Trabajo de Analisis Matematico

CATEDRA:

CATEDRATICO:

TEMA:

ANALISIS MATEMATICO IV

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

HUANCAVELICA

Mg. Mat. César CASTAÑEDA CAMPOS

PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO

IV

E.A.P. DE CIVILHUANCAVELIC

A

INTEGRANTES:

CANDIOTTI QUISPE, Jhoan

CAPANI LLANCO, Jorge

ESTEBAN RAMOS Saúl

HUAMAN ARROYO, Mariluz

MATAMOROS BENDEZU, Leonidas

TITO RAMOS, Nils Meyer

ZUÑIGA SOLDEVILLA, Porfirio

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO IV

I. Hallar el orden y grado de cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias:

1). ( d4 yd x4 )

56 +( d5 y

d x5 )4

−x2 y2=1

SOLUCIÓN:

(( d4 yd x4 )

56)

6

=(1+x2 y2−( d5 yd x5 )

4)6

( d4 yd x4 )

6

=(1+x2 y2−( d5 yd x5 )

4)6

ORDEN: 5GRADO: 24

2). ( d3 yd x3 )

43 +( x( d2 y

d x2 )+( d3 yd x3 )

2)74= y y(5)

SOLUCIÓN:

[( d3 yd x3 )

43 +(x ( d2 y

d x2 )+( d3 yd x3 )

2)74 ]

4

=( y y (5 ) )4

C04( d

3 yd x3 )

163 +…+( x( d2 y

d x2 )+( d3 yd x3 )

2)7

=( y y (5 ) )4

GRUPO “OK”

E.A.P. DE CIVIL - HUANCAVELICAANALISIS MATEMATICO IV

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

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[( d3 yd x3 )

163 +…+( x( d2 y

d x2 )+( d3 yd x3 )

2)7]

3

=[ ( y y (5) )4 ]3

C03( d

3 yd x3 )

16

+…+(x ( d2 yd x2 )+( d

3 yd x3 )

2)21

=( y y ( 5) )12

( d3 y

d x3 )16

+…+{C021 [x ( d2 y

d x2 )]21

+…+( d3 y

d x3 )42}=( y y (5 ) )12

ORDEN: 3GRADO: 42

3).d5 xdy5 −2( d5 x

dy5 )52−d

2 xdy2 +x (5 ) y=x2

SOLUCIÓN:

d5 xdy5 −2( d5 x

dy5 )52−d

2 xdy2 +x (5 ) y=x2

Si :u=−x2−d2 xdy2 + d

5 xdy5

2( d5 xdy5 )

5

=(−x2−d2 xdy2 + d

5 xdy5 + y . d

5 xdy5 )

2

( d5 x

dy5 )5

=(u+ y . d5 x

dy5 )2

2=u

2

2+uy . d

5 x

dy5+ y

2

2.( d

5 x

dy5 )2

ORDEN: 5GRADO: 2

4). y5+4 ( y ' ' ' )−3− y' '+2¿

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



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y5+ 4

( y ' ' ' )3− y ' '+2 ( y ' )2−x2 y−1=0

y5 ( y ' ' ' )3+4− y ' ' ( y ' ' ' )3+2 ( y ' )2 ( y ' ' ' )3−x2 y ( y ' ' ' )3−( y ' ' ' )3=0

y5 ( y ' ' ' )3− y ' ' ( y' ' ' )3+2 ( y ' )2 ( y ' ' ' )3−x2 y ( y ' ' ' )3−( y ' ' ' )3+4=0

ORDEN: 3GRADO: 3

5). ( y(4))3 /7−2 x2 ( y ' ' )3+2 x2 y ' ' '−x4 y '=4 x

SOLUCIÓN:

( y(4))3 /7−2 x2 ( y ' ' )3

+2 x2 y ' ' '−x4 y '−4 x=0

[ ( y(4 ))3/7 ]7−[ 2x2 ( y ' ' )3 ]7+ [2x2 y ' ' ' ]7−[ x4 y ' ]7−[ 4 x ]7=0

( y(4))3−[14 x14 ( y ' ' )21 ]1+14 x14 ( y ' ' ' )7−x28 ( y' )7−28 x7=0

ORDEN: 4GRADO: 3

6). x−3 ln ( y(5 ))−3ex y' '

+6 x y ( 4 )=e2 x−1

SOLUCIÓN:

e2x= y

ln (e( x ) )=ln ( y )

x=ln ( y )

x−3 ln ( y (5 ) )=6 x y (4 )+3ex y' '

+e2 x−1

ln ( y ( 5) )=6 x y (4 )+3ex y' '

+e2 x−1x−3

y (5 )=e(6 x y( 4)+3ex y

' '

+ e2 x−1x−3 )

y (5 )−e( 6x y (4 )+3ex y

' '

+e2x−1x−3 )

=0

GRUPO “OK”



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ORDEN: 5GRADO: NO DEFINIDO

7). ln 2(xy ´ ´ ´ )+x ( y ´ ´ )4−e xy=2 x

SOLUCIÓN:

ln 2 ( xy ´ ´ ´ )+x ( y ´ ´ ) 4−e xy+2x=0

ORDEN: 2GRADO: NO DEFINIDO

8). PORFI

9). x3 ( y5 )53−[ x2 sec(x2)]

10). LEO

II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución:

1). y=A x2+Bx2−C x2+ Dx3

3; x2 y ' ' '+2x y ' '+ y '+3 y=x+2

SOLUCIÓN:

y=A x2+Bx2+C x2−Dx3

3

y '=2 Ax+2Bx+2Cx−D x2

y ' '=2 A+2B+2C−2Dx

y ' ' '=−2D

Reemplazandoen :

x2 y ' ' '+4 x y ' '+ y '−6 y=x2+x

GRUPO “OK”



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x2 (−2D )+4 x (2 A+2B+2C−2Dx )+2 Ax+2Bx+2Cx−D x2−6 (A x2+B x2+C x2−Dx3

3)=x2+x

−2Dx2+8 Ax+8 Bx+8Cx−8D x2+2 Ax+2Bx+2Cx−D x2−6 A x2+6B x2+6C x2+2Dx3=x2+x

2Dx3−6 A x2−6 B x2−6C x2−11D x2+10 x (A+B+C)≠ x2+x

∴ y=A x2+B x2+C x2−Dx3

3 noes unasolucion.

2). x−2 y2− y3 x2=c ; y dx+( x−3 y )dy=0

SOLUCIÓN:

3). y=√ x2+cxx

; (x2+ y2 )dx+4 x2 ydy=0

SOLUCIÓN:

dydx

=x∂∂x

(√x2+cx )−(√ x2+cx ) ∂∂ x

(x)

x2

dydx

=

2x2−cx2√x2+cx

−√ x2+cx

x2

Sesabe :(xy )2=x2−x2 y2=x2(1− y2)

dydx

=

2x2−x2(1− y2)

2√x2+x2(1− y2)−√x2+x2(1− y2)

x2

dydx

=

x2(1+ y2)

2√ x2 y2−√ x2 y2

x2

x2 dydx

=x(1+ y2)

2 y−xy

GRUPO “OK”



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4 y x2dy=[2 x (1+ y2)−4 x y2 ]dx

4 y x2dy−[2 x−2 x y2 ] dx=0

∴ y=√x2+cxx

No es solucionde la EDO .

