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Diferenciciacion en Rn
R. Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla
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¿Como definir la derivada?
Definicion
Sea A un abierto de Rn, a ∈ A y f : A ⊂ Rn 7→ Rm. La derivadaparcial i-esima (1 ≤ i ≤ n) de f en a se define como
limxi→ai
f (a1, a2, · · · , xi , · · · , an)− f (a1, · · · , an)
xi − ai=
limxi→ai
(a1, a2, · · · , ai + h, · · · , an)− f (a1, · · · , ai , · · · , an)
h,
si existe. A dicha derivada la denotaremos por Di f (a) o∂f (a)
∂xi.
De lo anterior se deduce que para calcular ∂f (a)∂xi
se considerantodas las variables xk , k = 1, . . . , n, k 6= i constantes.
¡A todos los efectos f (x1, . . . , xn) es una funcion de una unicavariable xi ! Ejemplo: f (x , y) = exp(x2 + y2)
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Derivadas direcionales
Definicion
Para cada vector normalizado u ∈ Rn, ‖u‖ = 1, denominaremosderivada direcional de f en a segun la direccion u, y lo denotamospor Duf (a), al lımite, si existe,
limλ→0
f (a + λu)− f (a)
λ.
Notese que si denotamos por ei , i = 1, . . . , n a los vectores de labase canonica de Rn entonces
Dei f (a) =∂f (a)
∂xi.
Ejemplo: Calcula las derivadas direccionales en (0, 0) de
f (x , y) =
xy2
x2 + y4, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
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La existencia de derivadas direccionales no garantiza ni siquiera lacontinuidad de la funcion. Para la funcion anterior existen todassus derivadas direccionales en (0, 0) pero ni siquiera f es continuaen dicho punto.
¿Como proceder?
Recordemos el concepto de diferenciabilidad de funciones de unavariable:Una funcion f : A ⊂ R 7→ R es diferenciable en un punto a ∈ A siexiste un L ∈ R tal que
f (a+h)−f (a)−Lh = o(h) ⇐⇒ f (x)−f (a)−L(x−a) = o(x−a).
donde el sımbolo “o pequena” que significa que
limh→0
o(h)
h= 0.
En R se puede probar que L = f ′(a). ¿Y en Rn?
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La existencia de derivadas direccionales no garantiza ni siquiera lacontinuidad de la funcion. Para la funcion anterior existen todassus derivadas direccionales en (0, 0) pero ni siquiera f es continuaen dicho punto.
¿Como proceder?
Recordemos el concepto de diferenciabilidad de funciones de unavariable:Una funcion f : A ⊂ R 7→ R es diferenciable en un punto a ∈ A siexiste un L ∈ R tal que
f (a+h)−f (a)−Lh = o(h) ⇐⇒ f (x)−f (a)−L(x−a) = o(x−a).
donde el sımbolo “o pequena” que significa que
limh→0
o(h)
h= 0.
En R se puede probar que L = f ′(a). ¿Y en Rn?
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La existencia de derivadas direccionales no garantiza ni siquiera lacontinuidad de la funcion. Para la funcion anterior existen todassus derivadas direccionales en (0, 0) pero ni siquiera f es continuaen dicho punto.
¿Como proceder?
Recordemos el concepto de diferenciabilidad de funciones de unavariable:Una funcion f : A ⊂ R 7→ R es diferenciable en un punto a ∈ A siexiste un L ∈ R tal que
f (a+h)−f (a)−Lh = o(h) ⇐⇒ f (x)−f (a)−L(x−a) = o(x−a).
donde el sımbolo “o pequena” que significa que
limh→0
o(h)
h= 0.
En R se puede probar que L = f ′(a). ¿Y en Rn?R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Definicion
Sea A un subconjunto abierto de Rn, y a ∈ A. Una funcionf : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si existe una aplicacionlineal de Rn en Rm, a la que denotaremos por Df (a), tal que
limx→a
f (x)− f (a)− Df (a)(x − a)
‖x − a‖= 0 ⇐⇒
limh→0
f (a + h)− f (a)− Df (a)(h)
‖h‖= 0 ⇐⇒
f (a + h)− f (a)− Df (a)(h) = o(‖h‖), limh→0
o(‖h‖)‖h‖
= 0.
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Definicion
Sea A un subconjunto abierto de Rn, y a ∈ A. Una funcionf : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si existe una aplicacionlineal de Rn en Rm, a la que denotaremos por Df (a), tal que
limx→a
f (x)− f (a)− Df (a)(x − a)
‖x − a‖= 0 ⇐⇒
limh→0
f (a + h)− f (a)− Df (a)(h)
‖h‖= 0 ⇐⇒
f (a + h)− f (a)− Df (a)(h) = o(‖h‖), limh→0
o(‖h‖)‖h‖
= 0.
