problemas de estadistica inferencial.pdf

Universidad Politecnica de CartagenaDpto. Matematica Aplicada y EstadsticaMetodos estadsticos de la ingeniera, Estadstica

Problemas de examenes:

Metodos estadsticos de la ingenieraIngeniera Tecnica Industrial,

todas especialidades

EstadsticaIngeniera Tecnica Telecomunicaciones,

TelematicaProblemas de examenes

Estadstica descriptiva 1


Problemas de examenes: Estadstica descriptiva

Problema 1

I.1 Un ingeniero estudia la relacion entre dos variables X e Y . Dispone de los valores de Ypara 15 valores de X, y sabe que la media y la varianza de los valores de X valen x = 20,s2x = 4. Decide ajustar una recta de regresion y encuentra la ecuacion siguiente:

y = 32 x

1. Cual es el signo de la correlacion entre X e Y ? Justifica tu respuesta.

2. Calcular la covarianza de X e Y.

3. Cuanto vale y?

I.2 La siguiente tabla muestra la puntuacion de los 20 equipos de segunda division B (despuesde 25 partidos jugados). Construir un diagrama de caja y bigotes para las puntuacionesde los equipos y comentar sus aspectos mas relevantes:

16 23 24 24 27 28 28 29 30 31

31 34 39 40 42 43 45 45 48 49

Problema 2

I.1 El Instituto Nacional de Estadstica proporciona los datos siguientes sobre el crecimientovegetativo, es decir la diferencia entre el numero de nacimientos y defunciones, en lascomunidades autonomas:

Comunidad crecimiento Comunidad crecimientoGalicia -9865 Ceuta 455Castilla y Leon -8825 Valencia 543Asturias -5915 Melilla 599Aragon -3853 Cataluna 779Pas Vasco -2040 Baleares 1230Cantabria -1332 Murcia 3730Cast.-La Mancha -837 Canarias 5668Extremadura -553 Madrid 11152La Rioja -384 Andaluca 15489Navarra 136

1. Calcular la mediana y los cuartiles de estos datos.

2 Estadstica descriptiva

2. Realizar el diagrama de cajas y bigotes para estos datos. Para que sirve estediagrama? Hay datos atpicos? Que representan estos ultimos?

I.2 Se ha comprobado que las aleaciones amorfas tienen una excelente resistencia a la corrosion.En un estudio se recocieron cinco especmenes de la aleacion a 7000 cada uno durante unintervalo de tiempo distinto (x, en minutos). Despuees se midio el potencial de pasivacion(y, en mV)- una medida de resistividad de la aleacion cristalizada- para cada especimen.Los datos experimentales son los siguientes:

x 10 20 45 90 120y -408 -400 -392 -379 -385

1. Suponiendo que la mejor forma de describir la relacion entre las variables es lineal,ajustar una recta de regresion a los datos. Calcular r2 e interpretar el resultado.

2. Cual es el potencial de pasivacion cuando el tiempo de recocido es de 30 minutos?

Problema 3

1. Con el fin de determinar la profundidad de un lago subterraneo, se midio el contenidode oxgeno, en miligramos/litro, a distintas profundidades, en metros, obteniendose lossiguientes resultados:

profundidad ( m ) 15 20 30 40 50 60 70oxgeno ( mg/l ) 6.5 5.6 5.4 6.0 4.6 1.4 0.1

Se pide:

(a) Ajustar una recta a los datos obtenidos por el metodo de los mnimos cuadrados.

(b) Estudiar la bondad del ajuste.

(c) A que profundidad es previsible que nos encontremos si el contenido en oxgenomedido es de 3.2 mg/l?.

Problema 4

I.1 En la direccion http://dataservice.eea.eu.int/dataservice/, se pueden encontrar los datosde emision de CO2 por fuentes fosiles para los distintos paises europeos entre los anos1985 y 1997. Se indican a continuacion los datos de emision total de este contaminantepara Espana entre los anos 1990 y 1997.

Ano (X) 90 91 92 93 94 95 96 97Emision total (Y ) 203.8 215.5 225.1 211.5 222.8 237.5 226.6 242.8( Megatoneladas)

Se pueden utilizar las cantidades numericas siguientes:xi = 748;

x2i = 69980;

yi = 1785.6;

y2i = 399722;

xiyi = 167142

1. Realizar el ajuste lineal de la emision total en funcion del ano. Calcular el valor deR2 y comentar la bondad del ajuste.


2. Segun nuestro modelo, se esta produciendo un aumento o un descenso de la emisionde CO2?

3. Segun nuestro modelo, cual sera la cantidad de CO2 emitida en 1998 por Espana?

I.2 A continuacion se presentan los diagramas de caja-bigotes para la emision total de cu-atro paises de la Union europea entre 1990 y 1997. ( ES=Espana, FR=Francia,GB=Gran Bretana, y IT=Italia).

1. Como se construye un diagrama de caja-bigotes?

2. Como clasificara estos cuatro paises en cuanto a contaminacion por CO2?

3. Cual es el pas que presenta mayor dispersion entre sus datos de contaminacion?Que quiere decir?

4. Si se realiza un ajuste lineal de la emision de CO2 en funcion del ano para cada unode los paises, obtenemos las rectas siguientes:

Espana Emision= 196.4 + 4.48 anoFrancia Emision= 403.2 0.51 anoGran Bretana Emision= 1126.2 6.15 anoItalia Emision= 192.9 + 2.143 ano

Que paises han ido reduciendo sus emisiones entre 1990 y 1997? Que paises lashan incrementado? Cual es el pas que mas ha reducido sus emisiones de CO2?Cual es el pas que mas las han incrementado?

Problema 5


I.1 En la siguiente tabla estan representados los datos referidos al alquiler pagado mensual-mente por 45 familias que habitan pisos de alquiler en una determinada ciudad:

Alquiler en miles de ptas. Numero de familias(0 15] 5(15 30] 12(30 60] 16(60 90] 10(90 120] 2

Se pide:

1. Representar graficamente la variable mediante un histograma. Cuales son las car-actersticas de dicho histograma? Que medidas de centralizacion y dispersion sonmas adecuadas para resumir los datos? Razonar la respuesta.

2. Calcular el alquiler medio pagado por las familias analizadas. En que intervalo sesitua la mediana? Cual es el intervalo modal?

3. Cual es la proporcion de familias que pagan un alquiler menor o igual a sesenta milptas.?

I.2. Los siguientes datos se refieren al crecimiento de una colonia de bacterias en un medio decultivo:

x 3 6 9 12 15 18y 115000 147000 239000 356000 579000 864000

siendo x los das desde la inoculacion e y el numero de bacterias.

1. Representar y en funcion de x para verificar que es razonable ajustar una curvaexponencial.

2. Ajustar una curva exponencial a los datos.

3. Estimar, usando el modelo ajustado en el apartado anterior, el numero de bacteriasal termino de 20 das.

Problema 6

I.1- Segun el principio de la termodinamica, la presion P y el volumen V de una determinadamasa de gas estan relacionados por la siguiente formula :

PV = C

donde y C son dos constantes. Supongamos que disponemos de n mediciones de lapresion y del volumen, (p1, v1), . . . , (pn, vn) cual es la manera de obtener valores de lasdos constantes y C? (pensar en una transformacion de los datos).


I.2- La comision de comercio federal americana midio el numero de miligramos de tar (X) ymonoxido de carbono (C0) (Y ) por cigarrillo en las distintas marcas comerciales disponibles.Se tomo una muestra de 12 marcas, obteniendo para cada una:

X 9 4 14 12 10 5 3 17 6 7 8 15Y 6 6 14 12 12 7 4 18 8 8 13 13

a) Calcula el porcentaje de marcas con un nivel de C0 inferior a 8. Calcula los cuartilesde la distribucion de X.

b) Ajusta una recta de regresion de Y sobre X y discute la bondad del ajuste.

(Ayuda:

x = 110;

y = 121;

xy = 1294

x2 = 1234;

y2 = 1411)

I.3- Se realizaron investigaciones con el fin de estudiar la relacion entre la elevacion de latemperatura de las celdas solares en Co por encima de la temperatura ambiente (y) yla cantidad de aislamiento en megawatts por centimetro cuadrado (x), obteniendose lossiguientes datos:

x 9 25 20 12 15 22 14 16 24 25 15 12 10y 25 70 50 30 45 60 28 50 68 68 20 21 20

1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la evolucion de y en funcion de lavariable x. LLevar a cabo el ajuste correspondiente y comentar su bondad.

2. Para un aislamiento de 62 que temperatura cabe esperar?

Problema 7

I.1.- Describir las caractersticas globales del histograma siguiente. En tu opinion, para eseconjunto de datos, cuales son las medidas de centralizacion y de dispersion mas repre-sentativas? Justifica tu respuesta.


I.2- Una fabrica de refrescos ha tomado aleatoriamente 6 semanas del ano observando la Tem-peratura media correspondiente a cada una de ellas, y la Cantidad de refrescos pedidosdurante cada una de estas semanas. Los datos obtenidos son los siguientes:

Temperatura media (oC ) 28 12 30 24 5 15Cantidad de refrescos pedidos (miles de litros) 65 19 75 67 11 24

(a) Calcular la media y la varianza de cada variable.

(b) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la Cantidad de refrescos pedidos re-specto de la Temperatura media. Comentar la bondad del ajuste.

(c) Si el modelo lineal es correcto, cual sera la cantidad de refrescos pedidos para unasemana donde la temperatura media sea igual a 20oC?

Problema 8

I.2.- En un estudio sobre la rapidez de combustion del grafito artificial en un flujo de airehumedo, se llevo a cabo un experimento para investigar la difusividad del Oxgeno atraves de una mezcla de vapor de agua. Para ello se prepararon muestras de Nitrogeno yOxgeno con una fraccion molar de agua de 0.017 a 9 temperaturas distintas, midiendosela difusividad del Oxgeno en cada una, obteniendose:

Temperatura 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8DifusividadO2 1.69 1.99 2.31 2.65 3.01 3.39 3.79 4.21 4.64

(a) Realice el diagrama de dispersion correspondiente. Es posible el ajuste de un mod-elo de regresion lineal simple, que relacione la difusividad del O2 en funcion de latemperatura? Como debe salir el coeficiente de correlacion? (positivo, negativo,cerca de 0?).

