Revista Ingenieria UC

Comité Editorial Editor Jefe Director Dr. Edilberto Guevara P. Dr. Francisco J. Arteaga Dr. Antonino Caralli Dr. Mario Petrizzelli Dr. Luis Vallés Dra. Zulay Niño Dr. Sergio Pérez Dr. Carlos Villanueva Dr. Alfredo Varela Dr. Eduardo Lujano Dr. Pablo Baricelli Comité Técnico* Dr. Roberto Callarotti, IVIC

Inst. Venezolano de Invest. Científicas Dr. Hebertt J. Sira Ramírez, ULA CINVESTAV-IPN, México

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Dr. Francisco García Sánchez, USB Universidad Simón Bolívar, Venezuela

Dr. Adelmo Ortiz Conde, USB Universidad Simón Bolívar, Venezuela

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Dr. Giovanni De Mercato, USB Universidad Simón Bolívar, Venezuela

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*Lista parcial

Diseño y Diagramación: Ing. Luis Obediente y Br. Jesús Villarroel Mathie Diseño de Portada: Lic. Betzy Y. Padrón R. Impreso en: Publicaciones Facultad de Ingeniería

ISSN 1316-6832 Deposito Legal pp 92.0200

Indizada en: REVENCYT (Venezuela) Actualidad Iberoamericana (CIT-Chile) IEE/INSPEC (United Kingdom, UK ) Incluida en: Ulrich’s International Periodicals Directory (USA)

Revista INGENIERÍA UC Órgano de Divulgación Científica y Tecnológica Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo

Valencia - Venezuela Se publica un Volumen anual en tres números:

Abril, Agosto y Diciembre

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

CONSEJO DE DESARROLLO CIENTÍFICO Y HUMANÍSTICO VALENCIA-VENEZUELA

Revista INGENIERÍA UC Órgano de Divulgación Científica y Tecnológica

Facultad de Ingeniería

UNIVERSIDAD DE CARABOBO Vol. 10, Nº 3 Valencia - Venezuela Diciembre 2003

ISSN 1316-6832

5 Editorial

7 Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz basado en el espectrograma

Robust algorithm for the detection of the voice fundamental frequency based on the spectrogram J. Díaz, C. Sapienza, H. Rothman, Y. Natour 17 Una metodología general para la optimización paramétrica de un controlador de estructura

predeterminada en Matlab-Simulink A general methodology for the parametric optimization of a predetermined structure controller in Matlab-

Simulink A. Romero 28 Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60 laminado en frío y

sometido a un tratamiento térmico de recocido Evaluation of the mechanical performance of a microalloyed stainless steel type X-60 cold deformation

and recovery thermal treatment C. Angarita, P. Moewis, L. Sáenz 37 Determinación de la disminución del rendimiento global de una bomba centrífuga por concepto

de desgaste en su carcasa Determination of the global yield decrease of a centrifugal pump due to casing wear

L. Vallés, T. Cortez 50 Estabilización de un sistema de suspensión magnética aplicando una forma canónica Hamiltoniana

de pasividad y linealización exacta por realimentación Stabilization of a magnetic suspension system by application of a Hamiltonian canonical passivity form

and exact feedback linealization technique F. Arteaga, A. Morillo, L. Obediente

59 Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana actual con códigos sísmicos de otros países

Comparative study of the present Venezuelan seismic code with seismic codes of other countries F. Lanza S., S. Puentes M., F. Villalobos 67 Determinación de la distribución de esfuerzos y sus influencias durante la vida útil del sello para la

bomba KSB ETA 32-200. Determination of stress distribution and its influences during the seal’s useful life for the pump KSB ETA

32-200. L. Vallés, L. Michieli, A. Salguero 80 Métodos evolutivos en problemas de optimización Evolutionay methods for optimization problems E. Alba, M. Laguna, R. Martí 90 Dispositivo inteligente de ultrasonido para construir un mapa de entorno Intelligent ultrasound device to build an environment map V. Campos, L. Doré, A. Alfonsi 99 Diseño de algoritmos para la estabilización simultánea con múltiples dominios acotados con el

método de factorización Algorithms design for simultaneous stabilization with multiple bounded domains using factorization

approach F. Arteaga, M. Contramaestre, M. Vizcaya, G. Beale, A. Morillo. 115 Índice de números anteriores 119 Índice de autores (Author Index) 120 Índice de materias 121 Subject Index

Contenido

Revista INGENIERÍA UC

Vol. 10, Nº 3, Diciembre 2003

Editorial

El año 2003 se ha convertido en un año de alcances y logros de alto impacto y trascendencia para nuestra Revista INGENIERÍA UC. En primer lugar, se ha consolidado en el índice nacional de Revistas Venezolanas de Ciencia y Tecnología, REVENCYT, reflejado en el número del mes de Agosto. En segundo lugar, nos sentimos realmente muy complacidos de comunicarles que, a partir de este número, la misma está registrada a nivel inter-nacional en el índice ACTUALIDAD IBEROAMERICANA (Centro de Información Tecnológica, CIT de Chile) y en el “Institution of Electrical Engineers”, IEE/INSPEC (Reino Unido). Asimismo, ha sido incluida en el ULRICH´s Internacional Periodicals Directory (USA). Se ha recibido la aprobación vía correo electrónico y el permiso para colocar la información sobre estas indizaciones a partir de este número 3, correspondiente al mes de diciembre, quedando en espera de una correspondencia vía correo postal. Con todos estos logros y según las nor-mas del Programa de Promoción al Investigador, PPI, un artículo en la Revista INGENIERÍA UC pasa a ser con-siderado equivalente a una publicación del Tipo B, ya que posee al menos un Índice Internacional. Una publica-ción en ésta también es válida para los reconocimientos de la Comisión Nacional de Bonificación Académica, CONABA, y el Programa de Estímulo al Investigador, PEI-UC. Con todo esto queremos incentivar a la comuni-dad científico-tecnológica de nuestra Facultad a enviar sus artículos para ser considerados por el Comité Editorial y el Comité Técnico para el respectivo proceso de revisión y arbitraje.

Con el presente número le entregamos a la comunidad científica-tecnológica de nuestra Facultad y Universidad, y a la comunidad nacional e internacional, diez trabajos de alta calidad de investigación en áreas de la Ingeniería, específicamente, en sistemas de comunicaciones, ingeniería de materiales, ingeniería mecánica, sistemas de control, inteligencia artificial e ingeniería civil. Estos trabajos comprenden un total de diecisiete co-autores internos (UC), doce coautores externos a nuestra Universidad, cuatro de Universidades Nacionales tales como la Universidad de Oriente (UDO) y la Universidad del Zulia (LUZ) y ocho coautores de Universidades de España y de los Estados Unidos de Norteamérica, alcanzando así nuestra Revista una proyección nacional e inter-nacional de gran escala. Este último número 2003 contiene el Índice de Materias (en español e inglés) y el Índice de Autores para obtener así una guía de consulta en el Volumen 10. Esto se realizará de ahora en adelante en el último número (Diciembre) de cada año (Volumen). Adicionalmente, el presente número y los anteriores de este Volumen están disponibles en la Página Web de la Revista, especificada en las Normas de Autor.

A partir del siguiente número nos hemos propuesto como meta la publicación en los lapsos establecidos para obtener una periodicidad acorde a las exigencias internacionales a fin de alcanzar otros índices tales como LATINDEX, PERIODICA (México), Institute for Scientific Information, ISI (USA), y el prestigioso Engineering Index. Asimismo, podemos informarles que estamos trabajando para tener la Revista registrada en el Fondo Na-cional para la Ciencia y Tecnología, FONACIT, Venezuela y poder así obtener financiamiento de este organismo nacional. A partir de este número estamos recibiendo también apoyo de parte de FUNDACITE-Carabobo, lo cual nos ayudará en las diversas actividades que necesitan ser realizadas para mantener una buena calidad y periodici-dad.

Queremos expresar nuestro especial agradecimiento a todos los colaboradores que hacen posible el conti-nuo mejoramiento de la Revista, al Comité Técnico (Árbitros que aparecen en la Lista Parcial de cada Número según el trabajo realizado) de los artículos, al Comité Editorial, al CDCH-UC, al Departamento de Publicaciones y en general a las Autoridades de la Facultad de Ingeniería. Y también extendemos un sincero reconocimiento a todos los autores y coautores que han aportado su valioso trabajo a este número que completa el Volumen 10 de nuestra acreditada Revista INGENIERÍA UC.

Dr. Francisco J. Arteaga B. Director

REVISTA INGENIERÍA UC

Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003 5

1. INTRODUCCIÓN

La voz es una onda compleja de la cual pueden extraerse muchos parámetros con el objetivo de mode-larla y caracterizarla. Uno de los parámetros mas fre-cuentemente utilizados y analizados es la frecuencia

fundamental (Fo), ya que está directamente relaciona-do con el “pitch” que nosotros percibimos [1]. También este parámetro es necesario para documentar la vibración de las cuerdas vocales, y alteraciones a sus patrones vibratorios en presencia de una patología [2, 3].


REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, 7-16, 2003

Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz basado en el espectrograma

José Antonio Díaz(1), Christine Sapienza(2), Howard B. Rothman(2), Yaser Natour(2)

(1) Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela (2) Department of Communication Sciences and Disorders, University of Florida, USA

Email: [email protected]

Resumen

La detección de la frecuencia fundamental de la voz (Fo) ha sido un problema particularmente difícil de procesamiento digital de señales. Este parámetro es necesario para documentar la vibración de las cuerdas vocales y alteraciones a sus patrones vibratorios en la presencia de una patología. Existe una gran variedad de algoritmos para extraer y analizar Fo. En muchas oportunidades se ha reportado que estas técnicas no funcionan bien para diferentes tipos de interlocutores y su rendimiento disminuye a medida que se incrementa el nivel de ruido. El objetivo principal de esta investigación fue el desarrollo de un algoritmo robusto para la extracción y análisis de Fo de voces normales y patológicas. Este algoritmo se basó en el espectrograma y utiliza técnicas de sistemas expertos para extraer Fo. El algoritmo desarrollado se probó con seis muestras normales y seis patológicas, las cuales contenían una vocal sostenida. Los resultados proporcionados por el algoritmo propuesto estuvieron en concordancia con los resultados generados por dos paquetes comerciales de análisis de voz, y además, pudo detectar Fo por un periodo de tiempo mas largo.

Palabras clave: Procesamiento de voz, frecuencia fundamental, espectrograma.

Robust algorithm for the detection of the voice fundamental frequency based on the spectrogram

Abstract

The detection of fundamental frequency (Fo) in speech has often been shown to be a particularly difficult signal processing problem. This parameter is a necessary one for documenting vocal fold vibration and alterations to these vibratory patterns in the presence of pathology. There exist a variety of algorithms for extracting and analyzing Fo. It has been reported that these techniques do not work well for different types of talkers and decrease in performance as the noise level increases. The main objective of this research was to develop a robust algorithm for the extraction and analysis of Fo from normal and pathological voices. This algorithm is based on the spectrogram and makes use of artificial intelligence techniques to extract Fo. An algorithm was developed and tested with 6 normal and 6 abnormal samples, which contain a sustained vowel. These 12 samples were also analyzed by two commercial software packages, which make use of other techniques, and the results were compared to the results provided by the proposed algorithm. The results provided by the proposed algorithm agreed with those of the other two software packages, and the algorithm was able to detect Fo for a longer period of time.

Keywords: Speech processing, fundamental frequency, spectrogram.

Algoritmo robusto para la detección de la frecuencia fundamental de la voz

Existe una gran variedad de algoritmos para la extracción de Fo [4-10]. Algunos de los métodos utilizados mas frecuentemente para el cálculo de Fo son los siguientes: 1. Detección de cruces por cero. 2. Detección de picos. 3. Comparación de las formas de onda. 4. Autocorrelación. 5. Espectrografía. 6. Cepstrum. A pesar del número de algoritmos existentes y de los esfuerzos en desarrollarlos, estos algoritmos no trabajan bien para diferentes tipos de interlocutores y su rendimiento disminuye cuando el nivel de ruido aumenta [11-14]. Por lo tanto, es necesaria una mejora de los métodos existentes. El objetivo principal de esta investigación fue contribuir al área de análisis de voz, desarrollando un algoritmo robusto para la extracción de Fo, el cual pudiera ser utilizado en voces normales y patológicas.

2. SELECCIÓN DE LA MUESTRA Primero se establecieron las condiciones que debía cumplir el grupo de muestras con las cuales se probaría el algoritmo propuesto. Se decidió utilizar muestras que contuvieran una /a/ sostenida, lo cual simplificaría la fase de prueba del algoritmo, y se podrían utilizar muestras mas complejas, como discurso continuo, en estudios futuros.

Existía una base de datos de muestras en el de-partamento de Ciencias y Desordenes de la Comuni-cación de la Universidad de Florida, la cual contenía muestras de /a/ sostenidas de voces normales y patológicas. Se seleccionaron aleatoriamente doce muestras de esta base de datos, seis de voces normales y seis de voces patológicas.

3. DESARROLLO DEL ALGORITMO Tal como se indicó anteriormente, existe una amplia variedad de algoritmos para la extracción y análisis de Fo. Si se analiza la lista de métodos que se muestra arriba, se observa que se puede clasificar en

dos categorías: primera, algoritmos que trabajan en el dominio del tiempo [5-7]. Segunda, algoritmos que realizan una transformación sobre la señal, y extraen Fo de la señal transformada [9,10]. Los algoritmos que pertenecen al segundo grupo tienen ciertas ventajas. La señal de voz es una onda compleja compuesta de la suma de todos los diferentes armónicos. La extracción de Fo de esta onda compleja no es una tarea fácil en la mayoría de los casos, y en algunos casos, como en las voces patológicas, esta tarea es aún mas difícil. También, sabemos que el oído humano transforma la señal de voz en sus componentes de frecuencia en la coclea, antes de que los impulsos eléctricos lleguen al cerebro. Esto sugiere que la transformación de la se-ñal de voz al dominio tiempo-frecuencia ayudaría a la detección de Fo. Además, esta transformación des-compone la señal en sus componentes de frecuencia. La señal de voz puede transformarse al domi-nio tiempo-frecuencia utilizando varios métodos como el espectrograma, la distribución de Wigner, Wavelets, etc. El espectrograma se seleccionó entre estos diferentes métodos debido a que es robusto frente al ruido y no presenta términos cruzados como sucede con otros métodos.

Se desarrolló un algoritmo para calcular y graficar el espectrograma de una muestra de voz. Varios parámetros debieron seleccionarse a fin de calcular el espectrograma. Estos son los siguientes: 1. Longitud de la ventana 2. Solapamiento de las ventanas 3. Tipo de ventana 4. Frecuencia mínima a ser mostrada 5. Frecuencia máxima a ser mostrada

En vez de especificar estos parámetros en el código de software, se le dio al usuario la posibilidad de cambiarlos a su gusto. Después de calcular el espectrograma, el software lo muestra en una ventana como se indica en la Figura 1. En esta Figura, la frecuencia fundamental (Fo) y los armónicos de la muestra de voz pueden ser identificados. Las perso-nas que han trabajado con voz, saben como identifi-car Fo visualmente a partir del espectrograma. Existe un conjunto de reglas que nos permite extraer la información de Fo del espectrograma [1]. Si se

8 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003

Díaz, Sapienza, Rothman y Natour

implementan estas reglas en un sistema experto, y se le aplican al espectrograma, se estaría en capacidad de extraer Fo de la misma manera que lo hacemos visualmente. El espectrograma es una superficie en un espacio tri-dimensional, donde Fo y los armónicos representan “picos” de esta superficie (Ver Figura 2). Se identifica Fo visualmente cuando se observa uno de estos “picos”.

Figura 2. Espectrograma en el espacio tri-dimensional: Amplitud Vs. Frecuencia Vs. Tiempo.

Basado en las reglas que se utilizan para identificar visualmente Fo, se creó el siguiente conjun-to de reglas, y se implementaron en MATLAB:

1. Comenzar en tiempo igual a cero y frecuencia

igual a cero (este punto representa el origen en la Figura 1).

2. Si Fo se ha detectado previamente ir al paso 7, sino

ir al paso 3. 3. Aumentar la frecuencia y evaluar cada punto en el

espectrograma. 4. Si un punto es un máximo local, determinar la

altura del punto. 5. Si la altura es mayor que un nivel umbral, se ha

encontrado Fo, sino, no se halló Fo en ese instante de tiempo.

6. Aumentar el tiempo, hacer la frecuencia igual a

cero (0) y regresar a 2. 7. Encontrar el máximo valor del espectrograma en un

rango de frecuencia alrededor del valor de Fo hallado previamente.

8. Determinar la altura del pico 9. Si la altura es mayor que un nivel umbral, se ha

encontrado Fo, sino, no se halló Fo en ese instante de tiempo.

10. Aumentar el tiempo, hacer la frecuencia igual a

cero (0) y regresar a 2. Este es el conjunto de reglas básico que se implementó en MATLAB para extraer la curva de Fo. La versión final del algoritmo contiene mas reglas, las cuales mejoran el rendimiento del algoritmo. Estas son las razones por las que se incremento el número de reglas:


Figura 1. Ejemplo de espectrograma: Frecuencia Vs. Tiempo

Frec

uenc

ia (H

z)

Tiempo (s)

Espectrograma

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

Espectrograma

Picos

Tiempo (s)


1. No es conveniente comenzar la búsqueda de Fo en frecuencia igual a cero (0), ya que puede existir una componente DC en la frecuencia cero (0) que puede ser erróneamente detectada como Fo.

2. No hay necesidad de buscar Fo a altas frecuencias.

Es conocido que la frecuencia fundamental para hombres y mujeres está alrededor de 100 y 200 Hz respectivamente.

3. La superficie del espectrograma tiende a tener

amplitudes más bajas a altas frecuencias. Por lo tanto, las alturas de los picos deben compararse al valor promedio de las componentes de frecuencia alrededor de ellos, y no compararse al valor promedio de todas las componentes de frecuencia.

4. La resolución en frecuencia del espectrograma es

baja, por lo tanto, es conveniente extraer un armónico mas alto primero, y calcular Fo dividiendo la curva obtenida por el número del armónico extraído. Esto mejorará la resolución.

Los siguientes parámetros son utilizados por el software para extraer el armónico del espectrograma, y pueden ser seleccionados por el usuario: 1. Frecuencia inicial de búsqueda. 2. Frecuencia final de búsqueda. 3. Ancho de la base. 4. Ancho de la ventana. 5. Altura del pico. Las frecuencias iniciales y finales de búsqueda representan el intervalo de frecuencias

donde se encuentra el armónico deseado. El ancho de la base es el rango de frecuencias usado para calcular la altura promedio alrededor de un punto en el espec-trograma. El ancho de la ventana es el intervalo de frecuencias donde se buscará el armónico deseado cuando ha sido detectado previamente. Es una ventana deslizante centrada en la frecuencia del Fo detectado previamente. La altura del pico es el nivel umbral utilizado para comparar las alturas de los picos. Altu-ras por encima de este valor indican que Fo ha sido encontrado, alturas por debajo de este valor indican que Fo no ha sido encontrado. El software calcula la curva de Fo basado en las reglas descritas arriba y la dibuja sobre el espectrogra-ma, esto le permite al usuario comparar la curva con el espectrograma y decidir si el software detectó la curva correctamente. En caso de que el software falle, el usuario puede cambiar los parámetros indicados arriba, y realizar un nuevo análisis. La Figura 3 muestra el resultado de extraer el armónico 11 de la muestra 1. Se puede apreciar que la curva extraída sigue las oscilaciones del espectrograma, por lo tanto se puede proceder a extraer la curva de Fo. El usuario debe introducir el número del armónico (11 en este caso) y el software determina la curva de Fo. La Figura 4 muestra los resultados.

El software también calcula las siguientes estadísticas de la curva de Fo y las muestra en la ven-tana de comandos de MATLAB: 1. Frecuencia promedio. 2. Frecuencia máxima. 3. Frecuencia mínima. 4. Desviación estándar.


Figura 3. Armónico 11 de la muestra 1.

Armónico 11 Espectrograma

Tiempo (s)

Frec

uenc

ia (H

z)

4. RESULTADOS

A fin de determinar la exactitud de los resultados generados por el algoritmo propuesto, las 12 muestras seleccionadas fueron analizadas por dos paquetes de software comerciales y a través del algo-ritmo desarrollado e implementado en MATLAB. Estos dos paquetes de software comerciales fueron llamados software 1 y 2 en este artículo, y el software desarrollado se llamó algoritmo propuesto.

La Tabla 1 muestra los resultados obtenidos a partir de las 12 muestras bajo análisis. La columna 1 indica el número de la muestra. Las muestras 1 a la 6 corresponden a voces normales, y las muestras 7 a la 12 corresponden a voces patológicas. Las columnas 2 y 3 muestran el valor medio y la desviación estándar obtenidas con el software 1, mientras que las colum-nas 4 y 5 muestran el valor medio y la desviación es-tándar obtenidas con el software 2. Las columnas 6 y

7 contienen el valor medio y la desviación estándar obtenidas con el algoritmo propuesto. Las columnas 8 y 9 muestran la diferencia porcentual entre el valor medio de Fo obtenido con el algoritmo propuesto y los obtenidos con el software 1 y 2. Finalmente, las co-lumnas10 y 11 muestran la diferencia en Hz entre la desviación estándar obtenida con el software desarro-llado y los valores obtenidos con el software 1 y 2.

Si se observan las columnas 8 y 9 de la Tabla 1 vemos que la diferencia porcentual en los valores de Fo son pequeños para las muestras 1 a la 8 y mayores para las muestras 9 a la 12. La diferencia porcentual para las muestras 1 a la 8 varía entre 0 y 0,23 %. Esto quiere decir que el valor medio de Fo obtenido con los tres paquetes de software bajo estudio son similares para las muestras 1 a la 8, lo cual no sucede con las muestras 9 a la 12.



Tabla 1. F0 y su desviación estándar.

Figura 4. Curva de Fo para la muestra 1.

Muestra Softw are 1 Softw are 2 Algoritmo propuesto Diferencia en Fo (%) Diferencia en Dev Est (Hz)Normal Fo Dev Est Fo Dev Est Fo Dev Est Softw are 1 Softw are 2 Softw are 1 Softw are 2

Muestra 1 302,8 1,5 302,78 1,621 302,73 1,473 0,02 0,02 0,03 0,15Muestra 2 143,7 0,8 143,738 1,921 143,739 0,832 -0,03 0 -0,03 1,09Muestra 3 210,9 13,2 211,764 13,607 211,284 12,017 -0,18 0,23 1,18 1,59Muestra 4 132,4 1,7 132,452 1,94 132,438 1,608 -0,03 0,01 0,09 0,33Muestra 5 122,3 1,2 122,293 1,249 122,327 1,081 -0,02 -0,03 0,12 0,17Muestra 6 146,2 0,5 146,242 0,669 146,235 0,497 -0,02 0 0 0,17

Patologica Fo Dev Est Fo Dev Est Fo Dev Est Softw are 1 Softw are 2 Softw are 1 Softw are 2Muestra 7 109 1,2 109,037 1,476 109,011 1,258 -0,01 0,02 -0,06 0,22Muestra 8 178,5 2,3 178,561 3,824 178,547 2,22 -0,03 0,01 0,08 1,6Muestra 9 102,1 38,5 131,392 44,913 155,405 10,161 -34,3 -15,45 28,34 34,75

Muestra 10 124,4 32,7 231,025 7,625 231,174 5,196 -46,19 -0,06 27,5 2,43Muestra 11 37,7 11,9 177,533 37,625 179,62 7,367 -79,01 -1,16 4,53 30,26Muestra 12 68,1 19,4 176,701 68,987 205,409 53,459 -66,85 -13,98 -34,06 15,53

Frec

uenc

ia (H

z)

Frecuencia Fundamental

Tiempo (s)


Las muestras 9 a la 12 corresponden a voces patológicas. Estas señales son más complejas y difíciles de analizar. Las Figuras 5 a la 7 muestran las curvas de Fo generadas por los tres paquetes de software para la muestra 3 la cual es representativa de las muestras normales. La forma de las tres curvas es similar. Las Figuras 8 a la 10 muestran las curvas de Fo generadas por los tres paquetes de software para la muestra 9. Observamos que las tres curvas son diferentes. Es por esta razón que los valores medios de Fo para las muestras 9 a la 12 son diferentes (Ver Tabla 1). La Figura 11 muestra el espectrograma y la curva de frecuencia fundamental extraída con el algoritmo propuesto para la muestra 9. Se puede apreciar en esta figura que la curva extraída por el algoritmo propuesto corresponde con la frecuencia fundamental que se muestra en el espectrograma, indicando que el software extrajo la frecuencia funda-mental correctamente. También se analizaron los resultados generados por el algoritmo propuesto para las muestras 10 a la 12 y se observó que las curvas de Fo coinciden con las frecuencias fundamentales mos-tradas en el espectrograma, por lo tanto, se puede decir que el valor obtenido con el algoritmo propuesto es un buen estimado del valor medio de Fo para las muestras 9 a la 12. Si se observan las columnas 10 y 11 de la Tabla 1 vemos que las diferencias entre las desviacio-nes estándar de Fo son pequeñas para las muestras 1 a la 8 y son mayores para las muestras 9 a la 12. La diferencia en la desviación estándar para las muestras 1 a la 8 varía de 0 a 1,6 Hz, ésto es, la desviación estándar generada por los paquetes bajo estudio son

similares para las muestras 1 a la 8, lo cuál no sucede para las muestras 9 a la 12. Estas diferencias provienen del hecho de que las curvas de Fo produci-das por los tres paquetes de software para las muestras 9 a la 12 son diferentes, tal como se mencionó en párrafos anteriores. Si se observa de nuevo la Figura 4, podemos ver la curva de Fo de la muestra 1. Esta Figura muestra pequeñas variaciones en la frecuencia fundamental de esta muestra. Los parámetros escogidos para el cálculo de la curva de Fo de esta muestra fueron los siguientes: Longitud de la FFT = 4.096 Solapamiento = 3.500 Frecuencia inicial = 3.100 Frecuencia final = 3.500 Ancho de la ventana = 400 Altura del pico = 10 Número del armónico = 11 Los parámetros obtenidos fueron: Frecuencia media = 302,730 Frecuencia máxima = 306,286 Frecuencia mínima= 299,627 Desviación estándar = 1,473 Esta muestra fue discretizada a una velocidad de 50,000 Hz. Por lo tanto, la resolución del espectrograma es:

Cuando el armónico se dividió por 11 para ob-tener la curva de Fo, se obtuvo la siguiente resolución:

HzNff s

res 20,12096.4000.50

===


Figura 5. Curva de Fo generada por el software 1 para la muestra 3.

Frec

uenc

ia (H

z)


Tiempo (s)

(1)

Rev. INGENIERIA UC. Vol. 10, No 1, Abril 2003 13 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 10, No 3, Diciembre 2003 13

Si se hubiera extraído la frecuencia fundamental a partir del primer armónico en vez del armónico 11, la resolución de la curva de Fo hubiera sido 12,20 Hz. Con una longitud de la FFT de 4096 muestras y un solapamiento de 3500 muestras, existen 596 muestras entre ventanas sucesivas. Por lo tanto, el tiempo entre ventanas sucesivas (que también es la resolución en el tiempo del espectrograma) es:

Las Figuras 5 a la 7 muestran las curvas de Fo dibujadas por los tres diferentes paquetes de software para la muestra 3. Observamos que las tres curvas son continuas. Estas curvas son representativas de todas las muestras normales. Las Figuras 8 a la 10 muestran las curvas de Fo dibujadas por los tres paquetes de softwa-re para la muestra 9, la cual corresponde a una voz pa-tológica. La Figura 8 muestra algunas discontinuidades

y ruido tal como indican las flechas. En la Figura 9 se observa que la curva de Fo no es continua, mientras que la Figura 10 muestra una curva continua.

Se diseñó un parámetro para medir y comparar la longitud de la curva de Fo. Este parámetro mide la longitud de la curva de Fo en porcentaje respecto a la longitud total de la señal. Este parámetro se calculó de la siguiente manera:

donde:

fol = Longitud de la curva de Fo en porcentaje. Li = Longitud del imo segmento de curva de Fo en

segundos. LT = Longitud total de la curva de Fo en segundos.

Un valor de 100% de fol indica que la curva de Fo es una línea continua como la que se muestra en la Figura 10, un valor menor al 100% indica que la curva de Fo tiene algunas discontinuidades como las que se ven el la Figura 9.

Hzfres 109,111

20,12==

3596 11, 92 1050.000rest s−= = ×

100×= ∑T

iol L

Lf



Figura 7. Curva de Fo generada por el algoritmo propuesto para la muestra 3.

Frec

uenc

ia (H

z)


Tiempo (s)

(2)

(3)

(4)


La Tabla 2 muestra los valores de fol para los tres dife-rentes paquetes de software. Los valores para el software 1 varían de 81,13% a 98,96% para el softwa-re 2 varían de 73,61% a 100%, y para el algoritmo propuesto varían de 95,22% al 100%. Si comparamos estos valores observamos que el algoritmo propuesto produce los valores mayores de fol para cualquiera de las muestras, lo que indica que pudo detectar la curva de Fo por un periodo de tiempo más largo.

5. CONCLUSIONES

Se desarrolló un algoritmo para la extracción y

análisis de la curva de Fo. Este algoritmo se basó en el espectrograma y emplea un conjunto de reglas para extraer un armónico del espectrograma. La curva de Fo

se calculó a partir del armónico extraído al dividirlo por el número del armónico. La curva de Fo calculada tiene buena resolución en el tiempo y resolución variable en la frecuencia. El usuario puede cambiar fácilmente la resolución en el tiempo ajustando el solapamiento de la ventana, la cual puede hacerse tan pequeña como un periodo de muestreo. La resolución en frecuencia depende de dos factores: la longitud de la ventana y el armónico seleccionado. Durante el análisis de las muestras se observó que la ventana no debe ser mayor de 80 ms., ya que longitudes mayores producen distorsión o modificación de la curva de Fo. Mientras más alto sea el armónico seleccionado, mejor será la resolución en frecuencia, sin embargo, algunas veces las muestras son tan ruidosas e irregulares que el algoritmo sólo puede extraer el primer armónico. En algunos casos de muestras poco ruidosas fue posible extraer el armónico 20. La resolución en frecuencia típica del algoritmo varía entre 1 y 12 Hz.

Debido a que el algoritmo propuesto está basado en el espectrograma, éste requiere varios ciclos de la onda de voz para estimar un valor de Fo, lo cual hace que la longitud de la curva de Fo comience un corto tiempo después que lo hacen los paquetes de software 1 y 2, y también se tiene un corto tiempo antes. Los valores de Fo calculados con el algoritmo propuesto son buenos estimados de los valores reales. En 8 de las 12 muestras, los valores calculados concordaron con los de los otros dos paquetes de software. En los casos donde se observaron diferencias, se verificó que los valores obtenidos eran buenos estimados de los valores reales.


Muestra Longitud de la curva Fo (%)Normal Softw are 1 Softw are 2 Alg Prop

Muestra 1 98,96 100 100Muestra 2 92,03 100 100Muestra 3 91,67 100 100Muestra 4 92,72 100 100Muestra 5 85,65 99,57 100Muestra 6 89,95 100 100

Patologica Softw are 1 Softw are 2 Alg PropMuestra 7 81,29 99,15 100Muestra 8 98 99,15 100Muestra 9 93,25 80,08 100Muestra 10 95,5 87,6 97,66Muestra 11 81,13 92,37 99,06Muestra 12 92,95 73,61 95,22

Tabla 2. Longitud de la curva de Fo en porcentaje.

Figura 8. Curva de Fo generada por el Software 1 para la muestra 9.

Frec

uenc

ia (H

z)


Ruido

Discontinuidades

Tiempo (s)


El algoritmo propuesto es capaz de extraer la curva de Fo de muestras difíciles. Una comparación entre los tres paquetes de software bajo estudio, mostró que el algoritmo propuesto extrajo la curva de Fo por un periodo de tiempo más largo que los otros dos paquetes de software para todas las muestras bajo análisis (Ver Tabla 2).

El algoritmo desarrollado permite que el usuario verifique la exactitud de los resultados obtenidos. Al dibujar el armónico extraído sobre el espectrograma,

el usuario puede determinar si el software extrajo correctamente el armónico o falló. Una vez que el armónico ha sido extraído exitosamente, el usuario puede proceder a calcular la curva de Fo. El algoritmo propuesto funciona tanto con voces normales como patológicas. Si se observa la tabla 2, se aprecia que el porcentaje de detección de Fo para los software 1 y 2 disminuye a un 81 % y 73 % para las muestras patológicas, mientras que el rendimiento del software desarrollado disminuyó a un mínimo de 95 % para la muestra 10.



Figura 10. Curva de Fo generada por el algoritmo propuesto para la muestra 9.

Figura 11. Espectrograma y curva de Fo para la muestra 9.

Curva de Fo

Frec

uenc

ia (H

z)

Tiempo (s)


Espectrograma

Tiempo (s)

Frec

uenc

ia (H

z)


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1. INTRODUCCIÓN

Casi tan antigua es la idea de la necesidad de un dispositivo controlador, como la de obtener los pará-metros de dicho dispositivo mediante la optimización de un criterio funcional tipo integral. Los criterios IAE, ISE e ITAE constituyen ejemplos clásicos de las familias de funcionales utilizables para evaluar el desempeño de un lazo de control SISO. O’ Dwyer [1] presenta una acuciosa recopilación de reglas de sintonización para controladores PID, mediante los muy diversos enfoques existentes que se han venido aplicando desde los años 40 hasta las postrimerías del

siglo recientemente concluido. Entre ellas, cabe desta-car todas aquellas provenientes de la idea de aplicar técnicas de optimización para el ajuste “optimo” de los parámetros, apelando a criterios del tipo señalado. Una revisión de la bibliografía vinculada a esta idea, referencias [2-12], revela que el objetivo de obtener “ajustes óptimos” ha mantenido un permanente interés entre los investigadores. Sin embargo, la mayoría de las reglas de sintonización presentadas son aplicables a la obtención de los parámetros PI o PID óptimos para una clase muy restringida de modelos de procesos. Esto, por cuanto la metodología utilizada



Una metodología general para la optimización paramétrica de un controlador de estructura predeterminada en Matlab-Simulink

Asdrúbal Romero M.

Unidad de Investigación en Automatización Industrial, Escuela de Ingeniería Eléctrica Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela

Email: [email protected]

Resumen

El enfoque de optimización paramétrica para la determinación de los ajustes óptimos de un controlador ha mantenido una vigencia permanente en la literatura del área, pero, tradicionalmente, se ha constreñido a controladores tipo PI o PID y a una clase restringida de modelos parametrizados de procesos, de los que se han derivado reglas de sintonización. En este trabajo, se presenta una metodología general que le permite a un diseñador de sistemas de control, operando en un ambiente de diseño tipo MATLAB-SIMULINK, resolver en pocas horas de trabajo el problema de optimización paramétrica para cualquier proceso, cuyo modelo matemático sea susceptible de ser simulado en el ambiente, y cualquier controlador de estructura predeterminada.

Palabras clave: Optimización paramétrica, ajustes de controlador, control PID, criterios integrales IAE, ISE, ITAE, reglas de sintonización, MATLAB SIMULINK.

A general methodology for the parametric optimization of a

predetermined structure controller in Matlab-Simulink

Abstract

The parametric optimization methodology for determining the optimal controller settings has maintained an unabated interest in the research literature of the field. But, traditionally, it has been constrained to controllers of the PI or PID type and to a restricted class of parametrized process models, that have been used for obtaining tuning rules tables. In this paper, a general methodology is presented that allows to a control systems designer, working in an ambient MATLAB-SIMULINK or in one of similar features, solving in a few hours of work the parametric optimization problem, for any process model which could be simulated in the ambient and for any predetermined structure controller.

Keywords: Parametric optimization, controller settings, PID control integral, criteria IAE ISE ITAE, tuning rules, MATLAB SIMULINK.

involucra aplicar la técnica de optimización a un mo-delo de proceso parametrizado, tipo FOLPD por ejemplo (un retardo de primer orden más un retardo puro), y luego mediante un número significativo de experimentos en los que se van variando los paráme-tros del modelo del proceso, se van obteniendo los ajustes óptimos correspondientes. Los resultados de la exhaustiva experimentación se condensan en unas reglas de sintonización en las que, introducidos los parámetros conocidos del proceso, se pueden calcular los ajustes óptimos. Tales reglas de sintonización son obtenidas mediante la utilización de software para el ajuste de curvas partiendo de datos experimentales (Table Curve [13] es sólo un buen ejemplo). En la literatura revisada no se presenta una metodología general que pueda aplicarse a cualquier modelo arbi-trario de proceso y a cualquier controlador de estruc-tura predeterminada distinta a la de los conocidos PI y PID. Pero, el inmenso poder de cálculo puesto a la disponibilidad de los diseñadores de los sistemas de control hoy en día, y la relativa amistosidad del soft-ware con el cual usualmente trabajamos, nos permite afirmar: que con pocas horas de trabajo, básicamente las requeridas para montar la simulación del proceso en cuestión, interactuando con el controlador elegido, en una plataforma tipo SIMULINK o cualquier otra de características similares, y un conocimiento, a nivel de usuario del software, sobre cómo integrar las respectivas simulaciones a una estrategia de optimiza-ción, se pueden obtener “ajustes óptimos” a la medi-da del sistema de control que se esté sintonizando. Es hacia esta metodología general a la que apunta, como objetivo principal, el contenido de este trabajo. Se ilustrará a través de un ejemplo representativo la forma cómo podemos utilizar la poderosa herramienta computacional de simulación, SIMULINK, para obtener los parámetros óptimos de un controlador de estructura predeterminada, o lo que es lo mismo resolver el problema de optimización paramétrica vinculado al ajuste o sintonización de los parámetros de un controlador o algoritmo de control cuya ley ya es conocida. En la siguiente sección se presentan los linea-mientos generales de la metodología de optimización paramétrica de controladores, y el porque este enfo-que se presta, de manera natural, a ser manejado en un ambiente tipo MATLAB-SIMULINK. Luego, se presenta el proceso que se utilizó para nuestro estudio

ilustrativo. La enseñanza de los conceptos fundamen-tales sobre el control de procesos, y sus vericuetos más teóricos, estamos convencidos que puede ser grandemente realzada a través de la apelación al estu-dio de casos prácticos modelados realísticamente. El ejemplo utilizado es uno de ellos. Posteriormente, en la siguiente sección se muestran los archivos tipo .m que se utilizaron, así como el diagrama de SIMULINK del proceso más el controlador, donde se plasman los conceptos emitidos sobre este enfoque metodológico. La sección final es de discusión de los resultados obtenidos vía la optimización paramétrica y la comparación con resultados logrados a partir del ajuste de los parámetros utilizando la técnica del Lugar Geométrico de las Raíces para posicionamiento de los polos dominantes. En este análisis comparati-vo, surge un hallazgo bien interesante. La solución optimizada que se obtiene para un cambio en las variables de carga, muy posiblemente, sería rechaza-da en un tradicional salón de clase por su agresividad en cuanto a la ubicación definitiva de los polos de la cadena cerrada. Esto nos ha conducido a dejar plan-teada una interrogante, ¿Hasta qué punto el paradig-ma clásico de “adecuada ubicación” de los polos dominantes del modelo variacional linealizado no debe ser revisado, a la luz de las nuevas metodologí-as que se pueden aplicar en el aprovechamiento del poder de cálculo y las herramientas de software con las cuales hoy contamos?

2. EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN PARAMÉTRICA DE CONTROLADORES

De lo que es trata es de minimizar un criterio de desempeño de naturaleza funcional, que evalúe el comportamiento, a lo largo del intervalo de control seleccionado, de las señales de error y la energía de control utilizada (de considerarse pertinente) que resultan de controlar el proceso, sea ante una variación en los valores de referencia para las variables controladas o perturbaciones en algunas de las variables de carga. Este problema, si bien com-parte algunas características similares con el proble-ma más general de Control Óptimo, por ejemplo el carácter funcional del objetivo a minimizar y la necesidad de satisfacer las ecuaciones que rigen el


Uso de simulink en el ajuste de controladores

comportamiento dinámico del proceso controlado en su condición de principal restricción, es un pro-blema de jerarquía inferior. La razón es que en él no se pretende obtener la política de control óptimo. Es decir, las incógnitas del problema no son las leyes de control mi(t), i=1,...,pm, donde pm corresponde al número de variables manipuladas, las cuales, como es de hacer notar, son funciones del tiempo en el interva-lo de control, ni tampoco lo es la estructura del con-trolador óptimo, en el caso de que la solución del pro-blema sea factible de obtener bajo la forma de ley de control en cadena cerrada. En el problema de ajuste de un controlador mediante la técnica de optimización paramétrica la estructura del controlador es seleccio-nada de antemano, bien pudiera ser un controlador PID como en el caso bajo estudio que presentaremos, y las incógnitas pasan a ser un número finito de pará-metros definidos sobre la estructura del controlador (Kc, Tr y Td en el caso del PID), cuyos valores vienen a ser lo que se conoce, comúnmente, como los ajustes del controlador. Esto es lo que permite que, a pesar de la naturaleza dinámica del problema, éste pueda ser formulado en el marco de los métodos de optimiza-ción estática para funciones multivariables sin restric-ciones, cuya complejidad para la comprensión mate-mática y el repertorio de técnicas de cálculo numérico para su resolución los ubica, definitivamente, en una escala inferior dentro de la pirámide cuyo vértice superior es ocupado por los métodos de optimización dinámica (que son los adecuados a los efectos de resolver los problemas de control óptimo) [14]. Se demostrará que la única limitación que se le presenta a quien desee apelar a esta metodología de optimización paramétrica es que pueda disponer de un modelo dinámico de su sistema, susceptible de ser representado en un ambiente de modelación con po-tencialidades similares a las que provee el ambiente MATLAB-SIMULINK. Y esto vale no sólo para el proceso a ser controlado, sino también para la estruc-tura del controlador a ser utilizado, con lo que debe quedar claro que, de modo alguno, se está constreñido a utilizar un controlador PID como en el estudio de nuestro caso. De allí el carácter general de este enfo-que metodológico. Por otra parte, la principal restric-ción del problema es manejada de manera natural en la estrategia de solución mediante SIMULINK, por cuanto cada evaluación del funcional que se está mini-mizando: involucra una simulación del modelo “proceso más controlador” a lo largo de todo el inter-

valo de control que se considere pertinente. Cada simulación se hace con un vector de parámetros del controlador distinto, el cual va siendo variado de con-formidad a la estrategia de búsqueda de los valores óptimos que es regida por el algoritmo de optimiza-ción que domina todo el proceso iterativo. Es decir la simulación pasa a ser esclava del algoritmo maestro, que bien puede ser cualquiera de los algoritmos de optimización estática multivariable sin restricciones que provee el Optimization Toolbox de MATLAB. Las sucesivas simulaciones cumplen el rol de ir eva-luando el funcional a ser minimizado y, en cada una de tales evaluaciones, se cumple, de manera absoluta-mente natural, con todas las ecuaciones dinámicas que modelan al proceso y al controlador (la principal res-tricción del problema). Otro tipo de restricciones que comúnmente surgen en la formulación de problemas de control, como lo es la limitación de las salidas de los controladores a mantenerse dentro de ciertos ran-gos predefinidos, también son incorporables de mane-ra muy natural mediante la utilización de bloques de limitación dentro del modelo. Distinto a si se desea manejar alguna restricción sobre una variable del pro-ceso, por ejemplo: que una temperatura no sobrepase un determinado valor, por cuanto la inclusión de este tipo de restricciones no se encuadra dentro de la metodología a ser presentada, a menos que se apele a la utilización del concepto de funciones penalti (o barrera) dentro de la función objetivo, lo cual puede complicar aun más la solución numérica del problema. Con relación al funcional objetivo, de carácter integral como ya lo hemos señalado, su evaluación no representa ningún obstáculo para esta metodología. Cualquier criterio integral puede ser evaluado en SIMULINK, mediante la definición de un bloque inte-grador adicional con valor inicial cero y cuyo inte-grando sea la misma función que se utiliza como inte-grando del funcional objetivo. Al final de cada simu-lación, se tomará la salida del integrador auxiliar en el tiempo final como el valor de la función que es vista por el algoritmo de optimización. Corremos el riesgo de ser reiterativos al resaltar que el ambiente SIMULINK nos provee de amplísima libertad a la hora de estructurar el criterio integral que se desea optimizar. No estamos constreñidos a los clásicos IAE, ISE o ITAE, sino que cualquiera de ellos, o sus variantes, puede ampliarse a los efectos de incorporar penalización sobre la energía de control utilizada.


