P.W. White and J.A.C. Weideman- Numerical Simulation of Solitons and Dromions in the...

8/3/2019 P.W. White and J.A.C. Weideman- Numerical Simulation of Solitons and Dromions in the Davey-Stewartson System

1/10

N U M E R I C A L S I M U L A T I O N O F S O L I T O N S A N D D R O M I O N S I N

T H E D A V E Y - S T E W A R T S O N S Y S T E M

P . W . W H I T E A N D J . A . C . W E I D E M A N

A b s t r a c t . W e e x t e n d t h e w e l l - k n o w n s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d f o r s o l v i n g t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r

e q u a t i o n t o t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m . W e d i s c u s s b o t h t h e e l l i p t i c - h y p e r b o l i c a n d h y p e r b o l i c -

e l l i p t i c c a s e s , a s w e l l a s t h e i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s . N u m e r i c a l t e s t s , i n c l u d i n g t h e

s i m u l a t i o n o f r a t i o n a l s o l i t o n s a n d d r o m i o n s , a r e p r e s e n t e d .

1 . I n t r o d u c t i o n . T h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n ( N L S )

i u

t

+

1

2

u

x x

+ u

2

u = 0 ;( 1 )

w i t h = 1 , u ( x ; t ) 2 C , x 2 I R , t > 0 , a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ( x ; t ) ! 0

a s x ! 1 , a r i s e s f r e q u e n t l y i n n o n l i n e a r d y n a m i c s . I t m o d e l s w e a k l y n o n l i n e a r

d i s p e r s i v e w a v e s i n a r e a s s u c h a s w a t e r w a v e s , p l a s m a s , a n d o p t i c s . T h e N L S m a y b e

v i e w e d a s a n i n n i t e d i m e n s i o n a l c o m p l e t e l y i n t e g r a b l e H a m i l t o n i a n s y s t e m a n d i t i s

t h e r e f o r e s o l v a b l e , a t l e a s t i n p r i n c i p l e , b y t h e i n v e r s e s c a t t e r i n g m e t h o d d e v e l o p e d

i n t h e l a s t t w o o r t h r e e d e c a d e s ( s e e 1 ] a n d t h e r e f e r e n c e s t h e r e i n ) . H o w e v e r , t h e

s o l u t i o n p r o c e d u r e f o r a r b i t r a r y i n i t i a l d a t a u ( x ; 0 ) = u

0

( x ) i s n o s i m p l e m a t t e r ,

a n d a c c u r a t e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n r e m a i n s a n i n d i s p e n s a b l e t o o l f o r c o m p l e m e n t i n g

a n a l y t i c a l s t u d i e s o f t h e N L S . P r o b a b l y t h e m o s t e c i e n t n u m e r i c a l m e t h o d f o r t h i s

p u r p o s e i s t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d p r o p o s e d i n 9 ] .

T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o e x t e n d t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d t o t h e s o - c a l l e d

D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m ( D S )

i u

t

+

1

2

( u

y y

u

x x

) + u

2

u ? u

x

= 0( 2 )

x x

y y

? 2 ( u

2

)

x

= 0 ;

w h e r e ( x ; y ) 2 I R I R a n d ( x ; y ; t ) 2 I R . F i r s t d e r i v e d i n t h e c o n t e x t o f w a t e r w a v e s

6 ] , t h i s s y s t e m r e p r e s e n t s t h e c l o s e s t c o m p l e t e l y i n t e g r a b l e a n a l o g o f t h e N L S i n t w o

s p a c e d i m e n s i o n s 7 ] .

W i t h t h e u p p e r a n d l o w e r c h o i c e s o f s i g n , e q u a t i o n s ( 2 ) a r e r e f e r r e d t o a s t h e

e l l i p t i c - h y p e r b o l i c a n d h y p e r b o l i c - e l l i p t i c s y s t e m s , r e s p e c t i v e l y , o r s i m p l y D S I a n d

D S I I . F o r a d i s c u s s i o n o f t h e a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n e a c h c a s e w e r e f e r

t o 2 ] . T h e i n v e r s e s c a t t e r i n g m e t h o d a n d o t h e r t e c h n i q u e s h a v e b e e n e m p l o y e d t o

c o n s t r u c t v a r i o u s s o l u t i o n s t o t h e D S e q u a t i o n s ; a g e n e r a l r e f e r e n c e i s 1 ] . F o r e x a m p l e ,

l o c a l i z e d e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g s o l i t o n s d r i v e n b y b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a l s o r e f e r r e d

t o a s d r o m i o n s , h a v e b e e n d e r i v e d f o r D S I i n 5 , 7 ] . N o n - l o c a l i z e d l i n e - s o l i t o n s o f D S I I

a r e g i v e n i n 3 ] . O t h e r s o l u t i o n s o f D S I I i n c l u d e r a t i o n a l s o l i t o n s a n d s i n g u l a r s o l u t i o n s

4 ] .

T h e l i s t o f r e f e r e n c e s a t t h e e n d o f t h i s p a p e r a t t e s t t o v i g o r o u s r e s e a r c h a c t i v i t y

i n t h e l a s t f e w y e a r s o n a n a l y t i c a l a n d p h y s i c a l a s p e c t s o f t h e D S s y s t e m . Y e t , l i t t l e

h a s b e e n d o n e i n t h e a r e a o f n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s . T h e o n l y r e f e r e n c e w e a r e

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , O r e g o n S t a t e U n i v e r s i t y , C o r v a l l i s , O r e g o n , 9 7 3 3 1 - 4 6 0 5

( w h i t e @ m a t h . o r s t . e d u , w e i d e m a n @ m a t h . o r s t . e d u . ) C o r r e s p o n d e n c e t o : P . W . W h i t e .

1


2/10

a w a r e o f i s 1 3 ] , w h i c h t r e a t s t h e n o n i n t e g r a b l e c a s e i n w h i c h b o t h s i g n c h o i c e s i n

( 2 ) a r e t a k e n t o b e p o s i t i v e . T h i s l e a d s t o b l o w - u p s o l u t i o n s i n n i t e t i m e , p r o v i d e d

c e r t a i n m i n i m u m a m p l i t u d e r e q u i r e m e n t s a r e m e t i n i t i a l l y . T h e m e t h o d o f d y n a m i c

r e s c a l i n g w a s u s e d t o s t u d y t h e b l o w - u p n u m e r i c a l l y .

