, .

o'~, .~ .. - , ", ... '

-, ...., < .' '-'

. .

-

, ,

UNIVERSIDADE DE SO PAULO

INSTITUTO DE FSICA

SBI-lFUSP

III!IIIIII 11111 1111 1111

CORRELAO ENTRE BOSONS IDNTICOS

PRODUZ I DOSEM COL I SE S HADRN I CAS

A ALTAS ENERGIAS

Sandra dos Santos PaduJa

Tese apresentada ao In~ tituto de fsica da uni versidade de sao Paulo para obteno do titulo

de doutor

Orientador; Prof~ Or. Yoglro fiama

So Paulo

1987

, I I

FICHA CATALOGRFICA

Preparada pelo Servio de Biblioteca e Informao

do Instituto de Fsica da Universidade de so Paulo

Padula I sandra dos Santos Correlao ent-re oosons idnticos produzidos em co

li5eS r.adrnicas a altas energias. so Paulo, 1987

Tese (J)::mtorado) - Universidade de so Paulo. Instituto de Fsica. Departarrento de Fsica Matemtica.

fi.rea de COncentrao; Fsica de Partculas Elemen..... !:ares.

Orientador: Prof. Or. Yogiro Hana

Dnitermos: I.Produco mltipla de partculas; 2.Formao de plasma. de quarks e gloons em colises :-.adrnicas a altas energias; 3.COrrelao entre parti culas idnticas (Efeito Hanbury Brown - Twiss); 4.~ delo hidrodinmico de Landau.

USP!IF!SBI - 32/87

,,

AGRADECIMENTOS

Gostaria de expressar minha gratido ao Prof. Yogiro

Hama pela orientao atenciosa e por haver transmitido muito de

sua experincia profissional.

Agradeo tambm ao Prof. Carlos O. Escobar, com quem

este trabalho se iniciou, pelo estmulo e interesse permanentes~

Sou tambem muito grata a algumas pessoas, especial

mente queridas, por inmeras razes que elas to bem conhecem.

Gostaria ainda de agradecer FAPESP e CAPES pelo

apoio financeiro a mim concedido.

RESUMO

Estudamos o fenmeno de correlaco entre dois bosons

idnticos (efeito Hanbury Brown-Twiss) no caso de fontes em rpi

da expanso. Partimos da hiptese que, em colises hadrnicas a

altas energias, forma-se um plasma de quarks e gluons, o qual se

expande de acordo com as equaes do r-tcrlelo Hidrodinmioo de Landau.

Ao atingir a temperatura crtica, o fluido sofre uma transico

de fase de plasma para hadrons usuais, os quais so ento emiti

dos. Estudamos a dependncia da funo de correlao de duas paE.

tlculas em algumas grandezas, como por exemplo, no momento trans

versal mdio das partculas finais e na massa do estado de plas

ma inicialmente formado. Analisamos tambm a compatibilidade dos

clculos efetuados com alguns dados experimentais disponveis.

Mostramos que a considerao de expanso da fonte emissora intr~

duz efeitos cinemticos importantes no comportaruento da funo

de correlao~ Asslm sendo, os resultados usualmente obtidos com

a hiptese de fontes estticas devem ser completamente modificaI

dos no caso de fontes que se expandem rapidamente, como aquelas

formadas em colises hadrnicas a altas energias.

,

ABSTRACT-

The phenomenon of correlation among two identical

bosons (Hanbury Brown-Twiss effect) is stuJied for rapldly expanding

sourCS. We consider the hypothesis of a quark-gluon plasma

formation in high energy hadronic collis1ons, which expanda

according to Landau's Hydrodynamical Model. When tre flUid reaches

the criticaI temperatura lt undergoes a phase transition from

plasma to ordinary hadrons t which are then emitted. We study the

dependence of the two-particle correlation function on some

quantities, such as the average transversa momentum of final

particles and the mass of the initlally formed plasma. Vile also

analyse the compatibility of our resulte with some available

experimental data~ We show that the source expansion causes

important kinematical effects Oh the behaviour of the correlation

function. Being 50, the results usually obtained by means of

static sources, should be completely changed in case of rapidly

expanding ones, such as the sources forrred in high energy hadronic

collislons.

INDICE

pgina

I INTRODUAo. . . . . 1

rI - O MODELO HIDRODINl\MICO............. .. . . .. . . .. . . 4

III - EFEITO HANBUR'{ BROWN-TWISS......................... 15

Histrico . ~~ ...................... 15

Ilustrao e discusso do efeito HB-T .. ~......... 17

IV - CORRELAO ENTRE BOSONS ID~NTICOS PRODuZIDOS EM CO

LISES HADRNICAS A ALTAS ENERGIAS................. 25

Hipteses e objetivos....... " . . . . . . . . . . . . . . . 25

o efeito HB-T para fontes em expanso. ... 27

Clculos do efeito HB-T baseados no Modelo Hidro

dinmico ........ '" 32

Comparao com os dados experimentais............ 58

Algumas previses................................ 69

v CONCLUS .......................................... . 72

APNDICE A ~ Expresses estatsticas de n r e: e s. ~ ~ ~. . . 75

APeNDICE B - Dependncia da multiplicidade mdia na

massa (M) do estado inicial de plasma....... 80

APl!:NDICE C - Clculo de e ~........... a8Th

REFERt;NCIAS ... ~ , . . 93

1

I, I NTRODUI\O

Estudos no perturbativos da Cromodinmica Quntica

(OCD) indcam a possibilidade de obteno de um novo estado da

matria - o plasma de quarks e gluons - a densidades elou temper~

turas suficientemente elevadas 1 . Em geral, esperado que esta

ltima condio seja mais facilmente verificada em colises mui

to energticas entre ions pesados t cuja realizao experimental

encontra-se atualmente em seus estgios iniciais. No entanto, o

plasma pode j estar sendo produzido, mesmo em colises hadrni

cas a altas energias 2

o plasma da OCD um estado em que quarks e glooO$ I nor~

malmente oonfinaos na matria hadrnica usual, 5:00 liberados ap5s a ocor

rncia de transio de fase de hadrons para plasma. l!: interessante, en

to, procurar sinais de sua existencia. Para isso so, em geral I

sugeridas anlises de efeitos como emisso de ftons e d~bOns,

relao do momento transversal com a distribuio de rapidez, o

aumento da produo de partculas estranhas e o efeito Hanbury

Brown-Twiss (HB-T). Este ltimo particularmente interessante

porque permite o conhecimento das dimenses espao-temporais da

regio emissora de partculas, atravs da anlise de correlao

entre pares idnticos. No caso do plasma, em principio podemos

consider-lo como uma maneira de obter informaes sobre a regio

correspondente temperatura crtica, acima da qual a matria. usual

se desagrega em seus componentes (quarks e gluons). Os resulta~

2.

dos de QCO na rede atualmente prevem que a temperatura critica

para a ocorrncia de transio de fase praticamente coinciden

te com a de restaurao quiral (quarks de massa nula), situando3

se em torno de 200 MeV .

o presente trabalho visa o estudo da correlao en

tre bosone idnticos (efeito HB-T) produzidos em colises hadr

nicas a altas energias, considerando que o estado lldcial seja um

plasma de quarks e gluons. Em se tratando de colises hadrni-

CS a altas energias, pensamos ser mais adequado supor que o es

tado formado sofra expanso antes de serem emitidos os hadrons

finais, tendo em vista a grande multiplicidade mdia de partcu

las produzidas e a pequena dimenso da regio de interao. Pa

ra a descrio da expanso da fonte (plasma) formada nessas co1i

soes, adotamos as equaes hidrodinmicas de Landau.

A distribuio dos tpicos abordados feita da ma

neira seguinte. No Captulo II, fazemos uma breve reviso do Mo

dela Hidrodinmico de Landau e de algumas de suas implicaes.

No Capitulo Ir!, discutimos o efeito Hanbury Brown-Twiss, desde

um ponto de vista histrico, at a aplicao do fenmeno ao caso

de fontes extensas porm estticas. No Capitulo IV abordamos o

trabalho por ns desenvolvido. Discutimos as alteraes introdu

zidas no efeito HB-T quando tratamos fontes em expanso, inicial

mente analisadas em termos de um modelo simples, com apenas duas

fontes pontuais. Essas alteraes so ento discutidas em maio

res detalhes e ilustradas a partir de resultados obtidos com o

nosso modelo t o qual pressupe a formao de plasma~ A fonte em

rpida expanso suposta totalmente catica. Analisamos tambm

a compatibilidade da curva mdia de correlao com alguns dados

experimentais disponveis, obtidos a energias do ISR-CERN. A paE

tir dos resultados dessa ltima anlise, discutimos a validade

da hiptese de formao inicial de plasma. Por fim, fazemos al

3.

gumas previses sobre o comportamento mdio das curvas de corre

lao, com vistas aos dados experimentais futuros, a serem obti

dos a energas incidentes mais elevadas. A concluso do trabalho

encOntra-se no Captulo v_ Finalmente, os apndices contm alg~

mas discusses e clculos mais detalhados de tpicos mencionados

no Capitulo 11 (Apndices A e B) e no Captulo IV {Apndices A,

B e CI.

4

11. O MODS10 HIDRODINMICO

o Modelo Hidrodinmico de L.D. Landau4 parte da pre

missa que o objeto formado em colises hadrnicas a altas ener

gias deva sofrer expanso antes de emergirem as partculas fi~

nais. ~essa viso, o processo global de tais colises pode ser

dividido em trs estgios. No primeiro deles, h a formao de

um fluido em um pequeno volume altamente contrado pelo fator de

Lorentz l na direo do eixo de coliso e no sistema de centro-de

-massa {SeM} das partculas incidentes. No segundo estgio, de

vido ao elevado gradiente de presso interna existente, o fluido

inicial se expande, de acordo com as equaes da hidrodinmica

relativstica; a temperatura decresce progressivamente durante a

expanso at atingir aquela chamada de dissociao, -= m {masTd 11

sa e pion)1 sendo que o instante em que esta temperatura atin

gida diferente para cada elemento de fluido~ A, ento, tem

incio o terceiro e ltimo estgio, o de emisso de partculas f!..

nais l no qual a interao praticamente desaparece. Nessa verso,

"hadrons" podem ser criados e destrudos durante o primeiro e se

gundo estgios mS I s adquirem propriamente sua identidade como

hadrons temperatura de dissociao. ~ importante notar que,na

formulao original do modelo, nenhuma aluso composio inter

na dos hadrons era feita.

Ainda no primeiro estgio feita a hiptese de que

o equilbrio trmico seja atingido localmente, de onde ~ que:

.5 .

Ts := E:"" P

de : Tds dp ;: sdT (Il.])

E!l?c: = dE

sendo s a densidade de entropia, c a densidade de energia,

E. a presso e 'I' a temperatura; Co a velocidade do som no

meio.

Durante a expanso hidrodinmica feita a suposio

que o fluido seja ideal, ou seja, viscosidade e condutividade tr

mica so consideradas desprezveis. Alm disso, c;:= 1/3 comof em um gs perfeito.

As equaes da hidrodinmica relativstica so obti

das a partir da conservao de energia-momento:

I~T = O T = (c+p] uIJUV - PST 1j \) (lI. 2)\lU "" onde ul) a quadrivelocidade e a mtrica a usual, ou seja,

9.;0=-91i =1 (i=1,2,3),

Da componente da equao (II.2) na direo de ul.! f ou

seja, de UU(j\.lTj..pJ =. O f usando as relaes (II.l), resulta;

a'J(su\)l := O (II.3)

o que significa que a entropia conservada (movimento ad1abti

co)

Projetando a equao (II.2) na direo ortogonal a

ulJ , no espaco de quatro dimenses, podemos obter:

ul.! BlJ (Tu\,)} - a"T ;: O (lI. 4)

.6.