Romero

3. EL PROCESO UTILIZADO EN EL ESTUDIO DEL CASO

En la Figura 1 se muestra una representación esquemática de un reactor químico continuo en el cual se lleva a cabo una reacción exotérmica. El mecanis-mo de remoción de calor a los efectos de viabilizar la regulación del proceso alrededor de una temperatura constante: es una camisa a la que se le inyecta un flujo de agua fría. Las ecuaciones de balance de masa y energía, así como todos los parámetros involucrados y el punto estático de operación deseado se presentan a continuación. Este ejemplo fue tomado de Cecil Smith[15] y ha sido utilizado como caso de estudio en varios de los cursos de control que se dictan en el departamento de Sistemas y Automática de la Univer-sidad de Carabobo.

Figura 1. Diagrama esquemático del proceso.

3.1 Ecuaciones del proceso Balance de energía de la masa reactante dentro del tanque

Donde: V= 250 ft3 (Volumen utilizado del reactor). Cp= 0,9 BTU/lbm°F (Calor especifico de la masa del

reactante). ρ= 80 lbm/ ft3 (Densidad de la masa reactante) AT=500 ft2

(Área efectiva de transferencia de calor) U= 1,2 BTU/(min. ft2.°F) (Coeficiente de transferen-

cia de calor).

(-∆H)= 1080,34 BTU/lbm de A que reacciona, (Calor de reacción).

k= Constante de la velocidad de reacción, ft3/lbm.min k0= 1,43 ft3/lbm.min a= 2560 °R T= Temperatura en el reactor (°F) (La variable que se

va a controlar). Tf= Temperatura en el flujo de suministro (Variable

de Carga). TC= Temperatura en la camisa. W= Flujo de suministro en lbm (Variable de carga) Ca= Concentración de A en el reactor. Balance de energía de la camisa

Donde: MC= 4000 lbm (Masa del agua en la camisa) C’p= 1,0 BTU/lbm°F (Calor especifico del agua) Wc= Flujo de agua fría inyectada a la camisa (Entrada

manipulada) TW= Temperatura del agua fría (Variable de carga) Balance de masa del componente A

Caf= Concentración de A en el suministro (Variable de

carga). 3.2 Modelo en espacio de estado

2aaf a a

dC W (C C ) kCdt Vρ

= − −



2p p f T C

dTVρ C WC (T T)-UA (T T ) ( ∆H)VkCdt a= − − + −

460

0

aTk k e

−+= (Ecuación de Arhenius)

' 'CC p T C C p W C

dTM C UA (T T ) W C (T T )dt

= − + −

1

1

a( )460 21 T

1 2 1 1 2 0 3p p

2 T1 2 5 4 2'

C p C

a( )460 23

1 3 3 0 3

1 2 C 3 a

1 2 f 3 af 4 w 5 C

dx 1 UA ( ∆H)u (u x ) (x x ) k e xdt Vρ Vρ C ρ C

dx UA 1(x x ) u (u x )dt M C M

dx 1 u (u x ) k e xdt Vρ

Donde:x =T x =T x =Cu =W u =T u =C u =T u =W

x

x

−+

−+

−= − − − +

= − + −

= − −

(1)

(2)

(3)

(4)

3.3 Punto nominal de operación Valores Nominales para las variables de carga:

Valor nominal para la entrada manipulada:

Valores nominales para los estados del proceso:

3.4 Modelo linealizado y función de transfe-

rencia

Donde:

Del cual se pueden obtener las funciones de transferencia como:

Se hace evidente de las ecuaciones del modelo que el proceso es claramente no lineal, por ello debe ser linealizado a los efectos de poder aplicar alguna técnica de diseño lineal, como lugar geométrico de las raíces, en la determinación de los parámetros del controlador. Pero, no es necesario hacerlo si se apela a la metodología objeto de esta investigación. En la Figura 2 se muestra el modelo tipo SIMULINK de todo el sistema en cadena cerrada. A los efectos de controlar el proceso se incluye un transmisor con rango de entrada 150-250 ºF, una válvula lineal con acción inversa para compensar la ganancia negativa del proceso y capacidad de manipulación de un flujo máximo de 2000 lbm/min, y un controlador PID discreto. Este aparece en el modelo como un bloque tipo subsistema, cuyo detalle interno se muestra en la Figura 3. El algoritmo está implementado en la forma velocidad con una etapa de salida que excluye la posi-bilidad de que se produzca el fenómeno “windup reset”. El valor inicial de la salida del controlador se provee en la unidad de retardo 2 y es igual a 47.5 % corresponde a la entrada que requiere la válvula en el punto nominal de operación, de esta manera en cada simulación lo que se registra es el efecto de la pertur-bación o del cambio aplicado en el valor de referencia para la temperatura. El modelo mostrado en la Figura 2 también incluye el integrador auxiliar, el cual se encarga de ir evaluando la integral del valor abso-luto del error porcentual en la temperatura, que se corresponde con el criterio funcional que se va a minimizar en nuestro caso.

4. PROCEDIMIENTOS PARA LA OPTIMIZACIÓN PARAMÉTRICA

SIMULINK nos provee de un entorno de simu-lación que puede ser totalmente controlado desde la ventana de comandos de MATLAB o a través de archivos tipo .m [16]. Esta propiedad de SIMULINK


Romero

o1n n 2n fn

3 o3n afn 4n wn

u =W =1000lb/min u =T =150 Fu =C =9.0 lb/ft u =T =80 F

5n cnu =W =1050 lb/min

o o 31n n 2n cn 3n anx =T =190 F x =T =120 F x =C =3.22 lb/ft

21 T 3 T 3

2'

p 1 p p1

1' T T 52 2' '' C p C p C

233 1

32

1

p

3

u UA ( ∆H)akx UA 2( ∆H)kx

Vρ Vρ C ρC (x 460) Vρ C ρC∆x ∆xUA UA u∆x 0 ∆x

M C M C M ∆x∆xakx u

0 2x k(x 460) Vρ

− −− − +

+

= − −

− − −+

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 1 1

1

25 4 2

3

C C 4

3 3 1 5

(u x ) u0 0 0 ∆u

Vρ Vρ∆uu (u x )

0 0 0 ∆uM M ∆u

(u x ) u ∆u0 0 0Vρ Vρ

−

−+

−

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

L

1

a( )

x 460ok k e

−+=

' 21 1'2 2

3'33

1

2

34

4

5

∆x 5.72 10 0.033 2.67 ∆x∆x 0.15 0.4125 0 ∆x

1.746 10 0 0.229 ∆x∆x

∆u0.002 0.05 0 0 0 ∆u

0 0 0 0.2625 0.01 ∆u2.89 10 0 0.05 0 0 ∆u

∆u

x

x

x

−

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

4( ) 3.3 10 ( 0.2291)( ) ( 0.0724)( 0.2011)( 0.4251)

( ) 0.002( .4125)( 0.1568)( ) ( 0.0724)( 0.2011)( 0.4251)

c

T s x sW s s s sT s s sW s s s s

−∆ − +=

∆ + + +∆ − + −

=∆ + + +

(5)

(6)

(7)



Figura 2. Diagrama SIMULINK del proceso mas controlador.

es clave, en cuanto nos permite programar una secuen-cia de experimentos de simulación de conformidad a la lógica de experimentación que nos interese. En el caso nuestro, la lógica de experimentación es determinada por la función “fminsearch”, la cual es una rutina de la toolbox de optimización de MATLAB, que se encarga de buscar el mínimo de una función escalar multivariable sin restricciones. Esta función de MATLAB utiliza el método de búsqueda SIMPLEX [17, 18]. Está reportado en la literatura que por el hecho de no apelar al cálculo analítico o numérico de los gradientes de la función que se está minimizando, como sí lo hace, por ejemplo, la rutina “fminunc” de la misma toolbox, “fminsearch” puede manejar las discontinuidades que se puedan presentar en la fun-ción. En esta investigación la función escalar a la que hacemos referencia, es implementada mediante un ar-chivo tipo .m cuyo contenido se muestra en la Tabla 1. El vector incógnita es ParCont, que en cada llamada contiene los valores de los tres parámetros del contro-lador que se van a utilizar en la evaluación de la fun-ción. Mediante el comando “set_param” tales valores son asignados a los correspondientes bloques del mo-delo del subsistema PID Discreto. Y en la línea resaltada con una flecha apuntadora se comanda la

simulación del modelo por un intervalo de control de 100 min (comando “sim”). La evaluación de la función se resume a obtener el último valor del arreglo de sali-da yout que corresponde al Outport #1 en el cual se va almacenando la integral del valor absoluto del error. Esta función es llamada por “fminsearch” según se muestra en el Tabla 2. El archivo “OptReactorSP.m” (Tabla 2) contie-ne el código que ejecuta el procedimiento de determi-nación de los parámetros óptimos del controlador para un cambio en el valor de referencia de la temperatura de 10 grados farenheit (partiendo de una adivinanza inicial para el vector ParCont 60, 4, 1). En su línea clave resaltada de nuevo con una flecha apuntadora se invoca a “fminsearch” para que comande toda la ex-perimentación en la búsqueda de los valores óptimos; es ella, a través de su algoritmo interno, quien se en-carga de ir modificando el vector de parámetros del controlador que se utiliza en cada llamada a la función “optparametrico3modos”. Como quiera que el algo-ritmo SIMPLEX puede converger a un mínimo local dependiendo de la adivinanza inicial que se haya provisto, en la investigación se modificó un número exhaustivo de veces la adivinanza inicial a los fines de


Romero

Figura 3. Diagrama SIMULINK del subsistema controlador

Tabla 1. Archivo .m para evaluar el funcional integral. function f=optparametrico3modos(ParCont,TS) KC=ParCont(1); TR=ParCont(2); TD=ParCont(3); ParametroIntegral=TS/TR; ParametroDerivativo=TD/TS; set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/AccionIntegral','gain',num2str(ParametroIntegral)); set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/AccionDerivativa','gain',num2str(ParametroDerivativo)); set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/GananciaControlador','gain',num2str(KC)); [t,xout,yout]=sim('reactorcccontrol3',[0,100]); % Simula el modelo reactorcccontrol3 en el intervalo de tiempo desde 0 % hasta 100 min. Guarda en el arreglo t los valores de tiem-po, en xout los % valores de los estados para cada uno de los valores de tiempo, y en yout, % que está en el Outport 1: la salida del integrador del valor absoluto del % error. numpuntos=size(t,1); % Obtiene el numero de elementos del vector t f=yout(numpuntos ,1); % Obtiene el valor final de yout. recopilar los resultados obtenidos y detectar el mínimo global. Los resultados que se muestran en la sección siguiente es el resumen de todos los experimentos hechos en los dos casos un cambio en el punto de ajuste de diez grados y una perturbación escalón del 25% en el flujo de alimentación del reactante (el archi-vo para este caso no se muestra, pero es fácil de deri-var del mostrado en el Tabla 2).

5. RESULTADOS OBTENIDOS

En la Figura 4 se muestra la respuesta optimiza-da para un cambio en la temperatura de referencia de diez grados. Esta respuesta, aunque bastante buena, no es muy superior a la que se puede obtener mediante alguna técnica clásica de diseño lineal, como LGR, aplicada al modelo variacional anteriormente presenta-do. Donde la mejoría si es sustancial es en la respuesta optimizada para cambios en la carga. En la Figura 5 se muestra la respuesta optimizada para un cambio en el

Tabla 2. Archivo .m que ejecuta la optimización. TS=1; % Período de muestreo se hace igual a 1 set_param('reactorcccontrol3/DeltaTref','After','10'); % Cambio de 10 grados en la temperatura de referencia set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/In1','SampleTime',num2str(TS)); set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/UnitDelay','SampleTime',num2str(TS)); set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/UnitDelay1','SampleTime', num2str(TS)); % Parámetros del Controlador % KC=Ganancia Controlador % TR=Reset Time % TD=Derivative time KC=60; TR=4; TD=1; set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/UnitDelay2','SampleTime', num2str(TS)); M0=47.5; % M0 es el reset inicial del controlador set_param('reactorcccontrol3/PIDdiscreto/Unit Delay2','X0',num2str(M0)); ParCont=[KC TR TD]; [ParCont,ValorOptimo,exitflag,output]=fminsearch('optparametrico3modos', ParCont,[],TS); set_param('reactorcccontrol3/DeltaTref','After','0'); % Esta ultima instrucción prepara el sistema para la simula-ción con otro tipo de variación perturbante o cambio de set point. ValorOptimo ParCont output

flujo de suministro de reactante del 25%. A pesar de lo significativo de la perturbación, la máxima variación de temperatura no alcanza ni el medio grado y cual-quier efecto desaparece en apenas diez minutos. Una respuesta como ésta no fue posible obtener mediante LGR, porque el paradigma de ubicación de los polos del modelo variacional en cadena cerrada nos conduce a una ubicación conservadora de los polos dominantes (se persigue una buena estabilidad relativa), mientras que, como lo demuestra nuestra solución optimizada la mejor respuesta para cambios en la carga se obtiene para unos ajustes de los parámetros del controlador mucho más agresivos. Se justifica este calificativo en cuanto a que con ellos se obtiene una ubicación de algunos polos mucho más cercana al lindero de inesta-bilidad. Los ajustes óptimos para los dos casos son radicalmente distintos. Tanto la ganancia Kc como Tr



Figura 4. Respuesta optimizada IAE para un cambio en la referencia de diez grados.

Figura 5. Respuesta optimizada IAE para un cambio en la carga del 25%.

resultan mucho mayores en el ajuste óptimo para cam-bios en la carga, como consecuencia de que la integral del valor absoluto del error tiende a ser mucho más pequeña. Así, estos experimentos demuestran lo que ha sido reportado en reconocidos textos de control digital [15, 19, 20]: la optimización paramétrica con-duce a distintos resultados dependiendo de si se desea optimizar la función servo o la reguladora. En estos textos, se apela a reglas de sintonización como las que ya hemos mencionado en la introducción y el cálculo respectivo arroja también diferencias significativas entre los dos ajustes óptimos. En la Figura 6 se mues-tra el lugar geométrico de las raíces, y la ubicación de

Figura 6. LGR resultante con el ajuste optimo para cambios en la referencia.

Figura 7. LGR resultante con el ajuste óptimo para cambios en la carga.

los polos cerrados para los ajustes óptimos correspon-dientes a cambios en el punto de ajuste (Kc= 7.86, Tr= 9.64 y Td= 0.0858). Mientras que en la Figura 7 se muestra la ubicación correspondiente al ajuste ópti-mo para cambios en la carga (Kc= 142.63, Tr= 124.45 y Td= 0.6179).

La inclusión de los dos LGRs resultantes para los dos ajustes óptimos, si bien escapa al enfoque metodológico de este trabajo, permite aseverar que el paradigma tradicional de ubicación de los polos dominantes no resulta tan efectivo cuando se trata de


Romero

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(°F)

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(°F)

privilegiar el comportamiento regulador de un lazo de control. El enfoque de optimización paramétrica apli-cado a este caso, nos ha permitido desvelar este fenó-meno que, por otra parte, no resulta tan evidente en el contexto del análisis lineal. Una nota de advertencia debería producirse, en este sentido, en el ámbito de los cursos básicos de teoría de control.

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Mediante este trabajo se ha demostrado que la técnica de optimización paramétrica puede ser, muy fácilmente, generalizada a cualquier modelo matemáti-co de proceso y cualquier controlador de estructura predeterminada trabajando en ambientes de diseño tipo MATLAB-SIMULINK, y que ello no requiere de un número excesivo de horas de trabajo ni de sofisticados conocimientos de optimización. De la observación sobre el comportamiento de los procedimientos utilizados desde el punto de vista numérico, cabe señalar algunas conclusiones adiciona-les que pueden servir de recomendaciones a quienes quieran enfrascarse en la búsqueda de soluciones de este tipo: 1. Se observó que la rutina “fminsearch” puede con-

verger a soluciones bastante alejadas del mínimo global para algunos vectores de inicio.

2. Se optó por lo tanto en programar otro procedimien-to muy sencillo para evaluar el funcional IAE sobre una matriz tridimensional de resolución gruesa, construida dándole a cada parámetro siete valores distintos, elegidos de manera tal de cubrir todo el dominio a explorar en su correspondiente dimen-sión. Las doscientos cuarenta y tres simulaciones, realizadas en pocos minutos, nos permitió identifi-car la región donde podía ubicarse el mínimo glo-bal. Arrancando desde diversos vectores de inicio, ubicados todos en los linderos de la región identifi-cada, sí se observó consistencia del algoritmo en cuanto a la convergencia hacia el mismo mínimo.

3. El poder de cálculo que nos brinda MATLAB nos permitió la obtención de curvas de contorno del funcional IAE en el espacio paramétrico. Se obser-vó: que en el entorno alrededor del mínimo global el funcional es bastante sensible a las variaciones en el parámetro Td, cualquier ligero cambio en este

parámetro del controlador produce una variación apreciable en el funcional y la respuesta dinámica, no así en el caso de Kc y Tr. Esto lo que produce es superficies de contorno relativamente más elonga-das en dos dimensiones que en la correspondiente al parámetro de la acción derivativa. El mínimo glo-bal, más que en un valle redondeado, se ubica en un cañón [21, 22]. Ello explica que la búsqueda de este mínimo amerite en promedio unas trescientas simu-laciones, aun así y a pesar de lo que pudiera impre-sionar esta cifra, una vez montados y validados los procedimientos, en una computadora de escritorio la obtención del mínimo para un cambio de referen-cia o de carga no toma más de un cuarto de hora.

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Romero

1. INTRODUCCIÓN

Los aceros Microaleados conocidos como de alta resistencia y baja aleación (HSLA), son un gru-po de aceros de bajo contenido de carbono que

utilizan pequeñas cantidades de elementos aleantes para obtener esfuerzos de fluencia mayores que 275 MPa (40 Ksi) en la condición de laminados ó normalizados. La función principal de los ele-mentos aleantes en estos aceros, es de contribuir al



Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60 laminado en frío y sometido a un tratamiento térmico de recocido

César Angarita , Philippe Moewis, Laura Sáenz

Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela Email: [email protected]

Resumen

El comportamiento mecánico del acero microaleado X-60, se estudia cuando el material es laminado en frío con grados de deformación de 10, 20 y 30 %, y posteriormente tratado térmicamente; aplicándosele específicamente un recocido, a la temperatura de 700 ºC con tiempos de 10, 15 y 20 minutos. Dicho estudio contempló primeramente el análisis químico, el ensayo de tracción, microscopía óptica y microscopía electrónica de barrido para las condiciones originales, laminado en frío y con recocido; esto con el objeto de poder comparar los resultados obtenidos con la muestra original. Un incremento en las propiedades mecánicas de forma significativa se da en el material, el cual se hace más notable al aumentar el porcentaje de deformación. Este incremento mecánico se caracteriza por el aumento del esfuerzo de fluencia, la resistencia a la tracción, y la reducción de la ductilidad. En cuanto a las condiciones de recocido se da progresivamente la recuperación del material con relación a sus propiedades mecánicas, debido a la recristalización parcial que se produce, la cual se hace más satisfactoria para tiempos de recocido mayores de 15 minutos y para mayores grados de deformación en frío. En las condiciones de mayor deformación (20 y 30 %), existe un leve crecimiento de grano, destacando que es más evidente en la condición de mayor grado de deformación en frío.

Palabras claves: Acero microaleado, laminación, recocido, comportamiento mecánico.

Evaluation of the mechanical performance of a microalloyed stainless steel type X-60 cold deformation and recovery thermal treatment

Abstract

The mechanical behavior of microalloyed stainless steel X-60 were analyzed in the present work, when the material is cold rolled. The cold plastic deformation of 10, 20 and 30 % of their thinkness, followed by a thermal treatment at 700 ºC during 10, 15 and 20 minutes. The mechanical behavior is characterized through chemical analysis of its components, and the tension tests, optic microscope and scanning electronic microscopy. The microstructure obtained is ferrite-perlite. The properties mechanical of the samples were evaluated in the conditions as-received, cold-plastic deformation and thermal treatment material. When deformation is progressive increment for the application of the cold rolling deformation is observed the increase of the mechanical strength. It’s characterized for the yield strength and ultime tensile strength, and the reduction of the ductility. Partial recristaly is obtained when the time of recovery is lower at 15 minutes and when the deformation is increased. In the conditions when the material have more deformation (20 and 30 %), have a little growth of grain, it´s more evident in the condition when have more cold deformation.

Keywords: Microalloyed steel, cold deformation, recovery and mechanical behavior.


endurecimiento de la ferrita por medio del refina-miento de grano, endurecimiento por precipitación y endurecimiento por solución sólida. Este último está ligado ampliamente a los contenidos de aleación, mientras que los dos efectos anteriores a este, depen-den de los efectos del complejo diseño de aleación y de los tratamientos termomecánicos. Estos tienen mejores propiedades mecánicas y a veces mejor resistencia a la corrosión que los aceros al carbono laminados. Mas aún, debido a que el esfuerzo de fluencia de los aceros HSLA puede obte-nerse con menores contenidos de carbono, la soldabi-lidad de muchos de ellos es comparable a la del acero suave y hasta a veces mejor.

Los aceros HSLA también se proporcionan como chapas laminadas en frío y forjas. La principal ventaja de las forjas HSLA (como los productos HSLA laminados en caliente) es que los esfuerzos de fluencia en el rango de 275 a 485 MPa (40 a 70 Ksi) ó quizás mayores pueden alcanzarse sin un tratamiento térmico. Las composiciones base de estas forjas de ferrita-perlita microaleadas son comúnmente 0,3 – 0,5 % de carbono y 1,4 – 1,6 % de manganeso. Tam-bién han sido desarrolladas las forjas de acero HSLA bainíticas de bajo carbono [1-3]. En el presente trabajo se establece como objeti-vo determinar como influye el tratamiento térmico de recocido sobre las propiedades mecánicas del acero microaleado de fabricación nacional denominado tipo X-60 laminado en frío y recocido. A continuación se presentará un resumen acerca de los aceros microa-leados.

2. ACEROS MICROALEADOS Los aceros HSLA son principalmente lamina-dos en caliente en las formas de productos forjados (chapas, láminas, barras, planchas y secciones estruc-turales) y se proporcionan comúnmente en la condi-ción de laminados en caliente. Sin embargo, la pro-ducción de aceros HSLA laminados en caliente tam-bién puede incluir un procedimiento especial de la-minación denominado “hot mill” que adicionalmente mejore las propiedades mecánicas durante su fabrica-

ción. Este procedimiento incluye: Laminación contro-lada, enfriamiento acelerado, de templado o enfria-miento rápido al aire o enfriamiento al agua de aceros de bajo carbono, el normalizado, y de recocido inter-crítico.

• Laminación controlada: De endurecimiento por precipitación de los aceros HSLA para obtener un grano austenítico fino y/o grano austenítico alta-mente deformado [3-5], esto produce que el en-friamiento se transforme en granos ferríticos finos que mejora la tenacidad y el esfuerzo de fluencia.

• Enfriamiento acelerado: En los aceros HSLA de

laminación controlada para producir un grano ferrítico fino durante la transformación de la aus-tenita. Estas velocidades de enfriamiento no pue-den ser tan rápidas como para precipitar ferrita acicular, ni tampoco puede ser tan lenta que puede causar un sobreenvejecimiento por precipitación.

• De templado o enfriamiento rápido al aire o en-

friamiento al agua de aceros de bajo carbono (<0,08 %C). Poseen una adecuada templabilidad a transformar bainita los aceros de bajo carbono (ferrita acicular). Esta microestructura ofrece una excelente combinación de alto esfuerzo de fluen-cia (275-690 MPa ó 60-100 Ksi) excelente solda-bilidad, formabilidad y alta tenacidad controlando el laminado si es necesario para bajar la tempera-tura de transición.

• El normalizado: De los aceros HSLA conteniendo

vanadio, para refinar el grano mejorando la tena-cidad y el esfuerzo de fluencia.

• De recocido intercrítico: De los aceros HSLA,

para obtener una microestructura de doble fase (matriz ferrítica con martensita dispersa). Esta microestructura causa una disminución del esfuer-zo de fluencia, pero su capacidad de endureci-miento por deformación suministra una buena combinación de ductilidad y esfuerzo máximo y mejora la formabilidad.

La utilidad y la efectividad de costo de estos métodos de proceso son altamente dependientes de la forma de producto y del contenido de aleación.

Angarita, Moewis y Sáenz

Especificaciones y categorías de los aceros HSLA [1] Los aceros de alta resistencia y baja aleación incluyen muchas normas y poseen distintos grados diseñados para proporcionar combinaciones específi-cas de propiedades tales como esfuerzo, tenacidad, deformabilidad, soldabilidad y resistencia a la corro-sión atmosférica. Estos aceros no son considerados aceros aleados, aún cuando sus propiedades deseadas se alcancen mediante el uso de pequeñas adiciones de aleantes. En lugar de esto, los aceros HSLA se clasi-fican como categoría separada, la cual es similar al acero de medio carbono laminado con propiedades mecánicas acrecentadas obtenidas mediante la juicio-sa (pequeña) adición de aleantes y quizás las técnicas especiales de procesos tales como la laminación con enfriamiento controlado.

Aunque los aceros HSLA se consiguen en nu-merosas normas y combinaciones, los aceros HSLA pueden dividirse en las siguientes categorías: • Aceros para la exposición a la intemperie. • Aceros microaleados ferríticos-perlíticos. • Aceros estructurales perlíticos laminados. • Aceros de ferrita acicular (bajo carbono bainita). • Aceros de doble fase. • Aceros controlados en el perfil de inclusión. • Aceros resistentes al agrietamiento inducido por

hidrógeno. Solo se hará referencia a los aceros del tipo ferrítico perlíticos ya que son los utilizados en el pre-sente trabajo [3-6]. Aceros microaleados ferrítico-perlítico Contienen pequeñas cantidades de elementos formadores de carburos o carbonitruros (generalmente < 0,10 %), tales como el niobio, el vanadio y/o titanio para el endurecimiento por preci-pitación, refinamiento de grano y posiblemente con-trol de la temperatura de transformación. Las propie-dades mecánicas pueden incrementarse y mejorar la microestructura mediante la adición de manganeso y silicio [2-6].

Usando pequeñas cantidades de elementos aleantes como el niobio y el vanadio se puede incre-mentar el esfuerzo del acero laminado en caliente sin aumentar el contenido de carbono y/o manganeso. Estos aleantes en cantidades menores al 0,10 % forta-lecen los aceros estándar al carbono-manganeso sin interferir en sus procesos. Entonces el contenido de carbono puede ser reducido para mejorar la soldabili-dad y la tenacidad debido a los efectos fortalecedores del niobio y vanadio compensados por la reducción en el esfuerzo debido a la reducción del contenido de carbono. El refinamiento de grano mediante el condicio-namiento de la austenita con métodos de laminación con enfriamiento controlado ha dado como resultado una mejora en la tenacidad y en los esfuerzos de fluencia, de 345 a 620 MPa (50 a 90 Ksi) [3-6]. El alto esfuerzo de fluencia se alcanza a través del efecto combinado del tamaño de grano fino desarrollado durante el laminado en caliente controla-do y el endurecimiento por precipitación debida a la presencia del vanadio, niobio y titanio. Ejemplos es-pecificados de acuerdo a las normas: SAE J410, SAE J 1392, SAE J 1442, ASTM A-242, A-606, A-715 [6].

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

El material utilizado es un acero microaleado tipo X-60 fabricado por un proceso de laminación en caliente, en forma de plancha de 15 mm de espesor fabricado por SIDOR cuya composición química es especificada en la Tabla 1 y comparada con el % en peso máximo exigido por las especificaciones de la Norma ASTM A 709. El acero microaleado es sometido a un proceso de laminado en frío, con grados de deformación de 10, 20 y 30% respectivamente y posteriormente es tratado térmicamente, aplicándosele específicamente un tratamiento de recocido a la temperatura de 700 ºC con tiempos de 10, 15 y 20 minutos respectivamente. Dicho estudio contempló ensayos de: tracción, microscopia óptica y microscopia electrónica de barri-do. Se evaluó el material en su condición original, laminado en frío y luego de laminado y recocido.


Evaluación del comportamiento mecánico de un acero microaleado X-60


Ensayo de tracción El ensayo de tracción evaluado en la máquina marca Galdabini de capacidad 20 toneladas permitió evaluar el comportamiento del material bajo la acción de cargas estáticas. Durante el ensayo se somete a una probeta de dimensiones especificadas según la norma ASTM A 370, a una fuerza de tensión axial suficien-temente lenta, para que las partes de las probetas estén en equilibrio en todo instante. A su vez se registro los diferentes alargamientos de la misma con relación a una longitud inicial, hasta llegar a la ruptura. Se utilizaron tres (3) probetas planas por cada condición de ensayo. A través del ensayo de tracción se determinaron las siguientes propiedades del mate-rial: Esfuerzo de fluencia, σy0,2%, resistencia a la trac-ción, σmáx, esfuerzo de ruptura, σrup, ductilidad medida a través de el % de elongación, %e, y el % de reduc-ción de área, % RA, y coeficiente de endurecimiento del material, n.

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN La muestra del acero microaleado fue preparada metalográficamente y atacada con Nital al 2 % ( 2 % de ácido nítrico diluido en 98 % de alcohol etílico), para observar el tipo de microestructura, encontrándo-se en el análisis de microscopia óptica la presencia de una microestructura ferrítico-perlítica, como puede ser observado en la Figura 1. Con respecto a cómo afecta la deformación en frío al material se observa un alar-gamiento del grano a medida que se incrementa el porcentaje de deformación.

En la Figura 1 (a, b, y c) se puede observar que bajo las condiciones de recocido en base a la deforma-ción en frío del 10 %, no muestran tendencia a la recristalización, lo cual se puede atribuir a que los

tiempos de recocido establecidos no permiten desarro-llar ni siquiera recristalización parcial en el material. Debido a esto se puede decir que se da sólo la etapa de recuperación o restauración inicial. Los valores de las propiedades mecánicas eva-luadas a través del ensayo de tracción del material original y el material tratado, son presentados en la Tabla 2. Se puede observar un incremento en las pro-piedades mecánicas de forma significativa, el cual se hace más notable al aumentar el porcentaje de defor-mación, como es sabido la densidad de dislocaciones aumenta a medida que aumenta la deformación en frío del material, generando el endurecimiento por defor-mación del material y como consecuencia el aumento de la resistencia mecánica del material. Este incre-mento mecánico es caracterizado por el aumento del esfuerzo de fluencia y la resistencia a la tracción, así como la reducción de la ductilidad, evaluada a través del % de reducción de área y el porcentaje de elonga-ción. En las condiciones de recocido se da progresi-vamente la recuperación del material, con relación a sus propiedades mecánicas, debido a la recristaliza-ción parcial que se produce, la cual se hace más satis-factoria para tiempos de recocido mayores de 15 minutos y para mayores grados de deformación en frío, como se puede observar en las Figuras 2, 3 y 4. En las condiciones de mayor deformación (20 y 30 %), existe un leve crecimiento de grano que se da en poca proporción y que pudiera contribuir a una dispersión parcial del alargamiento granular, desta-cando que es más evidente en la condición de mayor grado de deformación en frío, siendo así la más signi-ficativa ( Ver Figura 1). La laminación en frío provoca en el material, el decrecimiento del coeficiente de endurecimiento por deformación, disminuyendo así, la capacidad del acero para ser deformado plásticamente como se pue-de observar en los resultados expuestos en la Tabla 2.

Elemento C Ni Mo Cu P Al Cr Mn S Si

% Peso Experimental 0,175 0,013 0,001 0,009 0,05 0,003 0,005 0,63 0,01 0,23

% Peso máx. especi-ficado en Norma

ASTM A 709 0,26

---

---

---

0,04

---

---

1,35

0,05

0,40

Tabla 1. Composición química del acero microaleado X-60.



10 µm

f) Deformación en frío al 20 % y recocido por 20 minutos.

10 µm

e) Deformación en frío al 20 % y recocido por 15 minutos.

10 µm

i) Deformación en frío al 30 % y recocido por 20 minutos.

10 µm

h) Deformación en frío al 30 % y recocido por 15 minutos.

10 µm

g) Deformación en frío al 30 % y recocido por 10 minutos.

d) Deformación en frío al 20 % y recocido por 10 minutos.

10 µm

10 µm

b) Deformación en frío al 10 % y recocido por 15 minutos.

10 µm

c) Deformación en frío al 10 % y recocido por 20 minutos.

Figura 1. Microscopía óptica del acero X-60 en su condición de deformado en frío y tratado térmicamente a 700 ºC.

10 µm

a) Deformación en frío al 10 % y recocido por 10 minutos.



La condición de laminación en frío con 30 % de deformación, y en las condiciones de recocido (tiempos de 10, 15 y 20 minutos) se da el reestableci-

miento de las propiedades mecánicas en el acero mi-croaleado X-60, ya que estas alcanzan valores muy próximos a los que el material posee en condición

0

100

200

300

400

500

600

0 10 15 20

Tiempo de recocido (min)

Esf

uerz

o (M

Pa)

10

20

30

40

50

60

Duc

tilid

ad

Resistencia a la tracción

Esfuerzo de fluencia

% de reducción de área

Elongación

Figura 3. Variación de las propiedades mecánicas del acero microaleado X-60 en función del tiempo de recocido realizado a 700 ˚C, después de deformado en frío. Deformación en frío al 20 %



0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 10 15 20Tiempo de Recocido (min)

Esf

uerz

o (M

Pa)

0

10

20

30

40

50

60

70

Duc

tilid

ad

Esfuerzo de FluenciaResistencia a la TracciónReducción de AreaElongación

original. Cabe destacar que se producen recristaliza-ciones parciales, evidenciadas mediante el estudio metalográfico (Ver Figuras 2, 3 y 4). En la condición de 30 % de laminación en frío a partir de 10 min de recocido presenta el mayor inter-valo de recuperación de ductilidad, representados por el porcentaje de elongación y el porcentaje de reduc-ción de área, en comparación a las demás condiciones de laminación y recocido. Las condiciones de recocido en base a la deformación en frío del 10 %, (Ver Figura 2) no parcial en el material. Debido a esto se puede decir que se da sólo la etapa de recuperación o restauración inicial. Microscopia electrónica de barrido Las superficies de fractura de las probetas de tracción fueron observadas a través del microscopio electrónico de barrido, a nivel general el material pre-senta en mayor proporción, características dúctiles en la superficie de fractura de las probetas de tracción, las cuales pueden atribuirse al tratamiento de recoci-

do aplicado. Encontrándose que el mecanismo de fractura es del tipo coalescencia de cavidades, caracte-rizado por la presencia de hoyuelos de pequeños diámetros y coalescencia de cavidades.

5. CONCLUSIONES

La condición de 30 % de laminación en frío a partir de 10 min de recocido presenta el mayor rango de recuperación de ductilidad, representados por el porcentaje de elongación y el porcentaje de reducción de área, en comparación a las demás condiciones de laminación y recocido. Estos intervalos son de 10,2-34,7 % y 41,92-57,87 % respectivamente. Para el mayor grado de deformación en frío (30 %), se tiene un incremento en el esfuerzo de fluencia del 100,44 % y un 39,14 % para la resisten-cia a la tracción, en comparación a la condición origi-nal. Las condiciones de recocido en base a la defor-mación en frío del 10 %, no muestran tendencia a la recristalización, lo cual se puede atribuir a que los tiempos de recocido establecidos no permiten


0

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Tiempo de recocido (min)

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uerz

o (M

Pa)

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30

40

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70

Duc

tilid

ad

Resistencia a la tracción

Esfuerzo de f luencia

% de reducción de área

Elongación




desarrollar ni siquiera recristalización parcial en el material. Debido a esto se puede decir que se da sólo la etapa de recuperación o restauración inicial. A nivel general el material presenta en mayor proporción, características dúctiles en la fractura de las probetas de tracción, lo cual puede atribuirse al tratamiento de recocido aplicado. A partir de los 15 min. de recocido, se observa un leve crecimiento de grano en ciertas regiones del material, lo cual es consecuencia de la recristali-zación parcial producida. Esto es específicamente para las condiciones de 20 y 30 % de deforma-ción en frío mediante el proceso de laminación. La laminación en frío provoca en el mate-rial, el decrecimiento del coeficiente de endureci-

miento por deformación, disminuyendo así, la capa-cidad del acero para ser deformado plásticamente.

RECONOCIMIENTOS Los autores reconocen al Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la Universidad de Cara-bobo por el financiamiento al proyecto CDCH-99-03.

REFERENCIAS [1] T. Gladman The Physical Metallurgy of

Microalloyed Steels, The Institute of Materials, UK(1997).

Condición

σ0 (MPa)

σy0,2% (MPa)

σmax (MPa)

σrup (MPa)

RA (%)

e (%)

n

Original

285,7 300,4 565 433,7 61,7 30 0,35

laminado al 10 %

414,5 428,6 505,7 392,5 55,9 15,3 0,13

laminado al 20 %

480,6 534,2 565,1 429 52,0 12,2 0,11

laminado al 30 %

551,4 604 635,3 497,4 42 10,2 0,12

laminado al 10 % + recocido a 700 °C por

10 min

347,8

351,3

545,7

412,4

59,4

20,5

0,25


15 min

305,1

319,7

536,8

402,3

55,8

27,1

0,31


20 min

271

346,3

567,6

450,5

58,84

28,6

0,24


10 min

378,8

399

570

438,5

56,2

25

0,24


15 min

383,3

407,4

560,5

437,8

57,5

26,2

0,29


20 min

397,2

406

574,8

445,2

55,6

27,4

0,26


10 min

244,5

313,1

570,7

438

57,9

35,2

0,38


15 min

246,5

304,2

559,3

427,2

59,8

36,1

0,40


20 min

247

290,4

549,4

418,9

59,4

38,1

0,37

Tabla 2. Propiedades mecánicas del acero microaleado X-60.


[2] Johannes Richter, Albert Guth, Alfred kothe and Gunter Backmann. Influence of Manganesee and Si contents on structure and mechanical propertyties of ferritic- pearlitic HSLA Steeels. (1993) Materials Technology. Steel Research 64 N°5 p.p. 267-274.

[3] F. Peñalba, Garcia de Andrés, F. Carsi, F. Zapirain. Austenite grain size evolution and continues cooling transformation diagrams in vanadium and titanium microalloyed steel. Journal of materials

Science 31 (1996), p.p. 3847-3852.

[4] N. Gao and T.N. Baker. Austenite Grain growth behavior of microalloyed Al- V- Ti-N Steels. ISIJ International, vol 38 (1998) N° 7 p.p.744-751.

[5] O. Flores, L. Martínez. Anormal grain of Austenite in a V-Nb Microalloyed Steel. Journal of Materials Science 32 (1997) p.p.5985-5991.

[6] F.B. Pickering (1978) Physical Metallurgy and the Design of Steels, cap. 4, Ed. Applied Science Publishers, Essex.





Determinación de la disminución del rendimiento global de una bomba centrífuga por concepto de desgaste en su carcasa

Luis E. Vallés D., Trina G. Cortez M.


Resumen

Puesto que en la actualidad no existe suficiente información acerca de la evolución del desgaste en la carcasa, no se conoce el comportamiento de las variables operativas incluyendo el rendimiento global en función a este fenómeno; es por ello que la presente investigación se plantea como objetivo principal la determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba centrífuga por concepto de desgaste en su carcasa. Para el logro de tal objetivo, se realizaron ensayos que permitieron simular tal proceso, observando al mismo tiempo el comportamiento de las variables operativas, empleando para ello una bomba marca KSB modelo ETA 32-200, ya que estas bombas son muy utilizadas a nivel industrial. Los resultados arrojaron, para el caudal nominal del equipo, una disminución del rendimiento global desde 44,74 % hasta 41 % lo que representa una caí-da de un 8,36 % respecto a su valor inicial, así como una disminución neta de la altura efectiva de 3,11 m.c.a y un aumento considerable de la potencia de accionamiento. El desgaste que afectó la carcasa es de tipo abrasión por arranque, y provocó la pérdida del 3 % del peso inicial la carcasa. Palabras claves: Carcasa, rendimiento, desgaste, bomba centrífuga, altura efectiva.

Determination of the global yield decrease of a centrifugal

pump due to casing wear

Abstract Since now, there is not enough information about the casing wear evolution, the operative variable behavior does not know including the global yield in function to this phenomenon; wherefore the main objective of the present investigation is the determination of the global yield decrease that a centrifugal pump presents for the wear concept in its casing. To get this objective, rehearsals carried out, which allowed simulating the process, observing the operative variables behavior at the same time, using a marks KSB model ETA 32-200 pump, since these pumps are very utilized at industrial level. The results hurtled a global yield decrease for the nominal flow of the equipment from 44.74 % to 41 %, what represents a fall of 8.36 % with respect to the initial value, as well as a net decrease of the effective height of 3.11 m.c.a and a considerable increase of the working power. The wear that affected the casing is an outburst abrasion type, and it caused the loss of 3 % of the casing initial weight. Keywords: Casing efficiency, wear, centrifugal pump, dynamic head.

