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AAAAARTIGORTIGORTIGORTIGORTIGO T T T T TÉCNICOÉCNICOÉCNICOÉCNICOÉCNICO

PROPOSTA DE USO DA FÓRMULA UNIVERSAL DE PERDA DE

CARGA NA AVALIAÇÃO DE REDES COLETORAS DE ESGOTOS

PROPOSAL OF USAGE OF THE UNIVERSAL FORMULA OF HEAD LOSS ON

EVALUATION OF SEWERAGE COLLECTING SYSTEMS

CARLOS AUGUSTO DE CARVALHO MAGALHÃES

Engenheiro Civil – Universidade Federal do Ceará – UFC, Mestre em Hidráulica e Saneamento EESC - USP,Doutor em Hidráulica e Saneamento EESC - USP, Engenheiro do Departamento de Empreendimentos

do Médio Tietê – SABESP

LUISA FERNANDA RIBEIRO REIS

Engenheira Civil – Universidade de Campinas – UNICAMP, Mestre em Hidráulica e Saneamento EESC - USP,Doutora em Hidráulica e Saneamento EESC - USP, Professora Associada do Departamento de Hidráulica

e Saneamento da EESC-USP

Recebido: 09/12/03 Aceito: 25/03/04

RESUMO

O presente trabalho apresenta uma proposta de uso da fórmulaUniversal de perda de carga nos cálculos de redes coletoras deesgotos, baseada em resultados experimentais, diretamente apli-cáveis a canais de seção circular em regime de escoamento perma-nente e uniforme, cujo coeficiente de rugosidade contempla nãosomente o material usado no revestimento da tubulação, mastambém as características do escoamento (lâmina e velocidade),diâmetro do conduto e declividade da tubulação. Foram realiza-dos ensaios computacionais com o intuito de comparar os resul-tados assim obtidos com aqueles produzidos através do empregoda fórmula de Manning. A principal conclusão é que a fórmulade Manning deve ser vista com reservas, pois proporciona umalâmina menor do que a real, isto é, a capacidade de transporte devazão calculada é maior, em média 23%, comparada com a fór-mula Universal.

PALAVRAS-CHAVE: Canal de seção circular; redes de esgoto;fórmula universal; fórmula de Manning.

ABSTRACT

This study presents a proposal for use of the Universal formula of headloss in the calculation of sewerage collecting systems, based onexperimental results directly applicable to round section channels inpermanent and uniform flow, whose roughness coefficient considersnot only to the material used to line the pipe, but also the features ofthe flow (depth and velocity), diameter of the conduct and slope ofthe pipe. Computer simulations were performed in order to comparethe results thus obtained with the respective values produced throughthe use of the Manning formula. Such comparisons suggest thatManning formula produces flow rates in average 23% greater thanthose evaluated by the Universal formula.

KEYWORDS: Sewerage collecting systems; universal formula;Manning’s formula.

INTRODUÇÃO

O transporte de esgoto domésticono Brasil é realizado através de condutoslivres que compõem as chamadas redescoletoras de esgoto, geralmente de seçãocircular.

As redes coletoras de esgoto vem sen-do projetadas com base na Equação pro-posta por Robert Manning, em 1889,cujo coeficiente de rugosidade (n) é fun-ção somente do material usado no reves-timento da tubulação não considerandoas características do escoamento (lâmina evelocidade), diâmetro do conduto edeclividade de assentamento do mesmo.Na prática, tal hipótese não é verdadeira.

No entanto a formulação de Manningcontinua em uso, por falta de dados paracorrigi-la.

OBJETIVO

O presente trabalho tem como ob-jetivo apresentar a formulação hidráulicabaseada na equação Universal de Darcy-Weisbach para condutos livres. Os resul-tados obtidos são comparados com osdados experimentais apresentados pelaWater Pollution Control Federation(1972), que demonstra que o uso da equa-ção de Manning pode ocasionar um erromaior que 30% no cálculo de vazões evelocidades.

Ensaios computacionais foram rea-lizados permitindo avaliar numericamen-te as implicações do uso do coeficiente derugosidade (fp) nos cálculos da vazão emcondutos livres de seção circular, para finsde dimensionamento de redes coletorasde esgoto. Dentre as conclusões obtidas,destaca-se o fato de que a equação deManning superestima a capacidade detransporte de vazão quando comparadacom a fórmula Universal.