(b) En caso afirmativo, obtener la correspondiente recta de regresion utilizando la tecnicade los mnimos cuadrados.

(c) Hallar el coeficiente de determinacion r2 e interpretar su valor.

(d) Cual sera la prediccion sobre la difusividad del O2, para una temperatura de 3o a

partir del modelo construido?.

Problema 9

I.3 La tabla siguiente representa los datos correspondientes a 9 pruebas donde se ha estudiadoel volumen de desgaste de una pieza (Y ) dependiendo de la viscosidad del aceite (X)

X(aceite) 1.6 9.4 15.5 20.0 22.0 35.5 43.0 40.5 33.0Y (desg.) 240 181 193 155 172 110 113 75 94

(a) Construye un grafico de dispersion ( es decir nube de puntos) de los datos. Pareceplausible el uso de un modelo de regresion lineal simple? Como debe salir el coefi-ciente de correlacion?.


(b) Ajusta una recta de regresion utilizando la tecnica de los mnimos cuadrados. Co-mentar la bondad del ajuste.

(c) Cual sera la prediccion sobre el desgaste para una viscosidad de 45?. Obtener elvalor ajustado de y para x = 22 y calcular el residuo correspondiente.

Problema 10

I.3.- Con el fin de estudiar la relacion existente entre la densidad de trafico, representada ennumero de automoviles por kilometro, y la velocidad a la que se circula en una deter-minada avenida de una ciudad, el ayuntamiento decide tomar una muestra durante unmes seleccionando aleatoriamente 10 das laborables del mismo. Los resultados que seobtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla:

Densidad de trafico 69 56 62 119 84 74 73 90 38 22V elocidad 25.4 32.5 28.6 11.3 21.3 22.1 22.3 18.56 37.2 44.6

(a) Calcular la media y varianza asociada a cada una de las variables.

(b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables as como el coeficiente de cor-relacion.

(c) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la Densidad de trafico respeto a laV elocidad.

(d) Deducir, suponiendo que la relacion proporcionada por las rectas de regresion esvalida,

(d.1) A que velocidad se estima que se circulara, si la densidad de trafico es de 85automoviles/km?.

(d.2) Si se desea regular la velocidad modificando los semaforos que dan acceso a laavenida, calcular a partir de la recta de regresion correspondiente, cual debe deser la densidad de trafico para que la velocidad sea de 30 Km/h.

Problema 11

1. Una empresa encarga a su departamento de recursos humanos un estudio con el fin dedeterminar si existe relacion entre el tiempo que llevan en la empresa sus empleados y elabsentismo laboral (faltas al trabajo). Con el fin de realizar dicho estudio se seleccionanal azar 10 empleados obteniendose los siguientes resultados:

Antiguedad en la empresa 25 13 19 12 6 33 4 40 16 20Das perdidos (ano) 1 6 6 9 12 4 4 2 5 3

(a) Puede afirmarse que los empleados de mayor antiguedad faltan con mas frecuenciaal trabajo?. Razona tu respuesta utilizando el coeficiente de correlacion.

(b) Que podemos afirmar de un empleado con una antiguedad de 15 anos?


Problema 12

1. En un lago, se ha medido, para diversos valores de la profundidad, el contenido en oxgeno,en miligramos/litro, obteniendose los siguientes datos .

Profundidad 15 20 30 40 50 60 70Contenido. O 6.5 5.6 5.4 6.0 4.6 1.4 0.1

(a) Calcular la media y la varianza asociada a cada variable.

(b) Calcular la covarianza de las dos variables as como el coeficiente de correlacion.Interpretar los resultados obtenidos.

(c) Realizar el ajuste de mnimos cuadrados del contenido respecto de la Profundidad ascomo el ajuste de la profundidad respecto del contenido. Si la relacion proporcionadapor las rectas de regresion es valida, cual sera el valor del contenido de oxgeno auna profundidad de 45m.

Problema 13

I.3.- Con el fin de determinar si existe relacion entre la cantidad de polmeros de latex incluidadurante el proceso de mezclado de cemento Portland y su resistencia adhesiva a tension,una empresa encargada de realizar certificaciones de obras toma una muestra de tamano10, obteniendo los siguientes resultados:

Polmeros latex (mgr/kg) 13.5 11.0 13.0 11.2 12.0 13.2 12.0 13.5 11.2 13.0Resistencia (kgf/cm2) 17.5 16.6 17.2 16.6 17.0 17.3 16.9 17.3 16.8 17.1

(a) Calcular la media y varianza asociada a cada una de las variables.

(b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables as como el coeficiente de cor-relacion.

(c) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la resistencia respeto a la cantidad depolmeros anadida en la mezcla.

(d) Deducir, suponiendo que la relacion proporcionada por las rectas de regresion esvalida,

(d.1) El valor estimado para la resistencia si la cantidad de polmero agregado es de11.5mgr/kg.

(d.2) Si un determinado constructor desea que la argamasa tenga una resistencia de16.5kgf/cm2, calcular a partir de la recta de regresion correspondiente, cualdebe de ser la cantidad de polmero de latex que se debe anadir.

Problema 14


1. Se quiere estudiar la relacion entre la proliferacion de una cierta especie de planta silvestrey la cantidad de lluvia cada. Para ello, se define en varias comunidades autonomas uncoto de prueba de 1 hectarea y se realiza el recuento de ejemplares en el coto. En latabla siguiente se han recogido los resultados obtenidos junto con la precipitacion acuosaregistrada ese ano.

Comunidad Madrid Extremadura Andaluca Castilla-Leon MurciaPrecipitacion (mm) 429.8 628.6 224.7 484.9 320.5No de ejemplares: 1250 1702 720 1301 830

(a) Calcular, para esos datos, la media, la varianza as como el coeficiente de variacionasociada a cada variable.

(b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables as como el coeficiente decorrelacion. Interpretar los resultados obtenidos.

(c) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados del numero de ejemplares respecto a laprecipitacion, y de la precipitacion respecto al numero de ejemplares. Comentar lacalidad del ajuste. Si las relaciones proporcionadas por las rectas de regresion sonvalidas, que numero de ejemplares se asociara a una precipitacion de 500mm?

Problema 151. Con el fin de estudiar la relacion existente entre la fuerza de torsion aplicada a un tipo

de acero (en miles de libras) y su alargamiento medido en milesimas de pulgadas, seseleccionaron aleatoriamente 6 probetas de prueba de longitud dada y se sometieron adistintas cargas. Los resultados que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla:

Torsion aplicada 1 2 3 4 5 6Alargamiento 14 33 40 63 76 85

(a) A la vista de los resultados, resulta evidente que una mayor Fuerza de Torsionproduce un mayor alargamiento de la probeta. Desde un punto de vista estadstico,en que se traduce esta informacion?

(b) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados que nos permita predecir el alargamientode la probeta para distintas Fuerzas de Torsion aplicables.

(c) Deducir, a partir del ajuste que nos proporciona el criterio de mnimos correspondi-ente, el alargamiento que debe producirse al aplicar una fuerza de torsion de 3500libras. Podramos predecir el alargamiento si aplicamos 10000 libras?. Razona turespuesta.

Problema 161. Con el fin de estudiar la congestion de trafico que se produce en una determinada va, se

decide tomar una muestra seleccionando 10 das laborables en una determinada hora y seanotan tanto el numero de vehculos que se encuentran en la va en ese momento comola velocidad promedio de los vehculos que se encuentran en ese momento en la va. Losresultados que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla:

Num vehculos 69 56 62 119 84 74 73 90 38 22Velocidad (km/h) 25.4 32.5 26.8 11.3 21.3 22.1 22.3 18.6 37.2 44.6


(a) Deducir, en funcion de los valores que se presentan, el signo de la covarianza entreestas caractersticas.Como podemos interpretar esta informacion?

(b) Si llamamos X=Num. de vehculos y Y=Velocidad promedio, sabiendo que:xi = 687

x2i = 53791

yi = 262.1

y2i = 7705.7

xiyi = 15700

realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la Velocidad promedio en funcion delNumero de vehculos y comentar la bondad del ajuste.

(c) Deducir, a partir del ajuste que nos proporciona el criterio de mnimos correspondi-ente:

i. Cual sera la velocidad promedio estimada si nos encontramos con 80 vehculosen la avenida?

ii. Si deseamos regular la velocidad promedio modificando la secuencia de lossemaforos, cuantos vehculos deben encontrarse en la avenida para que la ve-locidad promedio sea de 30 km/h.?

Problema 17

1. Con el fin de analizar el tiempo de respuesta de una base de datos de consulta se tomaron15 datos correspondientes a 3 semanas consecutivas obteniendose los siguientes resultados:

Lun Mart Mierc Juev ViernSemana 1 4.32 7.14 9.21 9.71 15.39Semana 2 5.2 8.37 9.34 10.46 18.9Semana 3 6.39 8.97 9.51 10.53 21.25

(a) Calcular la media, mediana, cuartiles y desviacion tpica correspondiente a estosdatos.

(b) En funcion de los valores observados, entre que valores podemos decir que se en-cuentran los datos no atpicos?, existen datos que puedan considerarse atpicos?

(c) Que medida de dispersion utilizaras? Razona tu respuesta.

(d) Con el fin de determinar la relacion entre el tiempo de respuesta de la basede datos y el numero de usuarios se midieron simultaneamente a la obtenciondel tiempo de respuesta, el numero de usuarios activos en ese instante, obteniendoseun conjunto de 15 datos cuyo valor medio era 30.73 y cuya varianza era 79.40. Elestudio concluyo con la siguiente relacion lineal entre ambas caractersticas:

Tiempo = 0.51 Usuarios 5.42i. Determinar el coeficiente de determinacion asociado al ajuste.

ii. Determinar el numero de usuarios activos, si el tiempo de respuesta de servidores de 32.

