Puterea reactivă din reţelele electrice trifazate şi compensarea acesteia

The Reactive Power in Three-Phased Electrical Networks and Its

Compensation

Robert Pecsi, şef lucrări drd. ing. Facultatea de Instalaţii, Universitatea Tehnică de Construcţii, Bucureşti, e-mail: Robert.Pecsi@gmail.com

1. IntroducereDin cauza utilizării tot mai răspândite a sarcinilor neliniare şi a convertoarelor de putere electronice, formele de undă nesinusoidale şi neperiodice, precum şi deformarea formei de undă a tensiunii sunt fenomene tot mai des întâlnite în reţelele electrice din zilele noastre. S-au scris multe articole pe tema definirii, identificării, caracterizării, determinării, măsurării şi compensării unor asemenea curenţi şi puteri nesinusoidale şi neperiodice. O analiză de specialitate sintetică a literaturii publicate în această direcţie a fost realizată de Tolbert şi Habetler [8].În ziua de azi conceptul de putere reactivă este utilizat de toată lumea, de la fizician la inginerul electrician. Suntem aşa de obişnuiţi cu acest termen încât nici nu realizăm contradicţiile asociate conceptului. În orice carte de specialitate, conceptele de putere reactivă şi activă sunt introduse în general chiar la începutul prezentării, ca fiind produsul dintre curentul şi tensiunea măsurate în acelaşi punct al circuitului. Puterea activă depinde de funcţia sinus, iar puterea reactivă de funcţia cosinus, argumentul funcţiilor fiind unghiul dintre faza tensiunii şi a curentului. Făcând media în timp, cele două puteri se comportă în mod diferit; puterea activă medie este bine definită în timp ce puterea reactivă medie este egală cu zero, indiferent de reţea sau de starea sistemului. Dacă pentru puterea activă (de fapt pentru energia activă) există o deplasare dintr-un punct în altul în reţea, puterea reactivă se deplasează înainte şi înapoi (înspre şi dinspre), deplasarea totală pe un ciclu complet fiind nulă, întrucât cantitatea de energie reactivă ce se scurge într-o direcţie într-o jumătate de perioadă se va întoarce în direcţia opusă în următoarea jumătate de perioadă. Puterea reactivă este interschimbată permanent de diferitele elemente reactive de

1. IntroductionBecause of the widespread use of nonlinear loads and electronic power converters, non-sinusoidal and non-periodic wave-forms and voltage distortion are becoming more common in today’s electrical systems. Many papers have dealt with the definition, identification, characterization, detection, measurement, and compensation of non-sinusoidal and non-periodic current and power of said types. Tolbert and Habetler have compiled a comprehensive technical survey of the previously published literature on the topic [8].

Today everybody uses the concept of reactive power, from the physicist to the electrical engineer. We are so accustomed with this term that we do not realize the contradictions associated with this concept. If one follows any textbook, the concepts of active and reactive power are introduced, usually at the beginning, as a product of the voltage and current measured at the same point of the circuit. The active power depends on the sin function and the reactive power on the cos function where the angle is taken between the voltage and the current. When the average in time is calculated, the two powers behave quite differently; the average active power is well defined while the average reactive power is nil, irrespective of the network or state of the system. If for the active power (correctly the energy) there is a net flow from one point of the network to another, for the reactive power there is a continuous flow back and forth (to and from), but the net flow is equal to zero for a complete cycle, as the amount of energy flowing in one direction for half a cycle is equal to the amount of energy flowing in the opposite direction in the next half of the cycle. The reactive power is constantly exchanged by different parts of the network – capacitors and reactors – but it is never consumed or produced.

circuit, dar ea niciodată nu este produsă sau consumată.Puterea activă instantanee se defineşte ca fiind viteza cu care se generează, transferă sau utilizează energia. Este o mărime fizică ce satisface principiul conservării energiei. Pentru un circuit monofazat, se defineşte ca fiind produsul dintre valorile instantanee ale curentului şi tensiunii:

Instantaneous active power is defined as the time rate of energy generation, transfer, or utilization. It is a physical quantity and satisfies the principle of conservation of energy. For a single-phase circuit, it is defined as the instantaneous product of voltage and current:

. (1)