No espao tridimensional, o fluido deve se expandir

tanto na direo transversal das particulas incidentes quanto

na direo destas (longitudinal). No entanto, o movimento ao lon

go desta ltima predomina em grande parte do estgio de expanso,

j tendo sido demonstradoS que a expanso transversal pode ser

considerada uma correo ao movimento longitudinal.

Considerando apenas a expanso unidimensional {langi

tudinall do fluido, as equaes hidrodinmicas (lI. 3) e (lI. 4)

podem ser escritas como:

a ,ilt (SU ) + a" (SUl) = o x

(II.5)

d ,'fit (Tu-) + '}X (Tu i = o

1onde U O '" cosha. '" 1/~ e u = senha: (l a rapidez do e

lemento de fluido considerado.

As equaes (11.5) ?ara o movimento longitudinal do

flukb foram resolvidas exatamente por I.M. Khalatnikov6 , cuja 50

luo pode ser escrita I para um potencial, como!

x(a,y) = -t 13 T, e Y J-y

e 2Y' I'~Y"-a'/3JdY' ,. (n > O) n#3 III.6)

onde To a temperatura do fluido inicial termalizado e y = = fniT/T o); lo a funo de Bessel modificada de primeira elas

se.

As coordenadas temporal (t) e longitudinal (x) rela

cionam-se com a soluo (II.6) por:

e-Y rh ax::l e-Y ~x ax ~ t = To [}y cosh a - senh c:J x=- -senhn-.-coshu IU.7)T, ay a"

.1.

A soluo X obedece a duas condies de contorno,

as quais podem ser melhor descritas com o auxlio da Figura 1.

A~ ....-r )(1~AoI2,

x

I. ~OJ

Figura 1

Fluido inicial contrado por Lorentz.

o fluido inicialmente formado e termallzado, visto

no SeM das particulas incidentes como um cilindro achatado~ con

trado pelo fator de Lorentz (y), com espessura IJ::::: 2R o/Y. A

expanso hidrodinmica unidimensional ser, ento, ao longo de um

tubo com raio transversal dado pelo dos hadrons incidentes l cu

jas extremidades esto em contacto com O vcuo. O movimento si

mtrico em relao seco transversal central do cilindro. As

condies de contorno fixadas por Khlatnikov podem ser expres

sas da seguinte maneira:

!l Consideramos que o centro do cilindro esteja em

no plano Xl:::' -.t :::. - uo/2 (por simetria, pode

rede fixa). Nessas condies!

repo

ser

uso

s~to

(a:::. O)

p~

(rI.7)

",1",0 ' - t =---="~-=-'> ( a xl. T, teY (rI.S.a)l a" ",,0

a.

li) A soluo na extremidade em contacto com o vcuo deve ser a

justada por uma onda simples!

v- Co t x = 1 -vco

para a qual dev valer tambm

J dE

= - y/c," = - Co (e: + p)

Ento, a segunda condio de contorno obedecida por (Il.6) ;

x ;::; const. = O para u=-y/co (II.a.b)

No diagrama espao-temporal os pontos do fluido com

meSmo tempo-prprio T::t R~X2 so dados por hiprl:oles. Pontos

do fluido a uma mesma temperatura so ilustrados na Figura 2-a,

para trs valores de T (TI >T 2 >-T s )

t

, / "

/

/ " /

/

,/ " / '....::,'Y

~0 (;0

0'0

t::,./,O x -....Q

2

Figura 2-a

Isotermas do movimento unidimensional.

9.

Na Figura 2-a, a regio correspondente soluo de

onda simples fica delimitada aproximadamente pela curva traceja

da e pela reta que representa o cone de luz. Fora desta regio,

as isotermas aproximam-se de hiprboles, medida que a tempera

tura diminui.

Na dcada de 70, surgiram crticas ao Modelo Hidrodi

nmico, referentes ao fato de as condies iniciais no serem co

variantes7 , possivelmente conduzindo a violaes do Prinopio da

Incerteza de Heisenberg a energias elevadasS ,9, e ainda apontan

do dvidas quanto hiptese assumida do estabelecimento de equi

lbrio trmico global no instante de formao do fluido hidrodi

- i 9nam co Estes problemas ainda no foram esclarecidos, podendo

talvez vir a s-lo com o desenvolvimento de teorias de transpor

te. Todavia, alguns autores 7 ,9,10 os contornam com a hiptese

de que o fluido hidrodinmco se materialize em um tempo-prprio

T~ , estimado comO sendo T, - --1 .... 1 fm, nada podendo ser afir AQCD

mado sobre o fluido antes desse instante ~ Com essa nova condi-

co inicial covariante, a situao no diagrama espao-temporal

corresponde mostrada na Figura 2-b.

O instante T delimita a regio do espao-t.elt'pO naf

qual o sistema assinttico. ou seja, constitudo de hadrons

livres que so ento emitidos. Nessa verso alternativa, a expan

so ocorre ao longo de um tubo infinito, de tal forma que a des

crio do movimento, no referencial prprio de um e~to de flui

do I igual de qualquer outro referencial obtido aplicando um

"boost" ao primeiro. Por essa razo, chamada de hidrodinmica

de escala. Na realidade~ um tal tubo no deve existir. ~~ entan

to, a hidrodinmica de escala uma boa aproximao para eher

gias suficientemente altas e quando queremos descrever a ~egio

central de rapidez (plat central) I conforme veremos nos clcu_

los subseqentes.

10

t

, ,Q

, f::.~\V

niMOo.\~

~' (,0

'-.,>"v

'00

o x

Figura 2-b

Diagrama espao-temporal na hidrodinmica de escala.

o problema das condies iniciais , no entanto, bas

tante controverso ainda hoje~ Por exemplol E.V. Shuryak consid~

ra que as condies iniciais de Landau so boas, ao menos at e

nergias da ordem do ISR/CERN11 .

Voltando soluo de Khalatnikov, podemos obter a

~artir de (II.6) e (II.7). as expresses:

t+x ,e 13 eU-'Y {ro (/Y'-"'13l[1 +3iJ - e'Y fYdY' ';Y' l, (!y" - ",/ 'l l [1 - ;;, + 3Y"" J}

wl3 (II.9)

t-x t l3 e-a-2y {I, (N -,'>/3) [1 - 3~J y

2y- r: "J}- e'lY dy' e ' lo {/ydi - 0:2/3} L2 + 3y' - ~ J0113

2"

.11.

As expresses (II~9) podem ser consideravelmente sim

plificadas quando X e Ct forem suficientemente grandes, com

y2a2 t evidente que tal condio no vale para os estgios

iniciais da expanso, onde a temperatura ainda muito alta 8, P0E.

tanto, y pequeno. Na regio onde a aproximao boa, pode

mos escrever, em lugar de (II.9), as expresses;

at + x ~.e I'i e - 2Y I, (/y' - a'/3)

(II.9'l

t-x ~ 1;: I'i e-a.-2Y lo (/y~ - ,,'73 )

De UI. 9 '), podemos obter a soluo aproximada para

as equaes da hidrodinmica:

~ 1 .tn t+x (lI. 1O. a)" 2 t-x

( ) -cG T = T .T T = It 2 xi ; c; '31 (1I.10.b), LX

sendo t e x as. coordenadas temporal e longitudinal de um da

!1-C:lL2 o ~ do elemento de fluido e b = - - Ct e a rapidez do flui-n 2

do. A ex!?resso (11.10. a) indica que a velocidade do elemento de

fluido aproximadamente dada por v " x/t . Para obter (II.10.b}1 l

consideramos tambm que tn' (t+x) tn' (t 2 _X ) sendo, portanto,t-x a' uma boa aproximao na regio central de rapidez e para grandes

valores do tempo-prprio T.

Devemos observar tambm que a soluo aproximada ex

pressa por (II~10) invariante de escala e que os pontos a uma

mesma temperatura situam-se sobre hiprboles t~-x~ ; constante.

Assim sendo, a mesma situao observada em qualquer refaren

eia1: elementos de fluido afastahdo-se da origem com velocidades

_12_

proporcionais distncia. Portanto; a soluo aproximada coin

cide com a hidrodinmica de escalai esta representando boa apro

ximao da hidrodinmica de Landau na regio central de rapidez

e para grandes tempos-prprios.

Nos clculos subseqentes (Captulo IV) supomos que

a soluo aproximada (II.10) descreve bem a expanso hirodinmi

ca unidimensional do fluido formado em colises hadrnicas muito

energticas, at que seja atingida a temperatura Td ;;; mi{ (valor

compatvel com o estimado por clculos de QCD na rede, conforme

mencionado na Introduo), ~ interessante acrescentar que exis

tem evidncias experimentais que situam a temperatura de dissxda

o T em torno desse valor (Figura 3).d

l E d 6 (eml GeV')

Jp'

i_. Jr' T-" t "'.\ .. 2r. 1r~P ,;".lO - ,,,. 16(itV/

.1 3 .

clumos que a distribuio de massa transversal compatvel com

a de um gs de hadrons praticamente mesma temperatura T - m-;rd

(-140 MeV).

A partir de consideraes estatlsticas sobre as par

tculas que constituem o fluido temperatura de dissociao, p~

demos obter tambm expresses para as densidades de partculas

n{Td ), de energia :: {Te} e de entropia S (Td ) Um resumo a

respeito pode ser encontrado no Apndice A.

Para finalizar, gostaramos de citar alguns bons re

sultados obtidos com as hipteses do Modelo Hidrodinmico, quan

do comparados com os dados experimentais:

multiplicidade carregada de secundrios produzidos em colises

PP. em funo da energia do proton no sistema de laboratrio,

para vrias experincias de aceleradores e de raios Csmioos12 ;

distribuio de pseudo-rapidez dn/do x f-o) para momento

13p, 15.4 GeV fISR/CERN) 12 e rs = 30.8 e 53.4 GeV ;

razo entre O nmero mdio de kaons e o de pions ,kajustando os dados para dois valores de temperatura de disso

ciao (T ' 150 e 160 MeV) 13.d

o Modelo Hidrodinmico pode ser alterado de forma a

incluir o efeito de partcula dominante 14 : supomos que o estado

inicial seja formado de urna partcula dominante e de urna bola-de

-fogo (Apndice B). Com esta hiptese, observamos boa concordn

ela com os resultados experimentais, para o que se segue:

momentos da distribuio de multiplicidade calculados com base

na distribuio de Bose-Einstein para T = m 14 n )

distribuio de pseudo-rapidez da/dn em funo da "missing

mass" (Ml 14,15;

14 .

,IM 14,15 , proporcionalidade entre a multiplicidade mdia e correlao entre e a multiplicidade central, levando em

conta a expanso transversal do fluido 16 .

15

111. EFEITO HANBURY BROWN-TWJSS--=

HISTRICO

17Em meados dos anos 50 R~ Hanbury Brown e R.Q. Twiss

sugeriram Um novo mtodo, baseado na correlao entre partculas

idnticas t para a determinao de dimenses angulares de fontes

de rdio e de estrelas visveis. O fenmeno, conforme discutido

na poca por E .14. purcel11a, um efeito originado na Mecnica

Quntica. Ou seja, no caso de bosons l a correlao reflete o fa

to dessas partculas apresentarem a tendncia de se aglomerar (e~

tat:.stica de Bose-Einstein) e no caso de fermions I conseqn

cia do Principio de Excluso de Pauli embutido na estatstica de

Fermi-Dirac. Devemos acrescentar que, conforme salientado por

E.A. Bartnik e 1

16

no primeiro caso I conseguiram um melhor acordo com os dados exp~

rimentais do que o previsto pela estatstica clssica. O efeito

tornou-se posteriormente conhecido como GGLP.