1. INTRODUCCIÓN

Las empresas poseen una imperiosa necesidad de asegurar su futuro, dentro de ellas se llevan a cabo procesos en los cuales están involucrados equipos que en la mayoría de los casos, no se tiene conocimiento de cómo ni cuándo acarrearán problemas. El desgaste es una de las principales causas, que hace necesario el mantenimiento de la maquinaria

industrial. Comparado con los otros dos problemas que ocasionan el reemplazo de máquinas y/o sus com-ponentes como son la fatiga y la corrosión, el desgaste ha sido el menos estudiado y probablemente sea por esta razón, que aún no se ha constituido un cuerpo de conocimientos racional que permita predecirlo con cierto grado de exactitud. La situación de Venezuela en los últimos años

ha llevado a que se le dé una importancia creciente al estudio del desgaste ya que este proceso degenerativo es prácticamente inevitable, dañino en muchos casos pero reducible. En los momentos actuales parece más adecuado dirigir esfuerzos hacia la prolongación de la vida útil de los elementos de máquinas, antes que a la fabricación intensiva de piezas de reposición. En la actualidad las bombas centrífugas confor-man las piezas claves de la mayoría de los sistemas para manejo de fluidos; y por ser máquinas dinámi-cas, conformadas por una parte rotatorias y otra fija, forman parte de aquellos equipos cuyos componentes son bastante susceptibles a desgaste. Por todo lo anterior, el hecho de estudiar el fenómeno de desgaste en una bomba centrífuga, espe-cíficamente de su carcasa, constituye un aporte im-portante a la necesidad de obtener un mejor rendi-miento de las superficies susceptibles de desgaste en las bombas, a la determinación de las causas de este fenómeno y predicción de sus consecuencias. La pre-sente investigación espera determinar el efecto del desgaste de la carcasa sobre el rendimiento y funcio-nalidad de la bomba a través de la observación de las curvas características a lo largo del proceso de desgaste.

2. METODOLOGÍA Desarrollo de la solución En el presente trabajo se hace referencia al diseño del procedimiento a seguir, desde los ensayos, el banco de ensayos y el procesamiento de los datos recolectados. Luego se procederá al análisis de los resultados obtenidos en esta etapa, y efectuar conclu-siones y establecer las respectivas recomendaciones. Descripción del banco de pruebas Esta sección estará dedicada a la descripción detallada del banco de pruebas donde están instala-das las bombas requeridas para la realización de los ensayos. Es importante destacar que este banco de pruebas ya ha sido utilizado en el desarrollo de ensa-yos para estudios de desgaste, en otros componentes de la ETA 32-200; por lo cual dispone de las tomas y conexiones necesarias para la instalación de los ins-

trumentos de medición de las diferentes variables que se medirán durante el proceso de desgaste de la car-casa. Todos los instrumentos de medición a emplear en el banco de ensayos, son los mismos seleccionados Por las investigaciones previas desarrolladas en el mismo, considerando los cálculos, criterios y normas correspondientes [1, 2]. Los sistemas A y B están conformados por los mismos componentes, la única diferencia es el fluido de trabajo. Tales componentes son: (a) conjunto bom-ba-motor, (b) fluido de trabajo, (c) base del banco sobre la cual se instalará el conjunto, (d) tanque de almacenamiento para el fluido de trabajo, (e) circuito hidráulico compuesto por la tubería de succión y tubería de descarga, accesorios, válvula de control de fluido, (f) instrumentación [3]. Conjunto bomba motor El tipo de bomba con la cual se hará el estudio es una bomba centrífuga para manejo de agua limpia, específicamente de la casa fabricante de estos equipos KSB, modelo ETA 32-200 con motor de 15 HP a 3.500 rpm. Las dimensiones principales y los caudales nominales de las bombas de baja presión de la serie ETA construidas por KSB corresponden a las normas DIN 24 255. Circuito de succión y descarga El circuito hidráulico es de succión negativa; consta de un tramo de elevación de succión ( 2"), compuesto de una válvula check para mantener la ceba y una toma de presión para ser conectada a un vacuómetro (0-30"Hg.), el cual mostrará la presión en la succión de la bomba. En el tramo de descarga ( 1¼") se encuentra una toma de presión que se conectará a un manómetro (0-12 bar) que registrará la presión de descarga de la bomba, al final de la tubería de descarga se coloca una válvula para el control del caudal manejado por la bomba [4]. Selección de los instrumentos de medición Mediante el banco de ensayos se podrá deter-minar las magnitudes de las variables hidráulicas de


Determinación de la disminución del rendimiento global que presenta una bomba

φ

φ

funcionamiento de la bomba centrífuga, tales como: altura efectiva, potencia de accionamiento, rendimien-to global. Para ello se hace necesario medir las varia-bles involucradas que permitan determinar dichas variables hidráulicas fundamentales por lo que se harán las mediciones de: presión a la descarga, presión en la succión, velocidad del fluido, temperatu-ra del fluido, velocidad de giro del motor, voltaje, intensidad de corriente y factor de potencia [5]. Cada instrumento tiene límites de mediciones tales, que los valores donde se va a mover la variable estén entre un 60 % a un 80 % del intervalo del instru-mento, de esta manera se busca seleccionar el instru-mento que proporcione la mejor apreciación posible. Presión Las presiones que se requieren medir son la presión en la succión y la de descarga de la bomba. Para el caso de la succión se requiere de un vacuóme-tro (0-30 "Hg) debido a que, de acuerdo a la ubicación de esta tubería respecto a la bomba, se tiene una elevación de succión y por ende la presión en la succión de la bomba será menor que la atmosférica, es decir, una presión de vacío. Se debe tener en cuenta que la máxima presión manométrica de succión o vacío, de acuerdo con los cálculos realizados al momento de diseñar el banco y seleccionar los instrumentos a emplear en él, es de 0,196 bar por debajo de la presión atmosférica. De acuerdo con esto se empleará en la succión un vacuó-metro tipo Bourdon marca Bourdon Sedeme. Para establecer la posición más apropiada en la cual debe instalarse o colocarse el instrumento, se considera la norma ASME PTC 8.2 - 1990; de acuer-do con la sección 4 párrafo 4.7 de esta norma, se tiene que "los instrumentos para medir presión deben ser colocados a una distancia mínima de la succión de la bomba de dos veces el diámetro de la tubería". Para el caso de la descarga se empleará un ma-nómetro, ya que como es de esperarse la presión en este punto es mayor que la presión atmosférica. Para la selección de este instrumento es necesario conocer el valor máximo de presión que puede presentarse en este punto. De acuerdo con las características y espe-cificaciones de la bomba, el valor máximo de presión

a la descarga de la misma es de 8,5 bar (125 psig). Debe prevenirse el efecto que puede ocasionar la vibración en este instrumento, para ello se requiere que el mismo contenga glicerina. A partir de lo anterior se selecciona un manó-metro (0-12 bar) tipo Bourdon con glicerina. Para determinar la colocación del manómetro se hace referencia a la norma ASME PTC 8.2-1990, al igual que en el medidor de presión de succión. Caudal Para la selección del medido de caudal uno de los aspectos más importantes a considerar es el caudal o los caudales que manejarán cada una de las bombas del sistema. Conocer con la mayor exactitud los valo-res de esta variable es importante, dado que indica en que punto de la curva del equipo, se está trabajando. Para la etapa de los ensayos en que se produce el des-gaste de la carcasa, con la bomba A del banco de en-sayos, se trabajará en un entorno del punto de máximo rendimiento de ± 5 %, es decir (16 m³/h ± 0,8 m ³/h). Para la etapa de medición de las variables operativas en la bomba B del banco de ensayos, se tomará la lec-tura de las mismas para los caudales establecidos en el Manual para ensayo de performance de KSB, también con una tolerancia de ± 5 % para cada caudal [6-8]. Debido a que el fluido que maneja el sistema es una mezcla de agua y arena se debe utilizar un méto-do especial de medición, ya que dicha mezcla es alta-mente abrasiva, se hace necesaria la selección de un medidor de velocidad de flujo de colocación externa a la tubería (normas ASTM PTC 8.2-1990, aparte 4.25). Por lo anterior, se elige un medidor de caudal tipo Doppler. Temperatura Se quiere conocer no sólo la temperatura del fluido, sino también la temperatura superficial de la bomba y del motor. Para el caso del primero, se empleará un termómetro fijo colocando en el tanque de almacenamiento y un termómetro móvil para conocer la temperatura a la cual opera el equipo de bombeo en los sitios más importantes como son la carcasa de la bomba y la caja de rodamientos [9]. Para medir la temperatura del fluido se colocará


Vallés y Cortez

un termómetro en el tanque de almacenamiento ya que dentro del mismo la temperatura se hace más uniforme. Para la selección de este instrumento se considera que la temperatura máxima que podría, en un caso extremo, alcanzar el fluido es de 100 °C.

Para determinar la temperatura del equipo de bombeo (bomba y motor) se utilizará un pirómetro de radiación. Este instrumento presenta la ventaja que con él se pueden realizar mediciones sobre cualquier superficie. Velocidad de giro del motor (rpm) Para determinar la velocidad a la cual gira el motor en conjunto con la bomba se empleará un tacómetro de contacto que requiere estar fijo al eje de rotación [10]. Potencia eléctrica Para conocer con exactitud la potencia de accionamiento, sería conveniente realizar la calibra-ción del motor, es decir, instalarlo en un equipo capaz de medir el tanque en el eje y la velocidad de giro del mismo a fines de obtener esta potencia y con ello determinar el rendimiento global de la bomba. Sin embargo, ésta representa una limitación ya que la Universidad de Carabobo actualmente no cuenta con este equipo para motores de 15 hp y realizar este procedimiento fuera de las instalaciones de la Univer-sidad resultaría excesivamente costoso. Para determinar la potencia eléctrica consumida por el motor se empleó un transformador de corriente para llevar la corriente de una línea que está por orden de los 37 A (según especificaciones del motor a 220 v), a una corriente que soporte el instrumento de medición (5A) que para este caso será cofímetro que en conjunto con un amperímetro y un voltímetro, suministrarán información para determinar la potencia eléctrica consumida por el motor a través de la ecua-ción.

3. DETERMINACIÓN DE LA MEZCLA DE

AGUA Y ARENA

En el campo de la investigación de bombas cen-

trífugas, se ha observado la utilización de una mezcla de agua y arena para producir el desgaste acelerado de los componentes del equipo de una manera progresiva y uniforme. Por lo general predomina el uso de dos tipos de arena, un tipo de arena de cuarzo (arena de montaña) y otro tipo de arena de sílice (que se utiliza para realizar los moldes en los procesos de fundición). Investigaciones anteriores [3], en las cuales se simuló el desgaste progresivo del impulsor de este mismo tipo de bomba mediante condiciones de traba-jo real, se realizó una comparación entre los dos tipos de arena anteriormente mencionadas basándose en parámetros como dureza, resistencia a la fricción, facilidad de adquisición y bajos costos. De esta mane-ra se consideró mas apropiado para acelerar el desgas-te, el uso de arena de sílice en comparación con la de cuarzo ya que posee un tamaño de partícula que com-prende los valores de dureza y resistencia a la fricción capaces de resistir el trabajo frente a las propiedades del material de la carcasa, además de ser más accesi-ble su adquisición, que la arena de cuarzo. El tamaño de partícula está basado en estudios de tribometría donde se establece un diámetro mínimo de 0,186 mm y un diámetro máximo de 1 mm. Con este tamaño de partícula, en la mencionada investiga-ción [3] se estableció que una concentración de 5 % (masa/volumen) es apropiada para acelerar el proceso de desgaste en las condiciones de funciona-miento dadas. Los valores de diámetro de partícula de arena se sílice que usará para la preparación de la mezcla están entre 0,21 mm como valor mínimo y 0,85 mm como valor máximo puesto que se cuenta con tamices ASTM N° 70 Y N° 20; los demás tamices de número mayor o inferior a éstos dan un diámetro de partícula que sale del rango recomendado. El cálculo del peso (Kg) de arena necesaria para lograr una concentración del 5 % se realizó en función de la cantidad de agua en el tanque de almacenamien-to. Este volumen de agua dada la geometría del tanque, es de 0,52 m³ lo que es igual a 520 Kg de agua, por ende si la cantidad de agua representa el 95 % de la masa total de la mezcla, entonces la mez-cla tiene una masa total de 548 Kg. La diferencia entre la masa total de la mezcla y la masa de agua

a 3 ( ) motP IVcos φ η=



(1)

sería por ende la masa de arena, teniendo así una can-tidad de arena necesaria igual a 28 Kg.

4. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA

CARCASA De acuerdo con investigaciones previas [5] a lo largo del proceso de desgaste, la superficie de la carcasa va perdiendo material, lo cual hace que ésta adquiera un aspecto físico importante, típico del tipo de desgaste que se presenta. A fines de obtener la mayor cantidad de infor-mación acerca del mencionado fenómeno, se realizará el pesaje de la carcasa en condiciones iniciales y al final de cada período de trabajo para desgaste; es decir, al momento en que está nueva, luego a las 12, 24, 36, 48 y 60 horas de trabajo. Esto permitirá cono-cer la cantidad de material de carcasa perdido durante todo el proceso, para lo cual se utilizará una balanza marca OHAUS con capacidad de Kg y apreciación de 1 gramo. Medición del espesor de pared Otra variable que permite obtener información acer-ca del efecto del desgaste a lo largo de la carcasa es el espesor de pared de la misma. Si la carcasa pierde peso por efecto del desgaste, esta pérdida se reflejará en la variación del espesor de pared. Las mediciones de tal variable, se realizarán al inicio (0h) y al final (60h) del proceso de desgaste. Para establecer los puntos donde se evaluará el espesor de pared, se realiza una división imaginaria de la carcasa en tres regiones o circunferencias diferentes las cuales a su vez se subdividen en zonas tal como se muestra en la Figura 1; esto permitirá observar la tendencia de esta variable a lo largo y ancho de este componente. Como puede verse en la Figura 1 la carcasa se divide en tres regiones denotadas como R1, R2 y V, a su vez cada una de éstas se subdivide en siete zonas diferentes denotadas como Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6 Y Z7. De todas las zonas de cada una de estas regiones se tomará un punto particular (P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7) y se evaluariá siempre en el mismo punto el espe-sor de pared a las 0 y 60 horas de trabajo.

Figura 1. División de la carcasa para la ubicación de los

puntos donde se evaluó el espesor de la pared. Esto permite comparar el grado de severidad del desgaste a lo largo de los 360° de la carcasa en sentido del recorrido del flujo (Figura derecha) y a lo ancho de la misma (Figura izquierda). Las mediciones se realizaron empleando un medidor ultrasónico. Los valores de espesor de pared se tabularon en un formato especialmente diseñado para tal fin que se muestra en la Figura 2. Figura 2. Formato para la medición del espesor de la pared

de la carcasa a lo largo del proceso de desgaste. 5. OBSERVACIÓN DE LAS HUELLAS QUE

SE FORMAN EN LA SUPERFICIE INTERNA DE LA CARCASA PRODUCTO

DE DESGASTE

Otro aspecto importante para el análisis del des-gaste en la carcasa, es la observación del aspecto que adquiere la superficie interna de la misma durante este proceso. Tal observación se basará en la realización de una impresión sobre papel de la superficie a lo


Vallés y Cortez

largo de toda la circunferencia interna de la carcasa una vez terminado cada intervalo de trabajo, tal como se muestra en la Figura 3, empleando para ella una pieza graficada que permita marcar las "huellas" que se producen por efecto del fenómeno de desgaste. La observación de esta superficie conllevará al establecimiento del tipo de desgaste que se presenta en la misma. Además de esto, este procedimiento permitirá observar si la geometría y tamaño de la huella que se forma por efecto del desgaste sobre la superficie interna de la carcasa es uniforme o si es variable a lo largo de los 360°.

Figura 3. Impresión de la huella que se forma en la

superficie interna de la carcasa por efecto del desgaste.

6. DISCUSIÓN DE RESULTADOS Evolución de las curvas de funcionamiento durante el proceso de desgaste Una vez realizado cada ensayo, se procedió al levantamiento de las curvas de las variables operati-vas: altura efectiva (H), potencia de accionamiento (Pa) y rendimiento global (η). Los datos recolectados se procesaron en un programa diseñado en Microsoft Excel, el cual se basó en los cálculos del procedimien-to para ensayo de performance establecido por KSB fundamentado en las Normas del Instituto de Hidráu-lica Nivel B. Curvas H vs. Q Como puede notarse en el gráfico los valores de H para un mismo caudal tienen a disminuir a medida que aumenta el tiempo de desgaste. Este comporta-miento obedece al hecho de que al aumentar el des-gaste en la carcasa: 1) aumenta el caudal de recircula-ción; y puesto que la energía que se le comunica a este caudal no es aprovechada, se tienen entonces ma-

yores pérdidas volumétricas. 2) aumenta el choque entre sí de las partículas del fluido ya que se originan torbellinos debido a la deformación de la superficie interna de la carcasa; esto se traduce en un incremento de las pérdidas hidráulicas, las cuales disminuyen la energía específica útil que la bomba comunica al flui-do, es decir, la altura efectiva. De acuerdo con la ecuación de Euler, se tiene que en los rodetes centrífugos, la cantidad de energía transferida al fluido la determinan las condiciones cinemáticas a la salida del rodete (U2, B2, A2, Q). Si para un mismo caudal a lo largo del proceso de desgaste, la velocidad de giro rpm fue más o me-nos constante y por ende la velocidad tangencial en la salida U2 también; y manteniendo el mismo impulsor, por lo cual fue constante el área de la sección de sali-da A2 y el ángulo del alabe en la salida, entonces se deduce que la variación en el valor de H que muestra la Figura 4 es producto del desgaste de la car-casa.

Figura 4. Curvas de comportamiento de la altura efectiva durante el proceso de desgaste.

Para el punto de caudal nulo o shutt-off, la disminución de la altura efectiva responde al aumento de las holguras internas por efecto del desgaste, como por ejemplo la holgura entre el ojo del impulsor y la succión de la carcasa, aumenta por efecto del desgaste del anillo de desgaste lo que hace aumente el caudal de recirculación. La Figura 5 muestra los valores de altura efectiva para el punto de caudal nulo, durante el proceso de desgaste de la carcasa.


1eH U

g⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠


56

48

36

24 12

0

(2)

Horas

Para el valor de caudal nominal de la bomba (16 m³/h) la altura efectiva, durante todo el proceso de desgaste de la carcasa, (desde que está nueva hasta el momento en que falla), disminuye de 76,67 m.c.a. a 73,56 m.c.a, esto es, cae 3,11 m.c.a. lo que representa 4,05 % de su valor inicial.

Figura 5. Curva de comportamiento de la altura efectiva para caudal nulo durante el proceso de desgaste.

Un aspecto importante que debe observarse, es el cambio en la pendiente de las curvas de altura efecti-va. Observando tales curvas puede notarse como la pendiente de las curvas aumenta, para un mismo inter-valo de caudal, con el grado de desgaste o tiempo de funcionamiento de la bomba. Este aumento se observa mejor en el siguiente gráfico.

Figura 6. Altura efectiva para caudal nulo durante el proceso de desgaste de la carcasa.

A medida que aumenta el caudal neto manejado por la bomba, mayores son las pérdidas hidráulicas. El gráfico evidencia que, las pérdidas hidráulicas se

incrementan con el caudal neto manejado, tal incre-mento se acentúa aun más con el desgaste de la carca-sa. Esto quiere decir, que cuando la bomba maneja caudales mayores al nominal, el efecto del desgaste sobre la funcionalidad de la misma, es aún más negati-vo que cuando maneja caudales que estén cercados o dentro del entorno del punto de máximo rendimiento; véase en la Figura 6 como aumenta la variación de altura efectiva para caudales mayores al nominal. Observando el comportamiento de las curvas H vs. Q, puede notarse que para cualquier sistema, a medida que aumenta el desgaste de la carcasa, el punto de trabajo se desplaza hacia la izquierda. Tal desplaza-miento implica que el nuevo valor de altura y/o caudal puede no corresponderse con las exigencias solicitadas por el sistema donde se encuentra instalada la bomba; en este caso se hace necesaria una evaluación del pro-ceso para determinar si éste no admite variación en una de las variables. Si la variable que resulta crítica es la altura (H) y ésta logra mantenerse sacrificando cau-dal (Q) o viceversa, entonces quiere decir que el equipo puede seguir operando con la carcasa a cierto grado de desgaste. Sin embargo si no existe manera de poder mantener la variable crítica para el proceso que se tenga, entonces es necesario el reemplazo de la car-casa. Curvas Pa vs. Q. Como puede notarse en la Figura 7 la potencia de accionamiento tiene a aumentar con el desgaste o envejecimiento de la carcasa.

Figura 7. Curva de comportamiento de la potencia de accionamiento durante el proceso de desgaste.


Vallés y Cortez

56 48

36 24

12 0

24

12 36

48 56

0

Horas

Para el caudal nominal la potencia se incrementa desde 9,86 hp hasta 10,32 hp es decir, aumenta 0,46 hp lo que representa un 4,66 % del valor inicial. Si al momento de instalar el equipo para la reali-zación de los ensayos, se hubiese seleccionado un mo-tor de 10 hp, es decir, no se hubiese respetado el factor de reserva de potencia, se habría tenido una sobrecarga del motor y por ende se habría dañado. Por esto es importante señalar, que el evidente aumento en la potencia obliga al usuario a seleccionar motores que soporten tal incremento; logrando evitar pérdidas por reparación o sustitución de los mismos. Como puede observarse a través de la Figura 7, las curvas de potencia de accionamiento, se desplazan de forma casi paralela, aumentando con el grado de desgaste de la carcasa. La menor variación de la poten-cia de accionamiento ocurre para caudales cercanos al punto de shut-off y para caudales cercanos al entorno de máximo rendimiento (16 m³/h). Curvas n vs. Q Dado el aumento en la potencia de accionamien-to así como la disminución de la potencia útil (por el aumento de las pérdidas de disponibilidad) a través del proceso de desgaste, el Rendimiento global se compor-ta como se muestra en la Figura 8, disminuyendo con-siderablemente desde 44,74 % hasta 41 %, es decir, cae 3,74 puntos porcentuales, lo que representa un 8,36 % respecto a su valor inicial, para el punto de caudal nominal de la bomba (16 m³/h). Tal como indican las curvas de comportamiento en la Figura 9, a lo largo del proceso de desgaste de la carcasa, la bomba experimenta una caída considerable del rendimiento global. Esta disminución se observa mejor en la Figura 9, que muestra los valores de rendi-miento global para caudal nominal de la bomba (16 m³/h) a las diferentes horas de trabajo para desgaste. Como se observa en la Figura 8, el rendimiento global de la bomba en estudio, para el caudal nominal, experimenta un comportamiento descendente durante el proceso de desgaste de la carcasa, tal comportamien-to se ajusta a un polinomio de tercer orden, cuya ecua-ción se muestra sobre la Figura 8.

Figura 8. Rendimiento global de la bomba para el caudal nominal durante el proceso de desgaste de la carcasa.

Figura 9. Curva de comportamiento del rendimiento global de la bomba durante el proceso de desgaste de la carcasa.

A partir del análisis de la Figura 8, se establece que la ecuación del polinomio aproximado al compor-tamiento del rendimiento global resulta la relación en-tre el rendimiento global y el tiempo de desgaste de la carcasa trabajando bajo las condiciones del ensayo. Es decir, el rendimiento global de la bomba para caudal nominal (16 m³/h) varía con el tiempo de desgaste de la carcasa (bajo las condiciones del ensayo) según la ecuación:

Siendo: t = tiempo (horas) para el cual se desea conocer el

rendimiento durante el ensayo.



56 48 36 24

12 0

3 20,00004 0,0037 0,0231 44,74N t t t= − + + (3)

Horas

Partiendo de la ecuación anterior, se determina la relación entre el rendimiento del equipo y el tiempo de trabajo para cualquier concentración de sólidos. Para ello se considera la equivalencia del tiempo de trabajo con una concentración de 5 y las horas de trabajo a una concentración dada, teniéndose que: Esta equivalencia se sustituye en la ecuación de rendimiento y se obtiene la ecuación que expresa el valor del rendimiento global de la bomba en función del tiempo de trabajo y de la concentración de sólidos que maneje, tal ecuación resulta:

De manera simplificada se tiene que: Donde: X = concentración de sólidos en suspensión del agua

con que se trabaje (% masa/ volumen). t = tiempo de trabajo (horas). De igual forma puede obtenerse la ecuación que define el comportamiento de la potencia de acciona-miento, bajo condiciones tolerables de trabajo. Para ello debe partirse, del comportamiento de esta variable durante los ensayos. Partiendo de los valores de potencia de acciona-miento para el caudal nominal, de acuerdo al tiempo de funcionamiento del equipo durante los ensayos, se obtiene la curva de comportamiento de esta variable en función al tiempo de desgaste de la carcasa. Como muestra la Figura 10, la potencia de accionamiento para caudal nominal a lo largo del proceso de desgaste de la carcasa sigue un comporta-miento aproximado al de un polinomio de tercer orden. De acuerdo con esto, la ecuación que define el valor de la potencia de accionamiento para el caudal

nominal, bajo las condiciones del ensayo es:

Realizando el mismo procedimiento que al momento de establecer la ecuación al rendimiento global, teniendo como base la equivalencia entre el tiempo de ensayo y el tiempo real de trabajo de la bomba, se tiene que:

Donde: X = concentración de sólidos en suspensión del agua

con que se trabaje (% masa / volumen). t = tiempo de trabajo (horas). Uno de los aspectos más importantes de esta curva, es que mediante su ecuación pueden realizarse cálculos inherentes al consumo de potencia, para cual-quier tiempo de funcionamiento del equipo y para cualquier concentración con que se trabaje.

Figura 10. Potencia de accionamiento para el caudal nominal a lo largo del proceso de desgaste en la carcasa.

Desgaste de la carcasa El seguimiento del proceso de desgaste en la carcasa se realizó a través de la observación del com-portamiento de las variables peso y espesor de pared de la carcasa, además del aspecto físico, es decir, a las huellas que se producen en la superficie interna como consecuencia del proceso de desgaste.


%5% realXT iem po tiem po=

.

3 2% % %

(%) 0.003 44.745% 5% 5%

X X Xtiempo tiempo tiempoη ζ ζ ζ= − + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7 3 4 2

3

(%) 3,2 10 ( . ) 1,48 10 ( . ) ...4,62 10 ( . ) 44,74

x X t x X tx X t

η − −

−

= − +

+

6 3 2a 4 10 0,0003 0,0155 9,86P x t t t−= − + +

8 3 5 2a

3

(hp) 3,2 10 ( . ) 1,2 10 ( . ) ...

3,1 10 ( . ) 9,86

P x X t x X t

x X t

− −

−

= − +

+

Vallés y Cortez

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Esta observación permitirá determinar aspectos impor-tantes como qué tipo de desgaste se presenta, relación entre la evolución de éste y el tiempo de funciona-miento, uniformidad del mismo a lo largo de la car-casa, entre otros. A la hora 56 de funcionamiento, se presentó un considerable goteo producto del des-gaste severo del material de la carcasa. La falla se ubi-có en la zona 4, de acuerdo con la división realizada para la observación del desgaste.

Figura 11. Ubicación de la falla de la carcasa.

Variación del peso de la carcasa durante el proceso de desgaste La pérdida de peso de la carcasa es producto del arranque de material de la superficie interna de la carcasa por parte de la mezcla agua-arena, por ende la variación del peso permite observar la pérdida de material con respecto al tiempo. La medición del peso de la carcasa se realizó a las 0, 12, 24, 36, 48 y 56 horas de trabajo. Esto valores se representan en la Figura 12.

Figura 12. Peso de la carcasa durante el proceso de desgaste. Como puede verse en la Figura 12, el peso de la

carcasa tiene un comportamiento con desgaste acelera-do controlado. La variación neta de peso fue de 362 gramos después de 56 horas de trabajo, esto quiere decir que a lo largo de la vida útil de la carcasa, ésta pierde casi el 3 % de su masa total inicial. A partir de esto también puede determinarse la tasa total de desgaste o pérdida de material durante el proceso de desgaste acelerado controlado. Siendo: Tensayo = Tasa de variación del peso durante el proceso

de desgaste (g/h) ∆P = peso total perdido durante el proceso de desgaste

(g) t = tiempo para que ocurra la falla de la carcasa (h) Se tiene entonces que: Investigaciones previas sobre desgaste [3] en un impulsor de la ETA 32-200, determinaron que la tasa de variación del peso de un componente por efecto del desgaste, se comporta de manera aproximadamente lineal según la concentración de sólidos en suspensión de la mezcla con que se trabaje. Esto permite entonces obtener la tasa real de desgaste, es decir, la velocidad de desgaste de la carcasa trabajando con agua en condiciones tolerables (concentración no mayor a 0,02 %) a partir de la concentración a la cual se encuentren los sólidos en suspensión de esta agua, es decir, la concentración real de trabajo. Tales investiga-ciones determinaron que: Siendo: % real = concentración real de trabajo (masa/

volumen). % ensayo = concentración de arena en el ensayo

(masa/volumen). Treal = tasa de variación del peso en condiciones reales

de trabajo (g/h). Tensayo = tasa de variación del peso durante los ensayos

(g/h). Dado que la concentración máxima tolerable


/ensayoT P t= ∆


6,464 /ensayoT g h=

%%real ensayo

realT Tensayo

=

(9)

(10)

(11)

de sólidos en el agua para condiciones normales de trabajo, de acuerdo al fabricante de la bomba en estudio, es de aproximadamente un 0,02% y utilizando la ecuación ∆P⁄t se tiene que: A partir de la ecuación Treal, se tiene de forma general que la velocidad de desgaste a una concentra-ción dada se puede determinar de la siguiente forma. Siendo: T%= tasa de desgaste a una concentración específica. X % = concentración de sólidos a la cual se desea

conocer la velocidad de desgaste. Así mismo a partir de la ecuación ∆P⁄t, puede generarse una relación que permita deter-minar el tiempo para la falla de la carcasa (en horas) a partir de la concentración con la cual se trabaje, esto es:

Los gramos representan la pérdida total de mate-rial de la carcasa durante el proceso de desgaste, bien sea durante los ensayos o bajo condiciones de trabajo reales. Esta cantidad es la misma puesto que es la can-tidad de material que se pierde hasta el momento en que comienza la falla de la carcasa. Tomando en cuenta lo anterior y despejando Tiemporeal, se tiene:

Donde: Tiemporeal = tiempo en que la carcasa falla por desgas-

te. X% = concentración de sólidos en suspensión con que

trabaje. Para el caso de agua con 0,02% de sólidos, se tiene que el tiempo de funcionamiento para que ocurra la falla de la carcasa de la bomba en estudio, con las especificaciones (material, dimensiones, etc.,) es: A su vez a partir de la ecuación (Tiemporeal), puede obtenerse la equivalencia del tiempo de trabajo con agua con 0,02 % de sólidos en suspensión y una hora de trabajo de ensayo con una concentración de 5 %. Con esto se tiene que, 1 hora de ensayo con una concentración de 5 % equivale a 250 horas de trabajo con una concentración de 0,02 %. De forma general partiendo de la misma ecuación (Tiemporeal), se tiene que la equivalencia del tiempo de ensayo a 5 % de sólidos en suspensión en el agua, y el tiempo de traba-jo a X concentración, es: Variación del espesor de pared de la carcasa durante el proceso de desgaste En esta sección se muestran las zonas de la car-casa que fueron mayormente afectadas por el desgas-te. Se realizó una división de la carcasa en tres regio-nes o circunferencias (Región 1, Región 2 y voluta) las dos primeras se subdividieron en siete zonas y voluta en cuatro (debido a la geometría de la fundi-ción), de manera de ubicar los puntos donde se mi-dió el espesor de pared y de así localizar la pérdida de


0,02% 6.464 /5%

0,026 /

real

real

T g h

T g h

ζ=

=

%% 6, 464 /5%

% %1, 223 /

XT g h

T X g h

ζ=

=

%%real ensayo

XT Tensayo

=

( ) ( )%%real ensayo

Xgramos gramostiempo tiempoensayo

=

%%real ensayo

ensayoTiempo TiempoX

=

280%realhTiempo

X=

Vallés y Cortez

280 14,0000.02%real

hTiempo h= =

5% 1 2500.02%real ensayoTiempo h h= =

%5%ensayo realXTiempo Tiempo=

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

material y determinar si ésta es uniforme o no a lo lar-go y ancho de la circunferencia o 360º de la carcasa en sentido del flujo. A partir de estos valores se deter-minó la variación neta del espesor durante todo el pro-ceso, es decir desde el estado inicial de la carcasa (sin desgaste) hasta el estado final (56 horas de trabajo). Como muestra la Figura 13, la variación del espesor de pared no es igual en los diferentes puntos, esto indica que el desgaste a lo largo del recorrido de los 360° que definen la carcasa no es uniforme, ni tam-poco a lo ancho de la misma, observándose mayores cambios del espesor de pared hacia las zonas de mayor presión, en las zonas 5, 6 y 7 para las Regiones R1 y R2 al igual que en la voluta.

Figura 13. Variación neta del espesor de la pared de la car-casa en la Región 1, Región 2 y voluta, durante las 56 horas

del proceso de desgaste. Es importante destacar que la disminución de espesor de pared más significativa ocurre en la zona 7 de la Región 1, siendo ésta la zona más cercana a la descarga de la bomba (Figura 16). Este cambio es de 6,7 mm en un punto cuyo espesor de pared inicial era de 1,59 mm, lo que representa una disminución del 42,14 % de su valor inicial. El desgaste produce mayor arranque de material hacia la zona de donde se encuen-tra la descarga (Figura 16), a diferencia de la zona 1 o zona de inicio de la voluta (Figura 14) y zona 4 (Figura 15) donde es menos severo. Aspecto que adquiere la superficie interna de la carcasa por efecto del desgaste En esta sección se muestra el aspecto que ad-quiere con el tiempo de desgaste, la superficie interna de la carcasa. La observación de la huella que produce

Figura 14. Voluta, zona de inicio.

Figura 15. Voluta, zona 4.

Figura 16. Descarga. este proceso, permitirá determinar con precisión que mecanismo de desgaste actúa y verificar si la severidad del mismo, de acuerdo a la huella que deja, coincide con lo que indica la variación del espesor de pared. Las huellas se observarán a través de la impre-sión de la superficie sobre papel, para lo cual se em-pleó una pieza de grafito. Las Figuras 12 - 16 mues-tran un modelo representativo de cómo quedó la super-ficie luego de cada intervalo de trabajo para desgaste. En tales Figuras, las regiones blancas representan las cavidades y las regiones negras representan las protu-berancias.

7. CONCLUSIONES • Con el desgaste de la carcasa el rendimiento glo-

bal de la bomba disminuye de un valor inicial de 44,74 % hasta 41 % para las condiciones finales



Reg 1

Reg 2

Voluta

del desgaste de la carcasa. Esto comprende una caída de 3,74 puntos porcentuales, que representan un 8,35 % del valor inicial de esta variable.

• La altura efectiva o energía especifica útil, para el caudal nominal de la bomba en condiciones inicia-les (sin desgaste) disminuye desde 76,67 m.c.a has-ta 70,91 m.c.a, es decir cae 5,76 m.c.a lo que repre-senta un 7,51 % de su valor inicial.

• La Potencia de accionamiento se incrementa desde 9,86 hp para lasa condiciones iniciales, hasta 10,32 hp para el momento en que falló la carcasa, lo que representa un aumento neto de 0,46 y a su vez se traduce a largo plazo, en incremento del costo de operación del equipo.

• A lo largo del proceso de desgaste de la carcasa, el Rendimiento global de la bomba en estudio se comporta de manera descendente, y se relaciona con el tiempo de funcionamiento del equipo (t) y la concentración de sólidos en suspensión (X) a través de la siguiente ecuación:

• A lo largo del proceso de desgaste de la carcasa, la

potencia de accionamiento de la bomba ETA 32-200 se comporta de manera ascendente, y se relaciona con el tiempo de funcionamiento del equipo (t) y la concentración de sólidos en suspen-sión (X) a través de la siguiente ecuación:

• La carcasa sufre un proceso de abrasión por arran-

que, el cual provoca pérdida de material en la superficie interna de la misma. Esta pérdida de ma-terial hace que el peso de la carcasa disminuya siguiendo un patrón aproximadamente lineal en función al tiempo de desgaste.

• El desgaste no es uniforme a lo largo de la carcasa, siendo más pronunciado en la zona de la carcasa donde el área de la voluta es mayor, es decir, donde existe mayor presión.

• El desgaste que sufrió el anillo de desgaste y su efecto negativo sobre las curvas de funcionamiento H vs Q justifica la colocación de este tipo de ele-mentos cambiables.

• El tiempo para la falla de la carcasa bajo condicio-nes tolerables de trabajo (agua a 0,02% de sólidos en suspensión) es de 14.000 h.

• El ensayo puede realizarse a bombas diferentes, con carcasas de diferente material, para así corro-borar su vida útil con determinadas concentracio-nes; además con potencias mayores donde la varia-ción del η y su incidencia, de acuerdo al proyecto, horas de trabajo diarias, etc., pueda ser notoria.

• A partir de la gráfica de potencia de trabajo del equipo, mediante un estudio económico basado en el costo de la carcasa y el consumo de energía eléc-trica, pudiera fijarse el punto a partir del cual se torna antieconómico seguir empleando la voluta desgastada. Esto involucra considerar la potencia del equipo y el número de horas diarias de trabajo.

REFERENCIAS [1] ADDISON, Herbert. Centrifugal and other Roto-

dinamics pumps. Editorial Chapman & Hall. Lon-don. (1996).

[2] BALJE E. Turbomáquinas "A Guide to Design, Selection and Theory" Willey- Interscience Publi-cation. New York, (1976) Páginas: 37, 446-456

[3] ESPAŇA, L. SERRATO, C Trabajo Especial de Grado. Universidad de Carabobo. (2001).

[4] G wilson. Diseños de Bombas Centrífugas. Sección 10.21.2 Hydraulic Institute.

[5] "Hydraulic Institute Standards" 12° Edición. U.S.A (1969).

[6] KARASSIK, Igor. CARTER, Roy "Bombas Cen-trífugas". Editorial Continental S.A. 5ta Edición. México (1975).

[7] KARASSIK, Igor. KRUTZSCH, William. Pump Handbook. Editorial Mc Graw Hill. Segunda Edición, (1976).

[8] KARASSIK, Igor. Manual de Bombas Centrífugas. Diseño Aplicación, Especificaciones, Operación y Mantenimiento. Editorial McGraw Hill. (1994)

[9] NASCIMBENI, M. Bombas Centrífugas. Trabajo de ascenso no publicado. Universidad de Carabo-bo. (2001).

[10] YEDIDIAH, S. Centrifugals pumps problems. Petroleum Publishing company. Tulsa, Oklaho-ma. (1980).


7 3 4 2 3(%) 3,2 10 ( . ) 1,48 10 ( . ) 4,62 10 ( . ) 44,74x X t x X t x X tη − − −= − + +

8 3 5 2 3( ) 3,2 10 ( . ) 1,2 10 ( . ) 3,1 10 ( . ) 9,86aP hp x X t x X t x X t− − −= − + +

Vallés y Cortez

1. INTRODUCCIÓN

En este trabajo se aborda el problema de contro-lar la altura de una esfera de acero, respecto a un nivel de referencia, mediante su suspensión (o levitación) en contra de la fuerza de la gravedad, por medio del uso de un electroimán. Las variables de estado considera-das para modelar el sistema han sido la altura de la

esfera (medida hacia abajo), su velocidad, y la corrien-te en la bobina del electroimán; mientras que la acción de control es ejercida por el voltaje suministrado al sistema. Una descripción del sistema físico y la deduc-ción del modelo matemático puede encontrarse en los trabajos realizados por Barie, Chiasson [1] y Harley, Wölfle [2]. Se diseñaron dos controladores en espacio de estado, los cuales parten de bases teóricas


Estabilización de un sistema de suspensión magnética aplicando una forma canónica Hamiltoniana de pasividad y linealización exacta por

realimentación

Francisco J. Arteaga B.(1), Atilio Morillo P (2), Luis Obediente (1) (1)Universidad de Carabobo, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Unidad de Investigación en Automatización

Industrial, Valencia, Venezuela. (2)Centro de Investigación de Matemática Aplicada, División de Postgrado de Ingeniería, Universidad del Zulia,

Maracaibo, Venezuela Email: [email protected], [email protected], [email protected]

Resumen

El objetivo de este trabajo es el diseño de controladores no lineales para la estabilización en torno a un punto de equilibrio de un sistema electrodinámico con una dinámica sencilla (pero que aún así requiere de un tratamiento no lineal), como lo es el sistema de suspensión magnética constituido por un electroimán. Se proponen dos acciones de control: la primera, derivada de aplicar la técnica de linealización exacta mediante realimentación del estado; y la segunda, obtenida como resultado de utilizar un procedimiento de pasivización basado en la descripción del sistema en una forma canónica Hamiltoniana de pasividad que sintetiza la manera como los términos disipativos y no disipativos de la energía influyen en la dinámica del sistema.

Palabras clave: Sistema de suspensión magnética, linealización exacta, pasivización, forma canónica Hamiltoniana

Stabilization of a magnetic suspension system by application of a Hamiltonian canonical passivity form and exact feedback

linealization technique

Abstract

The purpose of this work is to design nonlinear controllers for stabilizing an electrodynamic system, with a simple dynamic (but still requiring a non linear treatment), around an equilibrium point. Two control actions are proposed for a magnetic suspension system formed by an electromagnet. The first one, derived from applying the exact linealization technique by state feedback. The second one is obtained as a result of a passivization procedure based on a system description in a Hamiltonian passivity canonical form that synthesizes the way in which dissipative and non dissipative energy terms influence the system dynamics.