Întrucât nu este deloc practic să se lucreze cu mărimi instantanee, ele fiind dificil de măsurat, se introduc mărimile mediate, efective. Valoarea medie a puterii instantanee active, notată cu P se numeşte putere activă şi se calculează ca media pe o perioadă a puterii instantanee p(t). Pentru un circuit polifazat, cu n faze, puterea activă instantanee a fiecărei faze se determină tot cu relaţia (1), iar puterea activă

instantanee totală se defineşte ca fiind suma puterilor active de pe fiecare fază:As it is not practical to work with instantaneous quantities because they are difficult to measure, average values are introduced. The average value of the instantaneous active power P is called the active power and is given by the time average of the instantaneous power over one period of the wave p(t). For a poly-phased circuit with n phases, the instantaneous active power of each phase is still expressed as (1) and the instantaneous total active power is the sum of the active powers of the individual phases:

.(2)

Ne putem gândi la puterea reactivă (non-activă) ca fiind puterea fără utilitate care cauzează mărirea curenţilor din linii şi, ca atare, a pierderilor, cerinţe mai mari de putere generată de sursele de energie electrică şi alte efecte nedorite asupra sistemelor electrice şi a echipamentelor conexe. Pentru un circuit monofazat conţinând bobine, condensatoare şi/sau elemente neliniare de circuit, puterea reactivă este acea putere care circulă înainte şi înapoi între sursă şi sarcini şi produce o putere activă medie nulă pe o perioadă a mărimii instantanee p(t). Pentru un circuit polifazat, puterea reactivă este puterea care circulă între surse şi sarcini şi între fazele sursei polifazate. Puterea care circulă între surse şi sarcini dă o medie nulă din cauza elementelor de stocare dezechilibrate din circuit. Puterea care circulă între faze nu contribuie la puterea activă instantanee cedată circuitului din cauza faptului

Non-active power can be thought of as the useless power that causes increased line current

and losses, greater generation requirements for utilities, and other effects/burdens to power systems and connected/related equipment. For a single phase circuit with inductors, capacitors, and/or nonlinear elements, non-active power is the power that circulates back and forth between the source and loads and yields zero average active power over one period of the wave p(t). Therefore, the non-active power for single phase circuits is based on average values. For a poly-phased circuit, non-active power is the power that circulates back and forth between the sources and loads and the power that circulates among the phases. The source-load circulating power yields zero average over one period of the wave p(t) because of unbalanced storage elements in the circuit. The power circulating between phases contributes no total instantaneous active power to the circuits

că în sursă elementele de stocare sunt echilibrate. Astfel că puterea reactivă pentru

because of balanced storage elements. circuitele reţele polifazate are două componente: una bazată pe valori medii şi una bazată pe valori instantanee. Unele teorii se bazează pe valorile medii şi lucrează numai cu anumite domenii de frecvenţe, altele sunt formulate în termenii mărimilor instantanee. Indiferent de ce metode matematice sunt utilizate, scopul tuturor acestor teorii este acelaşi, de a îmbunătăţi factorul de putere şi de a minimiza pierderile de putere suplimentare din sistem prin identificarea, măsurarea şi eliminarea puterii inutile. Acest articol prezintă definiţiile curentului reactiv şi a puterii reactive din prisma compensării. Aproape toate teoriile şi definiţiile existente pot fi deduse din cele prezentate în prezentul articol.

because of balanced storage elements. Therefore, the non-active power for poly-phased circuits includes two components: one is based on average values and the other is based on instantaneous values. Some theories are based on average values and restricted to certain frequency domains, while some others are formulated in terms of time domains and instantaneous units. Whatever mathematical means are used, the goal of these theories is to improve the power factor and to minimize power losses and disturbances by identifying, measuring and eliminating the useless power. This paper presents definitions of non-active power or non-active current from the compensation standpoint. Almost all existing non-active power theories and definitions can be extended and deduced from the definitions presented.

2. Sistemul de compensare şi definiţia puterii reactivePentru un sistem electric mono- sau polifazat, se poate realiza un element de compensare care să elimine puterea/curentul reactiv, element ce se dispune în sistem după cum prezintă figura 1. Presupunând că acest compensator se compune numai din elemente de circuit pasive (inductive sau capacitive) şi/sau dispozitive mutatoare, fără surse de putere externe şi fără pierderi de putere în compensator, puterea activă medie a compensatorului trebuie să fie nulă în conformitate cu principiul conservării energiei. Adică:

2. The compensation system and the definition of non-active powerFor a single or poly-phased power system, a shunt compensator to minimize the useless power/current can be configured as in Fig. 1. Assuming that the shunt compensator only consists of passive elements (inductor and/or capacitor) and/or switching devices without any external power source and neglecting the compensator power loss, then the active power of the compensator should average zero according to the principle of conservation of energy. That is:

, , (3)

, x=S, L or C.(4)

In ecuaţia (4), TC este intervalul de timp de mediere, care poate fi zero, o perioadă, o jumătate de perioadă, mai multe perioade, în funcţie de obiectivele compensării şi de capacitatea de stocare a elementelor pasive din compensator.