Problema 18


I.1 Sea x1, x2, ......, xn una realizacion muestral de una M.A.S. de tamano n. Justifica comoqueda afectada la media y la varianza muestral en los siguientes casos:

(a) A todas las observaciones se les suma una constante k.

(b) Todas las observaciones se multiplican por una constante k.

Problema 19

1. Despues de la jornada 22 en la liga 02/03, los puntos de la clasificacion quedan comosigue:

Puntos 44 42 42 39 36 36 32 29 28 28 27 27 27 27 27 26 26 22 22 15

(a) Calcular la mediana y los dos cuartiles asociados a este conjunto de datos.

(b) Realizar un diagrama de caja-bigotes de los datos. Aparecen datos atpicos?

(c) Como interpreta el hecho de que el primer cuartil esta muy proximo a la mediana?Quien va a ganar la liga?

2. Un ingeniero estudia la relacion entre una variable Y y otra variable X. Para ello disponede los valores de Y para 15 valores de X y sabe que la varianza de X vale 3.4. Decideajustar una recta de regresion y encuentra la ecuacion siguiente:

y = 2.3x+ 5.

(a) Cual es el signo de la correlacion entre X e Y ? Justifica tu respuesta.

(b) Cuanto vale la covarianza de X y de Y ?

(c) Si x = 5.3, cuanto vale y?

(d) Que medida debe el ingeniero calcular para cuantificar la bondad del ajuste? Cuandose considera que el ajuste es bueno?

Problema 20

Se mide el tiempo que tienen que esperar los usuarios para que llegue el ascensor B en laplanta baja del hospital de Marina. Despues de varios das de recogida de datos, los resultadosobtenidos (en segundos) se presentan en la tabla siguiente:

Tiempos de espera No de usuarios

[0, 125] 66

[125, 250] 21

[250, 375] 10

[375, 500] 3

I.1 1. De cuantos datos disponemos? Representar graficamente la variable mediante unhistograma.


2. De los modelos de variables aleatorias vistos en clase, escoge uno que pueda de-scribir aproximadamente la distribucion de los valores de esta tabla. Justificar larespuesta.

3. Utilizando las marcas de clases (es decir el punto medio de cada intervalo en la tablade frecuencias) calcula la media y la varianza del conjunto de datos.

Problema 21

I.1 Para tener una buena imagen de la pantalla del ordenador es necesario que la tension de larejilla metalica situada detras de la pantalla no sea ni demasiado alta ni demasiado baja.Por este motivo, durante la produccion el fabricante controla la tension de dicha rejilla.Los siguientes resultados corresponden a estas mediciones sobre 20 rejillas:

Mediciones de la tension N o de rejillas257 X < 277 2277 X < 297 7297 X < 317 5317 X < 337 3337 X < 357 2357 X < 377 1

Se pide:

I.1 1. Representar graficamente la variable mediante un histograma. Comentar las carac-tersticas mas relevantes de dicho histograma. Que medidas de centralizacion ydispersion son mas adecuadas para resumir los datos? Razonar la respuesta.

2. Calcular la tension media de las rejillas analizadas. En que intervalo se situa lamediana? Cual es el intervalo modal?

3. Para que una rejilla sea apta para su ensamblaje en la pantalla de un ordenador sutension media debe de situarse en el intervalo [306,328]. Debe el fabricante iniciaruna investigacion del proceso productivo? Razonar la respuesta.

I.2 Con el fin de determinar la relacion existente entre la resistencia de una determinada piezade plastico y uno de sus componentes (componente A) se fabrican 10 piezas de prueba,cada una con una concentracion distinta y se obtienen los siguientes resultados:

Pieza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X (% A) 1.5 1.2 1.1 1.0 4.5 5.2 8.7 9.0 9.2 9.5Y (Rotura) 3.04 2.96 2.66 3.17 9.82 9.68 17.71 18.18 18.32 19.30

donde la variable rotura indica la fuerza empleada a traccion en el instante de su rotura.

A partir de los datos anteriores se obtienen las siguientes cantidades:xi = 50.9;

x2i = 384.77;

yi = 104.84;

y2i = 1577.53;

xiyi = 778.33

1. Realizar un ajuste lineal de la rotura en funcion del contenido en el componente A.Calcular el valor de r2 y comentar la bondad del ajuste.


2. Segun nuestro modelo, cual sera la resistencia para un 3% de contenido de compo-nente A?

3. Un determinado comprador nos pide que le fabriquemos piezas con un 6% de com-ponente A y nos exige que tengan una resistencia de 10 Nwt a traccion. Podemosafirmar que somos capaces de cumplir las especificaciones? Razonar la respuesta.

Problema 22

I.1 Que densidad de siembra de maz debe utilizar un agricultor para obtener el maximorendimiento? Si crecen pocas plantas obtendra un rendimiento bajo. Por otro lado,si hay demasiadas plantas, estas competiran entre s por el agua y los nutrientes, yen consecuencia el rendimiento bajara. Para averiguar cual es la mejor densidad desiembra, se planta maz con distintas densidades de siembra en 32 parcelas de identicascaractersticas y se obtienen los siguientes datos:

Y [130, 218) [218, 306) [306, 394)X

1 3 3 02 2 5 03 0 7 44 0 5 3

X: No de plantas por hectarea (104), Y : Rendimiento (Tm. por Ha.).

1. Cual es el numero de plantas por hectarea mas habitual? Y el numero medio deplantas por Ha.?

2. Obtener el rendimiento medio por Ha.. Determinar el porcentaje de parcelas cuyorendimiento es mayor o igual que el rendimiento medio.

3. Calcular el porcentaje de parcelas, en las que se plantaron mas de 20000 plantas,cuyo rendimiento por Ha es mayor a 262 Tm/Ha.

4. Con el fin de determinar la relacion entre la rentabilidad por Ha. y el numero deplantas de maz plantadas por Ha., un ingeniero agronomo analiza los anterioresdatos y decide ajustar el siguiente modelo lineal entre las caractersticas X e Y :

Y = 186.56 + 33.2X con r2 = 0.83

4.1. Cual es el signo del coeficiente de correlacion entreX e Y ? Razona tu respuesta.

4.2. Para una densidad de siembra de 35000 plantas por Ha., cual sera la rentabil-idad por Ha. estimada con el modelo? Es fiable esta estimacion? Razona turespuesta.

5. Cual sera tu conclusion sobre la densidad de siembra para obtener el maximorendimiento?

Problema 23


I.1 Los datos que a continuacion se detallan corresponden a la produccion (en miles de toneladas)de hortalizas y frutales en Espana durante una campana agrcola:

Hortalizas 103 Tm. Hortalizas 103 Tm. Frutales 103 Tm.

Esparrago 62.8 Sanda 815.9 Avellana 16.2Guisantes verdes 63.2 Pimiento 882.8 Cereza 54.4Habas verdes 69.5 Cebolla 981.2 Ciruela 136.1

Ajos 160 Melon 993.1 Albaricoque 149.8Judas verdes 261.3 Lechuga 1041.8 Almendra 202.6Alcachofa 283.7 Tomate 3560.4 Platano 385.2

Fresa y Freson 317.3 Pera 599.8Col repollo 332.8 Manzana 719Coliflor 353 Melocoton 896.8

El diagrama de caja y bigotes realizado con Statistix es el siguiente:

1. Colocar en cada lnea del grafico su valor numerico.

2. Comentar las caractersticas mas relevantes del grafico. En ambos diagramas lascajas aparecen divididas en dos partes desiguales, como interpretas esta situacion?

3. Existen datos atpicos en algunas de las producciones? Que representan?

I.2 En una determinada region se sabe que las precipitaciones cadas dependen de la cantidadde vegetacion en la zona. Se dispone de los siguientes datos:

X 50 100 150 200 300Y 20 70 100 150 200

X: numero de arboles por Ha., Y : numero de litros cados por m2.

1. Realizar un ajuste por mnimos cuadrados del volumen de agua cada por m2 enfuncion del numero de arboles por Ha. Calcular una medida de la bondad del ajusterealizado.

2. Utilizando la recta ajustada en el apartado anterior, predecir el volumen de aguacado cuando el numero de arboles por Ha. en la zona es 175. Es fiable estaprediccion? Razona tu respuesta.

Problema 24

I.1 La edad de un arbol se estudia atendiendo al numero de anillos en la seccion transversal deltronco. Con el fin de analizar la edad de los arboles de un determinado bosque, medianteun proceso de simulacion por ordenador se determina el numero aproximado de anillosen la seccion transversal del tronco segun el diametro de este. Para una muestra de 40arboles se obtienen los siguientes resultados:

No de anillos (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50]No de arboles 3 10 18 8 1


1. Calcular la media y la desviacion tpica correspondiente al numero de anillos en laseccion transversal del tronco. Que tipo de informacion proporcionan acerca delconjunto de datos?

2. Representar graficamente la variable mediante un histograma. De los modelos devariables aleatorias que hemos visto, escoge uno que pueda describir aproximada-mente el numero de anillos en la seccion transversal de un arbol. Razona tu res-puesta.

3. Un arbol se considera anciano si el numero de anillos en su seccion transversal essuperior a 30. Determinar la proporcion de arboles no ancianos obtenidos en lamuestra.

4. El estudio concluyo con la siguiente relacion entre la edad, en anos, de un arboly el numero de anillos en la seccion transversal de su tronco:

Edad = 0.51N o de anillos + 5.8(a) Determinar razonadamente el signo de la covarianza entre la edad de un arbol

y el numero de anillos de su tronco. Podras dar un valor numerico para ella?

(b) Determinar la edad aproximada para un arbol que se le han contado 24 anillosen su tronco?

Problema 25

I.2 Se quiere estudiar la relacion entre la rentabilidad del trigo respecto del nivel de nitrogeno(N). Para ello, se planto trigo en 7 parcelas de tierra de identicas caractersticas y seles suministraron diferentes niveles de nitrogeno. Los resultados aparecen en la tablasiguiente:

Unidades (N/acre) (x) 40 60 80 100 120 140 160Rentabilidad (Tm/acre) (y) 15.9 18.8 21.6 25.2 28.7 30.4 30.7

Se pueden utilizar las cantidades numericas siguientes:xi = 700

yi = 171.3

x2i = 81200

y2i = 4398.2

xi yi = 18624

1. Ajustar una recta para predecir la rentabilidad del trigo en funcion del nivel denitrogeno. Calcular r2 e interpretar su valor.

