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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN LUIS GONZAGA NIT 809007307-2

DANE 173001002467 APROBADA POR RESOLUCIÓN NÚMERO 002566 DEL 27 DE SEPTIEMBRE 2017

POR MEDIO DEL CUAL SE RECONOCEN LOS ESTUDIOS EN LOS NIVELES DE PREESCOLAR, BASICA PRIMARIA Y SECUNDARIA, EDUCACIÓN MEDIA Y EDUCACIÓN DE ADULTOS POR CICLOS

CUADERNILLO DE MATEMATICAS GRADO OCTAVO TERCER PERIODO DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL: ESCRIBIR UN NÚMERO COMO MULTIPLICACIÓN DE OTROS

¿QUÉ ES LA DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL? Los factores son los números que se están multiplicando, por lo tanto, la descomposición factorial consiste en escribir un número como la multiplicación de otros números. Por ejemplo, vamos a descomponer en factores número 12: 12 = 6 x 2 12 = 3 x 4 12 = 2 x 2 x 3

EJERCICIOS

¿Cuál es la descomposición factorial de 24, 48, 100, 216, 279, 625, 900, 20916, 30625, 240, 360, 3024? SITUACUIONES PROBLEMAS QUE REQUIEREN DE

POTENCIACION, RADICACION Y LOGARITMACION

POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN

INTRODUCCIÓN:

En esta guía se pretende socializar los

conocimientos matemáticos relacionados con la

potenciación y la radicación. Es muy útil propiciar

en el aula la capacidad de estimar y comparar

números utilizando diversas estrategias: bloques

base diez, recta numérica, calculadora, ábaco…,

que permiten una elaboración mental más

profunda de los números. Iniciarás con la fase de

concienciación y explicación del tema, luego

realizarás el planteamiento de actividades

teniendo en cuenta las competencias

interpretativa, argumentativa y propositiva.

FASE DE CONCIENCIACIÓN:

Querido estudiante te invito a que explores tus

conocimientos acerca del tema. ¿Habías oído

hablar de las potencias? ¿Sabes qué son las

potencias y para qué se utilizan? ¿Cuál es la

utilidad de la potenciación y la radicación en

situaciones cotidianas?

BASE: Es el factor que se repite EXPONENTE: Es el número que indica las veces que se repite la base. Se escribe pequeño en la parte superior derecha de la base. POTENCIA: Es el resultado de la potenciación, es la multiplicación de los factores iguales. FACTORES IGUALES: Es la multiplicación de la cantidad de veces repetida la base. POTENCIACION: Es la operación que hace corresponder a cada par de números otro llamado potencia.

2𝑥2𝑥2𝑥2 = 24 4𝑥4𝑥4𝑥4𝑥4𝑥4 = 46

7𝑥7𝑥7𝑥7𝑥7𝑥7𝑥7 = 77 La radicación es una operación inversa a la potenciación, que permite calcular la base cuando se conoce el exponente y la potencia. El símbolo de

la radicación es: √𝑏𝑛

Los términos de la radicación son:

INDICE: Exponente de la potencia. RADICANDO: Número que se escribe debajo del radical y equivale a la potencia. RAÍZ: Base buscada de la potencia, equivale al resultado de la radicación. Cuando el índice de la raíz es 2, la raíz recibe el nombre de raíz cuadrada.

Cuando el índice de la raíz es 3, la raíz recibe el nombre de raíz cúbica.

Es una operación matemática inversa a la potenciación. Nos permite averiguar el exponente, conociendo la potencia y la base. Se simboliza con log. La logaritmación y la potenciación se relacionan de la siguiente manera

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que, en todo

triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es

igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los

cuadrados de las respectivas longitudes de los

catetos. Es la proposición más conocida entre las que

tienen nombre propio en la matemática.

El enunciado del teorema establece que, en un

triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de

los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras solamente es aplicable a

triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo es

aquel que posee un ángulo denominado recto o de

90°.

Un teorema es un enunciado que puede ser

demostrado como verdadero mediante

operaciones matemáticas y argumentos lógicos.

En matemática, un teorema es una proposición

teórica, enunciado o fórmula que incorpora una

verdad, axioma o postulado que es comprobada

por otros conjuntos de teorías o fórmulas

Dibuja los dos lados (catetos) con una longitud a y

b, y la hipotenusa con una longitud c. El teorema

de Pitágoras establece que la suma de los

cuadrados de los dos lados de un triángulo

rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa,

por lo tanto, hay que demostrar que a2 + b2 = c2.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

3. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo

cuyos lados miden y . 4. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo

cuyos lados miden y . 5. Calcular la altura del siguiente triángulo

sabiendo que sus lados miden , y su base 3.

6. Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.

7. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la

situamos a 70 centímetros de ésta.

8. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

TEOREMA DE THALES

Definición de teorema. ... Uno de

los teoremas más conocidos es el

denominado Teorema de Tales, el cual señala

que, al marcar en un triángulo una línea que sea

paralela a alguno de sus lados, se da origen a un

par de triángulos semejantes (es decir, dos figuras

con ángulos idénticos y lados proporcionales).

Existen dos teoremas relacionados con la geometría

clásica que reciben el nombre de teorema de Tales,

ambos atribuidos al matemático griego Tales de

Mileto en el siglo VI a. C

APLICACIONES CONCRETAS

El planteamiento geométrico del teorema de Tales tiene evidentes implicaciones prácticas. Veámoslo con un ejemplo concreto: un edificio de 15 m de altura proyecta una sombra de 32 metros y, en el mismo instante, un individuo proyecta una sombra de 2.10 metros. Con estos datos es posible conocer la altura de dicho individuo, ya que hay que tener en cuenta que los ángulos que proyectan sus sombras son congruentes. Así, con los datos del problema y el principio del teorema de Tales sobre los ángulos correspondientes, es posible saber la altura del individuo con una sencilla regla de tres (el resultado sería de 0.98 m).

El ejemplo más arriba indicado ilustra con claridad que el teorema de Tales tiene aplicaciones muy diversas: en el estudio de las escalas geométricas y las relaciones métricas de las figuras geométricas. Estas dos cuestiones de la matemática pura se proyectan sobre otras esferas teóricas y prácticas: en la elaboración de planos y mapas, en la arquitectura, la agricultura o la ingeniería. A modo de conclusión podríamos recordar una curiosa paradoja: que a pesar de que Tales de Mileto vivió hace 2600 años, su teorema sigue estudiándose porque es un principio básico de la geometría TEOREMA DE THALES

EJEMPLO Sirve para calcular alturas de edificios teniendo referencias de otros elementos que si que nos es fácil medir, como por ejemplo un árbol y ayudándonos en los rayos del sol, las proyecciones de sobra.

Escribimos la proporción

6𝑚

5𝑚=

270𝑚

𝐻 siendo la altura del edificio

6𝑚𝐻 = 5𝑚 × 270𝑚

𝐻 =5𝑚 × 270𝑚

6𝑚=

1350𝑚

6= 225 𝑚

El siguiente esquema nos permite ver el problema

en cuestión y cómo calculó Tales la altura de la

pirámide clavando su bastón en la arena.

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo. De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus

lados homólogos son proporcionales. En nuestro caso, se cumple que:

Supongamos ahora que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:

De donde obtenemos

Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 136,86 m). El método de Tales tiene una enorme utilidad, puesto que lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea muy grande.

EXPLICACIÓN DEL TEOREMA DE TALES

Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a qué distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas. El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado, de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura (h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía. RESOLVER LOS PROBLEMAS

1. Nicolás mide 1,50 m. de altura, se encuentra a 1,20 m. de un poste que tiene encendida su luminaria a 3 m. del suelo, ¿cuál es el largo de la sombra que proyecta Nicolás?

2. Calcula la longitud del segmento x de las figuras

3. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m

4. Los catetos de un triángulo rectángulo que

miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medir los catetos

de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

5. Una torre tiene una sombra de 12 metros al mediodía, mientras que una botella de 25 cm proyecta una sombra de 5 cm a la misma hora ¿Cuánto mide la torre?

6. Una señal de tránsito de 2 metros de altura

proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared.

LA CIRCUNFERENCIA Y ELEMENTOS

DEL CIRCULO

PERIMETRO DE CIRCUNFERENCIA

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida. De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio (R).

Recordar que π es un número irracional, así que si queremos expresar el resultado del área sin la constante de π tendremos que hacer el cálculo con la aproximación

𝜋 = 3.1416 Se obtiene de dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro.

