Prologo´ - Universidade de Coimbrabebiano/C-Complexa.pdf · sos dias. O celebre´ matematico´...

Prologo

A teoria da funcao de variavel complexa teve um desenvolvimento extraor-dinario no seculo XIX com Cauchy (1789–1857) e, posteriormente, com Dirichlet(1805–1859), Weierstrass (1815–1897) e Riemann (1826–1866). Wessel (1745––1818), Argand (1768–1822), que sugeriu o uso dos pontos do plano para repre-sentar os complexos, Gauss (1777–1855), Hamilton (1805–1865), entre outros,ajudaram a clarificar o significado destes entes, que tiveram uma das mais longasgestacoes da historia da Matematica. No inıcio do Capıtulo 1, lembramos algunsdos acontecimentos relevantes que estiveram na genese do conceito.

Os numeros complexos estao entre as mais belas, perenes e fecundas ideiasde todo o pensamento matematico. Pura criacao do espırito, os imaginarios im-pregnam a estrutura profunda da realidade. Sao indispensaveis para a descricaomatematica do universo, tanto a nıvel cosmico como a nıvel subatomico. A funcaode onda que descreve a realidade subatomica, funcao das coordenadas das partıculasconstitutivas do corpo e do tempo, e uma funcao complexa. Recentemente, fo-ram utilizadas em optica quantica funcoes complexas. A Analise Complexa teminumeras aplicacoes, nomeadamente em Dinamica dos Fluidos, na Teoria da Con-ducao do Calor, na Fısica Quantica e em diferentes areas da Matematica, comoTopologia Algebrica ou Teoria dos Numeros. A sua importancia nos curricula deMatematica, Fısica e Engenharia e indiscutıvel, podendo considerar-se como umaporta principal de entrada do edifıcio matematico.

Na sequencia dos cursos propedeuticos de Calculo Infinitesimal (real), aAnalise Complexa proporciona uma oportunidade ideal para aprofundamento deprincıpios basicos do estudo das funcoes (continuidade, diferenciabilidade, integra-bilidade, representacao em serie), e introducao de novas modalidades de raciocıniogeometrico, algebrico e topologico.

i

ii PROLOGO

Enquanto que a algebra dos complexos teve um longo e acidentado trajectomarcado por disputas filosoficas em redor do conceito de numero complexo, ocalculo nasceu e afirmou-se em escassas decadas. A teoria dos limites, a diferen-ciacao, as sucessoes e series complexas estendem-se com extrema simplicidade apartir da Analise Real. Ja o calculo integral apresenta notaveis especificidades. Nocampo complexo, tanto a diferenciacao como a integracao adquirem nova profundi-dade e significado, tornando-se, todavia, o domınio de aplicabilidade mais restritoque nos reais, ja que apenas as funcoes analıticas ou holomorfas sao ”verdadeirasfuncoes”, entenda-se funcoes integraveis e diferenciaveis.

Este livro reune conteudos tradicionalmente cobertos num curso introdutorioda teoria das funcoes de uma variavel complexa. Apenas pressupoe que o leitorpossua conhecimentos de Analise Real, dispensando qualquer familiaridade com avariavel complexa.

E possıvel desenvolver a teoria das funcoes holomorfas usando diferentesperspectivas, nomeadamente, segundo a matriz de Cauchy, Weierstrass ouRiemann. Construir a teoria a partir das series de potencias a Weierstrass, definindouma funcao holomorfa num subconjunto aberto do plano, como sendo aquela queem cada ponto desse aberto tem um desenvolvimento em serie de potencias, e umavia de grande homogeneidade metodica, usada na definicao de analiticidade de umafuncao com varias variaveis complexas. Contudo, essa homogeneidade metodicaobriga a tecnicismos e abstraccao que dispersam do objectivo de atingir de modoexpedito o amago das potencialidades da doutrina. Adoptamos a abordagem aCauchy, definindo uma funcao holomorfa num subconjunto aberto como sendoaquela que tem derivada em cada um dos seus pontos.

A maturidade matematica conquista-se com a pratica da arte da demonstracao.O famoso Teorema de Cauchy e a sua demonstracao, tecnicamente ardua, situam--se no cerne da teoria. Na formacao matematica, a analise das provas tem um valoressencial, revelando o alcance e a limitacao dos metodos e propiciando o ensaio dediferentes tecnicas. Tendo como objectivo prioritario atingir prontamente o nucleoda teoria, apresentamos versoes locais do Teorema, informando desde logo o leitorsobre as generalizacoes, que culminam no Capıtulo 9. Assim se acautela o riscode os aspectos essenciais serem dominados por complicacoes de natureza tecnicainerentes a busca de generalidade.

A demonstracao original do Teorema de Cauchy (versao fraca) impoe a con-dicao adicional de continuidade da derivada da funcao integranda sobre e no interiorde uma curva simples fechada. Depois da demonstracao desta versao usando o Teo-

PROLOGO iii

rema de Green, apresentamos a versao do Teorema de Cauchy para triangulos, comdemonstracao pelo metodo da bisseccao de Goursat, seguida da versao para regioesconvexas. Estas versoes (locais) sao suficientes para o desenvolvimento dos variostopicos da Teoria das Funcoes Holomorfas subsequentemente focados. So poste-riormente expomos a versao (homologica) do Teorema de Cauchy para sistemas decurvas (cuja soma dos ındices em relacao a pontos fora da regiao de analiticidadee zero). Apresentamos a famosa demonstracao de Dixon (1971), que motivou umarenovacao nos manuais tradicionais de Analise Complexa, utiliza o conceito deındice e baseia-se numa ideia de Artin remontante aos anos quarenta do seculo XX.Outras demonstracoes deste importante Teorema frequentes na literatura recorremao conceito de homotopia. Julgamos que estas tem o seu lugar proprio em trata-mentos da Analise Complexa mais proximos da Topologia Algebrica, com desen-volvimento dos conceitos de prolongamento analıtico, de superfıcie de Riemann,etc. E claro que cursos mais motivados pelos aspectos topologicos tratarao esteponto de modo substancialmente diferente.

Na escrita deste texto, tivemos como objectivo primordial fornecer ao leitoros princıpios fundamentais da Analise Complexa, mostrando a sua beleza e alcancecom ilustracoes, exemplos, aplicacoes e exercıcios. Introduzimos os diferentes te-mas num estilo simples e informal, sem jamais descurar o rigor. Todos os capıtulosterminam com um Laboratorio de Mathematica que tira partido da visualizacao dosaspectos geometricos dos complexos, facultando ao leitor momentos de interacti-vidade cruciais para o seu domınio. Os Laboratorios e sugestoes de resolucao dosexercıcios encontram-se na pagina:

http://www.mat.uc.pt/~bebiano/:

Observamos que os termos ”funcao” e ”transformacao” sao utilizados indiferen-temente ao longo do texto, nao se estabelecendo entre eles uma nıtida distincao.Contudo, realcamos que geralmente usamos ”transformacao” quando ha implıcitauma ideia de movimento.

A Matematica e uma das mais notaveis criacoes da inteligencia humana. Euma busca interminavel que se estende desde os alvores do tempo ate aos nos-sos dias. O celebre matematico Wiles - que resolveu um misterio matematico deseculos, o ultimo Teorema de Fermat - diz que atacar um problema e ”como en-trar numa mansao as escuras. Entramos numa sala e tropecamos durante mesesna mobılia. Lentamente, ficamos a saber onde estao todas as pecas do mobiliarioe procuramos o interruptor da luz. Acendemos a luz e a sala fica toda iluminada.Entao passamos a sala seguinte e repetimos o processo”. Esperamos que este li-vro constitua um guia valido no caminho da aprendizagem, certos de que, mesmo

iv PROLOGO

tropecando muitas vezes ”na mobılia”, com perseveranca encontrara o ”interruptorda luz”.

Coimbra, Outubro de 2006

Indice

Prologo i

1 Numeros Complexos 11.1 As origens dos numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 As origens da Analise Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 O corpo dos numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Representacao algebrica dos complexos . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Raızes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Representacao geometrica dos complexos . . . . . . . . . . . . . 191.8 Operacoes vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 O espaco metrico dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10 O infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.11 Exercıcios propostos (1.1–1.32) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.12 Laboratorio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Funcoes Complexas 592.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5 Caminhos em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6 Conjuntos conexos por arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7 Exercıcios propostos (2.1–2.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.8 Laboratorio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

v

vi INDICE

3 Diferenciacao no Campo Complexo 973.1 A derivada complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2 Condicoes de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.3 Funcoes analıticas ou holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4 Derivadas de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5 Funcoes harmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.6 Exercıcios propostos (3.1–3.16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7 Laboratorio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4 Sucessoes e Series Complexas 1234.1 Sucessoes de numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2 Series de numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3 Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5 A funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.6 O conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.7 O conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.8 Exercıcios propostos (4.1–4.18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.9 Laboratorio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5 Funcoes Elementares 1655.1 Novos desenvolvimentos sobre a funcao exponencial . . . . . . . 1655.2 As funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.3 As funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.4 A funcao logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.5 Funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.6 Potencias de expoente complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.7 A funcao n-esima raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.8 Geometria das funcoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.9 Exercıcios propostos (5.1–5.19) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.10 Laboratorio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6 Transformacoes Conformes 1976.1 Transformacoes de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2 A propriedade de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.3 Razao cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.4 Relacao com a teoria da relatividade de Einstein . . . . . . . . . . 2046.5 Inversao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.6 Teorema de Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.7 Conformidade e holomorfia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

INDICE vii

6.8 Teoria do potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.9 Exercıcios propostos (6.1–6.21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.10 Laboratorio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7 Integracao no Campo Complexo 2477.1 Integral de uma funcao complexa de variavel real . . . . . . . . . 2477.2 Integral de caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.3 Primitiva de uma funcao complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.4 O Teorema de Cauchy para triangulos . . . . . . . . . . . . . . . 2657.5 Versao do Teorema de Cauchy para convexos . . . . . . . . . . . 2717.6 Formula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.7 Exercıcios propostos (7.1–7.19) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.8 Laboratorio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8 Series de Taylor 2878.1 Permutabilidade entre operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2878.2 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938.3 Formula Integral de Cauchy para derivadas . . . . . . . . . . . . 2968.4 Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2988.5 Teorema da Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3018.6 Os zeros das funcoes analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3038.7 Princıpio do Modulo Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.8 Exercıcios propostos (8.1–8.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.9 Laboratorio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

9 Teorema de Cauchy: Versao Homologica 3179.1 Prolongamento analıtico: um preliminar . . . . . . . . . . . . . . 3179.2 Teorema de Cauchy: demonstracao de Dixon . . . . . . . . . . . 3189.3 Teorema de Cauchy para simplesmente conexos . . . . . . . . . . 3259.4 A superfıcie de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3279.5 Laboratorio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

10 Series de Laurent 33310.1 Singularidades isoladas: definicao e exemplos . . . . . . . . . . . 33310.2 Teorema de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33510.3 Caracterizacao das singularidades isoladas . . . . . . . . . . . . . 34010.4 Exercıcios propostos (10.1–10.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34410.5 Laboratorio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

viii INDICE

11 Resıduos 35111.1 Teorema dos Resıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35111.2 Aplicacoes ao calculo do integral real . . . . . . . . . . . . . . . 35311.3 O Princıpio do Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36011.4 Teorema de Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36211.5 Exercıcios propostos (11.1–11.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36411.6 Laboratorio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

12 Aplicacoes 37512.1 A transformada-´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37512.2 O problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37912.3 A transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38112.4 Exercıcios propostos (12.1–12.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39012.5 Laboratorio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Bibliografia 403

Indice de Resultados 407

Indice Alfabetico 411

Deus criou os inteiros. O resto e obra do Homem.

Leopold Kronecker

Capítulo 1Numeros Complexos

1.1 As origens dos numeros complexos

Se, como afirmou Leopold Kronecker (1823–1891), Deus fez os inteiros e oresto e obra do Homem, entao, como Ian Stewart defende [29], os complexos saoum dos mais intrigantes artefactos matematicos criados pela mente humana. Comose explica que, depois de terem vindo a luz em 1545 na Ars Magna de Cardano, per-manecessem em letargia durante geracoes, deles tendo passado em boa medida aolado genios como Fermat (1601–1665), Leibniz (1646–1716) ou Newton (1642––1727)? Olhados com suspeicao, confusao e ate hostilidade, houve que esperarpelo seculo dezanove para que estes entes matematicos tivessem fundamentacaorigorosa e alcancassem reconhecido impacto em toda a Matematica.

Dois mil anos antes de Cristo ja era conhecida dos babilonios a resolucao deequacoes quadraticas

x2 D axC b :

Em notacao moderna, a formula resolvente destas equacoes e

x Da˙

pa2 C 4b

2:

A resolucao da equacao quadratica pode ser efectuada geometricamente, procu-rando a interseccao da parabola y D x2 com a recta y D ax C b: Na figura 1, nocaso da recta L1, existem duas solucoes: as abcissas dos pontos de interseccao darecta com a parabola. No caso da recta L2, nao ha solucao e esse facto e correcta-mente manifesto pela ocorrencia de numeros ”impossıveis” na formula resolvente.

1

2 CAPITULO 1: Numeros Complexos

L1

L2

Figura 1: A recta L1 intersecta a parabola y D x2 em dois pontos. Contudo, a rectaL2 nao a intersecta em ponto algum.

Gerolamo Cardano (1501–1576), na sua celebre obra Ars Magna publicadaem 1545, considerou equacoes quadraticas como, por exemplo,

x2 C 2xC 2 D 0 ;

que nao sao satisfeitas por qualquer numero real x: Mas e plausıvel que nao tenhamsido as quadraticas, mas sim as cubicas, que forcaram o algebrista italiano a encararseriamente os complexos. Com efeito, se pensasse numa solucao destas equacoespor via geometrica, ao bom estilo da tradicao dos gregos e pratica ainda vigente noseculo dezasseis, parecer-lhe-ia ”natural” negligenciar equacoes quadraticas ”im-possıveis”.

Cardano resolveu o sistema de equacoes

xC y D 10 I

xy D 40 ;

tendo obtido a solucao que, em notacao moderna, se escreve

x D 5Cp

�15 ^ y D 5�p

�15 :

O matematico italiano nao apresentou qualquer interpretacao para o que seria a raizquadrada de um numero negativo, mas observou pragmaticamente que, obedecendoaquelas quantidades as regras usuais do calculo, entao satisfariam as equacoes do

1.1 As origens dos numeros complexos 3

sistema. Na mesma obra, notou que a formula que Tartaglia (c. 1500–1557) lheconfiara, mediante juramento de sigilo, para resolucao de equacoes cubicas do tipo

x3 D 15xC 4 ;

conduz a expressao

x D3

q2C

p�121C

3

q2�

p�121:

Assinalavelmente, a formula de Tartaglia era escrita em verso. Ora, a equacao tema solucao obvia x D 4:

Raphael Bombelli (cerca de 1526–1573) na sua L’Algebra de 1572 sugeriuque uma forma de conciliar estes factos seria lidar com as ”raızes impossıveis”(entenda-se: as raızes quadradas dos numeros negativos), como se fossem numerosordinarios. Com efeito, supondo que .

p�1/2 D �1, tem-se

.2˙p

�1/3 D 2˙ 11p

�1 D 2˙p

�121

e a expressao de Cardano vem

x D 3

r�2C

p�1�3

C 3

r�2�

p�1�3

D 4 :

Cardano, apoiando-se nos contributos de Tartaglia, Lodovico Ferrari (1522–1565)e Scipione del Ferro (c. 1465–1526), apresentou na Ars Magna a notavel formularesolvente para a cubica

x3 D 3pxC 2q

e tambem para a quartica.

Estes problemas tiveram origem na Antiguidade em questoes relacionadascom astronomia ou entao com motivacao religiosa. Por exemplo, na Grecia An-tiga e na India era tradicao construir altares de rituais obedecendo a determinadasregras algebricas e geometricas. Recorde-se o famoso problema Deliano relativoa duplicacao do altar cubico do Oraculo de Delos, a fim de aplacar a furia dosdeuses e, assim, debelar a peste que grassava em Atenas1. Na Idade Media, ascubicas surgiram em problemas sobre pagamentos monetarios, por exemplo, naobra Aliabraa Argibra de Dardi de Pisa publicada cerca de 1344 e no Trattato

1Grande parte da populacao de Atenas pereceu aquando desta epidemia. Pericles foi uma dasvıtimas. O filosofo Platao refere que o sentido da pronuncia do Oraculo era chamar a atencao para aintoleravel ignorancia dos gregos em Geometria.


Figura 2: Recta da forma y D 3pxC 2q, que intersecta a parabola cubica y D x3

num ponto.

d’Abaco do pintor Piero della Francesca. No seculo dezasseis, estas equacoes fo-ram objecto de competicoes entre matematicos, envolvendo a atribuicao de premiospecuniarios e ate de postos academicos aos vencedores.

Geometricamente, o problema da resolucao da cubica reduz-se a determina-cao da interseccao da curva y D x3 (parabola cubica) com a recta y D 3px C 2q

(cfr. figura 2). A referida formula resolvente e

x D 3

rqC

qq2 � p3 C 3

rq �

qq2 � p3 :

Curiosamente, Cardano introduziu os complexos e logo se lhes referiu comosendo ”tao subtis como inuteis”, depois de sofrer ”torturas mentais” ao tentar com-prende-los. Bombelli, que com eles operou os primeiros calculos significativos,de seguida considerou-os como ”materia que repousa em sofisma mais do que emverdade”. O matematico e engenheiro holandes Simon Stevin (1548–1620), quetornou popular na Europa do seculo dezasseis a notacao decimal e varios sımbolosalgebricos, nao usou numeros complexos por considerar que estes nao ajudavam adeterminar solucoes reais.

Rene Descartes (1596–1650), no famoso apendice A Geometria ao Discursodo Metodo publicado em 1637, distinguiu entre numeros ”reais” e ”imaginarios”,interpretando o surgimento de imaginarios como sinal de nao existencia de solucao


para o problema em questao. Newton, mais tarde, partilhou da mesma opiniao.

Em 1702, Leibniz entregou-se a especulacoes filosoficas bizarras sobre a na-tureza dos numeros complexos, descrevendo i; a raiz quadrada de �1; como ”umanfıbio entre a existencia e a nao-existencia, no que se assemelhava ao EspıritoSanto”!

Se aflorados, os complexos eram mencionados como ”impossıveis” ou ”ima-ginarios”, prevalecendo o segundo termo ainda em uso na actualidade. Mesmoem 1770, a situacao destes seres era ainda tao obscura que o notavel matematicoLeonhard Euler (1707–1783) cometeu o erro de escrever

p�2

p�3D

p6.

Neste mesmo ano, Jean Bernoulli (1667–1748), ao calcular integrais da formaZ

1

ax2 C bxC cdx ;

usando fraccoes parciais, e adoptando a filosofia de que os numeros complexospodiam ser manipulados tal como os reais, escreveu (em notacao moderna) o inte-grando na forma

1

ax2 C bxC cD

A

x � ˛C

B

x � ˇ;

designando ˛ e ˇ as raızes do denominador quadratico. Encontrou para valor dointegral

A log.x � ˛/CB log.x � ˇ/

e utilizou o mesmo metodo no caso da equacao quadratica ter raızes complexas.

Mas o que eram, afinal, os logaritmos de numeros complexos?

Bernoulli e Leibniz utilizaram o mesmo metodo para atacar o problema.Porem, cerca de 1712, entraram em controversia. Leibniz defendia que o loga-ritmo de um numero negativo era um numero complexo, enquanto que Bernoulliinsistia que era um numero real.

O argumento de Bernoulli era o seguinte: uma vez que

d.�x/�x

Ddx

x;

por integracao obtinha-se log.�x/ D log.x/: Leibniz entendia que a integracao soera valida para x positivo.


Em 1749, Euler decidiu a controversia a favor de Leibniz, observando que aintegracao requeria uma constante arbitraria

log.�x/ D log.x/C c :

Euler deduziu importantes relacoes envolvendo complexos, com realce para a formu-la descoberta em 1748 e que tem o seu nome (apesar de Roger Cotes, em 1714, terencontrado uma formula equivalente):

ei� D cos� C i sin� :

A Formula de Euler e uma das mais famosas identidades da Matematica. Foi esta-belecida na sua obra Introductio, publicada em Lousana. Esta formula veio revelara existencia de uma relacao profunda entre os numeros complexos e as funcoestrigonometricas. Em particular, fazendo � D � , obtemos a admiravel formula quecongrega os mais importantes numeros da analise (0, 1, e, � , i ):

ei� C 1 D 0 :

Estendendo a teoria dos logaritmos para o campo complexo e definindo

log ´ D w , ew D ´ ;

chegamos a resultados interessantes. Meras manipulacoes formais conduzem a

elog Ćm�i D elog ´.e�i /m D ´.�1/m :

Para um inteiro par m D 2n; vem

elog Ć2n�i D ´

e, assim, log Ć 2n�i e tambem log ´; pelo que o logaritmo complexo e umafuncao multıvoca.

Para um inteiro ımpar m D 2nC 1; vem

elog Ć.2nC1/�i D �´

elog.�´/ D log Ć .2nC 1/�i :

Aqui esta a resolucao da controversia de Leibniz-Bernoulli: sendo x real positivo,log.�x/ e complexo!


A teoria dos numeros complexos foi-se, assim, desenvolvendo e revelandofacetas fascinantes, surgindo em diversas aplicacoes de modo informal. Porem,continuava a faltar uma explicacao precisa sobre o que eram de facto aqueles ”en-tes” misteriosos, que intrigavam matematicos e filosofos.

Em 1797, o dinamarques Gaspar Wessel (1745–1818) publicou um artigona sua lıngua em que representava um numero complexo por um ponto do plano.O facto permaneceu quase totalmente desconhecido, ate que foi publicada umatraducao em frances do artigo cem anos passados. Entretanto, a ideia da representa-cao geometrica dos complexos foi tributada a Jean Robert Argand (1768–1822)que, independentemente, a divulgou em 1806, tornando-se comum a designacao deplano de Argand para o plano complexo.

Karl Friedrich Gauss (1777–1855) e um dos pioneiros da teoria dos numeroscomplexos. Em 1811, numa carta a Bessel (1784–1846), visualizou os complexoscomo pontos do plano, tendo publicado em 1831 sobre esta materia. Ocupou-setambem de um problema candente desde comecos do seculo dezoito e que divi-dia os matematicos. Muitos acreditavam que, do mesmo modo que a solucao deequacoes quadraticas com coeficientes reais conduzia a novos numeros – os com-plexos, tambem as solucoes de equacoes com coeficientes complexos levariam anovos tipos de numeros. Jean D’Alembert (1717–1783) conjecturava que a res-posta era negativa e que os complexos eram suficientes. Esta conjectura foi con-firmada por Gauss com a sua descoberta do ”Teorema Fundamental da Algebra”,que estabelece a existencia de uma raiz complexa para toda a equacao polinomialde coeficientes complexos.

Em 1837, Hamilton (1805–1865) publicou a definicao de numeros comple-xos como pares ordenados de numeros reais sujeitos a certas regras operatorias, co-locando estes numeros numa base algebrica rigorosa. Expressoes como ”numeroscomplexos”, ”vectores”, ”pontos do plano real” sao designacoes diferentes para osmesmos objectos: pares ordenados de numeros reais. Fora finalmente passada cer-tidao de verdadeira cidadania matematica aos complexos. As batalhas filosoficasna genese destes numeros pertenciam a Historia. Hamilton tentou afincadamentea descoberta de um sistema de numeros mais alargado, contendo os complexos.Para tal, despendeu grande parte do seu tempo e energia em busca de um analogopara os numeros complexos, mas construıdo com ternos de numeros reais, em vezde pares. Ao cabo de varias tentativas mal sucedidas, Hamilton concluiu que naodeveria usar apenas tres coordenadas, mas quatro. Assim, divisou um novo sistemade numeros a que chamou quaternioes (cfr. exercıcio 1.6).


Os quaternioes de Hamilton tem aplicacoes no calculo de rotacoes no espacoe no controlo de naves espaciais. Este movimento, do campo das aplicacoes (nasorigens dos complexos) para a matematica abstracta, e desta para novas aplicacoese, afinal, caracterıstico do desenvolvimento da Matematica.

Contudo, o processo de generalizacao nao acaba aqui. Os quaternioes gene-ralizam-se nos octonioes e a marcha interminavel prossegue...

1.2 As origens da Analise Complexa

Contrariamente a longa gestacao do conceito de numero complexo, a AnaliseComplexa teve um desenvolvimento extraordinario num curto lapso temporal.

Gauss, na ja mencionada carta a Bessel, revelou conhecer um teorema fun-damental da integracao complexa na base de todo o edifıcio da analise, e que veioa ser consagrado como Teorema de Cauchy. Gauss escreveu:

”Afirmo agora que o integralRf .x/dx tem um unico valor mesmo que to-

mados diferentes caminhos se f ... nao se tornar infinita no espaco compreendidoentre os dois caminhos. Isto e um teorema maravilhoso cuja prova ... darei numaocasiao conveniente.”

A ocasiao nao surgiu e a demonstracao veio pela mao do matematico francesAugustin Louis Cauchy (1789–1857) em 1825. E a este matematico que se devemas ideias basilares no germen da Analise Complexa.

Na Analise Complexa estudam-se os temas usuais da Analise: limites, con-tinuidade, diferenciabilidade, integracao, ... A diferenciabilidade de uma funcaocomplexa requer que as suas partes real e imaginaria satisfacam certas equacoes:as chamadas Condicoes de Cauchy-Riemann.

Os integrais de caminho de funcoes diferenciaveis gozam da importante pro-priedade que Gauss observou e a que ja aludimos. Cauchy mostrou como calcularo integral de caminho em torno de pontos onde a funcao integranda se torna infi-nita, criando a ”teoria dos resıduos”. Concretamente, o integral depende apenas deuma constante, ”o resıduo” da funcao naqueles pontos excepcionais, e do numerode voltas que o caminho da em torno do ponto. Curiosamente, o caminho em si etotalmente irrelevante!

1.3 O corpo dos numeros complexos 9

As series de potencias vieram a revelar-se cruciais para o desenvolvimentoda teoria dos resıduos. Laurent (1813–1854) introduziu as series com seu nomeem 1843, envolvendo potencias de expoente nao so positivo como negativo. Pro-vou que, na vizinhanca de um ”ponto excepcional” ´0 (singularidade), uma funcaodiferenciavel se expressa como soma de duas series

f .´/ D Œa0 C a1.´� ´0/C a2.´� ´0/2 C a3.´� ´0/

3 C � � � � C

C Œb1.´� ´0/�1 C b2.´� ´0/

�2 C b3.´� ´0/�3 C � � � � :

Ora, o resıduo da funcao em ´0 e igual ao coeficiente b1:

Karl Weierstrass (1815–1897) desenvolveu a teoria das funcoes complexasem bases rigorosas, assentando toda a sua construcao nas series de potencias. Ber-nhard Riemann (1826–1866) deu importantes contributos, acrescentando a pers-pectiva geometrica ausente na abordagem de Weierstrass, sendo-lhe devido o im-portante conceito de superfıcie de Riemann.

Desde o seu nascimento no seculo dezanove, a Analise Complexa conheceuassinalavel desenvolvimento, sendo inimaginavel a ciencia actual sem esta area daMatematica.

1.3 O corpo dos numeros complexos

Uma operacao binaria num conjunto nao vazio X e uma funcao de X �Xem X . A imagem de .a; b/ 2 X � X por uma operacao e representada por a � b(notacao multiplicativa), aC b (notacao aditiva), a ? b, a ˘ b, ou por qualquer ou-tro sımbolo.

Um par .G;˘/, constituıdo por um conjuntoG e por uma operacao binaria ˘em G, diz-se um grupo se verifica as seguintes propriedades:

(1) Associatividade: para cada a;b; c 2 G,

.a ˘ b/˘ c D a ˘ .b ˘ c/ :

(2) Existencia de elemento neutro: existe em G um elemento e tal que,para todo o a 2 G,

a ˘ e D e ˘ a D a :


(3) Existencia de elemento oposto: para cada a 2 G, existe um a0 2 Gtal que

a0 ˘ a D a ˘ a0 D e :

Um grupo .G;˘/ diz-se abeliano ou comutativo se verifica tambem a pro-priedade de Comutatividade: para cada a;b 2 G,

a ˘ b D b ˘ a :

Como e bem conhecido, um corpo e um conjunto K munido de duas opera-coes binarias, C e � (que se designam, respectivamente, por adicao e multiplicacao),satisfazendo:

(i) .K;C/ e um grupo abeliano;

(ii) .Knf0g; �/ e um grupo abeliano, denotando 0 o elemento neutro daadicao;

(iii) a multiplicacao e distributiva em relacao a adicao:

a � .bC c/ D a � bC a � c ; 2

para cada a;b; c 2 K.

E tambem do conhecimento geral que o conjunto dos numeros reais, R, mu-nido da adicao e multiplicacao usuais, e um corpo. Mais do que isso, R e um corpoordenado se considerarmos a relacao de ordem usual entre numeros reais.

O nosso objectivo centra-se agora na construcao de um novo corpo, o qualsera designado por corpo dos numeros complexos. Consideremos:

R2 D f.a; b/ W a;b 2 Rg;

munido da adicao

8a;b;c;d2R; .a; b/C .c;d/ D .aC c; bC d/:

E simples verificar que .R2;C/ e um grupo abeliano e ate mesmo um espaco vec-torial real com a multiplicacao escalar definida por

8a;b;c2R; a.b; c/ D .ab;ac/:

2Por simplificacao e como e usual, escreveremos doravante ab, em vez de a � b.

1.4 Representacao algebrica dos complexos 11

E possıvel dotar R2 da estrutura de corpo, definindo a seguinte operacao de multi-plicacao:

8a;b;c;d2R; .a; b/.c;d/ D .ac � bd;ad C bc/:

O corpo .R2;C; �/ acabado de construir chama-se corpo dos numeros complexos edenota-se por C.

O subconjunto de C,

C1 D f.a; 0/ W a 2 Rg;

e um corpo. A funcao

f W R ! C1 (1.1)

a 7! .a; 0/

e um isomorfismo entre corpos, como facilmente se comprova. De facto, f e cla-ramente bijectiva e, para a;b 2 R, tem-se

f .aC b/ D f .a/C f .b/ e f .ab/ D f .a/f .b/:

Podemos, assim, identificar .a; 0/ com a e considerar R como subconjunto de C.

1.4 Representacao algebrica dos complexos

Num corpo qualquer e, em particular, em C, as equacoes

aC x D b e ax D b; a 6D 0 ;

sao sempre soluveis.

Denotemos o par .0; 1/ pelo sımbolo i . Obtemos, deste modo, a seguinterepresentacao para os numeros complexos:

.a; b/ D .a; 0/C .0; b/ D .a; 0/C .b; 0/.0; 1/ D aC bi;

tendo em conta a identificacao definida pela funcao f em (1.1). Assim,

.a; b/ D aC bi; a; b 2 R ;

determina uma nova forma de representar os numeros complexos, a qual e habi-tualmente designada por representacao algebrica dos complexos. O sımbolo i e a


unidade imaginaria.

Note-se que sendo C um corpo, a multiplicacao e comutativa. Por isso,tambem podemos escrever

.a; b/ D aC ib; a; b 2 R :

Da definicao dada para a multiplicacao, resulta que

i2 D .0; 1/2 D .�1;0/ D �1

e o numero complexo i aparece, assim, como solucao da equacao x2 D �1. Deveacentuar-se que tal equacao nao tem solucoes no contexto dos numeros reais. Asolubilidade desta equacao so se conseguiu ampliando o conceito de numero, poisagora o sımbolo �1 do segundo membro esta a designar o elemento .�1;0/ doconjunto C, onde a equacao passou a ter solucao.

Calculando as sucessivas potencias de expoente natural de i , im, comm 2 N,obtem-se os valores i;�1;�i; 1, consoante os restos da divisao de m por 4 forem,respectivamente, 1;2; 3 ou 0. Usando este facto, pode verificar-se com facilidadeque e possıvel operar com os complexos aC bi como se fossem polinomios em i .

Chamamos a atencao do leitor para o facto da ordenacao usual em R naopoder ser estendida para o sistema dos numeros complexos, carecendo de sentidodesigualdades entre numeros complexos do tipo ´1 > ´2. Ora, os numeros reaispodem ser ordenados com uma relacao, usualmente denotada por >, que goza,entre outras, das seguintes propriedades:

(P1) Se x ¤ 0, entao ou x > 0 ou �x > 0 (mas nao ambas!);

(P2) Se x;y > 0, entao xy > 0 e xC y > 0.

Nao e possıvel definir nos numeros complexos uma tal ordenacao. Suponhamos,por contradicao, que tal e possıvel. Uma vez que i ¤ 0; entao por (P1), ou

i > 0 ou � i > 0 :

Entao (P2) implica que�1 D i i > 0

ou que�1 D .�i / .�i / > 0 :

1.4 Representacao algebrica dos complexos 13

Mas, tambem temos 1D .�1/2 > 0. Logo, 1 > 0 e �1 > 0; o que contraria (P1).

Assim, nao e possıvel nos complexos estabelecer desigualdades conforme eusual no campo real. Qualquer desigualdade que eventualmente ocorra, dira res-peito unicamente a numeros reais, mesmo que tal nao seja explicitado. Por exem-plo,

" > 0

implica automaticamente que " seja um numero real (positivo).

Dado o numero complexo ´D aC bi , com a;b 2 R, a e b dizem-se, respec-tivamente, parte real e parte imaginaria de ´, sendo denotados, respectivamente,por Re ´ e Im ´. Os numeros complexos cuja parte real e nula dizem-se ima-ginarios puros.

Chama-se complexo conjugado, ou simplesmente conjugado, de ´ ao numerocomplexo a � bi , que se representa por ´. Ao numero real nao negativo

p´´, que

se representa por j´j, chama-se modulo de ´.

Teorema 1.1 (Propriedades do modulo e do conjugado) Para ´;w 2 C, tem-se:

(a) Ć ´D 2 Re Í

(b) ´� ´D 2i Im Í

(c) ´˙ w D ´˙ wI

(d) ´w D ´wI

(e)� ´

w

�D´

w, com w 6D 0I

(f) ´D Í

(g) ´´D j´j2 D .Re ´/2 C .Im ´/2I

(h) ´�1 D1

´D

´

j´j2, com ´ 6D 0I

(i) j´j D j´j.

A demonstracao do Teorema fica a cargo do leitor.

Na seccao que se segue, provaremos importantes desigualdades que sao deuso corrente, nomeadamente as conhecidas desigualdade triangular e desigualdadede Cauchy.


1.5 Desigualdades

Da definicao de modulo de um numero complexo resulta

�j´j � Re ´ � j´j I

�j´j � Im ´ � j´j :(1.2)

A igualdade Re ´D j´j ocorre se e so se ´ e real e nao-negativo.

A desigualdade triangular

jĆ wj � j´j C jwj (1.3)

obtem-se com facilidade a partir de (1.2). Com efeito, tem-se

jĆ wj2 D .Ć w/.Ć w/ D ´Ć .´w C w´/C ww ;

ou seja,jĆ wj2 D j´j2 C jwj2 C 2Re.´w/ :

Atendendo a (1.2), vem

jĆ wj2 � .j´j C jwj/2 ;

de onde se obtem a desigualdade triangular.

Em (1.3), a igualdade ocorre se e so se ´w � 0: Se w ¤ 0; esta condicao podeescrever-se na forma

jwj2´

w� 0 ;

o que e equivalente a´w�1 � 0 :

Por inducao, a desigualdade (1.3) pode ser generalizada para somas com umnumero arbitrario de parcelas

j´1 C ´2 C � � � C ńj � j´1j C j´2j C � � � C jńj :

Deixamos ao leitor o estudo do caso de igualdade nesta desigualdade. Prova-se,sem dificuldade, que ocorre igualdade se e so se a razao entre dois quaisquernumeros nao nulos for positiva.

1.5 Desigualdades 15

De (1.3), resulta

j´j D j.´� w/C wj � j´� wj C jwj

ouj´j � jwj � j´� wj :

Analogamente,jwj � j´j � j´� wj ;

podendo estas duas desigualdades ser combinadas na desigualdade

j´� wj � jj´j � jwjj :

Obviamente que a mesma estimativa pode ser aplicada a jĆ wj, obtendo-se

jĆ wj � jj´j � jwjj : (1.4)

Um caso especial da desigualdade triangular e o seguinte

jaC ibj � jaj C jbj ;

ou seja,

j´j � jRe ´j C jIm ´j : (1.5)

Desta desigualdade concluımos que o valor absoluto de um complexo e quandomuito igual a soma dos valores absolutos da parte real e imaginaria.

Provaremos, de seguida, a famosa desigualdade de Cauchy

j´1w1 C � � � C ńwnj2 � .j´1j2 C � � � C jńj2/ .jw1j2 C � � � C jwnj2/ ;

ou abreviadamente,

ˇˇˇ

nX

j D1

´j wj

ˇˇˇ

2

�nX

j D1

j´j j2nX

j D1

jwj j2 : (1.6)

Para a demonstracao, tomemos um numero complexo arbitrario �: Obtemos

nX

j D1

j´j � �wj j2 DnX

j D1

j´j j2 C j�j2nX

j D1

jwj j2 � 2Re �nX

j D1

´j wj : (1.7)


Esta expressao e nao-negativa. Podemos tomar

� DnX

j D1

´j wj

,nX

j D1

jwj j2 ;

porque sendo o denominador zero nada ha a provar. Substituindo em (1.7), aposalgumas simplificacoes vem a desigualdade

nX

j D1

j´j j2 �

ˇˇˇ

nX

j D1

´j wj

ˇˇˇ

2,nX

j D1

jwj j2 � 0 ;

que e equivalente a desigualdade de Cauchy.

De (1.7), concluımos que o sinal de igualdade ocorre na desigualdade deCauchy se e so se ´j for proporcional a wj .

1.6 Raızes quadradas

Importa, agora, tecer algumas consideracoes sobre o conceito de raiz qua-drada de um numero complexo.

Como ja foi mencionado anteriormente, uma das razoes subjacentes a utiliza-cao dos numeros complexos consiste em permitir o uso de raızes quadradas denumeros reais negativos. Vejamos que tal e possıvel para qualquer numero com-plexo.

Dado um numero complexo a C ib, determinemos a sua raiz quadradaxC iy, que verifica

.xC iy/2 D aC ib ;

ou equivalentemente,

x2 � y2 D a ^ 2xy D b : (1.8)

Existem varios processos de resolucao deste sistema. Geometricamente, aquestao reduz-se simplesmente a encontrar a interseccao das duas hiperboles em(1.8), conforme se ilustra na figura 3.

De seguida, ocupar-nos-emos do tratamento algebrico da questao. A partirdas equacoes em (1.8), obtemos com facilidade

.x2 C y2/2 D .x2 � y2/2 C 4x2y2 D a2 C b2 :

1.6 Raızes quadradas 17

x

y

x2-y2=a

2xy=b

Figura 3: Representacao geometrica das hiperboles definidas em (1.8).

Entao,

x2 C y2 Dpa2 C b2 � 0 :

Tendo em conta a primeira equacao de (1.8), vem

x2 D1

2.aC

pa2 C b2/ ^ y2 D

1

2.�aC

pa2 C b2/ : (1.9)

Observe-se que, independentemente do valor de a; estas quantidades sao nao--negativas. Ao calcularmos agora x e y devemos ter em conta que o seu produtodeve ter o sinal de b. Para tal, define-se

sgn.b/ Db

jbj; b 6D 0 ;

tendo-se sgn.b/ D C1, se b > 0, e sgn.b/D �1, se b < 0.

Assim, se b ¤ 0; tem-se

paC ib D ˙

0@saC

pa2 C b2

2C i sgn.b/

s�aC

pa2 C b2

2

1A : (1.10)

Se b D 0; os valores da raiz quadrada sao ˙pa, se a � 0, e ˙i

p�a, se a < 0:


Os dois valores para a raiz quadrada de um numero complexo coincidem see so se esse numero e 0. A raiz quadrada de 0 e 0, e alem de 0 so os numerospositivos tem por raızes quadradas numeros reais. Por seu turno, so os numerosnegativos tem raızes quadradas imaginarias puras.

A raiz quadrada de um complexo ´D aC ib 6D 0 tem dois valores, em geralcomplexos, digamos x C iy e �x � iy. Se ´ 6D 0 e real negativo, temos x D 0.Suponhamos, agora, que ´ 6D 0 nao e real negativo. Sendo assim, as suas raızesnao sao imaginarias puras, pelo que uma das raızes tem parte real positiva e outranegativa.

Ora, do mesmo modo que convencionamos interpretar o sımbolopr como a

raiz quadrada positiva de um numero real positivo r , chamaremos ramo principalda raiz quadrada complexa aquele que atribui a raiz quadrada de um numero com-plexo o valor xC iy, com x > 0 ou entao x D 0^ y � 0.

Vejamos um exemplo de aplicacao da formula (1.10).

Exemplo 1.1 Calculemospp

�i . Comecemos por determinarp

�i . Efectuandoa substituicao a D 0 e b D �1 em (1.10), vem

p�i D ˙

p2

2� i

p2

2

!:

A cada um dos dois valores determinados, voltamos a aplicar (1.10) e obtemos

quatro solucoes parapp

�i . Sao elas

˙

p2C

p2

2� i

p2�

p2

2

!

e

˙

p2�

p2

2C i

p2C

p2

2

!:

No Teorema 1.2, analisar-se-a novamente o conceito de raiz quadrada (comocaso particular da raiz de ordem n de um numero complexo). No capıtulo 5, estu-daremos com mais pormenor a funcao raiz quadrada.

1.7 Representacao geometrica dos complexos 19

z=Hx,yL=x+iy

0 x

y

Figura 4: Representacao de um numero complexo no plano de Argand.

1.7 Representacao geometrica dos complexos

Sendo o conjunto C nada mais do que R2, podemos identificar o numerocomplexo x C iy com o ponto .x;y/ do plano cartesiano, a que e vulgar chamarafixo de ´. Quando a cada numero complexo ´ se associa o seu afixo, e usualdesignar-se o plano cartesiano OXY por plano complexo ou plano de Argand.

Podemos, ainda, entender ´ como o vector que vai da origem das coorde-nadas para o afixo (veja-se a figura 4). A adicao de dois complexos ´ e w e pre-cisamente a adicao dos correspondentes vectores, ou seja, recorre-se como habi-tualmente a regra do paralelogramo, conforme e ilustrado na figura 5. Veremos,oportunamente, a significacao geometrica da multiplicacao de numeros complexos.

Todas as nocoes apresentadas no final da seccao 1.4 possuem interpretacoesgeometricas sugestivas:

1) a parte real de um numero complexo ´ e a sua projeccao no eixo dosxx (daı que o eixo das abcissas seja designado por eixo real);

2) a parte imaginaria de ´ e a sua projeccao no eixo dos yy (daı que oeixo das ordenadas seja designado por eixo imaginario);

3) o modulo de ´ e a distancia de ´ a 0. Por outras palavras, j´j traduzo comprimento do vector que representa ´;

4) o conjugado de ´ obtem-se de ´ a partir da reflexao relativamente aoeixo dos xx.

A nocao de argumento de ´ e basilar. Geometricamente, arg ´ e a medida de


z1

z2

z1+z2

Figura 5: Adicao de dois numeros complexos pela regra do paralelogramo.

amplitude, em radianos, do angulo do vector ´, contado a partir da parte positivado eixo das abcissas. Este angulo considera-se positivo se se mede no sentido anti-horario e negativo, caso contrario. Se ´ D 0, o argumento de ´ e indefinido. Daıque, doravante, consideremos ´ 6D 0 sempre que aludirmos ao valor de arg ´.

Cada numero complexo tem uma infinidade de argumentos, diferindo cadapar de valores do argumento por um multiplo de 2� . Para obviar a esta indefinicao,representamos por Arg ´ o unico valor de argumento no intervalo ��;��, ao qualse chama argumento principal. Ao unico valor do argumento de ´ no intervalo��;�C 2�� chama-se argumento lambda de ´ e representa-se por arg� ´. Se �D 0,o argumento em �0; 2�� designa-se por argumento positivo mınimo.

Exemplo 1.2 Para o numero complexo i D .0; 1/, tem-se

arg i D�

2C 2k� ; k 2 Z ; Arg i D

�

2e arg�2� i D �

3�

2:

Sendo � um argumento de ´ e tomando j´j D r , em termos geometricos efacil comprovar que (cfr. figura 6)

8<

:

cos� DRe ´

r

sin� DIm ´

r

,�

Re ´ D r cos�Im ´ D r sin�

:

O argumento e determinado por aquelas duas equacoes ou, se preferıvel, por umadelas e pela formula

tg� DIm ´

Re ´:


z

Θ

r

r cos Θ

r sinΘ

Figura 6: Forma trigonometrica de um numero complexo.

Tem-se, portanto,´ D j´j.cos� C i sin�/ :

Esta e a forma trigonometrica ou polar de ´. E frequente usar-se a forma abreviada

´ D r cis � ;

onde r D j´j > 0 e cis � D cos� C i sin� .

Observacao 1.1 Tambem e usual utilizar-se o sımbolo ei� , o qual e definido atravesda Formula de Euler:

ei� D cos� C i sin� : (1.11)

Assim, podemos representar o numero complexo ´ na seguinte forma:

´ D r ei� :

A escolha do sımbolo ei� sera justificada aquando do estudo da funcao exponencialna seccao 4.5.

Calculemos, de seguida, cis �1 cis �2. Usando formulas trigonometricas bemconhecidas, vem

cis �1 cis �2 D .cos�1 C i sin�1/.cos�2 C i sin�2/

D cos.�1 C �2/C i sin.�1 C �2/ (1.12)

D cis.�1 C �2/ :


z1

z2

z

0 1

Figura 7: Interpretacao geometrica da multiplicacao de numeros complexos.

Assim, e facil concluir que se multiplicam complexos, multiplicando os respectivosmodulos e somando os argumentos. De facto, se

´1 D r1 cis �1 e ´2 D r2 cis �2 ;

entao

´1´2 D r1r2 cis.�1 C �2/ : (1.13)

Torna-se agora sugestivo como efectuar, geometricamente, o produto de com-plexos. Para calcular ´1´2 (com ´1; ´2 nao nulos, caso contrario a situacao seriatrivial), iremos, por uma questao de simplificacao, identificar ´1 e ´2 com os cor-respondentes afixos e, de acordo com (1.1), os pontos .0; 0/ e .1; 0/ com, respecti-vamente, 0 e 1. Em primeiro lugar, consideramos o triangulo de vertices 0;1 e ´1.De seguida, construımos um triangulo semelhante ao primeiro, cujo lado corres-pondente ao segmento de recta que une os pontos 0 e 1 e o segmento entre 0 e ´2.Marcando a partir desse lado, com vertice em 0, um angulo de medida de amplitudede arg� ´1, no sentido anti-horario, e, com vertice em ´2, um angulo com a mesmamedida de amplitude ao do triangulo inicial com vertice em 1, obtemos o triangulodesejado de vertices 0;´2 e ´ (cfr. figura 7). Note-se que os dois triangulos obti-dos sao semelhantes, uma vez que tem os tres angulos internos geometricamenteiguais. O vertice ´ e, justamente, o afixo do produto ´1´2, como e trivial verificar,tendo em conta que em triangulos semelhantes, a angulos geometricamente iguaisse opoem lados de comprimentos proporcionais.


De acordo com (1.13), concluımos facilmente que

´�1 D .r cis �/�1 D1

rcis.��/ :

De (1.12) e por inducao, prova-se sem dificuldade que

.cis �/n D cis.n�/ ; n 2 N : (1.14)

Convencionando que ´0 D 1, (1.14) e valida quando n D 0. Se n e um inteironegativo, definindo ń pela equacao

ń D�´�1

��n;

vem

ń D�1

rcis.��/

��n

D rn cis.n�/ :

Sendo assim, (1.14) e valida para qualquer expoente inteiro. Esta e a chamadaFormula de De Moivre. A partir dela pode provar-se a seguinte generalizacao.

Teorema 1.2 (Formula de De Moivre Generalizada) Seja n 2 N. Todo o numerocomplexo ´D r cis � , r 6D 0, tem precisamente n raızes ındice n distintas:

wk D r1n cis �C2k�

n; k D 0;1; : : : ; n� 1 :

DEMONSTRAC AO: Seja w uma raiz ındice n de ´, ou seja, wn D ´. Entao, sendow D s cis �, s > 0, vem

sn cis.n�/ D r cis � ;

o que equivale a

s D r1n I � D �C2k�

n; k 2 Z :

Tomando k D 0;1; : : : ; n � 1, obtem-se n valores distintos para �. Para qualqueroutro valor de k, vem um valor de � equivalente modulo 2� a um destes n valores.Assim, se conclui a demonstracao. �

As n raızes wk tem o mesmo modulo e os seus argumentos diferem entre side um multiplo de 2�

n. Geometricamente, os afixos das raızes wk correspondem

aos vertices de um polıgono regular com n lados, inscrito numa circunferencia decentro 0 e de raio jwk j.


1.8 Operacoes vectoriais

Recordaremos duas operacoes vectoriais de grande interesse: o produto es-calar e o produto vectorial. Apesar de terem significado no espaco tridimensional,confinar-nos-emos ao seu estudo no plano complexo. Estas operacoes foram des-cobertas por fısicos e a sua relacao com o produto de complexos ilustra a aplicacaoda Analise Complexa ao mundo fısico, e ainda o uso da Fısica na compreensao daAnalise Complexa.

Podemos identificar um numero complexo ´D xC iy com o vector coluna

�xy

�

ou, de forma equivalente, com

Œx y�T :

Representaremos o vector coluna correspondente ao complexo ´ pela mesma letra,mas a negrito, z, e, para simplificar, falaremos apenas em vector, ficando subenten-dido que se trata de um vector coluna.

Dados dois vectores z e w, o seu produto escalar e definido por

z � w D j´jjwjcos � ; (1.15)

representando � o angulo entre os vectores.

Ou seja, o produto escalar de dois vectores e o produto do comprimento deum dos vectores pela projeccao do outro vector sobre si (cfr. figura 8). E obvio que

z � w D w � z :

O produto vectorial dos vectores z e w e o vector z � w perpendicular aoplano complexo, cujo modulo e a area A do paralelogramo gerado por z e w e sen-tido apontando para cima, se sin � > 0, e para baixo, se sin � < 0 (cfr. figura 9).

Para averiguarmos o sentido do produto vectorial, podemos em alternativadizer que e o de um observador posicionado perpendicularmente ao plano complexona origem dos vectores e que ve z a sua direita e w a sua esquerda.

1.8 Operacoes vectoriais 25

w

Θz

ÈwÈcos Θ

ÈzÈ

Figura 8: Interpretacao geometrica do produto escalar.

w

Θz

ÈwÈsin Θ

z´w

ÈzÈ ÈwÈsin Θ

ÈzÈ

Figura 9: Interpretacao geometrica do produto vectorial (caso em que sin � > 0).

0

z

w

z�w

z�

z´w

z × w

ÈzÈ

ÈwÈ

ÈzÈ ÈwÈΒ

Θ

ΘΑ

-Α

Figura 10: O afixo de ´w tem como abcissa z � w e como ordenada z � w.


Repare-se quej´jjwj sin �

tem o sinal do seno, tomando valores positivos e negativos. E claro que

z � w D �w � z :

Esta definicao de produto vectorial de dois complexos e intrinsecamente tridimen-sional e apresenta um problema: z � w nao pertence ao plano complexo. Paraos nossos propositos, e para obviar a este inconveniente, redefinimos z � w comosendo a area com sinal do paralelogramo gerado por z e por w, ou seja,

z � w D j´jjwj sin � : (1.16)

Consideremos os complexos ´D j´jcis ˛ e w D jwjcis ˇ, sendo � D ˇ � ˛o angulo de ´ para w: Calculos simples mostram que

´w D j´jcis.�˛/ jwjcis ˇ

D j´jjwjcis.ˇ � ˛/

D j´jjwjcis �

D j´jjwj.cos � C i sin �/ :

De (1.15) e (1.16), tem-se

´w D z � w C i.z � w/ ;

conforme se ilustra na figura 10.

Desta expressao resulta que: se ´ e w sao dois numeros complexos diferentesde 0, entao

1) uma condicao necessaria e suficiente para que os vectores z e w sejamperpendiculares e que z � w D 0, isto e, Re.´w/ D 0;

2) uma condicao necessaria e suficiente para que os vectores z e w sejamparalelos e que z � w D 0, isto e, Im.´w/ D 0.

Quando mencionamos as operacoes vectoriais – produto escalar e produtovectorial, queremos enfatizar a sua definicao geometrica, independente de qual-quer escolha particular de sistema de eixos coordenados. Estes, uma vez fixados,

1.8 Operacoes vectoriais 27

z1

z2

z3

z4

0

Figura 11: A origem encontra-se dentro do quadrilatero.

permitem expressar facilmente estas operacoes em coordenadas cartesianas. As-sim, escrevendo ´D xC iy e w D x0 C iy 0 vem

´w D .x � iy/.x0 C iy 0/ D .xx0 C yy 0/C i.xy 0 C x0y/ :

Portanto,

Œx y�T � Œx0 y 0�T D xx0 C yy 0 e Œx y�T � Œx0 y 0�T D xy 0 C x0y : (1.17)

Podemos ilustrar facilmente a importancia do produto vectorial no calculo deareas no plano. Consideremos a area A do quadrilatero de vertices ´1; ´2; ´3; ´4

(tomados no sentido contrario ao dos ponteiros do relogio). Analisemos o casoda origem estar, respectivamente, dentro e fora do quadrilatero. No primeiro caso(figura 11), como a area de cada triangulo e metade da area do correspondenteparalelogramo, vem

A D1

2Œ.z1 � z2/C .z2 � z3/C .z3 � z4/C .z4 � z1/� ; (1.18)

ou seja,

A D1

2Im.´1´2 C ´2´3 C ´3´4 C ´4´1/ :

No segundo caso (figura 12), A e claramente a soma das areas dos triangulos4Œ0´1´2�, 4Œ0´2´3� e 4Œ0´3´4� menos a area do triangulo 4Œ0´1´4�. Como oangulo de z1 para z4 e positivo, metade de z1 � z4 e automaticamente a area preten-dida, sendo A dada exactamente pela expressao anterior .


z1

z2

z3

z4

0

Figura 12: A origem esta fora do quadrilatero.

E simples provar que (1.18) e invariante mediante uma translacao por k; istoe, o seu valor nao muda se ´1 for transformado em ´1 C k, ´2 em ´2 C k, ´3 em´3 C k, ´4 em ´4 C k. Pode assim deduzir-se a validade de (1.18) para o calculoda area de qualquer quadrilatero (veja-se o exercıcio 1.30).

1.9 O espaco metrico dos complexos

A funcao

d W C � C ! R

.´1; ´2/ 7! d.´1; ´2/D j´1 � ´2j

define uma metrica em C, uma vez que se verificam as seguintes propriedades, para´1; ´2; ´3 2 C,

(M1) positividade: d.´1; ´2/ � 0 e d .´1; ´2/ D 0, ´1 D ´2;

(M2) simetria: d.´1; ´2/ D d.´2; ´1/;

(M3) desigualdade triangular: d.´1; ´3/ � d.´1; ´2/C d.´2; ´3/.

Diz-se que .C; d/ e um espaco metrico e que o numero real d.´1; ´2/ e a distanciaentre ´1 e ´2.

O conjuntoD.´0; r/ D f´ 2 C W j´� ´0j < rg

1.9 O espaco metrico dos complexos 29

e o disco aberto de centro ´0 2 C e de raio r > 0.

Chama-se vizinhanca de ´0 a todo o subconjunto V de C que contenha umdisco aberto de centro ´0.

Diz-se que A� C e aberto se e vizinhanca de todos os seus pontos, isto e, separa cada ´ 2 A, existe ı´ > 0 tal que

D.´; ı´/ � A:

Exemplo 1.3 Os discos abertos sao, eles proprios, conjuntos abertos. Considere-mos um disco aberto D.´0; r/ de centro ´0 2 C e de raio r > 0. Seja ´ 2D.´0; r/.Logo,

j´� ´0j < r ;

pelo que r � j´� ´0j > 0. Tomando ı´ D r � j´� ´0j, obtemos

D.´; ı´/ � D.´0; r/ ;

como se constata recorrendo a (M3):

w 2D.´; ı´/ ) jw � ´j < ı´

) jw � ´0j � jw � ´j C j´� ´0j < ı´ C j´� ´0j D r

) w 2D.´0; r/ :

Analisemos algumas propriedades que decorrem da definicao de conjuntoaberto:

(T1) O conjunto vazio e aberto (a condicao que define conjunto aberto etrivialmente verificada).

(T2) O plano complexo C e aberto, uma vez que D.´0; r/ � C, para cada´0 2 C e para cada r > 0.

(T3) Se A1;A2; : : : ;An sao abertos, entao A D A1 \ A2 \ � � � \An tam-bem e aberto. Para cada ´ 2 A, basta escolher ık > 0 tal que

D.´; ık/ � Ak ;

para k D 1;2; : : : ; n. Entao, tomando ı´ D minfı1; : : : ; ıng > 0 3,tem-se

D.´; ı´/ � A:

3Se tivessemos considerado um numero infinito de subconjuntos abertos, o ınfimo dos deltaspositivos poderia ser eventualmente 0. Daı que a propriedade seja valida apenas para um numerofinito de subconjuntos.


(T4) Se .Aj /j 2J e uma famılia de subconjuntos abertos, entao AD [Aj

tambem e aberto. De facto, para cada ´ 2 A, existe j 2 J tal que´ 2 Aj , pelo que existe ı´ > 0 tal que

D.´; ı´/ � Aj � A:

Estas propriedades sao exactamente as requeridas para que uma famılia desubconjuntos abertos de C defina uma topologia em C.

Caso nada seja dito em contrario, consideraremos sempre a metrica que de-finimos em C e a correspondente topologia induzida, designada muitas vezes portopologia usual de C.

A distancia que definimos entre dois numeros complexos, ´1 e ´2, coincidecom a distancia usual em R2 entre os afixos de ´1 e ´2. Desta forma, o espacometrico .C; d/ goza das propriedades metricas e topologicas conhecidas quandolidamos com R2 munido da metrica usual.

Seja S um subconjunto de C. Podemos munir S da metrica de subespaco,ou seja, da metrica d restrita a S . Por exemplo, se S D R, a metrica d restrita aR coincide com a metrica euclidiana de R, isto e, com o modulo da diferenca denumeros reais.

Um subconjuntoU � C diz-se relativamente aberto em S ou, simplesmente,aberto em S se

U D S \A;

para algum aberto A de C. Assim, os abertos relativos de um subconjunto de C

resultam das interseccoes desse subconjunto com abertos de C. Podemos caracte-rizar os abertos relativos recorrendo ao conceito de disco aberto. O subconjuntoU � C e aberto em S se e so se para cada ´ 2 U , existe ı´ > 0 tal que

S \D.´; ı´/ � U :

Exemplo 1.4 Um aberto relativo pode nao ser um aberto de C. Por exemplo, ointervalo real � � 1;1Œ obtem-se da interseccao de R com o disco aberto D.0;1/.Desta forma, � � 1;1Œ e aberto em R. Contudo, � � 1;1Œ nao e um aberto de C.Alias, nenhum subconjunto de R e aberto em C, uma vez que nenhum subconjuntode R pode conter discos abertos, pelo que nao pode ser vizinhanca de ponto algumem C.


Recordamos, agora, alguns conceitos metricos e topologicos conhecidos doleitor no contexto do espaco metrico R2.

Dado um subconjunto A � C, um ponto ´0 diz-se ponto interior de A seA e uma vizinhanca de ´0. Por sua vez, ´0 diz-se ponto exterior de A se existirum disco aberto de centro ´0 que nao intersecte A. Por seu turno, ´0 diz-se pontofronteiro de A se nao e ponto interior nem ponto exterior de A, isto e, se qualquervizinhanca de ´0 contiver pontos de A e pontos do complementar de A. O conjuntode todos os pontos interiores (respectivamente, exteriores ou fronteiros) de um sub-conjuntoA � C designa-se por interior (respectivamente, exterior ou fronteira) deA e representa-se por intA (respectivamente, extA ou @A). Note-se que

extA D int.CnA/ :

Exemplo 1.5 Consideremos o disco aberto D.0;1/. O seu interior coincide como proprio disco, uma vez que, sendo um conjunto aberto, o disco e vizinhanca detodos os seus pontos. A fronteira consiste na circunferencia C de centro 0 e raio 1.De facto, qualquer disco aberto centrado num ponto deC contem pontos deD.0;1/e do seu complementar. O exterior e, entao, constituıdo pelos restantes pontos doplano.

Um ponto ´0 e ponto aderente de A � C se

A\D.´0; r/ 6D ; ;

para cada r > 0. O conjunto dos pontos aderentes de A designa-se por aderenciaou fecho de A e representa-se por A. Tem-se entao

A D intA[ @A:

Um ponto ´0 e ponto de acumulacao de A � C se

A\ .D.´0; r/nf´0g/ 6D ; ;

para cada r > 0. O conjunto dos pontos de acumulacao de A designa-se por deri-vado de A e representa-se por A0.

Dizemos que um subconjuntoF � C e fechado se o seu complementar CnFe aberto. Tendo em conta as propriedades dos subconjuntos abertos, conclui-sede imediato que o conjunto vazio e C sao conjuntos fechados, a uniao finita defechados e um fechado e a interseccao de uma famılia qualquer de fechados e aindaum fechado.


Exemplo 1.6 As rectas e circunferencias sao exemplos de conjuntos fechados, umavez que os seus complementares em C consistem na uniao de dois abertos.

Seja S um subconjunto de C. O conjuntoS e limitado se existir r > 0 tal que

S � D.0; r/ :

Exemplo 1.7 Todo o disco aberto e limitado, como facilmente se constata.

Uma famılia .U˛/˛2I de subconjuntos de C diz-se uma cobertura de A � C

se

A �[

˛2I

U˛ .

Se .U˛/˛2I e uma cobertura de A e J e um subconjunto de I tal que

A �[

ˇ2J

Uˇ ;

entao .Uˇ/ˇ2J diz-se uma subcobertura da cobertura .U˛/˛2I . A subcobertura.Uˇ/ˇ2J diz-se finita se J for um conjunto finito. Uma cobertura .U˛/˛2I deA � C diz-se aberta se todo o conjunto U˛ for um aberto de C.

Um subconjunto K � C diz-se compacto se toda a cobertura aberta de Ktiver uma subcobertura finita.

No espaco C munido da metrica usual, os compactos identificam-se com ossubconjuntos fechados e limitados. O Teorema de Heine-Borel estabelece que umsubconjuntoK de Rn e compacto se e so se K e fechado e limitado (veja-se, porexemplo, [8, p.23]). Contudo, chamamos a atencao do leitor para o facto de, numespaco metrico geral, nem todo o subconjunto fechado e limitado ser compacto.

Exemplos 1.8 Como ja foi observado, o disco aberto D.´0; r/, com ´0 2 C er > 0, e um conjunto aberto e limitado de C. Por outro lado, a sua aderencia,

D.´0; r/ D f´ 2 C W j´� ´0j � rg ;

e um conjunto fechado e limitado, ou seja, e compacto. Este conjunto designa-sepor disco fechado e representa-se de forma simplificada por D.´0; r/.


O subconjunto S � C diz-se conexo quando nao e possıvel escrever S naforma

S D .S \A/[ .S \B/ ;

em que A e B sao subconjuntos de C, ambos abertos ou ambos fechados, e tais que

S \A 6D ;; S \B 6D ; e S \A\B D ; :

Caso contrario, S diz-se desconexo.

Como vimos anteriormente, os abertos de um subconjunto obtem-se me-diante a interseccao desse subconjunto com abertos do espaco C. Ora, os fechadosde um subconjunto sao tambem obtidos mediante a interseccao desse subconjuntocom fechados de C. Sendo assim, afirmar que S � C e conexo e equivalente aafirmar que S nao se pode escrever como a uniao de dois subconjuntos nao vazios,disjuntos e ambos fechados, ou ambos abertos, em S .

Este facto permite deduzir uma nova caracterizacao para os subconjuntosconexos de C: um subconjunto S e conexo se e so se os unicos subconjuntos si-multaneamente abertos e fechados em S sao o conjunto vazio e o proprio S . Defacto, ao considerarmos um subconjunto U � S , aberto e fechado em S , obtemosdois subconjuntos,U e SnU , ambos abertos em S , que verificam

U \ .SnU/ D ; e U [ .SnU/ D S :

Existem varias caracterizacoes para os espacos topologicos conexos. Paramaior desenvolvimento, recomendamos a leitura do capıtulo 6 de [30].

Intuitivamente, os subconjuntos conexos de C sao os subconjuntos que serepresentam geometricamente no plano de Argand por uma figura com uma ”sopeca”.

Exemplos 1.9 O espaco C e conexo. Os discos abertos e fechados sao tambemexemplos de conjuntos conexos.

Em C, um domınio ou regiao e um subconjunto nao-vazio, aberto e conexo.

Ao longo dos proximos capıtulos, lidaremos com funcoes definidas numdomınio ou regiao de C.


1.10 O infinito

Desde sempre o infinito exerceu forte atraccao sobre a mente humana. Mas,afinal, o que e o infinito? O infinito e o que nao e finito, o que nao tem fim, o que serecria a si proprio, o que e eterno e imortal. O infinito e um conceito fundamentalem matematica, um conceito omnipresente nas bibliotecas matematicas em disci-plinas tao diversas como o calculo infinitesimal, a teoria dos conjuntos, a geometriaprojectiva, etc. A Matematica e, para alguns, a ciencia do infinito. Ha quem creiaque, pelo simples facto de se acrescentar o infinito ao discurso matematico, daı re-sulta matematica relevante.

Segundo Philip Davies e Reuben Hersch, o infinito e o cantaro maravilhosoda matematica. Maravilhoso, porque o seu conteudo e inesgotavel.

Para o pensamento cristao, o problema do infinito esteve ligado, durantemuito tempo, ao problema da eternidade, da criacao a partir do nada, capacidadeunica de Deus, verdadeiramente eterno e infinito. A tıtulo de curiosidade, recorda-mos aqui que Rene Descartes concebeu uma prova da existencia de Deus, medianteo seguinte argumento:

Um ser finito jamais poderia conceber a ideia de infinito, eterno,imutavel, omnipresente, independente, omnipotente, a menos que o serinfinito houvesse depositado tal ideia no ser finito. Logo, Deus existe!

Em muitas situacoes impoe-se a ampliacao do sistema C dos numeros com-plexos mediante a introducao de um sımbolo representando o infinito: 1.

No estudo das funcoes reais de variavel real, o sistema dos numeros reais ecompletado com dois elementos: �1 e C1. Supoe-se que para todo o a finito setem �1 < a <C1 e que sao preservadas as propriedades fundamentais das desi-gualdades neste campo alargado (vulgarmente designado por recta acabada). Ora,na teoria das funcoes de variavel complexa e necessario acrescentar ao sistema dosnumeros complexos apenas um infinito sem sinal, 1, obtendo-se o plano complexoampliado. Nos complexos nao sao consideradas desigualdades que envolvam 1 ea questao de saber se 1 e maior ou menor do que um numero finito nao se coloca.

Os pontos do plano complexo, juntamente com o ponto ideal a que chama-mos ponto do infinito, constituem o plano complexo ampliado, usualmente repre-sentado pelo sımbolobC.

1.10 O infinito 35

N

0z

z

z

z

Figura 13: Modelo do plano complexo ampliado baseado na projeccao este-reografica.

Introduziremos, de seguida, um modelo geometrico no qual todos os pontosdo plano ampliado tem uma representacao concreta. Consideremos, entao, umaesfera unitaria S , cuja equacao num sistema de eixos ortogonais no espaco tridi-mensional e

x21 C x2

2 C x23 D 1 :

A cada ponto de S (representado na figura 13 pela letra O), a excepcao do polonorte N de coordenadas .0; 0; 1/, podemos associar um numero complexo

´ Dx1 C ix2

1� x3

e esta correspondencia e biunıvoca, como facilmente se prova (cfr. exercıcio 1.31).

Note-se que podemos exprimir x1; x2; x3 em termos do numero complexo ´(cfr. exercıcio 1.31):

x1 D´C ´

1C j´j2; x2 D

´� ´i.1C j´j2/

; x3 Dj´j2 � 1j´j2 C 1

:

Chama-se a esta correspondencia projeccao estereografica.

A correspondencia pode completar-se, fazendo corresponder ao polo norte daesfera o ponto do infinito. Deste modo, consideramos a esfera como representacao


Figura 14: Circunferencias na esfera de Riemann e sua projeccao.

do plano ampliado bC, tambem designado por sistema ampliado dos numeros com-plexos. Observemos que a semi-esfera x3 < 0 corresponde ao disco

j´j < 1;

e a semi-esfera x3 > 0 a

j´j > 1;

como a figura 13 ilustra. E costume designar-se a esfera S por esfera de Riemann.

A figura 14 apresenta uma imagem da esfera de Riemann a tres dimensoes,ilustrando que uma circunferencia na esfera que passe por N e transformada pelaprojeccao estereografica numa recta do plano complexo.

O sımbolo 1; que representa o ponto ideal no infinito, satisfaz

´C 1 D 1 C ´ D 1 ;

para todo o ´, finito ou infinito, e

w � 1 D 1 � w D 1 ;

para todo o complexo w ¤ 0 e para w D 1:

1.10 O infinito 37

Contudo, nao e possıvel definir

1 � 1 ;11

e 0� 1

sem violar as leis da aritmetica. Sao, tal como nos reais, as chamadas formasindeterminadas. Por convencao, escreveremos

´

0D 1 ;

para ´¤ 0, e

w

1D 0 ;

para w ¤ 1.

Convencionamos, ainda, que toda a recta passa pelo ponto no infinito (veja--se a figura 14), mas em contraste nenhum semi-plano contem o ponto ideal.

Ja relembramos a nocao de vizinhanca de um ponto ´0 2 C. E como secomportara uma vizinhanca do infinito? Ora, para r > 0, define-se o disco abertode centro no infinito e de raio r do seguinte modo

D.1; r/ D�´ 2 C W j´j>

1

r

�:

Geometricamente, este conjunto identifica-se com o exterior da circunferencia decentro 0 e de raio 1=r , pelo que e um subconjunto aberto de C. Uma vizinhanca de1 e entao qualquer conjunto que contenhaD.1; r/, para algum r > 0.

Ao considerarmos pontos das vizinhancas D.1; r/ e a medida que escolhe-mos valores de r cada vez mais proximos de 0, obtemos pontos cada vez mais”proximos” de 1. Mais uma vez reforcamos a ideia de que nao podemos consi-derar pontos maiores ou menores do que 1, mas sim pontos mais ”proximos” oumais ”afastados” de 1.


1.11 Exercıcios propostos

Exercıcio 1.1 Deduza a formula resolvente para a equacao quadratica de coefi-cientes complexos, usando o metodo do completamento do quadrado.

Exercıcio 1.2 Determine as solucoes da equacao

x2 � .3C i /xC .2C 2i/ D 0 :

Exercıcio 1.3 As raızes de uma cubica geral podem ser vistas no planoOXY comoa interseccao do eixo dos xx com o grafico da cubica

y D x3 C ax2 C bxC c ;

com a;b; c 2 R.

(a) Mostre que o ponto de inflexao do grafico da cubica ocorre parax D �a=3.

(b) Deduza geometricamente que a substituicao x D X � a=3 reduz aequacao a forma y D X3 CBX CC .

(c) Verifique algebricamente o resultado da alınea anterior.

Exercıcio 1.4 Para resolver a cubica x3 D 3pxC 2q, onde p;q 2 R, proceda domodo que se segue.

(a) Efectue a substituicao x D sC t e observe que x e solucao da cubicase st D p e s3 C t3 D 2q.

(b) Elimine t nestas duas equacoes, obtendo assim uma equacao quadra-tica em s3:

(c) Resolva esta equacao quadratica, determinando as duas solucoes des3.

(d) E quais sao as possıveis solucoes para t3?

(e) Tendo em conta que s3 C t3 D 2q; deduza a formula resolvente.

Exercıcio 1.5 Em 1591, Francois Viete (1540–1603) publicou outro processo deresolucao da cubica. O metodo baseia-se na identidade

cos 3� D 4c3 � 3c ;

onde c D cos � .

1.11 Exercıcios propostos (1.1–1.32) 39

(a) Substitua x D 2ppc na cubica geral reduzida x3 D 3pxC 2q e ob-

tenha 4c3 � 3c D qp

pp

.

(b) Sendo q2 � p3, prove que as solucoes da equacao original sao

x D 2pp cos

�1

3.� C 2k�/

�;

onde k e um inteiro e � D arc cos�

qp

pp

�.

(c) Aplique a formula a equacao x3 D 3x.

Exercıcio 1.6 Considere o conjunto dos quaternioes H constituıdo pelos quatro--uplos de numeros reais .x;y;´; t /, com a adicao definida por coordenadas

.x;y;´; t /C .x1; y1; ´1; t1/ D .xC x1; y C y1; Ć ´1; t C t1/

e a multiplicacao, distributiva a esquerda relativamente a adicao, definida por

i2 D j 2 D k2 D ijk D �1 ;

sendo

1D .1; 0; 0; 0/; i D .0; 1; 0; 0/; j D .0; 0; 1; 0/; k D .0; 0; 0; 1/ :

Prove que os quaternioes formam um corpo, cuja multiplicacao nao e comutativa.

Exercıcio 1.7 Prove que se dois inteiros podem ser expressos como a soma de doisquadrados (de inteiros), entao o mesmo vale para o seu produto4.Sugestao: Considere

j.aC bi/.cC di/j2 ;

onde cada sımbolo diferente de i denota um inteiro.

Exercıcio 1.8 Prove, pelo metodo de inducao, a formula binomial

.1C ´/n D 1C

n

1

!Ć

n

2

!´2 C � � � C

n

k

!´k C � � � C ń;

onde

n

p

!D

nŠ

pŠ.n� p/Še n e um inteiro positivo.

4Este facto basico tem varias aplicacoes em Teoria dos Numeros.


Exercıcio 1.9 Deduza a identidade

1C Ć ´2 C � � � C ń D1� ńC1

1� ´; ´ 6D 1:

Sugestao: Tome S D 1C Ć ´2 C � � � C ń e considere a diferenca S � ´S .

Exercıcio 1.10 Exprima sob a forma de um numero real:

(a)�10i

.1� i /.2� i /.3� i /;

(b)1C 2i

3� 4iC2� 6i5i

;

(c) .1C i /4 .

Exercıcio 1.11 Prove o Teorema 1.1.

Exercıcio 1.12 Escreva as expressoes em funcao de Re´ e Im´:

(a) Re´2;

(b) Re.i´/;

(c) Im.i´/;

(d) Re..1� i /´/.

Exercıcio 1.13

(a) Para ´;w 2 C, deduza a Regra do Paralelogramo

j´� wj2 C jĆ wj2 D 2.j´j2 C jwj2/ :

(b) Interprete geometricamente a referida propriedade.

Exercıcio 1.14 Ilustre geometricamente a divisao de numeros complexos.

Exercıcio 1.15 Determine as raızes ındice quatro de i e interprete geometrica-mente a posicao dos correspondentes afixos no plano de Argand.

Exercıcio 1.16 Repita o exercıcio anterior, agora para as raızes ındice 8 de 1.


Exercıcio 1.17 Para ´ ¤ 0 e mediante argumentacao geometrica, mostre que setem ˇ

ˇ ´j´j

� 1ˇˇ � jarg ´j ;

com o argumento de ´ expresso em radianos.

Exercıcio 1.18 Determine o argumento principal de ´, Arg ´, quando:

(a) ´Di

�2� 2i;

(b) ´D .p3� i /6.

Exercıcio 1.19 Determine as raızes cubicas dep3C i .

Exercıcio 1.20 Mostre que:

(a) jcis � j D 1;

(b) cis � D cis.��/.

Exercıcio 1.21 Deduza, a partir da formula de De Moivre, as seguintes identida-des:

(a) cos3� D cos3 � � 3cos� sin2 � ;

(b) sin3� D 3cos2 � sin� � sin3 � .

Exercıcio 1.22 Obtenha identidades analogas para cos4� e sin4� .

Exercıcio 1.23 Deduza a Identidade Trigonometrica de Lagrange:

1C cos� C cos2� C � � � C cosn� D1

2C

sinŒ.nC 12/� �

2 sin.�=2/; 0 < � < 2� :

Exercıcio 1.24 Mostre que, sendo ´ qualquer raiz ındice n da unidade diferente de1, se tem

1C ´C � � � C ´n�1 D 0 :

Sugestao: Utilize o resultado do Exercıcio 1.9.


Exercıcio 1.25 Este exercıcio fornece uma construcao dos numeros complexos apartir de uma classe especial de matrizes reais, construcao essa alternativa da usuala partir do plano real. Denotemos por M2.R/ o conjunto das matrizes reais 2� 2munido das operacoes usuais de adicao e multiplicacao. Consideremos o conjuntoC das matrizes da forma �

a b

�b a

�;

e tomemos a funcao M W C ! C que a cada complexo .a; b/ faz corresponder amatriz M.a;b/ definida por

M.a;b/ D�a b

�b a

�:

Prove que a funcao M satisfaz as seguintes propriedades:

(a) M e injectiva;

(b) M e sobrejectiva;

(c) M e um homomorfismo de grupos aditivos;

(d) M e um homomorfismo de monoides multiplicativos (isto e, preservaa multiplicacao);

(e) M e um isomorfismo de corpos;

(f) Todas as propriedades anteriores tambem sao validas para a restricaode M ao conjunto dos numeros reais

f.x;0/ W x 2 Rg � C

sobre o conjunto das matrizes diagonais em C:

Conclui-se, assim, que C satisfaz as propriedades algebricas de C:

Exercıcio 1.26 Mostre que as raızes complexas de um polinomio com coeficientesreais ocorrem em pares conjugados.

Exercıcio 1.27 Se j´j D 1, prove queˇˇa´C b

b´C a

ˇˇ D 1 ;

para quaisquer complexos a e b.


Exercıcio 1.28 Escreva, em notacao complexa, a equacao de uma recta, de umacircunferencia e de uma elipse.