2. Estimar, utilizando el modelo ajustado en el apartado anterior, la rentabilidad deltrigo cuando el nivel de nitrogeno es de 60 unidades. Es fiable esta prediccion?Razona tu respuesta.

Problema 26

I.1 Describir las caractersticas globales del siguiente histograma. Indicar de manera razonadacuales seran las medidas de centralizacion y dispersion mas adecuadas para resumir dichoconjunto de datos:


I.2 En julio, las cepas producen racimos de pequenas bayas, y se quiere utilizar un recuentode esos racimos para predecir la cantidad de uva que se recogera. En la tabla siguienteaparece, para varios anos, la cosecha de uva en toneladas por acre y la cantidad de racimoscontabilizados en julio:

Ano 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982No racimos (x) 116 80 125 116 117 93 107Produccion (y) 4.9 3.9 4.8 4.6 4.7 4.1 4.4

Se pueden utilizar las cantidades numericas siguientes:xi = 754

yi = 31.4

x2i = 82724

y2i = 141.68

xi yi = 3416

1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la produccion de uva respecto delnumero de racimos contabilizados en julio. Llevar a cabo el ajuste correspondientey comentar su bondad.

2. Si en julio se contabilizaron 122 racimos, cual sera el ingreso esperado de la pro-duccion de uva si en dicho ano el precio de venta del kilo de la uva es de 1.40 euros?

Problema 27I.1 Una empresa vitivincola desea realizar un estudio sobre la influencia de las campanas

publicitarias en sus cifras de ventas. Para ello dispone del gasto destinado a publicidad ysus ventas en los ultimos cinco anos.

ANOS GASTOS EN PUBLICIDAD() V ENTAS()1996 2.5 2001997 2.8 2211998 2.9 2301999 3.1 2392000 3.5 248

() Los gastos en publicidad y las ventas vienen en millones de pesetas.Se pide:

1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la evolucion de las ventas en funcionde los gastos en publicidad. Llevar a cabo el ajuste correspondiente y comentar subondad.

2. Predecir las ventas para este ano 2001, si se tiene previsto invertir en publicidad 4millones de pesetas.

I.2 Se ha aplicado un test sobre capacitacion laboral a 90 empleados de una industria, obteniendoselos siguientes resultados:

PUNTUACIONES N o de EMPLEADOS[38, 44) 7[44, 50) 8[50, 56) 15[56, 62) 27[62, 68) 18[68, 74) 9[74, 80] 6


Se pide:

1. Representar graficamente la variable mediante un histograma. Comentar las caractersticasmas relevantes de dicho histograma. Que medidas de centralizacion y dispersion son masadecuadas para resumir los datos? Razona tu respuesta.

2. Calcular la puntuacion media obtenida en el test. En que intervalo se situa la mediana?Cual es el intervalo modal?

3. Que proporcion de empleados tiene una puntuacion mayor o igual a 62?

Problema 28I.1 Una empresa productora de ctricos constata que las producciones de dos fincas son de

calidad distinta aunque utilizan la misma especie de arboles. Despues de notar que losdos tipos de suelo son distintos (la finca A esta constituida de suelo fino y homogeneomientras que la finca B tiene una mezcla de suelo fino y suelo mas grueso) decide hacermediciones de la densidad del suelo en las dos fincas:

FINCA A FINCA B85.9 88.2 90.4 91.1 92.7 92.893.8 94.1 94.3 96.5 98.5 103.8

86.8 87.5 90.3 91.4 92.4 92.693.5 93.9 94.8 94.9 95.0 97.5

1. Realiza en un mismo grafico un diagrama de caja y bigotes de la densidad de la fincaA y la finca B. Comentar las caractersticas mas relevantes.

2. Te parece que la densidad se distribuye sensiblemente de la misma manera para lasdos fincas?

I.2 Una empresa de productos lacteos quiere estudiar la relacion entre el contenido en materiagrasa de la leche de vaca y la cantidad de lluvia caida (a mayor precipitacion acuosamejor sera el forraje para la alimentacion del ganado). Los siguientes datos se refieren alporcentaje de contenido en grasa junto con la precipitacion acuosa registrada durante elprimer semestre del ano:

contenido de grasa % 4.2 4.13 4.14 4.08 3.98 3.92precipitacion (l/m2) 524 502 464 484 310 320

1. Realizar el diagrama de dispersion correspondiente. Cual es el tipo de relacion entrelas dos va-riables? Se trata de una relacion positiva o negativa?

2. Realizar un ajuste por mnimos cuadrados del contenido de materia grasa respectode la precipitacion. Hallar el coeficiente de correlacion e interpretar su valor.

3. Estimar, usando el modelo ajustado en el apartado anterior, el contenido de materiagrasa para un mes con una precipitacion de 450 l/m2.

Problema 29La mejora de la tecnologa (mecanizacion, fertilizantes, nuevas variedades de plantones, etc,)

ha dado lugar que la productividad (P ) y el tiempo (t) esten relacionados por la formula P = et donde y son dos constantes. Supongamos que tenemos n datos de la productividady el tiempo, que transformacion de los datos nos lleva a obtener las constantes y ? Realizadicha transformacion y propon las formulas para obtener las citadas constantes. (1 pto)

Probabilidad 19


Problemas de examenes: Probabilidad

Problema 1

La elaboracion de un determinado tipo de piezas puede realizarse con dos maquinas, siendola produccion de piezas diaria de ambas maquinas la misma. Las proporciones de piezas defec-tuosas fabricadas por las dos maquinas M1 y M2 son 0.04 y 0.01, respectivamente.

a) Si se selecciona al azar una pieza de la produccion total y resulta detectuosa Cual es laprobabilidad de que provenga de M2?

b) Si se toman independientemente dos piezas al azar y resultan aceptables Cual es laprobabilidad de que ambas piezas provengan de M1?

Nota: Indicar claramente los sucesos que intervienen as como las probabilidades asociadas.

Problema 2

Una empresa fabrica chips con un porcentaje de defectuosos del 5%, poniendolos a la ventaen paquetes de 5 unidades. Una empresa ilegal vende imitaciones indistinguibles del mismo chipcon un porcentaje de defectuosos del 50% y los comercializa en el mismo envase de 5 unidades.

a) Cual es la probabilidad de que un paquete legal contenga exactamente dos chips defectu-osos? Y si el paquete es ilegal?

Teniendo en cuenta que el 10% de los paquetes vendidos en el mercado son ilegales, respondera las siguientes cuestiones:

b) Si adquirimos un paquete de chips, cual es la probabilidad de que contenga exactamentedos chips defectuosos?

c) Cual es la probabilidad de que un paquete que contiene dos defectuosos sea ilegal?

Nota: Indicar claramente los sucesos que intervienen as como las probabilidades asociadas.

Problema 3

Una avioneta cayo en una region que se puede clasificar como: el 50% de montana, el 30%de prado y el 20% de mar. Dependiendo de donde haya cado, su localizacion para el equipode rescate es mas o menos facil, de forma que la probabilidad de que no se localice si ha cadoen la zona de montana es de 0.3 y si ha cado en los prados de 0.2, pero si ha cado en el marla probabilidad de no localizarla es de 0.9.

20 Probabilidad

Como el piloto no llevaba equipo para sobrevivir en la montana, inicialmente el rescate se hizoen esta zona y no se encontro. Cual es la probabilidad de que realmente la avioneta hayacado en la montana?

Al no encontrarla en las montanas, se continuo buscando en las otras dos zonas y tampoco seencontro. Cual es la probabilidad de que realmente la avioneta haya cado en la montana?Comparar este valor con el del apartado anterior. Por que no son los mismos?

Problema 4

II.1 En la construccion de unas determinadas obras pueden aparecer anomalas debidas a doscausas que son independientes: fallos de cimentacion y mala calidad de los materiales.La primera ocurre con probabilidad del 4% y la segunda con probabilidad del 3%.

1. Calcular la probabilidad de que en una determinada obra no aparezca ningunaanomala.

2. Calcular la probabilidad de que aparezcan fallos de cimentacion y no mala calidadde los materiales.

3. Si se detecta la presencia de anomalas, la construccion puede verse afectada con undesplome en un plazo de tiempo determinado con las siguientes probabilidades:

0.1, cuando no aparece ninguna de las anomalas.

0.8, cuando aparece alguna de las anomalas.

Interpretar esta informacion adicional en terminos de sucesos y probabilidades. Cal-cular la probabilidad de que el edificio se desplome. Si el edificio se ha desplomado,cual es la probabilidad de que se haya producido alguna de las anomalas?.

4. Una determinada empresa realiza 5 obras cada ano. Cual es la probabilidad de queen 5 anos al menos tres obras sufran anomalas?

5. Y la de que en 20 anos mas del 90% de las obras realizadas no tengan anomalas?

Problema 5

1. En la produccion de un artculo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentesrobots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa vara para cada uno de losrobots, as como la proporcion de artculos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguientetabla:

robot % art. procesados Probabilidad soldadura defectuosaA 18 % 0.002B 42 % 0.005C 40 % 0.001

(a) Definir de manara adecuada los sucesos que intervienen as como las probabilidadesasociadas a cada uno de ellos.

(b) Determinar cual es la proporcion global de defectos producida por las tres maquinas.

Probabilidad 21

(c) Si tomamos un artculo al azar y resulta con soldadura defectuosa, determinar laprobabilidad de que haya sido soldado por el robot C.

Problema 6

Una empresa consta de tres factoras dedicadas a la elaboracion de ladrillos para la con-struccion, produccion que se reparte de la siguiente manera: la factora A elabora un 25% y laB un 40%. Ademas, la factora A elabora un 5% de ladrillos defectuosos, la B un 2% y la C un3%.

a) Indicar el experimento aleatorio y los sucesos que intervienen, as como las probabilidadesasociadas a dichos sucesos.

b) Si seleccionamos un ladrillo elaborado en la factora C, cual es la probabilidad de que seadefectuoso?

c) Si seleccionamos un ladrillo de la produccion total, cual es la probabilidad de que seadefectuoso?

d) Si el ladrillo seleccionado de la produccion total resulta defectuoso, cual es la probabilidadde que no se fabricara en C?

