la solvencia delgarantizar la solvencia delsistemasistema financiero (recientes crisis bancarias), para ello financiero (recientes crisis bancarias), para ellose exige un mínimo de capital a las entidades financieras.se exige un mínimo de capital a las entidades financieras.

HISTORIAHISTORIA

SOLVENCIA Y SOLVENCIA Y RATIO DE CAPITALRATIO DE CAPITAL

Recordatorio Basilea IIRecordatorio Basilea II

5

•• Se establece que el capital Se establece que el capital regulatorio regulatorio ha de ser al menos el ha de ser al menos el8% de los Activos Totales Ponderados en Riesgo8% de los Activos Totales Ponderados en Riesgo

Capital mínimo 8% sobre 170 = 13,6

Inversión Tipología PonderaciónActivos

Ponderados

100 Hipotecas 50% 50100 Préstamos a particulares / empresas 100% 100100 Entidades Financieras 20% 20100 Gobiernos / soberanos OCDE 0% 0400 170


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•• La La justificaciónjustificación de que el mínimo de capital requerido fuera un de que el mínimo de capital requerido fuera unporcentaje fijo de los activos ponderados hay que buscarla en unporcentaje fijo de los activos ponderados hay que buscarla en unenfoque clásico (y práctico) del negocio bancario: riesgo ligadoenfoque clásico (y práctico) del negocio bancario: riesgo ligadoal tamaño del balance, no incidiendo en las posiblesal tamaño del balance, no incidiendo en las posiblespeculiaridades diferenciales de los perfiles de riesgos de cadapeculiaridades diferenciales de los perfiles de riesgos de cadabanco.banco.

•• Sin embargo es más Sin embargo es más difícil encontrar una justificación científicadifícil encontrar una justificación científicapara la elección del 8%.para la elección del 8%. Una fuerte componente de consenso y Una fuerte componente de consenso yde niveles previos de capitalización están detrás de ello.de niveles previos de capitalización están detrás de ello.

•• Por tanto, los requerimientos de capital de un banco con Por tanto, los requerimientos de capital de un banco confuertes inversiones en empresas calificadas con bajofuertes inversiones en empresas calificadas con bajo rating rating((speculativespeculative grade grade) actualmente son los ) actualmente son los mismosmismos que los de otro que los de otrobanco cuya inversión se concentre en activos con alta calidadbanco cuya inversión se concentre en activos con alta calidadcrediticia (crediticia (investmentinvestment grade grade).).


7

NUEVA PROPUESTANUEVA PROPUESTA

•• En 1999 el Comité emprendió una revisión completa del En 1999 el Comité emprendió una revisión completa delAcuerdo, sobre la base de 3 principios:Acuerdo, sobre la base de 3 principios:

- Los - Los requerimientos de capitalrequerimientos de capital regulatorioregulatorio deben ser deben ser másmássensiblessensibles al riesgoal riesgo: relación directa entre riesgo y capital.: relación directa entre riesgo y capital.

- El tratamiento de la adecuación de capital debe consistir - El tratamiento de la adecuación de capital debe consistiren algo más que en la fijación de unos ratios mínimos. Losen algo más que en la fijación de unos ratios mínimos. Lossupervisores y la supervisores y la disciplina de mercadodisciplina de mercado tienen que tienen querepresentar papeles importantes.representar papeles importantes.

- El tratamiento debe incluir - El tratamiento debe incluir incentivos para que los bancosincentivos para que los bancosmejorenmejoren su capacidad de medición y gestión del riesgo. su capacidad de medición y gestión del riesgo.


8

ESTRUCTURA DE LA NUEVA PROPUESTAESTRUCTURA DE LA NUEVA PROPUESTA


9

Enfoque Básico Enfoque Avanzado

Internamente se estima la PD,(probabilidad de Default). Resto defactores se toman como dados.

Todos los parámetros sonestimados internamente. Únicoenfoque posible en caso deretail.

EXPOSICIÓN (EAD) x PONDERACIÓN (RW) x 8%

ACTIVOS PONDERADOS POR RIESGO CRÉDITO

Ponderaciones preestablecidaspara cada Rating Externo y tipo decontrapartida, así como para lascontrapartidas no clasificadas (sinRating).