4). y=A ex+Be−2x+C e2x…(1); y ' ' '+2 y ' '−4 y '+10 y=0

SOLUCIÓN:

y '=Aex−2Be−2x+2C e2x… (a)

Sesabe :de (1 ) Aex= y−Be−2 x−Ce2x

Remplazandoen (a ) y '= y−3Be−2 x+C e2 x…(2)

y ' '= y '+6Be−2x+2Ce2x…(b)

Sesabe :de (2 ) 6 Be−2x=2 y−2 y '+2C e2 x

Remplazandoen (b ) y ' '=2 y− y '+4C e2x… (3)

y ' ' '=2 y ' '+ y ' '+8Ce2x…(c )

Sesabe :de (3 )8C e2 x=2 y ' '+2 y '−4 y

Remplazandoen (c ) y ' ' '=2 y '− y ' '+2 y ' '+2 y '−4 y

y ' ' '=4 y '+ y ' '−4 y

y ' ' '− y' '−4 y '−4 y=0

∴ y=A ex+Be−2 x+C e2 xNoes solucionde la EDO .

5). { x=t 2 ln|t|+ t−3

y=t 2(ln2(t 2)+1); y ' ln ( y ' )=x + y

SOLUCIÓN:

dxdt

=[ t+2 tln (t )−3 t−2 ]

dydt

=[2 t+4 t ln2 ( t )−2 t−2 ]

GRUPO “OK”



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⟹ dydx

=dydtdtdx

dydx

=[2 t+4 t ln2 ( t )−2 t−2 ] 1

[ t+2 tln (t )−3 t−2 ]

dydx

=2 t [1+2 ln2 (t )−t−3 ] 1

t [1+2 ln ( t )−3t−3 ]

y '=¿

∴ y ' ln ( y ' )=x+ y noesuna solucion .

6). {x=t+arcsen (√ t )

y=−t 3

2+√1−t 2

; x=2 y '+arctan ( y ' )

SOLUCIÓN:

dxdt

=( t )'+(arcsen (√t ) )'

dxdt

=1+ 1

√1−t

dydt

=(−t 3

2 )'

+ (√1−t 2) '

dydt

=−3 t 2

2− 2 t

2√1−t 2

dydt

=−( 3 t 2

2+ t

√1−t2 )dydt

=−t (3 t2

+1

√1−t 2 )Dividiendo :

y '=

−t( 3 t2

+1

√1−t 2 )1+ 1

√1−t

GRUPO “OK”



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y '=¿

x=−t+arcsen (−t )

7). y=¿

SOLUCIÓN:

de la expresión :

y=¿

y '=−4 (c−sen (2 x ) ) cos (2x )………… (1 )

paraformar la expresion :( y ' )2+2 y cos2 ( x )=0 de (1 ) :

( y ')2+2 y cos2 ( x )=0

(−4 (c−sen (2 x ) ) cos (2 x ))2+2 (c−sen (2x ) )2 cos2 ( x )=0

−8 (c−sen (2 x ) )2 cos2 (2x )+2 (c−sen (2 x ))2cos2 ( x )=0

(c−sen (2 x ) )2(−8cos2 (2 x )+2cos2 (x ))=0

(c−sen (2 x ))¿

¿

(−8 (1−sen2 ( x ))−8 sen2 ( x ))+2cos ( x )=0

(−8+8 sen2 ( x ))−8 sen2 ( x ) ¿+2 cos ( x )=0

(−8)+2cos ( x )=0

cos (x )=4

∴noesunasolucion de la EDO

8). y=c (x+√−x ); ( y¿¿ ')2− yx [√−x+1

2 (x+1 )+1]=0¿

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



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Derivando :

y=c (x+√−x )

y '=c (1+ −12√−x )

y '=c (2√−x−12√−x )

reemplazando :

[c ( 2√−x−12√−x )]

2

−c (x+√−x )

x [ √−x+12 (x+1 )

+1]=0

c2 (2√−x−1 )2

−4 x−c (x+√−x )

x [ √−x+2 x+32 ( x+1 ) ]=0

c (2√−x−1 )2(2x2+2x )+4 x ( x+√−x ) (√−x+2x+3 )=0

( 4 x−4 √−x+1 ) (2 x2c+2 xc )+4 x2 √−x+8 x3+12x2+4 x2+8 x2 √−x+12 x√−x=0

8 x3 c+8 x2 c−8 x2c √−x−8 xc√−x+2x2 c+2xc+12 x2√−x+8 x3+16 x2+12x √−x≠0

∴ y=c (x+√−x ) ;noes soluciónde la EDO

9). y=c−sen ( x )

cos ( x ); y ' ' sen ( x )−xy2 y ' (cos ( x )+ ysen ( x ) )=0

SOLUCIÓN:

y=c+sen ( x )

cos ( x )

dydx

=(−cos ( x ) cos ( x )+(c−sen ( x ) ) sen ( x ) )

cos2 ( x )…(a)

ahora si :c= ycos ( x )+sen (x)

Reemplazandoen la ecuacióna

y ´=(−cos ( x )cos ( x )+( ycos ( x )+sen (x )−sen ( x ) ) sen ( x ) )

cos2 ( x )

GRUPO “OK”



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y ´=(−cos2 ( x )+ y cos (x ) sen (x ) )

cos2 ( x )

y ´ cos2 ( x )=−cos2 ( x )+ y cos ( x ) sen ( x )

y ´ cos2 ( x )+cos2 ( x )− y cos ( x ) sen ( x )=0

∴ y=c+sen ( x )

cos ( x ) Noesunasolución .

III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las relaciones con las constantes arbitrarias indicadas:

1). y=Asen (nx )+Bcos (nx )+Cx ; A ,B ,C∈R

SOLUCIÓN:

y '=Ancos (nx )−Bnsen (nx )+x

y ' '=−An2 sen (nx )−Bn2cos (nx )

y ' '=( Asen (nx )+Bcos (nx ) ) (−n2)

si : y−Cx=Asen (nx )+Bcos (nx )

y ' '=( y−Cx ) (−n2 )

y ' '

n2 =Cx− y

y ' '

n2 + y=Cx…… .. (a )

y ' ' '

n2 + y '=C

Side la ecuación(a)

y ' '

xn2 + yx=C

Reemplazando

GRUPO “OK”



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y ' ' '

n2 + y '= y ' '

x n2 +yx

y ' ' '

n2 − y ' '

x n2 + y'− yx=0

2). x=At e−t+Be−t+2Csen (t ) ; A ,B ,C∈ R

SOLUCIÓN:

x=At e−t+Be−t+2Csen (t )……………… (1)

x=−At e−t−B e−t+2Ccos ( t )………………(2)

x=At e−t+Be−t−2Csen ( t )………………(3)

x+ x=2 At e−t+2Be−t………………(4 )

x=−At e−t−B e−t+2Ccos ( t )………………(5)

x+ x=−2 At e−t−2B e−t………………(6)

Sumando (6 ) y (4)

x+ x+ x+x=0

x+2 x+x=0

3). Ax2+B y2−Cx=0 ;C∈R

SOLUCIÓN:

4). r=Aln|y|+By+C e− y ; A ,B ,C∈ R

SOLUCIÓN:

5). y=Ax3+B x2+Cx+D;A ,B ,C , D∈R

SOLUCIÓN:

y=Ax3+B x2+Cx+D………………………....(1)GRUPO “OK”



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y '=3 Ax2+2Bx+C………………………(2)y ' '=6 Ax+2B ……………………………...(3)y ' ' '=6 A………………………………………(4)y ' ' '