Propriedades geométricasdo canal de seção circular

Os canais de seção circular, confor-me esquema da Figura 1, possuem gran-

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TIG

OR

TIG

OR

TIG

OR

TIG

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TIG

O T T T T T

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NIC

OÉ

CN

ICO

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NIC

OÉ

CN

ICO

ÉC

NIC

O

sendo:V: velocidade média de escoamento (m/s);n: coeficiente de rugosidade do materialda tubulação (m-1/3 . s);S: declividade de fundo do canal (m/m).

E em termos de vazão:

Entretanto, a fórmula de Manningpressupõe que o coeficiente de rugosida-de, n, se mantenha invariável com o diâ-metro, a declividade e as característicasdo escoamento, tais como, lâmina e velo-cidade, dependendo somente do materi-al usado no revestimento do canal.

Em geral, adota-se o valor de n igual0,013 para tubos com esgotos sanitários(NBR 9649). Segundo a WPCF (1972),nas redes coletoras de esgotos há a forma-ção da película de limo nas paredes datubulação tornando a rugosidade unifor-me e constante ao longo do tempo. Por-tanto, a rugosidade em tubulações de esgo-to é a mesma e independente do materialda tubulação.

Embora na prática os valores de nsejam freqüentemente tomados como cons-tantes para qualquer valor de lâmina líqui-da, sabe-se cientificamente que esta hipó-tese não é verdadeira, sendo o procedimentotemerário do ponto de vista técnico.

Na figura 3 os pontos marcados porcírculos representam a média dos valoresdo coeficiente de Manning, n, para osexperimentos realizados por Yarnell &Woodward e Wilcox. Enquanto que ospontos marcados por triângulos e xis fo-ram estimados a partir de medidas reali-zadas por Johnson.

FÓRMULA UNIVERSALAPLICADA A CANAIS DESEÇÃO CIRCULAR

Magalhães & Reis1994), através deregressão linear múltipla, apresentaram aformulação proposta por Elimam et al.(1989). Tal formulação consistia em apro-ximar a fórmula Universal por uma ex-pressão explícita de D e Vf para um de-terminado valor de rugosidade absoluta(k). Esta expressão explícita é muito im-portante do ponto de vista do modelo dedimensionamento utilizado pelos auto-res, no sentido de poupar tempo deprocessamento computacional (Maga-lhães, 1995). Contudo, no caso dedimensionamento hidráulico de redescoletoras, o mais importante é a precisão.

No trabalho apresentado por Go-mes (1995) é realizada uma abordagemda fórmula Universal utilizando o con-ceito de raio hidráulico nas equações deColebrook-White e do Eng.º Ênio Tourasse,que é uma aproximação da anterior.

Darcy, Weisbach e outros deduzi-ram uma fórmula para determinar as per-das de carga por atrito em condutos, apartir de resultados efetuados em váriastubulações. Essa equação também conhe-cida como fórmula Universal, tem a se-guinte forma para condutos circulares:

sendo:f: fator de atrito (adim.);g: aceleração da gravidade (9,8 m/s²).

Para que a eq. (15) tenha aplica-ção em canais de seção circular, a mesma

θ=

−= −

a2)r21(cos

aq

1 (3)

A a Dp = 2 (4)

A Df =π4

2 (5)

(6)

P Df = π (7)

R q Dp = (8)

R Df =14 (9)

A

Aap

f

=4

π (10)

(11)

R

Rqp

f

= 4 (12)

2/13/2 SRn1

V ⋅⋅=

sendo:Q: vazão (m³/s).

Segundo a WPCF, no manual prá-tico nº 9 (1972), Wilcox e Yarnell &Woodward realizaram cerca de 824 expe-rimentos, e, demonstraram que o valor den para um conduto funcionando à seçãoparcialmente cheia é maior do que à seçãoplena. Como conseqüência, tanto a velo-cidade como a vazão adimensionalizada,considerando n variável com a lâmina,possuem valores menores do que quandon é constante, para uma determinada pro-fundidade de escoamento. Os valores ob-tido em tais experimentos estão represen-tados na Figura 3.

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sendo:r: relação da lâmina com o diâmetro(adim.);y: lâmina de escoamento (m);D: diâmetro interno do tubo (m);θ: ângulo central (radianos);a: coeficiente (adim.);q: coeficiente (adim.);A: área da seção transversal (m²);P: perímetro molhado (m);R: raio hidráulico (relação área comperímetro)(m);índice p: denota seção parcialmente cheia;índice f: denota seção plena (“full”).