Exercıcio 1.29 Represente geometricamente o conjunto dos pontos ´ tais que

(a) Re.Ć 1/D jĆ 1j;

(b) f´ 2 C W j´j D �j´� 1jg, com � 2 RC;

Exercıcio 1.30

(a) Deduza a validade de (1.18),

A D1

2Œ.z1 � z2/C .z2 � z3/C .z3 � z4/C .z4 � z1/� ;

para o calculo da area de qualquer quadrilatero de vertices ´1; ´2; ´3

e ´4 (tomados no sentido contrario ao dos ponteiros do relogio). Paratal, mostre que (1.18) e invariante mediante uma translacao por k.

Sugestao: Tenha em conta que Ć ´ e um numero real.

(b) Sera (1.18) valida para polıgonos com qualquer numero de lados?

Exercıcio 1.31 No espaco euclidiano R3, considere a esfera de centro 0 e de raio1,

S D f.x1; x2; x3/ 2 R3 W x21 C x2

2 C x23 D 1g ;

e o pontoN de coordenadas .0; 0; 1/, usualmente designado por polo norte de S .

(a) Mostre que a ”estrela” de rectas, que passam porN e que intersectamS , faz corresponder a cada ponto .x;y;0/ do planoOXY , um pontoda esfera S , distinto de N , de coordenadas dadas por

x1 D2x

x2 C y2 C 1; x2 D

2y

x2 C y2 C 1; x3 D

x2 C y2 � 1x2 C y2 C 1

:

(b) Designando por ´ o complexo x C iy (e por ´ o seu conjugado),mostre que as formulas anteriores se podem escrever na forma

x1 DĆ ´

1C j´j2; x2 D

´� í.1C j´j2/

; x3 Dj´j2 � 1j´j2 C 1

:


(c) Verifique que a recta que passa por N e .x1; x2; x3/ 2 S intersecta oplanoOXY no ponto ´D xC iy, dado por

´ Dx1 C ix2

1� x3:

Exercıcio 1.32 Sejam ´1; ´2 2 bC. Tome para d.´1; ´2/ a distancia usual entre ospontos da esfera de Riemann, correspondentes a ´1 e ´2, de acordo com a projeccaoestereografica.

(a) Qual o valor de d.0;1/? E de d.1;1/?

(b) Verifique que, em geral, para ´1; ´2; ´ 6D 1,

d.´1; ´2/ D2j´2 � ´1jp

1C j´1j2p1C j´2j2

e d.´;1/ D2p

1C j´j2:

A metrica assim definida diz-se metrica esferica.

1.12 Laboratorio 1

Este primeiro Laboratorio tem como principal objectivo a familiarizacao doleitor com a sintaxe basica do Mathematica no campo da Analise Complexa.

Comandos basicos

Um problema frequente que surge aos novos utilizadores do Mathematicadecorre do uso dos mesmos sımbolos para representar variaveis em diferentesnotebooks. Por exemplo, se tivermos dois notebooks abertos onde surja a variavelx, o valor de x corresponde ao valor da mais recente execucao. Esta situacaopode criar anomalias inesperadas. Por isso, e aconselhavel a utilizacao do comandoClear[] como forma de contornar o problema. No exemplo mencionado, acon-selha-se a colocacao de Clear[x] no inıcio dos dois notebooks. Se desejarmoslimpar todas as variaveis globais de uma so vez, sem as listar, podemos escreverClear["Global‘*"].

Os sımbolos e comandos inerentes ao programa comecam por uma maıuscula,em particular, o sımbolo I representa a unidade imaginaria i D

p�1.

Ao utilizar o Mathematica na manipulacao de numeros complexos, surgirainevitavelmente a necessidade de recorrer as funcoes Re[], Im[], Abs[], Arg[] e

1.12 Laboratorio 1 45

Conjugate[]. O seu funcionamento e obvio. Apresenta-se um exemplo ilustra-tivo.

In[1]:= Clear@"Global`*"D; z = 1 + I;8Re@zD, Im@zD, Abs@zD, Arg@zD, Conjugate@zD<Out[2]= 91, 1, �!!!!2 , Π

��4, 1 - ä=

Uma aparente anomalia no Mathematica...

Chamamos a atencao para aquilo que parece ser uma anomalia do programaMathematica.

Determinemos as partes real e imaginaria do numero complexo

.xC iy/3 ;

com x;y 2 R. Para obtermos uma expressao para .x C iy/3, procedemos do se-guinte modo:

In[3]:= expression = Expand@Hx + I * yL^3DOut[3]= x3 + 3 ä x2 y - 3 x y2 - ä y3

Em seguida, determinamos as partes real e imaginaria dessa expressao:

In[4]:= Re@expression DOut[4]= -3 Im@x2 yD + Im@y3D + Re@x3 - 3 x y2DIn[5]:= Im@expression DOut[5]= Im@x3 - 3 x y2D + 3 Re@x2 yD - Re@y3D

Nao obtivemos propriamente o desejado. A razao e simples. Se nenhuma instrucaofor dada em contrario, o Mathematica assume que todos os sımbolos literais saocomplexos, o que conduz aos resultados acima. Em contraponto, o comandoComplexExpand[] assume que todos sao reais, excepto os que forem explicita-mente definidos como complexos. Desta forma, as funcoes re[] e im[] operamdo modo esperado:


In[6]:= re@w_D := ComplexExpand @Re@wDD;im@w_D := ComplexExpand @Im@wDD;8re@expression D, im@expression D<

Out[8]= 8x3 - 3 x y2, 3 x2 y - y3<Uma aplicacao da Formula de De Moivre

Pretendemos efectuar a conversao de co-senos de multiplos de um angulo empotencias do co-seno desse angulo, usando o Mathematica. Vamos exemplificarcom cos 5� . Comecamos por aplicar a formula de De Moivre

cos 5� C i sin 5� D .cos � C i sin �/5 :

Em seguida, extraımos a parte real de .cos � C i sin �/5:

In[9]:= ComplexExpand @HCos@ΘD + I * Sin@ΘDL^5DOut[9]= Cos@ΘD5 - 10 Cos@ΘD3 Sin@ΘD2 + 5 Cos@ΘD Sin@ΘD4 +

ä H5 Cos@ΘD4 Sin@ΘD - 10 Cos@ΘD2 Sin@ΘD3 + Sin@ΘD5LIgualando as partes reais das duas expressoes, obtemos

cos 5� D cos5 � � 10cos3 � sin2 � C 5cos � sin4 � :

Usando o comando de substituicao /., damos a instrucao de utilizacao da FormulaFundamental da Trigonometria:

In[10]:= ExpandAHCos@ΘD5 - 10 Cos@ΘD3 Sin@ΘD2 + 5 Cos@ΘD Sin@ΘD4L �.9Sin@ΘD2 ® H1 - Cos@ΘD2L, Sin@ΘD4 ® H1 - Cos@ΘD2L2=EOut[10]= 5 Cos@ΘD - 20 Cos@ΘD3 + 16 Cos@ΘD5Concluımos, portanto, que

cos 5� D 5cos � � 20cos3 � C 16cos5 � :

Obviamente, um procedimento analogo aplica-se a sin 5� . O leitor pode experi-mentar outros casos.

No programa Mathematica, existem funcoes que permitem obter de mododirecto o resultado anterior sem recorrer a Formula de De Moivre. Trata-se docomando TrigExpand[] ou do comando Expand[] com a opcao Trig->True.Passamos a ilustrar. Escrevemos


In[11]:= TrigExpand @Cos@5 ΘDDOut[11]= Cos@ΘD5 - 10 Cos@ΘD3 Sin@ΘD2 + 5 Cos@ΘD Sin@ΘD4

ou

In[12]:= Expand @Cos@5 ΘD, Trig ® TrueDOut[12]= Cos@ΘD5 - 10 Cos@ΘD3 Sin@ΘD2 + 5 Cos@ΘD Sin@ΘD4

Seguidamente, efectuamos a substituicao das potencias de sin � :

In[13]:= Expand@% �. Sin@ΘD^k_ ® H1 - Cos@ΘD2L^Hk � 2LDOut[13]= 5 Cos@ΘD - 20 Cos@ΘD3 + 16 Cos@ΘD5

Para a operacao inversa, usa-se TrigReduce[]. Consideremos o exemplo anterior.

In[14]:= TrigReduce @5 Cos@ΘD - 20 Cos@ΘD3 + 16 Cos@ΘD5DOut[14]= Cos@5 ΘDOutra funcao que tambem pode ser util, nomeadamente na factorizacao, e

TrigFactor[]. Vejamos:

In[15]:= TrigFactor @Cos@5 ΘDDOut[15]= Cos@ΘD H1 - 2 Cos@2 ΘD + 2 Cos@4 ΘDL

Visualizacao de raızes complexas no Mathematica

O comando Solve[] permite obter as solucoes de uma equacao. Notamosque, no Mathematica, usa-se o sinal == para separar os dois membros de umaequacao. O comando Solve[] tem dois argumentos, sendo o primeiro a equacao,ou uma lista com um conjunto de equacoes, e o segundo a variavel, ou uma lista devariaveis, em relacao a qual se pretende resolver a equacao. Exemplificamos como calculo das raızes da equacao w5 � 1D 0.

In[16]:= Solve@w5 - 1 � 0, wDOut[16]= 88w ® 1<, 8w ® -H-1L1�5<,8w ® H-1L2�5<, 8w ® -H-1L3�5<, 8w ® H-1L4�5<<


Apresentamos uma lista com as raızes quınticas da unidade, que no planocomplexo correspondem aos vertices de um pentagono regular inscrito na circun-ferencia de raio unitario.

In[17]:= Table@Cos@2 * k * Π � 5D + I * Sin@2 * k * Π � 5D, 8k, 0, 4, 1<DOut[17]= 91, 1

��4I-1 +

�!!!!5 M +1��2

ä$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1��2I5 +

�!!!!5 M , 1��4I-1 -

�!!!!5 M +1��2

ä$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1��2I5 -

�!!!!5 M ,1��4I-1 -

�!!!!5 M -1��2

ä$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1��2I5 -

�!!!!5 M , 1��4I-1 +

�!!!!5 M -1��2

ä$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1��2I5 +

�!!!!5 M =Vejamos como representar as raızes no plano complexo.

In[18]:= complexPlot @z_ListD := Module@8points<,points = Map@8Re@#D, Im@#D< &, zD;ParametricPlot @8Cos@ΘD, Sin@ΘD<, 8Θ, -Π, Π<, AspectRatio -> 1,

PlotRange ® 88-1.05, 1.05<, 8-1.05, 1.05<<,PlotRegion ® 880.03, 0.97<, 80.03, 0.97<<,Epilog ® [email protected], Map@Point, pointsD<DD;

w =1��4I-1 +

�!!!!5 M +

1��2

ä$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1��2I5 +

�!!!!5 M ;

complexPlot @81, w, w2, w3, w4<D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Out[19]= � Graphics �


Como complemento, apresentamos a funcao showNthRoots[] que representa gra-ficamente as raızes ındice n da unidade. Exemplifiquemos com o caso n D 31.

In[20]:= showNthRoots @n_D := Module@8w = Cos@2 * Π � nD + I * Sin@2 * Π � nD<,complexPlot @Table@wm, 8m, 1, n<DDD;

showNthRoots @31D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1


Resolucao da cubica

Partindo do polinomiox3 Cax2 CbxCc, efectuemos a mudanca de variavelassociada a translacao:

In[22]:= Collect@Expand@x3 + a x2 + b x + c �. x ® X + AD, XDOut[22]= a A2 + A3 + A b + c + H2 a A + 3 A2 + bL X + Ha + 3 AL X2 + X3

O comando Collect[] agrupa os termos de acordo com as potencias de X . Se to-marmos AD �a=3, eliminamos o termo quadratico. Desta forma, se pretendermosestudar as raızes de um polinomio de grau 3, podemos considera-lo, sem perda degeneralidade, na forma x3 C exC f (cfr. exercıcio 1.3).


Em seguida, ilustramos uma resolucao da cubica (cfr. exercıcios 1.4 e 1.5),tirando partido das raızes cubicas da unidade w, w2 e w3, com w D e2�i=3. Obser-vamos que a sua soma e igual a zero, pelo que nao sao linearmente independentes.

In[23]:= w = Exp@ä * 2 * Π � 3D;Map@8Re@#D + I * Im@#D< &, 8w, w + w^2 + w^3<D

Out[24]= 99-1��2

+ä�!!!!3

��2=, 80<=

Admitamos, como hipotese, que as raızes de um polinomio de grau 3 podem serexpressas do seguinte modo: ˛ C ˇw2, ˛w C ˇw e ˛w2 C ˇ e consideremos opolinomio cubico obtido a partir do produto ´1´2´3, com:

In[25]:= z1 = x - Α - Β * w2;

z2 = x - Α * w - Β * w;

z3 = x - Α * w2 - Β;

Simplify@Collect@Expand@z1 * z2 * z3D, xDDOut[28]= x3 - Α3 +

3��2I1 + ä

�!!!!3 M x Α Β - Β3

Observemos que o polinomio nao tem termo quadratico. Assim, consideremos opolinomio cubico x3 � 3ax C b e suponhamos que pode ser factorizado na forma´1´2´3, o que implica que

b D �˛3 �ˇ3 e � 3a D3

2

�1C i

p3�˛ˇ :

Para resolvermos este sistema de duas equacoes a duas incognitas, eliminemos ˇcom base na regra da substituicao:

In[29]:= expression1 = ExpandASimplifyA-Α3 - Β3 - b �. Β ® -2 a �II1 + ä�!!!!3 M ΑMEE

Out[29]= -b -a3��Α3

- Α3

Seguidamente, substituamos ˛ por �1=3.

In[30]:= expression2 = expression1 �. 8Α3 ® Λ, 1 � Α3 ® 1 � Λ<Out[30]= -b -

a3��Λ

- Λ


Igualando esta expressao a zero, temos uma equacao do segundo grau em � facil-mente resoluvel. Usemos a funcao Solve[] para obtermos as suas raızes �.

In[31]:= Solve@expression2 � 0, ΛDOut[31]= 99Λ ®

1��2I-b -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-4 a3 + b2 M=, 9Λ ®

1��2I-b +

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-4 a3 + b2 M==

As solucoes ˛ sao as raızes cubicas de � que apresentamos, de seguida, usando afuncao Solve[].

In[32]:= solΑ = Α �. Solve@expression1 � 0, ΑDOut[32]= 9-J-

1��2N1�3 I-b -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-4 a3 + b2 M1�3, I-b -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-4 a3 + b2 M1�3

��21�3 ,

H-1L2�3 I-b -�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4 a3 + b2 M1�3��

21�3 , J-b��2

+1��2�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4 a3 + b2 N1�3,-H-1L1�3 J-

b��2

+1��2�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4 a3 + b2 N1�3, H-1L2�3 J-b��2

+1��2�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4 a3 + b2 N1�3=Obtemos 6 solucoes, mas como as equacoes do sistema sao simetricas em relacaoa ˛ e ˇ, temos efectivamente tres raızes do polinomio x3 � 3ax C b: ˛ C ˇw2,˛w C ˇw e ˛w2 Cˇ. A lista de valores de ˇ correspondente a lista de valores para˛ e

In[33]:= solΒ = MapA-2 a � II1 + ä�!!!!3 M #M &, solΑE

Out[33]= 9-2 H-1L2�3 21�3 a

��I1 + ä�!!!!3 M I-b -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-4 a3 + b2 M1�3 ,

-2 21�3 a

��I1 + ä�!!!!3 M I-b -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-4 a3 + b2 M1�3 , 2 H-2L1�3 a

��I1 + ä�!!!!3 M I-b -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-4 a3 + b2 M1�3 ,

-2 a

��I1 + ä�!!!!3 M I- b��

2+ 1��

2�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4 a3 + b2 M1�3 ,-

2 H-1L2�3 a��I1 + ä

�!!!!3 M I- b��2

+ 1��2�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4 a3 + b2 M1�3 ,2 H-1L1�3 a

��I1 + ä�!!!!3 M I- b��

2+ 1��

2�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4 a3 + b2 M1�3 =


Resolucao da quartica pelo Metodo de Ferrari

Aplicamos o Metodo de Ferrari para determinacao das raızes de um po-linomio de grau 4. Consideremos um polinomio de grau 4 sem o termo cubico, poispodemos elimina-lo por uma mudanca de coordenadas associada a uma translacao.Utilizamos o comando Clear[] com o objectivo de limpar todos os valores atri-buidos anteriormente as variaveis.

In[34]:= Clear@"Global`*"D;quartic = x4 + p * x2 + q * x + r;

lhs = x4 + p * x2; rhs = -q * x - r;

A equacao quartica original pode ser expressa como se segue:

In[37]:= lhs � rhs

Out[37]= p x2 + x4 � -r - q x

Adicionemos a ambos os membros px2 C p2 com o objectivo de os transformarem quadrados perfeitos.

In[38]:= lhs1 = lhs + p * x2 + p2;

rhs1 = rhs + p * x2 + p2;

Factor@lhs1DOut[40]= Hp + x2L2

Conforme podemos verificar, o primeiro membro, lhs1, e um quadrado perfeito.Porem, o segundo membro, rhs1, ainda nao esta na forma pretendida.

In[41]:= rhs1

Out[41]= p2 - r - q x + p x2

Seguidamente, somemos a cada um dos membros uma expressao tal que o segundomembro seja um quadrado perfeito e de modo que o primeiro membro continue aser um quadrado perfeito.

In[42]:= lhs2 = lhs1 + 2 * z Hp + x2L + z2;

rhs2 = rhs1 + 2 * z Hp + x2L + z2;

Factor@lhs2DOut[44]= Hp + x2 + zL2


Ajustemos o parametro ´ de modo conveniente, recordando a Formula Resolventeda equacao quadratica ax2 C bxC c D 0 que fornece as solucoes

�b˙pb2 � 4ac2a

:

Para que ax2 C bxC c seja um quadrado perfeito e necessario que b2 � 4ac D 0.Apliquemos estas consideracoes a expressao rhs2 associada ao segundo membro.

In[45]:= a = Coefficient @rhs2, x2DOut[45]= p + 2 z

In[46]:= b = Coefficient @rhs2, xDOut[46]= -q

In[47]:= c = Expand@rhs2 - a * x2 - b * xDOut[47]= p2 - r + 2 p z + z2

Organizemos, agora, a equacao resultante em ´:

In[48]:= Collect@b2 - 4 * a * c, zDOut[48]= -4 p3 + q2 + 4 p r + H-16 p2 + 8 rL z - 20 p z2 - 8 z3

Chegamos, assim, a uma equacao cubica em ´ que podemos resolver, por exemplo,pelo Metodo de Tartaglia exposto anteriormente. Uma vez determinado ´, os doismembros da equacao sao expressos como quadrados perfeitos. O passo seguinteconsiste em tomar a raiz quadrada de cada um dos membros e resolver as duasequacoes quadraticas daı resultantes. Ilustremos com o seguinte exemplo:

In[49]:= lhs = x4 - 10 x2; rhs = -8 * x - 5;

lhs1 = lhs - 10 * x2 + 102; rhs1 = rhs - 10 * x2 + 102;

Factor@lhs1DOut[51]= H-10 + x2L2In[52]:= lhs2 = lhs1 + 2 * z H-10 + x2L + z2;

rhs2 = rhs1 + 2 * z H-10 + x2L + z2;

Factor@lhs2DOut[54]= H-10 + x2 + zL2


Segue-se

In[55]:= a = Coefficient @rhs2, x2DOut[55]= -10 + 2 z

In[56]:= b = Coefficient @rhs2, xDOut[56]= -8

In[57]:= c = Expand@rhs2 - a * x2 - b * xDOut[57]= 95 - 20 z + z2

O valor de ´ e escolhido de modo que seja zero o discriminante b2 � 4ac.

In[58]:= cubic = Collect@b2 - 4 * a * c, zDOut[58]= 3864 - 1560 z + 200 z2 - 8 z3

Eliminemos, agora, o termo quadratico:

In[59]:= reducedcubic = Collect@cubic �. z ® Z + 200 � 24, ZDOut[59]=

3328��27

+320 Z��3

- 8 Z3

Podemos obter as raızes deste polinomio do terceiro grau recorrendo a diferen-tes metodos, nomeadamente ao exposto neste Laboratorio. Contudo, passamos deimediato ao calculo das raızes usando a instrucao Solve[].

In[60]:= solutionZ = Z �. Solve@reducedcubic � 0, ZDOut[60]= 9-

4��3,

2��3I1 - 3 �!!!!3 M, 2

��3I1 + 3 �!!!!3 M=

Aparentemente os calculos poderao ser mais faceis se escolhermos a raiz �4=3.Vem, entao,

In[61]:= z = solutionZ@@1DD + 200 � 24Out[61]= 7


Convem notar que list[[n]] representa o elemento de ordem n de list, de modoque solutionZ[[1]] representa a primeira solucao que e �4=3. Por outro lado,assim que atribuimos um valor a uma variavel, imediatamente em todas as ex-pressoes onde se encontra a variavel esta e substituıda pelo valor atribuıdo. Nestecaso, igualamos ´ a 7 e podemos constatar que tanto lhs2 como rhs2 sao agoraquadrados perfeitos.

In[62]:= lhs3 = Factor@lhs2DOut[62]= H-3 + x2L2In[63]:= rhs3 = Factor@rhs2DOut[63]= 4 H-1 + xL2

Tomando raızes quadradas na equacao lhs3==rhs3, obtemos duas equacoes qua-draticas, quad1 e quad2, cujas raızes deverao ser iguais ou simetricas. E con-veniente usarmos o comando PowerExpand[] para obrigarmos o Mathematica arealizar o que pretendemos.

In[64]:= quad1 = PowerExpand @Sqrt@lhs3D � Sqrt@rhs3DDOut[64]= -3 + x2 � 2 H-1 + xLIn[65]:= quad2 = PowerExpand @Sqrt@lhs3D � -Sqrt@rhs3DDOut[65]= -3 + x2 � -2 H-1 + xLIn[66]:= solutionx1 = x �. Solve@quad1, xDOut[66]= 91 -

�!!!!2 , 1 +�!!!!2 =

In[67]:= solutionx2 = x �. Solve@quad2, xDOut[67]= 9-1 -

�!!!!6 , -1 +�!!!!6 =

In[68]:= Simplify@lhs - rhs �. 8x ® solutionx1 <DOut[68]= 80, 0<In[69]:= Simplify@lhs - rhs �. 8x ® solutionx2 <DOut[69]= 80, 0<


Em qualquer dos quatro casos a expressao lhs-rhs e zero. Como forma de confir-mar o resultado, podemos simplesmente resolver lhs==rhs em ordem a x com ocomando Solve[].

In[70]:= Solve@lhs � rhs, xDOut[70]= 99x ® 1 -

�!!!!2 =, 9x ® 1 +�!!!!2 =, 9x ® -1 -

�!!!!6 =, 9x ® -1 +�!!!!6 ==

Representacao de subconjuntos no plano

A funcao do Mathematica ComplexInequalityPlot[] inserida no pacoteInequalityGraphics fornece uma ajuda valiosa na visualizacao de subconjuntosde C satisfazendo certas condicoes.

In[71]:= Clear@"Global`*"D;Needs@"Graphics`InequalityGraphics` "D;? ComplexInequalityPlot

ComplexInequalityPlot@ineqs, 8z, zmin, zmax<D plots the theregion defined by ineqs within the box bounded by 8Re@zminD, Im@zminD< and 8Re@zmaxD, Im@zmaxD<. The functionsthat occur within the inequality need to be real valued

functions of a complex argument, e.g. Abs, Re and Im. More…

Podemos combinar diferentes condicoes utilizando os operadores logicos ^ e _.

In[74]:= Block@8$DisplayFunction = Identity<,p1 = ComplexInequalityPlot @Abs@zD £ 0.3 êHRe@zD2 + 4 Im@zD2 £ 1 ì 1.23 Re@zD2 + 6.25 Im@zD2 ³ 1L,8z<, Fills ® RGBColor@0, 0, 1D, Ticks ® NoneD;p2 = ComplexInequalityPlot @Abs@z - 0.2D ³ 0.4 ß Abs@zD £ 1,8z<, Fills ® RGBColor@1, 1, 0D, Ticks ® NoneD;p3 = ComplexInequalityPlot @Abs@1 - z2D £ 1, 8z<,

Fills ® RGBColor@1, 0, 0D, Ticks ® NoneD;p4 = ComplexInequalityPlot @Abs@1 - z3D £ 1, 8z<,

Fills ® RGBColor@0, 1, 0D, Ticks ® NoneD;p5 = ComplexInequalityPlot @Abs@1 - z2D £ Abs@1 - z + z2D,8z, -1 � 2 - 2 I, 2 + 2 I<, Ticks ® NoneD;p6 = ComplexInequalityPlot @Abs@z - 1D £ Re@zD,8z, -1 � 2 - 4 I, 3 + 4 I<,

Fills ® RGBColor@1, 0.5, 0D, Ticks ® NoneD;D


In[75]:= Show@GraphicsArray @88p1, p2<, 8p3, p4<, 8p5, p6<<DD

Out[75]= � GraphicsArray �

Podemos visualizar as coordenadas nos eixos se retirarmos a opcao Ticks->None.Vejamos novo exemplo.

In[76]:= ComplexInequalityPlot AHRe@zD2 + Im@zD2 + Re@zDL2 £ Re @zD2 + Im@zD2,8z, -2 - 2 I, 1 � 2 + 2 I<,Fills ® RGBColor@1, 0.5, 0.5D, ImageSize ® 72 2E

-2 -1.5 -1 -0.5

-1

-0.5

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5

-1

-0.5

0.5

1



A figura obtida corresponde a um cardioide e ao seu interior (no sentido geome-trico). Todo o cardioide possui um cuspide, que na figura se encontra na origem.Um cardioide pode ser caracterizado pelo conjunto dos ´D xC iy para os quais

.x2 C y2 C ax/2 D a2.x2 C y2/ ; a > 0 :

Podemos tambem considerar a sua equacao polar. Para ´D rei� , tem-se

r D a.1� cos �/ ; a > 0 :

Vejamos o que acontece quando a assume os valores 0:25;0:5; 0:75 e 1.

In[77]:= ParametricPlot @Evaluate@Table@8a H1 - Cos@ΘDL Cos@ΘD,

a H1 - Cos@ΘDL Sin@ΘD<,8a, 0.25, 1, 0.25<DD, 8Θ, 0, 2 Π<,AspectRatio ® 1, PlotStyle ® 88Hue@0D<,[email protected]<, [email protected]<, [email protected]<<D

-2 -1.5 -1 -0.5

-1

-0.5

0.5

1


Voltemos ao nosso ”puzzle historico”. Por que foi o desen-volvimento dos numeros complexos tao laborioso e hesitante,enquanto que o da Analise Complexa foi tao explosivo?

Ian Stewart e David Tall

Capítulo 2Funcoes Complexas

2.1 Introducao

Chama-se funcao complexa de variavel complexa a toda a correspondenciaf definida num subconjunto de C e tomando valores em C, f W D � C ! C. OconjuntoD designa-se por domınio de definicao da funcao f . O contradomınio def e constituıdo por todos os pontos de C que sao imagem de algum ponto de D erepresenta-se por f .D/.

Salvo indicacao explıcita em contrario, consideraremos sempre funcoes unı-vocas, ou seja, que a cada objecto fazem corresponder uma e uma so imagem.Contudo, sempre que se justifique e em situacoes devidamente assinaladas, con-sideraremos funcoes multıvocas, para as quais um objecto pode ter mais de umaimagem associada.

Por exemplo, a funcao que a cada numero complexo ´ 2 Cnf0g faz corres-ponder o argumento de ´,

arg W Cnf0g ! R ;

e multıvoca, diferindo cada dois valores de arg ´ de um multiplo de 2� . Ja o argu-mento positivo mınimo, arg0, e o argumento principal, Arg D arg�� , sao funcoesunıvocas:

arg0 W Cnf0g !�0; 2�� e Arg W Cnf0g !��;�� :

Como veremos, o facto da funcao argumento ser multıvoca implica que outrasfuncoes tambem o sejam, como e o caso, por exemplo, da funcao logaritmo e dafuncao raiz ındice n.

59

60 CAPITULO 2: Funcoes Complexas

Dada uma funcao f , distinguiremos entre a correspondencia propriamentedita, f , e a imagem de um ponto ´ por f , f .´/. Contudo, por simplificacao delinguagem, permitiremos que f .´/ denote a funcao se tal nao for ambıguo.

Consideraremos ao longo do texto funcoes definidas num domınio ou regiaode C 5. Porem, nas definicoes de limite e continuidade assumiremos temporaria-mente a possibilidade de D ser um mero subconjunto nao-vazio de C. O objectivoe o de considerar estes conceitos validos tanto para funcoes complexas de variavelcomplexa, como tambem para as de variavel real. A mesma excepcao far-se-a parao conceito de continuidade uniforme, muitas vezes aplicado a funcoes definidasnum subconjunto compacto de C.

Exemplos 2.1

(a) A funcao conjugacao definida por

f .´/ D ´

representa uma reflexao relativamente ao eixo dos xx.

(b) Chama-se funcao polinomial a funcao definida por

p.´/ D a0 C a1´C � � � C an´n ;

com ai 2 C, i D 0;1; : : : ; n e n 2 N.

(c) Chama-se funcao racional a toda a funcao da forma

f .´/ Dp.´/

q.´/;

onde p e q sao funcoes polinomiais em ´, ja sem zeros em comum.Podemos considerar que f nao esta definida nos zeros de q. Con-tudo, e usual convencionar que f toma o valor 1 nesses pontos.Na definicao de funcao racional, considera-se assim como conjuntode chegada bC, permitindo desta forma que a funcao polinomial dodenominador se anule. Note-se que 1

0D 1 2 bC.

5No caso geral, o ”domınio de definicao” de uma funcao pode nao ser um ”domınio” (subconjuntonao-vazio, aberto e conexo).

2.1 Introducao 61

Dada uma funcao complexa de variavel complexa, f W D � C ! C, paracada ´ 2 D, obtem-se f .´/ 2 C. Consequentemente, podemos escrever f .´/ naforma

f .´/ D u.´/C iv.´/ ; (2.1)

onde u.´/; v.´/ 2 R. Designaremos frequentemente u e v, respectivamente, porparte real e parte imaginaria de f e escreveremos, respectivamente, Re f e Im f .Tanto u.´/ como v.´/ dependem da variavel complexa ´ D x C iy, ou seja, de.x;y/, identificando o numero complexo ´ com o seu afixo. Desta forma, u ev dependem das variaveis reais x e y, pelo que f .´/ pode ser expressa nessasvariaveis:

f .´/ D u.x;y/C iv.x;y/ : (2.2)

De igual forma, se representarmos o numero complexo ´ na forma trigonometrica,

´ D r cis � D r .cos � C i sin �/ ;

podemos escrever f .´/ na forma

f .´/ D u.r; �/C iv.r; �/ : (2.3)

Assim, toda a funcao complexa de variavel complexa pode ser encarada comouma funcao de R2 em R2, sendo a topologia usual de C nada mais nada menos doque a topologia euclidiana de R2.

Exemplo 2.2 Consideremos a funcao

f W C ! C .

´ 7! f .´/ D ´2

Representando a variavel ´ na forma algebrica, tem-se

f .xC iy/ D .xC iy/2 D x2 � y2 C i2xy ;

pelo que

u.x;y/ D x2 � y2 e v.x;y/ D 2xy :

Por seu turno, representando ´ na forma trigonometrica, vem

f .r cis �/ D .r cis �/2 D r2 cis.2�/ D r2 cos.2�/C i r2 sin.2�/ ;

obtendo-se, portanto,

u.r; �/ D r2 cos.2�/ e v.r; �/ D r2 sin.2�/:


E pertinente tecer algumas consideracoes sobre a representacao grafica deuma funcao complexa de variavel complexa. A representacao grafica de umafuncao

f W D � C ! C

´D xC iy 7! w D f .´/D u.´/C iv.´/

requer sempre dois planos: um para representar o campo de variacao de x e y,designado por plano�´, e outro para o campo de variacao da parte real e da parteimaginaria de f (u e v), designado por plano�w. Ilustremos com um exemplo.

Exemplo 2.3 Consideremos a funcao f definida por

f .´/ Dqx2 C y2 C i.�y/ ; ´D xC iy 2 C :

O que podera dizer-se acerca de contradomınio de f ? Ora, considerem-se as cir-cunferencias de raio c centradas na origem, de equacao

x2 C y2 D c2 :

Entao, tomando

u.x;y/ Dqx2 C y2 e v.x;y/ D �y; x;y 2 R ;

tem-se que uD c e v 2 Œ�c; c� (veja-se a figura 15).

A medida que o valor de c diminui obtemos segmentos de recta de compri-mento inferior e a esquerda do segmento de recta da figura 15. Por outro lado,aumentando o valor de c, obtemos segmentos de recta a direita desse segmento ede comprimento superior, como pode observar-se na figura 16.

Torna-se, assim, evidente que o contradomınio da funcao f e dado por

f .C/ D f.u;v/ W u � 0^ v � u^ v � �ug

e encontra-se representado geometricamente na figura 17.

2.1 Introducao 63

0x

y

c

f�!

0u

v

c

c

�c

Figura 15: A funcao f transforma circunferencias do plano�´ em segmentos derecta do plano�w.

0u

v

c

c

�c

Figura 16: Visualizacao do comportamento de f no plano�w.


0u

v

Figura 17: Representacao geometrica do contradomınio de f no plano�w.

2.2 Limites

Pelo facto de uma funcao complexa de variavel complexa poder ser encaradacomo uma funcao de R2 em R2, sao validas para as funcoes complexas muitas dasnocoes ja conhecidas da Analise Real, como, por exemplo, as de limite e continui-dade.

Seja f W D � C ! C uma funcao complexa e ´0 2 C um ponto de acumu-lacao do conjuntoD. Diz-se que a funcao f tem limite w0 quando ´ tende para ´0

e escreve-selim

´!´0

f .´/ D w0 ;

se para todo o " > 0, existe ı > 0 tal que

jf .´/� w0j < "; (2.4)

para todo o ´ 2D que verifique 0 < j´� ´0j < ı.

Note-se que se ´0 pertencer a um domınioD, entao ´0 e ponto de acumulacaode D, uma vez que sendoD aberto, existe " > 0 tal que

D.´0; "/ � D :

Contudo, se ´0 e um ponto de acumulacao de D, ´0 pode nao pertencer a D. Porexemplo, fixando um valor ı > 0,

D D D.´0; ı/nf´0g

2.2 Limites 65

e aberto e conexo, ou seja, e um domınio, e ´0 e ponto de acumulacao de D,apesar de ´0 62D. Portanto, se ´0 e ponto de acumulacao de D, ´0 nao precisa depertencer a D e a imagem f .´0/ nao precisa de estar definida. Caso ´0 2D, podeacontecer ainda que

f .´0/ 6D lim´!´0

f .´/ :

Por exemplo, se

f .´/ D�0 ; se ´ 6D 0

2 ; se ´D 0; (2.5)

entaolim´!0

f .´/ D 0 6D f .0/ :

No entanto, e essencial que ´0 seja um ponto de acumulacao deD. De outro modo,existiria ı > 0 sem que

D.´0; ı/nf´0g D f´ 2 C W 0 < j´� ´0j < ıg

contivesse ponto algum de D, pelo que (2.4) seria trivialmente valida para todo ow0 complexo.

Adaptemos, agora, a definicao de limite aos casos em que ´0 ou w0 sao infi-nitos, tendo em conta o conceito de vizinhanca do 1 apresentado na seccao 1.10.Assim,

lim´!´0

f .´/ D 1

significa que para todo o " > 0, existe ı > 0 tal que

jf .´/j >1

";

para todo o ´ 2D que verifique 0 < j´� ´0j < ı.

Por sua vez,lim

´!1f .´/ D w0

e equivalente a afirmar que para todo o " > 0, existe ı > 0 tal que

jf .´/� w0j < ";

para todo o ´ 2D que verifique j´j >1

ı:

Apresentamos dois resultados que sao consequencia imediata da definicao delimite.


Teorema 2.1 (Unicidade do limite de uma funcao complexa) O limite de umafuncao complexa, caso exista, e unico.

DEMONSTRAC AO: Admitamos que existem w0;w1 tais que w0 6D w1 e

lim´!´0

f .´/ D w0 e lim´!´0

f .´/ D w1:

Entao, dado " > 0,

9ı0>0 W 0 < j´� ´0j < ı0 ) jf .´/� w0j < " I

9ı1>0 W 0 < j´� ´0j < ı1 ) jf .´/� w1j < " :

Tomando "Djw0 � w1j

2> 0 e ı D minfı0; ı1g tem-se que

jw0 � w1j � jf .´/� w0j C jf .´/� w1j < 2" D jw0 � w1j ;

o que e um absurdo. �

Lembramos que a unicidade do limite de uma funcao e valida em espacos deHausdorff e que o conjunto dos numeros complexos munido da metrica usual e umespaco de Hausdorff.

Teorema 2.2 (Limite complexo vs limites das componentes reais) Seja

f W D � C ! C

uma funcao complexa definida no domınio D. Consideremos ´0 D x0 C iy0,w0 D u0 C iv0 e f .´/ D u.x;y/C iv.x;y/, para cada ´D xC iy 2D. Tem-se

lim´!´0

f .´/D w0 , lim.x;y/!.x0;y0/

u.x;y/D u0 ^ lim.x;y/!.x0;y0/

v.x;y/ D v0 :

DEMONSTRAC AO: Admitamos que limf .´/ D w0 quando ´ ! ´0. Entao, paracada " > 0, existe ı > 0 tal que

0 < j.x � x0/C i.y � y0/j < ı ) ju.x;y/C iv.x;y/� .u0 C iv0/j < " :

Como ju� u0j � j.u� u0/C i.v � v0/j < ", conclui-se que

8">0;9ı>0 W 0 <q.x � x0/2 C .y � y0/2 < ı ) ju.x;y/�u0j < " :

2.2 Limites 67

Logo, limu.x;y/D u0 quando .x;y/! .x0; y0/. Analogamente se conclui que

lim.x;y/!.x0;y0/

v.x;y/ D v0 :

Reciprocamente, dado " > 0,

9ı0>0 W 0 < j.xC iy/� .x0 C iy0/j < ı0 ) ju.x;y/� u0j <"

2I

9ı1>0 W 0 < j.xC iy/� .x0 C iy0/j < ı1 ) jv.x;y/� v0j <"

2:

Portanto, tomando ı D minfı0; ı1g > 0, conclui-se o pretendido. �

Assim, de acordo com a notacao adoptada, afirmar que lim´!´0

f .´/ D w0 e

equivalente a afirmar que

lim´!´0

Re f .´/D Re w0 ^ lim´!´0

Im f .´/ D Im w0 : (2.6)

As seguintes propriedades dos limites complexos podem ser provadas pormetodos analogos ao caso real.

Teorema 2.3 (Algebra dos limites) Consideremos duas funcoes complexas f e g,com domınio de definicao D, e seja ´0 um ponto de acumulacao de D. Se

lim´!´0

f .´/ D l e lim´!´0

g.´/ D k ;

entao

(a) lim´!´0

Œf .´/C g.´/� D l C kI

(b) lim´!´0

Œf .´/� g.´/� D l � kI

(c) lim´!´0

f .´/g.´/ D l kI

(d) lim´!´0

f .´/

g.´/D

l

k, desde que k 6D 0.

Outra propriedade importante dos limites e a seguinte:

se lim´!´0

f .´/ D l ; entao lim´!´0

jf .´/j D jl j : (2.7)

Esta propriedade prova-se usando a definicao de limite e a desigualdade

jjf .´/j � jl jj � jf .´/� l j :


2.3 Continuidade

Diz-se que a funcao f W D � C ! C e contınua em ´0 2 D se para todo o" > 0, existe ı > 0 tal que

jf .´/� f .´0/j < ";

sempre que ´ 2D e j´� ´0j < ı.

Diz-se que f e contınua emD � C se for contınua em todos os pontos deD.

Se considerarmos, como habitualmente,D um domınio, entao ´0 e ponto deacumulacao de D e a definicao de continuidade apresentada equivale a afirmar queexiste o limite quando ´ tende para ´0 e que este e igual ao valor da funcao noponto:

lim´!´0

f .´/ D f .´0/ :

Por exemplo, a funcao definida em (2.5) nao e contınua na origem, uma vez que olimite da funcao quando z tende para 0 e diferente da sua imagem em 0.

Se considerarmos D um mero conjunto, alguns dos seus pontos podem serisolados. Ora, nesses pontos a funcao e trivialmente contınua. De facto, se ´0 e umponto isolado, entao existe um disco D.´0; ı/ que nao contem outro ponto de Dpara alem de ´0 e qualquer ´ 2 D tal que j´� ´0j < ı implica ´ D ´0, o que porsua vez permite concluir que

jf .´/� f .´0/j D 0 :

Vejamos alguns exemplos de continuidade, usando raciocınios "� ı.

Exemplos 2.4

(a) A funcao

f .´/ D j´j

e contınua em todo o plano complexo. Com efeito, dado " > 0, to-memos ı D ". Entao, para j´� ´0j < ı;

jf .´/� f .´0/j D jj´j � j´0jj � j´� ´0j < " :

2.3 Continuidade 69

(b) A funcao conjugacaof .´/ D ´

e contınua em todo o plano. Este facto resulta imediatamente de

j´� ´0j D j´� ´0j :

E tambem trivial provar que g e contınua em ´0 se e so se g econtınua em ´0, sendo g definida por

g.´/ D g.´/ ;

para cada ´ pertencente ao domınio de definicao de g.

O resultado que agora se apresenta e utilizado frequentemente em espacostopologicos arbitrarios para caracterizar as funcoes contınuas.

Teorema 2.4 (Caracterizacao das funcoes contınuas por abertos) Seja D umdomınio de C. Uma funcao f W D � C ! C e contınua se e so se, para cadaaberto U , a sua imagem inversa f �1.U / e ainda um aberto.

DEMONSTRAC AO: Suponhamos que f W D � C ! C e contınua e que U e umaberto de C. Seja ´0 2 f �1.U /, com

f �1.U / D f´ 2D W f .´/ 2 U g :

Entao, f .´0/ 2U , pelo que existe " > 0 tal queD.f .´0/; "/� U . Da continuidadede f no ponto ´0, sabemos que existe ı > 0 tal que

jf .´/� f .´0/j < ";

sempre que ´ 2D e j´� ´0j < ı. Desta forma,

f .D \D.´0; ı// � D.f .´0/; "/ � U ;

dondeD \D.´0; ı/ � f �1.U /

e f �1.U / e aberto em D, ou seja, e a interseccao de D com um aberto de C.Como D e um domınio,D e um aberto de C. Sendo f �1.U / a interseccao de doisabertos de C, f �1.U / tambem e um aberto de C.

Reciprocamente, suponhamos que para cada subconjunto aberto U de C,f �1.U / e um aberto de C. Mas, f �1.U /�D, pelo queD \ f �1.U /D f �1.U /


e f �1.U / e aberto em D. Sejam ´0 2D e " > 0. Entao,D.f .´0/; "/ e um abertode C, pelo que

f �1.D.f .´0/; "//

e aberto em D. Desta forma, existe ı > 0 tal que

D \D.´0; ı/ � f �1.D.f .´0/; "// :

Assim,f .D \D.´0; ı// � D.f .´0/; "/

e f e contınua em ´0. �

Tal como sucede nos espacos topologicos arbitrarios, em C as funcoes contı-nuas gozam de duas importantes propriedades: transformam conexos em conexose compactos em compactos.

Teorema 2.5 (Continuidade e conexidade) Se f esta definida e e contınua numsubconjunto conexo C , entao f .C / tambem e conexo.

DEMONSTRAC AO: Se U e V forem abertos que tornem f .C / desconexo, entaof �1.U / e f �1.V / sao tambem abertos e tornam C desconexo. �

Em particular, toda a funcao contınua definida num domınio de C tem ocontradomınio conexo.

Teorema 2.6 (Continuidade e compacidade) Se f esta definida e e contınua numsubconjunto compactoK, entao f .K/ tambem e compacto.

DEMONSTRAC AO: Se .Uj /j 2J e uma cobertura aberta de f .K/, entao os conjun-tos f �1.Uj / formam uma cobertura aberta deK. Seleccionando uma subcoberturafinita, vem

K � f �1.Uj1/[ � � � [ f �1.Ujp

/ ;

pelo que f .K/ � Uj1[ � � � [Ujp

. �

O conhecimento destas propriedades torna-se relevante, nomeadamente noestudo das propriedades geometricas de uma funcao. Consideremos, por exem-plo, uma funcao f bijectiva e contınua em C. Suponhamos que f transforma acircunferencia de centro 0 e raio 1 no eixo real. Nestas condicoes, como D.0;1/ econexo, a funcao f so podera transformar o disco no semi-plano aberto superior ouno semi-plano inferior aberto. O conhecimento da imagem de um ponto do discoD.0;1/ permite identificar qual o semi-plano em questao.

Como consequencia do Teorema 2.2, e imediata a conclusao:

2.3 Continuidade 71

Teorema 2.7 (Continuidade complexa vs continuidade real) A funcao

f .´/ D u.x;y/C iv.x;y/ ; ´D xC iy 2D ;

e contınua num ponto ´0 D x0 C iy0 do seu domınio de definicao se e so se u e vo forem em .x0; y0/.

Exemplo 2.5 A funcao

f .´/ D ex y coshy � i sinhy cos x ; ´D xC iy 2 C ;

e contınua em todo o plano complexo, porque as funcoes parte real e parte ima-ginaria, respectivamente,

u.x;y/ D ex y coshy e v.x;y/ D �sinhy cos x ;

sao contınuas para todo .x;y/ 2 R2.

Nao supreende que a soma e o produto de funcoes contınuas seja aindauma funcao contınua e que o quociente entre funcoes contınuas seja uma funcaocontınua, salvo nos pontos em que o divisor se anular.

Teorema 2.8 (Construcao de funcoes contınuas) Se f1 e f2 sao funcoes com-plexas contınuas num ponto ´0 do seu domınio de definicao, entao as seguintesfuncoes tambem sao contınuas em ´0:

(a) f1 C f2, onde .f1 C f2/.´/D f1.´/C f2.´/;

(b) f1 � f2, onde .f1 � f2/.´/D f1.´/� f2.´/;

(c) f1 f2, onde .f1 f2/.´/D f1.´/f2.´/;

(d)f1

f2, onde

f1

f2.´/D

f1.´/

f2.´/, desde que f2.´0/ 6D 0.

Estas propriedades resultam imediatamente do Teorema 2.3 e fornecem ummodo expedito de mostrar que certas funcoes, construıdas a partir de funcoes contı-nuas, sao contınuas, sem utilizar raciocınios "� ı. Por exemplo, da funcao identi-dade e da funcao constante, que sao obviamente contınuas, temos a garantia que

f .´/ D c ´ ;

e contınua, com c 2 C, e por inducao sobre n

f n.´/ D an ´n ;


e contınua, para qualquer an complexo. De novo por inducao sobre n, concluımosque qualquer funcao polinomial

p.´/ D a0 C a1Ć � � � C anń ;

com ai 2 C, i D 0;1; : : : ; n e n 2 N, e uma funcao contınua. Por conseguinte,toda a funcao racional tambem e contınua, com a excepcao dos pontos onde odenominador se anula.


f .´/ D2Ć 1

´3 C 1

e contınua em todo o plano, excepto nas raızes cubicas de �1,

�1 ; cis��

3

�e cis

�

3:

Analisemos como se comporta a funcao arg� face ao conceito de continui-dade. Observemos que o contradomınio da funcao e, por definicao de arg� de umnumero complexo,

��;�C 2�� :

Exemplo 2.7 Dado � 2 R, considere-se a funcao

arg� W Cnf0g ! ��;�C 2��

´ 7! arg� ´

e seja N� a semi-recta que emerge da origem e que perfaz um angulo de amplitudede � radianos com a parte positiva do eixo das abcissas. A funcao arg� e obvia-mente contınua no complementar de N� em C. Mostremos que e descontınua emN�. Para tal, tomemos ´ a aproximar-se dos pontos de N� por uma sucessao depontos cujos argumentos sao um pouco inferiores a � e por uma sucessao de pon-tos cujos argumentos sao um pouco superiores a �. O limite de arg� ´ ao longo daprimeira sucessao e �C 2� e ao longo da segunda e �.

Uma funcao complexa f e limitada em D se jf j for limitada em R, repor-tando-nos ao ja conhecido caso real. No proximo exemplo, observamos que toda afuncao contınua num compactoK e limitada, assumindo emK um valor de modulomaximo e outro de modulo mınimo.

2.4 Continuidade uniforme 73

Exemplo 2.8 Considere-se uma funcao

f .´/ D u.x;y/C iv.x;y/

contınua num compactoK de C, ou seja, num subconjunto de C fechado e limitado.Ora, a funcao real q

Œu.x;y/�2 C Œv.x;y/�2

e contınua em K, pelo que, por um conhecido resultado da Topologia (consulte,por exemplo, [30, p.84]), atinge um valor maximo e um valor mınimo em K. Destaforma, f e limitada em K e jf .´/j atinge aı um valor maximo e um valor mınimo,isto e, existem M1;M2 > 0 tais que

M1 � jf .´/j � M2 ; ´ 2 K ;

ocorrendo, em cada uma das desigualdades, a igualdade para pelo menos um valorde ´.

2.4 Continuidade uniforme

Recordemos que definimos a continuidade de uma funcao num conjuntoD apartir da continuidade em cada ponto do conjunto. A continuidade e, assim, exem-plo daquilo a que se chama uma propriedade local. Trata-se de uma propriedadeestabelecida em termos do comportamento da funcao na proximidade de um pontoou no proprio ponto, ou seja, localmente. Em contraste, as propriedades globais de-pendem do comportamento da funcao em todo o conjunto. A limitacao e exemplode uma propriedade global. Afirmar que uma funcao e limitada num certo conjuntoD e uma assercao que depende de todo o conjunto. Se uma funcao e contınua, de-certo e limitada na proximidade de cada ponto, mas nao automaticamente em todoum conjunto. A funcao

f .´/ D1

´

e contınua no semi-planof´ 2 C W Re ´ > 0g ;

mas nao e aqui limitada. Uma funcao contınua num compacto e limitada nessecompacto e nele o maximo e o mınimo sao atingidos, como foi observado no exem-plo 2.8. Portanto, a compacidade de D permite transportar a limitacao na proximi-dade de um ponto por continuidade para todo o conjunto. Assim, a compacidadepermite ”transferir” uma propriedade local para global. Daremos de seguida uma


versao global da nocao de continuidade.

Uma funcao f W D � C ! C diz-se uniformemente contınua num conjuntoD se para qualquer escolha de " > 0, existir um ı > 0 tal que

jf .´/� f .w/j < ";

sempre que ´ e w estiverem em D e j´� wj < ı:

A diferenca entre a continuidade uniforme e a continuidade ordinaria e quena primeira o mesmo ı funciona para todo o conjunto D. Obviamente que a con-tinuidade uniforme implica a continuidade. Num conjunto compacto, o recıprocotambem e verdadeiro.

Teorema 2.9 (Condicao suficiente para a continuidade uniforme) Uma funcaocontınua num conjunto compacto e uniformemente contınua.

DEMONSTRAC AO: Com efeito, seja f contınua num compacto D e seja " > 0:Pela continuidade de f , para cada ponto w em D, existe um numero ı.w/ > 0 talque

jf .´/� f .w/j <"

2; (2.8)

sempre que ´ estiver em D e j´� wj < ı.w/. Os discos abertos

D

�w;ı.w/

2

�

formam uma cobertura aberta de D. Pela compacidade de D, existe um numerofinito de pontos w1; : : : ;wm tais que os discos

Dk D D

�wk ;

ı.wk/

2

�; k D 1; : : : ;m ;

cobrem D. Sejam

ık Dı.wk/

2; k D 1; : : : ;m ;

e seja ı igual ao mınimo de ı1; : : : ; ım. Fixemos ´;w 2 D tais que j´ � wj < ı.Sabemos que w 2Dk , para algum k, e assim jw � wk j < ık: Logo, por (2.8),

jf .w/� f .wk/j <"

2:

2.5 Caminhos em C 75

Temos ainda

j´� wk j D j´� w C w � wk j

� j´� wj C jw � wk j

< ıC ık

� ık C ık

D ı.wk/ :

Por (2.8), vem

jf .´/� f .wk/j <"

2:

Entao,

jf .´/� f .w/j D jf .´/� f .wk/C f .wk/� f .w/j

� jf .´/� f .wk/j C jf .wk/� f .w/j

<"

2C"

2

D "

e como encontramos um ı que funciona para todo o conjunto D a continuidade euniforme. �

2.5 Caminhos em C

O conceito de caminho e muito importante na Analise Complexa. Antes deintroduzirmos este conceito, estabeleceremos uma caracterizacao para a continui-dade e outra para a diferenciabilidade de uma funcao complexa de variavel real.Como sabemos nenhum subconjunto de R e aberto. Sendo assim, estas funcoesnao estao definidas em domınios de C. Contudo, os conceitos de limite e conti-nuidade, apresentados anteriormente, aplicam-se tambem a funcoes complexas devariavel real.

Seja g W Œa; b� � R ! C uma funcao. Tem-se

g.t/ D u.t/C iv.t / D .u.t /; v.t // ; t 2 Œa; b� ;

pelo que g pode ser encarada como uma funcao de Œa; b� em R2. O resultado apre-sentado em (2.6) continua valido no contexto das funcoes complexas de variavel


real. Entao, g e contınua se e so se u e v o forem. A derivada de g no pontot 2 Œa; b� e definida pelo limite

g0.t / D limh!0

g.t C h/� g.t/h

.t C h 2 Œa; b�/ ;

caso este limite exista. Note-se que a derivada em a ou b, caso exista, correspondea uma derivada lateral, isto e,

g0.a/ D g0C.a/ D lim

h!0C

g.aC h/� g.a/h

e

g0.b/ D g0�.b/ D lim

h!0�

g.bC h/� g.b/h

:

Nos restantes pontos do intervalo onde a funcao admite derivada, as derivadas la-terais (a esquerda e a direita) coincidem evidentemente com o valor da derivada noponto. Ora, g0.t / existe se e so se u0.t / e v0.t / existem, tendo-se

g0.t / D u0.t /C iv0.t / :

Em seguida, apresentamos a definicao de caminho e estudamos algumas dassuas propriedades mais relevantes.

Sejam a;b 2 R com a � b. Chama-se caminho em C a qualquer funcaocontınua

W Œa; b�! C :

O conjunto imagem de , isto e, o contradomınio da funcao,

.Œa; b�/ D f .t/ W t 2 Œa; b�g ;

chama-se curva associada a ou traco de e representa-se por tr. /. Dizemos,entao, que o caminho descreve a curva tr. / ou, simplesmente, que e umaparametrizacao da curva. Muitos autores representam um caminho por uma letraminuscula e a curva associada pela correspondente letra maiuscula. Por exemplo, acurva associada ao caminho pode ser representada pela letra � , ao inves de tr. /.

Alguns autores preferem utilizar o mesmo sımbolo para representar um ca-minho e a sua curva associada. Por ora e com o objectivo de facilitar a compreensaodo texto, optamos por manter a notacao dicotomica apresentada no paragrafo ante-rior.


Observe-se que um caminho e uma funcao, enquanto que a curva associada eum conjunto. Por exemplo, uma funcao constante define um caminho constante. Acurva associada reduz-se a um ponto do plano complexo. Em particular, se a D b,a curva reduz-se a um ponto.

A continuidade da funcao e a compacidade do intervalo Œa; b� garantemque

tr. / D .Œa; b�/

e um conjunto compacto.

A equacao .t/ D x.t/C iy.t / ; t 2 Œa; b� ;

e uma equacao parametrica da curva associada a e a variavel t o parametro docaminho .

Dada uma funcao real definida num intervalo real, o leitor lembrara certa-mente os conceitos de funcao de classe C r e de funcao seccionalmente de classeC r . Vamos estender estes conceitos a funcoes complexas definidas num intervaloreal, mais concretamente ao nosso objecto de estudo: os caminhos.

Consideremos um caminho tal que

.t/ D x.t/C iy.t / ; t 2 Œa; b� :

Por ser uma funcao contınua, diz-se de classe C 0. O caminho diz-se de classeC r , com r 2 N, se as funcoes x e y forem contınuas em Œa; b�, admitindo derivasate a ordem r , tambem contınuas em Œa; b�. Por sua vez, o caminho diz-se declasse C1 se x e y admitirem derivadas de todas as ordens contınuas em Œa; b�.

Por outro lado, o caminho diz-se seccionalmente de classeC r , com r 2 N,se existir uma particao do intervalo Œa; b�,

a D t0 < t1 < � � � < tk�1 < tk D b ;

tal que as restricoes jŒtn;tnC1�, n D 0;1; : : : ; k � 1, coincidem com funcoes declasse C r em Œtn; tnC1�. Assim, um caminho seccionalmente de classe C r e ape-nas um caminho de classeC r , excepto possivelmente num numero finito de pontos.Note-se que, em geral, a palavra ”seccionalmente” indica que uma propriedade evalida em relacao a uma particao do intervalo em estudo.


A .a/ chama-se origem do caminho e a .b/ termo ou extremidade docaminho. Se a origem do caminho coincidir com a sua extremidade, isto e, se .a/D .b/, este diz-se fechado.

Se .t1/D .t2/, apenas quando t1 D t2, com t1; t2 2�a; bŒ, o caminho diz-sesimples. Se existirem t1; t2; : : : ; tn 2�a; bŒ, com a < t1 < t2 < � � � < tn < b e

.t1/ D .t2/ D � � � D .tn/ D P ; (2.9)

e se t1; t2; : : : ; tn sao os unicos pontos de �a; bŒ que satisfazem a condicao (2.9),entao P diz-se um ponto de multiplicidade n. Um ponto de multiplicidade 1 diz-seum ponto simples.

Por abuso de linguagem e desde que daı nao resulte qualquer ambiguidade, efrequente usar-se o termo ”curva” para referir tanto o caminho (funcao) como osubconjunto .Œa; b�/� C. Assim, por exemplo, faz sentido falar em curvas fecha-das e curvas simples, em curvas de classe C r e curvas seccionalmente de classeC r ou entao em origem e extremidade de uma curva.

A expressao designatoria de um caminho , ou seja, a equacao parametricada curva associada,

.t/ D x.t/C iy.t / ; t 2 Œa; b� ;

da-nos informacoes sobre o modo como a curva e percorrida, segundo uma analisedos valores crescentes do parametro t .

O sentido da curva gerada por W Œa; b� ! C e entendido, intuitivamente,como sendo o deAD .a/ para B D .b/. Quando consideramos curvas fechadas,dizemos que o seu sentido e directo ou positivo, se e o sentido contrario ao dosponteiros de um relogio, e indirecto ou negativo, caso contrario.

Exemplos 2.9

(a) O segmento de recta de extremos ´ e w, orientado de ´ para w, egerado pelo caminho:

W Œ0; 1� ! C It 7! .1� t /´C tw D ´C t .w � ´/


(b) A circunferencia de raio r , centrada em ´0 2 C e orientada positi-vamente (ou seja, orientada no sentido anti-horario) e gerada pelocaminho:

W Œ0; 2�� ! C :

t 7! ´0 C r cis t D ´0 C r eit

Introduzimos, de seguida, o conceito de reparametrizacao de uma curva.Consideremos o caminho

W Œa; b�! C :

Um caminho 1 W Œc; d � ! C

diz-se uma reparametrizacao da curva associada a ou, por simplificacao de lin-guagem, uma reparametrizacao de , se existir uma funcao

� W Œc; d � ! Œa; b� ;

bijectiva, de classe C 1 e com derivada positiva, tal que

1 D ı� :

Como �0 > 0, entao � e uma funcao crescente. Sendo assim, o caminho 1 descreveno mesmo sentido a curva gerada por .

Tendo em conta resultados conhecidos de Analise Matematica, sabemos quesendo

� W Œc; d � ! Œa; b� ;

bijectiva, de classe C 1 e com derivada positiva, a sua inversa

��1 W Œa; b� ! Œc; d �

tambem e bijectiva, de classe C 1 e com derivada positiva. Desta forma, se

1 D ı�

e uma reparametrizacao de , entao tambem

D 1 ı��1

e uma reparametrizacao de 1.


Γ -Γ

Figura 18: Visualizacao do conceito de caminho oposto.

O caminho inverso ou oposto de W Œa; b�! C representa-se por � ou �1

e e definido como sendo o caminho

� W Œa; b� ! C :

t 7! .� /.t /D .aC b � t /

Trata-se obviamente de um caminho com o mesmo conjunto imagem de . Con-tudo, a origem e extremidade de � correspondem, respectivamente, a extremidadee origem de e � define agora sobre a mesma curva um sentido inverso ao ante-rior. Vejamos que, de facto, assim e.

Na definicao de reparametrizacao de um caminho, se tivessemos conside-rado a hipotese �0 < 0, terıamos obtido um caminho 1 D ı � a descrever amesma curva, mas no sentido inverso. E o que se sucede com o caminho opostode um determinado caminho , � . Considere-se � W Œa; b� ! Œa; b�, definida por�.t/D aC b � t . Segue-se que

�0.t / D �1 < 0 ; t 2 Œa; b� ;

permitindo-nos concluir que, de facto, a curva gerada por � e agora percorridaem sentido contrario (vide figura 18).

Exemplo 2.10 Consideremos o caminho da alınea (b) dos exemplos 2.9:

W Œ0; 2�� ! C :

t 7! ´0 C r cis t

A curva gerada por consiste numa circunferencia de centro ´0, descrita no sentidodirecto. Ora,

1 W Œ0;�� ! C

t 7! ´0 C r cis.2t/


e uma reparametrizacao de , uma vez que 1 D ı �, com

� W Œ0;�� ! Œ0; 2�� :

t 7! 2t

Sendo � 0.t /D 2 > 0, t 2 Œ0;��, concluımos que 1 ainda descreve a circunferenciano sentido directo. De facto, 1 apenas a descreve de forma ”mais rapida”. Poroutro lado, o caminho oposto de ,

� W Œ0; 2�� ! C ;

t 7! ´0 C r cis.2� � t /

descreve a dita circunferencia no sentido indirecto.

Dados dois caminhos tais que a origem de um coincide com a extremidadedo outro, podemos, de modo intuitivo, obter a partir deles um so caminho. Sejama1; a2; b1; b2 2 R tais que b1 � a2 e sejam

1 W Œa1; b1�! C

e 2 W Œa2; b2�! C

dois caminhos em C tais que 1.b1/D 2.a2/. Consideremos, entao, o caminho

W Œa1; b1 C b2 � a2�! C ;

definido por

.t/ D� 1.t / se t 2 Œa1; b1�

2.t C a2 � b1/ se t 2 Œb1; b1 C b2 � a2�:

Escreve-se D 1 C 2 ou D 1 _ 2. O caminho obtido e designado por somaou uniao dos dois caminhos preliminares (vide figura 19).

Na definicao de soma ou uniao dos caminhos 1 W Œa1; b1� ! C e 2 W Œa2; b2� ! C supoe-se b1 � a2. Esta condicao pode ser sempre garantidamediante uma reparametrizacao conveniente dos caminhos em questao.

A soma 1 C � � � C n

define-se de modo analogo e assume a designacao de cadeia. As cadeias desempe-nharao um papel importante, nomeadamente no capıtulo 9.


Γ1

Γ2

Γ1+Γ2

Figura 19: Visualizacao da soma de dois caminhos.

Exemplo 2.11 Um exemplo frequente de soma de caminhos consiste em, dadosnC 1 pontos do plano ´0; ´1; : : : ; ń, efectuar a uniao dos caminhos corresponden-tes aos segmentos de recta Œ´0; ´1�; Œ´1; ´2�; : : : ; Œń�1; ń�. Em termos geometricos,obtemos uma linha poligonal.

Uma linha obtida atraves da soma de um numero finito de segmentos de recta(linha poligonal) e um exemplo de uma curva seccionalmente de classe C 1, comoresulta imediatamente da definicao.

Note-se que um caminho seccionalmente de classe C r pode ser entendidocomo uma cadeia formada por caminhos de classe C r . Este facto e utilizado fre-quentemente para estender propriedades dos caminhos de classe C r aqueles quesao seccionalmente de classe C r .

Se um caminho W Œa; b�! C,

.t/ D x.t/C iy.t / ; t 2 Œa; b� ;

for de classe C 1, podemos garantir que e rectificavel, ou seja, que o integral

L DZ b

a

j 0.t /jdt DZ b

a

q.x0.t //2 C .y 0.t //2 dt

existe e e finito. Este integral e designado por comprimento do caminho .

Se for um caminho seccionalmente de classe C 1, entao D 1 C � � � C n,com j de classe C 1, para j D 1; : : : ; n. O comprimento de e determinado por

L D L 1C � � � CL n

:


Exemplos 2.12

(a) Apesar da palavra ”curva”, por uma questao de simplificacao, poderser usada quer para referir o caminho , quer o subconjunto .Œa; b�/,e necessario ter sempre presente que estes sao dois conceitos distin-tos. Apresentamos, de seguida, um exemplo ilustrativo. Considere-mos a circunferencia de raio r e de centro ´0 2 C. Como e conhecido,o seu perımetro e igual a 2�r . Por outro lado, o caminho

2 W Œ0; 4�� ! C

t 7! ´0 C r cis t

descreve a referida circunferencia e e de classe C 1, pelo que e recti-ficavel. Contudo, o seu comprimento e dado por

Z 4�

0

j 02.t /jdt D

Z 4�

0

pr2 cos2 t C r2 sin2 t dt D 4�r 6D 2�r :

Intuitivamente, o resultado e explicado pelo facto de 2 descrever”duas vezes” a circunferencia apresentada. Assim, ha que distinguirclaramente entre comprimento da curva geometrica e comprimentodo caminho que a gera. E o conceito de comprimento de um caminhoque nos interessa e sera esse que sera sempre considerado.

(b) Se pensarmos agora nos dois caminhos apresentados no exemplo 2.10, e 1, apercebemo-nos de que o seu comprimento tem exactamenteo mesmo valor: 2�r . Isto deve-se ao facto dos caminhos consistiremnuma reparametrizacao um do outro. De facto, facilmente se constataque se

W Œa; b� ! C

e um caminho de classe C 1 e se

1 W Œc; d � ! C

e uma reparametrizacao de ,

1 D ı�;

com � W Œc; d � ! Œa; b� de classe C 1, entao 1 tambem e de classe


C 1 e o seu comprimento coincide com o de :

L 1D

Z d

c

j 01.t /jdt

DZ d

c

j 0.�.t //�0.t /jdt

DZ b

a

j 0.u/jdu

D L ;

efectuando no integral a mudanca de variavel u D �.t/. Ainda re-lembrando o exemplo 2.10, constatamos que o caminho oposto de ,� , tambem apresenta o mesmo comprimento, 2�r . Tal propriedadetambem e valida no caso geral:

L� DZ b

a

j.� /0.t /jdt

DZ b

a

j 0.aC b � t / .�1/jdt

DZ b

a

j 0.u/jdu

D L ;

efectuando no integral a mudanca de variavel uD aC b � t .

Reforcamos a ideia de que o nosso objecto de estudo nao sao as curvasgeometricas, mas sim os caminhos que as descrevem. Um caminho gera uma socurva geometrica, enquanto que uma curva geometrica e gerada por varios cami-nhos, nao necessariamente reparametrizacoes uns dos outros. Assim, quando fa-larmos na palavra ”curva”, estaremos sempre a considerar uma curva geometricaassociada a um determinado caminho que a gera e que lhe confere um determi-nado comprimento e orientacao. Se considerarmos outro caminho que descreva amesma curva geometrica, o comprimento e orientacao poderao ser alterados. Ja seoptarmos por uma reparametrizacao do caminho inicial temos a certeza de mantero mesmo comprimento e orientacao. Caso optemos pelo caminho oposto ou porqualquer sua reparametrizacao, o comprimento e mantido e a orientacao invertida.

2.6 Conjuntos conexos por arcos 85

2.6 Conjuntos conexos por arcos

Importa, agora, tecer algumas consideracoes sobre outro conceito impor-tante: o conceito de conjunto conexo por arcos.

Um subconjuntoS de C diz-se conexo por arcos se dados quaisquer´;w 2 S ,existe uma funcao contınua

W Œa; b� � R ! C

tal que

.Œa; b�/ � S ; .a/D ´ e .b/D w : (2.10)

Por outras palavras, S e conexo por arcos se dados quaisquer ´;w 2 S , existe umcaminho em S de ´ para w.

Exemplo 2.13 Qualquer disco (aberto ou fechado) e conexo por arcos. Com efeito,dados dois quaisquer pontos do disco prova-se sem dificuldade que o segmento poreles definido esta contido no disco. Ora, todo o segmento de recta pode ser descritopor um caminho, conforme foi observado nos exemplos 2.9.

Num espaco topologico arbitrario, prova-se que todo o conexo por arcostambem e conexo. Contudo, o recıproco nem sempre e valido. Se considerarmosRn munido da topologia usual, sabe-se que todo o subconjunto aberto e conexoe conexo por arcos. Para maior desenvolvimento deste assunto recomendamos aleitura do capıtulo 6 de [30].

E importante notar que os caminhos que ligam dois pontos num conjunto co-nexo por arcos podem assumir particularidades interessantes. Se um subconjuntoconexo por arcos de C e aberto, entao dois quaisquer pontos podem ser unidos poruma linha poligonal, com a particularidade dos segmentos de recta que a formamserem sempre paralelos ao eixo real ou ao eixo imaginario (consulte, por exemplo,[29, p.42]).

Na sequencia da definicao de conjunto conexo por arcos, surgem outros con-ceitos de interesse. Sejam ´;w elementos de um subconjuntoS de C (nao necessa-riamente proprio). Definimos

´ � w ;

se existe um caminho em S de ´ para w, ou seja, se existe uma funcao contınua

W Œa; b� � R ! C


1 1

2

1

2

3

Figura 20: Exemplos de caminhos cujo complementar e conexo, ou tem 2 ou 3componentes conexas.

que satisfaca (2.10). Nao e difıcil provar que � e uma relacao de equivalencia.Como e de conhecimento geral, as classes de equivalencia correspondentes sao dis-juntas duas a duas e a sua uniao coincide com S . Alem disso, neste caso particular,estas classes de equivalencia sao subconjuntos conexos por arcos, sendo designa-das componentes conexas de S . De facto, consideremos a classe de equivalenciade ´ 2 S ,

C´ D fw 2 S W w � ´g :

Ora, para w1;w2 2 C´, tem-se w1 � ´ e w2 � ´. Sendo � uma relacao de equi-valencia, vem w1 � w2, ou seja, existe um caminho em C´ de w1 para w2. Por serconexo por arcos, C´ tambem e conexo.

Exemplo 2.14 As componentes conexas de

S D f´ 2 C W j´j ¤ 1g

sao obviamente

S1 D f´ 2 C W j´j < 1g e S2 D f´ 2 C W j´j > 1g :

Introduzimos, agora, um conceito importante no estudo da integracao nocampo complexo: o conceito de complementar de um caminho.

Por complementar de um caminho W Œa; b�! C; entendemos o complemen-tar de tr. / em relacao a C, ou seja, o conjunto

Cntr. / D f´ 2 C W ´¤ .t/ ; para cada t 2 Œa; b�g :


Γ1

-Γ2

Figura 21: O complementar de tem um numero infinito de componentes conexas.

Exemplos 2.15 O complementar de pode ser conexo, por exemplo, se

.t/ D 0 ; t 2 Œ0; 1� ;

ou pode ter duas ou mais componentes conexas (veja-se a figura 20). Por outrolado, o complementar de

D 1 C .� 2/ D 1 � 2 ;

onde 1.0/ D 0 I 1.t / D t � i t sin

�

t; t 2�0; 1� I

2.0/ D 0 ; 2.t / D t C i t sin�

t; t 2�0; 1� ;

tem um numero infinito de componentes, como ilustra a figura 21.

Note-se que o complementar de um caminho e sempre aberto, uma vezque, sendo compacto, tr. / e fechado. Caso o complementar de nao seja co-nexo, as suas componentes conexas sao tambem subconjuntos abertos. Em termosgeometricos, esta propriedade e muito intuitiva. O leitor pode, por exemplo, re-flectir sobre as figuras respeitantes aos exemplos anteriores. A demonstracao dapropriedade tambem e simples. Com efeito, consideremos um ponto ´ pertencentea uma componente conexa de Cntr. /. Como qualquer elemento de uma classe deequivalencia a pode representar, designemos essa componente conexa por C´. Ora,

´ 2 C´ � Cntr. /


e Cntr. / e aberto, pelo que existe " > 0 tal que

D.´;"/ � Cntr. / :

Mas, D.´;"/ e conexo por arcos, logo, para cada w 2D.´;"/, existe um caminhoque liga w a ´, ou seja, w � ´. Isto significa que w 2 C´ e, portanto,

D.´;"/ � C´ :

Vejamos, ainda, que o complementar de um caminho tem apenas uma com-ponente conexa ilimitada. Ora, sendo um subconjunto limitado, tr. / esta contidonum disco fechado da forma

A D f´ 2 C W j´j � Kg ;

para algum K > 0. Mas,

B D f´ 2 C W j´j > Kg ;

e claramente conexo, pelo que a unica componente ilimitada de Cntr. / tera queser a que contem B . Todas as restantes componentes estao contidas em A e, por-tanto, sao limitadas.

Recorde-se que, em C, um domınio ou regiao e um subconjunto nao-vazio,aberto e conexo. Em particular, todo o domınio em C, por ser aberto e conexo, econexo por arcos.

O leitor compreendera facilmente a importancia de restringirmos as funcoesem estudo aquelas que sao definidas em domınios.

O facto de D ser aberto permite lidar adequadamente com limites, conti-nuidade e diferenciabilidade, porque o facto de ´0 pertencer ao aberto D implica aexistencia de uma vizinhanca de ´0, digamosD.´0; "/, com " > 0, que esta contidaem D,

D.´0; "/ � D ;

e deste modo f encontra-se definida para todo o ´ proximo de ´0.

Mas, por que motivo lidaremos com conjuntos conexos?

Ora, sendo D um subconjunto aberto e conexo, D e conexo por arcos. As-sim, garantimos a existencia de um caminho entre dois quaisquer pontos arbitrarios


de D, o que permitira definir o integral de um ponto para o outro ao longo dessecaminho.

A restricao a funcoes definidas em domınios, para alem de nos proporcio-nar a plataforma adequada para desenvolver toda a teoria, tem outras implicacoesassinalaveis. Por exemplo, se duas funcoes diferenciaveis complexas definidas nomesmo domınio D sao iguais num pequeno disco, entao coincidem em D. Trata--se de um resultado espantoso, sem paralelo para as funcoes reais. Este resultado,conhecido por Teorema da Identidade, e que sera provado no Capıtulo 8 (veja-seo Teorema 8.16), foi mencionado neste ponto para chamar a atencao para a be-leza e alcance da teoria que vamos desenvolver e para a importancia de construir oedifıcio da Analise Complexa em fundamentos topologicos apropriados.

Vejamos, agora, um conceito necessario ao desenvolvimento do Capıtulo 9:o de domınio simplesmente conexo.

Informalmente, um domınio simplesmente conexo e aquele que nao tem ”bu-racos”. Um domınio deste tipo tem o complementar em bC constituıdo por uma”unica peca”. Tornemos rigoroso este conceito.

Um domınio diz-se simplesmente conexo se o seu complementar com res-peito a bC for conexo. Caso contrario, dizemos que o domınio e multiplamenteconexo.

Exemplo 2.16 Um disco (aberto ou fechado) ou um semi-plano (aberto ou fe-chado) sao exemplos de domınios simplesmente conexos. Uma coroa circular ouanel, da forma

f´ 2 C W r1 < j´� ´0j < r2g ; r1; r2 2 R ; 0 < r1 < r2 ;

nao e uma regiao simplesmente conexa.

Na seccao 9.3, veremos uma caracterizacao sugestiva para uma regiao sim-plesmente conexa: afirma que para um caminho fechado, ou seja, para uma funcaocontınua

W Œa; b� � R ! C ;

com .a/ D .b/, se a curva .Œa; b�/ esta contida numa regiao simplesmenteconexa, entao nao pode circundar ponto algum que nao pertenca a regiao (Teo-rema 9.8). Parece obvio que esta condicao se nao cumpre no caso de uma regiaocom um ou mais ”buracos”.



Exercıcio 2.1 Seja f W X ! Y uma funcao definida entre dois conjuntos. ParaA � X , a imagem de A pela funcao f e o conjunto

f .A/ D ff .a/ W a 2 Ag D fy 2 Y W y D f .a/; para algum a 2 Ag � Y :

Sendo C � Y , chama-se imagem inversa de C pela funcao f ao conjunto

f �1.C / D fx 2 X W f .x/ 2 C g � X :

Se A;B � X e C;D � Y , mostre que:

(a) f .A[B/D f .A/[ f .B/;

(b) f .A \ B/ � f .A/ \ f .B/, verificando-se a igualdade se f for in-jectiva;

(c) A � B ) f .A/ � f .B/;

(d) f .;/ D ;;

(e) f �1.A[B/D f �1.A/[ f �1.B/;

(f) f �1.A\B/D f �1.A/\ f �1.B/;

(g) A � B ) f �1.A/ � f �1.B/;

(h) f �1.;/D ;;

(i) f �1.Y nC/D Xnf �1.C /;

(j) A � f �1.f .A//, verificando-se a igualdade se f for injectiva;

(k) f .f �1.C //� C , verificando-se a igualdade se f for sobrejectiva.

Exercıcio 2.2 Em algumas situacoes, torna-se conveniente estender o domınio dedefinicao e o conjunto de chegada de uma funcao a todo o plano complexo am-pliado. As funcoes racionais constituem um bom exemplo. Considere a funcaoracional

r.´/ Dp.´/

q.´/;

com p e q funcoes polinomiais sem zeros comuns. Se ˛ for um zero de q, atribui-sea r.˛/ o valor 1 e diz-se que ˛ e um polo de r . Se tomarmos

r.1/ D lim´!1

r.´/ ;


a funcao racional r ficara a ser uma funcao com domınio bC e com valores em bC.Pode observar-se ainda que, definindo uma nova funcao r1 W bC ! bC atraves de

r1.´/ D r

�1

´

�; ´ 2bC ;

se tem r.1/ D r1.0/. Posto isto, tome

r.´/ Da0 C a1Ć � � � C an´

n

b0 C b1Ć � � � C bm´m; com an; bm 6D 0 :

Recorrendo a

r1.´/ D r

�1

´

�D ´m�n a0´

n C a1ń�1 C � � � C an

b0´m C b1´m�1 C � � � C bm

e considerando as varias hipotesesm > n, mD n, m < n,

(a) mostre que o numero total de zeros de r no plano complexo ampliadoe o mesmo que o numero total de polos e igual ao maior dos numerosm e n. A tal numero chama-se ordem da funcao racional r .