𝜋 =𝑃

𝐷

La expresión es la siguiente:

𝑃 = 2𝜋𝑅

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Ejemplo

Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro R, es decir, el radio, mide R=10 cm

Aplicando la fórmula de perímetro se tiene

𝑃 = 2𝜋𝑅 = 2(3.1416)(10𝑐𝑚)= 62.832 𝑐𝑚

Por tanto, el perímetro de la circunferencia es 62.832 cm

AREA DE LA CIRCUNFERENCIA

La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia. Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuánto mide el radio de la circunferencia. Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será

𝑨 = 𝝅𝑹𝟐

Ahora calculemos el área de la circunferencia anterior con la formula dada:

𝐴 = 𝜋𝑅2 = 3.1416(10 𝑐𝑚)2

𝐴 = 3.1416(100𝑐𝑚2)

𝐴 = 314.16 𝑐𝑚2

EJERCICIOS

La rueda de un camión tiene 90 cm de radio.

¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

SOLUCION El perímetro es la longitud de la circunferencia y es lo recorre la rueda del camión al dar una vuelta. El radio en metros es 90 cm = 0,9 m Entonces 𝑃 = 2𝜋𝑅 = 2(3,1416)( 0,9 m) P=5.654 cm Como son 100 vueltas entones cuando da 100 vueltas el camión ha recorrido 100(5.654 cm) =565.4 metros

Calcula la longitud de una circunferencia y su

área que tiene como diámetro 30 cm.

Solución 𝑃 = 2𝜋𝑅 Si el diámetro de la circunferencia es 30 cm entones el radio es igual R=15 cm 𝑷 = 𝟐(𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟏𝟓𝒄𝒎) 𝑷 = 𝟗𝟒. 𝟐𝟒𝟖 𝒄𝒎 El área seria:

𝑨 = 𝝅𝑹𝟐 𝑨 = (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟏𝟓𝒄𝒎)𝟐 𝑨 = (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟐𝟐𝟓𝒄𝒎𝟐) 𝑨 = 𝟕𝟎𝟔. 𝟖𝟔𝑐𝑚2

Calcular el radio de una circunferencia con perímetro igual a 43.98 cm

Solución De la fórmula de perímetro despejamos R y reemplazamos los datos. 𝑃 = 2𝜋𝑅

𝑅 =𝑃

2𝜋=

43.98𝑐𝑚

2(3.1416)=

43.98𝑐𝑚

6.2832= 6.99𝑐𝑚

El radio mide R=6.99 cm

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1) Halla la longitud de la circunferencia y el área

de un círculo cuyo diámetro es 6 cm. 2) Calcula la medida de la circunferencia si el radio

es 5 m. 3) Calcula la medida del diámetro y el radio si la

circunferencia mide 12 metros.

4) Determina el área de un círculo con radio de 5 metros.

5) Determina el área de un círculo si su diámetro es de 6 cm.

6) Determina el radio de un círculo si su área es 328 cm2

MEDIDAS DE POSICION Las medidas de posición relativa se llaman en general cuantiles y se pueden clasificar en tres grandes grupos: Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles. Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales. Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales. Para

calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. a - Los Cuartiles (Qn): son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro Cuartiles, se utiliza la fórmula:

𝑄𝐾 = 𝐾 (𝑛

4)

Donde 𝑄𝐾= Cuartil número 1, 2, 3 ó 4 n = total de datos de la distribución. Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana. Para calcular los cuartiles (datos no

agrupados) debes seguir los siguientes pasos: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor. 2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4) Para que te quede más claro: El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor.

El segundo cuartil (Q2) es un valor que supera a lo más el 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50 % de ellos, es decir, Q2 coincide con la mediana.

El tercer cuartil (Q3) es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25 % de ellos.

Ejemplos: Se le pregunto a 11 personas las edades y estas fueron las respuestas 15 17 16 16 15 17 15 18 14 16 15 Se pide calcular los cuartiles: 𝑄1, 𝑄2 𝑄3, Primer paso ordenarlos de menor a mayor 14 15 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 Se llaman medidas de posición por la posición de los datos en el listado.