A Figura 2 representa graficamenteas relações Ap/Af, Pp/Pf e Rp/Rf para umaseção circular qualquer.

FÓRMULA DE MANNING

A formulação hidráulica maiscomumente utilizada para descrever o es-

( )[ ]{ } ( )8sen

r22r2)r21()r21(cos25,0a 2/11 θ−θ=−⋅⋅−−−= −

, onde 0 < r ≤ 1

(1)2

)2/cos(1Dy

rθ−==

coamento permanente e uniforme emcanais é a equação de Manning, expressamatematicamente por:

2/13/83/2 SDqan1

Q ⋅⋅⋅⋅= (14)

dezas geométricas, definidas pelas expres-sões a seguir:

(2)

Pp = cos-1(1-2r).D

Magalhães, C. A. C. & Reis, L. F. R.

Figura 1 - Canal seção ciruclar

(15)Dg2V

fS2

⋅⋅⋅=

(13)

P

PC o s rp

f

=−− 1 1 2( )

π

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TIG

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O T T T T T

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CN

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NIC

OÉ

CN

ICO

ÉC

NIC

O

Figura 2 - Elementos geométricos Figura 3 � Elementos hidráulicos (Fonte: WPCF, 1972)

( ) 2/13

p

5

2/1p

2/12/52/1

p

senf32SDg

f

SDqag22Q

θ

θ−θ⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

=

(18)

Segundo Fernandes (1997), na In-glaterra emprega-se a fórmula Universalno dimensionamento de coletores de es-gotos, utilizando-se uma rugosidade ab-soluta (k) igual a 1,5 mm, independentedo material da tubulação. Este valor é omesmo adotado por Gomes (1995).

Com a finalidade de comparar a fór-mula Universal com os resultados experi-mentais da WPCF (1972), figura 3, foiconfeccionada a figura 4. Esta traduz asfórmulas Universal e de Manningadimensionalizadas:

( )V

V

R

Rqp

f manning

p

f

=

=

2 32 3

4

(22)

Q

Q

V

V

A

Aq

ap

f m a n n i n g

p

f

p

f

= =. ( ) .442 3

π

(23)

Comparando as figuras 3 e 4, con-clui-se que a fórmula Universal se ajustamuito bem aos resultados experimentaisda WPCF (1972), demonstrando que ocoeficiente de rugosidade não é somentefunção do material da tubulação, mastambém do diâmetro, da declividade dotrecho e das características do escoamen-to (velocidade e lâmina).

Para um mesmo Qp/Qf, a formulaçãode Manning fornece um r menor, quandocomparado com a fórmula Universal.

A equação de Manning com n cons-tante comparada com os resultados expe-rimentais da WPCF (1972), ou então, coma própria fórmula Universal, pode forne-cer um erro no cálculo das velocidades evazões adimensionalizadas maior que 30%,mostrando assim a importância do coefici-ente de rugosidade variável não somentecom o material usado no revestimento datubulação, mas também em função da lâ-mina, velocidade, diâmetro e declividade.

CÁLCULO DE (VP/V

F) E

(QP/Q

F) MÁXIMO

· Formulação de ManningDiferenciando as eqs.(22) e (23) comrelação à r, tem-se respectivamente:

r*≈ 0,8128 → (Vp/Vf)máx ≈ 1,1400r*≈ 0,9382 → (Qp/Qf)máx ≈ 1,0757

· Fórmula UniversalDiferenciando as eqs.(24) e (25) comrelação à r, tem-se respectivamente:

r*≈ 0,9433 → (Vp/Vf)máx ≈ 1,0425r*≈ 0,9747 → (Qp/Qf)máx ≈ 1,0301

(25)

(24)

2/1

f

p2/1

universalf

p

f

f)q4(

V

V−

⋅=

(26)

Aplicando a equação da Continui-dade, Q= V.A, obtém-se a eq.(18):

sendo:k: rugosidade absoluta do conduto (m);ν: viscosidade cinemática da água(10-6 m²/s, a 20ºC).