Na dcada de 70 Grishin, Kopylov e Podgoretskil in

troduziram o fenmeno de correlao entre partculas idnticas no

estudo de reaes nas quais eram formados estados intermedirios

instveiS (ncleos excitados ou ressonncias de partculas eleme~

tares). Sugeriram que um efeito anlogo ao HB-T permitiria a de

terminao de larguras de estados ressonantes 21 de dif~n~ enI

tre vidas mdias de ressonhCias 22 , de tempos de vida e forma de

ncleos altamente excitados 23 . Em seguida, E~V. Shuryak24 , SU~

rindo que a estrutura espao-temporal de fontes emissoras de pa~

tlculas poderia ser estimada por experincias de correlao, d~

senvolveu um formalismo mais geral para o estudo do fe~no. POE

co depois, G.I. Kopylov25 e G. cocconi26 introduziram medidas de

correlao no estudo das dimenses espao-temporais das regies

de produo mltipla em colises hadron-hadron.

Desde o incio da dcada de 80, inmeras experin

cias de correlao vm sendo realizadas com o objetivo de esti

mar as dimenses das regies emissoras de partculas, em diver

sas colises. A ttulo de ilustrao z citaremos alguns exenplos.

correlao entre fermions idnticos foi observada em interaes

27proton_neon , analisando o efeito para protons secundrios. Na

literatura I entretanto, so mais abundantes dados e anlises de

correlao entre pions, como por exemplo, os produzidos em rea- 28 pp 29,30es ~ p, ~ n, ~ , nas interaes ttq, pp e ou em

31colises de 2 H, He, C em Ta ou de C em C e Ta Ainda

envolvendo correlao entre pions idnticos carregados, encontra

mos tambm dados obtidos no espalhamento inelstico profumo ilP 32

e em aniquilao e e Alem disso z sao tambem con ec~do$f. - 33.34 '" .. '" h'

alguns dados de correlao entre kaons, obtidos nas interaes

.17 .

Cta, pp e pp 35 em em e+e- 34. A anlise dos dados , em cada C!! so mencionado, dependente do modelo adotado para a regio produ

tora de partculas secundrias.

Os exemplos supra citados ilustram em parte o inte

resse e importncia atribuldos ao assunto. So tambm aguarda

dos com grande expectativa os dados de colises pp a rs = 1.6 TeV, em andamento no FERMlLAB, e as experincias entre ions pesados

a altas energias que comeam a entrar em operao no SPS-CERN (~

nergia por nucleon ..... 225 GeV/A) e no AGS-BNL (~15 GeV/A). Nes

sas experincias, alm do efeito HB-T, outros sinais de formao

de plasma de quarks e gluons sero investigados.

ILUSTRAAo E DISCUSsAO DO EFEITO HB-T

o efeito mais facilmente compreendido quando ccns!

dramos apenas duas fontes emissoras de quanta pontuais, confor

me a Figura 4;

XII A

~#

A ~1 .... -x,iJ - ~ -" ~ ~ .... ~~ ~ ~ ~ " , ~

-',- ,n ~ - ~ , " x" iJ -- ' ..........

--"', }" XII

" - . B B

Figura 4

Representao esquemtica da deteco simultnea de duas partculas.

18.

A proposta observar simultaneamente em dois detec

tores separados, !:! e '", dois quanta em! tidos pe las fontes r e II. Vamos supor que essas fontes emitam quanta (pians de mesmo sinal)

independentemente, nos instantes t r e !Il I de tal forma Q'\'e suas

coordenadas espao-temporais sej aro x,tl '= (t' I t') e x/li = (t Ir ,;:n) ; x~A e B r fixos, encontram-se nas posies e ~ e so ajusA

tados para detectar partculas em coincidncia. Se A detecta

um pion com quadrimomento Pl" = (E~/P1) B I outro~ e um com pf "" Ez tPz) , como eles so idnticos, h duas possibilidades p!!. ra sua deteco. A amplitude para o processo ser:

ip (X;; - X"V) ip (p ip (,2:'_x,V)eiP," Ix): - x'"j e ,,, +e lUXA-XllUj e 2V .i'j!lJnpl. oc (III.1)

E a probabilidade de deteco simultnea ser:

W(P, ,p,) = IAmplo I ' oc 2 {1 + COS (IlP"A"~)} (IXI. 2)

onde

? ~ +~p" = (IIE,lIp) _ (E t -E2 t Pt -pz)

(III.3)

~ ~ ~

xlJ :;: (6t t l;r) ::!: (tI_tU)' ri-r"}

Usualmente, definimos a taxa de correlao ou coefi

ciente de coincidncia por:

W(PltP2}C(p"p,) (III.4)" W(Pl)Wlp,)

onde W{p.) a probabilidade de deteco de uma partcula 150~

lada.

.19.

Ento, no caso de (X!I~2)1 teremos!

C (Pl , P2) = 1 + cos (l1p]l

AxY) !III.4')

Conforme comentamos anteriormente, o efeito HB-T no

segue unicamente da estatstica quntica apropriada, mas tambm

reflete o fato da fonte emissora ser catica (ao menos parcial

mente). No caso de completa incoerncia das fontes, C(Pl1Pz} ad..quire o valor mximo 2 para 8E:;::: O e Ap .., O I em se tratando de

bosons, e o valor zero, quando fermions esto em correlao. 1s

to est de acordo com o fato de a probabilidade de deteco simul

tnea de duas partculas no mesmo estado quntico crescer, quan

do so bosons e se anular, quando so fermions (Principio de Ex

cluso), A maneira usual de levar em conta a incoerncia intro

duzir a hiptese de que as fases de emisso variem aleatoriamen

te, de evento para evento e de emissor para emissor# No caso de

fontes totalmente ooerentes T ou seja, se emitem quanta com fases

bem definidas I obtemos C (Pl, f PZ) = 1, quaisquer que sejam os va..lores de nE e bp independentemente do tipo de partculas idn

ticas consideradas. uma boa reviso e discusso a respeito pode

ser encontrada na Referncia 36. Podemos, porm t ilustrar o efei

to considerando apenas duas fontes pontuais coerentes~ Nesse ca

so, a amplitude de deteco de uma partcula com quadrirnomento

x 1Up~ t em X~t a qual pode ser emitida da fonte com coordenadas

xll)Jou ser:

ip~ (XA _Xl i ip~ (XAl1-X~)

A (1 ) = f e ]l ~ e+ fba

onde fi urn fator que engloba a amplitude e a fase de emisso;

agora~ como se trata de emisso coerente t as fases so bem defi

nidas.

.20.

A amplitude de deteco conjunta de dois quanta, um

com quadrimomento p~, em x~ e outro com p~, em x~, ser:I

ip\.l tx _Xl} ip~ (xA -x" ) ] e 1 AIl 11A(1,2) + fb e P P. [fa [ ip~ ("B -,,~ I ip~ (XB -x" I]

x f I e \.l + f' e )J 11 a b

Ento j no caSO de duas fontes coerentes, a probabil!

dade de deteco conjunta ser:

W(1,21 = IA(l ,21" = IA(1) ,'IA(2)"

Como a probabilidade conjunta W(1,2) coincide com o

produto das probabilidades de deteco isolada W(1}W(2) o~r

atravs de (III.4), que C{Pl,Pti::: 1 no caso de emisso coeren

te.

Para tornar o modelo de duas fontes pontuais que CO~

duz expresso (III.4 1 ) mais adequado a situaes de interesse,

vamos considerar que S emisses, alm de independentes, sejam a

leatrias e que ocorram durante um intervalo t. Nesse caso, o

clculo de C(Pll P2) envolve integrao em t e tU e mdiasI

sobre as fases de emisso ao acaso. Por simplicidade, represen

tremos esse procedimento por uma mdia, corno se segue:

C(Pl'PZ.) = 1 + (rIr. 5) ~

Essa expresso permite que, medindo a taxa de coinci

dncia em funo de 6p ~

(com 6E,: O) conheamos a distncia eI

orientao relativa das fontes.

- -

.21.

Quando consideramos fontes emissoras extensas, com di!

tribuio esttica F(x'~)t o coeficiente de correlao ser:

c (pl'P,l = 1 + IG[F("'~lJ I' (III.6)

onde G[F(x' lJ)) a transformada de Fourier da distribuio de

fontes. Se as distribuies espacial e temporal forem indepen

dentes e S9, por exemplo, assunUnos que os emissores tm mesmo

tempo de vida, a taxa de coincidncia ser:

C(p"p,l = 1 + IG,[F,(~IJI' IG,IF,(tlJI' (III.?)

Supondo que as fontes emissoras sej am l!acionadas lO si

multaneamente, com vida mdia T, e que sejam distribudas unif~

memente sobre a superfcie de uma esfera de raio R I obtemos (pa

rametrizao tipo Kopylov-PodgoretskiI-cocconi):

,

2J1 ('1TRl] 1

C(P1/P2} = 1 + - x (lII.8)[ 'ITR 1 .. (qo T ) 2

onde qo '5 El - Ez as componentes ClT e qL (variveis de Fbpylov) da diferena de momentos t respectivamente, na direo de p;; t

22

quadrtico mdio do volume espao-temporal no qual os pions so

produzidos.

-qT - ~

-P1

-_ 1 (- -)'k p-2' p,+PZ

-Pz

Figura 5

Componentes da diferena de momentos

+ + +

Ap: paralela a I' ('1Ll e perpen...dicular a esta direo ('1T l.

As expresses {III.S) e (1II.9) permitem a obteno

de estimativas das dimenses espao-temporais das fontes. No ca

50 de (III.S), escolhendo eventos com E = e medindo a corre

... ... 1....-+lao entre bosons idnticos em funo de qT' com p " "2 (p,+p,l

em dada direo, podemos obter R em um plano perpendicular di

rao de I' ...

. Variando esta ltima, possvel determinar a di

menso do volume de emisso. Em principio f T pode tanl:.:m ser d~

terminado escolhendo eventos em que os bosons idntioos tenham a ...

mesma direo e aproximadamente o mesmo momento {portanto, qT st O}.

Assim, C(PltP2) pode ser medida em funo de qe, para vrios

valores da diferena de energias, de onde informao sobre 't P2.

de ser extrada. No caso de (111.9) o procedimento semelhante _ 2. ""'2

mas, como 'I' = 'lo -'I (I',U - p,"'l < O , a regio q~ ~ q2 ci " nematicamente proibida e, nesse caso, a dependncia em qu no P9.

+de ser obtida medindo C(p"p,l para pequenos q.

.23.

As expresses (III.S) e {III.9l so obtidas com a hi

ptese de fontes completamente caticas. Usualmente I no entan

to, os ajustes de dados experimentais so feitos com a inbxduo

de um parmetro < 1 no segundo termO daquelas ekpresses, o que

torna o valor mximo de C(Pl I Pl) < 2 . A introduo desse fa

tar geralmente justificada por duas razes. A primeira de

las refere-se li influncia de limitaes experimentais (iden

tificao equivocada de traos Ou associaes erradas destes com

o vrtice principal 32). A segunda explica

24.

te# dimenso maior resulta em curva de correlao mais estreita.

Dessa forma, a contribuio correlao mais efetiva para pe

quenos valores de Q2, tornando as curvas de C (Pl' P2:) mais al

tas nessa regio que a extrapolao usualmente feita~ t interes

sante notar que o grupo CLE0 33 procurou oorrigir os efeitos de

ressonncia nos dados e obteve valor de compatvel com a uni

dada, aps a correo.

Tudo isto sugere que a explicao de ).. < 1 como sen

do conseqncia de coerncia parcial da fonte emissora pode ser

precipitada. No prximo captulo, veremos ainda que h a possi

bilidade do valor mximo de C{Pl,P2) ser menor que dois l mesmo

no caso de fontes completamente caticas.

