Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

OKAN UNIVERSITESI

MUHENDISLIK-MIMARLIK FAKULTESI

MUHENDISLIK TEMEL BILIMLERI BOLUMU

2015.05.20 MAT372 K.T.D.D. – Final Sınavı N. Course

Adi:

Soyadi:

Ogrenci No:

Imza:

O R N E K T I R

S A M P L E

Sure: 120 dk.

Sınav sorularından 4tanesini secerek

cevaplayınız.

Do not open the exam until you are told that you may begin.Sınavın basladıgı yuksek sesle soylenene kadar sayfayı cevirmeyin. !!

1. You will have 120 minutes to answer 4 questions froma choice of 0. If you choose to answer more than 4 ques-tions, then only your best 4 answers will be counted.

2. The points awarded for each part, of each question, arestated next to it.

3. All of the questions are in English. You may answer inEnglish or in Turkish.

4. You must show your working for all questions.

5. Write your student number on every page.

6. This exam contains ?? pages. Check to see if any pagesare missing.

7. If you wish to leave before the end of the exam, giveyour exam script to an invigilator and leave the roomquietly. You may not leave in the first 20 minutes, orin the final 10 minutes, of the exam.

8. Calculators, mobile phones and any digital means ofcommunication are forbidden. The sharing of pens,erasers or any other item between students is forbid-den.

9. All bags, coats, books, notes, etc. must be placed awayfrom your desks and away from the seats next to you.You may not access these during the exam. Take outeverything that you will need before the exam starts.

10. Any student found cheating or attempting to cheat willreceive a mark of zero (0), and will be investigated ac-cording to the regulations of Yuksekogretim KurumlarıOgrenci Disiplin Yonetmeligi.

1. Sınav suresi toplam 120 dakikadır. Sınavda 0 sorusorulmustur. Bu sorulardan 4 tanesini secerek cevap-layınız. 4’den fazla soruyu cevaplarsanız, en yuksekpuanı aldıgınız 4 sorunun cevapları gecerli olacaktır.

2. Soruların her bolumunun kac puan oldugu yanlarındabelirtilmistir.

3. Tum sorular Ingilizce’dir. Cevaplarınızı Ingilizce yadaTurkce verebilirsiniz.

4. Sonuca ulasmak icin yaptıgınız islemleri ayrıntılarıylagosteriniz.

5. Ogrenci numaranızı her sayfaya yazınız.

6. Sınav ?? sayfadan olusmaktadır. Lutfen eksik sayfaolup olmadıgını kontrol edin.

7. Sınav suresi sona ermeden sınavınızı teslim edipcıkmak isterseniz, sınav kagıdınızı gozetmenlerdenbirine veriniz ve sınav salonundan sessizce cıkınız.Sınavın ilk 20 dakikası ve son 10 dakikası icinde sınavsalonundan cıkmanız yasaktır.

8. Sınav esnasında hesap makinesi, cep telefonu ve dijitalbilgi alısverisi yapılan her turlu malzemelerin kullanımıile diger silgi, kalem, vb. alısverislerin yapılması kesin-likle yasaktır.

9. Canta, palto, kitap ve ders notlarınız gibi esyalarınızsıraların uzerinden ve yanınızdaki sandalyedenkaldırılmalıdır. Sınav suresince bu tur esyaları kullan-manız yasaktır, bu nedenle ihtiyacınız olacak herseyisınav baslamadan yanınıza alınız.

10. Her turlu sınav, ve diger calısmada, kopya ceken veyakopya cekme girisiminde bulunan bir ogrenci, o sınavya da calısmadan sıfır (0) not almıs sayılır, ve o ogrenci

hakkında Yuksekogretim Kurumları Ogrenci DisiplinYonetmeligi hukumleri uyarınca disiplin kovusturmasıyapılır.

1

??

0

??

Toplam

100

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Canonical Forms:

Auxx +Buxy + Cuyy +Dux + Euy + Fu = G

A∗ = Aξ2x +Bξxξy + Cξ2

y

B∗ = 2Aξxηx +B(ξxηy + ξyηx) + 2Cξyηy

C∗ = Aη2x +Bηxηy + Cη2

y

D∗ = Aξxx +Bξxy + Cξyy +Dξx + Eξy

E∗ = Aηxx +Bηxy + Cηyy +Dηx + Eηy

F ∗ = F

G∗ = G

H∗ = −D∗uξ − E∗uη − F ∗u+G∗

dy

dx=B ±

√∆

2A

Fourier Transforms:

F (ω) = F[f](ω) =

1

2π

∫ ∞−∞

f(x)e−iωx dx

f(x) = F−1[F](x) =

∫ ∞−∞

F (ω)eiωx dω

f(x) F (ω)

ut(x, t) Ut(ω, t)

ux(x, t) iωU(ω, t)

uxx(x, t) −ω2U(ω, t)

e−αx2 1√

4παe−

ω2

4ω

12π

∫∞−∞ f(ξ)g(x− ξ) dξ F (ω)G(ω)

δ(x− x0) 12π e−iωx0

f(x− β) e−iωβF (ω)

xf(x) iFω(ω)

2αx2+α2 e−|ω|α

f(x) =

{0 |x| > a

1 |x| < asin aωπω

Famous PDEs:

ut = kuxx heat equation

utt − c2uxx = 0 wave equation

∇2u = 0 Laplace’s Equation

Fourier Series:

f(x) =a0

2+

∞∑k=1

ak coskπ

Lx+ bk sin

kπ

Lx

a0 =1

L

∫ L

−Lf(x) dx

ak =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

kπ

Lx dx

bk =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

kπ

Lx dx

If f(x) =∑∞k=1 an cos nπxL then

f ′(x) =

∞∑k=1

−(nπL

)an sin

nπx

L.