ORDENADOS DE MENOR A MAYOR 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 LOS DATOS SE LES COLOCA LA POSICION 𝑥1 a 𝑥11 Se llaman medidas de posición

FORMA DE ENCONTRAR LOS CUARTILES PUEDE

SER CON FORMULA Y SIN FORMULA Se llaman medidas de posición porque se basa en la posición en que están los datos

𝑄1 𝑄2 = 𝑀e 𝑄3

𝑄2 = 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐴𝑁𝐴 La mediana Está en el centro de los datos: Cuando el número de datos e impar la mediana o el cuartil 2 es el dato que está en la mitad en este caso, 𝑄2 = 𝑥6 = 16 Para hallar el cuartil 1 y el cuartil 3 Observamos que a la derecha de 𝑥6 hay cinco datos y a la izquierda hay cinco datos. El cuartil 1 se calcula es la mitad de los cinco datos o sea 𝑥3 = 15 y para cuartil 3 𝑥9 = 17 entonces 𝑄1 = 𝑥3 = 15 y el cuartil 3 𝑄3 = 𝑥9 = 17

La información se da también en porcentaje. el cuartil 1= 25%, cuartil 2 =50%, el cuartil 3= 75%

Lo anterior sirve para sacar conclusiones y dar información del estudio que se está haciendo o encuesta, en este caso se dice: 𝑄1,𝑒𝑙 25% de los encuestados tienen 15 años o menos

de 15 años 𝑄2, 𝑒𝑙 50% de los encuestados tienen 16 años o menos 𝑄3, 𝑒𝑙 75% de los encuestados tienen 17 años o menos.

HALLAR CUARTILES CON FORMULAS

𝑄𝐾 =𝐾(𝑛+1)

4 para cualquier cuartil

K= CUARTIL (1, 2,3) n= NUMERO DE DATOS (11) Calculemos los tres cuartiles CUARTIL UNO

𝑄1 =1(11 + 1)

4=

1(12)

4=

12

4= 3

O sea, la posición 3 CUARTIL DOS

𝑄2 =2(11+1)

4=

2(12)

4=

24

4= 6 o sea, la

posición 6 CUARTIL TRES

𝑄3 =3(11 + 1)

4=

3(12)

4=

36

4= 9

Cuartil 3 posición 9 EJEMPLO 2

CALCULO DE LOS CUARTILES CUANDO EL NUMERO DE DATOS ES PAR

Hagamos un ejercicio con 10 datos. Se realiza una encuesta a 10 personas sobre la edad y se obtuvo la siguiente información.: Ya se han ordenado de menor a mayor.

En este caso en el centro no hay un solo dato sino dos, entonces se suman los dos datos del centro y se divide entre dos y así se obtiene la mediana y a su vez el cuartil 2 𝑄2

𝑀𝑒 =𝑥6 + 𝑥5

2=

18 + 17

2= 17.5

𝑀𝑒 = 17.5 𝑎ñ𝑜 Posición Hallar los otros dos cuartiles. Por formula

Posición 𝑄𝑘 =𝐾𝑛

4

𝑄1 =1(10)

4=

10

4= 2.5

𝑄2 =2(10)

4=

20

4= 5

𝑄3 =3(10)

4=

30

4= 7.5

Me=17.5 años 𝑄1 el 25% de las personas encuestadas tienen 16 años o menos. 𝑄2 el 50% de las personas encuestadas tienen 17.5 años o menos. 𝑄3 el 75% de las personas encuestadas tienen 19 años o menos. Ejercicios

1. Se realizó una encuesta del peso en kilogramos de un grupo de personas y dieron las siguientes respuestas. 55 56 66 62 58 58 57 59 60 62 64 62 60 65 58 59

Actividad. a. Realice una tabla de frecuencia. b. Calcule las medidas de tendencia

central (media, moda y mediana) c. Elabore un diagrama de barras y un

diagrama circular. d. Halla las medidas de posición

2. Numero de respuestas correctas en un examen. 1 3 12 7 10 10 9 15 7 5 9 4 19 4 10 9 9 7 4 1 10 13 10 12 7 9 14 Actividad. e. Realice una tabla de frecuencia. f. Calcule las medidas de tendencia

central (media, moda y mediana) g. Elabore un diagrama de barras y un

diagrama circular. h. Halla las medidas de posición

DECILES Definición de Decil: El Decil (Dn) es una medida estadística que se utiliza para indicar el valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de observaciones. Cada decil representa un 10% hasta llegar a 100% siendo 100% el total de las muestras analizadas: Decil 1 (D1): valor que es superior al del 10% de las muestras más bajas Decil 2 (D2): valor que es superior al del 20% de las muestras más bajas Decil 3 (D3): valor que es superior al del 30% de las muestras más bajas ... Por ejemplo, supongamos que el decil 3 (D3) del peso de un varón de 15 años es 53 kg. Esto significa que hay un 30% de varones de 15 años que pesan menos de 53 kg y un 70% que pesan más.