In (4), TC is the averaging interval that can be zero, one fundamental cycle, one-half cycle, or multiple cycles, depending on compensation objectives and on the energy storage capacity of the passive components.

B

C

L

iL, pLiS, pS

iC, pC

Fig.1: Configuraţia unui sistem electric cu un compensatorLegendă: L - sarcină

B – linie de alimentare de la sursăC – compensator

Fig.1: A shunt compensator configurationCaption: L - load

B –utility line from the sourceC – Compensator

Ecuaţiile (3) şi (4) trebuie să fie adevărate atât pentru compensarea activă, cât şi pentru compensarea pasivă atât a circuitelor monofazate cât şi a celor polifazate. Plecând de la aceste limitări fizice şi practice, se pot defini şi formula puterea reactivă şi curentul reactiv. Ideea lui Fryze [5] despre puterea/curentul reactiv poate fi continuată după cum urmează:

Equations (3) and (4) must hold true regardless of single-phase or multi-phased passive compensation or active compensation. Based on these physical and practical limitations, non-active power and non-active current can be defined and formulated. Fryze’s idea of non-active current/power [5] may be extended as follows:

,(5)

.(6)

În formulele de mai sus ip(t) este curentul activ, iar iq(t) este cel inactiv. P(t) este puterea activă mediată pe intervalul [t-TC, t], putere ce se poate calcula cu ajutorul formulei (4). UP(t) este valoarea efectivă a tensiunii, uP(t) calculată pe intervalul [t-TC, t], valoare exprimată de (6). uP(t) este tensiunea de referinţă care poate fi tensiunea în sine, uP(t)= u(t), sau componenta de frecvenţă fundamentală a u(t), unde u(t)=uf(t)+uh(t) şi uP(t)= uf(t), ori o altă tensiune, aleasă în funcţie de obiectivele compensării. Aceste definiţii, date de ecuaţiile (5) şi (6) sunt valabile pentru circuite mono- şi polifazate. Pentru circuitele polifazate, tensiunile şi curenţii se exprimă sub formă vectorială, de exemplu, pentru un circuit trifazat avem:

In the above formulae, ip(t) is the active current and iq(t) is the non-active current. P(t) is the average active power over the interval [t-TC, t], which can be calculated from (4). UP(t) is the rms value of the voltage uP(t) over the interval [t-TC, t], which is expressed by (6). uP(t) is the reference voltage that can be the voltage itself, uP(t)= u(t), or the fundamental component of u(t), where u(t)=uf(t)+uh(t) and uP(t)= uf(t), or something else, depending on compensation objectives. These definitions, (5) and (6) are valid for single- and poly-phase circuits. However, for poly-phased circuits, voltages and currents are expressed as a vector, e.g., for a three-phase system:

u = [ua, ub, uc]T, i = [ia, ib, ic]T, u2 = [ua, ub, uc]· [ua, ub, uc]T. (7)

3. Compensarea

Ecuaţia (5) oferă definiţiile de bază a curenţilor activi şi inactivi din care se pot deduce şi particulariza majoritatea teoriilor şi definiţiilor existente în acest sens. În cele ce urmează se prezintă câteva dintre aceste deducţii şi particularizării.

A. Circuite monofazate sinusoidale Pentru un circuit monofazat cu forme de undă sinusoidale:

3. CompensationEquation (5) provides the basic definitions of active and non-active current, from which most of the existing non-active power theories and definitions based on time-domain can be extended and inferred. The following discusses some conclusions and compensation examples.

A. Sinusoidal Single-Phase CircuitsFor a single phase circuit with sinusoidal waveforms, e.g.:

, , (8)

curenţii activi şi reactivi se pot deduce din ecuaţiile (4), (5) şi (6), trecând prin următorii paşi:

(i) Se alege TC ca o perioadă sau o

semiperioadă, or ;

(ii) Se calculează puterea activă medie, PL conform cu (4);

(iii) Se calculează valoarea efectivă a tensiunii uS, conform (6);

(iv) Se calculează curenţii activ şi inactiv, iLp şi iLq conform (5).