.25.

IV. CORRELAO ENTRE BOSONS IDENTICOS PRODUZIDOS """" -~--

EM COLISOES HADRONICAS A ALTAS ENERGIAS- _.- -- '

HIPTESES E OBJETIVOS

No ajuste dos dados experimentais sobre correlao en

tre bosons idnticos; usualmente so empregados modelos de fonte

extensa e esttica, como os que conduzem s expresses (lII.8) e

(!II.91 do capitulo precedente. No caso de produo mltipla em

colises hadrnicas a altas energias, porm, a escolha de fonte

esttica no nos parece adequada {ver tambm Referncias 37, 39,

40 e 4iJ. Isto porque} nesse caso} dada a grande multiplicidade

mdia de partCUlas produzidas e a pequena dimenso da regio de

interao, parece-nos mais correto considerar que haja expanso

da fonte antes que emerjam os hadrons finais. Isto sugere que m2

delas que consideram fontes em expanso no clculo de CPl,P2)

sejam mais realistas.

o presente trabalho tem por objetivo estudar a corre

lao de Bose-Einstein entre pares de bosons produzidos em coli

ses hadrnicas a altas energias, com a hiptese de que seja fo~

mado um plasma de quarks e gluons inicialmente. Considerarnosre~

to, que este sofra expanso (aqui descrita pelas equaces do Mo

delo Hidrodinmico de Landau), durante a qual a temperatura do

plasma vai progressivamente baixando at atingir uma temperatura

crtic, da ordem de massa de pion Te'! m Nesse ponto, tem in!ir

.Z6.

cio uma transio de fase de plasma (quarks e gluons) para ha

drons , os quais so ento emitidos e posteriormente dete~s em

correlao. Conforme comentamos no Captulo I, o valor T m c ~

para a temperatura crtica compatvel com os resultados de QCO

na rede.

Antes do plasma atingir a temperatura crtica. ainda

durante sua expanso I pode ocorrer evaporao de partculas. Mas ~

a estatstica de ocorrncia do fenmeno deve ser pequena quando

comparada com a de emisso de partculas temperatura de disso

ciao {Ta = Te tr m ). Como esta contribuio anlise de correnlao deve ser predominante, o efeito de evaporao de hadrons

no considerado em nossos clculos.

o modelo original de Landau assume que as partculas

finais apaream quando a temperatura local do fluido atinja a tem

peratura de dissociao T I: T ;; m a qual define uma superfcied n

de emisso. No nosso caso# lsto equivale a considerar ~ o pIas

ma sofra hadronizao instantnea, uma vez atingida Te No tra

balho descrito mais adlante adotaremos inicialmente esta hipte

se, com a finalidade de facilitar os clculos envolvidos, embora

saibamos que seja pouco realista. Isto porque, devido ao fato

de o fator estatistico ser grande para o plasma q-g, a densida

de de energia Epl(T } ainda muito alta para assumir que os c

pions sejam emitidos de uma tal superfcle. Pensamos ser mais ra

zovel considerar qU, atingida T , o fluido ainda se expanda a c t alcanar o valor de densidade de energia (Eh(T )) caractersc

tico para gs de hadrons. posteriormente, quando formos anal i

sar a compatibilidade de nossas previses com os dados experime~

tais, incorporaremos estas consideraes. Iremos supor, ento,

que a transio de fase tenha durao finita, com o fluido expan

dindo-se inercialmente (presso constante) a entropia constante

(H. Gyulassy e T. Matsui 42 mostraram que pode existir trajetria

.27.

isentrpica durante a transio d fase de plasma para hadrons,

na ausncia de efeitos viscosos. O acrscimo desse intervalo tor

na as curvas de correlao mais estreitas. Contudo, a hiptese

de emisso da superfcie temperatura '!' :t m (hadronizao ins c n

tantnea) no invalida a anlise do comportamento qualitativo de

C(Pl.P4} em termos de algumas variveis como, por e~lo, no mo

menta transversal mooio (P ) ou na massa (M) do estado inicial deT

plasma. Com relao a esta ltima, devemos salientar que um

parmetro dependente de evento; pois a massa da bola-de-fogo no

fixa. Embora esta hiptese no seja necessria no clculo da

correlao, torna-se essencial na comparao com os dados exper~

mentais.

Devemos acrescentar, porm, que a considerao de fon

tes em movimento, especialmente quando as velocidades dos pontos

da fonte so variveis, COrno o caso em que h expanso, torna

muito mais complexa a anlise da correlao entre bosons idnti

cos. Em particular, a correspondncia simples entre a largura

das curvas de correlao e as dimenses das regies emissoras de,!

xa de valer, devido interferencia de efeitos cinemticos intro

duzidos pela prpria expanso~ A seguir I vamos discutir alguns

desses efeitos, fazendo uso de um modelo mais simples de duas fon

tas pontuais.

o EFEITO HB-T PARA FONTES EM EXPANSO

Suponhamos que I e II sejam duas fontes pontuais in

dependentes que se afastam urna da outra ao longo do eixo x, te~

do coordenadas espao-temporais dadas, respectivamente, por:

x!1 = (t' ,0/0,0) x,,1J ';: (t",x""OIO) (IV.1 )

.28.

Suponhamos tambm que a fonte II seja acelerada, af~

tando-se da primeira com uma quadrivelocidade u lJ = {uo, Ui, 0, O)

crescente e que cada uma delas tenha uma vida mdia t ~ Se qui

sermos medir a distncia (longitudinal) entre as duas fontes, o

mais conveniente colocar os dois detectores A e B a aproximad~

mente 90 da direo (eixo xl que une as fontes. De acordo com

a Figura 6, isto significa que +P J.. Ox Ento; supondo E = O

devemos medir C(Pl,P2) como funo de T

Apl/Ox.

y b,P'P1-PZ

Ax II VI O.:x'(t') x"Ctn) x

z

Figura 6

Representao esquemtica de duas fontes pontuais

com movimento relativo ao longo do eixo x.

Como a fonte II se move em relao fonte I e eruite

durante t t as coordenadas longitudinais desses pontos de emis

sao (x") so variveis, distanciando-se cada vez mais da fonte I.

Por outro lado L se considerarmos que a distribuio espectral se

ja isotrpica n sistema prprio da fonte em movimento, qu.a:Irlo vis

ta no sistema de laboratrio ( esta estar cada vez mais con~ntra

u lda na direo frontal, medida que aumenta. Ento! quanto

maior for a velocidade u, menor ser a probabilidade de que a

.29.

partcula seja emitida da fonte 11 a grandes ngulos. Assim sen

do, a possibilidade de haver deteco simultnea com partculas

emitidas de I vai progressivamente diminuindo. Em outras pala

vras, devido acelerao, medida que a fonte II se afasta mais

da fonte 1, ela contribui efetivamente menos para a correlao

(esse efeito tambm discutido nas Referncias 36, 37,39 e 43) #

ou seja, quanto maior for u, menor,ser a contribuio mdia,

como a da expresso (lI I . 5) do Capitulo III. A distncia x;: XU

que os dados de correlao revelaro ser, ento, aquela corres

pondente a uma velocidade tpica Uo, obtida com o espectro da

fonte como funo peso. Como ilustrao, vamos supor que a dis

tribuio espectral invariante seja dada por:

E dn ~ U vpV exp [_ uv:~J = u, Eexp [_ u;E] (IV. 2) dp ~

Ao escrever o lado direito de (IV. 2) testamos assumin

do partculas emitidas a grandes ngulos, ou seja J cujas compo

nentes longitudinais de momento sej aro muito pequenas e tais que

PL = l (P1L + Pai o Ento, as partculas emitidas por II que contribuem

efetivamente, so aquelas emit.idas quando a velocidade da fonte

for menor que a velocidade mdia calculada tendo (IV.2) por pe

50, OU seja:

1

EJ u, {u, ex{ U~EJ} du, 1+ ;r +2 (~r

30

sulta em uma diferena de rapidez Aa il 0.94 f a qual ccmpatvel

com a considerada na Referncia 39. Contudo, as e-xpresS

31

e, (E/lipyi ~ v "" constante para constante. NO caso partiPT

cular das duas fontes pontuais colineares f cuja disposio espa

o-temporal dada em (IV. 1 ) 1 evidente que /.iy;; O No entan

to, atravs de {XV.4), vemos que tudo se passa como se 6y f 05

se dado por ~y ilE ) At _ v lIt Ou seja, quando a sgun= - [ AO' Y

da fonte emite, o quantum emitido pela primeira j ter per

corrido uma distncia vt I de tal forma que o ponto (t",O,vAt# O)

se comporta como uma fonte emitindo simultaneamente com a segun

da. esse efeito, claro, nada tem a ver com o movimento relati

vo das fontes, sendo apenas uma conseqncia da diferena nos tem

pos de emisso. No entanto, esta ltima tem grande importncia

no caso de fontes em expanso, conforme ser ilustrado mais adian

te.

H ainda um outro efeito observado nos nossos resul

tados e que antecipadamente discutimos aqui em termos mais sim

ples. Ao estudar medidas de correlao em funo de uma das com +

ponentes de Pl consideramos ate agora que as demais fossem nu

las. No entanto, uma tal situao bastante improvvel, se con

siderada em termos da obteno dos dados experimentais. Uma 5i

tuao um pouco mais geral aquela em que a componente de p P~ rale la a

+ p (por exemplo 8Py } diferente de zero. Nessas con

dies, ao analisar a correlao como funo de uma das compone~

tes ortogonais a p, digamos Apx# verificamos que C {P1 1 P2 1 < :2 na origem (P;x "" Q) e que l alm disso 1 o ponto de mximo no esta

ra mais localizado em lipx= O. Nais explicitamente, a situao

considerada corresponde a urna disposio dos detectores na qual

p//Oy e p +

::::: (Apx' P ' O) I com IIpy > O constante. Ento, vol y tando ao modelo de duas fontes pontuais colineares de (IV.1),

8y = /'z = O e fjptJ 6x "'" fiE b,t - b,p h.x. Quando ~p = O ento x" x

AplJl\X')J > Q e portanto C(P1 ,P2} < 2, de acordo com (III.5). Nes

se caso, o mximo de C{P1/Ptl estar deslocado, situando-se em

32.

II!?X = IIEt:.t//;x > O . Dessa forma conclumos que o valor da fun

o de correlao; em funo da diferena de momentos em dada d

reco, pode ser menor que dois quando esta varivel se anula;sem

que seja necessrio recorrer hiptese de coerncia parcial da

fonte discutida no Capitulo III~ Mais adiante teremos oportuni

dade de observar esse efeito como decorrncia de nossos clcUk$T

onde consideramos fontes totalmente caticas.

cALCULOS DO EFEITO HB-T BASEADOS NO ~IODELO HIDRODIN1iMICO

24Conforme mencionamos no Cao~tulo III, E.V. Shuryak

desenvolveu um formalismo geral, independente de modelo, para o

tratamento da correlao entre partculas idntlcas~ Nesse COh

texto, a probabilidade de deteco simultnea de dois bosons com

quadrimomentos p~ e p~ dada pela expresso:I

t1 (Pu Pz) -

.33

.ilx * x6 l (X,AX) "

34 .

sa M I dado por {adotamos unidades tais que ti "" c ::::: k = 1 ,semo h

a constante de planck, c a velocidade da luz e k a constante

de Boltzmanni:

1 UUp~ IE f (p) = x UV.7.al (2.) , exp[upU jT ]-1

~ c

a, sendo a a rapidez do fluido nesse sistema, sua quadriveloci

dade u~ e o quadrimomento pV da partcula emitida so escri

tos na forma:

utl = lcoshu, senhal 0,0) ; PU ;; {E/PX'py,pz} (IV.7.b1

Com base em {Iv.7.a} podemos escrever a amplitude do

campo emitido pela fonte catica (com fase aleatria 8(x'V j ) si

TUtuada em x t no ponto de observao com coordenada espao-te~

poral x lJ , corno!

