Projet Matlab - Alvin LOO

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ll’’EExxpplloossiioonn

Elève :

Alvin Si Xian LOO (MRIE5 - Option ISIS)

A l’attention de M. Didier LEMOSSE

Sommaire

Introduction : .......................................................................... 3

Maillage et caractéristiques du portique: ............................ 3

Les scénarii : ....................................................................... 4

Méthodes de calcul : ........................................................... 5

Types de déformation : ....................................................... 7

Résultats des simulations : .................................................. 8

Interprétation des résultats : .............................................. 10

Conclusion : .......................................................................... 12

Annexes : .............................................................................. 13

PPrroojjeett IInnggéénniieerriiee ddee llaa SSééccuurriittéé ddeess OOuuvvrraaggeess vviiss--àà--vviiss ddee ll’’EExxpplloossiioonn

Alvin LOO 3

Introduction : Le but de ce programme Matlab est de modéliser et simuler le comportement d’une structure portique en 2D subissant une onde de surpression à l’origine d’une explosion. Cette simulation se porte sur deux scénarii différents. Dans le premier scénario, seulement la face gauche du portique subit l’onde de surpression tandis que le deuxième présente une onde de surpression mobile frappant l’ensemble du portique. Deux méthodes de calculs sont utilisées :

• Méthode statique - le DLF (Dynamique Load Factor) • Méthode semi-implicite (dynamique) avec la méthode de Newmark

La déformation du portique est considérée comme linéaire dans un premier temps, puis non-linéaire, c’est-à-dire qu’il y a un affaiblissement successif du module de Young au-delà de la limite d’élasticité. Le présent travail consiste à modifier un programme de base déjà complet qui simule le premier scénario avec la méthode statique. Cette modification permet l’étude d’inclure le deuxième scénario et d’utiliser la 2ème méthode.

Maillage et caractéristiques du portique: Le portique mesure 5 m de long et 3 m de haut. Dans notre modélisation, son épaisseur est de 2 éléments. L’ensemble de la structure est encastrée en bas. Son module de Young initial, E, est égal à 30 x 109 Pa, coefficient de poisson, ν, égal à 0,3, masse volumique à 2300kg/m3. Il y a environs 3,1 nœuds par mètre sur la face gauche et la face droite. La face haut contient 12,1 nœuds par mètre. Voici 2 graphiques du portique généré par Matlab:

Figure 1 : Représentation spatiale des noeuds du portique et des conditions aux limites


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Figure 2 : Représentation spatiale des éléments du portique

Les scénarii : Dans les 2 scénarii, l’onde de surpression est identique. Puisque c’est une déflagration lente, la variation de la pression suit une fonction sinus. La longueur d’onde est 0,2 secondes et la pression maximale monte jusqu’à 30 kPa. Comme le montre le graphique ci-dessous, il y a une phase de surpression dans un premier temps, puis une phase de dépression. La sollicitation par l’onde ne dure que 0,2s.

Figure 3 : L'onde de pression


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Dans le 1èr cas, seul la face gauche est sollicitée par cette onde de pression.

Figure 4 : Cas 1

Dans le 2ème cas, on suppose que l’onde s’écoule à une vitesse de 35 m/s, ce qui implique que les 2 autres faces du portique seront au fur et au mesure sollicitées par cette onde de pression. Pour simplifier les calculs, on suppose que l’effet de l’onde de pression sur la face haut ne démarre que lorsque l’onde arrive à son centre. On suppose également qu’elle subit la même pression repartie sur toute la face à un moment donné. Ainsi, la face haut est sollicitée par l’onde de pression à t = 2,5m/35m.s-1 = 0,0714s soit t=0 lorsque l’onde touche la face gauche. La face droite rencontre à son tour l’onde de pression à 5m/35m.s-1 = 0,143s. Néanmoins, cette simplification est très grossière, car en réalité, lorsque la face gauche commence à être sollicitée par l’onde de choc, l’ensemble de la structure subit des mouvements. L’arrivée de l’onde au centre de la face haut et à la face droite ne sera pas à l’instant t qu’on a déterminé préalablement.