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Un () sobre aplicaciones lineales
Definicion
Una aplicacion (operador) T : D(T ) ⊂ X 7→ Y es lineal si
∀α, β ∈ R, ∀x , y ∈ D(T ), T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
Ejemplos de operadores lineales son:
1 El operador identidad I : X 7→ X, t.q. y = Ix = x ∀x ∈ X.
2 El operador nulo Θ : X 7→ Y, t.q. y = Θx = 0 ∀x ∈ X.
3 El operador derivada D definido por D : P 7→ P, tal quey(t) = Dp(t) = p′(t), donde P es el espacio de los polinomiosreales p(t) de cualquier grado.
4 El operador T : Rn 7→ Rm, tal que y = Tx = A · x , donde Aes una matriz n ×m, x e y son los correspondientes vectoresde Rn y Rm respectivamente, y · denota la multiplicacionusual de matrices.
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Un () sobre aplicaciones lineales
Definicion
Una aplicacion (operador) T : D(T ) ⊂ X 7→ Y es lineal si
∀α, β ∈ R, ∀x , y ∈ D(T ), T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
Ejemplos de operadores lineales son:
1 El operador identidad I : X 7→ X, t.q. y = Ix = x ∀x ∈ X.
2 El operador nulo Θ : X 7→ Y, t.q. y = Θx = 0 ∀x ∈ X.
3 El operador derivada D definido por D : P 7→ P, tal quey(t) = Dp(t) = p′(t), donde P es el espacio de los polinomiosreales p(t) de cualquier grado.
4 El operador T : Rn 7→ Rm, tal que y = Tx = A · x , donde Aes una matriz n ×m, x e y son los correspondientes vectoresde Rn y Rm respectivamente, y · denota la multiplicacionusual de matrices.
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Un () sobre aplicaciones lineales
Definicion
Una aplicacion (operador) T : D(T ) ⊂ X 7→ Y es lineal si
∀α, β ∈ R, ∀x , y ∈ D(T ), T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
Ejemplos de operadores lineales son:
1 El operador identidad I : X 7→ X, t.q. y = Ix = x ∀x ∈ X.
2 El operador nulo Θ : X 7→ Y, t.q. y = Θx = 0 ∀x ∈ X.
3 El operador derivada D definido por D : P 7→ P, tal quey(t) = Dp(t) = p′(t), donde P es el espacio de los polinomiosreales p(t) de cualquier grado.
4 El operador T : Rn 7→ Rm, tal que y = Tx = A · x , donde Aes una matriz n ×m, x e y son los correspondientes vectoresde Rn y Rm respectivamente, y · denota la multiplicacionusual de matrices.
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Un () sobre aplicaciones lineales
Definicion
Una aplicacion (operador) T : D(T ) ⊂ X 7→ Y es lineal si
∀α, β ∈ R, ∀x , y ∈ D(T ), T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
Ejemplos de operadores lineales son:
1 El operador identidad I : X 7→ X, t.q. y = Ix = x ∀x ∈ X.
2 El operador nulo Θ : X 7→ Y, t.q. y = Θx = 0 ∀x ∈ X.
3 El operador derivada D definido por D : P 7→ P, tal quey(t) = Dp(t) = p′(t), donde P es el espacio de los polinomiosreales p(t) de cualquier grado.
4 El operador T : Rn 7→ Rm, tal que y = Tx = A · x , donde Aes una matriz n ×m, x e y son los correspondientes vectoresde Rn y Rm respectivamente, y · denota la multiplicacionusual de matrices.
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Un () sobre aplicaciones lineales
Definicion
Una aplicacion (operador) T : D(T ) ⊂ X 7→ Y es lineal si
∀α, β ∈ R, ∀x , y ∈ D(T ), T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
Ejemplos de operadores lineales son:
1 El operador identidad I : X 7→ X, t.q. y = Ix = x ∀x ∈ X.
2 El operador nulo Θ : X 7→ Y, t.q. y = Θx = 0 ∀x ∈ X.
3 El operador derivada D definido por D : P 7→ P, tal quey(t) = Dp(t) = p′(t), donde P es el espacio de los polinomiosreales p(t) de cualquier grado.
4 El operador T : Rn 7→ Rm, tal que y = Tx = A · x , donde Aes una matriz n ×m, x e y son los correspondientes vectoresde Rn y Rm respectivamente, y · denota la multiplicacionusual de matrices.