(b) atendendo a que r � b, com b constante, tem o mesmo numero depolos que r , conclua que se r e uma funcao racional de ordem t ,entao toda a equacao da forma

r.´/ D b ; b 2 C ;

tem exactamente t raızes em bC.

(c) verifique as propriedades anteriores para

(i) r.´/ D´

´2 C 2Ć 1;

(ii) r.´/ D´2 C 2Ć 1

´:

(d) em relacao as duas funcoes racionais da alınea anterior, indique quaissao as t raızes das equacoes r.´/D 0 em bC.

Exercıcio 2.3 Considere a funcao

f .´/ D j´j � i Im ´ :

(a) Indique o seu domınio de definicao.


(b) Mediante uma argumentacao geometrica, determine o seu contra-domınio.

Exercıcio 2.4 Seja f .´/ D ´2=j´j2, com ´ 6D 0. Determine:

(a) limf .´/, quando ´! 0 ao longo da recta y D x;

(b) limf .´/, quando ´! 0 ao longo da recta y D 2x;

(c) limf .´/, quando ´! 0 ao longo da parabola y D x2.

Que pode dizer acerca do limite lim´!0

f .´/? Justifique.

Exercıcio 2.5 Seja f .´/ D j´j1=2ei.Arg´/=2, com ´ 6D 0. Mostre que f e des-contınua em todos os pontos do semi-eixo negativo dos xx.

Exercıcio 2.6 Mostre que, se uma funcao f e contınua no ponto ´0 de um certodomınioD e f .´0/¤ 0; entao existe uma vizinhanca de ´0 na qual f nao se anula.

Sugestao: Considere na definicao de continuidade jf .´/ � f .´0/j < jf .´0/j=2,onde " D jf .´0/j=2. Note que a condicao ”f .´/ D 0 nalgum ponto de uma certavizinhanca de ´0” conduz a uma contradicao.

Exercıcio 2.7 Determine a regiao de continuidade das funcoes definidas por:

(a) f .´/D´

j´j � 1;

(b) f .´/D´

´, quando ´ 6D 0, e f .0/ D 0 .

Exercıcio 2.8 Determine uma equacao parametrica da linha poligonal que une, nosentido directo, os pontos

(a) 3; 3C 3i; �3C 3i e �3;

(b) i; �1; �1� i e �i .

Exercıcio 2.9 Determine uma equacao parametrica para cada uma das linhas poli-gonais do exercıcio anterior, mas agora orientadas no sentido inverso.

Exercıcio 2.10 Para cada conjunto e para cada par de pontos, defina (se possıvel)a equacao parametrica de uma curva contida no conjunto unindo os dois pontos.Indique em que casos essa curva pode ser uma linha poligonal.


(a) j´j D 2; �2i; 2i .

(b) jIm ´j > 1=2; 1C i; �1� i .

(c) 1 < j´j � 3; �p2;

p2.

Exercıcio 2.11 Esboce as curvas descritas por:

(a) .t/D t2 � 2C i.t � 4/, t 2 Œ0; 2�;

(b) .t/D cos t C i.sin 2t/, t 2 Œ��=2;�=2�.

2.8 Laboratorio 2

A visualizacao geometrica de algumas funcoes multıvocas constitui o objec-tivo central deste Laboratorio.

Pretendemos representar a funcao raiz ındice n de ´ quando ´ toma valoresno plano complexo. Para tal, limitamo-nos a representar a sua parte real. Conside-remos a funcao definida em coordenadas polares por

u.r; �/ D r1=n cos�

n

e tomemos ´D r.cos � C i sin �/ a descrever uma circunferencia centrada na ori-gem. Procuraremos as imagens de uma famılia de circunferencias desta natureza. Ocomando viewRootSurface[] permite visualizar a geracao da funcao raiz ındicen. Exemplifiquemos com a funcao raiz quadrada (nD 2), mostrando a sua naturezamultıvova (bi-valorada). Quando se descreve uma volta de 2� em torno da origem,passa-se de um ramo da raiz para o seguinte.

In[1]:= Clear@"Global`*"D;viewRootSurface @

n_Integer, resolution_Integer D :=

ParametricPlot3D @8r * Cos@ΘD, r * Sin@ΘD,r1�n * Cos@Θ � nD<, 8r, 0, 2<, 8Θ, 0, 2 * n * Π<,

PlotPoints ® 8resolution , resolution * n<,Boxed ® False, Axes ® False,

AspectRatio ® 1, ViewPoint ® 8-4, -2, 0.5<D;


In[3]:= viewRootSurface @2, 20D

Out[3]= � Graphics3D �

In[4]:= viewRootSurface4 @n_Integer,resolution_Integer , Θmin_, Θmax_D :=

ParametricPlot3D @8r * Cos@ΘD, r * Sin@ΘD, r1�n * Cos@Θ � nD<,8r, 0, 2<, 8Θ, Θmin, Θmax<,PlotPoints ® 8resolution , resolution * n<,H*Boxed®False,Axes®False,*LAspectRatio ® 1,

ViewPoint -> 8-0.196, -2.967, 1.615<D;In[5]:= viewRootSurface4 @2, 20, -9 Pi � 8, 9 Pi � 8D

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

0

0.5

1

0 1 2

-1

0

1

2



In[6]:= viewRootSurface4 @2, 20, -15 Pi � 8, 15 Pi � 8D

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

0 1 2

-1

0

1

2


In[7]:= viewRootSurface4 @2, 20, -16 Pi � 8, 16 Pi � 8D

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

0 1 2

-1

0

1

2


Quando se calculap

�2i , ha duas possıveis respostas: �1C i e 1� i . Qualdas duas escolher? Nao existe modo de escolher

p´ de modo que a funcao seja

contınua para todos os valores de ´ complexos. Ha que fazer um corte – ”branchcut” – a semi-recta do plano ao longo da qual a funcao

p´ e descontınua. O

Mathematica adopta a convencao usual de fazer o corte ao longo do eixo real ne-


gativo. O grafico oferece uma visualizacao muito sugestiva do comportamento dafuncao no semi-eixo negativo.

In[8]:= Plot3D@Im@Sqrt@x + I yDD, 8x, -4, 4<, 8y, -4, 4<D

-4-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

-2-1012

-4-2

0

2

Out[8]= � SurfaceGraphics �

Investiguemos o comportamento da funcao raiz cubica, usando o mesmo co-mando viewRootSurface[]. Esta funcao multıvoca apresenta tres ramos (funcaotri-valorada). A visualizacao de funcoes multıvocas sera retomada no Capıtulo 5.

In[9]:= viewRootSurface @3, 30D


O espırito divino encontrou uma expressaosublime nessa mara-vilha da analise, nesse portento do mundo ideal, nesse anfıbioentre o ser e o nao-ser, a que chamamos a raiz imaginaria daunidade negativa.

Gottfried Leibniz

Capítulo 3Diferenciacao no Campo Complexo

Existem diferentes designacoes para as funcoes diferenciaveis no sentidocomplexo, por exemplo, holomorfas, analıticas, regulares, entre outras. O termoanalıtico e usado no calculo real para descrever as funcoes cujas series deTaylor sao convergentes para a funcao. Como provaremos, uma funcao diferencia-vel no sentido complexo admite denvolvimento em serie de Taylor, justificando esteimportante resultado a nomenclatura utilizada.

3.1 A derivada complexa

Seja f W D � C ! C. A funcao f diz-se derivavel em ´0 2 D 6 se existe ee finito o limite da razao incremental

lim´!´0

f .´/� f .´0/

´� ´0: (3.1)

A este limite chama-se derivada de f no ponto ´0 e representa-se por

f 0.´0/ oudf

d´.´0/ :

Em vez de ”f e derivavel em ´0”, diz-se com frequencia ”f e diferenciavelem ´0”. Este aparente abuso de linguagem e tambem utilizado no caso das funcoesreais de variavel real. Na realidade, em ambos os casos, os conceitos de funcaoderivavel num ponto e de funcao diferenciavel num ponto coincidem. Para maispormenores, veja-se [7, p.69].

6Na definicao de funcao derivavel, e usual exigir-se que D seja aberto, mas nao necessariamenteconexo. Contudo, consideraremos, como habitualmente, subconjuntos de C abertos e conexos.

97

98 CAPITULO 3: Diferenciacao no Campo Complexo

Apesar da definicao de derivada complexa ser analoga a da derivada de umafuncao real de variavel real e de muitas das suas propriedades serem semelhan-tes, o caso complexo e mais rico. Como provaremos, a existencia de f 0 implica aexistencia de derivadas de todas as ordens, isto e, a derivada complexa de f 0, f 00,existe, f 000 existe, etc. Este comportamento contrasta de modo flagrante com o casoreal, onde a funcao derivada f 0 pode existir sem que f 00 exista.

No caso das funcoes reais de variavel real, ha uma infinidade de classes dis-tintas de funcoes: as funcoes contınuas (de classe C 0), as funcoes diferenciaveis(ou seja, as que admitem derivada finita), as funcoes com derivada contınua (declasse C 1), as funcoes com segunda derivada finita, as funcoes com segunda deri-vada contınua (de classe C 2), ... e finalmente as funcoes com derivadas contınuasde todas as ordens (de classe C1). Existem ainda as funcoes analıticas que sepodem desenvolver em serie de Taylor. Como provaremos, na Analise Complexa,apenas se distinguem duas classes de funcoes, a das funcoes contınuas e a dasfuncoes diferenciaveis, uma vez que as ultimas admitem derivadas contınuas de to-das as ordens e admitem igualmente desenvolvimento em serie de Taylor.

Tomando �´D ´� ´0 em (3.1), vem

lim´!´0

f .´/� f .´0/

´� ´0D lim

�´!0

f .´0 C�´/� f .´0/

�´: (3.2)

Assim, se existe a derivada de f no ponto ´0, f 0.´0/, entao para cada numeropositivo " > 0, existe um ı > 0 tal que

ˇˇf .´0 C�´/� f .´0/

�´� f 0.´0/

ˇˇ < "; (3.3)

sempre que j�´j< ı. O ponto ´0 C�´ e livre de se aproximar de ´0 segundo umadireccao arbitraria. Para que f seja diferenciavel no ponto ´0, a razao incrementaldevera tender para um unico valor, independentemente da direccao segundo a qual�´ se aproxima de 0. Assim, f nao pode ter derivada em ´0 se a razao incrementalapresentar diferentes valores de limite quando �´ se aproxima de 0 segundo dife-rentes direccoes. Em contraponto, nas funcoes de variavel real, h D �´ e real eaproxima-se de 0 segundo uma unica direccao, apenas havendo que verificar se asderivadas laterais (a esquerda e a direita) coincidem.

3.1 A derivada complexa 99

Exemplo 3.1 Sejaf .´/ D Im´ ; ´ 2 C :

Mostremos que f nao e diferenciavel em ponto algum de C. Tem-se

f .Ć�´/� f .´/�´

DIm.Ć�´/� Im´

�´

DIm�´

�´

D�0 ; se �´! 0 com �´ real1 ; se �´! 0 com �´ imaginario puro

:

Quando consideramos funcoes complexas definidas em domınios de C, arestricao de �´ ao caso em que este e real ou imaginario puro e explorada fre-quentemente e desempenhara um papel determinante na deducao das Condicoes deCauchy-Riemann.

Vejamos mais alguns exemplos de aplicacao do conceito de derivada numponto.

Exemplos 3.2

(a) Seja f uma funcao constante, f .´/ D c; ´ 2 C. Tendo em conta(3.1), facilmente se conclui que f 0.´/D 0; ´ 2 C.

(b) Consideremos agora a funcao f .´/ D ´2. Ora, para cada ´ 2 C,

lim�´!0

.Ć�´/2 � ´2

�´D lim

�´!0.2Ć�´/ D 2´:

Assim, f 0.´/D 2´; ´ 2 C.

(c) Vejamos o que acontece com a funcao definida por

f .´/ D j´j2; ´ 2 C:

Queremos determinar os pontos em que a derivada existe e, nessecaso, que valor toma. Seja ´0 um ponto de C. Ora,

j´0 C�´j2 � j´0j2

�´D ´0 C ´0

�´

�Ć�´:

Se ´0 D 0, entao

lim�´!0

j´0 C�´j2 � j´0j2

�´D lim

�´!0�´ D 0 :


Se ´0 6D 0, entao tomando as direccoes particulares �x e i�y, tem--se que

lim�´!0

j´0 C�´j2 � j´0j2

�´D lim

�x!0.´0 C ´0 C�x/

D ´0 C ´0 I

lim�´!0

j´0 C�´j2 � j´0j2

�´D lim

�y!0.´0 � ´0 � i�y/

D ´0 � ´0 :

Como os limites sao diferentes, nao existe derivada quando ´0 6D 0.Concluımos, desta forma, que a funcao f so tem derivada no ponto´0 D 0. Esta conclusao nao deixa de ser surpreendente. Observe-seque a funcao real de variavel real cuja expressao designatoria e dadapor jxj2 tem derivada 2x, para todo o x real.

As formulas basicas de derivacao a seguir apresentadas podem ser deduzidasda definicao de derivada complexa e dos Teoremas sobre limites, como no caso dasfuncoes reais de variavel real.

Teorema 3.1 (Formulas de derivacao) Suponhamos que f;g W D � C ! C ad-mitem derivada em ´0 2D. Entao:

(a) .f ˙ g/0.´0/D f 0.´0/˙ g0.´0/I

(b) .fg/0.´0/D f 0.´0/g.´0/C f .´0/g0.´0/I

(c)

�f

g

�0.´0/D

f 0.´0/g.´0/� f .´0/g0.´0/

Œg.´0/�2:

Como consequencia imediata da alınea (b) do Teorema anterior, prova-se porinducao que

.´n/0 D n´n�1 ; ´ 2 C ; n 2 N : (3.4)

Como a derivada formal de uma funcao

f W D � C ! C

e identica a definicao de derivada de uma funcao real de variavel real, nao e deestranhar que os Teoremas usuais sobre a derivada da funcao composta e sobre aderivada da funcao inversa sejam validos no contexto das funcoes complexas, comas correspondentes hipoteses.

3.1 A derivada complexa 101

Teorema 3.2 (Derivada da funcao composta) Se U e V sao subconjuntos aber-tos de C, se f W U ! V admite derivada em ´0 e se g W V ! C admite derivadaem w0 D f .´0/, entao g ı f e derivavel em ´0 e

.g ı f /0.´0/ D g0.w0/f0.´0/ :

Teorema 3.3 (Derivada da funcao inversa) Sejam U e V subconjuntos abertosde C e f W U ! V uma funcao com inversa g W V ! U . Se f admite derivada em´0 2 U , se f 0.´0/ 6D 0 e se g e contınua em w0 D f .´0/ 2 V , entao g e derivavelem w0, tendo-se

g0.w0/ D1

f 0.´0/:

Teorema 3.4 (Diferenciabilidade e continuidade) Considere-se f WD � C ! C

e ´0 2 C. Se f e derivavel em ´0, entao f e contınua em ´0.

DEMONSTRAC AO: Se f 0.´0/ existe, temos

lim�´!0

Œf .´0 C�´/� f .´0/� D lim�´!0

Œf .´0 C�´/� f .´0/��´

�´

D f 0.´0/ lim�´!0

�´

D 0 ;

isto e,

lim´!´0

f .´/ D f .´0/ ;

o que significa que f e contınua em ´0. �

A continuidade de uma funcao, em geral, nao implica a sua derivabilidade,como mostra a funcao

f .´/ D j´j2 ; ´ 2 C ;

que e contınua em todo o plano complexo e so admite derivada na origem.


3.2 Condicoes de Cauchy-Riemann

Suponhamos que f W D � C ! C tem derivada num ponto ´0 do domınioD. Fixemos a seguinte notacao:

f .´/ D u.x;y/C iv.x;y/ I

´0 D x0 C iy0 I

f 0.´0/ D aC ib I

�f D f .´0 C�´/� f .´0/ I

�´ D �xC i�y I

�u D u.x0 C�x;y0 C�y/� u.x0; y0/ I

�v D v.x0 C�x;y0 C�y/� v.x0; y0/ :

Entao,

lim�´!0

�f

�´D lim

�´!0

�uC i�v

�xC i�yD aC ib

e assim

lim.�x;�y/!0

Re�uC i�v

�xC i�yD a I

lim.�x;�y/!0

Im�uC i�v

�xC i�yD b :

Em particular, tomando �´D �x (ou seja, fazendo �y D 0), estes limites redu-zem-se a

lim�x!0

u.x0 C�x;y0/� u.x0; y0/

�xD a I

lim�x!0

v.x0 C�x;y0/� v.x0; y0/

�xD b ;

pelo que as derivadas parciais@u

@xe@v

@xexistem no ponto .x0; y0/ e

@u

@x.x0; y0/D a I

@v

@x.x0; y0/D b :

(3.5)

3.2 Condicoes de Cauchy-Riemann 103

Do mesmo modo, quando �´D i�y (ou seja, quando �x D 0), os limites redu-zem-se a

lim�y!0

v.x0; y0 C�y/� v.x0; y0/

�yD a I

lim�y!0

u.x0; y0 C�y/� u.x0; y0/

��yD b ;

e, assim, as derivadas parciais de u e v em ordem a y existem em .x0; y0/, tendo-se

@v

@y.x0; y0/ D a I

@u

@y.x0; y0/ D �b :

(3.6)

De (3.5) e (3.6), vem

@u

@x.x0; y0/ D

@v

@y.x0; y0/ e

@u

@y.x0; y0/ D �

@v

@x.x0; y0/ ;

ou, numa notacao mais abreviada,

ux.x0; y0/ D vy.x0; y0/ e uy.x0; y0/ D �vx.x0; y0/: (3.7)

Estas equacoes sao conhecidas por Condicoes de Cauchy-Riemann. Sao assim de-signadas em homenagem ao matematico frances A.-L. Cauchy (1789–1857) e aomatematico alemao G. F. B. Riemann (1826–1866) a quem e devida a sua desco-berta. A sua importancia e fundamental na teoria das funcoes analıticas. Observa-mos, desde ja, que elas fornecem diferentes expressoes para a derivada de f em´0, entre elas:

f 0.´0/ D ux.x0; y0/C ivx.x0; y0/

D vy.x0; y0/� iuy.x0; y0/ :(3.8)

Provamos, assim, o seguinte Teorema:

Teorema 3.5 (Diferenciabilidade e Condicoes de Cauchy-Riemann I) Se a de-rivada de uma funcao f W D � C ! C, f D u C iv, existe num ponto´0 D x0 C iy0 2 D, entao as derivadas parciais de primeira ordem de u e v,em relacao a x e a y, existem nesse ponto e satisfazem as Condicoes de Cauchy--Riemann (3.7). Mais, f 0.´0/ e dada em termos dessas derivadas parciais deacordo com (3.8).


Quanto a jf 0.´0/j2 e de acordo com (3.7) e (3.8), temos, por exemplo,

jf 0.´0/j2 D Œux.x0; y0/�2 C

�uy.x0; y0/

�2

D Œux.x0; y0/�2 C Œvx.x0; y0/�

2

D ux.x0; y0/vy.x0; y0/�uy.x0; y0/vx.x0; y0/ :

A ultima expressao mostra que jf 0.´0/j2 e o determinante da matriz jacobiana, oujacobiano, de f .x;y/ D u.x;y/C iv.x;y/ no ponto .x0; y0/, definida por

Df.x0; y0/ D"ux.x0; y0/ uy.x0; y0/

vx.x0; y0/ vy.x0; y0/

#:

Exemplo 3.3 O Teorema 3.5 fornece condicoes necessarias para a existencia daderivada de uma funcao complexa num ponto do domınio. Por exemplo, permiteconcluir que a funcao f .´/ D j´j2 (cfr. alınea (c) dos exemplos 3.2) nao pode terderivada para ´ 6D 0. De facto, uD x2 C y2 e v D 0 tem como derivadas parciaisde primeira ordem:

ux D 2x; uy D 2y; vx D 0 e vy D 0 :

Ora, as Condicoes de Cauchy-Riemann nao sao satisfeitas a menos que x D y D 0.Note-se que o Teorema 3.5 nao assegura a existencia da derivada da funcao em´D 0.

Analisemos, agora, condicoes sobre u e v garantindo a existencia da derivadade f num ponto. Recordamos, antes de mais, que uma funcao

g W A � R2 ! R ;

com A aberto em R2, diz-se diferenciavel em .a; b/ 2 A se existirem as derivadasparciais gx.a; b/ e gy.a; b/ e se

g.aC�x;bC�y/� g.a;b/ D gx.a; b/�xC gy.a; b/�y C "1�xC "2�y ;

onde "1 e "2 sao funcoes de �x e �y que tem por limite zero, quando .�x;�y/tende para .0; 0/. O Lema que se segue traduz um resultado conhecido da AnaliseReal.

Lema 3.6 Sejag W A � R2 ! R ;

com A aberto em R2. Se as derivadas parciais de primeira ordem de g existemnuma vizinhanca de .a; b/ 2 A e se uma delas e contınua em .a; b/, entao g ediferenciavel em .a; b/.


DEMONSTRAC AO: Suponhamos que gx e contınua em .a; b/. Se for gy contınuaem .a; b/, a demonstracao far-se-a de modo analogo. Comecemos por notar que

g.aC�x;bC�y/� g.a;b/ D Œg.aC�x;bC�y/� g.a;bC�y/�

C Œg.a;bC�y/� g.a;b/� :

Pelo Teorema do Valor Medio para funcoes reais de variavel real, aplicado a

.t/ D g.t; bC�y/ ; t 2 Œa; aC�x� ;

vem

g.aC�x;bC�y/� g.a;bC�y/ D .aC�x/� .a/

D �x 0.�/

D �xgx.�; bC�y/ ;

para algum � 2�a; aC�xŒ. Da continuidade de gx em .a; b/ e porque � tende paraa quando�x tende para zero, vem

lim.�x;�y/!.0;0/

gx.�; bC�y/ D gx.a; b/ ;

pelo quegx.�; bC�y/� gx.a; b/ D "1.�x;�y/ ;

em que "1.�x;�y/ tem por limite zero, quando .�x;�y/ tende para .0; 0/. Destaforma,

g.aC�x;bC�y/� g.a;bC�y/ D �x Œgx.a; b/C "1.�x;�y/� : (3.9)

Ora, da definicao de derivada parcial de g em ordem a y, vem

lim�y!0

g.a;bC�y/� g.a;b/�y

D gy.a; b/ :

Assim, considerando

"2.�x;�y/ Dg.a;bC�y/� g.a;b/

�y� gy.a; b/ ;

tem-se

g.a;bC�y/� g.a;b/ D �y�gy.a; b/C "2.�x;�y/

�; (3.10)

em que "2.�x;�y/ tem por limite zero, quando .�x;�y/ tende para .0; 0/7.Obtem-se o pretendido, adicionando, membro a membro, (3.9) e (3.10). �

7Verdadeiramente, "2 depende apenas de �y.


Note-se que o recıproco do Lema anterior nem sempre e valido, isto e, g podeser diferenciavel em .a; b/, sem que nenhuma das derivadas parciais seja contınuaem .a; b/.

Teorema 3.7 (Diferenciabilidade e Condicoes de Cauchy-Riemann II) Sejamue v funcoes reais, de domınioD, nas variaveis x e y. Suponhamos que as suas de-rivadas parciais de primeira ordem existem numa vizinhanca de .x0; y0/, sendocontınuas em .x0; y0/. Se essas derivadas parciais satisfazem as Condicoes deCauchy-Riemann nesse ponto, entao a derivada da funcao f W D � C ! C,f D uC iv, existe no ponto ´0 D x0 C iy0 e e dada por (3.8).

DEMONSTRAC AO: De acordo com a hipotese, as derivadas parciais de u e v exis-tem numa vizinhanca de .x0; y0/, sendo contınuas em .x0; y0/. Tomando o ponto.x0 C�x;y0 C�y/ nessa vizinhanca, pelo Lema anterior podemos escrever

�u D u.x0 C�x;y0 C�y/�u.x0; y0/

D@u

@x.x0; y0/�xC

@u

@y.x0; y0/�y C "1�xC "2�y ;

onde "1 e "2 tendem para zero quando�x ! 0 e �y ! 0. Uma formula analogae valida para �v:

�v D v.x0 C�x;y0 C�y/� v.x0; y0/

D@v

@x.x0; y0/�xC

@v

@y.x0; y0/�yC "3�xC "4�y ;

onde "3 e "4 tendem para zero quando �x ! 0 e �y ! 0. Portanto, usando ahipotese de as Condicoes de Cauchy-Riemann serem satisfeitas em .x0; y0/, pode-mos determinar �f no ponto .x0; y0/:

�f D �uC i�v

D@u

@x.x0; y0/�xC

@u

@y.x0; y0/�y C "1�xC "2�y C

C i

�@v

@x.x0; y0/�xC

@v

@y.x0; y0/�yC "3�xC "4�y

�

D@v

@x.x0; y0/.i�x ��y„ ƒ‚ …

i�´

/C@v

@y.x0; y0/.�xC i�y„ ƒ‚ …

�´

/C

C ."1 C i"3„ ƒ‚ …ı1

/�xC ."2 C i"4„ ƒ‚ …ı2

/�y

D�@v

@yC i

@v

@x

�.x0; y0/ �´C ı1�xC ı2�y ;


em que ı1 e ı2 tendem para zero quando�´D �xC i�y tende para zero. Logo,

�f

�´D

@v

@y.x0; y0/C i

@v

@x.x0; y0/C

ı1�x

�´Cı2�y

�´

D@v

@y.x0; y0/C i

@v

@x.x0; y0/C � ;

em que � ! 0 sempre que �´! 0 8. Desta forma,

f 0.x0 C iy0/ D lim�´!0

�f

�´

D lim�´!0

�@v

@y.x0; y0/C i

@v

@x.x0; y0/C �

�

D@v

@y.x0; y0/C i

@v

@x.x0; y0/

D@u

@x.x0; y0/C i

@v

@x.x0; y0/ ;

conforme pretendido. �

Exemplo 3.4 Ilustremos o Teorema anterior, considerando a funcao

f .´/D ex cosyC iex siny; ´D xC iy 2 C:

Tem-se@u

@xD ex cosyI

@u

@yD �ex sinyI

@v

@xD ex sinyI

@v

@yD ex cosy :

Estas derivadas parciais sao contınuas e satisfazem as Condicoes de Cauchy--Riemann em todos os pontos do plano. Segue-se que

f 0.´/ D@u

@x.x;y/C i

@v

@x.x;y/ D ex cosy C iex siny D f .´/ ; ´ 2 C :

8Note-se que

ˇˇ�x

�´

ˇˇ � 1 e

ˇˇ�y

�´

ˇˇ � 1.


Caracterizemos a relacao existente entre a diferenciabilidade de f , enquantofuncao complexa, e a diferenciabilidade de u e v, enquanto funcoes reais.

Teorema 3.8 (Diferenciabilidade: f vs u e v) Seja f definida num domınio Dde C. Tem-se que f D uC iv e derivavel em ´0 D x0 C iy0 2 D se e so se u

e v forem diferenciaveis (no sentido real) e satisfizerem as Condicoes de Cauchy--Riemann em .x0; y0/.

DEMONSTRAC AO: Suponhamos que f e derivavel em ´0. Entao

limh!0

f .´0 C h/� f .´0/

hD f 0.´0/ :

Logo,f .´0 C h/� f .´0/ D f 0.´0/hCO.h/;

com O.h/h

! 0 quando h ! 0. Seja f 0.´0/ D aC ib e h D s C i t . Entao

Œu.x0 C s;y0 C t /�u.x0; y0/�C i Œv.x0 C s;y0 C t /� v.x0; y0/�

D .aC ib/.sC i t /CO.h/ :

Igualando as partes reais e imaginarias, tem-se

u.x0 C s;y0 C t /�u.x0; y0/ D as � bt CO.h/Iv.x0 C s;y0 C t /� v.x0; y0/ D at C bsCO.h/ :

Isto implica que u e v sejam diferenciaveis em .x0; y0/. De facto, ao dividirmosambos os membros das igualdades anteriores por h e ao considerarmos, por umlado, s D 0 e t a tender para 0 e, por outro lado, t D 0 e s a tender para 0, vem:

ux.x0; y0/ D a D vy.x0; y0/I�uy.x0; y0/ D b D vx.x0; y0/ :

A demonstracao do recıproco segue a mesma linha de raciocınio da demonstracaodo Teorema 3.7. �

Podemos tambem analisar a derivabilidade de uma funcao em termos decoordenadas polares, isto e, dada uma funcao como em (2.3), decidir quando eque esta funcao e derivavel num ponto. Deduzimos, de seguida, as Condicoes deCauchy-Riemann em coordenadas polares.

Suponhamos, de novo, que f W D � C ! C, f D uC iv, e derivavel noponto ´0 D x0 C iy0 2D, mas sendo agora ´0 6D 0. De acordo com o Teorema 3.5,


existem neste ponto as derivadas parciais de primeira ordem de u e v, em relacao ax e a y, e satisfazem as Condicoes de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesia-nas:

ux.x0; y0/ D vy.x0; y0/ e uy.x0; y0/ D �vx.x0; y0/ : (3.11)

Efectuemos a mudanca de coordenadas

x D r cos� Iy D r sin� :

Pela regra da cadeia para funcoes reais de duas variaveis reais, tem-se�ur D ux cos� C uy sin�u� D �rux sin� C ruy cos�

e �vr D vx cos� C vy sin�v� D �rvx sin� C rvy cos�

:

Considerando r ¤ 0 e resolvendo o primeiro sistema pela regra de Cramer, vem

ux D

ˇˇ ur sin�u� r cos�

ˇˇ

rD

1

r.rur cos� � u� sin�/ I

uy D

ˇˇ cos� ur

�r sin� u�

ˇˇ

rD

1

r.u� cos� C rur sin�/ :

Analogamente, obtem-se do segundo sistema:

vx D1

r.rvr cos� � v� sin�/ e vy D

1

r.v� cos� C rvr sin�/ :

Desta forma, podemos concluir que as primeiras derivadas parciais de u e v relati-vamente a x e a y sao funcoes contınuas de .x;y/ em ´0 se e so se as primeirasderivadas parciais de u e v relativamente a r e � forem contınuas de .r; �/ naqueleponto.

As equacoes ux D vy , uy D �vx, podem ser escritas na forma�ur �

1

rv�

�cos� D

�1

ru� C vr

�sin� I

�ur �

1

rv�

�sin� D �

�1

ru� C vr

�cos� ;


daqui resultando com facilidade que

ur D1

rv� ;

1

ru� D �vr ; r 6D 0 ; (3.12)

no ponto ´0. Reciprocamente, estas condicoes implicam as condicoes (3.11).

As equacoes que acabamos de deduzir designam-se por Condicoes de Cauchy--Riemann em coordenadas polares.

Apresentamos um Teorema para coordenadas polares paralelo ao Teorema 3.8.

Teorema 3.9 (Diferenciabilidade: coordenadas polares) Seja f definida numdomınio D � C. Tem-se que f D uC iv e derivavel em ´0 D r0ei�0 2 D see so se u e v forem diferenciaveis (no sentido real) e satisfizerem as Condicoes deCauchy-Riemann em .r0; �0/:

rur D v� e � rvr D u� :

Observacao 3.1 Tendo em conta a relacao entre as primeiras derivadas parciais deu e v relativamente a x e a y e relativamente a r e a � , sendo f derivavel no ponto´0, de (3.8) e de (3.12), concluımos que

f 0.´0/ D .cos�0 � i sin�0/Œur.r0; �0/C ivr.r0; �0/�

D´0

j´0jŒur.r0; �0/C ivr.r0; �0/� :

Obviamente que toda a funcao constante num certo subconjunto aberto de C

tem derivada nula nesse subconjunto. E o recıproco sera valido? O Teorema quese segue mostra que o recıproco e valido quando o subconjunto de C e conexo edecorre de forma simples das Condicoes de Cauchy-Riemann.

Teorema 3.10 (Derivada nula vs funcao constante) Se f W D � C ! C e dife-renciavel no domınioD e se a sua derivada e nula em todos os pontos deD, entaof e constante em D.

DEMONSTRAC AO: Como f e diferenciavel em D, de (3.8), tem-se

f 0.´/ D ux.x;y/C ivx.x;y/

D vy.x;y/� iuy.x;y/ ;

para cada ´ D xC iy 2D. Como a derivada de f e nula em D, isto implica queas derivadas parciais de primeira ordem de u e v sejam tambem nulas em D. Ora,

3.3 Funcoes analıticas ou holomorfas 111

da Analise Real, sabemos que se uma funcao tem derivada nula num intervaloŒa; b�, entao e constante em Œa; b�. Seja, entao,

L D ft C iy0 W a � t � bg

um segmento de recta em D e seja

.t/ D u.t;y0/ :

Nestas condicoes, ux D 0, pelo que u e constante em L. Por um argumento seme-lhante, prova-se que u e v sao ambas constantes em qualquer segmento de recta emD, horizontal ou vertical. Desta forma, f e constante ao longo de qualquer linhapoligonal em D, formada por segmentos de recta horizontais e verticais. Como De um domınio, D e aberto e conexo por arcos. Sendo assim, quaisquer dois pontosde D podem ser ligados por uma linha poligonal em D, satisfazendo a propriedadeanterior. Segue-se que f e constante em todo o domınioD. �

3.3 Funcoes analıticas ou holomorfas

A funcao f W D � C ! C diz-se analıtica ou holomorfa num ponto ´0 2Dse a sua derivada f 0 existe nao so em ´0, como ainda em todo o ponto ´ de umavizinhanca de ´0.

Os termos ”regular” ou ”monogena” sao tambem sinonimos.

A funcao f diz-se holomorfa no domınio D, se for holomorfa em todo oponto desse domınio.

Uma funcao diz-se inteira se for holomorfa em todo o plano complexo.

O domınio de analiticidade ou regiao de analiticidade de uma funcao com-plexa corresponde ao maior subconjunto de C (no sentido da inclusao de conjuntos)aberto, conexo, no qual f seja holomorfa em todos os pontos.

Exemplos 3.5

(a) Toda a funcao polinomial da forma

p.´/ D a0 C a1´C � � � C an´n ;

com ai 2 C, i D 0;1; : : : ; n e n 2 N, tem derivada em qualquerponto do plano, sendo, por isso, uma funcao inteira.


(b) De acordo com o exemplo 3.4, a funcao

f .´/ D ex cosy C iex siny; ´D xC iy 2 C ;

e inteira.

(c) Ja a funcaof .´/ D j´j2; ´ 2 C ;

nao e holomorfa em ponto algum do plano, visto que so admite deri-vada na origem.

As derivadas da soma e do produto de funcoes existem onde as funcoes ad-mitem derivada. Logo, se duas funcoes sao analıticas num domınioD, entao a suasoma e o produto sao analıticas em D. Analogamente, o seu quociente e analıticoem D, desde que a funcao no denominador se nao anule em ponto algum de D.

Exemplo 3.6 A funcao definida por

f .´/ D1

´

e analıtica em Cnf0g.

Tambem a composta de funcoes analıticas e analıtica, de acordo com o Teo-rema 3.2. Seja g analıtica num domınio D1 e seja R o seu contradomınio. Se f eanalıtica num domınioD2, contendoR, segue-se que f ı g e analıtica em D1.

Exemplo 3.7 A funcao g, definida por

g.´/ D 1C ´2; ´ 2 C ;

e inteira. Consideremos tambem um ramo da funcao raiz quadrada

f .´/ D ´12 D

pr

�cos

�

2C i sin

�

2

�; r > 0; �� < � < � ;

a qual e analıtica no seu domınio de definicao9 (vide exercıcio 2.5 e seccao 5.7). Emparticular, f e analıtica no semi-plano superior Im ´ > 0. Tomando ´ D x C iy,Im g.´/D 2xy. Como o contradomınio de g tem que estar restrito ao semi-planosuperior, torna-se necessario considerar

xy > 0 :

9Note-se que se retirou do domınio de f o semi-eixo negativo dos xx, garantindo assim a conti-nuidade da funcao argumento.

3.4 Derivadas de Wirtinger 113

Assim, concluımos que a funcao composta f ı g, dada por

f .g.´// D .1C ´2/12 ;

e analıtica nos quadrantes x > 0; y > 0 e x < 0; y < 0.

3.4 Derivadas de Wirtinger

Consideremos uma funcao f complexa de variavel complexa. Podemos pen-sar f como uma funcao de R2 em R2, que ao par .x;y/ faz corresponder f .x;y/.Tendo em mente que

x D´C ´

2e y D

´� ´2i

;

consideremos f como funcao de ´ e ´. Trataremos estas variaveis como variaveisindependentes, esquecendo que sao realmente conjugadas uma da outra.

Sendo validas as regras do calculo, obterıamos as seguintes expressoes:

@f

@´D

@f

@x

1

2C@f

@y

1

2ie

@f

@´D

@f

@x

1

2�@f

@y

1

2i;

ou seja,

@f

@´D

1

2

�@f

@x� i

@f

@y

�e

@f

@´D

1

2

�@f

@xC i

@f

@y

�:

Estas expressoes nao tem definicoes convenientes em termos de limites, maspodemos introduzi-las como derivadas simbolicas com respeito a ´ e a ´. Sao co-nhecidas por derivadas de Wirtinger.

Admitamos que f e analıtica. Entao, valem as Condicoes de Cauchy--Riemann e f 0 D ux C ivx D vy � iuy. Tem-se

ux C ivx D vy � iuy D �i.uy C ivy/ ;


ou seja,@f

@xD �i

@f

@y,

@f

@xC i

@f

@yD 0 ,

@f

@´D 0 :

Concluımos, assim, que as funcoes analıticas sao caracterizadas pela con-dicao

@f

@´D 0 :

3.5 Funcoes harmonicas

Consideremos uma funcao f D u C iv analıtica num domınio do planocomplexo. Entao, em todo o ponto desse domınio verificam-se as Condicoes deCauchy-Riemann

@u

@xD

@v

@y;

@u

@yD �

@v

@x;

e, portanto,@2u

@x2D

@2v

@x@y;

@2u

@y2D �

@2v

@y@x;

desde que as segundas derivadas existam. Mostraremos que se f for analıtica,entao as derivadas parciais de u e v de todas as ordens existem e sao funcoescontınuas de x e y. Admitindo desde ja este facto (um dos mais importantes Teo-remas do Curso - Teorema 8.7), segue-se que as duas derivadas mistas de segundaordem sao iguais, pelo que

@2u

@x2C@2u

@y2D 0 (3.13)

em todo o ponto do domınio. A equacao (3.13) chama-se Equacao de Laplace euma funcao u de classe C 2 que satisfaca (3.13) diz-se harmonica.

Analogamente se conclui que se f D uC iv for analıtica num domınio,tambem v e uma funcao harmonica nesse domınio. Portanto, as partes real e ima-ginaria de uma funcao analıtica sao harmonicas.

Se duas funcoes harmonicas u e v satisfazem as Condicoes de Cauchy--Riemann, entao v diz-se conjugada harmonica de u. Assim, as partes real e ima-ginaria u e v de uma funcao analıtica nao so sao harmonicas, como tambem v econjugada harmonica de u.

3.5 Funcoes harmonicas 115

Reciprocamente, se as funcoes u e v sao harmonicas (logo, de classe C 2)num domınioD e se satisfazem as Condicoes de Cauchy-Riemann nesse domınio,entao f D uC iv e uma funcao analıtica em D.

No Teorema 9.11, provaremos um resultado mais forte: se u e harmonicanum domınio simplesmente conexo D, entao existe uma funcao harmonica v emD, tal que f D uC iv e analıtica em D.

A conjugada de uma funcao harmonica pode achar-se por integracao, comoo seguinte exemplo ilustra.

Exemplo 3.8 Consideremos em R2 a funcao u definida por

u.x;y/ D x2 � y2 :

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem, obtemos

@u

@xD 2x e

@u

@yD �2y: (3.14)

Ora, �@2u

@x2D 2 ^

@2u

@y2D �2

�)

@2u

@x2C@2u

@y2D 0 ;

pelo que u e harmonica. De acordo com (3.14), a funcao conjugada harmonicadeve satisfazer as condicoes

@v

@xD 2y I

@v

@yD 2x :

Da primeira equacao resulta

v.x;y/ D 2xy C .y/ ;

onde e uma funcao na variavel y. Por substituicao na segunda equacao, vem 0.y/D 0. Logo, e uma funcao constante e a conjugada harmonica de u e dadana sua expressao mais geral por

v.x;y/ D 2xy C k ;

sendo k uma constante real. Considerando k D 0, obtemos a funcao f .´/ D ´2, aqual e uma funcao inteira.



Exercıcio 3.1 Mostre que a funcao

f .´/ D�´2=´; se ´ 6D 0

0 ; se ´D 0

nao e diferenciavel em ´ D 0, mas que na origem sao satisfeitas as Condicoes deCauchy-Riemann.Sugestao: Use a definicao de derivada, faca ´ ! 0 ao longo de um dos eixos

coordenados e ao longo da recta y D x.

Exercıcio 3.2 Seja

f .´/ D�´5=j´j4; se ´ 6D 0

0 ; se ´D 0:

(a) Mostre que f .´/=´ nao tem limite quando ´! 0.

(b) Mostre que, apesar de f 0.0/ nao existir, se verificam as Condicoesde Cauchy-Riemann na origem.

Exercıcio 3.3 Prove que a composta de funcoes analıticas e uma funcao analıticae estabeleca a regra da cadeia (versao complexa).

Exercıcio 3.4 Supondo f �1 definida num domınioD onde e analıtica, prove que

df �1

dw.w/ D

1

f 0.´/;

com ´D f �1.w/:Sugestao: Aplique a regra da cadeia a f �1.f .´//D ´.

Exercıcio 3.5 (Regra de L’Hopital) Suponha que f e g sao analıticas em ´0 eque f .´0/D g.´0/ D 0. Prove que

lim´!´0

f .´/

g.´/D lim

´!´0

f 0.´/

g0.´/;

caso exista o segundo limite.


Exercıcio 3.6 Utilize a regra de L’Hopital para calcular o limite

lim´! 1Ci

´2 � 2´C 2

´4 C 4:

Exercıcio 3.7 Determine os pontos de diferenciabilidade e de analiticidade dafuncao

f .´/ D xC i sin x cos y ; ´D xC iy 2 C :

Exercıcio 3.8 Mostre que a funcao

f W ´D rei� 7! f .´/ D ´12 D

prei �

2 ; r > 0 ; �� < � < � ;

tem derivada em cada ponto do seu domınio de definicao e que

f 0.´/ D1

2f .´/:

Exercıcio 3.9 Sejaf .´/ D u.r; �/C iv.r; �/

uma funcao analıtica num domınioD ao qual nao pertence o ponto ´D 0.

(a) Usando as Condicoes de Cauchy-Riemann em coordenadas polares,mostre que a funcao u satisfaz a forma polar da Equacao de Laplaceem D:

r2urr.r; �/C rur.r; �/C u��.r; �/ D 0 :

(b) Mostre que a funcao v tambem satisfaz a forma polar da Equacao deLaplace no mesmo domınio.


u.r; �/ D log r ;

em que log r representa o logaritmo natural de r .

(a) Mostre que u e harmonica no domınio

r > 0 ^ 0 < � < 2� :

(b) Determine, entao, uma funcao conjugada harmonica de u.


Exercıcio 3.11 Em cada uma das alıneas que se seguem, mostre que u e harmonicanum certo domınio e determine uma sua conjugada harmonica v:

(a) u.x;y/D 2x.1� y/;

(b) u.x;y/D sinh x sin y.

Exercıcio 3.12

(a) Seja f D uC iv uma funcao inteira. Para que combinacoes de sinais

."1; "2/ 2 f.�;�/; .�;C/; .C;�/; .C;C/g

sao inteiras as funcoes "1vC i"2u?

(b) Existem funcoes f D uC iv inteiras para as quais

u.x;y/ D x2 � y2 � 2xy ‹

Se sim, quais?

Exercıcio 3.13 Mostre que toda a funcao f , holomorfa numa regiao D e satisfa-zendo uma das seguintes condicoes, e uma funcao constante:

(a) Re f .´/ ou Im f .´/ e constante em D;

(b) jf .´/j e constante em D.

Exercıcio 3.14 Mostre que uma funcao inteira f na variavel ´ cujos valoresdependem apenas de j´j e uma funcao constante.

Exercıcio 3.15 Seja f uma funcao analıtica num conjunto aberto A � C. Seja

A� D f´ W ´ 2 Ag :

Mostre que a funcao g W A� ! C, definida por g.´/D f .´/, e analıtica em A�.


Exercıcio 3.16 O Teorema do Valor Medio de Lagrange e um importante resultadoda Analise Real que nao e valido na Analise Complexa. Seja f .t/D t2 C i t3, comt 2 Œa; b� � R. Mostre que

f .b/� f .a/ D f 0.c/.b � a/ ;

para algum ponto c em �a; bŒ so se a D b.

3.7 Laboratorio 3

A existencia das primeiras derivadas parciais das partes real e imaginaria deuma funcao complexa nao implica a diferenciabilidade da funcao. Visualizaremoscom o Mathematica tal facto. Usaremos o programa para determinar funcoes con-jugadas harmonicas de funcoes harmonicas.

Visualizacao de uma funcao descontınua admitindo derivadas parciaisde primeira ordem das componentes

Dada uma funcao complexa f D uC iv, a diferenciabilidade de primeiraordem de u e v em todas as direccoes nao e suficiente para garantir a diferencia-bilidade de f . Como sabemos, uma funcao e diferenciavel no sentido complexose

1) as funcoes parte real e parte imaginaria sao diferenciaveis;

2) as Condicoes de Cauchy-Riemann sao satisfeitas.

Considere-se a funcao u tal que

u.x;y/ Dxy

x2 C y2;

se .x;y/ 6D .0; 0/, e u.0;0/D 0. Prova-se com facilidade que as derivadas parciaisde primeira ordem, ux.x;y/ e uy.x;y/, existem em todo o plano complexo. Con-siderando coordenadas polares, verifique que u nao e contınua na origem. Analise oque acontece a funcao quando nos aproximamos da origem em diferentes direccoes.A seguinte visualizacao faz luz sobre a relacao entre existencia de derivadas par-ciais e diferenciabilidade complexa.

Primeiramente, consideremos coordenadas cartesianas e depois coordenadaspolares. Em cada caso e claro que existe uma descontinuidade na origem. Mas, afuncao e zero ao longo dos eixos coordenados, existindo as derivadas parciais naorigem.


In[1]:= Clear@"Global`*"D;Plot3D@x * y � Hx2 + y2L, 8x, -1, 1<,8y, -1, 1<, PlotPoints ® 40D

-1-0.5

00.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

-0.5-0.25

00.250.5

-1-0.5

00.5


In[3]:= ParametricPlot3D A9r Cos@ΘD, r Sin@ΘD, 1

��2

Sin@2 ΘD=, 8r, 0, 1<,8Θ, 0, 2 Π< , PlotPoints ® 820, 50<E

-1-0.5

00.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

-0.5-0.25

0

0.25

0.5

-1-0.5

00.5



Construcao de uma funcao holomorfa conhecida a parte real

Considere-se a funcao

u.x;y/ D 4xy.y2 � x2/ :

Verifica-se, sem dificuldade, que esta funcao e harmonica, pois satisfaz a Equacaode Laplace. Usando o Mathematica, determinemos uma funcao holomorfa f quetenha u como parte real. O programa que se segue foi desenvolvido por Shaw ebaseia-se na generalizacao de um resultado apresentado inicialmente por Ahlforsem 1953. Para maior desenvolvimento, consulte [27, Cap.10].

In[4]:= RealToHolo @expr_, anum_, 8xsym_, ysym_, zsym_ <D :=

Module@8abar = Conjugate@anumD, exprf<,exprf = ComplexExpand @expr, TargetFunctions ® 8Re, Im<D;func =

2 * exprf �.8xsym ® Hzsym + abarL � 2, ysym ® Hzsym - abarL � H2 * IL<;basecorr = - exprf �. 8xsym ® Re@anumD, ysym ® Im@anumD<;FullSimplify @func + basecorr + I * ΒDD

O valor que se atribui a anum_ devera corresponder a um ponto onde a funcao fseja analıtica.

In[5]:= RealToHolo @4 x * y Hy2 - x2L, 0, 8x, y, z <DOut[5]= ä Hz4 + ΒL

Em vez de calcularmos directamente a funcao f , podemos determinar a conjugadaharmonica de u. Vejamos novo exemplo. Consideremos a funcao

u.x;y/ D1

2log.x2 C y2/ :

Para averiguarmos no Mathematica se u.x;y/ e harmonica, podemos recorrer aoseguinte programa:

In[6]:= laplacian@expr_, 8xsym_, ysym_<D :=

Module@8laplaciano <, laplaciano = FullSimplify @Together@D@expr, 8xsym, 2<D + D@expr, 8ysym, 2<DDD; laplaciano D;

laplacianA 1��2

Log@x2 + y2D, 8x, y<EOut[7]= 0


Para calcularmos a funcao conjugada harmonica de u.x;y/, uma vez verificadoque o laplaciano e zero, consideremos o programa que aplicaremos a u.x;y/.

In[8]:= HarmonicConjugate @expr_, anum_, 8xsym_, ysym_<D :=

Module@8abar = Conjugate@anumD, zsym, exprf<,exprf = ComplexExpand @expr, TargetFunctions ® 8Re, Im<D;func = 2 * exprf �. 8xsym ® Hzsym + abarL � 2,

ysym ® Hzsym - abarL � H2 * IL<;basecorr = -exprf �. 8xsym ® Re@anumD, ysym ® Im@anumD<;ComplexExpand @Im@FullSimplify @Hfunc + basecorr + I * ΒL �. zsym ® xsym + I * ysymDDDD;

HarmonicConjugate A 1��2

Log@x2 + y2D, 1, 8x, y<EOut[9]= Β + Arg@x + ä yDOutro exemplo:

In[10]:= HarmonicConjugate @Hx^2 + y^2L^H1 � 4L Cos@H1 � 2L ArcTan@x, yDD, 1, 8x, y<DOut[10]= Β + Hx2 + y2L1�4 SinA 1��

2Arg@x + ä yDE

Calculo de limites e derivadas

Para o calculo de limites e derivadas no Mathematica recorre-se as funcoesLimit[] e D[].

In[11]:= ? Limit

Limit@expr, x->x0D finds the

limiting value of expr when x approaches x0. More…

In[12]:= ? D

D@f, xD gives the partial derivative of fwith respect to x. D@f, 8x, n<D gives the nthpartial derivative of f with respect to x. D@f,x1, x2, ... D gives a mixed derivative. More…

Use estas funcoes para calcular as sucessivas derivadas de

f .´/ D�

1

´2 C 3

�5

e g.´/ D´7 � 3´4 � 7

;

bem como os limites de f e g quando ´ tende para infinito.

A escada da Sabedoria tem os degraus feitos de numeros.

Helena Blavatsky

Capítulo 4Sucessoes e Series Complexas

4.1 Sucessoes de numeros complexos

Uma sucessao de numeros complexos

´1; ´2; : : : ; ń; : : : (4.1)

pode ser encarada como uma funcao f , na variavel independente n 2 N 10, to-mando valores em C,

f W N ! C :

Chama-se termo da sucessao a qualquer elemento do contradomınio de f . O termof .n/ D ń, com n 2 N, e o termo geral da sucessao, representando-se esta por.ń/n2N ou, simplesmente, por .ń/.

Diz-se que a sucessao .ń/n2N tem limite ´ 2 C e escreve-se

limn!C1

ń D ´

se para todo o " > 0, existe um n0 2 N tal que

jń � ´j < "; (4.2)

para n � n0. Uma sucessao com limite finito diz-se convergente, e qualquer su-cessao nao convergente diz-se divergente.

10No lugar de N, podemos tambem considerar N0 ou qualquer subconjunto infinito de N0.

123

124 CAPITULO 4: Sucessoes e Series Complexas

z

z1

z2

z3 z4z5 z6

¶

Figura 22: Ilustracao da convergencia de uma sucessao complexa.

A desigualdade em (4.2) equivale a condicao ń 2D.´;"/, para n � n0. As-sim, dizer que uma sucessao .ń/ converge para um certo ´ 2 C e o mesmo queafirmar que, para cada " > 0, existe uma ordem a partir da qual todos os termos dasucessao pertencem ao disco D.´;"/, como se ilustra na figura 22.

Escreve-selim

n!C1ń D 1 ;

e diz-se que a sucessao diverge para infinito, se, para todo o " > 0, existe umn0 2 N tal que

jńj >1

";

para n � n0. Este conceito tambem pode ser interpretado geometricamente, recor-rendo agora aos discosD.1; "/ definidos na seccao 1.10.

Como consequencia do Teorema 2.1, o limite de uma sucessao, caso exista,e unico.

O estudo dos limites de sucessoes complexas pode ser reduzido ao estudo desucessoes reais.

Teorema 4.1 (Limite de sucessoes complexas vs sucessoes reais) Sejam

ń D xn C iyn e ´ D xC iy ;

com xn; yn; x; y 2 R e n 2 N. Nestas condicoes,

limn!C1

ń D ´

4.1 Sucessoes de numeros complexos 125

se e so selim

n!C1xn D x ^ lim

n!C1yn D y :

DEMONSTRAC AO: Demonstracao ao cuidado do leitor. �

Exemplo 4.1 Consideremos a sucessao de termo geral

ń Dp2C i

.�1/n

n3; n 2 N :

Tem-se,lim

n!C1xn D

p2 ^ lim

n!C1yn D 0 ;

pelo que, pelo Teorema anterior,

limn!C1

ń Dp2 :

Nem sempre e possıvel provar a convergencia de uma sucessao exibindo oseu limite. E, assim, extremamente importante dispor de um metodo que permitaprovar a existencia de limite, independentemente da sua determinacao, ou nao, demodo explıcito. O Criterio de Cauchy, tambem conhecido por Princıpio Geral deConvergencia, serve este fim.

Diz-se que uma sucessao .ń/n2N e fundamental ou de Cauchy se satisfaz aseguinte condicao: dado um " > 0 arbitrario, existe um n0 2 N tal que

jń � ´mj < ";

sempre que n � n0 e m � n0.

Teorema 4.2 (Criterio de Cauchy para sucessoes complexas) Uma sucessao denumeros complexos e convergente se e so se e fundamental.

DEMONSTRAC AO: Seja " > 0. Se ń ! w, existe n0 2 N tal que

jń � wj <"

2;

para n � n0: Pela desigualdade triangular, tem-se

jń � ´mj � jń � wj C j´m � wj < ";

sempre que m;n � n0.


Reciprocamente, suponhamos que qualquer que seja " > 0, existe n0 2 N talque

m;n � n0 ) jń � ´mj < " :

Sejam xn D Re ń e yn D Im ń. Se m;n � n0, entao

jxn � xmj � jń � ´mj < " I

jyn � ymj � jń � ´mj < " :

Pelo Princıpio Geral de Convergencia valido para sucessoes reais, as sucessoes.xn/ e .yn/, sendo de Cauchy, sao convergentes para certos numeros reais, respec-tivamente, x e y. Portanto, .ń/ converge para ´D xC iy. �

Exemplo 4.2 Usando o Criterio de Cauchy, mostremos que a sucessao de termogeral

ń D i� C�3� 4i6

�n

; n 2 N ;

converge. Calculos simples mostram que

jń � ´mj Dˇˇ�3� 4i6

�n

��3� 4i6

�mˇˇ

�ˇˇ�3� 4i6

�nˇˇC

ˇˇ�3� 4i6

�mˇˇ

D�5

6

�n

C�5

6

�m

� 2

�5

6

�r

;

onde r D min fm;ng. Como 5=6 < 1, podemos fazer 2.5=6/r tao pequeno quantodesejarmos, tomando r suficientemente grande.

4.2 Series de numeros complexos 127

4.2 Series de numeros complexos

Uma serie e uma soma infinita formal

´1 C ´2 C � � � C ń C � � � ;

a qual e representada usualmente na forma

C1X

nD1

ń ; (4.3)

ouPń, quando a nao indicacao de ındices for inequıvoca. Os numeros comple-

xos ´1; ´2; : : : ; ń; : : : chamam-se termos da serie, sendo ń, com n 2 N, o termogeral da serie. Por vezes, utiliza-se ´0 como primeira parcela ou entao um deter-minado ´k, com k > 1, o que equivale a tomar os termos anteriores iguais a 0.

Associada a serie esta a sucessao das somas parciais

sn D ´1 C ´2 C � � � C ń ; n 2 N : (4.4)

Diz-se que a serie e convergente se a sucessao das somas parciais associada forconvergente e, neste caso, o limite da sucessao e a soma da serie.

Aplicado a series, o Criterio de Cauchy (Teorema 4.2) conduz-nos a seguintecondicao: a serie em (4.3) converge se e so se, para todo o " > 0, existe um n0 2 N

tal quejń C ńC1 C � � � C ńCp j < ";

para todo o n � n0 e p � 0. Para p D 0 temos, em particular, que jńj < ". Poroutras palavras, o termo geral de uma serie convergente tende para zero.

Teorema 4.3 (Condicao necessaria de convergencia) Se a seriePń e conver-

gente, entao limń D 0.

Exemplo 4.3 As series

C1X

nD1

ni eC1X

nD1

.�i /n

nao sao convergentes, uma vez que lim.ni/D 1 e que nao existe o lim.�i /n.


O limite do termo geral da serie ser zero e uma condicao necessaria de con-vergencia, mas nao suficiente. Veja-se o exemplo 4.5.

O Teorema seguinte permite reduzir o estudo das series de termos complexosao de duas series de termos reais e generalizar para aquelas series propriedadesdestas. Por exemplo, a natureza (convergente ou divergente) de uma serie nao sealtera suprimindo ou modificando um numero finito de termos.

Teorema 4.4 (Convergencia de series complexas vs series reais) Sejam

ń D xn C iyn e ´ D xC iy ;

com xn; yn; x; y 2 R e n 2 N. Entao, a serie

C1X

nD1

ń

converge se e so se as series reais

C1X

nD1

xn eC1X

nD1

yn

convergem.

DEMONSTRAC AO: Trata-se de uma consequencia imediata do Teorema 4.1. �

Exemplo 4.4 Analisemos a convergencia da serie de termo geral

ń D1

enC i

��9

�n

; n 2 N :

Tem-se, de acordo com a teoria das series geometricas reais11,

C1X

nD1

xn D1

e � 1^

C1X

nD1

yn D�

9� �;

pelo que, pelo Teorema anterior,

C1X

nD1

ń D1

e � 1C i

�

9� �:

11A serie geometricaC1X

nDp

arn , com a; r 2 R e jrj < 1, e convergente e a sua soma earp

1 � r:

4.2 Series de numeros complexos 129

Exemplo 4.5 O recıproco do Teorama 4.3 nem sempre e valido. Por exemplo,

limn!C1

i

nD 0 ;

mas a serieC1X

nD1

i

n

nao e convergente, uma vez que a serie harmonica

C1X

nD1

1

n

tambem nao o e.

Sao validas as propriedades (demonstracao remetida para o leitor, exercıcio 4.4):sePń e

Pwn sao series convergentes e c e um complexo, entao

P.ń ˙ wn/ eP

.cń/ convergem e as suas somas sao dadas, respectivamente, por

X.ń ˙ wn/ D

Xń ˙

Xwn

e X.cń/ D c

Xń :

A serieC1X

nD1

ń

diz-se absolutamente convergente se

C1X

nD1

jńj

for convergente.

O Teorema que se segue e especialmente importante, porque, sendoP

jńjuma serie real, os criterios de convergencia conhecidos para series reais podem seraplicados.


Teorema 4.5 (Condicao suficiente de convergencia) Toda a serie absolutamenteconvergente e convergente.

DEMONSTRAC AO: SejaPń absolutamente convergente e seja ń D xn C iyn,

com xn; yn 2 R e n 2 N. Entao, como jxnj � jńj e jynj � jńj, o criterio decomparacao para series de numeros reais permite concluir a convergencia de

Pjxnj

eP

jynj. Dado que a convergencia absoluta de series reais implica convergencia,tambem as series

Pxk e

Pyk convergem e, apelando ao Teorema 4.4, fica pro-

vado o resultado. �

Exemplo 4.6 A serieC1X

nD1

.�i /n

n3

converge, porqueC1X

nD1

1

n3

e uma serie de Dirichlet, ou seja, do tipoP 1

np e, como sabemos da Analise Real,converge se p > 1.

Esta e uma condicao suficiente de convergencia, mas nao necessaria. Comefeito, ha series que convergem, mas nao absolutamente. Por exemplo,

C1X

nD1

.�i /n

n

e uma serie convergente, uma vez que as correspondentes series reais,

C1X

nD1

.�1/n

2ne

C1X

nD1

.�1/n

2n� 1;

sao series alternadas convergentes. Para chegarmos a esta conclusao basta aplicar-mos o conhecido Criterio de Leibniz para series reais, segundo o qual toda a serieda forma

P.�1/nbn e convergente, desde que .bn/ seja uma sucessao monotona

nao-crescente com limbn D 0. Contudo, a serie harmonica

C1X

nD1

1

n

nao e convergente.

4.3 Convergencia uniforme 131

Teorema 4.6 (Criterios da Razao e da Raiz) Consideremos a serie complexa

C1X

nD1

ń :

(a) Seja

� D limn!C1

jńC1jjńj

:

Se � > 1, a serie diverge; se � < 1, a serie converge absolutamente;se �D 1, nada se pode concluir.

(b) Seja� D lim

n!C1jńj1=n :

Se � > 1, a serie diverge; se � < 1, a serie converge absolutamente;se �D 1, nada se pode concluir.

DEMONSTRAC AO: Ao cuidado do leitor. �

4.3 Convergencia uniforme

Lidaremos, agora, com sucessoes e series de funcoes complexas. Considere-mos uma sucessao de funcoes definidas num subconjuntoA de C,

fn W A! C ; n 2 N :

Diz-se que a sucessao converge pontualmente em A se, para cada ´ 2A, a sucessaodas imagens fn.´/ convergir. O limite define uma nova funcao f em A.

Por sua vez, diz-se que a sucessao de funcoes fn W A ! C converge uni-formemente em A para uma funcao f W A ! C se, para todo o " > 0, existir umn0 2 N tal que n � n0 implica que jfn.´/� f .´/j < ", para todo o ´ 2 A.

A serie de funcoesC1X

kD1

fk.´/

converge pontualmente (ou converge uniformemente) se a correspondente sucessaodas somas parciais,

sn DnX

kD1

fk.´/ ; n 2 N ;


convergir pontualmente (ou convergir uniformemente).

Obviamente que a convergencia uniforme implica a convergencia pontual.Na convergencia pontual, enquanto que, dado um " > 0, o valor do n0 2 N reque-rido na definicao pode variar de ponto para ponto, na convergencia uniforme existeum n0 2 N que funciona para todo o ponto ´.

E importante observar que o conceito de convergencia uniforme depende naoso das funcoes envolvidas, mas tambem do conjunto em questao, como mostra oexemplo seguinte.

Exemplo 4.7 A sucessao

fn.´/ D ´n ; n 2 N ;

converge pontualmente para a funcao nula em D.0;1/, mas a convergencia nao euniforme. Contudo, essa convergencia e uniforme em qualquer sub-disco fechadoD.0; r/, com r < 1. Estes factos constatam-se facilmente recorrendo a raciocınios"� ı.

Como a representacao grafica de uma funcao complexa de variavel complexae difıcil pois requer quatro dimensoes reais, ilustremos geometricamente o conceitode convergencia uniforme para uma sucessao de funcoes reais (cfr. figura 23). Se" > 0, entao para n suficientemente grande o grafico de y D fn.x/ deve permane-cer dentro do tubo-" em redor do grafico de f .

O Teorema 4.2 tem a seguinte versao para a convergencia uniforme.

Teorema 4.7 (Criterio de Cauchy para a convergencia uniforme)

(a) A sucessao .fn/n2N converge uniformemente em A se e so se, dadoum " > 0 arbitrario, existe um n0 2 N tal que jfn.´/� fm.´/j < ",para todo o n � n0, m � n0 e todo o ´ 2 A.

(b) A serieC1X

kD1

fk.´/

converge uniformemente em A se e so se, para todo o " > 0, existeum n0 2 N tal que jfn.´/C fnC1.´/C � � � C fnCp.´/j < ", paratodo o n � n0, p � 0 e todo o ´ 2 A.


x

y

f

fn

¶

¶

a b

Figura 23: Visualizacao da convergencia uniforme de uma sucessao de funcoesreais de variavel real definidas no intervalo Œa; b�.

Mostraremos, agora, que se uma sucessao de funcoes contınuas convergiruniformemente para uma funcao, esta tambem e contınua, verificando-se uma pro-priedade analoga para a convergencia uniforme de series de funcoes contınuas.

Teorema 4.8 (Convergencia uniforme e continuidade)

(a) Se a sucessao fn W A! C de funcoes contınuas em A convergir uni-formemente para uma funcao f; entao f e contınua em A.

(b) Analogamente, se a serie de funcoes contınuasPfk.´/ convergir

uniformemente para g em A, entao g e contınua em A.

DEMONSTRAC AO: Basta obviamente provar a assercao para sucessoes. Pretende-mos mostrar que para ´0 2 A, dado " > 0; existe um ı > 0 tal que j´ � ´0j < ıimplica que jf .´/� f .´0/j < ": Dada a convergencia uniforme, podemos escolhern0 2 N tal que

jfn0.´/� f .´/j <

"

3; (4.5)

para todo o ´ 2 A. Como fn0e contınua, existe um ı > 0 tal que

jfn0.´/� fn0

.´0/j <"

3; (4.6)


se j´� ´0j < ı. Portanto, de (4.5) e (4.6), tem-se

jf .´/� f .´0/j � jf .´/� fn0.´/j C jfn0

.´/� fn0.´0/j C jfn0

.´0/� f .´0/j

<"

3C"

3C"

3

D " ;


Exemplo 4.8 A sucessao de funcoes contınuas

fn.´/ D ´n ; n 2 N ;

definidas em D.0;1/[ f1g, converge pontualmente para

f .´/ D�0 ; se j´j < 11 ; se ´D 1

;

mas a convergencia nao e uniforme, uma vez que a funcao f nao e contınua emD.0;1/[ f1g.

O Teste-M de Weierstrass e um instrumento teorico e pratico muito impor-tante para o estudo da convergencia uniforme.

Teorema 4.9 (Teste-M de Weierstrass) Seja .fn/n2N uma sucessao de funcoesem A. Suponhamos que existe uma sucessao numerica .Mn/n2N tal que:

(i) jfn.´/j � Mn, para todo o ´ 2 A;

(ii) A seriePMk converge.

Entao, a seriePfk.´/ converge absoluta e uniformemente em A.

DEMONSTRAC AO: Como a serie

C1X

kD1

Mk

converge, para todo o " > 0, existe um n0 2 N tal que

Mn CMnC1 C � � � CMnCp < ";


para todo o n � n0 e p � 0. Note-se que os modulos sao dispensaveis, uma vezque se trata de uma serie de termos nao-negativos. Portanto, n � n0 implica

jfn.´/C fnC1.´/C � � � C fnCp.´/j � jfn.´/j C jfnC1.´/j C � � � C jfnCp.´/j� Mn CMnC1 C � � � CMnCp

< ";

para cada ´ 2 A. A demonstracao do Teorema fica concluıda usando o Criterio deCauchy para a convergencia uniforme (Teorema 4.7). �

Exemplo 4.9 A serie

f .´/ DC1X

nD1

´n

n

converge uniformemente nos discos fechados

D.0; r/ D f´ 2 C W j´j � rg ;

para cada 0 < r < 1. Com efeito,

jfn.´/j Dj´jn

n�rn

nD Mn :

Comorn

n� rn e a serie majorante (serie geometrica)

C1X

nD1

rn

e convergente para 0 < r < 1, a serie

C1X

nD1

rn

n

converge. Pelo teste-M de Weierstrass, a serie dada converge uniformemente emD.0; r/.

Alem disso, a serie apresentada converge pontualmente no disco unitario,porque cada ponto deste disco pertence a algum D.0; r/, para r suficientementeproximo de 1.

Contudo a serie nao converge uniformemente no disco unitario. Se acasoconvergisse, tambem

C1X

nD1

xn

n


convergiria uniformemente em Œ0; 1Œ. Logo, para cada " > 0, existiria um n0 2 N

tal que n � n0 implicaria

xn

nCxnC1

nC 1C � � � C

xnCp

nCp< " ; x 2 Œ0; 1Œ ; p D 0;1; 2; : : :

Mas, a serie de tipo harmonico

1

n0C

1

n0 C 1C � � �

diverge para infinito, isto e, a sucessao das somas parciais tende para infinito. As-sim, podemos escolher p tal que

1

n0C � � � C

1

n0 Cp> 2" :

De seguida, escolhamos x proximo se 1 de modo que xn0Cp > 1=2. Entao,

xn0

n0C � � � C

xn0Cp

n0 C p� xn0Cp

�1

n0C � � � C

1

n0 C p

�> ";

o que e uma contradicao.

No entanto, f e contınua no disco unitario, porque e contınua em cada ´pertencente a este disco, uma vez que cada ´ pertence a algum D.0; r/ onde existegarantia de convergencia uniforme.

4.4 Series de potencias

A serieC1X

kD0

ak.´� ´0/k ;

onde ´0; ak 2 C sao fixos, chama-se serie de potencias em torno de ´0.

Podemos, sem perda de generalidade, limitar-nos ao estudo das series depotencias em torno da origem. Com efeito, efectuando a mudanca de variavelw D ´� ´0; vem

C1X

kD0

akwk :

4.4 Series de potencias 137

A serie geometrica

C1X

kD0

´k D 1C Ć ´2 C � � �

e um exemplo de uma serie de potencias.

O Lema de Abel desempenha papel importante na teoria das series de poten-cias.

Lema 4.10 (Lema de Abel) Se

C1X

kD0

ak´k

converge para ´D ´0, entao a serie:

(a) converge absolutamente para todo o ´ tal que j´j< j´0jI

(b) converge uniformemente em qualquer disco fechado

D.0;R/ D f´ 2 C W j´j � Rg ;

onde 0 < R < j´0j.

Por outro lado, se a serieC1X

kD0

ak´k

diverge para ´D ´1, entao diverge para todo o ´ tal que j´j > j´1j.

DEMONSTRAC AO: Suponhamos que a seriePak´

k0 converge. Segue-se que

limn!C1

janń0 j D 0 :

Assim, existe K > 0 tal que janń0j � K, para todo o n 2 N. Logo,

janńj D jan´

n0jˇˇ ´´0

ˇˇn

� K

ˇˇ ´´0

ˇˇn

:

(a) Se ´ e tal que j´j < j´0j, entao a serie realP

j´=´0jn (serie geome-trica) converge e, pelo criterio de comparacao, tambem a serieP

janńj converge.


(b) Para todo o ´ no disco D.0;R/, tem-se

jan´nj D jan´

n0 jˇˇ ´´0

ˇˇn

� K

�R

j´0j

�n

;

sendo Mn D�

Rj´0 j

�n

constantes tais que Mn � 0 ePMn converge.

Entao, pelo Teste-M de Weierstrass (Teorema 4.9), podemos concluirque a serie converge uniformemente.

Deixa-se como exercıcio a conclusao da demonstracao. �

O resultado anterior conduz ao importante conceito de disco de convergencia.Suponhamos que nao existe convergencia da serie em todo o plano complexo.Entao, existe divergencia em pelo menos um ponto ´1. Suponhamos que existeconvergencia num ponto ´2 menos distante da origem que ´1. Nesse caso, peloLema anterior, ha convergencia no disco D.0; j´2j/ e divergencia no exterior dodiscoD.0; j´1j/. Ora, no anel

f´ 2 C W j´2j < j´j < j´1jg ;

a que chamaremos ”anel duvidoso”, nao sabemos o que se passa. Tomemos, entao,um ponto ´3 a meia distancia de ´1 e ´2 e analisemos se existe, ou nao, con-vergencia em ´3 (cfr. figura 24). De acordo com a resposta, obteremos novo ”anelduvidoso” mais estreito que o anterior. Continuando este processo, chegaremos aomaior disco centrado na origem, tal que a serie converge em cada ponto do seuinterior e diverge em todos os pontos do seu exterior.

Evidentemente, se lidarmos com uma serie de potencias em torno de ´0, osdiscos referidos estarao centrados em ´0 e nao na origem.

Formalmente, seja

R D sup

(r � 0 W

C1X

kD0

jak j rk e convergente

):

A R chama-se raio de convergencia da serie de potencias

C1X

kD0

ak´k :

Ao cırculo aberto de raioR centrado na origem chama-se disco de convergencia daserie.


b

b

b

b

0

´1

´2

´3

Serie Divergente

SerieConvergente

Anel

Duvidoso

Figura 24: Rumo a determinacao do disco de convergencia de uma serie depotencias.

Pelo Lema 4.10, a serieC1X

kD0

ak´k

converge absoluta e uniformemente em qualquer sub-disco fechado do disco deconvergencia. Sobre a fronteira do disco de convergencia nada a priori se podeconcluir a respeito de convergencia.

Teorema 4.11 (Criterios para series de potencias) Consideremos a serie

C1X

kD0

ak´k :

(a) Criterio da Razao: Se

limn!C1

janjjanC1j

existir, entao iguala o raio de convergencia da serie.


(b) Criterio da Raiz: Se

� D limn!C1

janj1=n

existir, entaoRD 1=� e o raio de convergencia da serie. Por convencao,tome-se R D C1 se � D 0 e R D 0 se � D C1.

DEMONSTRAC AO: Seja

� D limn!C1

janC1jjanj

:

Entao,

limn!C1

janC1´nC1j

jan´njD �j´j :

(a) Segue-se imediatamente do Criterio da Razao (Teorema 4.6) que aserie em estudo converge, se �j´j < 1; isto e, se j´j < 1=� e divergese j´j> 1=�: Logo, por definicao de raio de convergencia, temos que

R D 1=� D limn!C1

janjjanC1j

:

(b) A demonstracao segue passos analogos aos de (a), usando-se agora oCriterio da Raiz (Teorema 4.6). �

Exemplos 4.10

(a) A serieC1X

kD0

´k

tem raio de convergencia 1, uma vez que, sendo ak D 1, k 2 N0,tem-se

limn!C1

janjjanC1j

D 1 :

(b) A serieC1X

kD0

´k

kŠ

tem raio de convergencia R D C1, porque ak D 1=kŠ, k 2 N0, e,portanto,

limn!C1

janjjanC1j

D limn!C1

.nC 1/ D C1 :


(c) A serieC1X

kD0

kŠ ´k

tem raio de convergencia R D 0, porque ak D kŠ, k 2 N0, pelo que

limn!C1

janjjanC1j

D1

limn!C1

.nC 1/D 0 :

Sendo .cn/ uma sucessao limitada de numeros reais, define-se e denota-se olimite superior dessa sucessao por

limn!C1

sup cn D limn!C1

bn ;

onde bn D supXn e Xn D fcn; cnC1; � � � g; n 2 N. Nestas condicoes,

X1 � � � � � Xn � � � � ;

pelo que .bn/ e uma sucessao decrescente de numeros reais:

b1 � � � � � bn � � � � :

Como toda a sucessao monotona e limitada e convergente, segue-se que o limite

limn!C1

sup cn

existe sempre e e finito. Apresentamos uma definicao equivalente para o limitesuperior da sucessao limitada .cn/. Dizemos que k 2 R e o limite superior de .cn/

se para todo o " > 0,jcn � kj < ";

para um numero infinito de valores de n e se nenhum numero maior do que k gozadessa propriedade.

A definicao de limite superior pode ser generalizada para sucessoes nao-li-mitadas. Nesse caso, C1 e �1 devem ser considerados como possıveis ”valoresdo limite”. Ora, C1 e um valor do limite se, para todo o numero k, vale cn > k

para infinitos valores de n; �1 e um valor do limite se, para todo o numero k, valecn < k para infinitos valores de n. Define-se, entao, o limite superior como sendo o”maior valor do limite”. Podemos tambem definir o limite inferior de uma sucessaoreal como sendo o ”menor valor do limite”. Nestas condicoes, toda a sucessao terasempre um limite inferior e um superior.


Exemplos 4.11

(a) Para a sucessao cn D .�1/n, n 2 N, tem-se

limn!C1

inf .�1/n D �1 e limn!C1

sup .�1/n D 1 I

(b) Para a sucessao cn D .�1/nn, n 2 N, tem-se

limn!C1

inf .�1/nn D �1 e limn!C1

sup .�1/nn D C1 :

O limite inferior e sempre menor ou igual ao limite superior. Caso coincidam,entao a sucessao e convergente e converge para esse valor. Para maior desenvolvi-mento consultar, por exemplo, [15].

Um refinamento do Criterio da Raiz permite mostrar que R D 1=�, onde

� D limn!C1

sup janj1=n ;

o qual, como vimos anteriormente, esta sempre definido (neste caso concreto, comoa sucessao e limitada inferiormente, o limite superior ou assume um valor finitoou C1). Esta formula para o raio de convergencia e conhecida por Formula deHadamard. Nao existe refinamento analogo para o criterio da razao.

4.5 A funcao exponencial

Como e sabido, as funcoes trigonometricas seno e co-seno podem ser defi-nidas como razoes entre os comprimentos dos lados de um triangulo rectangulo.Ora, a definicao de angulo pode ser estendida para qualquer valor real e, assim,sin � e cos � podem ser definidas como funcoes reais cujo domınio e a recta real.Alternativamente, sin x e cos x podem ser definidos pelas suas series de potencias

cos x DC1X

nD0

.�1/n

.2n/Šx2n I

sin x DC1X

nD0

.�1/n

.2nC 1/Šx2nC1 :

Outra alternativa possıvel, consiste em definir o seno como sendo a unica solucaof da equacao diferencial f 00 C f D 0, satisfazendo f .0/D 0 e f 0.0/D 1: Quanto

4.5 A funcao exponencial 143

ao co-seno, pode definir-se como sendo a unica solucao f da equacao diferencialf 00 C f D 0, satisfazendo f .0/ D 1 e f 0.0/ D 0. As demonstracoes podem serencontradas na maior parte dos livros de Calculo, nomeadamente no capıtulo 12 de[22].