Keywords: Magnetic suspension system, exact linealization, passivization, Hamiltonian canonical form.


diferentes, y explotan propiedades disímiles del siste-ma, y por lo tanto, conducen a esquemas de control diferentes. Se utiliza, en primer lugar, el esquema de con-trol de linealización exacta por realimentación (FLC). La técnica de FLC se distingue por su sencillez algo-rítmica, pero son bien conocidas sus desventajas. Por ejemplo, su alta sensibilidad ante las perturbaciones de los parámetros y su requerimiento de conocimiento perfecto de los estados. En tal sentido, resulta apro-piado utilizarla conjuntamente con otros métodos, a fin de examinar la efectividad de los mismos en cuan-to a superar las deficiencias e incertidumbres en el modelo [3-5]. El segundo controlador usado es resultado del denominado “enfoque de control basado en pasivi-dad”, denotado como PBC. La pasividad es una pro-piedad fundamental de una amplia familia de sistemas físicos, y puede definirse en términos de la disipación y transformación de la energía del sistema. En rela-ción a la disipación de la energía, el PBC puede ser entendido como una extensión de los llamados méto-dos de “moldeado de la energía” e “inyección de amortiguamiento” [6], [7]. Esta técnica consta de dos etapas básicas: (1) una etapa de moldeado de la ener-gía, la cual consiste en modificar la función de ener-gía de forma tal que la nueva función posea un míni-mo global en el punto de equilibrio deseado; (2) una etapa de “inyección de amortiguamiento”, la cual consiste en modificar las propiedades de disipación del sistema a fin de hacer el punto de equilibrio asin-tóticamente estable. Para una discusión completa de este tópico se puede consultar Ortega [7]. Las condiciones geométricas para que un siste-ma dinámico sea pasivizado por realimentación alre-dedor del origen respecto a una determinada función de almacenamiento de energía V y una salida fijada del sistema han sido establecidas por Byrnes [8]. Sin embargo, para un sistema que en principio no sea pa-sivo, puede aplicarse el procedimiento de pasiviza-ción desarrollado por Sira-Ramirez [9]. En este mé-todo, partiendo de una función de energía V (típicamente una función cuadrática) que satisface una cierta condición de transversalidad, mediante un cambio de coordenadas de la entrada, se obtiene una expresión canónica Hamiltoniana de pasividad del sistema que facilita la aplicación de la técnica PBC,

alrededor de un punto de equilibrio, no necesariamen-te el origen. Esta forma canónica revela la manera como los términos disipativos y no disipativos de la energía influyen en la dinámica del sistema. El resto del trabajo está organizado como si-gue. En la Sección 2 se describe el modelo matemáti-co del sistema de suspensión magnética constituido por un electroimán. En la Sección 3 se analiza el sis-tema desde la perspectiva de la linealización exacta y se diseña el control FLC. En la Sección 4 se aplica el procedimiento de pasivización de Sira-Ramirez [9], se empieza por determinar la condición pasivizable del sistema y sintetizar la función de realimentación que logra pasivizarlo; luego, basándose en la citada forma canónica Hamiltoniana del sistema pasivizado, se aplican los métodos de moldeado de energía e in-yección de amortiguamiento, desembocando final-mente en un compensador dinámico auxiliar para al-canzar la estabilización asintótica alrededor del punto de equilibrio deseado. Finalmente, la Sección 5 con-tiene las conclusiones del trabajo.

2. MODELO MATEMÁTICO

El sistema de suspensión magnética consiste de una esfera de acero que se suspende mediante la acción del campo magnético generado por un electroimán de corriente controlada por realimenta-ción a través de una medición óptica de la posición de la esfera. La ecuación de movimiento de la esfera es:

donde es la masa de la esfera, la posición vertical (medida hacia abajo), es el coeficiente de fricción viscosa, es la aceleración de gravedad, es la fuerza generada por el electroimán, la cual depende de la corriente . La inductancia del electroimán depende de la posición de la esfera, y puede modelarse (entre varias alternativas semejan-tes) como:

m 0>yk

g),( iyF

i

ayL

LyL/1

)( 01 +

+=

(1)


Arteaga, Morillo y Obediente

(2)

),( iyFmgykym ++−= &&&

donde L0, L1 y a son constantes. Este modelo repre-senta el caso en el que la inductancia tiene su máximo valor cuando la distancia al electroimán de la esfera es mínima, y decrece a un valor constante a medida que la bola se aleja (a) hasta . Obsérvese que ,para todo . Tomando: como la energía almacenada en la bobina, la fuerza viene dada por:

La ecuación que gobierna el subsistema eléctri-co está dada por:

donde v es la fuente de tensión en el circuito y es el flujo magnético. De manera que:

de donde se obtiene:

Introduciendo las variables de estado

, , reemplazando en (1) y en (7), obtenemos el sistema:

donde el vector de estado x varía en la región de operación del sistema:

Un fácil cálculo muestra que los puntos de equilibrio del sistema vienen dados por:

para un valor fijado de la variable u, y una posición deseada . El objetivo de control es esta-bilizar el sistema en torno a un punto de equilibrio deseado , y para ello se asumirá un conocimiento perfecto del estado.

3. DISEÑO DEL CONTROL FLC

El sistema de suspensión magnética (8) puede expresarse en la forma afín dada por:

(11)

donde y son los campos vectoriales defi-

nidos por:

.

20

2( , )2 (1 / )

L idEF y idy a y a

= =+

.....v Riφ= +&

... ... ...

( )v ( )L y yi L y i Riy

∂= + +

∂&&

...

...

02

1v(1 / ) ( )

Li Ri y ia y a L y

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥+⎣ ⎦& &

.

.

.

.

1 22

0 32 2 2

1

03 3 2 32

1 1

1

2 ( )

1( ) ( )

x x

L axkx g xm m a x

L ax Rx x x uL x a x

y x

=⎧⎪⎪ = − −⎪ +⎪⎨

⎡ ⎤⎪ = − + +⎢ ⎥⎪ +⎣ ⎦⎪⎪ =⎩

&

&

&

0,0/),,( 313

321 >>∈=Ω xxxxx R

( ) . ..

.

2* 1* 3* 1 1

0

2, 0, , 0, ( )R Rmgx x x x a x

aL⎛ ⎞

= = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y→ ∞0)( ≠yL 0≥y

21( , ) ( ( ) )2

E y i L y i=

),( iyF

iyL )(=φ

,1 yx =v=u2 3,x y x i= =&

*v=uRx1

*x

uxgxfx )()( +=&

)(xhy =

.

.

.

.

22

0 32 2

1

0 2 33 2

1 1

1

( )2 ( )

1( ) ( )

0( ) 0

1( )

x

L a xkf x g xm m a x

L a x xRxL x a x

g x

L x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − −

+⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

)(xf )(xg

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(12)


Estabilización de un sistema de suspensión magnética

(3)

y es la función de salida .

Es obvio que el grado relativo del sistema res-pecto a la salida es 3, por lo tanto, de acuer-do a resultados bien conocidos (véase, por ejemplo, [8]), existe un difeomorfismo , donde es un entorno de un punto de equilibrio del sistema, y un cambio de coordenadas afín y dependiente del estado, expresado por:

con , tal que en las coordenadas definidas por el sistema original es equivalente a un sistema lineal expresado en la forma canónica de Brunovsky:

En este caso, un fácil cálculo muestra que viene dado por:

mientras que (14) viene dada por:

con:

En el sistema lineal y controlable (16) obtenido se puede hacer:

con una ganancia k de modo que sea Hur-witz. Por ejemplo, puede utilizarse un regulador lineal cuadrático (LQR) para la elección de k. Con el control el sistema (8) se estabiliza en el punto de equilibrio .

4. DISEÑO DEL CONTROL PBC

En esta sección se diseñará el control por pasi-vización, aplicando el procedimiento desarrollado por Sira-Ramirez y aplicado a diferentes tipos de procesos (eléctricos, químicos, etc.) [9-12].

A. Pasivización del sistema

El sistema de suspensión magnética (8) puede escribirse en la forma general

observando que los campos vectoriales f y g son:

.( ) ( )u x xα β υ= +

.cz A z Bυ= +&

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

z z υ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&

.

220 3

22 2 21

( ) ...2 ( )

kL a xk kx g xm m m a x

α = − + + ++

.. .

20 2 0 3

3 21 1 1

...( ) ( ) ( )L a x RL a x

m a x a x mL x+ −

+ +

220 2 3

41 1

( )( ) ( )

L a x xa x mL x+

..

..

0 32

1 1

( )( ) ( )

L a xxm a x L x

β = −+

* *( ) ( )k z z kT x xυ = − = −

.

.

.

.

..

..

2

202 32

1

0 2 33 2

1 1

1

( )2 ( )

1( ) ( )

0( ) 0

1( )

xL akf x g x x

m m a x

L ax xRxL x a x

g x

L x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − −

+⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

)(xh 1)( xxhy ==

1xy =

)(: UTUT →Ω⊂U 0x

0)( ≠xβT

)(xTz =

1 1z x=

2 2z x=

.

.

20 3

3 2 212 ( )

L a xkz g xm m a x

= − −+

kBA cc +

*( )kT x xυ = −*x

..( ) ( )x f x g x u= +&

( )y h x=

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(19)

(20)

(21)



(18)

mientras que la salida es:

Como se estableció en la sección previa, el sistema es de fase mínima y la salida del sistema tiene grado relativo 3. La región de operación del sistema ya descrita en (9) es:

tal como se estableció en la Sección 2, con x1 y x3 además acotados superiormente por las condiciones físicas del sistema.

Considérese la función de almacenamiento de energía

es fácil ver que:

Por lo tanto, el sistema es pasivizable con fun-

ción de almacenamiento de energía V(x). Es decir, existen funciones escalares con en , tales que el cambio de coorde-nadas dado en la ecuación (13): hace que el sistema en lazo cerrado (8)-(24) sea pasi-vo respecto a la función de almacenamiento V y a la rata de suministro definida por .

La derivada de V, respecto al tiempo a lo largo

de las trayectorias de (8), es:

De donde se obtiene que el campo vectorial f(x) posee la descomposición natural respecto de la función de almacenamiento V:

con:

donde las componentes y satis-facen:

En forma resumida, la derivada de V, respecto al tiempo a lo largo de las trayectorias del sistema (8), se expresa como:

1( )y h x x= =

( )2 2 21 2 3

1V2

x x x= + +

3

1

V( ) 0 en( )gxL x

L x= ≠ Ω

. .

.

.

2 22 3 0 2 32 1 2 2 2

1 1

V( ) 2 ( )

Rx Lax xk x xx gxm L x m a x

= − − + + −+

&

. .

20 2 3 3

21 1 1

...( )( ) ( )L a x x u x

L x a x L x+ +

+

( ) ( ) ( ) ( )d nd If x f x f x f x= + +

.

2

3

1

0

( )

( )

dkf x xmR xL x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

.

.

22

0 32

1

0 2 32

1 1

( )2 ( )

( )( )

nd

x

L a xf x gm a x

L a x xL x a x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥+⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

0)( =xf I

.

22 32

1

V( ) 0 en( )df

RxkL x xm L x

= − − ≤ Ω

.

.

20 2 3

1 2 2 21

V( ) ...2 ( )ndf

L ax xL x x x gxm a x

= + − ++

.

20 2 3

21 1

no negativa en óindefinida en ( )( )

L ax xL x a x

Ω⎧= ⎨ Ω+ ⎩

Ω= en 0)(V xLIf

Ωen(x)y)( βα x0)( ≠xβ Ω

( , )s u y uy=

)(),( xfxf ndd )(xf I

(22)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)



(23)

0,0/),,( 313

321 >>∈=Ω xxxxx R

.( ) ( )u x xα β υ= +

dfV L V( ) V( ) V( )ndf gx L x L x u= + +&

Considérese la transformación de coordenadas de la entrada dependiente del estado:

donde es una nueva función de control y δ es un escalar estrictamente positivo.

Substituyendo cada término ya calculado en (25), se obtiene

Esta función uPBC es de la forma (24), por lo tanto es una realimentación que hace pasivo al sistema en lazo cerrado (8)-(24), es decir al sustituir (30) en la expresión para dada en (13), se obtiene:

la cual es la expresión diferencial de la pasividad de acuerdo a Byrnes [8]. B. Forma canónica del sistema pasivo.

Substituyendo en el sistema de suspensión magnética (8), obtenemos el sistema en lazo cerrado:

(33)

Este sistema en lazo cerrado puede expresarse en la forma canónica Hamiltoniana

donde son matrices tales que

que satisfacen las ecuaciones

Basándose en estas consideraciones se obtienen

las matrices

nd

2fL V( )( ) ( )

V( ) V( ) V( )g g g

xh x h xuL x L x L x

δυ= − −

21 1 1 1 2 1

13 3 3

( ) ( )( )PBCx x L x x x L xu L xx x x

δυ= − −

. .

..

0 2 3 0 2 3 12 12 2

3 1 1

( )( )...( ) 2 ( )L a x x L a x x L xgx L x

x a x m a x− − +

+ +

1V x υ≤&

V V( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x

x x x R x x M x υ∂ ∂= −ℑ − +

∂ ∂&

0)()(),()( ≥=−ℑ=ℑ xRxRxx TT

2( ) V( ) ( ) ( ) ( ) ( )xV ( )

d ITh xf x g x R x x f x

g xx

δ ∂− = −

∂∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎣ ⎦

V ( )( ) ( )

V ( )

V ( ) ( )x

T

ndT

xx

I g x f xg x

x

x x

⎡ ⎤⎡ ⎤∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∂= −ℑ

∂

.

.

.

..

.

2 2

3 1 31

0 32

1 1

0 32 22

3 1 3 1

0

02 ( )( )

02 ( )

x g xgx x xx

g L a xx m a xx

L a xx g xx x x m a x

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥+ℑ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥+⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

212

1 3

0 0 0

( ) 0 0

0 0( )

kR xm

R xL x x

δ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

)(),( xRxℑ

(30)

(31)

(34)

(35)

(36)

(37)



(32)

υ

υ

PBCu

. .

...

. . ..

.. . . . . . .

...

. . .

1 22

0 32 2 2

1

3 0 2 31 2 23 2

1 3 3 1

21 1

3 3

2 ( )

( ) 2 ( )

v

x x

L axkx g xm m a x

Rx L ax xxx gxxL x x x m a x

x xx x

δ

=⎧⎪⎪ = − −⎪ +⎪⎪ ⎧⎨ = − − − +⎨⎪ +⎩⎪⎪ ⎫⎪⎪ − +⎬⎪ ⎪⎭⎩

&

&

&

Estas matrices satisfacen las condiciones (35) y las ecuaciones (36) con:

C. Moldeado de la energía e inyección de

amortiguamiento

Considérese la función de energía modificada

Donde:

es un vector de estados auxiliar que representa el esta-do que se desea alcanzar. Es decir:

Derivando Vd respecto del tiempo a lo largo de

las trayectorias del sistema, se obtiene:

Agregando ahora un término que representa la inyección de amortiguamiento de la forma tal que sea una matriz semide-finida positiva para todo , se obtiene

Ahora se puede imponer que el vector auxiliar xd satisfaga la ecuación diferencial ordinaria

que se interpreta como un compensador dinámico. Se tendrá en definitiva que:

con:

y así:

con:

De donde se sigue que es una función

de Lyapunov para el sistema y, por lo tanto, el vector converge asintóticamente hacia la trayectoria auxiliar . D. Compensador dinámico.

En la ecuación (44), que define el compensador dinámico, podemos sustituir los valores de

y , con lo cual se obtiene la ecuación diferencial (49). La ecuación (49) obtenida es un sistema lineal dependiente del tiempo respecto a la variable auxiliar xd. Con ella se dispone de suficiente libertad para sinte-tizar el control de realimentación externo . Típica-mente se impone a una componente particular de xd un valor de equilibrio constante deseado, en correspon-dencia con el punto de equilibrio original conside-rado. En este caso se puede particularizar usando las variables auxiliares ξ y η como se muestra en la ecuación (50). Con lo cual se obtiene finalmente la ecuación algebraico-diferencial (51) que produce .

V ( )x

x x∂=

∂

d1V V( , ) ( ) ( )2

Td d dx x x x x x= = − −

),,( 321 dddd xxxx =

[ ]233

222

211d )()()(

21V ddd xxxxxx −+−+−=

[ ]

.

d

d

V ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) x

Td d

Td

x x x x

x x R x x x x M x υ

= − −

= − − −ℑ + −

& &

&

[ . ..

V ( ) ( ( ) )( ) ( )( )Td d d i d dx x R x R x x x x x= − − − − − ℑ −&

].

... ( ) ( ) ( )d di d d dRx R x x M x x x xυ− + − + − − ℑ&

. ..( ) ( ) ( )d d di d dx Rx R x x M x x xυ= − + − + − ℑ&

( ) ( )( )Td d m dV x x R x x x= − − −&

.( ) ( ) ( )m d iR x R x R x= +

)()(Vd dT

d xxxxba

−−−≤&

0))((inf min >= Ω∈ xRa mx λ

0))((sup max >= Ω∈ xRb mx λ

,)( xxRdi−)()()( xRxRxR dim +=

Ω∈x

),( dxxV

)(tx)(txd

( ) , ( )d iR x xℑ )(xM

*x

(39)

(41)

(42)

(43)

(45)

(47)



( ),R x

(38)

(40)

(46)

(48)

(44)

υ

υ

5. CONCLUSIONES

Se alcanzó el diseño de los controladores anun-ciados para el sistema de suspensión magnética, tanto el basado en la linealización exacta, como el basado en la metodología PBC. En el diseño de ambas propues-tas, para mayor simplicidad se asumió la disponibili-dad total del estado, sin embargo un análisis más re-alista debería contemplar la inclusión de observadores para medir algún estado inobservable, como lo es la velocidad, por ejemplo. El diseño del controlador PBC resultó ser mucho más interesante, ya que este se basa en aspectos estructurales de la física de los subsistemas eléctrico y mecánico que conforman el sistema com-pleto, especialmente en la relación entre el almacena-miento de energía y su disipación. En este punto se

explota la descripción del sistema en forma canónica Hamiltoniana de pasividad, la cual sintetiza la manera como los términos disipativos y no disipativos de la energía influyen en la dinámica del sistema. Una etapa inmediata que haría falta desarrollar para proseguir este trabajo, es la realización de simulaciones compu-tacionales (en ambiente Matlab-Simulink, por ejem-plo), que permitan la comprobación de la eficiencia de las acciones de control sintetizadas, así como de su robustez ante la incertidumbre de los parámetros y ante la presencia de perturbaciones. Las simulaciones tam-bién permitirían una comparación del desempeño de ambos controladores entre si, así como frente a otras propuestas conocidas. Adicionalmente sería muy per-tinente analizar el problema de seguimiento de trayec-torias en el caso del control basado en pasividad.

AGRADECIMIENTOS

Los autores expresan su reconocimiento a la Dirección de Investigación de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo por el finan-ciamiento otorgado para la actual realización de este proyecto de investigación.

REFERENCIAS

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.2 23* 1 1

1 3 1 3

( )g x gx x R xx x xx

ξ η ξ⎛ ⎞

= − + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

&

.

.

0 3*1 22

1 1

( )2 ( )

L a xg k R xm m a x

η ξ η ηα

= − − + −+

&

. .. ...... ..

.. ... ..

...

20 3 32 2 1

3*2 21 1 1 1 1 31

33 3 3*

1

xx 2 ( ) ( )

... ( )

L ax Rxgx x xmx a x x L x xx

x R x xx

δυ ξ η⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

− −

(49)

(50

(51)



1 2 3* 3, ,d d dx x x xξ η= = =

..

.

. ..

..

...

. .. ...

.. .. .. ..

. ...

..

2 21 2 3 3 1 1 1

1 3 1 3

0 32 1 2 2 2 22

1 1

20 3 22 2 1

3 1 323 1 3 1 1 3

3 3 3

( )

( )2 ( )

2 ( ) ( )

... (

d d d d d

dd d d d

dd d d

d

g x gxx x x x R x xx x x x

L axg kx x x R x xx m m a x

L ax xx gx R xx x xx x x m a x L x x

R x x

δ

= − + + + −

= − − + −+

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ −

&

&

&

1

3

) xx

υ

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ +⎪⎩

[7] Ortega R., Loira A., Nicklasson P. J., and Sira-Ramírez H., Passivity Based Control of Euler Lagrange Systems. Mechanical, Electrical, and Electromechanical Applications. Springer Verlag, London, 1998.

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1. INTRODUCCIÓN

Venezuela pertenece a los países que conforman el cinturón de fuego, el cual se caracteriza por ser una de las zonas más sísmicas del planeta, debido a que en la zona que bordea el océano Pacífico, aproximada-mente se libera un 85 % del total de la energía produ-cida por los movimientos telúricos o terremotos en el mundo. En la segunda mitad del siglo XX, con el cre-cimiento de la población existente en Venezuela, se empezaron a erigir las primeras edificaciones y se em-piezan a registrar los primeros eventos sísmicos que

trajeron consecuencias desfavorables, entre los que se destaca el de Caracas, el 28 de julio de 1967. Toman-do en cuenta estos sucesos, se desarrollaron diversos estudios que permitieron la realización de normas o códigos para el diseño de edificaciones. Los códigos sísmicos consideran los criterios de análisis y diseño de las edificaciones situadas en zonas donde puedan ocurrir movimientos telúricos. Sin embargo debido a que la naturaleza de los sismos y el comportamiento estructural ante estos es complejo,


Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana actual con códigos sísmicos de otros países

Freddy J. Lanza S., Scarlet H. Puentes M., Fernando Villalobos

Departamento de Estructuras, Escuela de Ingeniería Civil. Universidad de Carabobo. Valencia, Venezuela. Email: [email protected], [email protected], [email protected]

Resumen

Este trabajo presenta el análisis de los parámetros más relevantes de diseño sísmico de la norma venezolana, en comparación con los códigos sísmicos de los Estados Unidos, México, Japón y Chile. En la estimación de las acciones sísmicas se obtuvo que el corte basal calculado a través del código Japonés resultó mayor en un 72 %, respecto al calculado según la norma venezolana, el obtenido por el código estadounidense UBC un 40 % menor, por el código de México un 20 % menor y por el código de Chile un 50 % menor, lo cual indica que después del Japón, los cálculos según la norma venezolana resultan mayores en la magnitud del corte basal. Lo que implica mayores costos a nivel constructivo. Sin embargo, el diseño es más confiable, lo cual hace que las estructuras sean menos vulnerables ante las acciones sísmicas.

Palabras Clave: Norma sismorresistente venezolana, parámetros sísmicos de diseño, códigos sísmicos, corte basal.

Comparative study of the present Venezuelan seismic code

with seismic codes of other countries

Abstract This work presents the analysis of the most outstanding parameters in seismic design of the Venezuelan norm, in comparison to the seismic codes of the United States, Mexico, Japan and Chile. In the estimate of the seismic actions it was obtained that the basal cut calculated through the Japanese code was bigger in 72 %, regarding the one calculated according to the Venezuelan norm, the one obtained by the UBC 40 % smaller, for the code of Mexico 20 % smaller and for the code of Chile 50 % smaller, which indicates after the Japan, the calculations according to the Venezuelan norm are bigger in the magnitude of the basal cut. This implies bigger costs at constructive level, however the design is more reliable, which makes that the structures are less vulnerable before the seismic actions. Keywords: Venezuelan seismic code, seismic design parameter, seismic codes, lateral seismic shear.


además de originar grandes pérdidas materiales y humanas, es conveniente tomar la iniciativa de seguir realizando investigaciones con la finalidad de dismi-nuir la vulnerabilidad estructural ante la acción de los sismos. El presente trabajo pretende evaluar el nivel de exigencia de la norma sismorresistente COVENIN MINDUR 1756-88 (Rev.-2001), realizando un estu-dio comparativo respecto a las normas de Chile, Japón, México y Estados Unidos ya que estos países están ubicados en zonas de alto índice de sismicidad, debido a que se encuentran dentro de la zona conoci-da como el cinturón de fuego del océano pacífico.

2. MARCO TEÓRICO 2.1 Cinturón de fuego del pacífico

Los tres principales cinturones sísmicos del mundo son: el cinturón circunpacífico, el cinturón transasiático (Himalaya, Irán, Turquía, Mar Medite-rráneo, Sur de España) y el cinturón situado en el cen-tro del océano atlántico, los cuales son mostrados en la Figura 1.

La principal zona de riesgo sísmico es el llama-do "Cinturón de fuego del pacífico” conocido como geosinclinal circumpacífica, el cual debe su nombre al enorme anillo de actividad volcánica que se extien-de alrededor del océano Pacífico. Casi todos los vol-canes hacen erupción en zonas costeras o bajo el mar, creando cadenas de montañas bajo del agua, siendo una de las zonas más sísmicas del planeta ya que aproximadamente en la zona que bordea el océano pacífico se libera un 85 % del total de la energía pro-ducida por los movimientos telúricos o terremotos en el mundo [1]. El cinturón de fuego del pacífico se extiende desde el litoral pacífico en América del Sur, asciende hacia el norte bordeando la costa pacífica de Norte América y desciende a lo largo del litoral Asiático. 2.2 Mapa de riesgo sísmico global A nivel mundial existen organizaciones que han realizado estudios de riesgo sísmico, entre las cuales se destaca la ONU ya que a través de numero-sos estudios efectuados por científicos se desarrolló un mapa de riesgo sísmico global [2], el cual se mues-tra en la Figura 2. Este mapa se basa en la amenaza sísmica que representa los peligros para la población

Figura 1. Situación de los principales cinturones sísmicos y volcanes.


Estudio comparativo de la norma sismorresistente venezolana

producidos por terremotos. La amenaza sísmica es un término técnico que caracteriza numéricamente la pro-babilidad estadística de la ocurrencia (o excedencia) de cierta intensidad sísmica (o aceleración del suelo) en un determinado sitio [3], durante un período de tiempo. El mapa muestra la aceleración pico del suelo (PGA) que se puede esperar en un determinado lugar durante los próximos 50 años con 10 % de probabili-dad de excedencia, que corresponde a un periodo de retorno de 475 años. 2.3 Respuesta espectral La respuesta espectral se utiliza para el estudio de la dinámica de estructuras, en el área de ingeniería sísmica. La respuesta espectral es el valor máximo de respuesta (máximo desplazamiento, velocidad, acele-ración o cualquier cantidad de interés) obtenido para una función de carga especificada. Las curvas espec-trales son representaciones gráficas donde la abcisa es la frecuencia natural (periodo) del sistema, y la orde-nada es la respuesta máxima [4]. En el análisis diná-mico solo se requiere conocer el espectro o curvas espectrales para condiciones de carga conocida y el periodo de vibración del sistema, con lo cual se puede obtener la respuesta máxima de dicho sistema.

Una variable que afecta la respuesta estructural es el amortiguamiento viscoso [5], esta característica generalmente se expresa como fracción del amorti-guamiento crítico (ζ), el tipo de amortiguamiento con-siderado toma en cuenta las fuentes de disipación de energía como fricciones internas, fricciones en los apoyos y en elementos no estructurales, etc. A medida que una estructura posea características de ductilidad que permitan disipar mas energía la fracción de amor-tiguamiento critico será mayor y en consecuencia la respuesta espectral será menor.

3. METODOLOGÍA DEL TRABAJO

Esta investigación se realizó siguiendo los si-guientes pasos: • Con base a la situación de los principales cinturo-

nes sísmicos, se realizó la selección de cuatro países que integran un mismo cinturón para el estudio comparativo, se eligió el cinturón de fuego del Océano Pacífico ya que Venezuela es uno de los países que lo conforma, de esta manera se eligieron los siguientes países: Chile, México, Estados Unidos y Japón.

Figura 2. Mapa de riesgo sísmico global.


Lanza, Puentes y Villalobos

• Se definen e identifican las variables para realizar una comparación cuantitativa y cualitativa utilizan-do la información recopilada de los códigos en estudio.

• Para realizar la comparación de tipo cualitativa se

comparó cada código con el código venezolano, identificando los parámetros comunes o los efectos que consideran los demás códigos a través de pro-cedimientos que permitan realizar el diseño. Los parámetros son los siguientes: Filosofía del cálcu-lo, zonificación sísmica, forma espectral, clasifica-ción de las edificaciones según su importancia, clasificación de la estructura según el sistema es-tructural, factor de reducción de respuesta, clasifi-cación de las edificaciones según la regularidad estructural, obtención de la respuesta sísmica (espectro de diseño), métodos de análisis sísmico, período de retorno y probabilidad de excedencia, coeficiente sísmico máximo y mínimo, coeficiente de amortiguamiento, combinación de efectos y por ultimo el nivel de diseño.

• En base a lo que considera cada código, la compa-

ración de tipo cuantitativa se hizo tomando en cuenta los siguientes parámetros: la respuesta

espectral ya que permite evaluar el nivel de energía a la que se somete la estructura, el factor de reduc-ción de respuesta ya que este parámetro representa la capacidad de disipar energía inelásticamente que posee la estructura, y por ultimo el corte basal ya que es el resultado final de las acciones sísmicas con el cual se procederá ha realizar el diseño [6].

• Se seleccionó una estructura ya calculada [7] por la

norma venezolana COVENIN MINDUR 1756-98 (REV.-2001), destinada para uso educativo, ubica-da en una zona sísmica 5 (peligro sísmico eleva-do), y de una altura de 24 m (8 niveles de 3 m de altura cada uno) incluyendo techo de sala de má-quinas, el sistema estructural está constituido por pórticos de concreto armado, la planta tipo se muestra en la Figura 3.

• La ubicación de la edificación en los demás países

está determinado por las condiciones de suelo y sismicidad de cada región. Para mantener la uniformidad de condiciones en la comparación, la estructura se ubicó en cada país de acuerdo a lo siguiente:

1. En una zona con un perfil geotécnico del terreno de fundación en donde se presente suelos muy

Figura 3. Geometría de la planta tipo.



duros o densos, roca blanda o meteorizada. 2. En una zona con actividad sísmica medianamente

alta en función al rango de peligrosidad sísmica mundial, según lo especifica el mapa global de peligrosidad sísmica, mostrado en la Figura 2.

4. ANÁLISIS DE RESULTADOS 4.1 Espectros de respuesta En el gráfico mostrado en la Figura 4 se mues-tran los espectros de respuesta elásticos sin reducir, según lo especificado por cada código para la misma estructura y condiciones de suelo. La curva correspon-diente al código de Chile [8] no está suavizada como las demás, corresponde a la fórmula que se aplica en el análisis dinámico y es la que muestra mayor respuesta para períodos entre 0,19 y 0,50 segundos.

Figura 4. Espectros de respuesta elástica Para períodos menores que 0,16 y mayores que 0,78 segundos, es decir, Venezuela al igual que Japón son los países más exigentes (siendo Venezuela me-nor que Japón), en lo que se refiere a la respuesta del espectro y para períodos entre 0,67 y 0,78. Venezuela es el más exigente de todos. Cabe destacar que para menores períodos ya sea que pertenezcan a la rama constante o decreciente del espectro, se obtendrán resultados más conservadores de respuesta. En la Tabla 1 se muestran los valores de perío-

dos obtenidos en los métodos de análisis exigidos por cada código, en donde se puede observar que el resul-tado más conservador es el de Japón, manteniéndose en la parte constante de su espectro. Tabla 1. Períodos de vibración obtenidos según los distintos

códigos para la edificación en estudio.

4.2 Factor de reducción de respuesta Para efectos de cálculo se asignó para la misma estructura un factor de reducción de respuesta según lo establecido por cada norma, con la finalidad de reducir las fuerzas elásticas de diseño sísmico [9], en general se observó que este efecto es considerado por los materiales, detalles constructivos y el sistema es-tructural, permitiéndole a la estructura incursionar en el rango inelástico y disipar la energía impartida por un temblor fuerte mediante histéresis. En la Figura 5 se muestra un gráfico en el cual se aprecia el valor de los factores que reducen la fuerza sísmica de cada có-digo en estudio, bien sea disminuyendo el valor de la ordenada del espectro, disminuyendo el valor del cor-te basal, o el valor de las fuerzas sísmicas por nivel.

Figura 5. Espectros de respuesta elástica

Espectros de Diseño

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Período T (seg)

A/g

VENEZUELA

UBC

CHILE

JAPÓN

MÉXICO

CÓDIGO T (seg.) A ( no reducida ) VENEZUELA 0,686 0,913

UBC 1997 0,717 0,628 MÉXICO 0,983 0,480 CHILE 1,157 0,570 JAPÓN 0,450 0,997

3.33

6.00

8.50

2.00

10.55

0.000

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

FFACTOR

FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESPUESTA

JAPÓ

N VEN

EZU

ELA

ESTA

DO

S U

NID

OS

CH

ILE

MÉXICO



Se observa que el valor del factor de reducción que establece el código chileno es el mayor de todos (10,55), esto se debe a que se aplicó un análisis diná-mico. El código de los Estados Unidos [10] se reduce la fuerza con un valor de 8,5 que es 42 % mayor a Venezuela. De otra forma Japón [11] y México [12] son más conservadores en este aspecto, reduciendo la fuerza un 67 % y un 44 % respectivamente menor que Venezuela. En la Tabla 2 se muestra la relación entre factores de reducción de respuesta respecto a Venezuela, se aprecia que para Chile el factor es ma-yor que el de Venezuela en 76 %, mientras que para el UBC es 42 % mayor.

Tabla 2 relación entre factores de reducción de respuesta respecto a Venezuela.

Es importante señalar que la estimación de las acciones sísmicas en el código japonés se realiza por nivel, facilitando la interpretación del criterio de “energía disipada inelásticamente”, en el caso de pre-sentarse alguna característica diferente en un entrepi-so, solo se aplicaría a ese nivel el factor de reducción que le corresponda sin tener que afectar a los demás elementos, para efectos de este estudio el factor se mantiene constante ya que todos los elementos poseen características similares. 4.3 Corte basal En la Figura 6 se muestra un gráfico comparati-vo el cual relaciona los cortes basales generados por cada código respecto al de Venezuela, siendo este la unidad patrón (1). Se observa que el corte basal mayor es el japonés y es 72 % veces mayor que el de Venezuela en las dos direcciones de estudio. Los demás cortes basales son menores que el de Venezue-la, UBC es 40 % menor en ambas direcciones de estu-dio, México es 18 % menor en dirección X y 20 % menor en dirección Y, por último Chile en promedio es 50 % menor en la dirección X y 51 % menor en dirección Y. Se puede observar que el código venezolano generó el corte basal más alto después de Japón, este

Figura 6. Gráfico comparativo de corte basal. último fue el mas alto debido al factor Z, del cual de-penden las cortes generados por nivel, este coeficiente se expresa como fracción de la gravedad y se tomó igual a 0,8, que corresponde a una zona de peligrosi-dad sísmica mediana a alta según el mapa de riesgo sísmico global mostrado en la Figura 2. Por otro lado el menor corte basal generado fué el de Chile y se de-be principalmente a que por normativa del código se aplicó un método de análisis dinámico, el cual es más exacto y aproxima más a la realidad los valores espe-rados de fuerzas sísmicas. 4.4. Fuerzas sísmicas generadas por nivel En las Figuras 7 y 8 se observa gráficos que relacionan la fuerza sísmica generada por cada código por nivel respecto a la generada por el código venezo-lano en la dirección X y en dirección Y, tomando en cuenta el criterio anterior Venezuela es la unidad pa-trón (1), UBC y Chile en promedio son menores en 50 % por nivel y México en promedio es 30 % menor. Como se observa, la mayor fuerza sísmica en cada nivel es generada por el código japonés, con ex-cepción del nivel 5, esto ocurre debido a que en el procedimiento de cálculo, se afectan las condiciones y las fuerzas a partir del nivel 5, por la falta de rigidez que se presenta en las columnas superiores, el código japonés toma en cuenta este efecto aumentando el corte por nivel sólo de los pisos que no cumplen con las condiciones establecidas, incorporando al método procedimientos considerando los modos superiores de vibración.

PAIS F VENEZUELA 1,00

UBC 1997 1,42 MÉXICO 0,33 CHILE 1,76 JAPÓN 0,56

1.724

1.000

0.60

6

0.819

0.497

1.724

1.000

0.60

6

0.799

0.486

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

REL

ACIO

N D

E C

OR

TE B

ASAL

RES

PEC

TO A

VEN

EZU

ELA

Fx Fy

DIRECCION DE ANÁLISIS PARA EL CORTE

COMPARACIÓN DE CORTES BASALES

JAPÓ

N

JAPÓ

N

VEN

EZU

ELA

VEN

EZU

ELA

UB

C19

97

UB

C19

97

MÉX

ICO

MÉX

ICO

CH

ILE

CH

ILE



Figura 7. Relación de la fuerza sísmica por nivel respecto a la generada por el código venezolano.

Figura 8. Relación de la fuerza sísmica por nivel respecto a la generada por el código venezolano.

5. CONCLUSIONES 1. El código Venezolano es uno de los que considera

la mayor porción de sobrecarga de uso, establecien-do como mínimo 50 % para edificaciones del grupo A, tales como las destinadas para uso educacional

2. De acuerdo al gráfico comparativo de los espectros de diseño (Figura 8), se observa que para períodos entre de 0,67 y 0,78 s, la respuesta obtenida por la norma venezolana se presenta con los mayores va-lores de ordenadas espectrales.

3. En la comparación de los métodos de análisis estáti-cos, se presenta para todos los códigos sísmicos en estudio a excepción de Japón, un mismo esquema

de estimación de las acciones sísmicas consideran-do la estructura como una unidad (corte basal, esti-mación de períodos, distribución de fuerzas).

4. La norma sísmica de Japón presenta una serie de parámetros asignados de acuerdo a las característi-cas del proyecto, y trabaja con un diagrama defini-do como ruta de diseño, que guía el cálculo de las acciones sísmicas correspondientes, de acuerdo a los estudios que se vayan describiendo. Es impor-tante señalar que la estimación de las acciones sís-micas en este código se realiza por nivel, facilitando la interpretación del criterio de “energía disipada inelásticamente”. En el caso de presentarse alguna característica diferente en un entrepiso, solo se apli-caría a ese nivel el factor de reducción que le corresponda sin tener que afectar a los demás elementos.

5. La norma Chilena resultó ser la más exigente en cuanto a la escogencia de métodos de análisis a em-plear, más no en valores de diseño, ya que empleó un método de análisis dinámico, lo que hace al resultado mas preciso.

6. El código de Japón limita la dispersión de la rigidez lateral de un nivel respecto al promedio de los valo-res de rigidez lateral en todos los niveles de la edifi-cación, incrementando los valores de corte sólo en aquellos niveles que no cumplan con las condicio-nes establecidas.

7. La norma Chilena resultó ser la más estricta en cuanto a la escogencia de métodos de análisis a em-plear, es decir es más exigente en términos de cál-culo, más no en valores de diseño, ya que empleó un método de análisis dinámico, lo que hace al resultado mas preciso.

8. En cuanto a los factores de reducción de respuesta, el código estadounidense (UBC) y el código Chile-no reducen mas la respuesta en 42 % y un 76 % respectivamente que el código Venezolano, es decir consideran a la estructura en estudio con mayor ca-pacidad de disipar energía inelásticamente, en lo que respecta a Japón y México son mas conservado-res ya que reducen menos la respuesta en 44 % y 67 % respectivamente que el código Venezolano.

9. En lo que se refiere a los valores de corte basal obtenidos respecto al código venezolano, por códi-go Japonés es 72 % mayor, el obtenido por el UBC es 40 % menor, el obtenido por el código de Méxi-co es 20 % menor y por el código de Chile es 50 % menor. Como se puede observar después de Japón, Venezuela tiene la mayor magnitud. Esto se debe a que el código japonés, se presenta mayor exigencia

RELACIÓN DE FUERZA SÍSMICA POR NIVEL EN DIRECCIÓN X

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000

TECHO

6

5

4

3

2

1

NIV

EL

RELACION

JAPÓNVENEZUELAUBC 1997MEXICOCHILE

RELACION DE FUERZA SÍSMICA POR NIVEL EN DIRECCION Y

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000

TECHO

6

5

4

3

2

1

NIV

EL

RELACIÓN

JAPÓNVENEZUELAUBC 1997MÉXICOCHILE



a nivel constructivo, en lo que se refiere al aspecto de la distribución de rigideces a lo largo de la estructura además que para el cálculo de esta acción la estructura se ubica en una zona con mayor magnitud de aceleración horizontal. Si se observa los resultados obtenidos, se concluye que las acciones sísmicas de acuerdo al código Venezo-lano son mayores con excepción del código Japo-nés, lo que implica mayores costos a nivel cons-tructivo. Sin embargo proporciona buena confiabi-lidad de la integridad estructural, de esta forma contribuye a que las estructuras sean menos vulne-rables ante las acciones producidas por los sismos.

6. RECOMENDACIONES 1. Para modificaciones posteriores de la norma sismo-

rresistente Venezolana, se recomienda la incorpora-ción de un diagrama de flujo similar a las rutas de diseño definidas en el código japonés, en el cual se establezcan las rutas de cálculo a seguir para deter-minar las acciones sísmicas de forma más eficiente y que rija la evaluación de los parámetros de cálcu-lo en función de los requerimientos que este consi-dere.

2. Del mismo modo se recomienda la realización de un análisis comparativo de diseño sismorresistente, con el cual se puede cuantificar los costos de cada diseño.

REFERENCIAS

[1] Sauter Franz, “Fundamentos de ingeniería sísmica

I, introducción a la sismología”, Editorial Tecnoló-gica de Costa Rica, Año 1989.

[2] Documento en línea, http://www.scec.org/news/00news/news000401.html año 2004.

[3] Graces, José. “Introducción a la evaluación de la amenaza sísmica en Venezuela”. Primera Edición, Organización Graficas Carriles, Venezuela 2002.

[4] Anil K., Chopra, “ Dynamics of structures, theory and applications to earthquake engineering”, Pri-mera edición, organización graficas Carriles, Vene-zuela 2002

[5] Academia de ciencias científicas físicas matemáti-cas y naturales. “Diseño sismorresistente, especifi-

caciones y criterios empleados en Venezuela”, Vo-lumen XXXIII, Editorial Binev, 1997.

[6] Norma COVENIN MINDUR 1756-2001, “Edificaciones sismorresistentes”, Año 2001.

[7] Gómez C. Luis A. Y Guada R. Andreina, “Comparación en el diseño en concreto armado de estructuras según las normas COVENIN 1756-82, 1756-98 Y 1756-98 REV. 2001”. Tesis de Pregra-do, Universidad de Carabobo, 2002.

[8] Instituto nacional de normalización, “Norma Chi-lena Diseño Sísmico de Edificios”, Año 1993.

[9] Bazán, Enrique y Meli, Roberto, “Diseño sísmicos de edificios”, 5ta reimpresión, Editorial LIMUSA – Grupo Noriega Editores, Balderas, México D.F, Año 2002.

[10] International conference of building officials (UBC), “Código uniforme de la edificación 1997”, Volumen 2, versión en español, ICBO, Año 1999.

[11] Ministerio de construcción de Japón, “Reglamento normativo de construcción”, Año 1987.

[12] Gaceta oficial del departamento del distrito fede-ral, Numero 38, México, D.F., “Normas técnicas complementarias para diseño por sismo”, Año 1987.




Determinación de la distribución de esfuerzos y sus influencias durante la vida útil del sello para la bomba KSB ETA 32-200

Luis E. Vallés, Luis A. Michielli O., Antonio R. Salguero S.


Resumen

El sello mecánico es un componente vital en la mayoría de los equipos rotativos, mientras se encuentra en funcionamiento está sometido a presiones que inducen tensiones elevadas en sus partes. Esta razón es la principal causal del desgaste del sello mecánico acortando su vida útil; un factor determinante en este desgaste lo representa los efectos causados por el abrasivo que contiene el fluido. Conocer el patrón de desgaste del sello por efecto abrasivo en el tiempo, es importante para predecir el momento adecuado en el que se deberá reemplazar el mismo, por lo que se propone la creación de un modelo teórico conformado por ecuaciones que relacionan los parámetros de funcionamiento del sello mecánico, del flujo manejado y de la bomba, y de esta manera conocer, ante la combinación de estas ecuaciones el comportamiento de todas las variables que influyen en el desgaste para distintas condiciones de operación. El modelo teórico propuesto fue validado efectuando un ensayo experimental, para establecer las condiciones de trabajo reales del sello. Por otra parte, se pudo conocer que a medida que transcurre el tiempo la masa perdida en la cara rotativa va decreciendo linealmente, además de que el porcentaje de abrasivo no influye significativamente en la temperatura que alcanza las caras en operación. Palabras Claves: Sello mecánico, fricción, abrasivo, vida útil, desgaste.