Figure 5 : Cas 2

Méthodes de calcul : Le but du jeu est de résoudre l’équation d’équilibre suivante :

FKUCUMU =++ '" [1]


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Avec : M : Matrice de masse C : Matrice d’amortissement K : Matrice de raideur U : Vecteur de déplacement F : Vecteur de force On peut supposer que l’amortissement soit nul car l’effet de l’explosion est trop rapide et le portique n’a pas assez de temps pour réagir.

1ère méthode : Statique On traite un cas statique ici, l’équation [1] devient :

FKU = [2] Soit :

FKU 1−= [3] avec K une matrice symétrique définie positive Dans cette méthode, la force F s’obtient en majorant la pression maximale incidente par le Dynamic Load Factor (DLF). Il ne faut pas oublier d’ajouter également le coefficient d’orientation qui dépend de l’angle incident. En effet, la pression réfléchie varie en fonction de l’orientation spatiale de la face subissant l’onde de surpression.

orientCDLFPF ××= max [4]

La valeur du DLF se trouve dans l’abaque ci dessous.

Figure 6 : Détermination du DLF

Puisque notre portique a plusieurs périodes propres (calculées par une analyse modale), on va choisir celle qui donne la valeur de DLF majorant, par mesure de sécurité.

Durée de la phase positive, t1

0,2 s

Période propre, To

0,11491 s 0,047734 s 0,017714 s 0,014636 s 0,011681 s

To/T1 0,575 0,239 0,0886 0,0732 0,0584


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On constate que la première période propre donne une valeur de DLF le plus élevée. Elle est environs 1,5. Les valeurs préconisées par le guide SNPE pour le coefficient d’orientation sont : 1,6 pour la face exposée (face gauche), 1,0 pour la face latérale (toit du portique), et 0,75 pour la face sous exposée (face droite). La déformation du portique s’obtient par la mise à jour des coordonnées du portique avec le vecteur de déplacement U après avoir résolu l’équation [3].

2ème méthode : Dynamique La méthode choisie pour résoudre le cas dynamique est le schéma de Newmark. C’est une méthode semi-implicite où à chaque pas de temps, il faut recalculer tous les paramètres. Dans le programme Matlab, on crée un boucle qui à chaque itération calculer la matrice d’état et le déplacement correspondant. En supposant que l’accélération est linéaire de l’instant i à i+1 et que les paramètres de Newmark, α = β = 0,5, on a :

+∆+= ++ 2

""'' 1

1ii

ii

UUtUU [5]

+∆+⋅∆+= ++ 2

""

2' 1

2

1ii

iii

UUtUtUU [6]

En intégrant [5] et [6] dans [1], on obtient :

−∆−∆−

∆⋅+=−

+ iiii KUtUKUt

Ft

KMU '"24

"212

1 [7]

Avec les conditions initiales :

00 =U 0'0 =U 0"0 =U

Le calcul de U’’i+1 nous permet de trouver U’i+1 et Ui+1 à chaque itération.

Types de déformation : Deux types de déformations sont étudiés : linéaire et non-linéaire. Dans le cas linéaire, on suppose que la limite d’élasticité du portique est infinie. Sa déformation est donc caractérisée par son module de Young E. Pourtant, tous les matériaux ont une limite d’élasticité. Le cas non-linéaire se rapproche plus à la réalité dans le sens où il y a un affaiblissement du module de Young lorsque le matériau commence à se plastifier. Dans nos programmes, on représente la non-linéarité en utilisant 3 pentes E.


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Résultats des simulations : Il y a donc en tout 8 simulations : Nom du fichier N° de

simulation Scénario Méthode Type de déformation

n1_Cas1_Stat_lin.m 1 Linéaire n2_Cas1_Stat_nonlin.m 2

Statique Non-linéaire

n3_Cas1_Dyn_lin.m 3 Linéaire n4_Cas1_Dyn_nonlin.m 4

Cas 1 Dynamique

Non-linéaire n5_Cas2_Stat_lin.m 5 Linéaire n6_Cas2_Stat_nonlin.m 6

Statique Non-linéaire

n7_Cas2_Dyn_lin.m 7 Linéaire n8_Cas2_Dyn_nonlin.m 8

Cas 2 Dynamique

Non-linéaire Cela nous donne ce tableau :

