Revisao de Mec Aplicada

7/29/2019 Revisao de Mec Aplicada

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SOCIEDADE UNIVERSITRIA REDENTORFACULDADE REDENTOR

CURSOS DE GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL, MECNICA E DE PRODUORESISTNCIA DOS MATERIAIS - Prof M.Sc. Muriel B. de Oliveira

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INTRODUO A RESISTNCIA DOS MATERIAIS

(Reviso de Mecnica Geral)

1 INTRODUO

Definies:Mecnica Aplicada: Ramo da cincia que, atravs da aplicao dos princpios de

mecnica, busca entender, explicar e prever as aes e reaes de corpos em repouso oumovimento.

Mecnica do Contnuo: Ramo da cincia que lida com meios contnuos, incluindoslidos e fluidos.

Mecnica dos Slidos: Estuda a fsica de slidos contnuos, com forma definida quando

em repouso.Elasticidade: Descreve o comportamento de materiais que retomam sua forma original

aps a aplicao de esforos mecnicos.

Plasticidade: Descreve o comportamento de materiais que tm sua forma originalmodificada aps a aplicao de esforos mecnicos.

Resistncia dos Materiais: Estuda a resistncia de materiais de engenharia e seucomportamento mecnico sob ao de carregamentos.

Objetivo da Resistncia dos Materiais:O principal objetivo de um curso de Resistncia dos Materiais/ Mecnica dos Slidos o

desenvolvimento de relaes entre as cargas aplicadas a um corpo e as foras internas edeformaes nele originadas. Estas relaes so obtidas atravs de mtodos matemticos ouexperimentais, que permitam a anlise destes fenmenos.

Problema: Corpo sujeito a ao de esforos externos (foras, momentos, etc.)

Determinar: Esforos internos (tenses), Deslocamentos e Deformaes.

Normalmente buscamos a soluo de trs tipos de problemas:


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2

- Projetos: Definio de materiais, forma e dimenses da pea estudada.

- Verificaes: Diagnosticar a adequao e condies de segurana de um projetoconhecido.

- Avaliao de capacidade: Determinao da carga mxima que pode ser suportada comsegurana.

2 REVISO DE MECNICA GERAL

FORA: toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou

provocar deformao em um corpo. uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtidapela expresso da fsica:

amF .

onde:

F = foram = massa do corpoa = acelerao provocadaSendo a fora um elemento vetorial, somente se caracteriza se forem conhecidos:

direo, sentido, mdulo ou intensidade e ponto de aplicao.

Unidades:Existem muitas unidades representando foras. As que mais vamos utilizar so:N - NewtonkN - kiloNewtonkgf - kilograma fora

1 KN = 103N = 102Kgf


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Decomposio de foras:

Em anlise estrutural as foras so divididas em:

Foras Externas: atuam na parte externa na estrutura, e so o motivo de sua existncia.Podem ser ativas ou reativas.

- ativas: So foras independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma

estrutura. Correspondem s cargas as quais estaremos submetendo a estrutura, normalmenteconhecidas ou avaliadas.

Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso prprio das estruturas, etc.

- reativas: So foras que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vnculosou apoios), sendo consequncia das aes, portanto no so independentes, devendo sercalculadas para se equivalerem as aes e assim preservarem o equilbrio do sistema.

Assim, podemos dizer que sempre que uma pea de estrutura carregada tiver contatocom elementos externos ao sistema (vnculo), neste ponto surge uma fora reativa.

Foras Internas: so aquelas que mantm unidos os pontos materiais que formam ocorpo slido de nossa estrutura (solicitaes internas). Se o corpo estruturalmente compostode diversas partes, as foras que mantm estas partes unidas tambm so chamadas de forasinternas (foras desenvolvidas em rtulas).

A figura a seguir mostra como exemplo, os esforos internos de:

(a) Trao;(b) Compresso;(c) Cisalhamento;(d) Flexo;(e) Toro;

(f) Esforos combinados.


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MOMENTO DE UMA FORAO momento de uma fora a medida da tendncia que tem a fora de produzir giro em

um corpo rgido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno deum eixo (momento axial). Vamos trabalhar com momento em torno de ponto, que ocorre nos

casos de cargas em um plano.