T h e o u t l i n e o f o u r p a p e r i s a s f o l l o w s : I n t h e n e x t s e c t i o n w e b r i e y s u m m a r i z e

t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d a s i m p l e m e n t e d o n t h e N L S . I n x 3 w e e x t e n d t h e m e t h o d

t o t h e D S I I s y s t e m , a n d w e t e s t t h e s c h e m e o n a r a t i o n a l s o l i t o n . I n x 4 w e d i s c u s s t h e

D S I s y s t e m , a n d w e p r e s e n t w h a t w e b e l i e v e t o b e t h e r s t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f

d r o m i o n s .

2 . R e v i e w o f t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d f o r t h e N L S . A s r e m a r k e d

a b o v e , o n e o f t h e m o s t e c i e n t w a y s o f s o l v i n g t h e N L S n u m e r i c a l l y i s t h e s p l i t -

s t e p m e t h o d i n t r o d u c e d i n 9 ] . W e b a s e t h i s a s s e s s m e n t o n t h e c o m p r e h e n s i v e t e s t s

r e p o r t e d i n 1 6 ] , i n w h i c h s p l i t - s t e p m e t h o d p r o v e d t o b e s u p e r i o r t o v a r i o u s o t h e r

n u m e r i c a l a p p r o a c h e s t o t h e N L S . A b r i e f s u m m a r y o f t h e m e t h o d w i l l b e u s e f u l f o r

f u r t h e r d i s c u s s i o n s .

F i r s t , t h e N L S i s s p l i t i n t o a l i n e a r a n d n o n l i n e a r p a r t

L : i u

t

+

1

2

u

x x

= 0 ; N : i u

t

+ u

2

u = 0( 3 )

O b s e r v e t h a t t h e n o n l i n e a r p a r t c a n b e s o l v e d e x a c t l y , n a m e l y

u ( x ; t ) = a e x p ( i a

2

t ) ;( 4 )

f o r a n y a = a ( x ) 2 C

T h e t i m e v a r i a b l e i s d i s c r e t i z e d a s t

l

= l t , l = 0 ; 1 ; 2 ; : : : . I n t h e r s t - o r d e r

v e r s i o n o f t h e m e t h o d , t h e s o l u t i o n i s a d v a n c e d o v e r a n y t i m e i n t e r v a l t

l

; t

l + 1

b y

r s t s o l v i n g t h e n o n l i n e a r p r o b l e m ( N ) , w i t h s t e p - s i z e t , t o p r o d u c e a n i n t e r m e d i a t e

s o l u t i o n ~ u . A c c o r d i n g t o ( 4 ) , ~ u c a n b e c o m p u t e d e x a c t l y , n a m e l y

~u ( x ; t

l

+ t ) = u ( x ; t

l

) e x p ( i u ( x ; t

l

)

2

t )

T h i s i n t e r m e d i a t e s o l u t i o n t h e n b e c o m e s t h e i n i t i a l d a t a f o r t h e l i n e a r p r o b l e m ( L ) ,

w h i c h i s s o l v e d b y t a k i n g a d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m a n d a d v a n c i n g t h e s o l u t i o n i n

F o u r i e r s p a c e f o r a t i m e - s t e p t . T a k i n g t h e i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m p r o d u c e s t h e

s o l u t i o n a t t i m e t = t

l + 1

, a n d t h e p r o c e s s i s r e p e a t e d . S c h e m a t i c a l l y :

u ( t

l

+ t ) = L

t

N

t

u ( t

l

)( 5 )

F o r a n a n a l y s i s o f t h i s m e t h o d w e r e f e r t o 1 7 ] .

T h e s e c o n d - o r d e r v a r i a n t o f t h e s p l i t - s t e p m e t h o d c o n s i s t s o f t w o n o n l i n e a r s t e p s

o n e i t h e r e n d w i t h s t e p - s i z e

1

2

t , w i t h a f u l l l i n e a r s t e p t i n b e t w e e n

u ( t

l

+ t ) = N 1

2

t

L

t

N 1

2

t

u ( t

l

)( 6 )

T h e s e c o n d - o r d e r m e t h o d i s r e c o m m e n d e d , s i n c e t h e b u l k o f t h e w o r k l i e s i n s o l v i n g

t h e l i n e a r p r o b l e m . I t s h o u l d a l s o b e o b s e r v e d t h a t i f o u t p u t i s n o t r e q u i r e d a t e v e r y

s t e p , t w o s t e p s c o u l d b e c o n c a t e n a t e d t o r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k .

T h e s u c c e s s o f t h e s p l i t - s t e p m e t h o d m a y b e a t t r i b u t e d , a t l e a s t i n p a r t , t o t h r e e

f a c t o r s : F i r s t , t h e m e t h o d c o n s e r v e s t h e d i s c r e t e a n a l o g o f t h e i n t e g r a l i n v a r i a n t

R

1

? 1

u

2

d x ( s e e 1 7 ] ) . S e c o n d , t h e m e t h o d p r e s e r v e s t h e s y m p l e c t i c s t r u c t u r e o f t h e

H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n ( s e e 1 0 , 1 2 ] ) . T h i r d , t h e f a c t t h a t t h e n o n l i n e a r p a r t o f t h e

p r o b l e m c a n b e s o l v e d e x a c t l y a v o i d s t h e n e e d f o r a n y n o n l i n e a r i t e r a t i o n .

2


3/10

3 . T h e D S I I s y s t e m . T o e x t e n d t h e s p l i t - s t e p m e t h o d t o t h e D S I I s y s t e m , w e r e -

s t r i c t o u r s e l v e s f o r t h e m o m e n t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ( x ; y ; t ) ! 0 , ( x ; y ; t ) !

0 a s x

2

+ y

2

! 1 . W e s p l i t t h e D S I I s y s t e m i n t o a l i n e a r a n d a n o n l i n e a r p a r t , a k i n

t o ( 3 )

L : i u

t

+

1

2

( u

y y

? u

x x

) = 0 ;( 7 )

a n d

N :

x x

+

y y

? 2 ( u

2

)

x

= 0( 8 )

i u

t

+ u

2

u ? u

x

= 0

T h e t i m e i n t e g r a t i o n p r o c e e d s a s s u m m a r i z e d i n ( 5 ) o r ( 6 ) , b y s o l v i n g t h e n o n l i n e a r

a n d l i n e a r p r o b l e m s s e q u e n t i a l l y .