N° de simulation σmax - Contrainte maximale Umax - Déplacement maximal (d’un élément)

1 4,9560 x 106 Pa 0,0040 m 2 4,3411 x 106 Pa 0,0042 m 3 4,0347 x 107 Pa 0,0073 m 4 1,2686 x 107 Pa 0,0034 m 5 3,2585 x 106 Pa 0,0021 m 6 3,2585 x 106 Pa 0,0021 m 7 3,8517 x 108 Pa 0,0325 m 8 3,0570 x 107 Pa 0,0022 m

Et les graphiques qui nous montrent l’allure du portique après la sollicitation (page suivante):


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Figure 7 : Simulation 1 – Cas 1 Stat Lin

Figure 8 : Simulation 2 – Cas 1 Stat NonLin

Figure 9 : Simulation 3 – Cas 1 Dyn Lin

Figure 10 : Simulation 4 – Cas 1 Dyn NonLin






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Interprétation des résultats : Résultat de la simulation Commentaires


• Un seul élément sur la face gauche en bas du portique se plastifie

• Le portique se penche vers la droite.


• L’élément sur la face gauche en bas du portique passe à la troisième pente de E.

• Les 2 éléments juste en-dessus passent à la deuxième pente de E.

• Le portique se penche vers la droite.


• Les éléments se plastifient. notamment sur la face gauche en bas du portique, la face intérieure gauche

• Le portique, dans son ensemble, se penche vers la droite. Le pied gauche se plie vers l’intérieur du portique. Cela peut être du à la phase dépression de l’onde de choc qui retire la partie haute de la structure vers la gauche.

• Des éléments se trouvant un peu partout sur le portique passent à la deuxième pente de E.

• Quasiment tous les éléments du pied gauche passent à la troisième pente E.

• Le portique est tout d’abord poussé vers la droite puis retiré vers la gauche, laissant le pied gauche plié vers l’intérieur.


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• Il n’y a aucune plastification des éléments du portique

• Dans Scénario 2 Statique, les, 3 faces subissent la surpression en même temps. La surpression à la face droite compense celle à la face gauche, ce qui explique les petits déplacements.


• Il y a un élément sur la face gauche en bas du portique qui passe à la deuxième pente de E.

• Dans Scénario 2 Statique, les, 3 faces subissent la surpression en même temps. La surpression à la face droite compense celle à la face gauche, ce qui explique les petits déplacements.


• La face gauche et la face haute sont presque tout à fait plastifiées.

• La phase dépression de l’onde de choc a plus d’effet sur le portique. Laissant traverser l’onde de choc sur toutes ses faces, son pied gauche est plié vers la gauche et son toit vers le haut.

• Son pied droit subit également des déplacements lors du passage de l’onde de choc, ce qui explique la plastification des éléments sur lui.


• Presque la totalité des éléments du portique passe à la troisième pente de E.

• La plastification quasi-totale du portique explique ses violents mouvements antérieurs dans toutes les directions possibles.

• Sa forme finale montre un écroulement de l’ensemble de la structure vers la gauche.


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Il paraît que Simulation 5 et 6 sont redondantes car,en statique, la pression appliquée sur la face gauche est en partie compensée par la pression appliquée sur la face droite. Les résultats de ces deux simulations sont loin de la réalité. La simplification en considérant un cas statique n’est donc pas du tout pertinente pour un tel scénario. Globalement, d’après les résultats obtenus, la méthode de DLF pour la simplification des calculs ne fonctionne pas très bien. Cela peut être du au fait qu’on considère que l’onde de choc a une allure identique à celle d’une fonction sinus. En réalité, dans une déflagration, la phase dépression de l’onde de choc qui en résulte est très petite et presque négligeable. En ce qui concerne le type de déformation, on constate que seulement pour Scénario 1, les résultats ne diffèrent pas beaucoup même si on considère que la déformation du portique est linéaire.