CÁLCULO DE LOS DECILES:

Existen varios métodos para el cálculo de deciles. Veamos uno de los más sencillos (válido para datos no agrupados): 1. Agrupamos las muestras de menor a mayor valor 2. Calculamos la posición que ocupa el percentil buscado aplicando la siguiente fórmula: x = (N · i) / 10 siendo N el número total de muestras analizadas y la letra "i" el decil buscado 3. Si el resultado anterior (x) no tiene decimales, el decil se obtiene seleccionando el valor de la muestra que ocupa la posición x. 4. Si el resultado (x) tiene decimales, el decil se obtiene haciendo la media de las muestras en posición x y x+1 Ejemplo 1: Calcular el decil 6 (D6) de las siguientes muestras de notas en matemáticas de un aula (notas de 0 a 20): 16, 10, 12, 8, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14 Ordenamos de menor a mayor: 1, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20 N = número de muestras = 15 muestras x = (N · i) / 10 = (15 · 6) / 10 = 9 Como x = 9 es un número sin decimales, entonces el decil 6 es el valor de la muestra que ocupa la posición 9 D6 (decil 6) = 13 El decil 5 coincide con el decil 5 D5=Me RESUMEN Los deciles son 9 valores de la variable que dividen el conjunto de datos ordenados en 10 partes iguales. Los deciles determinan los valores de 10%, 20%, 30%, 40%, …, 90% de los datos, D5 coincide con la mediana Me Ejemplo el siguiente grupo de datos corresponde a las notas de 20 estudiantes notas finales en matemáticas. Entonces vamos encontrar los deciles

Los datos están organizados de menor a mayor. Donde la menor nota fue 2,5 y la mayor 5.0 Los deciles dividen los datos en 10 partes iguales. Posición de los deciles

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 =𝐾𝑛

10

Donde K es decil n el número de datos y el 10 porque son deciles EJEMPLO 1: hallemos la posición del decil 4 entonces reemplazamos en la formula

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 =4(20)

10=

80

10= 8

Donde 8 es la posición en que esta el D4

D4=3,7 significa que el 40% de los estudiantes sacaron una nota de 3,7 o menos EJEMPLO 2: Hallemos la posición 7

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 =7(20)

10=

140

10= 14

La posición 14 corresponde a la nota 4.0 D7=4,0 significa que el 70% de los estudiantes sacaron una nota de 4,0 o menos O también se puede interpretar que el 30% de los estudiantes obtuvieron más de 4,0. EJERCICIOS:

1. ¿Cuál decil corresponde a la mediana? 2. Calcular los demás deciles y escribir su

interpretación 3. ¿cuál es el valor del decil 8 de los datos?

2,5,5,7,10,13,32,34,20,8,3,0 4. Las siguiente son las notas en el área de

español del grado octavo.

2,0 3.0 2,5 3,4 3,5 4,0 3,8 3,0 4,5 4,0 3,0 3,6 3,0 2,5 4,5 3,8 3,0 4,0 2,0 3,0 4.0 3,5 4,0 3,6 3.0 3,8 3,0 2,6 4,0 3,5 4,0 3,0 3,6 3,8 2,0 4,5 2.0 3,0 4,0 5,0. ACTIVIDAD:

1. Ordénalos datos 2. Ubíquelos en una tabla de frecuencia 3. Halle la media, mediana y moda 4. Realice grafico de barras 5. Calcule los cuartiles, escribir lo que significa 6. Calcule los deciles 2,3,5,7.9. y su

significado. LAS PERMUTACIONES

En la Combinatoria, se definen las permutaciones de la siguiente manera: Las Permutaciones (o Permutaciones sin repetición) son formas de agrupar elementos de un conjunto en las que: se toman todos los elementos de un conjunto no se repiten los elementos del conjunto el orden importa ({A, B} y {B, A} se consideran grupos diferentes) EJEMPLO: sea el conjunto {A, B, C}, ¿cuántos grupos de tres letras diferentes se pueden formar? Si buscamos los diferentes grupos, obtenemos: A, B, C}, {A, C, B}, {B, A, C}, {B, C, A}, {C, A, B}, {C, B, A} → obtenemos 6 permutaciones FORMULA Para calcular el número de permutaciones podemos emplear la siguiente fórmula:

𝑃𝑛=𝑛! Se lee n factorial. Donde n es el número de elementos del conjunto. El factorial de un numero entero positivo es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta el. En el ejemplo anterior n = 3, por lo tanto: P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 → obtenemos el mismo resultado. ¡En la calculadora esta la tecla n!