Momento Polar (momento de uma fora em relao um ponto): Chama-se demomento de uma fora F em relao um ponto "0", o produto vetorial do vetor OA pela foraF , sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da fora F. Logo tambm umvetor, e para a sua caracterizao precisamos determinar o seu mdulo, direo e sentido.

A distncia d que representa o mdulo do vetor OA tambm chamada de brao dealavanca. Ela a menor distncia entre a reta suporte da fora e o ponto em relao ao qual secalcula o momento , isto , pode ser obtida pela perpendicular reta que passa pelo ponto.

M = F . d


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5

- direo: perpendicular ao plano formado pela fora e pelo vetor OA

- sentido: regra da mo direita

- mdulo: produto do mdulo da fora F pela menor distncia do ponto "0" a reta

suporte da fora.

- ponto de aplicao: ponto "O" em relao ao qual se calculou o momento.

Regra da mo direita: consiste em posicionar os dedos da mo direita no sentido darotao provocada pela fora em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido domomento.

Podemos tambm convencionar sinais + ou - para cada um dos sentidos, de acordo coma nossa escolha.

Unidade de momento:

Sendo o momento produto de uma fora por uma distncia, a unidade desta grandeza o produto de uma unidade de fora por uma unidade de distncia.

Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm

RESULTANTE DE FORAS CONCORRENTES EM UM PONTO DE UM PLANOA resultante de foras concorrentes em um ponto de um plano tambm pode ser

calculada atravs da decomposio destas foras em relao duas direes ortogonais

escolhidas.


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PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE EFEITOS"O efeito produzido por um conjunto de foras atuando simultaneamente em um corpo

igual a soma do efeito produzido por cada uma das foras atuando isolada".

Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princpio se resume a casos em que oefeito produzido pela fora seja diretamente proporcional a mesma. Isto acontece na maioriados casos estudados.

A partir deste princpio podemos dizer que o momento polar resultante de um sistemade foras a soma algbrica dos momentos polares, produzidos em relao ao mesmo ponto,por cada uma das foras atuando isolada.

EQUIVALNCIA DE UM SISTEMA DE FORASDois sistemas de foras so equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos

polares em relao ao mesmo ponto tambm iguais.

GRAUS DE LIBERDADE (GL)Grau de liberdade o nmero de movimentos rgidos possveis e independentes que um

corpo pode executar.

- Caso espacial: Caso dos corpos submetidos a foras em todas as direes do espao.

No espao estas foras podem ser reduzidas a trs direes ortogonais entre si (x, y, z),escolhidas como referncia.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar trs translaes

(na direo dos trs eixos) e trs rotaes (em torno dos trs eixos).

Exemplo:


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7

- caso plano: Ocorre nos corpos submetidos a foras atuantes em um s plano, porexemplo, x, y.

Neste caso possuem trs graus de liberdade, pois os corpos podem apresentar duas

translaes (na direo dos dois eixos) e uma rotao (em torno do eixo perpendicular ao planoque contm as foras externas).

Exemplo:

EQUILBRIOSempre que se deseja trabalhar com uma pea componente de uma estrutura ou

mquina, devemos observar e garantir o seu equilbrio externo e interno.

- Equilbrio externo

Para que o equilbrio externo seja mantido se considera a pea monoltica e

indeformvel. Dize-se que um corpo est em equilbrio esttico quando as foras atuantesformam entre si um sistema equivalente zero, isto , sua resultante e o seu momento polarem relao a qualquer ponto so nulos.

R = 0 Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as foras e momentos referenciados a um sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilbrio se verifica se as seis equaes abaixo sosatisfeitas:

Fx = 0 Mx = 0

Fy = 0 My = 0

Fz = 0 Mz = 0Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de

liberdade, as condies de equilbrio se reduzem apenas s equaes:

Fx = 0 Fy = 0 Mz = 0Observe que as equaes de equilbrio adotadas devem ser apropriadas ao sistema de

foras em questo, e se constituem nas equaes fundamentais da esttica.

- Equilbrio interno

De uma maneira geral podemos dizer que o equilbrio externo no leva em conta omodo como o corpo transmite as cargas para os vnculos.

O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se at atingir oequilbrio, onde as deformaes param de aumentar (so impedidas internamente), gerando


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8

solicitaes internas. Estas solicitaes internas so responsveis pelo equilbrio interno docorpo.