Problema 7

II.1 Sean dos sucesos A y B que cumplen P(B|A) = 0.3,P(B|AC) = 0.7, y P(B) = 0.6. Indicarsi es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes, razonando la respuesta,

a) A y B son independientes. b) P(A) = 0.25.c) A y AC son independientes d) A y B son incompatibles.

II.2 Una empresa de materiales de construccion esta probando un nuevo pavimento. Para ello,instala muestras del material en tres zonas donde las condiciones climaticas son diferentes,repartidas de la siguiente forma: 45% en la zona A, 30% en la zona B y 25% en la zonaC.

Con una lluvia abundante el pavimento se derrumba totalmente. La probabilidad de quehaya tormenta en la zona A es P[|X| < 2], siendoX una variable aleatoria con distribucionnormal de media = 1 y varianza 2 = 4), en la zona B es P[Y 6], donde Y tiene unadistribucion binomial de parametros n = 8 y p = 0.8 y en la zona C es P[U = 3], con Uuna variable con distribucion de Poisson de parametro = 1.

1. Calcular la probabilidad de que el pavimento se derrumbe en cada una de las zonasdonde se instalaron muestras de material.

2. Si el pavimento no sufre ningun derrumbamiento, cual es la probabilidad de que sehaya construido en la zona A?

3. Cual es la probabilidad de que no se produzca derrumbamiento si el pavimento nose construyo en la zona B?

Problema 8

22 Probabilidad

II.1- Cierto artculo se manufactura en tres fabricas, digamos 1, 2 y 3. Se sabe que la primeraproduce el doble de artculos que la segunda y que esta y la tercera producen el mismonumero de artculos (durante el periodo de produccion especificado). Se sabe tambienque el 2% de artculos producidos por las dos primeras es defectuosos, mientras que el4% de los manufacturados por la tercera es defectuoso. Todos los artculos producidos secolocan en una fila y se escoge uno al azar.

a) Traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos convenientes

b)Cual es la probabilidad de que este artculo sea defectuoso?

Problema 9

I.2- Sean A,B y C tres sucesos, tales que P (A) = 0.2, P (B) = 0.8 y P (A|B) = 0.5. Entrelas siguientes afirmaciones, indica cuales son corresctas.(puede haber mas de unarespuesta correcta). Razona tu respuesta.

a) P (AB) = 0.4 b) P (A

B) = 0.16 c) P (A

B) = 0.1 d) P (A

B) = 0.6

e) P (AB) = 1

II.2- En un laboratorio, se disena un test para detectar la presencia de una bacteria en el agua.Para probar el test, se considera un gran numero de probetas con agua que pueden, o no,contener la bacteria. La probabilidad de que una probeta escogida al azar contenga labacteria es de 0.2. Por otra parte, si una probeta contiene la bacteria, el test da positivoen el 90% de los casos. En cambio, si una probeta no contiene la bacteria, el test dapositivo en el 5% de los casos.

(a) Traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos convenientes.

(b) Al escoger al azar una probeta, cual es la probabilidad de que de positivo en el test?

(c) Si una probeta ha dado positivo en el test, cual es la probabilidad de que contengala bacteria?

(d) Entre las probetas que han dado negativo en el test, cual es la proporcion deprobetas que contienen la bacteria?

Problema 10

II.1- Sean A y B dos sucesos cualesquiera tales que

p(A) =1

3, p(B) =

1

5, p(A/B) + p(B/A) =

2

3

Calcular:

(a) p(A B)(b) p(A B)(c) p(AC BC), siendo AC el conjunto complementario de A.

Probabilidad 23

II.2- Las mujeres de una universidad constituyen el 60% de los estudiantes de primer curso, el40% de los de segundo y el 40% de los de tercero. Los estudiantes de dicha universidadson en un 40% de primero, en un 30% de segundo y en un 30% de tercero.

(a) Introducir los sucesos convenientes y traducir los datos del enunciado.

(b) Si se escoge un estudiante de dicha universidad al azar, hallar la probabilidad de quesea mujer.

(c) Si el estudiante escogido es mujer Cual es la probabilidad de que sea de segundocurso?

Problema 11

I.2.- El 10% de los chips informaticos vendidos en el mercado son producidos por una empresapirata. Para un chip pirata la probabilidad de que sea defectuosos es del 50% mientrasque si el chip no es pirata la probabilidad de que sea defectuoso desciende al 5%.

(a) Definir los sucesos convenientes, junto con sus probabilidades.

(b) Determinar el porcentaje total de chips defectuosos que salen al mercado.

(c) Compras un chip y resulta ser defectuoso. Calcular la probabilidad de que procedade la empresa pirata.

Problema 12

1. Un avion realiza diariamente el mismo servicio. En un ano hubo 50 das con niebla y315 das sin niebla. Consideramos el experimento aleatoria se escoge un da al azar enel ano. Se ha comprobado que si el da es con niebla, la probabilidad de que ocurra unaccidente ese da es de 0.04 mientras que si el da es sin niebla, la probabilidad de unaccidente es de 0.003. Calcular la probabilidad de que:

(a) al escoger al azar un da en el ano, haya ocurrido un accidente.

(b) Si un da ha ocurrido un accidente, el da haya sido sin niebla.

Problema 13

I.2.- Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos. El 8% de laproduccion presenta el defecto de tipo A, el 5% de la produccion presenta el defecto detipo B, y se supone que no hay piezas que tengan los dos tipos de defectos. Despues deser producida cada pieza es sometida de manera automatica a un test de ruptura, con lassiguientes posibilidades: Si la pieza tiene el defecto de tipo A, tiene una probabilidad de0.9 de romperse. Si la pieza tiene el defecto de tipo B, tiene una probabilidad de 0.95 deromperse. Finalmente, si la pieza no tiene ningun tipo de defecto, tiene una probabilidadde 0.01 de romperse.

(a) Si el experimento aleatorio consiste en escoger al azar un pieza de la produccion,traducir los datos del enunciado, despues de haber introducido los sucesos conve-nientes.

24 Probabilidad

(b) Cual es la probabilidad de que una pieza escogida al azar en la produccion se vayaa romper durante el test?

(c) Si una pieza escogida al azar se ha roto durante el test, cual es la probabilidad deque no fuese defectuosa?

Problema 14

1. En una empresa conservera, se dispone de dos maquinas que envasan en botes el mismoproducto. La maquina A es la mas antigua, y produce el 30% de la produccion total,mientras que la maquina B, de adquisicion mas reciente, produce el 70% de la producciontotal. Si un bote ha sido producido por A, la probabilidad de que sea defectuoso es de0.08, mientras que, si ha sido producido por B, la probabilidad de que sea defectuoso esde 0.04.

(a) Si el experimento aleatorio consiste en escoger un bote al azar de la produccion,traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos convenientes.

(b) Cual es la probabilidad de que, al escoger un bote al azar, sea defectuoso?

(c) Cual es la probabilidad de que, si un bote escogido al azar es defectuoso, haya sidoproducido por la maquina A?

Problema 15

1. En una determinada ciudad se pueden sintonizar de manera gratuita 4 canales de TV, elCanal 1, Canal 2, Canal 3 y Canal 5 (el Canal 4 es de pago). Segun un estudio realizado,la probabilidad de que a las 22:00 la programacion emitida merezca la pena es del 025,030, 015 y 010 para cada uno de los canales respectivamente. Supongamos que a las22:00 encendemos un televisor de esa ciudad y se sintoniza un canal de manera aleatoria.Se pide:

(a) Definir de manera adecuada los sucesos que intervienen as como sus probabilidadesasociadas.

(b) Determinar la probabilidad de que merezca la pena el programa obtenido al encen-der un televisor de esa ciudad a las 22:00 y sintonizar un canal de manera aleatoria.

(c) Supongamos que la programacion obtenida no merece la pena, determinar la pro-babilidad de que estemos sintonizando el Canal 5.

Problema 16

1. Un determinado prefabricado de hormigon puede presentar dos tipos de defectos de man-era independiente, que lo hacen inutilizable. El primero de ellos es no cumplir con lanorma en lo referente a las dimensiones del objeto y otro no cumplir la norma en relaciona la resistencia del mismo, pudiendo presentarse ambos defectos en una misma pieza. Sesabe que el 10% de los prefabricados tienen unas dimensiones incorrectas, mientras quesolo el 5% no cumple las exigencias en cuanto a resistencia. A partir de esta informacion,determinar:

(a) El porcentaje de prefabricados que son correctos, es decir, no presentan defectoalguno.

Probabilidad 25

(b) El porcentaje de prefabricados que tendran que ser eliminados por presentar alguntipo de defecto.

(c) Determinar, dentro del conjunto de las piezas defectuosas, el porcentaje de piezasque cumplen la norma de resistencia.

Problema 17

1. Con el fin de verificar un determinado procedimiento no destructivo para testar la cal-idad de una componente electronica se probo con 50 piezas correctas y 50 defectuosasobteniendose los siguientes resultados:

PiezaCorrecta Incorrecta

Defectuosa 1 48Test

No Defectuosa 49 2

(a) Calcular el error asociado al test, esto es, calcular la probabilidad de que el test denegativo sabiendo que la pieza es correcta y la probabilidad de que el test de positivosobre una pieza defectuosa.

(b) Sabiendo que el porcentaje de piezas defectuosas del proceso de fabricacion es del5% determinar la probabilidad de que realmente sea defectuosa una pieza que diodefectuosa al aplicar el test.

Problema 18

I.2 Una multinacional realiza operaciones comerciales en tres mercados A, B y C. El 20% delas operaciones de la multinacional corresponden al mercado A y en los mercados B y Crealiza exactamente el mismo numero de operaciones. El porcentaje de operaciones enlos que se producen retrasos en el pago es del 10%, 15% y 5% en los mercados A, B y C,respectivamente. Se pide:

(a) Describir los sucesos correspondientes y sus probabilidades asociadas.