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Un () sobre aplicaciones lineales
Definicion
Una aplicacion (operador) T : D(T ) ⊂ X 7→ Y es lineal si
∀α, β ∈ R, ∀x , y ∈ D(T ), T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
Ejemplos de operadores lineales son:
1 El operador identidad I : X 7→ X, t.q. y = Ix = x ∀x ∈ X.
2 El operador nulo Θ : X 7→ Y, t.q. y = Θx = 0 ∀x ∈ X.
3 El operador derivada D definido por D : P 7→ P, tal quey(t) = Dp(t) = p′(t), donde P es el espacio de los polinomiosreales p(t) de cualquier grado.
4 El operador T : Rn 7→ Rm, tal que y = Tx = A · x , donde Aes una matriz n ×m, x e y son los correspondientes vectoresde Rn y Rm respectivamente, y · denota la multiplicacionusual de matrices.
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Aplicaciones lineales
Definicion
Sean X e Y dos espacios normados y sea el operadorT : D(T ) 7→ Y lineal. T es acotado si existe c ≥ 0 tal quea
‖Tx‖ ≤ c‖x‖, ∀x ∈ D(T ). (∗)aSe sobrentiende que ‖x‖ es la norma en X y ‖Tx‖ es en Y.
De lo anterior se sigue que si T es acotado, entonces para todox 6= 0,
‖Tx‖‖x‖
≤ c , ∀x ∈ D(T ), x 6= 0.
El menor valor de c para el cual (*) se cumple lo denotaremos por‖T‖ y se denomina norma del operador lineal T .
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Aplicaciones lineales
Definicion
Sean X e Y dos espacios normados y sea el operadorT : D(T ) 7→ Y lineal. T es acotado si existe c ≥ 0 tal quea
‖Tx‖ ≤ c‖x‖, ∀x ∈ D(T ). (∗)aSe sobrentiende que ‖x‖ es la norma en X y ‖Tx‖ es en Y.
De lo anterior se sigue que si T es acotado, entonces para todox 6= 0,
‖Tx‖‖x‖
≤ c , ∀x ∈ D(T ), x 6= 0.
El menor valor de c para el cual (*) se cumple lo denotaremos por‖T‖ y se denomina norma del operador lineal T .
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Aplicaciones lineales
Tomando supremos en x 6= 0 en ‖Tx‖‖x‖ ≤ c e ınfimos en c tenemos
supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
≤ ‖T‖.
Por otro lado, para todo y 6= 0
‖Ty‖‖y‖
≤ supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
:= c ′,
luego ‖Ty‖ ≤ c ′‖y‖ por lo tanto
‖T‖ = inf{c : ‖Ty‖ ≤ c‖y‖, ∀y ∈ X} ≤ c ′ = supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
,
de donde se sigue que
‖T‖ = supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
⇐⇒ ‖T‖ = supx∈X,‖x‖=1
‖Tx‖.
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Aplicaciones lineales
Tomando supremos en x 6= 0 en ‖Tx‖‖x‖ ≤ c e ınfimos en c tenemos
supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
≤ ‖T‖.
Por otro lado, para todo y 6= 0
‖Ty‖‖y‖
≤ supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
:= c ′,
luego ‖Ty‖ ≤ c ′‖y‖ por lo tanto
‖T‖ = inf{c : ‖Ty‖ ≤ c‖y‖, ∀y ∈ X} ≤ c ′ = supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
,
de donde se sigue que
‖T‖ = supx∈X\{0}
‖Tx‖‖x‖
⇐⇒ ‖T‖ = supx∈X,‖x‖=1
‖Tx‖.
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Aplicaciones lineales
Si T = 0 obviamente ‖T‖ = 0. Si T = I , ‖T‖ = 1.
Si en ‖Tx‖ ≤ c‖x‖, tomamos ınfimos en c =⇒
∀y ∈ X,‖Ty‖‖y‖
≤ ‖T‖ ⇐⇒ ‖Ty‖ ≤ ‖T‖‖y‖.
Usando ‖T‖ = supx∈X\{0}‖Tx‖‖x‖ es sencillo probar que ‖T‖ es
efectivamente es una norma.
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Aplicaciones lineales
Si T = 0 obviamente ‖T‖ = 0. Si T = I , ‖T‖ = 1.
Si en ‖Tx‖ ≤ c‖x‖, tomamos ınfimos en c =⇒
∀y ∈ X,‖Ty‖‖y‖
≤ ‖T‖ ⇐⇒ ‖Ty‖ ≤ ‖T‖‖y‖.
Usando ‖T‖ = supx∈X\{0}‖Tx‖‖x‖ es sencillo probar que ‖T‖ es
efectivamente es una norma.
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Aplicaciones lineales
Si T = 0 obviamente ‖T‖ = 0. Si T = I , ‖T‖ = 1.