A funcao exponencial, denotada por ex, pode ser definida como sendo a unicasolucao f da equacao diferencial f 0 D f , sujeita a condicao inicial f .0/ D 1,provando-se sem dificuldade que a solucao e unica. A exponencial ex pode igual-mente ser definida pela sua serie de potencias

ex DC1X

nD0

1

nŠxn :

E sabido que ex e uma funcao estritamente crescente na variavel x e positiva, peloque, para y > 0, pode definir-se o log y como sendo a funcao inversa de ex ; ouseja, elog y D y. E tambem frequente outra abordagem: definir

log y DZ y

1

1

tdt ;

para y > 0 e depois definir ex como a funcao inversa de log y 12.

Vejamos a que conduz esta ultima abordagem. A funcao realZ y

1

1

tdt

esta bem definida, e contınua e crescente para y > 0. Tende para �1 quandoy ! 0 e para C1 quando y ! C1. Assim, a equacao

x DZ y

1

1

tdt (4.7)

determina de modo unico um valor positivo de y para cada x real. Denotamos porex esta solucao. Obviamente e0 D 1 e a base e D e1 esta definida por

1 DZ e

1

1

tdt :

De (4.7) resulta que

dx

dyD

1

ye

d

dx.ex/ D ex :

12Note-se que, ao contrario do que e frequente, nao usaremos a notacao ln y para o logaritmo nabase e, mas sim log y:


Uma propriedade fundamental da exponencial real e a ”lei dos expoentes”:

eaCb D ea eb ; a; b 2 R : (4.8)

Demonstra-se, observando que

d

dx.e�x exCy/ D �e�x exCy C e�x exCy

D e�x.exCy � exCy/

D 0 ;

pelo que, como funcao de x, esta expressao e constantemente igual ao seu valorpara x D 0. Desta forma,

e�x exCy D ey :

Tomando a D �x, b D x C y, obtemos (4.8). Para a funcao inversa de ex , isto e,para o logaritmo natural logy, tem-se

log.y1y2/ D logy1 C logy2 ; y1; y2 > 0: (4.9)

Pretendemos, agora, prolongar a definicao da funcao exponencial e das fun-coes seno e co-seno para valores complexos da variavel independente. E naturalque se exija a preservacao das propriedades familiares, entre elas a ”lei dos ex-poentes”.

A generalizacao faz-se de modo natural, sendo preservadas muitas das pro-priedades usuais destas funcoes no campo real. Definamos a exponencial, o seno eo co-seno utilizando series de potencias:

e´ DC1X

nD0

1

nŠ´n I (4.10)

cos ´ DC1X

nD0

.�1/n

.2n/Š´2n I (4.11)

sin ´ DC1X

nD0

.�1/n

.2nC 1/Š´2nC1 : (4.12)

Estas series sao absolutamente convergentes para todo o ´ complexo. Ora, na alınea(b) dos exemplos 4.10, provou-se que a serie em (4.10) tem raio de convergenciaRD C1. Recorrendo novamente ao Criterio da Razao, facilmente se constata que

4.5 A funcao exponencial 145

as series em (4.11) e (4.12) tambem apresentam a mesma propriedade.

Para a exponencial complexa, muitos autores utilizam, indiferentemente, anotacao alternativa exp .´/.

Por adicao das series (veja-se o exercıcio 4.4), obtemos

cos Ć i sin ´ DC1X

rD0

cr ´r ; (4.13)

onde

cr D

8<:

.�1/r=2

rŠ; se r par

i.�1/.r�1/=2

rŠ; se r ımpar

:

Calculos simples mostram que

cr D

8<:

.�1/r=2

rŠD ir

rŠ; se r par

i.�1/.r�1/=2

rŠD ir

rŠ; se r ımpar

;

pelo que

C1X

rD0

cr ´r D

C1X

rD0

i r´r

rŠD

C1X

rD0

.i´/r

rŠD ei´ : (4.14)

De (4.13) e (4.14), segue-se que

ei´ D cos Ć i sin ´ ; ´ 2 C : (4.15)

Tomando ´D � 2 R, obtemos a importante Formula de Euler

ei� D cos � C i sin � ; (4.16)

ja anteriormente referida (observacao 1.1 e exemplos 2.9), mas nao justificada. As-sim, podemos escrever um complexo em coordenadas polares na forma

´ D r ei� :

Utilizemos a formula do produto de duas series (veja-se o exercıcio 4.6) para mos-trar que a funcao exponencial satisfaz, de facto, a ”lei dos expoentes”:

e´ ew D eĆw ; ´;w 2 C : (4.17)


Ora,

e´ ew D

C1X

nD0

ń

nŠ

! C1X

nD0

wn

nŠ

!

DC1X

nD0

nX

rD0

1

rŠ

1

.n � r/Š´rwn�r

!

DC1X

nD0

1

nŠ

nX

rD0

nŠ

rŠ.n� r/Š´rwn�r

!:

De acordo com o conhecido Teorema do Binomio de Newton, vem

C1X

nD0

1

nŠ.Ć w/n D eĆw ;

o que prova o pretendido.

Apresentaremos na seccao 5.1 (Teorema 5.1) uma demonstracao alternativapara a ”lei dos expoentes” da exponencial complexa.

4.6 O conjunto de Julia

Analisemos muito sumariamente como se comporta uma funcao analıtica su-jeita a iteracoes, questao esta na origem da Teoria dos Fractais. Seja f W C ! C

uma funcao inteira. Dado um ponto ´ 2 C, chama-se orbita de ´ a sucessao depontos

´ ; f .´/ ; f .f .´// ; f .f .f .´/// ; : : : ;

que pode ser escrita na forma

´ ; f .´/ ; f 2.´/ ; f 3.´/; : : : ;

em que f n denota a composta de f consigo mesma n vezes. Pensemos no ponto´ como estando a ”mover-se” sucessivamente por aplicacao de f e a ocupar no-vas posicoes no plano. O ponto ´ diz-se um ponto fixo se permanecer invariantepor aplicacao de f , ou seja, se f .´/ D ´. Um ponto periodico e um ponto ´ talque f n.´/ D ´, para algum inteiro n. O menor inteiro positivo que satisfaz estacondicao designa-se por perıodo. Chamam-se orbitas periodicas as orbitas de pon-tos periodicos. Um ciclo�n para a funcao f e um conjunto f´0; ´1; : : : ; ń�1g de

4.6 O conjunto de Julia 147

Figura 25: Representacao do conjunto de Julia para f .´/ D ´2 � 1.

numeros complexos tal que

´k D f .´k�1/ ; 1 � k � n� 1 ; e f .´n�1/ D ´0 :

Um ponto fixo ´ diz-se um ponto fixo atractor se jf 0.´/j < 1: A nomencla-tura justifica-se pelo facto de as orbitas de pontos proximos de ´ convergirem para´: Com efeito, na vizinhanca de ´, f comporta-se como uma transformacao queroda cada ponto de um angulo arg f 0.´/ e contrai segundo o factor jf 0.´/j, de talmodo que cada vez que f e aplicada, os pontos sao ”puxados” para ´ segundo ofactor jf 0.´/j, e a medida que o procedimento se repete o ponto tende para ´.

Analogamente, um ponto fixo diz-se um ponto fixo repulsor se jf 0.´/j > 1:Os pontos na proximidade destes repulsores sao ”repelidos” por iteracao da funcaof .

Seja a funcao fc , definida por fc.´/ D ´2 C c, em que c e uma constantecomplexa. Denotemos por Kc o conjunto dos pontos com orbitas limitadas parafc . O conjunto de Julia de fc e a fronteira de Kc . Este conjunto de grande belezae complexidade e usualmente designado fractal. A figura 25 mostra um exemplode um conjunto de Julia.

Exemplo 4.12 Seja fc.´/D ´2 C c e tomemos c D 0. Consideremos um ponto ´0.Se j´0j < 1, a sucessao ´0; f .´0/; : : : ; f

k.´0/; : : : converge para 0 e se j´0j > 1,a sucessao e ilimitada. No caso de j´0j D 1, a sucessao oscila em torno da circun-ferencia unitaria ou converge para 1 (vide exercıcio 4.14). O conjuntoK0 e o discounitario fechado e o conjunto de Julia para f0 e a circunferencia unitaria.

Quando c D 0 ou c D �2, Kc e um conjunto muito simples, caso contrario,a sua fronteira e um fractal. Julia e Fatou provaram, independentemente, que a


fronteira de Kc e conexa se e so se 0 2 Kc . Para maior desenvolvimento destatematica consultar [19].

4.7 O conjunto de Mandelbrot

Antes de definirmos o conjunto de Mandelbrot introduzimos alguns concei-tos necessarios.

Um ciclo�n f´0; ´1; : : : ; ń�1g diz-se atractor para uma funcao f se

j.f n/0.´0/j < 1:

Estes ciclos�n gozam da propriedade de as orbitas de pontos proximos de ´0 ten-derem para a orbita de ´0. Um ciclo-n f´0; ´1; : : : ; ń�1g diz-se repulsor se

j.f n/0.´0/j > 1:

As orbitas dos pontos na proximidade de ´0 afastam-se da orbita de ´0.

Se f´0; ´1; : : : ; ń�1g e um ciclo�n atractor para a funcao f , entao nao so´0 satisfaz j.f n/0.´0/j < 1, mas tambem j.f n/0.´k/j < 1, para k D 1; : : : ; n � 1(vide exercıcio 4.15).

O conjunto de Mandelbrot e particularmente interessante e muito popular,mesmo nos meios exteriores a Matematica, tal se devendo ao seu irrecusavel apeloestetico e a sua complexa estrutura. Surpreendentemente, a genese deste conjuntocom uma natureza intrincada surge de uma definicao simples.

O conjunto de Mandelbrot M e o conjunto dos parametros c para os quaisas orbitas do ponto 0 determinadas por fc sao limitadas, isto e, nao tendem parainfinito.

Equivalentemente, o conjunto de Mandelbrot e o subconjunto do plano com-plexo constituıdo pelos parametros c para os quais o conjunto de Julia de fc econexo.

O conjuntoM e o subconjunto do plano complexo obtido a partir da equacaoquadratica de recorrencia

ńC1 D ´2n C c ;

4.7 O conjunto de Mandelbrot 149

com c constante, constituıdo pelos pontos c do plano complexo para os quais aorbita de ´n nao tende para infinito.

Equivalentemente, podemos considerar a famılia de funcoes polinomiaisquadraticas fc W C ! C,

´ 7! ´2 C c ;

e definir M como sendo o conjunto dos parametros c para os quais o ponto 0 naotende para infinito, isto e,

f nc .0/ 6! 1 :

As funcoes fc designam-se funcoes de Mandelbrot.

O conjunto de Mandelbrot e um conjunto compacto, contido no disco fe-chado de raio 2 centrado na origem. Nos exercıcios do final do capıtulo, o leitor econvidado a provar que se jcj > 2, entao c 62M .

O conjunto M e conexo e a sua fronteira e um fractal. Um fractal e um ob-jecto matematico com auto-semelhanca em diferentes escalas. Embora o conjuntoM revele auto-semelhanca em detalhes em grandes escalas, os detalhes em peque-nas escalas nao sao replicas exactas do todo (verdadeiros clones), sendo tal factomostra da complexidade do conjunto.

Observando o conjunto M; logo sobressai a forma de um cardioide na suaregiao central. Este cardioide principal e a regiao dos parametros c para os quaisfc tem pontos fixos atractores, o que acontece se e so se j1C

p1� 4cj < 1 ou

j1�p1� 4cj < 1, onde o sımbolo raiz quadrada denota o ramo principal da raiz

quadrada. A demonstracao fica ao cuidado do leitor. O cardioide consiste em todosos parametros da forma

c D1� .� � 1/2

4;

para um certo � no disco unitario (cfr. exercıcio 4.18).

Para a esquerda do cardioide, ligado a este no ponto �3=4, existe um bolbocircular de raio 1=4. Consiste nos pontos para os quais fc tem um ciclo�2. Os dis-cos grandes acima e abaixo do cardioide principal correspondem aos pontos paraos quais fc tem um ciclo�3.

Para melhor compreensao das tarefas do Laboratorio 3, recordemos algunsfactos importantes.


Definamos a funcao quadratica real

fr.x/ D rx.1� x/ ;

chamada funcao logıstica (cfr. [31, Cap.6]).

O Teorema seguinte, enunciado em termos de funcoes reais de variavel real,vale tambem no caso complexo.

Teorema 4.12 Seja f uma funcao real de variavel real diferenciavel, p um pontofixo de f e K uma constante inferior a 1 tal que jf 0.x/j < K num intervalo emtorno de p. Entao, a orbita de qualquer valor inicial no intervalo converge parap por iteracao por f: Se jf 0.x/j > K num intervalo em torno de p com K umaconstante maior que 1; entao nao existe valor algum no intervalo (excluindo oproprio p) para o qual a funcao convirja para p por iteracao por f .

Os possıveis comportamentos das orbitas de um valor inicial sao os seguintes:

1) a orbita converge para um ponto fixo ou um ciclo periodico;

2) a orbita diverge para infinito;

3) a orbita permanece limitada sem convergir.

Ao efectuarmos a complexificacao, ou seja, a extensao da funcao para ocampo complexo, comecamos por considerar uma funcao quadratica geral da formaa´2 C b´C c e depois, por uma conveniente mudanca de variavel, restringimo-nosa funcoes de Mandelbrot (sem termo linear).

A fronteira do conjunto de Mandelbrot e exactamente o lugar geometrico dasbifurcacoes da famılia quadratica, ou seja, o conjunto dos parametros c para osquais a ”dinamica” muda abruptamente para pequenas mudancas de c:

Como ja referimos, o conjunto de Mandelbrot e o conjunto dos valores dec para os quais a funcao iterada nunca tende para infinito. Usaremos o softwareMathematica para obter uma caracterizacao parcial do conjunto em termos deorbitas periodicas e de regioes estaveis.

Um tratamento mais completo deste tema cai fora do ambito deste escrito. Oleitor interessado podera consultar com proveito [27].



Exercıcio 4.1 Usando o Teorema 4.1 e os Teoremas da Analise Real, mostre osseguintes resultados em C:

(a) toda a sucessao convergente e limitada;

(b) toda a sucessao limitada tem uma subsucessao convergente (Teoremade Bolzano-Weierstrass);

(c) se .ń/n2N e .wn/n2N sao sucessoes convergentes com

limn!C1

ń D ´ e limn!C1

wn D w ;

entao

(c1) limn!C1

.ń ˙ wn/ D ´˙ w;

(c2) limn!C1

.ń wn/ D ´w;

(c3) limn!C1

ń

wn

D´

w, se w 6D 0.

Exercıcio 4.2 Mostre, por dois metodos diferentes, que a sucessao de termo geral

ń D 3C i.�1/n

n2; n 2 N ;

converge para 3.

Exercıcio 4.3 Sejam .rn/ e .�n/ as sucessoes, respectivamente, dos modulos e dosargumentos principais dos numeros complexos ń do exercıcio anterior. Mostreque a primeira sucessao converge, mas que a segunda nao.

Exercıcio 4.4 Prove que sePń e

Pwn sao series convergentes e c e um com-

plexo, entaoP.ń ˙ wn/ e

P.cń/ convergem e as suas somas sao dadas, respec-

tivamente, por X.ń ˙ wn/ D

Xń ˙

Xwn

e X.cń/ D c

Xń :

Exercıcio 4.5 Com base no resultado do exercıcio anterior, estude a convergenciada serie

C1X

nD1

�.�1/n

nC 3� i

2n

3n C 4n

�:


Exercıcio 4.6

(a) Prove que seC1X

nD0

´n eC1X

nD0

wn

sao series convergentes com somas, respectivamente, ´ e w, e se pelomenos uma delas e absolutamente convergente, entao a serie

C1X

nD0

vn ;

com termo geral dado pela Regra de Cauchy,

vn D ´0wn C ´1wn�1 C � � � C ´nw0 ;

e convergente e a sua soma e ´w. Este resultado e conhecido porTeorema de Mertens.

(b) Verifique que se nenhuma das series for absolutamente convergente,a serie formada pela Regra de Cauchy pode ser divergente.

Sugestao: Considere

C1X

nD0

.�1/n

nC 1

!2

:

Exercıcio 4.7 Estude a convergencia das series:

(a)C1X

nD0

�3� 4i6

�n

;

(b)C1X

nD1

in

n2;

(c)C1X

nD1

�1

nŠC i sin

�

n

�;

(d)C1X

nD0

.2� .�1/n/ni .


Exercıcio 4.8 Estude a convergencia uniforme da sucessao de funcoes .fn/n2N noconjuntoF , quando:

(a) fn.´/D ´3n e F DD.0; r/, com 0 < r < 1;

(b) fn.´/D e�.´�n/2

e F DD.0;1/.

Exercıcio 4.9 Recorrendo ao Teste-M de Weierstrass, mostre que a serie

C1X

nD1

arc tg.n2´/cos.�n´/

n3=2

converge uniformemente em R.

Exercıcio 4.10 Determine o raio de convergencia das series:

(a)C1X

nD0

.Ć i /2nC1

.2nC 1/Š;

(b)C1X

nD0

.´� i /n

2n;

(c)C1X

nD0

ńŠ.

Exercıcio 4.11 Indique o valor logico das seguintes proposicoes e justifique:

(a) existe uma serie de potenciasPcn´

n que converge em ´0 D 4� i ediverge em ´1 D 2C 3i ;

(b) se a seriePcn´

n tem raio de convergencia R, entao a seriePc2

nń

tem raio de convergencia R2.

Exercıcio 4.12 Prove que o raio de convergencia da serie

C1X

nD1

�n � 3n

�n2

ń

e igual a e3.


Exercıcio 4.13 Verifique que as seguintes series sao uniformemente convergentesno disco unitario fechado:

(a)C1X

nD1

ń

2n;

(b)C1X

nD1

ń

n3n:

Exercıcio 4.14 Considere a funcao f0.´/ D ´2 e o ponto inicial ´0. Seja .ń/ asucessao das iteracoes de ´0 geradas por f0, isto e,

´1 D f0.´0/ I ´2 D f0.´1/ I : : :

Mostre que:

(a) se j´0j < 1, entao a sucessao .ń/ converge para 0;

(b) se j´0j > 1, entao a sucessao .ń/ e ilimitada;

(c) se j´0j D 1, entao a sucessao .ń/ ou converge para 1, ou oscila emtorno da circunferencia unitaria (imponha condicoes a ´0 que carac-terizem cada uma das possibilidades).

Exercıcio 4.15 Seja f´0; ´1g um ciclo�2 atractor para a funcao f .

(a) Mostre que nao so ´0 satisfaz j.f 2/0.´0/j < 1, mas tambem

j.f 2/0.´1/j < 1:

(b) Generalize a alınea anterior para ciclos�n.

Exercıcio 4.16 Mostre que se ´D c e um ponto do conjunto de Mandelbrot, entaotambem o e o seu conjugado c. Desta forma, o conjunto de Mandelbrot e simetricoem relacao ao eixo real.

Sugestao: Use inducao matematica.

Exercıcio 4.17 Representemos por M o conjunto de Mandelbrot.

(a) Mostre que f´ 2 C W j´j � 1=4g � M .

(b) Prove que se ´ e qualquer numero real superior a 1=4, entao ´ naopertence a M .


(c) Use as duas alıneas anteriores para concluir que o cuspide do car-dioide principal de M ocorre precisamente no ponto ´D 1=4.

Exercıcio 4.18 Mostre que os pontos c para os quais j1 Cp1� 4cj < 1 ou

j1�p1� 4cj < 1 descrevem um cardioide.

Sugestao: Escreva as desigualdades anteriores na forma

ˇˇˇ1

2Cr1

4� c

ˇˇˇ <

1

2ou

ˇˇˇ1

2�r1

4� c

ˇˇˇ <

1

2:

4.9 Laboratorio 4

Neste Laboratorio, usaremos o Mathematica para gerar o conjunto deMandelbrot e visualizar orbitas e pontos fixos atractores e repulsores.

A famılia de funcoes de Mandelbrot

Consideremos a famılia de funcoes quadraticas,

fc.´/ D ´2 C c ;

chamada famılia de funcoes de Mandelbrot.

In[1]:= Clear@"Global`*"D;Quad@z_, c_D := z^2 + c;

Determinemos os pontos fixos da funcao Quad[].

In[3]:= fixeda = z �. Solve@Quad@z, cD == z, zDOut[3]= 9 1��

2I1 -

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M, 1��2I1 +

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M=Concluımos que Quad[] tem dois pontos fixos, ambos reais se c < 1=4. Analise-mos, agora, a estabilidade. A derivada de Quad[] em ordem a ´ e 2´.

In[4]:= Map@2 # &, fixedaDOut[4]= 91 -

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c , 1 +�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c =


Ignoramos o segundo elemento pois tem modulo maior que um, restando o pri-meiro elemento que e de considerar se c > �3=4. A funcao Quad[Quad[z,c],c](primeira iteracao da funcao Quad[]) pode ser expressa no Mathematica do se-guinte modo: Nest[Quad[#, c]&, z, 2]. Em geral, a composicao da funcao nvezes e obtida no Mathematica da seguinte forma Nest[Quad[#, c]&, z, n].Assim, os pontos fixos da funcao Quad[] (iteracao de ordem zero) sao obtidos como comando:

In[5]:= fixeda = z �. Solve@Nest@Quad@#, cD &, z, 1D == z, zDOut[5]= 9 1��

2I1 -

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M, 1��2I1 +

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M=e os pontos fixos da primeira iteracao da funcao sao:

In[6]:= fixedb = z �. Solve@Nest@Quad@#, cD &, z, 2D == z, zDOut[6]= 9 1��

2I-1 -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!-3 - 4 c M, 1

��2I-1 +

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!-3 - 4 c M,

1��2I1 -

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M, 1��2I1 +

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M=Para analisarmos a estabilidade dos pontos fixos, consideramos as derivadas calcu-ladas nos pontos fixos. A derivada da iteracao de ordem zero da funcao Quad[] noMathematica pode ser expressa assim:

In[7]:= dmap@z_, c_D = D@Nest@Quad@#, cD &, z, 1D, zDOut[7]= 2 z

e o valor da derivada calculada nos pontos fixos da funcao Quad[] e

In[8]:= derivs = Expand@Map@dmap@#, cD &, fixedaDDOut[8]= 91 -

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c , 1 +�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c =

Especifiquemos as regioes em que a derivada e menor que 1. Portanto, determi-nemos para que valor de c a derivada e igual a � (recordamos que so interessa aprimeira solucao):

In[9]:= c �. Solve@derivs@@1DD == Μ, cD@@1DDOut[9]=

1��4H2 Μ - Μ2L

A regiao de valores de c de estabilidade e dada por


In[10]:= cstable@Μ_D :=1��4H2 Μ - Μ2L;

em que j�j < 1. Efectuemos um grafico de curvas de nıvel desta regiao:

In[11]:= stableregion = ParametricPlot @Evaluate@

Table@8Re@cstable@r Exp@I ΘDDD, Im@cstable@r Exp@I ΘDDD<,8r, 0, 1, 1 � 12.<DD, 8Θ, 0, 2 Pi<, AspectRatio -> 1,

PlotStyle -> Hue@9 � 10D, PlotRange ® AllD

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6


Regioes estaveis para a primeira iteracao

Consideremos a primeira iteracao da funcao Quad[]. Neste caso, os pontosfixos sao:

In[12]:= fixedb = z �. Solve@Nest@Quad@#, cD &, z, 2D == z, zDOut[12]= 9 1��

2I-1 -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!-3 - 4 c M, 1

��2I-1 +

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!-3 - 4 c M,

1��2I1 -

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M, 1��2I1 +

�!!!!!!!!!!!!!!!1 - 4 c M=


Obtemos quatro pontos fixos, os quais incluem os dois pontos fixos da iteracao deordem zero. Os novos pontos fixos sao:

In[13]:= fixedbonly = Complement @fixedb, fixedaDOut[13]= 9 1��

2I-1 -

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!-3 - 4 c M, 1

��2I-1 +

�!!!!!!!!!!!!!!!!!!-3 - 4 c M=

A derivada da primeira iteracao da funcao Quad[] e:

In[14]:= dmap2@z_, c_D = D@Nest@Quad@#, cD &, z, 2D, zDOut[14]= 4 z Hc + z2L

e a derivada da primeira iteracao calculada nos novos pontos fixos e

In[15]:= derivsb = Expand@Map@dmap2@#, cD &, fixedbonly DDOut[15]= 84 + 4 c, 4 + 4 c<

Podemos tambem parametrizar a derivada neste caso:

In[16]:= c �. Solve@derivsb@@1DD == Μ, cD@@1DDOut[16]=

1��4H-4 + ΜL

de modo que a regiao de estabilidade e determinada por

In[17]:= cstableb@Μ_D := HΜ - 4L � 4;sendo j�j < 1. Trata-se obviamente de um cırculo centrado no ponto �1.


In[18]:= stableregionb = ParametricPlot @Evaluate@Table@8Re@cstableb@r Exp@I ΘDDD,Im@cstableb@r Exp@I ΘDDD<, 8r, 0, 1, 1 � 7.<DD,8Θ, 0, 2 Pi<, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> Hue@7 � 10DD

-1.2 -1.1 -0.9 -0.8

-0.2

-0.1

0.1

0.2


Estudo das orbitas

Passamos a procurar os valores de c que conduzem a orbitas periodicas e,em particular, procuramos orbitas que contem a origem. Chamamos a atencao doleitor para o comando N[] que da o valor numerico de uma determinada expressao.Consideramos, entao, a funcao

In[19]:= fixed@n_D := c �. Solve@Nest@Quad@#, cD &, 0, nD == 0, cD;one = fixed@1D;none = N@oneD

Out[21]= 80.<e a primeira iteracao da funcao

In[22]:= two = fixed@2DOut[22]= 8-1, 0<


Um dos pontos fixos agora obtidos tambem e ponto fixo da funcao (n D 1). Por-tanto, o valor que apenas e ponto fixo da iteracao (n D 2) e

In[23]:= twoonly = Complement @two, oneD;ntwo = N@twoonlyD

Out[24]= 8-1.<Repetimos o procedimento para as iteracoes n D 3;4; 5; 6; 7 e 8.

In[25]:= three = fixed@3D;threeonly = Complement @three, oneD;nthree = N@threeonlyD;four = fixed@4D;fouronly = Complement @four, one, twoD;nfour = N@fouronlyD;five = fixed@5D;fiveonly = Complement @five, oneD;nfive = N@fiveonlyD;six = fixed@6D;sixonly = Complement @six, one, two, threeD;nsix = N@sixonlyD;seven = fixed@7D;sevenonly = Complement @seven, oneD;nseven = N@sevenonlyD;eight = N@fixed@8DD;eightonly = Complement @eight, N@fourD, N@twoD, N@oneDD;neight = N@eightonlyD;

Notamos que, para valores elevados de n, o computador tem mais dificuldade arealizar os calculos. Assim, a partir de n D 8 a funcao Complement[] e aplicadaapenas aos resultados numericos e nao aos resultados exactos como fizemos aten D 7. Por outro lado, os calculos para n D 9 sao ja demorados e para n D 10

ainda mais demorados. Para n D 8, representemos num grafico os varios ciclosperiodicos, coloridos de acordo com o perıodo respectivo.

In[43]:= data =8none, ntwo, nthree, nfour, nfive, nsix, nseven, neight<;Map@Length, dataD

Out[44]= 81, 1, 3, 6, 15, 27, 63, 120<


In[45]:= aux = Range@1, 8DOut[45]= 81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8<In[46]:= plotinfo = Transpose@8aux, data<D;

realplotdata = Map@8Hue@1 - #@@1DD � 10D, [email protected],Map@ Point@8Re@#D, Im@#D<D &, #@@2DDD< &, plotinfoD;

In[48]:= plota = Show@Graphics@realplotdata DD


Se fizessemos os calculos para n D 9, em vez de n D 8, obterıamos a seguintefigura:

O leitor e convidado a refazer os ultimos passos do programa de forma a obter afigura apresentada.


Determinemos, agora, os valores de c para os quais a origem da lugar a umaorbita periodica ao fim de um numero reduzido de iteracoes. Para tal, introduzamosa funcao de duas variaveis:

In[49]:= fixed@n_, k_D := c �. Solve@Nest@Quad@#, cD &, 0, nD ==

Nest@Quad@#, cD &, 0, n - kD, cD;Consideremos alguns valores de c assim obtidos, tendo o cuidado de eliminar ospontos fixos ja determinados:

In[50]:= threeone = fixed@3, 1D;threeoneonly = Complement @threeone, oneD;nthreeoneonly = N@threeoneonly D;fourone = fixed@4, 1D;fouroneonly = Complement @fourone, one, threeoneonly D;nfouroneonly = N@fouroneonly D;fourtwo = fixed@4, 2D;fourtwoonly =

Complement @fourtwo, one, two, threeoneonly D;nfourtwoonly = N@fourtwoonly D;fiveone = fixed@5, 1D;fiveoneonly =

Complement @fiveone, one, threeoneonly , fouroneonly D;nfiveoneonly = N@fiveoneonly D;fivetwo = fixed@5, 2D;fivetwoonly = Complement @fivetwo,

two, threeoneonly , fouroneonly , fourtwoonly D;nfivetwoonly = N@fivetwoonly D;fivethree = fixed@5, 3D;fivethreeonly =

Complement @fivethree, three, threeoneonly , fourtwoonly D;nfivethreeonly = N@fivethreeonly D;sixone = fixed@6, 1D;sixoneonly = Complement @sixone,

one, threeoneonly , fouroneonly , fiveoneonly D;nsixoneonly = N@sixoneonly D;


In[71]:= sixtwo = fixed@6, 2D;sixtwoonly = Complement @sixtwo, two, threeoneonly ,

fouroneonly , fourtwoonly , fiveoneonly , fivetwoonly D;nsixtwoonly = N@sixtwoonly D;sixthree = fixed@6, 3D;sixthreeonly = Complement @sixthree, three,

threeoneonly , fouroneonly , fivethreeonly D;nsixthreeonly = N@sixthreeonly D;sixfour = fixed@6, 4D;sixfouronly = Complement @sixfour, one,

fourH*,five,six*L, threeoneonly , fourtwoonly D;nsixfouronly = N@sixfouronly D;

Colorimos a preto os pontos assim obtidos.

In[80]:= datab = Flatten@8nthreeoneonly , nfouroneonly , nfourtwoonly ,

nfiveoneonly , nfivetwoonly , nfivethreeonly , nsixoneonly ,

nsixtwoonly , nsixthreeonly , nsixfouronly <D;plotdatab = [email protected], Map@

Point@8Re@#D, Im@#D<D &, databD<;plotb = Show@Graphics@plotdatabD,

PlotRegion -> 880.05, 0.95<, 80.05, 0.95<<D


Em seguida, sobrepomos esse grafico com o grafico das orbitas periodicas contendoa origem e ainda com os dois graficos das regioes estaveis.


In[83]:= Show@plota, plotb, stableregion , stableregionb ,

PlotRegion -> 880.05, 0.95<, 80.05, 0.95<<,AspectRatio -> 1, PlotRange -> 88-2, 1 � 2<, 8-5 � 4, 5 � 4<<D


Conseguimos uma caracterizacao parcial do conjunto de Mandelbrot em termosde regioes de estabilidade e orbitas estaveis usando calculos simbolicos com oMathematica. Usando uma aproximacao numerica, pode caracterizar-se com maisprecisao este conjunto incluindo a regiao externa.

Os numerosos criadores desta area da Matematica caminhamao longo de muitas ruas torturosas e deparam com muitos becossem saıda antes de encontrarem as avenidas superiores.

Jerrold Marsden e Michael Hoffman

Capítulo 5Funcoes Elementares

Neste capıtulo, definimos funcoes complexas elementares e estudamos algu-mas das suas propriedades basicas. A exponencial, o seno e o co-seno complexossao reintroduzidos sem recorrer as series de potencias. Estas definicoes sao equi-valentes as apresentadas na seccao 4.5.

5.1 Novos desenvolvimentos sobre a funcao expo-nencial

Recordemos a definicao da exponencial complexa:

e´ DC1X

nD0

1

nŠ´n ; ´ 2 C : (5.1)

Na seccao 4.5, deduzimos a chamada ”lei dos expoentes”

e´ ew D e´Cw ; ´;w 2 C ; (5.2)

e provamos a formula de Euler

ei� D cos � C i sin � ; � 2 R : (5.3)

De (5.2) e (5.3), segue-se que

e´ D exCiy D ex eiy D ex.cosy C i siny/ ; (5.4)

para cada ´D x C iy 2 C. Obtemos, assim, uma nova forma de representar a ex-ponencial complexa.

165

166 CAPITULO 5: Funcoes Elementares

Note-se que se ´ for real (isto e, se y D 0), a definicao concorda com a defuncao exponencial real:

e´ D ex ; ´D x 2 R :

Antes de sumariarmos algumas propriedades importantes de e´, recordemosque uma funcao f W C ! C diz-se periodica se existir w 2 Cnf0g, que se designaperıodo da funcao, tal que

f .Ć w/ D f .´/; ´ 2 C :

Teorema 5.1 (Propriedades da exponencial complexa) Para ´;w 2 C, vale o se-guinte:

(a) eĆw D e´ ewI

(b) je´j D eRe Í

(c) e´ nunca se anula I

(d) a funcao exponencial e periodica, sendo qualquer perıodo da forma2k�i , com k 2 Znf0gI

(e) e´ D 1 , ´ D 2k�i; k 2 ZI

(f) a funcao exponencial e uma funcao inteira ed

dé´ D e´.

DEMONSTRAC AO:

(a) Recorrendo a (5.4), apresentamos uma demonstracao alternativa da”lei dos expoentes”, provada inicialmente na seccao 4.5. Sejam´D xC iy, w D sC i t 2 C. Vem

eĆw D exCs ei.yCt/

D exCs.cos.y C t /C i sin.y C t //

D Œex.cosy C i siny/� Œes.cos t C i sin t /�

D e´ ew ;

tendo em conta as conhecidas formulas trigonometricas da soma doseno e do co-seno nos reais.

(b) Para ´D xC iy 2 C, tem-se

je´j D jex eiy j D jexj jeiy j D ex D eRe ´;

uma vez que ex > 0 e jeiy j D 1.

5.2 As funcoes trigonometricas 167

(c) Por (b), sabemos que o modulo de e´ e igual a ex e como ex nuncase anula, o modulo de e´ nunca pode ser zero, o mesmo sucedendo ae´.

(d) Suponhamos quee´Cw D e´; ´ 2 C;

para algum w 6D 0. Tomando ´ D 0, vem ew D 1 e por (b), sendow D s C i t , segue-se que es D 1 e assim s D 0. Qualquer perıodotera, pois, a forma

w D i t;

com t real. Alem disso, de eit D cos t C i sin t D 1, vem cos t D 1 esin t D 0, pelo que

t D 2k�;

para algum inteiro k nao nulo.

(e) Se e´ D 1, tem-se e´C´0 D e´0, para todo o valor de ´0 e, por (d),

concluımos que ´D 2k�i , para algum inteiro k nao nulo. Se k D 0,obviamente e´ D 1. O recıproco prova-se facilmente.

(f) Basta recordar a alınea (b) dos exemplos 3.5. �

Note-se que a funcao exponencial nao pode ser definida no plano complexoampliado, uma vez que, por ser periodica, nao existe o limite quando ´ tende para1.

5.2 As funcoes trigonometricas

Na seccao 4.5, apresentamos as definicoes do seno e do co-seno no planocomplexo:

sin ´ DC1X

nD0

.�1/n

.2nC 1/Š´2nC1 I (5.5)

cos ´ DC1X

nD0

.�1/n

.2n/Š´2n : (5.6)

Recorrendo a formula de Euler (5.3), para cada � 2 R, temos

ei� D cos � C i sin � e e�i� D cos � � i sin � ;


022 cos Θ

Θ

-Θ

eiΘ

e-iΘ

02i2i sin Θ

Θ

-Θ

eiΘ

e-iΘ

Figura 26: Ilustracao geometrica da formula de Euler.

pelo que

sin � Dei� � e�i�

2ie cos � D

ei� C e�i�

2;

conforme ilustra a figura 26.

Torna-se, entao, natural considerar, para cada ´ 2 C, as seguintes expressoes

sin ´ Dei´ � e�i´

2ie cos ´ D

ei´ C e�i´

2; (5.7)

cuja validade se comprova mediante calculos simples e recorrendo a propriedade(4.15) da seccao 4.5,

ei´ D cos Ć i sin ´ ; ´ 2 C :

As propriedades seguintes sao consequencia imediata de (5.7) e do Teo-rema 5.1.

Teorema 5.2 (Propriedades do seno e co-seno) Para ´;w 2 C, tem-se:

(a) sin2 Ć cos2 ´D 1I

(b) sin.Ć w/D sin ´ cos w C cos ´ sin wI

(c) cos.Ć w/D cos ´ cos w � sin ´ sin wI

(d) a funcao seno e ımpar e a funcao co-seno e par, ou seja,

sin.�´/ D � sin ´ e cos.�´/ D cos ´ I

5.2 As funcoes trigonometricas 169

(e) as funcoes seno e co-seno sao periodicas de perıodo

2k� ; k 2 Znf0g ;

e estao relacionadas por intermedio da expressao

cos ´ D sin��2

� ´�

I

(f) as funcoes seno e co-seno sao inteiras, com derivadas

d

d´cos ´ D � sin ´ e

d

d´sin ´ D cos ´ :

Considerando ´ imaginario puro, ´D iy, y 2 R, vem

sin iy De�y � ey

2iD i sinh y I

cos iy De�y C ey

2D cosh y ;

sendo agora imediato obter as partes real e imaginaria de sin ´ e cos ´, para´D xC iy:

sin.xC iy/ D sin x cos iy C cos x sin iy D sin x cosh y C i cos x sinh y I

cos.xC iy/ D cos x cos iy � sin x sin iy D cos x cosh y � i sin x sinh y :

A partir destas expressoes e recorrendo a caracterizacao das funcoes trigonometricase hiperbolicas reais a partir da exponencial, obtemos com facilidade

j sin ´j2 D sin2 xC sinh2 y e jcos ´j2 D cos2 xC sinh2 y : (5.8)

De acordo com (5.8), e ao contrario do seno e co-seno reais, o seno e co-senocomplexos nao sao funcoes limitadas, uma vez que o seno hiperbolico real nao euma funcao limitada.

A tangente e co-tangente definem-se, respectivamente, como quociente doseno e co-seno e do co-seno e seno. De modo explıcito, temos

tg ´ D1

i

ei´ � e�i´

ei´ C e�i´e cotg ´ D i

ei´ C e�i´

ei´ � e�i´; (5.9)

com a convencao de que tg ´D 1, quando cos ´D 0, e que cotg ´D 1, sempreque sin ´D 0.


A secante e co-secante complexas definem-se de modo analogo ao caso real:

sec ´ D1

cos é cosec ´ D

1

sin ´; (5.10)

com a convencao de que sec ´D 1, quando cos ´D 0, e que cosec ´D 1, sem-pre que sin ´ D 0. Todas estas funcoes se exprimem em termos da exponencialcomplexa.

Estas funcoes sao analıticas nos pontos onde o denominador se nao anula.Por exemplo, tg´ e analıtica no domınio S D f´ 2 C W ´ 6D 1=2.2nC 1/�; n 2 Zg.

5.3 As funcoes hiperbolicas

Introduzimos, agora, outras importantes funcoes - as funcoes hiperbolicas -que, tal como as funcoes trigonometricas, tambem se exprimem como combinacoeslineares de exponenciais. Com clara inspiracao no co-seno hiperbolico e seno hi-perbolico reais, o co-seno hiperbolico e seno hiperbolico complexos definem-se doseguinte modo. Para ´ 2 C,

cosh ´ De´ C e�´

2e sinh ´ D

e´ � e�´

2: (5.11)

Algumas das propriedades elementares do seno e co-seno hiperbolicos en-contram-se estabelecidas no Teorema que se segue.

Teorema 5.3 (Propriedades do seno e co-seno hiperbolicos) Para ´;w 2 C, tem--se:

(a) cosh2 ´� sinh2´D 1I

(b) sinh.Ć w/ D sinh ´ cosh w C cosh ´ sinh wI

(c) cosh.Ć w/D cosh ´ cosh w C sinh ´ sinh wI

(d) a funcao seno hiperbolico e ımpar e a funcao co-seno hiperbolico epar, ou seja,

sinh.�´/ D � sinh ´ e cosh.�´/ D cosh ´ I

(e) as funcoes seno hiperbolico e co-seno hiperbolico sao periodicas deperıodo

2k�i ; k 2 Znf0g I

5.4 A funcao logaritmo 171

(f) as funcoes seno hiperbolico e co-seno hiperbolico sao inteiras, comderivadas, respectivamente,

d

d´cosh ´ D sinh ´ e

d

d´sinh ´ D cosh ´ :

A demonstracao fica a cargo do leitor e e consequencia do Teorema 5.1.

A funcao tangente hiperbolica em C e definida por

tgh ´ Dsinh ´

cosh ´; ´ 2 C : (5.12)

Como seria de esperar, as funcoes co-tangente hiperbolica, secante hiperbolica eco-secante hiperbolica definem-se como as inversas multiplicativas (nao funcoesinversas) de, respectivamente, tgh ´, cosh ´ e sinh ´. Deixamos ao leitor a investi-gacao das suas propriedades elementares, incluindo a determinacao dos zeros eperıodos. Como o seno hiperbolico e o co-seno hiperbolico sao funcoes inteiras,tambem as funcoes acabadas de definir o sao nos pontos onde o denominador senao anula.

5.4 A funcao logaritmo

De acordo com o procedimento usual aquando de uma generalizacao, de-finiremos o logaritmo complexo de modo que, restringindo aos reais positivos, adefinicao concorde com a do logaritmo natural, log x, quando x e um numero realpositivo.

Podemos adoptar o procedimento de definir o logaritmo de ´ pelo seu de-senvolvimento em serie de potencias em torno de certo ponto. Mas, tal so dara aexpressao de log ´ num disco centrado nesse ponto. A definicao de logaritmo porvia de um integral nao e tao satisfatoria no caso complexo como no caso real e serarelegada para mais tarde (cfr. exercıcio 8.2 e exemplo 7.10).

No caso real, podemos definir o logaritmo como funcao inversa da exponen-cial (isto e, x D log y e a solucao de ex D y). Quando ´ e complexo, ha que termais cuidado pois, como vimos, a exponencial e periodica em C, com perıodosmultiplos de 2�i , pelo que nao admite funcao inversa em C. Por outro lado, nuncase anula. Sendo assim, nao definiremos o logaritmo na origem. A periodicidadeda exponencial complexa significa que, se dividirmos o plano em infinitas faixashorizontais, pelas rectas

Im´ D .2k � 1/� ; k 2 Z ;


a exponencial comporta-se analogamente em cada uma dessas faixas de amplitude2� , designadas por faixas da exponencial. Vejamos o que acontece se nos restrin-girmos a cada uma dessas faixas.

Teorema 5.4 (Restricao da exponencial complexa a uma faixa) Para� 2 R, de-fina-se o conjunto

A� D f´D xC iy 2 C W x 2 R ^ � < y � �C 2�g :

Entao, a exponencial complexa aplica A� um-a-um sobre Cnf0g.

DEMONSTRAC AO: Comecemos por provar a injectividade da exponencial com-plexa em A�. Sejam ´1; ´2 2 A� tais que e´1 D e´2 . Logo, e´1�´2 D 1 e, deacordo com o Teorema 5.1, ´1 � ´2 D 2k�i , para algum inteiro k. Como ´1 e ´2

estao em A�, onde a diferenca entre as partes imaginarias de quaisquer dois pontose inferior a 2� , devemos ter k D 0 e, portanto, ´1 D ´2.

Analisemos, agora, a sobrejectividade. Seja w 2 Cnf0g. Pretendemos en-contrar ´ 2 A� tal que e´ D w. Ora, a equacao exCiy D w e equivalente as duasequacoes

ex D jwj e eiy Dw

jwj:

Como w 6D 0, a solucao da primeira equacao e dada por

x D log jwj ;

onde ”log” representa o logaritmo natural definido em RC. A segunda equacaotem uma infinidade de solucoes y, diferindo umas das outras por multiplos de 2� .De facto, de

eiy Dw

jwj;

vem eiy D ei arg w, pelo que y D arg w C 2k� , com k 2 Z. Ora, tem-se exactamenteuma solucao para y no intervalo ��;�C 2��. Esta solucao e justamente arg� w,estando a funcao arg� definida em ��;�C 2��. �

Na demonstracao anterior, deduzimos explicitamente uma expressao para ainversa da exponencial complexa restrita a faixa � < Im ´� �C 2� . Introduzimosformalmente essa expressao na definicao que se segue.

Por definicao, ´ D log w, w 2 Cnf0g, e uma raiz da equacao e´ D w. Afuncao log W Cnf0g ! C e entao definida por

log w D log jwj C i arg� w C 2k�i ; k 2 Z ; (5.13)


onde log jwj e o logaritmo usual real e arg� w toma valores em ��;�C 2��.

Exemplo 5.1 Tem-se

log.1C i / D logp2C i

�

4(modulo 2�i ) ;

escolhendo o valor do argumento em �0; 2��, ou seja, tomando � D 0. Por outrolado,

log.1C i / D logp2C i

9�

4(modulo 2�i ) ;

se tomarmos o valor do argumento em ��; 3��, isto e, se considerarmos �D � .

Vejamos algumas propriedades do logaritmo complexo.

Teorema 5.5 (Propriedades do logaritmo) Para ´1; ´2; ´ 2 Cnf0g, tem-se

(a) log.´1´2/ D log ´1 C log ´2 .modulo 2�i/I

(b) log ´�1 D � log ´ .modulo2�i/I

(c) log.´1=´2/ D log ´1 � log ´2 .modulo 2�i/.

DEMONSTRAC AO:

(a) Tem-se

log.´1´2/ D log j´1´2j C i arg�.´1´2/ (modulo 2�i ) ;

onde se escolheu ��;�C 2�� como intervalo de definicao do argu-mento. De

log j´1´2j D log.j´1jj´2j/ D log j´1j C log j´2j

e arg�.´1´2/ D arg� ´1 C arg� ´2 .modulo 2�/, vem

log.´1´2/ D .log j´1j C i arg� ´1/CC.log j´2j C i arg� ´2/ .modulo2�i/

D log ´1 C log ´2 .modulo2�i/ :

(b) Para cada ´ 2 Cnf0g, tem-se

log ´�1 D log.1=j´j/C i arg� ´

D � log j´j � i arg� ´ .modulo2�i/ ;

uma vez que ´�1 D ´=j´j2 e que j´j D j´j, de acordo com o Teo-rema 1.1.


(c) E consequencia imediata das anteriores. �

Ilustremos o Teorema anterior, mostrando que as igualdades so valem se en-tendidas modulo 2�i .

Exemplo 5.2 Escolhamos o argumento definido em ��;��. Entao

log.�1˙ i / D logp2˙

3�

4i (modulo 2�i )

elog.1˙ i / D log

p2˙

�

4i (modulo 2�i ) :

Efectuando-se alguns calculos, tem-se

log.�1� i /.1� i / D log.�2/D log 2C �i (modulo 2�i )

D logp2C log

p2C�i (modulo 2�i )

D logp2C log

p2��i C 2�i (modulo 2�i )

D log.�1� i /C log.1� i /C 2�i (modulo 2�i ) ID log.�1� i /C log.1� i / (modulo 2�i ) I

log.1� i /�1 D logŒ.1C i /=2�

D log .p2=2/C

�

4i (modulo 2�i )

D � logp2C

�

4i (modulo 2�i )

D � log.1� i / (modulo 2�i ) I

log.�1� i /=.1C i / D log.�1/D log 1C �i (modulo 2�i )

D �i (modulo 2�i )

D logp2� log

p2� �i C 2�i (modulo 2�i )

D log.�1� i /� log.1C i /C 2�i (modulo 2�i )

D log.�1� i /� log.1C i / (modulo 2�i ) :

Recorrendo ao Teorema 5.5 e escrevendo ´ na forma trigonometrica,´D r ei� , vem

log ´ D log.r ei�/ D log r C log ei� D log r C i� .modulo 2�i/ : (5.14)


O logaritmo complexo e uma funcao multıvoca. Para termos uma funcaogenuına, isto e, uma funcao unıvoca, definimos o valor principal do logaritmo por

Log ´ D log j´j C iArg ´ ;

onde Arg´ representa o argumento principal de ´, ou seja, o valor do argumento nointervalo ��;��. A funcao assim definida tem domınio Cnf0g e contradomınio

A�� D f´D xC iy 2 C W x 2 R ^ �� < y � �g ;

constituindo um ramo da funcao logaritmo, o chamado ramo principal.

Quando definimos a funcao logaritmo como inversa da exponencial, naocuidamos da diferenciabilidade. Contudo, para termos diferenciabilidade, devemosrestringir mais o seu domınio de definicao. A razao e simples: o valor principal dologaritmo,

Log ´ D log j´j C iArg ´ ;

com �� < Arg ´ � � e uma funcao descontınua no semi-eixo negativo dos xx,pelo que nao e diferenciavel nesse semi-eixo, de acordo com o Teorema 3.4. Porisso, torna-se necessario remove-lo. E claro que, se tomassemos o argumentomınimo positivo, terıamos de remover o eixo positivo dos xx e deixarıamos de po-der enquadrar, em termos de diferenciabilidade, o logaritmo real como um caso par-ticular do logaritmo complexo. Por isso, e conveniente usar o intervalo de variacaodo argumento principal de um numero complexo, �� < Arg ´ < � , excluindo,portanto, a possibilidade de Arg ´D � . Consideremos, entao, a funcao

Log W D D Cnf´ D xC iy 2 C W x � 0^ y D 0g ! C ;

definida por Log ´ D log j´j C iArg ´, com �� < Arg ´ < � . A representacaogeometrica do domınioD encontra-se na figura 27.

Teorema 5.6 (Derivada do logaritmo) A funcao Log W D ! C e analıtica em D,sendo

d

d´Log ´ D

1

´:

DEMONSTRAC AO: De acordo com (5.14), tem-se

Log ´ D log r C i� ; �� < � < � ;

pelo queu.r; �/ D log r e v.r; �/ D � :


x

y

Figura 27: Representacao geometrica do domınio de analiticidade do logaritmoprincipal.

As funcoes u e v sao funcoes de classe C1 em r; � e as condicoes de Cauchy--Riemann na forma polar sao satisfeitas em todos os pontos de D,

ur D1

rD

1

rv�

e

�1

ru� D 0 D vr :

Mais ainda:d

d´Log ´ D

´

j´j

�1

rC i0

�D

´

j´j2D

1

´;

de acordo com o Teorema 1.1 e a observacao 3.1. �

Pode ser conveniente utilizar o conceito de diferenciabilidade noutros ramosda funcao logaritmo. Considera-se, entao, � 2 R e o raio

N� D f´D r ei� 2 C W r � 0g :

Seja C� D CnN�. Escolhe-se, para cada ´ 2 C�,

� D arg� ´

pela regra´ D r ei� ; r > 0 ; � < � < �C 2� :

No exemplo 2.7 provou-se que a funcao argumento e contınua em C�. O resul-tado do Teorema 5.6 continua valido em qualquer ramo do logaritmo definido numdomınio C�, para algum � 2 R. Note-se que, fazendo �D �� , obtemos C� DD.

5.5 Funcoes trigonometricas inversas 177

5.5 Funcoes trigonometricas inversas

Definamos, agora, as funcoes trigonometricas inversas. A inversa do co-senoobtem-se como solucao da equacao

cos ´ D1

2.ei´ C e�i´/ D w :

Esta equacao e equivalente a equacao do segundo grau em ei´

e2i´ � 2w ei´ C 1 D 0 ;

cujas raızes sao

ei´ D w ˙p

w2 � 1 :

Portanto,

´ D arc cos w D �i log.w ˙p

w2 � 1/ ;

ou ainda, uma vez que .w Cp

w2 � 1/.w �p

w2 � 1/D 1,

arc cos w D ˙i log.w Cp

w2 � 1/ ; (5.15)

de acordo com o Teorema 5.5. Trata-se, portanto, de uma funcao multıvoca cominfinitos valores. Contudo, recorrendo a ramos particulares da raiz quadrada e dologaritmo, a funcao em (5.15) e unıvoca e, alem disso, analıtica por ser a compostade funcoes analıticas.

A inversa do seno determina-se a partir de

arc sin w D�

2� arc cos w :

Deixa-se ao cuidado do leitor a determinacao das inversas das restantes fun-coes trigonometricas e hiperbolicas.

Observa-se que, na teoria das funcoes complexas, as funcoes transcendenteselementares podem expressar-se mediante e´ e a sua funcao inversa, log ´.


5.6 Potencias de expoente complexo

Sejam ´ e w complexos e ´ 6D 0. A nocao de logaritmo complexo permitedefinir expressoes do tipo ´w. Trata-se de uma operacao multıvoca que a cada parde complexos .´;w/ faz corresponder, em geral, uma infinidade de complexos:

´w D ew log ´ : (5.16)

Se restringirmos ´ a valores reais positivos, log ´ corresponde ao logaritmo real, amenos de um multiplo de 2�i . Independentemente de ´ ser ou nao real positivo,´w tem, em geral, infinitos valores, desde que nao se fixe um ramo do logaritmo.Existe um unico valor se w for um inteiro n, caso em que ´n pode ser calculadocomo potencia (produto iterado) de ´ ou de ´�1. Se w for um numero racionalescrito na forma de fraccao irredutıvel p=q, entao ´p=q tem exactamente q valorese pode representar-se na forma q

p´p.

Exemplo 5.3 Consideremos o seguinte exemplo:

i i D ei log i D eiŒlog 1Ci. �2

C2k�/� D e�. �2

C2k�/ ; k 2 Z :

Se considerarmos o ramo principal do logaritmo, como Arg i toma o valor �2

,obtem-se

i i D e� �2 :

Agora, repitamos o raciocınio anterior para i ii:

i ii

D�

e�. �2

C2k�/�i

D ei log e�. �2

C2k�/

D e�i. �2

C2k�/ :

Novamente,

i iii

D�

e�i. �2

C2k�/�i

D ei log e�i. �2

C2k�/

D e�2

C2k� :

De seguida, efectuando os calculos necessarios, tem-se

i iiii

D ei. �2 C2k�/ e i i

iiii

D e�. �2 C2k�/ D i i ;

concluindo-se, assim, que os valores se vao repetindo.

Com base em (5.16) e fixando uma constante c 2 C, podemos definir asseguintes funcoes complexas:

´c D ec log ´ (5.17)

e

c´ D e´ log c : (5.18)

5.7 A funcao n-esima raiz 179

E de realcar que, para a segunda funcao, a constante c tera que ser obrigatoriamentenao nula. As funcoes assim definidas sao multıvocas, a menos que se fixe um ramoespecıfico do logaritmo.

Exemplo 5.4 O objectivo deste exemplo consiste em determinar a expressao de-signatoria da funcao

1ix ; x 2 R :

Ora, para cada k 2 Z, tem-se

1ix D eix log 1 D eix.0C2k�i/ D e�x2k� :

Considerando o ramo principal do logaritmo, obtemos k D 0, ou seja, obtemos afuncao constante igual a 1.

Mostremos que as funcoes potencia complexa definidas em (5.17) e (5.18)sao holomorfas em todo o domınio da forma

C� D CnN� D f´D r ei� W r > 0^� < � < �C 2�g ;

para algum � 2 R. Por exemplo, tomando � D �� , obtemos C�� e passamos aconsiderar o ramo principal do logaritmo. Quanto a expressao da derivada, tem-se

d

d´ć D

d

déc log ´ D ec log ć

1

´D c

ec log ´

elog ´D c e.c�1/ log ´ D c ć�1 :

Analogamente,

d

dć´ D

d

dé´ log c D e´ log c log c D c´ log c :

5.7 A funcao n-esima raiz

Sabemos que a raiz ındice n de um numero complexo ´ tem exactamente nvalores distintos para ´ 6D 0.

A funcao n-esima raiz ou funcao raiz ındice n e definida por

np´ D ´

1n D e.log ´/=n ; (5.19)

escolhendo um ramo especıfico do logaritmo de ´. Para cada escolha, obtem-se umramo da funcao n-esima raiz.


Para o ramo do logaritmo que se fixou, tem-se

log ´ D log.r ei�/ D log r C i� :

Ora, de acordo com (5.19), vem

np´ D e.log ´/=n D e.log r/=n ei �=n D n

pr ei �=n : (5.20)

E simples verificar que a funcao raiz ındice n e analıtica no domınio de ana-liticidade do logaritmo e que a sua derivada e dada por

. np´/0 D .´1=n/0 D

1

n´1=n�1 : (5.21)

Em particular, tomando n D 2 e escolhendo o ramo principal do logaritmo,obtemos o ramo principal da funcao raiz quadrada:

p´ D

pr ei �=2 ; (5.22)

com �� < � � � . Se excluirmos o semi-eixo negativo dos xx, ou seja, se consi-derarmos o domınioD D Cnf´D xC iy 2 C W x � 0^ y D 0g, a raiz quadrada euma funcao analıtica em D, tendo-se

.p´/0 D

1

2´1=2�1 D

1

2p´; ´ 2D : (5.23)

Para o ramo principal da raiz quadrada, tem-se �� < � � � . Desta forma, se� 6D � , cos.�=2/ e estritamente positivo, uma vez que ��=2 < �=2 < �=2. Casose tenha � D � , vem cos.�=2/ D 0 e sin.�=2/ D 1 > 0. Isto significa que nesteramo e de acordo com (5.22), escolhemos sempre o valor xC iy da raiz quadradacom x > 0 ou x D 0 e y � 0, o que vai de encontro ao observado na seccao 1.6.

5.8 Geometria das funcoes elementares 181

x

y

z# z2

u

v

Figura 28: A funcao ´2 transforma o primeiro quadrante no semi-plano superior.

x

y

z# z2

�!!!z " z

u

v

Figura 29: A funcao ´2 transforma o semi-plano superior em todo o plano com-plexo.

5.8 Geometria das funcoes elementares

Analisemos algumas propriedades geometricas das funcoes elementares.

Conclui-se facilmente que a funcao

´ 7! ´2

transforma o primeiro quadrante no semi-plano superior (figura 28). Por outro lado,o semi-plano superior e transformado em todo o plano complexo (figura 29).

Consideremos a funcao raiz quadrada, escolhendo o ramop´ D

pr ei�=2 ;

em que ´D rei� , com 0 < � � 2� . Esta funcao transforma todo o plano complexono semi-plano superior (figura 29).


x

y

z# z2

x

y

w# Log w

x

y

Πi

-Πi

Figura 30: Composicao de Log´ com ´2.

A figura 30 ilustra a composicao de log ´ com ´2, escolhendo-se o ramoprincipal para a funcao logaritmo.

Consideremos, agora, a funcao seno. Para ´D xC iy 2 C, tem-se

sin ´ D sin x cosh y C i cos x sinh y :

Suponhamos que y D c (c constante). Entao, se escrevermos sin ´D uC iv, ob-temos

u2

cosh2 cC

v2

sinh2 cD 1 :

Suponhamos, agora, que x D k (k constante). Ao escrevermos sin ´ D uC iv,obtemos

u2

sin2 k�

v2

cos2 kD 1 :

Desta forma, a funcao seno transforma rectas horizontais em elipses e rectas verti-cais em hiperboles.


No proximo capıtulo veremos que as funcoes elementares apresentam umaimportante propriedade geometrica: sao conformes.


Exercıcio 5.1 Calcule as raızes das seguintes equacoes:

(a) e´ D e�´ ;

(b) e2´ � 2e´ C 1 D 0 ;

(c) e´ D ei´ ;

(d) e´C�i D �e´ ;

(e) e2´C1 D �2 .

Exercıcio 5.2 Mostre que je�2´j < 1 se e so se o ponto ´ pertence ao semi-planoRe´ > 0.

Exercıcio 5.3 Verifique que:

(a) ei´ 6D ei´, a menos que ´D k�; k 2 Z ;

(b) e´ e um imaginario puro se e so se Im ´D �2

C k�; k 2 Z .

Exercıcio 5.4 Estude, quanto a analiticidade, as seguintes funcoes:

(a) f .´/D e N ;

(b) g.´/D e´2;

(c) h.´/Dp

e´ C 1 .

Exercıcio 5.5 Recorra a (5.8) para mostrar que, para cada ´ 2 C, se tem

(a) j sin´j � j sin.Re ´/j ;

(b) jcos´j � jcos.Re ´/j ;

(c) j sinh.Im ´/j � j sin´j � cosh.Im ´/ ;

(d) j sinh.Im ´/j � jcos´j � cosh.Im ´/ .


Exercıcio 5.6 Mostre que:

(a) cos.i´/D cos.i´/, para cada ´ 2 C ;

(b) sin.i´/D sin.i´/ se e so se ´D k�i; k 2 Z .

Exercıcio 5.7

(a) Indique as partes real e imaginaria de tg´.

(b) Prove que

tg.´1 C ´2/ Dtg´1 C tg´2

1� tg´1 tg´2

;

supondo que ´1; ´2 e ´1 C ´2 sao pontos de

S D f´ 2 C W ´ 6D 1=2.2nC 1/�; n 2 Zg :

Exercıcio 5.8 Suponha que lhe e fornecida uma listagem com o valor da funcaoco-seno em 100 pontos do disco aberto D DD.0;1/.

´1 cos ´1

´2 cos ´2

::::::

´100 cos ´100

A tabela permite ter uma ideia do comportamento da funcao em D. Que metodoexpedito sugere que se utilize para perceber como se comporta a funcao co-senohiperbolico no mesmo disco?

Exercıcio 5.9 Resolva as equacoes:

(a) sin ´D cosh 4 ;

(b) sin ´D 2 ;

(c) cos ´Dp2 ;

(d) tg ´D5i

3;

(e) cosh ´D2i C 1

2i C 2:


Exercıcio 5.10 Determine os pontos onde a tangente, o seno e o co-seno hiperbolicosassumem

(a) valores reais;

(b) valores imaginarios puros.


(a) f .´/D sin ´ ;

(b) g.´/D cos ´ ;

(c) h.´/D sin e´ .

Exercıcio 5.12 Determine:

(a) log 1 ;

(b) log.�1/ ;

(c) Log.�3i/ ;

(d) Log.1� i / .

Exercıcio 5.13 Mostre que a funcao definida por

f .´/ D Log.´� i /

e analıtica em todos os pontos do plano complexo a excepcao da semi-recta

x � 0 ^ y D 1 :


(a) g.´/D Log.´2/ ;

(b) h.´/DLog.´C 4/

´2 C i:


Exercıcio 5.15 Calcule as raızes da equacao

log ´ Di�

2:

Exercıcio 5.16 Determine:

(a) arc tg.2i/ ;

(b) arc tg.1C i / ;

(c) arg cosh.�1/ ;

(d) arg tgh 0 .

Exercıcio 5.17 Deduza as seguintes formulas:

(a) arc tg ´Di

2log

�i C ´

i � ´

�;

(b) arg sinh ´D log.´Cp1C ´2/ ;

(c) arg tgh ´D1

2log

�1C ´

1� ´

�;

(d)d

d´.arc tg ´/D

1

1C ´2;

(e)d

d´.arc sin ´/D

1p1� ´2

:

Exercıcio 5.18 Mostre que, para todo o k 2 Z, se tem:

(a) .1C i /i D e� �4 C2k�e

i2 log 2 ;

(b) .�1/ 1� D e.2kC1/i .

Exercıcio 5.19 Determine o valor principal de:

(a) i i ;

(b) Œ�e=2.1Cp3i/�3�i ;

(c) .1� i /4i .


5.10 Laboratorio 5

Neste Laboratorio utilizaremos as funcoes CartesianMap[] e PolarMap[]com vista a determinacao das imagens e pre-imagens de certas regioes do planomediante transformacoes complexas.

A funcao exponencial

Como sabemos, a visualizacao de funcoes complexas requer que lidemoscom duas funcoes reais de duas variaveis reais, sendo assim essencialmente umproblema a quatro dimensoes. A nossa estrategia de visualizacao das funcoes com-plexas consiste em considerar o sistema de coordenadas cartesianas, ou polares, noplano e representar:

1) as imagens de certas curvas pela funcao;

2) ou as pre-imagens de determinadas curvas pela funcao.

Para tal, utilizamos o pacote ComplexMap do Mathematica.

In[1]:= Clear@"Global`*"D;Needs@"Graphics`ComplexMap` "D;

O comando ?Graphics‘ComplexMap‘* permite conhecer todas as funcionalida-des do novo pacote. Por agora, investiguemos apenas a funcao CartesianMap[].

In[3]:= ? CartesianMap

CartesianMap@f, 8x0, x1, HdxL<, 8y0, y1, HdyL<D plotsthe image of the cartesian coordinate linesunder the function f. The default values of dxand dy are chosen so that the number of lines is

equal to the value of the option Lines. More…

Ilustremos a sua utilizacao com a funcao exponencial, w D e´. A figura que sesegue mostra que o rectangulo 0 � x � 2, 0 � y � 2� do plano�´ e transformadonum anel do plano�w. Com efeito, sendo w D uC iv, tem-se

u.x;y/ D ex cos y e v.x;y/ D ex sin y ;

pelo que se y e constante no plano�´, obtemos como imagens raios no plano�w ese x e constante, obtemos arcos de circunferencia centrados na origem.


In[4]:= CartesianMap @Exp, 80, 2<, 80, 2 Π<D

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6


A funcao co-seno

A imagem do rectangulo � � x � 2� , 0 � y � 1 pela funcao w D cos ´obtem-se do seguinte modo:

In[5]:= CartesianMap @Cos, 8Π, 2 Π<, 80, 1<,PlotStyle -> AbsoluteThickness @0.1DD

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

0.20.40.60.81

1.2



Conforme a figura ilustra, as imagens de rectas horizontais e verticias do plano�´sao, respectivamente, uma famılia de elipses e hiperboles cofocais do plano�w.Para o compreender, basta recordar que

u.x;y/ D cos x cosh y e v.x;y/ D � sin x sinh y ;

vindo para y constante a equacao

u2

cosh2 yC

v2

sinh2 yD 1 ;

que representa uma elipse, e para x constante a equacao

u2

cos2 x�

v2

sin2 xD 1 ;

que representa uma hiperbole. Assim, w D cos ´ transforma rectas horizontais doplano�´ em elipses do plano�w e rectas verticais em hiperboles.

A funcao logaritmo

Comecemos por visualizar a parte imaginaria da funcao w D log ´, que cor-responde a funcao argumento de ´.

In[6]:= viewLogSurface @n_Integer,resolution_Integer D :=

ParametricPlot3D @8r * Cos@thetaD,r * Sin@thetaD, theta<,8r, 0, 2<, 8theta,0, 2 * n * Pi<,

PlotPoints -> 8resolution ,resolution * n<,

Boxed -> False,

Axes -> False,

AspectRatio -> 1,

ViewPoint -> 80, 0.7, 2<,ColorOutput ® RGBColorD

Para obter uma imagem em tons de cinza, pode substituir-se a opcao RGBColor porGrayLevel.


In[7]:= viewLogSurface @4, 20D


Ilustremos o ”branch cut” do logaritmo no semi-eixo real negativo.

In[8]:= Plot3D@Im@Log@Hx + I * yLDD,8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<, PlotPoints ® 30D

-2-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-2

0

2

-2-1

0

1

2



As coordenadas naturais para lidar com certas transformacoes complexas sao as co-ordenadas polares. Tal e o caso da funcao logaritmo. Utilizemos, pois, o comandoPolarMap[].

In[9]:= ? PolarMap

PolarMap@f, 8r0:0, r1, HdrL<, 8phi0, phi1, HdphiL<D plotsthe image of the polar coordinate lines under the functionf. The default for the phi range is 80, 2Pi<. The defaultvalues of dr and dphi are chosen so that the number of

lines is equal to the value of the option Lines. More…

Examinemos a imagem do disco unitario, com o semi-eixo real negativo cortado,pelo ramo principal do logaritmo w D Log´. Para um valor fixo de r , a imagemde uma circunferencia centrada na origem com este raio e um segmento vertical,enquanto que a imagem de um raio (� constante) e um segmento horizontal.

In[10]:= PolarMap@Log, 80.01, 1<, 8-Π, Π<, PlotRange ® AllD

-4 -3 -2 -1

-3

-2

-1

1

2

3


Vejamos um exemplo onde utilizamos o comando CartesianMap[] com a funcaologaritmo.


In[11]:= CartesianMap @Log, 8Pi, 4 Pi<, 80, 10 Pi<,PlotRange ® All, PlotStyle -> AbsoluteThickness @0.1DD

1.5 2.5 3 3.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Outras funcoes

Os comandos CartesianMap[] e PolarMap[] podem tambem ser utiliza-dos para funcoes que nao estao pre-definidas pelo Mathematica. Primeiramente,temos que definir simbolicamente essas funcoes. Consideremos, por exemplo, afuncao w D ´2.

In[12]:= f@z_D := z2;

CartesianMap @f, 80, 2<, 80, 1<,PlotRange ® All, PlotStyle -> AbsoluteThickness @0.1DD

-1 1 2 3 4

1

2

3

4



A figura mostra a imagem do rectangulo 0 � x � 2, 0 � y � 1 pela transformacaow D ´2. As imagens de segmentos verticiais e horizontais sao arcos parabolicos.

Deixamos a cargo do leitor a interpretacao do grafico que a seguir se reproduze que diz respeito a transformacao de um rectangulo em parte do disco unitario pelafuncao raiz quadrada.

In[14]:= PolarMap@Sqrt, 80, 1<, 8-Pi, Pi<,PlotRange ® All, PlotStyle -> AbsoluteThickness @0.1DD

0.20.40.60.8 1

-1

-0.5

0.5

1


As inversas das funcoes trigonometricas e hiperbolicas

A funcao w D arc cos ´ e uma funcao multıvoca, logo nao e garantido de desempre o inverso do co-seno. Por exemplo:

In[15]:= ArcCos@[email protected][15]= 1.78319

O que acontece e que os valores de ArcCos[] em lados opostos do ”branch cut”podem ser muito diferentes. Exemplifiquemos:

In[16]:= 8ArcCos@2 + 0.1 ID, ArcCos@2 - 0.1 ID<Out[16]= 80.0576392 - 1.31888 ä, 0.0576392 + 1.31888 ä<


Apresentamos uma representacao a tres dimensoes, mostrando dois ”branch cuts”da parte imaginaria da funcao w D arc cos ´.

In[17]:= Plot3D@Im@ArcCos@x + I yDD, 8x, -4, 4<,8y, -4, 4<, PlotPoints ® 30, ViewPoint ® 81, 2, 1<D

-4-2

02

4

-4-2

02

4

-2

0

2

-4-2

02

4

-4-2

02

4


O leitor e convidado a utilizar o comando viewReImSurfaces[] com vista a in-vestigar as propridades geometricas das inversas das restantes funcoes trigonome-tricas e hiperbolicas. A escolha de diferentes valores para x1 e x2 permite rodaras figuras obtidas. A tıtulo de curiosidade, apresentamos uma representacao daspartes real e imaginaria da inversa da secante hiperbolica.

In[18]:= viewReImSurfaces @f_, x1_, x2_D :=

Show@GraphicsArray @88Plot3D@Re@f@x + I yDD, 8x, -4, 4<,8y, -4, 4<, PlotPoints ® 30,

ViewPoint ® 8x1, x2, 1<,DisplayFunction ® IdentityD<,8Plot3D@Im@f@x + I yDD, 8x, -4, 4<,8y, -4, 4<, PlotPoints ® 30,

ViewPoint ® 8x1, x2, 1<,DisplayFunction ® IdentityD<<D,

GraphicsSpacing ® 0.1,

ImageSize ® 72 4D;


In[19]:= viewReImSurfaces @ArcSech, 1.2, 1.2D

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

-2

0

2

-4

-2

0

2

4

-4-2

0

2

4

-4-2

0

2

4

00.20.40.60.8

-4-2

0

2

4

00.20.40.60.8


O comando viewReImSurfaces[] pode ser igualmente utilizado no estudo de ou-tras funcoes complexas, desde que essas funcoes estejam pre-definidas. Por exem-plo, consideremos a funcao

g.´/ D arc sin ´3:


In[20]:= g@z_D := ArcSin@z^3D;viewReImSurfaces @g, 0.2, -1D

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4

-5-2.50

2.55

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4

-10

1

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4


Podemos estabelecer uma correspondencia um-a-um entreraios de luz e numeros complexos... Mesmo entre fısicos pro-fissionais, este ”milagre” nao e tao conhecido como deveriaser.

Tristan Needham

Capítulo 6Transformacoes Conformes

Neste capıtulo, estudaremos uma importante propriedade partilhada pelasfuncoes analıticas - a conformidade. As funcoes analıticas preservam os angulosentre curvas, denominando-se ”conformes” as funcoes com esta propriedade. Con-sideraremos uma classe particular de transformacoes - as transformacoes de Mobius,que gozam de notaveis propriedades, como transformarem ”circunferencias”13 em”circunferencias”.

6.1 Transformacoes de Mobius

Teceremos algumas consideracoes sobre uma classe particular de funcoesracionais: as transformacoes de Mobius14. Uma transformacao de Mobius e umafuncao da forma

T W C ! C

´ 7! T .´/ Da´C b

c´C d

com a;b; c;d 2 C. Note-se que se ad � bc D 0, entao T e a funcao constanteque aplica qualquer ´ no mesmo ponto imagem a=c, designando-se T singular.Suporemos doravante que T e nao-singular, ou seja, ad � bc 6D 0.

13O termo ”circunferencia” abrange nao so as circunferencias propriamente ditas, como tambemas rectas, que podem ser entendidas como circunferencias de raio infinito.

14Tambem conhecidas por transformacoes lineares, homograficas ou l.f.t., derivando a abreviaturada expressao inglesa ”linear fractional transformation”.

197

198 CAPITULO 6: Transformacoes Conformes

Podemos estender T a todo o plano complexo ampliado, bC, tomando

T .�d=c/ D 1 e T .1/ D a=c ;

em que T .1/ pode ser interpretado como o limite de T quando ´ ! 1, como jase observou no exercıcio 2.2, no ambito das funcoes racionais.

Seja

T .´/ DaĆ b

cĆ d

uma transformacao de Mobius. Se k e qualquer complexo nao nulo, entao

T .´/ DkaĆ kb

kcĆ kd;

ou seja, os coeficientes a;b; c;d nao sao unicos.

Muitas das funcoes familiares sao transformacoes de Mobius. Por exemplo,

(i) tomando a D d D 1 e b D c D 0, obtemos a funcao identidade;

(ii) fazendo a D d D 1, c D 0 e b 6D 0, definimos a translacao segundoo vector b;

(iii) para d D 1, a D i e b D c D 0, obtemos a rotacao de 90 grausno sentido directo (sentido contrario ao movimento dos ponteiros dorelogio);

(iv) para d D 1, a 6D 0 e b D c D 0, obtemos uma rotacao simples sejaj = 1 (podendo ser no sentido directo ou nao), ou uma rotacao se-guida de uma expansao (que pode ser uma dilatacao, se jaj > 1, ouuma contraccao, se jaj < 1). Note-se que (iii) e um caso particularde (iv);

(v) tomando a D d D 0 e b D c D 1, definimos a chamada inversaocomplexa:

´ 7!1

´:

O proximo Teorema mostra que toda a transformacao de Mobius se exprime a custadas transformacoes dos exemplos acabados de apresentar e e um analogo da conhe-cida propriedade da Geometria Euclidiana bidimensional, segundo a qual todo omovimento rıgido e uma composicao de translacoes, rotacoes e reflexoes.

6.1 Transformacoes de Mobius 199

Teorema 6.1 (Caracterizacao das transformacoes de Mobius) Uma transfor-macao de Mobius (nao-singular) ou e a identidade, ou e uma translacao, ou euma rotacao, ou e uma rotacao seguida de uma dilatacao ou contraccao, ou e umainversao, ou entao pode exprimir-se como a composicao de transformacoes dessestipos.

DEMONSTRAC AO: Consideremos uma transformacao de Mobius da forma

T .´/ DaĆ b

cĆ d;

com a;b; c;d 2 C e ad � bc 6D 0. Suponhamos que c 6D 0. E imediato constatarque T resulta da composicao das seguintes transformacoes:

(i) ´ 7! Ćd

c(translacao);

(ii) ´ 7!1

´(inversao);

(iii) ´ 7! �ad � bcc2

´ (rotacao e expansao - dilatacao ou contraccao);

(iv) ´ 7! Ća

c(nova translacao).

Suponhamos, agora, que c D 0. A condicao ad � bc 6D 0 garante que ad 6D 0,ou seja, que a 6D 0 e d 6D 0. Nestas condicoes, a transformacao T resulta dacomposicao de:

(i) ´ 7! Ćb

a(translacao);

(ii) ´ 7!a

d´ (rotacao e expansao - dilatacao ou contraccao).

A demonstracao fica, assim, concluıda. �

Corolario 6.2 Toda a transformacao de Mobius transforma ”circunferencias” em”circunferencias”.

DEMONSTRAC AO: A propriedade do enunciado e claramente valida para cadauma das transformacoes de Mobius nucleares: translacoes, rotacoes, rotacoes se-guidas de uma dilatacao ou contraccao e inversoes. Resta, entao, aplicar o Teoremaanterior. �


O exercıcio 6.2 fornece uma demonstracao alternativa do Corolario anterior.

Averiguemos quais os pontos fixos de uma transformacao de Mobius T , ouseja, quais os pontos ´ que satisfazem T .´/D ´. Se ´ satisfaz esta equacao, entao

c´2 C .d � a/´� b D 0 :

A equacao anterior tem uma infinidade de solucoes (todo o plano complexo am-pliado) quando c D 0, d D a e b D 0, isto e, quando T e a identidade. Contudo,se considerarmos uma transformacao de Mobius T diferente da identidade, T temapenas um ou dois pontos fixos, consoante a equacao anterior tenha uma ou duassolucoes. A unica situacao em que, aparentemente, a equacao nao tem solucoes equando c D 0, d D a e b 6D 0. Mas, nestas condicoes, temos uma translacao daforma

´ 7! Ćb

d;

que tem um unico ponto fixo (1).

