©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

| ©2011 Stevens Institute of Technology

Date: By:

ME 598: Introduction to Robotics

Lecture 3: Velocity Kinematics‐ The Jacobian

Stevens Institute of Technology Dr. Mishah U. Salman

Fall 2013

Slides adapted from Dr. David J. CappelleriSome slides courtesy of Jonathan Fiene, University of Pennsylvania

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Forward Kinematics

Fall 2013 ME 598, Lecture 32

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Denavit‐Hartenberg Convention

Fall 2013 ME 598, Lecture 33

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Denavit‐Hartenberg Convention

Fall 2013 ME 598, Lecture 34

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Denavit‐Hartenberg Transform

Fall 2013 ME 598, Lecture 35

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Inverse Kinematics

Fall 2013 ME 598, Lecture 36

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Algebraic Decomposition

Fall 2013 ME 598, Lecture 37

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Geometric Analysis

Fall 2013 ME 598, Lecture 38

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Review: Kinematic DecouplingInverse kinematics =

inverse position kinematics + inverse orientation kinematics

Two sub problems:

• Find position of the intersection of the wrist axes (oc)

• Find orientation of the wrist

Fall 2013 ME 598, Lecture 39

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

z1

z2 x2

z5, z6

z4 z3

x1

θ1

d2

θ2

x3

θ3

x4,

θ4

x5θ5

θ6

d6

x6

Forward Kinematics

Link ai αi di θi1 0 90 13” θ1

2 8” 0 d2 03 8” 90 0 04 0 -90 0 θ4

5 0 90 0 θ5

6 0 0 d6 θ6

Review: Example P3.10‐ PUMA 360 Manipulator

Fall 2013 ME 598, Lecture 310

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

z0

x0

y0

dx

dy

dz

θ1

Given: d = [dx, dy, dz]T

Find:  θ1, d2, and d3 as functions of dx, dy, dz

Inverse Kinematics

Review: Example P3.13‐ Cylindrical Manipulator

Fall 2013 ME 598, Lecture 311

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

z0

x0

y0

ocz1

x1

y1

y2x2 z2

z4

z3, z5, z6x4 ,x5θ4

θ5

θ6

d6

y3x3

Link ai αi di θi1 0 0 1 θ1*2 0 -90 d2* 03 0 0 1+d3* 04 0 -90 0 θ4*5 0 90 0 θ5*6 0 0 d6 θ6*

Review: Example P3.15‐Cylindrical Manipulator + Spherical Wrist

Fall 2013 ME 598, Lecture 312

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Velocity Kinematics: The Jacobian

Fall 2013 ME 598, Lecture 313

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

The Jacobian: Differential Motion

Fall 2013 ME 598, Lecture 314

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Example 1: Planar RRThe Jacobian: Position Jacobian

Fall 2013 ME 598, Lecture 315

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Example 1: Planar RRThe Jacobian: Position Jacobian

Fall 2013 ME 598, Lecture 316

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

100010000

31

122111212

122111212

03 dd

sasacscacasc

Tj1

j2

j3

xo

yo

x1y1

z2

x2y2

a1

a2

x3y3

d3d1

Example 2: SCARA

3

2

1

dq

31

12211

12211

ddzsasaycacax

321

321

321

dzzzdyyydxxx

J p

10000

12212211

12212211

cacacasasasa

The Jacobian: Position Jacobian

Fall 2013 ME 598, Lecture 317

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

[i.e. all columns of J are not linearly independent]

The Jacobian: Singularities

Fall 2013 ME 598, Lecture 318

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

[http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant]

The Jacobian: Identifying Singularities

Fall 2013 ME 598, Lecture 319

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Example 1: Planar RRThe Jacobian: Singularities

Fall 2013 ME 598, Lecture 320

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

10000

12212211

12212211

cacacasasasa

J

Example 2: SCARAThe Jacobian: Singularities

Fall 2013 ME 598, Lecture 321

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Manipulator Singularities = Wrist Singularities + Arm Singularities

Compute Jacobian using oc instead of on

θ5 = 0 or π(z3 and z5 are collinear)

The Jacobian: Decoupling of Singularities

Fall 2013 ME 598, Lecture 322

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

The Jacobian: Jacobian Transpose

Fall 2013 ME 598, Lecture 323

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Example 1: Planar RR

The Jacobian: Jacobian Transpose

Fall 2013 ME 598, Lecture 324

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

|

Specifies the end‐effector velocity that will result when the joints move with velocity

The Jacobian relationship:

Inverse problem:  Find the joint velocities       that produce the desired end‐effector velocity

pJq 1)( qp

q

q

[Hard if have non‐square J  pseudo‐inverse (pinv)]

The Jacobian: Inverse Jacobian

Fall 2013 ME 598, Lecture 325

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

Announcements

Fall 2013 ME 598, Lecture 326

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

• Various artistic robotic assignments throughout the course term– Labs– Midterm Project– Multiple specific events towards end of the semester 

• Mixed media, sculpture, dance, etc.– Kinematics, path planning– Localization, image processing– Coordination

Announcements:Term Project Theme‐ Robotic Art Installation

Fall 2013 ME 598, Lecture 327

©2011 Stevens Institute of TechnologyP. 2/3   |   01/01/11

||

• Homework # 3• Reading

– Spong Ch. 4 (today’s lecture)– Spong Ch. 5 (next lecture)

• Lab 1– Art Installation Logo– Kinematic robot arm, – 2 setups in EAS 001

• Teams must take turns• Many preliminary steps of lab may be done concurrently by different teams (do not require operating computer/robot)

Announcements

Fall 2013 ME 598, Lecture 328