Determination of stress distribution and its influences during the seal’s useful life for the pump KSB ETA 32-200

Abstract

The mechanical seal is a vital component in most of the rotary equipments, while it is in operation, it is subjected to pressures induce risen tensions in its parts. This reason is the principal causal of the mechanical seal wear shortening their useful life, and the effects caused by the abrasive contained in the fluid is another decisive factor in this wear. It is important to know the seal wear pattern for abrasive effect in the time to predict the right moment to replace the seal, for that the creation of a theoretical model conformed by equations that relate the operation parameters of the mechanical seal, of the managed flow and of the pump to know, in this way, the behaviour of all the variables that influence in the wear for different operation conditions trough the combination of these equations. The proposed theoretical pattern was validated making an experimental rehearsal, to establish the real work conditions of the seal. On the other hand, as long as the time pass, the lost mass in the revolving face decreases lineally besides that the abrasive percentage doesn't influence significantly in the temperature reaches the faces in operation. Keywords: Mechanical seal, friction, abrasive, useful life, wear.


1. INTRODUCCIÓN

En la mayoría de los procesos industriales se

manejan fluidos diversos para una amplia gama de aplicaciones, la bomba centrífuga como un componen-te esencial en el manejo de dichos fluidos interviene

de manera directa en la eficiencia de estos procesos. Los elementos internos que conforman la bomba, co-mo lo son: eje, impulsor, voluta, sello o empacadura y carcasa, determinan el óptimo funcionamiento de la misma. Uno de los componentes con mayor exigencia

mecánica dentro de una bomba centrífuga lo repre-senta el sello. El no conocer los esfuerzos que actúan sobre el sello, ante parámetros de operación y funcio-namiento de una bomba en una situación cualquiera, dificulta predecir el momento en el cual dicho sello fallará. En consecuencia, sería muy útil conocer hasta qué punto el sello cumple con su función, y bajo qué condiciones puede hacerse uso de él para los diferen-tes procesos en la industria. Para predecir la vida útil de sello esta investigación plantea la generación teóri-ca de un modelo matemático validado por los datos obtenidos de un ensayo experimental.

2. METODOLOGÍA Desarrollo del modelo teórico Este desarrollo consiste en la modelación matemá-tica de los principales fenómenos que intervienen cuando el sello está trabajando, como lo son: esfuer-zos de presión, esfuerzos fricciónales, esfuerzos por temperatura, y esfuerzos centrífugos. Hasta llegar a la predicción teórica del desgaste del sello por efectos abrasivos. Estudio de los esfuerzos a los que está sometida la cara rotativa del sello Mientras que el sello está en funcionamiento se encuentra sometido a presiones, que inducen tensio-nes elevadas en sus componentes, las cuales se ven reflejadas directamente en las caras del sello provo-cando cargas de fricción y a partir de esta cargas térmicas. El sello se diseña de tal forma, que la cara rotativa sea el componente que falle antes de cualquier otro componente [1]. Por tal motivo, el desarrollo del modelo teórico consiste en analizar los esfuerzos productos de las cargas a la cual se encuentra sometida la cara rotativa de sello [2], los esfuerzos a analizar son: 1. Esfuerzos inducidos por la presión existente en la

caja de sellado. 2. Esfuerzos inducidos por fricción y temperatura. 3. Esfuerzos producidos por el efecto centrífugo.

Esfuerzo en la cara rotativa por presión en la caja de sellado La caja de sellado se encuentra justo atrás del impulsor de la bomba, y es el hogar del sello, en esta existe una presión P1, por causa del fluido que se escapa de la boca de descarga y se acumula en ella (Figura 1), dicha presión debe ser sellada. La presión P1 , se puede calcular de la siguiente manera:

Figura 1. Ubicación caja de sellado.

Entre el eje de la bomba y el sello existe una presión P2, que es la presión atmosférica P2(manométrica) = 0. La presión efectiva entre las caras del sello viene dada por la ecuación:

Esta es la presión promedio que actúa en las caras del sello, si se considera un modelo lineal (K1 = 0,5), esto es cuando las caras de sellado se man-tienen totalmente paralelas durante el tiempo de ope-ración (lográndose con el correcto montaje del sello, asegurándose la alineación del eje y reduciendo al máximo las vibraciones), la distribución de presiones en la cara del sello está conformada por una distribu-ción en forma triangular por efectos de la diferencia de presión P1-P2, y otra rectangular por efectos del resorte (Ver Figura 2), [3, 4].

1 0.1( )P Ps Pd Ps= + −


1( )G rP p K K P= ∆ − +

Determinación de la distribución de esfuerzos

(1)

(2)

Caja de Sellado

De la Figura 2 se puede deducir que la presión que actúa en un determinado punto de la cara, en fun-ción del radio, es la ecuación de la recta que se forma en el trapecio de presión efectiva resultante por la constante del balanceo del sello (K), dicha ecuación es:

Figura 2. Presión efectiva en las caras del sello. Finalmente, la distribución de presiones (esfuerzo) a los que está sometido la cara, por efectos de la presión hidráulica y la presión del resorte, se observa en la Figura 3.

Figura 3. Distribución de esfuerzos por diferencia de presión.

Esfuerzo en la cara rotativa por efectos fricciónales Existen dos tipos de fricción que actúan en la cara, una fricción ocasionada por el contacto entre las caras (Frc) y otra fuerza de fricción por el líquido y la cara (Frl), existe un factor empírico llamado núme-ro de Guembel [5, 6], el cual da una idea de las con-diciones de fricción en la cual está trabajando el se-llo, y cual es la condición de fricción predominante, es decir, si bajo ciertas condiciones de trabajo la fric-ción es mixta (Frc+ Frl), o predomina la fricción oca-sionada solamente por el líquido Frl. La fuerza friccional ocasionada por el contacto (Frc) se puede determinar como: Frc = fN , donde: f es el factor de fricción o coeficiente de roce, y N es la fuerza normal que actúa sobre la cara. La fuerza normal es producto de la distribución de presiones entre las caras en contacto explicadas en el punto anterior. Para determinar como es la distribu-ción de estas fuerzas sobre la cara es necesario hacer el siguiente análisis diferencial:

Figura 4. Análisis del diferencial de fuerza. El diferencial de fuerza se obtiene de la siguiente manera: df = PdA, en donde la presión es conocida pero varía en función del radio como lo describe la siguiente ecuación [7-9]. El diferencial de área (dA) se termina como sigue; dA = r(dr)(dθ). Si la ecuación se describe de la siguiente manera:

( ) ( )( )( )1 1 2 1

2 1

( ) rK r R P R R PP r

R R− + −

=−


Vallés, Michielli, y Salguero

(3)

donde:

entonces; P(r)= ar + b Se observa claramente en la Figura 4, que el ángulo θ varía entre 0 y 2π, y el radio r varía entre R1 y R2, lo cual nos conduce a la siguiente integración doble:

al sustituir P = ar + b, y dA = r(dr)(dθ) , quedando:

resolviendo la doble integración la fuerza queda definida según la siguiente ecuación:

Esta ecuación muestra como se comporta la fuerza ejercida a la cara por efectos de la presión hidráulica por el contacto [10]. Entonces la fuerza de fricción por contacto queda definida así:

sustituyendo a los factores a y b:

La fuerza friccional ocasionada por el líquido sobre las caras se puede aproximar como una fuerza que actúa constante en toda la superficie de la cara, y viene definida por:

Donde, η: Viscosidad dinámica. VG: Velocidad de deslizamiento. Ac: Área de contacto entre las caras. h: Holgura entre las caras. La distancia entre las caras h, se puede aproxi-mar a la diferencia de las rugosidades aritméticas (Ra) de los materiales de las caras en contacto. Finalmente, la fuerza friccional total (Fr = Frc+ Frl), también llamada fuerza de roce mixta, actuante sobre la cara, la representa la siguiente ecua-ción:

El esfuerzo a los que está sometido la cara por efectos fricciónales (σf ) se puede calcular de la si-guiente manera; σf = Fr/Aa , de tal modo que la ecuación queda:

Esfuerzo en la cara rotativa por efectos térmicos causados por fricción. El calor causado por fricción entre dos superfi-cies en contacto, en donde una se desliza respecto a la otra, depende de los siguientes factores:

1 2 r 1 1 r

2 1 2 1

P ( P )( )( ) ( )

rPK R K R K PP rR R R R

− += +

− −

∫ ∫=π2

0

2

1

R

R

PdAF

∫ ∫ +=π

θ2

0

2

1

)(R

R

rdrdbarF

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−= )(

2)(

32 2

12

23

13

2 RRbRRaF π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−= )(

2)(

32 2

12

23

13

2 RRbRRafFrc π

hAcV

F Grl

η=( )2 r 1 1 r

2 1

P ( P )( )

K R R Pb

R R− +

=−)( 12

1

RRKPa

−=

3 3 2 21 2 r 1 1 r2 1 2 1

2 1 2 12 2

2 1

P ( P )2 ( ) ( )3( ) 2( )

( )

... G

P R R PfK R R R RR R R R

fR R

Vh

σ

η

⎡ ⎤− +− + −⎢ ⎥− −⎣ ⎦=

−

+

( ) ( )3 312 1

2 1

2 ...3r

PF f K R RR R

π⎡

= − +⎢ −⎣

( )( ) ( )2 22 r 1 1

2 12 1

P...

2rR R P P

R RR R

⎤− +− +⎥− ⎦

( )2 22 1GV R R

h

η π −


3 312 1

2 1

2 ( ) ...3( )rc

PF f K R RR R

π⎡

= − +⎢ −⎣

2 22 r 1 1 r2 1

2 1

P ( P ) ( )2 ( )

R R P R RR R

⎤− +− ⎥− ⎦


(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

las propiedades de los materiales en contacto, la velo-cidad de deslizamiento de un material respecto al otro y la potencia de calor disipada en el contacto. Para este modelo, la máxima temperatura que puede alcanzar la cara rotativa viene dada por la si-guiente ecuación:

Esfuerzos en la cara rotativa por efecto centrífugo El fluido que se encuentra entre las caras del sello, por efectos de la rotación del eje, es lanzando radialmente hacia fuera, creando una fuerza centrífuga que actúa sobre las caras. Esta fuerza centrífuga in-tenta abrir las caras del sello, ejerciendo sobre éstas una presión que se puede calcular como sigue:

Donde: ρ = densidad del fluido entre las caras. ω = velocidad angular. D2 y D1 = Diámetro exterior e interior respec-

tivamente Modelo de desgaste abrasivo en la cara rotativa El desgaste depende principalmente de la velo-cidad de las partículas (asociado esto a las velocidad a la que gira la bomba), la dureza y de su tamaño [11]. Se tiene una ecuación que permite calcular el volumen retirado de la superficie afectada en función de la du-reza de la misma, la fuerza ejercida sobre esa superfi-cie, la longitud que recorre la partícula y una constan-te de desgaste definida por la forma y geometría de la partícula. La constante de proporcionalidad (Kdesg), depende de varios factores; con respecto al tipo de abrasivo se encuentra el tamaño del grano y la densi-dad y con respecto al medio está el % de abrasivo pre-

sente en el fluido y la densidad del fluido. Se calcula por medio de la siguiente ecuación:

Para que esta ecuación tenga mayor aplicación sobre el estudio realizado es conveniente transformar-la a masa perdida en función de los parámetros rela-cionados a la operación de la bomba, los radios del sello mecánico, el diferencial de presión en la caja de sellado, la velocidad angular de la bomba, el tiempo que va a permanecer funcionando el sello y la dureza del material atacado, se tiene la siguiente expresión:

Con esta ecuación se puede determinar teórica-mente la cantidad de masa retirada de la superficie de la cara rotativa.

3. DISEÑO DEL ENSAYO EXPERIMENTAL Descripción general del banco de ensayo El objetivo del ensayo experimental, es la comprobación del modelo teórico, sometiendo al sello a las condiciones de operación reales. Para ello se diseñó un banco de ensayo, con la bomba original KSB ETA 32-200 y con el sello marca Burgmann M2 original. En la Figura 5, se muestra una vista general del banco de ensayo. Este sistema, simula las condiciones reales en la cual trabaja un sello. El motor pone en fun-cionamiento el sistema, haciendo que el eje se mueve y por ende la cara rotativa del sello. El compresor presuriza el tanque a la presión habitual de trabajo del sello además de generar turbulencia del agua para una simulación más real. La presión dentro del tanque presurizado es controlada por la válvula de alivio.

DCF Q tT Tb

γ∞= +

)(803 2

12

22 DDPz −= ρω

( ) ADFDAPdesg FFFFK ++=

HFKLV3

=

( ) ( )3 321 2 1

2 1

4 1 ...3 3

desg m CRK wKR tm P R R

H R Rρ

π ⎡= − +⎢− ⎣

( )( ) ( )2 2 2 2r 2 1 2 1 1 1 2 1

1 1P P2 2

R R R R R R R ⎤− − − − ⎥⎦



(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Figura 5. Vista general del banco de ensayo. Procedimiento de realización del ensayo El ensayo experimental se divide en tres fases principales: FASE I: En esta fase las caras del sello son examinadas, en un cuarto de control de calidad, en donde la tempera-tura y la humedad relativa están controladas en 20 °C y 60 % respectivamente, esto según la norma COVENIN 2.424 - 2.000 y 2.425 - 2.000. Primeramente se pesan las caras, con un balanza de apreciación 0,01 g y se tabulan los valores. Luego se toman las medidas de la cara rotativa con instrumen-tos de alta precisión. FASE II Esta fase consiste en el montaje del ensayo y el seguimiento en operación. Montaje del ensayo: 1. Se coloca los O-ring a la brida y a la cara estacio-

naria, y luego se introduce en la brida del sello me-cánico, el conjunto se introduce en el eje.

2. Se arma la parte rotativa, en donde, se coloca el

o-ring, el anillo de empuje y el resorte a la cara estacionaria, luego se introduce este conjunto en el eje previamente lubricado.

3. Se coloca el anillo de sujeción a la distancia de trabajo del sello. Habiéndose cumplido los pasos 1, 2 y 3, el montaje se ve como se observa en la Figura 6:

Figura 6. Vista montaje hasta los pasos 1, 2 y 3.

4. Se coloca el o-ring a la tapa y se coloca en la bom-ba, luego se aprietan los tornillos de la tapa suje-tando así la brida de sello (Ver Figuras 7 y 8).

Figura 7. Tapa de la bomba montada.

5. Se coloca la voluta, el suministro de aire compri-

mido y se inserta el agua (1335 mL) y el abrasivo. 6. Luego se coloca el manómetro y se enciende la

bomba, se abre la válvula de paso del aire compri-mido y con la válvula de alivio se controla la pre-sión a la deseada.

Entrada de Aire Comprimido

Manómetro

Válvula

Bomba Motor

Brida

Cara Estacionaria

Cara Rotativa

Anillo Sujeción



Figura 8. Detalle del apriete de los tornillos de la tapa a la

brida del sello. Seguimiento durante ensayo: Para tiempos de: 0, 3, 7, 10, 15, 20, 30 ,45, 60, 75, 90, 120, 150 y 180 minutos, se toma la temperatura de trabajo del sello con un instrumento láser de preci-sión 0,1 °C y a parte se verifica que el goteo sea el permisible para las condiciones de trabajo del sello. FASE III: Transcurridas tres (3) horas de haber arrancado la bomba, se detiene la misma se corta el suministro de aire comprimido y se procede a desmontar todo el ensayo. Las caras son limpiadas en un equipo de ultrasonido para evitar que les quede arena impregnada y pueda afectar las mediciones, luego se dejan secar las caras por un lapso no menor de 12 horas para evitar que la humedad de la cara de carbón pueda afectar las mediciones. Se siguen las fases 1, 2 y 3 en días poste-riores consecutivos con el mismo sello hasta que éste falle. Consideraciones generales del ensayo 1. Se ensayaron dos sellos mecánicos, debido a que es

un componente muy costoso y solo se disponían de dos sellos donados por la empresa, para el primer sello se utilizó un 5 % de abrasivo y en el segundo un 10 %. Manteniéndose las demás condiciones iguales entre sellos.

2. Los ensayos se realizaron todos en la mañana, para que las condiciones ambientales sean las mismas.

3. La temperatura fue tomada en la parte posterior de la tapa, ver Figura 9, que es lugar más cercano don-de se encuentra trabajando el sello.

Figura 9. Vista toma de temperatura.

4. Se diseñó una planilla donde se tabularon las masa, medidas de las caras del sello y la temperatura de trabajo. Además del procedimiento que se debe se-guir para el montaje del ensayo, la hora de inicio y de finalización del ensayo.

Especificación de los parámetros de trabajo en la validación Con la finalidad de determinar la validez de las ecuaciones que conforman el modelo teórico, es nece-sario establecer parámetros de funcionamiento real con los que opera la bomba. La presión de la caja de sellado depende directamente de la presión de succión y descarga de la bomba, para lograr una presión relati-vamente alta en la caja de sellado (P = 4 bar) por efec-tos de tiempo de duración del ensayo, es necesario asu-mir éstos parámetros de funcionamiento de la bomba. Si se toma en cuenta a la bomba KSB ETA 32-200, trabajando cercano a máxima eficiencia, esto es Hm = 63,9 m y Q = 17,5 m3/h y una presión de suc-ción Ps =3,39 bar (que se considera una presión de succión típica de trabajo de la bomba), aplicando Bernoulli entre la succión y la descarga de la bomba, resulta Pd = 9,49 bar. Además como fluido de trabajo se asumió, agua a T = 30 ºC y 5 % de abrasivo para el primer sello, y 10 % de abrasivo para el segundo sello. Es de hacer notar que estas variables como lo son; presión de succión y descarga, temperatura y porcentaje de abrasivo en el fluido, están todas contempladas en el modelo teórico generado, por lo que ellas pudiesen tomar cualquier valor, los valores tomados son para ejecutar el modelo y el ensayo y poder establecer una



comparación entre ellos. Con la finalidad de determinar la validez de las ecuaciones que conforman el modelo teórico, es necesario establecer parámetros de funcionamiento real con los que opera la bomba temperatura y porcentaje de abrasivo, que para la ejecución del modelo y el ensayo se asumirá en T = 30 ºC y 5 % de abrasivo para el primer sello, y 10 % de abrasivo para el segundo sello.

4. RESULTADOS Y SU DISCUSIÓN Resultados y discusiones del modelo teórico y el ensayo experimental. Específicos del sello

Tabla 1. Resultados específicos del sello.

De las condiciones de trabajo

Tabla 2. Resultados de las condiciones de trabajo.

Datos en operación

Tabla 3. Datos en operación.

Comparación de presiones

Tabla 4. Comparación de los resultados de presiones.

De la distribución de presiones La presión en cualquier punto de la cara quedó definida por:

Esta ecuación es para valores 13,25 < r <16, que son el radio R1 y R2 de la cara en milímetros y la presión que resulta es en KPa. Si graficamos la expresión anterior se obtiene lo que a continuación se muestra en la Figura 10. • La Figura 10 es una línea recta de pendiente posi-

tiva, es decir, mientras mayor es el radio de la cara, mayor es la presión que está aplicada en ese punto. Siendo la máxima presión ( para r = R2) es de Pmax = 731,38 KPa, y la mínima presión (para r = R1), Pmin = 235,38 KPa.

425.154.2363,180)( −= rrP

Variable Valor Rm 0,014625 m Aa 2,527x10-4 m2 Ac 3,137x10-4 m2 K 1,24 K1 0,5 Fr 47,97 N Pr 189,8279 KPa h 0,15 µm

Variable Valor P1 400 KPa P2 0 KPa ∆P 400 KPa w 375,943 rad/s L 7,38 x10-2 mL/h

Variable Valor PG 485,8279 KPa VG 5,498 m/s κ 1,714 f 0,035 G 4,37x10-7 b1 3.672,873 w.s1/2/mºC b2 8.586,92 w.s1/2/mºC γ 0,3

Qf 93.487,862 W/m2 P.V 2.662,33 x 103 Pa.m/s Pz 1.697,769 Pa

PG σf Pz 485,8279 Pa 29.246,226 Pa 1.697,769 Pa



(19)

Figura 10. Presión en cada punto de la cara. • Es de hacer notar, que este modelo de distribución

de presiones se cumple no sólo para el sello en es-tudio, sino para cualquier sello que sea montado internamente y de presurización externa, siempre y cuando se garantice el paralelismo de las caras en el montaje y operación del sello.

• Experimentalmente se demostró éste modelo de distribución de presiones (Ver Figura 11), en donde se puede observar claramente que hacia la periferia de la cara se ha deteriorado.

Figura 11. Detalle de desgaste (sello a las 12 horas). De los esfuerzos friccionales

σf = 29.246,226 Pa

• Este es el valor de esfuerzo friccional promedio que actúa en la cara del sello, dicho valor es pequeño comparado con el efecto de presión hidráulica en las caras, siendo aproximadamente 17 veces menor (Ver Tabla 4).

• El número de Guembel para el cálculo del factor de fricción es de 4,37x10-7, lo cual indica que el sello está trabajando bajo condiciones de fricción de líquido, por lo que el esfuerzo friccional es bajo ya que existen buenas condiciones de lubricación.

• El comportamiento de los esfuerzos friccionales a lo largo de la cara es comparable a la distribución de presiones, en el sentido de que, es mayor hacia la periferia de la cara y menor mientras el radio sea más pequeño, pero no se comportan de manera lineal.

Del efecto térmico causado por fricción En esta expresión se debe introducir el tiempo en segundos para que la temperatura resultante este dada en grados Celsius (ºC). Para una mejor visualiza-ción en la Figura 12 los tiempos se muestran en minutos.

Figura 12. Variación de temperatura con el tiempo (Teórico) • Este modelo infiere que la temperatura tiene un

mayor incremento en los primeros minutos y luego sigue incrementándose con la misma variación al transcurrir el tiempo.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

12 13 14 15 16 17

Radio de la cara (mm)

Pres

ión

(kPa

)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

12 13 14 15 16 17

Radio de la cara (mm)

Pres

ión

(kPa

)

Zona Pulida

Zona Desgastada

30 0, 2214T t= +

25

30

35

40

45

50

55

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(°C

)



(20)

(21)

Figura 13. Variación de temperatura con el tiempo. • En la Figura anterior se observa para ambos sellos

ensayados que las temperaturas no varían signifi-cativamente entre ellos, esto quiere decir que el porcentaje de abrasivo presente en el fluido es una variable que no influye en la temperatura de traba-jo del sello.

• En los primeros minutos hay incrementos altos de temperatura, y a medida que va transcurriendo el tiempo, estas variaciones se van reduciendo hasta llegar al momento en que tiende a estabilizarse la temperatura.

Para analizar los resultados obtenidos entre el modelo teórico y el ensayo experimental es conve-niente visualizar la Figura 14. • Como se evidencia en la Figura 14, el modelo

teórico y los resultados experimentales se aproxi-man. Los valores experimentales tienden a esta-bilizarse a partir de los 90 minutos, en cambio la curva del modelo teórico siempre tiende a aumen-tar.

• Tanto los resultados experimentales como teóri-cos presentan un cambio de temperatura acelera-do en los primeros minutos, y luego las tempera-turas aumentan en variaciones menores.

• Para el intervalo de temperatura 0 - 180 minutos, la diferencia máxima entre los valores experimen-tales y el teórico es 6,33 ºC, lo cual ocurre para t = 180 min.

Figura 14. Comparación de los resultados teóricos experimentales de temperatura.

• El modelo teórico generado es una referencia

válida de lo que ocurre cuando el sello trabaja. Sin embargo, éste no contempla que las temperaturas tiendan a mantenerse luego de un lapso de tiempo específico por efecto del calor que se entrega al fluido de trabajo de la bomba.

• La confiabilidad del modelo teórico de temperatu-ra entre 0 y 90 minutos esta entre el 96 y 99 %, calculado con la siguiente formula:

Del esfuerzo en la cara rotativa por efecto centrífugo

Pz = 1.697.769 Pa

• Como se puede observar este valor de esfuerzo por efecto centrífugo que actúa en la cara del sello, es pequeño comparado con el efecto friccional y más aún con el de presión hidráulica en las caras, siendo 17 veces menos al esfuerzo friccional y 286 veces menor al efecto por la presión hidráulica (Ver Tabla 4)

• El comportamiento de estos esfuerzos son en dirección radial y con la misma magnitud en toda la cara, tratando de expulsar la película del fluido entre ellas y que está siendo usada como lubricante.

25

30

35

40

45

50

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(°C

)

Sello N° 1 Sello N° 2

25

30

35

40

45

50

55

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(°C

)

Sello N° 1 Sello N° 2 Teórico

25

30

35

40

45

50

55

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(°C

)

Sello N° 1 Sello N° 2 Teórico

Re% 100alC xTeorico

=



(22)

(23)

Del desgaste abrasivo en la cara rotativa El desarrollo teórico del desgaste en la cara rotativa del sello para 5 % y 10 % de abrasivo, viene dado por las siguientes expresiones: 5 % Abrasivo: 10 % Abrasivo: Estas ecuaciones, fueron calculadas para intro-ducir el tiempo en segundos y muestre los resultados de masa perdida en la cara rotativa del sello en gramos (g). Graficando las expresiones anteriores y colocando el tiempo en horas para una mejor apreciación observe la Figura 15:

Figura 15. Masa perdida por unidad de tiempo para 5 y 10 % de abrasivo (Teórico).

• Ambos gráficos son una línea recta de pendiente

positiva, es decir, mientras mayor es el tiempo de operación, mayor es la masa que va perdiendo la cara rotativa.

• Para 5 % de abrasivo la masa perdida es de 0,0166 g/h en la cara rotativa y para 10 % de abra-sivo la masa perdida es de 0,0195 g/h, lo cual indi-ca que el modelo teórico infiere que a mayor por-centaje de abrasivo presente en el fluido maneja-do, mayor será el desgaste que sucede en la cara.

• El modelo teórico desarrollado muestra la pérdida de masa en la cara en función del tiempo, mas no predice cual es la máxima masa que se debe perder para que el sello falle.

En la fase experimental los resultados obteni-dos, para el sello Nº 1 (ensayado con 5 % de abrasivo) y el sello Nº 2 (ensayado con 10 % de abrasivo), se observa como se muestra gráficamente en la Figura 16:

Figura 16. Masa perdida por unidad de tiempo para 5 y 10 % de abrasivo (Experimental).

• El sello Nº 1 falló a las 28 horas y 27 minutos en

operación siendo la masa perdida hasta ese instante de 0,52 g.

• El sello Nº 2 falló a las 25 horas y 19 minutos en operación experimentando una pérdida de masa hasta ese momento de 0,50 g.

• Ambas gráficas tienen una marcada tendencia li-neal de desgaste, es decir, mientras aumentan las horas en operación la masa perdida también au-mentan.

Para analizar los resultados obtenidos entre el modelo teórico y el ensayo experimental en el primer y segundo sello, es conveniente visualizar las Figuras 17 a la 20:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44

Tiempo (hr)

Mas

a Pe

rdid

a (g

r)

5 % de Abrasivo 10 % de Abrasivo

64,62 10m x t−=

65,43 10m x t−=

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 10 20 30 40

Tiempo (hr)

Mas

a Pe

rdid

a (g

r)

Sello Nº 1 Sello Nº 2

5% de Abrasivo

10% de Abrasivo



(24)

(25)

Figura 17. Comparación del modelo teórico y el resultado experimental sello Nº 1.

Figura 18. Comparación del modelo teórico y el resultado experimental sello Nº 2.

• En las dos figuras anteriores se puede observan

que para ambos casos el modelo teórico y los re-sultados del modelo experimental son muy aproximados, lo que le da gran validez al modelo teórico propuesto en esta investigación.

• En el primer sello, entre el modelo teórico y el experimental (Figura 17), la máxima diferencia entre los valores de masa perdida es de 0,0415 g que sucede al momento en que falla el sello.

• En el segundo sello, entre el modelo teórico y el experimental (Figura 18), la máxima diferencia entre los valores de masa perdida es de 0,0392 g, que a diferencia del primer sello esta ocurre a las 24 h de operación, pero si muy cercano al momen-to cuando falla el sello, como sucedió en el primero.

Para una aplicación más práctica de estos resultados del comportamiento del sello mecánico con respecto a la cantidad de abrasivo en el tiempo, se presenta la Figura 19:

Figura 19. Vida útil respecto al % de abrasivo.

• En la figura anterior, se puede observar que la vida útil máxima del sello ensayado (M2/25 Burgmann), es para 0 % de abrasivo y de aproxi-madamente tres años.

• El efecto del porcentaje de abrasivo presente en el fluido se acentúa a partir de 5 %, en el gráfico se puede observar que para rangos de porcentaje de abrasivo ente 0 y 4 % la vida del sello está dada en años, y en el rango de 5 % a 20 % la vida del sello es en horas.

En la Figura 20 se muestra la variación de ésta medida para los dos sellos.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Tiempo (hr)

Mas

a Pe

rdid

a (g

r)

Experimental Teórico

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo (hr)

Mas

a Pe

rdid

a (g

r)

Experimental Teórico

(h)



Figura 20. Variación de F respecto del tiempo. • Ambas curvas presentan una tendencia lineal de

pendiente negativa, es decir, a medida que transcurre el tiempo, el ancho de la cara también decrece.

• En la Figura 20 se evidencia el efecto del porcen-taje de abrasivo en el fluido, respecto a la variación del ancho de la cara. Se observa que para el sello Nº 2 el desgaste en el ancho de la cara es más acelerado que en el sello Nº 1.

5. CONCLUSIONES • Los esfuerzos por efectos de presión hidráulica

entre las caras del sello, se comportan linealmente, mientras se mantenga el paralelismo de las caras, efecto que se comprobó con los datos arrojados por el ensayo.

• El esfuerzo friccional promedio que actúan en las caras del sello, es significativamente menor a los esfuerzos producidos por la presión hidráulica, cuando las condiciones de trabajo son tales que el sello trabaja en un régimen de fricción adecuado.

• El modelo teórico de temperatura, es confiable entre un 96 – 99 % y representa una buena aproxi-mación de lo que ocurre en la realidad solamente hasta los 90 minutos de operación del sello, puesto que luego de este valor, la temperatura del sello se estabiliza.

• La temperatura de las caras del sello luego de 90 minutos en operación, no se rige por la ecuación

teórica de temperatura, sino que se mantiene aproximadamente constante en este último valor.

• La temperatura, no es una variable que dependa del porcentaje de abrasivo presente en el fluido.

• El esfuerzo centrífugo presente en las caras, es siempre mucho menor a los esfuerzos fricciónales, y mucho más aún a los esfuerzos por efectos de la presión hidráulica.

• Experimentalmente se comprobó que el desgaste de la cara rotativa por efectos abrasivos está en función del tiempo, la presión en la caja de sellado, la presión del resorte, la dureza de la cara, la fuerza perpendicular aplicada a la cara y la constante de desgaste.

• La vida útil del sello es una función directa del porcentaje de abrasivo presente en el fluido.

• Cuando la masa perdida de la cara rotativa del sello alcanza aproximadamente los 0,5 g, el sello supera-rá el goteo máximo permisible, por lo que éste es un valor crítico a partir del cual se considera que el sello falló.

REFERENCIAS

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Ingeniero mecánico (9na Edición). México: MacGraw-Hill.

[2] Damage of mechanical seal (2000). Burgmann Internacional.

[3] Díaz Matalobos, A. (1992). Confiabilidad en man-tenimiento (1era Edición). Caracas, Venezuela: Ediciones IESA.

[4] Karassik, T. y otros. (1999). Manual de Bombas ( 3era Edición). México: MacGraw-Hill.

[5] Kreith, Frank. (1970). Principios de transferencia de calor (1era Edición en Español). México: Herrero Hermanos, Sucesores, S.A

[6] Manual de información (1999). Burgmann Venezuela.

[7] Manual de sellos mecánicos (1995). John Krane Venezuela.

[8] Mc Naughton, K (1992). Bombas. Selección, uso y mantenimiento. México: MacGraw-Hill.

[9] Mechanical seal practice for improved performance (1era Edición). London: J D Summers-Smith.

[10] Mechanical seals. Desing Manual (2000). Burg mann Internacional.

[11] Rodríguez, P. Manual (1998). Manual de sellos mecánicos (1era Edición). Barquisimeto, Venezue-la: Agrafic C.A.

14,4

14,5

14,6

14,7

14,8

14,9

15

15,1

15,2

15,3

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

tiempo (hr)

Anc

ho d

e la

Car

a (m

m)

dd

Sello Nº 1 Sello Nº 2

(h)



1. INTRODUCCIÓN

Los métodos evolutivos están basados en poblaciones de soluciones. A diferencia de los méto-dos clásicos de mejora basados en seguimiento de tra-yectorias, en cada iteración del algoritmo no se tiene

una única solución sino un conjunto de éstas [1]. Es-tos métodos

se basan en generar, seleccionar, combinar y

reemplazar un conjunto de soluciones. Dado que mantienen y manipulan un conjunto en lugar de una única solución a lo largo de todo el proceso de

Métodos evolutivos en problemas de optimización

Enrique Alba(1), Manuel Laguna(2), Rafael Martí(3) (1)Universidad de Málaga, España

(2)University of Colorado at Boulder, USA (3)Universidad de Valencia, España

Email: [email protected], [email protected], [email protected]

Resumen

La existencia de una gran cantidad y variedad de problemas difíciles, que aparecen en la práctica y que necesitan ser resueltos de forma eficiente, ha impulsado el desarrollo de procedimientos para encontrar buenas soluciones. Estos métodos, en los que la rapidez del proceso es tan importante cómo la calidad de la solución obtenida, se denominan heurísticos o aproximados. Los procedimientos metaheurísticos constituyen la nueva generación de método aproximados, y dan unas reglas o estrategias que guían la construcción o el diseño del algoritmo heurístico concreto que resolverá el problema dado. Aun así, estas reglas no son rígidas y tienen muchos grados de libertad, permitiendo, por un lado, el diseño de diferentes métodos basados en la misma metodología, pero, dejando por otro lado al investigador la libertad para tomar decisiones e iniciativas al diseñar el método. Una de las familias de métodos que podemos encontrar dentro de los procedimientos metaheurísticos es la de los llamados algoritmos evolutivos. En este trabajo se describen tres de estos métodos que han demostrado su efectividad en los últimos años: los algoritmos genéticos, la búsqueda dispersa y el re-encadenamiento de trayectorias. Palabras claves: Métodos evolutivos, búsqueda dispersa y re-encadenamiento de trayectorias.

Evolutionay methods for optimization problems

Abstract

The main shortcoming of classical heuristic methods to solve hard optimization problems is their inability to escape local optimality. Meta-heuristics provided a way of considerably improving the performance of simple heuristic procedures. The search strategies proposed by meta-heuristic methodologies result in iterative procedures with the ability to escape local optimal points. Metaheuristics have been developed to solve complex optimization problems in many areas, with combinatorial optimization being one of the most fruitful. Generally, the best procedures achieve their efficiencies by relying on context information. The solution method can be viewed as the result of adapting meta-heuristic strategies to specific optimization problems. Evolutionary methods are a class of metaheuristics that construct solutions by combining others by means of strategic designs. The goal of these procedures is to enable a solution procedure based on the combined elements to yield better solutions than one based on the original elements. These methods operate with a population of solutions, rather than with a single solution at a time, and employ procedures for combining these solutions to create new ones. In this paper consider three of the most popular evolutionary approaches: genetic algorithms, scatter search and path relinking, and their strategies that provide useful alternatives to more established search methods, its describe the features of these methods that offer opportunities for creating increasingly more versatile and effective methods in the future. Keywords: Evolutionary algorithms, scatter search, path relinking.



se puede ver agravado porque la “convergencia” de la población requiera de un gran número de iteraciones. Por ello se ha dedicado un gran esfuerzo a obtener métodos que sean más agresivos y logren obtener so-luciones de calidad en un horizonte más cercano.

2. ALGORITMOS GENÉTICOS Los Algoritmos Genéticos (AG’s) fueron intro-ducidos por John Holland [2] fundamentado en el proceso observado en la evolución natural de los se-res vivos. Básicamente, los AG’s imitan el proceso de evolución natural, el principal mecanismo que guía la aparición de estructuras orgánicas complejas y bien adaptadas. De forma muy simplificada, la evolución es el resultado de las relaciones entre la creación de nueva información genética y los procesos de evalua-ción+selección. Los biólogos han estudiado en profundidad los mecanismos de la evolución, y aunque quedan parce-las por entender, muchos aspectos están bastante ex-plicados. De manera muy general se puede decir que en la evolución de los seres vivos el problema al que cada individuo se enfrenta cada día es la superviven-cia. Cada individuo en una población se ve afecta-do por el resto (compitiendo por recursos, empareján-dose para procrear, huyendo de los depredadores, ...) y también por el entorno (disponibilidad de comida, clima, ...). Los individuos mejor adaptados son los que tienen mayores posibilidades de vivir más tiempo y reproducirse, generando así una progenie con su información genética (posiblemente modificada). A nivel de los genes, el problema de la supervi-vencia es el de buscar aquellas adaptaciones benefi-ciosas en un medio hostil y cambiante. Debido en parte a la selección natural, cada especie gana una cierta cantidad de “conocimiento”, el cual es incorpo-rado a la información de sus cromosomas. En el transcurso de la evolución se generan poblaciones sucesivas con información genética de los individuos cuya adecuación es superior a la de la media. La natu-raleza no determinista de la reproducción provoca una creación permanente de información genética nueva, y por tanto la aparición de distintos individuos.

Así pues, la evolución tiene lugar en los cro-mosomas, en donde está codificada la información del ser vivo. La información almacenada en el cro-mosoma varía de unas generaciones a otras. En el proceso de formación de un nuevo individuo, se com-bina la información cromosómica de los progenitores, la forma exacta en que se realiza es aún descono-cida. Aunque muchos aspectos están todavía por discernir, existen unos principios generales de la evo-lución biológica ampliamente aceptados por la comu-nidad científica. Algunos de estos son: • La evolución opera en los cromosomas en lugar de

en los individuos a los que representan. • La selección natural es el proceso por el que los

cromosomas con “buenas estructuras” se reprodu-cen más a menudo que los demás.

• En el proceso de reproducción tiene lugar la evolu-ción mediante la combinación de los cromosomas de los progenitores. Se llama recombinación a este proceso en el que se forma el cromosoma del descendiente. También son de tener en cuenta las mutaciones que pueden alterar dichos códigos.

• La evolución biológica tiene una memoria implíci-ta (no explícita) en el sentido de que en la forma-ción de los cromosomas únicamente se considera la información del período anterior, pero la repre-sentación n-ploide (diploide en los humanos) per-mite almacenar información que resultó de interés en el pasado en un entorno ambiental distinto

Este modelo neo-Darwiniano de la evolución orgánica se refleja en la estructura de un algoritmo genético. Así, los algoritmos genéticos establecen una analogía entre el conjunto de soluciones de un proble-ma y el conjunto de individuos de una población na-tural, codificando la información de cada solución en una cadena (vector binario) a modo de cromosoma. Este cromosoma (único o múltiple) forma junto con su aptitud un “individuo” sobre el que el algoritmo aplica sus operaciones. En palabras del propio Holland:

“Se pueden encontrar soluciones aproxima-das a problemas de gran complejidad computacional mediante un proceso de evolución simulada”


Alba, Laguna y Martí

Los AG’s están basados en integrar e imple-mentar eficientemente dos ideas fundamentales: Las representaciones simples (genotipos, tales como los vectores binarios) de las soluciones del problema y la realización de transformaciones simples para modifi-car y mejorar estas representaciones. Para llevar a la práctica el esquema anterior y concretarlo en un algoritmo, hay que especificar los siguientes elementos: • Una representación cromosómica (genotipo) • Una población inicial • Una medida de evaluación (fitness o adecuación) • Un criterio de selección / reemplazo de individuos • Una o varias operaciones de recombinación • Una o varias operaciones de mutación La Figura 1 muestra un esquema básico de un algoritmo genético. Se puede observar que se trata de un algoritmo estocástico en el que es posible dis-tinguir las tres etapas clásicas [3]: generación de la muestra inicial, paso de optimización y comprobación de la condición de parada. t := 0; inicializar [P(t)]; evaluar [P(t)]; mientras no terminar hacer P’(t) := selección_pareja [P(t)]; P’(t) := recombinación [P’(t)]; P’(t) := mutación [P’(t)]; evaluar [P’(t)]; P(t+1) : =selecc_entorno [P’(t) ∪ P(t)]; t := t +1; fin mientras

Figura 1. Algoritmo genético

En el algoritmo de la Figura 1, P(t) denota una población de m individuos en la generación t. El algo-ritmo genera una nueva población P’(t) de λ indivi-duos aplicando a P(t) un conjunto de operadores de variación. Típicamente tenemos el caso mostrado en el que dichos operadores son la selección y recombi-nación de parejas junto con la mutación de los nuevos individuos generados. Los operadores de variación son en general no deterministas, viniendo por tanto su comportamiento regulado por reglas de transición pro-babilísticas.

Los AG’s inician la búsqueda a partir de una

población de soluciones posibles. La población ini-cial suele ser generada de forma aleatoria (restringiéndose a soluciones que sean factibles), aun-que recientemente se están considerando diseños en los que se utiliza información sobre el problema para generar soluciones de cierta calidad.

La evaluación sirve para asociar un valor de calidad, calculado por la función objetivo , para cada solución representada por el individuo k-ésimo de P’(t), k:1, ..., l. Aunque se suele utilizar la calidad como medida de la bondad según el valor de la función objetivo, se puede incorporar un factor de penalización para controlar la infactibilidad en algu-nos problemas. Este factor puede ser estático o ajus-tarse dinámicamente, lo cual produciría un efecto similar al de la Oscilación Estratégica en Tabu Search [4]:

El proceso de selección en un GA consta de dos etapas: la primera decide quiénes compiten por la re-producción (emparejamiento) y la segunda decide cuáles de entre todos los individuos (nuevos y viejos) van a sobrevivir, simulando así el proceso de selec-ción del entorno (o ambiental). Ambas etapas de la selección utilizan de alguna manera los valores de adecuación “fitness” calculados en la evaluación y asociados a cada individuo para guiar el proceso hacia soluciones mejores.

Los diferentes tipos de selección utilizan el va-lor de adecuación directamente “fitness proportiona-te” o bien la relación entre dichos valores (torneo es-tocástico, ranking lineal, etc.). El reemplazo es en la mayor parte de aplicaciones prácticas elitista, de for-ma que se asegura la conservación de las k mejores soluciones presentes en la población actual cuando se va a generar la siguiente población. En el reemplazo se distingue entre técnicas que usan la población ac-tual de µ individuos más la nueva de λ individuos para generar la próxima población -algoritmos (µ+λ)- y los que únicamente usan los λ nuevos individuos para reemplazar a los µ individuos antiguos -algoritmos (µ,λ)-.