CAPITAL REGULATORIO POR RIESGO DE CRÉDITOCAPITAL REGULATORIO POR RIESGO DE CRÉDITO


Enfoque Ratings InternosEnfoque Enfoque Ratings Ratings InternosInternosEnfoque EstándarEnfoque EstándarEnfoque Estándar

10

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )

−

−⋅−

−

−−⋅+

−−

⋅=

⋅−=

⋅−⋅−+

⋅

−

Φ⋅+ΦΦ⋅⋅=

=

−

−

−

−

−−

455

104.01

1124.0

11

12.0

log05898.08451.0

5.115.21

1

999.0%81

,,,

50

50

50

50

2

11

Se

ee

ePD

PDPDb

PDbPDbM

PD

PDPDLGD

SMPDLGDponderadosActivos

PDPD

ρ

ρ

ρ

VEAMOS EN MÁS DETALLE LA FORMULA POR RIESGO DE CRÉDITOPARA EMPRESAS...


11

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )PDb

PDbMPD

PDPDLGD

SMPDLGD

⋅−⋅−+

⋅

−Φ⋅+Φ

Φ⋅⋅

⋅=

−−

5.115.21

1999.0

%81

,,, ponderados Activos

11

ρρ

AJUSTEPORPLAZO

INFLUENCIA DE LA PROBA-BILIDAD DE INCUMPLIMIEN-TO. BASADA EN EL MODELODE MERTON (UNIFACTORIAL)

IMPACTOPROPORCIONAL DE LASEVERIDAD (LOSSGIVEN DEFAULT)

CONVERSIÓN ENACTIVOSPONDERADOS


12

( ) ( ) ( )( )

−

Φ⋅+ΦΦ

−−

PDPDPDρ

ρ1

999.011

Correlación de activos constante del 15%

•• Núcleo Núcleodeldel

modelomodelo


13


2




4


14

-1.645

Activo año 11

-1.645-0.6570.749-0.380.4311.098

-0.052-0.13

-0.568-0.018-1.701

Valor del activo al cabo de un año

Niv

el d

e d

eud

a / v

alo

r d

e lo

s ac

tivo

s

Valor inicial del activo

Nivel de deuda

En todos estosescenarios no seproduce default

Escenario de default:

El valor del activo caepor debajo del nivelde deuda

••El El defaultdefault de una compañía se produce cuando el valor de sus de una compañía se produce cuando el valor de susactivos cae por debajo del nivel de su deuda. Ni liquidando todosactivos cae por debajo del nivel de su deuda. Ni liquidando todossus activos podría repagar la deuda.sus activos podría repagar la deuda.

MODELO DE MERTON DE CRÉDITOMODELO DE MERTON DE CRÉDITO

Modelo de Modelo de MertonMerton- Modelo Bis II- Modelo Bis II

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Ninguna compañía incumple

COMPAÑÍA 1

COMPAÑÍA 2

Las dos compañías incumplen

Sólo incumple la compañía 2


••Es fácil visualizar el modelo de Es fácil visualizar el modelo de Merton Merton para dos contrapartidas.para dos contrapartidas.

•• La correlación entre los La correlación entre los defaults defaults viene determinada por laviene determinada por lacorrelación entre los activos de las compañías...correlación entre los activos de las compañías...


16

Ninguna compañía incumple

COMPAÑÍA 1

COMPAÑÍA 2

Las dos compañías incumplen




••Cuanto mayor es la correlación entre los activos de las compañíasCuanto mayor es la correlación entre los activos de las compañíasmayor es la probabilidad de mayor es la probabilidad de defaultdefault conjunto y mayor es por tanto conjunto y mayor es por tantola correlación entre los la correlación entre los defaultsdefaults..

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Es una aproximación inspirada en el “modelo de Es una aproximación inspirada en el “modelo de MertonMerton” donde:” donde:

•• El número de contrapartidas en elEl número de contrapartidas en el portfolio portfolio “n” tiende a infinito “n” tiende a infinito

•• El tamaño de las exposiciones de todas las contrapartidas es igual aEl tamaño de las exposiciones de todas las contrapartidas es igual a“1/n”, y por tanto tiende a cero.“1/n”, y por tanto tiende a cero.

•• Todas las contrapartidas tienen igual probabilidad individual deTodas las contrapartidas tienen igual probabilidad individual deincumplimiento, p.incumplimiento, p.

•• El valor de los activos de todas las compañías sigue un procesoEl valor de los activos de todas las compañías sigue un procesogaussianogaussiano, i.i.d.:, i.i.d.:

donde “f” es un factor común a todas las compañías (modelo donde “f” es un factor común a todas las compañías (modelo unifactorialunifactorial))

•• La correlación entre los activos de todas las contrapartidas es igual a La correlación entre los activos de todas las contrapartidas es igual a ρρ

ii fV ξρρ ⋅−+⋅= 1

MODELO DE BIS IIMODELO DE BIS II


En este contexto, existe fórmula cerrada para la distribuciónde los defaults

En este contexto, existe fórmula cerrada para la distribuciónEn este contexto, existe fórmula cerrada para la distribuciónde losde los defaults defaults