Conclusion : On peut conclure que la méthode de DLF n’est pas adaptée à la simulation de ces scénarii. Elle peut probablement mieux fonctionner si les hypothèses simplificatrice de calcul sont revues et modifiées. Ces hypothèses pourront être :

• L’assimilation de l’onde de choc en une fonction sinus • La non-linéarité des éléments est représentée par 3 pentes différentes de E. • La sollicitation sur la face haute ne commence que lorsque l’onde de choc arrive au centre • La face haute subit une surpression homogène sur toute la face alors que l’onde est en

mouvement • Résolution du vecteur de déplacement par la méthode de Newmark


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Annexes : Merci de consulter les programmes Matlab rendus avec ce dossier. Ce qui suit sont des éléments pour la compréhension de ces programmes.

1. Voici la liste des fichiers Matlab :

- Programmes de mes simulations Nom du fichier N° de simulation n1_Cas1_Stat_lin.m 1 n2_Cas1_Stat_nonlin.m 2 n3_Cas1_Dyn_lin.m 3 n4_Cas1_Dyn_nonlin.m 4 n5_Cas2_Stat_lin.m 5 n6_Cas2_Stat_nonlin.m 6 n7_Cas2_Dyn_lin.m 7 n8_Cas2_Dyn_nonlin.m 8

- Programmes principaux de base: Nom du fichier Fonction Résultats/Données de

sortie principaux modal.m Analyse modale du portique Fréquence/période propre et

les modes de déformés associés

statique.m Calcul statique linéaire de la déformation du portique

Figures de la structure après la sollicitation

statique_nl.m Calcul statique non-linéaire de la déformation du portique

Figures de la structure après la sollicitation

- Sous-programmes :

Nom du fichier Fonction Données d’entrée principales

Résultats/Données de sortie principaux

mail_portique_q4.m Définir le maillage de la structure où chaque élément contient 4 nœuds

- Le maillage, les coordonnées et la connectivité des nœuds

donnees_portique_q4.m Préciser les propriétés du matériau, les conditions aux limites et les sollicitations pour le calcul statique linéaire

- Les valeurs des propriétés du matériau, les conditions aux limites et les sollicitations

donnees_portique_q4nl.m Préciser les propriétés du matériau, les conditions aux limites et les sollicitations pour le calcul statique non-linéaire

- Les valeurs des propriétés du matériau, les conditions aux limites et les sollicitations

eltstq4.m Elément de contraintes planes quadrangulaire à quatre nœuds pour le calcul statique linéaire

Coordonnées des nœuds, propriétés du matériau

Evaluer les propriétés et la contrainte que subit chaque élément ou nœud


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eltstq4_nl.m Elément de contraintes planes quadrangulaire à quatre nœuds pour le calcul statique non-linéaire

Coordonnées des nœuds, propriétés du matériau, plastification d’élément

Evaluer les propriétés et la contrainte que subit chaque élément ou nœud

numcond.m Mise en évidence de des conditions aux limites

Coordonnées de tous les nœuds, conditions aux limites

Afficher graphiquement les conditions aux limites dans les figures

dess.m Mise en évidence du maillage

Coordonnées des nœuds, connectivité entre les nœuds

Afficher graphiquement le maillage

dessc.m Mise en évidence du maillage à l’état final


Afficher graphiquement le maillage en précisant avec coloration la contrainte que subit les éléments et ceux qui sont plastifiés

numfor.m Mise en évidence des sollicitations

Coordonnées des nœuds, sollicitations

Préciser graphiquement les nœuds qui subissent les sollicitations

numelt.m Numérotation des éléments


Numéroter les éléments sur la figure

numnds.m Numérotation des nœuds

Coordonnées des nœuds

Numéroter les nœuds sur la figure

2. Voici une liste des variables dans les programmes:

Nom du variable Fonction Type de variable Commentaires vcor Coordonnées des

nœuds Matrice de dimension (351x4)

- Chaque ligne correspond à un nœud

- Le portique contient 351 nœuds

- Colonne 1 => numéro du nœud

- Colonne 2 et 3 => coordonnées du nœud en mètre

kconec Connectivité des nœuds

Matrice de dimension (232x5)

- Chaque ligne correspond à un élément

- Le portique contient 232 éléments

- Colonne 1 => numéro de l’élément

- Colonne 2 à 5 => numéro des nœuds de l’élément

nnt Nombre de nœuds Nombre entier Il y a 351 nœuds nel Nombre d’éléments Nombre entier Il y a 232 éléments BAS Numéro des nœuds

en bas du portique Matrice de dimension (6x1)