EJEMPLOS DE PERMUTACIONES:

Para entender mejor el concepto de las permutaciones, vamos a resolver varios ejercicios de cálculo de permutaciones: Ejercicio 1: en una fila de 8 butacas de un cine, ¿cuántas formas diferentes de sentarse 8 personas existen? Solución: Primero verificamos que estamos ante una Permutación: Se toman todos los elementos del grupo (se sientan en cada butaca cada una de las 8 personas) → correcto

No se repiten elementos (no puede haber la misma persona repetida en varios asientos) → correcto El orden importa (no es lo mismo que una persona se siente en un asiento que en otro) → correcto Después de comprobar que efectivamente se trata de una permutación, calculamos el número de formas diferentes en las que se pueden sentar: n = 8 personas P8 = 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320 permutaciones EJERCICIOS:

1. De un grupo de 10 estudiantes se quiere seleccionar un comité de 3 estudiantes ¿de cuantas formas diferentes se puede seleccionar el comité?

2. ¿De cuantas formas diferentes se pueden ubicar 4 autos en la fila de un estacionamiento?

COMBINACIONES

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n, r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto en notación matemática.

𝑛𝐶𝑟 =9!

(9 − 5)! 5!=

9!

(4)! 5!=

9.8.7.6.5.4.3.2.1

4.3.2.1.5.4.3.2.1=

EJEMPLO: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería: n=9 cartas r=5 cartas

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

𝑃(𝑛,𝑟)

𝑟!=

𝑃(9,5)

5!= P(9,5)/5! =

(9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

EJERCICIOS

¿Cuántos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón entre los equipos A, B, D, C?

AB, AC, AD, BC, BD, CD Los posibles partidos son 6 Por formula

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

Número de equipos n=4 r=2. El número de elementos tomados de n

4𝐶2 =4!

(4 − 2)! 2!=

4!

2! 2!=

4 × 3 × 2 × 1

2 × 1 × 2 × 1=

24

4= 6

EJEMPLOS DE COMBINACIONES

Para entender mejor el concepto de las combinaciones, vamos a resolver varios ejercicios

de cálculo de combinaciones:

EJERCICIO 1: en una heladería tienen se venden helados de dos sabores diferentes, ¿cuántos helados de sabores diferentes podemos elegir entre los sabores de nata, vainilla, chocolate, limón y naranja? Solución: Primero verificamos que estamos ante una Combinación: No se toman todos los elementos del grupo (se toman solo de dos en dos) → correcto No se repiten elementos (los helados son de dos sabores diferentes) → correcto El orden no importa (un helado de chocolate y vainilla es el mismo que uno de vainilla y chocolate) → correcto Después de comprobar que efectivamente se trata de una combinación, calculamos el número de helados diferentes: m = 5 sabores diferentes n = 2 (helados de dos sabores

5𝐶2 =5!

(5 − 2)! 2!=

5!

3! 2!=

120

6 × 2=

120

12= 10

El número de combinaciones es 10. EJERCICIO 2 En una clase de 35 estudiantes se quiere formar un comité de 3 estudiantes. ¿Cuántos comités diferentes pueden haber? n=35 número de estudiantes r=3 número de estudiantes que forman un comité

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

35C3 =35!

(35 − 3)! 3!=

35!

32! 3!=

35 × 34 × 33 × 32!

32! 3!

=35 × 34 × 33

3 × 2 × 1=

39270

6= 6545 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

EJERCICIO 3 Un grupo de 10 elementos agrupados de 4.

10𝐶4 =10!

(10 − 4)! 4!=

10!

6! 4!

=10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1

𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟

10 × 9 × 8 × 7

4 × 3 × 2 × 1=

5040

24= 210

Las combinaciones de los sabores es 210

EJERCICIOS.

De un grupo de 8 estudiantes se quiere seleccionar 3 para que asistan a un almuerzo ¿de cuantas formas se puede seleccionar a los tres estudiantes?

De una clase de 20 alumnos se seleccionan 3 para que participen en un torneo inter-escolar. ¿Cuántos grupos diferentes podríamos formar?

En una final de futbol se seleccionan 5 jugadores de un equipo para el lanzamiento de penaltis. ¿Cuántos grupos se podrían formar?

En una carrera de caballos con 12 participantes tienes que elegir los 2 caballos ganadores (no importa el orden de llegada). ¿Cuántos posibles

resultados podrían darse?