18

•• La fórmula de la distribución acumulada de La fórmula de la distribución acumulada de defaults defaults eses

[ ] ( )

Φ−Φ⋅−Φ=≤= −− )()(1

1)( 11 pxxXPxF ρ

ρ•• Donde:Donde:

•• ΦΦ((·· ) es la distribuci) es la distribucióón normal estn normal estáándar acumuladandar acumulada•• ΦΦ-1(-1(·· ) es la distribuci) es la distribucióón normal estn normal estáándar inversandar inversa•• ρρ es la correlaci es la correlacióón de activosn de activos•• p es la probabilidad individual de incumplimientop es la probabilidad individual de incumplimiento

•• Derivando la expresión anterior se obtiene la formula de la densidadDerivando la expresión anterior se obtiene la formula de la densidadde de defaultsdefaults::

( ) [ ]

Φ⋅−−Φ⋅

−Φ⋅⋅−

= −−− 2 1121 )(1)(2

1)(

21

exp1

)( xpxxf ρρρ

ρ


El “truco” para llegar a las fórmulas anteriores estriba enEl “truco” para llegar a las fórmulas anteriores estriba encondicionar loscondicionar los defaults defaults a la realización del factor y utilizar la ley a la realización del factor y utilizar la leyde las esperanzas iteradas.de las esperanzas iteradas.

19

Media del 5%Colas más gruesasconforme crece la

correlación

•• Conforme la correlación de activos es mayor, la densidad de lasConforme la correlación de activos es mayor, la densidad de laspérdidaspérdidas crediticias crediticias es más asimétrica y la cola mucho más gruesa. es más asimétrica y la cola mucho más gruesa.


20

•• La distribución acumulada mide el capital. El capital no es más que unLa distribución acumulada mide el capital. El capital no es más que undeterminado percentil de la distribución de determinado percentil de la distribución de defaultsdefaults..


21

•• Por ejemplo, elPor ejemplo, el percentil percentil 99% con una correlación de activos del 7,5% 99% con una correlación de activos del 7,5%implica una tasa deimplica una tasa de defaults defaults del 15%, mientras que el mismo del 15%, mientras que el mismo percentil percentilpara una correlación del 20% supone una tasa depara una correlación del 20% supone una tasa de defaults defaults del 25%. del 25%.


22

•• El impacto de la correlación en los El impacto de la correlación en los percentiles percentiles de la distribuciónde la distribución(y por tanto en el capital) es importante.(y por tanto en el capital) es importante.

•• Por ejemplo pasar de una correlación del 20% al 8%Por ejemplo pasar de una correlación del 20% al 8%prácticamente es dividir por 2 el percentil.prácticamente es dividir por 2 el percentil.


23( )288.1)(118.1

)995(.2.1

2.0)(

2.011

)(1

)(1

1oRegulatori Capital

1

11

11

−Φ⋅Φ⋅=

=

Φ

−−Φ⋅

−Φ⋅=

=

Φ

−−Φ⋅

−Φ⋅∝

−

−−

−−

pLGD

pLGD

QpLGDρ

ρρ

FORMULA DE CAPITAL DEL BIS IIFORMULA DE CAPITAL DEL BIS II


BIS II utiliza como base el modelo antes descrito, el capital se calcula para unBIS II utiliza como base el modelo antes descrito, el capital se calcula para unnivel de confianza del 99,5% nivel de confianza del 99,5% (99,9%),(99,9%), con una correlación de activos del con una correlación de activos del20% 20% (ahora ya dependiente de la PD como hemos visto)(ahora ya dependiente de la PD como hemos visto) y suponiendo que el y suponiendo que el““Loss Given DefaultLoss Given Default” (LGD) es constante.” (LGD) es constante.

( ) ( ) ( )( )

oAjustePlazPD

PDPDLGD ×

−Φ⋅+Φ

Φ×∝−−

ρρ

1999.0

oRegulatori Capital11

ActualActual

HastaHastaNovNov20012001

24

Es posible obtener la función de capital para distintos valores de LGD.Es posible obtener la función de capital para distintos valores de LGD.


25

El modelo de Basilea II tenía (entre otros muchos) dosEl modelo de Basilea II tenía (entre otros muchos) dossupuestos básicos que determinan en gran medida lossupuestos básicos que determinan en gran medida losrequerimientos de capital:requerimientos de capital:

La correlación de activos: supuesto del 20% paraLa correlación de activos: supuesto del 20% paraempresasempresasHH

El supuesto de modelo El supuesto de modelo unifactorialunifactorial

Sería muy interesante determinar empíricamente la validez deSería muy interesante determinar empíricamente la validez dedichos supuestos o al menos acotar su impacto en el consumodichos supuestos o al menos acotar su impacto en el consumode capital.de capital.