W e r s t f o c u s o n t h e l i n e a r p r o b l e m ( L ) . T h i s i s s o l v e d b y t h e a n a l o g o u s p r o c e d u r e

a s i n t h e N L S c a s e , b y t a k i n g F o u r i e r t r a n s f o r m s a n d a d v a n c i n g t h e s o l u t i o n i n F o u r i e r

s p a c e . W e s k e t c h t h e d e t a i l s b r i e y . T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s r e s t r i c t e d t o t h e

s q u a r e ( x ; y ) 2 ? P ; P ? P ; P ] . P r o v i d e d P i s s u c i e n t l y l a r g e s o t h a t u a n d i t s

d e r i v a t i v e s a r e s m a l l o u t s i d e o f t h i s d o m a i n , i t i s r e a s o n a b l e t o a p p r o x i m a t e u b y t h e

d o u b l e F o u r i e r s e r i e s

u

j k

=

X

m

X

n

a

m n

e

i (

m

x

j

+

n

y

k

)

;( 9 )

w h e r e u

j k

u ( x

j

; y

k

) ,

x

j

= j x ; y

k

= k y ; x = y =

P

N

;

a n d

m

= m ;

n

= n ; = =

P

H e r e , a n d b e l o w , a l l i n d i c e s m ; n ; j ; k r a n g e o v e r ? N t o N ? 1 . I n s o m e s i m u l a t i o n s i t

m i g h t b e a d v a n t a g e o u s t o u s e a r e c t a n g u l a r g r i d b u t w e r e s t r i c t o u r d i s c u s s i o n t o t h e

s q u a r e c a s e . T h e F o u r i e r s p a c e e q u i v a l e n t o f t h e l i n e a r p r o b l e m i u

t

+

1

2

( u

y y

? u

x x

) = 0

i s

i

d a

m n

d t

+

1

2

(

2

m

?

2

n

) a

m n

= 0 ;( 1 0 )

w i t h s o l u t i o n

a

m n

( t

l

+ t ) = e x p

1

2

i (

2

m

?

2

n

) t

a

m n

( t

l

)( 1 1 )

T h e l i n e a r p r o b l e m c a n t h e r e f o r e b e s o l v e d a s f o l l o w s : G i v e n t h e d a t a u

j k

( t

l

) , c o m p u t e

t h e c o e c i e n t s a

m n

( t

l

) f r o m ( 9 ) . T h i s r e q u i r e s o n e t w o - d i m e n s i o n a l d i s c r e t e F o u r i e r

T r a n s f o r m . N e x t a d v a n c e t h e s o l u t i o n i n F o u r i e r s p a c e a c c o r d i n g t o ( 1 1 ) . T h e s o l u t i o n

u

j k

( t

l

+ t ) f o l l o w s b y t a k i n g t h e i n v e r s e t r a n s f o r m .

T u r n i n g t o t h e n o n l i n e a r p r o b l e m , w e n e e d t o s o l v e f o r

x

, g i v e n u , f r o m t h e r s t

e q u a t i o n i n ( 8 ) . T o t h i s e n d , c o n s i d e r t h e F o u r i e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s

u

j k

2

=

X

m

X

n

b

m n

e

i (

m

x

j

+

n

y

k

)

;

j k

=

X

m

X

n

c

m n

e

i (

m

x

j

+

n

y

k

)

( 1 2 )

3


4/10

T h e F o u r i e r s p a c e e q u i v a l e n t o f

x x

+

y y

? 2 ( u

2

)

x

= 0 i s

(

2

m

+

2

n

) c

m n

+ 2 i

m

b

m n

= 0 ;( 1 3 )

f r o m w h i c h w e c a n s o l v e f o r t h e c

m n

i n t e r m s o f t h e b

m n

. O n c e t h e c

m n

a r e k n o w n ,

o n e c a n c o m p u t e t h e v a l u e s o f (

x

)

j k

t h r o u g h

(

x

)

j k

=

X

m

X

n

i

m

c

m n

e

i (

m

x

j

+

n

y

k

)

( 1 4 )

N o t e t h a t ( 1 3 ) d o e s n o t d e t e r m i n e c

0 0

u n i q u e l y , b u t t h i s c o e c i e n t v a n i s h e s i n t h e

c o m p u t a t i o n o f ( 1 4 ) .

T o s o l v e t h e s e c o n d e q u a t i o n i n t h e n o n l i n e a r p r o b l e m ( 8 ) , w e f o l l o w t h e s u g g e s t i o n

i n 1 , p . 2 4 7 ] a n d u s e t h e s t r o n g c o u p l i n g l i m i t o f t h e D S e q u a t i o n s d e r i v e d i n 1 5 ] .

S u b s t i t u t i n g u = r e x p ( i ) i n t o ( 8 ) , w i t h b o t h r a n d a s s u m e d t o b e r e a l f u n c t i o n s o f

x ; y , a n d t , y i e l d s

r

t

= 0 ; a n d

t

= r

2

?

x

F r o m t h e r s t e q u a t i o n o n e g e t s r = r

0

( x ; y ) , a t i m e - i n d e p e n d e n t q u a n t i t y , a n d f r o m

x x

+

y y

? 2 ( r

2

0

)

x

= 0 w e c o n c l u d e t h a t i s t i m e - i n d e p e n d e n t t o o . T h u s

= ( r

2

0

?

x

) t +

0

;

a n d w e h a v e s o l v e d t h e n o n l i n e a r p r o b l e m ( 8 ) e x p l i c i t l y . O v e r o n e t i m e - s t e p t h i s

s o l u t i o n c a n b e e x p r e s s e d a s

u ( x ; y ; t

l

+ t ) = u ( x ; y ; t

l

) e x p

i ( u ( x ; y ; t

l

)

2

?

x

( x ; y ; t

l

) ) t

( 1 5 )

S u m m a r i z i n g , t h e r s t o r d e r s p l i t - s t e p m e t h o d f o r t h e D S I I s y s t e m p r o c e e d s a s

f o l l o w s : G i v e n t h e d a t a u

j k

a t a n y t i m e - s t e p t = t

l

, r s t s o l v e f o r (

x

)

j k

a s i n d i c a t e d

b y ( 1 2 ) { ( 1 4 ) . T h e n a d v a n c e t h e s o l u t i o n a c c o r d i n g t o t h e n o n l i n e a r p a r t , n a m e l y

( 1 5 ) . T h i s b e c o m e s t h e i n i t i a l d a t a f o r t h e l i n e a r p r o b l e m w h i c h i s s o l v e d b y F o u r i e r

t r a n s f o r m s a s i n d i c a t e d b y ( 1 0 ) { ( 1 1 ) .