O equilbrio ocorre na configurao deformada, que admitimos ser bem prxima da

inicial (campo das pequenas deformaes).

VNCULOS todo o elemento de ligao entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o

meio externo, cuja finalidade restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.

A fim de que um vnculo possa cumprir esta funo, surgem no mesmo, reaesexclusivamente na direo do movimento impedido.

- Um vnculo no precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem

o far ser o conjunto de vnculos.- As reaes desenvolvidas pelos vnculos formam o sistema de cargas externas reativas.

- Somente haver reao se houver ao, sendo as cargas externas reativasdependentes das ativas, devendo ser calculadas.

Os vnculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura aomeio externo e, portanto, se classificam em vnculos internos e externos.

- Vnculos externos: So vnculos que unem os elementos de uma estrutura ao meioexterno e se classificam quanto ao nmero de graus de liberdade restringidos.

No caso plano o vnculo pode restringir at 3 graus de liberdade (GL) e, portanto seclassifica em trs espcies.

- Vnculos internos: So aqueles que unem partes componentes de uma estrutura.Compem as estruturas compostas.

Os tipos de vnculos podem ser observados na prxima pgina.

CARGAS ATUANTES EM UMA ESTRUTURAQuando se trabalha com uma pea de uma estrutura, devemos ter em mente a sua

finalidade e, portanto, devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz desuportar. Ao conjunto destas cargas damos o nome de CARGAS EXTERNAS ATIVAS.

Para que o equilbrio desta pea seja garantido, devemos vincul-la, ou seja,restringirmos as possibilidades de movimento da mesma. Em cada vnculo acrescido, surgem asreaes na direo do movimento restringido. Estas reaes so chamadas de CARGASEXTERNAS REATIVAS.

O conjunto destas cargas, ativas e reativas, se constitui no carregamento externo dapea em estudo.

- Cargas externas ativas

As cargas aplicadas em uma pea de estrutura se classificam quanto ao modo dedistribuio em:


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9

- Concentradas: So aquelas que atuam em reas muito reduzidas em relao sdimenses da estrutura. Neste caso ela considerada concentrada no centro de gravidade darea de atuao.

- Cargas momento ou conjugados: momentos aplicados em determinados pontos de

uma estrutura (fixos). Podem se originar de um par de foras, cargas excntricas ou eixos detransmisso.


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10

- Cargas distribudas: So aquelas que atuam em uma rea com dimenses na mesmaordem de grandeza da estrutura.

As cargas tambm se classificam quanto ao tempo de durao em:

- Permanentes: Atuam durante toda ou quase toda a vida til de uma estrutura

- Acidentais ou sobrecarga: Podem estar ou no atuando, so fornecidas por normas,catlogos ou avaliadas em cada caso.

A classificao quanto ao ponto de aplicao fica:

- Fixas: atuam sempre em um ponto ou uma regio.

- Mveis: percorrem a estrutura podendo atuar em vrios dos seus pontos.

EQUILBRIO EXTERNO EM DUAS DIMENSESOcorre quando as cargas que atuam na estrutura esto contidas em um mesmo plano, o

que acontece na maior parte dos casos que iremos estudar.

Nestes problemas, conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura edevemos calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilbrio, neste plano.

Reaes externas ou vinculares so os esforos que os vnculos devem desenvolver paramanter em equilbrio esttico uma estrutura, considerada como um corpo rgido eindeformvel.

Os vnculos so classificados de acordo com o nmero de graus de liberdade restringidos

e s podemos restringir um GL mediante a aplicao de um esforo (fora ou momento) nadireo deste movimento.

A determinao das reaes vinculares de uma estrutura feita por intermdio de umsistema de equaes algbricas.

Sendo o plano das cargas x y, e sabendo-se que a estrutura possui trs graus deliberdade (translao nas direes x e y e rotao em torno do eixo z), o nmero de equaes aserem satisfeitas trs e o equilbrio se d quando:

Fx = 0 Fy = 0 Mz = 0Convm salientar que neste caso do carregamento plano, os vnculos podem ser de trs

espcies, simbolizados por:

Desta maneira, cada movimento restringido corresponde a uma reao vincular(incgnita), que deve ser determinada.