HH Supuesto actualmente no en vigorSupuesto actualmente no en vigor


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CDF for different asset correlations

Ba corporates

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5%

Asset Correlation 12,7%

B corporates

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0% 3% 6% 9% 12% 15% 18% 21% 24%

Asset correlation 11,6%

Speculative grade

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11%


All corporates

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5%


InteresanteInteresante: estimar la correlación de activos implícita en los datos empíricos. Dicha: estimar la correlación de activos implícita en los datos empíricos. Dichacorrelación está en el entorno al 10% frente al propuesto 20% de Basilea.correlación está en el entorno al 10% frente al propuesto 20% de Basilea.

ESTUDIO ANTERIOR (Datos de ESTUDIO ANTERIOR (Datos de Moodys Moodys 1970-2000)1970-2000)


27


2




4


28

En relación al uso de un modeloEn relación al uso de un modelo unifactorial unifactorial y su impacto en el y su impacto en elconsumo de capital se ha desarrollado un modelo consumo de capital se ha desarrollado un modelo bifactorial bifactorial paraparapoder así estudiar las diferencias respecto del modelo poder así estudiar las diferencias respecto del modelo unifactorialunifactorial..

Para visualizar el modelo se puede pensar en los siguientesPara visualizar el modelo se puede pensar en los siguientestérminos:términos:

Se supone que existen Se supone que existen dos economías-países, cada una de ellasdos economías-países, cada una de ellasdirigida por un único factor, e interrelacionadas a través de ladirigida por un único factor, e interrelacionadas a través de lacorrelación entre dichos factorescorrelación entre dichos factores (para visualizar el modelo, podría (para visualizar el modelo, podríapensarse que el factor fuese el PIB de cada una de las economías-pensarse que el factor fuese el PIB de cada una de las economías-países).países).

Existen Existen dos tipos de empresasdos tipos de empresas, de manera que el valor de los, de manera que el valor de losactivos que toma cada una de las empresas depende del factor (deactivos que toma cada una de las empresas depende del factor (denuevo piénsese en el PIB) específico de la economía-país a la quenuevo piénsese en el PIB) específico de la economía-país a la quepertenecepertenece

The two The two factor factor model for credit riskmodel for credit risk

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En la economía existen, por tanto, dos tipos de contrapartidas (una por cadaEn la economía existen, por tanto, dos tipos de contrapartidas (una por cadaeconomía-país):economía-país):

•• Las contrapartidas de tipo 1Las contrapartidas de tipo 1, todas con igual probabilidad de incumplimiento, todas con igual probabilidad de incumplimientopp11 e igual correlación de activos e igual correlación de activos ρ1.. .El valor de sus activos está afectado sólo .El valor de sus activos está afectado sólopor el factor 1 (por el factor 1 (ff11).).

•• Las contrapartidas de tipo 2Las contrapartidas de tipo 2, todas con igual probabilidad de incumplimiento, todas con igual probabilidad de incumplimientopp22 e igual correlación de activos e igual correlación de activos ρ2,. El valor de sus activos está afectado sólo,. El valor de sus activos está afectado sólopor el factor 2 (por el factor 2 (ff22).).

ζρρ ⋅−+⋅= 212 1 FF ff

),( 21 ffcorrF =ρ

ii fV 11111 1 ξρρ ⋅−+⋅= jj fV 22222 1 ξρρ ⋅−+⋅=

Relación entrefactores

Valor de las empresas


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La distribución de La distribución de defaults defaults en este contexto no tiene solución analíticaen este contexto no tiene solución analíticacomo en el caso como en el caso unifactorialunifactorial

Es necesario resolver la doble integral siguiente.Es necesario resolver la doble integral siguiente.

∫∫Ω

⋅⋅= 2121 ),()( dydyyyxF φ

xyK

nyK

n as yy ≤

−⋅−

Φ⋅+

−⋅−

Φ⋅=Ω2

2222

1

111121 11

..),(ρ

ρρ

ρ

Dicha integral se puede resolver mediante métodos numéricos.Dicha integral se puede resolver mediante métodos numéricos.