O v e r a s i n g l e t i m e - s t e p t h e p r o c e s s r e q u i r e s f o u r t w o - d i m e n s i o n a l F a s t F o u r i e r

T r a n s f o r m s ( F F T 2 s ) . T h e r s t c o m p u t e s t h e c o e c i e n t s b

m n

i n ( 1 2 ) , t h e s e c o n d

c o m p u t e s t h e v a l u e s o f (

x

)

j k

i n ( 1 4 ) , a n d t h e t h i r d a n d f o u r t h a d v a n c e t h e l i n e a r

p a r t . T h e r e m a i n i n g w o r k , n a m e l y t h e c o m p u t a t i o n o f ( 1 1 ) , ( 1 3 ) , a n d ( 1 5 ) , i s o f l o w e r

c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y t h a n t h e F F T s . W e r e m a r k t h a t t h e F F T 2 o n a n N N

m a t r i x c a n b e i m p l e m e n t e d a s N F F T 1 s o n t h e r o w s , f o l l o w e d b y N F F T 1 s o n t h e

c o l u m n s o f t h e r e s u l t . I n b o t h c a s e s t h e F F T 1 s c a n b e p r e f o r m e d s i m u l t a n e o u s l y v i a

e i t h e r p a r a l l e l p r o c e s s i n g o r a v e c t o r p r o c e s s o r a n d t h e p r o p e r c o d i n g . I n t h i s m a n n e r

t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n s i s r e d u c e d t o O ( N l o g N ) p e r F F T 2 .

T h e e x t e n s i o n o f t h e r s t - o r d e r s p l i t - s t e p m e t h o d t o t h e s e c o n d - o r d e r m e t h o d ( 6 )

i s s t r a i g h t f o r w a r d . T h i s a d d s o n l y t w o e x t r a F F T 2 s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e a d d i t i o n a l

a p p l i c a t i o n o f t h e n o n l i n e a r o p e r a t o r .

W e t e s t t h e s e c o n d - o r d e r s c h e m e o n a r a t i o n a l 1 - s o l i t o n . W i t h = ? 1 , t h e D S I I

s y s t e m a d m i t s t h e s o l u t i o n

u ( x ; y ; t ) =

2 e x p ( 2 i ( y ? t ) )

1 + ( x + 1 )

2

+ ( y ? 2 t )

2

;( 1 6 )

4


5/10

-100

10-100

10

0

2

t=-3.5

-100

10-100

10

0

2

t=3.5

-100

10-100

10

0

2

t=0

F i g . 1 N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f t h e r a t i o n a l 1 - s o l i t o n ( 1 6 ) o f t h e D S I I s y s t e m , a s c o m p u t e d b y

t h e s e c o n d - o r d e r s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d . H e r e N = 3 2 x = y = 0 5 x y 2 ? 1 6 1 6 t = 0 0 1

w h i c h i s a s p e c i a l c a s e o f t h e m o r e g e n e r a l s o l i t o n s o l u t i o n s o b t a i n e d i n 4 ] . T h e p r o l e

u r e p r e s e n t s a s i n g l e h u m p , t r a v e l i n g w i t h s p e e d 2 a l o n g t h e l i n e x = ? 1

W e s h o u l d p o i n t o u t t h a t r a t i o n a l s o l i t o n s l i k e t h e s e a r e n o t o r i o u s l y h a r d t o s i m -

u l a t e n u m e r i c a l l y , e v e n i n t h e c a s e o f o n e s p a c e d i m e n s i o n . ( S u c h s o l i t o n s a r i s e f o r

e x a m p l e i n t h e B e n j a m i n - O n o e q u a t i o n ; s e e 1 1 ] ) . T h e r e a s o n f o r t h e d i c u l t y i s t h a t

t h e s e s o l u t i o n s d e c a y m u c h s l o w e r t h a n t h e s t a n d a r d s o l i t o n s w i t h e x p o n e n t i a l d e c a y ,

a n d t h e r e f o r e a v e r y w i d e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s r e q u i r e d , c a u s i n g a l a c k o f r e s o l u -

t i o n . N e v e r t h e l e s s , o u r s c h e m e d i d n o t h a v e a n y d i c u l t y i n p r o d u c i n g a s a t i s f a c t o r y

a p p r o x i m a t i o n .

I n F i g . 1 w e s h o w t h e c o m p u t e d p r o l e o f u a s a f u n c t i o n o f x a n d y , a t t i m e s t =

? 3 5 ; 0 ; 3 5 . T h e i n i t i a l d a t a w a s p i c k e d f r o m t h e e x a c t s o l u t i o n ( 1 6 ) , a t t = ? 3 5 . W e

h a v e u s e d 6 4 g r i d p o i n t s i n b o t h x a n d y d i r e c t i o n s , o v e r t h e s q u a r e ? 1 6 ; 1 6 ? 1 6 ; 1 6 ] ,

i . e . , x = y = 0 5 , u s i n g a t i m e - s t e p t = 0 0 1 . E v e n w i t h t h i s r e l a t i v e l y c o a r s e g r i d ,

t h e c o m p u t e d s o l i t o n p r e s e r v e s i t s i n t e g r i t y t o a n a c c e p t a b l e d e g r e e . A c o m p a r i s o n

w i t h t h e t r u e s o l u t i o n i s p r e s e n t e d i n F i g . 2 , w h e r e w e s h o w c o n t o u r l e v e l s o f t h e

s o l u t i o n s . N o t e t h a t t h e s p e e d o f t h e s o l i t o n i s a l s o a p p r o x i m a t e d a c c u r a t e l y .