Si en ‖Tx‖ ≤ c‖x‖, tomamos ınfimos en c =⇒
∀y ∈ X,‖Ty‖‖y‖
≤ ‖T‖ ⇐⇒ ‖Ty‖ ≤ ‖T‖‖y‖.
Usando ‖T‖ = supx∈X\{0}‖Tx‖‖x‖ es sencillo probar que ‖T‖ es
efectivamente es una norma.
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Aplicaciones lineales
Teorema
Toda aplicacion lineal T : X 7→ Y de un espacio normado dedimension finita X en otro espacio normado cualquiera Y esacotada.
∀x ∈ X, x =∑n
k=1 xkek ⇒
‖Tx‖ =
∥∥∥∥∥Tn∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≤n∑
k=1
|xk |‖Tek‖ ≤ maxk‖Tek‖
n∑k=1
|xk |.
Por otro lado, usando el lema tecnico ∃c > 0 tal que
‖x‖ =
∥∥∥∥∥n∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≥ cn∑
k=1
|xk |.
Combinando ambas tenemos
‖Tx‖ ≤ maxk ‖Tek‖c
‖x‖ V ‖Tx‖ ≤ γ‖x‖.
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Aplicaciones lineales
Teorema
Toda aplicacion lineal T : X 7→ Y de un espacio normado dedimension finita X en otro espacio normado cualquiera Y esacotada.
∀x ∈ X, x =∑n
k=1 xkek ⇒
‖Tx‖ =
∥∥∥∥∥Tn∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≤n∑
k=1
|xk |‖Tek‖ ≤ maxk‖Tek‖
n∑k=1
|xk |.
Por otro lado, usando el lema tecnico ∃c > 0 tal que
‖x‖ =
∥∥∥∥∥n∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≥ cn∑
k=1
|xk |.
Combinando ambas tenemos
‖Tx‖ ≤ maxk ‖Tek‖c
‖x‖ V ‖Tx‖ ≤ γ‖x‖.
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Aplicaciones lineales
Teorema
Toda aplicacion lineal T : X 7→ Y de un espacio normado dedimension finita X en otro espacio normado cualquiera Y esacotada.
∀x ∈ X, x =∑n
k=1 xkek ⇒
‖Tx‖ =
∥∥∥∥∥Tn∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≤n∑
k=1
|xk |‖Tek‖ ≤ maxk‖Tek‖
n∑k=1
|xk |.
Por otro lado, usando el lema tecnico ∃c > 0 tal que
‖x‖ =
∥∥∥∥∥n∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≥ cn∑
k=1
|xk |.
Combinando ambas tenemos
‖Tx‖ ≤ maxk ‖Tek‖c
‖x‖ V ‖Tx‖ ≤ γ‖x‖.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Aplicaciones lineales
Teorema
Toda aplicacion lineal T : X 7→ Y de un espacio normado dedimension finita X en otro espacio normado cualquiera Y esacotada.
∀x ∈ X, x =∑n
k=1 xkek ⇒
‖Tx‖ =
∥∥∥∥∥Tn∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≤n∑
k=1
|xk |‖Tek‖ ≤ maxk‖Tek‖
n∑k=1
|xk |.
Por otro lado, usando el lema tecnico ∃c > 0 tal que
‖x‖ =
∥∥∥∥∥n∑
k=1
xkek
∥∥∥∥∥ ≥ cn∑
k=1
|xk |.
Combinando ambas tenemos
‖Tx‖ ≤ maxk ‖Tek‖c
‖x‖ V ‖Tx‖ ≤ γ‖x‖.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Aplicaciones lineales
Teorema
Sea T : D(T ) ⊂ X 7→ Y una aplicacion lineal de un espacionormado X a otro espacio normado Y. Entonces
1 T es continuo si y solo si T es acotado.
2 Si T es continuo en algun x0 ∈ D(T ), T es continuo enD(T ).
Asumiremos que T no es el operador nulo.
1. ⇒ Sea T acotado y sea x0 ∈ D(T ) cualquiera. Como T eslineal y acotado, entonces
‖Tx − Tx0‖ = ‖T (x − x0)‖ ≤ ‖T‖‖x − x0‖.
Entonces, ∀ε > 0, ∃δ = ε/‖T‖ > 0 tal que, ∀x con ‖x − x0‖ < δ,‖Tx − Tx0‖ < ε.
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Aplicaciones lineales
Teorema
Sea T : D(T ) ⊂ X 7→ Y una aplicacion lineal de un espacionormado X a otro espacio normado Y. Entonces
1 T es continuo si y solo si T es acotado.
2 Si T es continuo en algun x0 ∈ D(T ), T es continuo enD(T ).
Asumiremos que T no es el operador nulo.