Rezultatul obţinut este:

the active and non-active currents are consistent with the traditional active and reactive currents and can be derived from (4), (5) and (6) by the following steps:

(i) Choose TC to be one or half

fundamental cycle, or ;

(ii) Calculate the average active power, PL according to (4);

(iii) Calculate the rms value of the voltage uS, according to (6);

(iv) Calculate the active current and non-active current, iLp and iLq according to (5).

The result is:

, . (9)

Ecuaţia (9) demonstrează clar consistenţa cu teoria tradiţională a puterii reactive. Se poate implementa cu uşurinţă un algoritm de configurare a unui compensator activ, întrucât definiţiile formulate de ecuaţiile (4), (5) şi (6) sunt toate exprimate în coordonate de timp real. În plus este uşor de demonstrat că acest compensator trebuie să prezinte o putere medie nulă atunci când injectează în reţea curentul inactiv deoarece PC=0 când iC= iLq. După compensare, curentul ce vine de la sursă , iS va conţine numai curentul activ ce trece prin sarcină, iLp.

B. Circuite monofazate nesinusoidalePentru un circuit monofazat cu forme de undă nesinusoidale, expresiile curenţilor activi şi

Equation (9) clearly shows the consistence with the traditional reactive power theory. An algorithm for active compensators can be easily implemented because the definitions as formulated in (4), (5) and (6) are all real-time based. In addition, it is easy to show that the compensator needs zero average power when it injects the non-active current because PC=0 when iC= iLq. After compensation, the source current, iS will only contain the load active current, iLp.

B. Non-Sinusoidal Single-Phase CircuitsFor a single-phase circuit with non-sinusoidal waveforms, the active and non-active currents, which can be derived from (4), (5) and (6) using the steps described in section 3.A, are

inactivi (reactivi) deduşi din ecuaţiile (4), (5) şi (6) utilizând paşii descrişi în cadrul secţiunii 3.A, sunt consistente cu teoria clasică a lui Fryze, atunci când se alege uP=uS în (5) şi (6). De exemplu, dacă:

consistent with the traditional Fryze’s active and non-reactive currents when choosing uP=uS

in (5) and (6). For example, if :

,(10)

atunci: then:

,(11)

.

(12)

Din nou, puterea medie ce corespunde curentului iLq este nulă, ceea ce satisface cerinţele ecuaţiei (3) pentru un compensator. De altfel se observă din ecuaţia (11) că în curentul activ există armonici din cauza deformării formei de undă a tensiunii, ceea ce înseamnă că nu vom avea un curent de la sursă sinusoidal după ce compensatorul îşi injectează curentul reactiv exprimat de (12). În majoritatea cazurilor, este de dorit ca în urma compensării să avem un curent de sursă pur sinusoidal şi activ. Pentru a se realiza aceasta, se va alege uP= uSf în (5) şi (6). Făcând aceasta, se obţine:

Again, the average power of iLq is zero, which satisfies the requirements in (3) for a compensator. However, it is observed from (11) that the active current contains harmonics because of the voltage distortion, which means that the source current will not become sinusoidal after the compensator injects (compensates) the non-active current expressed in (12). In most cases, the compensation of non-active current is expected to result in a pure sine wave, active source current. In order to achieve that, one should choose uP= uSf in (5) and (6). By doing so, one has:

(13)

.(14)

Ecuaţia (13) demonstrează că avem un curent activ sinusoidal, iar ecuaţia (14) demonstrează faptul că toate armonicile de curent şi fundamentala curentului reactiv sunt conţinute de curentul reactiv. După compensare, curentul de la sursă va deveni activ şi sinusoidal. În plus, merită observat faptul că cerinţele de conservare a energiei din procesul de compensare (3) sunt satisfăcute de expresiile curenţilor activi şi reactiv din ecuaţiile (13) şi (14). Aceasta este o proprietate foarte importantă a definiţiilor date de ecuaţiile (4),

Equation (13) shows that the active current is a sine wave, and (14) shows that the non-active

current contains all harmonic current and fundamental reactive current. After compensation, the source current will become sinusoidal and active. In addition, it is noticeable that the active and non-active currents expressed in (13) and (14) still meet the compensation energy conservation requirements in (3). This is a very important property of the definitions given in (4), (5), and (5), şi (6), proprietate necesară pentru ca ideea de compensare să poată fi implementată în figura 1.