A s a n a d d i t i o n a l c h e c k , w e q u o t e f r o m 8 ] t h e f o l l o w i n g t w o c o n s e r v e d q u a n t i t i e s

o f D S I I

I

1

=

Z

1

? 1

Z

1

? 1

u

2

d x d y ; ( 1 7 )

I

2

=

Z

1

? 1

Z

1

? 1

u

y

2

? u

x

2

? u

4

+

1

2

(

2

x

+

2

y

)

d x d y : ( 1 8 )

T h e i n t e g r a l I

2

i s r e l a t e d t o t h e H a m i l t o n i a n ( s e e 1 ] ) . I t i s e a s y t o s h o w t h a t o u r

s c h e m e p r e s e r v e s t h e d i s c r e t e a n a l o g o f t h e i n t e g r a l I

1

, a n d t h i s w a s v e r i e d f o r t h e

s i m u l a t i o n s h o w n i n F i g . 1 . O n t h e o t h e r h a n d , o u r m e t h o d d o e s n o t c o n s e r v e t h e

i n t e g r a l I

2

. I n p r a c t i c e , h o w e v e r , i t s d i s c r e t e a n a l o g w a s f o u n d t o b e c o n s t a n t t o a t

l e a s t s i x s i g n i c a n t d i g i t s o v e r t h e p e r i o d o f t h e s i m u l a t i o n , n a m e l y t 2 ? 3 5 ; 3 5

W e s h o u l d p o i n t o u t t h a t o u r m e t h o d a s d e s c r i b e d h e r e i s n o t y e t a p p l i c a b l e t o

t h e s i m u l a t i o n o f t h e l i n e - s o l i t o n s p r e s e n t e d i n 3 ] . T h o s e s o l u t i o n s d o n o t s a t i s f y t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ! 0 a s x

2

+ y

2

! 1 a n d o u r s c h e m e n e e d s t o b e m o d i e d

a c c o r d i n g l y . S u c h m o d i c a t i o n s w i l l b e a d d r e s s e d i n 1 8 ] .

5


6/10

-10 0 10

-10

0

10

Theoretical Solution

t=-3.5

t=0

t=3.5

-10 0 10

-10

0

10

Numerical Solution

t=-3.5

t=0

t=3.5

F i g . 2 C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o F i g . 1 . L e v e l

c u r v e s o f u a r e s h o w n .

4 . T h e D S I s y s t e m . I t i s l e s s s t r a i g h t f o r w a r d t o e x t e n d t h e s p l i t - s t e p m e t h o d

t o t h e D S I s y s t e m . T h e k e y d i s t i n c t i o n l i e s i n t h e f a c t t h a t t h e o p e r a t o r i n t h e s e c o n d

e q u a t i o n i n ( 2 ) i s n o w h y p e r b o l i c r a t h e r t h a n e l l i p t i c . A l s o , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

x

! 0 , x

2

+ y

2

! 1 , d o n o t g i v e r i s e t o a n y i n t e r e s t i n g s o l u t i o n s : a l l i n i t i a l p r o l e s

s i m p l y d i s p e r s e a w a y ( s e e 7 ] ) . T o o b t a i n c o h e r e n t s t r u c t u r e s l i k e s o l i t o n s o r d r o m i o n s ,

n o n - t r i v i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n n e e d t o b e s p e c i e d a t i n n i t y . W e w i l l c o n t i n u e

t o a s s u m e t h e c o n d i t i o n s u ! 0 , x

2

+ y

2

! 1 , h o w e v e r .

P e r h a p s t h e s i m p l e s t w a y t o p r e p a r e t h e D S I s y s t e m f o r s p l i t - s t e p s o l u t i o n i s t o

c h a n g e v a r i a b l e s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c c o o r d i n a t e s x = x + y , y = x ? y . T h i s i s t h e s a m e

a p p r o a c h u s e d i n 7 ] t o p r e p a r e t h e D S I s y s t e m f o r t h e i n v e r s e s c a t t e r i n g p r o c e d u r e .

T h e s y s t e m ( 2 ) i s t h u s t r a n s f o r m e d i n t o

i u

t

+ ( u

x x

+ u

y y

) ? u V = 0 ;( 1 9 )

w h e r e

V =

1

2

Z

x

? 1

( u

2

)

y

d x +

Z

y

? 1

( u

2

)

x

d y

+

x

( x ; ? 1 ; t ) +

y

( ? 1 ; y ; t )( 2 0 )

N o t e : a t t h e r i s k o f c o n f u s i n g t h e r e a d e r w e h a v e r e p l a c e d ( x ; y ) w i t h ( x ; y ) f o r n o t a -

t i o n a l s i m p l i c i t y . T h e l a s t t w o t e r m s o n t h e r i g h t a r e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t n e e d

t o b e s u p p l i e d .

T h e l i n e a r p a r t a s s o c i a t e d w i t h ( 1 9 ) , n a m e l y i u

t

+ ( u

x x

+ u

y y

) = 0 , c a n b e s o l v e d

a s b e f o r e : t a k e t h e t w o - d i m e n s i o n a l F o u r i e r t r a n s f o r m , a d v a n c e i n t i m e i n c o e c i e n t

s p a c e , a n d r e t u r n t o p h y s i c a l s p a c e b y a n i n v e r s e t r a n s f o r m .

L i k e w i s e , t h e n o n l i n e a r p r o b l e m , n a m e l y i u

t

? u V = 0 , c a n b e s o l v e d a s b e f o r e , b y

s u b s t i t u t i n g u = r e x p ( i ) . T h i s l e a d s t o t h e s y s t e m r

t

= 0 ,

t

= ? V , w i t h s o l u t i o n

r = r

0

( x ; y ) ; = ?