En general, un algoritmo genético es un meta-heurístico poblacional en donde se pueden mezclar las

( )kf xr

kxr

*Calidad ValorObjetivoNormalizado Penalizacion MedidaInfactibilidad= −


Métodos evolutivos

(1)

útiles, para avanzar hacia la región más prometedora de la búsqueda. Los operadores de recombinación se aplican con alta probabilidad y usualmente han utili-zado uno o varios puntos de cruce en los individuos para intercambiar las porciones resultantes entre los dos padres. También existen variantes que consideran más de dos padres en el proceso de recombinación. Algunos de los operadores de recombinación mas uti-lizados son: De un punto: Se elige aleatoriamente un punto de

ruptura en los padres y se intercam-bian sus bits.

De 2 puntos: Se eligen dos puntos de ruptura al azar para intercambiar.

Uniforme: En cada bit se elige al azar un padre para que contribuya con su bit al del hijo, mientras que el segundo hijo recibe el bit del otro padre.

PMX, SEX: Son operadores más sofisticados fru-to de mezclar y aleatorizar los ante-riores.

Las mutaciones más comunes son las que modi-fican un bit aleatoriamente “bit slip” a baja probabili-dad, o las que utilizan un ruido con distribución nor-mal, en el caso de genotipos flotantes. A este respecto, se debe decir que tradicional-mente se han manejado representaciones binarias en los individuos evolucionados, aunque las representa-ciones en punto flotante y otras más complejas rápida-mente han configurado un panorama muy amplio, donde únicamente se reconoce la plantilla de búsque-da básica y se observan variados operadores depen-dientes de la representación. De hecho, muchos resul-tados actuales trabajan sobre permutaciones, genoti-pos de longitud variable, etc. Puede consultarse Bäck[5] para un compendio de variantes, representaciones y aplicaciones de los algoritmos genéticos y evoluti-vos en general. De forma más resumida e incluso uni-ficada, el trabajo de Bäck [6] permite comprender los fundamentos matemáticos y similitudes entre los algo-ritmos genéticos y las estrategias de evolución y otras técnicas evolutivas. Dado que el algoritmo genético opera con una población en cada iteración, se espera que el método converja de modo que al final del proceso la pobla-

ción sea muy similar, y en el infinito se reduzca a un sólo individuo. Se ha desarrollado una extensa teoría para estu-diar la convergencia de estos algoritmos en el caso de vectores binarios. Esta teoría se basa principalmente en considerar que un individuo binario es realmente un representante de una clase de equivalencia o esquema, reinterpretando la búsqueda en lugar de entre vectores, entre esquemas. De este modo se con-cluye lo que se conoce como paralelismo intrínseco: “En una población de m vectores binarios se están procesando implícitamente O(m3) esquemas”. A partir de este resultado el teorema de esquemas prueba que la población converge a unos esquemas que cada vez son más parecidos, y en el límite a una única solución. En el caso de vectores no binarios se introducen los conceptos de forma y conjunto de similitud que gene-ralizan al de esquema. Este dominio (teoría) está en fase de extensión, ya que las explicaciones actuales no suelen incorporar los detalles propios del espacio de búsqueda y por tanto no es posible dar teoremas de convergencia para problemas arbitrarios aún. Como ocurre con los otros metaheurísticos, aún cuando existan explicaciones teóricas de funciona-miento, el problema es que en la práctica no se suelen respetar las condiciones necesarias para garantizar la convergencia del método, ya que son difíciles de se-guir y probar. Por ello, nos encontramos con que, en ocasiones los algoritmos genéticos resuelven satisfac-toriamente un problema de optimización dado y otras se quedan bastante alejados del óptimo. Por último, se debe mencionar que entre las técnicas más prometedoras para el avance en estos metaheurísticos y su aplicación a problemas del mun-do real, se destaca la inclusión de técnicas paralelas y descentralizadas, en las que la población se divide con algún criterio de entorno y se hace evolucionar de for-ma separada a zonas distintas dentro de la tradicional población única [7]. Adicionalmente, la inclusión de técnicas híbridas, entendido esto como colaboración o incorporación de operadores inspirados en otros meta-heurísticos, es un campo que goza de amplios éxitos [8], de manera que cada vez es más difusa la separa-ción entre los distintos algoritmos basados en pobla-ciones, y mayor las interacciones con los algoritmos basados en trayectorias, que consideran un punto cada vez durante la búsqueda del óptimo.



3. BÚSQUEDA DISPERSA La Búsqueda Dispersa (BD) es un método evo-lutivo que ha sido aplicado en la resolución de un gran número de problemas de optimización [9]. Los con-ceptos y principios fundamentales del método, fueron propuestos al comienzo de la década de los setenta, basados en las estrategias para combinar reglas de decisión, especialmente en problemas de secuencia-ción, así como en la combinación de restricciones (como el conocido método de las restricciones subro-gadas). La BD se basa en el principio de que la infor-mación sobre la calidad o el atractivo de un conjunto de reglas, restricciones o soluciones puede ser utiliza-do mediante la combinación de éstas. En concreto, dadas dos soluciones, se puede obtener una nueva me-diante su combinación de modo que mejore a las que la originaron. Al igual que los algoritmos genéticos, la BD se basa en mantener un conjunto de soluciones y realizar combinaciones con éstas; pero a diferencia de éstos, no está fundamentado en la aleatorización sobre un conjunto relativamente grande de soluciones sino en las elecciones sistemáticas y estratégicas sobre un conjunto pequeño. Como ilustración basta decir que los algoritmos genéticos suelen considerar una pobla-ción de 100 soluciones mientras que en la búsqueda dispersa es habitual trabajar con un conjunto de tan sólo 10 soluciones. La primera descripción del método fue publica-da en 1977 por Fred Glover donde establece los prin-cipios de la BD. En este primer artículo se determina que la BD realiza una exploración sistemática sobre una serie de “buenas” soluciones llamadas conjunto de referencia. Los siguientes comentarios resumen los principales aspectos de este trabajo: • El método se centra en combinar dos o más solu-

ciones del conjunto de referencia. La combinación de más de dos soluciones tiene como objetivo el generar centroides.

• Generar soluciones en la línea que unen dos dadas se considera una forma reducida del método.

• Al combinar se deben de seleccionar pesos apro-piados y no tomar valores al azar.

• Se deben de realizar combinaciones “convexas” y “no convexas” de las soluciones.

• La distribución de los puntos se considera impor-tante y deben de tomarse dispersos.

Glover [10], introduce la combinación pondera-da (weighted combination) como el mecanismo prin-cipal para generar nuevas soluciones. En esta versión se enfatizan las búsquedas lineales entre dos solucio-nes y el uso de pesos para muestrear en dicha línea. Asimismo, se introduce el concepto de combinar solu-ciones de calidad con soluciones diversas. Además, el método incluye una componente de intensificación que consiste en tomar una muestra mayor de la línea que ha producido mejores soluciones. En este artículo el autor especifica que para trabajar con problemas con variables enteras, binarias o que forman una permutación, hay que diseñar méto-dos específicos de combinación (notar que no tiene sentido hablar de combinación lineal de dos permuta-ciones). Para ello se introducen los mecanismos de combinación basados en votos. En estos se definen reglas mediante las que cada solución “vota” para que sus características aparezcan en la solución que se está construyendo. Estos métodos de votos han sido muy utilizados en las rutinas de combinación de los algorit-mos de BD y parece que constituyen uno de las claves del éxito de estos métodos. En 1998, Glover [10] publica una versión más específica del método en donde se recogen y simplifi-can muchas de las ideas expuestas en trabajos anterio-res. Esta publicación tuvo un gran impacto en lo que a la difusión del método se refiere. Numerosos inves-tigadores comenzaron a aplicar a partir de ese mo-mento la BD a la resolución de problemas de optimi-zación obteniendo resultados de gran calidad. El método de BD se basa en combinar las solu-ciones que aparecen en el llamado conjunto de refe-rencia (el cual es equivalente a la población en algo-ritmos genéticos). En este conjunto se tienen las solu-ciones buenas que se han ido encontrando. Es impor-tante destacar que el significado de buena no se res-tringe a la calidad de la solución, sino que también se considera la diversidad que esta aporta al conjunto. La Búsqueda Dispersa consta básicamente de los si-guientes elementos: 1. Un generador de soluciones diversas. El método

se basa en generar un conjunto P de soluciones di-versas (alrededor de 100), del que se extrae un sub-conjunto pequeño (alrededor de b=10) con el que realizar las combinaciones y que denominamos:


Métodos evolutivos

2. Un conjunto de referencia. Extraído del conjunto de soluciones diversas según el criterio de contener soluciones de calidad y diferentes entre sí (Calidad y Diversidad). Si el método no logra mejorar a la solución, se considera que el output es la propia solución considerada. Las soluciones en este con-junto están ordenadas de mejor a peor respecto de su calidad. 2.1. Creación. Se Inicia el conjunto de referencia

con las b/2 mejores soluciones de P. Las b/2 restantes se extraen de P por el criterio de máxima distancia con las ya incluidas en el conjunto de referencia. Para ello debemos de definir previamente una función de distancia que generalmente depende del contexto del problema que se está resolviendo.

2.2. Actualización. Las soluciones fruto de las combinaciones pueden entrar en el conjunto de referencia y reemplazar a alguna de las ya incluidas si las mejoran. Así pues, el conjunto de referencia mantiene un tamaño b constante pero va mejorando a lo largo de la búsqueda. En implementaciones sencillas, la actualiza-ción de este conjunto se realiza únicamente por calidad, aunque se puede hacer también por diversidad. También en implementaciones más avanzadas es posible variar el tamaño del conjunto de referencia durante la búsqueda.

3. Un método de combinación. BD se basa en com-binar todas las soluciones del conjunto de referen-cia. Para ello, se consideran subconjuntos de 2 o más elementos del conjunto de referencia y se com-binan mediante una rutina diseñada a tal efecto. La solución o soluciones que se obtienen de esta com-binación pueden ser inmediatamente introducidas en el conjunto de referencia (actualización dinámi-ca) o almacenadas temporalmente en una lista hasta terminar de realizar todas las combinaciones y des-pués ver qué soluciones entran en éste (actualización estática).

4. Un método de mejora. Típicamente se trata de un método de búsqueda local para mejorar las solucio-nes, tanto del conjunto de referencia como las com-binadas antes de estudiar su inclusión en el conjun-to de referencia.

El algoritmo de la Figura 2 muestra cómo actú-an los elementos descritos en un esquema básico del algoritmo. El algoritmo hace referencia a los subcon-juntos de R ya que podemos combinar parejas, tríos o cualquier número de soluciones. Es usual limitar las

combinaciones a parejas, por lo que el punto 6 equi-valdría a decir: “Generar todas las parejas de solucio-nes de R en las que al menos una de las dos sea nue-va”; donde por nueva entenderemos que haya entrado al conjunto después de realizar la última combinación de todo R. 1. Comenzar con P = Ø. Utilizar el método de generación

para construir una solución y el método de mejora para tratar de mejorarla; sea x la solución obtenida. Si

entonces añadir x a P. (i.e., ), en otro caso, rechazar x. Repetir esta etapa hasta que P tenga un tamaño prefijado.

2. Construir el conjunto de referencia R = x1, …, xb con las b/2 mejores soluciones de P y las b/2 soluciones de P más diversas a las ya incluidas.

3. Evaluar las soluciones en R y ordenarlas de mejor a peor respecto a la función objetivo.

4. Hacer NuevaSolución = TRUE

Mientras (NuevaSolución)

5. NuevaSolucion = FALSE

6. Generar los subconjuntos de R en los que haya al menos una nueva solución. Mientras (Queden subconjuntos sin examinar)

7. Seleccionar un subconjunto y etiquetarlo como examinado.

8. Aplicar el método de combinación a las solu-ciones del subconjunto.

9. Aplicar el método de mejora a cada solución obtenida por combinación. Sea x la solución mejorada:

Si( y x no está en R) 10. Hacer xb = x y reordenar R 11. Hacer NuevaSolucion = TRUE

Figura 2. Algoritmo básico de la búsqueda dispersa Notar que el algoritmo se detiene cuando al tratar de combinar se ve que no hay nuevos elementos en el conjunto de referencia (la variable NuevaSolu-ción está a FALSE). Este algoritmo puede ser anidado en un esquema global que permita reconstruir el con-junto de referencia cuando éste ya ha sido utilizado. Así, si el límite de tiempo (o evaluaciones) no se ha excedido, una estrategia habitual es regenerar el con-junto de referencia dejando la mitad superior (b/2 me-jores) y eliminando la mitad inferior. Después, se ge-nera un conjunto P como al comienzo del algoritmo, del que se extraen únicamente las b/2 soluciones

Px ∉ xPP ∪=

( ) ( )bxfxf <



más diversas con las ya existentes en R. De esta forma obtenemos un nuevo conjunto de referencia en el que mantenemos las soluciones de calidad y renovamos las debidas a diversidad. Se volvería a combinar como anteriormente sobre este conjunto de referencia (pasos 5 a 11). De este modo se obtiene un esquema cíclico indefinido al que hay que añadirle una variable de con-trol para detenerlo. Típicamente esta variable está en función del tiempo o del número de iteraciones (evaluaciones de la función objetivo). Aunque los orígenes de la búsqueda dispersa fueron publicados hace casi 30 años, la metodología se puede considerar como relativamente reciente y en constante desarrollo. Durante los últimos años se han realizado nuevas contribuciones aplicando la búsqueda dispersa a la resolución tanto de conocidos problemas de optimización como de otros encontrados en la prác-tica. Algunas de estas aplicaciones han abierto nuevos campos de estudio, ofreciendo alternativas a los dise-ños conocidos. Laguna y Martí [11] realizan una revi-sión exhaustiva del método, tanto de los elementos más utilizados y conocidos, como de los aspectos más novedosos y las últimas propuestas. Entre éstas pode-mos destacar: I. Aplicar la rutina de mejora de forma selectiva.

Las pruebas indican que el aplicar el método de me-jora a todas las soluciones generadas y combinadas no garantiza obtener mejores resultados finales. Es-tablecer umbrales de calidad para no aplicar la me-jora a soluciones que difícilmente van a proporcio-nar la mejor solución ahorra un gasto innecesario de tiempo de computación. Por otro lado, al aplicar el método de mejora a todas las soluciones se acelera la convergencia de éste, lo cual pude ser deseable si disponemos de poco tiempo de computación, pero debemos de evitarlo si queremos ejecutar el método en un horizonte largo para obtener soluciones de gran calidad.

II. Es necesario estudiar el porcentaje de tiempo que el método está generando soluciones y el tiempo que está combinando. En esencia esta es la cuestión que se plantea en todos los métodos heurísticos: el equi-librio entre la intensificación y la diversificación.

III.Comparar las actualizaciones del conjunto de refe-rencia estática y dinámica. Notar que al combinar las soluciones podemos aplicar dos estrategias, in-troducirlas en el conjunto nada más generarlas, si procede, o anotarlas en una “pila” y cuando se ter-mine de realizar todas las combinaciones, realizar la

actualización. La primera estrategia es dinámica y más agresiva, en tanto que las soluciones buenas entran rápidamente en el conjunto de referencia, pero dado que éste es de tamaño constante, esto implica que hay soluciones que pueden salir sin llegar a haber sido utilizadas para realizar combina-ciones.

4. RE-ENCADENAMIENTO DE TRAYECTORIAS

Como se ha mencionado, uno de los principales objetivos de cualquier método de búsqueda es crear un buen equilibrio o interacción entre lo que se denomi-nan estrategias de intensificación y de diversificación. El método denominado re-encadenamiento de trayec-torias (Path-Relinking) surgió como un proceso de in-tegración de estas dos estrategias de búsqueda [4]. El proceso genera nuevos caminos entre soluciones que ya han sido previamente conectadas por una serie de movimientos durante un proceso de búsqueda. El re-encadenamiento de trayectorias (RT) se basa en el hecho de que entre dos soluciones se puede trazar un camino que las una, de modo que las solucio-nes en dicho camino contengan atributos de ellas. Las soluciones originales pueden haber sido generadas me-diante un método basado en una búsqueda local y estar unidas por un camino, o haber sido generadas por otro método y no estar unidas de ningún modo; en cual-quier caso, se genera un nuevo camino que las una. Las características de dicho camino vendrán especificadas respecto de los atributos que son incorporados o elimi-nados, o por los movimientos realizados para alcanzar una solución desde la otra. Esto constituye una exten-sión del concepto de combinación visto en las seccio-nes anteriores en tanto que se obtienen varias solucio-nes a partir de dos o más originales. La Figura 3 ilustra el mecanismo de RT en el caso de dos soluciones: la solución A que se denomina solución inicial (initiating solution) y la solución B que se denomina solución guía (guiding solution). El dia-grama muestra ambas soluciones unidas por dos cami-nos, uno en trazo continuo representando el camino original que describió el algoritmo de búsqueda local para obtener A y B, y otro en trazo discontinuo que representa el camino que ahora vamos a obtener aplicando RT. En el eje de abscisas se representa


Métodos evolutivos

movimientos que se van realizando, mientras que en el de ordenadas el valor de la función objetivo (suponemos que el problema es de minimizar). Tal y como muestra la Figura 3, la idea en la que se basa el método es que al realizar movimientos desde A hacia B, incorporando a A propiedades de B, obteniendo alguna solución intermedia que mejore en valor a A y a B.

Figura 3. Esquema de Path relinking

Se puede considerar el método RT como una extensión del método de combinación de la búsqueda dispersa. En lugar de construir una nueva solución, combinando una o más soluciones iniciales directa-mente, RT genera un conjunto de soluciones en los caminos entre y fuera de las soluciones iniciales y guías seleccionadas. El proceso se puede considerar como un caso extremo de una estrategia que trata de incorporar atri-butos de una solución de calidad en otra solución con-siderada. Sin embargo, en lugar de usar un criterio que simplemente motive la inclusión de tales atribu-tos, RT subordina otras consideraciones con el fin de seleccionar los movimientos que introduzcan atributos como el criterio prioritario. Así, en cada paso se deter-mina el mejor movimiento como aquel que incorpore la mayor cantidad, o el más destacado de los atributos de la solución guía. Para generar los caminos es necesario seleccio-nar movimientos que cumplen los siguientes objeti-vos: empezando por una solución inicial, los movi-mientos deben introducir progresivamente los atribu-tos de la solución guía (o reduciendo la distancia entre

los atributos de la solución inicial y los de la solución guía). Los papeles de ambas soluciones son intercam-biables; además, cada solución puede moverse hacia la otra como una manera de generar combinaciones. En el primer paso consideramos la creación de un ca-mino que une dos soluciones seleccionadas x’ y x’’, produciendo una secuencia de soluciones x’= x(1), x(2), …, x(r)= x’’. Puede que en el nuevo camino se encuentren soluciones que no mejoren la calidad de las dos solu-ciones extremas consideradas, pero algunas de ellas pueden ser puntos de partida para alcanzar otras solu-ciones que sí sean mejores que las originales. Por está razón es interesante y valioso examinar los entornos de las soluciones a lo largo del camino construido, ya que pueden proporcionar nuevos puntos de partida para lanzar una búsqueda adicional. Si abordamos ahora el algoritmo RT en su con-junto hemos de considerar que tenemos una colección de soluciones previamente obtenidas a las que se le va a aplicar la estrategia descrita de generación de nue-vos caminos. Para unificar la notación con la búsque-da dispersa, en [11] se proponen el mismo término de conjunto de referencia (RefSet) para dicho conjunto con b soluciones. Desde este punto de vista, RT y BD se consideran métodos basados en poblaciones que operan en un conjunto de soluciones y básicamente se difieren en la manera de construir, manipular, actuali-zar y re-generar el RefSet. En un diseño básico de la búsqueda dispersa, a todos los pares de soluciones en RefSet se les aplica el método de combinación. Análogamente, en una versión básica del RT todos los pares de soluciones son llamados a participar en la fase del re-encadenamiento. Para cada par de soluciones (x’, x’’) se pueden establecer dos camino; uno desde x’ hacia x’’ y el otro desde x’’ hacia x’. La actualización del RefSet se basa en la mejora de la peor solución del conjunto, es decir, una nueva solución generada en un camino, se admite en el RefSet si mejora la peor solu-ción en dicho conjunto. Si es así, re-emplaza a dicha solución (el tamaño del RefSet, al igual que ocurre en BD se considera fijo). Muchos trabajos han demostrado la eficacia de aplicar algún método de búsqueda local desde algunas soluciones intermedias, generadas en los caminos, para explorar su entorno [12, 13]

A

BjV

alor

de

la fu

nció

n ob

jetiv

o

Movimientos que se van realizando



Por otro lado, dos soluciones consecutivas obtenidas durante el proceso de re-encadenamiento son bastante similares y difieren solamente en los atributos que han sido introducidos por un solo movimiento. Por ello, generalmente no es eficiente aplicar el método de me-jora en cada iteración del proceso, sobre todo si su aplicación es de coste considerable en términos del tiempo de ejecución. Una posibilidad es aplicar el mé-todo de mejora cada cierto número de iteraciones, o aplicarlo sólo a aquellas que cumplan un determinado criterio basado en su calidad (o calidad y diversidad respecto a las que ya se les aplicó dicha mejora). El proceso de re-encadenamiento simultáneo empieza con dos puntos x’ y x’’ simultáneamente pro-duciendo dos secuencias x’= x’(1), x’(2), …, x’(r) y x’’= x’’(1), x’’(2), …, x’’(s). Las elecciones en este caso son dirigidas con el fin de obtener x’(r)= x’’(s), para los valores finales de r y s. Éste se ve como un proceso en donde dos soluciones guías se intercambian dinámicamente hasta su convergencia a un solo punto. El diseño básico se puede generalizar de diferen-tes formas. La primera consiste en generar caminos que vayan más allá de los extremos, lo que equivaldría a usar combinaciones no convexas. El problema con-sistiría en definir los atributos que guían el camino más allá de dichos extremos. Otra posible generalización consiste en conside-rar varias soluciones guías de la manera siguiente. En lugar de realizar movimientos desde un punto x’ hacia otro punto x’’, se reemplaza este último con una colec-ción de soluciones X’’. Así, una vez alcanzada una so-lución x(i), las opciones para determinar la siguiente solución x(i+1) vienen dadas por la unión de las solu-ciones en X’’, o más precisamente por la unión A’’ de los atributos A(x), para todos los x en X’’. Esta variante ha sido utilizada con éxito en distintos trabajos.

5. CONCLUSIONES

En este trabajo hemos presentado tres modelos metaheurísticos de optimización de gran impacto ac-tual: algoritmos genéticos, búsqueda dispersa y re-

encaenamiento de trayectorias. La diversidad de opera-ciones y problemas resueltos en este dominio es muy elevada, por lo que se han revisado únicamente los elementos canónicos de estos algoritmos y se ha diferi-do al lector interesado hacia referencias donde podrá encontrar un mayor nivel de detalle. Las similitudes entre los métodos discutidos, tanto como sus diferencias, permitirán establecer me-canismos refinados de solución de problemas comple-jos en base a colaboraciones o extensiones de las ideas delineadas en este trabajo. Quizá convendría citar para terminar algunas aplicaciones de estos métodos en la resolución de pro-blemas de optimización de los denominados difíciles, con el objeto de ilustrar su potencia y eficacia. A tal efecto, basta mencionar la recopilación de las siguiente siete aplicaciones recientes de la búsqueda dispersa y el re-encadenamiento de trayectorias dada en [14]: A. Entrenamiento de redes neuronales. B. Problemas de rutas de vehículos. C. Software comercial. D. Problemas combinatorios basados en permutacio-

nes. E. Problemas Multi-objetivo F. Ancho de banda en matrices G. Dibujo de grafos El caso de los algoritmo genéticos no necesita de ilustración dada su gran popularidad. Para compro-barlo, basta con hacer una búsqueda en Internet con palabras clave “genetic algorithms applications” y ob-tenemos más de 300000 páginas con aplicaciones.

AGRADECIMIENTOS A la Prof. Ninoska Maneiro, que nos animó a realizar este trabajo y colaboró activamente en la co-rrección y formato del documento final. Esta investigación fue parcialmente financiada por el Ministerio de Ciencia y Tecnología de España: TIC2003-C05-01, y por la AVCiT de la Generalitat Valenciana: Grupos 03/189.


Métodos evolutivos

REFERENCIAS

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[14] Glover, F. , Laguna, M., Martí, R., New Ideas and Applications of Scatter Search and Path Relinking, to appear in New Optimization Tech-niques in Engineering, Springer-Verlag, G. On-wubolu y B.V.Babu (Eds.).



1. INTRODUCCIÓN Los avances tecnológicos en la ciencia de los com-putadores y la comunicación han hecho que el proce-samiento de sensores se forme como una disciplina con teorías y propios enfoques que permiten el uso de algoritmos complejos para obtener información en tiempo real. Existen trabajos que fundamentan el presente aporte, Bennet y colaboradores [1], describen un instrumento inteligente que evalúa la distancia de un

objeto. Por su parte, Dahlkemper y Largen [2], estu-dian el desarrollo de sensores que permitan reducir el costo de un sistema de automatización. Blanes y cola-boradores [3], describen un sensor de ultrasonido, que registra la construcción de un mapa, enfocándose en obtener un mapa con un mínimo de lecturas aplicando interpolación. Alfonsi y colaboradores [4], presenta un sistema de instrumentación virtual para el procesa-miento y generación de señales, utilizando técnicas de procesamiento digital de señales, diseño electrónico y desarrollo de software.


Dispositivo inteligente de ultrasonido para construir un mapa de entorno

Víctor Campos, Leonardo Doré, Alfonso Alfonsi Grupo de Arquitecturas de Sistemas de Control, Departamento de Computación y Sistemas, Escuela de

Ingeniería y Ciencias Aplicadas, Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Barcelona, 6001,Venezuela. Ave. Alterna, Barcelona, Anzoátegui.

Email: [email protected], Tlf. +58-281-2623224.

Resumen Se desarrolla un sensor inteligente que obtiene datos por medio de transductores de ultrasonido de forma replicada; estos son procesados por un microcontrolador e integrados utilizando técnicas de fusión de datos basa-das en la teoría de Bayes, con el propósito de construir un mapa de entorno. Se utiliza la metodología estructurada y técnicas de diseño modular para desarrollar el hardware; en el caso del Software, se usa el Lenguaje de Modelado Unificado dentro de los pasos de la ingeniería de software. El dispositivo permite dentro de un espacio muestral limitado determinar la presencia de objetos, proporcionando la distancia a su ubicación, con respecto a un punto de referencia, caracterizándolos dentro del escenario. Este aporte es importante, ya que en aplicaciones en robots, el uso de sensores son herramientas vitales y de bajo costo en la gestión de trayectorias dentro de un entorno.

Palabras claves: Sensor de ultrasonido, fusión de datos, mapa de entorno, microcontrolador, metodología estructurada, UML.

Intelligent ultrasound device to build an environment map

Abstract

An intelligent sensor is developed to obtains data, by means of transducers of ultrasonic in a replied way, and they are processed by a microcontroller and integrated using technical of data fusion, based on the theory of Bayes, with the purpose to building an environment map. Structured methodology and technical of design is used to modulate to develop the hardware; and in the case of the Software, it is used the of Unified Modelling Language inside the steps of the software engineering. The device allows inside a space limited muestral to determine the presence of objects, providing the distance to its location, with regard to a reference point, characterising them inside the scenario. This contribution is important, in Robots applications since, the use of sensors is a vital tools and low cost in the administration of trajectories inside an environment.

Keywords: Ultrasound sensor, data fusion, environment map, microcontroller, structured methodology, UML.


El objetivo es desarrollar un sensor inteligente basado en el uso de transductores de ultrasonido re-plicados para el muestreo de un escenario y posterior construcción del mapa de entorno. Para lograr esto, se obtienen los datos por medio de los transductores de ultrasonido, (dos pares Emisor / Receptor), que luego son procesados por un microcontrolador para obtener distancias, permitiendo, caracterizar los objetos dentro del escenario. Ésta información arrojada, será integrada utilizando técnicas de fusión de datos basa-das en las teorías Bayesianas, preprocesamiento que suministra la información necesaria para la represen-tación en forma gráfica, a través del software, del ma-pa de entorno.

2. METODOLOGÍA

El dispositivo desarrollado, esta integrado por dos subsistemas: Hardware, formado por un arreglo de transductores de ultrasonido replicados, un motor paso a paso y un microcontrolador, empleando la me-todología estructurada [5] para el desarrollo del soft-ware de control; y Software, denominado Software Generador de Mapa de Entorno (SGME), que se en-carga de procesar los datos y generar el mapa de en-torno a través de una interfaz gráfica; aquí, se utilizan los pasos sugeridos por la ingeniería de software [5]: Análisis y Especificación de los requerimientos, Dise-ño, Codificación, Prueba e Integración. E Lenguaje de Modelado Unificado (UML), proporciona diagra-mas que permiten visualizar, especificar y documen-tar los componentes de la aplicación [6]. Otro método utilizado es el de Mapas de acu-mulación [7], que representa eficientemente el espa-cio ocupado y vacío, basándose en la construcción de un mapa cartesiano bidimensional dividido en un con-junto de MxN celdas cuadradas de tamaño DxD. Ca-da celda tiene asociado un valor que indica el grado de Certeza de la Presencia de un Obstáculo (CPO) en esa localización. En la elaboración del mapa de acumulación hay varias fuentes de incertidumbre, como son los falsos ecos, las medidas falsas, la no-reflexión, etc., y es por ello que se apoya en el modelo de la teoría Bayesiana, teniendo en cuenta la suposición siguiente de independencia: todos los puntos de rejilla son va-riables aleatorias independientes, lo que se hace es

actualizar la probabilidad de las celdas de la rejilla con las lecturas hechas por el sensor, como se indica en la Ecuación 1, Elfes [7] aborda este tópico.

2.1 Análisis y diseño del hardware El subsistema de hardware, Figura 1, se encar-ga de controlar y procesar los ecos recibidos de un par de transductores de ultrasonido (telémetro) Devantech SRF04 [8], que obtienen los datos necesa-rios para el cálculo de la distancia del objeto detecta-do, y son rotados 360 grados sobre su eje mediante un motor paso a paso de 7,5 grados/paso. Para controlar ambos dispositivos se utiliza un microcontrolador PIC 16C74B-04 de Microchip Technology [9], sobre el cual recae la tarea del cálculo de la distancia y esta-blece comunicación asíncrona con el computador (PC) a través del puerto paralelo. Lo anterior lo reali-za mediante el software del control del hardware, que refleja el flujo y el contenido de la información (datos de control), entre los elementos del sistema [4, 5].

Figura 1. Diagrama de bloques del subsistema de hardware

( / ) ( )( )

( / ) ( ) ( / )(1 ( ))

p r OCC P OCColdP OCCnew

p r OCC P OCCold p r FREE P OCCold=

+ −

Modulo de Ultrasonido

Puerto Paralelo

8

2

2

4

SRF04

SRF04 R

E

Transductores

INTERFAZ PARA EL CONTROL DEL MOTOR PASO A

PASO

MOTOR PASO A PASO

5

R

E

Reloj

PIC16C74B-04 Micro-controla

dor

(1)


Campos, Doré y Alfonsi

2.2 Análisis y especificación de requerimiento del software

En la Figura 2 se muestra el diagrama de casos de uso de los requerimientos del SGME. Comportán-dose de la siguiente manera: el caso de uso capturar datos recibe una petición de un usuario para la adqui-sición de datos provenientes del sensor, habilitándolo para realizar los procedimientos que sirven de puente entre los dos subsistemas. Estos datos son almacena-dos en un “buffer”, representado por el archivo tem-poral para su posterior procesamiento. El procesamiento de datos es llevado a cabo por el caso de uso generar mapa, hay que tomar en cuenta que los datos, se pueden manipular a través de las ru-tinas básicas de entrada y salida de archivo por medio del caso de uso manejo de archivo, así como también puede realizarse un listado impreso de los mismos por medio del caso de uso generar listado. Otro punto es la ayuda, donde el sistema debe comunicarse con el archivo de ayuda que contiene información sobre di-ferentes temas del software, y contiene texto que solo entiende el compilador del sistema de ayuda de Windows [10].

Figura 2. Diagrama de casos de uso para el SGME

2.3 Diseño del software

Aborda el diseño de: la interfaz de usuario y la estructura de software. La primera comprende la ela-boración de la zona de comunicación usuario-programa de la aplicación, aquí se selecciona el estilo de pantalla y menú, (Figura 3), y la estructura de soft-ware debe soportar los documentos de especificación de requerimientos y el diseño de la interfaz de usua-rio. En la Figura 4 se presenta el diagrama de clase de la aplicación principal Tform1, existen cuatro (4) cla-ses bien definidas y con comportamientos indepen-dientes, los cuales se relacionan a través de la clase principal, y una clase de particular interés que es la que maneja los errores. El diagrama de secuencia, Figura 5, muestra la forma en que se desencadena la ejecución de los casos de uso del sistema, y el diagra-ma de despliegue muestra la disposición física de los recursos de ejecución computacional, tales como un computador y sus interconexiones, que forman parte del sistema, Figura 6.

Figura 3. Pantalla principal del SGME

Figura 4. Diagrama de clases para la Aplicación Principal

Capturar Datos

Generar Listado

Manejo de Archivo

Ayuda

Generar Mapa

SGME Subsistema

de Hardware

Manejador de Ayuda

Archivo Temporal

Manejador de Archivo

Usuario TPic TGraf

Error TBayes TMArch

TForm1


Dispositivo inteligente de ultrasonido

Figura 5. Diagrama de Secuencia para el Software

2.4 Codificación

El lenguaje seleccionado es el Delphi [11], tra-baja sobre plataforma Windows, ofrece herramientas gráficas incorporadas en la biblioteca de componentes visuales (VCL) y la facultad para permitir incorporar código en el lenguaje de ensamble en secciones del programa.

Para construir el código encargado de manejar y controlar la adquisición de datos del PIC, se utiliza el lenguaje de ensamble. Trabajando con el sistema de interrupciones del microprocesador para acceder al puerto paralelo del PC [4], ya que es de vital impor-tancia para la comunicación del sensor con el subsis-tema de software. De forma similar la especificación del código para el procesamiento de datos se basa principalmente en la implementación de las ecuacio-nes formuladas por Elfes [7].

Figura 6. Diagrama de despliegue del sistema

2.5 Pruebas e integración Para la elaboración del SGME, las pruebas fue-ron llevadas a cabo en paralelo con la codificación. Para validar las entradas de datos al programa, se recurrió a utilizar la prueba de unidad, en específico la caja negra, donde se validan los datos requeridos para la configuración de las lecturas que debe realizar el sensor y que representan las únicas entradas que re-quiere el SGME para realizar el muestreo y graficar el mapa del entorno. Para demostrar la prueba, se procede a realizar una partición de equivalencia. En la Tabla 1 se obser-van las clases realizadas para verificar el comporta-miento de la entrada de datos para configurar la posi-ción del sensor, que debe coincidir con la ubicación real del sensor dentro del área establecida para el muestreo, y en la Tabla 2 se puede apreciar los casos de prueba realizados basándose en dichas equivalen-cia.

Abrir Archivo

Datos procesados

Leer datos del sensor

Mensaje de respuesta

Muestra de Datos

Leer datos de Archivo

Datos

Verificar Comunicació

Respuesta

Leer datos Pal Control

Fu-Datos

Datos

Leer datos

Fuisión_Bayes(Datos)

Imprime datos

Listado Impreso

Guardar datos de Archivo(Datos)

Guardar

Imprimir

Listado

Graficar Mapa

Mapa de Bits

Graficar Mapa de Entorno (Datos Procesados)

Salir

Form1 Pic Bayes March Graf

Usuario

SGME

Microcontrolador

Puerto Paralelo (Interfaz)

Computadora Usuario:PC

Sensor de ultrasonido



Una vez que las pruebas de unidad fueron reali-zadas, se procedió a efectuar la integración, en éste proceso, los grupos de funciones y procedimientos pertenecientes a las clases agregadas se fueron inte-grando con las funciones de la clase (TForm1). El método de integración utilizado en el software es el hilvanado [5]. Para facilitar la representación de la integración se utilizó como herramienta los diagramas de paque-tes proporcionados por UML [7], Figura 7. Las fases se describen a continuación: Fase I: En esta se agregaron las clases TPic, TBayes, TGraf y TMArch, a la clase TForm1, encargada de inicializar el programa, además de mantener la comunicación con Windows, e incluye la barra de título, la barra de herramientas, los menús y la barra de estado.

Fase II: Parte fundamental de lo que es la interface entre el PC y el sensor de ultrasonido. En este proceso se integraron progresivamente los procedimientos ne-cesarios para permitir la lectura de datos y verificar la comunicación con el PIC, los cuales se encuentran encapsulados en la clase TPic, y trabajan con opera-ciones o instrucciones en lenguaje de bajo nivel, lo cual permite tener acceso al puerto paralelo del com-putador. Para integrar los procedimientos a la ventana principal, fueron asociados a través de eventos, por medio de los botones “lectura de datos” y “verificar comunicación” respectivamente. Fase III: Parte más importante del programa debido a que se incorpora las rutinas de procesamiento al SGME, la cual permite obtener un mapa de acumula-ción, representado por una rejilla bidimensional. El paquete procesamiento de datos: consta del procedi-miento fusión de datos (de la clase TBayes), que agru-pa las rutinas necesarias para la actualización de las celdas que forman parte del mapa de acumulación, el procedimiento establecer coherencia espacial (de la clase TGraf), que se encarga de relacionar a través de métodos trigonométricos la posición del sensor con las lecturas asentadas en el mapa de acumulación, y el procedimiento graficar mapa de entorno (de la clase TGraf), que plasma una representación gráfica del mapa de acumulación en la pantalla de bits, además de utilizar funciones de conversión para llevar coorde-nadas reales a coordenadas de pantalla, utilizando la ecuaciones presentadas por Pérez [12], integradas en la Figura 8, donde se puede apreciar parte de los pro-cedimientos implementados en la clase Tgraf. Fase IV: Permite integrar al programa los procedi-mientos de entrada y salida de datos a través de archi-vos, entre éstos se pueden denotar abrir archivo, guar-dar archivo e imprimir los cuales se encuentran encap-sulados en la clase TMArch, procedimientos que utili-zan algunos componentes de VCL de Delphi [11], para poder realizar sus tareas. Fase V: Agrupa los procedimientos para la ayuda del software. El sistema de ayuda presenta los tópicos referentes a cada una de las partes necesarias para ma-nipular el SGME y tiene capacidad de permitir ayuda sensible al contexto, esta característica se hace dispo-nible a través del procedimiento contenido de ayuda.

Número Clase involucradas Resultado

/*58 (7,1) Inválido

Reyt 6 Inválido

Er78 (6,1) Inválido

-9 8 Inválido

5 (1,3) Inválido

356 (1,2) Inválido

0 (2,5) Inválido

Tabla 2. Casos de prueba

# Clase de equivalencia Valor Válido

Valor Inválido

1 La magnitud contiene números positivos. √ -

2 La magnitud debe estar entre 1 y 300. √ - 3 La magnitud del número es mayor que 300 o menor que 1. - √ 4 La longitud del número debe ser mayor de cuatro cifras. - √ 5 La magnitud es cero. - √ 6 La magnitud contiene caracteres A-Z, a-z. - √ 7 La magnitud contiene caracteres especiales como *,7,?,¿,=,(,

etc. - √

8 La magnitud del número contiene números negativos. - √

Tabla 1.Clases de equivalencia para la realización de pruebas



2.6 Integración de Software y Hardware

El control del hardware viene dado directamen-te por la acción de las líneas del puerto paralelo sobre cada una de las etapas que conforman el circuito del sistema, Tabla 3. Este se centra en la manipulación de los estados de las líneas del puerto mediante las instrucciones de lectura y escritura de datos represen-tadas por las instrucciones de la función y los procedi-mientos en Delphi [11].

Cuando se programa el PIC16C74A-04, se hace uso de algunos recursos como: El puerto paralelo es-clavo, que permite la interconexión directa del puerto D del PIC con el bus de datos del computador,

teniendo este el control a través de las líneas RD, WR y CS del puerto E (que están configuradas como en-tradas). Perro guardián “Watch Dog Timer”, evita que el sistema se quede “colgado”, que permanezca en un ciclo infinito o que no obtenga una respuesta del com-putador. Está configurado para un tiempo de 2,3 se-gundos. Modo de reposo ( SLEEP ), característica útil para los sistema que utilizan baterías. Y las interrup-ciones consisten en una detención del programa en curso para realizar una determinada rutina.

Figura 8. Código para rutinas gráficas

Comunicación con el PIC

Lectura de Datos

Verificar Comunicación

Ayuda

Contenido de Ayuda

Acerca de

Ventana Principal

SGME

Archivo

Abrir Guardar Imprimir

Procesamiento de Datos

Fusión de Datos

Establecer Coherencia

Espacial

Graficar Mapa de Entorno

Figura 7. Diagrama de paquetes para representar la integración del Software

Registro Bit Nombre Señal Valor Lógico

Control 0 RD 0 Control 1 WR 0 Control 2 CS 0 Control 3 INT 1 Estado 3 ACT 1 Estado 4 SRD 1 Datos 0 D0 X Datos 1 D1 X Datos 2 D2 X Datos 3 D3 X Datos 4 D4 X Datos 5 D5 X Datos 6 D6 X Datos 7 D7 X

Tabla 3. Cuadro detallado de líneas de datos, control y estado del módulo sensor inteligente

//Transformación de puntos a pixeles Funtion TGraf. Conversion(x1,x2,y2:integer;X:real): integer; Var r:integer;

m,b:real; begin

m:=((y2-y1)/(x2-x1)); b:=y2-(x2*m); r:=trunc((m*X)+b); Conversion:=r;

end; //Parte del código para Gráfica del Mapa de Entorno for i:=1 to MaxDis do forj:=1 to MaxDis do begin temp:=GRID3[i][j]; //puntos a graficar

a:=Conversion(1,0,0,255,temp); BMP.Canvas.Pen.Color:=RGB(a,a,a);

//asignación color BMP.Canvas.Brush.Color:=RGB(a,a,a); x:=conversion(0,Margen,300,300+Margen,i); //llamada a

función de conv. y:=conversion(0,300+Margen,300,Margen,j); BMP.Canvas.MoveTo(x,y); //dibuja punto en un mapa de

bits BMP.Canvas.LineTo(x,y+1);

end;



3. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Al desarrollar el sistema inteligente, primero se analizó y diseñó el circuito de la estructura física del hardware que incluye: Sensores de ultrasonido, motor paso a paso y el PIC16C74B, Figura 9; y luego se describe la programación del PIC, que corresponde con el software de control del hardware, utilizando la me-todología estructurada, que luego se convierte en pro-grama modular. La utilización del PIC, representa un incremento potencial en la eficiencia del sensor, al hacerlo independiente del software del computador en el control de los dispositivos. Además de minimizar la utilización de componentes y circuitería externa encap-sulándola a un nivel de software.