Una aportación de este trabajo reside en la solución cuasi-analítica de esta doble integral

Una aportación de este trabajo reside en la solución cuasi-Una aportación de este trabajo reside en la solución cuasi-analítica de esta doble integralanalítica de esta doble integral

31

•• pp11:: Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factorProbabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor1 (contrapartidas de tipo 1):1 (contrapartidas de tipo 1): 2%2%

•• p p2 2 :: Probabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factorProbabilidad de incumplimiento de las contrapartidas afectadas por el factor2 (contrapartidas de tipo 2):2 (contrapartidas de tipo 2): 2%2%

•• n n11:: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: varía entre 0% y 100%varía entre 0% y 100%

•• n n22= 1-n= 1-n11 :: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: varía entre 0% y 100%varía entre 0% y 100%

•• ρρ1 1 :: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 1:Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 1: 20% 20% (*)(*)

•• ρρ2 2 :: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 2: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 2: 20% 20% (*)(*)

•• ρρf f :: Correlación entre el factor 1 y el factor 2:Correlación entre el factor 1 y el factor 2: varía entre 0% y 100%varía entre 0% y 100%

(*) Para ser consistentes con el supuesto de BIS II(*) Para ser consistentes con el supuesto de BIS II


A fin de ver con números el impacto de utilizar un modeloA fin de ver con números el impacto de utilizar un modelo unifactorial unifactorialversusversus otro otro bifactorial bifactorial, se han realizado algunas simulaciones para las, se han realizado algunas simulaciones para lasque se ha supuesto:que se ha supuesto:

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The two The two factor factor model for credit riskmodel for credit riskPRIMERA SIMULACIÓN:PRIMERA SIMULACIÓN: Sensibilidad a la correlación entre los factoresSensibilidad a la correlación entre los factores



•• n n11:: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: 50%50%

•• n n22= 1-n= 1-n11 :: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: 50%50%

•• ρρ1 1 :: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 1:Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 1: 20%20%

•• ρρ2 2 :: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 2: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 2: 20%20%


¿Cuál es el impacto en el capital ¿Cuál es el impacto en el capital regulatorio regulatorio y económico de uny económico de unbanco cuando varía la correlación de factores? ¿Es relevante?banco cuando varía la correlación de factores? ¿Es relevante?

33Esta figura presupone una LGD del 100%Esta figura presupone una LGD del 100%

El gráfico adjunto presenta las colas de la distribución de El gráfico adjunto presenta las colas de la distribución de defaultsdefaults de la de lacartera para 5 niveles diferentes de correlación entre los dos factorescartera para 5 niveles diferentes de correlación entre los dos factores(países)(países)


34

The two The two factor factor model for credit riskmodel for credit riskSEGUNDA SIMULACIÓN:SEGUNDA SIMULACIÓN: Sensibilidad a la estructura de la carteraSensibilidad a la estructura de la cartera




•• n n22= 1-n= 1-n11 :: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: varía en función de nvaría en función de n11



•• ρρf f :: Correlación entre el factor 1 y el factor 2:Correlación entre el factor 1 y el factor 2: 25%25%

¿Cómo afecta la estructura de la cartera? De nuevo, ¿qué impacto¿Cómo afecta la estructura de la cartera? De nuevo, ¿qué impactotendrá esto en el capital económico ytendrá esto en el capital económico y regulatorio regulatorio??

35


Sobre estimaciónSobre estimacióndel capitaldel capital

En el gráfico inferior seEn el gráfico inferior semuestra el capital requeridomuestra el capital requeridoante distintas correlaciones deante distintas correlaciones defactoresfactores

Notar que el modelo Notar que el modelo unifactorial unifactorial es análogo ales análogo albifactorial bifactorial con una correlación de factores del 100%con una correlación de factores del 100%

36




•• n n22= 1-n= 1-n11 :: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: varía entre 0% y 100%varía entre 0% y 100%

•• ρρ1 1 :: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 1:Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 1: 20% 20% (*)(*)

•• ρρ2 2 :: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 2: Correlación de activos de las contrapartidas de tipo 2: 20% 20% (*)(*)


(*) Para ser consistentes con el supuesto de BIS II(*) Para ser consistentes con el supuesto de BIS II


Hemos repetido este análisis cuando en la cartera existenHemos repetido este análisis cuando en la cartera existencontrapartidas con distinta contrapartidas con distinta PdPd

37

The two The two factor factor model for credit riskmodel for credit riskPRIMERA SIMULACIÓN (b) :PRIMERA SIMULACIÓN (b) : Sensibilidad a la correlación entre los factoresSensibilidad a la correlación entre los factores



•• n n11:: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: 90%90%

•• n n22= 1-n= 1-n11 :: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: 10%10%




Un banco ha incorporado a su cartera un 10% de préstamos, en unUn banco ha incorporado a su cartera un 10% de préstamos, en unnuevo país, con mayor PD. ¿Cuál es el impacto en su capitalnuevo país, con mayor PD. ¿Cuál es el impacto en su capitaleconómico? ¿yeconómico? ¿y regulatorio regulatorio??