6=A ………………………………………..(5)

(5) en (3)y ' '=6

y' ' '

6x+2 B

y ' '= y ' ' ' x+2B

y ' '− y ' ' ' x2

=B………………………………….(6)Reemplazando (6) y (5) en (2)y '=3( y ' ' '6 ) x2+2( y ' ' x− y ' ' ' x2

2 )+C

y '= y ' ' '

2x2+ y ' ' x− y ' ' ' x2+C

y '− y ' ' '

2x2−( y ' ' x− y ' ' ' x2 )=C………………(7)

Reemplazando (7) , (6) y (5) en (1)y=( y ' ' '6 )x

3

+( y' ' x2

2− y ' ' ' x3

2 )+( y '− y' ' '

2x2−( y ' ' x− y ' ' ' x2 )) x

y ' ' ' (−4 x3

3− x2

2 )− y ' ' x2

2+ y '-y= 0

6).x2

a2 −y2

b2 =1;¿ x2

a2 + y2

b2 =1 ;a , b∈R

GRUPO “OK”



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SOLUCIÓN:

y=ba

√ x2−a2

y '=ba ( x

√x2−a2 )…(a)

se sabe : y=ba

√ x2−a2≈y

√ x2−a2=ba

Remplazandoen (a)

y '=( y

√x2−a2 )( x

√x2−a2 )y '= xy

x2−a2

y ' '=(x2−a2 ) ∂

∂x( xy )−( xy ) ∂

∂ x(x2−a2 )

(x2−a2 )2

y ' '=(x2−a2 ) (x y '+ y )−2x2 y

(x2−a2 )2…(b)

se sabe : y '= xy

x2−a2≈ x2−a2= xy

y '

Remplazandoen (b)

y ' '=( xyy ' )( x y '+ y )−2 x

2y

( xyy ' )2

( xyy ' )2

y' '

=x2 y+ x y2

y '−2 x2 y

y' '

( y ' )2= 1y ' x

− 1y

∴la EDOcorrespondientees : y ' '+( y ' )2

y−y '

x=0

GRUPO “OK”



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7). x=Ae−t+Be−t+C e2t+De−2t ; A , B ,C ,D ,∈R

SOLUCIÓN:

x=Ae−t+Be−t+C e2t+De−2t………… ..(1)

x '=−Ae−t−Be−t+2C e2 t−2De−2 t……. (2)

Sesabe :de (1 )

−Ae−t−B e−t=C e2 t+De−2 t−x…………(3)

Remplazandoen (3 ) en (2)

x '=3Ce2 t−De−2 t−x………….(4)

x ' '=6Ce2t+2De−2 t−x……….(5)

Sesabe :de ( 4 )

2 x'+2De−2t+2x=6Ce2 t…….(6)

Remplazandoen (6 )en (5)

x ' '=2x '+4De−2 t+x………….(7)

x ' ' '=2 x ' '−8De−2 t+x '……….(8)

Sesabe :de (7 )

8De−2 t=2 x ' '−4 x '−2 x………….(9)

Remplazandoen (9 )en (8)

x ' ' '=2 x ' '−(2 x ' '−4 x '−2 x )+ x'……….(8)

∴la EDOCorrespondiente es : x ' ' '−5 x '−2x=0

8) y=Ae−ktcos (nt )+Be−kt sen(nt ); A ,B , k∈R;n∈N

SOLUCIÓN:

y=A e−ktcos (nt )+Be−kt Sen (nt )

lo derivamos :

y '=(A e−ktcos (nt )+Be−kt Sen (nt ) ) '

y '=(A e−ktcos (nt ) )'+(Be−kt Sen (nt )) '

GRUPO “OK”



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y '=[ (−kA e−ktcos (nt ) )−(Ane−kt Sen (nt ) )]+[ (Bne−kt cos (nt ) )−(Bk e−kt Sen (nt ) )]…(1)

ky=kA e−ktcos (nt )+kB e−ktSen (nt )…….(2)

sumando (1 ) y (2)

y '=[ (−kA e−ktcos (nt ) )−(Ane−kt Sen (nt ) )]+[ (Bne−kt cos (nt ) )−(Bk e−kt Sen (nt ) )]ky=kA e−ktcos (nt )+kB e−ktSen (nt )

y '+ky=Bne−ktcos (nt )−Ane−kt Sen (nt )……….(3)

lo derivamosnuevamente :

( y '+ky )'=(Bne−kt cos (nt )−Ane−kt Sen (nt ) )'

y ' '+ky '=(Bne−kt cos (nt ) )'−(Ane−kt Sen (nt )) '

y ' '+ky '=[ (−kBne−ktcos (nt ) )−(Bn2e−kt Sen (nt ) )]+[ (Akne− ktSen (nt ) )−(An2 e−kt Sen (nt )) ].. (4)

y n2=An2e−kt cos (nt )+Bn2e−kt Sen (nt )………(5)

sumando ( 4 ) y (5)

y ' '+ky '=[ (−kBne−ktcos (nt ) )−(Bn2e−kt Sen (nt ) )]+[ (Akne− ktSen (nt ) )−(An2 e−kt Sen (nt )) ]y n2=An2e−kt cos (nt )+Bn2e−kt Sen (nt )

y ' '+k y '+ y n2=Ank e−kt Sen (nt )−Bnk e−kt cos (nt )……….(6)

ky '+ y k2=Bnk e−ktcos (nt )−Ank e−kt Sen (nt )……. (7)

sumando (6 ) y (7 )

y ' '+k y '+ y n2=Ank e−kt Sen (nt )−Bnk e−kt cos (nt )

ky '+ y k2=Bnk e−ktcos (nt )−Ank e−kt Sen (nt )

y ' '+k y '+ y n2+ky '+ y k2=0

∴ y ' '+2k y '+ y (n2+k2 )=0

9) x=Ae−t+Be−t+C e t sen ( t )+De−t cos (t) ;A ,B ,C ,D∈RSOLUCIÓN:

10) y=A e−x+Be x+C ex senh ( x )+Dexcosh (x ) ;A ,B ,C ,D∈R SOLUCIÓN:

y=A e−x+Be x+C ex senh ( x )+Dexcosh ( x )……………………1

GRUPO “OK”



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y '=−e−x A+exB+C ex senh ( x )+C ex cosh ( x )+Dexcosh ( x )−Dex senh ( x )……… .2

y ' '=e−x A+exB+2C excosh ( x )−2Dex senh ( x )………………… .3

y ' ' '=−e−x A+exB−2C ex senh ( x )+2C excosh ( x )−2Dexcosh ( x )−2Dex senh ( x )……….4

2(2)+(4)

2 y '+ y ' ' '=−3e−x A+3exB+4C excosh ( x )−4De xsenh ( x )…………………5

(5)−2(3)

2 y '+ y ' ' '− y ' '=−e−x A+exB……………….6 Derivandola ecuación6

2 y ' '+ y(4)− y ' ' '=e− xA+exB………….. 7 (7)−(6)

y(4)−2 y ' ' '+3 y ' '−2 y '=2e− x A………………8

Derivandola ecuación8

y(5 )−2 y(4 )+3 y ' ' '−2 y ' '=2e− x A………………9(9)-(8) y(5 )−3 y(4 )+ y ' ' '+ y ' '−2 y '=0