1. ⇒ Sea T acotado y sea x0 ∈ D(T ) cualquiera. Como T eslineal y acotado, entonces
‖Tx − Tx0‖ = ‖T (x − x0)‖ ≤ ‖T‖‖x − x0‖.
Entonces, ∀ε > 0, ∃δ = ε/‖T‖ > 0 tal que, ∀x con ‖x − x0‖ < δ,‖Tx − Tx0‖ < ε.
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Aplicaciones lineales
⇐ Sea T lineal y continuo en x0 ∈ D(T ) cualquiera. Entonces∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, ∀x con ‖x − x0‖ < δ ⇒ ‖Tx − Tx0‖ < ε.Sea y 6= 0 en D(T ) cualquiera. Escojamos x tal que
x − x0 =δ
2‖y‖y V ‖x − x0‖ < δ V ‖Tx − Tx0‖ < ε.
Para dichos x tenemos (linealidad de T ) que
‖Tx − Tx0‖ = ‖T (x − x0)‖ =
∥∥∥∥T δ
2‖y‖y
∥∥∥∥ =δ
2‖y‖‖Ty‖ ≤ ε
V ‖Ty‖ ≤ 2ε
δ‖y‖ ‖Ty‖ ≤ γ‖y‖
Notese que en la prueba anterior se probo que si T era continuo enun punto x0 ∈ D(T ), entonces era acotado en D(T ). Peroentonces por 1, al ser acotado en D(T ), es continuo en D(T ).
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Representacion matricial de las aplicaciones lineales
Sea A : D(T ) ⊂ Rn 7→ Rm, espacios de dimension finita. Sea (ek)kla base canonica de Rn. Entonces para todo x ∈ Rn
∀x ∈ Rn, x =n∑
k=1
xkek =⇒ y = Ax =n∑
k=1
xkAek .
Pero Aek ∈ Rm luego
Aek =m∑i=1
ai ,kei =⇒ y =m∑i=1
(n∑
k=1
ai ,kxk
)ei =
m∑i=1
yiei =⇒
yi =n∑
k=1
ai ,kxk , i = 1, 2, . . . n.
Es decir, si consideramos los vectores x ∈ Rn, y ∈ Rm concoordenadas (xi )
ni=1, (yi )
mi=1, respectivamente, entonces el
operador A se puede representar como una matriz (ai ,j)ni ,j=1,
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Aplicaciones lineales
Es decir toda aplicacion lineal A : D(T ) ⊂ Rn 7→ Rm se puedeexpresar de la forma
y = Axdonde A es una matriz m × n
A =
a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,na2,1 a2,2 a2,3 · · · a2,na3,1 a3,2 a3,3 · · · a3,n
......
.... . .
...am,1 am,2 am,3 · · · am,n
.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
La diferencial o derivada total Df (a) de una funcion f en a es unoperador lineal. Ademas:
1 f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si y solo si lo son susfunciones componentes.
2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
direccionales de f en a y Duf (a) = Df (a)(u)4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
parciales de f en a y
∂f (a)
∂xi= Df (a)(ei ),
donde ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn.5 Si f y g son diferenciables en a, entonces tambien lo es la
suma f + g y λf , λ ∈ R, y se verifica queD(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λDf (a).
6 Si f es lineal entonces es diferenciable ∀a y Df (a) = f .
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
La diferencial o derivada total Df (a) de una funcion f en a es unoperador lineal. Ademas:
1 f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si y solo si lo son susfunciones componentes.
2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
direccionales de f en a y Duf (a) = Df (a)(u)4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
parciales de f en a y
∂f (a)
∂xi= Df (a)(ei ),
donde ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn.5 Si f y g son diferenciables en a, entonces tambien lo es la
suma f + g y λf , λ ∈ R, y se verifica queD(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λDf (a).
6 Si f es lineal entonces es diferenciable ∀a y Df (a) = f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
La diferencial o derivada total Df (a) de una funcion f en a es unoperador lineal. Ademas:
1 f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si y solo si lo son susfunciones componentes.
2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.
3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadasdireccionales de f en a y Duf (a) = Df (a)(u)
4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadasparciales de f en a y
∂f (a)
∂xi= Df (a)(ei ),
donde ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn.5 Si f y g son diferenciables en a, entonces tambien lo es la
suma f + g y λf , λ ∈ R, y se verifica queD(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λDf (a).
6 Si f es lineal entonces es diferenciable ∀a y Df (a) = f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
La diferencial o derivada total Df (a) de una funcion f en a es unoperador lineal. Ademas:
1 f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si y solo si lo son susfunciones componentes.
2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
direccionales de f en a y Duf (a) = Df (a)(u)
4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadasparciales de f en a y
∂f (a)
∂xi= Df (a)(ei ),
donde ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn.5 Si f y g son diferenciables en a, entonces tambien lo es la
suma f + g y λf , λ ∈ R, y se verifica queD(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λDf (a).