(b) En que porcentaje de operaciones de la multinacional no se producen retrasos en elpago?.

(c) Que porcentaje de las operaciones en las que se ha retrasado el pago han sidorealizadas en el mercado B?.

(d) Elegida una operacion al azar, que probabilidad hay de que no tenga retraso en elpago y corresponda al mercado A o C?

(e) Entre las operaciones que no han sufrido retraso en el pago, cual es el porcentajede las que corresponden a los mercados A o C?

Problema 19

Una empresa fabrica bombillas en tres factoras A, B y C. En A se producen el 20% deltotal de bombillas, en B el 40% y en C el resto. El 2% de las bombillas fabricadas en A sondefectuosas, mientras que el porcentaje de defectuosas en B y C es del 3% y 4%, respectivamente.

26 Probabilidad

I.1 Se decide escoger al azar una bombilla de la produccion total:

1. Despues de introducir los sucesos convenientes, traducir los datos del enunciado.

2. Calcular la probabilidad de que la bombilla seleccionada sea defectuosa.

3. Si se sabe que la bombilla seleccionada funciona correctamente, determinar dondees mas probable que se fabricara y con que probabilidad.

I.2 Ahora se decide elegir una factora al azar entre las tres, y una vez escogida la factora,escoger al azar una bombilla entre su produccion.

1. Reasignar las probabilidades a los sucesos introducidos anteriormente teniendo encuenta esta nueva situacion.

2. Calcular la probabilidad de que la bombilla seleccionada no sea defectuosa.

3. Si la bombilla seleccionada es defectuosa, cual es la probabilidad de que se fabricaraen B?

4. Que diferencia esencial existe entre las dos situaciones descritas en I.1 y en I.2respectivamente?

Problema 20

1. Un metodo empleado para distinguir entre rocas granticas y basalticas consiste en ex-aminar desde el aire una porcion del espectro infrarrojo de la energa solar reflejada porla roca. Los resultados de estas observaciones los podemos catalogar en tres clases quedenotaremos por C1, C2 C3. El grado de deteccion del procedimiento viene reflejado enla siguiente tabla:

Observacion C1 C2 C3Granito 60% 25% 15%Basalto 20% 50% 45%

es decir, la probabilidad de que la superficie sea grantica cuando se recibe la senal C1 esde 0.6, etc. Entonces, sabiendo que en una determinada region se han detectado senalesC1 en el 45% de las pruebas, C2 en el 20% y C3 en el resto:

(a) Definir de manera adecuada los sucesos que intervienen as como las probabilidadesasociadas a cada uno de ellos.

(b) Determinar la proporcion de granito y basalto de la zona.

(c) Si la piedra observada no es basaltica ni grantica, determinar la probabilidad deque la senal recibida sea C1.

Problema 21

1. El 15% de los tomates recolectados en cierta region presenta en la piel una sustanciatoxica A, el 10% la sustancia toxica B y el 2% las sustancias toxicas A y B. Se seleccionauna muestra al azar.

(a) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia toxica A si presentala sustancia toxica B.

Probabilidad 27

(b) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia toxica A si nopresenta la sustancia toxica B.

(c) Se sabe que el 20% de las muestras presentan en su piel una sustancia C, incompatiblecon B y el 5% de las muestras las sustancias A y C. Calcular la probabilidad de quela muestra presente la sustancia B o C si presenta la sustancia A.

Problema 22

1. Un proceso de fabricacion puede estar ajustado o desajustado. Cuando esta ajustadoproduce un 1% de piezas defectuosas y cuando esta desajustado un 10%. La probabilidadde desajuste es 0.3.

(a) Traducir los datos del enunciado indicando claramente el experimento aleatorio, lossucesos que intervienen y sus probabilidades asociadas.

(b) Se toma una pieza de la produccion total y resulta ser aceptable. Calcular la proba-bilidad de que el proceso este desajustado.

(c) Se toman 5 piezas de manera indepedientes y todas son buenas. Calcular la proba-bilidad de que el proceso este desajustado.

Problema 23

IV Sabeis que hay dos ascensores (A y B) en cada ala del hospital de Marina, supongamosque, al llamar un usuario en la planta baja a los dos ascensores de manera simultanea, laprobabilidad de que llegue primero el ascensor A es de 0.75. Ademas la probabilidad deque el ascensor se quede bloqueado, con el usuario dentro, es de 0.005 para el ascensor A,y de 0.01 para el ascensor B,

1. Cual es la probabilidad de que el usuario que ha llamado a los dos ascensores desdela planta baja se quede bloqueado?

2. Si un usuario se ha quedado bloqueado, cual es la probabilidad de que sea en elascensor A?

Problema 24

I.2 Una cooperativa contrata a 3 ingenieros agronomos, A, B y C, para realizar diferentestrabajos. El 25% de los trabajos son realizados por el ingeniero A, el 35% por el ingenieroB y el resto por el ingeniero C. La probabilidad de que el trabajo se entregue en la fechaimpuesta por la cooperativa es de 0.97 si lo ha realizado A, de 0.89 si lo ha realizado By de 0.92 si lo ha realizado C. Si el experimento aleatorio consiste en seleccionar al azaruno de los trabajos contratados, se pide:

1. Si se sabe que el trabajo seleccionado ha sido presentado en la fecha convenida, cualde los tres ingenieros es mas probable que haya sido contratado para realizar dichotrabajo?

2. Calcular la probabilidad de que el trabajo no se entregue en la fecha impuesta porla cooperativa y no haya sido realizado por el ingeniero C.

28 Probabilidad

Problema 25

II.1 En una granja avcola se utilizan 2 tipos de pienso, A y B, para alimentar a las aves. El25% de las aves son alimentadas exclusivamente con el pienso A, el 35% son alimentadasexclusivamente con el pienso B y el resto de las aves son alimentadas con una mezclade ambos tipos de pienso. Se sabe que la probabilidad de que el engorde de las avessea superior a 1 Kg. cuando se utiliza solamente el tipo A es de 0.86, cuando se utilizasolamente el pienso B es de 0.58 y cuando se utilizan ambos tipos de pienso es del 0.92.Se decide escoger al azar una de las aves de la granja:

1. Despues de introducir los sucesos convenientes, traducir los datos del enunciado.

2. Determinar la probabilidad de que el engorde del ave sea superior a 1 Kg.

3. Si se comprueba que el engorde del ave ha superado 1 Kg., determinar que tipo dealimentacion es mas probable que haya seguido y con que probabilidad.

Problema 26

II.1 Dos cazadores A y B disparan a la misma pieza. La precision de ambos no es la misma,pues la probabilidad de que A acierte es 9/10 y la de B es 7/10. Sabiendo que ambosdisparan a la pieza una unica vez, hallar la probabilidad de que:

1. el cazador A no acierte.

2. ambos alcancen la pieza.

3. exactamente uno de ellos alcance la pieza.

4. ninguno de ellos alcance la pieza.

Problema 27

Un dado tiene dos caras con el numero UNO, dos caras con el numero TRES, una caracon el numero DOS y una cara con el numero CUATRO. Consideremos el siguiente juego: unjugador lanza el dado, si sale un numero PAR, el jugador recibe tantas pesetas como puntosindica el resultado; si sale un numero IMPAR, el jugador paga tantas pesetas como puntosindica el dado. Calcular:

(a) El rango y la funcion puntual de probabilidad de la ganancia obtenida en cada lanza-miento.

(b) Que ganancia espera obtener el jugador en cada lanzamiento?

(c) La desviacion tpica de la ganancia obtenida.

Variables Aleatorias. 29


Problemas de examenes: Variables Aleatorias.

Problema 1

Consideremos una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) con funcion de densidad conjunta:

f(X,Y )(x, y) =

{k x (1 y2) si 1 x 1 y si 0 < y < 10 en otro caso.

a) Determinar el valor de la constante k para que f(X,Y )(x, y) sea una funcion de densidad.

b) Calcular la funcion de densidad marginal de X y de Y. Son X e Y independientes?

c) Calcular la siguiente probabilidad condicionada Pr(0 < Y < 1|X 0.8).

Problema 2

II.3. La longitud, en metros, de los radios que fabrica una maquina es una variable aleatoriaX cuya funcion de densidad viene dada por

f(x) =

{1/3 si 1/2 x < 2kx si 2 x 60 resto

Se pide:

1. Obtener el valor de la constante k.

2. Calcular la longitud media de los radios que fabrica dicha maquina.

3. Cual es la probabilidad de que los radios midan menos de 3 metros?

Problema 3

II.2- Consideramos un dado de tal manera que, con el experimento aleatorio tirar el dado,la funcion puntual de probabilidad de la variable aleatoria X = numero obtenido, es

fX(x) = k 138

(x 3)2, para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6y 0 en otro caso.

a) Calcular el valor de k.

b) Esta el dado trucado?

c) Represente graficamente fX . Si tienes que apostar por un numero, cual elegiras?

d) Se propone el juego siguiente: se apuesta 500 pts, se tira el dado y si sale par, se recu-pera la apuesta mas 100 pts, mientras que si sale impar, se pierde la cantidad apostada.Merece la pena jugar?

30 Variables Aleatorias.

Problema 4

II.1- Con objeto de establecer un plan de produccion, una empresa ha estimado que la demandasemanal es una variable aleatoria X cuya funcion de densidad viene dada por:

f(x) =

{k(4x 2x2) si 0 x 2

0 en otro caso

donde x viene expresada en millones de unidades. Calcular:

(a) El valor de la constante k.

(b) La demanda esperada en una semana.

(c) El coste de producir x millones de unidades viene dada por C = 5X + 40 unidadesmonetarias, cual sera el coste semanal esperado?

(d) La probabilidad de que la demanda semanal supere el millon y medio de unidades.

Problema 5

II.2.- La distribucion de estudiantes de secundaria en una comunidad autonoma es la siguiente:

sexo \ estudios Opcion B Opcion C Opcion A Opcion Dalumnos 12% 8% 21% 9%alumnas 19% 9% 15% 7%

(a) Cual es la proporcion de alumnas entre los estudiantes de secundaria?