11) y=A ex+Be− x+C ex sen ( x )+Dexcos (x) ;A ,B ,C ,D∈RSOLUCIÓN:

y=A ex+Be− x+C ex sen ( x )+Dexcos (x )…………… .1

y '=Aex−Be− x+C excos ( x )−Dex sen(x ) ---------2y ' '=A ex+B e− x−Ce xsen ( x )−Dexcos (x) ---------3y ' ''=A ex−B e−x−C excos ( x )+Dex sen (x) ---------4sumando (3 )+(1)

y ' '+ y=2 A ex+2Be−x ---------5sumando ( 4 )+(2)

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

y ' ' '+ y '=2 A ex−2B e−x ---------6restando (6−5 )

y ' ' '+ y '− y ' '− y=−4 Be−x ---------7derivando7

y ' ' ' '+ y ' '− y' ' '− y '=4 Be−x ---------8sumando¿+7)y ' ' ' '− y=o

12) y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De− xcosh ( x ) ; A ,B ,C ,D∈R

SOLUCIÓN:

y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De− xcosh ( x )……… ..(i)

d erivando por primera ves se obtiene

y '=Aex+2B e2x−2C e−2x senh ( x )+Ce−2x cosx−De− xcosh ( x )+De− x senx…… ( ii )

sumandoi y ii se obtiene

y+ y '=2 Aex+3Be2x−C e−2x senh ( x )+De−x senx+C e−2xcosx… ..(iii )

d erivando por segunda ves seobtiene

y '+ y ' '=2 Aex+6 Be2x+2C e−2x senh ( x )−C e−2 xcosx−De−x senx+De− xcosx−2C e−2x cosx−C e−2 x senx……..( iv)

sumando2( iii) y iv seobtiene

2 y+2 y'=4 Ae x+6 Be2x−2Ce−2x senh ( x )+2De−x senx+2Ce−2x cosx… ..2 (iii )

y '+ y ' '=2 Aex+6 Be2x+2C e−2x senh ( x )−3Ce−2 xcosx−De−x senx+De−x cosx−C e−2x senx…… ..(iv)

2 y+3 y '+ y ' '=6 Aex+12Be2x−C e−2x cosx+De−x senx+De−x cosx−Ce−2x senx…… ..(v)

d erivando por tercera ves se obtiene

2 y '+3 y ' '+ y ' ' '=6 Aex+24 Be2x+2C e−2x cosx+Ce−2x senx−De−x senx+De−x cosx−D e−xcosx−De−x senx+2C e−2 x senx−C e−2 xcosx… (vi)

sumando2(v ) y vi seobtiene

4 y+6 y '+2 y ' '=12 A ex+24B e2x−2C e−2xcosx+2De− xsenx+2De− xcosx−2C e−2x senx…… ..(v )

2 y '+3 y ' '+ y ' ' '=6 Aex+24 Be2x+2C e−2x cosx+Ce−2x senx−De−x senx+De−x cosx−D e−xcosx−De−x senx+2C e−2 x senx−C e−2 xcosx…… ..(vi)4 y+8 y '+5 y ' '+ y ' ' '=18 A ex+48e2x+2De−x cosx+Ce−2x senx−Ce−2x cosx…… .. (vi )

GRUPO “OK”



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AT

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IV

–

EJE

RC

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OS

d erivando por cuarta ves seobtiene

4 y '+8 y' '+5 y ' ' '+ y4=18 Aex+96 e2 x−2De− xcosx−2De− x senx−2Ce−2 xsenx+C e−2x cosx+2Ce−2x cosx+Ce−2 xsenx…….. ( vii )

sumando2(vi) y vii se obtiene

4 y+12 y '+13 y ' '+6 y ' ' '+ y 4=36 Aex+144 e2x−2De− xsenx+2C e−2xcosx…….. (vii )

d erivando por quinta ves se obtiene

4 y '+12 y ' '+13 y ' ' '+6 y 4+ y5=36 Aex+288e2x+2De− x senx−2De−x cosx−4Ce−2 xcosx−2C e−2x senx… .. ( viii )

sumando2(vii) y viii se obtiene

4 y+16 y '+25 y ' '+19 y' ' '+7 y4+ y5=72 A ex+232e2 x−2C e−2x cosx−2De−x cosx−2Ce−2 xsenx… .. (ix )

d erivando por sexta ves se obtiene

4 y '+16 y' '+25 y ' ' '+19 y 4+7 y5+ y6=72 A ex+464 e2 x+4Ce−2 xcosx+2C e−2 x senx+2De− xcosx+2De−x senx+4C e−2x senx−2Ce−2 xcosx… .. ( x )

sumando2 ( ix ) y x seobtiene:4 y+10 y '+41 y ' '+44 y' ' '+26 y4+8 y5+ y6=144 A ex+696e2 x+4Ce−2 xcosx+2C e−2 x senx+2De− xcosx+2De−x senx+4C e−2x senx−2Ce−2 xcosx… .. ( x )

13) Porfi

IV. Hállese una ecuación diferencial para cada uno de las siguientes familias de las curvas en el plano XY:

1) Todas lasrectas con pendiente iguala½

SOLUCIÓN:

y=mx+b

por lo tanto para que la pendiente seaigual1/2

y=12x+0↔ y= x

2

y ,−12=0⇒ y ,=1

2

2) Todas lasrectas con pendiente iguala (−m)

SOLUCIÓN:

y=mx+b

GRUPO “OK”



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EJE

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paraque la pendiente sea−m(b=0)y=− xmy ,+m=0

y ,=−m y= y , x⇔ y− y , x=0

3) Rectas con la pendiente y laintersecciónconel eje Y iguales .

SOLUCIÓN:

y=mx+b

La interseccionde larecta conel eje Y (x=0)

y=becuacion(1)

Perola pendiente es iguala estainterseccion

yx=b

Derivando :

y=xb

y '=b

Reemplazandoen la ecuacion(1)

y− y '=0

4) Rectas con la pendiente y laintersecciónconel eje X iguales .

SOLUCIÓN:

donde la ecuación de larecta es : y− y1=m(x−x1)

y− y1=m(x−x1)

Reemplazando los valores en laecuación tenemos :

y−0=m ( x−A )

y=mx−mA

Derivandoimplícitamente la ecuaciónanterior tenemos :

GRUPO “OK”



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IV

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EJE

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y '=m

5) Rectas con lasumaalgebraica de las interseccionesiguales ak

SOLUCIÓN:

Sea lafamilia derectas : y=Ax+B

si y=0≈0=Ax+B

x=−BA

k=B− BA

Ak=AB−B…….(1)

y=Ax+B

y '=A⇒B= y− y ' x…… ..(2)

Remplazando (2 ) en(1)

y ' k= y ' ( y− y ' x )−( y− y ' x )

y ' k= y ' y−( y ' )2 x− y+ y ' x

( y ' )2 x− y ' y+ y− y ' x+ y 'k=0

y ' x ( y '−1 )− y ( y '−1 )+ y 'k=0

∴ ( y '−1 )( y ' x− y)+ y ' k=0

6) Circunferencias conel centro enel origen y radio arbitrario

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

Derivando : (x−h )+( y−k ) y '=0……….(a)

se sabe : (h , k )=(0,0)

x2+ y2=r2

x+ y y '=0⇒ x=− y y '……………………….(b)

GRUPO “OK”



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EJE

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1+ y y ' '+( y ' )2=0⟹ y=−( y ' )2+1

y ' '……..(c)

Remplazando (b ) y (c ) en(a)

(− y y '−h )+(−( y ' )2+1

y ' '−k ) y '=0

∴ y' ' ( y+ hy ' +k )+( y ' )2+1=0

7) Circunferencias conel centro encualquier punto del plano XY y radio arbitrario .