6 Si f es lineal entonces es diferenciable ∀a y Df (a) = f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
La diferencial o derivada total Df (a) de una funcion f en a es unoperador lineal. Ademas:
1 f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si y solo si lo son susfunciones componentes.
2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
direccionales de f en a y Duf (a) = Df (a)(u)4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
parciales de f en a y
∂f (a)
∂xi= Df (a)(ei ),
donde ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn.
5 Si f y g son diferenciables en a, entonces tambien lo es lasuma f + g y λf , λ ∈ R, y se verifica queD(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λDf (a).
6 Si f es lineal entonces es diferenciable ∀a y Df (a) = f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
La diferencial o derivada total Df (a) de una funcion f en a es unoperador lineal. Ademas:
1 f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si y solo si lo son susfunciones componentes.
2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
direccionales de f en a y Duf (a) = Df (a)(u)4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
parciales de f en a y
∂f (a)
∂xi= Df (a)(ei ),
donde ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn.5 Si f y g son diferenciables en a, entonces tambien lo es la
suma f + g y λf , λ ∈ R, y se verifica queD(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λDf (a).
6 Si f es lineal entonces es diferenciable ∀a y Df (a) = f .
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
La diferencial o derivada total Df (a) de una funcion f en a es unoperador lineal. Ademas:
1 f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a si y solo si lo son susfunciones componentes.
2 Si f es diferenciable en a, entonces es f continua en a.3 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
direccionales de f en a y Duf (a) = Df (a)(u)4 Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas
parciales de f en a y
∂f (a)
∂xi= Df (a)(ei ),
donde ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn.5 Si f y g son diferenciables en a, entonces tambien lo es la
suma f + g y λf , λ ∈ R, y se verifica queD(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a), D(λf )(a) = λDf (a).
6 Si f es lineal entonces es diferenciable ∀a y Df (a) = f .
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Representacion matricial del diferencial
Si elegimos en Rn la base canonica eim i = 1, . . . , n, entonces lamatriz asociada a la aplicacion lineal Df (a) tiene la forma Df (a) =∂f1(a)
∂x1
∂f1(a)
∂x2. . .
∂f1(a)
∂xn...
.... . .
...∂fm(a)
∂x1
∂fm(a)
∂x2. . .
∂fm(a)
∂xn
=
D1f1(a) . . . Dnf1(a)...
. . ....
D1fm(a) . . . Dnfm(a)
.
A la matriz Df (a) se la denomina matriz jacobiana de f en a (ymuchas veces se denota por Jf (a)) y al determinante de la matrizse le denomina jacobiano de f en a.
De lo anterior ademas se deduce que si f es diferenciable en x = a,entonces el diferencial Df (a) es unico.
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Conviene tener en cuenta que de la diferenciabilidad de f sededuce la existencia de las derivadas parciales y direccionales, perono a la inversa. Para mostrar lo anterior definamos la funcion
f (x , y) =
{0, si xy = 0,1, si xy 6= 0.
Claramente esta funcion es discontinua en el origen, luego no puede
ser diferenciable en (0, 0) y sin embargo∂f (0, 0)
∂x=∂f (0, 0)
∂y= 0.
Por otro lado, la funcion f (x , y) =x3y
x4 + y2si (x , y) 6= (0, 0),
f (0, 0) = 0, no es diferenciable en (0, 0) y sin embargo todas susderivadas direccionales en (0, 0) son cero.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Conviene tener en cuenta que de la diferenciabilidad de f sededuce la existencia de las derivadas parciales y direccionales, perono a la inversa. Para mostrar lo anterior definamos la funcion
f (x , y) =
{0, si xy = 0,1, si xy 6= 0.
Claramente esta funcion es discontinua en el origen, luego no puede
ser diferenciable en (0, 0) y sin embargo∂f (0, 0)
∂x=∂f (0, 0)
∂y= 0.
Por otro lado, la funcion f (x , y) =x3y
x4 + y2si (x , y) 6= (0, 0),
f (0, 0) = 0, no es diferenciable en (0, 0) y sin embargo todas susderivadas direccionales en (0, 0) son cero.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Supongamos que f : A ⊂ Rn → R es diferenciable en a. Entoncesexisten todas sus derivadas parciales. Se define al vector ∇f (a) por
∇f (a) =
(∂f (a)
∂x1, . . . ,
∂f (a)
∂xn
)y se le denomina gradiente de f en x = a. Notese que
Duf (a) = 〈∇f (a), u〉.