Il y a 6 nœuds en bas du portique


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HAUT Numéro des nœuds en haut du portique


Il y a 61 nœuds en haut du portique

GAUCHE Numéro des nœuds à gauche du portique


Il y a 31 nœuds à gauche du portique

DROITE Numéro des nœuds à droite du portique


Il y a 31 nœuds à droite du portique

E Module de Young Nombre réel Valeur à l’état initial nu Coefficient de

Poisson Nombre réel -

rho Masse volumique Nombre réél - Ep Module de Young Nombre réel Valeur lorsqu’on dépasse

la limite d’élasticité nlim Variable

intermédiaire Nombre entier Ce variable sert à porter

le nombre de nœuds d’une partie du portique (HAUT, BAS…etc)

limites Caractéristiques des conditions aux limites

Matrice de dimension (2 fois le nombre de nœuds aux limites x 4)

- Colonne 1 => numéro du nœud correspondant

- Colonne 2 => la direction de déplacement, avec 1=horizontal et 2=vertical

DLF Dynamique Load Factor

Nombre réel -

CO Coefficient d’orientation

Nombre réel -

pinc Pression incident Nombre réel en Pascal Ft Force statique qui

frappe le portique Nombre réel en Pascal

sollicitation Sollicitation sur le portique

Matrice de dimension (nombre de nœuds sollicités x 3)

- Colonne 1 => numéro du nœud correspondant

- Colonne 2 => la direction de déplacement, avec 1=horizontal et 2=vertical

- Colonne 3 => valeur de la force que subit le nœud

ndln Nombre de degrés de liberté

Nombre entier - La valeur est 2 car l’étude porte sur une structure à 2 dimensions

neq nombre de nœuds x nombre de degrés de liberté

Nombre entier Sa valeur est 702

Kg Matrice de raideur Matrice de dimension (702x702)

-

Mg Matrice de masse Matrice de dimension (702x702)

-

Fg Vecteur force Matrice de Une valeur pour un nœud


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dimension (702x1) et une direction U Vecteur de

déplacement Matrice de dimension (702x1)

Une valeur pour un nœud et une direction

Usol Vecteur de déplacement


- Ligne 1 => déplacement des nœuds en horizontal

- Ligne 2 => déplacement des nœuds en vertical

vcordef Coordonnées des nœuds à l’état final


Une valeur pour un nœud et une direction

Sigma Matrice de contraintes



- Colonne 6 => valeur de la contrainte subit par l’élément

plast Etat d’élasticité du matériau


- Une valeur pour un élément

- Dans le cas statique, la valeur est 1 s’il est plastifié, sinon elle est -1.

nbrpas Nombre de pas Nombre entier - Nombre d’itération avant qu’on atteint la pression maximale

- utilisé dans les cas non-linéaires

Fg_alpha Vecteur force dans une itération


- Une valeur pour un nœud et une direction


delta_U Vecteur de déplacement dans une itération




delta_Usol Vecteur de déplacement


- Ligne 1 => déplacement des nœuds en horizontal

- Ligne 2 => déplacement des nœuds en vertical


delta_Sigma Matrice de contraintes



- Colonne 6 => valeur de la contrainte subit par l’élément


U_prime Matrice de vitesse à l’itération i



- Utilisé dans les cas


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dynamiques U_seconde Matrice

d’accélération à l’itération i



- Utilisé dans les cas dynamiques

U_prime_plus Matrice de vitesse à l’itération i+1




U_seconde_plus Matrice d’accélération à l’itération i+1




U_plus Matrice de déplacement à l’itération i+1




Mgg Matrice d’état inversée


-

dt Pas de temps Nombre réel En seconde Dur Durée de l’onde de

choc Nombre réel En seconde

vit Vitesse de l’onde de choc

Nombre réel En m/s

Dur1 Durée que prend l'onde de choc pour atteindre le centre du portique

Nombre réel En seconde

Dur2 Durée que prend l'onde de choc pour atteindre la face droite du portique

Nombre réel En seconde

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