If f(x) =∑∞k=1 bn sin nπx

L then

f ′(x) =1

L

[f(L)− f(0)

]+

∞∑k=1

[nπ

Lbn +

2

L

((−1)nf(L)− f(0)

)]cos

nπx

L.

ODEs:

The solution of φ′ = µφ is

φ(x) = Aeµx.

The solution of φ′′ = µ2φ is

φ(x) = Aeµx +Be−µx

= C coshµx+D sinhµx.

The solution of φ′′ = −µ2φ is

φ(x) = A cosµx+B sinµx.

The solution of x(xφ′)′ − µ2φ = 0 (µ 6= 0) is

φ(x) = Ax−µ +Bxµ.

The solution of x(xφ′)′ = 0 is

φ(x) = A log x+B.

2/??

Ogrenci No.Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Soru 1 (Separation of Variables)

[25p] Explain the method of Separation of Vari-ables for partial differential equations.

Imagine that you are explainingthe method of Separation ofVariables to someone who hasn’tstudied this course. How wouldyou explain it? This questionshould take you ≈ 25 minutes.

You might like to include:

• the main concepts of thismethod;

• an explaination of the sepa-ration constant

• an explaination of eigenval-ues and eigenfunctions;

• an example of your choosing.

[25p] Degiskenleri Ayırma Yontemini kısmiturevli diferansiyel denklemleri icin acıklayınız.

Bu dersi almamıs birisineDegiskenleri Ayırma Yonteminianlatmanız gerektigini varsayalım.Bu yontemi nasıl anlatırdınız? Busoruyu cevaplamak yaklasık 25dakikanızı alacaktır.

Bu soruyu cevaplarken asagıdakinoktalara da yer veriniz:

• bu yontemin temel kavram-ları;

• ayırma sabitinin acıklaması;

• ozdeger ve ozislev ’inacıklamaları;

• sizin seceginiz bir ornek.

3/??

(soru 1’in devamı)

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

4/??

Ogrenci No.Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Soru 2 (Method of Characteristics) Consider

∂u

∂t+ t2u

∂u

∂x= 5. (1)

(a) [1p] Equation (??) is

linear; non-linear AND quasilinear; non-linear, but not quasilinear;

(b) [17p] Use the method of characteristics to solve{∂u∂t + t2u∂u∂x = 5

u(x, 0) = x.(2)

Therefore

u(x, t) =

5/??

(soru 2’nin devamı)

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

∂u

∂t+ t2u

∂u

∂x= 5 (??)

(c) [7p] Check your answer to part (b) by differentiating your solution u(x, t) and calculating(ut + t2uux).

6/??

Ogrenci No.Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Soru 3 (The Parallelogram Rule) Consider the wave equation on a string, of length L, withfixed ends:

utt − c2uxx = 0 0 < x < L t > 0

u(x, 0) = f(x) f : (0, L)→ Rut(x, 0) = g(x) g : (0, L)→ Ru(0, t) = 0

u(L, t) = 0

(3)

where c > 0.

(a) [5p] First show thatu(x, t) = F (x− ct) +G(x+ ct)

solves the wave equation, utt − c2uxx = 0, for any twice differentiable functions F : (0, L)→ Rand G : (0, L)→ R.

7/??

(soru 3’un devamı)

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

x

t

0 L

A

B

C

D

x − ct=

cons

tant

char

acte

risiti

c

x +ct =

constant

A = (x1, t1)

B = (x2, t2)

C = (x3, t3)

D = (x4, t4)

Suppose that

• the parallelogram ABCD is contained in [0, L]× [0,∞);

• each of the edges of the parallelogram lies on characteristics of the wave equation; and

• u(x, t) = F (x− ct) +G(x+ ct).

(b) [20p] Prove thatu(A) + u(C) = u(B) + u(D).

8/??

Ogrenci No.Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Soru 4 (Fourier Transforms) Let F denote the Fourier Transform operator with respect to x.

(a) [7p] Suppose that v : R2 → R is differentiable. Show that

F[∂v

∂t

](ω, t) =

∂

∂tF [v](ω, t)

for all ω, t ∈ R.

9/??

(soru 4’un devamı)

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

(b) [18p] Use the Fourier Transform to solve∂2u∂t2 + u∂

2u∂x2 −

(∂u∂x

)2= 0, −∞ < x <∞, 0 < t <∞,

u(x, 0) = f(x)

ut(x, 0) = 0.

(4)

10/??

Ogrenci No.Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Soru 5 (Fourier Sine Series) Define the function f : [0, 1]→ R by

f(x) =

12 x = 0, x = 1,

− 12 0 < x ≤ 1

2

x 12 < x < 1.

(5)

(a) [7p] Show that{sinnπx : n ∈ N}

is an orthogonal system on [−1, 1].[HINT: cos(A+ B) = cosA cosB − sinA sinB, so cos(A+ B) + cos(A− B) =? and cos(A+ B)− cos(A− B) =?]

(b) [1p] Sketch f .

−3 −2 −1 1 2 3

-1

-.5

.5

1

x

y

(c) [7p] Sketch the Fourier Sine Series of f .

−3 −2 −1 1 2 3

-1

-.5

.5

1

x

y

11/??

(soru 5’in devamı)

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

Ornektir

f(x) =

12 x = 0, x = 1,

− 12 0 < x ≤ 1

2

x 12 < x < 1.

(d) [10p] Calculate the coefficients (bk, k = 1, 2, 3, . . .) of the Fourier Sine Series of f .

12/??