6.2 A propriedade de grupo

Quando se lida com uma transformacao de Mobius na forma

T .´/ DaĆ b

cĆ d;

pode ser vantajoso utilizar a notacao matricial:

�a b

c d

�:

A principal vantagem desta notacao reside no facto da composicao de transforma-coes de Mobius corresponder ao produto das matrizes que as representam, o quepode trazer comodidade nos calculos. De facto, considerandoT1 e T2 duas transfor-macoes de Mobius,

T1.´/ Da1Ć b1

c1Ć d1

e

T2.´/ Da2Ć b2

c2Ć d2;

vem

T1T2.´/ D.a1a2 C b1c2/Ć a1b2 C b1d2

.c1a2 C d1c2/Ć c1b2 C d1d2:

6.2 A propriedade de grupo 201

Ora, em termos matriciais, multiplicando as matrizes que representam T1 e T2,obtemos a matriz que representa T1T2:

�a1 b1

c1 d1

� �a2 b2

c2 d2

�D�a1a2 C b1c2 a1b2 C b1d2

c1a2 C d1c2 c1b2 C d1d2

�:

Supondo T1 e T2 nao-singulares e tomando

A D a1a2 C b1c2 IB D a1b2 C b1d2 IC D c1a2 C d1c2 ID D c1b2 C d1d2 ;

pode provar-se facilmente que AD � BC 6D 0. Desta forma, se conclui que acomposicao de duas transformacoes de Mobius nao-singulares e ainda uma trans-formacao de Mobius nao-singular. A funcao identidade e obviamente representadapela matriz identidade. Consideremos agora uma transformacao de Mobius nao--singular representada pela matriz

M D�a b

c d

�:

Tal matriz tem inversa, uma vez que o seu determinante ad � bc e diferente dezero. Por conseguinte, a sua inversa e dada por

1

detM

�d �c

�b a

�T

:

Assim, toda a matriz nao-singular representa uma transformacao de Mobius nao--singular. De acordo com o ja anteriormente observado, se uma transformacao deMobius e representada pela matriz

�x y

w ´

�;

entao toda a matriz da forma

k

�x y

w ´

�D�kx ky

kw k´

�; k 6D 0;


representa a mesma transformacao de Mobius. Sendo assim, a inversa da transfor-macao de Mobius representada pela matriz M , pode ser representada por

�d �b

�c a

�:

Como ad � bc 6D 0, continuamos a ter uma transformacao de Mobius nao-singular.

O Teorema que se segue e consequencia das propriedades anteriores e dofacto da composicao de funcoes ser associativa.

Teorema 6.3 (Grupo das transformacoes de Mobius) O conjunto de todas astransformacoes de Mobius nao-singulares munido da composicao de funcoes e umgrupo.

6.3 Razao cruzada

Seja T uma transformacao de Mobius e sejam a;b; c tres pontos distintos embC, com

˛ D T .a/ ; ˇ D T .b/ e � D T .c/ :

Suponhamos que S e outra transformacao de Mobius com a mesma propriedade.Entao, S�1T tem tres pontos fixos, a;b e c, pelo que S�1T so pode ser a identi-dade. Logo, uma transformacao de Mobius fica unicamente determinada pela suaaccao em tres pontos quaisquer de bC.

Dados tres pontos distintos´2; ´3; ´4 2 C, consideremos a seguinte transfor-macao de Mobius:

T .´/ D´� ´2

´� ´4

´3 � ´4

´3 � ´2; ´ 2 C : (6.1)

Podemos supor ´2; ´3; ´4 2 bC, tomando:

1) se ´2 D 1, T .´/ D´3 � ´4

´� ´4;

2) se ´3 D 1, T .´/ D´� ´2

´� ´4;

3) se ´4 D 1, T .´/ D´� ´2

´3 � ´2

:

6.3 Razao cruzada 203

Para cada ´ 2 bC, denota-se T .´/ por

.´;´2; ´3; ´4/ :

A funcao T e a unica transformacao de Mobius que aplica os pontos ´2; ´3; ´4,respectivamente, em 0;1;1.

Para cada ´1 2 C,.´1; ´2; ´3; ´4/

e a chamada razao cruzada de complexos e e a imagem de ´1 pela unica transfor-macao de Mobius que aplica ´2; ´3; ´4, respectivamente, em 0;1;1.

A razao cruzada e invariante para transformacoes de Mobius. Mais precisa-mente:

Teorema 6.4 (Invariancia da razao cruzada) Se ´1; ´2; ´3; ´4 sao quatro pontosdistintos em bC e T e uma transformacao de Mobius qualquer, entao

.T .´1/;T .´2/;T .´3/;T .´4// D .´1; ´2; ´3; ´4/ :

DEMONSTRAC AO: Sejam ´1; ´2; ´3; ´4 pontos distintos e arbitrarios em bC. Con-sidere-se a transformacao de Mobius

S.´/ D .´;´2; ´3; ´4/ ;

que aplica ´2; ´3; ´4, respectivamente, em 0;1;1. Ora, ST �1 transforma T .´2/,T .´3/, T .´4/, respectivamente, em 0, 1, 1. Desta forma,

.T .´1/;T .´2/;T .´3/;T .´4// D ST �1.T .´1// D S.´1/ D .´1; ´2; ´3; ´4/ ;

o que prova o pretendido. �

Esta propriedade permite conhecer a (unica) transformacao de Mobius T queleva tres pontos distintos ´2; ´3; ´4 para as posicoes distintas w2;w3;w4, designa-damente

.´;´2; ´3; ´4/ D .T .´/;T .´2/;T .´3/;T .´4// D .w;w2;w3;w4/ :

Resolvendo a equacao

.w;w2;w3;w4/ D .´;´2; ´3; ´4/

em ordem a w, obtem-se o pretendido.


Para um estudo mais aprofundado da razao cruzada de complexos veja-se,por exemplo, [1] ou [24].

Propomos agora ao leitor a seguinte tarefa. Recorde alguns dos exemplos defuncoes complexas apresentados ate o momento (reflexoes, translacoes, rotacoes,. . . ), aplique-as a determinadas figuras geometricas no plano�´ (circunferencias,segmentos de recta, triangulos, . . . ) e caracterize a figura geometrica obtida noplano�w.

6.4 Relacao com a teoria da relatividade de Einstein

Vamos analisar, de forma muito sucinta, o modo como as transformacoes deMobius estao relacionadas com a teoria da relatividade de Einstein.

Nesta teoria, as tres coordenadas espaciais de um evento

.X;Y;Z/

fundem-se com a coordenada temporal do evento no chamado cronotopo deMinkowski,

.T;X;Y;Z/ ;

do espaco quadridimensional chamado espaco-tempo.

Obviamente que as componentes espaciais deste vector nao tem significadoabsoluto: se, por exemplo, rodarmos os eixos coordenados, obtemos diferentescoordenadas para o mesmo ponto,

.X 0; Y 0;Z0/ :

No entanto, a distancia do ponto a origem das coordenadas e invariante:

X2 C Y 2 CZ2 D X 02 C Y 02 CZ02 :

Historicamente, atribuıa-se ao tempo um caracter absoluto. No entanto, ateoria relativista de Einstein, confirmada por varias experiencias, afirma que otempo nao e absoluto. Se dois observadores, momentaneamente coincidentes, seencontram em movimento relativo, nao concordarao sobre os tempos em que oseventos ocorrem. Mais ainda: tambem nao concordarao sobre o valor de

X2 C Y 2 CZ2 :

6.4 Relacao com a teoria da relatividade de Einstein 205

Isto tem a ver com a famosa contraccao de Lorentz.

E havera algum aspecto do espaco-tempo com significado absoluto sobre oqual dois observadores estarao em concordancia? A resposta e afirmativa. Esco-lhendo as unidades de forma conveniente de tal modo que a velocidade da luz sejaigual a 1, dois observadores concordarao sobre o valor de

T 02 � .X 02 C Y 02 CZ02/ D T 2 � .X2 C Y 2 CZ2/ :

A transformacao de Lorentz e uma transformacao linear L do espaco-tempo,representada por uma matriz de ordem 4, que aplica a descricao de um evento porum observador,

.T;X;Y;Z/ ;

noutra descricao do mesmo evento por outro observador,

.T 0;X 0; Y 0;Z0/ :

A transformacao linear L preserva a quantidade

T 2 � .X2 C Y 2 CZ2/

sobre a qual ambos os observadores deverao concordar.

Imaginemos que um ponto p do espaco-tempo emite um flash luminoso –uma esfera centrada na origem cujo raio cresce a velocidade da luz. Ora, os raiosluminosos podem ser representados por numeros complexos da forma que a seguirse indica.

Escolhamos um sistema de unidades no espaco-tempo de tal modo que avelocidade da luz e 1: Apos uma unidade de tempo, a esfera de luz emitida por p –constituıda por partıculas chamadas fotoes – e uma esfera unitaria. Logo, cada fotaoO pode ser identificado com um ponto da esfera de Riemann, e atraves da projeccaoestereografica, com um numero complexo. Assim, se o fotao tem coordenadaspolares esfericas .�; �/15, entao o correspondente numero complexo e

´ D cotg��

2

�cis � ;

15Recorrendo a figura 31, recordemos que o angulo � refere-se ao angulo formado pelo eixo dosxx e pelo vector correspondente ao ponto ´0, enquanto que o angulo � diz respeito ao angulo formadopelos vectores correspondentes a O e a N .


0

1

z

zN

S

z’

Φ

Φ �2ÈzÈ

Figura 31: Obtencao de um numero complexo ´ a partir das coordenadas esfericasdo fotao O , recorrendo a projeccao estereografica.

conforme e ilustrado na figura 31. Note-se que os triangulos 4ŒNS O � e 4ŒN0´�sao semelhantes, uma vez que tem os tres angulos internos geometricamente iguais,e que o angulo †. OSN/D �=2. Consequentemente,

j´j1

DjS � O jjN � O j

D2cos.�=2/

2 sin.�=2/D cotg

��

2

�:

Cada transformacao de Lorentz do espaco-tempo induz uma funcao no planocomplexo. Que tipo de funcoes complexas sao estas?

A resposta nao poderia ser mais surpreendente: as funcoes complexas quecorrespondem a transformacoes de Lorentz sao transformacoes de Mobius!

Reciprocamente, toda a transformacao de Mobius induz uma unica transfor-macao de Lorentz do espaco-tempo.

Esta relacao e profunda e significa que cada resultado sobre transformacoesde Mobius tem um correspondente resultado na teoria relativista de Einstein. Mais:as demonstracoes envolvendo transformacoes de Mobius sao menos intrincadas doque as realizadas no espaco-tempo.

Para maior desenvolvimento desta tematica recomenda-se a leitura do capı-tulo 1 de [25].

6.5 Inversao geometrica 207

0

C

1

z

1�z

1�z�

1�r

r

Θ

-Θ

Figura 32: Inversao geometrica na circunferencia C de centro 0 e raio 1. Nesteexemplo, r D j´j > 1.

6.5 Inversao geometrica

A imagem de um ponto ´D r ei� por uma inversao complexa e

1

´D

1

re�i� ;

pelo que o modulo e inverso do inicial e o argumento simetrico (veja-se a figura 32).Observe-se que um ponto no exterior da circunferencia e transformado num pontono seu interior, e vice-versa.

A figura 32 ilustra a forma de decompor a inversao complexa em duas trans-formacoes, num processo com dois passos sucessivos:

1) Transformar ´ D r ei� no ponto na mesma direccao de ´ mas commodulo inverso, designadamente o ponto

1

rei� D

1

´:

2) Tomar o complexo conjugado (isto e, aplicar a reflexao no eixo real),que transforma 1=´ em 1=´.

Observe-se que a ordem destes passos e irrelevante.

A transformacao definida no passo (1) e a chamada inversao geometrica, aqual se representa por IC. A circunferencia C desempenha um papel importante:


K

q z z~L

Figura 33: Determinacao do inverso geometrico de um ponto ´ no interior da cir-cunferencia K.

a inversao troca entre si o seu interior e exterior, enquanto que cada ponto sobre acircunferencia permanece invariante.

Nesta seccao, vamos adoptar a notacao usual para a distancia entre os com-plexos ´ e w:

d.´;w/ D j´� wj :

Naturalmente, esta distancia coincide com o comprimento do segmento de rectacujos extremos sao os afixos de ´ e w.

Propomos ao leitor a resolucao dos exercıcios 6.14 e 6.15, com vista ao maioraprofundamento das propriedades da inversao geometrica. O exercıcio 6.15 mostracomo definir a inversao geometrica numa circunferencia de raio diferente da uni-dade. No caso geral, a inversao geometrica numa circunferenciaK de raio R > 0faz corresponder a cada ponto ´ um ponto Q alinhado com ´ e com o centro q dacircunferencia e tal que

jq � ´j jq � Q j D R2 : (6.2)

Usando (6.2), podemos obter Q a partir de ´ (quando ´ esta no interior deK)como se descreve: seja L a recta definida por q e ´. Constroi-se a perpendiculara L em ´ e no ponto onde esta intersecta K considera-se a tangente a K. O pontode interseccao desta tangente com L e o ponto Q , como facilmente se prova porsemelhanca de triangulos (cfr. figura 33). Portanto, o infinito e o inverso de q emrelacao a K.


Ha uma interessante analogia entre a inversao numa circunferencia K, IK, ea reflexao numa recta L, �L. Ora,

1) L divide o plano em duas pecas, ou componentes, que sao permuta-das entre si por �L;

2) cada ponto de L permanece fixo;

3) a reflexao e involutiva, ou seja, inversa de si mesma: �2L

D id .

Quer isto dizer que o ponto ´ e a sua reflexao �L.´/ sao simetricos em relacao a L:

Deixamos a cargo do leitor a verificacao de que a inversao numa circun-ferencia goza destas tres propriedades da reflexao numa recta. Por isso, costumatambem designar-se reflexao numa circunferencia e os pontos

´ e Q D IK.´/

simetricos relativamente a circunferencia.

Deduz-se, de seguida, uma propriedade elementar da inversao geometrica.

Teorema 6.5 (Propriedade da inversao geometrica) Se a inversao numa circun-ferencia de centro q e raio R transforma ´ e w, respectivamente, em Q e Qw; entaoos triangulos 4Œ´qw� e 4Œ Qq Qw� sao semelhantes.

DEMONSTRAC AO: Nas condicoes do Teorema e por definicao de inversao, vem

jq � ´jjq � Q j D R2 D jq � wjjq � Qwj :

Portanto,jq � ´jjq � wj

Djq � Qwjjq � Q j

:

Notando que o angulo †.wq´/ coincide com o angulo †. Qwq Q/ (cfr. figura 34), ficaestabelecida a propriedade. �

Usando o Teorema anterior e o facto de, em triangulos semelhantes, a angulosgeometricamente iguais se oporem lados de comprimentos proporcionais (veja-sea figura 34), obtem-se a relacao entre a distancia entre dois pontos j´ � wj e adistancia entre as suas imagens j Q � Qwj:

j Q � Qwjj´� wj

Djq � Qwjjq � ´j

DR2

jq � ´jjq � wj


K

q

R

z~

w~

z

w

Figura 34: Figura auxiliar do Teorema 6.5.

e assim

j Q � Qwj DR2

jq � ´jjq � wjj´� wj : (6.3)

As seguintes propriedades da inversao sao de facil verificacao, sugerindo-sea sua visualizacao utilizando um programa de geometria dinamica.

1) Seja L uma recta que passa por 0. A inversao de L numa circun-ferencia de centro 0 e raio R > 0 e ela propria;

2) A inversao de uma recta L que nao passa por 0 numa circunferenciade centro 0 e raio R > 0 e Dnf0g, onde D e uma circunferencia quepassa por 0 e que tem centro na perpendicular a L que passa por 0;

3) Se D for uma circunferencia passando por 0, a inversa de Dnf0gnuma circunferencia de centro 0 e raio R > 0 e uma recta perpen-dicular a recta 0A0, em que Œ0A0� e o diametro de D que passa por0;

4) A inversa de uma circunferencia C que nao passa por 0 numa circun-ferencia de centro 0 e raio R > 0 e outra circunferencia que tambemnao passa por 0.

Em seguida, propomos ao leitor a confirmacao geometrica de que as pro-priedades anteriores continuam validas no contexto da inversao geometrica numacircunferencia K de centro e raio arbitrarios. As figuras 35 e 36 apresentam doisexemplos ilustrativos.


K

q

D

L

z~

z

w~

w

Figura 35: A inversao na circunferencia K de uma recta L que nao passa pelocentro q de K e Dnfqg, ondeD e uma circunferencia que passa por q.

K

q

z~

z

w~

w

Figura 36: A inversao na circunferencia K de uma circunferencia que nao passapelo centro q de K e uma circunferencia que nao passa por q.


z1

z2

z3

z4

Figura 37: Quadrilatero de vertices ´1; ´2; ´3; ´4 inscrito numa circunferencia.

Provemos, agora, que as transformacoes de Mobius preservam a simetria.

Teorema 6.6 (Princıpio da Simetria) Se uma transformacao de Mobius transfor-ma uma circunferenciaC1 numa circunferenciaC2, entao transforma qualquer parde pontos simetricos em relacao a C1 num par de pontos simetricos em relacao aC2.

DEMONSTRAC AO: O Teorema resulta do Teorema 6.1 e do facto das transforma-coes inversa complexa, rotacao, expansao e translacao preservarem a simetria. �

Na seccao 6.7, apresentaremos outra propriedade importante das transforma-coes de Mobius: o Prıncipio da Orientacao.

6.6 Teorema de Ptolemeu

Demonstraremos, de seguida, o Teorema de Ptolemeu, usando simplesmentegeometria das inversoes.

Consideremos o quadrilatero Œ´1´2´3´4� de vertices ´1; ´2; ´3; ´4 inscritonuma circunferencia, representado na figura 37. Ptolemeu, cerca de 150 d.C. pro-vou o Teorema que se segue.

Teorema 6.7 (Teorema de Ptolemeu) A soma dos produtos dos comprimentos doslados opostos do quadrilatero Œ´1´2´3´4� e igual ao produto dos comprimentosdas diagonais. Simbolicamente,

j´1 � ´4jj´2 � ´3j C j´1 � ´2jj´3 � ´4j D j´1 � ´3jj´2 � ´4j :

6.6 Teorema de Ptolemeu 213

z1

z2

z3

z4

K

z2~

z3~

z4~

Figura 38: Inversao dos vertices ´2; ´3; ´4 do quadrilatero Œ´1´2´3´4� numa cir-cunferencia K centrada em ´1.

DEMONSTRAC AO: Invertendo a figura numa circunferencia K centrada num dosvertices do quadrilatero (cfr. figura 38), obtem-se

j Q2 � Q 3j C j Q3 � Q4j D j Q2 � Q4j :

Tendo em conta (6.3), deduzimos que

j´2 � ´3jj´1 � ´2jj´1 � ´3j

Cj´3 � ´4j

j´1 � ´3jj´1 � ´4jD

j´2 � ´4jj´1 � ´2jj´1 � ´4j

;


Curiosamente, este resultado teve aplicacoes na Astronomia. Para analisardados astronomicos, Ptolemeu utilizou tabelas trigonometricas rigorosas que cons-truiu partindo de formulas para adicao do seno e co-seno. As figuras 39 e 40, ondeos cırculos tem raio unitario, ilustram como descobriu estas importantes formulas.Basta seguir o seguinte procedimento.

1) Mostra-se que AD 2 sin � e B D 2cos � (figura 39);

2) Aplica-se, em seguida, o Teorema de Ptolemeu a um quadrilaterocomo o representado na figura 40 e obtem-se

sin.� C �/ D sin � cos � C sin � cos � :


Θ

A

B

1

1

2

Figura 39: Ptolemeu mostrou que AD 2 sin � e B D 2cos � .

Θ22Φ

Figura 40: Ptolemeu aplicou o seu Teorema a um quadrilatero como o acima repre-sentado.

6.7 Conformidade e holomorfia

Esta seccao centra-se na investigacao das consequencias geometricas da exis-tencia de derivada de uma funcao complexa.

Considerando duas curvas de classe C 1, �1 e �2, que se intersectam numponto ´0, o angulo formado pelas duas curvas no ponto ´0 e o angulo formadopelos vectores tangentes as duas curvas no mesmo ponto. Por sua vez, o angulo deinclinacao de uma curva � num ponto ´0 2 � e o angulo formado pelo eixo dosxx (com a orientacao usual) e pelo vector tangente a curva no ponto ´0.

Examinemos a relacao entre o angulo formado por duas curvas que passamnum ponto ´0

16 e o angulo entre as suas imagens por uma funcao w D f .´/,analıtica num domınioD e satisfazendo f 0.´0/ 6D 0.

16Dizer que uma curva � passa num ponto ´0 e afirmar que ´0 2 � .

6.7 Conformidade e holomorfia 215

Consideremos um caminho

W t 2 Œa; b� 7! .t/D x.t/C iy.t / 2D � C :

Suponhamos que � D tr. / e de classe C 1. Como e bem conhecido, a tangente a� no ponto

´0 D .t0/ D x.t0/C iy.t0/

tem a direccao de 0.t0/ D x0.t0/C iy 0.t0/ :

De igual modo, para a curva transformada de � por meio de f , designemo-la porQ�, a derivada

Q 0.t0/ D f 0Œ .t0/� 0.t0/ (6.4)

da a direccao da tangente a Q� no ponto w0 D f .´0/, em que

Q .t/ D f . .t // :

Note-se que aqui se utilizou a regra da cadeia (Teorema 3.2), concluindo-se que Q�tambem e de classe C 1.

Se ˛1 e ˛2 sao os angulos de inclinacao em ´0 de duas curvas, �1 e �2,contidas em D e de classe C 1, e se ˇ1 e ˇ2 sao os angulos correspondentes para asimagens Q�1 e Q�2, entao, de acordo com (6.4), vem

arg Q 0.t0/ D arg f 0.´0/C arg 0.t0/ ; (6.5)

tendo-seˇ1 D ‰0 C ˛1 e ˇ2 D ‰0 C ˛2 ;

em que ‰0 D arg f 0.´0/. Portanto,

˛2 � ˛1 D ˇ2 �ˇ1 :

Assim, em valor absoluto e sentido, o angulo ˛2 � ˛1 de �1 para �2 e o anguloˇ2 � ˇ1 de Q�1 para Q�2 coincidem (veja-se a figura 41).

Convem notar que a expressao (6.5) so tem significado se 0.t0/ 6D 0, umavez que ja supusemos anteriormente f 0.´0/ 6D 0. Sendo 0.t0/ 6D 0 e f 0.´0/ 6D 0,vem automaticamente Q 0.t0/ 6D 0, tendo em conta (6.4). Por isso, e importanteconsiderarmos curvas de classe C 1 cuja equacao parametrica satisfaca 0.t / 6D 0,


x

y

z0

G1

G2

f

u

v

w0

G1G2

~~

Figura 41: O angulo das curvas �1 e �2 e das suas transformadas Q�1 e Q�2 pelafuncao f .

t 2 Œa; b�. Essas curvas sao designadas por curvas regulares.

Uma funcao f W D � C ! C diz-se conforme em ´0 2 D se preservar amedida dos angulos e o sentido para cada par de curvas regulares, contidas em D

e intersectando-se em ´0. Se f for conforme em cada ponto do domınio diz-seconforme nesse domınio.

Exemplo 6.1 A funcao identidade,

f .´/ D ´ ; ´ 2 C ;

e claramente conforme. Por outro lado, a funcao conjugacao complexa,

f .´/ D ´ ; ´ 2 C ;

nao e conforme, uma vez que nao preserva o sentido dos angulos.

O conceito de funcao conforme e um dos mais importantes na Analise Com-plexa, assumindo papel de relevo na Fısica, nomeadamente na resolucao de proble-mas de aerodinamica e electrostatica.

Com base na analise anterior, podemos enunciar o seguinte Teorema.

Teorema 6.8 (Conformidade e holomorfia) Em cada ponto ´ de um domınio on-de f e holomorfa e f 0.´/ 6D 0, a funcao f e conforme.


O recıproco deste Teorema e valido mediante certas condicoes de regulari-dade impostas a f (veja-se, por exemplo, [20]). Por isso, e usual convencionar-seque a expressao ”funcao conforme” equivale a ”funcao holomorfa com derivadanao nula”.

Um ponto crıtico de f e um ponto ´ do seu domınio tal que f 0.´/D 0. Porexemplo, ´D 0 e um ponto crıtico da funcao definida por f .´/D ´2 C 1, ´ 2 C.

De acordo com o Teorema 6.8, toda a funcao holomorfa num domınio D econforme em D, excepto nos pontos crıticos. Sendo assim, todas as funcoes apre-sentadas no capıtulo 5, por serem holomorfas nos correspondentes domınios, saoconformes nos pontos onde a derivada se nao anula.

Quando estudamos a conformidade de funcoes multıvocas devemos, em pri-meiro lugar, fixar um ramo e considerar o correspondente domınio de analiticidadeda funcao. Posteriormente, analisamos a existencia, ou nao, de pontos crıticos nessedomınio. Por exemplo, consideremos os ramos principais da funcao logaritmo e dafuncao raiz quadrada. De acordo com o Teorema 5.6, Log´ e analıtica em

D D Cnf´D xC iy 2 C W x � 0^ y D 0g ;

tendo-se

.Log ´/0 D1

´6D 0 ; ´ 2D :

Desta forma, Log´ e conforme em D. Atendendo a (5.23), a raiz quadrada e umafuncao analıtica em D, tendo-se

.p´/0 D

1

2p´

6D 0 ; ´ 2D :

Assim, tambem o ramo principal da raiz quadrada e conforme em D.

Se considerarmos uma funcao f , analıtica num domınio D e com derivadanao nula num ponto ´0 deD, sabemos a partida que f e conforme em ´0. Podemosconcluir igualmente que f e localmente bijectiva. O Lema que se segue traduz esteresultado e a sua demonstracao pode encontrar-se, por exemplo, em [20].

Lema 6.9 Seja f W D � C ! C uma funcao analıtica e ´0 2 D. Suponhamosque f 0.´0/ 6D 0. Nestas condicoes, f e localmente bijectiva, isto e, existe umavizinhanca U de ´0 e uma vizinhanca V de f .´0/ tal que f W U ! V e bijectiva.A sua inversa f �1 e analıtica em V e a sua derivada e dada por

d

dwf �1.w/ D

1

f 0.´/;


onde w D f .´/.

De acordo com o Lema, a inversa local nao so analıtica, como tambem con-forme, uma vez que a sua derivada se nao anula nos pontos de V . Contudo, chama-mos a atencao do leitor para o facto da bijectividade local nao implicar a bijectivi-dade global.

Utilizando o Lema anterior, provemos por um metodo alternativo que os ra-mos principais da funcao logaritmo e da funcao raiz quadrada sao conformes em

D D Cnf´D xC iy 2 C W x � 0^ y D 0g :

Analisemos os dois exemplos que se seguem.

Exemplo 6.2 Consideremos a funcao f .´/D ´2 definida em Cnf0g. Entao

f 0.´/ D 2´ 6D 0

em cada ponto de Cnf0g. O Teorema 6.8 estabelece que f e conforme em Cnf0g17

e o Lema 6.9 garante que f tem localmente uma inversa analıtica, que consiste,ao fim e ao cabo, num determinado ramo da funcao raiz quadrada. Contudo, fnao e bijectiva em Cnf0g, uma vez que, por exemplo, f .1/ D f .�1/. Assim, f ebijectiva apenas em certas vizinhancas de cada ponto de Cnf0g. Por exemplo, serestrita ao semi-plano aberto

S D f´ 2 C W Re´ > 0g ;

facilmente se constata que f e uma funcao bijectiva de S em D. A sua inversalocal e o ramo principal da funcao raiz quadrada, conforme em D.

Exemplo 6.3 Consideremos, agora, a funcao exponencial. Trata-se de uma funcaoconforme em C, uma vez que e analıtica em C e a sua derivada nunca se anula.Sendo periodica, a exponencial nao e bijectiva em C. Considerando a faixa

F D f´D xC iy 2 C W x 2 R ^ �� < y < �g ;

obtemos uma funcao bijectiva de F em D (veja-se o Teorema 5.4). A sua inversa econforme emD e corresponde exactamente ao ramo principal da funcao logaritmo.

17A conformidade de f sera estudada em pormenor no exemplo 6.5.


As transformacoes de Mobius introduzidas na seccao 6.1 sao transformacoesconformes bijectivas. Com efeito, seja T uma transformacao de Mobius,

T .´/ DaĆ b

cĆ d;

com a;b; c;d 2 C e ad � bc 6D 0. Se c D 0, entao a 6D 0 e d 6D 0, uma vez quead � bc 6D 0. Nestas condicoes,

T 0.´/ Da

d6D 0 :

Por seu lado, se c 6D 0, vem

T 0.´/ Dad � bc.cĆ d/2

6D 0 :

Sendo assim, uma transformacao de Mobius T nao tem pontos crıticos, pelo que econforme no seu domınio de analiticidade, ou seja, e conforme para ´ 6D �d=c (e´ 6D 1 quando a definimos em bC).

Como vimos, a inversao geometrica em relacao a circunferencia C de centro0 e raio 1 e dada por

IC .´/ D1

´:

Ora, IC .´/ resulta da composicao da funcao conjugacao com uma transformacaode Mobius (a inversao complexa). No caso geral, uma inversao geometrica emrelacao a uma circunferencia arbitraria K obtem-se como composicao da funcaoconjugacao com uma determinada transformacao de Mobius (veja-se o exercıcio6.15). Desta forma, a inversao geometrica nao e conforme, uma vez que preserva amedida de amplitude dos angulos, mas nao a sua orientacao.

Se considerarmos as transformacoes conformes que sao bijectivas em todo oseu domınio, obtemos interessantes propriedades.

Teorema 6.10 (Propriedades das transformacoes conformes bijectivas)

(a) Se f W A ! B e conforme e bijectiva, entao f �1 W B ! A tambeme conforme e bijectiva.

(b) Se f W A ! B e g W B ! C sao conformes e bijectivas, entaog ı f W A! C e conforme e bijectiva.


(c) O conjunto das transformacoes conformes e bijectivas, de um domı-nio D nele proprio, munido da composicao usual de funcoes, e umgrupo.

DEMONSTRAC AO:

(a) Sendo f bijectiva, f �1 existe e e bijectiva. Pelo Lema 6.9, f �1 eanalıtica, tendo-se

d

dwf �1.w/ D

1

f 0.´/;

onde w D f .´/. Logo, a derivada de f �1 nunca se anula, pelo quef �1 e conforme.

(b) Sendo f e g analıticas e bijectivas, entao g ı f tambem e analıtica ebijectiva. Ora, a derivada de g ı f em ´ 2 A e

g0.f .´//f 0.´/ 6D 0 :

Consequentemente, g ı f e conforme.

(c) Basta ter em conta as duas propriedades anteriores, o facto da funcaoidentidade ser conforme e o facto da composicao de funcoes ser as-sociativa. �

Reflectiremos, agora, sobre o Princıpio da Orientacao. As transformacoesde Mobius, sendo conformes, preservam a medida dos angulos e a sua orientacao.Intuitivamente, podemos dizer que a direita e esquerda sao preservadas.

Precisemos. A orientacao de uma circunferencia C e determinada por umterno ordenado de pontos ´1; ´2; ´3 de C . Diz-se que o ponto ´ nao pertencente aC esta a direita de C se

Im .´;´1; ´2; ´3/ < 0

e esta a esquerda de C se

Im .´;´1; ´2; ´3/ > 0 :

Ha que mostrar que so existem duas orientacoes possıveis, mais concretamente,verifiquemos que a distincao entre esquerda e direita e a mesma que a distincaoentre o semi-plano superior e inferior. Como a razao cruzada e invariante e como


as transformacoes de Mobius transformam ”circunferencias” em ”circunferencias”,basta considerar o caso de C ser o eixo real. Entao, de acordo com (6.1),

.´;´1; ´2; ´3/ DaĆ b

cĆ d

pode ser escrita com coeficientes reais, tendo-se

Im .´;´1; ´2; ´3/ Dad � bc

jcĆ d j2Im´ ;

cujo sinal so depende do sinal de ad � bc 6D 0, mostrando-se assim o pretendido.Note-se que

Im .´;´1; ´2; ´3/ D 0 , Im´D 0 , ´ 2 C :

Uma transformacao de Mobius T transforma a circunferencia C numa cir-cunferencia que orientamos pelo terno T .´1/;T .´2/;T .´3/. Pela invariancia darazao cruzada, a esquerda e direita de C e transformada na esquerda e direita deT .C /.

Exemplo 6.4 Consideremos a circunferencia C de centro 0 e raio 1, orientada nosentido directo. Assim, a orientacao de C pode ser caracterizada, por exemplo,pelo terno de pontos 1; i;�1. De acordo com (6.1), tem-se

T .´/ D .´;1; i;�1/ D´� 1Ć 1

i C 1

i � 1D �i

´� 1Ć 1

:

Em particular,

T .0/ D i e T .2/ D �1

3i ; (6.6)

pelo que Im .0; 1; i;�1/ > 0 e Im .2; 1; i;�1/ < 0. Concluımos, como seria deesperar, que 0 esta a esquerda e 2 a direita de C . Pensemos numa pequena formigaa percorrer a circunferencia C no sentido anti-horario. No seu movimento, essaformiga depara com o ponto 0 a sua esquerda e com o ponto 2 a sua direita. Equanto ao ponto do infinito? A formiga devera ”observa-lo” a sua direita. De facto,tem-se

T .1/ D lim´!1

T .´/ D �i ;

donde ImT .1/ < 0. Caso a formiga percorra a circunferencia C no sentido dosponteiros do relogio, esta encontrara a sua esquerda os pontos que anteriormenteencontrara a sua direita e vice-versa. Para termos uma confirmacao algebrica, bastarefazermos os calculos, invertendo o sentido da circunferencia, para, por exemplo,S.´/D .´;1;�1; i /. Ter-se-a obrigatoriamente ImS.0/ < 0 e ImS.2/ > 0.


x

y

i

-1 0 1 2

CT

u

v

i

-i

0 1-1�3 i

Figura 42: Comportamento da transformacao de Mobius T .

Centremos novamente a atencao na transformacao T . Ora, toda a transfor-macao de Mobius transforma ”circunferencias” em ”circunferencias”. Alem disso,T transforma os pontos 1; i;�1 da circunferencia C , respectivamente, nos pontos0;1;1. Desta forma, T tera que transformar C no eixo real (orientado no sentidousual). Alem disso, a esquerda e direita de C tambem sao preservadas. De facto,de (6.6) segue-se que o disco unitario aberto de centro 0 e raio 1, D.0;1/, e trans-formado no semi-plano superior aberto, enquanto que CnD.0;1/ e transformadono semi-plano inferior aberto (cfr. figura 42).

Se duas circunferencias forem tangentes, podemos comparar as suas orien-tacoes. Com efeito, considerando a transformacao de Mobius que leva este pontode tangencia para 1, as circunferencias transformam-se em rectas paralelas. Ora,destas sabemos comparar a direccao.

Geometricamente, a orientacao de ´1; ´2; ´3 pode ser representada por umaseta de ´1 para ´2 e ´3: A escolha usual da direita e esquerda no sistema de coor-denadas deve concordar com esta orientacao.

Quando consideramos o plano complexo como parte do plano estendido, po-demos definir uma orientacao positiva para todas as circunferencias finitas impondoque o 1 esteja a direita das circunferencias orientadas. Os pontos a esquerdaconsideram-se o interior da circunferencia e os pontos a direita consideram-se oexterior da circunferencia. Passando para a representacao na esfera de Riemann,ficamos habilitados a conhecer o interior e exterior de uma circunferencia.


Em (6.5), analisamos como se comportam os argumentos perante uma funcaoconforme. Vejamos, agora, o que acontece com os modulos. Sendo

f 0.´0/ D lim�´!0

�w

�´;

com �w D f .´0 C�´/� f .´0/ e �´D ´� ´0, vem

jf 0.´0/j D lim�´!0

j�wjj�´j

'j�wjj�´j

; (6.7)

para �´ suficientemente pequeno. Portanto, a funcao aumenta (ou diminui) oscomprimentos dos pequenos segmentos por um factor jf 0.´0/j.

Desta forma, se f e analıtica num ponto ´0 tal que f 0.´0/ 6D 0, entao f econforme em ´0, rodando os vectores tangentes as curvas que passam em ´0 se-gundo um angulo � D arg f 0.´0/ e aumentando (ou diminuindo) o comprimentodesses vectores por um factor r D jf 0.´0/j > 0.

A imagem de cada figura ”pequena” na proximidade do ponto em questao e”conforme” a figura original no sentido em que as duas figuras tem aproximada-mente a mesma forma. Figuras ”grandes” podem ser transformadas em figuras semqualquer semelhanca com as originais.

Recordamos que duas curvas dizem-se ortogonais num ponto se formaremnesse ponto um angulo de 90 graus, sendo este angulo definido como o anguloentre os vectores tangentes as curvas no ponto. As funcoes conformes preservam,como vimos, angulos. Logo, transformam curvas ortogonais em curvas ortogonais.Em particular, se f e analıtica e f 0.´0/ 6D 0 no ponto ´0 do domınio, a funcao

f .xC iy/ D uC iv

transforma as curvas do plano–´ definidas por

u.x;y/ D c1 e v.x;y/ D c2 ; (6.8)

que se intersectam nesse ponto, nas rectas uD c1 e v D c2 no plano–w. Como asrectas obtidas sao ortogonais, as curvas em (6.8) terao que ser ortogonais no ponto´0.

Analisemos em pormenor um exemplo concreto.


Exemplo 6.5 Consideremos a funcao

f .´/ D ´2 D x2 � y2 C 2xyi ; ´D xC iy 2 C :

Sabemos que f e conforme em Cnf0g. Contudo, f nao e conforme no pontocrıtico ´ D 0. Por exemplo, o semi-eixo real positivo e o semi-eixo imaginariopositivo formam entre si um angulo de amplitude �=2 e sao transformadas por f ,respectivamente, nos semi-eixos reais positivo e negativo, que formam entre si umangulo de amplitude � (vide figura 28).

Investiguemos a conformidade de f no ponto 1C i 2 Cnf0g. A recta y D x

e transformada na recta uD 0 e a recta x D 1 na parabola definida por

u D 1� y2 ^ v D 2y ; (6.9)

ou ainda, definida por v2 D �4.u� 1/.Se o sentido do crescimento de y e tomado como positivo nas duas rectas no

plano–´, o angulo da primeira para a segunda e �=4. Quando y > 0 e y cresce aolongo da recta y D x, v cresce ao longo de uD 0, pois v D 2y2 e assim, o sentidopositivo da primeira imagem e para cima. O mesmo ocorre com a parabola, comopodemos concluir da segunda das equacoes em (6.9), v D 2y.

O ponto 2i e a imagem de 1C i . Neste ponto, o angulo da primeira curvapara a segunda e de �=4 (veja-se a figura 43). No ponto ´ D 1C i , a derivada dafuncao f e

f 0.1C i / D .2´/´D1Ci D 2C 2i ;

cujo modulo e 2p2 e o argumento e �=4. Este e o angulo de que a tangente a cada

curva deve girar por intermedio da funcao f e 2p2 da o acrescimo das distancias.

As curvas de nıvel u D u0 e v D v0 sao hiperboles equilateras, poisu D x2 � y2 e v D 2xy. As respectivas assımptotas sao as bissectrizes dos qua-drantes pares e ımpares ou entao os eixos coordenados (veja-se a figura 44). Sao,portanto, ortogonais.

Por outro lado, a imagem de x D x0 por f e dada por

v2 D 4x20.x

20 �u/

e a de y D y0 porv2 D 4y2

0.y20 C u/ :

Ambas as equacoes representam parabolas com foco na origem, cujos eixos estaodirigidos nas direccoes negativa e positiva, respectivamente, do eixo dos uu. Estascurvas sao tambem ortogonais (cfr. figura 45), uma vez que as rectas x D x0 ey D y0 o sao.


x

y

1+i

Π

1

�4f

u

v

1

2i

Π�4

Figura 43: Figura ilustrativa da conformidade de f no ponto 1C i .

Terminamos a seccao com mais alguns exemplos.

Exemplo 6.6 Determinemos uma transformacao de Mobius T que leve as circun-ferencias j´ � 1j D 1 e j´ � 2j D 2 do plano�´, respectivamente, para as rectasRe w D 2 e Re w D 1 do plano�w. As imagens das duas circunferencias sao rectas,pelo que ambas passam pelo unico ponto em que o denominador da transformacaoT se anula (vide exercıcio 6.2). Como existe apenas um ponto comum as duascircunferencias, a saber ´ D 0, o anulamento verifica-se nesse ponto. Logo, atransformacao tem a forma

T .´/ Da´C b

´;

para a;b 2 C. Sabemos ainda que T .2/ D aC b=2 tem parte real 2, enquanto queT .4/D aC b=4 tem parte real 1. Calculando as imagens por T de 1˙ i , as quaisestao em Re w D 2, conclui-se mediante alguns calculos que

T .´/ D4

´:

Exemplo 6.7 Consideremos a transformacao de Mobius T do exemplo anterior ea famılia de circunferencias

jw � wk j D 1=2 ;

com wk D 3=2C ki , k 2 Z. Se representarmos geometricamente algumas dascircunferencias desta famılia, verificamos que cada circunferencia e tangente a ou-tras duas da mesma famılia. Pretendemos determinar as figuras do plano�´ que setransformam por meio de T nas circunferencias jw � wkj D 1=2. Verificamos que


x

y

Figura 44: Figura ilustrativa do exemplo 6.5 : plano�´.

u

v

Figura 45: Figura ilustrativa do exemplo 6.5 : plano�w.

6.8 Teoria do potencial 227

as circunferencias desta famılia sao todas tangentes as rectas Re w D 1 e Re w D 2.Do exemplo anterior, sabemos que estas rectas sao imagem, respectivamente, dascircunferencias j´� 2j D 2 e j´� 1j D 1. A transformacao T e involutiva (ou seja,T 2 D id ), pelo que T coincide com a sua inversa, que e assim uma transformacaode Mobius. Logo, as figuras do plano�´ que se transformam nas ditas circun-ferencias sao rectas ou circunferencias (cfr. exercıcio 6.2). Mas, as rectas so sepodem transformar por T em circunferencias, quando as ultimas passam pela ori-gem. Assim, restam as circunferencias para solucao do problema.

Exemplo 6.8 Seja T uma transformacao de Mobius, C uma circunferencia e Luma recta que passa pelo centro de C . Suponhamos que T .C / e T .L/ sao, res-pectivamente, uma circunferencia e uma recta. Poder-se-a afirmar que T .L/ e odiametro (prolongado) de T .C /? Como L passa pelo centro de C , intersecta C se-gundo angulos rectos e um troco adequado de L e o diametro de C . Sendo T umatransformacao de Mobius, T e conforme. Logo, T .L/ intersecta T .C / segundoangulos rectos. Como T .L/ e uma recta e T .C / uma circunferencia, a resposta aoproblema e afirmativa.

6.8 Teoria do potencial

Consideremos a funcao

f .´/ D ´e´ ; ´ 2 C :

Entao,

u.x;y/ D x ex cos y � y ex sin y I

v.x;y/ D y ex cos y C x ex sin y :

Verifica-se facilmente que estas funcoes satisfazem a Equacao de Laplace, sendoportanto funcoes harmonicas. As rectas uD c (c constante) e v D k (k constante)sao ortogonais no plano�w e por conformidade as pre-imagens destas rectas,

u.x;y/ D c e v.x;y/ D k ;

sao ortogonais no plano�´.

Na teoria do potencial, se u e v sao harmonicas, as curvas u.x;y/D c, comc constante, dizem-se linhas equipotenciais, enquanto que as curvas ortogonaisv.x;y/ D k, com k constante, chamam-se linhas de corrente. O papel das linhas


de corrente e das linhas equipotenciais pode ser trocado, ou seja, noutra situacao aslinhas de corrente podem passar a linhas equipotenciais e vice-versa.

No caso do exemplo anterior,

u.x;y/ D x ex cos y � y ex sin y D c

da-nos as linhas equipotenciais e

v.x;y/ D y ex cos yC x ex sin y D k

as linhas de corrente, ou vice-versa.

E sabido da mecanica dos fluidos que o escoamento irrotacional (sem re-moınhos) de um fluido incompressıvel satisfaz a Equacao de Laplace. No estudo doescoamento de um fluido descrito pela Equacao de Laplace, as linhas de correnterepresentam os caminhos segundo os quais o lıquido escorre. Se conhecermos afuncao u definida num certo domınio D e desejarmos conhecer as linhas de cor-rente caracterizadas pela funcao v, podemos recorrer a integracao complexa (videexemplo 3.8).

Analisemos alguns exemplos de aplicacao da teoria do potencial, em que econveniente utilizar o Mathematica na caracterizacao das linhas equipotenciais ede corrente.

Exemplos 6.9

(a) No caso de f .´/ D ´, que representa um campo electrico uniforme,as linhas equipotenciais sao rectas paralelas ao eixo imaginario e aslinhas de corrente sao rectas paralelas ao eixo real, ou vice-versa.

(b) No caso de f .´/ D i log ´; que representa um campo electrico deuma distribuicao linear uniforme de carga ao longo de uma recta per-pendicular ao plano complexo passando pela origem, as linhas decorrente sao circunferencias centradas na origem

1

2log.x2 C y2/ D k :

As linhas equipotenciais sao rectas que passam pela origem

arc tg��y

x

�D c :

As circunferencias podem ser as linhas de corrente de um fluido emescoamento e as rectas pela origem as respectivas linhas equipoten-ciais.


(c) Seja a funcao

f .´/ D log´� 1Ć 1

;

que representa o campo electrico criado por duas distribuicoes linea-res uniformes de carga electrica de igual modulo e sinais contrariosao longo de rectas perpendiculares ao plano complexo, passando umapelo ponto .1; 0/ e outra pelo ponto .�1;0/. As linhas de corrente saodadas por

Im log´� 1Ć 1

D arc tgy

x � 1� arc tg

y

xC 1D k ;

pelo que consistem na famılia de circunferencias que passam pelospontos .�1;0/ e .1; 0/. As linhas equipotenciais sao dadas por

Re log´� 1Ć 1

D1

2log

.x � 1/2 C y2

.xC 1/2 C y2D c ;

ou seja, sao a famılia de circunferencias que cruzam ortogonalmenteem cada ponto as circunferencias das linhas de corrente.

(d) Seja a funcao

f .´/ D1

´;

que representa o campo electrico de uma distribuicao dipolar de cargaao longo de uma recta perpendicular ao plano complexo passandopela origem e momento dirigido paralelamente ao eixo real. As li-nhas equipotenciais sao dadas por

x

x2 C y2D c ;

ou seja, sao a famılia de circunferencias que passam pela origem esao tangentes ao eixo imaginario. As linhas de corrente sao

�yx2 C y2

D k ;

ou seja, consistem na famılia de circunferencias que passam pela ori-gem e sao tangentes ao eixo real. As duas famılias de circunferenciassao ortogonais.


-2 -1

1

Figura 46: Transformacao de Joukowski do perfil de asa aplicada a uma circun-ferencia que passa no ponto �1 e que contem o ponto C1 no seu interior.

As transformacoes conformes desempenharam um papel importante no de-senho de avioes nos primordios da aviacao, e numa forma mais sofisticada aindadesempenham. Em particular, a transformacao

J.´/ D ´C1

´(6.10)

chamada transformacao de Joukowski do perfil de asa, transforma uma circun-ferencia que passa no ponto �1 e contem o ponto C1 no seu interior na formade uma lagrima curvada semelhante a seccao de uma asa de aviao (veja-se a fi-gura 46). A transformacao de Joukowski transforma o referido disco num perfil deasa de aviao e da-nos o escoamento em torno da asa do aviao. A partir daqui pode-mos calcular as propriedades do escoamento e a forca ascencional comunicada aoaviao.

E facil resolver a Equacao de Laplace e encontrar as linhas de corrente parao escoamento em torno de um disco de um fluido incompressıvel, nao-viscoso,em regime estacionario (isto e, a velocidade do fluido em cada ponto nao varia deinstante para instante). Para tal, consideremos a transformacao de Joukowski

J.´/ D ´C1

´D uC iv :

Tem-se

u.x;y/ D x

�1C

1

x2 C y2

�e v.x;y/ D y

�1�

1

x2 C y2

�:


A imagem do ponto .1; 0/ e o ponto .2; 0/ e a de .�1;0/ e o ponto .�2;0/. Consi-deremos, no plano�w, a recta v D 0. Entao, no plano�´, vem

y D 0 ou x2 C y2 D 1 :

Conclui-se facilmente que a circunferencia unitaria e pre-imagem do segmentoŒ�2;2�, enquanto que o raio Œ1;C1Œ e pre-imagem do raio Œ2;C1Œ e o raio� � 1;�1� e pre-imagem de � � 1;�2�. Podemos dizer mais: quer o exteriorquer o interior da circunferencia unitaria sao pre-imagem do complementar em C

do segmento Œ�2;2�. Basta notar que as circunferencias

f´ 2 C W j´j D rg ; r 6D 1 ;

sao transformadas nas elipses definidas pela equacao

u2

.r C 1=r/2C

v2

.r � 1=r/2D 1 :

Outra forma de provar o pretendido consiste em considerar a transformacaow D J.´/ na forma implıcita. Facamos

w � 2 D ´� 2C1

´D

´2 � 2Ć 1

´D

.´� 1/2

Í

w C 2 D Ć 2C1

´D

´2 C 2Ć 1

´D

.Ć 1/2

´:

Tomando o quociente, obtemos a expressao

w � 2w C 2

D�´� 1Ć 1

�2

: (6.11)

A inversa de

T .w/ Dw � 2w C 2

e

S3.´/ D2C 2´

1� ´:

Consequentemente, se usarmos a notacao

S1.´/ D´� 1Ć 1

e S2.´/ D ´2 ;

podemos exprimir J na forma:

J.´/ D .S3 ıS2 ı S1/.´/ :


J

S1 S3

S2

Figura 47: Estudo do comportamento de J a partir das funcoes S1, S2 e S3.


O comportamento da funcao J e, entao, caracterizado pelo comportamentodas funcoes S1, S2 e S3. As funcoes S1 e S3 sao transformacoes de Mobius e,como tal, sabemos que transformam ”circunferencias” em circunferencias” e quepreservam a direita e a esquerda. Por outro lado, o leitor ja teve oportunidade deestudar propriedades geometricas elementares da funcao S2.

Fixemos a atencao na transformacao de MobiusS1. Ora, S1 aplica o domınioj´j > 1 no semi-plano aberto Re´ > 0. Os pontos

�i; 1; i; �1

sao transformados, respectivamente, nos pontos

�i; 0; i; 1 :

Em seguida, a funcao S2 aplica o semi-plano aberto no plano complexo,excepto o semi-eixo real negativo. Por sua vez, os pontos

�i; 0; i; 1


�1; 0; �1; 1 :

Por fim, a transformacao de Mobius S3 aplica o subconjunto anterior noplano complexo, excepto o segmento Œ�2;2�, como mostra a figura 47. Os pon-tos

�1; 0; �1; 1


0; 2; 0; �2 :

Deixa-se ao cuidado do leitor a determinacao das linhas de corrente

v.x;y/ D y

�1�

1

x2 C y2

�D k ;

com k um numero real arbitrario. Para determinar o campo das velocidades recorre--se a funcao u.x;y/ que da o potencial das velocidades. As derivadas parciais

@u

@x.x;y/ e

@u

@y.x;y/

dao as componentes da velocidade. Para maior desenvolvimento veja-se [14].



Exercıcio 6.1 Atendendo a que no plano complexo uma recta pode ser caracteri-zada por

f´ 2 C W j´� ´0j D j´� ´1jg

e uma circunferencia por

f´ 2 C W j´� ´0j D rg ;

em que ´0; ´1 2 C e r > 0 sao constantes, mostre que os dois casos se podemenglobar na representacao unica

˛ ´Ć c Ć c Ć ˇ D 0 ;

com ˛ e ˇ reais .˛ˇ < jcj2/ e sendo ˛ D 0 ou ˛ 6D 0 conforme se trate, respectiva-mente, de uma recta ou de uma circunferencia.

Exercıcio 6.2

(a) Verifique que a equacao

˛ ´Ć c Ć c Ćˇ D 0 .˛ e ˇ reais/

da lugar a outra do mesmo tipo por meio de uma transformacao deMobius:

T .´/ DmĆ n

pĆ q:

(b) Qual a interpretacao geometrica desta propriedade?

(c) Que concluir a respeito da figura transformada se a figura definidapela equacao dada contem o ponto �q=p ?

Exercıcio 6.3 Considere os conjuntos

C1 D f´ 2 C W jĆ 1j � 1g e C2 D f´ 2 C W j´� i j � 1g :

Determine a imagem deC1 \C2

por meio da transformacao de Mobius definida por

T .´/ DĆ 1

´� i:


Exercıcio 6.4 Seja T uma transformacao de Mobius, diferente da identidade. Co-mo ja foi observado, T tem um ou dois pontos fixos. Se T tem um unico ponto fixo(contando com a possibilidade deste ser 1), dizemos que T e parabolica.

(a) Mostre que se T e parabolica e ´0 e o seu ponto fixo, entao T podeescrever-se na forma

1

T .´/� ´0D

1

´� ´0C h .´0 6D 1/

ou na formaT .´/ D Ć h ;

caso o ponto fixo seja 1.

(b) Se T tem dois pontos fixos distintos, ´1 e ´2, mostre que T podeescrever-se na forma

T .´/� ´1

T .´/� ´2D k

´� ´1

´� ´2.´1; ´2 6D 1/

ouT .´/� ´1 D k.´� ´1/ ;

caso ´2 D 1.

Toda a transformacao de Mobius nas condicoes da alınea (b) toma a designacao dehiperbolica, se k > 0, elıptica, se k D ei˛ , com ˛ diferente de um multiplo de 2� ,ou loxodromica, se k D aei˛ , com a 6D 1 real e ˛ diferente de um multiplo de 2� .

Exercıcio 6.5 De acordo com as definicoes apresentadas no exercıcio anterior,mostre que:

(a) toda a transformacao de Mobius nao-singular pode ser apresentadana forma

T .´/ DaĆ b

cĆ d;

com ad � bc D 1;

(b) uma transformacao T nas condicoes da alınea anterior e

(b1) elıptica se aC d e real e jaC d j < 2;

(b2) hiperbolica se aC d e real e jaC d j > 2;

(b3) parabolica se aC d e real e jaC d j D 2;


(b4) loxodromica se aC d nao e real.

Exercıcio 6.6

(a) Represente no plano de Argand o conjunto

f´ 2 C W 4p2 < j´j � 32 ^ 0 � arg´ < �=4g :

(b) Indique qual a sua imagem por meio da relacao ´D w5.


w D ´2 :

(a) Indique o transformado do conjunto definido por

j´j < 1 ^ �� < arg ´ � 0 :

(b) Qual a forma dos conjuntos definidos por

a < Re w < b ^ c < Im w < d .a;b; c;d constantes/

no plano das imagens (ou plano�w) e quais os conjuntos do planodos objectos (ou plano�´) que neles se transformam?

Exercıcio 6.8

(a) Considerando a relacaow2 D ´ ;

determine as figuras do plano�´ que dao lugar as rectas Re w D a eIm w D b (a e b constantes).

(b) Qual o conjunto do plano�´ que se transforma na faixa plana1 < Re w < 2?

Exercıcio 6.9

(a) Estude a funcao definida por

w D2

p´

� 1 ;

indicando, em particular, qual a figura em que se transforma a para-bola de equacao y2 D 4.1� x/ do plano�´.


(b) Observe que a funcao dada resulta da composicao de

w D2

!� 1 D

2�!!

; com ! Dp´ ;

e se pode estudar, portanto, a partir do exercıcio 6.8 e da transfor-macao de Mobius.

Exercıcio 6.10 Determine a imagem do conjunto

f´ 2 C W j´j < 1 ^ Re ´ > 0g

por meio da funcao

w D�´� 1Ć 1

�2

;

a qual se obtem compondo w D �2 com � D .´� 1/=.Ć 1/.

Exercıcio 6.11

(a) Mostre que a funcao

w DĆ 1=´

2

transforma circunferencias j´j D r em elipses homofocais e rectasarg´D ˛ em hiperboles tambem com os mesmos focos.

(b) Qual a imagem de j´j D 1?

Sugestao: Escrevendo ´ na forma ´D � ei� e w na forma w D uC iv, obtenha

2u D��C

1

�

�cos� e 2v D

��

1

�

�sin� ;

deduzindo daqui o que se pretende.

Exercıcio 6.12

(a) Mostre que a funcao

w D .4C 2i/´� .3C 3i/

transforma rectas em rectas e circunferencias em circunferencias.

(b) Generalize o resultado para

w D aĆ b ;

com a;b 2 C, a 6D 0.


Exercıcio 6.13 Verifique que a funcao

w DĆ i

iĆ 1

transforma a circunferencia .Re ´/2 C .Im ´/2 D 1 na recta Im w D 0:

Exercıcio 6.14 Considere a inversao geometrica

w D1

´:

Utilize o resultado obtido no exercıcio 6.1 para mostrar que:

(a) a inversao apresentada transforma rectas e circunferencias em rectase circunferencias;

(b) a figura transformada e uma recta ou uma circunferencia conforme afigura dada passe ou nao pela origem;

(c) a figura transformada passa ou nao pela origem conforme a figuradada seja uma recta ou uma circunferencia.

Exercıcio 6.15 (Inversao geometrica numa circunferencia K ) Considerandouma circunferencia K de centro q e raio R, a relacao

w � q DR2

´� qequivale a

arg.w � q/ D arg.´� q/ e jw � qjj´� qj D R2 ;

pelo que faz corresponder a cada ponto ´ um ponto w D Q alinhado com ´ e com ocentro q da circunferencia e tal que

jq � ´j jq � wj D R2 :

Tal transformacao recebe o nome de inversao geometrica emK (veja-se a figura 48).A inversao w D 1=´ considerada no exercıcio anterior e, pois, a inversao na circun-ferencia de centro 0 e raio 1.

(a) Verifique que

˛ ´Ć c Ć c Ćˇ D 0 .˛ e ˇ reais e ˛ 6D 0/

equivale aĆ c

˛

Ć c

˛D

c c � ˛ ˇ˛2

:


q

K

R

~z1

z1

R2�Ρ

Ρ

z2=z2~

Figura 48: Inversao geometrica numa circunferencia K de centro q e raioR. Nesteexemplo, � D j´1 � qj < R e j´2 � qj D R.

(b) Conclua qual o centro e o raio da circunferencia representada pelaequacao dada.

(c) Usando o resultado anterior, mostre que a inversao geometrica emrelacao a esta circunferencia se pode traduzir por

˛wĆ cw C c Ć ˇ D 0 ;

ou seja, por

w D�c ´� ˇ˛ Ć c

:

Exercıcio 6.16 Para cada uma das imagens da figura 49, mostre que ´ e Q saoinversos em relacao a circunferenciaK de centro q e raioR. As construcoes repre-sentadas em cada alınea sugerem o metodo de resolucao a utilizar.

Exercıcio 6.17 Em 1864, o frances Peaucellier causou sensacao com a descobertade um engenho simples, conhecido por inversor de Peaucellier e que transformamovimento linear (digamos de um pistao) em movimento circular (de uma roda).A figura 50 ilustra o mecanismo, constituıdo por 6 hastes, 2 de comprimento l e 4de comprimento r; articuladas nos nos pretos. Seja K a circunferencia de centro 0e raio

pl2 � r2: Mostre que Q e o inverso de ´ relativamente a K; utilizando como

auxiliar a circunferencia a tracejado na figura 50.


q

K

HaL ~z

z

q

K

HbL ~z

z

q

K

HcL ~z

z

ΘΘ

Figura 49: Figura auxiliar do exercıcio 6.16.

0

l

l

r

r

rz

~z

K

Figura 50: Figura auxiliar dos exercıcios 6.17 e 6.18.


Exercıcio 6.18 Construa um inversor de Peaucellier (por exemplo, usando carto-lina rıgida para as hastes e pins para as articulacoes) e utilize-o para verificar aspropriedades da inversao. Em particular, tente mover ´ ao longo de uma recta.

Exercıcio 6.19

(a) Determine a transformacao de Mobius T que aplica os pontos �1, 0,1, respectivamente, em i , �1, �i .

(b) Indique o transformado do semi-plano superior Im´ > 0 por inter-medio de T .

Exercıcio 6.20 Mostre que a funcao co-seno,

´ 7! cos ´ ;

transforma:

(a) rectas paralelas ao eixo real em elipses;

(b) rectas paralelas ao eixo imaginario em hiperboles;

(c) conclua que as elipses sao ortogonais em relacao as hiperboles obti-das. Como justifica este facto geometrico?

Exercıcio 6.21 Determine as equacoes parametricas das imagens das rectas y D x

e y D �x pela transformacao de Joukowski

J.´/ D ´C1

´:

6.10 Laboratorio 6

Sao os seguintes os objectivos deste Laboratorio de Mathematica.

1) Determinacao de transformacoes satisfazendo certas condicoes.

2) Calculo e representacao de temperaturas de equilıbrio bidimensio-nais.

3) Calculo e representacao grafica de funcoes de corrente para fluidosincompressıveis a duas dimensoes.


Transformacoes de Mobius

Determinemos a transformacao de Mobius que aplica 0;1 e 2, respectiva-mente, em �1;�i e 1. Como sabemos, a transformacao de Mobius que aplica trespontos distintos ´1; ´2 e ´3 do plano�´ nos pontos 0;1 e 1 do plano�w tem aforma

In[1]:= Clear@"Global`*"D;LFT3@z_, z1_, z2_, z3_D :=Hz - z1L * Hz2 - z3L � HHz - z3L * Hz2 - z1LL;

Usamos esta funcao e o comando Solve[] para resolver o nosso problema:

In[3]:= Simplify@Solve@LFT3@w, -1, -I, 1D == LFT3@z, 0, 1, 2D, wDD

Out[3]= 99w ®ä HH-1 - äL + zL��H-1 + äL + z

==Suponhamos, agora, que o ponto 2 e transformado no ponto do infinito do plano�w.A determinacao da transformacao envolve dois passos. Primeiro, requeremos queo ponto 2 seja transformado num ponto arbitrario a:

In[4]:= wa = Simplify@Solve@LFT3@w, -1, -I, aD == LFT3@z, 0, 1, 2D, wDD

Out[4]= 99w ®a H2 - H2 - äL zL - ä H-2 + zL

��-2 ä + a H-2 + zL - H1 - 2 äL z ==

O valor da solucao w da equacao anterior e (retiramos as chavetas):

In[5]:= w = w �. wa@@1DDOut[5]=

a H2 - H2 - äL zL - ä H-2 + zL��-2 ä + a H-2 + zL - H1 - 2 äL z

e o limite de w quando a tende para infinito e:

In[6]:= Limit@w, a ® ComplexInfinity DOut[6]=

2 - H2 - äL z��

-2 + z


Temperaturas de equilıbrio

Consideremos a placa semi-infinita coincidente com o semi-plano superioraberto. A sua temperatura e zero ao longo de toda a fronteira (eixo real), excepto nosegmento �1� x � 1, onde a temperatura e 1. A funcao que descreve a temperaturadessa placa satisfaz a Equacao de Laplace sujeita as mencionadas condicoes defronteira. A transformacao

w D Log´� 1´C 1

aplica o semi-plano superior aberto do plano�´ na faixa infinita do plano�w0 < v < � . O segmento real �1 < x < 1 e transformado na recta v D � doplano�w. As semi-rectas do eixo real � � 1;�1Œ e �1;C1Œ sao transformadas,respectivamente, nas semi-rectas reais �0;C1Œ e �� 1; 0Œ. A temperatura T .u;v/satisfaz a Equacao de Laplace sujeita as condicoes de fronteira T .u;0/ D 0,T .u;�/ D 1. Conclui-se facilmente que T .u;v/ D cv D v=� . Substituindo aparte imaginaria de w nesta expressao, obtemos a temperatura no plano�´,

Im�1

�Log

´� 1´C 1

�:

In[7]:= x �: Im@xD = 0; y �: Im@yD = 0;

v = Im@Log@Hz - 1L � Hz + 1L �. z ® x + I * yDD;u = Re@Log@Hz - 1L � Hz + 1L �. z ® x + I * yDD;T = v � Pi; ContourPlot @T, 8x, -3, 3<,8y, 0.001, 3<, AspectRatio ® AutomaticD

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Out[10]= � ContourGraphics �


Na figura, usa-se o comando ContourPlot[] para representar a temperatura noconjunto

�3 � x � 3 I 0 < y � 3 :

Os contornos da figura representam as curvas isotermicas, ou seja, de temperaturaconstante. Estas curvas tem por imagem no plano�w rectas paralelas ao eixo dosuu.

Escoamento de um fuido. Fluxo num ”corner”

Consideremos o escoamento de um fluido nao viscoso e incompressıvel navizinhanca de um ”corner” representado pelo primeiro quadrante (fechado). Asfronteiras do ”corner” sao rıgidas, o que fisicamente significa que a velocidade dofluido e tangente a fronteira.

Determinemos a funcao corrente .x;y/, ou seja, aquela que determina aslinhas de corrente

.x;y/ D k :

Pela transformacao w D ´2, o primeiro quadrante do plano�´ e transformado nosemi-plano superior do plano�w. Neste conjunto, a solucao obtem-se trivialmente:

.u;v/ D v D Im w D Im ´2 D 2xy :

O fluxo no ”corner” segue as curvas de nıvel dessa funcao,

.u;v/ D 2xy D k :

Estas curvas podem ser tracadas usando novamente o comando ContourPlot[],mas podemos ter uma visao alternativa examinando o campo do gradiente da funcaopotencial, dado em cada ponto pelo vector cujas componentes sao as suas derivadasparciais. Este campo vectorial e tangente as linhas de corrente e ortogonal as linhasequipotenciais. Usamos o comando

PlotHamiltonianField[];

obtendo-se como resultado a figura que se segue. Alem de indicar a direccao dofluxo, a grandeza de cada seta tambem sugere a grandeza da velocidade. Note-seque o fluxo e estacionario no vertice do canto inferior esquerdo da figura, que porisso se chama ponto de estagnacao.


In[11]:= Needs@"Graphics`PlotField` "D;Graphics`PlotField`PlotHamiltonianField @2 * x * y, 8x, 0, 2<, 8y, 0, 2<D


Escoamento de um fluido em torno de um cilindro indefinido orientadoperpendicularmente

Pela transformacao de Joukowski

w D ´C1

´;

o do disco D.0;1/ e aplicado em todo o plano�w, bem como o dicoD.1; 1/. Doponto de vista fısico, estes dois discos correspondem a problemas distintos.

Consideremos o discoD.0;1/. A transformacao e analıtica numa vizinhancada origem, excepto a origem, a qual corresponde a uma fonte de manancial de fluidoe, em simultaneo, ao respectivo escoadouro. Uma batedeira com duas helices, querodam em sentidos opostos, produz o efeito representado, sendo o disco a seccao docopo da batedeira. Quanto ao discoD.1; 1/, obtemos o escoamento de um fluidoincompressıvel, em torno de um cilindro indefinido orientado perpendicularmente.


In[13]:= Needs@"Graphics`ImplicitPlot` "D;AA = ImplicitPlot @8y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � .0,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � .2,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � .4,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � .6,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � .8,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � 1.0,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � 1.2,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � -.2,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � -.4,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � -.6,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � -.8,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � -1.0,

y H1 - 1 � Hx^2 + y^2LL � -1.2<, 8x, -2, 2<,Axes -> False, DisplayFunction ® IdentityD;

fluid = Show@AA, DisplayFunction ®

$DisplayFunction D


Afirmo agora que o integralR

f .x/dx tem um unico valormesmo que tomados diferentes caminhos se f ... nao se tornarinfinita no espaco compreendido entre os dois caminhos. Istoe um Teorema maravilhoso cuja prova ... darei numa ocasiaoconveniente.

Karl Gauss

Capítulo 7Integracao no Campo Complexo

O conceito de integral de caminho desempenha um papel de especial relevono estudo das funcoes complexas de variavel complexa.

Recorrendo a integracao no campo complexo, sao varias as propriedadesdas funcoes analıticas cuja demonstracao se torna simples e expedita. Referimosduas delas particularmente importantes: a continuidade da derivada de uma funcaoanalıtica e a existencia das suas derivadas de ordem superior.

7.1 Integral de uma funcao complexa de variavel real

O conceito de integral de uma funcao complexa definida num intervalo reale uma generalizacao imediata do integral real.

Seja

g.t/ D u.t/C iv.t / ; t 2 Œa; b� ;

uma funcao contınua no intervalo Œa; b�. Define-se o integral de g ao longo de Œa; b�como sendo o numero complexo

Z b

a

g.t/dt DZ b

a

u.t/dt C i

Z b

a

v.t/dt : (7.1)

Sendo g contınua, tambem u e v o sao e, portanto, o integral definido em (7.1)existe e e finito. Recorde-se que toda a funcao real de variavel real contınua numintervalo fechado e limitado de R e integravel nesse intervalo.

247

248 CAPITULO 7: Integracao no Campo Complexo

Exemplo 7.1 Ilustremos a definicao (7.1) com um exemplo. Tem-se

Z 1

0

.1� i t /2 dt DZ 1

0

.1� t2/dt C i

Z 1

0

.�2t/dt

D2

3� i :

Como sucede no estudo do integral de funcoes reais de variavel real, podemostambem considerar o caso da funcao g ser seccionalmente contınua em

Œa; b� � R :

Para tal, supomos que existe uma particao do intervalo Œa; b�,

a D t0 < t1 < � � � < tk�1 < tk D b ;

e que existem funcoes gn contınuas em Œtn; tnC1� tais que

g.t/ D gn.t / ; t 2�tn; tnC1Œ ;

com n D 0;1; : : : ; k � 1. Desta forma, g e contınua em Œa; b�, excepto possivel-mente num numero finito de pontos desse intervalo. Note-se que g pode nem estardefinida nesses pontos. O integral da funcao g e, entao, definido por

Z b

a

g.t/dt Dk�1X

nD0

Z tnC1

tn

gn.t /dt : (7.2)

O integral apresentado nesta seccao goza de muitas das propriedades do in-tegral real. Por exemplo, se c designar uma constante complexa, tem-se

Z b

a

c g.t/dt D c

Z b

a

g.t/dt : (7.3)

Se g1 e g2 forem funcoes contınuas (ou seccionalmente contınuas) em Œa; b�; entaoe facil verificar que

Z b

a

.g1.t /C g2.t //dt DZ b

a

g1.t /dt CZ b

a

g2.t /dt : (7.4)

E tambem trivial verificar que

Z b

a

g.t/dt DZ b

a

g.t/dt : (7.5)

7.1 Integral de uma funcao complexa de variavel real 249

Alem disso, de (7.1) resulta que

ReZ b

a

g.t/dt DZ b

a

Re g.t/dt I

ImZ b

a

g.t/dt DZ b

a

Im g.t/dt :

(7.6)

Vamos estabelecer outra propriedade basica do integral. SejaZ b

a

g.t/dt D r0 ei�0 ; r0 > 0:

Entao

r0 D e�i�0

Z b

a

g.t/dt DZ b

a

e�i�0g.t/dt ;

pelo que

r0 D ReZ b

a

e�i�0g.t/dt DZ b

a

Re Œe�i�0g.t/�dt : (7.7)

Por outro lado, atendendo a que Re ´ � j´j, vemZ b

a

Re Œe�i�0g.t/�dt �Z b

a

je�i�0g.t/jdt : (7.8)

Como je�i�0 j D 1; de (7.7) e (7.8) decorre queˇˇˇ

Z b

a

g.t/dt

ˇˇˇ �

Z b

a

jg.t/jdt : (7.9)

Exemplo 7.2 Tem-seZ 2�

0

eit dt DZ 2�

0

cos t dt C i

Z 2�

0

sin t dt

D Œsin t �2�0 C i Œ�cos t �2�

0

D 0 :

Por outro lado, Z 2�

0

jeit jdt DZ 2�

0

1dt D 2� :

Desta forma, ˇˇZ 2�

0

eit dt

ˇˇ D 0 � 2� D

Z 2�

0

jeit jdt :


7.2 Integral de caminho

Enquanto que os integrais de funcoes de variavel real se definem em interva-los, os de funcoes de variavel complexa tomam-se sobre caminhos diferenciaveisou diferenciaveis por trocos.

Introduzimos, de seguida, o conceito de integral curvilıneo ou integral decaminho de uma funcao complexa de variavel complexa.

O integral complexo pode ser definido mediante um processo analogo aoutilizado no caso real (atraves do limite de uma soma de Riemann). Para tal de-senvolvimento veja-se [29]. Alternativamente, podemos supor a familiaridade doleitor com a integracao real e evitar a repeticao das provas de existencia que saoessencialmente as mesmas da Analise Real. E este o procedimento que adoptamos.

Sempre que considerarmos um integral curvilıneo sobre um caminho su-poremos tacitamente que e seccionalmente de classe C 1, isto e, suporemos queexiste uma particao do intervalo Œa; b�,

a D t0 < t1 < � � � < tk�1 < tk D b ;

tal que jŒtn;tnC1�, n D 0;1; : : : ; k � 1, coincide com uma funcao com derivadacontınua em Œtn; tnC1�. Note-se que, nos pontos tn da particao, 0 pode nao existir,pelo que 0 e seccionalmente contınua em Œa; b�.

Seja, entao, um caminho seccionalmente de classe C 1,

.t/ D x.t/C iy.t / ; t 2 Œa; b� :

Consideremos uma funcao contınua f W D � C ! C, tal que tr. / � D. Entao afuncao

.f ı / 0 W t 7! f . .t // 0.t /

e seccionalmente contınua em Œa; b�. O integral de f ao longo do caminho e pordefinicao

Z

f .´/d´ DZ b

a

f . .t // 0.t /dt : (7.10)

Dadas as hipoteses sobre f e , o integral existe e e finito. Observe-se que o inte-gral no segundo membro de (7.10) e, de facto, o integral de uma funcao complexa

7.2 Integral de caminho 251

de variavel real, ja tratado na seccao anterior.

Para alem do integral definido em (7.10), podemos tambem considerar osintegrais de caminho com respeito a ´,

Z

f .´/d´ DZ

f .´/d´ DZ b

a

f . .t // 0.t /dt ; (7.11)

e os integrais com respeito ao comprimento de arco,Z

f .´/ jd´j DZ b

a

f . .t //j 0.t /jdt : (7.12)

As seguintes propriedades do integral sao consequencia imediata da definicao.Se c designar uma constante complexa, tem-se

Z

cf .´/d´ D c

Z

f .´/d´ : (7.13)

Se f1 e f2 forem funcoes contınuas em tr. /, entaoZ

.f1.´/C f2.´//d´ DZ

f1.´/d´CZ

f2.´/d´ : (7.14)

Exemplos 7.3

(a) Consideremos o caminho que descreve o segmento de recta orien-tado de ´0 para ´1,

.t/ D .1� t /´0 C t´1 ; t 2 Œ0; 1� :

Tem-seZ

d´ DZ 1

0

0.t /dt

DZ 1

0

´1 � ´0 dt

D ´1 � ´0

eZ

´d´ DZ 1

0

.t/ 0.t /dt

D .´1 � ´0/

Z 1

0

Œ.1� t /´0 C t´1� dt

D´2

1 � ´20

2:


(b) Calcule-se Z

1

´� ´0d´ ;

ao longo do caminho , com .t/ D ´0 C reit , t 2 Œ0; 2��, o qualdescreve a circunferencia de centro ´0 e raio r , no sentido directo.Note-se que ´0 62 tr. /, pelo que estamos em condicoes de aplicar(7.10):

Z

1

´� ´0

d´ DZ 2�

0

1

reiti reit dt D 2�i :

(c) Calcule-se, agora, o integral da funcao definida por

f .´/ D j´j ;

ao longo do caminho que descreve o segmento de recta orientado de�1 a 1:

1.t / D .1� t /.�1/C t1 D 2t � 1 ; t 2 Œ0; 1� :

Tem-se

Z

1

j´jd´ DZ 1

0

j2t � 1j2dt

D 2

Z 12

0

.1� 2t/dt CZ 1

12

.2t � 1/dt

!

D 2

�t � t2

� 12

0

C�t2 � t

�1

12

!

D 21

2D 1 :

Calculemos, de seguida, o integral da mesma funcao, mas agora aolongo do caminho

2 D ei.��t/ ; t 2 Œ0;�� ;

o qual descreve o arco de circunferencia do semi-plano superior que


une os pontos �1 e 1, orientado de �1 para 1. Tem-se

Z

2

j´jd´ DZ �

0

jei.��t/j.�iei.��t//dt

DZ �

0

�iei.��t/ dt

D�

ei.��t/

��

0

D 1� .�1/D 2 :

Este exemplo mostra que o integral de caminho nao depende unica-mente da origem e extremidade do caminho de integracao, mas aindada curva gerada por esse caminho. Veremos no Teorema 7.2(b) queo integral depende igualmente da orientacao dessa curva.

Considerando uma funcao contınua f W Œa; b� � R ! C e recordando a pro-priedade (7.9), estabelecida no contexto da integracao das funcoes complexas devariavel real, tem-se

ˇˇˇ

Z b

a

f .t/dt

ˇˇˇ �

Z b

a

jf .t/jdt � M.b � a/ ;

em queM D max

t2Œa;b�jf .t/j :

O Teorema que se segue e fundamental para o desenvolvimento da teoria e genera-liza o resultado anterior ao estabelecer um majorante para o modulo de um integralde caminho.

Teorema 7.1 (Majoracao do modulo do integral de caminho) Seja

W Œa; b�! C

um caminho de integracao e f contınua em tr. /: EntaoˇˇZ

f .´/d´

ˇˇ � ML ;

em que M D max´2tr. /

jf .´/j e L e o comprimento do caminho .