J(x~,x'~) = Id'p lf"TPT "i8(x'~) expt ip~ (X~_x,U] IIV. 81

Uma vez conhecida a amplitude, podemos determinar a

relao equivalente a (IV.5.cl. Para isso, devemos calcular a

mdia sobre as fases aleatrias do produto de amplitudes

J {xJJ _ frXiJ 12 ; x .. iJ }+ 6x}1/2 ; x IlJ} J* (Xli I da seguinte forma:

2. ll

= 1 Jde(x'U) "i8IX 'U)+ -2 ' 2n O

2, r

1 fd9IX"U) e-i9 (x"U) J d'p' Jd' p" IfTi>'T x":r;; J O

.35.

ll ll:x: _xiii) + ipfl (X\..l _ x _ Xltu)lx If (p") exp ~ i p~ (,,~ + 2 ~ 2 ~

(IV.9.a)

o clculo da mdia sobre as fases conduz a:

(2')'

2.IdG(,,'~) 2.Ide(x"~) i (e (x' ~)e - e (x" v) J = O O

= 1 x (2.)' (x,u -x"~) (IV.9.b) (2.) ,

o lado direito de (IV~9.bJ reflete o fato de o resu1 tlUt.ado ser nulo se Xl ~ -I x e diferente de zero no caso contrI

rio. Isto est de acordo com a hiptese de fontes independentes

e caticas emitirem COm mesma fase apenas quando tm as mesmas

coordenadas espao-temporais.

Com o auxlio de (IV.9.a} e (IV.9.b) podemos determ~

nar o anlogo para fontes continuas da expresso (IV.S.b);

I (lIp,p) = Id'x Id'Ax Id'p' Id'p" J d'x' Id'x" (x,v -x"p) T=Tc

x eXP~(6xiJp~ +XiJh,PiJl] Ifio') 1J.'If~n\

+ .1x ~ x 1J )x exp {- i ~~ (x~ p - P~ (xV _ l\~U - x" P)]} . (IV.10)2

Em (IV.10), a presena da funo delta torna imedia

ta a integrao em d~XIl. Rearranjando convenientemente as ex

ponenciais e integrando-as em d~x e d~Ax, obtemos o produto

de funes delta ~~ - (pu + A~~J ] lo! ~~ _ (p~ _8~g)] , cuja pr~

.36.

sena torna simples as integrais em d 3 p' e d 3 plr . Estas f embo

ra envolvam apenas as componentes espaciais dos momentos t fixam

tambm a componente temporal de p' e P~ t uma vez que a massa ~

dos bosons idnticos analisados fixa. Aps os clculos, obte

mos:

i(~p,pl ; (2

.37.

e aP o mdulo da componente da diferena de momentos transT

versal direo de incidncia (eixo x) I ou seja r 8~::::: Ip~ + P~.

t 2Usando a definio de tempo-prprio = t'2_ X!2 e a rapidez do fluido dada pela expresso (II.10.a) t podemos fazer

uma mudana nas variveis de integrao t I e x f ;

t' := T cosho. , Xl := T senha (IV.12)

dt' dx' ;;: T dT da

Substituindo (IV.7.a), (IV.ll) e (IV.12) em (IV.l0'),

obtemos:

- , R o f+OOJI (Ap, pl = 12.) 8PT J I (6PT R,) T dT da

T=-T _00

c

t~ (pw + n~~) / (E + A:)] G" (p - A~vJ / [I! -A:)]v x ---r=:====:::::::===-r

exp~: (p~ +~)J -1 )XP~: (pv__A~vJJ -1

x exp ~ l' (E cosh Q; - .6PL senh a.)] (IV.13)

Se considerarmos em (IV.13) que Os argumentos das e~

ponenciais sob raiz quadrada sejam tais que O < e -x

.38.

te, de forma que apenas a contribuio dos primeiros termos do

lado direito de (IV.14) seja significativa, obtemos expresso p~

ra o integrando (IV.13i ainda bastante complexa. Com a finalida

de de obter uma expresso analtica para I(p,p) f mesmo que a

proximada# consideramos a contribuio apenas do termo dominan

te~ Isto equivale a supor que:

(IV.15)exp~ (p".~")J -1 " exp~: (p"A~")J

Ento, usando (IV. 7.b) t podemos escrever I(P/P' co

mo :

+~

I(8p,p) a (2~) 9 ~ J'l {AP Rol f T dT J daAPT T TTc

_00

~E + Ai)rosha - (PL+ A~L)serilij [(E -Anoosha - ~L _A~L)serilij x __________~======~---------

I(E +~J (E _Ai)

1 x exp {i T ~E eosh ~ - APL senh ,,] - Gcosha - PL senha]}Te (IV.16)

Em (IV.16) aparecem explicitamente os momentos das ~

ticulas fixados pelas funes delta obtidas na integrao em d 4 x

e d 4 x (ver iscusso aps a expresso {!V~10})1 ou seja:

p~ = p.1l = p" + ill": ; p~ = p" lJ = p" _ ill": (IV.17.a)2 2

39.

De onde obtemos:

1 1 ..... 1.........

E :;: '2 (E1 ... E,) = 2" (P IL + P2d P-r ="2 (p, +P')TPL

(IV.17.bl

+ + ...bE = El -E2 IIPL - IIPT = (p, - p, IT = P1L P2L

onde o Indica L refere-se a componentes longitudinais e T aI

componentes transversais.

A integral em a que aparece na expresso (IV.16) pc

de ser calculada de maneira aproximada pelo Mtodo de Ponto de Se

la~ Cons.iderando dominante a contr:ibuio do termo exponencial

em (!V.16), obtemos o seguinte resultado, com preciso logartm~

ca:

(~p, pl (2.) '"" t' J tJ I (APT R, I dTPT T=Tc

EE +~) oosha, - ~L+~)senha~[(E-An=ha, - (I?L-i1~L)senha,] x

I(E + :)(E - i)

exp {- /(~ - iTEJ' - (~- 1t6[>L)' } x (IV.18.a)

'P '}'"{ (TE - itnE) - (T~ - 1;t;P1) " c

onde ~o especificado pelas relaes:

http:IV.17.bl

.40.

[rB

- iTA~e oosh Ct. o =

/[T~ - iT8EJ - [;~ - iTAPJ' (Iv.la.h)

b..1! - i T iip JTe L senh ao =

/ [rE - i T8~' - -[:~ - ir APJ ' e

Para avaliar a integral restante, precisamos recor

dar alguns pontos. O primeiro deles que, de acordo com a saIu

ao aproximada d~s equaes hidrodinmicas t T e T esto rel

cianadas pela expresso (II.10~b) do Captulo lI, ou seja, T ~ , 7: To (T/I::.)-

x

I

41

ITE 112E) cush

.42.

1 [,li AE'-lIp' ~

.43.

~, 16irlrR,ll' {r: ~, 4>'T t'-4 C(P1 ,P:z i .. 1 + T [liirlrR, J L' -pt 4 LJ - IElIE - PL4>L''f c

l-3ft.4T' C

x {~ (E' - pt' - 1~ (6E' - lP~IJ' + (E:6E - PLlPL' 'fT'C

1 I,A AE'-IlPt ,A 6E'_IIP'~-J} x e>.xp { Te ~ E2_p~ + 4 +

IE6r:-pLlPL' + E'-pt + 4 L_ (E~-Pr.6PL'

-4T C ,X~{_fl[ [~ (E' -pt' -1~ IIlE' -At'{IJ' + T' IElIE - Pr.6PL' c

(E' - pi,l _ T' !AE' _ "P~lJ% } + TZ c C -(E'-l"L" 1 (E:6r:-PLlPL)' , + Te (6E1. _ l;p2) 2

x {l T.... J +'4 T_ +T~~E-PL.6PL) , J'4 L 2 }'h-rIE'~I{1 + T~ (/IE' -llP~1 ] (ES - P IIP ) , (IV.251L L

~

Na expresso (IV. 25) I ic determinado com o auxi

lio de {II.10.bL fixando T:T l':m . Para determin-lo complec 1

tamente f precisamos conhecer a espessura inicial ~ e a temper~

tura To, sendo que esta depende da massa M do plasma formado e

de seu tamanho inicial. Pe acordo com a discusso feita no Apndi

ce B, adotamos a hiptese de que seja formada uma bola-de-fogo

constituda de quarks e gluons (plasma) e uma partcula dominan

to# Supomos tambm que o plasma se forme em torno de um dos ha

drons incidentes, com massa M grande e com raio inicial Ro,sen

do este bastante contrado pelo fator de Lorentz ao longo da di

reo longitudinal. O Apndice B contm uma discusso mais deta

http:II.10.bL

.44 .

lhada a respeito e ;c pode ser estimado com o auxlio da rela

o 18.15).

Pela expresso (IV.2S) I podemos observar que a fun...

o de correlao CfPl,P2} bastante complexa. A anlise de

seu comportamento torna-se f porm, mais simples se esc.olherrtos re

gies cinemticas convenientes. Esse procedimento permite ilus

trar os efeitos comentados anteriormente, relacionados com fon

tas extensas em expansao.

Vamos iniciar a anlise pela configurao mais sim

ples. Imaginamos uma disposio dos detectores tal que a posl

o mdia dos dois forme um ngulo de 90 com o eixo x I o qual

define a direo longitudinal de expanso (eixo de simetria). Es

sa situao corresponde ao caso de dois quanta (por enquanto CO~

sideramos pions apenas) emitidos simetricamente em relao a um

eixo transversal, para a qual a semi-soma dos momentos das par

ticulas ao longo da direo longitudinal nula (P :::; O). DeL

vido simetria axial do problema podemos, sem perda de general!

dade I adotar tal direo transversal coincidente com O eixo Y I

conforme a Figura 7. Nesse caso, tambm Pz:::; O s, portanto,

p=pT=py' ~ ~ -

Nessas condies, !\py = (P, -p,).j = O e, como P O,L =

ento !\E = PL IIpL + !'.r AI'y = O Consideramos ainda que o plano que contm os detectores e o eixo y forme um ngulo 'f com a di

reo longitudinal (x//x).

Conforme comentamos no incio deste captulo, a mas

sa M do estado inicial de plasma um parmetro dependente do

aventar podendo haver flutuaes J ou seja, seu valor no fica fi

xado para uma dada energia incidente IS ~ t interessante, por

tanto, analisar a dependncia de C (P11 P2) em M.

45.

F----r:~-I/ detectores

) I"'-.A'J !,,,

\

W\\

\

, XliX,

X direlo longitudinal

Z/lZ ,,

Z

Figura 7

Esboo da disposio considerada para os detectores~ O pla

no que os contm, passando pelo eixo y, ortogonal ao

plano x y (e I portanto., ao plano xy) I formando um

ngulo ;p (O 'S: W S Zn) com o eixo x (e, portanto, com til direo longitudinal )().