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Para serem restritos trs graus de liberdade, as reaes devem ser em nmero de trs.

Como se dispe de trs equaes a serem satisfeitas, a aplicao destas equaes leva determinao das reaes (incgnitas) desejadas.

PROCEDIMENTO DE CLCULO:- Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vnculos

externos pelas reaes vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentidopara cada esforo.

- Para que o equilbrio externo seja mantido necessrio que as trs equaes da

esttica sejam satisfeitas. Fx = 0 Fy = 0 Mz = 0

- As cargas distribudas devem ser substitudas por suas respectivas resultantes (este

artifcio vlido somente para o clculo das reaes externas).Como escolhemos direes de referncia (x e y), as cargas que no estiverem nestas

direes devem ser decompostas, ou seja, substitudas por um sistema equivalente.

- Resolvido o sistema de equaes, reao negativa deve ter o seu sentido invertido.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Observe-se na figura abaixo, trs cargas aplicadas a uma viga. A viga apoiada em um roleteem A e em uma articulao em B. Desprezando o peso prprio da viga, determine as reaes

em A e B quando Q = 75 kN.

2) Calcule as reaes externas das estruturas abaixo:a)

b)


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12

c)

d)

e)

f)

g)


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3 CENTRIDES E MOMENTOS DE INRCIA

Apesar de no estar includa dentro dos objetivos principais de Resistncia dosMateriais, vamos estudar algumas grandezas caractersticas da geometria das massas com a

finalidade de conhecermos alguns valores necessrios ao estudo das solicitaes queprovoquem a rotao, como o Momento Fletor e o Momento Torsor.

CONSULTAR APNDICES A, F e GBEER, F. P. Resistncia dos Materiais. 4 ed. So Paulo: McGraw Hill, 2006.

EXEMPLOS RESOLVIDOSExemplo 01

Calcular a rea A, os momentos estticos Qx e Qy e as coordenadas x e y do centride da rea

parablica mostrada na figura 01, cuja equao est indicada na figura.

Figura 01

O elemento dA, sombreado na figura, tem rea:

dxb

xhdxydA

2

2

1

A rea total vale:

bhdxb

xhdAA

b

A 3

21

0 2

2

As coordenadas do centride do elemento dA de rea sombreado so x e y/2; portanto osmomentos estticos valem:

15

41

22

22

2

2

0

2bh

dx

b

xhdA

yQ

b

Ax

y/2y

x

C

O

y

y

x

xdx

b

h

y=f(x)

C

C

= h(1- )x

b

2

2

dA


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14

41

2

0 2

2hb

dxb

xxhdAxQ

A

b

y

Finalmente, as coordenadas do centride valem:

hA

Qyeb

A

Qx x

y

5

2

8

3

Exemplo 02

Determinar a coordenada y do centride C de um trapzio de bases a, b e altura h conforme

figura 02

Figura 02 - CG de um trapzio

Dividindo o trapzio em dois tringulos de centrides C1 e C2, as coordenadas y1 e y2 destescentrides, conforme se sabe, valem respectivamente:

3

2

321

hye

hy

As reas dos tringulos valem:

2221

bhAe

ahA

Aplicando-se a equao que fornece y obtm-se:

)(

)2(

3

1

22

3

2

232

ba

bah

hbha

hhbhah

A

yAy

i

ii

conveniente observar que caso a = b, o trapzio se transforma em um retngulo e a equaoanterior resulta y = h/2, conforme esperado para ordenada do centride do retngulo. Caso a=0,

teramos um tringulo e y = h/3, conforme esperado.

O

y

x

b

h

a

C1

C

2C

yC


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Exemplo 03

Seja o retngulo da figura 03. Calcular o momento de inrcia em relao ao eixo x, que umeixo de simetria, portanto passando pelo centride C.

Figura 03O retngulo pode ser dividido em reas infinitesimais conforme mostrado pela rea

sombreada. Neste caso, dA = b dy e ento,

12

32/

2/

22 hbdybydAyI

h

hAx

Com procedimento anlogo determina-se o momento de inrcia do retngulo emrelao ao eixo y, obtendo-se:

12

3bh

Iy

Obs: O clculo do momento de inrcia em relao a um eixo, pode ser simplificado caso a reapossa ser dividida em partes que tenham momento de inrcia conhecidos.