Z

t

0

V d t +

0

O v e r a s i n g l e t i m e - s t e p t h e n o n l i n e a r p a r t m a y t h e r e f o r e b e a d v a n c e d a c c o r d i n g t o

u ( x ; y ; t

l

+ t ) = u ( x ; y ; t

l

) e x p ( ? V ( x ; y ; t

l

) t ) ;( 2 1 )

6


7/10

w h e r e w e h a v e u s e d t h e a p p r o x i m a t i o n

Z

t

+ 1

t

V d t = V ( t

l

) t + O ( t

2

)

I t r e m a i n s t o d i s c u s s t h e c o m p u t a t i o n o f V f r o m ( 2 0 ) w h e n u a n d b o u n d a r y

c o n d i t i o n s

x

( x ; ? 1 ; t ) ,

y

( ? 1 ; y ; t ) , a r e s u p p l i e d . C o n t i n u i n g t o a s s u m e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s u ! 0 a s x

2

+ y

2

! 1 , w e c o n s i d e r t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n ? P ; P

? P ; P ] a s a p p r o x i m a t i o n t o I R I R . T h u s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

x

( x ; ? 1 ; t ) ,

y

( ? 1 ; y ; t ) a r e a s s u m e d t o b e s u p p l i e d a t x ; y = ? P , r a t h e r t h a n x ; y = ? 1 . N e x t

w e c o n s i d e r t h e F o u r i e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f u

2

g i v e n i n ( 1 2 ) . D i e r e n t i a t i o n o f

u

2

w i t h r e s p e c t t o y , a n d i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o x , y i e l d

Z

x

j

? P

( u

2

)

y

d x =

X

m 6= 0

X

n

n

m

b

m n

e

i

n

y

k

h

e

i

m

x

j

? e

? i

m

P

i

+ ( x

j

+ P )

X

n

i

n

b

0 n

e

i

n

y

k

T h i s r e p r e s e n t s t h e a p p r o x i m a t i o n t o t h e r s t t e r m o n t h e r i g h t s i d e o f ( 2 0 ) . A s i m i l a r

f o r m u l a a p p r o x i m a t e s t h e s e c o n d t e r m . E a c h o f t h e s e f o r m u l a s c a n b e c o m p u t e d

w i t h o n e F F T 2 a n d t w o F F T 1 s . T o g e t h e r w i t h t h e p r e s c r i b e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s

x

( x ; ? P ; t ) ,

y

( ? P ; y ; t ) , t h e y e n a b l e o n e t o c o m p u t e V

S u m m a r i z i n g , t h e r s t - o r d e r s p l i t - s t e p m e t h o d f o r t h e D S I s y s t e m p r o c e e d s a s

f o l l o w s : F o r g i v e n d a t a u

j k

a t a n y t i m e - l e v e l t

l

, t h e c o r r e s p o n d i n g V

j k

i s c o m p u t e d a s

d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h . O n c e V

j k

i s k n o w n , t h e s o l u t i o n c a n b e a d v a n c e d

a c c o r d i n g t o t h e n o n l i n e a r p a r t i u

t

? u V = 0 , n a m e l y ( 2 1 ) . T h i s p r o v i d e s t h e i n i t i a l

d a t a f o r t h e l i n e a r p r o b l e m i u

t

+ ( u

x x

+ u

y y

) = 0 , w h i c h i s a d v a n c e d i n t h e u s u a l

m a n n e r t h r o u g h F o u r i e r t r a n s f o r m s .

T h e a l g o r i t h m f o r t h e D S I s y s t e m i s s o m e w h a t m o r e e x p e n s i v e t h a n t h e o n e f o r t h e

D S I I s c h e m e : t h e d i e r e n c e l i e s i n t h e f a c t t h a t t h e c o m p u t a t i o n o f V i n ( 2 0 ) r e q u i r e s

t h r e e F F T 2 s , w h e r e a s t h e c o m p u t a t i o n o f

x

i n ( 1 4 ) r e q u i r e s o n l y t w o . T h u s , o n e s t e p

o f t h e r s t - a n d s e c o n d - o r d e r s p l i t - s t e p s c h e m e s ( 5 ) a n d ( 6 ) r e q u i r e s r e s p e c t i v e l y v e

a n d e i g h t F F T 2 s f o r D S I . T h e c o r r e s p o n d i n g g u r e s f o r D S I I a r e f o u r a n d s i x . I t i s

t h u s a d v i s a b l e t o r e o r d e r t h e s e c o n d - o r d e r s c h e m e ( 6 ) f o r D S I s o a s t o d o t w o l i n e a r

s t e p s a n d o n e n o n l i n e a r s t e p . T h i s s a v e s o n e F F T 2 p e r t i m e s t e p .

W e r s t t e s t e d t h e s e c o n d - o r d e r m e t h o d o n t h e d r o m i o n s o l u t i o n

u ( x ; y ; t ) =

4 i e x p ( ? ( x + y + 4 t ) ? i ( x + y ) )

( 1 + e x p ( ? 2 x ? 4 t ) ) ( 1 + e x p ( ? 2 y ? 4 t ) ) + 1

;( 2 2 )

w i t h = ? 1 . I t r e p r e s e n t s a l o c a l i z e d h u m p , m o v i n g w i t h s p e e d 2

p

2 i n t h e n e g a t i v e

d i r e c t i o n o f t h e l i n e y = x . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a s s o c i a t e d w i t h a r e

x

( x ; ? 1 ; t ) = ? 2 s e c h

2

( x + 2 t ) ;

y

( ? 1 ; y ; t ) = ? 2 s e c h

2

( y + 2 t )

T h i s s o l u t i o n i s a s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l f o r m u l a f o r ( 1 ; 1 ) - d r o m i o n s p r e s e n t e d i n

7 ] .

I n o u r s i m u l a t i o n w e h a v e p i c k e d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n f r o m t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n ,

c o r r e s p o n d i n g t o t = ? 3 . W e u s e d a d o m a i n x ; y 2 ? 1 2 ; 1 2 ] , w i t h 6 4 g r i d p o i n t s i n

e a c h d i r e c t i o n , a n d t = 0 0 1 , t 2 ? 3 ; 3 ] . I n p l o t s s u c h a s t h o s e i n F i g s . 1 a n d 2 ,

w e c o u l d n o t s e e t h e d i e r e n c e i n t h e n u m e r i c a l a n d t h e o r e t i c a l s o l u t i o n s . S i n c e t h e

p i c t u r e s a r e n o t v e r y i n t e r e s t i n g , w e d o n o t r e p r o d u c e t h e m h e r e .

7


8/10

-10

0-10

00

2

4

t=-3

-10-5

05

-10-5

050

2

4

t=-1

-50

5-5

05

0

2

4

t=0

0

10

0

10

0

2

4

xy

t=3

F i g . 3 N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f a ( 2 2 ) - d r o m i o n o f t h e D S I s y s t e m , a s c o m p u t e d b y t h e s e c o n d -

o r d e r s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d . H e r e N = 1 2 8 x = y = 1 1 = 6 4 x y 2 ? 2 2 2 2 t = 0 0 1

A s a m o r e s t r i n g e n t t e s t , w e a l s o a t t e m p t e d t h e s i m u l a t i o n o f a ( 2 ; 2 ) - d r o m i o n .