(b) Se escoge al azar un estudiante de secundaria en la comunidad y resulta ser alumna,Cual es la probabilidad de que estudie la opcion C?.

(c) Introducimos las variables : X = sexo e Y = opcion escogida. Determinar lasdistribuciones marginales de X y de Y. Son independientes las dos variables ?.

Problema 6

II.1.- La funcion de densidad de una variable aleatoria X, viene dada por la siguiente expresion:

fx(x) =

{kx 0 < x < 6

0 en caso contrario

(a) Para que valor de k es fx(x) una funcion de densidad?. Hallar E[X]

(b) Calcular la funcion de densidad de la v. a. Y = 1/X,as como E[Y ].

II.2.- Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya funcion puntual de proba-bilidad conjunta, viene dada por la tabla siguiente:

X = 1 X = 0 X = 1Y = 1 1/8 1/8 1/8Y = 0 1/8 0 1/8Y = 1 1/8 1/8 1/8


(a) Hallar las funciones puntuales de probabilidad marginal de X y de Y.

(b) Calcular el coeficiente de correlacion lineal entre X e Y. Se puede afirmar que sonindependientes?. Justifica la respuesta.

(c) Determinar P (Y > 1/X > 1).

Problema 7

1. Una determinada empresa qumica esta interesada en comprar un dispositivo que midala concentracion de sosa en el producto y su PH. Los errores asociados a las medicionesde dicho dispositivo pueden ser consideradas como dos variables aleatorias X e Y (X=Error al medir la concentracion de sosa e Y=Error en la determinacion del PH)cuya distribucion conjunta viene dada por:

f(x, y) =

k[1 + xy(x2 y2)] si y [1, 1]

si x [1, 1]

0 en caso contrario

(a) Calcular el valor de la constante k.

(b) Calcular las distribuciones marginales de ambas variables.

(c) Se pueden considerar independientes ambas variables?

(d) Sabiendo que en un determinado producto el error que se comete al medir la con-centracion de sosa es inferior a 0.5, calcular la probabilidad de que el error cometidoal medir su PH sea inferior a 0.5 (0.5).

Problema 8

II.2.- La funcion puntual de probabilidad de una variable aleatoria bidimensional discreta(X, Y ) viene dado por:

YX

2 3

1 1/9 02 0 6/93 2/9 0

Obtener:

(a) Las funciones puntuales de probabilidad marginal de la X y la Y .

(b) Pr(X = 1/X + Y 4) y Pr(Y > 2/X > 1).(c) E(X) y V ar(X).

Problema 9

1. Sea X una variable aleatoria continua con funcion de distribucion:

F (x) =

{1 ex si x > 0

0 si x 0


(a) Calcular, la funcion de densidad asociada a dicha variable, su media y Pr(X > 2).

(b) Consideremos una nueva variable aleatoria Y de manera que la funcion de densidadconjunta de ambas variables es:

fX,Y (x, y) =

{y e(x+y) si x > 0, y > 0

0 en otro caso.

Indicar de forma razonada si se puede considerar que ambas variables son indepen-dientes. En cualquier caso, calcular Pr(Y < 1|X > 2).

Problema 10

I.1.- Supongase que X e Y son variables aleatorias para las que:

E(X2) = 5 V ar(X) = 4 V ar(X + Y ) = 10 Cov(X, Y ) = 2(a) Calcular E(X) y V ar(Y ).

(b) Sea Z = 5X 3. Calcular E(Z) y V ar(Z).

Problema 11

1. La resistencia de un tornillo en gr/mm2 es una variable aleatoria con densidad:

f(x) =

{1 kx 0 x 20 en otro caso

(a) Determinar el valor de la constante k as como la resistencia esperada.

(b) Calcular y representar su funcion de distribucion.

(c) Determinar la probabilidad de que un tornillo aguante mas de 1.5 gr/mm2 si para1.0 gr/mm2 aun resiste.

Problema 12

II.2 El porcentaje de contaminante presente en una muestra de aire es una variable aleatoriacon funcion de densidad dada por

f(x) =

{a+ bx2 0 < x < 10 en otro caso

1. Si E(X) = 3/5. Calcular el valor de a y b para que f sea funcion de densidad.

2. Calcular la probabilidad de que el porcentaje de contaminante en una muestra deaire sea superior a 0.6.

Problema 13


La resistencia de ciertos componentes electricos tiene una distribucion de probabilidad de-sconocida de media 200 Ohmios y desviacion tpica 1 Ohmio. Un tipo de circuitos esta formadopor tres de estos componentes independientes, de manera que la resistencia del circuito vienedada por la suma de las resistencias de los componentes.

a) Cual sera la media y desviacion tpica de la resistencia del circuito?

b) Se consideran validos aquellos circuitos cuya resistencia se encuentre en el intervalo (590,610).Que porcentaje maximo de circuitos defectuosos se fabrica?

Problema 14

La funcion de densidad de la variable aleatoria bidimensional (X, Y ) viene dada por:

f(x, y) =

{kxy si 0 < x < y < 10 resto

a) Calcular el valor de k.

b) Calcular la probabilidad P (X < 0.5|Y = 0.5).c) Son independientes X e Y ? Razona tu respuesta.

Problema 15

II.2 El tiempo de espera, en horas, entre corredores sucesivos detectados por un radar es unavariable aleatoria con funcion de distribucion:

F (x) =

{0 x 01 ex/8 x > 0

1. Calcular la probabilidad de esperar menos de 12minutos entre corredores sucesivos.

2. Calcular la funcion de densidad.

3. Un canal de television local se conecta en directo cada vez que un corredor pasa porel puesto de control. Si el tiempo entre corredores sucesivos se rellena con publicidady supone una ganancia para el canal de 100000 ptas el minuto. Cual es la gananciaque espera el canal entre las llegadas de dos corredores sucesivos?

Problema 16

II.1 Consideremos un dado que tiene dos caras con el numero uno, dos caras con el numerodos y dos caras con el numero tres, de manera que, con el experimento aleatorio tirarel dado, la funcion puntual de probabilidad de la variable aleatoria X =Numeroobtenido, es

fX(x) =

{k 1

8(x 1)2, para x = 1, 2, 3

0, resto

1. Calcular el valor de k.


2. Esta el dado trucado?

3. Si tienes que apostar por un numero, cual elegiras?

4. Se propone el juego siguiente: se apuesta 3 euros, se tira el dado y si sale impar,se recupera la apuesta mas 2 euros, mientras que si sale par, se pierde la cantidadapostada. Merece la pena jugar?

Problema 17II.2 El rendimiento de un sistema informatico es una variable aleatoria X con funcion de

densidad

f(x) =

{ax2 + b si 0 < x < 2

0 resto

1. Calcular el valor de las constantes a y b para que f(x) sea verdaderamente una

funcion de densidad sabiendo que la Pr(1/2 < X < 1) =1

24.

2. Calcular el rendimiento esperado del sistema informatico.

Problema 18II.2 Sea X una variable aleatoria cuya funcion de densidad viene dada por X

f(x) =

kx+

1

6si 0 < x < 2

0 resto

Se pide:

1. El valor de la constante k para que f(x) sea una funcion de densidad.

2. La funcion de distribucion de la variable aleatoria X.

3. El valor esperado de la variable aleatoria X.

Problema 19II.2 La produccion de trigo por parte de una determinada region es una variable aleatoria X

cuya funcion de densidad viene dada por

f(x) =

{k(x+ 3)(2 x) si 0 < x < 2

0 resto

donde x se expresa en miles de toneladas. Se pide:

1. El valor de la constante k.

2. La probabilidad de que la produccion de trigo sea mayor de mil toneladas.

3. Si el beneficio B por cada mil toneladas producidas se obtiene como funcion de lacantidad producida: B = 1000 + 5000X, cual sera el beneficio esperado?

Algunos modelos discretos y continuos. 35


Problemas de examenes: Algunos modelos discretos y continuos.

Problema 1

II.3 Despues de ser producida una senal s, con distribucion normal de media 12 y desviaciontpica 0.5, entra en un dispositivo que la transforma en una senal saliente con solo tresestados: 1, 0, y 1. La senal saliente sout toma el valor 1 si la senal entrante es menorque 11.5, toma el valor 0 si la senal entrante esta comprendida entre 11.5 y 12.5, y tomael valor 1 si la senal entrante es mayor que 12.5.

(a) Calcular la funcion puntual de probabilidad de la variable sout y su funcion de dis-tribucion acumulada.

(b) Si se observan 1124 valores de la variable sout, cual es la probabilidad de que hayamas de 800 ceros?

(c) Cual es en promedio el numero de valores no nulos en 1124 valores de sout?

Problema 2

Una maquina consta de 3 componentes y el tiempo de vida de cada componente sigue unadistribucion exponencial de media 500 horas. La maquina funciona solo si funcionan sus 3 com-ponentes (sistema en serie) y se supone que las componentes funcionan independientemente.La poltica de mantenimiento consiste en sustituir todos los componentes simultaneamente cada700 horas.

a) Cual es la probabilidad de que la maquina se avere en el intervalo comprendido entre dosrenovaciones?

b) Si han transcurrido 500 horas desde la ultima sustitucion de todos los componentes y lamaquina sigue funcionando, cual es la probabilidad de que la maquina se avere antesde la siguiente renovacion?

La maquina de la que hablamos, fabrica piezas cuyas longitudes se distribuyen segun unaNormal de media 32 y desviacion tpica 0.3 milmetros, considerandose aceptables aquellas cuyamedida se encuentra dentro del intervalo (31.1, 32.6).

c) Cuantas unidades hay que inspeccionar por termino medio hasta encontrar 5 defectuosas?

d) Calcular la probabilidad de que un lote de 500 piezas contenga mas de 15 defectuosas.

36 Algunos modelos discretos y continuos.

Problema 3

1. La operatividad (en das) de un determinado tipo de explosivos tiene la siguiente funcionde densidad:

f(x) =

0.3 ex

k si x > 0

0 en caso contrario

(a) Calcular el valor de k para que f(x) sea funcion de densidad.