SOLUCIÓN:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

Derivando1 ° ,2 ° y3 ° vez .

( x−h )+ y ' ( y−k )=0

y ' ( y−k )=−( x−h )………………………(1)

y ' ' ( y−k )+( y¿¿' )2=−1………………………(2)¿

y ' ' ' ( y−k )+ y ' ' y '+2 y ' ' y '=0

y ' ' ' ( y−k )+3 y' ' y'=0………………………(3)

Reemplazando2 y3

y ' ' ' ¿

− y ' ' ' ¿

y ' ' ' ¿

8) Circunferencias sobre el eje X yradio arbitrario .

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



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EJE

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C :(x−h)2+( y−k )2=r2

Si sucentroesta sobre x :

k=0

(x−h)2+( y−0)2=r2

(x−h)2+( y)2=r2… (1 )

Derivando conrespecto ax :

2(x−h)+2 ydydx

=0

Hallando el valor de h :

2 x−2h+2 yy '=0

−2h=−2 y y '−2 x

h= y y '+x

Reemplazandoen la ecuación1 :

(x−h)2+( y)2=r2

(x−( y y '+x ))2+( y)2=r2

x2−2 x ( y y '+ x )+ ( y y '+x )2+( y)2=r 2

x2−2 xy y '−2 x2+ y y'2+2 xy y '+x2+( y )2=r2

−2 xy y '+ y y '2+2 xy y '+( y )2=r2

y ( y '2+ y )−r2=0

9) Circunferencia concentro sobre larecta y= x2y que pasen por el origen .

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



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IV

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EJE

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ecuacion general de la circunferencia:

( x−h )2+ ( y−k )2= (r )2

el centro seubica en larecta y= x2

; h=k2

(x− k2 )2

+ ( y−k )2=(r )2………1

2(x− k2)+2 ( y−k ) y '=o

(x− k2 )=−( y−k ) y '…………2

remplazandoen2en1

( ( y−k ) y ' )2+ ( y−k )2=(r )2…………3

( ( y−k ) )2( y2+1)=(r )2

( y−k )2 ∂∂ x

( y '2+1 )+( y '2+1 ) ∂∂ x

( y−k )2=0

( y−k )22. y ' . y ' '+2 ( y'2+1 ) ( y−k ) . y '=0

( y−k ) . y ' '+ ( y '2+1 )=0

( y−k )=−( y '2+1 )y ' '

…………….4

Trabajando con las ecuaciones3 y 4

[ ( y'2+1 )y ' ' ]

2

( y '2+1 )=r2

[ ( y '2+1 ) ]y ' '2

3

=r2

GRUPO “OK”



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EJE

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y ' '2∂∂ x

[ ( y '2+1 ) ]3+[ ( y'2+1 ) ]3 ∂∂xy ' '2

y ' '4=r2

y ' '23 [ ( y '2+1 ) ]22. y ' . y ' '+[ ( y'2+1 ) ]3 2 y ' ' . y ' ' '

y ' '4=o

y ' '23 [ ( y '2+1 ) ]22. y ' . y ' '

y ' '4+

[ ( y '2+1 ) ]32 y ' ' . y ' ' '

y ' '4=o

Dividiendo2 [ ( y '2+1 ) ]2tenemos

y ' '23 [ ( y '2+1 ) ]22. y ' . y ' '

2 [ ( y '2+1 ) ]2 y ' '4+

[ ( y '2+1 ) ]32 y ' ' . y ' ' '

2 [ ( y '2+1 ) ]2 y ' '4=o

3 y '

y ' '+

[ ( y '2+1 ) ]. y ' ' 'y ' '3

=0

3 . y ' '2 . y '+ y ' '' . [ ( y '2+1 ) ]=0

10)Circunferencias concentro enel punto arbitrario P (C , D ) yradio igualar

SOLUCIÓN:

ecuacion general de la circunferencia:

( x−h )2+ ( y−k )2= (r )2

parael punto(C ,D)( x−C )2+ ( y−D )2=(r )2……… (1)primero loderivamos :

(( x−C )2+( y−D )2) '¿ ((r )2 ) '

2 ( x−C )+2 ( y−D ) y '=0

( x−C )=−( y−D ) y'

en (1 ) reemplazamos :

( x−C )2+ ( y−D )2=(r )2

(− ( y−D ) y ' )2+ ( y−D )2=(r )2

( y−D )2 ( y ' )2+( y−D )2=(r )2

( y−D )2 [ ( y' )2+1 ]=(r )2…… ..(2)

GRUPO “OK”



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EJE

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derivamos esta expresión :

[ ( y−D )2 [ ( y ' )2+1 ]]'=( (r )2 )'

( y−D )2 (2 y ' y ' ' )+2 y ' ( y−D ) [ ( y ' )2+1 ]=0

( y−D ) y ' '+ ( y ' )2+1=0

( y−D )=−[ ( y ' )2+1 ]

y ' '……(3)

en (2 ) reemplazamos(3) :

( y−D )2 [ ( y' )2+1 ]=(r )2

( [ ( y ' )2+1 ]y ' ' )

2

[ ( y ' )2+1 ]=(r )2

[ ( y' )2+1 ]3=(r )2 ( y ' ' )2

[ ( y' )2+1 ]32=r y ' '

∴ [ ( y ' )2+1 ]32−r y ' '=0

(r es arbitrario¿

11) Parábolas conel eje paralelo al eje“ y” y con ladistancia del vértice al foco igual a“ A”

SOLUCIÓN:

Ecuación de la parábola: ( x−h )2=±4 p( y−k )

( x−h )2=±4 A( y−k )

derivando:

2 ( x−h )=±4 A( y' )

1=±2 A ( y ' ')

y ´ ´=± 12a

12) Parábolas conel eje y el foco sobreel eje X .

SOLUCIÓN:

( x−h )2=4 p ( y−k )… (1 )

GRUPO “OK”



y ´ ´= 12ap . concava

y ´ ´=−12a

p . convexa

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EJE

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Primeraderivada2 ( x−h )=4 py 'x−h=2 p y '… (2 )Remplazando(2)en(1)(2 p y ' )2

=4 p ( y−k )( p y ' )2=p ( y−k )… (3 )Segundaderivada2 py ' ( p y ' ' )=py 'p y ' '=1

2

p= 1

2 y ' '…(4 )

Reemplazando(4)en(3)

( y '

2 y ' ' )2

=( y−k )2 y ' '

( y ' )2

2 y ' '= y−k

Tercera derivada

2 y ' ' (2 y ' y ' ' )−( y ' )2 (2 y ' ' ' )4 ( y ' ' )2

= y '

2 y ' ' (2 y ' y ' ' )−( y ' )2 ( 2 y ' ' ' )=4 y ' ( y ' ' )2

2 y ' ' ( y ' ' )− y ' y ' ' '=2 ( y ' ' )2

22 ( y ' ' )2− y ' y' ' '=2 ( y ' ' )2

0= y ' y ' ' '

13) Parabolas conel eje paralelo al eje X .