Como segundo paso, está la confección del software generador del mapa de entorno (SGME), cuya área de trabajo se mostró en la Figura 3, donde se si-guió los pasos del desarrollo de software. Destacando que para la representación se utiliza el lenguaje de mo-delado unificado (UML), y al Delphi [11] como len-guaje de programación; ya en Alfonsi y colaboradores [4] se utilizan éstas herramientas, desde el punto de vista de adquisición de datos, sin intervención de un microcontrolador como dispositivo con capacidad de procesamiento y control, ya que el proceso lo realiza un PC.

Para su implementación se requiere del sistema operativo Windows 98 o superior, y que el computador donde se ejecutará la aplicación, posea entre otras, las siguientes características mínimas de hardware: Procesador Pentium o Celeron de 366 MHz o

(a) Módulo de Ultrasonido (b) Vista de la Tarjeta PIC

(c) Vista Frontal del módulo de sensor ultrasonido

Figura 9. Componentes del hardware

mayor, 32 Mb de memoria RAM, disponibilidad del puerto paralelo bidireccional. unidad de disco duro, monitor de 14 pulgadas SVGA, fuente de voltaje de 5 voltios, 1 amperio, un cable para puerto paralelo de unos 5 metros. Los resultados experimentales que se describen a continuación fueron realizados en un escenario co-mo se muestra en la Figura 10. El dispositivo es colocado y accionado en cuatro posiciones diferentes a lo largo y ancho del escenario que abarca un área de 3 m2, donde se ubicaron objetos de diferentes caracte-rísticas en forma vertical, entre ellos dos botellas de vidrio (diámetro de 8 cm y altura de 40 cm), una bote-lla de plástico (diámetro de 6 cm y altura de 30 cm), palo de escoba (diámetro de 2,5 cm y 1m de alto), una lámina de hierro (60 cm x 75 cm), dos cajas de cartón (60 cm x 50 cm). Posición del sensor Palo de escoba Botella de vidrio Lámina de hierro Botella de plástico Cajas de cartón

Figura 10. Escenario de pruebas experimentales En la Figura 11 muestra como se va generando el mapa de acumulación en las diferentes posiciones donde es colocado el sensor. Observándose, como se van delimitando los diferentes objetos presentes en el entorno. A su vez, las celdas que corresponden con objetos ven como va aumentando su CPO (se intensifi-ca el color negro), a medida que se van realizando más medidas sobre la zona del espacio que ocupan. Las falsas medidas desaparecen del mapa con el paso del tiempo, y las correctas inducen un aumento en la CPO de la celda correspondiente. La utilización de sensores replicados, mejora la confianza del sistema al hacerlo tolerable a un número determinado de fallas, ya que las lecturas ofrecidas por los dispositivos son a menudo dispares, y ésta característica es precisamente la que lo hace atractivo

0



Figura 11. Generación del mapa y variación en las diferentes posiciones

al combinarla con técnicas de fusión de datos. No obs-tante, siguen teniendo un área geográfica de acción limitada, por tal motivo Blanes y colaboradores [3], atacan la construcción de un sistema, incorporándole métodos de interpolación para lograr una alta resolu-ción angular, utilizando para ello cuatro transductores. En el procesamiento de los datos crudos se debe resaltar que el uso del mapa de entorno constituido por celdas que indican la CPO, se consigue una mejo-ra notable en la disminución de los errores y compren-sión de las diversas fuentes de incertidumbre que in-fluyen en el proceso de adquisición y generación del mapa. Además, las superficies lisas dejan de ser un elemento peligroso y prácticamente invisible para el sistema de ultrasonido, teniendo por lo general, algún tipo de irregularidad que hace posible su localización. Por otro lado, si el eje del transductor es perpendicular a la superficie, éste será detectada sin problemas, es decir, a pesar que el número de lecturas de los senso-res no detecte este tipo de elementos, algunas medidas si reflejarán sobre el mapa su posición. Como futuro desarrollo, se incorporarán técni-camente sensores dispares, con la finalidad de que un sensor compense las deficiencias del otro, aumen-tando la confiabilidad y la tolerancia a fallos, mejo-rando la detección o eliminación del ruido. Y la incor-poración de un sensor de temperatura que permita

obtener la medida de la temperatura del aire y de ésta manera corregir los valores de la velocidad del sonido que se ven poco afectados por la misma.

4. CONCLUSIONES

Se desarrolló un sistema inteligente basado en el uso de sensores de ultrasonido, para el muestreo de un escenario, que permite su representación en mapa cartesiano. Se logró el propósito al utilizar dos senso-res de ultrasonido replicados, esto para complementar las deficiencias y errores, en busca de redundancia. La información recibida por los sensores en forma indivi-dual, se integra con algoritmos de fusión de datos uti-lizando el teorema de Bayes, permitiendo un prepro-cesamiento de la señal que suministra información suficiente para la construcción del mapa de entrono. La reconstrucción del escenario a través de un mapa ayuda a determinar la presencia de objetos dentro de un espacio muestral limitado, proporcionando la dis-tancia en donde está ubicado el mismo, con respecto al punto de referencia (ubicación del sensor). Se ela-boró el software utilizando los procedimientos que brinda la metodología de la Ingeniería de software, sumado con las herramientas proporcionadas por el UML. Como siguiente paso, se hará la integración del dispositivo como nodo en una red de área local de tiempo real, como parte del sistema de navegación de un robot.

AGRADECIMIENTO

Los autores quieren agradecer a los profesores Zulirais García y José Guevara, del departamento de computación y sistemas de la Universidad de Oriente, por las observaciones en la metodología empleada a nivel de Software.

REFERENCIAS [1] Bennet G., Albadejo J., Rodas A. and Gil P.

(1992): “An intelligent sensor for ranging in an industrial distributed control system”, In: Proc. Symposium on intelligent components and instru-ments for control applications, Málaga, pp. 47-52.

(a) Primera Lectura ( b) Segunda Lectura

(c) Tercera Lectura ( d) Cuarta Lectura



[2] Dahlkemper J. and Langen A. (1994): “Sensor ba-sed solutions for automation”, In: CAN in Auto-mation e.V. Proc. 1er. International CAN Confe-rence, Erlangen, pp. 11-2-11-9.

[3] Blanes F., Bennet G., Simó J. and Pérez P. (1999): “Enhancing the real-time response of on ultrasonic sensor for map building task”. In: Int Symposium Intelligent E, Bled, pp. 225-230.

[4] Alfonsi A., Binoto L. y García J. (2000): “Sistema de instrumentación virtual para el procesamiento y generación de señales”. In: Troyani N & Cerrolaza M (ed). V Cong. Int. de Métodos Numéricos en Ingeniería y Cs. Aplicadas, Puerto La Cruz, Vene-zuela, pp. EC-11 – EC-19.

[5] Pressman R. (2002): “Ingeniería del software”. McGraw-Hill. 5ta. ed., Madrid.

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ley, Madrid. [7] Elfes A. (1989): “Using occupancy grids for mobi-

le robot perception and navigation”, Proc. IEEE Computer, Málaga.

[8] ACROMED INC (2001): “The Devanthech SRF04 Ultrasonic Range Finder”. ACROMED INC, USA.

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[10] Ritcher J. (1997): “Programación Avanzada en Windows”. McGraw Hill, Madrid.

[11] Joyanes L. (1999): “Borland Delphi. Iniciación y Referencia”. McGraw Hill, Madrid

[12] Pérez A. (1996): “Técnicas de graficación de su-perficies”. Rep. Interno Dpto. Computación y Sistemas, UDO, Barcelona.



1. INTRODUCCIÓN

El problema de Estabilización Simultánea pue-de visualizarse como un caso muy particular e impor-tante dentro del contexto del campo de control robus-to. El enfoque en control robusto es analizar y diseñar un sistema de control que trabaje con un buen grado de precisión en el cumplimiento de los requerimientos (sobreimpulso, tiempo de establecimiento, etc.) ante la

presencia de incertidumbres de la planta. En estabili-zación simultánea las incertidumbres se derivan de la dinámica de la planta y son expresadas en un número discreto ó finito de modelos de planta [1, 2]. El proce-so se representa mediante r +1 modelos de planta p0, p1, p2,…, pr donde p0 es el modelo en condiciones no-minales, y p1, p2,…, pr son los modelos planta ante la presencia de perturbaciones, fallas, etc. Entonces, si la familia de plantas puede ser estabilizada por un


Diseño de algoritmos para la estabilización simultánea con múltiples dominios acotados con el método de factorización

Francisco J. Arteaga B.(1), Marco A. Contramaestre A.(1), Mayra A. Vizcaya N.(1), Guy O. Beale(2), Atilio Morillo(3)

(1)Unidad de Investigación en Automatización Industrial, Escuela de Ingeniería Eléctrica Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela

(2) Electrical and Computer Engineering, George Mason University, Fairfax, Virginia, U.S.A. (3)Centro de Investigación de Matemática Aplicada, División de Postgrado de Ingeniería, Universidad del Zulia,

Maracaibo, Venezuela Email: [email protected], [email protected], [email protected]

Resumen

Este trabajo presenta el diseño de algoritmos para la estabilización simultánea con múltiples dominios acotados de estabilidad. El método utilizado es una extensión del enfoque basado en la factorización coprima para el caso de dominios acotados. Las condiciones específicas de Di-estabilidad para dos y tres plantas, la extensión de la propiedad de paridad interlazada y la parametrización de los compensadores Di-estabilizantes se aplican en el desarrollo de los algoritmos. Los sistemas asociados para dos plantas y los sistemas asociados y auxiliares para el caso de tres plantas fueron derivados. Se presenta como ejemplo el caso de un sistema con dos modelos de planta lineales y de primer orden. A partir de los resultados obtenidos, se establece que el compensador calculado estabiliza satisfactoriamente en forma simultánea los dos modelos, cumpliendo con los criterios de diseño del sistema. Estos algoritmos pueden ser extendidos al caso de un número mayor de tres modelos de planta.

Palabras clave: Estabilización simultánea, dominios acotados, factorización coprima, diseño de algorit-mos.

Algorithms design for simultaneous stabilization with multiple bounded domains using factorization approach

Abstract

This work presents the design of algorithms for simultaneous stabilization with multiple bounded domains of stability. The method used is an extension of the coprime factorization approach for the case of bounded regions. Specific conditions for Di-stability for two and three plants, the extension of the parity interlacing property and the parametrization of the Di-stabilizing compensators are applied in the algorithm development. The associated systems for two plants and the associated and auxiliary systems for the case of three plants were derived. A case study of two first order linear plants is presented. Based on the obtained results, it is determined that the designed compensator stabilizes simultaneously and satisfactorily both models, meeting the performance system requirements. These algorithms can be extended to the case of more than three plant models. Keywords: Simultaneous stabilization, bounded domains, coprime factorization, software design.


compensador c, en caso de fallas se mantiene la estabilidad del sistema. Algunas de las aplicaciones del concepto de estabilización simultánea consideran el diseño de control confiable, sistemas no-lineales, y control robusto [3, 4]. En el diseño de control confia-ble, el problema consiste en estabilizar simultánea-mente una planta nominal y perturbaciones discretas de la planta provenientes de fallas de componentes del sistema, o cambios estructurales en la planta. En el diseño de un compensador para un sistema no-lineal, modelos linealizados de la planta son deriva-dos para diferentes condiciones de operación de la planta, y el compensador es diseñado para estabilizar simultáneamente los diferentes modelos de planta. En control robusto, el propósito del compensador es esta-bilizar el sistema de lazo-cerrado bajo perturbaciones continúas resultantes de incertidumbres en la modela-ción del sistema nominal [3-6]. En el estudio de control de procesos es im-portante visualizar previamente el comportamiento del sistema durante su funcionamiento normal ó cuando ocurren irregularidades, de modo que se hace necesario llevar esta teoría de estabilización simultanea al computador, mediante el desarrollo de un software que permita simular de manera repre-sentativa y dinámica el comportamiento de la planta durante sus diferentes condiciones, y de esta manera se puede comprobar que un compensador satisface de modo eficaz los requerimientos para cada uno de los procesos a estabilizar.

2. MOTIVACIÓN DE ESTA INVESTIGACIÓN

Una de las razones para implementar estos algoritmos basado en la estabilización simultánea es proporcionar una herramienta para el diseño de sis-temas de control confiables en presencia de fallas en sensores y actuadores así como para la enseñanza de estabilización simultánea de manera interactiva con el usuario. La estabilización confiable está relacio-nada con la situación donde el objetivo es mantener la estabilidad de lazo-cerrado en presencia de fallas de la planta y/o controlador. Estos problemas corres-ponden a lo que se ha referido como la síntesis de sistemas de control con integridad [3 ,7, 8]. La des-cripción de la planta puede representarse por la fun-

ción de transferencia p0 (planta operando en condi-ciones nominales), y p1, p2, p3,…, pr representan la descripción de la planta en la presencia de varias fallas, tales como la pérdida de sensores, actuadores, transductores, etc. Si la familia de plantas p0, p1, p2, p3, …, pr puede ser estabilizada por un compensador común c, entonces en el caso de tener una falla, c mantiene la estabilidad del sistema, un dominio de estabilidad es la región del plano s donde deben es-tar todos los polos de cadena cerrada de un sistema compensado. El caso en el que las plantas se asumen que tienen el mismo dominio de estabilidad D, es llamado el problema convencional de estabilidad simultánea y la forma del dominio se muestra en la Figura 1, un dominio de estabilidad es la región del plano s donde deben estar todos los polos de cadena cerrada de un sistema compensado. .

Figura 1. Dominio generalizado de estabilidad.

El análisis del problema generalizado nos lleva a la posibilidad de tener el caso de diferentes conjun-tos de requerimientos de funcionamiento para cada modelo pi. En el caso que el sistema nominal falle, se tiene que tratar como un sistema diferente del com-portamiento de operación nominal. Cada modelo de falla puede resultar en diferente funcionamiento, con-llevando a diferentes polos de lazo cerrado dentro de un subconjunto Di, de D (el semiplano-s izquierdo abierto) con el fin de cumplir objetivos adicionales tales como sobreimpulso, tiempo de establecimiento, etc.

El beneficio de usar múltiples dominios en vez de usar solamente el dominio más pequeño D0 radica en que se puede estar interesado en estabilizar cada


Diseño de Software para la Estabilización Simultánea

D

Re s

Im s

......σ−θ

planta pi (i= 1, 2,…, r) en alguna región de Di que no es parte de D0. En este caso, la estabilización simultá-nea se realiza con respecto a cada uno de los dominios específicos para cada planta. Este es un problema menos limitativo que considerar el mismo dominio D0 para todas las plantas, y también más real. Las plantas pi (i= 0, 1, 2,…, r) pueden ser simultáneamente estabilizables con respecto a cada Di aún cuando no lo sean con respecto al más pequeño dominio común D0. La motivación para el uso de domi-nios acotados radica en el hecho de que existen limitaciones físicas en el compensador, los actuado-res y otros instrumentos (sensores, transductores) presentes en el sistema [3, 7, 8]. Esto resulta en una cota superior en la magnitud de la parte real negati-va de los polos de lazo-cerrado. La forma para estos dominios acotados se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Dominio acotado de estabilidad.

3. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

3.1 Terminología de conceptos utilizados El término C+ representa el semiplano derecho cerrado, es decir, s: Re s ≥ 0, C- representa todo el semiplano izquierdo, es decir, s: Re s < 0, y el térmi-no C+e representa el semiplano derecho extendido del plano complejo s, es decir, C+e abarca C+ más el infinito (∞).

El conjunto de los polinomios en el plano s con coeficientes reales se representa como R[s] y el conjunto de las funciones racionales con coeficientes reales se representa como R(s). Por lo tanto, R(s)

puede utilizarse para representar el conjunto de todas las posibles funciones de transferencia, incluyendo los sistemas lineales invariantes en el tiempo. Existe un subconjunto de R(s) llamado S conformado por todas las funciones racionales estables y propias. En S, estas funciones racionales estables y propias no son acotadas y todos sus polos tienen parte real ne-gativa. En particular, S es un dominio Euclideano propio y R(s) es un subconjunto de R[s] y S. 3.2 Factorización coprima para dominios

acotados Se asume un dominio dado de estabilidad D en el plano s, y una función f ∈ R(s), donde f puede escribirse como la relación:

con P1(s), P2(s) ∈ R[s], y P1, P2 coprimos en SD (ningún cero común en Dc). n expresa el máximo gra-do entre P1 y P2, es decir, n = max[deg(P1, P2)], y se define:

, (1)

donde y ∈ R. Las nuevas funciones f1(s), f2(s) ∈ SD y son coprimas en SD, y ahora f puede escribirse como:

la cual se refiere a la factorización coprima de f (s) en el conjunto SD. Las funciones f1(s) y f2(s) son propias y estable en SD y no tiene ningún cero común en Dc

+e. El concepto de factorización coprima permite deter-minar la existencia de un compensador c ∈ R(s) que D-estabiliza a una planta dada p ∈ R(s). Primero, la planta p se factoriza como una relación:

donde n, d ∈ SD y son coprimas en SD. Entonces, pue-de decirse que c es un compensador que D-estabiliza a la planta p si y sólo si c puede factorizarse como la relación:

(s)( )(s)

1

2

f f s = f

(s)(s)

1

2

P f = P

i iσ γ σ− +< < γ

1 n

(s)( )(s+ )

1P f s = γ

22 n

(s)( )(s+ )P f s =

γ


Arteaga, Contramaestre, Vizcaya, Beale y Morillo

(s)( )(s)

n p s = d

D

Re s

Im s

......σ−− ......σ+−

Esta expresión es llamada la identidad de Bezout (o el teorema de Bezout) [3, 9, 10]. 3.3 Propiedad de paridad interlazada

Teorema 1: (Estabilización Fuerte) Una planta p es fuertemente estabilizable si y sólo si el número de polos de p(s) entre cada par de ceros reales, incluyen-do el infinito (∞), en Re(s) ≥ 0 (es decir C+e) es par.

La condición descrita por el Teorema 1 [3, 10, 11] ha sido llamada propiedad de paridad inter-lazada. La estabilización fuerte de una planta p puede determinarse ahora en términos de la Propiedad de Paridad Interlazada “PIP”. Este y otros teoremas rela-cionados con el concepto de estabilización fuerte y el PIP son ampliados para el caso de la región de estabi-lidad siendo un dominio acotado D en el semiplano izquierdo del plano s. 3.4 Parametrización de los compensadores

D-estabilizantes Se asume una planta dada p ∈ R(s) y factoriza-da como:

con n, d ∈ SD y coprimos en SD. También se propone que el compensador c puede factorizarse como:

donde x, y ∈ SD y son coprimos en . Entonces, una solución particular de la Identidad de Bezout se obtiene así:

Bajo estas asunciones, el conjunto de todos los compensadores D-estabilizantes para la planta p pue-de expresarse de la siguiente manera:

donde r es un parámetro “libre”, es decir, r puede

variar en todo el conjunto . La expresión (4) es una extensión del resultado presentado como un teorema para un dominio acotado D en [3]. El conjunto es un dominio Euclideano propio válido y cada p ∈ R(s) puede factorizarse como una relación de dos funcio-nes en , n y d las cuales también son coprimas en . Para el caso que el dominio de estabilidad D es acota-do, estos dos hechos garantizan la validez de expre-sión (4) para el conjunto SD(p) de todos los compensa-dores D-estabilizantes para la planta p. Una prueba de esta presentación para un dominio no acotado D pue-de encontrarse en [3]. Esta prueba también es válida para el dominio D que ha sido acotado. Teorema 2: (Estabilización Simultánea) Dadas las plantas SISO p0,…, pk, se define: para i = 1,…, k. Entonces p0,…, pk, pueden ser simul-táneamente estabilizadas sí y sólo sí existe un m0 ∈ SDi tal que:

sea una unidad para i = 1,…, k [3, 9] El Teorema 2 plantea que p0, …, pk, pueden ser simultáneamente estabilizadas sí y sólo sí las plantas asociadas:

para i = 1,…, k, son fuertemente estabilizables y pue-den ser simultáneamente estabilizadas por un compen-sador estable. Podría entenderse que si existe más de una planta asociada (es decir más de dos plantas origi-nales), la estabilización fuerte de cada una de las plan-tas asociadas es una condición necesaria, pero no sufi-ciente, para la estabilización simultánea de las plantas originales [12, 13].

3.5 Extensión de la propiedad de paridad

interlazada para dominios acotados Una extensión de la propiedad de paridad inter-lazada ha sido desarrollada en [5] donde se considera el caso de un Dominio acotado D de estabilidad como se ilustra en la Figura 2. En este tipo de dominio, Dc representa el complemento de D y Dc

+e representa el complemento extendido de D. Teorema 3: Sea D un dominio acotado de estabilidad

n p = d

xcd

=

.. .. 1xn yd+ =

( ) : , 0D D

x rdS p c r S y rny rn

⎧ ⎫+= = ∈ + ≠⎨ ⎬+⎩ ⎭

0 0 0i ia m b+

0 0 0/i i ip b a=

(3)

(4)



.. .. 1xn yd+ =

DS

DS

DS

DSDS

(2)

0 0 0 0 0 0,i i i i i ia y d x n b d n d n= + = −

y Dc+e el complemento extendido de D. Ahora supon-

gamos a p ∈ R(s) y que z1,…, zk son los ceros reales de p en Dc

+e. Si en cada uno de los intervalos (zi, zi+1) ∈ Dc

+e con i = 1,…, k, hay un número par de polos reales pi de p(s), entonces allí existe un compensador c(s) estable con respecto a D tal que el sistema de lazo-cerrado (p, c) es estable con respecto a D. La propiedad descrita en el Teorema 3 es llama-da la Extensión de la Propiedad de Paridad Interlazada “EPIP”. Entonces se dice que una planta es D-fuertemente estabilizable si y sólo si cumple con el “EPIP”, lo que es una condición necesaria y suficiente para la D-estabilización fuerte de una planta p. Una prueba de este Teorema se encuentra en Arteaga [5].

4. RESULTADOS TEORICOS En esta sección se desarrollan los procedimien-tos para la solución de la estabilización simultánea de dos y tres modelos de plantas, donde las plantas dadas solamente pueden ser estabilizadas simultáneamente sí el sistema final (planta auxiliar) puede ser estabili-zado por un compensador estable, es decir, la planta auxiliar es fuertemente estabilizable. 4.1 Di-estabilización simultánea de dos plantas

con dominios acotados de estabilidad

Se asume dos modelos de plantas p0 y p1 con sus correspondientes dominios acotados de estabilidad D0 y D1, además, se tiene que D0 ∩ D1 ≠ , tal como se muestra en la Figura 3.

Los modelos dados se descomponen de la forma:

donde ni, di ∈ SDi y coprimas en SDi, i = 1, 2. Además se tiene a SDi (pi) que denota el conjun-to de todos los compensadores que Di-estabilizan a pi, se asume que allí existe una solución particular ∈ SDi(pi) para todo pi, donde:

será factorización coprima de en SDi.

Figura 3. Dominios acotados de estabilidad D0 y D1

asociados con las plantas p0 y p1. La parametrización de todos los compensadores Di- estabilizantes para pi está dada por:

Igualando la parametrización de los controlado-res para p0 y p1 (c0 = c1) y resolviendo para r1 en tér-mino de r0 resulta que:

con:

se reorganiza la ecuación (6) de la siguiente forma:

Sí r1 ∈ SD1, este r1 hace que c1 ∈ SD1(p1), y también hace que c1 = c0 ∈ SD0 (p0) para el r0 especí-fico usado; por lo que c0 ∈ SD0 (p0)∩SD1 (p1).

Ahora, r1 ∈ sí y solo sí ∈ (8) donde:

/i i ic x y=

. .( ) : ,con 0i i i

D i i i i D i i i i

i i i

x rdS p c r S y rny rn

⎧ ⎫+= = ∈ − ≠⎨ ⎬+⎩ ⎭

( )( )

0 1 1 0 0 0 1 0 1

1

0 1 0 1 0 0 1 1| 0

x y x y r d y n xr

y d x n r d n d n− + +

=+ + −

( )0 1 1 0 0 0 1 0 1

1

0 0 011

x y x y r d y n xr

a rb− + +

=+

ic

ic 0 0 1 0 1 0 0 1 1 01 1,a y d x n b d n d n= + = −

01 0 1 0 1 01 0 1 1 0a y d x n y b d n d n= + = −

/i i ip n d=

0 0 01 011a rb u+ =.

( )D iu S

(6)

(7)



(5)

D1

D0

Im s

Re s

...... 1σ +−...... 0σ +−...... 0σ −− ...... 1σ −−

φ

.D iS

y , ∈ SD1 , y coprimos en SD1 . La expresión (8) representa el sistema asociado para las plantas p0 y p1. Corolario 1: Dado el sistema asociado donde ∈ y , ∈ SD1, el compensa-dor estabilizante para la planta asociada es r0. Sí y es fuertemente D1-estabilizable, r0∈SD1 puede encontrarse siempre que ∈ . Ya que r0 es un parámetro del conjunto SD0 (p0), r0 además pertenece a SD0 . Sí se denota por a el pará-metro requerido que pertenece a SD0, la existencia de está sujeta a las condiciones presentadas en los siguientes Teoremas: Teorema 4: Dado p0 y p1 como los modelos de plan-tas con sus respectivos dominios acotados de estabili-dad D0 y D1, y se tiene que D0∩D1 ≠ 0, tal como se muestra en la Figura 3. Dado el modelo p0 co-mo , donde n0, d0 ∈ SD0 y coprimo en SD0, y al modelo p1 como , donde n1, d1 ∈ SD1 y coprimo en SD1. Existe un , donde x0, y0 ∈ SD0 y coprimo en SD0 , como una solución particular (que siempre puede ser encontrada) de:

dado como el sistema asociado formado de p0 y p1, donde:

Decimos que p01 es fuertemente D1-estabilizable y que r0 ∈ SD1 estabiliza a p01. Sí r01 ∈ SD1 tal que:

entonces:

Teorema 5: Asumiendo toda la notación del Teorema

4. Sí p01 es fuertemente D1-estabilizable y sí existe allí una solución particular ∈ SD0 tal que:

entonces p0 y p1 son simultáneamente Di-estabilizables. Entonces las condiciones para la Di-estabilización simultánea de p0 y p1 están dadas por las suposiciones hechas en la declaración del Teorema 5. Tales condiciones son: p01 es fuertemente D1-estabilizable:

Ahora que el caso de la estabilización simul-tánea para dos modelos de plantas ha sido analizado y discutido, el siguiente paso es considerar adicionar un modelo de planta más y estudiar el caso de la Di-estabilización simultánea de tres modelos de plantas con sus respectivos dominios acotados de estabilidad. 4.2 Di-estabilización simultánea de tres plantas

con dominios acotados de estabilidad Se asume que el modelo de planta dado para

p3 como y su dominio correspondiente D3, donde n3, d3 ∈ SD3, y coprimo en SD3 . Los mode-los de plantas p0 y p1 dados como en la sección 4.1 , y los dominios relacionados por la condición D0 (D1∩D2), tal como se muestra en la Figura 4. Igualando la parametrización de los controladores para p0 y p2 y resolviendo se tiene una solución para r2 dada por:

y el sistema asociado para las plantas p0 y p2 está defi-nido por: donde , y , ∈ SD2 y coprimos en SD2.

0 0 0 0 0 0( )Dx n y d u u S+ = ∈

01 0 1 0 1 01 0 1 1 0ya y d x n b d n d n= + = −

( )01 01 11 ( )Dr b u S− ∈

0 01 010 0

01 011 D

r r ar Sr b

+= ∈

−

0 0101 01 1( )Da r b u u S+ = ∈

0 0101 01 1( )Da r b u u S+ = ∈

( ) ( )( ) ( )

0 2 2 0 0 2 0 2 0

2

0 2 0 2 0 0 2 2 0

''

x y x y r y d x nr

y d x n r d n d n− + +

=+ + −

01 01 01/p b a=01u

1( )Du S

0r

0r

0r

0 0 0/p n d=1 1 1/p n d=

0 0 0/c x y=

0 01 01/p b a=

∃

01 010 0

01

D

u ar Sb−

= ∈

3 3 3/p n d=

⊆

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)


Diseño de Software para la Estabilización Simultánea 01a

01b

01u ( )Diu S 01a 01b0 0 01 011a rb u+ =

01 01 01/p b a=

(15) 0 0 02 0212 'a r b u+ =

0 0 2 0 2 0 0 2 2 02 2,a y d x n b d n d n= + = −0 2a 0 2b

Figura 4. Dominios acotados de estabilidad D0, D1, y D2 asociados con las plantas p0, p1 y p2.

Corolario 2: Dado los sistemas asociados y donde u01, u02 ∈ u(SD1 ) y u(SD2 ) res-pectivamente y a01, b01, a02, b02 ∈ SD1 y SD2 respecti-vamente, así como r0 ∈ SD1 y ∈ SD2, los compen-sadores estabilizantes para las plantas asociadas y son r0 y , respectiva-mente. Sí la planta auxiliar ó sistema asociado es fuertemente D2-estabilizable, ∈ SD2 puede en-contrarse siempre que u02 ∈ u(SD2 ) . Ya que es un parámetro para el conjunto SD0(p0), también perte-nece a SD0. La existencia de una solución ∈ SD0 está sujeta a las condiciones presentadas en el Teorema 4 (considerando a las plantas p0 y p2 en este Teorema). Así, las condiciones para la Di-estabilización simultá-nea de p0 y p2 son: Sí p02 es fuertemente D2-estabilizable, y

Si los parámetros r0 y son iguales, las tres plantas pueden ser Di-estabilizadas simultáneamente. Este parámetro común puede ser determinado (sí este existe) realizando un parametrización de todos los compensadores que estabilizan a las plantas asociadas p01 y p02 en los dominios D1 y D2, respectivamente. Teorema 6: Se denota a SD1 (p01) como el conjunto de todos los compensadores que D1-estabilizan a p01,

y de manera similar para la planta asociada p02, se de-nomina a SD2(p02) como el conjunto de todos los com-pensadores que D2-estabilizan a p02,

donde r01∈ SD1 y r02 ∈ SD2 son los parámetros libres en la parametrización. Estas parametrizaciones represen-tan todos los compensadores estabilizantes para las plantas asociadas. La prueba del Teorema 6 se encuen-tra desarrollada en (Ammeen 1.994) [13]. El siguiente paso es igualar a las parametrizacio-nes de los controladores para p01 y p02, y formar el próximo nivel del sistema, es decir, el sistema auxiliar (Aux1). Hay dos alternativas igualmente válidas para formar el sistema auxiliar (Aux1) para p01 y p02. La primera de ellas es resolviendo para r02 en términos de r01, y el sistema que se obtiene se llama sistema auxi-liar (Aux1a). La segunda alternativa se hace resolvien-do para r01 en términos de r02 sistema auxiliar (Aux1b), Formación del sistema auxiliar (Aux1a) Resolviendo para r02 en términos de r01 se tiene que:

El parámetro r02 ∈ SD2 sí y sólo sí:

donde a012= a02 + b02, b012= a01b02 - a02b01, y a012, b012 ∈ SD2 y coprimos en SD2. La expresión (19) define al Sistema Auxiliar (Aux1a) para las plantas p0, p1, y p2.

Sí la planta auxiliar es fuerte-

mente D2-estabilizable, entonces r01 ∈ SD2 puede ser

02 020 0

02

' D

u ar Sb−

= ∈

0 01 011 01 01 01 1 01 01

01 01

( ) : , 1 01D Dr r aS P c r S r b

r b⎧ ⎫+

= = ∈ − ≠⎨ ⎬−⎩ ⎭

0 02 022 02 02 02 2 02 02

02 02

'( ) : , 1 01D Dr r aS P c r S r b

r b⎧ ⎫+

= = ∈ − ≠⎨ ⎬−⎩ ⎭

( ) ( )( ) ( )

0 0 01 01 0 0102

02 0 02 01 01 02 02 01

' ''

r r r a r br

a r b r a b a b− + +

=+ + −

0 0 01 011a rb u+ =0 0 02 022 'a r b u+ =

0 'r

01 01 01/p b a= 02 02 02/p b a=

02 02 02/p b a=

012 012 012/p b a=

(18)

(19)



(16)

(17)

)( 201201201012 DSuubra ∈=+

D1

D2

D0

Ims

Res

0 'r

0 'r0 'r

0 'r0 'r

0 'r

0 'r

encontrado si existe u012 ∈ u(SD2 ). El parámetro r01 debe pertenecer a SD1 , ya que r01 es también un pará-metro en el conjunto SD1 (p01), y esto es posible debi-do a que D1 ∩D2 ≠ 0.

Esta solución r01 es usada en la parametriza-

ción de c01, y este c01 debe ser D0-estable (c01∈ SD0) ya que se usa en lugar de r0 en la parametrización de c0: donde

Formación del Sistema Auxiliar (Aux1b) Resolviendo para r01 en términos de r02 se tiene que:

Los parámetros de r01 ∈ SD1 sí y sólo sí:

donde a021= a01 + b01, b021= a02b01 - a01b02, y a021, b021 ∈ SD1, y coprimos en SD1 . La expresión (22) defi-ne al Sistema Auxiliar (Aux1b) para las plantas p0, p1, y p2. Sí la planta auxiliar ó asociada es fuertemente D1-estabilizable, entonces r02 ∈ SD1 puede encontrarse si se encuentra u021 ∈ u(SD1 ). El parámetro r02 debe pertenecer a SD2, ya que r02 tam-bién es un parámetro en el conjunto SD2(p02), y esto es posible porque D1∩D2 ≠ 0. Este r02 es usado en la parametrización de c02, y este c02 debe ser D0-estable ( c02 ∈ SD0 ) ya que es usa-do en lugar de r0 en la parametrización de c0:

donde

En la Figura 5 se muestra un esquema de las tres plantas con la formación del sistema asociado y los sistemas auxiliares Teorema 7: Asumiendo todas las notaciones del Teorema 4, y el Teorema 5 y las presentadas en esta sección. SI [ p01 es fuertemente D1-estabilizable y ∈ SD0 tal que ], Y [ p02 es fuertemente D2-estabilizable y ∈ SD0 tal que ],Y [ p012 es fuertemente D2-estabilizable y tal que Y ], ó [p021 es fuertemente D1-estabilizable y tal que y ] Entonces p0, p1, y p2 son simultáneamente Di-Estabilizables. La prueba de este Teorema sigue de la explicación dada acerca del caso de tres plantas con sus respectivos dominios acotados de estabilidad [5-7].

Figura 5. Sistemas asociados y auxiliares para las plantas p0, p1 y p2.

4.3 Desarrollo de algoritmos 4.3.1 Procedimiento para dos modelos de plantas Se Asumime que los modelos de plantas p0 y p1

00101

010101 ,

1 Do S

brarrc ∈

−+

=

( ) ( )( ) ( )

0 02 02 0 0201

01 0 01 02 02 01 01 02

''

or r r a r br

a r b r a b a b− + +

=+ + −

)( 102102102021 DSuubra ∈=+

02 00 02 0

02 0

,oD

o

x c dc c Sy c n

+= ∈

−

0 02 0202 0

02 02

' ,1 Dr r ac S

r b+

= ∈−

0 'r

021021021 /abP =

(21)

(22)

(23)

(24)



001001

0010 , D

o

o Scncydcxc ∈

−+

= (20)

(25)

∃ 202 DSr ∈)( 102102102021 DSuubra ∈=+

00202

0202002 ,

1'

DSbrarrc ∈

−+

=

∃ 0 01r c=0 0101 01 1( )Da r b u u S+ = ∈

0 02'r c=0201 0 02 2' ( )Da r b u u S+ = ∈

∃ 101 DSr ∈

)( 201201201012 DSuubra ∈=+ 00101

0101001 ,

1 DSbrarrc ∈

−+

=

Nivel de Sistemas Asociados

Nivel de Sistemas Auxiliares Aux1a ó Aux1b

son dados y son factorizados como relaciones de fun-ciones de transferencias coprimas. Las plantas pueden estar relacionadas de alguna manera, por ejemplo, ellas pueden ser linealizaciones de una ecuación no lineal en varios puntos de operación; ó puede que no exista rela-ción alguna entre ellas. Las plantas dadas pueden ser ó no fuertemente estabilizables, ya que un compensador estabilizable para cada una de ellas puede ser encontra-do siempre, además se asume que cada planta es esta-bilizada por su correspondiente compensador particu-lar c0 y c1. El objetivo de este procedimiento es deter-minar y diseñar, siempre que sea posible, la existencia de un compensador sencillo que estabilice a todas las plantas simultáneamente. Los pasos para el procedi-miento son los siguientes :

Paso 1. Formar el Sistema Asociado por la parametrización de la solución particular c0 tal como indica el Teorema 2. Paso 2. Verificar la D1-estabilización fuerte para la planta asociada usando los resultados del Teorema 1 y el Teorema 3. Si la planta es fuerte-mente D1-estabilizable, entonces determinar a r0 ∈ SD1, tal que, u01∈ u(SD1). Note que si la planta asociada es fuertemente D1-estabilizable, se garantiza la existencia de un r0 ∈ SD1 tal que u01 ∈ u(SD1). Si la planta p01 no es fuertemente D1-estabilizable, entonces se deben ob-tener otros compensadores particulares c0 y c1 corres-pondiente a cada modelo original. Paso 3. Con el r0 calculado, siendo éste el compensa-dor estabilizante para el sistema asociado p01 (del Corolario 1), determinar el compensador común css que Di-estabiliza simultáneamente a las plantas p0 y p1, de acuerdo a la expresión del conjunto de todos los compensadores Di- estabilizantes. Paso 4. Realizar el lazo-cerrado entre el compensador común obtenido en el paso anterior con cada uno de los modelos de las plantas y comprobar la Di-estabilización simultánea de ellas. Sí css no Di-estabiliza simultáneamente a las plantas p0 y p1, volver al Paso 2. 4.3.2 Procedimiento para tres modelos de

plantas El objetivo de este procedimiento es determinar y diseñar, siempre que sea posible, la existencia de un compensador sencillo que estabilice a todas las plantas simultáneamente. Los pasos para el procedimiento son los siguientes: Paso 1. Formar los sistemas Asociados

y por la parametrización de la solu-ciones particulares , con i = 0, 1, 2 tal como indica el Teorema 2. Paso 2. Verificar la Di-Estabilización fuerte (i = 1, 2) para cada una de las plantas asociadas y usando los resultados del Teorema 1 y el Teorema 3. Si las plantas asociadas son fuertemen-te Di-estabilizable, entonces determinar a r0 ∈ SD1 y a ∈ SD2, tal que, u01 ∈ u(SD1 ) y u02 ∈ u(SD2). Note que si las plantas asociadas son fuertemente Di-estabilizables, se garantiza la existencia de un r0 ∈ SD1 tal que u01 ∈ u(SD1) y un ∈ SD2 tal que u02 ∈ u(SD2). Paso 3. Con r0 y calculados anteriormente, siendo estos los compensadores estabilizantes para los siste-mas asociados p01 y p02 (del Corolario 2), determinar los compensadores Di-estabilizantes para las plantas tal como se enuncia en el Teorema 6, y formar el nivel de Sistemas Asociados Aux1 con cualquiera de las alter-nativas (Aux1a ó Aux1b) de acuerdo a las expresiones (18) ó (22). Paso 4a. Verificar la estabilización fuerte de la planta (ó ) del nivel auxi-liar Aux1. Si la planta p012 es fuertemente D2-estabilizable, entonces determine r01 que pertenece a SD2 tal que u012 ∈ u(SD2). Paso 4b. Determinar si el r01 ∈ SD2 obtenido en el Pa-so 4a produce un compensador c01 ∈ SD0. Si se logra, continuar con el Paso 5. Si no, regrese al Paso 4a. Paso 5. Determinar el compensador estable c01 que estabiliza simultáneamente a las plantas asociadas p01 y p02 sustituyendo r01 en la expresión dada en el Teo-rema 6. Paso 6. Reemplazar con c01 como el parámetro libre en la parametrización del compensador estabili-zante para la planta p0. Este es el compensador que Di-estabiliza simultáneamente a las plantas p0, p1 y p2. Paso 7. Realizar el lazo-cerrado entre el compensador común obtenido en el paso anterior con cada uno de los modelos de las plantas y comprobar la Di-estabilización simultánea de ellas. 4.4 Descripción del Software Esta sección expone la realización del software para el diseño de controladores basados en estabiliza-ción simultánea con múltiples dominios acotados de estabilidad, aprovechando los recursos ofrecidos por el lenguaje de computación MATLAB para la elabora-ción de una interfaz gráfica amigable para el usuario [14].

0101001 ubra =+

010101 / abp =



0101001 ubra =+

0202002 ' ubra =+ic

010101 / abp =020202 / abp =

0 'r

0 'r

0 'r

012012012 / abp = 021021021 / abp =

El SSMBDC fue creado pensando en el diseña-dor. La presentación y la disposición de las pantallas hacen del SSMBDC. un programa fácil de usar, debi-do a que presenta un sistema de navegación amiga-ble e intuitiva, ofreciendo un formato estructurado para el diseño de controladores basados en estabiliza-ción simultánea con múltiples dominios acotados de estabilidad. La ventana ó pantalla principal del SSMBDC. presenta un botón único para el inicio del programa, además se tiene una barra de opciones de menú en donde se pueden acceder a los diversos ar-chivos constitutivos del software, así como una ayuda del mismo en un formato pdf en donde el usuario ob-tiene información detallada referente al software dise-ñado, como también los fundamentos teóricos utiliza-dos para el diseño del mismo. 5.1 Estabilización simultánea de dos modelos

de plantas P0 y P1 de 1er orden sin retardo.

En esta sección se presenta la solución de la Estabilización Simultánea de dos modelos de plantas p0 y p1 sin tiempo de retardo y sus correspondientes dominios de estabilidad se muestran en la Figura 6.