Por exemplo, o perfil tipo caixa, vazado, mostrado na figura 04(a). O momento de inrciaem relao ao eixo x, que eixo de simetria e passa pelo centride C, naturalmente a diferena dosmomentos de inrcia de dois retngulos, ou seja,

1212

3

11

3 hbhbIx

Esta mesma frmula obviamente pode ser aplicada ao perfil C mostrado na figura 04(b) e

tambm ao perfil I da figura 04(c) e perfil Z da figura 04(d).

Figura 04

x

y

y

dy

h

b

C

C

y

x

a)

xC

y

b

b1

h h1

b)

1b

b

C

y

x

c)

1b /2

b

b /21

d)

b1

b

Cx

y

b1

hh1


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Exemplo 04

Seja o tringulo da figura 05, de base b e altura h. Calcular o momento de inrcia do tringuloem relao ao eixo x, que contm a sua base.

Figura 05 - Momento de inrcia de rea triangular

Divide-se a rea em elementos de altura infinitesimal. A rea do elemento sombreado da figuravale dA = x dy. Por semelhana de tringulos, determina-se o valor de x = b(h-y)/h. Assim, a rea dA fica:

dyh

yhbdA

)(

e da,12

)43

()(

3

0

43

2

0

2 hbyhy

h

bdyy

h

yhbdAyI

h

A

h

x

O mtodo de clculo usado nestes exemplos pode, teoricamente, ser usado nos casos maisgerais. O momento de inrcia obtido pela diviso da rea em tiras infinitesimais paralelas ao eixo,procedendo-se ento a integrao. Caso a expresso de dA e a integrao apresente dificuldade, pode-se determinar um valor aproximado para o momento de inrcia seguindo o procedimento: divide-se area em um nmero finito de tiras e multiplica-se a rea de cada tira pelo quadrado da distncia de seucentride ao eixo. A soma aritmtica destes produtos um valor aproximado do momento de inrcia.

Exemplo 05 e 06

A figura 06 (a) mostra uma rea retangular e a figura 06 (b) uma rea triangular, para as quais jforam determinados momentos de inrcia.

No caso da rea retangular foi determinado o momento de inrcia em relao ao eixobaricntrico x , que vale Ix = bh

3/12. Deseja-se, conhecido este valor, determinar o momento de inrciaIx em relao ao eixo x passando pela base.

h

Ob

x

y

y

dy

x


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Figura 06 - Teorema do eixo paralelo

De acordo com o teorema do eixo paralelo, tem-se:

3,

412)

2(

323

2

'

bhIdae

hbh

bhIouhAII xxxx

No caso da rea triangular, foi determinado o momento de inrcia em relao ao eixo x quecontm a base, e vale Ix=bh

3/12. Aplicando o teorema do eixo paralelo, determina-se facilmente omomento de inrcia em relao ao eixo baricntricox :

36,

181218)

3(

3

'

333

'

2

'

bhIdae

bhbhbhIIouhAII xxxxx

Exemplo 07

O teorema do eixo paralelo especialmente til no clculo dos momentos de inrcia das reascompostas como, por exemplo, a rea da figura 07.

Figura 07 - Momento de inrcia de rea composta

C hx

b

y

O

y

b

h

xx

y

c

c

C

h/3

x

yc

c

a) b)

4 41

0,5

5,5

4

6

6

xx

medidas em cm

C

a) b)

1

2

3

2

1

3,5

9

0,5

3,75

2

5,75

1


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Calcular o momento de inrcia desta rea relativamente ao eixo x, que eixo de simetria epassa pelo centride C.

A rea consiste de um estreito retngulo de 1 por 12 centmetros e quatro cantoneiras iguais de

4 por 4 por 0,5 cm como mostra a figura 07 (a).

Para determinar o momento de inrcia em relao ao eixo x, subdividimos a rea em retngulos,fazendo os clculos para apenas uma metade, cujo resultado multiplicado por 2 obviamente dar oresultado para toda a rea. A figura 07 (b) mostra a diviso usada para os clculos.