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El gráfico adjunto presenta las colas de la distribución de El gráfico adjunto presenta las colas de la distribución de defaultsdefaults de la de lacartera para 5 niveles diferentes de correlación entre los dos factorescartera para 5 niveles diferentes de correlación entre los dos factores(países)(países)


39

Se puede comparar, para cada nivel de confianza y la cartera antesSe puede comparar, para cada nivel de confianza y la cartera antesdescrita, el incremento porcentual de consumo de capital que suponedescrita, el incremento porcentual de consumo de capital que suponeasumir el modelo asumir el modelo unifactorial unifactorial respecto a otro respecto a otro bifactorial bifactorial con diferentescon diferentesgrados de correlación entre factores.grados de correlación entre factores.


40

The two The two factor factor model for credit riskmodel for credit riskSEGUNDA SIMULACIÓN (b):SEGUNDA SIMULACIÓN (b): Sensibilidad a la estructura de la carteraSensibilidad a la estructura de la cartera




•• n n22= 1-n= 1-n11 :: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: Porcentaje de contrapartidas de tipo 1: varía en función de nvaría en función de n11



•• ρρf f :: Correlación entre el factor 1 y el factor 2:Correlación entre el factor 1 y el factor 2: 25%25%

Un banco está pensando en incorporar a su cartera préstamos, en unUn banco está pensando en incorporar a su cartera préstamos, en unnuevo país, con mayor PD y baja correlación. ¿Cuántos préstamosnuevo país, con mayor PD y baja correlación. ¿Cuántos préstamosdebería incorporar? De nuevo, ¿qué impacto tendrá esto en el capitaldebería incorporar? De nuevo, ¿qué impacto tendrá esto en el capitaleconómico yeconómico y regulatorio regulatorio??

41


Sobre estimaciónSobre estimacióndel capitaldel capital En el gráfico inferior seEn el gráfico inferior se

muestra el capital requeridomuestra el capital requeridoante distintas correlaciones deante distintas correlaciones defactoresfactores

Notar que el modelo Notar que el modelo unifactorial unifactorial es análogo ales análogo albifactorial bifactorial con una correlación de factores del 100%con una correlación de factores del 100%

42

En el modelo En el modelo unifactorialunifactorial, añadir a la cartera con préstamos de PD 1% otros, añadir a la cartera con préstamos de PD 1% otrospréstamos con PD superior (3%) siempre incrementa las necesidades de capital.préstamos con PD superior (3%) siempre incrementa las necesidades de capital.Sin embargo, en el modelo Sin embargo, en el modelo bifactorialbifactorial añadir préstamos con PD del 3% incluso añadir préstamos con PD del 3% inclusodisminuye ligeramente las necesidades de capital debido al efecto dedisminuye ligeramente las necesidades de capital debido al efecto dediversificación.diversificación.


Añadirpréstamos depeor calidadincluso reduceel capitalrequerido

43

Resulta interesanteResulta interesantedeterminar cuál es eldeterminar cuál es elnivel de correlación quenivel de correlación quebajo el modelobajo el modelounifactorial unifactorial genera lasgenera lasmismas necesidades demismas necesidades decapital que el modelocapital que el modelobifactorial bifactorial conconcorrelación de factorescorrelación de factoresdel 0% o 50%.del 0% o 50%.

Existen combinaciones de cartera que reducirían el nivel de correlaciónExisten combinaciones de cartera que reducirían el nivel de correlación“implícita” hasta el 11.50% . Estos resultados están en línea con los“implícita” hasta el 11.50% . Estos resultados están en línea con losobtenidos del análisis empírico de los obtenidos del análisis empírico de los defaults defaults históricos (históricos (Moody’sMoody’s))


44


2




4


45

Modelo BIS II:Modelo BIS II: Consiste básicamente en la aplicación del modelo de Consiste básicamente en la aplicación del modelo deMerton Merton a una cartera con infinitas contrapartidas “iguales” dentro dea una cartera con infinitas contrapartidas “iguales” dentro deuna economía una economía unifactorialunifactorial. Este caso admite una solución analítica.. Este caso admite una solución analítica.