Na Figura 8 1 exibimos curvas de C(P1/P2' em funo

de lip = Il.!.p~ + ~pf (l.!.Py:e O na configurao analisada), para doisL Z vvalores de ~, nos casos em que .p = O (bp z = O) e >jI = '2 (IIPL =0),

Neste ltimo, C(Pl'PZ) funo da varivel PT = /fiP~ + t:.P~ :: 6pz

refletindo, ento, a dimenso transversal da fonte. Como estamos

supondo que esta no se altere (desprezamos a expanso transver

sal), a curva em funo de 6pz deve ser insensvel a variaes

de M. Isto efetivamente acontece, conforme podemos observar com

.46

2.0 ~ M:40GeV

p.. '" O.4GeV1.8 I- \ \

Apy"O I \ "" "\

..c::r 2.0 M=540GeV .........

p..=O.4GeV

1.8 lIpy"O

11\ 1.6 I 1 \ "'" " Ap =0,L

I I \

1.4 ~ \ \ mdio 1.2

1.6

1.4 l \\ mdio 1.2

-cr 1.0

1.0 I,\.J I .3::t: I I I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

IIp

Figura 8

Compertaffiento das curvas de correlao C(Pl,P2) em

funo de ilp::; Il!.pt +fip! j (Py!!:r O) para dois vi!

lores de M t com !JI::; O (6pz::; O) e W te n/2 (APL '= O), sendo P ::;

::; 0.4 GeV. AsT T

curvas assinaladas a:m mdla C'orrespon

pondem a

.47.

parando as curvas com M = 4 O GeV eM;;: 54 O GeV para ..P = O ( L

nas quais fixamos o momento transversal PT = 0.4 GeV. porm, a

situao diferente quando analisamos C(PllP2) em funo de

bp = p (bp ;;: O) T pois podemos observar pelos grficos uma depenL Z -

dncia acentuada na massa. Podemos entender esse comportamento

da seguinte forma: de acordo com as equaes (11.10) do Captulo

11, a superfcie T.T (correspondente a 1" ... te) t de onde os c pians so emitidos, uma hiprbole no diagrama espao-tem

peral, para um dado valor da massa 101 ~ De acordo com a F.i.gura 9,

podemos observar que essa hiprbole se desloca para cima, se M

cresce {TC

(M 2 J > TC(M1)1. A figura tambm ilustra que as curvas

com velocidade do fluido constante so retas partindo da origem

de coordenadas, no referencial de repouso do plasma inicial.

Por outro lado, devemos lembrar que as curvas de

C{Pl,pzl em funo de 6PL (Pz::=:O) so obtidas supondo qu~ os

detectores estejam dispostos no plano xy, a grandes ngulos do

eixo longitudinal {Figura 7 com $;; O) Nesse caso, conforme a

discusso anterior, relacionada com a expresso (IV.3), os pions

que efetivamente contribuem so aqueles emitidos quando a veloci

dade da fonte for menor que o valor de corte ' Digamos, p!

ra facilitar a ilustrao, que a reta v = constante na Figu

ra 9 corresponda velocidade de corte~ Nessas condies1as pa!

tIculas que do contribuio efetiva so as emitidas por fontes

na regio simtrica compreendida entre as retas Iv I = constan_ te. Observamos ento, pela mesma figura, que essa regio longi

tudinal aumenta com M crescente, o que se traduz no fato de a

funo de correlao, em funo de APL , tornar-se mais estrei

ta com o aumento da massa, conforme mostra a Figura 8.

A curva intermediria t ainda na Figura a, correspon

de mdia de C (P1/P2) obtida fazendo rotaes dos detectores

em torno da direo mdia dos momentos das partIculas (no easo,

48.

em torno do eixo y}:

2" 1

2iJ r C(P"P.) II(Ap,pll' d~ = 1 + b (IV.26)0/ 21T

1 J - 2n C(p, ,p,l I(O,p,) I(O,p,)d~ o

sendo que C(Pl,Pl) introduzida na mdia como funo peso.

t

M2 )M1

~) ~c.. .

,,~"'V '00

~0cP

o

Figura 9

x

Diagrama espao-temporal ilustran:lo os ta'rpos-prprios TC(Mz) > 1'e (Ml)

para Mz > Ml. Pontos de fluido sobre a reta v = constante encontram-se mesma velocidade.

Ainda com a mesma disposio dos detectores, oolooa

dos simetricamente em torno do eixo transversal y (Pz. = pz O :. p.!'.r = Py)'

.49.

vamos analisar a dependncia da funo de correlao no momento

transversal mdio P'I' das partculas, fixando o valor da massa

M. A prior!, poderamos imaginar que C{Pl,P2) no dependesse

de P , pois estamos fixando M e considerando emisso apenas daT

superfcie com Te:';: m I portanto, com a dimenso tpica da fonn

te mantida constante. Esperaramos, intuitivamente, dependencia

em caso estivssemos considerando evaporao de partculasPT ainda durante a expanso do fluido 1 pois nesta fase a temperatu

ra est decrescendo. Assim, partculas evaporadas no inicio da

expanso, quando a temperatura alta e a dimenso longitudinal

tpica pequena, poderiam ser emitidas com grandes energias e#

portanto, com grandes (no referencial prprio do elementoPT E/ Tde fluido emissor)t devido ao fator de Planck e- no e~tro

de emisso. E, pela mesma razo# partculas evaporadas quando a

temperatura bem mais baixaI correspondendo a dimenso tipica

maior, estariam associadas a PT menores.

No entanto, contrariando a intuio inicial, observ~

mos que a funo de correlaco, em funo da diferena de momen

tos, depende do valor de mesmo para massa fixa e consideranPT

do aper.as emisso da superficie de dissociao (T = Te;; m ), conn

forme mostram as Figuras 10 e 11. Nos dois casos, a explicao

para a dependncia tem a mesma origem t mas vamos analisar as f1

guras em separado.

A Figura 10 mostra o comportamento de Clp"p,l em

funo da componente longitudinal da diferena de momentos 1:.PL'

com M fixo, PL := O e PT ::::: O (,'o fiE = O; t para alguns valores de

PT . A disposio dos contadores tal que as partculas so de

tectadas a grandes ngulos da direo longitudinal. Nessas Con

dies haver um limite mximo de velocidade para as fontes que

contribuem efetivamente r correspondente a um certo I confoI

t

o

me a expresso \IV. 3). De acordo com esta I mantendo T .. Te f 1

5Q.

xo e aumentando P (e, portanto, a energia das particulas emiT tidas) I diminui, correspondendo a velocidades de corte, na

Figura 9 (para um valor fixo de M) I progressivamente mais incli

nadas em relao ao eixo longitudinal. Dessa forma, ainda com

o auxlio da Figura 9, observamos que as dimenses longitudinais

associadas s fontes que do contribuio efetiva diminuem com o

aumento de P I correspondendo a um alargamento das curvas deT

correlao, medida que P creSC. Este o comportamento obT servado na Figura 10.

2.0 ~ M= 40GeV

=0PL 1.8 f--\ \\\ fiE =0-flP.l.=O, ,~ '\-d: 1.6

o: r- \ \ \ \./0.6-(.) 1.4 1.2

'.L=o.2Ge/ 1.0

O 0.4 0.5

Comportamento de C(P1/P2}' em funo da varivel

longitudinal APL , no momento transversal mdio

do par de particulas em correlaco,PT

0.1 0.2 0.3

ilPL

Figura 10

.51.

2.0

1.8

N c.. 1.6-

.52.

te, referente aos pontos do fluido que do contribuio signifi

cativa funo de correlao. Suponhamos que seja essa veVM

lecidade, associada massa fixa M. Consideremos tambm que no

instante t(Ol::::;"e (M} um elemento central (x::::: Ol de .fluido emi

ta um piem, posteriormente detectado em coincidncia com um ou

tro emitido em t(x), de um elemento de fluido que tenha atingi

do a temperatura crtica Te a posteriori, com velocidade VM

As duas emisses estaro t ento, separadas temporalmente por um

intervalo t.t:;;; Te (M) - t (x)

Por outro lado, conforme discutimos anterionMIDte com

base no modelo simples de duas fontes com acelerao relativa, a

expresso (IV.4) permite concluir que urna diferena nos t~s de

emisso tem o efeito de simular alterao na dimenso transver

sal l1y. Agora t diferindo do caso das duas fontes pontuais 0011

neares t 6y varivel. Ainda assim, devido ao fato de t>.t ser

diferente de zero, tudo se passa como se a fonte tivesse uma pr~

fundidade aparente dada por:

- y' = ..ME.. ~t 6y - V 6t (IV.27lAy - 6py " y

Com base na discusso acima, podemos entender final

mente a dependncia em das curvas da Figura 11. Mantendo fiPT

xas M e Te te, portanto, Te (M), se PT aumentai a velocida

de de corte (v ) diminui. Isto implica, de acordo com o ilustraM

do na Figura 9 para um valor de M, em um decrscimo de llt e,

por (IV. 27) f em uma diminuio na lI profundidade aparente" !J.y'

Logo, se aumenta, a curva de correlao deve tornar-se maisPT larga, precisamente o que observamos na Figura 11.

Ainda com relao "profundidade" da fonte, podemos

analisar sua dependncia na massa M ~ com a mesma configurao

53.

dos detectores e mesmos valores das grandezas cnemticas que no

caso da Figura 11, agora com P mantido fixo e a massa variT

vel. Uma vez que a dimenso transversal da fonte oonstante (ign.s:

ramos a expanso transversal), a priori esperaramos que o com

portamento de C(Pl'PZ) em funo de Py fosse inde~ente de

M. No entanto E outra vez os resultados contrariam a intuio

inicial. conforme mostra a Figura 12.

2.0~ PJ.'O.4 GeV

pL=O

IIp

l :: t;p

x =0

1.8 H\ '\'\. t;p =0

I \ \ '\'\.

z

..-.. o.N 1.6 . ~ ... o.

1.4

1.2

1.0 1 I I~

O 0.1 0,2 0.3 0.4 0,5 0.6

Llpy

Figura 12

Curvas de C{PI1PZ) em funo de t:,Py, mostrando dependencia da

profundidade aparente da fonte na massa M (com P fixo.

T

Para entender a dependncia na massa M, devemos lem

brr novamente que a contribuio efetiva correlao tem 0:.:1

gem em partculas emitidas de elementos de fluido com velocidades

.54.

inferiores a um valor tpico , ao qual associamos a retan

v = constante ~ da Figura 9* Consideremos ento, como l'Wl caso an

teriar, duas partculas em correlao emitidas de elementos de

fluido nos instantes t(O) '= Te (M) e t{x) este ltimo corresI

pondente ao elemento de fluido com velocidade de corte v. :e avi dente que, tambm neste caso,. as duas emisses ocorrero com um

intervalo l;t;; Te {N) - t (x) de diferena. Como a velocidade

t lbem aproximada por v:: x/t e como "[2 ::: _X2, ento, para um

dado valor de M 1 com a velocidade de corte v = constante fixa,

podemos escrever 6t como:

[11 - v' - 1]bt , Te IM) (IV.2S) 11 VZ-

Ento r mantendo P fixo (e, portanto, a mesma veloT

cidade de corte). se considerarmos um valor de massa M = Mt f .!

ferena 6t nos tempos de emisso estar associada uma dimenso

transversal aparente b..y I como no caso anterior. Por outro la-I

do,. sabemos que, se Mo '" Mz > M1 , ento TC{M,d > 'C(Ml) Nes

sas condies, verificarros com o auxilio de (IV.2Sl 1 que t(M2 ) >bt(M1 )

Em conseqncia,. de acordo com (IV. 27), a profundidade aparente

~y' tambm aumenta. Desse roodo l conclumos que a curva de cor

relao deve se tornar mais estreita com o aumento da massa M 1

efetivamente o que mostrado na Figura 12.

Vamos analisar agora dois outros efeitos comentados

no inicio do capitulo l relacionados com o fato de a curva de cor

relao, em funo de uma das componentes da diferena de rnomen

tos, adquirir valor menor que dois no zero da varivel~ Conside

remos os detectores ainda simtricos em relao ao eixo transver

sal Y (P '" Pz "" O), com M e P fixos, calibrados de forma aL T detectar partculas com nE'; O Resultados para npy fixado em

0.15 GeV encontram-se na Figura 13~

.55.