Designando por A1, A2 e A3 as reas desses retngulos e, por y1, y2 e y3 as ordenadas dosrespectivos centros de gravidade e usando a equao Ix = bh

3/12 para o momento de inrcia doretngulo em relao ao eixo baricntrico paralelo base b, temos:

A1 = 4,50 cm2 A2 = 7,00 cm

2 A3 = 2,00 cm2

y1 = 5,75 cm y2 = 3,75 cm y3 = 1,00 cm

I1 = 0,09375 cm4 I2 = 7,14583 cm

4 I3 = 0,66667 cm4

O momento de inrcia de toda a rea em relao ao eixo x, vale:

Ix = 2 (I1 + A1y12 + I2 + A2y2

2 + I3 + A3y32)

Substituindo os valores numricos dados acima, chega-se ao valor procurado:

Ix = 514,25 cm4

H vrias maneiras de subdividir uma rea composta como a da figura 07, para o clculo do

momento de inrcia relativamente a um dado eixo. Para cantoneiras padronizadas como as da figura 07,

as posies dos centrides e os momentos de inrcia, relativamente aos eixos baricntricos paralelos as

abas, podem ser achados em tabelas e ou manuais. Usando, ento, o teorema dos eixos paralelos, o

momento de inrcia da rea da figura 07, relativamente a qualquer eixo horizontal ou vertical pode ser

determinado fazendo-se a subdiviso como mostrada na figura 07 (a), ou seja, as figuras do retngulo e

das cantoneiras.

Exemplo 08

Calcular (localizar) o baricentro da pea da figura 08, sabendo que ela feita de folha metal comespessura constante.

Como a pea simtrica em relao ao plano yz a coordenada x =125 mm.

Como a folha tem espessura constante podemos determinar o baricentro considerando ocontorno da projeo da folha sobre o plano yz e xy.


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Figura 08- Centride de rea composta

Determinao dos centrides das figuras componentes:

I - Semicrculo - considerado no plano yx

y = 150+80+(4 x 125)/3 = 283,1 mm e z = 0

II Quarto de cilindro - considerado no plano yz

mY 9,20080.2

150_

mmZ 9,50

80.2_

III - Retngulo

mmY 752

150_

mmZ 40

2

80_

Elemento Clculo da rea rea y z Ay Az

I ( /2).1252 24,54X103

283,1 0 6,947X106

0

II ( /2).80.250 31,42X103 200,9 50,9 6,312X106 1,599X106

III 170*.250 42,5X103

75 40 3,188X106

1,70X106

Soma 98,46X103 16,447X106 3,299X106

* O valor 170 foi obtido atravs da expresso: 22 15080

b - posio do centride da pea inteira

mmYYAyAY 04,16710.447,16)10.46,98.(._

63______

mmZZAZAZ 506,3310.299,3)10.46,98.(._

63______

x = 125 mm.


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EXERCCIOS PROPOSTOS

1)Para as sees da figura 09 (a), (b), (c) e (d), determinar os momentos de inrcia I x e Iy.

Respostas:

a) altura do baricentro: 12 cmI1 = 13.446,0 cm

4

I2 = 2.956,5 cm4

b) altura do baricentro: 10,875 cmI1 = 4.461,75 cm

4

I2 = 1.728,00 cm4

c) altura do baricentro: 7,125 cmI1 = 6.588,00 cm

4

I2 = 4.461,75 cm4

d) altura do baricentro: 9,931 cm

I1 = 8.552,47 cm

4

I2 = 2.960,38 cm4

7,5cm

3cm 7,5cm

18

cm

3cm

3cm

C

a)

3cm

15

cm

6cm 6cm 6cm

C

b)

3cm

3cm

3cm12cm

15

cm

C

c)

3cm

3cm

3cm

6cm

6cm

12

cm

C

d)


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2) Determine para a superfcie plana da figura 10:

a) os momentos estticos com relao aos eixos x e y;

b)a posio do centride.

a) Qx = 506.103

mm3, Qy = 758.10

3mm

3

b)x = 54 mm, y = 36 mm.

3)

Resposta:

Ix = 33,39.103

cm4

e Kx = 15,61 cm

4) Determine o momento de inrcia da superfcie sombreada em relao ao eixo x da figura 12.

Resposta:

Ix = 45,9.106

mm4


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GABARITO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

(TENTE FAZER ANTES DE OLHAR!)

Pginas 11 e 12:


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24/27



24

Pginas 20 e 21:


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Revisao de Mec Aplicada

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