Es posible extender el modelo de BIS II al caso de economíasEs posible extender el modelo de BIS II al caso de economíasn-factoriales si bien a costa de perder la solución analítica de lan-factoriales si bien a costa de perder la solución analítica de ladistribución de distribución de defaultsdefaults ::

Puede sobrestimar el capitalPuede sobrestimar el capital

Puede generar incentivos erróneos al no tener en cuentaPuede generar incentivos erróneos al no tener en cuentala diversificaciónla diversificación

ParametrizaciónParametrización conservadora. conservadora. En el caso de empresas, el parámetro En el caso de empresas, el parámetrode correlación elegido por Basilea hasta Noviembre 2001 era del 20%.de correlación elegido por Basilea hasta Noviembre 2001 era del 20%.Análisis empíricos sobre muestras históricas deAnálisis empíricos sobre muestras históricas de defaults defaults inducen a inducen apensar que la correlación es del orden de la mitad (10%).pensar que la correlación es del orden de la mitad (10%).


Según el modelo Según el modelo bifactorial bifactorial propuesto esta correlación sepropuesto esta correlación seacerca más al 10% que al 20%acerca más al 10% que al 20%

46

ConclusionesConclusionesMODIFICACIONES ACUERDO BASILEA POSTERIORES (entre otras)MODIFICACIONES ACUERDO BASILEA POSTERIORES (entre otras)

Aplanamiento de la curva de capitalesAplanamiento de la curva de capitales

0 %

3 %

5 %

8 %

10%

13%

15%

18%

20%

23%

25%

28%

30%

33%

35%

38%

40%

0 % 1 % 2% 3 % 4 % 5 % 6% 7 % 8 % 9% 10%0

3 1

6 3

9 4

1 2 5

1 5 6

1 8 8

2 1 9

2 5 0

2 8 1

3 1 3

3 4 4

3 7 5

4 0 6

4 3 8

4 6 9

5 0 0

P r o p u e s t a B I S I I E n e r o

Cap

ital

Reg

ula

tori

oCapital para 3 años y LGD=50%(*)

Po

nd

eracion

es de activo

s (%)

Probabil idad de incumplimiento

Nueva Propuesta BIS I I 5 /11/2001

Mitiga laMitiga lasobrestimaciónsobrestimación

47

Nuevas curvas para retailNuevas curvas para retail


( ) ( ) ( )( )

( )

−

−−⋅+

−−

⋅=

⋅⋅−

−Φ⋅+Φ

Φ⋅⋅=

−

−

−

−

−−

50

50

50

50

11

11

115.01

102.0

90,01

999.0%81

ee

ee

PD

LGDPDPD

PDPDLGDRWA

PDPD

ρ

ρρ

( ) ( ) ( )( )

( )

−

−−⋅+

−−

⋅=

−

Φ⋅+ΦΦ⋅⋅=

−

−

−

−

−−

35

35

35

35

11

11

117.01

102.0

1

999.0%81

ee

ee

PD

PD

PDPDLGDRWA

PDPD

ρ

ρ

ρ

( ) ( )15.0 ;

1

999.0%81 11

=

−

Φ⋅+ΦΦ⋅⋅=

−−

ρρ

ρPDLGDRWA

CR

ED

ITO

“RE

VO

LVIN

G”

RE

STO

“RE

TA

IL”

HIP

OT

EC

AS

RE

SID

EN

CIA

LES

48


Se hace depender la correlación de activos de la probabilidadde incumplimiento y del “tamaño”...


EMPRESASEMPRESAS

49

RETAILRETAIL




50

FactorFactor Models for portfolio credit risk Models for portfolio credit risk. . Philipp Philipp J. J. SchönbucherSchönbucher..

The New BaselThe New Basel Capital Capital AccordAccord. . www.bis.www.bis.orgorg

An Analytic Approach to Credit Risk ofAn Analytic Approach to Credit Risk of Large Corporate Bond andLarge Corporate Bond andLoanLoan PortfoliosPortfolios. . AndreAndre Lucas, Lucas, Pieter KlaassenPieter Klaassen, , Peter SpreijPeter Spreij, , andandStefanStefan StraetmansStraetmans

Default and Recovery Rates of CorporateBond IssuersDefault and Recovery Rates of CorporateBond Issuers: 2000.: 2000.Moody’s Investors ServiceMoody’s Investors Service..

Modelling DependenciesModelling Dependencies in in Credit Risk ManagementCredit Risk Management. Diploma. Diploma Thesis Thesisof Markof Mark A. A. NyfelerNyfeler. . SwissSwiss Federal Federal Institute of Technology Zurich Institute of Technology Zurich..

Portfolio Management of Default RiskPortfolio Management of Default Risk. KMV . KMV CorporationCorporation

BibliografíaBibliografía

51


2




4



ANEXO IANEXO I

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEDEFAULTS PARA EL CASODEFAULTS PARA EL CASO

UNIFACTORIALUNIFACTORIAL

53

iifV ξρρ ⋅−+⋅= 1

[ ] [ ]

−

⋅−Φ=

=

−⋅−

<=

==<⋅−+⋅==<=

ρρ

ρρ

ξ

ξρρ

1|

1

|1|)()(

yKyf

fKP

yfKfPyfKTVPyp

iii

iiiii

( ) )()( 1

iiiiii pKKKVPp −Φ=→Φ=≤=

[ ] 1|)( === yYypXP

El valor de los activos de la empresa “i”está “dirigido” por un factor común f

Existe una relación entre la probabilidadde incumplimiento de la empresa “i” y labarrera de default Ki.