SOLUCIÓN:

Laecuacion de la parabola coneje paralelo al eje X

( y−k )2=4 p (x−h )

2 ( y−k ) y ,=4 p

( y−k ) y ,=2 p…………………… (1 )

c+( y , )2=0…………………… .. (2 )

( y−k ) y ,, ,+3 y , y , ,………………… (3 )

Despejandola ecuacion (2 )

( y−k )=−( y , )2

y , ,

GRUPO “OK”



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Reemplazamosen laecuacion (3 )

( y−k ) y ,, ,+3 y , y , ,=0

(−( y , )2

y ,, ) y ,, ,+3 y , y , ,=0

−( y , )2 y ,, ,+3 y , ( y , ,)2=0

14) Hipérbolas equiláteras con centroenQ (M , N )

SOLUCIÓN:

( x−h ) ( y−k )=a2

2

( x−M ) ( y−N )=a2

2

xy−xN−My+MN=a2

2

Derivando2 veces :

1 °¿ y+x y '−N− y 'M=0

2 °¿ y '+ y '+ x y ' '− y ' 'M=0

2 y ' x y ' '− y ' 'M=0

x= y ' 'M−2 y 'y ' '

Derivando :

1=( y ' ' 'M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' '( y ' 'M−2 y ')

( y ´ ´ )2

( y ´ ´ )2=( y' ' 'M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' ' ( y ' 'M−2 y ')

Simplificando:

3 ( y ´´ )2=2 y ' ' ' y '

∴2 y ' ' ' y '−3 ( y ´ ´ )2=0

15)Circunferencias tangentes aleje X .

GRUPO “OK”



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SOLUCIÓN:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

( x−h )2+ ( y−r )2=r 2….(1)

2 ( x−h )+2 ( y−r ) y '=0…(2)

( x−h )=−( y−r ) y '

[ ( y−r ) y ' ]2+( y−r )2=r2….(3)

( y−r )2 [ ( y ' )2+1 ]=r2

( y−r )2 .∂ [ ( y ' )2+1 ]∂ x

+[ ( y ' )2+1 ] ∂ ( y−r )2

∂ x=0

( y−r )2 .(2 y ' . y ' ')+2 [ ( y ' )2+1 ]( y−r) y '=0

( y−r )2 . y ' '+[ ( y ' )2+1 ] ( y−r )=0

( y−r ) . y ' '+ ( y ' )2+1=0

y−r=−(( y ' )¿¿2+1)

y ' '… (4)¿

analizando en laecuacion3 y 4

¿¿

(( y ' )¿¿2+1)3

( y ' ' )2=r2¿

( y ' ' )2 . ∂ (( y ' )¿¿2+1)3

∂ x−(( y ' )¿¿2+1)3

.∂ ( y ' ' )2

∂ x=0¿¿

( y ' ' )2 (3 )( ( y ' )¿¿2+1)2. ∂

( ( y ' )¿¿2+1)∂ x

−2( ( y ' )¿¿2+1)3. y ' ' . y '' '=0¿¿¿

6 ( y ' ' )2 (( y ' )¿¿2+1)2 . y ' . y ' '

2(( y ' )¿¿2+1)2. y ' '−2

( ( y ' )¿¿2+1)3 . y' ' . y '' '

2(( y ' )¿¿2+1)2 . y ' ' ¿¿¿

¿

( y ' ' )2 . y '−(( y ' )¿¿2+1). y '' '=0¿

16)Cónicas centrales conel centroenel origen y vértices sobre los EjesCoordenados

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



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17) Tangentes ala parabola ; y2=−6 x

SOLUCIÓN:

Sesabe :

y− y0= y' (x−x0 )……. (1)

y02

6=−x0………………(2)

Derivando : y2=−6 x

y '=−3y…………(3)

Remplazando (3 ) y (2 )en (1)

y− y0=−3y ( x+ y0

2

6 )y2− y0 y=−3x−

y02

2………… ..(4)

Derivando : y2− y0 y=−3 x−y0

2

2

y0=2 y y'+3y '

……… ...(5)

Remplazando : (5 ) en (4 )

y2−( 2 y y '+3

y ' ) y=−3 x−( 2 y y '+3

y ' )2

2

∴ y2−3( yy ' +x)− y− 9

2( y ')2 =0

V. Resuélvase cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables:

1) (t−ln ( t ) )dx−(ln(x ))2 tdt=0¿

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



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dx

( ln(x))2− tdt

(t−ln (t ) )=0

∫ dx

( ln(x ))2−∫ tdt

( t−ln ( t ) )

∫ dxln( x)

− xln(x )

−t−∫ lnt

(t−ln (t ) )dt

2) ex3− y3

− y

x2

dydx

=0

SOLUCIÓN:

ex3− y3

x2dx+ ydy=0

ex3

e− y3

x2dx+ ydy=0

ex3

x2dx+ y

e− y3 dy=0

∫ ex3

x2dx+∫ y

e− y3 dy=∫ 0

∫ ex3

x2dx+∫ ey3

ydy=∫0

ex3

3+ e

y3

3=C

SoluciónGeneral :

∴3e x3

+3e y2

=9C

3)dvdu

+cos( u−v2 )=cos (u−v2 )SOLUCIÓN:

dvdu

+sen ( u−v2 )=sen( u−v2 )dvdu

+sen ( u−v2 )−sen( u−v2 )=0

dvdu

+2 sen( u−v2−u−v

22 )cos ( u−v2

+u−v2

2 )=0

dvdu

+2 sen (0 )cos (u−v )=0

GRUPO “OK”



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EJE

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dv+2 sen ( v2 )cos ( u2 )du=0

dv

sen ( v2 )+2 cos( u2 )du=0

∫ dv

sen ( v2 )+2∫ cos( u2 )du=∫0

2 ln|csc( v2 )−ctg( v2 )|+4 sen ( u2 )=C

Solución General:

∴ ln|csc( v2 )−ctg( v2 )|+2 sen (u2 )=C24) (1− y2) (e2 xdx+e y dy )−(1+ y )dy=0

SOLUCIÓN:

( (1− y2 )e2xdx+( 1− y2 )e ydy )−(1+ y )dy=0

(1− y2) e2x dx+(e y− y2 e y−1− y )dy=0

e2x dx+(ey− y2e y−1− y )

(1− y2 )dy=0

e2x dx+e y(1− y2 )1− y2 dy−

(1+ y )1− y2 dy=0

integrando

∫ e2 xdx+∫e y dy−∫ dy

1− y2+∫ y

1− y2=C

12e2x+e y−arctan ( y )+ 1

2ln|1− y2|=C

5)(xy4− y4−x+1 )dx+( x4 y−2x3 y+x4+2 x2 y−2 x3+2x2 )dy=0

SOLUCIÓN:

¿

GRUPO “OK”



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IV

–

EJE

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¿

x−1

x4−2 x3+2x2dx+ y+1

y4−1dy=0

∫ x−1

x4−2x3+2x2dx+∫ y+1

y4−1dy=0

12

arctan ( x−1 )+ 12 x

−12

arctan ( y )−12

ln ( y2+1 )+ 12

ln ( y−1 )+c=0

8) y ,= −x+3 y3x+3 y+1

comodydx

= y ,

SOLUCIÓN:

( x+3 y )dx+ (3 x+3 y+1 )dy=0↔a1a2≠b1b2noson paralelos

M (x , y )=x+3 y=0

N( x , y )=3 x+3 y+1=0desarrollandoobtenemos :

larecta se intersecan en (h ;k )=(−12;

16 )

→x=t−12; y=u+ 1

6

Reemplazando tenemoslo siguiente :

[ t−12+3(u+ 1

6 )]dt+[3(t−12 )+3(u+ 1

6 )+1]du=0

(t+3u )dt+(3 t+3u )du=0……………………………. (1 )