DEMONSTRAC AO: Da definicao de integral de caminho vem

I DˇˇZ

f .´/d´

ˇˇ D

ˇˇˇ

Z b

a

f . .t // 0.t /dt

ˇˇˇ :

De (7.9), resulta que

I �Z b

a

jf . .t //j j 0.t /jdt � M

Z b

a

j 0.t /jdt D ML ;

comM D sup´2tr. /

jf .´/j. Por fim, sendo f contınua e tr. / compacto, segue-se que

sup´2tr. /

jf .´/j D max´2tr. /

jf .´/j. �

Exemplo 7.4 Consideremos o integralZ

1

´2 C 1d´ ;

onde descreve no sentido directo o arco de circunferencia j´j D 2 no primeiroquadrante:

.t/ D 2eit ; t 2 Œ0;�=2� :

Tem-se L D � e

max´2tr. /

ˇˇ 1

´2 C 1

ˇˇ � max

´2tr. /

1

jj´j2 � 1jD

1

j22 � 1jD

1

3:

De acordo com o Teorema anterior, vemˇˇZ

1

´2 C 1d´

ˇˇ �

�

3:

A definicao de integral curvilıneo apresentada nesta seccao e semelhante adefinicao de integral curvilıneo conhecida da Analise Infinitesimal. Como e sabido,dadas as funcoes reais nas variaveis x e y, P.x;y/ e Q.x;y/; contınuas em tr. /,com

.t/ D .x.t /; y.t // ; t 2 Œa; b� ;

tem-seZ

P.x;y/dx CQ.x;y/dy DZ b

a

�P.x.t/; y.t //

dx

dtCQ.x.t/;y.t //

dy

dt

�dt :


Com efeito, tomando f .´/ D u.x;y/C iv.x;y/, as duas definicoes estaorelacionadas do seguinte modo:

Z

f .´/d´ DZ

.udx � vdy/C i

Z

.udyC vdx/ : (7.15)

Para o comprovar, basta observar que

f . .t // 0.t / D Œu.x.t /; y.t //C iv.x.t /; y.t //� .x0.t /C iy 0.t //

D�u.x.t/; y.t //x0.t /� v.x.t/; y.t //y 0.t /

�C

C i�u.x.t/; y.t //y 0.t /C v.x.t/; y.t //x0.t /

�:

Integrando com respeito a t , verifica-se o pretendido.

Em seguida, estabeleceremos importantes propriedades do integral curvi-lıneo. Nomeadamente, mostraremos que o integral de uma funcao nao se alterase substituirmos o caminho de integracao por uma reparametrizacao desse cami-nho. Tambem provaremos que, ao tomarmos o integral ao longo do caminho deintegracao em sentido oposto, o integral apenas muda de sinal. Mostraremos aindaque o integral goza de aditividade relativamente ao caminho de integracao.

Teorema 7.2 (Propriedades do integral de caminho)

(a) Seja um caminho de integracao e 1 uma sua reparametrizacao.Entao, para toda a funcao f contınua em tr. /D tr. 1/, tem-se

Z

f .´/d´ DZ

1

f .´/d´ :

(b) Para toda a funcao f contınua em tr. /D tr.� /, vemZ

�

f .´/d´ D �Z

f .´/d´ :

(c) Seja W Œa; b� ! C um caminho e seja c 2 R tal que a < c < b.Tomando

1 D jŒa;c� e 2 D jŒc;b� ;

tem-se D 1 C 2. Nestas condicoes, supondof contınua em tr. /,Z

1C 2

f .´/d´ DZ

1

f .´/d´CZ

2

f .´/d´ :


DEMONSTRAC AO:

(a) Seja 1 W Œc; d � ! C uma reparametrizacao de W Œa; b� ! C. Entaoexiste uma funcao � W Œc; d � ! Œa; b�, de classe C 1, bijectiva e comderivada positiva, tal que 1 D ı �. Vem

Z

1

f .´/d´ DZ d

c

f . 1.t // 01.t /dt

DZ d

c

f . .�.t/// 0.�.t //�0.t /dt

DZ b

a

f . .s// 0.s/ds

DZ

f .´/d´ ;

efectuando a mudanca de variavel s D �.t/.

(b) Nas condicoes do enunciado, tem-se

Z

�

f .´/d´ DZ b

a

f .� .t//.� /0.t /dt

DZ b

a

f . .aC b � t //. .aC b � t //0 dt

DZ b

a

f . .aC b � t //.�1/ 0.aC b � t /dt

D �Z b

a

f . .s// 0.s/ds

D �Z

f .´/d´ ;

efectuando a mudanca de variavel s D aC b � t .

(c) A existencia deR

1f .´/d´ e

R 2f .´/d´ esta garantida, uma vez

que f e contınua em tr. 1/ e tr. 2/. De acordo com o enunciado,

.t/ D� 1.t /; se t 2 Œa; c� 2.t /; se t 2 Œc; b�


representa a curva D 1 C 2. Assim, pela aditividade do integralpara funcoes de uma variavel, tem-se

Z

f .´/d´ DZ b

a

f . .t // 0.t /dt

DZ c

a

f . .t // 0.t /dt CZ b

c

f . .t // 0.t /dt

DZ c

a

f . 1.t // 01.t /dt C

Z b

c

f . 2.t // 02.t /dt

DZ

1

f .´/d´CZ

2

f .´/d´ ;


O resultado da alınea (c) do Teorema anterior pode ser generalizado a somade qualquer numero finito de caminhos, ou seja, a qualquer cadeia. Desta forma,o integral curvilıneo ao longo de um caminho seccionalmente de classe C 1 podeser encarado como a soma de um numero finito de integrais curvilıneos ao longode caminhos de classe C 1. Assim, ao determinarmos o valor do integral ao longodos caminhos de classe C 1, caracterizamos o integral ao longo de toda a cadeia.Alias, esta ideia encontra-se subjacente a (7.2) e a posterior definicao de integralcurvilıneo (7.10) ao longo de um caminho seccionalmente de classe C 1.

Exemplo 7.5 Calculemos o valor do integralZ

j´jd´

ao longo de D 1 C 2, sendo

1.t / D 2t � 1 ; t 2 Œ0; 1� ;

o caminho que descreve o segmento de recta orientado de �1 a 1 e

2 D eit ; t 2 Œ0;�� ;

o caminho que descreve o arco de circunferencia do semi-plano superior que une ospontos 1 e �1, orientado no sentido directo, ou seja, de 1 para �1 (vide figura 51--A). De acordo com os exemplos 7.3 e com a alınea (b) do Teorema 7.2, tem-se

Z

1

j´jd´ D 1 eZ

2

j´jd´ D �2 ;


x

y

A.

-1 1x

y

B.

0

i 1+ i

Figura 51: Representacao geometrica dos tracos de duas cadeias seccionalmente declasse C 1. Em B temos uma linha poligonal fechada.

pelo que Z

j´jd´ DZ

1

j´jd´CZ

2

j´jd´ D �1 :

Exemplo 7.6 Consideremos a funcao f definida por

f .´/ D y � x � 3ix2 ; ´D xC iy 2 C :

Calculemos o valor do integralZ

f .´/d´

ao longo de D 1 C 2 C 3, sendo

1.t / D t i ; t 2 Œ0; 1� ;

o caminho que descreve o segmento de recta orientado de 0 a i ,

2.t / D t C i ; t 2 Œ0; 1� ;

o caminho que descreve o segmento de recta orientado de i a 1C i e

3.t / D .1� t /C .1� t /i ; t 2 Œ0; 1� ;

o caminho que descreve o segmento de recta orientado de 1C i a 0 (vide figura 51--B). Tem-seZ

1

f .´/d´ Di

2;

Z

2

f .´/d´ D1

2� i e

Z

3

f .´/d´ D �1C i ;


pelo que

Z

f .´/d´ DZ

1

f .´/d´CZ

2

f .´/d´CZ

3

f .´/d´ D�1C i

2:

Observamos que muitos autores, por uma questao de simplificacao de lingua-gem, ao considerarem o integral de caminho de uma determinada funcao, referemapenas a curva geometrica e a sua orientacao, nao identificando claramente qual ocaminho que gera a curva. Ora, esta simplificacao de linguagem apenas tem lugarnos casos em que e evidente qual o caminho a considerar. Tambem e frequentea nao explicitacao da orientacao da curva geometrica, sempre que tal for claro.Sempre que possıvel, seguiremos este procedimento. Por exemplo, a omissao daorientacao de uma circunferencia ou arco de circunferencia subentende a orientacaono sentido usual ou directo. Assim,

Z

j´�´0 jDr

f .´/d´

representa o integral de f ao longo da circunferencia de centro ´0 e raio r , orien-tada no sentido directo, tornando-se claro qual o caminho a utilizar:

.t/ D ´0 C reit ; t 2 Œ0; 2�� :

Por outro lado,Z

Œ´0;´1�

f .´/d´

representa o integral de f ao longo do segmento de recta orientado de ´0 para ´1,correspondendo ao caminho

.t/ D .1� t /´0 C t´1 ; t 2 Œ0; 1� :

Evidentemente que, de acordo com o Teorema 7.2, muitos dos caminhos que ge-ram uma determinada curva conduzem ao mesmo valor do integral ou ao valorsimetrico.


7.3 Primitiva de uma funcao complexa

Uma classe importante de integrais e caracterizada pela propriedade do inte-gral sobre um caminho depender unicamente da sua origem e extremidade. Prova-remos que o integral de uma funcao contınua ao longo de um caminho so dependedesses pontos se esta possuir uma primitiva.

Seja f W D � C ! C uma funcao contınua. Uma funcao F W D � C ! C

diz-se uma primitiva ou antiderivada de f em D, se F for holomorfa e F 0 D f .Diremos que f possui uma primitiva local em ´ 2 D, se existir um disco abertocentrado em ´ e contido em D, digamos D.´;"/, tal que a restricao de f a essedisco possui uma primitiva.

Nao faz sentido falar na primitiva de uma funcao f em D, mas de umaprimitiva, pois, caso esta exista, e unica a menos de uma constante complexa. Defacto, se F 0 D G 0 D f num domınioD, entao

.F �G/0 D F 0 �G 0 D 0

e F �G e constante pelo Teorema 3.10.

Exemplo 7.7 Fixemos um numero inteiro nao-negativo n e consideremos a funcaodefinida por

f .´/ D ´n ; ´ 2 C :

Uma primitiva de f e dada pela expressao

F.´/ D´nC1

nC 1C c ; ´ 2 C ;

para alguma constante complexa c. Ja a funcao

g.´/ D ´�1 D1

´; ´ 2 Cnf0g ;

admite apenas primitiva local, como veremos no exemplo 7.9. Se escolhermos umvalor de n inferior a �1, voltamos a obter uma funcao com primitiva (global).

Analogamente ao caso real, se uma funcao contınua f WD � C ! C possuiruma primitiva F , e valida a formula

Z

f .´/d´ D F.´1/�F.´0/ ;

7.3 Primitiva de uma funcao complexa 261

sendo ´0 D .a/ a origem e ´1 D .b/ a extremidade do caminho de integracao .Com efeito,

Z

f .´/d´ DZ b

a

f . .t // 0.t /dt DZ b

a

F 0. .t // 0.t /dt :

Usando agora a Regra da Cadeia e a Formula Fundamental do Calculo Integral parafuncoes de uma variavel, vem

Z b

a

.F ı /0.t /dt D F. .b//�F. .a// D F.´1/�F.´0/ :

Teorema 7.3 (Teorema Fundamental do Calculo Integral) Seja

f W D � C ! C

uma funcao contınua e um caminho seccionalmente de classe C 1 tal quetr. / � D, ´0 D .a/ e ´1 D .b/. Suponhamos que f possuiu uma primitivaF em D. Nestas condicoes,

Z

f .´/d´ D F.´1/�F.´0/ :

Teorema 7.4 (Teorema da independencia do caminho de integracao) Seja f

uma funcao contınua num domınioD. Sao equivalentes:

(a) f tem uma primitiva F em D;

(b)R

f .´/d´D 0, para todo o caminho fechado em D;

(c) o valor do integralR

f .´/d´ depende apenas da origem e extremi-dade de , para cada caminho em D.

DEMONSTRAC AO: A prova de que (a) implica (b) e imediata. Pelo Teorema Fun-damental do Calculo Integral, tomando ´0 D ´1, isto e, considerando um cami-nho fechado, vem Z

f .´/d´ D 0 :

Mostremos que (b) implica (c). Suponhamos que

Z

f .´/d´ D 0 ;


para todo o caminho fechado em D. Sejam 1 e 2 dois caminhos em D comorigem em ´0 e extremidade em ´1. E claro que 1 C .� 2/ D 1 � 2 e umcaminho fechado e, de acordo com a hipotese,

Z

1

f .´/d´�Z

2

f .´/d´ DZ

1� 2

f .´/d´ D 0 ;

pelo que Z

1

f .´/d´ DZ

2

f .´/d´ :

Resta provar que (c) implica (a). Suponhamos, entao, que o valor deZ

f .´/d´

depende apenas da origem e extremidade de , para cada caminho em D. Fixe-mos ´0 2D e definamos

F.´/ DZ ´

´0

f .�/d� ; ´ 2D ; (7.16)

onde o caminho de integracao e qualquer caminho em D com origem em ´0 eextremidade em ´. Sendo D um domınio, temos a garantia de que existe pelomenos um caminho unindo ´0 e ´. De acordo com a hipotese, este integral naodepende do caminho que se escolha. Estando F bem definida, resta provar que Fe analıtica e que F 0 D f . Consideremos ´ 2 D e " > 0. Como D e aberto e f econtınua no ponto ´, existe ı > 0 tal que D.´; ı/ � D e

jf .w/� f .´/j < ";

sempre que w 2D e jw � ´j < ı. Seja, entao, w 2D tal que jw � ´j< ı. Como

w 2 D \D.´; ı/ D D.´; ı/ ;

podemos ligar ´ a w por um segmento de recta, tendo-seZ

Œ´;w�

d� D w � ´ : (7.17)

Por outro lado, recorrendo as propriedades do integral de caminho, vem

F.w/�F.´/ DZ w

´0

f .�/d� �Z ´

´0

f .�/d�

DZ w

´0

f .�/d�CZ ´0

´

f .�/d�

DZ w

´

f .�/d� :

7.3 Primitiva de uma funcao complexa 263

Da hipotese, concluımos que

F.w/�F.´/ DZ w

´

f .�/d� DZ

Œ´;w�

f .�/d� : (7.18)

De (7.17) e (7.18), segue-se

ˇˇF.w/�F.´/

w � ´� f .´/

ˇˇ D

jF.w/�F.´/� .w � ´/f .´/jjw � ´j

D

ˇˇR

Œ´;w�f .�/d� � f .´/

RŒ´;w�

d�ˇˇ

jw � ´j

D

ˇˇR

Œ´;w�.f .�/� f .´//d�

ˇˇ

jw � ´j

<"jw � ´jjw � ´j

D " :

Como " > 0 e arbitrario, para cada ´ 2D, vem

limw!´

F.w/�F.´/w � ´

D f .´/ ;

pelo que F e holomorfa e F 0 D f . �

Exemplo 7.8 Do Teorema 7.4 e do exemplo 7.7, retiramos algumas consequencias.

(a) Seja n um inteiro nao-negativo e um caminho fechado arbitrarioem C. Entao Z

´n d´ D 0 :

(b) Seja n um inteiro negativo, inferior ou igual a �2, e um caminhofechado nao passando por ´D 0. Entao

Z

´n d´ D 0 :

A alınea (a) do exemplo anterior mostra que o integral de um polinomio aolongo de qualquer caminho fechado e igual a zero.


Exemplo 7.9 Tem-se Z

j´jDr

1

´d´ D 2�i ;

o que implica que 1=´ nao tem primitiva global em Cnf0g, indo ao encontro do re-ferido no exemplo 7.7. Veremos no proximo exemplo que esta funcao tem primitivalocal.

Exemplo 7.10 Sabemos que cada ramo da funcao logaritmo tem domınio de ana-liticidade CnN�, com � 2 R e

N� D f´D r ei� 2 C W r � 0g :

A sua derivada e dada por

d

d´log ´ D

1

´; ´ 2 CnN� :

Assim, log ´ e uma primitiva local de 1=´ em CnN�. De acordo com (7.16) efixando ´0 2 CnN�, podemos escrever

log ´ DZ ´

´0

1

�d� ; ´ 2 CnN� : (7.19)

Obtemos, desta forma, uma definicao alternativa para a funcao logaritmo. Pode-mos, entao, com base no conhecimento das antiderivadas locais de 1=´, determinaro valor do integral Z

j´jDr

1

´d´

por um processo alternativo ao dos exemplos 7.3, recorrendo agora ao TeoremaFundamental do Calculo Integral (Teorema 7.3). Tem-se

Z

j´jDr

1

´d´ D

Z

1

1

´d´C

Z

2

1

´d´ ;

onde

1.t / D reit ; ��

2� t �

�

2

e

2.t / D reit ;�

2� t �

3�

2:

7.4 O Teorema de Cauchy para triangulos 265

No calculo dos integrais ao longo dos caminhos 1 e 2, a funcao logaritmo servecomo antiderivada da funcao 1=´ se restrita, respectivamente, a CnN�� e a CnN0.Segue-se

Z

1

1

´d´ D Log.ri /� Log.�ri /

D�

log r C i�

2

��

log r � i�

2

�

D �i

eZ

2

1

´d´ D log.�ri /� log.ri /

D�

log r C i3�

2

��

log r C i�

2

�

D �i ;

donde se conclui que Z

j´jDr

1

´d´ D 2�i :

7.4 O Teorema de Cauchy para triangulos

O Teorema de Cauchy e um dos Teoremas fundamentais da Analise Com-plexa. Informalmente, estabelece que o integral de uma funcao f holomorfa numdomınio, ao longo de qualquer caminho fechado contido nesse domınio, e zero. Foiobtido por Cauchy no comeco do seculo XIX (1825), mas com a condicao adicio-nal de f 0 ser contınua. Para provarmos esta versao do Teorema de Cauchy (versaofraca), recordemos o Teorema de Green que relaciona o integral duplo com o inte-gral curvilıneo de funcoes definidas numa regiao de R2.

Quando considerarmos caminhos simples e fechados, sem especificarmos aorientacao que determinam, esta implıcita a orientacao no sentido positivo ou di-recto.

Teorema 7.5 (Teorema de Green) Sejam P.x;y/ e Q.x;y/ funcoes com deriva-das parciais de primeira ordem contınuas numa regiao D e um caminho em D,simples e fechado. Designemos por A a componente limitada do complementar de


18. Entao

Z

P.x;y/dx CQ.x;y/dy DZ Z

A

�@Q

@x.x;y/�

@P

@y.x;y/

�dxdy :

Para uma demonstracao do Teorema de Green veja-se, por exemplo, [23, pp.908–911].

Teorema 7.6 (Teorema de Cauchy: versao fraca) Seja f uma funcao holomorfanum domınioD com derivada f 0 contınua em D. Entao, para qualquer caminho em D, simples e fechado, tem-se

Z

f .´/d´ D 0 :

DEMONSTRAC AO: Considerando f D uC iv, de (7.15) vemZ

f .´/d´ DZ

.udx � vdy/C i

Z

.udyC vdx/ :

Note-se que a continuidade de f 0 implica a continuidade das derivadas parciais deu e v. Aplicando o Teorema de Green a cada integral, obtem-se

Z

f .´/d´ DZ Z

A

��@v

@x�@u

@y

�dxdy C i

Z Z

A

�@u

@x�@v

@y

�dxdy :

Os integrais duplos sao nulos de acordo com as Condicoes de Cauchy-Riemann.�

O matematico frances Edouard Goursat (1858–1942) foi o primeiro a no-tar que a hipotese de continuidade de f 0 pode ser omitida (1900). Apresentamos,agora, uma versao do Teorema de Cauchy para triangulos, cuja prova se baseia nometodo de bisseccao. Na sua demonstracao, usaremos o Teorema de Cantor a se-guir enunciado e cuja demonstracao pode ser encontrada em [8, p.19].

Recordemos o conceito de diametro de um conjunto. Sendo A � C, A 6D ;,o diametro de A e denotado e definido por

diamA D supfd.´;w/ W ´;w 2 Ag :

Caso A nao seja limitado, convencionamos que diamA D C1.

18Como o caminho e simples e fechado, a componente limitada corresponde ao interior de tr. /

(no sentido intuitivo e nao no sentido topologico).


Figura 52: Divisao de um triangulo 4 em quatro sub-triangulos congruentes.

Teorema 7.7 (Teorema de Cantor) Seja .Fn/n2N uma sucessao de subconjuntosnao vazios e fechados de C, com

F1 � F2 � � � �

e diamFn ! 0. Entao, a interseccao

\

n2N

Fn

reduz-se a um unico ponto.

Teorema 7.8 (Teorema de Cauchy para triangulos) Seja f uma funcao contınuanum domınioD e 4 � D um triangulo de fronteira @4. Suponhamos f analıticaem D com possıvel excepcao de um ponto P . Entao

Z

@4f .´/d´ D 0 :

DEMONSTRAC AO: Suponhamos, em primeiro lugar, que P 62 4. Dividamos otriangulo 4 em quatro sub-triangulos congruentes,

411; : : : ; 44

1 ;

obtidos unindo dois a dois os pontos medios dos lados do triangulo original. Supo-remos as fronteiras orientadas positivamente (veja-se a figura 52). Como os inte-


grais ao longo do segmento-fronteira comum a dois sub-triangulos adjacentes saosimetricos e se anulam mutuamente, vemZ

@4f .´/d´ D

Z

@411

f .´/dĆZ

@421

f .´/dĆZ

@431

f .´/dĆZ

@441

f .´/d´

D4X

kD1

Z

@4k1

f .´/d´ :

Assim,

J DˇˇZ

@4f .´/d´

ˇˇ D

ˇˇˇ

4X

kD1

Z

@4k1

f .´/d´

ˇˇˇ �

4X

kD1

ˇˇˇ

Z

@4k1

f .´/d´

ˇˇˇ :

Portanto, pelo menos um dos triangulos 4k1 , k 2 f1;2; 3; 4g, satisfaz a condicao

ˇˇˇ

Z

@4k1

f .´/d´

ˇˇˇ �

J

4:

Designemos por 41 o triangulo nestas condicoes (se outros triangulos satisfizerema condicao, a escolha de um deve ser feita segundo uma regra definida). Con-tinuemos a repetir indefinidamente este processo. No segundo passo, obtemos otriangulo 42, tal que 4 � 41 � 42, valendo as desigualdades

ˇˇZ

@4f .´/d´

ˇˇ � 4

ˇˇZ

@41

f .´/d´

ˇˇ � 42

ˇˇZ

@42

f .´/d´

ˇˇ :

Originamos, deste modo, uma sucessao de triangulos encaixados

4 D 40 � 41 � 42 � � � � � 4n � � � �

que verificam:ˇˇZ

@4f .´/d´

ˇˇ � 4

ˇˇZ

@41

f .´/d´

ˇˇ � � � � � 4n

ˇˇZ

@4n

f .´/d´

ˇˇ � � � � (7.20)

Relativamente aos perımetros dos triangulos, vem

L@41D

1

2L@4 I

L@42D

1

2L@41

D1

22L@4 I

:::

L@4nD

1

2nL@4 I

:::


E claro que todos os triangulos sao conjuntos fechados e diam 4n ! 0, quandon ! C1. Portanto, existe um ponto ´0 2 4, tal que:

f´0g DC1\

nD0

4n :

Ora, ´0 2 4 e ´0 6D P , pelo que f e diferenciavel em ´0, ou seja, dado " > 0,existe ı > 0 tal que

ˇˇf .´/� f .´0/

´� ´0� f 0.´0/

ˇˇ < " se j´� ´0j < ı ;

ou ainda,

jf .´/� f .´0/� .´� ´0/f0.´0/j < " j´� ´0j se j´� ´0j < ı :

Escolhamos n suficientemente grande de modo que

4n � D.´0; ı/ :

Entao Z

@4n

f .´/d´ DZ

@4n

Œf .´/� f .´0/� .´� ´0/f0.´0/�d´

e, uma vez que max´2@4n

j´� ´0j � L@4n, vem

J1

4n�ˇˇZ

@4n

f .´/d´

ˇˇ � " .L@4n

/2 D1

4n.L@4/

2 " :

Daqui resultaJ � ".L@4/

2

e, portanto, como " e arbitrario, J D 0.

Suponhamos, em segundo lugar, que P e um vertice de 4. Escolhamos ´1 e´2 proximos de P e dividamos o triangulo 4 em tres sub-triangulos,

41; 42; 43 ;

obtidos a partir dos pontos P , ´1 e ´2, conforme ilustra a figura 53. Suponhamos,sem perda de generalidade, que P e vertice do triangulo 43. Atendendo ao caso japrovado, vem

Z

@4f .´/d´ D

3X

iD1

Z

@4i

f .´/d´ DZ

@43

f .´/d´ :


P

z1

z2

Figura 53: Escolhemos dois pontos ´1 e ´2 proximos de P e construımos tressub-triangulos.

Seja M D max´2@43

jf .´/j. Entao,

ˇˇZ

@43

f .´/d´

ˇˇ � ML@43

:

Como L@43! 0 quando ´1; ´2 ! P , tem-se

Z

@43

f .´/d´ D 0 ;

o que demonstra este caso.

Suponhamos, finalmente, que P cai sobre um dos lados do triangulo 4 ouno seu interior (ver figura 54). Em qualquer dos casos

R@4 f .´/d´ D 0, apelando

aos argumentos previos. �


f .´/ D y � x � 3ix2 ; ´D xC iy 2 C ;

e o caminho que descreve no sentido directo o triangulo de vertices 0, 1C i e i .De acordo com o exemplo 7.6, tem-se

Z

f .´/d´ D1� i2

6D 0 :

Note-se que nao entramos em contradicao com o Teorema de Cauchy para triangu-los, uma vez que f nao e analıtica em ponto algum de C. De facto, tomando

u.x;y/ D y � x e v.x;y/ D �3x2 ;

7.5 Versao do Teorema de Cauchy para convexos 271

PP

Figura 54: O ponto P cai sobre um dos lados do triangulo 4 ou no seu interior.

vem@u

@x.x;y/ D �1 6D 0 D

@v

@y.x;y/ ;

pelo que nao se verificam as Condicoes de Cauchy-Riemann em ponto algum doplano.

7.5 Versao do Teorema de Cauchy para convexos

Antes de apresentarmos a versao do Teorema de Cauchy para domınios con-vexos, recordamos a definicao de conjunto convexo.

Um conjuntoA � C diz-se convexo se contiver o segmento de recta definidopor cada par de pontos seus. Isto e, se ´0 e ´1 forem dois pontos de A, entao.1� s/´0 C s´1 tambem e um ponto de A, para todo o s 2 Œ0; 1�.

Exemplo 7.11 Os discos abertos e fechados sao exemplos de conjuntos convexos.

Teorema 7.9 (Teorema de Cauchy para convexos) Seja D um domınio convexo.Suponhamos que f e uma funcao contınua em D e analıtica em DnfP g, paraalgum ponto P 2D. Entao

Z

f .´/d´ D 0 ;

para todo o caminho fechado em D.


DEMONSTRAC AO: Provemos que f tem uma primitiva em D, isto e, quef D F 0, para uma certa funcao F analıtica em D. Fixemos, entao, ´0 2D. Defi-namos

F.´/ DZ

Œ´0;´�

f .�/d� ; ´ 2D ;

onde o caminho de integracao e o segmento de recta orientado de ´0 a ´ (o qual estacontido no domınioD, uma vez que este e convexo). Mostremos que F e analıticaem D. Seja ´ 2D. Escolhamos h de modulo suficientemente pequeno de forma aque Ć h 2D. Tem-se

F.Ć h/�F.´/ DZ

Œ´;Ćh�

f .�/d� ;

uma vez queZ

Œ´0;Ćh�

f .�/d� CZ

ŒĆh;´�

f .�/d�CZ

Œ´;´0�

f .�/d� D 0 ;

de acordo com o Teorema de Cauchy para triangulos (Teorema 7.8). Segue-se que

F.Ć h/�F.´/h

� f .´/ DZ

Œ´;Ćh�

�f .�/

h�f .´/

h

�d� :

Entao,ˇˇF.Ć h/�F.´/

h� f .´/

ˇˇ D

1

jhj

ˇˇZ

Œ´;Ćh�

.f .�/� f .´//d�ˇˇ

�1

jhjjhj max

�2Œ´;Ćh�jf .�/� f .´/j

D max�2Œ´;Ćh�

jf .�/� f .´/j :

Como f e contınua,max

�2Œ´;Ćh�jf .�/� f .´/j

tende para zero quando h ! 0. Portanto, F 0 existe e e igual a f , o que peloTeorema 7.4 prova o pretendido. �

Mostraremos no Corolario 8.8 que supor f contınua num domınioD e analı-tica, excepto eventualmente num ponto ´0 2 D, nao e mais geral que supor fanalıtica em todo o D.

7.6 Formula Integral de Cauchy 273

No exemplo 7.5, vimos queZ

j´jd´ D �1 ;

onde e o caminho fechado que descreve a curva representada na Figura 51-A. Talnao contradiz o Teorema anterior, uma vez que a funcao j´j apenas e diferenciavelna origem, pelo que nao e analıtica em ponto algum do plano complexo.

7.6 Formula Integral de Cauchy

Mediante uma aplicacao simples do Teorema de Cauchy e possıvel represen-tar uma funcao analıtica f por um integral de caminho, onde a variavel ´ intervemcomo parametro. Esta representacao, conhecida por Formula Integral de Cauchy,tem muitas aplicacoes importantes, entre elas o estudo das propriedades locais dasfuncoes analıticas. Como preliminar a sua apresentacao, introduziremos o conceitode ındice que indica o numero de vezes que um caminho fechado circunda umponto que lhe nao pertence, ou seja, o ındice e um ”contador de voltas”.

Seja um caminho fechado em C, seccionalmente de classe C 1, nao pas-sando por ´0. O ındice de ´0 relativamente a e definido por

n. ;´0/ D1

2�i

Z

1

´� ´0d´ : (7.21)

Tendo em conta as propriedades dos integrais de caminho, vem

n.� ;´0/ D �n. ;´0/ (7.22)

en. 1 C � � � C n; ´0/ D n. 1; ´0/C � � � C n. n; ´0/ : (7.23)

Teorema 7.10 (O ındice como um numero inteiro) O ındice de um ponto relati-vamente a um caminho fechado e um numero inteiro.

DEMONSTRAC AO: Para provar quew

2�ie um inteiro, e suficiente mostrar que

ew D 1 :

De facto, de ew D 1, vem w D 2k�i , com k 2 Z. Definamos ˆ W Œa; b�! C,

ˆ.t/ D eR t

a 0.s/

.s/�´0ds;


onde o integral e tomado ao longo de , com

D .t/ ; a � t � b ; .a/ D .b/ :

Para completarmos a prova, mostraremos que ˆ.b/ D 1. Observamos que, como 0 e seccionalmente contınua,ˆ e seccionalmente de classe C 1. Tem-se

ˆ0.t / D ˆ.t/ 0.t /

.t /� ´0

;

ou ainda,ˆ0.t /. .t /� ´0/ D ˆ.t/ 0.t / ;

excepto possivelmente num numero finito de pontos. Entao, nos pontos em que aderivada existe,

d

dt

ˆ.t/

.t /� ´0

D. .t /� ´0/ˆ

0.t /�ˆ.t/ 0.t /

. .t /� ´0/2

D 0 :

Logo, a funcao e seccionalmente constante em Œa; b�. Mas, uma vez que e contınua,e constante em Œa; b�. Assim,

ˆ.t/

.t /� ´0D

ˆ.a/

.a/� ´0D

1

.a/� ´0

e

ˆ.t/ D .t/� ´0

.a/� ´0:

Ora,

ˆ.b/ D .b/� ´0

.a/� ´0D 1 ;

como querıamos demonstrar. �

Vejamos, agora, mais algumas propriedades do ındice, como seja a suaconstancia nas diferentes componentes conexas do complementar do caminho deintegracao.

Teorema 7.11 (Constancia do ındice nas componentes)

(a) Se esta no interior de um disco, entao n. ;´0/ D 0 para todos ospontos exteriores ao referido disco.

(b) Como funcao de ´0, o ındice n. ;´0/ e constante em cada uma dascomponentes conexas de Cntr. / e zero na componente ilimitada.

7.6 Formula Integral de Cauchy 275

DEMONSTRAC AO:

(a) E uma consequencia imediata do Teorema de Cauchy para domıniosconvexos (Teorema 7.9).

(b) Como conjunto de pontos, tr. / e compacto, logo fechado e limitado.O seu complementar, Cntr. /, e aberto e pode representar-se comouniao de abertos disjuntos, justamente as suas componentes conexas.Como sabemos essas componentes sao conexas por arcos e apenasuma delas e ilimitada. Qualquer par de pontos na mesma componentedeterminada por tr. / pode ser unido por uma linha poligonal quenao corta tr. /. Sejam ´0 e ´1 dois pontos pertencentes a mesmacomponente. Observe-se que, fora do segmento de recta definido por´0 e ´1,

´� ´0

´� ´1

nunca e real e menor ou igual a zero. Por esta razao, o ramo principalda funcao logarıtmo

Log

�´� ´0

´� ´1

�

e uma funcao analıtica no complementar do referido segmento. Asua derivada e igual a .´� ´0/

�1 C .´� ´1/�1 e, se tr. / nao corta

o segmento, devemos terZ

�1

´� ´0�

1

´� ´1

�d´ D 0 ;

de acordo com o Teorema 7.4. Por conseguinte, n. ;´0/ D n. ;´1/.Em particular, se ´0 pertence a componente ilimitada de Cntr. / ese j´0j e suficientemente grande, entao tr. / esta contido num discoj´j < � < j´0j e pela alınea (a)

n. ;´0/ D 0 :

Isto implica que qualquer ponto da componente ilimitada tenha ındicenulo. �

Teorema 7.12 (Formula Integral de Cauchy) Seja f analıtica num domınio con-vexo D e um caminho fechado em D que nao passa por ´0. Entao

n. ;´0/f .´0/ D1

2�i

Z

f .´/

´� ´0d´ :


DEMONSTRAC AO: Defina-se

g.´/ D

8<

:

f .´/� f .´0/

´� ´0; se ´¤ ´0

f 0.´0/; se ´D ´0

:

Esta funcao e analıtica se ´¤ ´0 e

lim´!´0

g.´/

existe e e igual a f 0.´0/; uma vez que f e, por hipotese, diferenciavel no ponto ´0.Entao g satisfaz as hipoteses do Teorema de Cauchy para convexos (Teorema 7.9)com ´0 D P e, portanto, Z

g.´/d´ D 0 :

Segue-se, assim, que

1

2�i

Z

f .´/� f .´0/

´� ´0

d´ D 0;

ou ainda,

1

2�i

Z

f .´/

´� ´0d´ D

1

2�i

Z

f .´0/

´� ´0d´ D f .´0/ n. ;´0/ ;


Observacao 7.1 A Formula Integral de Cauchy continua valida se f for analıticanum disco aberto, excepto eventualmente num numero finito de pontos ´1; : : : ; ´p

tais quelim

´!´j

.´� ´j /f .´/ D 0 ; j D 1; : : : ;p :

A presenca de pontos excepcionais e permitida, desde que nenhum deles coincidacom o ponto ´0 em relacao ao qual se aplica a Formula. Para maior desenvolvi-mento veja-se [1].

A Formula Integral de Cauchy e correntemente usada quando e um cami-nho simples e fechado e ´0 esta no seu interior19. Neste caso, n. ;´0/ D 1 e aformula toma o seguinte aspecto:

f .´0/ D1

2�i

Z

f .´/

´� ´0d´ : (7.24)

19No sentido geometrico e nao topologico.


Observe-se que esta e uma formula notavel. Os valores sobre tr. / determinamcompletamente os valores da funcao no interior de tr. /. E extremamente util nocalculo de integrais.

Exemplos 7.12

(a) Calcule-se: Z

j´jD1

e´

´d´ :

Por aplicacao directa da Formula Integral de Cauchy, vem

Z

j´jD1

e´

´d´ D

Z

j´jD1

e´

´� 0d´ D 2�i :

(b) Calcule-se: Z

j´�1jD1

1

´2 � 1d´ :

Por aplicacao directa da Formula Integral de Cauchy, vem

Z

j´�1jD1

1

´2 � 1d´ D

Z

j´�1jD1

1´C1

´� 1d´ D �i :


Exercıcio 7.1

(a) CalculeR

Œ0;1C2i� ´2 d´.

(b) CalculeR

´d´, ao longo do caminho W Œ0; 2��! C definido por

.t/ D aeit C be�it ; t 2 Œ0; 2�� ;

com a > b > 0.

Exercıcio 7.2 Mostre que, sendo m e n inteiros, se tem

Z 2�

0

eimt e�intdt D�

0 ; se m ¤ n

2� ; se m D n:


Exercıcio 7.3 Calcule o integralZ

j´jD1

´m ń d´ ;

onde m e n sao inteiros.

Exercıcio 7.4

(a) De um exemplo de uma funcao complexa g de uma variavel realdefinida no intervalo Œa; b�, tal que g seja contınua nesse intervalo enao exista qualquer c entre a e b para o qual g.c/.b � a/ iguale ovalor do integral definido de g em Œa; b�.

(b) Assim, mostre que o Teorema do Valor Medio para integrais doCalculo Real nao e valido para estas funcoes.

Exercıcio 7.5 Determine o valor deR

f .´/d´; apos verificar que e um caminho

seccionalmente de classe C 1 e que f e contınua sobre tr. /:

(a) f .´/D f .xC iy/D 2cos y � x � x2i e descreve

(a1) o segmento de recta de ´D 0 a ´D 1C i ;

(a2) dois segmentos de recta, um de ´D 0 a ´ D i e outrode ´D i a ´D 1C i .

(b) f .´/DĆ 2

é descreve

(b1) o arco de circunferencia ´D 2ei�, 0 � � � � ;

(b2) o arco de circunferencia ´D 2ei�, � � � � 2� ;

(b3) a circunferencia ´D 2ei� , 0 � � � 2� .

Exercıcio 7.6 Sendo o caminho que descreve, no sentido directo, a fronteira doquadrado de vertices nos pontos ´D 0, ´D 1, ´D 1C i e ´D i , mostre que

Z

.3Ć 1/d´ D 0 :

Exercıcio 7.7 Sendo o caminho do exercıcio anterior, calculeZ

e�´ d´ :


Exercıcio 7.8 Sendo o caminho que descreve, no sentido directo, a fronteira dotriangulo 4 com vertices nos pontos ´D 0; ´D 3i e ´D �4, mostre que:

ˇˇZ

.e´ � ´/d´ˇˇ � 60 :

Exercıcio 7.9 Para R > 1, mostre que:

ˇˇZ

j´jDR

Log´

´2d´

ˇˇ � 2�

� C log R

R:

Exercıcio 7.10 Usando o Teorema Fundamental do Calculo Integral (Teorema 7.3),calcule:

(a)Z

Œ0;1Ci�

cos´d´;

(b)Z

Œ2;i�

e´ sin ´d´.

Exercıcio 7.11 Inspirando-se na demonstracao do Teorema 7.8, demonstre o Teo-rema de Cauchy para rectangulos.

Exercıcio 7.12 O Teorema de Cauchy para convexos (Teorema 7.9) e valido sepa-radamente para as partes real e imaginaria de uma funcao complexa f ? Em casoafirmativo, demonstre; caso contrario, apresente um contra-exemplo.

Exercıcio 7.13 Considere um caminho de integracao em C. Prove que a funcao

f W Cntr. /! Z ;

dada por f .´/D n. ;´/, e contınua no seu domınio de definicao.

Exercıcio 7.14 Considere a curva parametrizada pelo caminho

.t/ D cos t C 3i sin t ; 0 � t � 4� :

Mostre que n. ;0/ D 2.


Exercıcio 7.15 Prove queZ �

0

ecos � cos.sin �/d� D � ;

considerando o integralZ

j´jD1

e´

´d´.

Exercıcio 7.16 Seja f uma funcao inteira. Calcule

Z 2�

0

f .´0 C rei�/eki� d� ;

com k 2 N.

Exercıcio 7.17 Calcule:

(a)Z

j´jD3

1

´3 � 10´2 C 32´� 32d´;

(b)Z

tg.3C 1=.´� 3//d´, onde descreve, no sentido directo, a fron-

teira do quadrado Œ0; 1�� Œ0; 1�.

Exercıcio 7.18 Seja

f .´/ D1

´2 � 4´C 3:

CalculeR

Cf .´/d´; onde C e a circunferencia:

(a) j´j D 4;

(b) j´j D 2.

Exercıcio 7.19 Seja o caminho que descreve, no sentido directo, a fronteira doquadrado definido pelas rectas x D C2, x D �2, y D C2, y D �2. Determine ovalor de cada um dos integrais:

(a)R

cosh ´

´4d´;

(b)R

cos ´

´.´2 C 8/d´;

(c)R

tg.´=2/

.´� 1/2d´.


7.8 Laboratorio 7

Os objectivos deste Laboratorio de Mathematica sao:

1) visualizacao do traco de um caminho;

2) calculo de integrais de caminho;

3) bisseccao de triangulos.

Caminhos seccionalmente de classe C1

Na integracao de caminho utilizamos caminhos seccionalmente de classeC 1,caso dos caminhos poligonais (caminhos que descrevem linhas poligonais). Repre-sentemos graficamente linhas poligonais utilizando o Mathematica.

In[1]:= Clear@"Global`*"D;PolygonalLine @cnlist_, options___ D :=

Module@8zpoints = Map@8Re@#D, Im@#D< &, cnlistD<,graphicsdata = [email protected], Line@zpointsD<,[email protected], Map@Point, zpointsD<<;Show@Graphics@graphicsdata , AspectRatio ® 1,

ImageSize ® 72 3, optionsDDD;In[3]:= cnlist1 = 83 I, -4, 0<;

PolygonalLine @cnlist1D



In[5]:= cnlist2 = 83 I, -4, 0, 3 I<;PolygonalLine @cnlist2D


A opcao Axes->True permite visualizar os eixos coordenados. Por exemplo,

In[7]:= cnlist3 = 81 + I, -1 + I, -1 - I, 1 - I, 1 + I<;PolygonalLine @cnlist3, Axes ® TrueD

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1



Integral de caminho

Usemos o programa Mathematica para calcular o integralZ

.cos2 ´ sin ´/d´ ; (7.25)

onde e o caminho que descreve, no sentido directo, o quadrado de vertices 1C i ,�1C i , �1� i , 1� i .

No plano complexo, as funcoes Integrate[] e NIntegrate[] requeremuma lista de pontos sobre a curva descrita pelo caminho de integracao. E tambemnecessario especificar a variavel de integracao.

In[9]:= ContourIntegral @expr_, vbl_, contour_D :=

Integrate@expr, Prepend@contour, vblDD;NContourIntegral @expr_, vbl_, contour_D :=

NIntegrate @expr, Evaluate@ Prepend@contour, vblDDD;Calculemos o integral em (7.25).

In[11]:= ContourIntegral @HCos@zDL2 Sin@zD,z, 81 + I, -1 + I, -1 - I, 1 - I, 1 + I<D

Out[11]=2��3HCos@1 + äD3 - Cosh@1 + äD3L +

2��3H-Cos@1 + äD3 + Cosh@1 + äD3L

Podemos substituir a lista {1+I,-1+I,-1-I,1-I,1+I} simplesmente porcnlist3. O resultado que obtivemos deve ser zero. De facto,

In[12]:= Simplify@%DOut[12]= 0

Calculemos, agora, o integralZ

´d´ ; (7.26)

onde descreve, no sentido directo, a linha poligonal que une 3i , �4 e 0.

In[13]:= ContourIntegral @Conjugate@zD, z, cnlist1DOut[13]= -

9��2

+ 12 ä


In[14]:= NContourIntegral @Conjugate@zD, z, cnlist1DOut[14]= -4.5 + 12. ä

Por outro lado, se descrever a correspondente linha poligonal fechada, vem

In[15]:= ContourIntegral @Conjugate@zD, z, cnlist2DOut[15]= 12 ä

Bisseccao de um triangulo

Utilizemos o Mathematica para ilustrar o metodo usado na demonstracao doTeorema de Cauchy para triangulos (Teorema 7.8). Consideremos o triangulo devertices �1=2i , 2 e 5=4.1C i /.

In[16]:= Triangle@8z1_, z2_, z3_<D :=

Module@8zpoints = 88Re@z1D, Im@z1D<, 8Re@z2D, Im@z2D<,8Re@z3D, Im@z3D<, 8Re@z1D, Im@z1D<<<,88Hue@Random@DD, Polygon@zpointsD<,[email protected], Line@zpointsD<<D;In[17]:= z1 = -1 � 2 I; z2 = 2; z3 = 5 � 4 + 5 � 4 I;

aa = 8z1, z2, z3<;Show@Graphics@Triangle@aaDDD


Definindo as seguintes funcoes no Mathematica


In[20]:= Subdivide@8z1_, z2_, z3_<D :=88z1, Hz1 + z2L � 2, Hz1 + z3L � 2<,8Hz1 + z2L � 2, Hz2 + z3L � 2, Hz1 + z3L � 2<, 8Hz1 + z2L � 2,z2, Hz2 + z3L � 2<, 8Hz2 + z3L � 2, z3, Hz1 + z3L � 2<<;

Subdivide@M_ ?MatrixQD := Flatten@Map@Subdivide, MD, 1D;showDivision @listdata_ D :=

Show@Graphics@Map@Triangle, listdataDDD;vem

In[23]:= bb = Subdivide@aaD;showDivision @bbD


In[25]:= cc = Subdivide@bbD;showDivision @ccD



In[27]:= dd = Subdivide@ccD;showDivision @ddD


In[29]:= ee = Subdivide@ddD;showDivision @eeD


Os padroes dos matematicos, tal como os dos pintores e os dospoetas, tem de ser belos. As ideias, tal como as cores ou aspalavras, tem de se encaixar de forma harmoniosa. A beleza e oprimeiro teste. Nao ha um lugar permanente para a matematicafeia.

Godfrey Hardy

Capítulo 8Series de Taylor

Provaremos neste capıtulo que qualquer serie de potencias e uma funcao ho-lomorfa no seu disco de convergencia, podendo aı ser diferenciada termo a termo.Mostraremos ainda que uma funcao holomorfa num disco e aı representavel poruma serie de Taylor convergente. Esta notavel propriedade nao e valida na AnaliseReal.

8.1 Permutabilidade entre operacoes

Os dois resultados que se seguem sao extremamente uteis em calculos queenvolvam o integral ao longo de um caminho e a convergencia uniforme de umasucessao ou serie de funcoes complexas. Serao utilizados na deducao do Teoremade Taylor (Teorema 8.6).

Teorema 8.1 (Convergencia uniforme e integracao) Seja um caminho de inte-gracao, .fn/n2N uma sucessao de funcoes contınuas ao longo do caminho , uni-formemente convergente para f em tr. /. Entao,

limk!C1

Z

fk.´/d´ DZ

f .´/d´ :

DEMONSTRAC AO: Nas condicoes do enunciado e de acordo com o Teorema 4.8,sabemos que f tambem e contınua ao longo do caminho , pelo que o integral

Z

f .´/d´

287

288 CAPITULO 8: Series de Taylor

esta bem definido. Propriedades elementares do integral permitem escreverˇˇZ

fk.´/d´�Z

f .´/d´

ˇˇ D

ˇˇZ

fk.´/� f .´/d´ˇˇ

� L max´2tr. /

jfk.´/� f .´/j ;

em que L designa o comprimento do caminho . Usando a hipotese de con-vergencia uniforme, vem

limk!C1

�max

´2tr. /jfk.´/� f .´/j

�D 0

e o Teorema fica assim demonstrado. �

Corolario 8.2 Se a serie de funcoes contınuas

C1X

nD0

fn.´/

e uniformemente convergente ao longo do caminho , entao

C1X

nD0

Z

fn.´/d´ DZ

C1X

nD0

fn.´/d´ :

DEMONSTRAC AO: Tem-se

C1X

nD0

Z

fn.´/d´ D limk!C1

0@

kX

nD0

Z

fn.´/d´

1A

D limk!C1

Z

0@

kX

nD0

fn.´/

1Ad´

DZ

0@ lim

k!C1

kX

nD0

fn.´/

1Ad´

DZ

C1X

nD0

fn.´/d´ ;


8.1 Permutabilidade entre operacoes 289

Um dos factos basicos sobre as series de potencias, introduzidas na seccao 4.4,consiste na caracterizacao do seu domınio de analiticidade, um disco que poderater ”raio” compreendido entre 0 e C1.

Analogamente ao caso real, a soma de uma serie de funcoes complexascontınuas, uniformemente convergente, e contınua na regiao de convergencia (veja--se o Teorema 4.8). Portanto, a soma de uma serie de potencias (fn.´/ D an´

n)representa uma funcao contınua no seu disco de convergencia. Mas, vale um re-sultado ainda mais forte: toda a serie de potencais e holomorfa no seu disco deconvergencia.

Provaremos que a diferenciacao termo a termo de uma serie de potencias esempre possıvel dentro do disco de convergencia. Para tal, utilizaremos o Lemaseguinte. Por uma questao de simplificacao e como ja anteriormente se observou,podemos limitar-nos as series de potencias em torno da origem.

Lema 8.3 Se a serie de potencias

C1X

nD0

anń

e absolutamente convergente para j´j < R, entao

C1X

nD1

nanń�1

tambem converge absolutamente para j´j < R.

DEMONSTRAC AO: Como j´j < R, escolhamos r tal que j´j < r < R e suponha-mos que ´ 6D 0 20. Entao,

C1X

nD0

anrn

converge absolutamente. Ora, q D j´j=r e sempre inferior a 1, tendo-se

jnanń�1j D

n

j´j

�j´jr

�n

janrnj :

20Note-se que para ´ D 0 o resultado e evidente.


Para 0 � q < 1, a serie realC1X

nD1

nqn

converge pelo Criterio da Razao. Um raciocınio analogo ao usado na demonstracaodo Lema de Abel (Lema 4.10), garante a existencia de K > 0 tal que

nqn � K ;

para todo o n. Desta forma,

jnanń�1j D

nqn

j´jjanr

nj �K

j´jjanr

nj :

Pelo Criterio de Comparacao, a serie

C1X

nD1

jnanń�1j

converge, ficando, desta forma, provada a convergencia absoluta da serie

C1X

nD1

nanń�1 ;

para j´j< R, conforme pretendido. �

Teorema 8.4 (Diferenciacao de uma serie de potencias) Uma serie de potencias

f .´/ DC1X

nD0

anń

pode ser diferenciada termo a termo no seu disco de convergencia j´j < R, tendo--se

f 0.´/ DC1X

nD1

nanń�1 :

DEMONSTRAC AO: Pelo Lema anterior, a serie

g.´/ DC1X

nD1

nanń�1

8.1 Permutabilidade entre operacoes 291

e absolutamente convergente para j´j < R. Mostremos que para j´0j < R se tem

f 0.´0/ D lim´!´0

f .´/� f .´0/

´� ´0D g.´0/

ou, equivalentemente, que

lim´!´0

�f .´/� f .´0/

´� ´0� g.´0/

�D 0 :

Considere-se, em primeiro lugar,

S D ń�1 C ´0ń�2 C � � � C ń�2

0 Ć ń�10 :

Mediante alguns calculos, obtemos

.´� ´0/S D .ń C ´0ń�1 C � � � C ń�2

0 ´2 C ń�10 ´/ �

� .´0ń�1 C ´2

0ń�2 C � � � C ń�1

0 Ć ń0/

D ń � ń0 ;

pelo que

ń � ń0

´� ´0D S D ń�1 C ´0´

n�2 C � � � C ń�20 Ć ń�1

0 : (8.1)

Tendo em conta as propriedades das series de potencias e (8.1), vem

f .´/� f .´0/

´� ´0� g.´0/ D

C1X

nD1

�an

ń � ń0

´� ´0� nan´

n�10

�

DC1X

nD1

an.ń�1 C ´0´

n�2 C � � � C ń�10 � nń�1

0 /

DNX

nD1

an.ń�1 C ´0´

n�2 C � � � C ń�10 � nń�1

0 / C

CC1X

nDN C1

an.ń�1 C ´0´

n�2 C � � � C ń�10 � nń�1

0 / :

Escolhamos r tal que j´0j < r < R: Entao,Pnanr

n�1 e convergente. Ora, peloCriterio de Cauchy para series convergentes, dado qualquer " > 0; existe N 2 N

tal que.N C1/CpX

nDN C1

jnanrn�1j <

"

8;


para cada p 2 N, e assim

C1X

nDN C1

jnanrn�1 j �

"

8<"

4:

Como j´0j < r; se ´ for suficientemente proximo de ´0 de modo que j´j < r; entaoˇˇˇ

C1X

nDN C1

an.ń�1 C ´0´

n�2 C � � � C ń�10 � nń�1

0 /

ˇˇˇ �

C1X

nDN C1

2njanjrn�1

<"

2: (8.2)

Visto que o polinomio em ´;

NX

nD1

an.ń�1 C ´0´

n�2 C � � � C ń�10 � nń�1

0 / ;

tende para 0 quando ´ tende para ´0; e possıvel encontrar ı > 0 tal que j´�´0j< ıimplica ˇ

ˇˇ

NX

nD1

an.ń�1 � ´0´

n�2 C � � � C ń�10 � nń�1

0 /

ˇˇˇ <

"

2: (8.3)

Para ´ suficientemente proximo de ´0 de modo que (8.2) e (8.3) ocorram, vemˇˇf .´/� f .´0/

´� ´0� g.´0/

ˇˇ < "

2C"

2D " ;

e assim f 0.´0/D g.´0/: �

Corolario 8.5 Existem as derivadas de todas as ordens, f 0; f 00; : : : ; f .n/; : : :, deuma serie de potencias

f .´/ DC1X

nD0

anń ;

para todo o ´ no disco de convergencia, sendo

f .k/.´/ DC1X

nDk

n.n � 1/ � � � .n� k C 1/anń�k D

C1X

nDk

nŠ

.n� k/Šan´

n�k ;

com k 2 N.

DEMONSTRAC AO: A demonstracao faz-se por inducao sobre k. �

8.2 Teorema de Taylor 293

8.2 Teorema de Taylor

Substituindo ´ por ´ � ´0 no Corolario 8.5, concluımos que se a serie depotencias

f .´/ DC1X

nD0

an.´� ´0/n

tiver disco de convergencia j´ � ´0j < R, entao nesse disco todas as derivadassuperiores de f existem e

f .k/.´/ DC1X

nDk

nŠ

.n� k/Šan.´� ´0/

n�k ; k 2 N0 ;

mediante a convencao f .0/ D f . Tomando ´D ´0, obtemos

f .k/.´0/ D kŠak ; k 2 N0 ;

o que equivale a

ak Df .k/.´0/

kŠ; k 2 N0 : (8.4)

Podemos, assim, expressar f em serie de Taylor

f .´/ DC1X

nD0

f .n/.´0/

nŠ.´� ´0/

n :

No Teorema de Taylor, prova-se o recıproco do Teorema 8.4 - uma funcaoholomorfa num disco e aı representavel numa serie de potencias e, portanto, numaserie de Taylor convergente. Esta propriedade notavel nao e partilhada pelas fun-coes de variavel real. Uma funcao real de variavel real f , mesmo infinitamentediferenciavel, nao tem necessariamente uma representacao em serie de Taylor con-vergente. Consideremos, por exemplo,

f .x/ D�

e�1=x2

; se x 6D 0

0 ; se x D 0:

Esta funcao e infinitamente diferenciavel. Na origem todas as suas derivadas saonulas, porem f nao e identicamente nula, pelo que nao iguala a sua serie de Taylor.


Teorema 8.6 (Teorema de Taylor) Seja f holomorfa num domınio D e ´0 2 D.Seja D.´0; �/ o disco centrado em ´0 de raio maximo contido em D. Entao, para´ 2D.´0; �/; tem-se

f .´/ DC1X

nD0

an.´� ´0/n ;

convergindo a serie absoluta e uniformemente em qualquer sub-disco fechado da-quele disco.

DEMONSTRAC AO: Tomemos �1 < �2 < � e ´ 2D.´0; �1/: Pela Formula Integralde Cauchy (Teorema 7.12),

f .´/ D1

2�i

Z

j��´0 jD�2

f .�/

� � ´d� :

E simples verificar que

1

� � ´D

1

.� � ´0/� .´� ´0/D

1

.� � ´0/.1� .´� ´0/=.� � ´0//:

Para j´� ´0j � �1 e j� � ´0j D �2; vemˇˇ´� ´0

� � ´0

ˇˇ �

�1

�2< 1

e a serie geometrica

1

� � ´D

C1X

nD0

.´� ´0/n

.� � ´0/nC1

e absoluta e uniformemente convergente no disco fechado D.´0; �1/. Portanto,como as operacoes de integracao e soma sao permutaveis, obtem-se

f .´/ D1

2�i

Z

j��´0 jD�2

f .�/

C1X

nD0

.´� ´0/n

.� � ´0/nC1d�

DC1X

nD0

1

2�i

�Z

j��´0 jD�2

f .�/

.� � ´0/nC1d�

�.´� ´0/

n ;

com

an D1

2�i

Z

j��´0 jD�2

f .�/

.� � ´0/nC1d� :

O Teorema fica, pois, demonstrado. �

8.2 Teorema de Taylor 295

Nas condicoes do Teorema anterior, dizemos que f admite um desenvolvi-mento em serie de Taylor em torno de ´0. Se ´0 D 0, dizemos que f admite umdesenvolvimento em serie de Maclaurin. E importante notar que estes desenvolvi-mentos sao unicos nos respectivos discos.

Os exemplos que se seguem decorrem do Teorema de Taylor e de (8.4), e vaoao encontro das definicoes de e´, sin ´ e cos ´ apresentadas na seccao 4.5.

Exemplos 8.1

(a) O desenvolvimento em serie de Mclaurin de f .´/D e´, uma vez quef .k/.´/D e´, f .k/.0/D 1, e a serie

e´ DC1X

kD0

´k

kŠD 1C ´C

´2

2C � � � ;

com raio de convergencia R D C1.

(b) O desenvolvimento em serie de Mclaurin de f .´/D sin´ e

sin´ DC1X

kD0

.�1/k´2kC1

.2kC 1/Š;


(c) O desenvolvimento em serie de Mclaurin de f .´/D cos´ e

cos´ DC1X

kD0

.�1/k´2k

.2k/Š;


A partir do desenvolvimento em serie de Mclaurin da funcao exponencial,deduzimos com facilidade os correspondentes desenvolvimentos de Mclaurin parao seno e co-seno hiperbolicos.

Exemplos 8.2 Tem-se

sinh´ DC1X

kD0

´2kC1

.2kC 1/Še cosh´ D

C1X

kD0

´2k

.2k/Š;

sendo o raio de convergencia R D C1.


8.3 Formula Integral de Cauchy para derivadas

Seja f uma funcao holomorfa num domınioD. Consideremos ´ 2D e � > 0tal que D.´;�/ � D. Do Teorema de Taylor (Teorema 8.6) e de (8.4), vem

f .n/.´/ DnŠ

2�i

Z

j��´jDr

f .�/

.� � ´/nC1d� ; (8.5)

onde r < � e arbitrario. Como todo o ponto de D e interior a algum de tais discos,assim se prova a existencia das sucessivas derivadas de f em todo o domınio. Emsimultaneo, encontramos uma formula de representacao para as derivadas, desig-nada por Formula Integral de Cauchy para derivadas.

Em (8.5), podemos substituir a circunferencia j� � ´j D r por qualquer outrocaminho contido em D, simples, fechado, orientado no sentido positivo e como ponto ´ no seu interior. Esta conclusao parecera obvia quando deduzirmos noCapıtulo 9 o Teorema de Cauchy para ciclos (Teorema 9.5). Por ora, impomos acondicao adicional de o caminho estar contido num subconjunto convexo de De raciocinamos do seguinte modo. Demonstremos o resultado para n D 1. Seja ´um ponto no interior de . Existe ı > 0 tal que D.´; ı/ \ tr. / D ;. Tomemosw 2D.´; ı=2/. Pela Formula Integral de Cauchy (Teorema 7.12), tem-se

f .´/ D1

2�i

Z

f .�/

� � ´d� e f .w/ D

1

2�i

Z

f .�/

� � wd� :

Segue-seˇˇf .w/� f .´/

w � ´�

1

2�i

Z

f .�/

.� � ´/2d�

ˇˇ

Dˇˇ 12�i

Z

f .�/

.� � ´/.� � w/d� �

1

2�i

Z

f .�/

.� � ´/2d�

ˇˇ

D1

2�

ˇˇZ

f .�/.w � ´/.� � ´/2.� � w/

d�

ˇˇ

�4

�ı3max

�2tr. /jf .�/jL jw � ´j ;

representandoL o comprimento do caminho . Tomando o limite quando w tendepara ´, concluımos que o segundo membro da desigualdade tende para 0, pelo que

f 0.´/ D limw!´

f .w/� f .´/w � ´

D1

2�i

Z

f .�/

.� � ´/2d� :

8.3 Formula Integral de Cauchy para derivadas 297

A demonstracao segue por inducao sobre n. Deduzimos, assim, o Teorema que sesegue.

Teorema 8.7 (Formula Integral de Cauchy para derivadas) Se f e holomorfaem D, tem aı derivadas de todas as ordens, as quais sao funcoes holomorfas emD, podendo representar-se atraves da formula

f .n/.´/ DnŠ

2�i

Z

f .�/

.� � ´/nC1d� ; n 2 N ;

com qualquer caminho simples, fechado, orientado no sentido positivo, com ´

no seu interior e contido num subconjunto convexo de D.

Deste Teorema, concluımos o seguinte: afirmar que f e contınua num domı-nio D e holomorfa, excepto eventualmente num numero finito de pontos de D,equivale a afirmar que f e holomorfa em todo o domınioD.

Corolario 8.8 Seja f contınua num domınioD e holomorfa em DnM , ondeM eum conjunto finito. Entao f e holomorfa em todos os pontos de D.

DEMONSTRAC AO: Sejam ´0 2M e

D.´0; r/ � D

um disco de centro ´0, nao contendo outros pontos de M . O Teorema de Cauchypara domınios convexos (Teorema 7.9) e o Teorema 7.4 permitem concluir que fpossui uma primitiva no discoD.´0; r/, isto e, existe F holomorfa em D.´0; r/ talque F 0 D f . Pelo Teorema anterior, f tambem e holomorfa nesse disco aberto e,em particular, no ponto ´0. �

Entre as consequencias do Teorema 8.7, assinalamos o conhecido Teoremade Morera que funciona como recıproco do Teorema de Cauchy.

Teorema 8.9 (Teorema de Morera) Se f esta definida e e contınua numa regiaoD, e se Z

f .´/d´ D 0 ;

para todos os caminhos fechados em D, entao f e analıtica em D.

DEMONSTRAC AO: Definamos

F.´/ DZ ´

´0

f .�/d� ; ´ 2D ;

onde ´0 2 D e fixo e o caminho de integracao e qualquer caminho em D unindo´0 a ´: Atendendo a demonstracao do Teorema 7.4, F e analıtica e F 0 D f . PeloTeorema anterior, F 0 D f e analıtica. �


Recorrendo ao Teorema de Morera, vejamos que o limite uniforme de funcoesanalıticas num domınio convexo e ainda uma funcao analıtica.

Teorema 8.10 (Convergencia uniforme de funcoes analıticas) Seja .fn/ uma su-cessao de funcoes analıticas num domınio convexo D. Suponhamos que fn ! f

uniformemente em D. Entao, f e analıtica em D.

DEMONSTRAC AO: Seja ´0 2 D arbitrario. Escolhamos um disco D.´0; r/ � D

de centro ´0 e raio r . Seja qualquer caminho fechado emD.´0; r/. Pelo Teoremade Cauchy para domınios convexos (Teorema 7.9),

R fn.´/d´ D 0. Usando a

hipotese da convergencia de fn para f ser uniforme e recorrendo a permutabilidadedo limite com o sinal de integracao, vem

R f .´/d´D 0. Pelo Teorema de Morera

(Teorema 8.9), f e analıtica em D.´0; r/ e, como ´0 e um ponto arbitrario em D,f e analıtica em D. �

8.4 Teorema de Liouville

Teorema 8.11 (Estimativas de Cauchy) Seja f analıtica num domınio contendoo discoD.´0; r/. Suponhamos que jf .´/j �M , para todo o ´ 2D.´0; r/. Nestascondicoes, se

f .´/ DC1X

nD0

an.´� ´0/n ;

entao

janj �M

rn: (8.6)

DEMONSTRAC AO: Sendo f analıtica em ´0, pelo Teorema de Taylor (Teorema8.6), f admite o desenvolvimento em serie de potencias

f .´/ DC1X

nD0

an.´� ´0/n ;

convergindo a serie no interior do maior disco centrado em ´0 contido no domınio.De (8.4) e (8.5), tomando modulos, vem

janj D1

2�

ˇˇZ

j��´0 jDr

f .�/

.� � ´0/nC1d�

ˇˇ

D1

2�

ˇˇˇ

Z 2�

0

f .´0 C rei�/irei�e�i.nC1/�

rnC1d�

ˇˇˇ

�M

rn;

8.4 Teorema de Liouville 299


As desigualdades que obtivemos provam fundamentalmente que as sucessi-vas derivadas de uma funcao analıtica nao podem ser arbitrarias. Para cada ´0

nas condicoes do enunciado do Teorema anterior, atendendo a (8.4) e (8.6), existesempre um M > 0 e um r > 0 tais que:

jf .n/.´0/j � MnŠ

rn; n 2 N0 : (8.7)

Estas desigualdades nao sao validas, em geral, para funcoes reais de variavelreal. Por exemplo, consideremos f W

��1

2; 3

2

�! R definida por

f .x/ D e�2x2

:

Tem-se M D e0 D 1, ´0 D 12

e r D 1. No entanto, f 0.x/ D �4xe�2x2

eˇˇf 0

�1

2

�ˇˇ D

ˇˇ� 2

pe

ˇˇ D

2p

e> 1 D M

1Š

r1:

Assim, a validade das desigualdades (8.7), bem como a de muitos resultados destecapıtulo, requer que consideremos funcoes definidas num domınio em C. Ora,obviamente que

��1

2; 3

2

�e um aberto como subconjunto de R, mas nao como sub-

conjunto de C, pelo que nao e um domınio em C.

O Teorema de Liouville afirma que uma funcao inteira e limitada em todo oplano complexo se reduz a uma constante. Este Teorema nao e valido no caso defuncoes reais de variavel real. Basta pensar na funcao g.x/ D sin x, x 2 R. Ja emC, a funcao seno complexo nao e limitada, daı que nao entre em contradicao como Teorema de Liouville.

O Teorema de Liouville e um caso particular do Corolario que se segue.

Corolario 8.12 Suponhamos que f e inteira e que existem A � 0 e ˛ � 0 tais que

maxj´jDr

jf .´/j � Ar˛ ;

para todo o r suficientemente grande. Entao, f e uma funcao polinomial de grauinferior ou igual a Œ˛�, representando Œ˛� o maior inteirom tal que m � ˛.

DEMONSTRAC AO: Efectuando o desenvolvimento em serie de Taylor de f emtorno da origem, tem-se

f .´/ DC1X

nD0

an´n ;


para cada ´ 2 C. Ora, jf .´/j � Ar˛ , desde que j´j D r . Tendo em conta (8.6)segue-se que

janj �Ar˛

rn:

Se n � Œ˛�C 1, entao o lado direito da desigualdade acima tende para 0 quandor ! C1, pelo que an D 0. �

Teorema 8.13 (Teorema de Liouville) Toda a funcao inteira e limitada em C econstante em C.

DEMONSTRAC AO: Basta considerar no Corolario anterior ˛ D 0. �

O Teorema de Liouville permite uma demonstracao muito simples do Teo-rema Fundamental da Algebra, tambem conhecido por Teorema de D’Alembert ouTeorema de Gauss. Algebricamente, a demonstracao e mais complicada.

Teorema 8.14 (Teorema Fundamental da Algebra) Seja

p.´/ D a0 C a1Ć � � � C anń ; ´ 2 C ;

com ai 2 C; n 2 N e an ¤ 0. Entao, existe um ponto ´0 2 C tal que p.´0/ D 0,ou seja, todo o polinomio em C tem pelo menos uma raiz em C.

DEMONSTRAC AO: Facamos a demonstracao por reducao ao absurdo. Suponha-mos que p.´0/ ¤ 0, para todo o ´0 2 C: Entao

f .´/ D1

p.´/

e uma funcao inteira. Como an ¤ 0; p nao se anula. O mesmo acontece com f .Provemos que a funcao f e limitada. O Teorema de Liouville (Teorema 8.13) per-mitir-nos-a concluir que f e, consequentemente, p sao constantes, o que e absurdo.Comecaremos por mostrar que p.´/ ! 1 quando ´ ! 1; ou, equivalentemente,que f .´/ ! 0 quando ´ ! 1: Provaremos, pois, que, dado M > 0; existe umnumero K > 0 tal que j´j � K implica jp.´/j � M: Tomando

anń D p.´/� a0 � a1´� � � � � an�1´

n�1

e aplicando a desigualdade triangular, vem

jp.´/j � janjj´jn � ja0j � ja1jj´j � � � � � jan�1jj´jn�1 :

8.5 Teorema da Identidade 301

Seja a D ja0j C ja1j C � � � C jan�1 j e j´j � 1: Tem-se

jp.´/j ��

janjj´j �ja0j

j´jn�1�

ja1jj´jn�2

� � � � � jan�1 j�

j´jn�1

� j´jn�1 .janjj´j � a/ :

Seja K D maxn1; M Ca

janj

o: Se j´j � K, entao jp.´/j � M: Logo, se j´j � K; vem

1

jp.´/j�

1

M:

Para ´ tal que j´j � K;1

p.´/

e uma funcao limitada em valor absoluto por um numero positivo L, porque econtınua e f´ 2 C W j´j � Kg e compacto. Entao, em C, temos

1

jp.´/j� max

�1

M;L

�;

pelo que f e limitada em C. Como observamos no comeco da demonstracao, estefacto conduz a uma contradicao. �

8.5 Teorema da Identidade

O Lema que se segue garante que os zeros de uma funcao complexa, analıticae nao identicamente nula num disco, sao pontos isolados.

Lema 8.15 Seja f uma funcao analıtica num disco aberto da formaD.´0; r/, talque f .´0/ D 0. Nestas condicoes, ou f e identicamente nula em todo o disco,ou ´0 e um zero isolado da funcao, isto e, existe " > 0 tal que D.´0; "/nf´0g naocontem outros zeros de f .

DEMONSTRAC AO: Pelo Teorema de Taylor (Teorema 8.6), tem-se

f .´/ DC1X

nD0

an.´� ´0/n ;

para todo o ´ 2D.´0; r/. Ha duas possibilidades. Se an D 0, n 2 N0, entao f enula em todo o disco. Caso contrario, existe pelo menos um an 6D 0. Consideremoso menor m tal que am 6D 0. Tem-se

f .´/ D .´� ´0/mg.´/ ;


com

g.´/ DC1X

kD0

akCm.´� ´0/k :

A serie que define g tem raio de convergencia superior ou igual a r . Pelos Teore-mas 8.4 e 3.4, a funcao g e contınua no disco D.´0; r/. Como g.´0/ D am 6D 0 eg e contınua em ´0, existe " > 0 tal que g.´/ 6D 0 em D.´0; "/ (vide exercıcio 2.6).Consequentemente, f .´/ 6D 0 em D.´0; "/nf´0g. �

Teorema 8.16 (Teorema da Identidade) Seja f analıtica num domınio D e su-ponhamos que o conjunto dos seus zeros,

Zf D f´ 2D W f .´/D 0g ;

tem um ponto de acumulacao em D. Entao, f e identicamente nula em D.

DEMONSTRAC AO: Seja A o conjunto dos pontos de acumulacao de Zf em D eB D DnA. A demonstracao resume-se a provar que:

(i) A � Zf ;

(ii) A e B sao subconjuntos abertos.

Sendo D um domınio, D e conexo. Por hipotese, A 6D ;. Entao, a condicao (ii)implica que D D A. De (i), conclui-se que f e identicamente nula em D.

Provemos (i). Seja ´0 2 A. Por ser ponto de acumulacao, para cada n 2 N,existe ń 2 D.´0; 1=n/nf´0g tal que f .ń/ D 0. A sucessao .ń/n2N convergepara ´0, pelo que a continuidade de f garante que f .´0/D 0 e, assim, ´0 2 Zf .

Para a prova de (ii), consideremos ´0 2 A. Pelo Lema 8.15, f e identi-camente nula no disco D.´0; r/, para algum r > 0. Entao, D.´0; r/ � A e A eaberto. Por fim, seja ´0 2 B . Como ´0 nao e ponto de acumulacao de Zf , existe" > 0 tal que f nao se anula em D.´0; "/nf´0g. Assim, nenhum ponto de D.´0; "/

pertence a A, pelo que D.´0; "/ � DnA D B e B e aberto. �

A conexidade do domınio D e uma condicao fundamental na aplicacao doTeorema da Identidade, como o proximo exemplo mostra.

Exemplo 8.3 Defina-se a funcao

f .x/ D�1 ; se x 2D.�i; 1=2/0 ; se x 2D.i; 1=2/ :

A funcao f nao e identicamente nula em D D D.�i; 1=2/ [D.i; 1=2/, emboratodos os pontos do disco D.i; 1=2/ sejam pontos de acumulacao do conjunto dosseus zeros, Zf . Note-se que D nao e conexo.

8.6 Os zeros das funcoes analıticas 303

Corolario 8.17 Sejam f e g analıticas num domınioD e suponhamos que o con-junto dos pontos em que coincidem,

f´ 2D W f .´/D g.´/g ;

tem um ponto de acumulacao em D. Entao, f e g coincidem em D.

DEMONSTRAC AO: Basta notar que f´ 2 C W f .´/D g.´/g e o conjunto dos zerosde f � g. �

Como consequencia deste Corolario, podemos afirmar que uma funcao analı-tica fica completamente caracterizada pelos seus valores em qualquer conjunto comum ponto de acumulacao na regiao de analiticidade.

Exemplo 8.4 Consideremos uma funcao f , analıtica no plano complexo, tal que

f .1=n/ D sinh 1=n ; n 2 N :

Mas, 0 e ponto de acumulacao do conjunto S D f1=n W n 2 Ng e f .´/ D sinh ém S . Pelo Corolario anterior, f .´/D sinh ´ em C.

8.6 Os zeros das funcoes analıticas

Sistematizaremos, agora, algumas propriedades importantes das funcoes po-linomiais, p W C ! C; definidas por

p.´/ D a0 C a1Ć � � � C anń ; ´ 2 C ;

com ai 2 C e n 2 N. Ao mesmo tempo, estabeleceremos um paralelismo entreessas propriedades e as das funcoes analıticas.

Diz-se que n e o grau de p e escreve-se n D gr p, se an ¤ 0: Podemostambem considerar o caso em que p e uma funcao constante,

p.´/ D a0 ; ´ 2 C ;

e, nesse caso, dizemos que o seu grau e zero.

A adicao e multiplicacao de duas funcoes polinomiais p1 e p2 de grau, res-pectivamente, n1 e n2, conduzem a novas funcoes polinomiais de grau menorou igual, respectivamente, a maxfn1; n2g e a n1 C n2, ocorrendo igualdade nesteultimo caso sempre que p1p2 ¤ 0. Por outro lado, a soma e o produto de funcoes


inteiras sao novas funcoes inteiras.

As funcoes polinomiais sao inteiras, admitindo derivadas de todas as ordens,as quais sao tambem funcoes polinomiais. Os desenvolvimentos das funcoes poli-nomiais em serie de potencias, validos em C; sao finitos. Esta propriedade e obvia,uma vez que a partir de certa ordem as derivadas de uma funcao polinomial saotodas nulas.

As funcoes inteiras podem desenvolver-se em serie de potencias em torno dequalquer ponto, sendo os desenvolvimentos validos em C: Pode haver nestes de-senvolvimentos uma infinidade de termos com coeficientes nao nulos, tratando-sede uma funcao polinomial se apenas houver um numero finito. Por outras palavras,as funcoes polinomiais caracterizam algumas das funcoes analıticas, atraves do de-senvolvimento em serie de potencias em torno de um ponto.

O Teorema de Gauss (Teorema 8.14) garante a existencia de um ponto´1 2 C

tal que p.´1/D 0; caso o grau do polinomiop seja maior ou igual a 1. O complexo´1 diz-se raiz ou zero de p. E facil mostrar que ´1 e zero de p se e so se p.´/ edivisıvel por ´� ´1. Tem-se

p.´/ D .´� ´1/n1q.´/ ;

com q.´1/ ¤ 0; dizendo-se que n1 e a ordem do zero ´1: E tambem simples obtera decomposicao de p em factores

p.´/ D an.´� ´1/n1 � � � .´� ´r/

nr :

Esta decomposicao e unica, salvo a ordem dos factores. Tem-se

n1 C � � � C nr D n;

sendo n o grau de p. Desta forma, o conjunto dos zeros de p e finito.

O problema da factorizacao das funcoes inteiras e mais complicado do queo das funcoes polinomiais. Ao contrario destas, as funcoes inteiras podem nao terzeros (caso da exponencial complexa), ou ter uma infinidade de zeros (caso do co--seno complexo).

Seja f analıtica num aberto A e ´0 2 A tal que f .´0/D 0: Chama-se ordemdo zero ´0 ao numero natural n0 � 1 tal que

f .´0/ D f 0.´0/ D � � � D f .n0�1/.´0/ D 0 ^ f .n0/.´0/ ¤ 0 :

8.6 Os zeros das funcoes analıticas 305

Se, para todo o n 2 N, f .n/.´0/D 0; diz-se que ´0 e um zero de ordem infinita.

O Teorema que se segue mostra que podemos caracterizar a funcao nula apartir do conjunto dos seus zeros. Relaciona o resultado obtido no Teorema daIdentidade com a ocorrencia de algum zero de ordem infinita. Os pormenores dademonstracao ficam ao cuidado do leitor.

Teorema 8.18 (Os zeros da funcao nula) Sendo f analıtica num domınioD; saoequivalentes:

(a) f e a funcao identicamente nulaI

(b) o conjunto dos zeros de f , Zf , tem em D um ponto de acumulacaoI

(c) f tem em D um zero de ordem infinita.

Se f for uma funcao nao nula e analıtica num domınio D e se ´0 2 D forum zero de f de ordem n0, e possıvel escrever f na forma

f .´/ D .´� ´0/n0g.´/ ;

sendo g analıtica e g.´0/ ¤ 0. Mais: como g e contınua, g nao se anula numavizinhanca de ´0 e ´0 e o unico zero de f nessa vizinhanca (veja-se (8.4) e ademonstracao do Lema 8.15), pelo que ´0 e um ponto isolado de Zf .