De la expresion anterior se deduce que la derivada direccional es,en valor absoluto, maxima en la direccion definida por el vectorgradiente. En el caso cuando u es ortogonal a ∇f (a) se tiene queDuf (a) = 0.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Interpretacion geometrica del diferencial
Para ello tomemos una funcion f : R2 7→ R. Si f es diferenciableen z0 = (a, b) entonces
f (x , y)−f (a, b) =∂f (a, b)
∂x(x−a)+
∂f (a, b)
∂y(y−b)+o(
√(x − a)2 + (x − b)2).
Si dibujamos la superficie σ definida por los puntos (x , y , f (x , y)),lo anterior indica que muy cerca de (a, b, f (a, b)), σ es muyparecida al plano π definido por (z = f (x , y), c = f (a, b))
z − c =∂f (a, b)
∂x(x − a) +
∂f (a, b)
∂x(x − b).
Dicho plano π es tangente a σ en (a, b, c). De hecho el vector
normal a π en (a, b, c) viene dado por ~n =(∂f (a,b)∂x , ∂f (a,b)∂y ,−1
).
Ejercicio: Mostrar que dicho plano π es tangente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Interpretacion geometrica del diferencial
Para ello tomemos una funcion f : R2 7→ R. Si f es diferenciableen z0 = (a, b) entonces
f (x , y)−f (a, b) =∂f (a, b)
∂x(x−a)+
∂f (a, b)
∂y(y−b)+o(
√(x − a)2 + (x − b)2).
Si dibujamos la superficie σ definida por los puntos (x , y , f (x , y)),lo anterior indica que muy cerca de (a, b, f (a, b)), σ es muyparecida al plano π definido por (z = f (x , y), c = f (a, b))
z − c =∂f (a, b)
∂x(x − a) +
∂f (a, b)
∂x(x − b).
Dicho plano π es tangente a σ en (a, b, c). De hecho el vector
normal a π en (a, b, c) viene dado por ~n =(∂f (a,b)∂x , ∂f (a,b)∂y ,−1
).
Ejercicio: Mostrar que dicho plano π es tangente.
R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn
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Interpretacion geometrica del diferencial
En la figura se muestra el plano tangente a la superficiez = f (x , y) =
√1− x2 − y2 en el punto (
√2/2, 1/2, 1/2), dado
por la ecuacion (x −√
2/2)√
2 + (y − 1/2) + (z − 1/2) = 0, siendoen vector normal a la superficie en dicho punto v = (
√2, 1, 1).
Plano tangente a una superficie y Df (a). El vector representa alvector normal al plano (y a la superficie) en el punto a.
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Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Si f , g : A ⊂ Rn → R son diferenciables en a, entonces el productoy el cociente tambien lo son y se tiene que
D(fg)(a) = g(a)Df (a) + f (a)Dg(a).
Si ademas g(a) 6= 0 entonces
D(f /g)(a) =g(a)Df (a)− f (a)Dg(a)
(g(a))2.
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Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Teorema (Regla de la cadena)
Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rk , A,B abiertos t.q.f (A) ⊂ B. Supongamos que f es diferenciable en a y g esdiferenciable en f (a). Entonces la funcion g ◦ f : A ⊂ Rn → Rk esdiferenciable en a y D(g ◦ f )(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a).En coordenadas: i = 1, . . . , n, j = 1, · · · , k
Dj(g ◦ f )i (a) =m∑
k=1
Dkgi (f (a))Dj fk(a),
∂(g ◦ f )i (a)
∂xj=
m∑k=1
∂gi (f (a))
∂xk
∂fk(a)
∂xj.
Matricialmente:
D(g ◦ f )(a) = Dg(f (a)) · Df (a) Jg◦f (a) = Jg (f (a)) · Jf (a)
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Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Como ya hemos visto la existencia de derivadas parciales en unpunto no implica la diferenciabilidad de f en dicho punto. Noobstante imponiendo ciertas condiciones extra se puede probar ladiferenciabilidad. De hecho se tiene el siguiente teorema:
Teorema (Condicion suficiente de diferenciabilidad I)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm, con A abierto y sea a ∈ A. Supongamosque existen las derivadas parciales de cada una de las componentesde f en a con respecto a cada una de las variables y son continuasen a, entonces f es diferenciable en a.
Las condiciones del teorema son suficientes pero no necesarias.Ejemplo:
f (x , y) =(x2 + y2
)sen
(1
x2 + y2
), f (0, 0) = 0,
no tiene derivadas parciales continuas en (0, 0), pero esdiferenciable en (0, 0) siendo su derivada el operador (0 0).
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Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Como ya hemos visto la existencia de derivadas parciales en unpunto no implica la diferenciabilidad de f en dicho punto. Noobstante imponiendo ciertas condiciones extra se puede probar ladiferenciabilidad. De hecho se tiene el siguiente teorema:
Teorema (Condicion suficiente de diferenciabilidad I)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm, con A abierto y sea a ∈ A. Supongamosque existen las derivadas parciales de cada una de las componentesde f en a con respecto a cada una de las variables y son continuasen a, entonces f es diferenciable en a.