Seau=mt→du=mdt+tdm…………………… (2)

Reemplazando la ecuacion (2 ) en la (1)

(t+3 (mt ) )dt+ (3 t+3 (mt ) ) (mdt+ tdm )=0

t (3m2+6m+1 )dt+3 t2 (m+1 )dm=0

t

3t 2dt+ m+1

3m2+6m+1dm=0

Integrando :

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

∫ dt3 t

+∫ m+1

3m2+6m+1dm=0→

13

ln ( t )+(∫ m+1

3m2+6m+1 )dm=c

13

ln (t )+ 16∫

drr

=c↔ dr6 (m+1 )

=dm

13

ln (t )+ 16

ln (r )=c↔ 13

ln (t )+ 16

ln (3m2+6m+1 )=c

2 ln (t )+ ln (3m2+6m+1 )=6c

Luego :2 ln(x+ 12 )+ln [3 ( y−

16

x+ 12

)+6( y−16

x+12

)]=6c

9) (x2 y3+2 x y2+ y )dx+(x3 y2−2 x2 y+x )dy=0

SOLUCIÓN:

Sea : t=xy→ y= tx↔dy= xdt−tdx

x2

Reemplazando :

(x2( tx )3

+2x ( tx )2

+ tx )dx+( x3( tx )

2

−2 x2( tx )+x )( xdt−tdxx2 )=0

( t3x + 2t 2

x+ tx )dx+ x (t 2−2 t+1 )( xdt−tdxx2 )=0

(t 3+2t 2+t )dx+( t2−2 t+1 ) (xdt−tdx )=0

4 t2dx+x (t 2−2 t+1 )dt=0→dxx

+ t2−2 t+1

4 t 2 dt=0

Integrando :

∫ dxx

+∫( t2−2t+14 t 2 )dt=0→ ln ( x )− ln ( t )

2+ t−t

−1

4=c

ln (x)−2 ln (t )+t−t−1=4 cComot=xy

4 ln ( x )+2 ln (xy )+xy−( xy )−1=4c

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

VI. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el cambio de variable:

3) (x4 y2+1 )dx+2x4 dy=c

SOLUCIÓN:

(x2 y2 x2+1 )dx+2 x4dy=c

hacemosuncambio devariable :

z=xy

dzdx

=x dydx

+ y

dz=xdy+ ydx

dy=dz− ydxx

Remplazando :

( z2 x2+1 )dx+2 x4( dz− ydxx )=c

( z2 x2+1 )dx+2 x3dz−2 x3 ydx=c…… ..( y= zx )

( z2 x2+1 )dx+2 x3dz−2 x3( zx )dx=c( z2 x2+1−2 x2 z )dx+2 x3dz=c

x2 z [ ( z−1 )+1 ] dx+2x3dz=c

z [ (z−1 )+1 ]dx+2 xdz= c

x2…….La formaMdx+Ndy=0

No puede descomponerse (noson variables separables )

4) (x3 y4+ y+x−2 )dx+(x4 y3+x )dy=0

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

[ y (x3 y3+1 )+(x−2)]dx+ [ x (x3 y3+1)]dy=0

hacemosuncambio devariable :

z=xy

dzdx

=x dydx

+ y

dz=xdy+ ydx

xdy=dz− ydx

Remplazando :

[ y ( z3+1 )+(x−2)]dx+( z3+1 ) (dz− ydx )=0……… y= zx

[( zx ) ( z3+1 )+(x−2)]dx+( z3+1 )dz−( z3+1 )( zx )dx=0

( z4

x+ zx+x−2− z4

x− zx )dx+( z3+1 )dz=0

( x−2 )dx+( z3+1 )dz=0

∫ ( x−2 )dx+∫ ( z3+1 )dz=c

x2

2−2 x+ z

4

4+z=c

∴ x2

2−2x+ x

4 y 4

4+xy=c

5) (x+ y−2+ 1x )dx−(2−x− y )dy=0

SOLUCIÓN:

hacemos :u=x+ y−2⇒du=dx+dy⇒dy=du−dx…… (∝ )

reemplazamos (∝ ) enla ecuación :

⇒(u+ 1x )dx+u (du−dx )=0

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

⇒(u+ 1x−u)dx+udu=0

⇒ dxx

+udu=0

separando variables tenemos :

dxx

+udu=0

integramos :

⇒∫ 1xdx+∫ udu=0

⇒ ln (x )+ u2

2=c………(β )

reemplazamosu=x+ y−2en (β ) :

⇒2 ln (x)+( x+ y−2 )2=c

∴ ln ( x2 )+x2+ y4+2 x . y−4 x−4 y=c

6) (5 x+5 y−x ex )dx−(5x+5 y−1 )dy=0

SOLUCIÓN:

hacemos :u=5 x+5 y⇒du=5dx+5dy⇒ dy=du−5dx5

… (∝ )

reemplazamos (∝ ) enla ecuación :

⇒ (u+ xex )dx+(1−u )( du5 +dx)=0

⇒ (u+ xex )dx+(1−u )( du5 +dx)=0

⇒ (u+ xex+1−u )dx+ (1−u )5

du=0

⇒ (x ex+1 )dx+ (1−u )5

du=0

separando variables tenemos :

(x ex+1 )dx+ (1−u )5

du=0………( β)

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

integramos :

⇒∫ (x ex+1 )dx+∫ (1−u )5

du=0

⇒∫ x ex dx⏟A

+∫ dx+¿ 15∫ du−

15∫udu+¿=0¿¿

usamos integracion por partes en A :

A=∫ xex dx hacemos : m=xdm=dx

dn=exdxn=ex

como sabemos :

∫udv=uv−∫ vduA=xex−∫ exdxA=xex−ex

reemplazamos A :

⇒ x ex−e x+x+ 15u− 1

10u2=c

reemplazamosu=5x+5 y en (β ) :

⇒ x ex−e x+x+x+ y−52(x2+ y2+2 xy)2=c

∴2ex ( x−1 )+4 x+2 y−5 (x2+ y2+2 xy )2=c

7)dydx

= √x+ y+√ x− y√x+ y−√x− y

SOLUCIÓN:

dydx

= √x+ y+√ x− y√x+ y−√x− y

[ x+√(x+ y )(x− y )]dx− ydy=0seauna EDOhomonegiasea y=ux xd=udx+xdu[ x+√ ( x+ux ) ( x−ux ) ]dx−ux (udx+xdu )=0

[x+√ (x2−u2 x2 ) ]xd−ux (udx+xdu )=0

[ x+x √1−u2 ] xd−u2 xdx−u x2du=0

x (1+√1−u2 ) xd−u2 xdx−u x2du=0

x (√1−u2+1−u2 ) xd−u x2du=0

∫ xdx

x2−∫ udu

√1−u2+1−u2=c

ln|x|−∫ udu

√1−u2+1−u2=c

ln|x|−(−12 ∫ da

√a+a )ln|x|+ 1

2∫da

√a (1+√a )

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

ln|x|+ 12∫a

−12 (a1

2+1)−1

da

m=−12n=1

2p=−1

CASO I p<0 p=−1a=t 2da=2 tdt

ln|x|+ 12∫ t

−1 ( t+1 )−1 2tdt

ln|x|+∫ tdtt ( t+1 )

ln|x|+|n|t+1=cln|x|+|n|√a+1=cln|x|+|n|√1−u2+1=c

ln|x|+ ln(√ x2− y2

x2 +1)=cln [x (√ x2− y2+ x2

x2 )]=c

8)dydx

=2 yx

+ x3

y+ xcos( yx2 )