Teorema 8.19 (Os zeros de uma funcao analıtica nao nula) Se f e analıticanum domınioD e nao e identicamente nula, entao o conjunto dos seus zeros, Zf ,e vazio ou finito ou infinito numeravel.

DEMONSTRAC AO: Comecemos por observar que, se K for um compacto contidoem D, Zf \K e finito (ou vazio). De facto, acaso esta interseccao fosse infinita,teria um ponto de acumulacao em K, pelo que f seria identicamente nula. PeloTeorema da exaustao compacta de Rn, existe uma sucessao de compactos contidosem D, Kn; cuja reuniao e D. Logo,

Zf DC1[

nD1

.Zf \Kn/ ;

donde resulta a conclusao. �


8.7 Princıpio do Modulo Maximo

Teorema 8.20 (Identidade de Parseval) Seja f analıtica em D.´0; r/ e

f .´/ DC1X

nD0

an.´� ´0/n :

Entao,Z 2�

0

jf .´0 C rei�/j2d� D 2�

C1X

nD0

janj2r2n :

DEMONSTRAC AO: Calculos simples conduzem sucessivamente a

Z 2�

0

jf .´0 C rei�/j2 d� DZ 2�

0

C1X

nD0

anrnein�

C1X

nD0

anrnein� d�

DZ 2�

0

C1X

m;nD0

amanrmCnei.n�m/� d�

DC1X

m;nD0

amanrmCn

Z 2�

0

ei.n�m/� d�

D 2�

C1X

nD0

janj2r2n ;


O Princıpio do Modulo Maximo e um resultado de grande importancia nateoria das funcoes analıticas. Afirma que toda a funcao analıtica e nao-constantenum domınioD nao pode ter maximos locais em D.

Teorema 8.21 (Princıpio do Modulo Maximo) Seja f uma funcao analıtica numdomınioD tal que D.´0; r/ � D: Entao, para cada ´ 2D.´0; r/,

jf .´/j � maxjw�´0 jDr

jf .w/j ;

com ocorrencia de igualdade nalgum ponto ´ 2 D.´0; r/ se e so se f e constanteem D.

8.7 Princıpio do Modulo Maximo 307

DEMONSTRAC AO: Suponhamos que existe ´1 2D.´0; r/ tal que

jf .´1/j D maxw2D.´0;r/

jf .w/j :

Escolhamos s > 0 tal que D.´1; s/ � D.´0; r/. Pela Identidade de Parseval (Teo-rema 8.20), Z 2�

0

jf .´1 C sei�/j2d� D 2�

C1X

nD0

janj2s2n ;

onde f .w/DPan.w � ´1/

n em D.´1; s/. Como

jf .´1/j � maxjw�´1 jDs

jf .w/j ;

vem

jf .´1/j2 D1

2�

Z 2�

0

jf .´1/j2d�

�1

2�

Z 2�

0

jf .´1 C sei�/j2d�

DC1X

nD0

janj2s2n

D jf .´1/j2 C ja1j2s2 C ja2j2s4 C � � �

Desta forma, janj D 0, para todo o n � 1. Daqui resulta que

f .w/ D f .´1/ ; w 2D.´1; s/ :

O Teorema da Identidade (Teorema 8.16) implica que

f .w/ D f .´1/ ; w 2D ;

pelo que f e uma funcao constante no domınioD. �

Corolario 8.22 Suponhamos que f e analıtica num domınioD e contınua em D,com D compacto. Entao,

max´2D

jf .´/j D max´2@D

jf .´/j ;

ou seja,jf .´/j � max

´2@Djf .´/j ;

para todo o ´ 2D, a menos que f seja constante.


Exemplo 8.5 Determinemos o maximo de j sin ´j no quadrado Œ0; 2�� Œ0; 2��.A funcao sin ´ e inteira e, pelo Corolario 8.22, o maximo do seu modulo ocorre nafronteira do quadrado. Calculos rotineiros mostram que

j sin ´j2 D sin2 xC sinh2 y ;

com ´ D x C iy (cfr. seccao 5.2). Sobre a recta y D 0, o maximo de j sin ´j2e 1. Por outro lado, sobre x D 0, o valor do maximo e sinh2 2� , pois a funcaoseno hiperbolico real e monotona crescente. Para x D 2� , o maximo e novamentesinh2 2� e para y D 2� , o maximo e sinh2 2�C 1D cosh2 2� . Assim, o maximode j sin ´j2 na fronteira do quadrado ocorre no ponto x D 2� , y D 2� e tem o valorcosh2 2� . Portanto, o maximo de j sin ´j no quadrado Œ0; 2�� Œ0; 2�� e cosh 2� .


Exercıcio 8.1 Estude o desenvolvimento em serie de Taylor de f numa vizinhancade ´0, quando:

(a) f .´/DĆ 1

´� 1e ´0 D 0;

(b) f .´/D1

´2e ´0 D 1;

(c) f .´/D sin2 ´ e ´0 D�

4;

(d) f .´/D3Ć 8

.2´� 3/.´2 C 4/e ´0 D 0.

Exercıcio 8.2 Verifique que sao validos os seguintes desenvolvimentos em seriede Maclaurin:

(a) .1C ´/˛ D e˛Log.1C´/ DC1X

nD0

˛

n

!ń ; j´j < 1 , onde

˛ 2 C ;

˛

0

!D 1 e

˛

n

!D˛.˛ � 1/ : : : .˛ � .n � 1//

nŠ; n 2 N I

(b)1

1C ´D

C1X

nD0

.�1/nń ; j´j < 1 ;


(c)1

1� ´D

C1X

nD0

ń ; j´j < 1 ;

(d) arc tg ´DC1X

nD0

.�1/n´2nC1

2nC 1; j´j < 1 ;

(e) Log.1C ´/ DC1X

nD1

.�1/n�1ń

n; j´j< 1 ;

(f) Log.1� ´/ D �C1X

nD1

ń

n; j´j < 1 .

Exercıcio 8.3 Desenvolva f e f 0 em serie de Taylor em torno do ponto ´0, indi-cando a respectiva regiao de convergencia:

(a) f .´/D´6

´� 3ie ´0 D 0;

(b) f .´/D e1=´ e ´0 D 1;

(c) f .´/D arc tg ´ e ´0 D 0;

(d) f .´/D Log.4C 3´� ´2/ e ´0 D 2.

Exercıcio 8.4 Seja f uma funcao analıtica em Cnf0g tal que

f .1=n/ D 0 ; n 2 N :

Perante as condicoes apresentadas, pode concluir que f e a funcao identicamentenula em Cnf0g? Justifique.

Exercıcio 8.5

(a) Usando o Teorema de Gauss (Teorema 8.14), prove que se p e umpolinomio de grau maior ou igual a 1, entao p.C/ D C:

(b) Apresente exemplos de funcoes inteiras f para as quais f .C/ 6D C 21.

21O Pequeno Teorema de Picard estabelece que o contradomınio de uma funcao inteira nao-cons-tante ou e C ou e Cnf´0g, para algum ´0 2 C.


Exercıcio 8.6

(a) Nas condicoes do exercıcio anterior, prove que

lim´!C1

p.´/ D C1 :

(b) Mostre que, no caso das funcoes inteiras, o limite

lim´!C1

f .´/

pode nao existir.

Sugestao: Considere a exponencial complexa e observe que se teme2k�i D 1! 1; enquanto que e.2kC1/�i D �1! �1:

Exercıcio 8.7 Seja f uma funcao holomorfa num conjunto compacto D:

(a) Justifique que jf j tem um maximo em D:

(b) Suponha que o maximo e atingido num ponto interior ´0, ou seja, queexiste um discoD.´0;R/ �D tal que jf .´/j � jf .´0/j; para todo o´ 2 D.´0;R/: Tomando uma circunferencia de equacao´D ´0 C rei� ; 0 � � � 2� (r < R), mostre que

f .´0/ D1

2�

Z 2�

0

f .´0 C rei�/d�

e assim

jf .´0/j �1

2�

Z 2�

0

jf .´0 C rei�/jd� :

(c) Justifique que, como jf .´/j � jf .´0/j; para todo o ´ 2D.´0;R/; setem

1

2�

Z 2�

0

jf .´0 C rei�/jd� � jf .´0/j:

(d) Deduza de (b) e (c) que

1

2�

Z 2�

0

jf .´0 C rei�/j � jf .´0/jd� D 0 ;


e assim

jf .´0 C rei�/j D jf .´0/j ; � 2 Œ0; 2�� ;

ou ainda, dado que r e qualquer numero real inferior a R;

jf .´/j D jf .´0/j ; ´ 2D.´0;R/ :

(e) Justifique que a conclusao anterior implica que f .´/D f .´0/, nao soem D.´0;R/, mas em todo o conjuntoD, contrariamente a hipotese.

(f) Acaba de obter uma demonstracao alternativa para um Teorema japrovado anteriormente. Enuncie-o.

Exercıcio 8.8 Seja f uma funcao contınua num compacto R. Suponhamos quef e holomorfa, nao-constante e que nunca se anula no interior de R. Considerea funcao 1=f para provar que jf .´/j tem o valor mınimo N algures em @R e quejf .´/j > N , para cada ponto no interior de R:

Exercıcio 8.9 Consideremos uma funcao f contınua num compacto R e holo-morfa, mas nao-constante, no interior de R. Suponhamos, agora, que f .´0/ D 0

num ponto ´0 no interior de R. Poder-se-a ainda garantir que jf .´/j tenha o valormınimo na fronteira?Sugestao: Considere a funcao identidade.

Exercıcio 8.10 Seja f .´/D .´C 1/2 e 4 o triangulo de vertices em 0, 1, i: Ondee que jf .´/j atinge o seu valor maximo? Justifique.

Exercıcio 8.11 Seja f .´/ D u.x;y/C iv.x;y/ uma funcao contınua num com-pacto R e holomorfa, mas nao-constante, no interior de R.

(a) Mostre que a funcao u.x;y/ atinge o seu valor maximo na fronteirade R e nunca no interior, onde e harmonica.

Sugestao: Aplique o Corolario 8.22 a funcao ef .´/.

(b) Determine o maximo de u.x;y/D sin x cosh y no quadrado unitarioŒ0; 1�� Œ0; 1�.


8.9 Laboratorio 8

Apresentamos os objectivos deste Laboratorio a desenvolver com o softwareMathematica.

1) Visualizacao das raızes de um polinomio complexo.

2) Desenvolvimento de funcoes em serie de Taylor em torno de pontosarbitrarios do plano complexo.

3) Determinacao do raio de convergencia de uma serie de Taylor.

Visualizacao de raızes com o Mathematica

O Teorema Fundamental da Algebra (Teorema 8.14) garante que uma equa-cao polinomial geral com coeficientes complexos tem todas as suas solucoes nocorpo dos complexos. Existe um modo simples de visualizar estas raızes como programa Mathematica. A ideia consiste simplesmente em tracar -Log[] dovalor absoluto do polinomio ou ainda o quadrado de Log[] do valor absoluto dopolinomio. Por exemplo, consideremos o polinomio:

In[1]:= Clear@"Global`*"D;q@z_D := z5 - 1;

Os cinco zeros correspondem aos picos da figura.

In[3]:= Plot3D@HLog@Abs@q@x + I * yDDDL^2,8x, -1.2, 1.2<, 8y, -1.2, 1.2<, PlotPoints ® 50D

-1-0.5

00.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

01234

-1-0.5

00.5

1



Substituindo a funcao Plot3D[] por ContourPlot[] podemos facilmente obtervalores aproximados para as raızes do mesmo polinomio, identificadas na figuracom os cinco picos.

In[4]:= ContourPlot @HLog@Abs@q@x + I * yDDDL^2,8x, -1.2, 1.2<, 8y, -1.2, 1.2<, PlotPoints ® 50D

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Out[4]= � ContourGraphics �

Para se obterem os valores aproximados em termos de coordenadas x e y, basta se-leccionar o grafico e, enquanto se pressiona a tecla Control, deslocar o rato ao longodo grafico. As correspondentes coordenadas surgem no canto inferior esquerdo. Epossıvel guardar os valores pretendidos das coordenadas. Para isso, enquanto sepressiona a tecla Control, move-se o rato para as posicoes desejadas, dando um cliccom o botao esquerdo do rato em cada posicao. De seguida, efectua-se a operacao”copy-paste” para uma determinada celula do notebook. A informacao obtida e,entao, colocada em comentario.

In[5]:= H* 88-0.808137,0.599683<,80.307063,0.965007<,80.999256,0.0228551<,80.316677,-0.92891<,8-0.808137,-0.563586<< *L


Considerando os valores encontrados como ponto de partida, a funcao FindRoot[]permite determinar com rigor as raızes do polinomio. Assim, para a primeira raizindicada, tem-se

In[6]:= FindRoot@z5 - 1, 8z, -0.808137 + 0.599683 I<DOut[6]= 8z ® -0.809017 + 0.587785 ä<

Comprovemos com o Mathematica:

In[7]:= z5 - 1 �. FindRoot@z5 - 1, 8z, -0.808137 + 0.599683 I<DOut[7]= 2.22045 ´ 10-16 + 5.77609 ´ 10-17 ä

O valor obtido ja e muito proximo de zero.

Desenvolvimento de funcoes complexas em serie de Taylor

Determinemos os sete primeiros termos do desenvolvimento em serie deTaylor de

f .´/ De´2

´2 � 6´em torno de ´0 D 2. A resolucao e simples. Basta utilizar a funcao Series[] doMathematica.

In[8]:= ? Series

Series@f, 8x, x0, n<D generates a power series expansion forf about the point x = x0 to order Hx - x0L^n. Series@f, 8x, x0, nx<, 8y, y0, ny<D successively finds

series expansions with respect to y, then x. More…

In[9]:= Series@Exp@z2D � Hz2 - 6 zL, 8z, 2, 6<DOut[9]= -

ã4��8

-15��32

ã4 Hz - 2L -131��128

ã4 Hz - 2L2 -

2513 ã4 Hz - 2L3��

1536-4331 ã4 Hz - 2L4��

2048-

285797 ã4 Hz - 2L5��

122880-663011 ã4 Hz - 2L6��

294912+ O@z - 2D7


Se o leitor pretender valores numericos para os termos, deve utilizar, como habi-tualmente, a funcao N[]. Determinemos, agora, o raio de convergencia da serie deTaylor utilizando a funcao TaylorRatioTest[] que passamos a definir.

In[10]:= TaylorRatioTest @func_, z0_, lastterm_ D :=

Module@ 8z, i, k, n, g, h, lt<,lt = lastterm ;

g@0D = func@zD;g@n_D := g@nD = D@g@n - 1D, zD;k = 0;

h@n_D := h@nD = Module@ 8a<,For@k++; a = Hg@kD � k!L �. z ® z0,

a � 0,

k = k + 1,

a = Hg@kD � k!L �. z ® z0D;Return@aD;D;

Table@Abs@N@h@iD � h@i + 1DDD, 8i, 1, lt<DD;Desta forma, TaylorRatioTest[f,z0,k] permite obter os primeiros k termos dasucessao un D janj=janC1j, construıda a partir dos coeficientes an do desenvolvi-mento em serie de Taylor da funcao f em torno do ponto ´0. Observando a listaobtida, ficamos com uma ideia sobre o limite dessa sucessao.

In[11]:= TaylorRatioTest @f, 2, 60DOut[11]= 80.458015, 0.625547, 0.773647, 0.909247, 1.03454, 1.1519,

1.26248, 1.36744, 1.46746, 1.56321, 1.65512, 1.74362,1.82901, 1.91159, 1.99156, 2.06914, 2.14447, 2.21773,2.28901, 2.35846, 2.42611, 2.49213, 2.55649, 2.61937,2.68069, 2.74066, 2.79909, 2.85635, 2.91196, 2.96669,3.01946, 3.07193, 3.12154, 3.17234, 3.21786, 3.26858,3.30724, 3.36258, 3.38602, 3.46062, 3.44271, 3.58408,3.44031, 3.81026, 3.26372, 4.46772, 2.62012, 8.02313,1.18387, 13.1684, 0.505689, 3.29435, 1.49437, 2.30274,1.85471, 2.07776, 1.96088, 2.0202, 1.98976, 2.00522<

Os dados obtidos levam-nos a conjecturar que o raio de convergencia pretendido e2.


Em seguida, propomos ao leitor a determinacao dos seis primeiros termos dodesenvolvimento em serie de Taylor de

f .´/ Dsinh.�´/

´2 � 4i

em torno da origem, bem como a determinacao do respectivo raio de convergencia.

De que irei ocupar-me no ceu, durante toda a eternidade, senao me derem uma infinidade de problemas de Matematica pararesolver?

Augustin-Louis Cauchy

Capítulo 9Teorema de Cauchy: Versao

Homologica

9.1 Prolongamento analıtico: um preliminar

Sempre que falarmos em vizinhanca omissa de um ponto ´0, estaremos a re-ferir-nos a uma vizinhanca de ´0, excluindo eventualmente o proprio ponto ´0.

Dados dois domıniosD1 eD2, nao disjuntos, e dada uma funcao f1 analıticaem D1, pode existir uma funcao f2 analıtica em D2 tal que f1 e f2 coincidamna parte comum dos seus domınios. Se tal acontecer, f2 diz-se o prolongamentoanalıtico de f1 ao domınioD2. A unicidade de tal prolongamento e garantida peloTeorema da Identidade (vide Teorema 8.16 e Corolario 8.17).

O Teorema 9.1 estabelece uma condicao necessaria e suficiente para a exis-tencia (e unicidade) do prolongamento analıtico de uma funcao analıtica, definidanuma vizinhanca omissa, a toda essa vizinhanca.

Teorema 9.1 (Prolongamento a partir de uma vizinhanca omissa) Suponhamosque f e analıtica numa regiao Dnf´0g, obtida de D por omissao do ponto ´0.Uma condicao necessaria e suficiente para que exista uma funcao g, analıtica emD, que coincida com f em Dnf´0g e que

lim´!´0

.´� ´0/f .´/ D 0 :

A funcao g e, entao, determinada de modo unico.

317

318 CAPITULO 9: Teorema de Cauchy: Versao Homologica

DEMONSTRAC AO: A condicao necessaria e consequencia de a funcao prolongadaser forcosamente contınua em ´0. Para provarmos a condicao suficiente, conside-remos uma circunferencia C centrada em ´0, tal que C e os seus pontos interioresestao contidos emD. Para todo o ´¤ ´0 interior a C , temos, pela Formula Integralde Cauchy (vide Teorema 7.12 e observacao 7.1) e de acordo com (7.24),

f .´/ D1

2�i

Z

C

f .�/

� � ´d� :

Mas, o integral no segundo membro representa uma funcao analıtica em todo ointerior de C . Portanto, a funcao que coincide com f , para todo o ´ ¤ ´0, e quetoma o valor

1

2�i

Z

C

f .�/

� � ´0d�

para ´D ´0 e analıtica em D. �

O leitor interessado na teoria do prolongamento analıtico pode consultar[6, Cap.2] ou [20, Cap.6].

9.2 Teorema de Cauchy: demonstracao de Dixon

O Teorema de Cauchy e a Formula Integral de Cauchy valem em condicoesmais gerais que as ja estudadas e que importa analisar. A generalizacao pode pers-pectivar-se segundo as seguintes vias: por um lado, investigar as regioes onde oTeorema de Cauchy tem validade universal, por outro lado, dada uma regiao ar-bitraria caracterizar as curvas para as quais o Teorema de Cauchy e valido.

Lidaremos com o integral de caminho ao longo de cadeias e ciclos. Lembra-mos que uma cadeia e uma soma formal

D 1 C � � � C n ;

onde 1; : : : ; n sao caminhos em C. Este conceito foi introduzido na seccao 2.5.

Do mesmo modo que a subdivisao de um caminho nao e unica, tambemdiferentes somas formais podem representar a mesma cadeia. Consideraremos duascadeias identicas se conduzirem aos mesmos integrais curvilıneos para todas asfuncoes f . As operacoes seguintes nao alteram a identidade de uma cadeia:

I. permutacao de caminhos;

II. subdivisao de um caminho;

9.2 Teorema de Cauchy: demonstracao de Dixon 319

III. fusao de caminhos parciais num so caminho;

IV. nova reparametrizacao de um caminho;

V. cancelamento de caminhos opostos.

Se f for contınua em tr. 1/; : : : ; tr. n/, com 1; : : : ; n caminhos em C tais que

D 1 C � � � C n ;

entao, por definicao (e de acordo com o Teorema 7.2),Z

f .´/ d´ DnX

iD1

Z

i

f .´/ d´ :

Um ciclo e uma soma formal de caminhos fechados. Provaremos a versaodo Teorema de Cauchy para ciclos. Comecemos pela apresentacao de tres Lemasnecessarios a sua demonstracao.

Lema 9.2 Suponhamos que f W D � C ! C e uma funcao contınua ao longo deum ciclo . Entao,

F.´/ DZ

f .�/

� � ´d�

e analıtica em cada uma das regioes determinadas pelo ciclo .

DEMONSTRAC AO:

(a) Provemos, em primeiro lugar, que F e contınua em Cntr. /. Seja´0 62 tr. /. Escolhamos ı tal que

D.´0; ı/\ tr. / D ; :

Entao, para todo ´ 2D.´0; ı=2/, tem-se

inffj� � ´j W � 2 tr. /g �ı

2:

Assim,

jF.´/�F.´0/j DˇˇZ

f .�/

� � ´d� �

Z

f .�/

� � ´0d�

ˇˇ

DˇˇZ

f .�/.� � ´0/� f .�/.� � ´/.� � ´/.� � ´0/

d�

ˇˇ

Dˇˇ.´� ´0/

Z

f .�/

.� � ´/.� � ´0/d�

ˇˇ

� j´� ´0j4

ı2max

�2tr. /jf .�/jL :


Tomando

k D4

ı2max

�2tr. /jf .�/jL ;

para cada " > 0, vem

j´� ´0j <"

k) jF.´/�F.´0/j < ";

o que mostra que F e contınua em ´0.

(b) Provemos, agora, que F e derivavel em ´0. Considere-se

g.´/ DF.´/�F.´0/

´� ´0:

Tem-se

g.´/ DZ

f .�/

.� � ´/.� � ´0/d� D

Z

f .�/��´0

� � ´d� :

Mas, a funcaof .�/

� � ´0

e contınua em tr. /. Logo, de acordo com a alınea (a), g e contınua.Sendo assim, existe o limite

lim´!´0

g.´/ D g.´0/ D F 0.´0/ ;

pelo que F e derivavel em ´0. �

Lema 9.3 Suponhamos que D e uma regiao, um ciclo em D e f W D �D ! C

uma funcao contınua. Suponhamos ainda que f .w; ´/ e analıtica como funcao de´, para cada w fixo. Nestas condicoes,

F.´/ DZ

f .w; ´/dw

e analıtica em D.

DEMONSTRAC AO: Seja ´0 2D. Provemos que F e analıtica em ´0. Seja C umacircunferencia tal que ´0 esteja no interior de C e C � D. Entao, aplicando aFormula Integral de Cauchy tem-se, para todo o ´ no interior de C ,

f .w; ´/ D1

2�i

Z

C

f .w; �/

� � ´d� :


Substituindo na expressao original e aplicando o conhecido Teorema de Fubini,vem

Z

f .w; ´/dw DZ

�1

2�i

Z

C

f .w; �/

� � ´d�

�dw

DZ

C

�Z

1

2�i

f .w; �/

� � ´dw

�d�

DZ

C

R 1=.2�i/f .w; �/dw

� � ´d� :

Mas,R

1=.2�i/f .w; �/dw e uma funcao de � contınua, pois e o integral de umafuncao contınua. Logo, podemos aplicar o Lema 9.2 a esta nova funcao e concluira analiticidade de F no interior de C e, consequentemente, em ´0. �

Lema 9.4 Seja f analıtica num domınioD e seja F W D ! C definida por

F.´/ D

8<:

f .´/� f .´0/

´� ´0; se ´ 6D ´0

f 0.´0/ ; se ´D ´0

;

com ´0 2D. Entao, F e analıtica em D.

DEMONSTRAC AO: Este resultado e consequencia quase imediata do Teorema 9.1.De facto, considere-se em Dnf´0g a funcao

F �.´/ Df .´/� f .´0/

´� ´0:

Claramente F � e analıtica em Dnf´0g. Logo, pelo Teorema referido, existeG W D ! C que e analıtica em ´0 e coincide com F � em Dnf´0g. Como G eforcosamente contınua, tem-se

G.´0/ D lim´!´0

G.´/ D lim´!´0

f .´/� f .´0/

´� ´0D f 0.´0/ D F.´0/ :

Logo, G D F , pelo que F e analıtica em D. �


Teorema 9.5 (Teorema de Cauchy para ciclos) Seja D um domınio em C e seja um ciclo em D. Suponhamos que, para todo o ´ 62 D, n. ;´/ D 0. Entao, paratoda a funcao f analıtica em D verifica-se

(a)R

f .´/ d´D 0I

(b) n. ;´/f .´/ D1

2�i

Z

f .�/

� � ´d�, para todo o ´ em D tal que

´ 62 tr. /.

DEMONSTRAC AO: Seja f uma funcao analıtica em D. Consideremos a funcaog W D �D ! C definida por

g.�;´/ D

8<:

f .�/� f .´/� � ´

; se � 6D ´

f 0.´/ ; se � D ´

:

A funcao g e contınua, pois para � 6D ´ e o quociente de funcoes contınuas e para� D ´ tem-se

lim.´1;´2/!.´;´/

g.´1; ´2/ D lim.´1;´2/!.´;´/

f .´1/� f .´2/

´1 � ´2D f 0.´/ D g.´;´/ :

Por outro lado, pelo Lema 9.4, tem-se que g� .´/D g.�;´/ e analıtica em D, paracada � fixo. Adoptemos, em seguida, a notacao

E D f´ 2 C W n. ;´/D 0g

e definamos h W C ! C por

h.´/ D

8<

:

R g.�;´/ d� ; se ´ 2DZ

f .�/

� � ´d� ; se ´ 2 E

:

Note-se que, de acordo com o enunciado, tem-se CnD � E, pelo queD [E D C.


Note-se ainda que h esta bem definida pois para ´ 2D \E, tem-se

Z

g.�;´/d� DZ

f .�/� f .´/� � ´

d�

DZ

f .�/

� � ´d� �

Z

f .´/

� � ´d�

DZ

f .�/

� � ´d� � f .´/

Z

1

� � ´d�

DZ

f .�/

� � ´d� � 2�i f .´/n. ;´/

DZ

f .�/

� � ´d� :

Mas, entao, o Lema 9.2 garante a diferenciabilidade de h em E e o Lema 9.3 emD, pelo que h e inteira. Sabemos tambem que E e a regiao nao limitada definidapelo ciclo . Assim, quando ´! 1, tem-se

jh.´/j DˇˇZ

f .�/

� � ´d�

ˇˇ � L max

�2tr. /

jf .�/jj� � ´j

! 0 ;

uma vez que j� � ´j ! C1. Desta forma, temos que

limj´j!C1

h.´/ D 0 ;

donde se conclui que h e limitada. Estamos em condicoes de aplicar o Teorema deLiouville (Teorema 8.13), concluindo-se que h e constante. Mais ainda, h e nula.Temos assim, para cada ´ 2Dntr. /,

h.´/ D 0 )Z

g.�;´/d� D 0

)Z

f .�/� f .´/� � ´

d� D 0

)Z

f .�/

� � ´d� D

Z

f .´/

� � ´d�

)Z

f .�/

� � ´d� D 2�i f .´/n. ;´/ :


Provamos, desta forma, o segundo ponto do Teorema. Por fim, escolha-se u 2D edefina-se

F.´/ D .´� u/f .´/ :

Mas, se f e analıtica em D, F tambem o e. Alem disso, F.u/D 0. Aplicando oraciocınio anterior a esta nova funcao no ponto u, vem

Z

F.�/

� � ud� D 2�i F.u/n. ;u/ )

Z

f .�/d� D 0 :

Esta assim concluıda a demonstracao do Teorema. �

Corolario 9.6 Seja D um domınio em C e seja f uma funcao analıtica em D. Se 1 e 2 forem ciclos em D tais que n. 1; ´/D n. 2; ´/, para todo o ´ 62D, entao

Z

1

f .´/ d´ DZ

2

f .´/ d´ :

DEMONSTRAC AO: Se n. 1; ´/ D n. 2; ´/, para todo o ´ 62 D, entaon. 1 � 2; ´/D 0, para todo o ´ 62D. Portanto,

Z

1� 2

f .´/ d´ D 0 :

Logo, Z

1

f .´/ d´ DZ

2

f .´/ d´ ;


Vejamos, agora, a formula de Cauchy para as derivadas de ordem n.

Teorema 9.7 (Formula de Cauchy para derivadas) SejamD um domınio em C, um ciclo em D e f uma funcao analıtica em D. Suponhamos que n. ;´/ D 0,para todo o ´ 62D. Tem-se

n. ;´/f .n/.´/ DnŠ

2�i

Z

f .�/

.� � ´/nC1d� ;

para n 2 N e todo o ´ 2D tal que ´ 62 tr. /.

DEMONSTRAC AO: Usa-se a Formula Integral de Cauchy apresentada no Teorema9.5, procedendo-se a derivacao sucessiva de ambos os membros n vezes (cfr. dedu-cao do Teorema 8.7). �

9.3 Teorema de Cauchy para simplesmente conexos 325

9.3 Teorema de Cauchy para simplesmente conexos

Vejamos uma caracterizacao util dos domınios simplesmente conexos, carac-terizacao essa ja mencionada na seccao 2.6.

Teorema 9.8 (Caracterizacao dos domınios simplesmente conexos) Uma regiaoD e simplesmente conexa se e so se n. ;´/ D 0, para todos os ciclos em D etodos os pontos ´ que nao pertencam a D.

DEMONSTRAC AO: A necessidade da condicao e imediata. Com efeito, seja umciclo arbitrario em D. Se o complementar de D em bC e conexo, deve estar contidonuma das regioes determinadas por tr. /. Como 1 pertence ao complementar, estetem que ser uma regiao nao limitada. Assim, de acordo com o Teorema 7.11,

n. ;´/ D 0

para todos os pontos finitos do complementar. Para a demonstracao da condicaosuficiente, remetemos o leitor para [1, pp.139–140]. �

Deste Teorema e da versao do Teorema de Cauchy demonstrada neste capı-tulo, resulta imediatamente o seguinte Teorema.

Teorema 9.9 (Teorema de Cauchy para simplesmente conexos) Seja D um do-mınio simplesmente conexo, seja um ciclo emD e seja f analıtica emD. Tem-se

(a)R

f .´/ d´D 0I

(b) n. ;´/f .´/ D1

2�i

Z

f .�/

� � ´d�, para todo o ´ em D tal que

´ 62 tr. /I

(c) n. ;´/f .n/.´/DnŠ

2�i

Z

f .�/

.� � ´/nC1d�, para n 2 N e todo o ´ em

D tal que ´ 62 tr. /.

Estamos em condicoes de provar a existencia de primitiva ou antiderivadapara qualquer funcao analıtica num domınio simplesmente conexo.

Teorema 9.10 (Existencia de antiderivada) Seja f uma funcao analıtica numdomınio simplesmente conexo D. Entao, existe uma funcao analıtica F definidaem D, unica a menos da adicao de uma constante, tal que F 0.´/ D f .´/, paratodo o ´ 2D.


DEMONSTRAC AO: Sabemos que uma antiderivada, caso exista, e unica a menosda adicao de uma constante. Para provarmos a existencia, basta ter em conta oTeorema anterior e o Teorema da independencia do caminho de integracao (Teo-rema 7.4). �

De seguida, provamos que toda a funcao harmonica u definida num domıniosimplesmente conexo D admite conjugada harmonica em D, isto e, existe umafuncao analıtiva f em D tal que u e a parte real de f .

Teorema 9.11 (Existencia de conjugada harmonica) Seja u uma funcao harmo-nica definida num simplesmente conexo D. Entao, existe uma funcao harmonica vem D tal que f D uC iv e analıtica em D.

DEMONSTRAC AO: Caso f exista, temos obrigatoriamente

f 0 D ux C ivx D ux � iuy :

Consideremos g D ux � iuy. Como u satisfaz a Equacao de Laplace, podemosaplicar o Teorema 3.7 e concluir que g e analıtica em D. O Teorema 9.10 garantea existencia de uma funcao analıtica F em D tal que F 0 D g. Logo,

.u�ReF /x D .u� ReF/y D 0

em D, pelo que u � ReF iguala uma constante real k. Por fim, considere-sef D F C k. Tem-se f analıtica em D e Ref D u. �

Segue-se um resultado util em domınios simplesmente conexos.

Teorema 9.12 (Ramo analıtico de log f ) Seja D um domınio simplesmente co-nexo e f analıtica em D, tal que f .´/ 6D 0, qualquer que seja o ´ 2 D. Entao,log f tem um ramo analıtico em D.

DEMONSTRAC AO: Como f .´/ 6D 0, para ´ 2 D, f 0=f e analıtica em D. PeloTeorema 9.10, f 0=f tem uma primitiva em D. O Teorema 7.4 fornece-nos ummetodo para construir uma primitiva de f 0=f . Fixemos ´0 2D e definamos

F.´/ DZ ´

´0

f 0.�/

f .�/d�CA;

onde o caminho de integracao e qualquer caminho em D indo de ´0 a ´ e A qual-quer valor de log f .´0/. A funcao F e analıtica. Mostremos que e um ramo delog f , isto e, que se tem

eF .´/ D f .´/ :

9.4 A superfıcie de Riemann 327

Comecemos por observar que

d

d´e�F .´/f .´/ D �e�F .´/f

0.´/

f .´/f .´/C e�F .´/f 0.´/ D 0 :

Assim, e�F f e constante e, como

e�F .´0/f .´0/ D e�Af .´0/ D 1 ;

e�F f e identicamente igual a 1. Logo, o Teorema fica provado. �

Nas condicoes do Teorema anterior, f ˛ tem um ramo analıtico para qualquer˛ 2 C, uma vez que

f ˛.´/ D e˛ log f .´/ :

Em particular, podemos considerar um ramo analıtico para a funcao npf .

Para tal, basta ter em conta que

npf .´/ D e1=n log f .´/ :

9.4 A superfıcie de Riemann

Introduzimos neste ponto, de modo intuitivo, o conceito de superfıcie deRiemann.

Bernhard Riemann (1826–1866) inventou uma construcao (mental e naopassıvel de modelacao fısica) muito engenhosa e inspirada para visualizacao defuncoes multıvocas. Em vez de considerarmos ramos individuais de uma funcaomultıvoca definidos no plano complexo cortado, passamos a considerar todos osramos em simultaneo, cada um definido numa copia de C. Assim, tratamos oagregado de ramos como uma funcao definida num domınio consistindo nas cor-respondentes copias do plano complexo. Essas copias sao coladas umas as ou-tras de modo a que nos possamos mover continuamente de uma para a outra. Aestrutura de ”universos paralelos” assim obtida e conhecida como superfıcie deRiemann da funcao multıvoca. Um parque de estacionamento de varios andaresfornece uma boa imagem de comparacao.

As superfıcies de Riemann dependem da funcao em analise. Apresentamosuma sua formulacao nao tecnica para a funcao logaritmo.

Consideremos o plano complexo, com a origem retirada, como uma fina fo-lha de papel, com um corte ao longo do semi-eixo real negativo. Designemos por


R0 esta folha, e nela tomemos � a variar de �� a � . Consideremos uma novafolha R1 em tudo analoga a anterior, colocada paralelamente a original e acima.”Colemos” as duas folhas segundo o corte efectuado na folha inferior R0 e o cortena folha superior R1. Em R1, o angulo � varia de � a 3� . Tomemos uma novafolha, R2, construıda de forma analoga as anteriores, coloquemo-la paralelamentee acima das outras duas e efectuemos como anteriormente a colagem nos cortes.Procedamos de modo semelhante para as folhas R3, R4, ...

SejaR�1 uma folha em tudo semelhante as precedentes, mas onde � varia de�� a �3� . Coloquemo-la paralelamente, mas abaixo de R0, sendo o corte destacolado ao corte de R�1. As folhasR�2, R�3, ... sao construıdas de igual modo.

As coordenadas polares .r; �/ de um ponto em qualquer uma das folhas po-dem ser consideradas como as coordenadas polares da projeccao do ponto sobreo plano complexo inicial, sendo a coordenada angular restrita a uma faixa de 2�radianos em cada uma das folhas.

Consideremos uma curva arbitraria na superfıcie conexa de infinitas folhasdeste modo gerada. A medida que o ponto ´ descreve a curva, o log ´ varia con-tinuamente, pois tanto r como � variam continuamente. Alem disso, o logaritmode ´ assume um so valor correspondente a cada ponto da curva. Quando o pontoefectua uma volta completa em torno da origem sobre a folhaR0, o angulo � variade �� a � , e quando atravessa a recta � D � o ponto passa para a folha R1 dasuperfıcie. Quando o ponto descreve uma volta completa em torno da origem sobrea folha R1, o angulo � varia de � a 3� , e quando atravessa a recta � D 3� passapara a folha R2. A superfıcie descrita e uma superfıcie de Riemann para log ´.Nela, o logaritmo e uma funcao unıvoca. Mais: a transformacao w D log ´ aplicatoda a superfıcie de Riemann um-a-um sobre o plano�w.

O logaritmo de ´ definido na folhaR0 e o prolongamento analıtico da funcaounıvoca logaritmo principal definida no plano complexo sem o semi-eixo real ne-gativo. O logaritmo definido na superfıcie de Riemann, mais do que uma funcaounıvoca, e uma funcao analıtica na superfıcie. Efectuando os cortes ao longo deoutras semi-rectas emergentes da origem e unindo as folhas convenientemente,obtem-se outras superfıcies de Riemann para log ´.

Deixamos como desafio ao leitor uma descricao da superfıcie de Riemann


para a funcao raiz quadrada

´1=2 D r1=2

�cos

�

2C i sin

�

2

�;

efectuando os cortes segundo o semi-eixo real positivo.

9.5 Laboratorio 9

O objectivo deste Laboratorio consiste na visualizacao no Mathematica dalocalizacao dos zeros da funcao zeta de Riemann.

Um dos mais famosos problemas matematicos em aberto e a hipotese deRiemann, uma conjectura sobre a localizacao dos zeros da funcao zeta de Riemann.O Mathematica pode ser utilizado para investigar varios aspectos desta conjectura,muito importante em virtude das suas conexoes com outros problemas, como adistribuicao dos numeros primos.

A funcao zeta de Riemann e definida por

�.´/ DC1X

nD1

�1

n

�´

;

para Re´ > 1. Pode mostrar-se com relativa facilidade que a serie e absolutamenteconvergente no semi-plano Re´ > 1 e uniformemente convergente em qualquersemi-plano da forma Re´ � 1C ı, com ı > 0.

Pelo metodo do prolongamento analıtico, a funcao zeta de Riemann podeser definida em todo o plano complexo (excepto em ´ D 1), pelo que a podemosconsiderar uma funcao analıtica em Cnf1g. Dizemos, entao, que a funcao zeta deRiemann tem uma singularidade isolada no ponto ´D 1.

Podemos gerar varios esbocos geometricos para ilustrar a funcao zeta. Paravalores reais de ´, �.´/ e real e podemos usar simplesmente o comando Plot[].

As figuras que se seguem mostram que existem zeros da funcao ao longo doeixo real negativo. Estes zeros sao os chamados zeros triviais de zeta. Existemoutros zeros e a sua localizacao precisa faz parte da famosa hipotese de Riemannque afirma que todos os zeros nao triviais estao sobre a recta Re´D 1=2, a chamadarecta crıtica.


In[1]:= Clear@"Global`*"D;Show@Block@8$DisplayFunction = Identity<,8Plot@Zeta@xD, 8x, -12, 1<D,

Plot@Zeta@xD, 8x, 1, 12<D<D, Frame ® True,

Axes ® None, GridLines ® 8881, 8 [email protected]<<<, None<D

-10 -5 0 5 10

-1

0

1

2


In[3]:= Show@%, PlotRange ® 88-12, 0<, 8-0.1, 0.05<<,Axes ® 8Automatic, None<D

-10 -8 -6 -4 -2 0

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04


As proximas figuras mostram a singularidade no ponto 1 e o limite da funcao para1 quando ´ tende para infinito. Os graficos oferecem duas visualizacoes da funcaozeta. Numa, esta representado o grafico do valor absoluto da funcao, sendo a singu-laridade em 1 proeminente. O outro grafico representa o inverso do valor absolutoda funcao. Os picos correspondem a zeros nao triviais que, no domınio represen-tado, estao na recta crıtica.


In[4]:= Plot3D@Abs@Zeta@x + I yDD, 8x, -4, 4<,8y, -10, 40<, PlotPoints ® 870, 110<,ViewPoint ® 88, 1, 3<, Boxed ® False, Shading ® False,

BoxRatios ® 85, 10, 2<, AxesLabel ® 8"x", "y", None<,AxesEdge ® 881, -1<, Automatic, Automatic<,Ticks ® 8Automatic, Range@0, 30, 10D, Range@0, 4D<,PlotRange ® 80, 5<D

-4-2024

x0 10 20 30

y

01234 -4

-2024

x01234


In[5]:= Plot3DA 1��Abs@Zeta@x + I yDD , 8x, -4, 4<,

8y, -10, 40<, PlotPoints ® 870, 110<,ViewPoint ® 87, 2, 3<, Boxed ® False, Shading ® False,

BoxRatios ® 85, 10, 2<, AxesLabel ® 8"x", "y", None<,AxesEdge ® 881, -1<, Automatic, Automatic<,Ticks ® 8Automatic, Range@0, 30, 10D, Range@0, 4D<,PlotRange ® 80, 5<E

-4-2024

x0 10 20 30y

01234

-4-2024

x01234



G. Hardy (1877–1947) provou que �.1=2C i t /D 0 para um numero infinitode valores de t . Com o aparecimento de computadores cada vez mais sofisticados,a validade da conjectura de Riemann foi provada para o primeiro biliao e meio dezeros. Para maior desenvolvimento desta importante questao matematica aconse-lha-se ao leitor [31] e a bibliografia aı mencionada.

Generalizemos para simplificar, ou para compreender melhor!

Jacques Hadamard

Capítulo 10Series de Laurent

10.1 Singularidades isoladas: definicao e exemplos

Neste capıtulo, lidamos com funcoes analıticas numa vizinhanca omissa deum ponto ´0. Em particular, consideraremos discos abertos, privados do seu centro,da forma

D�.´0; r/ D D.´0; r/nf´0g D f´ 2 C W 0 < j´� ´0j < rg :

Diz-se que uma funcao f tem uma singularidade num ponto ´0, quando fnao e analıtica nesse ponto. Caso f seja analıtica numa vizinhanca omissa de ´0

ou, de forma equivalente, se f for analıtica numa regiao D�.´0; r/, para algumr > 0, dizemos que o ponto ´0 e uma singularidade isolada de f . As singulari-dades isoladas revestem-se de particular interesse, como veremos, por exemplo, noTeorema dos Resıduos (Teorema 11.1).

Exemplo 10.1 Uma transformacao de Mobius,

´ 7!a´C b

c´C d;

tem uma singularidade isolada no ponto �dc

. Em particular, a inversao complexa,

´ 7!1

´;

tem uma singularidade isolada em ´D 0.

Diremos que a funcao f tem uma singularidade removıvel em ´0, se ´0 foruma singularidade isolada e se existir uma funcao g analıtica em ´0 tal que f e g

333

334 CAPITULO 10: Series de Laurent

coincidam numa vizinhanca omissa de ´0: De acordo com o Teorema 9.1, f temuma singularidade removıvel em ´0 se e so se

lim´!´0

.´� ´0/f .´/ D 0 :


f .´/ Dsin.´/

´;

tem uma singularidade removıvel na origem. Com efeito,

f .´/ D g.´/ D 1�´2

3ŠC´4

5Š�´6

7ŠC � � � ;

em j´j > 0; sendo g analıtica na origem.

Teorema 10.1 (Condicao suficiente para singularidades removıveis) Se f tiveruma singularidade isolada em ´0 e for limitada nalguma vizinhanca omissa de ´0,entao ´0 e uma singularidade removıvel.

DEMONSTRAC AO: Suponhamos que a funcao f e limitada em D�.´0; r/, paraalgum r > 0. Definamos

h.´/ D�.´� ´0/

2f .´/ ; se ´ 6D ´0

0 ; se ´D ´0:

A funcao h e analıtica na vizinhanca D.´0; r/. Com efeito,

h.´/� h.´0/

´� ´0D

.´� ´0/2f .´/

´� ´0D .´� ´0/f .´/

e, como f e limitada, a razao

h.´/� h.´0/

´� ´0

tende para 0 quando ´ ! ´0. Visto que h e analıtica em D.´0; r/, tem-se, nestavizinhanca,

h.´/ D a0 C a1.´� ´0/C a2.´� ´0/2 C � � � :

Claro que a0 D a1 D 0, pelo que

h.´/ D .´� ´0/2Œa2 C a3.´� ´0/C � � � � :

10.2 Teorema de Laurent 335

Portanto, para ´ 2D�.´0; r/,

f .´/ D a2 C a3.´� ´0/C � � � :

Defina-se, para ´ 2D.´0; r/,

g.´/ D a2 C a3.´� ´0/C � � � :

Ora, g e analıtica em ´0. Logo, por definicao, f tem uma singularidade removıvelem ´0. �

Verifique que o recıproco do Teorema anterior nem sempre e valido, apresen-tando um contra-exemplo.

10.2 Teorema de Laurent

Chama-se serie de Laurent a uma serie da forma

C1X

nD�1an.´� ´0/

n DC1X

nD1

a�n.´� ´0/�n C

C1X

nD0

an.´� ´0/n :

Diz-se que esta serie e convergente se as partes consistindo nas potencias negativasde ´� ´0 e nas potencias nao-negativas de ´� ´0 convergirem.

Pelo Lema de Abel (Lema 4.10), existem numeros reais positivos, r1 e r2,tais que a primeira serie converge para 1=j´� ´0j < 1=r1 e a segunda convergepara j´� ´0j < r2. Se r1 < r2, diz-se que a serie de Laurent converge no anel

A D f´ 2 C W r1 < j´� ´0j < r2g :

A serieC1X

nD1

a�n.´� ´0/�n

chama-se parte principal da serie de Laurent e a serie

C1X

nD0

an.´� ´0/n ;

que e uma funcao analıtica, chama-se parte regular da serie de Laurent.


Provaremos que uma funcao analıtica f , cujo domınio de definicao contenhauma coroa circular da forma

A D f´ 2 C W r1 < j´� ´0j < r2g ;

admite um desenvolvimento em serie deste tipo.

Antes disso, suponhamos que f tem uma singularidade isolada em ´0. Entao,f e analıtica no domınio

0 < j´� ´0j < r ;

para um certo r > 0. Sejam s1; s2 > 0, tais que 0 < s1 < s2 < r . Consideremos oscaminhos si

que descrevem as circunferencias de centro ´0 e raio si , para i D 1;2.Tem-se

n. s1; ´0/ D n. s2

; ´0/ D 1

e, para todo o ´ tal que j´� ´0j � r , verifica-se

n. s1; ´/ D n. s2

; ´/ D 0 ;

pelo que n. s2� s1

; ´/D 0, para todo o ´ que nao satisfaca a condicao

0 < j´� ´0j < r :

Seja ´ arbitrario, verificando s1 < j´� ´0j < s2. Pela Formula Integral de Cauchy,vem

n. s2� s1

; ´/ f .´/ D1

2�i

Z

s2� s1

f .�/

� � ´d� :

Como n. s2� s1

; ´/D 1, tem-se

f .´/ D1

2�i

Z

s2

f .�/

� � ´d� �

1

2�i

Z

s1

f .�/

� � ´d� : (10.1)

Teorema 10.2 (Teorema de Laurent) Seja f analıtica no anel A,

A D f´ 2 C W r1 < j´� ´0j < r2g ;

sendo r1 e r2 dois numeros reais positivos. Entao,

f .´/ DC1X

nD�1an.´� ´0/

n ;

para ´ 2 A: A serie converge absolutamente em A e uniformemente em

f´ 2 C W s1 < j´� ´0j < s2g ;


para s1, s2 tais que r1 < s1 < s2 < r2. Finalmente,

an D1

2�i

Z

j��´0 jDs

f .�/

.� � ´0/nC1d� ; n D 0;˙1;˙2;˙3; : : : ;

com s qualquer real positivo verificando r1 < s < r2:

DEMONSTRAC AO: Sejam r1 < s1 < s2 < r2 e ´ 2 A: De acordo com (10.1), vem

f .´/ D1

2�i

Z

j��´0 jDs2

f .�/

� � ´d� �

1

2�i

Z

j��´0 jDs1

f .�/

� � ´d� :

E simples verificar que

1

� � ´D

1

.� � ´0/� .´� ´0/D

1

.� � ´0/.1� .´� ´0/=.� � ´0//:

Para j´� ´0j < s2 e j� � ´0j D s2, vem

ˇˇ´� ´0

� � ´0

ˇˇ < 1


1

� � ´D

C1X

nD0

.´� ´0/n

.� � ´0/nC1

e absoluta e uniformemente convergente. Por outro lado, tem-se

1

� � ´D

1

.� � ´0/� .´� ´0/D �

1

.´� ´0/.1� .� � ´0/=.´� ´0//:

Para j� � ´0j D s1 e j´� ´0j > s1; vem

ˇˇ� � ´0

´� ´0

ˇˇ < 1


1

� � ´D �

C1X

nD0

.� � ´0/n

.´� ´0/nC1

e absoluta e uniformemente convergente.


Portanto, como as operacoes de integracao e soma sao permutaveis, obtem-se

f .´/ D1

2�i

Z

j��´0 jDs2

f .�/

C1X

nD0

.´� ´0/n

.� � ´0/nC1d� �

�1

2�i

Z

j��´0 jDs1

f .�/

�

C1X

nD0

.� � ´0/n

.´� ´0/nC1

!d�

DC1X

nD0

1

2�i

�Z

j��´0 jDs2

f .�/

.� � ´0/nC1d�

�.´� ´0/

n C

CC1X

nD0

1

2�i

�Z

j��´0 jDs1

f .�/

.� � ´0/�nd�

�.´� ´0/

�.nC1/ :

O Teorema fica, assim, demonstrado. �

Nas condicoes do Teorema anterior, nao podemos assegurar que

an Df .n/.´0/

nŠ; n 2 N0 ;

uma vez que f pode nao ser diferenciavel em ´0. Por outro lado, calcular os coefi-cientes an, com n < 0, do desenvolvimento em serie de Laurent directamente pelaformula apresentada no enunciado do Teorema de Laurent pode revelar-se uma ta-refa ardua, havendo que ultrapassar estas dificuldades recorrendo a procedimentosalternativos e tirando partido da unicidade do desenvolvimento em serie de Laurent.Nos exemplos apresentam-se algumas tecnicas frequentemente exploradas.

Exemplos 10.3

(a) O desenvolvimento em serie de Laurent da funcao definida porf .´/D e´=´ em torno da origem consiste na serie

e´

´D

C1X

kD0

´k�1

kŠD

1

´C 1C

´

2C � � � ;

que e valido para j´j> 0. Este desenvolvimento obteve-se a partir dodesenvolvimento da exponencial em serie de Mclaurin.


(b) O desenvolvimento em serie de Laurent (em torno da origem) da

funcao f .´/D1

´.´� 1/no anel 0 < j´j < 1 e

f .´/ D �1

´

�1

1� ´

�D �

1

´.1C ´C ´2 C � � � / D �

1

´�

C1X

kD0

´k :

Este desenvolvimento obteve-se usando o desenvolvimento em seriegeometrica.

(c) O desenvolvimento em serie de Laurent (em torno da origem) dafuncao da alınea anterior, considerando agora j´j> 1, e dado por

f .´/ D1

´

�1=´

1� 1=´

�D

1

´2

�1C

1

´C1

´2C � � �

�D

C1X

kD0

´�.kC2/ :

A mesma funcao da, assim, origem a diferentes desenvolvimentos em serieconforme o domınio de convergencia. Ilustremos esta situacao com um novo exem-plo.


f .´/ D1

2� ´;

definida em Cnf2g, so nao e analıtica em ´ D 2, onde tem uma singularidade iso-lada. No disco

D1 D f´ 2 C W j´j < 2g ;

a funcao

g1.´/ D1

2

C1X

kD0

�´2

�k

e analıtica e coincide com f , como facilmente se constata. Por outro lado, em

D2 D f´ 2 C W j´� 1j < 1g ;

a funcao

g2.´/ DC1X

kD0

.´� 1/k

e analıtica e ali coincide com as anteriores. Por fim, no disco

D3 D f´ 2 C W j´� i j < j2� i j Dp5g ;


x

y

0

i

1 2x

y

Figura 55: Representacao da interseccao dos discos D1, D2 e D3 no plano deArgand.

a funcao

g3.´/ D1

2� i

C1X

kD0

�´� i2� i

�k

e analıtica e coincide com f . Temos, assim, varias funcoes que se identificam naparte comum dos tres domınios, os quais se encontram representados na figura 55.

10.3 Caracterizacao das singularidades isoladas

As singularidades isoladas podem ser de tres tipos, conforme se prova noTeorema que se segue.

Teorema 10.3 (Caracterizacao das singularidades isoladas I) Se f tem uma sin-gularidade isolada em ´0; entao existem tres possibilidades:

(i) ´0 e uma singularidade removıvelI

(ii) existe um inteiro positivom tal que .´� ´0/mf .´/ tem uma singula-

ridade removıvel em ´0; isto e, podemos escrever f na forma

f .´/ Dg.´/

.´� ´0/m;

10.3 Caracterizacao das singularidades isoladas 341

onde g e uma funcao analıtica em ´0 e coincide, numa vizinhancaomissa de ´0, com .´� ´0/

mf .´/I

(iii) para todo o valor de r > 0, o conjunto f .D�.´0; r// e denso em C,ou seja,

f .D�.´0; r// D C :

DEMONSTRAC AO: Suponhamos que nao se verifica (iii). Entao, existe uma vizi-nhanca D�.´0; r/ e um w 2 C tal que w … f .D�.´0; r//: Logo, para algum ı

positivo e ´ qualquer em D�.´0; r/, tem-se

jf .´/� wj � ı :

Portanto, 1=.f .´/� w/ e analıtica em D�.´0; r/, pelo que tem uma singularidadeisolada em ´0: Como

1

jf .´/� wj�1

ı;

1=.f .´/� w/ tem uma singularidade removıvel em ´0: Logo, para ´ 2D�.´0; r/,podemos considerar

g.´/ D1

f .´/� w;

sendo g analıtica em D.´0; r/.

Suponhamos que g.´0/ ¤ 0: Entao 1=g.´/ e analıtica em ´0 e

f .´/� w D1

g.´/;

pelo que

f .´/ D w C1

g.´/

tem uma singularidade removıvel em ´0; ou seja, ocorre (i).

Suponhamos, agora, que g.´0/D 0: Como g nao e identicamente nula, tem--se

g.´/ D .´� ´0/mh.´/ ;

sendo h analıtica e nao nula em ´0: Portanto,

1

f .´/� wD .´� ´0/

mh.´/ ;

e ainda

f .´/� w D1

.´� ´0/m1

h.´/;


sendo 1=h.´/ analıtica em ´0 (h.´0/¤ 0). Entao,

f .´/ Dw.´� ´0/

m C 1h.´/

.´� ´0/mI

g1.´/ D w.´� ´0/m C

1

h.´/:

Tem-se que g1.´0/ D 1=h.´0/ ¤ 0 e g1 e analıtica em ´0. Logo, ocorre (ii). OTeorema fica, assim, demonstrado. �

Nas condicoes do enunciado do Teorema anterior, se f satisfaz (ii) e m eo menor inteiro positivo para o qual (ii) ocorre, entao diz-se que ´0 e um polo deordemm de f . Se mD 1, o polo diz-se simples. Caso f satisfaca (iii), entao diz-seque ´0 e uma singularidade essencial de f .

Vejamos outra caracterizacao para as singularidades isoladas.

Teorema 10.4 (Caracterizacao das singularidades isoladas II) Suponhamos quef tem uma singularidade isolada em ´0. Consideremos o desenvolvimento emserie de Laurent de f ,

f .´/ DC1X

nD�1an.´� ´0/

n ; 0 < j´� ´0j < r :

Entao, f tem:

(a) uma singularidade removıvel em ´0, se an D 0 para todo o n < 0I

(b) um polo de ordem m em ´0, se an D 0 para n < �m e a�m ¤ 0I

(c) uma singularidade essencial em ´0, se an ¤ 0 para infinitos valoresnegativos de n.

DEMONSTRAC AO:

(a) Imediata.

(b) Mostremos que .´� ´0/mf .´/ tem uma singularidade removıvel em

´0. A conclusao e imediata se observarmos o seguinte:

.´� ´0/mf .´/ D .´� ´0/

m

�a�m

.´� ´0/mC

a�mC1

.´� ´0/�mC1C � � �

�

D a�m C a�mC1.´� ´0/ � � � :

10.3 Caracterizacao das singularidades isoladas 343

De acordo com a alınea (a), a funcao

.´� ´0/mf .´/

tem uma singularidade removıvel em ´D ´0, logo f tem um polo deordem m em ´D ´0. O recıproco obtem-se por reversao dos passosdo argumento precedente.

(c) Se nem (a) nem (b) ocorrem, entao f tem uma singularidade essen-cial. �

Se f tem uma singularidade isolada no ponto ´0 e desenvolvimento em seriede Laurent em torno de ´0,

f .´/ DC1X

nD�1an.´� ´0/

n ;

entao a�1 designa-se por resıduo de f em ´0 e denota-se por Res.f;´0/.

Ora, de acordo com o Teorema anterior, se f tem uma singularidade re-movıvel em ´0, entao Res.f;´0/D 0. Assim, apenas nas singularidades essenciaise nos polos, o resıduo de uma funcao podera ser nao nulo. Vejamos como determi-nar o resıduo de uma funcao num polo.

Suponhamos que f tem um polo em ´0 e desenvolvimento em serie deLaurent,

f .´/ DC1X

nD�1an.´� ´0/

n :

O seu resıduo em ´0 e a�1: Observemos que, nos dois casos que se seguem, emuito simples calcular o resıduo:

(a) Suponhamos que f tem um polo simples em ´0:

f .´/ Da�1

.´� ´0/C a0 C � � � :

Entao.´� ´0/f .´/ D a�1 C .´� ´0/a0 C � � �

ea�1 D lim

´!´0

.´� ´0/f .´/ :


(b) Suponhamos que f tem um polo de ordem m > 1 em ´0 W

f .´/ Da�m

.´� ´0/mC � � � C

a�1

´� ´0C � � � :

Entao

f .´/.´� ´0/m D a�m C � � � C a�1.´� ´0/

m�1 C � � �

e a�1 e o valor da derivada

1

.m � 1/Šdm�1

d´m�1f .´/.´� ´0/

m ;

no ponto ´D ´0:


Exercıcio 10.1 Suponha que f tem uma singularidade isolada em ´0. Mostre que:

(a) ´0 e uma singularidade removıvel se e so se

lim´!´0

f .´/ D A 6D 1I

(b) ´0 e um polo se e so se

lim´!´0

f .´/ D 1I

(c) ´0 e um polo de ordem m se e so

lim´!´0

.´� ´0/mf .´/ D A 6D 1I

(d) ´0 e uma singularidade essencial se e so se f nao tem limite (finitoou infinito) quando ´! ´0.

Exercıcio 10.2 Prove que se ´0 for uma singularidade essencial de f , entao afuncao toma, em cada vizinhanca D.´0; r/ de ´0, valores tao proximos quantose queira de qualquer complexo w.Sugestao: Raciocine por absurdo, ou seja, suponha que a condicao

8w2C 8ı>0 9´w2D�.´0;r/ W jf .´w/� wj < ı

nao e satisfeita no disco D�.´0; r/; com r suficientemente pequeno para que fseja analıtica em D�.´0; r/ (recorde que se trata de uma singularidade isolada).


Exercıcio 10.3 Classifique a singularidade ´0 da funcao f , quando:

(a) f .´/D�

´� sin ´, ´0 D 0;

(b) f .´/Dsin ´

e�´ C ´� 1, ´0 D 0;

(c) f .´/D1C cos ´

´��, ´0 D � ;

(d) f .´/D´2 � 1´7 C 3´

, ´0 D 0;

(e) f .´/Dsinh ´

´, ´0 D 0;

(f) f .´/D .´� 1/e1=.´�1/, ´0 D 1.

Exercıcio 10.4 Determine todas as singularidades da funcao f e classifique-as:

(a) f .´/D´ sin ´

cos ´� 1;

(b) f .´/D cotg1

´;

(c) f .´/De1=´

´.

Exercıcio 10.5 Determine a parte principal da serie de Laurent de f em torno doponto ´0 e use-a para obter Res.f;´0/, quando:

(a) f .´/D1

.´2 C 1/3, ´0 D �i ;

(b) f .´/D´

Log3.1C ´/, ´0 D 0;

(c) f .´/D´2 C 1

.e�´ C 1/4, ´0 D i .

Exercıcio 10.6 Determine os resıduos da funcao

f .´/ De´

.´� 1/2.´C 3/

nos seus pontos singulares.


Exercıcio 10.7 Calcule o resıduo da funcao

f .´/ D cos ´ sin1

´

em ´0 D 0.

10.5 Laboratorio 10

Dos objectivos do Laboratorio, salientamos a utilizacao do Mathematica comvista a:

1) obtencao de desenvolvimentos em serie de Laurent;

2) visualizacao de singularidades isoladas.

Desenvolvimentos em serie de Laurent


In[1]:= Clear@"Global`*"D;f@z_D :=

1��z Hz - 1L ;

Determinemos o seu desenvolvimento em serie de Laurent em torno da origem.Como sabemos, podemos resolver o problema decompondo a fraccao em elemen-tos simples e recorrendo ao desenvolvimento de Taylor da serie geometrica. Oupodemos usar directamente o Mathematica e obter o desenvolvimento em serie deLaurent de f em torno da origem:

In[3]:= Series@f@zD, 8z, 0, 5<DOut[3]= -

1��z

- 1 - z - z2 - z3 - z4 - z5 + O@zD6O raio de convergencia desta serie e 1. Determinemos o desenvolvimento da mesmafuncao, mas agora em torno do ponto ´ D 2 (trata-se, neste caso, de uma serie deTaylor):

In[4]:= Series@f@zD, 8z, 2, 5<DOut[4]=

1��2

-3 Hz - 2L��

4+7��8Hz - 2L2 -

15��16Hz - 2L3 +

31��32Hz - 2L4 -

63��64Hz - 2L5 + O@z - 2D6


O raio de convergencia e de novo 1. Efectuemos ainda o desenvolvimento em serieem torno do infinito.

In[5]:= Series@f@zD, 8z, ¥, 5<DOut[5]= J 1��

zN2 + J 1��

zN3 + J 1��

zN4 + J 1��

zN5 + OA 1��

zE6

Outra possibilidade de resolucao consiste em efectuar a mudanca de variavelw D 1=´. Obtemos a funcao

g.w/ Dw2

1� w;

relativamente a qual se pode aplicar o desenvolvimento da serie geometrica emtorno da origem, valido para jwj < 1.

In[6]:= s1 = SeriesA 1��1 - w

, 8w, 0, 3<EOut[6]= 1 + w + w2 + w3 + O@wD4In[7]:= s2 = w2 * s1

Out[7]= w2 + w3 + w4 + w5 + O@wD6In[8]:= s2 �. w ®

1��z

Out[8]= J 1��zN2 + J 1��

zN3 + J 1��

zN4 + J 1��

zN5 + OA 1��

zE6

Deixamos como exercıcio a determinacao do desenvolvimento em serie deLaurent em torno da origem da funcao co-secante hiperbolica.

Singularidades isoladas

O Mathematica permite compreender melhor o comportamento de uma fun-cao na vizinhanca das suas singularidades isoladas, atraves da visualizacao dografico do modulo da funcao. Ilustremos as potencialidades do programa para ocaso de polos e singularidades essenciais, sendo obviamente desnecessario tratar assingularidades removıveis.


In[9]:= viewAbsSurface @func_,xrange_, yrange_, options___ D := Plot3D@8Abs@func@x + I yDD, Hue@N@Arg@func@x + I yDD � H2 ΠLDD<,xrange, yrange, optionsD;

Existe uma outra forma de definir funcoes no Mathematica por abstraccao funcio-nal, em que se recorre a uma notacao sufixa, em vez da habitual notacao prefixa.Nos proximos exemplos utilizaremos a notacao sufixa. A expressao que define afuncao e colocada entre parenteses curvos e e seguida pelo sımbolo identificadorde funcao &. O parametro da funcao e referido recorrendo ao sımbolo #. No casode existir mais de um parametro, estes sao representados por #1, #2, ...

Voltemos a considerar a funcao f .´/ D 1=.´.´� 1//, a qual tem um polosimples na origem e outro em ´ D 1. Nestes pontos, a funcao explode e ha umavariacao de fase (cor) na funcao de 2� por cada volta que se da em torno de cadasingularidade.

In[10]:= viewAbsSurface @H1 � H# H# - 1LLL &,8x, -1, 2<, 8y, -1, 1<, PlotRange -> 80, 35<,PlotPoints -> 40, ViewPoint ® 8-1, 1.4, 1<D

-1

0

1

2

-1

-0.5

0

0.5

1

010

20

30

-1

0

1

2


Por outro lado, as funcoes h1.´/ D f .´/=´ e h2.´/D f .´/=´2 tem agora na ori-gem um polo, respectivamente, duplo e triplo, explodindo mais acentuadamentenessa singularidade. Existe uma variacao de fase de, respectivamente, 4� e 6� amedida que a contornamos.


In[11]:= viewAbsSurface @H1 � H#^2 H# - 1LLL &,8x, -1, 2<, 8y, -1, 1<, PlotRange -> 80, 35<,PlotPoints -> 40, ViewPoint ® 8-1, 1.4, 1<D

-1

0

1

2

-1

-0.5

0

0.5

1

010

20

30

-1

0

1

2


In[12]:= viewAbsSurface @H1 � H#^3 H# - 1LLL &,8x, -1, 2<, 8y, -1, 1<, PlotRange -> 80, 35<,PlotPoints -> 40, ViewPoint ® 8-1, 1.4, 1<D

-1

0

1

2

-1

-0.5

0

0.5

1

010

20

30

-1

0

1

2



A funcao e�1=´2

apresenta variacoes de fase bruscas em torno da singularidadeessencial ´D 0.

In[13]:= viewAbsSurface @HExp@-1 � #^2DL &, 8x, -1, 1<,8y, -1, 1<, PlotRange -> 80, 50<, PlotPoints ® 50,

ViewPoint -> 82, 0, 1.4<D-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 10

1020304050

01020304050


Nao e paradoxo dizer que nos nossos momentos mais teoricospodemos estar mais proximos das nossas aplicacoes maispraticas.

Alfred Whitehead

Capítulo 11Resıduos

11.1 Teorema dos Resıduos

Uma funcao f diz-se meromorfa num domınio D se for analıtica em D,exceptuando singularidades isoladas onde tem polos.

Exemplo 11.1 Qualquer funcao racional e meromorfa em C.

O Teorema dos Resıduos desempenha para as funcoes meromorfas um papelanalogo ao papel exercido pelo Teorema de Cauchy (nas suas diferentes versoes)para as funcoes holomorfas. Trata-se de um resultado com numerosas aplicacoes,algumas das quais serao analisadas ja na proxima seccao.

Teorema 11.1 (Teorema dos Resıduos) Seja f meromorfa em D com polos

´1; ´2; : : : ;

cada um listado de acordo com a sua multiplicidade. Se e um ciclo em D naopassando por qualquer í e n. ;´0/D 0, qualquer que seja ´0 62D, entao

1

2�i

Z

f .´/ d´ DX

i

Res.f;í/n. ;í / :

DEMONSTRAC AO: Observe-se que n. ;í / D 0, excepto para um numero finitode polos í . De facto, o conjunto A dos pontos ´ tais que n. ;´/ D 0 e aberto econtem todos os pontos do exterior de um disco de raio suficientemente grande,uma vez que coincide com a componente conexa ilimitada do complementar de .Assim, o complementar de A em C e fechado e limitado, ou seja, compacto. Comotal, nao pode conter um numero infinito de pontos isoladosí , pelo que n. ;í/ 6D 0

351

352 CAPITULO 11: Resıduos

apenas para um numero finito dessas singularidades.

Denotemos por´1; : : : ; ´p

os í para os quais n. ;í/ 6D 0. Seja Qk.´/ a parte principal da serie de Laurentde f em ´k, para 1 � k � p. Entao,

f .´/�pX

kD1

Qk.´/

tem uma singularidade removıvel em cada ´k, 1 � k � p. Esta funcao e, portanto,analıtica em

H D D n[

i>p

fíg :

Mais, n. ;í/ D 0, para todo o í 62 H . Logo, pelo Teorema de Cauchy (Teo-rema 9.5), Z

f .´/�

pX

kD1

Qk.´/

!d´ D 0 :

Daqui se conclui que

1

2�i

Z

f .´/ d´ D1

2�i

pX

kD1

Z

Qk.´/ d´ :

Mas,

Qk.´/ Dbk

�nk

.´� ´k/nk

C � � � Cbk

�1

´� ´k

:

Portanto,

1

2�i

pX

kD1

Z

Qk.´/ d´ D1

2�i

pX

kD1

nkX

j D1

bk�j

Z

1

.´� ´k/jd´

DpX

kD1

bk�1 n. ;´k/

DpX

kD1

Res.f;´k/ n. ;´k/ :

O Teorema fica, assim, demonstrado. �

11.2 Aplicacoes ao calculo do integral real 353

11.2 Aplicacoes ao calculo do integral real

No calculo de certos integrais definidos e improprios de funcoes reais devariavel real, recorre-se com frequencia ao Teorema dos Resıduos aplicado a umafuncao complexa de variavel complexa e a um caminho adequado.

Recordemos o conceito de integral improprio. O integral improprio de umafuncao contınua f (real ou complexa) ao longo do intervalo Œ0;C1Œ e definido por

Z C1

0

f .x/dx D limr!C1

Z r

0

f .x/dx : (11.1)

Quando existe o limite no segundo membro da equacao, diz-se que o integralimproprio converge para esse limite. Por outro lado, se f e contınua em R, entaoo seu integral improprio ao longo de R e definido por

Z C1

�1f .x/dx D lim

r1!C1

Z 0

�r1

f .x/dx C limr2!C1

Z r2

0

f .x/dx : (11.2)

Se ambos os limites existirem, o integral improprio converge para a sua soma.

Definimos o valor principal do integral (11.2) como sendo

V:P:Z C1

�1f .x/dx D lim

r!C1

Z r

�r

f .x/dx ; (11.3)

desde que o limite em causa exista. E obvio que se existe o integral improprio dafuncao f em R, tambem existe o valor principal do integral dessa funcao em R etem o mesmo valor, uma vez que

Z r

�r

f .x/dx DZ 0

�r

f .x/dx CZ r

0

f .x/dx :

Contudo, o recıproco e, em geral, falso. Por exemplo, nao existe o integral impro-prio da funcao identidade em R, pois

Z 0

�r1

x dxCZ r2

0

x dx D.r2/

2 � .r1/2

2

nao tem limite quando r1 e r2 tendem para C1. Contudo,

V:P:Z C1

�1x dx D lim

r!C1

Z r

�r

x dx D limr!C1

0 D 0 :


Suponhamos que f e uma funcao par em R, isto e, que

f .�x/ D f .x/ ; x 2 R :

A simetria do grafico de y D f .x/ com respeito ao eixo dos yy permite escrever

Z r

0

f .x/dx D1

2

Z r

�r

f .x/dx ;

pelo que o integral (11.1) converge para metade do seu valor principal (11.3),quando esse valor existe. Alem disso, como o integral (11.1) converge, e umavez que Z 0

�r1

f .x/dx DZ r1

0

f .x/dx ;

o integral (11.2) converge para o dobro do valor do integral (11.1).

Provamos, assim, que se f e uma funcao par em R e se o seu valor principal(11.3) existe, entao os integrais (11.1) e (11.2) convergem, tendo-se

V:P:Z C1

�1f .x/dx D

Z C1

�1f .x/dx D 2

Z C1

0

f .x/dx :

No proximo exemplo, descrevemos um metodo baseado na teoria dos resı-duos que permite calcular o integral improprio de funcoes racionais pares.

Exemplo 11.2 Calcule-se, pelo Teorema dos Resıduos, o integral

Z C1

�1

x2

1C x4dx :

Ora, a funcao complexa

f .´/ D´2

1C ´4

tem polos simples nas quatro raızes ındice 4 de �1, ou seja, em ´1 D ei�=4 ,´2 D e3i�=4 e nos seus conjugados, respectivamente, ´4 D e�i�=4 e ´3 D e�3i�=4 .Os resıduos da funcao nos pontos ´1 e ´2 sao, respectivamente,

1

4e�i�=4 e

1

4e�3i�=4 :

Seja r > 1. Consideremos o caminho fechado r que gera a curva ilustrada nafigura 56. Pelo Teorema dos Resıduos (Teorema 11.1),


x

y

0-1 1-r r

z1z2

Γr

Figura 56: Representacao geometrica da curva gerada por r .

Z

r

´2

1C ´4d´ D 2�i

�1

4e�i�=4 C

1

4e�3i�=4

�D �

p2

2:

Por outro lado,

Z

r

´2

1C ´4d´ D

Z Cr

�r

x2

1C x4dx C

Z

'r

´2

1C ´4d´ ; (11.4)

onde 'r representa o caminho que descreve no sentido positivo a semi-circun-ferencia no semi-plano superior. Nao e difıcil provar que

ˇˇZ

'r

´2

1C ´4d´

ˇˇ �

r2

r4 � 1�r ; (11.5)

uma vez que sobre a referida semi-circunferencia se tem j1 C ´4j � r4 � 1.Tomando, entao, o limite quando r ! C1 na igualdade (11.4), vem

Z C1

�1

x2

1C x4dx D lim

r!C1

Z Cr

�r

x2

1C x4dx D �

p2

2:

O procedimento ilustrado neste exemplo pode ser usado num contexto mais geral,como o proximo Teorema mostra.


Com o objectivo de abreviar a escrita, utilizaremos

X

´2A

Resf .´/

para representar a soma dos resıduos de f correspondentes a todas as singula-ridades isoladas que pertencam ao subconjunto A. Assim, se w1; : : : ;wp sao assingularidades isoladas de f que estao em A,

X

´2A

Resf .´/

denota a somaRes.f;w1/C � � � C Res.f;wp/ :

Teorema 11.2 (Integral improprio de uma funcao racional real) Suponhamosque p e q sao polinomios tais que p=q e uma funcao par e gr q � gr p C 2.Suponhamos que q nao tem zeros no eixo real. Entao

Z C1

�1

p.x/

q.x/dx D 2�i

X

´2SPS

Resp.´/

q.´/;

onde SPS e uma abreviatura de semi-plano superior.

DEMONSTRAC AO: Escolhamos r > 0 de tal modo que o polinomio q tenha to-dos os seus zeros do semi-plano superior SPS contidos no semi-disco de equacaoj´j < r desse semi-plano. Seja 'r o caminho que gera, no sentido positivo, a fron-teira desse semi-disco e r o caminho que descreve a curva constituıda pelo arcode circunferencia mencionado e pelo segmento de recta de �r a r . Pelo Teoremados Resıduos (Teorema 11.1), vem

1

2�i

Z

r

p.´/

q.´/d´ D

X

i

n. r ; í/ Res.p=q;í/ ;

onde í 2 SPS , jí j < r . Tem-se claramente

1

2�i

Z Cr

�r

p.x/

q.x/dx C

1

2�i

Z

'r

p.´/

q.´/d´ D

X

´2SPS

Resp.´/

q.´/:

Observe-se que Z

'r

p.´/

q.´/d´


tende para zero, quando r tende para infinito. Com efeito, tendo em conta queˇˇp.´/q.´/

ˇˇ �

A

r2;

para todos os pontos do arco j´j D r , com A constante e r suficientemente grande,e usando o Teorema da majoracao do modulo do integral (Teorema 7.1), conclui-seo pretendido. Entao,

Z C1

�1

p.x/

q.x/dx D lim

r!C1

Z Cr

�r

p.x/

q.x/dx

D 2�iX

´2SPS

Resp.´/

q.´/:

Assim, se termina a demonstracao. �

Podemos aplicar o metodo do Teorema anterior a integrais do tipoZ C1

�1

eixp.x/

q.x/dx ;

cujas partes real e imaginaria determinam, respectivamente, os integraisZ C1

�1cos x

p.x/

q.x/dx e

Z C1

�1sin x

p.x/

q.x/dx :

Suponhamos, entao, que p e q sao polinomios tais que gr q � gr p C 2. Suponha-mos igualmente que q nao tem zeros no eixo real. Provemos que

V:P:Z C1

�1

eixp.x/

q.x/dx D 2�i

X

´2SPS

Resei´p.´/

q.´/: (11.6)

Em primeiro lugar, escolhamos r > 0 de tal modo que q tenha todos os seuszeros do semi-plano superior no semi-cırculo de equacao j´j < r em SPS . PeloTeorema dos Resıduos (Teorema 11.1), vem

1

2�i

Z Cr

�r

eixp.x/

q.x/dxC

1

2�i

Z

'r

ei´p.´/

q.´/d´ D

X

´2SPS

Resei´p.´/

q.´/;

onde 'r representa o caminho que descreve, no sentido positivo, a semi-circun-ferencia j´j D r no semi-plano superior. Observe-se que

Z

'r

ei´p.´/

q.´/d´


tende para zero, quando r tende para infinito, uma vez que no semi-plano superiorjei´j D e�y e limitada e ˇ

ˇp.´/q.´/

ˇˇ �

A

r2;

quando j´j D r (com r suficientemente grande). Entao,

V:P:Z C1

�1

eixp.x/

q.x/dx D lim

r!C1

Z Cr

�r

eixp.x/

q.x/dx

D 2�iX

´2SPS

Resei´p.´/

q.´/:

Exemplo 11.3 Calcule-se, pelo Teorema dos Resıduos, o integral

Z C1

�1

cos x

1C x2dx :

Tendo em conta (11.6), vem

V:P:Z C1

�1

eix

1C x2dx D 2�i

X

´2SPS

Resei´

1C ´2:

A funcao

ei´

1C ´2

tem polos simples em i e �i . Contudo, so o primeiro destes se encontra em SPS .O resıduo da funcao no ponto i e dado por

lim´!i

.´� i /ei´

.´� i /.´C i /D

1

2ie:

Como a funcaocos x

1C x2

e par, vem

Z C1

�1

cos x

1C x2dx D V:P:

Z C1

�1

cos x

1C x2dx D

�

e:


Os integrais da forma

Z 2�

0

R.cos �; sin �/d� ; (11.7)

em que R.cos �; sin �/ representa uma funcao racional em cos � e sin � , podem serfacilmente calculados por meio dos resıduos. Efectuando a substituicao ´ D ei� ,vem Z

j´jD1

R�1

2

�Ć

1

´

�;1

2i

�´�

1

´

��1

i´d´ ;

cuja determinacao apenas requer o calculo dos resıduos correspondentes aos polosdo integrando interiores ao cırculo unitario.