W e c h o s e t h e s a m e s e t o f p a r a m e t e r v a l u e s a s t h e d r o m i o n p i c t u r e d i n F i g . 1 { 3 o f 7 ] ,

a n d a l s o F i g . 1 ( a ) { ( f ) o f 1 4 ] . T h e p i c t u r e s i n t h e s e t w o r e f e r e n c e s w e r e n o t g e n e r a t e d

b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f c o u r s e , b u t f r o m t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n . W e c o m p u t e d

t h i s s o l u t i o n , w h i c h i s m u c h t o o c o m p l i c a t e d t o r e p r o d u c e h e r e , f r o m t h e f o r m u l a s i n

1 4 ] u s i n g M a t h e m a t i c a .

W e h a v e p i c k e d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n f r o m t r u e s o l u t i o n , a t t = ? 3 . W e a l s o p i c k e d

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n f r o m t h e t r u e s o l u t i o n . T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n w a s

t h e s q u a r e x ; y 2 ? 2 2 ; 2 2 ] , w i t h 2 5 6 g r i d p o i n t s i n e a c h d i r e c t i o n . T h e t i m e - s t e p w a s

t = 0 0 1

F i g . 3 s h o w s t h e r e s u l t o f t h i s s i m u l a t i o n . A t t = ? 3 , t h e i n i t i a l p r o l e u c o n s i s t s

o f f o u r e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g h u m p s , l o c a l i z e d i n t h e t h i r d q u a d r a n t o f t h e ( x ; y )

p l a n e . T h e y m o v e t o w a r d t h e o r i g i n , w h e r e t h e y c o l l i d e a r o u n d t = 0 . A f t e r t h e

c o l l i s i o n f o u r l o c a l i z e d c o h e r e n t s t r u c t u r e s c o n t i n u e t o m o v e i n t o t h e r s t q u a d r a n t .

N o t e t h a t e n e r g y i s e x c h a n g e d d u r i n g t h e i n t e r a c t i o n . I n t h i s r e s p e c t d r o m i o n s d i e r

f r o m s o l i t o n s , w h i c h d o n o t e x c h a n g e e n e r g y d u r i n g c o l l i s i o n 1 4 ] . A c o m p a r i s o n o f

o u r F i g . 3 w i t h t h e p i c t u r e s i n 7 ] a n d 1 4 ] c o n r m s t h a t o u r n u m e r i c a l r e s u l t s a r e

a c c u r a t e . A s a f u r t h e r c h e c k o n t h e a c c u r a c y , w e p r e s e n t i n F i g . 4 l e v e l c u r v e s o f

u c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s . T h e d i e r e n c e i s h a r d l y

n o t i c e a b l e .

8


9/10

-5 0 5-5

0

5Numerical Solution (t=0)

-5 0 5-5

0

5Theoretical Solution (t=0)

0 5 10 150

5

10

15Theoretical Solution (t=3)

0 5 10 150

5

10

15Numerical Solution (t=3)

F i g . 4 C o m p a r i s o n o f t h e t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o F i g . 3 . L e v e l

c u r v e s o f u a r e s h o w n .

5 . C o n c l u s i o n s . W e h a v e e x t e n d e d t h e w e l l - k n o w n s p l i t - s t e p m e t h o d f o r s o l v -

i n g t h e N L S e q u a t i o n t o t h e D S s y s t e m . I n t h e p r o c e s s w e h a v e p r e s e n t e d v a r i o u s

s i m u l a t i o n s o f s o l i t o n s , a n d i n p a r t i c u l a r , d r o m i o n s . W e a r e n o t a w a r e o f a n y o t h e r

n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f d r o m i o n s i n t h e l i t e r a t u r e .

T h e n u m e r i c a l t e s t s r e p o r t e d h e r e s u g g e s t t h a t o u r s c h e m e i s a c c u r a t e a n d r e l i a b l e .

I t i s a l s o r e l a t i v e l y f a s t : t h e c p u t i m e o n a V A X 9 0 0 0 w i t h 6 4 e l e m e n t v e c t o r p r o c e s s o r

r a n g e d f r o m a r o u n d 3 m i n u t e s f o r t h e s i m u l a t i o n o f F i g . 1 , t o j u s t u n d e r 1 . 5 h o u r s f o r

t h e s i m u l a t i o n o f F i g . 3 . T h e s c h e m e w a s c o d e d i n F o r t r a n 7 7 i n d o u b l e p r e c i s i o n , a n d

t h e v e c t o r c a p a b i l i t i e s w e r e e x p l o i t e d i n c o m p u t i n g t h e F F T 2 s .

W e w a n t t o p o i n t o u t t h a t o u r t e s t e x a m p l e s a r e s o m e w h a t s p e c i a l i n t h e s e n s e t h a t

t h e y c o r r e s p o n d t o p u r e s o l i t o n s a n d d r o m i o n s . ( I n t h e l a n g u a g e o f i n v e r s e s c a t t e r i n g ,

a l l p o t e n t i a l s a r e r e e c t i o n l e s s . ) T h e s e s o l u t i o n s a r e k n o w n t o b e v e r y s t a b l e . N o

o t h e r e x p l i c i t s o l u t i o n s c o u l d b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e h o w e v e r . O f c o u r s e , w e e x p e c t

t h a t t h e m a i n u s e o f o u r c o d e w o u l d b e t o c o m p l e m e n t a n a l y t i c a l s t u d i e s w h e n c l o s e d

f o r m s o l u t i o n s a r e n o t r e a d i l y o b t a i n a b l e . T h u s f u r t h e r n u m e r i c a l t e s t s a r e i n t h e

o n g . A l s o p l a n n e d f o r f u t u r e i n v e s t i g a t i o n i s a c l o s e r e x a m i n a t i o n o f t h e t h e o r e t i c a l

p r o p e r t i e s o f o u r s c h e m e . F o r e x a m p l e , i t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o k n o w w h e t h e r o u r

v e r s i o n o f t h e s p l i t - s t e p m e t h o d i s a s y m p l e c t i c s c h e m e , a s i s t h e c a s e f o r t h e N L S

e q u a t i o n ( s e e 1 0 , 1 2 ] ) . A c o n v e r g e n c e p r o o f o f o u r s c h e m e i s a l s o l a c k i n g a t t h i s s t a g e ,

b u t s o i s o n e f o r t h e N L S e q u a t i o n a s f a r a s w e k n o w . S o m e o f t h e s e i s s u e s w i l l b e

r e p o r t e d o n i n 1 8 ] .