Es posible calcular la probabilidad de default condicionada a la realización del factor f.

Condicionando a la realización del factor f, los defaultsde la cartera son variables independientes. Aplicando laley de los grandes números se puede afirmar que conprobabilidad 1 la tasa de defaults será igual a laprobabilidad condicionada de default

Derivación de la distribución deDerivación de la distribución de defaults defaults en un modelo en un modelo unifactorial unifactorial (I) (I)Apéndice matemáticoApéndice matemático

54

[ ] [ ]( )

( )

( ) ( )

−Φ⋅−⋅Φ=

Φ⋅−−⋅Φ−

=⋅⋅+⋅⋅

=⋅⋅=≤==≤

−−

∞

Φ⋅−−⋅

Φ⋅−−⋅

∞−

∞

∞−

∫∫

∫

−

−

KxxK

dyydyy

dyyyYxypXPxXP

xK

xK

)(11)(111

)(1)(0

)(|)(

11

)(11

)(11

1

1

ρρ

ρρ

φφ

φ

ρρ

ρρ

[ ] ( )

Φ−Φ⋅−Φ=≤= −− )()(1

1)( 11 pxxXPxF ρ

ρ

Aplicando la ley de lasesperanzas iteradas setiene...

La integral anteriorse puede resolveranalíticamente

Así se obtienela función dedistribuciónacumulada

[ ] [ ][ ][ ][ ]∫

∫∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅=≤==

⋅⋅=≤=

≤=≤

dyyyYxypXP

dyyyYxXP

YxXPExXP

)(|)(

)(|

|

φ

φ

Derivación de la distribución deDerivación de la distribución de defaults defaults en un modelo en un modelo unifactorial unifactorial (II) (II)Apéndice matemáticoApéndice matemático


ANEXO IIANEXO II

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DEDEFAULTS PARA EL CASODEFAULTS PARA EL CASO

BIFACTORIALBIFACTORIAL

56

El valor de los activos de las empresasestán “dirigidos” por dos factorescorrelacionados

),( 21 ffcorrF =ρ

ii fV 11111 1 ξρρ ⋅−+⋅=

jj fV 22222 1 ξρρ ⋅−+⋅=

Es posible calcular la probabilidad de default condicionada a la realización de los dosfactores f1 y f2.

[ ][ ]

( )⋅Φ=

−

⋅−Φ=

=

=

−⋅−

<=

==<⋅−+⋅=

==<=

=

1

1

111

11

1

111

1

1111111

1111

11

1

|1

|1

|

)(

ρρ

ρρ

ξ

ξρρ

yK

yffK

P

yfKfP

yfKVP

yp[ ][ ]

( )⋅Φ=

−

⋅−Φ=

=

=

−⋅−

<=

==<⋅−+⋅=

==<=

=

2

2

222

22

2

2222

2222222

2222

22

1

|1

|1

|

)(

ρρ

ρρ

ξ

ξρρ

yK

yffK

P

yfKfP

yfKVP

yp

Derivación de la distribución deDerivación de la distribución de defaults defaults en un modelo en un modelo bifactorialbifactorial (I) (I)Apéndice matemáticoApéndice matemático

57

En este caso laintegral anterior seresuelvenuméricamente

Condicionando en este caso a la realización de ambos factores, los defaults de la carterason variables independientes, y de nuevo se aplica la ley de los grandes números...

[ ] 1,|)()( 2211222111 ===⋅+⋅= yYyYypnypnXP

[ ] [ ][ ][ ][ ] 2121222111

212121

2211

),(|)()(

),(,|

,|

yddyyyyYxypnypnXP

dydyyyyyxXP

yYyYxXPExXP

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

⋅⋅⋅=≤⋅+⋅==

⋅⋅⋅≤=

==≤=≤

φ

φDe nuevoaplicando la leyde las esperanzasiteradas...

[ ] 2)()(

121222111

),( dydyyyxXPxypnypn

⋅⋅=≤ ∫∫≤⋅+⋅

φ

Derivación de la distribución deDerivación de la distribución de defaults defaults en un modelo en un modelo bifactorialbifactorial (II) (II)

Seminarios de Matemática Financiera Instituto MEFF RiskLab...

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