Exemplo 11.4 Calcule-se

Z 2�

0

1

1C a cos �d� ; 0 < a < 1 :

ConsideremosZ

j´jD1

1

1C a2

�Ć 1

´

� 1

i´d´ D

Z

j´jD1

2´

a´2 C 2Ć a

1

i´d´

D 2�X

j´j<1

Res2

a´2 C 2Ć a:

Ora, a´2 C 2Ć a tem duas raızes,

˛ D�1C

p1� a2

ae ˇ D

�1�p1� a2

a;

cujo produto vale 1. Uma das raızes, ˛, esta no interior do disco unitario e a outra,ˇ, no exterior. O resıduo de ˛ e

1

a.˛ � ˇ/:

O valor do integral e, pois,�

p1� a2

:


11.3 O Princıpio do Argumento

Teorema 11.3 (Princıpio do Argumento) Seja f meromorfa emD. Suponhamosque f tem zeros ak e polos bj , listados de acordo com as respectivas multiplicida-des. Se o caminho nao passa por nenhum zero ou polo e se n. ;´0/ D 0, paratodo o ´0 62D, entao

1

2�i

Z

f 0.´/

f .´/d´ D

X

k

n. ;ak/�X

j

n. ;bj / :

DEMONSTRAC AO: Como ja anteriormente provamos, n. ;ak/ D n. ;bj / D 0,excepto para um numero finito de k’s e j ’s. Suponhamos que n. ;ak/ D 0, parak > p, e que n. ;bj /D 0, para j > q. Seja

g.´/ D f .´/

qY

j D1

.´� bj /

,pY

kD1

.´� ak/ :

A funcao g e analıtica e e nao nula em

H D Dn

0@[

k>p

fakg [[

j >q

fbj g

1A :

Mais ainda, n. ;´0/D 0, para todo o ´0 62H . A funcao g0=g e analıtica em H epelo Teorema de Cauchy,

0 D1

2�i

Z

g0.´/

g.´/d´ D

1

2�i

Z

f 0.´/

f .´/�

pX

kD1

1

´� ak

CqX

j D1

1

´� bj

d´ :

Daqui vem1

2�i

Z

f 0.´/

f .´/d´ D

X

k

n. ;ak/�X

j

n. ;bj / ;


Teorema 11.4 (Teorema da funcao aberta) Se f e analıtica e nao-constante emD, entao f .D/ e aberto, logo um domınio em C.

11.3 O Princıpio do Argumento 361

DEMONSTRAC AO: Seja ´0 2 D e seja w0 D f .´0/. A funcao f � w0 tem umzero de ordem p em ´0, com p � 1. Escolhamos r > 0 tal que

D.´0; r/ � D

e 8<

:

f .´/ 6D w0 D f .´0/; se 0 < j´� ´0j < r

f 0.´/ 6D 0; se 0 < j´� ´0j � r�

O Teorema da Identidade (Teorema 8.16) e o Teorema 3.10 validam a escolha efec-tuada. Seja o caminho que descreve a circunferencia j´ � ´0j D r . Seja ainda' D f ı . Note-se que ' nao passa por w0. Escolhamos ı > 0 tal que

D.w0; ı/\ tr.'/ D ; :

Seja w1 2 D.w0; ı/. Entao, w1 esta na mesma componente do complementar detr.'/ que w0. Portanto,

n.';w0/ D n.';w1/ :

Tem-se

n.';w0/ D1

2�i

Z

'

1

� � w0d� D

1

2�i

Z

f 0.´/

f .´/� w0d´ D

X

k

n. ;ak/ ;

sendo os ak os pontos de D onde f toma o valor w0. Mas f toma o valor w0 nointerior de so em ´0 com multiplicidade p. Portanto, p D n.';w0/ e

n.';w1/ D n.';w0/ D p D1

2�i

Z

f 0.´/

f .´/� w1d´ D

X

j

n. ;bj / ;

com bj os pontos de D onde f assume o valor w1. Como descreve uma circun-ferencia, n. ;bj / e igual a 1, se bj esta no interior de tr. /, e igual a 0, se bj estano exterior de tr. /. Logo, ha exactamente p pontos circundados por tr. /, ondef assume o valor w1. Uma vez que f 0.´/ 6D 0 no interior de tr. /, f toma o valorw1 em p pontos distintos dentro de tr. /. Entao, w1 2 f .D.´0; r//, pelo que

D.w0; ı/ � f .D.´0; r// � f .D/

e f .D/ e aberto. �

O Teorema anterior nao afirma apenas que f e uma funcao aberta. Mostraque se f assumir em ´0 o valor w0 com multiplicidade p, existe uma vizinhancade w0 tal que todo o w1 nesta vizinhanca e assumido em p pontos distintos numavizinhanca de ´0.


Teorema 11.5 (Princıpio do Modulo Maximo) Se f e analıtica e nao-constanteem D, entao jf j nao tem maximos locais em D.

DEMONSTRAC AO: Seja ´0 2 D. Como a funcao cobre por completo uma vizi-nhanca de f .´0/, uma vez que f .D/ e aberto, existe um ponto nesta vizinhancacom modulo superior a f .´0/. �

Corolario 11.6 Se f e analıtica e nao-constante em D, entao Re f , Im f e argfnao tem maximos locais em D.

Corolario 11.7 Se f e analıtica em D e f 0.´0/ 6D 0, entao f e injectiva numavizinhanca de ´0.

DEMONSTRAC AO: Se f toma em ´0 o valor w0 com multiplicidade 1, todo ovalor numa vizinhanca de w0 e assumido exactamente uma vez numa vizinhancade ´0. �

11.4 Teorema de Rouche

Teorema 11.8 (Teorema de Rouche) Sejam f e g funcoes analıticas num domı-nio D e um ciclo com n. ;´0/ D 0, para todo o ´0 62 D. Suponhamos que, emtr. /, jf .´/j < jg.´/j e que, em D, g tem zeros em a1; a2; : : : e f Cg tem zeros emb1; b2; : : :. Nestas condicoes,

X

k

n. ;ak/ DX

j

n. ;bj / :

DEMONSTRAC AO: Observe-se que, como ja anteriormente provamos,

n. ;ak/ D n. ;bj / D 0 ;

excepto para um numero finito de k’s e j ’s. Observe-se tambem que g e f Cg naotem zeros em tr. /, uma vez que

jg.´/j > jf .´/j � 0 e jf .´/C g.´/j � jg.´/j � jf .´/j > 0

em tr. /. Por outro lado, em tr. /, os valores da funcao

F.´/ D 1Cf .´/

g.´/

11.4 Teorema de Rouche 363

encontram-se no interior da circunferencia de centro 1 e raio 1. Logo, 0 esta nacomponente ilimitada de tr.F ı /, pelo que

0 D n.F ı ;0/ D1

2�i

Z

F ı

1

� � 0d�

D1

2�i

Z

F 0.´/

F.´/d´

D1

2�i

Z

f 0.´/g.´/� f .´/g0.´/

g2.´/

g.´/

f .´/C g.´/d´

D1

2�i

Z

f 0.´/g.´/� f .´/g0.´/

g.´/.f .´/C g.´//d´

D1

2�i

�Z

.f C g/0.´/

.f C g/.´/d´�

Z

g0.´/

g.´/d´

�:

Pelo Princıpio do Argumento (Teorema 11.3) e uma vez que f Cg e g nao tempolos em D, X

k

n. ;ak/ DX

j

n. ;bj / ;


Se for um caminho simples e fechado, entao o Teorema anterior afirma quef Cg e g tem o mesmo numero de zeros no interior de tr. /.

O Teorema de Rouche revela-se de grande utilidade na localizacao e conta-gem dos zeros de determinadas funcoes. Vejamos o exemplo que se segue.

Exemplo 11.5 Provemos que a funcao

h.´/ D 2C ´2 � ei´

tem precisamente um zero no semi-plano superior aberto. Consideremos as funcoes

f .´/ D �ei´ e g.´/ D 2C ´2

e seja o caminho que descreve uma curva como a ilustrada na figura 56 comr >

p3. Para ´ 2 Œ�r; r�,

jg.´/j � 2 > 1 D jf .´/j ;


e para ´D rei� (0 � � � �),

jg.´/j � r2 � 2 > 1 � e�r sin � D jf .´/j :

Do Teorema de Rouche deduzimos que h tem o mesmo numero de zeros que g nodomınio

f´ 2 C W Im´ > 0^ j´j < rg ;

para qualquer r >p3. Ora, nessa regiao g tem apenas um zero:

p2i .


Exercıcio 11.1 Determine o valor do integral da funcao g ao longo da circun-ferencia j´� i j D 2, quando:

(a) g.´/D1

´2 C 4;

(b) g.´/D1

.´2 C 4/2.

Exercıcio 11.2

(a) Determine o valor do integral de g ao longo da circunferenciaj´� 2j D 2, sendo

g.´/ D3´3 C 2

´3 � ´2 C 9´� 9:

(b) Calcule o valor do integral de g agora ao longo da circunferenciaj´j D 4.

Exercıcio 11.3 Seja f uma funcao analıtica num ponto ´0. Mostre que:

(a) se f .´0/D 0, entao ´0 e uma singularidade removıvel da funcao

g.´/ Df .´/

´� ´0I

(b) se f .´0/ 6D 0, o ponto ´0 e um polo simples da funcao g e temresıduo f .´0/.


Exercıcio 11.4 Determine o desenvolvimento em serie de Laurent de f e especi-fique a regiao onde e valido, quando:

(a) f .´/D´2

1� ´;

(b) f .´/D1

´.´0 � ´2/; com ´0 2 Cnf0g .

Exercıcio 11.5 Efectue o desenvolvimento em serie de Laurent de

f .´/ D1

´.´� i /2; ´ 2 Cnf0; ig ;

nas regioes definidas pelas condicoes:

(a) 0 < j´j < 1;

(b) 0 < j´� i j < 1;

(c) 1 < j´j <1.

Exercıcio 11.6 Calcule o coeficiente do termo .Ć 1/�1 do desenvolvimento emserie de Laurent de f em torno de ´0 D �1; valido em jĆ 1j < 1; quando:

(a) f .´/D´3

.Ć 1/;

(b) f .´/D1

´.Ć 1/3.

Exercıcio 11.7 Calcule os resıduos das funcoes nos seus pontos singulares:

(a) f .´/De´

´3;

(b) f .´/D1

.´2 C 1/3;

(c) f .´/D ćos

�1

´

�;

(d) f .´/D ´5e1=´2

.


Exercıcio 11.8 Calcule os seguintes integrais:

(a)Z

j´jD1

e�´

´2d´ ;

(b)Z

j´jD2

cosh.�´/

´.´2 C 1/d´ ;

(c)Z

j´�i jD3=2

e1=´2

´2 C 1d´ .

Exercıcio 11.9 Mostre que

Z C1

0

log x

1C x2dx D 0 :

Sugestao: Utilize o Teorema dos Resıduos (Teorema 11.1) e um caminho comoo representado na pagina 373 do Laboratorio 11. Defina log ´ no domınio CnN�,com �D ��=2.

Exercıcio 11.10 (Lema de Jordan) Para R > 0, mostre que

Z �=2

0

e�R sin � d� <�

2R:

Sugestao: Recorrendo aos graficos das funcoes y D sin � e y D 2�=� , comece pornotar que e valida a desigualdade sin� � 2�=� , quando 0 � � � �=2. Seguida-mente escreva

e�R sin � � e�2R�=� :

Exercıcio 11.11 Os integrais de Fresnel

Z C1

0

cos x2 dx DZ C1

0

sin x2 dx Dp�

2p2

sao importantes na teoria da difraccao. Use a conhecida formula de integracao

Z C1

0

e�x2

dx Dp�

2

para determinar o valor desses integrais.Sugestao: Integre a funcao ei´2

ao longo da fronteira do sector 0 � r � R,0 � � � �=4 e faca R tender para C1. Use o Lema de Jordan para mostrar queesse integral tende para zero a medida que R tende para infinito.


Exercıcio 11.12 Calcule os seguintes integrais reais pelo metodo dos resıduos:

(a)Z C1

0

1

.x2 C 1/2dx ;

(b)Z C1

0

x2

.x2 C 1/.x2 C 4/dx ;

(c)Z C1

�1

x4 C 1

x6 C 1dx ;

(d)Z C1

�1

x2

x4 C 6x2 C 25dx .

Exercıcio 11.13 Calcule o resıduo de f 0=f em ´D ´0, quando:

(a) ´0 e um zero de ordem m da funcao f ;

(b) ´0 e um polo de ordem m da funcao f .

Exercıcio 11.14 Determine o numero de raızes das seguintes equacoes no discounitarioD.0;1/:

(a) e´ � �´2 D 0;

(b) ´2 � 4´� cosh ´D 0;

(c) ´7 � 9´� 11D 0;

(d) ´2 C e´3

=3D 0.

Exercıcio 11.15 Generalize o resultado da alınea (a) do exercıcio anterior. Paratal, considere n 2 N e c um numero complexo satisfazendo jcj > e. Mostre que aequacao e´ � cń D 0 tem precisamente n raızes no disco unitarioD.0;1/.

Exercıcio 11.16 Apresente uma demonstracao alternativa do Teorema Fundamen-tal da Algebra. Para isso, considere

f .´/ D a0 C a1Ć � � � C an�1ń�1 e g.´/ D ń :

Use o Teorema de Rouche para provar que o polinomio

p.´/ D a0 C a1Ć � � � C an�1ń�1 C an´

n .an 6D 0/ ;

com n � 1, tem precisamente n zeros, de acordo com as correspondentes multipli-cidades.


Sugestao: Note que se pode considerar an D 1. Mostre que jf .´/j < jg.´/j sobrea circunferencia j´j D r , para um valor de r suficientemente grande, em particular,superior a

1C ja0j C ja1j C � � � C jan�1j :

Exercıcio 11.17 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer) Seja f uma funcao ana-lıtica num domınio D que contem o disco unitario fechado D.0;1/. Suponha quef transforma o disco em si mesmo. Prove que f tem pelo menos um ponto fixonaquele disco, ou seja, que existe ´ 2D.0;1/ tal que f .´/ D ´.Sugestao:

(a) Considere as funcoes

fn.´/ D�1�

1

n

�f .´/ ; n 2 N : (11.8)

Usando o Teorema de Rouche, conclua que existe um e um soń 2D.0;1/ tal que fn.ń/ D ń.

(b) Utilize o Teorema de Bolzano-Weierstrass para garantir a existenciade uma subsucessao .ńk

/ de .ń/ que convirja para um ponto´0 2D.0;1/.

(c) Considere em (11.8) esta subsucessao e tome limites.

11.6 Laboratorio 11

Enunciamos os objectivos do Laboratorio.

1) Calculo dos resıduos de singularidades isoladas.

2) Determinacao de integrais reais recorrendo a teoria dos resıduos.

Calculo de resıduos

O calculo manual de resıduos pode, por vezes, ser um processo muito labo-rioso. O Mathematica possui a funcao Residue[] que simplifica grandemente estatarefa. Por exemplo, seja:

In[1]:= Clear@"Global`*"D;f@z_D :=

-7 z + 1��Hz - 1L Hz - 7L ;


Calculemos o seu resıduo no ponto ´D 1 e, de seguida, no ponto ´D 7.

In[3]:= Residue@f@zD, 8z, 1<DOut[3]= 1

In[4]:= Residue@f@zD, 8z, 7<DOut[4]= -8

Consideremos outro exemplo.

In[5]:= g@z_D :=2 + z

��1 - Sin@zD ;

Residue@g@zD, 8z, Π � 2<DOut[6]= 2

Vejamos ainda outro exemplo, cuja resolucao manual e complicada.

In[7]:= h@zD :=z

��Hz - Sin@zDL HCosh@zD - Cos@zDL ;Residue@h@zD, 8z, 0<D

Out[8]= 0

Integracao usando o Teorema dos Resıduos

Pretendemos determinar o valor do integral real improprio

Z C1

�1

cos.mx/

1C x2dx :

Podemos comecar por usar directamente a funcao Integrate[].

In[9]:= Integrate@Cos@m * xD � H1 + x2L, 8x, -¥, ¥<DOut[9]= IfAm Î Reals, ã-m Sign@mD Π, IntegrateA

Cos@m xD��1 + x2

, 8x, -¥, ¥<, Assumptions ® m Ï RealsEE


Obtemos o resultado correcto no caso de m ser real, caso contrario o Mathematicadevolve o problema. Neste exemplo, a extensao da funcao integranda ao planocomplexo tem um polo em ´D i . Podemos calcular o integral usando o Teoremados Resıduos. De acordo com (11.6), o integral reduz-se a

In[10]:= -2 Π * Im@Residue@Exp@I * m * zD � H1 + z2L, 8z, I<DDOut[10]= ã-Re@mD Π Cos@Im@mDDConsideremos, agora, o integral

Z 2�

0

1

8cos2 xC 1dx :

Este integral esta nas condicoes correspondentes a (11.7). Facamos a extensao dafuncao integranda ao plano complexo.

In[11]:= cosof@z_D := Hz + 1 � zL � 2;integrand = Simplify@-I � Hz * H8 * Hcosof@zDL2 + 1LLD

Out[12]= -ä z

��2 + 5 z2 + 2 z4

Os zeros do polinomio do denominador dao as singularidades do integrando.

In[13]:= poly = Denominator @integrand D;z �. Solve@poly � 0, zD

Out[14]= 9-ä

��!!!!2 ,ä

��!!!!2 , -ä�!!!!2 , ä

�!!!!2 =In[15]:= res1 =

SimplifyALimitAikjjjjjz +I

��!!!!2

y{zzzzz integrand , z ® -I

��!!!!2EE

Out[15]= -ä��6

In[16]:= res2 = Simplify@Limit@Hz - I � Sqrt@2DL integrand , z -> I � Sqrt@2DDDOut[16]= -

ä��6


O valor do integral e igual a 2�i vezes a soma dos resıduos.

In[17]:= 2 Π I Hres1 + res2LOut[17]=

2 Π��3

Confirmemos o resultado atraves de calculo directo.

In[18]:= Integrate@1 � H8 * HCos@xDL2 + 1L, 8x, 0, 2 Π<DOut[18]=

2 Π��3

Contornos de Mousehole

Calculemos o seguinte integral pelo metodo dos resıduos:

In[19]:= Integrate@Hx - Sin@xDL � x^3, 8x, 0, ¥<DOut[19]=

Π��4

Como o integrando e uma funcao par, o valor do integral pretendido e metade dovalor de:

In[20]:= Integrate@Hx - Sin@xDL � x^3, 8x, -¥, ¥<DOut[20]=

Π��2

Antes de efectuarmos a extensao ao plano complexo, tenhamos em conta o seguinteresultado.

Teorema 11.9 (Teorema de Mousehole) Suponhamos que f e uma funcao com-plexa com um polo simples em ´0 com resıduo � . Seja

'r.t / D ´0 C reit ; ˛ � t � ˇ :

Entao,

limr!0

Z

'r

f .´/d´ D .ˇ � ˛/i� :


DEMONSTRAC AO: Basta tomar a serie de Laurent

f .´/ D�

´� ´0C g.´/ ;

onde g e holomorfa, e calcular o integralZ

'r

f .´/d´ DZ

'r

�

´� ´0d´C

Z

'r

g.´/d´

DZ ˇ

˛

� ireit

reitdt C

Z

'r

g.´/d´

D .ˇ � ˛/i� CZ

'r

g.´/d´ :

Tomando limites, o ultimo integral e zero, obtendo-se o resultado pretendido. �

Voltemos ao nosso integral. Se considerarmos a funcao integranda como aparte imaginaria de

f .´/ Di´� ei´

´3;

nao podemos usar o Teorema anterior porque, na origem, esta tem um polo triplo.

In[21]:= SeriesA I z - ãI z

��z3

, 8z, 0, 6<EOut[21]= -

1��z3

+1

��2 z

+ä��6

-z

��24

-ä z2��120

+

z3��720

+ä z4

��5040

-z5

��40320

-ä z6

��362880

+ O@zD7Porem, um pequeno truque permite-nos aplicar o Teorema. Basta considerar afuncao

f .´/ Di´� ei´ C 1

´3;

a qual tem um polo simples na origem como facilmente se comprova considerandoa serie de Laurent

In[22]:= SeriesA I z - ãI z + 1��

z3, 8z, 0, 3<E

Out[22]=1

��2 z

+ä��6

-z

��24

-ä z2��120

+z3

��720

+ O@zD4


A funcao f tem uma unica singularidade, um polo na origem com o resıduo 1=2.Usemos o caminho que descreve, no sentido directo, a curva a seguir representadapara calcular o integral.

In[23]:= graph = 8AbsoluteThickness @3D,AbsolutePointSize @6D,Circle@80, 0<, 1, 80, Π<D,Circle@80, 0<, 1 � 10, 80, Π<D,Line@88-1, 0<, 8-1 � 10, 0<<D,Line@881, 0<, 81 � 10, 0<<D,Point@80, 0<D, Text@"C1", 8-0.5, -0.1<,TextStyle ® 8FontSize ® 15<D,

Text@"C2", 80.15, 0.15<,TextStyle ® 8FontSize ® 15<D,

Text@"C3", 80.5, -0.1<,TextStyle ® 8FontSize ® 15<D,

Text@"C4", 80.5, 0.75<,TextStyle ® 8FontSize ® 15<D<;

In[24]:= Show@Graphics@graph, AspectRatio ® Automatic,

Axes ® True, Ticks ® None,

PlotRange ® 88-1.2, 1.2<, 8-0.3, 1.2<<DD

C1

C2

C3

C4



Pelo Teorema de Cauchy vemZ

C1

f .´/dĆZ

C2

f .´/dĆZ

C3

f .´/dĆZ

C4

f .´/d´ D 0 :

Ao tomarmos limites podemos ignorar a contribuicao de C4. Como facilmente secompreende, o integral pretendido e igual a

Z

C1

f .´/dĆZ

C3

f .´/d´ D �Z

C2

f .´/d´ :

Finalmente, este integral e o integral ao longo do arco de circunferencia de raiopequeno, no sentido directo, e assim

i�Res.f;0/ Di�

2;

aplicando o Teorema de Mousehole. A parte imaginaria e �=2, pelo que o valor dointegral proposto e �=4.

Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam aalma e elevam o espırito.

Pitagoras de Samos

Capítulo 12Aplicacoes

12.1 A transformada-´

A transformada-´ e utilizada em areas da Matematica Aplicada tais como oprocessamento de sinal digital, a teoria do controlo, as ciencias da populacao e aeconomia. Aqui, os modelos discretos sao analisados com equacoes as diferencas,enquanto que nos modelos contınuos se utilizam equacoes diferenciais. O papeldesempenhado pela transformada-´ na solucao das equacoes as diferencas e para-lelo ao desempenhado pelas transformadas de Laplace na resolucao de equacoesdiferenciais ordinarias.

Seja .xn/n2N0uma sucessao arbitraria de numeros complexos. Define-se a

transformada-´ da sucessao .xn/ como sendo a funcao de variavel complexa

X.´/ D Z Œ.xn/� DC1X

nD0

xn´�n D x0 C

x1

´Cx2

´2C � � �

A funcao X.´/ esta definida e e diferenciavel para os valores de ´ para osquais a serie de Laurent converge. O conjunto destes valores de ´ e um domınio daforma f´ 2 C W j´j> Rg, onde

R D limn!C1

sup jxnj1=n :

Exemplo 12.1 Determinemos a transformada-´ da ”sucessao impulso unitario”

xn D ıŒn� D�1 ; se n D 0

0 ; se n ¤ 0:

375

376 CAPITULO 12: Aplicacoes

Utilizando a definicao, vem imediatamente

X.´/ DC1X

nD0

xn´�n D 1 :

Exemplo 12.2 A transformada-´ da ”sucessao passo unitario”

xn D uŒn� D�1 ; se n � 0

0 ; se n < 0

e

X.´/ D´

´� 1:

Com efeito, da definicao e recordando a expressao da soma da serie geometrica,vem

X.´/ DC1X

nD0

´�n DC1X

nD0

�´�1

�n D1

1� ´�1:

Exemplo 12.3 Determinemos a transformada-´ da sucessao exponencial de termogeral xn D ean. Da definicao e mediante calculos simples, vem

X.´/ DC1X

nD0

ean´�n DC1X

nD0

�ea

´

�n

D´

´� ea:

Num curso introdutorio, estudam-se as transformadas-´ de funcoes elemen-tares, como as apresentadas nos exemplos anteriores, bem como combinacoes li-neares dessas transformadas-´. Nesses casos obtem-se sempre funcoes racionais.Por este motivo, consideraremos doravante apenas as transformadas-´ que sejamfuncoes racionais. Esta restricao permitira, por exemplo, enunciar o Corolario 12.3.

As seguintes propriedades da transformada-´ sao consequencia imediata dadefinicao e a sua verificacao fica a cargo do leitor.

Teorema 12.1 (Propriedades da transformada-´) Consideremos as transforma-das-´, X.´/D Z Œ.xn/� e Y.´/D Z Œ.yn/�. Sejam c; c1 ; c2 2 C. Tem-se:

(a) Z Œ.cn/�D´

´� c, para j´j > jcjI

(b) Z Œ.c1xn C c2yn/�D c1Z Œ.xn/�C c2Z Œ.yn/�I

12.1 A transformada-´ 377

(c) Z Œ.xnC1/�D ´Z Œ.xn/�� ´x0I

Z Œ.xnC2/�D ´2Z Œ.xn/�� ´2x0 � ´x1I

e assim sucessivamente.

E possıvel inverter a transformada-´, isto e, obter a sucessao .xn/ a partir dafuncao X.´/D Z Œ.xn/�, como se prova em seguida.

Teorema 12.2 (Inversa da transformada-´) Seja X.´/ a transformada-´ da su-cessao .xn/n2N0

definida na regiao j´j > R. Entao

xn D1

2�i

Z

X.´/ń�1 d´ ; n D 0;1; 2; : : : ;

onde tr. / e qualquer curva simples, fechada, orientada positivamente, contida naregiao j´j> R e que circunda a origem.

DEMONSTRAC AO: A transformada-´ de .xn/ e

X.´/ DC1X

kD0

xk´�k :

Multiplicando ambos os membros por ń�1, obtemos

X.´/ń�1 D C1X

kD0

xk´�k

!ń�1 ;

ou ainda

X.´/ń�1 DC1X

kD0

xk´�kCn�1 :

Portanto,

X.´/ń�1 Dn�1X

kD0

xk´�kCn�1 C

xn

Ć

C1X

kDnC1

xk´�kCn�1 :

Integrando, termo a termo, vem

Z

X.´/ń�1 d´ Dn�1X

kD0

xk

Z

´�kCn�1 d´ C

CZ

xn

´dĆ

C1X

kDnC1

xk

Z

´�kCn�1 d´ :


Os integrais da primeira e terceira parcelas sao nulos, pelo queZ

X.´/ń�1 d´ D 2�ixn ;

o que prova o pretendido. �

Corolario 12.3 (Inversa da transformada-´ pelos resıduos) Seja X.´/ a trans-formada-´ da sucessao .xn/n2N0

. Entao

xn DkX

iD1

Res.fn; í/ ; n D 0;1; 2; : : : ;

onde ´1, ´2,..., ´k sao os polos de fn.´/D X.´/ń�1.

DEMONSTRAC AO: O corolario e consequencia imediata do Teorema anterior e doTeorema dos Resıduos (Teorema 11.1). �

A convolucao das sucessoes .xn/ e .yn/ e a sucessao de termo geral

wn D xn � yn DnX

kD0

xkyn�k ; nD 0;1; 2; : : :

Teorema 12.4 (Transformada-´ da convolucao de duas sucessoes) Sejam .xn/

e .yn/ duas sucessoes com transformadas-´, respectivamente, Z Œ.xn/� e Z Œ.yn/�.Entao,

Z Œ.xn � yn/� D Z Œ.xn/�Z Œ.yn/� :

DEMONSTRAC AO: Consideremos

X.´/ DC1X

nD0

xn´�n e Y.´/ D

C1X

nD0

yn´�n :

Efectuando a mudanca de variavel Z D ´�1 e usando o Regra de Cauchy para oproduto de series de potencias (cfr. exercıcio 4.6), vem

X.´/Y.´/ D C1X

nD0

xnZn

! C1X

nD0

ynZn

!D

C1X

nD0

nX

rD0

xryn�r

!Zn :

Igualando os coeficientes, conclui-se que a transformada-´ de

nX

rD0

xryn�r

12.2 O problema de Dirichlet 379

e dada por

X.´/Y.´/ DC1X

nD0

nX

rD0

xryn�r

!´�n ;


12.2 O problema de Dirichlet

O problema da determinacao de uma funcao que seja harmonica num certodomınio e que satisfaca certas condicoes nesse domınio e um problema importanteno campo das aplicacoes. Se os valores da funcao sao prescritos ao longo da fron-teira, o problema diz-se um problema de contorno ou de Dirichlet.

Exemplifiquemos. Determinemos uma funcao harmonica u.x;y/ definida nafaixa 0 < x < � , y > 0 e que satisfaca as condicoes de fronteira

u.0;y/ D 0 I u.�;y/ D 0 I

u.x;0/ D sin x I limy!C1

u.x;y/ D 0 :

Como sabemos, a toda a funcao analıtica esta associado um par de funcoes harmo-nicas. Consideremos a funcao f .´/ D �iei´ que e inteira, sendo as suas compo-nentes,

u.x;y/ D e�y sin x e v.x;y/ D �e�y cos x ;

harmonicas. A funcao u satisfaz a Equacao de Laplace uxx.x;y/Cuyy.x;y/D 0

e e resposta para o problema.

O sucesso deste procedimento advem da simplicidade do problema e da nossafamiliaridade previa com algumas funcoes inteiras. Daremos, de seguida, um re-sultado que permite a resolucao do problema de Dirichlet para o disco unitario.

Teorema 12.5 (Formula Integral de Poisson) Seja u.x;y/ uma funcao harmo-nica em R2. Suponhamos que u.x;y/ D .x;y/, para .x;y/ 2 @D.0;1/. Entao,

u.rei�/ D1

2�

Z 2�

0

.ei� /1� r2

1� 2r cos.� � �/C r2d� ;

com rei� 2D.0;1/, isto e, r < 1.


DEMONSTRAC AO: Seja f uma funcao analıtica cuja parte real coincide com afuncao u. Pela Formula Integral de Cauchy,

f .´/ D1

2�i

Z

j�jD1

f .�/

� � ´d� ; ´ 2D.0;1/ :

Consideremos o ponto Q D 1=´ simetrico a ´ relativamente a circunferencia decentro 0 e raio 1. Tem-se j Q j > 1, pelo que

0 D1

2�i

Z

j�jD1

f .�/

� � Qd� :

Como � D ei� implica 1=� D e�i� D �, vem

f .´/ D1

2�i

Z

j�jD1

f .�/

� � ´d� �

1

2�i

Z

j�jD1

f .�/

� � Qd�

D1

2�i

Z

j�jD1

f .�/

�

1� �´�

´

´� � 1

!d�

D1

2�i

Z

j�jD1

f .�/�.1� j´j2/j1� �´j2

d�

D1

2�

Z 2�

0

f .ei� /1� j´j2

j1� e�i�´j2d� :

Separando a parte real, temos

u.rei�/ D1

2�

Z 2�

0

.ei� /1� r2

1� 2r cos.� � �/C r2d� ;

para rei� 2D.0;1/. �

Com vista a resolucao do problema de Dirichlet para simplesmente conexos,enunciamos o famoso Teorema da Aplicacao de Riemann cuja demonstracao podeser encontrada em [1, Cap. 6].

Teorema 12.6 (Teorema da Aplicacao de Riemann) SejaD um domınio simples-mente conexo propriamente contido no plano. Entao, existe uma funcao analıticae bijectiva g W D ! D.0;1/.

Apresentamos, de seguida, a solucao do problema de Dirichlet num domıniosimplesmente conexo.

12.3 A transformada de Laplace 381

Teorema 12.7 (Problema de Dirichlet num simplesmente conexo) Seja D umdomınio simplesmente conexo limitado por um caminho e u.x;y/ uma funcaoharmonica em R2. Suponhamos queu.x;y/D .x;y/, para .x;y/ 2 tr. /. Entao,a funcao u esta completamente determinada em D pelos seus valores na fronteira.Por outras palavras, conhecendo podemos encontrar u em D e esta e a unicafuncao harmonica em D que satisfaz as referidas condicoes de fronteira.

Os pormenores da demonstracao ficam a cargo do leitor, a quem deixamosalgumas sugestoes. Para construir uma funcao u nas condicoes do enunciado, con-sideremos uma funcao de variavel complexa g, de D para o disco unitarioD.0;1/,analıtica e bijectiva. Definamos uma funcao 1 na fronteira do disco unitario por

1.´/ D .g�1.´// :

Seja Qu a solucao do problema de Dirichlet no disco unitario, com QuD 1 na fron-teira. Seja h analıtica no disco unitario e tal que Reh D Qu. Entao, u D Reh ı ge solucao do problema de Dirichlet em D com u D na fronteira. Para provara unicidade de u, consideremos u1 e u2 duas solucoes do problema de Dirichletem D verificando u1 D u2 D na fronteira. Tomemos � D u1 � u2. Entao, �e harmonica e � D 0 na fronteira. Resta provar que � D 0 em D, recorrendo aoPrincıpio do Modulo Maximo e, em particular, ao Corolario 8.22 e ao exercıcio 8.8.

12.3 A transformada de Laplace

O conceito de transformada de Laplace reveste-se de grande utilidade naMatematica pura e aplicada, nomeadamente na resolucao de equacoes diferenciais.

Seja f uma funcao real ou complexa definida no intervalo Œ0;C1Œ. Supo-nhamos que f e seccionalmente contınua. A funcao complexa

L.f /.´/ DZ C1

0

f .t/ e�´t dt

da-se o nome de transformada de Laplace da funcao f .

Exemplo 12.4 Consideremos a funcao de Heaviside

H.t/ D�0 ; se t < 01 ; se t � 0

:

A sua transformada de Laplace, no semi-plano Re´ > 0, e

L.H/.´/ DZ C1

0

H.t/e�´t dt DZ C1

0

e�´t dt D1

´:


Para provarmos a existencia da transformada de Laplace no caso geral ne-cessitamos do Criterio de Cauchy para funcoes complexas, cuja demonstracao seencontra, por exemplo, em [28].

Teorema 12.8 (Criterio de Cauchy para funcoes complexas) Sejam ´0 2 bC ef uma funcao definida numa vizinhanca omissa de ´0. A funcao f tem limitefinito quando ´ ! ´0 se e so se para cada " > 0, existe ı > 0 tal que para cadapar de pontos ´1; ´2 2D�.´0; ı/, ´1 6D ´2, se tem

jf .´2/� f .´1/j < " :

Teorema 12.9 (Existencia da transformada de Laplace) Seja f uma funcao realou complexa definida no intervalo Œ0;C1Œ. Suponhamos que f e seccionalmentecontınua e que existem M > 0 e ˛ 2 R tais que

jf .t/j � Me˛t ; t � 0 :

Entao, a transformada de Laplace da funcao f esta bem definida e e uma funcaoanalıtica no semi-plano Re´ > ˛.

DEMONSTRAC AO: Sejam ˇ > ˛ e A;B tais que B > A. Entao, para todo o ´ talque Re´ � ˇ, tem-se

ˇˇZ B

Af .t/e�´t dt

ˇˇ �

Z B

AMe�.ˇ�˛/t dt

DM

ˇ � ˛

�e�.ˇ�˛/A � e�.ˇ�˛/B

�:

Desta desigualdade e do Criterio de Cauchy para funcoes complexas conclui-se queo integral

L.f /.´/ DZ C1

0

f .t/ e�´t dt D limB!C1

Z B

0

f .t/ e�´t dt

converge. Para demonstrar a analiticidade da transformada de Laplace, considere-mos as funcoes

Fn.´/ DZ n

0

f .t/ e�´t dt ; n 2 N :

Mostraremos que Fn.´/ e analıtica no semi-plano Re´ � ˇ. Existe � > 0 tal quese j´j < �, entao je�´ � 1C ´j � j´j2. Logo, para todo o h satisfazendo jhj < �=n,


vemˇˇFn.´C h/�Fn.´/

hCZ n

0

f .t/ t e�´t dt

ˇˇ

D

ˇˇˇ

Z n

0

f .t/ t e�´t

e�ht � 1ht

C 1

!dt

ˇˇˇ

�Z n

0

jf .t/ t e�´t j jht jdt

� jhjZ n

0

t2Me�.ˇ�˛/t dt :

A expressao anterior converge para 0, quando h tende para 0. Portanto, Fn.´/ eanalıtica no semi-plano Re´ � ˇ, tendo-se

F 0n.´/ D �

Z n

0

f .t/ t e�´t dt :

Mostraremos agora que a sucessao de funcoes Fn.´/ converge uniformemente paraL.f /.´/ no semi-plano Re´ � ˇ. Com efeito, vem

jL.f /.´/�Fn.´/j DˇˇZ C1

n

f .t/e�´t dt

ˇˇ �

M

ˇ � ˛e�.ˇ�˛/n ;

que converge para 0 quando n ! C1. Pelo Teorema 8.10, L.f /.´/ e analıtica nosemi-plano Re´ � ˇ. �

Sempre que considerarmos a transformada de Laplace de uma funcao f ,assumiremos tacitamente que f esta nas condicoes do Teorema anterior.

Obtemos directamente da definicao de transformada de Laplace as seguintespropriedades elementares.

Teorema 12.10 (Propriedades da transformada de Laplace) Sejam c; c1 ; c2 2 C

e a > 0. Tem-se

(a) linearidade de L:

L.c1f C c2g/ D c1 L.f /C c2 L.g/ I

(b) se g.t/D e�ctf .t/, entao L.g/.´/D L.f /.´C c/I


(c) se g.t/D f .t � c/, entao L.g/.´/D e�c´L.f /.´/I

(d) se g.t/D f .t=a/, entao L.g/.´/D aL.f /.a´/I

(e) se g.t/D tf .t /, entao L.g/.´/ D �d

d´L.f /.´/I

(f) transformada de Laplace da primeira derivada:

L.f 0/.´/ D ´L.f /.´/� f .0/ I

(g) transformada de Laplace da derivada de ordem n:

L.f .n//.´/ D ´n L.f /.´/� ´n�1f .0/� � � � � f .n�1/.0/ :

O leitor podera verificar facilmente as propriedades anteriores. Para demons-trar a formula para a transformada de Laplace da primeira derivada, ha que fazerintegracao por partes e ter em conta o Teorema 12.9. Por seu lado, a formula para atransformada de Laplace da derivada de ordem n obtem-se por inducao matematicasobre n.

Sendo f e g funcoes definidas em Œ0;C1Œ, a sua convolucao f � g e afuncao h definida por

h.t/ DZ t

0

f .�/g.t � �/d� :

Tem-seL.f � g/ D L.f /L.g/ : (12.1)

O Teorema que se segue fornece uma formula que permite conhecer umafuncao f dada a sua transformada L.f /.

Teorema 12.11 (Inversa da transformada de Laplace) Seja F uma funcao comum numero finito de singularidades em C, analıtica no semi-plano Re´ � ˛, paraalgum ˛ 2 R, e satisfazendo a condicao

jF.´/j �M

j´jˇ;

com M;ˇ > 0 e j´j suficientemente grande. Seja

f .t/ DX

´2C

Res.e´tF.´// ; t � 0 :

Nestas condicoes, L.f /.´/D F.´/, para todos os valores de ´ tais que Re´ > ˛.


DEMONSTRAC AO: Seja � > 0. Designemos por 1 o caminho que descreve, nosentido directo, a fronteira do domınio

D.0;�/\ f´ 2 C W Re´ < ˛g

e por 2 o caminho que descreve, no sentido directo, a fronteira de

D.0;�/\ f´ 2 C W Re´ > ˛g :

Uma vez que as singularidades de F pertencem ao semi-plano Re´ < ˛, podemosescolher � de forma a que todas as singularidades estejam dentro da curva descritapor 1. Do Teorema dos Resıduos (Teorema 11.1) segue-se que

Z

1

e�tF.�/d� D 2�iX

´2C

Res.e´tF.´// D 2�i f .t/ :

Por outro lado,

limN !C1

ˇˇe.��´/N

ˇˇ � lim

N !C1e�.˛�Re �/N D 0 ;

para � 2 tr. 1/ e Re´ > ˛. Alem disso, pela Formula Integral de Cauchy (Teo-rema 9.5), tem-se

2�i F.´/ DZ

2

F.�/

� � ´d� ;

sempre que ´ esta dentro da curva gerada por 2. Para esses pontos ´, vem

2�i L.f /.´/ D limN !C1

Z N

0

e�´t

�Z

1

e�tF.�/d�

�dt

D limN !C1

Z

1

Z N

0

e.��´/tF.�/dt d�

D limN !C1

Z

1

e.��´/N � 1� � ´

F.�/d�

D �Z

1

F.�/

� � ´d�

D �Z

1

F.�/

� � ´d� C 2�i F.´/�

Z

2

F.�/

� � ´d�

D 2�i F.´/�Z

j�jD�

F.�/

� � ´d� :


Como j� � ´j � j�j � j´j D � � j´j, tem-seˇˇZ

j�jD�

F.�/

� � ´d�

ˇˇ �

2��M

�ˇ .� � j´j/;

que converge para 0 quando � tende para C1. Tomando limites quando � ! C1,obtemos L.f /.´/D F.´/. �

Teceremos breves consideracoes sobre a transformada de Stieltjes, a qualpode ser formalmente obtida como o ”quadrado” da transformada de Laplace.

Seja f uma funcao real ou complexa definida no intervalo Œ0;C1Œ. Supo-nhamos que f e seccionalmente contınua. A funcao complexa

S.f /.´/ DZ C1

0

f .t/

Ć tdt

da-se o nome de transformada de Stieltjes de f . A funcao esta definida nos pontos´ para os quais existe o integral improprio. Tem-se

L.L.f //.´/ DZ C1

0

e�´p

Z C1

0

e�ptf .t/dt dp

DZ C1

0

f .t/

Z C1

0

e�.Ćt/p dp dt

DZ C1

0

f .t/

Ć tdt

D S.f /.´/ :

Para um estudo aprofundado da transformada de Stieltjes consulte-se [28].

Muitas das propriedades da transformada de Laplace podem obter-se a partirda transformada de Fourier. Seja f uma funcao real ou complexa definida em R.Suponhamos que f e seccionalmente contınua. A sua transformada de Fourier e afuncao

F.f /.´/ DZ C1

�1f .t/ e�i´t dt ;

estando definida nos pontos ´ para os quais existe o integral improprio. A trans-formada F e linear, tem propriedades analogas a L e pode tambem ser usada pararesolver certos tipos de equacoes diferenciais.


A transformada de Laplace pode descrever-se em termos da transformada deFourier. Para percebemos essa relacao, consideremos f definida em Œ0;C1Œ esuponhamos que existe a sua transformada de Laplace

L.f /.´/ DZ C1

0

f .t/ e�´t dt :

Estendamos f a R, tomando f .t/ D 0 quando t < 0. Para ´D sC ip, definamosa funcao

g.t/ D f .t/ e�ts ; t 2 R :

Tendo em conta a definicao da transformada de Fourier, vem

F.g/.p/ DZ C1

�1g.t/e�itp dt

DZ C1

0

f .t/ e�ts e�itp dt

DZ C1

0

f .t/ e�t´ dt

D L.f /.´/ :

E possıvel inverter a transformada de Fourier, isto e, achar a funcao g a partirda funcao F.g/. O Teorema fundamental sobre essa questao afirma que

g.t/ D1

2�

Z C1

�1F.g/.p/eipt dp : (12.2)

Este resultado, tendo em conta a relacao entre a transformada de Fourier e a trans-formada de Laplace, permite inverter esta ultima por um metodo alternativo.Tomando ´D sC ip, vem

f .t/e�ts D g.t/

D1

2�

Z C1

�1F.g/.p/eipt dp

D1

2�

Z C1

�1L.f /.´/ eipt dp ;

pelo que

f .t/ D1

2�

Z C1

�1L.f /.´/e´t dp D

1

2�i

Z sCi1

s�i1L.f /.´/e´t d´ : (12.3)


Recorrendo ao Teorema dos Resıduos para calcular o integral anterior, por ummetodo analogo ao utilizado na seccao 11.2, obtem-se a formula pretendida

f .t/ DX

´2C

Res.L.f /.´/ e´t / : (12.4)

Para maior desenvolvimento desta tematica consulte-se, por exemplo, [14] ou [20].

Como ja anteriormente referimos, a transformada de Laplace pode ser usadapara resolver equacoes diferenciais lineares (problemas de valor inicial). A tecnicaconsiste em aplicar L a equacao, usar a linearidade e as propriedades relativas atransformada de Laplace da derivada. Obtem-se uma equacao algebrica, que se re-solve, e no fim inverte-se a transformada para obter a solucao desejada.

Consideramos o metodo de resolucao baseado na aplicacao directa da trans-formada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membrosda equacao

x.n/.t /C a1x.n�1/.t /C � � � C anx.t/ D f .t/ ;

obtemos

.ń C a1ń�1 C � � � C an/L.x/.´/ D L.f /.´/

C x.0/.ń�1 C a1ń�2 C � � � C an�1/

C x0.0/.ń�2 C a1ń�3 C � � � C an�2/

C � � �

C x.n�1/.0/ ;

ou

�.´/L.x/.´/ D L.f /.´/CB.´/ ;

onde �.´/ e B.´/ sao polinomios conhecidos. Resolvendo a equacao em ordem atransformada de Laplace da solucao x.t/, vem

L.x/.´/ DL.f /.´/CB.´/

�.´/;

e utilizando o Teorema da inversa da transformada de Laplace (Teorema 12.11),encontramos a solucao x.t/.


Exemplo 12.5 Usando a transformada de Laplace, resolvamos a equacao diferen-cial

x0000 C 2x00 C x D sin t I x.0/ D x0.0/ D x00.0/ D x000.0/ D 0 :

Aplicando a transformada de Laplace a equacao, obtemos

.´4 C 2´2 C 1/L.x/.´/ D L.f /.´/ ; (12.5)

em que f .t/D sin t . Calculemos a transformada de Laplace da funcao f . Tem-se

f .t/ Deit � e�it

2iD

1

2i

�eit � e�it

�

e utilizando a linearidade da transformada de Laplace, vem

L.f /.´/ D1

2i

�1

´� i�

1

´C i

�D

1

´2 C 1:

Desta forma, a equacao (12.5) e equivalente a

.´4 C 2´2 C 1/L.x/.´/ D1

´2 C 1:

Logo,

L.x/.´/ D1

.´2 C 1/3:

Pelo Teorema da inversa da transformada de Laplace, tomando

g1.´/D e´t=.´� i /3 e g2.´/D e´t=.´C i /3 ;

vem

x.t/ DX

´2C

Rese´t

.´2 C 1/3

D1

2Š

d2g1

d´2.�i /C

1

2Š

d2g2

d´2.i /

D1

8.3� t2/ sin t �

3

8t cos t :



Exercıcio 12.1 Determine a transformada-´ das sucessoes de termo geral:

(a) xn D bn;

(b) xn D n;

(c) xn D n2;

(d) xn D nbn;

(e) xn D sin.an/;

(f) xn D bn sin.an/;

(g) xn D cos.an/;

(h) xn D bn cos.an/.

Exercıcio 12.2 Mostre que a transformada-´ da sucessao de termo geral

xn D uŒn�m� D�1 ; se n � m

0; se n < m;

com m 2 N0, e dada por

X.´/ D´1�m

´� 1:

Exercıcio 12.3 Use o Teorema 12.4 para provar qua a transformada-´ da sucessaode termo geral un D nC 1 e

U.´/ D´2

.´� 1/2:

Exercıcio 12.4 Seja .xn/n2N0uma sucessao de numeros complexos. Utilizando a

notacao usual para as transformadas-´, mostre que:

(a) se yn D xn�1uŒn� 1�, entao Y.´/D X.´/=´;

(b) se yn D xnC1, entao Y.´/D ´.X.´/� x0/;

(c) se yn D nxn, entao Y.´/D �´X 0.´/.


Exercıcio 12.5 Usando o Corolario 12.3, determine a sucessao .xn/ quando:

(a) X.´/D´2

´2 � 4Ć 3I

(b) X.´/D´2

´2 � 4Ć 4:

Exercıcio 12.6 Determine a solucao u.x;y/ do problema de Dirichlet que satisfazas condicoes

uxx.x;y/C uyy.x;y/ D 0 ; .x;y/ 2D I

u.x;y/ D .x;y/ ; .x;y/ 2 @D ;

onde D DD.0;1/ e:

(a) .ei�/D c;

(b) .ei�/D c cos � ;

(c) .ei�/D c1 C c2 sin � ;

(d) .x;y/ D cxy.

Exercıcio 12.7 Determine a transformada de Laplace da funcao

f .t/ D H.t/ tn ;

com n 2 N0.

Exercıcio 12.8 Utilizando o resultado obtido no exercıcio anterior, mostre que atransformada de Laplace da funcao

f .t/ D H.t/ tne�ct ;

com n 2 N0 e c complexo, e dada por

L.f /.´/ DnŠ

.Ć c/nC1:


Exercıcio 12.9 Determine a transformada de Laplace das seguintes funcoes defi-nidas no intervalo Œ0;C1Œ:

(a) f .t/ D .t � 1/2;

(b) f .t/ D et�2 ;

(c) f .t/ D .1� t /e�t ;

(d) f .t/ D sin 5t ;

(e) f .t/ D cos 5t ;

(f) f .t/ D sinh 3t ;

(g) f .t/ D cosh 3t ;

(h) f .t/ D cos t e2t ;

(i) f .t/ D .cos t C sin 3t/;

(j) f .t/ D 5e�t C 7 sin 3t ;

(k) f .t/ D cos2 t .

Exercıcio 12.10 Determine a funcao que tem por transformada de Laplace:

(a) F.´/De�2´

´2I

(b) F.´/De�2´

´� 1I

(c) F.´/D2´C 10

´2 C 6´C 25I

(d) F.´/D1

´2 C 9:

Exercıcio 12.11 Usando a transformada de Laplace, determine a solucao dos se-guintes problemas de valor inicial:

(a) x0.t /� x.t/D 1, x.0/D �1;

(b) x00.t /C 4x0.t /C 5x.t/D 0, x.0/D 1, x0.0/D �2;

(c) x000.t /C x0.t /D t , x.0/D 0, x0.0/D �1, x00.0/D 0;

(d) x00.t /� 2x0.t /C x.t/D 2et , x.0/ D 0, x0.0/D 0.


12.5 Laboratorio 12

Apresentamos os objectivos deste Laboratorio.

1) Determinacao da transformada-´ e sua inversa.

2) Resolucao de equacoes as diferencas com transformadas-´.

3) Determinacao da transformada de Laplace e sua inversa.

4) Aplicacao as equacoes diferenciais.

Determinacao da transformada-´ e sua inversa

Utilizemos a funcao ZTransform[] do Mathematica.

In[1]:= Clear@"Global`*"D;ZTransform @b^n * Sin@a * nD, n, zD

Out[2]=ä b H-1 + ã2 ä aL z

��2 H-b2 ãä a + b H1 + ã2 ä aL z - ãä a z2L

Calculemos a sucessao cuja transformada-´ e

X.´/ D3´

3´� 1:

In[3]:= InverseZTransform @3 z � H3 z - 1L, z, nDOut[3]= 3-n

Repitamos o exercıcio para a transformada-´

X.´/ Db´

.´� b/2:

In[4]:= InverseZTransform @b * z � Hz - bL^2, z, nDOut[4]= bn n


Resolucao de equacoes as diferencas com transformadas-´

As transformadas-´ sao largamente usadas para resolver equacoes as diferen-cas, em particular, no processamento de sinal digital e na teoria do controlo.

Usemos a transformada-´ para determinar a solucao da equacao as diferencasy[n+1]-2*y[n]=n, com condicao inicial y[0]=1. Tomemos a transformada-´ deambos os membros.

In[5]:= ZTransform @y@n + 1D - 2 * y@nD, n, zDOut[5]= -z y@0D - 2 ZTransform @y@nD, n, zD +

z ZTransform @y@nD, n, zDIn[6]:= ZTransform @n, n, zDOut[6]=

z��H-1 + zL2

Resolvamos a equacao em ordem a ZTransform[y[n],n,z].

In[7]:= Solve@ZTransform @y@n + 1D - 2 * y@nD, n, zD ==

ZTransform @n, n, zD, ZTransform @y@nD, n, zDDOut[7]= 99ZTransform @y@nD, n, zD ®

z + z y@0D - 2 z2 y@0D + z3 y@0D��H-2 + zL H-1 + zL2 ==

Determinemos a sucessao cuja transformada-´ e a funcao obtida.

In[8]:= InverseZTransform A z + z y@0D - 2 z2 y@0D + z3 y@0D��H-2 + zL H-1 + zL2 , z, nE

Out[8]= -1 + 2n - n + 2n y@0DUsando a condicao inicial y[0]=1, obtemos uma expressao simplificada. Aplique-mos o procedimento acima descrito para resolver a equacao as diferencasy[n+1]-2*y[n]=3^n, com condicao inicial y[0]=2.

In[9]:= ZTransform @y@n + 1D - 2 * y@nD, n, zDOut[9]= -z y@0D - 2 ZTransform @y@nD, n, zD +

z ZTransform @y@nD, n, zD


In[10]:= ZTransform @3^n, n, zDOut[10]=

z��-3 + z

Resolvamos a equacao em ordem a ZTransform[y[n],n,z].

In[11]:= Solve@ZTransform @y@n + 1D - 2 * y@nD, n, zD ==

ZTransform @3^n, n, zD, ZTransform @y@nD, n, zDDOut[11]= 99ZTransform @y@nD, n, zD ®

z - 3 z y@0D + z2 y@0D��H-3 + zL H-2 + zL ==

Tomemos a sucessao cuja transformada-´ e a funcao que se obteve.

In[12]:= InverseZTransform A z - 3 z y@0D + z2 y@0D��H-3 + zL H-2 + zL , z, nE

Out[12]= -2n + 3n + 2n y@0DUsando a condicao inicial y[0]=2, vem y[n]=2^n+3^n. Resolvamos, agora, aequacao as diferencas que modela o nıvel de dosagem de drogas. A equacao e dadapor y[n+1] = a*y[n]+b, com condicao inicial y[0]=y0.

In[13]:= ZTransform @y@n + 1D, n, zDOut[13]= -z y@0D + z ZTransform @y@nD, n, zDIn[14]:= ZTransform @a * y@nD + b, n, zDOut[14]=

b z��-1 + z

+ a ZTransform @y@nD, n, zDResolvamos a equacao em ordem a ZTransform[y[n],n,z].

In[15]:= Solve@ZTransform @y@n + 1D, n, zD ==

ZTransform @a * y@nD + b, n, zD,ZTransform @y@nD, n, zDD

Out[15]= 99ZTransform @y@nD, n, zD ®b z - z y@0D + z2 y@0D��H-1 + zL H-a + zL ==


Tomemos a inversa:

In[16]:= SimplifyAInverseZTransform A b z - z y@0D + z2 y@0D

��H-1 + zL H-a + zL , z, nEEOut[16]=

H-1 + anL b + H-1 + aL an y@0D��

-1 + a

Atribuir valores a a, b e y[0] permite-nos visualizar a solucao obtida.

In[17]:= a = 7 � 4; b = 1; y@0D = 0; ListPlotATableA9n, H-1 + anL b + H-1 + aL an y@0D

��-1 + a

=, 8n, 0, 10<E,PlotStyle ® [email protected]

2 4 6 8 10

50

100

150

200

250

300

350


Determinacao da transformada de Laplace e sua inversa

Para determinar transformadas de Laplace, recorremos ao comandoLaplaceTransform[]. Calculemos, por exemplo, a transformada de Laplace dafuncao

f .t/ D e�7t sin 5t :

In[18]:= LaplaceTransform @Exp@-7 tD * Sin@5 tD, t, zDOut[18]=

5��25 + H7 + zL2


Calculemos, agora, a funcao com transformada de Laplace dada por

F.´/ D24.1C 5´2.�2C ´2//

.1C ´2/5:

In[19]:= InverseLaplaceTransform A 24 H1 + 5 z2 H-2 + z2LL��H1 + z2L5 , z, tE

Out[19]= t4 Sin@tDRepitamos o exercıcio para a funcao

F.´/ De�2´

´C 1:

In[20]:= InverseLaplaceTransform @Exp@-2 zD � Hz + 1L, z, tDOut[20]= ã2-t UnitStep@-2 + tD

A funcao UnitStep[] representa a funcao de HeavisideH . Investiguemos o com-portamento da solucao obtida.

In[21]:= Plot@ã2-t UnitStep@-2 + tD, 8t, 0, 3<D

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Aplicacao as equacoes diferenciais

Consideremos o circuito electrico representado na seguinte figura.

A diferenca de potencial de entrada e modelada pela funcao f .t/D ı.t /, sendo ı.t /a funcao ı de Dirac, que verdadeiramente nao e uma funcao, mas tem propriedadesde uma funcao ordinaria. Apresentamos uma visao sumaria, intuitiva e informaldeste objecto matematico, que apenas serve para elucidar o problema. Sendo a umnumero real, designamo-lo por ı.x � a/. Tem as seguintes propriedades:

1) ı.x � a/ D 0, se x 6D a;

2)Z ˇ

˛

g.x/ı.x � a/dx D g.a/ ;

sendo a um ponto do intervalo �˛;ˇŒ e g uma funcao real contınua.

Nao se trata, de facto, de uma funcao, mas de uma distribuicao. Podemospensar ı.x � a/ como sendo um pico infinito localizado em a, sendo o integral de�1 a C1 de ı.x � a/ a unidade. Para visualizarmos a funcao ı, consideremosum grafico com tres funcoes ”centradas” na origem. No limite em que n tende paraC1, a funcao obtida aproxima-se da definicao da funcao ı de Dirac.


In[22]:= Plot@Evaluate@Sqrt@n � PiD Exp@-n x^2D �. n ® 81, 10, 100<D,8x, -2, 2<, PlotRange ® AllD

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5


A funcao ”degrau”, ou de Heaviside, e o integral indefinido da funcao ı. Denota-seporH , e descontınua na origem e muito usada na representacao de sinais. O graficorepresenta a funcao de Heaviside de sin x, H.sin x/.

In[23]:= Plot@UnitStep@Sin@xDD, 8x, 0, 30<D

5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Retomemos o nosso problema. A indutancia e 1 henry, a resistencia e 10 ohms e acapacidade e 0:01 farads. Supomos que, para t D 0, nao existe qualquer diferencade potencial ou corrente no circuito. A equacao diferencial que modela este pro-blema e

q00.t /C 10q0.t /C 100q.t/ D ı.t / ;

sendo o potencial de saıda q=C e C a capacidade em farads. Comecemos porintroduzir a equacao diferencial no Mathematica.

In[24]:= equation =

q''@tD + 10 q'@tD + 100 q@tD � DiracDelta @tDOut[24]= 100 q@tD + 10 q¢@tD + q¢¢@tD � DiracDelta @tD

Tomemos, agora, a transformada de Laplace desta equacao:

In[25]:= LaplaceTransform @equation, t, zDOut[25]= 100 LaplaceTransform @q@tD, t, zD +

z2 LaplaceTransform @q@tD, t, zD +

10 Hz LaplaceTransform @q@tD, t, zD - q@0DL -

z q@0D - q¢@0D � 1

Seguidamente, resolvamos a equacao em ordem a propria transformada de Laplace:

In[26]:= Solve@LaplaceTransform @equation, t, zD,LaplaceTransform @q@tD, t, zDD

Out[26]= 99LaplaceTransform @q@tD, t, zD ®

1 + 10 q@0D + z q@0D + q¢@0D��

100 + 10 z + z2==

Tenhamos em conta as condicoes iniciais e tomemos a inversa:

In[27]:= %@@1DD �. 8q@0D ® 0, q'@0D ® 0<Out[27]= 9LaplaceTransform @q@tD, t, zD ®

1��100 + 10 z + z2

=In[28]:= InverseLaplaceTransform @

LaplaceTransform @q@tD, t, zD �. %, z, tDOut[28]=

ã-5 t SinA5 �!!!!3 tE��

5 �!!!!3


Para terminar, facamos um grafico do potencial de saıda, recordando queV D q=C :

In[29]:= PlotA ã-5 t SinA5 �!!!!3 tE��

5�!!!!3

� 0.01, 8t, 0, 1<E

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

1

2

3

4

5


Bibliografia

[1] L. Ahlfors, Complex Analysis, 3a ed., McGraw-Hill, 1979.

[2] R. Ash, Complex Variables, Academic Press, 1971.

[3] A. Beardon, Complex Analysis, John Wiley & Sons, 1979.

[4] N. Bebiano, Matematica ou mesas, cadeiras e canecas de cerveja, Gradiva,2000.

[5] C. Boyer, A History of Mathematics, trad. brasileira, Ed. Blucher, 1996.

[6] J. Brown e R. Churchill, Complex Variables and Applications, 7a ed.,McGraw-Hill, 2003.

[7] M. Carreira e M. Napoles, Variavel Complexa, McGraw-Hill, 1998.

[8] J. Conway, Functions of a One Complex Variable, 2a ed., Springer-Verlag,1978.

[9] J. Dixon, A brief proof of Cauchy’s Integral Theorem, Proc. Amer. Math.Soc. 29 (1971), no3, 625–626.

403

404 BIBLIOGRAFIA

[10] J. Duncan, The Elements of Complex Analysis, John Wiley & Sons, 1968.

[11] P. Franklin, Functions of Complex Variables, Prentice-Hall, 1958.

[12] B. Fuchs e B. Shabat, Functions of a Complex Variable and Some of TheirApplications, vol. I, Pergamon Press, 1964.

[13] F. Greenleaf, Introduction to Complex Variables, W. B. Saunders, 1972.

[14] R. Howell e J. Mathews, Complex Analysis for Mathematics and Engineering,5a ed., Jones and Bartlett Publishers, 2006.

[15] W. Kaplan, Advanced Calculus, Addison-Wesley Press, 1952.

[16] A. Kyrala, Applied Functions of a Complex Variable, Wiley-Interscience,1972.

[17] S. Lang, Complex Analysis, 4a ed., Springer-Verlag, 1999.

[18] E. Lima, Curso de Analise, vol.1, 10a ed., IMPA, 2002.

[19] B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, 1982.

[20] J. Marsden e M. Hoffman, Basic Complex Analysis, 3a ed., W. H. Freeman,1999.

[21] J. Marsden e A. Weinstein, Calculus I, 2a ed., Springer-Verlag, 1985.

[22] J. Marsden e A. Weinstein, Calculus II, 2a ed., Springer-Verlag, 1985.

[23] J. Marsden e A. Weinstein, Calculus III, Springer-Verlag, 1985.

BIBLIOGRAFIA 405

[24] T. Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1997.

[25] R. Penrose e W. Rindler, Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-SpinorCalculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, 1984.

[26] H. Priestley, Introduction to Complex Analysis, 2a ed., Oxford UniversityPress, 2003.

[27] W. Shaw, Complex Analysis with Mathematica R , Cambridge UniversityPress, 2006.

[28] G. Smirnov, Analise Complexa e Aplicacoes, Escolar Editora, 2003.

[29] I. Stewart e D. Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press, 1983.

[30] W. Sutherland, Introduction to Metric and Topological Spaces, OxfordUniversity Press, 1975.

[31] S. Wagon, Mathematica in Action, 2a ed., Springer-Verlag, 1999.

Indice de Resultados

Teorema 1.1 PROPRIEDADES DO MODULO E DO CONJUGADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Teorema 1.2 FORMULA DE DE MOIVRE GENERALIZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Teorema 2.1 UNICIDADE DO LIMITE DE UMA FUNCAO COMPLEXA . . . . . . . . . . . . . 66

Teorema 2.2 LIMITE COMPLEXO VS LIMITES DAS COMPONENTES REAIS . . . . . . . . 66

Teorema 2.3 ALGEBRA DOS LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Teorema 2.4 CARACTERIZACAO DAS FUNCOES CONTINUAS POR ABERTOS . . . . . . 69

Teorema 2.5 CONTINUIDADE E CONEXIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Teorema 2.6 CONTINUIDADE E COMPACIDADE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Teorema 2.7 CONTINUIDADE COMPLEXA VS CONTINUIDADE REAL . . . . . . . . . . . . . 71

Teorema 2.8 CONSTRUCAO DE FUNCOES CONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Teorema 2.9 CONDICAO SUFICIENTE PARA A CONTINUIDADE UNIFORME . . . . . . . . 74

Teorema 3.1 FORMULAS DE DERIVACAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Teorema 3.2 DERIVADA DA FUNCAO COMPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Teorema 3.3 DERIVADA DA FUNCAO INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Teorema 3.4 DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Teorema 3.5 DIFERENCIABILIDADE E CONDICOES DE CAUCHY-RIEMANN I . . . . 103

Teorema 3.7 DIFERENCIABILIDADE E CONDICOES DE CAUCHY-RIEMANN II . . . 106

Teorema 3.8 DIFERENCIABILIDADE: f VS u E v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Teorema 3.9 DIFERENCIABILIDADE: COORDENADAS POLARES . . . . . . . . . . . . . . . 110

407

408 INDICE DE RESULTADOS

Teorema 3.10 DERIVADA NULA VS FUNCAO CONSTANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Teorema 4.1 LIMITE DE SUCESSOES COMPLEXAS VS SUCESSOES REAIS . . . . . . . . 124

Teorema 4.2 CRITERIO DE CAUCHY PARA SUCESSOES COMPLEXAS . . . . . . . . . . . 125

Teorema 4.3 CONDICAO NECESSARIA DE CONVERGENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Teorema 4.4 CONVERGENCIA DE SERIES COMPLEXAS VS SERIES REAIS . . . . . . . . 128

Teorema 4.5 CONDICAO SUFICIENTE DE CONVERGENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Teorema 4.6 CRITERIOS DA RAZAO E DA RAIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Teorema 4.7 CRITERIO DE CAUCHY PARA A CONVERGENCIA UNIFORME . . . . . . . 132

Teorema 4.8 CONVERGENCIA UNIFORME E CONTINUIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Teorema 4.9 TESTE-M DE WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Lema 4.10 LEMA DE ABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Teorema 4.11 CRITERIOS PARA SERIES DE POTENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Teorema 5.1 PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL COMPLEXA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Teorema 5.2 PROPRIEDADES DO SENO E CO-SENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Teorema 5.3 PROPRIEDADES DO SENO E CO-SENO HIPERBOLICOS . . . . . . . . . . . . . 170

Teorema 5.4 RESTRICAO DA EXPONENCIAL COMPLEXA A UMA FAIXA . . . . . . . . . 172

Teorema 5.5 PROPRIEDADES DO LOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Teorema 5.6 DERIVADA DO LOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Teorema 6.1 CARACTERIZACAO DAS TRANSFORMACOES DE MOBIUS . . . . . . . . . 199

Teorema 6.3 GRUPO DAS TRANSFORMACOES DE MOBIUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Teorema 6.4 INVARIANCIA DA RAZAO CRUZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Teorema 6.5 PROPRIEDADE DA INVERSAO GEOMETRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Teorema 6.6 PRINCIPIO DA SIMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Teorema 6.7 TEOREMA DE PTOLEMEU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Teorema 6.8 CONFORMIDADE E HOLOMORFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Teorema 6.10 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMACOES CONFORMES BIJECTIVAS 219

Teorema 7.1 MAJORACAO DO MODULO DO INTEGRAL DE CAMINHO . . . . . . . . . . . 253

Teorema 7.2 PROPRIEDADES DO INTEGRAL DE CAMINHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

INDICE DE RESULTADOS 409

Teorema 7.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . 261

Teorema 7.4 TEOREMA DA INDEPENDENCIA DO CAMINHO DE INTEGRACAO . . . . 261

Teorema 7.5 TEOREMA DE GREEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Teorema 7.6 TEOREMA DE CAUCHY: VERSAO FRACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Teorema 7.7 TEOREMA DE CANTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Teorema 7.8 TEOREMA DE CAUCHY PARA TRIANGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Teorema 7.9 TEOREMA DE CAUCHY PARA CONVEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Teorema 7.10 O INDICE COMO UM NUMERO INTEIRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Teorema 7.11 CONSTANCIA DO INDICE NAS COMPONENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Teorema 7.12 FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Teorema 8.1 CONVERGENCIA UNIFORME E INTEGRACAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Teorema 8.4 DIFERENCIACAO DE UMA SERIE DE POTENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Teorema 8.6 TEOREMA DE TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Teorema 8.7 FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY PARA DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . 297

Teorema 8.9 TEOREMA DE MORERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Teorema 8.10 CONVERGENCIA UNIFORME DE FUNCOES ANALITICAS . . . . . . . . . . 298

Teorema 8.11 ESTIMATIVAS DE CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Teorema 8.13 TEOREMA DE LIOUVILLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Teorema 8.14 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Teorema 8.16 TEOREMA DA IDENTIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Teorema 8.18 OS ZEROS DA FUNCAO NULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Teorema 8.19 OS ZEROS DE UMA FUNCAO ANALITICA NAO NULA . . . . . . . . . . . . . 305

Teorema 8.20 IDENTIDADE DE PARSEVAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Teorema 8.21 PRINCIPIO DO MODULO MAXIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Teorema 9.1 PROLONGAMENTO A PARTIR DE UMA VIZINHANCA OMISSA . . . . . . . 317

Teorema 9.5 TEOREMA DE CAUCHY PARA CICLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Teorema 9.7 FORMULA DE CAUCHY PARA DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Teorema 9.8 CARACTERIZACAO DOS DOMINIOS SIMPLESMENTE CONEXOS . . . . . 325

Teorema 9.9 TEOREMA DE CAUCHY PARA SIMPLESMENTE CONEXOS . . . . . . . . . . 325

410 INDICE DE RESULTADOS

Teorema 9.10 EXISTENCIA DE ANTIDERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Teorema 9.11 EXISTENCIA DE CONJUGADA HARMONICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Teorema 9.12 RAMO ANALITICO DE log f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Teorema 10.1 CONDICAO SUFICIENTE PARA SINGULARIDADES REMOVIVEIS . . . 334

Teorema 10.2 TEOREMA DE LAURENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Teorema 10.3 CARACTERIZACAO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS I . . . . . . . . . 340

Teorema 10.4 CARACTERIZACAO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS II . . . . . . . . . 342

Teorema 11.1 TEOREMA DOS RESIDUOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

Teorema 11.2 INTEGRAL IMPROPRIO DE UMA FUNCAO RACIONAL REAL . . . . . . . 356

Teorema 11.3 PRINCIPIO DO ARGUMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Teorema 11.4 TEOREMA DA FUNCAO ABERTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Teorema 11.5 PRINCIPIO DO MODULO MAXIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Teorema 11.8 TEOREMA DE ROUCHE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Teorema 11.9 TEOREMA DE MOUSEHOLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Teorema 12.1 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA-´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

Teorema 12.2 INVERSA DA TRANSFORMADA-´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

Corolario 12.3 INVERSA DA TRANSFORMADA-´ PELOS RESIDUOS . . . . . . . . . . . . 378

Teorema 12.4 TRANSFORMADA-´ DA CONVOLUCAO DE DUAS SUCESSOES . . . . . 378

Teorema 12.5 FORMULA INTEGRAL DE POISSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Teorema 12.6 TEOREMA DA APLICACAO DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

Teorema 12.7 PROBLEMA DE DIRICHLET NUM SIMPLESMENTE CONEXO . . . . . . . 381

Teorema 12.8 CRITERIO DE CAUCHY PARA FUNCOES COMPLEXAS . . . . . . . . . . . . 382

Teorema 12.9 EXISTENCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Teorema 12.10 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . 383

Teorema 12.11 INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Indice Alfabetico

Argandplano de Argand, 19

caminho, 76cadeia, 81, 318caminho fechado, 78caminho oposto, 80caminho simples, 78ciclo, 319complementar, 86comprimento, 82extremidade, 78origem, 78reparametrizacao, 79soma de dois caminhos, 81

Cauchydesigualdade de Cauchy, 15Formula Integral de Cauchy, 275,

322, 325Formula Integral de Cauchy para

derivadas, 296, 324, 325Cauchy-Riemann

Condicoes de Cauchy-Riemann,103

Condicoes de Cauchy-Riemann paracoordenadas polares, 110

conjuntoaderencia, 31componentes conexas, 86conjunto aberto, 29

conjunto compacto, 32conjunto conexo, 33conjunto conexo por arcos, 85conjunto convexo, 271conjunto fechado, 31conjunto limitado, 32derivado, 31diametro, 266exterior, 31fronteira, 31interior, 31

coroa circular, 89corpo dos numeros complexos, 11curva, 76

curva fechada, 78sentido negativo, 78sentido positivo, 78

curva regular, 216curva simples, 78extremidade, 78origem, 78parametrizacao, 76reparametrizacao, 79

De MoivreFormula de De Moivre, 23

desigualdade triangular, 14disco

aberto, 29fechado, 32

411

412 INDICE ALFABETICO

distancia entre complexos, 28domınio, 33

de analiticidade, 111multiplamente conexo, 89simplesmente conexo, 89

EulerFormula de Euler, 21, 145

Fouriertransformada de Fourier, 386

fractaisciclo�n, 146

atractor, 148repulsor, 148

orbita de um ponto, 146ponto fixo, 146

atractor, 147repulsor, 147

ponto periodico, 146funcao

contradomınio, 59convolucao, 384derivada, 97derivadas de Wirtinger, 113domınio de definicao, 59funcao analıtica ou holomorfa, 111

zero de ordem n0, 304zero de ordem infinita, 305

funcao conforme, 216funcao conjugada harmonica, 114funcao contınua, 68funcao exponencial, 144, 165

faixas da exponencial, 172funcao harmonica, 114funcao inteira, 111funcao limitada, 72funcao logaritmo, 172

ramo principal, 175funcao meromorfa, 351

funcao polinomial, 60funcao racional, 60funcao raiz ındice n, 179funcao uniformemente contınua,

74funcoes hiperbolicas, 170, 171funcoes trigonometricas, 144, 168,

169limite, 64parte imaginaria, 61parte real, 61primitiva, 260primitiva local, 260reflexao, 60

HadamardFormula de Hadamard, 142

imaginarios puros, 13ındice de um ponto em relacao a um

caminho fechado, 273inversao geometrica, 207

Joukowskitransformacao de Joukowski do

perfil de asa, 230Julia

conjunto de Julia, 147

LaplaceEquacao de Laplace, 114transformada de Laplace, 381

Laurentserie de Laurent, 335

parte principal, 335parte regular, 335

Lorentztransformacao de Lorentz, 205

Maclaurinserie de Maclaurin, 295

INDICE ALFABETICO 413

Mandelbrotconjunto de Mandelbrot, 148

Mobiustransformacao de Mobius, 197

expansao, 198inversao, 198princıpio da orientacao, 220princıpio da simetria, 212rotacao, 198translacao, 198

classificacao de uma transformacaode Mobius

elıptica, 235hiperbolica, 235loxodromica, 235parabolica, 235

numero complexoafixo, 19argumento, 19

argumento lambda, 20argumento positivo mınimo, 20argumento principal, 20

conjugado, 13forma algebrica, 11forma trigonometrica, 21modulo, 13parte imaginaria, 13parte real, 13

planoplano complexo, 19

eixo imaginario, 19eixo real, 19

plano complexo ampliado, 34polinomio, 303

grau, 303zero, 304

ordem do zero, 304ponto

aderente, 31crıtico, 217de acumulacao, 31de multiplicidade n, 78exterior, 31fronteiro, 31interior, 31simples, 78

ponto do infinito, 34produto

escalar, 24vectorial, 24, 26

projeccao estereografica, 35prolongamento analıtico, 317

razao cruzada, 203regiao, 33

de analiticidade, 111multiplamente conexa, 89simplesmente conexa, 89

resıduo, 343Riemann

esfera de Riemann, 36funcao zeta de Riemann, 329superfıcie de Riemann, 327

serie, 127serie absolutamente convergente,

129serie convergente, 127serie de funcoes

convergencia pontual, 131convergencia uniforme, 131

serie de potencias, 136disco de convergencia, 138raio de convergencia, 138

soma, 127sucessao das somas parciais, 127termo, 127termo geral, 127

414 INDICE ALFABETICO

singularidade isolada, 333polo de ordem m, 342

polo simples, 342singularidade essencial, 342singularidade removıvel, 333

Stieltjestransformada de Stieltjes, 386

sucessao, 123convolucao, 378limite, 123sucessao convergente, 123sucessao de Cauchy, 125sucessao de funcoes

convergencia pontual, 131convergencia uniforme, 131

sucessao divergente, 123termo, 123termo geral, 123

Taylorserie de Taylor, 295

teoria do potenciallinhas de corrente, 227linhas equipotenciais, 227

topologia usual de C, 30

unidade imaginaria, 12

vizinhanca de um ponto, 29, 37vizinhanca omissa de um ponto, 317

´

transformada-´, 375

Prologo´ - Universidade de Coimbrabebiano/C-Complexa.pdf · sos dias. O celebre´ matematico´...

Documents

Transcript of Prologo´ - Universidade de Coimbrabebiano/C-Complexa.pdf · sos dias. O celebre´ matematico´...