SOLUCIÓN:

[ dydx ] . x=[ 2 yx

+ x3

y+xcos( yx2 )] . x

[ dydx ] . x=[ 2 y2+x4+x2 ycos ( yx2 )y ] . x

x . ydy=[2 y2+x 4+x2 ycos ( yx2 )] . dx[2 y2+x4+x2 ycos( yx2 )] . dx−x . ydy=0

Veremos si es homogénea

M (rx ,ry )=¿

N (rx , ry )=(rx ) . (ry )……………………………eshomogeneade grado1

∴la EDOnoeshomogenea

VII. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias como exactas o convirtiéndolas a exactas:

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

1) ( y exy+ y3 x2+2 yln ( x )x )dx+(x exy+x3 y2−ln2 ( x ) )dy=0

SOLUCIÓN:

2) ( ytan ( xy )− ysec ( xy ) )dx+(xtan ( xy )−xsec (xy ))dy=0

SOLUCIÓN:

Hacemos :M (x ; y )= ytan ( xy )− ysec (xy)N ( x ; y )=xtan ( xy )−xsec( xy)Entonces :

⇒∂M ( x ; y )∂ y

= ∂∂ y

( ytan ( xy )− ysec(xy ))

∂M ( x ; y )∂ y

=xy . se c2 ( xy )−tan ( xy )+xy . sec ( xy ) . tan (xy )−sec (xy)

Ahora:

⇒∂ N (x ; y )∂x

= ∂∂x

( xtan ( xy )−xsec( xy))

⇒∂ N (x ; y )∂x

=xy . se c2 ( xy )−tan (xy )+xy . sec ( xy ) . tan ( xy )−sec (xy )

Entonces :∂M ( x ; y )∂ y

=∂N ( x ; y )∂x

⇒ la EDO esexacta

∴∃F ( x ; y )/∂ F ( x ; y )=( ytan ( xy )− ysec (xy))dx+(xtan (xy )−xsec(xy ))dyHacemos :

⇒∂ F ( x ; y )∂ x

= ytan ( xy )− ysec (xy)……… ..(I )

⇒∂ F ( x ; y )∂ y

=xtan ( xy )−xsec(xy )……… .. ( II )

Integramos ( I ) :∫ ∂F (x ; y )=∫ ( ytan ( xy )− ysec (xy))dxF ( x ; y )=∫ ytan (xy )dx−∫ ysec (xy )dxF ( x ; y )=∫ tan ( xy )dxy−∫ sec ( xy )dxyF ( x ; y )=∫ tan (u )du−∫ sec (u )du…. para :u=xyF ( x ; y )=−ln ( cos (u ) )−ln (sec (u )+ tan (u ) )+g ( x )∴F (x ; y )=−ln (cos ( xy ) )−ln [sec ( xy )+ tan ( xy ) ]+g ( x )…………(∝)Ahoraderivamos (∝ ) respecto a y :∂F ( x ; y )∂ y

= ∂∂ y

(−ln (cos ( xy ) )−ln [sec ( xy )+ tan ( xy ) ]+g ( x ) )∂F ( x ; y )∂ y

=−[cos ( xy ) ] '

cos ( xy )−

[sec ( xy )+ tan ( xy ) ] 'sec ( xy )+ tan (xy )

+g ' ( x )

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

∂F ( x ; y )∂ y

=−(−sen ( xy ) ) ( xy ) '

cos (xy )−sec (xy ) . tan ( xy ) . ( xy ) '+sec2 ( xy ) . ( xy ) '

sec ( xy )+ tan ( xy )+g' (x )

∂F ( x ; y )∂ y

=xsen(xy )cos ( xy )

−x sec ( xy ) . tan ( xy )+x sec2 (xy )

sec ( xy )+ tan ( xy )+g ' ( x )

∂F ( x ; y )∂ y

=x . tan ( xy )−x sec ( xy ) . [sec ( xy )+ tan ( xy ) ][sec ( xy )+ tan ( xy ) ]

+g ' ( x )

∂F ( x ; y )∂ y

=x . tan ( xy )−x sec ( xy )+g ' (x )………… (β )

Ahoraigualamos (β ) y ( II ) :

xtan ( xy )−xsec (xy )+g ' ( x )=xtan ( xy )−xsec(xy )⇒ g ' ( x )=0∴g ( x )=C∴F (x ; y )=−ln (cos ( xy ) )−ln [sec ( xy )+ tan ( xy ) ]+C

3) [ sen2 ( x+ y )+cos2 (2x+2 y )+sen2 (2 x+2 y ) ]dx+(−cos (2+2 y )2

+sen (2x+2 y )

2 )dy=0

SOLUCIÓN:

M (x ; y )=sen2 ( x+ y )+cos2 (2 x+2 y )+sen2 (2x+2 y )dMdy

=2 sen ( x+ y ) cos ( x+ y )−4 sen (2x+2 y )cos (2x+2 y )+4 sen (2 x+2 y )cos (2 x+2 y )

dMdy

=2 sen ( x+ y ) cos ( x+ y )

dMdy

=sen ( 2 ( x+ y ) )

N ( x ; y )=−cos (2+2 y )2

+sen (2 x+2 y )

2dNdx

=(0 ) 12sen (2+2 y )+ 1

22 cos (2 x+2 y )

c=cos (2x+2 y )dNdx

=cos (2 ( x+ y ) )

dMdy≠dNdy

⇛ la EDO noesexacta

4) (4 x3 y− y4 cos ( x ) )dx+(x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0

SOLUCIÓN:

GRUPO “OK”



AN

AL

ISIS

M

AT

EM

AT

ICO

IV

–

EJE

RC

ICIO

S R

ES

UE

LT

OS

M (x ; y )=4 x3 y− y4 cos ( x )⇔dMdy

=4 x3−4 y3 cos ( x )

N ( x ; y )=x4 y−4 y3 sen ( x )⇔ dNdx

=4 x3 y−4 y4 cos ( x )

EntoncesdMdy≠dNdx

⇒ la EDOes exacta

Ahoraconvertimosaexcta .M (x ; y )dx+ (x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0………………………………… (θ )

Considerando quees exacta cumpleque :dMdy

=dNdx

dM (x ; y )dy

=4 x3 y− y 4 cos ( x )

Integramos :

∫ dM ( x ; y )=4∫ x3 ydy−∫ y 4 cos ( x )dy

M (x ; y )=2 x3 y2−15y5cos (x )……………………………………………. ( i )

Reemplazamos ( i )en (θ )Entonces laecuaciondiferencial exacta sera :M (x ; y )dx+ (x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0

(2 x3 y2−15y5cos (x ))dx+ (x4 y−4 y3 sen ( x ) )dy=0

Como sabemosque :dM (x ; y)

dy=dN (x ; y )dx

⇒∃F ( x ; y )dF ( x ; y )

=(2x3 y2−15y5 cos ( x ))dx+(x4 y−4 y3 sen ( x ) ) dy

F ( x ; y )dx

=(2x3 y2−15y5 cos ( x ))……………………… .. ( I )

F ( x ; y )dy

=x4 y−4 y3 sen (x )……………………………… .. ( II )

GRUPO “OK”



Trabajo de Analisis Matematico

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Transcript of Trabajo de Analisis Matematico