9


10/10

R E F E R E N C E S

1 ] M . J . A b l o w i t z a n d P . A . C l a r k s o n , S o l i t o n s , N o n l i n e a r E v o l u t i o n E q u a t i o n s , a n d I n v e r s e S c a t -

t e r i n g ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , 1 9 9 1 . )

2 ] M . J . A b l o w i t z , S . V . M a n a k o v , a n d C . L . S c h u l t z , O n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e D a v e y -

S t e w a r t s o n e q u a t i o n , P h y s . L e t t . A 1 4 8 ( 1 9 9 0 ) 5 0 { 5 2 .

3 ] D . A n k e r a n d N . C . F r e e m a n , O n t h e s o l i t o n s o l u t i o n o f t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m f o r l o n g

w a v e s , P r o c . R o y . S o c . L o n d o n A 3 6 0 ( 1 9 7 8 ) 5 2 9 { 5 4 0 .

4 ] V . A . A r k a d i e v , A . K . P o g r e b k o v , a n d M . C . P o l i v a n o v , I n v e r s e s c a t t e r i n g t r a n s f o r m m e t h o d

a n d s o l i t o n s o l u t i o n s f o r D a v e y - S t e w a r t s o n I I e q u a t i o n , P h y s i c a D 3 6 ( 1 9 8 9 ) 1 8 9 - 1 9 7 .

5 ] M . B o i t i , J . J . L e o n , L . M a r t i n a , a n d F . P e m p i n e l l i , S c a t t e r i n g o f l o c a l i z e d s o l i t o n s i n t h e p l a n e ,

P h y s . L e t t . A 1 3 2 ( 1 9 8 8 ) 4 3 2 { 4 3 9 .

6 ] A . D a v e y a n d K . S t e w a r t s o n , O n t h r e e - d i m e n s i o n a l p a c k e t s o f s u r f a c e w a v e s , P r o c . R o y . S o c .

L o n d o n A 3 3 8 ( 1 9 7 4 ) 1 0 1 { 1 1 0 .

7 ] A . S . F o k a s a n d P . M . S a n t i n i , D r o m i o n s a n d a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o f t h e D a v e y - S t e w a r t s o n

I e q u a t i o n , P h y s i c a D 4 4 ( 1 9 9 0 ) 9 9 { 1 3 0 .

8 ] J . M . G h i d a g l i a a n d J . C . S a u t , O n t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m f o r t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m s ,

N o n l i n e a r i t y 3 ( 1 9 9 0 ) 4 7 5 { 5 0 6 .

9 ] R . H . H a r d i n a n d F . D . T a p p e r t , A p p l i c a t i o n s o f t h e s p l i t - s t e p F o u r i e r m e t h o d t o t h e n u m e r i c a l

s o l u t i o n o f n o n l i n e a r a n d v a r i a b l e c o e c i e n t w a v e e q u a t i o n s , S I A M R e v i e w , C h r o n i c l e 1 5

( 1 9 7 3 ) 4 2 3 .

1 0 ] B . M . H e r b s t a n d F . V a r a d i , S y m p l e c t i c m e t h o d s f o r t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n ,

p r e p r i n t .

1 1 ] R . L . J a m e s a n d J . A . C . W e i d e m a n , P s e u d o s p e c t r a l m e t h o d s f o r t h e B e n j a m i n - O n o e q u a t i o n ,

i n : R . V i c h n e v e s t k y , K . D o y l e , a n d G . R i c h t e r ( e d s . ) , A d v a n c e s i n C o m p u t e r M e t h o d s f o r

P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s V I I ( I M A C S , 1 9 9 2 . )

1 2 ] R . M c L a c h l a n , S y m p l e c t i c i n t e g r a t i o n o f H a m i l t o n i a n w a v e e q u a t i o n s , t o a p p e a r i n N u m e r .

M a t h .

1 3 ] G . C . P a p a n i c o l a o u , C . S u l e m , P . L . S u l e m , X . P . W a n g , F o c u s i n g s i n g u l a r i t i e s o f D a v e y -

S t e w a r t s o n e q u a t i o n s f o r g r a v i t y - c a p i l l a r y w a v e s , p r e p r i n t .

1 4 ] P . M . S a n t i n i , E n e r g y e x c h a n g e o f i n t e r a c t i n g c o h e r e n t s t r u c t u r e s i n m u l t i d i m e n s i o n s , P h y s i c a

D 4 1 ( 1 9 9 0 ) 2 6 { 5 4 .

1 5 ] C . L . S c h u l t z a n d M . J . A b l o w i t z , S t r o n g c o u p l i n g l i m i t o f c e r t a i n m u l t i d i m e n s i o n a l n o n l i n e a r

w a v e e q u a t i o n s , S t u d . A p p l . M a t h . 8 0 ( 1 9 8 9 ) 2 2 9 { 2 3 8 .

1 6 ] T . R . T a h a a n d M . J . A b l o w i t z , A n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l a s p e c t s o f c e r t a i n n o n l i n e a r e v o l u t i o n

e q u a t i o n s I I . N u m e r i c a l , n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , J . C o m p . P h y s . 5 5 ( 1 9 8 4 ) 2 0 3 - 2 3 0 .

1 7 ] J . A . C . W e i d e m a n a n d B . M . H e r b s t , S p l i t - s t e p m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r

S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , S I A M J . N u m e r . A n a l . 2 3 ( 1 9 8 6 ) 4 8 5 - 5 0 7 .

1 8 ] P . W . W h i t e , N u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e D a v e y - S t e w a r t s o n s y s t e m , P h . D . T h e s i s , O r e g o n S t a t e

U n i v e r s i t y , i n p r e p a r a t i o n .

1 0

P.W. White and J.A.C. Weideman- Numerical Simulation of Solitons and Dromions in the...

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