Las condiciones del teorema son suficientes pero no necesarias.Ejemplo:
f (x , y) =(x2 + y2
)sen
(1
x2 + y2
), f (0, 0) = 0,
no tiene derivadas parciales continuas en (0, 0), pero esdiferenciable en (0, 0) siendo su derivada el operador (0 0).
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Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Generalizacion del teorema anterior:
Theorem (Condicion suficiente de diferenciabilidad II)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm, con A abierto y sea a ∈ A. Si existe laderivada parcial de f en a con respecto a una de las variables y lasrestantes n − 1 derivadas parciales existen en un entorno de a yson continuas en a, entonces f es diferenciable en a.
Las condiciones del teorema son suficientes.El mismo ejemplo de antes nos vale para probar que no sonnecesarias.
f (x , y) =(x2 + y2
)sen
(1
x2 + y2
), f (0, 0) = 0,
no tiene derivadas parciales continuas en (0, 0), pero esdiferenciable en (0, 0) siendo su derivada el operador (0 0).
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Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Definicion
Diremos que un abierto A ∈ Rn es convexo si, dados dos puntos ay b cualesquiera de A, el segmento s = {(1− t)a + tb : t ∈ [0, 1]}que los une tambien pertence a A.
Teorema (del valor medio)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm, diferenciable en A abierto y convexo. Seana, b ∈ A y sea s el segmento que los une. Entonces, para cadavector v ∈ Rm, ∃z en el interior del segmento s tal que
〈v , f (b)− f (a)〉 = 〈v ,Df (z)(b − a)〉,
donde 〈·, ·〉 denota el producto escalar en Rm.
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Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Definicion
Diremos que un abierto A ∈ Rn es convexo si, dados dos puntos ay b cualesquiera de A, el segmento s = {(1− t)a + tb : t ∈ [0, 1]}que los une tambien pertence a A.
Teorema (del valor medio)
Sea f : A ⊂ Rn → Rm, diferenciable en A abierto y convexo. Seana, b ∈ A y sea s el segmento que los une. Entonces, para cadavector v ∈ Rm, ∃z en el interior del segmento s tal que
〈v , f (b)− f (a)〉 = 〈v ,Df (z)(b − a)〉,
donde 〈·, ·〉 denota el producto escalar en Rm.
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
En el caso de funciones escalares se tiene
Corolario
Si f : A ⊂ Rn → R (o sea, f es una funcion escalar) y f esdiferenciable en A, abierto y convexo, entonces existe un punto zen el interior del segmento s que une a con b tal que
f (b)− f (a) = Df (z)(b − a) = 〈∇f (z), b − a〉.
Corolario
Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion diferenciable en A abierto yconvexo, entonces existen los puntos z1, . . . , zn en el interior delsegmento s que une a con b tal que
fk(b)− fk(a) = Dfk(z)(b−a) = 〈∇f (zk), b−a〉, k = 1, 2, . . . ,m.
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
En el caso de funciones escalares se tiene
Corolario
Si f : A ⊂ Rn → R (o sea, f es una funcion escalar) y f esdiferenciable en A, abierto y convexo, entonces existe un punto zen el interior del segmento s que une a con b tal que
f (b)− f (a) = Df (z)(b − a) = 〈∇f (z), b − a〉.
Corolario
Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion diferenciable en A abierto yconvexo, entonces existen los puntos z1, . . . , zn en el interior delsegmento s que une a con b tal que
fk(b)− fk(a) = Dfk(z)(b−a) = 〈∇f (zk), b−a〉, k = 1, 2, . . . ,m.
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Corolario
Si la derivada total Df (x) es tal que ‖Df (x)‖ ≤ M para todo xsobre el segmento s que une a con b, entonces
‖f (b)− f (a)‖ ≤ M‖b − a‖.
Corolario
Sea A una abierto conexo y f : A ⊂ Rn → Rm una funciondiferenciable en A tal que Df (x) = 0, para todo x ∈ A, entonces fes constante en A.
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Corolario
Si la derivada total Df (x) es tal que ‖Df (x)‖ ≤ M para todo xsobre el segmento s que une a con b, entonces
‖f (b)− f (a)‖ ≤ M‖b − a‖.
Corolario
Sea A una abierto conexo y f : A ⊂ Rn → Rm una funciondiferenciable en A tal que Df (x) = 0, para todo x ∈ A, entonces fes constante en A.
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Diferenciablidad de funciones de varias variables
Veamos mas ejemplos.
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