A. Circuite monofazate şi curenţi nesinusoidali şi neperiodici

În acest caz curentul de sarcină activ, ILp, este sinusoidal şi în fază cu tensiune, deşi curentul total de sarcină, IL, este puternic deformat şi neperiodic, iar curentul de sarcină reactiv , ILq

este şi el puternic deformat şi defazat faţă de tensiunea de la bornele sursei, generând o putere medie a sarcinii, PLq nulă. Astfel că un compensator utilizat pentru compensarea curenţilor reactivi injectaţi de sarcină în reţea, acesta va consuma o putere medie egală cu zero, satisfăcând cerinţa ecuaţiei (3). În plus, curentul ce se întoarce la sursă va deveni sinusoidal şi în fază cu tensiunea.

B. Circuite trifazateDefiniţiile descrise de ecuaţiile (5) şi (6) sunt adevărate şi pentru un sistem trifazat, indiferent de natura sinusoidală sau nesinusoidală, periodică sau neperiodică, echilibrată sau dezechilibrată a tensiunilor şi curenţilor. Rezultatele sunt similare celor din subcapitolele anterioare. Pentru sistemele polifazate există un concept interesant care nu există pentru sistemele monofazate, puterea şi curentul reactiv instantaneu. Aceasta teorie a puterii reactive instantanee [3, 7, 9] se poate deduce şi din ecuaţiile (5) şi (6). Alegând în (4) şi (6) TC.→0 ne va conduce la puterea (curentul) reactivă instantanee. Adică: (6), which is also necessary in order to implement compensation in Fig. 1.

A. Single-Phase Circuits with Non-Sinusoidal and Non-Periodic Current

In this case the active load current, ILp, is sinusoidal and in phase with the voltage although the load current, IL, is highly distorted and non-periodic, the calculated non-active load current, ILq, is highly distorted and out of phase with the source voltage, and the average load power, PLq, generated from the non-active load current is zero. Therefore, when a compensator is used to compensate for the non-active load current it will use an average zero power and maintain the requirement in (3). In addition, the source current will become sinusoidal and in phase with the voltage.

B. Three-Phase CircuitsThe definitions described in (5) and (6) are valid for a three-phase system as well, regardless of whether the voltage and current waveforms are sinusoidal or non-sinusoidal, periodic or non-periodic, and balanced or unbalanced. Results are similar to those in the previous subsections. For poly-phase (n-phase) systems, there is one interesting concept, instantaneous reactive (or non-active) power and current, inexistent in single phase situations. This instantaneous non-active power theory [3, 7, 9] can be deduced from (5) and (6) as well. In (4) and (6), choosing TC.→0 yields the instantaneous non-active current (power) theory. That is:

, ,(15)

, , . (16)

Din nou, definiţiile date de ecuaţiile (4), (5) şi (6) au o mare flexibilitate şi se potrivesc tuturor cazurilor de compensare. Indiferent dacă tensiunile şi curenţii sunt sinusoidali sau nesinusoidali, echilibraţi sau dezechilibraţi, periodici sau neperiodici, aceste definiţii ne permit să calculăm toate componentele curentului reactiv care trebuie compensate.

Again, the definitions given in (4), (5) and (6) have great flexibility to meet all compensation objectives. Regardless of whether the voltage and current are sinusoidal or non-sinusoidal, balanced or unbalanced, and periodic or non-periodic, the definitions give us means to calculate any non-active current component that requires compensation.

CL

NUL

iSa

iSb

iSc

iSn iLn

iLb

iLc

iLa

iCa iCb iCc iCn

uSa

uSb

uSc

Fig.2: Sistem de compensare pentru un circuit trifazat

Legendă: NUL – sarcină neliniară dezechilibratăCL – compensator cu capacitate limitată de stocare a energiei

Fig.2: A compensation system for three-phase four-wire systemCaption: NUL – nonlinear unbalanced load

CL – Compensator with limited energy storage

Considerăm sistemul trifazat din figura 2. Dacă obiectivul compensării este obţinerea unui curent ce se întoarce către sursă sinusoidal şi echilibrat, se poate calcula curentul de compensare după cum urmează:

- Se separă tensiunea în patru componente: alternanţa pozitivă a fundamentalei, uSf+; alternanţa negativă a fundamentalei, uSf-; alternanţa zero, uS0; şi componenta armonică, uSh, astfel încât:

Consider a three-phase four-wire system (Fig. 2). If the compensation objective is to make the

source current sinusoidal and balanced, one can calculate the compensation current as follows:

- Separate the voltage into four components: fundamental positive-sequence, uSf+; fundamental negative-sequence, uSf-; zero sequence, uS0; and harmonic component, uSh, i.e.:

. (17)

- Se alege TC=o jumătate sau o perioadă a fundamentalei şi în (4), (5) şi (6), adică:

- Choose TC=one-half or one fundamental cycle and in (4), (5) and (6), i.e.:

or , şi .(18)

- Se calculează din ecuaţia (5) curentul reactiv al sarcinii, iLq, şi se impune iC=iLq. Din (4), (5), (6), (17), şi (18), se demonstrează cu uşurinţă că puterea medie consumată de compensator va fi

nulă, PC=0, şi va satisface cerinţele ecuaţiei (3).

- Calculate the non-active load current, iLq, as (5) and let iC=iLq. From (4), (5), (6), (17), and (18), it is easy to show

that the compensator uses zero average power, PC=0, and satisfies the requirements in (3).

Rezultatele demonstrează cu claritate faptul că se obţine un curent de sursă echilibrat, curentul prin conductorul de nul şi puterea medie a compensatorului, Pc, devenind nule.

The results clearly show that the source current becomes sinusoidal, the source current becomes balanced as indicated by the zero source neutral current, and the average power of the compensator, Pc, equals zero.

4. ConcluziiPrezentul articol oferă câteva definiţii

pentru puterea şi curentul activ şi reactiv, definiţii date din punct de vedere al compensării componentelor reactive introduse în reţea de sarcinile neliniare. Definiţiile sunt consistente cu teoriile clasice elaborate până acum pentru circuitele monofazate. Mai mult, din definiţiile oferite se poate deduce şi teoria puterii reactive instantanee din circuitele polifazate. Definiţiile sunt flexibile, permiţând atingerea oricărui obiectiv de compensare prin alegerea adecvată a intervalului de mediere şi a tensiunii de referinţă.

4. ConclusionsIn this paper, definitions of active and non-active power and current have been given from the compensation standpoint. Their definitions are consistent with the traditional reactive and non-active concept for single phase circuits. In addition, the instantaneous reactive power theories can be deduced from the proposed definitions for poly-phased systems. The definitions also have such flexibility that any compensation objective can be achieved by choosing an appropriate averaging interval and reference voltage.

Puissance Réactive dans les Réseaux Electriques Triphases et la Compensation de cette PuissanceRésumé : Résumé: Un grand nombre de définitions ont été formulées pour la caractérisation, la détermination et le mesurage des courants et des puissances actives et réactives des signaux électriques non-sinussoides et non-periodiques dans les réseaux électriques. Cet article vient de présenter ce problème du point de vue de la compensation des courants réactifs du circuit. Bibliografie

[1] Alexa, D., Ionescu, F., Gâtlan, A., Lazăr, A.: „Convertoare de putere cu circuite rezonante”, Editura tehnică Bucureşti, 1998

[2] Alexa, D., Hrubaru, O.: „Aplicaţii ale convertoarelor statice de putere”, Editura tehnică Bucureşti, 1989[3] Akagi H., Kanazawa Y., Nabae A., "Instantaneous Reactive Power Compensators Comprising Switching Devices

without Energy Storage Components", IEEE Trans. Ind. Appl., vol.20, pp.625-630, May/June 1984.[4] Comşa Dan: „Utilizări ale energiei electrice”, Editura didactică şi pedagogică Bucureşti, 1973.[5] Fryze S., “Active, Reactive, and Apparent Power in Non-Sinusoidal Systems”, Przeglad Elektrot, no. 7, pp. 193-203,

1931. [6] Ferrero A. and Superti-Furga G., "A New Approach to the Definition of Power Components in Three-Phase Systems

Under Nonsinusoidal Conditions", IEEE Trans. Instrum. Meas., vol.40, no.3, June 1991.[7] Peng F. Z. and Lai J. S., “Generalized Instantaneous Reactive Power Theory for Three-Phase Power Systems”, IEEE

Trans. Instrum. Meas., vol.45, no.1, pp.293-297, February 1996. [8] Tolbert L. M. and Habetler T. G., “Survey of Active and Non-Active Power Definition”, IEEE International Power

Electronics Congress, Acapulco Mexico, 2000.[9] Willems Jacques L., "A New Interpretation of the Akagi-Nabae Power Components of Nonsinusoidal Three-Phase

Situations", IEEE Trans. Instrum. Meas., vol.41, no.4, August 1992.