Das equações de Colebrook-Whitee de Darcy-Weisbach é possível obter aseguinte expressão (Porto 1999):

(21)

Rearranjando a eq.(16) em termos de V,tem-se:

p

2pp

Rg8

VfS

⋅⋅⋅

= (16)

(17)2/1

p

2/12/12/1

2/1p

2/12/1p

pf

SDqg22

f

SRg22V

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

2f

52

fQ8

SDgf

⋅⋅⋅π⋅=

pode ser escrita em função do raio hidrá-ulico (D = 4.Rp):

Mohan & Khanna (1979) levan-do em conta os dados experimentais daWPCF (1972), vide Figura 3, propuse-ram a seguinte equação:

2

f

p )1r(104,0)1r(546,0)rln(377,01f

f−⋅+−⋅−⋅−=

(19)Para o cálculo do fator de atrito à

seção plena (“full”), bastar aplicar a equa-ção de Darcy-Weisbach na condição deseção plena:

(20)

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π⋅

⋅=

−a4

f

f)q4(

Q

Q2/1

f

p2/1

universalf

p

( )f

p6/1

f

p

6/1

f

p

f

p

f

fq4

f

f

R

R

n

n⋅⋅=⋅

=

⋅⋅⋅ν⋅+

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅π−=

SDgD

78,1D7,3

klog

2

SDgDQ

2

f

Aplicação da fórmula universal em redes coletoras de esgotos

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Figura 4 - elementos hidráulicos

sendo:γ: peso específico da água (104 N/m3);σtmin: tensão de arraste mínima (Pa). ANBR 9649 sugere o valor de 1,0 Pa.

Porém, o cálculo da declividade mí-nima, usualmente, é função da vazão ini-cial de projeto (Qi). Sendo assim, combi-nando a eq.(27) com a equação deManning, eq.(14), tem-se:

Aplicando os critérios da NBR 9649,isto é, στmin = 1,0Pa, n = 0,013 e r = 0,20na eq.(28), obtém-se a eq.(29):

Combinando a eq.(27) com a fór-mula Universal, eq.(18), tem-se a eq.(30):

Aplicando também os critérios daNBR 9649, e para k = 1,5 mm, obtém-se a eq.(31):

Pode-se notar que os picos de velocida-de e vazão da formulação de Manning estãodefasados e com uma amplitude maior queaqueles resultantes da fórmula Universal.

DECLIVIDADE MÍNIMA

Por razões construtivas, normalmen-te, adota-se como declividade mínima ovalor de 0,005 m/m (SABESP, 2002).Contudo, a NBR 9649/1986 sugere quea declividade mínima (Smin) seja embasadanos critérios de tensão cisalhante mínima(stmin). A declividade mínima em função datensão de arraste pode ser calculada pelaseguinte expressão:

1mintmin )D.q(

1S −⋅σ⋅

γ=

A eq.(31) foi obtida considerando atubulação hidraulicamente rugosa, e comos diâmetros variando de 150 mm a1.000 mm. Comparando a eq.(29) com aeq.(31), os resultados são praticamente osmesmos, apresentando uma diferença naquarta casa decimal. Isto pode ser verifica-do na Figura 5.

COMPARAÇÃO ENTREAS FORMULAÇÕESMATEMÁTICAS

Com a finalidade de verificar aadequabilidade da fórmula prática deManning, no qual o coeficiente derugosidade além de não ser adimensional,independe do número de Reynolds, pode-se dividir a eq.(14) pela eq.(18). Assim:

Para o cálculo de fp, basta aplicar aeq.(19). Entretanto, é preciso conhecerff. Para efeito comparativo, após uma aná-lise variando os diâmetros de 150 mm a1.000 mm, para uma declividade maiorou igual a 0,005 m/m, os autores do pre-sente trabalho verificaram que na condi-ção de seção plena (“full”), o escoamentocomporta-se como turbulento hidrauli-camente rugoso. Logo, pode-se aplicar aequação de Colebrook-White para tu-bos rugosos:

A análise de sensibilidade realizadaadmitiu lâminas (r) de 0,10 a 0,75, osdiâmetros de 150 mm a 1.000 mm, parauma rugosidade absoluta (k) de 1,5 mm(Fernandes, 1997) e um coeficiente deManning de 0,013 (NBR 9649). Destaanálise resultou a Figura 6.

Nesta figura observa-se que a dife-rença, em termos de vazão, entre a equa-ção de Manning e a fórmula Universal,varia de 13% a 31%, com um valor mé-dio de 23%.

É possível também verificar que essadiferença se acentua a medida que o diâ-metro aumenta, e tem um ponto de má-ximo quando r é igual a 0,26.