2.0 I- M=40 GeV

PL=O

P.l. =OAGeV

1.8 lo;:: toPy=0.15GeV -..............\'"-c:r 1,6

- ~

1.4

1.2

1 O I I 2--:L. I :L:t: I :A . O 0.1 0.2 0.3 0.4 0,5 0.6

!J.pl

Figura 13

C(Pl,P2} em funo de lI.pl "" 'pi +ilp~ (APy=O.15 GeV, fi

xo) I com P , P e M fixos + As curvas correspondem

L T

a 1[1 "" (llpz "" O) I lJ;;:;:; rr/2 (np :::: O) e l a assinaladaL com mdia I corresr:onde a "C{Pl,P2i;.. nos ngulos :P.

AS curvas de C {Pl ,P2) em funo de .PL (Pz "" O) e

em funo de fJp z (e.P "" O) tm comportamento . semelhan te s corL respondentes da :Figura 8, para O mesmo valor de M (= 40 GeV). Ob

servamos, no entanto, que o valor mximo das curvS situa-se abai

xo do valor 2 da Figura B. Este comportamento facilmente ex

plicado pelo fato de Cpj"pl-) estar sendo analisada em funo

de .6.PL C6pz "" O} ou de l!.Pz (ilP "" O) mas, agora, Uia outra comL

ponente da diferena de momentos (Py ) mantida fixa e diferen_

http:APy=O.15

56.

te de zero. Isto faz com qU, no zero de PL ou de Pz' C(Pl,P2)

adquira valor menor que dois, mesmo com hiptese de fontes tota!

mente caticas, como o nosso caso. Conforme discutiremos mais

adiante, devido baixa estatstica, na obteno dos dados expe

rimentais de C (P1IP2) em funo de UM. das ccmponentes da diferEna de

momentos t so inclldos valores de outra componente compreendidos em

intervalo diferente de zero. Com base na presente discusso, 1s

to pode ser suficiente para que o mximo de C{P1/PZ) se situe

abaixo de dois 1 sem ser necessrio reCOrrer a possvel coerncia

parcial da fonte, COlno usualmente sugerido. A curva int~i

ria na Figura 13 corresponde mdia de C{Pl,P2) nos ngulos ~,

conforme a relao (IV.26).

Finalmente, vamos mostrar que nem sempre o mximo a

funo de correlao se situa no valor zero de uma das componen

tes da diferena de momentos l em termos da qual a curva anali

sada. Para isso, consideremos uma disposio dos detectores um

pouco mai.s geral que a dos casos anteriores I de maneira que P F OL seja fixo. Mantendo tambm fixo Apy "O , analisemos o comporta

mento de C(Pl,P2) como funo de ilPL (ilpz = O), para vrios va

lores da massa M. A Figura 14 exibe os resultados.

Como P f. O t observamos que o valor da correlaoy em 6PL = O e menor que dois. Alm disso, o :nomento mdio .... 1++ - + ~ p ~ 2 (Pl+P2) tem agora duas componentes nao nulas: PT = PyJ e

P :::< Px (pz;;; O). Em decorrncia desse fato, notamos que flPL = OL

no corresponde ao mximo de C(Pl,P2) como funo dessa vari

vel l o qual deslocado para valores positivos de nPL 0':015 PL >0) I

ainda assim sendo menor que dois.

Com as anlises anteriores# correspondentes a regies

cinemticas mais restritas, acreditamos ter ilustrado os princi

pais efeitos esperados ao tratar fontes em rpida expanso. Gos

taramos de acrescentar que esses efeitos, em geral, no podem

51.

ser observados com base nos dados de correlao at aqui conheci

dos. Isto porque~ devido a dificuldades experimentais, tais da

dos abrangem uma regio cinemtica mais ampla, correspondendo en

to a um comportamento mdio dos resultados particulares aqui e

xibidos. Entretanto, um tal comportamento mdio elimina a maior

parte das caractersticas da funo de correlao analisadas an

teriormente. Sendo assim, torna-se necessria a realizao de

experincias mais restritivas para que possamos conhecer melhor

a estrutura espao-temporal da regio emissora de partculas.

2.0 r- lIpy=0.15GeV PJ.= Oo4GeV

1.81- M=40GeV--... PL=Oo4GeV lIpz = O - f ....--... cf 1.6

540

"

.. cr

1.2

1.4' /

1.0 I ~ I :::-+-- j>-.!- I O 0.1 0.2 0.3 004 0.5 0.6

tlPL

Figura 14

Ilustrao do efeito de deslocamento do mximo de C{Pl,P2)

em funo de AP para valores positivos da va-L r ive:l, quando npy -I {) e P " {') ~

L

.58.

COMPARA1iO COM OS DADOS HXPERIHBIITIUS

Devido ao fato de a estatstica ser baixa, os dados

experimentais de correlao disponveis consideraram eventos de + ...cada coliso t de forma a incluir valores dos momentos p, e p,

das partculas em uma ampla regio cinemtica. Por exemplo, ana _ + + 29

lisaremos mais adiante dados de oorrelaao de 11' 1T , produzidos

em colises proton-proton (pp) a li = 53 GeV, os quais foram oh

tidos com a restrio PT(LAB) ~ 0.1 GeV para cada partcula a

nalisada, cobrindo a regio central de rapidez Iyl $ 1.0 e definindo como regio sem correlao qT ~ 0.6 GeV e qL ~O.6 GeV

(as componentes qT e qL da diferena de momentos foram defi

nidas no Captulo II1 e so esboadas na Figura 5, para uma con

figurao particular)~ Nas medidas de C(PltP2) em funo de ~

foram considerados valores de qL na regio qL ~ 0.15 GeV; nas

medidas de C(Pl tpzi em funo de qL' incluram-se dados com

Q1' ~ 0.15 GeV. Analisaremos tambm dados de correlao e.htre kaons

idnticos obtidos na mesma experincia, os quais i.nclue.rn kaons pr2

duzidos em colises a (/5 ~ 126 GeV), pp (15 e 53 e 63 GeV) e

pp {li = S3 Gev)35. A funo de correlao foi medida em funo de qT com qL no intervalo qL ~ 0.30 GeV. As regies cine

mticas consideradas para as demais variveis sao as mesmas que

as de correlao de pions; os dados de K+K+ e de K-K- 1 };X)rm,

foram analisados conjuntamente (na Referncia 29, constatou-se in

dependncia na carga das partculas em correlao). o fato de

serem consideradas amplas regies cinemticas na obteno dos da

dos sugere que, a rigor, os clculos de C(Pl,P1} feitos com o

nosso modelo, devam incluir mdias em PT , em a (ngUlo que de+fine a direo de p em relao direo longitudinal}, em qT

ou em ClL ' alm da mdia em 't' expressa por (Iv. 26) ~ A incluso

de todas essas mdias, no entanto, aumenta substancialmente a com

http:i.nclue.rn

59.

plexidade dos clculos envolvidos. Por simplicidade, resolvemos

estimar a correlao adotando valores tpicos (mdios) para es

sas variveis cinemticas.

Na comparao de nossos resultados co~ os dados expe

rimentais, necessrio conhecer o valor da massa M I O qua1t con

forme comentamos anteriormente, varia de evento para evento. Re

solvemos adotar tambrn para a massa um valor mdio aproxmado. Pa

ra isso, conveniente lembrar que, em colises hadrnicas a al

tas energias, observado com freqncia o fenmeno de partcula

dominante. Este efeito foi incorporado ao Modelo de Landau por

Hama 14 , fazendo hiptese de que, imediatamente aps a coliso,

apaream uma bola-de-fogo e uma partcula dominante. Supondo que

esta carregue uma frao ~ da energia inCi.dente (!S) I a massa

M ("missi.ng mass") pode ser estimada por;

M' 1 - x {IV.29.aJs

Nos clculos, cujos resultados analisaremos mais a

diante, fazemos a hiptese de que, em mdia, a frao de energia

carregada pela partcula dominante se situe em torno de x ~ 0.5,

correspondendo ao fato de que ~~ ~ consto para o proton, o que

permite a obteno da seguinte relao para a massa:

M ;'().5 fi (IV.29.bJ

AdotandO os valores mdios discutidos e calculando

C{Pl~P2) para pions, por exemplo, considerando emisso da supeE

freie T=T C

:um

podemos verificar que a curva no compatl

veI com os dados experimentais. O fato pode ser compreendido da

seguinte maneira: devido ao grande fator estatstico no plasma

de quarks e gluons, a densidade de energia E (T) muito granc c

http:IV.29.bJhttp:IV.29.aJ

.60.

de para que possamos assumir emisso de hadrons independentes da

superfcie T = Te' Consideramos, ento, que ao atingir a tempe

ratura critica Te' o plasma leve um tempo finito T para so

frer uma transio de fase para um gs de hadrons. M. Gyulassy

e T. Matsui42 demonstraram que, na ausncia de efeitos viscosos an

tes e depois da transio de fase, a entropia conservada em to

do o processo, OU seja, existe trajetria isentrpica atravs da

transio, a qual S processa a temperatura e presso constantes.

Mas, se a presso se mantm constante, o fluido se expande iner

cialmente durante a transio de fase~ Ento, como estamos con

siderando desprezIvel a expanso transversal, se a entropia se

conserva, o produto ST constante {s a densidade de entro

pia}. O instante T do inicio da transio conhecid~bem coc

mo a densidade de entropia Sc(T ) (relao (A.S) do Apndice A).c

Ento, se a densidade de entropia final sh for co

nhecida, poderemos determinar o instante em que todo o pla~Th

ma ter sido convertido em hadrons , dessa formal estimar ~T.

Como os dados de correlao que analisaremos a seguir referem-se

a pions e kaons t vamos supor que o gs de hadrons finais seja uma

mistura desses bosons, considerados praticamente livres. Outras

partculas poderiam ser includas nesse gs mas, como a tempera

tura crtica Te :r m1'f # a presena de hadrons mais pesados da ...

ria contribuio desprezvel (mesmo a presena de kaons contri

bui pouco para o valor de 't h)' A partir dessas consideraes #

podemos obter a densidade de entropia final sh(T ) ( expressoc

(C.31 do Apndice C) e o instante T (expresso (C.4). Os deh

talhes encontram-se no Apndice C.

Uma vez obtido 1h' precisamos recalcular a funo de

correlao, partindo de (IV.18.a), integrando em T entre os li

mites [tc,ThJ t com uma funo peso apropriada. Pensamos que a

escolha natural para essa funo peso seja a densidade de entro

.61.

pia do fluido que ainda no se transformou em hadrons. Em prin

c!pio, possvel calcular a integral por mtodos numricos~ No

entanto l devido complexidade do inte9rando, as tentativas por

mtodos usuais de integrao numrica revelaram-se infrutlfer.as~

Assim sendo, recorremos a aproximaes. Consideramos que a con

tribuio dominante formao de partculas e sua subseqente

emisso tenha origem em um intervalo situado em torno de um tem

po-prprio . Este valor estimado calculando a mdia deh

T entre os instantes Te e T I tendo por peso a fraco (St)h

da densidade de entropia total que corresponde ao plasma remanes

cante {expresso (C.9. Dessa forma, repetimos o procedimento

que conduziu s expresses (IV.20) e (IV.25}1 mas agora conside

ramos ocorrncia de hadronizao instantnea em I tempo-prn

prio que deve simular a contribuio mais significativa emisso

de partculas e t conseqentemente, funo de correlao C(PltP:z).