Figura 6. Dominios acotados de estabilidad D0 y D1 para

dos plantas P0 y P1 de 1er orden sin retardo. Dadas las plantas p0 y p1 de la siguiente forma: y (26) donde k0 = 5, a0 = 2, k1 = 10 y a1 = -6. Los correspon-dientes dominios D0 y D1 están definidos como:

donde los valores reales dados por y (con i = 0 y 1) quedan establecidos por el rango de valores de Tiempos de Establecimientos (Ts) especificados según el criterio del 2%, y la pendiente de la recta es representada por la tangente del ángulo que determina el arcoseno del Factor de Amortiguamiento (ζ ) con el eje real del semi-plano izquierdo. La factorización coprima para las plantas p0 en D0 y p1 en D1 están dadas por:

donde n0, d0 ∈ SD0 y son coprimos en SD0, n1, d1 ∈ SD1 y son coprimos en SD1, γ0 = 4 ∈ D01 (o región intersec-ción entre D0 y D1) , γ1 = 3 ∈ D1. Estabilización de la planta p0 en D0

Una solución particular que estabilice a la planta p0 en SD0 se puede expresar como un compen-sador proporcional puro dado por:

donde x0 y y0 ∈ SD0 y son coprimos en D0, Dx0 = Dy0 = 1, Nx0 = x0 = kc ∈ R, y Ny0 = y0 = 1. Para esta solución particular , la identidad de Bezout está dada por:

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

)4()2()4(

5

)()()(

dn

DNDN

sss

sas

sk

p

d

d

n

n

==

+++=

+++

=

γ

γ

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)3()6()3(

10

)()()(

dn

DNDN

sss

sas

sk

p

d

d

n

n

==

+−+=

+++

=

γ

γ

0

0 0 00

00 0

0

x

x xc

yy

y

NN D xc kNN y

D

= = = =



1

11 as

kp+

=0

00 as

kp+

=

.0 : 7 Re( ) 2, ( ) 0.952 ( )D s s Im s Re s= − < < − ≤

.1 : 6 Re( ) 1, ( ) 1.395 ( )D s s Im s Re s= − < < − ≤

(27)

(28)

iσ −iσ +

0c

0c

(29)

(30)

(32) )( 000000 DSuudynx ∈=+

(31)

D0

D1

Eje

Imag

inar

io

Eje Real

sustituyendo los términos respectivos se tiene que:

Para ubicar los polos de lazo cerrado en s = -y0= -4, tenemos que u0 = 1, por lo que el compensador se ob-tiene de la siguiente manera: La ecuación característica del par (p0, ). Esta dada por:

Formación y solución del sistema asociado para las plantas p0 y p1 La planta asociada p01 está dada por la siguiente expresión:

donde las expresiones para a01 y b01 se calculan a partir de las factorizaciones coprima de las plantas p0 y p1 y con . Cálculo de a01

Cálculo de b01

Sustituyendo los valores dados de a0, k0, a1, k1, kc, γ0, y γ1 en las ecuaciones obtenidas (36) y (37), queda:

Entonces la expresión para la planta asociada resulta:

y sustituyendo los valores correspondientes a cada variable:

Figura 7. Ubicación de los polos y ceros de lazo-abierto de la planta p01.

En la Figura 7 se observa que la planta asociada p01 dada por (41) es fuertemente estabilizable en D1, ya que no existen polos en el intervalo descrito por los ceros s = -10 y s = ∞. Si , , , y , son las factorizaciones coprima de a01, b01, r0 y u01 en sus dominios correspondientes, y Na01, Da01, Nb01, Db01, Nr0, Dr0, Nu0, Du0 ∈ R[s], entonces el Sistema Asociado se escribe como sigue: Sustituyendo las expresiones correspondientes:

donde Da01 = Db01 = Dx0Dn1 = (s + γ0)(s + γ1) y Da01Dr0 = Du01.

0

00

0

0

0

0

)()(1

)( u

uc D

Nus

ass

kk ==++

++ γγ

0 ( 4)CL s∆ = +

1010

0110

01

0101 nxdy

ndndabp

+−

==

)()(

)()(

0

0

1

11101001 γ

γγ +

++++

=+=ss

skkasnxdya c

))(()()(

10

011001011001 γγ ++

−+−=−=

sskakakksndndb

01

012

2

01 12782

a

a

DN

ssssa =++−+

=

01

01201 127

505

b

b

DN

sssb =

+++

=

01

01

012

01201 82

505

a

b

NN

qsqsmsm

sssp =

+++

=−+

+=

01

01

001

010010

01

01

0

0

01

01

u

u

ra

brar

b

b

r

r

a

a

DN

DDNNND

DN

DN

DN

=+

=+

0c

0c

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)


0 00

0

4cac k

kγ −

= = =

(38)

(39)

))()(()()(

110

011001

01

0101 kkass

kakakksabp

c+++−+−

==γ

(40)

(41)

Eje

Imag

inar

io

Eje Real

010101 / aa DNa =010101 / bb DNb = 000 / rr DNr = 010101 / uu DNu =

)( 10101001 DSuubra ∈=+ (42)

(43)


D1

D0

Consideración del orden de r0 Se considera r0 de segundo orden y bipropio. Con este r0 los polos de lazo cerrado del par (p01, r0) pueden ser arbitrariamente ubicados en D1, y además tenemos un grado de libertad. Por lo tanto, r0 = c01 se expresa de la siguiente forma:

Para la solución de (43) se requiere que u01 sea una unidad en SD1, es decir, u01 ∈ u(SD1). Entonces, la unidad u01 se expresa como: (45) donde s = -αui ∈ D1, i = 1,…, 4 para lograr que la plan-ta p01 sea fuertemente estabilizable en D1. De la ecua-ción (42) igualamos los coeficientes y se sustituyen los términos correspondientes para obtener: (46) donde los coeficientes de Na01, y de Nb01 son valores conocidos de la ecuación (42), es decir: q1 = 2, q0 = -8, m1 = 5 y m0 = 50. Todos los s = -αui ∈ D1 y -αui ∈ R, i = 1,…, 4. La ex-pansión de se escribe usando la siguiente notación:

(47)

y además

(50) Los coeficientes del producto se denotan como , y estos coeficientes están defi-nidos en base a los coeficientes intermedios y calculados en las expresiones (47) a la (50). Entonces, la expresión para Nu01 se convierte en:

donde z4 = 1 y los coeficientes , i = 0, …, 3 que-dan definidos como:

(52)

(53)

(54)

(55)

(56) igualando los coeficientes queda el siguientes sistema de ecuaciones lineales:

(57)

(58)

(69)

(60) De este sistema se obtiene 4 ecuaciones (57) a la (60) con 5 incógnitas, c2, c1, y c0 del numerador de r0, y d1 y d0 del denominador de r0. Como existe un grado de libertad, el valor de una de estas variables será asig-nado arbitrariamente debido a la escogencia de dos ceros en r0. Para este sistema de ecuaciones la variable seleccionada es d0 = 15. El sistema de ecuaciones que-da expresado en forma matricial como sigue:

Donde la matriz A y el vector columna W están definidos como:

01

01

012

012

2

0

0010

dc

nc

r

r

DN

dsdscscsc

DNcr =

++++

===

211 uuf αα +=

210 uuf αα=

431g uu αα +=

430g uu αα=

14 =z

113 g+= fz

11002 gg ffz ++=

10011 gg ffz +=

000 gfz =

31211 zmcdq =++

211021100 zmcmcqddq =++++

101101001 zmcmcqdqd =+++

00000 zmcqd =+

..

2

1

0

1

cc

A Wcd

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4

01 101

01 01 0

1 2 3 42

1 0

( 4)

( )( )( )( )( 4)( 3)( )

u i

u a r

u u u u

sNuD D Ds s s s

s s s d s dα α α α

=+

= =

+ + + +=

+ + + +

∏

2 2 241 1 0 1 0 2 1 0 1 0( ) ( )( ) ( )( )i uis s d s d s qs q c s cs c ms mα= + = + + + + + + + +∏

sq i' sm i'

(44)

∏ =+=

4

101 )(i uiu sN α

sz i'sf i' si'g

∏ =+=

4

101 )(i uiu sN α

401 1

44 3 2

4 3 2 1 00

( )u uii

jj

j

N s

z s z s z s z s z s z

α=

=

= +

= = + + + +

∏

∑(51)

(48)

(49)

sz i'

(62)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000

0100

0

010

110

1

mqmmqmm

m

A

(61)



El sistema es resuelto a continuación:

Los valores utilizados en la resolución de (64), fueron los siguientes: αu1 = 1.3, αu2 = 1.8, αu3 = 2.2 y αu4 = 3.0 por lo tanto, el compensador

resulta:

Se observa en la Figura 8 que los polos de c01 = r0 ∈ SD0 se encuentran ubicados en D0∩D1. Por lo tanto podemos afirmar que este compensador c01 = r0 D1-estabiliza a la planta asociada p01, es decir, p01 es fuer-temente estabilizable en D1.

Figura 8. Ubicación de los polos y ceros del

compensador c01.

Figura 9. Sistema de realimentación con sensitividad unitaria.

6. ANÁLISIS DE RESULTADOS Polos de lazo cerrado del par (p0, c0)

Partiendo de un sistema de realimentación en donde intervienen las funciones de transferencias del compensador común c(s), del modelo de la planta Pi(s) y función de transferencia unitaria de sensitividad H(s) tal como se muestra en la Figura 9 se obtienen los polos de lazo cerrado del sistema. El compensador común, c = c0 = c1 que Di-estabiliza simultáneamente a p0 y p1 se obtiene utilizando el parámetro r0 de la ecuación (72) en la expresión del conjunto de com-pensadores Di-estabilizantes. El resultado de este compensador está dado por:

Los polos de lazo cerrado del par (p0, c) son calcula-dos y sus valores son: s1 = -4.00 (69) s2 = -4.00 (70) s3 = -3.045 + j2.393 (71) s4 = -3.045 - j2.393 (72) Se denota como la ecuación caracterís-tica de los polos de lazo cerrado del par (p0, c0). En-tonces puede ser expresada como:

(73)

(74) donde = (s + 4) es la ecuación característica de la solución particular de la planta p0, Dn0 = (s+4) es el factor usado en la factorización coprima de p0, y

WA

dccc

1

1

0

1

2

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0001

r

r

DNrc ==

1509.6709.2756.0004.0

2

2

0

0001 ++

++===

ssss

DNrc

r

r

111

111

000

00010 nry

drxnrydrxccc

−+

=−+

===

)46.46()58.35()88.9()49.29()97.19()876.4()444.0(

23

23

++++++

=sss

sssc

20 ( 4)( 4)( 6.09 15)CL s s s s∆ = + + + +

0 0 0 0n rCL CL D D∆ = ∆

sui 'α

(63)

(65)

(66)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

=

000

101

002

13

qdzqdzdqz

qz

W

u1 e1 y2

-

+

Eje

Imag

inar

io

Eje Real

0CL∆

0CL∆

0CL∆0c

(67)

(68)



D1

D0

(64)

el polinomio de segundo grado Dr0 es el denominador de c01 = r0. La expresión (70) nos muestra la relación entre y (solución con ), demostrada teóricamente por Beale [15].

En resumen, el compensador c = c0 D0-estabiliza a la planta p0 y a continuación se muestra en la Figura 10 que representa las respuesta en el tiempo ante una entrada de escalón unitario de las raíces del par (p0, c).

Figura 10. Respuesta temporal ante una entrada de escalón unitario del par (p0, c).

Polos de lazo cerrado del par (p1, c1) De igual manera para la obtención de los polos de lazo cerrado se parte del sistema realimentado de la Figura 8. Los polos de lazo cerrado del par (p1, c1) se obtienen utilizando el mismo compensador común cal-culado en (67), es decir que dichos polos se pueden obtener con el par (p1, c0), y sus valores son: s1 = -1.3 ∈ D1, D0 (75) s2 = -1.8 ∈ D1, D0 (76) s3 = -2.2 ∈ D1, ∈ D0 (77) s4 = -3.0 ∈ D1, ∈ D0 (78) La ecuación característica resultante del par (p1, c1) = (p1, c0) puede ser expresada como: Es decir, los polos del par (p1, c1) son los mis-mos del par (p01, c01). Recordando que estos polos fue-ron escogidos arbitrariamente para la solución de la ecuación (64), por lo que:

En resumen, el compensador c=c1 D1-Estabiliza a la planta p1 y a continuación se muestran la Figuras 13 que representan las respuesta en el tiempo ante una entrada de escalón unitario del par (p1, c). En definitiva se concluye que el compensa-dor bipropio c = c0 = c1 dado por (67) estabiliza simultáneamente a p0 en D0 y a p1 en D1 ya que ubica a los polos de lazo-cerrado para cada modelo de planta en sus correspondientes dominios, tal como se mues-tran las Figuras 12 y 13.

Figura 11. Respuesta temporal ante una entrada de escalón unitario del par (p1, c).

Figura 12. Ubicación de los polos y ceros de lazo-cerrado del par (p0, c).

101 CLCL ∆=∆

0c0CL∆ 0CL∆

Am

plitu

d

Tiempo (s)

Respuesta ante un Escalón

∉∉

)44.1563.3206.253.8( 2341 ++++=∆ ssssCL

Am

plitu

d

Tiempo (s)

Respuesta ante un Escalón

Eje

Imag

inar

io

Eje Real

(79)

(80)



D1

D0

(86)

Para la selección de los Factores Coprimos γ0 y γ1 es necesario hacer un análisis de la expresión (42).

Como los valores y

pertenecen a SD1 y son Coprimos en SD1, se deduce que γ0 también debe pertenecer a D1, es decir, pertene-ce a la región común D01. Para la selección de γ1 no se presenta mayor restricción, sino aquella en que solo basta que pertenezca a D1.

El compensador c01, bipropio y de segundo orden dado por (65) proporciona cuatro ecuaciones lineales con cinco incógnitas, obteniéndose un grado de libertad necesario y suficiente para lograr la ubica-ción arbitraria de los polos de lazo cerrado del par (p01, c01)

Figura 13. Ubicación de los polos y ceros de lazo-cerrado del par (p1, c).

7. CONCLUSIONES En este trabajo se han presentado algoritmos para el diseño y simulación de compensadores basa-dos en estabilización simultánea con múltiples domi-nios acotados de estabilidad. Aspectos teóricos y prác-ticos de la parametrización de compensadores Di-

estabilizantes y de las condiciones que deben satisfa-cerse para la estabilización simultánea de dos y tres modelos de plantas han sido mostrados. Estas condi-ciones están expresadas en términos de la estabiliza-ción fuerte de sistemas asociados y auxiliares, y en requerimientos de interpolación para dos y tres plan-tas. Se establece también la relación existente entre la ecuación característica de lazo cerrado y la ecuación característica de la solución particular para cada modelo de planta. En base a los resultados obtenidos, puede concluirse que los procedimientos desarrolla-dos permiten la obtención del compensador estabili-zante de dos y tres modelos de plantas lineales de primer orden, cumpliendo con los criterios de diseño del sistema en forma satisfactoria. Los algoritmos fueron desarrollados y programados en Matlab y permiten al usuario diseñar sistemas de control, en forma interactiva con el computador, aplicando la teoría de la estabilización simultánea para el caso de regiones acotadas de estabilidad. Estos algoritmos pueden ser también extendidos para el caso de cuatro o más modelos de planta, y para el caso de sistemas de segundo orden.

AGRADECIMIENTOS

Los autores expresan su reconocimiento al Con-sejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la Universidad de Carabobo CDCD-UC por el financia-miento otorgado al proyecto de investigación N° 97-016.

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1 1 001

1 0

( ) ( )( ) ( )

cs a k k sas s

γγ γ

+ + +=

+ +

1 0 0 1 1 001

0 1

( ) ( )( )( )

s k k a k a kbs sγ γ

− + −=

+ +

Eje

Imag

inar

io

Eje Real



D1

D0

01a 01b

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- Nelson Falcón, F. Peña, H. Mavo, Rafael Muñoz. Irradiación Solar Global en la Ciudad de Valencia. (Global Solar Irradiation in the city of Valencia).


- Alejandro E. Bolivar P. Digitalización del Perfil de Levas de Disco, con movimiento del Seguidor en Dirección al Centro de Rotación de la Leva.

- Carla Camacho, Zulay Niño y Sergio Pérez. Desarrollo de un Módulo de Cálculo para la Simulación Dinámica de un Reactor Químico por Cargas compatible con el Programa Simdinuc.

- M. Fátima De Abreu, Víctor Barrios, Aldo Reigosa. Selección Automática del Nivel Óptimo de Umbral para Segmentación por Histograma de Imágenes Rgb de Cortes Histológicos de Cáncer de Mama.

- José G. Mendoza R. Aumento de la Competitividad en Sistemas de Producción: Un Enfoque de Administración de Proyectos.

- Julio C. Masilla Hernández, Julio N. Garcia Silverio, Francisco J. Arteaga. Control de Velocidad de un Motor Dc, usando Filtros Kalman en tiempo continuo.

- César Seijas. Modelo Estocástico de la Serie de Tiempo Económica "Inflación en Venezuela (Junio/1995 a Julio/2000)"

- Linda Marianella Salazar Noriega, Américo Guevara Pérez. Obtención de Carambola (Averrocha Carambola L.) Deshidratada por Osmosis.

- José Concha Valencia, Américo Guevara Pérez A, Miguel Araujo Vargas. Obtención de Polvo de Papaya de Monte (Carica Pubescens) por Atomización.


- Adriana M. Márquez R., Judimar del C. Nava Navas. Eliminación de Componentes Orgánicos en Aguas Residuales mediante un Reactor del tipo Biopelicula sumergida aireada.

- Edilberto Guevara Pérez. Estimación del coeficiente de avance de las tormentas en la Región Central de Venezuela.

- Edilberto Guevara Pérez. Modelo Intensidad-Duración-Frecuencia para lluvias de diseño en la Región Central de Venezuela.

- G. Américo, Ciangherotti Rivas. Comparación de 3 Métodos para estimar el componente reproducibilidad de un Sistema de Medición.

- Américo Guevara Pérez, Patricia Giovanna Sotomayor Camargo. Influencia de los encap-



sulantes y temperaturas de secado en c a l i d a d del camu camu (Myrciaria dubia) liofilizado. - Edgardo J. Peña B., Wilfredo J. Carmona R.,

Francisco J. Arteaga B. Diseño de Software para la simulación del control predictor de Smith en Sistemas Continuos y Discretos, usando Matlab y Simulink.

- Cecilia E. Sandoval R., Katerine C. Velazco S., José Gregorio Díaz P., Francisco J. Arteaga B. Simulación en ambiente Matlab Simulink del Control Automático de velocidad y par de tensado de una planta rebobinadora de papel.

Vol. 10, NÚMERO 1, Abril 2003

- Sira-Ramírez H., Silva-Ortigoza R. Control modo deslizante - ∆ modulación de un convertidor "buck".

- Caralli A., De Mercato G., García F. Factor de pérdida dieléctrica de la pared de la arteria aorta de humanos.

- Escalona L., Jiménez C., Ferrara A., Arteaga. F. Diseño de sistema para la detección de fallas en planta compresora con mantenimiento centrado en confiabilidad usando lógica difusa.

- L. Valles, N. Delgado, V. Riera. Diseño de sistema para convertir en imágenes las señales de vibraciones de un cojinete de rodamiento.

- A. Zozaya, E. Bertran. Análisis de las principales técnicas de linealización de amplificadores de potencia en RF.

- E. Guevara. Un Modelo de Altura-Área-Duración (AAD) de tormentas en Venezuela.

- C. Martínez, M. Álvarez, F. Sistema de medición y control de proceso industrial de embotellado con algoritmo de redes neuronales.

- M. Terán, O. Mendoza, J. Díaz, F. Arteaga. Modelación del sistema clásico de viga y esfera utilizando accionamiento neumático.

Vol. 10, NÚMERO 2, Agosto 2003

- Pérez A., Peña E. , Aljibes P. Modelación, simu-lación y control de un reactor exotérmico por lo-tes utilizando Matlab-Simulink.

- Vallés L., España L., Serrato C. Predicción para el reemplazamiento de bombas.

- Colombo G., Fuguet F., Sáenz L. Efecto del trata-miento térmico de envejecimiento a un acero mi-croaleado tipo X-60.

Arteaga F., Sevilla D., Franco P. Redes neurona-les para la estabilización simultanea con múltiples

dominios acotados de estabilidad en control de procesos.

- Vallés L., León A, Koslow W., Martino L. Diseño e implantación de un sistema de inspección para la visualización de una bomba centrifuga en un ambiente virtual.

- Larrazábal G. Paralelización de métodos iterati-vos.

- Maneiro N., Loyo J. Enfoque evolutivo para problemas de localización en líneas de ensamble con backtracking.

- Yllada R., Maneiro N., Cira L. Técnicas evolutivas para la localización de facilidades en una empresa productora de envases de aluminio.

- Arteaga F., Contreras J. Identificación de sistemas y control de matriz dinámica para la optimización de una planta de endulzamiento de gas.


Alba, Enrique, N° 3, 80 Alfonsi, Alfonso, N° 3, 90 Aljibes D., Pascual, N° 2, 7 Alvarez S., Mario, N° 1, 52 Angarita, César, N° 3, 28 Arteaga B., Francisco J., N° 1, 21 Arteaga B., Francisco J., N° 1, 52 Arteaga B., Francisco J., N° 1, 57 Arteaga B., Francisco J., N° 2, 30 Arteaga B., Francisco J., N° 2, 79 Arteaga B., Francisco J., N° 3, 50 Arteaga B., Francisco J., N° 3, 99 Bertran, Eduard, N° 1, 38 Campos, Victor, N° 3, 90 Caralli D’A., Antonino, N° 1, 16 Cira, Lidia, N° 2, 70 Colombo, Gabriella, N° 2, 26 Contramaestre A., Marco A., N° 3, 99 Contreras, José R., N° 2, 79 Cortez M., Trina G., N° 3, 49 De Mercato, Giovanni, N° 1, 16 Delgado B., Neyla Y., N° 1, 29 Díaz P., José Gregorio, N° 1, 57 Díaz, José A., N° 3, 7 Doré, Leonardo, N° 3, 90 Escalona G., Luis W., N° 1, 21 España, Leonard, N° 2, 18 Ferrera, Arquímedes J., N° 1, 21 Franco N., Pablo A., N° 2, 30 Fuguet, Frine, N° 2, 26 García S., Francisco, N° 1, 16 Guevara P., Edilberto, N° 1, 47 Jiménez, Carlos J., N° 1, 21 Koslow, Wasilio, N° 2, 43 Laguna, Manuel, N° 3, 80 Lanza S., Freddy J., N° 3, 59 Larrazábal, Germán, N° 2, 55 León S., Antonio E., N° 2, 43 Loyo De S., Jaqueline, N° 2, 60 Maneiro M., Ninoska, N° 2, 60 Maneiro M., Ninoska, N° 2, 70 Martí, Rafael, N° 3, 80 Martínez R., César E., N° 1, 52 Martino, Lucia, N° 2, 43 Méndez, Raymundo, N° 2, 30 Mendoza M., Onexi L., N° 1, 57

Michielli O., Luis A., N° 3, 67 Moewis, Philippe, N° 3, 28 Morillo P., Atilio, N° 3, 50 Morillo P., Atilio, N° 3, 99 Natour, Yaser, N° 3, 7 O. Beale, Guy, N° 2, 30 O. Beale, Guy, N° 3, 99 Obediente, Luis, N° 3, 50 Peña T., Eliana, N° 2, 7 Pérez R., Aída, N° 2, 7 Puentes M., Scarlet H., N° 3, 59 Riera G., Verónica L., N° 1, 29 Romero M., Asdrúbal, N° 3, 17 Rothman, Howard B., N° 3, 7 Saenz, Laura, N° 2, 26 Sáenz, Laura, N° 3, 28 Salguero S., Antonio R., N° 3, 67 Sapienza, Christine, N° 3, 7 Serrato, Carlos, N° 2, 18 Sevilla H., Doris E., N° 2, 30 Silva O., Ramón, N° 1, 7 Sira R., Hebertt, N° 1, 7 Terán T., María A., N° 1, 57 Vallés D., Luis E., N° 1, 29 Vallés D., Luis E., N° 2, 18 Vallés D., Luis E., N° 2, 43 Vallés D., Luis E., N° 3, 37 Válles D., Luis E., N° 3, 67 Villalobos Fernando, N° 3, 59 Vizcaya N., Mayra A., N° 3, 99 Yllada G., Ruth A., N° 2, 70 Zozaya, Alfonso, N° 1, 38


Índice de Autores (Author Index) Volumen 10 (1, 2 y 3) 2003


Acero microaleado, N° 2, 26 Acero microaleado, N° 3, 28 Algoritmo de aprendizaje, N° 1, 52 Algoritmo evolutivo, N° 2, 70 Algoritmo PID, N° 2, 7 Algoritmos evolutivos, N° 2, 60 Amplificadores de potencia, N° 1, 38 Análisis AAD, N° 1, 47 Análisis de tormentas, N° 1, 47 Backprogagation, N° 2, 30 Backtracking, N° 2, 60 Bioimpedancia, N° 1, 16 Bomba centrífuga, N° 2, 18 Bomba centrífuga, N° 2, 43 Bomba centrífuga, N° 3, 37 Búsqueda dispersa, N° 3, 80 Cilindro neumático de doble efecto, N° 1, 57 Códigos sísmicos, N° 3, 59 Comportamiento mecánico, N° 3, 28 Conductividad eléctrica, N° 1, 16 Control de matriz dinámica, N° 2, 79 Control de modo deslizante, N° 1, 7 Control PI Generalizado, N° 1, 7 Control predictivo basado en modelo, N° 2, 79 Control, N° 1, 52 Corte basal, N° 3, 59 Desalineación, N° 1, 29 Desgaste, N° 2, 18 Desgaste, N° 3, 37 Desgaste, N° 3, 67 Diseño de software, N° 3, 99 Dominio de estabilidad, N° 2, 30 Dominios acotados, N° 3, 99 Espectrograma, N° 3, 7 Estabilización simultánea, N° 2, 30 Estabilización simultánea, N° 3, 99 Factor de pérdida dieléctrica, N° 1, 16 Factor de utilización, N° 2, 18 Factorización coprima, N° 3, 99 Falla por fatiga, N° 1, 29 Fases de operación, N° 2, 7 Frecuencia de defecto, N° 1, 29 Frecuencia fundamental, N° 3, 7 Fricción, N° 3, 67 Función objetivo, N° 2, 30 Fusión de datos, N° 3, 90 Identificación de sistemas, N° 2, 79

Impulsor, N° 2, 18 Laminación y recocido, N° 3, 28 Linealización exacta, N° 3, 50 Linealización, N° 1, 38 Localización de facilidades, N° 2, 70 Lógica difusa, N° 1, 21 Mantenimiento centrado en confiabilidad, N° 1, 21 Mapa de entorno, N° 3, 90 Metodología estructurada, N° 3, 90 Métodos evolutivos, N° 3, 80 Métodos iterativos, N° 2, 55 Microcontrolador, N° 3, 90 Modelo matemático dinámico, N° 1, 57 Modelo no lineal, N° 2, 7 Moduladores delta, N° 1, 7 Norma sismorresistente venezolana, N° 3, 59 Paralelismo, N° 2, 55 Parámetros sísmicos de diseño, N° 2, 59 Pared arterial, N° 1, 16 Pasivización, N° 3, 50 Perceptron, N° 1, 52 Permitividad eléctrica, N° 1, 16 Planta de compresión, N° 1, 21 Prealimentación, N° 1, 38 Predistorsión, N° 1, 38 Procesamiento de voz, N° 3, 7 Proceso de endulzamiento de gas, N° 2, 79 Reactor químico, N° 2, 7 Realimentación, N° 1, 38 Red neuronal, N° 1, 52 Redes neuronales, N° 2, 30 Reducción de la lluvia puntual, N° 1, 47 Re-encadenamiento de trayectorias, N° 3, 80 Rendimiento, N° 3, 37 Resonancia, N° 1, 29 Sello mecánico, N° 3, 67 Sensor de ultrasonido, N° 3, 90 Sensores, N° 1, 52 Simulación en Matlab–Simulink, N° 2, 7 Sistema de suspensión magnética, N° 3, 50 Sistema viga y esfera, N° 1, 57 Sistemas lineales, N° 2, 55 Válvula proporcional, N° 1, 57 Vibraciones, N° 1, 29 Virtual, N° 2, 43 Visualización, N° 2, 43


Índice de Materias Volumen 10 (1, 2 y 3) 2003


Backpropagation, N° 2, 30 Backtracking, N° 2, 60 Beam and sphere system, N° 1, 57 Bioimpedance, N° 1, 16 Bounded domains, N° 3, 99 Casing efficiency, N° 3, 37 Centrifugal pump, N° 2, 18 Centrifugal pump, N° 2, 43 Centrifugal pump, N° 3, 37 Chemical reactor, N° 2, 7 Cold deformation, N° 3, 28 Compression plant, N° 1, 21 Control, N° 1, 52 Coprime factorization, N° 3, 99 Data fusion, N° 3, 90 Defect frequency, N° 1, 29 Delta-Modulatror, N° 1, 7 Disalignment, N° 1, 29 Dynamic head, N° 3, 37 Dynamic mathematical model, N° 1, 57 Dynamic matrix control, N° 2, 79 Electric conductivity, N° 1, 16 Electric permitivity, N° 1, 16 Environment map, N° 3, 90 Evolutionary algorithms, N° 2, 60 Evolutionary algorithms, N° 2, 70 Evolutionary algorithms, N° 3, 80 Exact linealization, N° 3, 50 Facility layout, N° 2, 70 Factor of loss dielectric, N° 1, 16 Fatigue failure, N° 1, 29 Feedback, N° 1, 38 Feedforward, N° 1, 38 Friction, N° 3, 67 Fundamental frequency, N° 3, 7 Fuzzy logic, N° 1, 21 Gas sweetening process. N° 2, 79 Generalized PI Control, N° 1, 7 Height-Area-Duration analysis, N° 1, 47 Iterative methods N° 2, 55 Lateral seismic shear, N° 1, 59 Learning algorithm, N° 1, 52 Linear systems, N° 2, 55 Linearization power amplifiers, N° 1, 38 Magnetic suspension system, N° 3, 50 Matlab–Simulink simulation, N° 2, 7 Mechanical behavior, N° 3, 28

Mechanical seal, N° 3, 67 Microalloyed steel, N° 2, 26 Microalloyed steel, N° 3, 28 Microcontroller, N° 3, 90 Model predictive control, N° 2, 79 Neural networks, N° 1, 52 Neural networks, N° 2, 30 Non linear model, N° 2, 7 Objective function, N° 2, 30 Operation phases, N° 2, 7 Parallelism, N° 2, 55 Passivization, N° 3, 50 Path relinking, N° 3, 80 Perceptron, N° 1, 52 PID algorithm, N° 2, 7 Pneumatic cylinder of double effect, N° 1, 57 Predistortion, N° 1, 38 Proportional valve, N° 1, 57 Recovery, N° 3, 28 Reduction of point rainfall, N° 1, 47 Reliability centered maintenance, N° 1, 21 Resonance, N° 1, 29 Scatter search, N° 3, 80 Seismic codes, N° 3, 59 Seismic design parameter, N° 3, 59 Sensors, N° 1, 52 Simultaneous stabilization, N° 2, 30 Simultaneous stabilization, N° 3, 99 Sliding mode control, N° 1, 7 Software design, N° 3, 99 Spectrogram, N° 3, 7 Speech processing, N° 3, 7 Stability domain, N° 2, 30 Storm analysis, N° 1, 47 Structured methodology, N° 3, 90 System identification, N° 2, 79 Thermal treatment, N° 2, 26 Ultrasound sensor, N° 3, 90 Used factor, N° 2, 18 Useful life, N° 2, 18 Useful life, N° 3, 67 Venezuelan seismic code, N° 3, 59 Vibrations, N° 1, 29 Virtual reality, N° 2, 43 Visualization, N° 2, 43 Wear, N° 2, 18 Wear, N° 3, 37


Subject Index Volume 10 (1, 2 and 3) 2003


Programa de Postgrado

La Dirección de Estudios para Graduados de la Facultad de Ingeniería (DEPG-FI) ofrece los siguientes estudios de postgrado:

Maestría en Ingeniería Industrial

Maestría en Ingeniería Ambiental

Maestría en Ingeniería Mecánica

Maestría en Ingeniería Eléctrica, General y Telecomunicaciones

Maestría en Ingeniería de Procesos

Maestría en Gerencia de la Construcción

Maestría en Matemáticas y Computación

Especialidad en Ingeniería Industrial

Actualmente, las Comisiones Coordinadoras de los Programas están trabajando en la acreditación de los mismos ante el CNU y en la elaboración de nuevos programas.

La DEPG-FI, además ha sometido a la consideración del Consejo de Postgrado el Proyecto de Doctorado en Ingeniería bajo un esquema individualizado.


1. Generales

1.1 Revista INGENIERÍA UC, considerará para su difusión trabajos relacionados con las ramas de la Ingeniería así como las Ciencias Aplicadas a la misma.

1.2 Tipos de Trabajos a) Artículos de investigación inéditos con un máximo de

doce (12) páginas. b) Notas Técnicas con un máximo de cinco (5) páginas. c) Artículos de Actualización Científica que resuman el

“Estado del Arte” de un área específica de la Ingeniería con un máximo de doce (12) páginas.

d) Artículos de invitados especiales con un máximo de cin-co (5) páginas.

e) Cartas al Editor.

1.3 Estilo

La redacción de los trabajos puede realizarse en español o inglés. El trabajo original debe ser redactado empleando el proce-sador de texto Microsoft WORD y almacenado en disco de 3½” acompañado de tres copias perfectamente legibles, los artículos provenientes del exterior del país se aceptarán a través de correo electrónico. El orden a seguir para la redacción del trabajo es el siguiente: Portada, Introducción, Metodología o desarrollo de la investigación, Análisis y Discusión de Resultados y Conclusiones, y Referencias Bibliográficas.

La Portada debe contener: • Título del trabajo en español y en inglés. • Nombre(s) del autor(es) y su dirección (es) instituciona-

les completa(s) (dirección postal, fax, teléfono, correo electrónico).

• Resumen del trabajo en español y en inglés (Abstract) con un máximo de ciento cincuenta (150) palabras para artículo inédito y revisiones, ciento cincuenta (150) pala-bras para notas técnicas, el “Abstract” debe llevar el título del trabajo traducido al inglés.

• Al final tanto del resumen como del “Abstract” debe agregarse entre tres (3) y cinco (5) palabras claves.

Los encabezamientos de cada sección se escribirán en negri-tas, en mayúsculas centrados en el texto.

Los encabezamientos de las subsecciones se escribirán en negritas, en mayúsculas y minúsculas a la izquierda del texto.

El papel debe ser tamaño carta y los márgenes superior e inferior deben ser de 2,5cm, el izquierdo de 2,5cm y el derecho de 1,5cm, el texto debe escribirse en doble columna (8,5cm de ancho por columna separadas 0,5cm), excepto los títulos, el resumen y el abstract en una sola columna.

El artículo debe escribirse en estilo Times New Roman tama-ño 12 y el título en tamaño 16 con interlineado sencillo, los títulos

de las secciones en tamaño 12 y las subsecciones en tamaño 12. Debe utilizarse tamaño 10 para las leyendas de las figuras y tablas así como otros textos subordinados.

Las figuras, fotografías, diagramas y gráficos deben denomi-narse como figuras.

Las tablas y las figuras, se deben enumerar consecutivamente y con números arábigos. Además deben ser incluidas dentro del texto correspondiente (no agrupadas al final del mismo) y con su respectiva leyenda, en la parte superior si es Tabla y en la parte inferior si es figura. Las figuras deben ser originales, nítidas y rea-lizadas en impresión de alta resolución. Tanto las figuras como las fotografías deben enviarse en blanco y negro, bien contrastadas (brillante) de 17,5cm de ancho máximo.

Los símbolos matemáticos deben ser muy claros y legibles. Los subíndices y supraíndices deben estar correctamente ubicados. Todas las ecuaciones deben ir en tamaño 10 enumeradas consecuti-vamente con números arábigos, colocados entre paréntesis en el margen derecho.

Las referencias, citadas en el texto, contendrán el nombre del autor principal seguido de corchetes con el número correspondiente de la referencia bibliográfica: por Ej. Jhonson [9], o simplemente el número de la referencia bibliográfica, es decir [7] sin citar autor.

Las referencias bibliográficas se escribirán en orden de cita-ción, deben ser completas y contener: autor(es) (en mayúsculas y minúsculas), título (entre comillas), revista, volumen, número, año de publicación (entre paréntesis) y páginas; por ejemplo:

- Beale G.O, Arteaga F.J. and Black W.M. (1992): "Design and Evaluation of a Controller for the Process of Microwave Joining of Ceramics". IEEE Transactions on Industrial Electronics. Vol. 39. No. 4, pp. 301-312.

En caso de Libros ha de incluirse: Autor(es) (en mayúsculas y minúsculas), año, título, editorial y lugar de publicación, por ejem-plo:

- Hill J.M. and Dewynne J.N. (1987): “Heat Conduction”. Blackell Set. Pub., London.

En caso de trabajo en colección editada: Autor(es) (en mayús-culas y minúsculas), título. En: editor, año, título, volumen, edito-rial, lugar y número de páginas; por ejemplo: - Kalla S. L. and Galué L. (1993): Generalized fractional

Calculus. Global Publishing Company, USA, 145-178. Se recomienda a los autores tener en cuenta las Normas

Internacionales de Nomenclatura (símbolos, unidades y abreviatu-ras).

2. Notas finales

Los artículos serán sometidos a arbitraje previa publicación. Se podrán entregar separatas por tema a solicitud del autor, cuyo costo será a convenir.

Normas para la presentación de artículos

Revista INGENIERIA UC Facultad de Ingenieria. Universidad de Carabobo

Bárbula-Valencia. Código Postal 2008. Estado Carabobo. Venezuela Teléfonos: (58-241) - 8666819- 8679331– 8667555 (58-412) 855-6492

Email: [email protected], [email protected] Página web: www.ing.uc.edu.ve/~farteaga/revista.htm

1. General

1.1 Revista INGENIERÍA UC will considerer for publication contributions related with the areas of Engineering and Applied Science.

1.2 Type of Manuscripts:

a) Unpublished research articles with a maximum length of twelve (12) pages.

b) Technical Notes, with a maximum of five (5) pages. c) State of the Art Articles (Update Articles) of a

specific engineering field (maximum of twelve (12) pages).

d) Articles sent by invited guests, maximum of five (5) pages.

e) Letter to Editor.

1.3 Article Style

Articles may be sent either in spanish or english. The original work should be written using Microsoft WORD and saved in a 3½” diskette accompanied by three legible copies. The articles coming from other country are accepted through electronic mail (email). The writing sequence for the articles shall have this steps: Title Page, Introduction, Methodology or Research Development, Analysis and Discussion of Results and Conclusions, and References.

The Title Page should contain: • Title of the work in spanish and in english. • Full name(s) of author(s) with Full Institutional

Address(es) (Address, Telephone, Email). • Summary of the work in spanish and in english

(Abstract) with a maximum of 150 words for Unpublished, State of the Art articles and Technical Notes.

• At the end of the Summary in spanish and Abstract in english three to five (3-5) Key Words should be added.

Section headings must be written in bold type, centered in the text, with caps and lower case.

Sub-section headings shall be writen in bold type, with caps and lower case on the left.

The typescript should be on letter-sized bond with 2.5 cm for top and bottom margins, 2.5 cm for the left and 1.5 cm for the right margin, all Text in doble column (8.5 cm width and separated by 0.5 cm), except the Titles, Summary in Spanish and Abstract in single column.

The article should be in Times New Roman 12 and the Title in 16 points with single space, Titles of sections in 12 points and Titles of subsections in 12 points. For the legends of figures and tables 10 points size should be used.

The figures, photographs, diagrams and graphics should all be considered as figures.

Tables and figures should be numbered consecutively using Arabic numbers. Also, they must be included within the corresponding text (not placed together at the end of the

article), with the corresponding caption at the bottom for a Figure and legend at the top for a Table. Figures should be original, clear and printed in high resolution. Both Figures and pictures should be sent in black and white, clearly defined, with maximum width of 17.5 cm.

Mathematical symbols should be very clear and legible. Subscripts and superscripts must be properly placed. All equations should be consecutively numbered with arabic numerals in 10 points, located in brackets in the right-and margin.

Text references must contain the name of the main author followed by the corresponding number of reference; Eg: Jhonson [9], or simply [9] with no author name.

References will be written in order of citation, complete and should contain: author(s) (in caps and lower case), full title in quotes, journal, volume, number, year of publication (in parenthesis) and pages. For example:

- Beale G.O, Arteaga F.J. and Black W.M. (1992): "Design and Evaluation of a Controller for the Process of Microwave Joining of Ceramics". IEEE Transactions on Industrial Electronics. Vol. 39. No. 4, pp. 301-312.

In the case of Books: Author(s) (in caps and lower case), year, title, publisher, place and year of publication should be included. For example:

- Hill J.M. and Dewynne J.N. (1987): “Heat Conduction”. Blackell Set. Pub., London.

Work in an edited collection: Author(s) (in caps and lower case), title. In: editor, year, title, volumen, publisher, place and number of pages. For example: - Kalla S. L. and Galué L. (1993): Generalized fractional Calculus. Global Publishing Company, USA, 145- 178.

It is recommended to the authors to follow the International Nomenclature Norms (symbols, units and abbreviations).

2. Final Notes

Articles will be submitted for the reviewing process before they can be published.

Offprints can be sent for article with a request from the author(s). Any charge will be arranged by mutual agreement.

Information for Authors

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Bárbula-Valencia. Código Postal 2008. Estado Carabobo. Venezuela Teléfonos: (58-241) - 8666819- 8679331– 8667555 (58-412) 855-6492

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UNIVERSIDAD DE CARABOBO AUTORIDADES UNIVERSITARIAS

Ricardo Maldonado González

Rector

José Miguel Vegas Castejón Vicerrector Académico

Marfa Olivo de Latouche

Vicerrectora Administrativa

Jessy Divo de Romero Secretaria

AUTORIDADES DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA

Víctor Reyes Lanza

Decano

Revista INGENIERÍA UC La Revista INGENIERÍA UC, es una publicación periódica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo, adscrita a la Dirección de Investigación. Es Arbitrada, Indizada en REVENCYT (Venezuela), Actualidad Iberoamericana (CIT–Chile), IEE/INSPEC (United Kingdom, UK), y está Incluida en Ulrich’s International Periodicals Directory (USA), de circulación Internacional. Se publica cada cuatro meses bajo los auspicios del Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la Universidad de Carabobo (CDCH-UC) y de la Estación de Promoción y Desarrollo Tecnológico de la Facultad de Ingeniería (EPDT). Se aceptan artículos en español e inglés. Todos los artículos son revisados por el Comité Editorial y arbitrados por el Comité Técnico y por especialistas en la materia.

Dirección Postal: Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo: Bárbula-Valencia, Código Postal 2008, Estado Carabobo-Venezuela, Teléfonos: (58-241) 8666819-8679331-(58-412) 855-6492. Email: [email protected], [email protected] Página web: www.ing.uc.edu.ve/~farteaga/revista.htm.

Mario Petrizzelli Asistente del Decano

Luis Vallés Director de Investigación

María E. González Directora de Estudios Básicos

Antonino Caralli Director de la Estación de Promoción y Desarrollo

Tecnológico Arnoldo Gómez

Director de la Escuela de Ingeniería Civil María A. Sandoval

Directora Académica Antonio Fedón

Director de la Escuela de Ingeniería Eléctrica Laura Sáenz

Directora de Estudios para Graduados Marisela Giraldo

Directora de la Escuela de Ingeniería Industrial Andrés Jiménez

Director de Extensión Edwin Peña

Director de la Escuela de Ingeniería Mecánica Juan F. Hernández

Director de Administración y Servicios Zulay Niño

Directora de la Escuela de Ingeniería Química Alfredo Varela

Director del Centro de Investigaciones Químicas Hyxia Villegas

Directora del Centro de Procesamiento de Imágenes

Demetrio Rey Director del Instituto de Matemáticas y Cálculo

Aplicado

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