CONCLUSÃO

Para transportar uma vazão desejada,o cálculo efetuado pela equação deManning proporcionará uma lâmina infe-rior do que à real. Isto quer dizer que emdeterminadas situações, a formulação deManning não atenderá a NBR 9649, comrelação à lâmina máxima de escoamento.

A equação de Manning, a despeitode sua popularidade entre projetistas,deve ser vista com reservas. Nos cálculosde redes coletoras de esgotos, cuja impor-tância impõe a avaliação da lâmina de for-ma tão rigorosa quanto possível, perantea incerteza do tipo de escoamento turbu-lento, que geralmente é hidraulicamentemisto ou de transição, deve-se utilizar afórmula Universal.

Do ponto de vista prático, é viável odimensionamento de coletores de esgotoempregando a fórmula Universal, atra-vés de uma planilha eletrônica.

REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMASTÉCNICAS. (1986). NBR 9649 - Projeto deRedes Coletoras de Esgoto Sanitário: procedimen-to. Rio de Janeiro.

2f

D7,3k

log

25,0f

⋅

=

ng22

)Dq(f

Q

Q 6/12/1p

Universal

Manning

⋅⋅

⋅⋅=

(32)

2/1i

2/1

2/522/1p

2/5mint

min Qqf

ag22S −⋅

γ⋅⋅σ⋅⋅⋅

=

(30)

s/l em Q ;Q005307,0S i2/1

imin−⋅=

(31)

(33)

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OR

TIG

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OR

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TIG

O T T T T T

ÉC

NIC

OÉ

CN

ICO

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O

(27)

(28)

s/l em Q ;Q005507,0S i13/6

imin−⋅=

(29)

Magalhães, C. A. C. & Reis, L. F. R.

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13/6i

13/6

23/8

3/8mint

min Qqn

aS −⋅

⋅⋅γ

σ⋅=

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Figura 5 � declividade mínima

ELIMAM, A.A., CHARALAMBOUS, C. &GHOBRIAL, F.H. “Optimum Design of LargeSewer Networks.”, Journal EnvironmentalEngineering, ASCE, Volume 115, Number 6,pages 1171-1190. 1989.

FERNANDES, C. Esgotos Sanitários. João Pes-soa, 1ª edição, Editora Universitária - UFPB,1997.

GOMES, C.S. “Dimensionamento Hidráulicode Coletores de Esgoto Usando as Fórmulas deManning ou de Colebrook.”, Revista SANARE,SANEPAR, Volume 4, Número 3, p. 43-50.1995.

MAGALHÃES, C.A.C; REIS, L.F.R. Cálculosde vazão e velocidade em canais de seção circularavaliando as implicações do coeficiente derugosidade variável. In: SIMPÓSIO DE RE-CURSOS HÍDRICOS DO NORDESTE, II,Fortaleza - CE, Anais. Fortaleza, AssociaçãoBrasileira de Recursos Hídricos, 1994. p.332-342. 1994.

MAGALHÃES, C.A.C. Dimensionamento dosSistemas de Esgotos Sanitários de Grande Portevia Redução de Custos. São Carlos, 195p. Dis-sertação (Mestrado) - Escola de Engenharia deSão Carlos, Universidade de São Paulo. 1995.

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NIC

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ICO

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NIC

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ICO

ÉC

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O

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MOHAN, D.M. & KHANNA, P. “ModifiedFormula Gives Better Sewer Design.”, Water andSewage Works, Reference Number, pages 20-22 and 24. 1979.

PORTO, R.M. Hidráulica Básica. São Carlos,2ª edição, Editora EESC - USP, 1999.

SABESP Caderno de Normas Técnicas para Pro-jetos dos Sistemas de Água e Esgotos em Empreendi-mentos Predominantemente Residenciais na áreado Interior do Estado de São Paulo. São Paulo,39p., 2002.

WPCF (1972), Design and Construction ofSanitary and Storm Sewers: Manual of Practicenº 9, 2ª edition, Water Pollution ControlFederation, Washington, D.C.

Figura 6 � Comparação entre as formulações matemáticas

Endereço para correspondência:

Carlos Augusto de CarvalhoMagalhãesRua Dr. Costa Leite, 200018606-820Botucatu - SPTel.: (14) 3811-8241Fax: (14) 3811-8242E-mail:carlosmagalhaes@sabesp.com.br

Aplicação da fórmula universal em redes coletoras de esgotos