Vamos ento comparar as curvas obtidas com base nas

discus~s anteriores e os dados experimentais~ Os grfiCOS da

~ ~ - + +Figura 1j referem-se a correlacao entre n n com pontos expe

rimentais extrados da Referncia 29. As curvas tracejadas cor

respondem ao ajuste experimental baseado em fonte esttica, onde

CP1KPZ) escrita como em (llI.a) I com qQ substitudo por qL'

Para conseguir tais curvas foi necessrio introduzir o parmetro

(grau de incoerncia} I cujo valor medido ::: 0.43 0.06. As

curvas por ns calculadas basearam-se nos seguintes valores m:

dios:

= 0.38 GeVi ;;; 1.011 rad; 14;:: 37 .. 5 GcV (ver relaT

o {IV.29.b) com IS = S3 GeV). Salientamos que os valores ti

picos (mdios) por ns adotados no foram ajustados de modo a r~

produzir os dados l mas estimados a partir das condies em que os

dados foram obtidos.

Na Figura 15-a a curva continua representa a mdia

do coeficiente de correlao nos ngulos \fJ em funI

http:infrutlfer.as

.62.

ao de qT' com :=; 0.075 CeVo Os clculos foram feitos su

pondo que o nmero de sabores de quarks IN ) pudesse ser dOis ouf

trs, porm, as curvas obtidas so praticamente indistinguveis.

Na Figura 15-b, mostramos em funo de qL comI

"" O. 1 GeV. A curva contnua corresponde a N "" 3 e a curf

va interrompida ( a N "'" 2. Aqui tambm notamos fraca dependenf

cia no nmero de sabores de quarks. Podemos observar pelos resu1

tados que. embora tenhamos adotado valores mdios para algumas

grande~as cinemticas e considerado emisso em t a compati h bilidade com os dados surpreendentemente boa! Em particular,

a regio de qT pequenos na Figura 15-a bem ajustada pela cur

va calculada 1 sendo importante lembrar que consideraR'OS fontes to

talmente caticas, para as quais :: 1

2.0 I 2.01 lo l (b)

1.8 ~ 1.8l 't.~ 0:15 GeV

'1 1.61.61-1\ "..

d:' ;.. 1.4 F--.' \, -l 1.4

O; ~

..., 1.2 I- '\ T'. -I 1.2

1.0 I ~ jI 1.0

~T~0.15 GeV

-, ,,,

t'" 0.8 1 I! ! ! [ I 0.8

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0,6

Ifr(GeV) q.L(GeV)

Figura 15 Os dados foram obtidos pela colal:oraco AFS29 As curvas tracejadas corresponem a ajuste can fonte esttica (III.S). !\s curvas contnua (Nf= 3) e interronpida (Nf "" 2) correspondem aos nosros resultados: (a} em fun o de q.p, cem "" 0.075 GeV; (b}

.63.

-

.64.

raro

; 0.44 GeV, ~ 0.847 rad l M ~ 39.6 GeV (/5 "" 56 GeV)T

e "" 0.15 GeV 1 valores esses estimados levando em conta as

condies experimentais. Pela Figura 16, notamos que as curvas

para dois e trs sabores de quarks diferem ligeiramente apenas na

regio qT ~ 0.1 GeV. Novamente podemos observar que a compati

bilidade entre as curvas calculadas pelo nosso modelo e os pon

tos experimentais bastante boa i lembramos novamente que esta-

mos considerando ;;'.

Os resultados das Figuras 15 e 16 foram obtidos, den

tro das aproximaes discutidas, supondo a formao lnicial de

um plasma de quarks e gluons. Uma vez que as curvas mostram boa

concordncia com os dados experimentais, podemo-nos indagar se

estamos diante de uma evidncia de formao de plasma, j s ener

gias do ISR-CERN. Precisamos~ ento, testar aquela hi~se. Con

forme discutimos anteriormente~ parece ser mais adequado consid~

rar que a fonte formada em colises hadrnicas a altas energias

se expanda antes de emergirem as partculas finais. Sendo assim,

vamos considerar a expanso, conforme descrita pela soluo apro

xirn::tda de Kfo-.alatnikov. Contudo, alteremos a hiptese referente s ca

ractersticas do fluido inicial, supondo que este seja foomdo de

matria hadrnica desde o princpio. Os hadrons, na verso ori

ginal de Landau, s adquirem propriamente sua identidade temp~

ratura de dissociao ('r = T ;;; m ): o que estamos supondo, ento,d c 1T

que a densidade de energia no tenha sido suficiente para a for

maao de plasma. Por simplicidade, consideremos que o fluido for

mado seja constitul.do de pions e kaons Ildesde o inIcio". De for

ma a preservar a compatibilidade com a multiplicidade mdia exp~

rimental de partculas carregadas, consideramos que a temperatu

ra inicial seja igual quela antes estimada para o plasma (deve

mos observar que a relao {B.12) do Apndice B independente

da constituio do fluido). Nessas condies, o raio inicial do

http:constitul.do

65.

fluido deve ser maior pois de acordo com {B.11) f fixado o part

metro a e a(T }' necessrio aumentar Ro para compensar a c diminuio do fator estatstico. Para obter curvas de

coerentes com as hipteses feitas para o plasma, adotaffiQS para

as grandezas cinemticas os valores mdios estimados anteriormen

te e consideramos emisso de hadrons apenas da superf leie T :::t Te'

Os resultados da mdia nos ngulos 'f de C (Pl ,P2) em funo de

qT e qL assi!'n obtidos encontram-se nas Figuras 17 e lataS quais

referem~se, respectivamente, correlao entre pions e entre Mons

idnticos. As curvas tracejadas correspondem hiptese de for

mao de pions e kaons desde o incio. As curvas continuas sao

as mesmas das Figuras 15 e 16. referentes hiptese de formao

inicial de plasma, com N =.3 f

2.0[ 1 2.0r"'--r-'-"'T-r-II (o) I (b)

1.6 1.8,\ 'h.~ 0.15 GeV

66.

\

. \ CJ. L .t O. 3 GeV- t1~1.5

-~... o..

B

I r\~ I

t1.0\ I t t'l.L~ ,- I I I O 0.5

~T(GeV)

Figura 18

Nas me$mas condies da Figua 16 # ilustramos agora o comporta

mento de

.67.

mas caractersticas. Assim, vamos voltar situao da Figura 7,

com os detectores simetricamente colocados em torno do eixo Y,

tal que P;; P (P ' P =O ; 6 = n/21 q ;; 6p O T L z L Y

M=37.5 GeV2.0~ , ,\ '\

'\ \

PTO.38GeV \ \ e Tt./2\ \

\

\ ~~ t.PyO1.8 \ ,- \ \cf.. \ \ \ \

c 16 \ \ \ " \ ,-o \ ' 1.4 \ \ \

\

\ p\ L=0 'f'

Z

\\ \ 6.1.2 p ~

tO! !>...I" "-_1 ,>L I I o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

qT(=VP~+p~\)

Figura 19

Comparao do comportamento das curvas de C(P1/PZ} em funo de

qT ;.; l>.p = I.6.pi + 6p~ (llpy = O) em regies cineroiticas mais restritas. As curvas continuas ccrrespondem hiptese de

formao inicial de plasma e as curvas tracejadas,

presena de pions e kaons desde o inIcio.

A Figura 19 exibe os resultados correspondentes cor

relao de pares de pions idnticos, considerando duas hipte

ses: plasma de quarks e gluons no incio {curvas contnuas) e pions

e kaons desde o principio (curvas tracejadas). A figura tambm

ilustra o comportamento das curvas de correlao correspondentes

O ' 6. = /I

.68.

a situaes extremas pois, para cada uma das hipteses acUa, exi

be curvas de C (Pl ,.pz) em funo de qT;;: 6PL (6pz -= O) e em fun

o de qT" Pz (APL ' OI Na regio cinemtica em que liPL ~ O t

Q comportamento de C(Pl,PZ) em funo de qT;; ,,Pz pode ser fa

cilmente compreendido, pois as curvas refletem a dimenso trans

versal da fonte. Como o raio inicial referente hip5tese de pions

e kaons desde o principio, maior que o correspondente hipt~

se de plasma inicial t a fun~o de correlao associada ao primei

ro caso deve ser mais estreita gue a do segundo. e precisamente

este o comportamento que observamos na Figura 19, para as curvas

referen tas a np." O. Por outro lado I as curva 5 C (p 1 t P2) em fun u

o de qT::: c,P (,Pz:: Oi devem refletir uma interrelao entreL as dimensoes longitudinais das rontes e suas velocidades caracte

(sticas. Para compreender o resultado, necessitamos de uma in~

formao adicional: os tempos-prprios associados emisso de

partculas so diferentes nos dois casos. Para o fluido consti

tudo de hadrons desde o incio, estes so emitidos da supcrf

eie de dissociao (T .. Te"" m ) em un temp::>-prprio T ~ !1 15. 5 GeV- 1 d n Q

(M tf 37.5 GeV; rs = 53 GeV). SeI no entanto~ considerruros que h,! ja fo=mao de plasma inicialmente, a emisso dominante de parti

culas, conforme j discutimos, deve situar-se em torno de ~

;:: 27.1 GeV- 1 (para o mesmo valor de M}. Conclumos ento que,

para a mesma velocidade de corte I o fluido ter sofrido mi.'dor

expanso no segundo caSO I antes da emisso. Assim sendo, para a

mesma velocidade caracterstica , suas dimenses devem ser

maiores, o que implica em urna curva de correlao mais estreita

para a hiptese de plasma. Este efeito anlogo situao ana

lisada na Figura 8, referente a raio inicial fixo e dois valores

distintos da massa M.

Com base na ilustrao da Figura 19 para regies ci

nemticas extremas (IlPL " O ou l!,Pz" O) podemos peroeber qualI

.69.

apos o clculo da mdia nos ngulos ~, a curva mdia referente

hiptese de plasma deve ser bastante prxima da que corresponde

a hadrons desde o incio (como na Figura 17-a).

ALGUMAS PREVISES

Conforme pudemos observar no tem anterior t obt1ve

mos resultados compatveis com os dados experimentais, mesmo ten

do recorrido a aproximaes. As incertezas experimentais conti

das nos dados, entretanto J no permitem em geral decidir. de ma

neira inequvoca, se h ou no formao de plasma a energias do

ISR/CERN. Lembramos, contudo, que a Figura 17-a favorece a hip

tese de um plasma inicial de quarks e gluons t em detrimento da

que considera hadrons desde o princpio. Isto sugere que seria

interessante fazer previses quanto ao comportamento das curvas

mdias de C (p l' p~) em funo de qT e qL I considerando que o

plasma seja formado em colises pp e pp, a energias incidentes

mais altas.

A. Figura 20 mostra curvas de correlao entre pions

idnticos em funo de qT' para trs valores de massa associa

dos ao aumento da energia incidente (li), com "" 0.075 GeV,

considerando o mesmo intervalo de rap.idez (y) e o mesmo corte

nos momentos transversais (P ) das partculas usados na obten-T

ao dos dados da Figura 15. Os parmetros de l\'i;lssa empregados so

M " 37.5 GeV (IS ; 53 GeV ;

\382 \,, \

70 .

do que nas Figuras 15-18. A dependncia na massa, das curvas

.71.

IFigura 15. Os demais parmetros, COffiO

72.

v. CONCLUSO-

o trabalho aqui discutido teve por objetivo princi

pal o estudo da correlao entre particulas idnticas (variante

do efeito HB-'r/GGLP) para o caso de fontes caticas em rpida ex

panso.

o efeito HB-T permite que obtenhamos informaes a

respeito das dimenses espao-temporais de fontes emissoras de

partlculas. No caso de fontes extensas estticas, tais informa

es so obtidas diretamente pela anlise do comportamento das CU~

vas do coeficiente de correlao C{Pl,P2} em funo da dlferen

a de momentos das partculas detectadas.