(b) Calcular la probabilidad de que un explosivo deje de ser operativo antes de unasemana.

2. La capacidad de unos determinados envases sigue una distribucion Normal de media 100cl y desviacion tpica 0.4 cl. Segun una norma de calidad, se consideran aceptables todasaquellos envases cuya capacidad este comprendida dentro del intervalo (99, 101).

(a) Determinar el porcentaje de envases que cumplen la norma.

(b) Supongamos que los envases se empaquetan en lotes de 12 unidades, y un lote serechaza si contiene mas de 2 envases defectuosos. Determinar la proporcion de lotesque se rechazaran.

(c) Un comprador decide comprar los envases a granel en cajas de 1000 unidades, pero noaceptara aquellas cajas con mas de 50 envases defectuosos. Obtener la probabilidadde que el comprador acepte una determinada caja.

Problema 4

El tiempo de operatividad (en das) de un determinado tipo de explosivos tiene la siguientefuncion de densidad:

f(x) = 3 k ex

7 si x > 0

a) Definir la variable aleatoria en estudio. Por la forma de su funcion de densidad, quemodelo de distribucion sigue?

b) Calcular el valor de k para que f(x) sea funcion de densidad.

c) Determinar la funcion de distribucion de la variable en estudio.

d) Calcular la probabilidad de que un explosivo deje de ser operativo antes de una semana.

e) Si han transcurrido 5 das desde su elaboracion y el explosivo esta operativo, cual es laprobabilidad de que el explosivo llegue operativo al da 12?

La empresa encargada de fabricar dichos explosivos tiene una produccion mensual de 1000unidades, proporcionando un 5% de explosivos defectuosos.

f) Cual es el numero medio de explosivos defectuosos fabricados en un mes?


g) Determinar la probabilidad de que en un mes se fabriquen mas de 30 unidades defectuosas.

Problema 5

III.1 La resistencia de ciertos componenetes electricos fabricados en un proceso es una v.a.que sigue una distribucion Normal de media 36 ohmios y varianza 0.64 ohmios2. Dichocomponente es defectuoso para montarlo en cualquier sistema cuando su resistencia esmenor de 35 ohmios. Se pide:

(a) Proporcion de componentes defectuosos.

(b) Se toma una muestra aleatoria de 400 de dichos componentes, probabilidad de quehayan al menos 350 componentes no defectuosos?

(c) Un sistema acopla 2 componentes en serie, calcular la probabilidad de que el sistemafuncione. Y si se acoplan en paralelo?

Problema 6

III.1- Una empresa dispone de una envasadora automatica para su producto estrella : el zumode tomate. En la etiqueta del bote, el volumen especificado es 375ml. Si X denota elvolumen real de zumo contenido de un bote escogido al azar, lo deseable es (escoger demanera razonada la opcion correcta)

a) X = 375, y 2X lo mas grande posible

b) X = 375, y 2X lo mas pequeno posible.

c)X = 375, y 2X negativo.

d) Da igual el valor de 2X , lo importante es X = 375

III.2- En la elaboracion de un determinado medicamento en forma de comprimido intervienen1 producto qumico cuya cantidad sigue aproximadamente una distribucion Normal demedia 3 grs. de desviacion tpica 0.05 grs.

(a) Calcular la probabilidad de que un comprimido pese mas de 3.025 grs.

(b) Un comprimido se considera defectuoso cuando su peso difiere de la media en masde 0.075 grs. Calcular la proporcion de comprimidos defectuosos que se fabrican.

(c) Estos comprimidos se envasan en cajas de 10 unidades. Si un envase contiene 2 omas comprimidos defectuosos se elimina del mercado. Determinar el porcentaje decajas que se retiran del mercado.

(d) Una farmacia hace un pedido de 100 cajas de dicho medicamento. Calcular la pro-babilidad de que en el pedido haya mas de 40 cajas no aptas para la venta.

Problema 7

III.- Estamos considerando interruptores electricos fabricados por dos marcas A y B.


(a) El tiempo de vida de un interruptor electrico de la marca A sigue una distribucionexponencial de vida media 2 anos. Calcular la probabilidad de que falle a lo largodel primer ano.

(b) La probabilidad de que falle durante el primer ano un interruptor de la marca Bes 0.25. Si se instalan 10 interruptores de esta marca en diferentes sistemas (noconectados), calcula la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellos fallen a lo largo elprimer ano.

(c) Si instalamos ahora 100 interruptores de la marca B en diferentes sistemas (no conec-tados), calcula la probabilidad de que a lo sumo 30 de ellos fallen durante el primerano.

Problema 8

III.1.- Una maquina A fabrica teclas cuadradas estandar de teclados de PCs, siguiendo la lon-gitud de los lados una distribucion con media 12.5 mm y desviacion tpica 0.0025 mm.Si alguna de las piezas difiere en mas de 0.005 mm de la media es rechazada, ya queprovocara un fallo en la cadena de montaje del teclado.

(a) Cual es, como maximo, el porcentaje de piezas defectuosas que fabrica la maquinaA.?

(b) Suponemos ahora que la distribucion de la longitud de los lados sigue una dis-tribucion normal, hallar la probabilidad de que elegida una tecla al azar, fabricadapor la maquina A, esta sea defectuosa.

En la empresa, hay otra maquina B que tambien fabrica teclas similares, pero para estamaquina, la proporcion de teclas defectuosas es igual a 1%. Cada maquina produce lamitad de la produccion total.

(c) Cual es la probabilidad de que, escogiendo una tecla al azar entre la produccion,resulte defectuosa?

(d) Se elige una tecla de cualquiera de las dos maquinas y resulta ser defectuosa Queprobabilidad tiene de haber sido producida por la maquina A?.

(e) Se sabe que los teclados contienen 100 de estas piezas que se escogen al azar entrela produccion total. Son rechazados cuando alguna tecla es defectuosa, que

probabilidad tiene un teclado de ser rechazado?.

Problema 9

II.1.- La resistencia de ciertos componentes electronicos tienen una distribucion de probabilidaddesconocida, con = 200 y = 2 .Por motivos tecnicos se consideran validos soloaquellos circuitos cuya resistencia se encuentre en el intervalo [195, 205] .

(a) Que porcentaje maximo de componentes defectuosos se fabrica?.

(b) Si suponemos ahora que la resistencia de dichos componentes sigue una distribucionNormal de media 200 y desviacion tpica 2 , determinar el porcentaje de com-ponentes defectuosos que se fabrica. Comparar el resultado obtenido con el delapartado (a).


(c) Un determinado tipo de circuitos contiene 2000 de dichos componentes. Determinarla probabilidad de que haya mas de 30 defectuosos.

Problema 10

1. Una pieza esta formada por la union de cuatro partes cilndricas Las longitudes de cadauna de las partes se denotan por L1, L2, L3, L4. Suponemos que cada una de las variablesL1, L2, L3, L4 sigue una distribucion normal de misma media 100mm y misma desviaciontpica 1. Suponemos ademas que las cuatro variables son independientes. La pieza esrechazada, si su longitud total difiere en mas de 4 mm de la media. Sabiendo que launion de las cuatro partes que componen dichas piezas no admite superposiciones:

(a) Definir la variable aleatoria adecuada, as como su distribucion de probabilidad ydeterminar el porcentaje de piezas que sera aceptado.

(b) Si las piezas se empaquetan en lotes de 100 u. Queremos garantizar al cliente que el90% de los lotes no contiene mas de m piezas defectuosas. Determinar dicho numerom. (Definir previamente la v.a. adecuada y su distribucion).

Problema 11

1. El contenido en calcio de la leche de un tetrabrik escogido al azar entre la produccion deuna empresa lactea sigue una distribucion desconocida de media = 1200mg y desviaciontpica = 50mg.

Se considera que el tetrabrik cumple con las especificaciones del producto si su contenidoen calcio esta comprendido entre 1075mg y 1325mg.

(a) dar una cota para el porcentaje de tetrabriks en la produccion de la empresa que nocumplen con las especificaciones.

Se supone ahora que la distribucion del contenido en calcio sigue una dis-tribucion Normal de media = 1200 y desviacion tpica = 50mg.

b) Calcular el porcentage de tetrabriks en la produccion que no cumplen con las especi-ficaciones.

c) Un supermercado compro 2000 tetrabriks a la empresa, cual es la probabilidad deque haya mas de 30 tetrabriks en el lote que no cumplen con las especificaciones?

Problema 12

II.1.- La cantidad de almendra que contiene una nueva barra de helado se distribuye segun unanormal de media 60gr. y de desviacion tpica 2gr.. Se pide:

(a) Las barras de helado se ponen a la venta cuando su cantidad de almendra no difiereen mas de 4 gr. de la cantidad media. Que porcentaje de ellas se ponen a la venta?


(b) Obtener la cantidad x para la cual el 33% de las barras tienen una cantidad dealmendra superior al valor x.

(c) Si las barras de helado se meten en cajas de 150 unidades, Cual es la probabilidadde que en una caja contenga por lo menos 140 barras aptas para la venta?

(d) Encontrar una cota para la proporcion de defectuosos en el caso de que no conociesemosla distribucion de probabilidad que sigue la cantidad de almendra por barra.

Problema 13

1. En una estacion agronomica se ha obtenido un tipo de semilla de maz de calidad extraque germina en el 98% de los casos. Sabiendo que las semillas se distribuyen en bolsas,

(a) Defina la posible variable aleatoria asociada al estudio e indique su distribucion.

(b) Si las bolsas contienen 10 granos y cierta empresa las somete a un control de calidad,en el que son desechadas si presentan mas de dos granos que no germinan. Definala variable de interes, y indique la probabilidad de que al escoger una bolsa al azarno supere dicho control de calidad.

(c) Si las semillas se distribuyen en bolsas de 500 granos y se garantiza al cliente lagerminacion de un 96% de las semillas como mnimo. Cual es la probabilidad deque una bolsa no cumpla la garanta?.

(d) Si en una caja introducimos 5000 granos. Cual es la probabilidad de que germinenexactamente 4905 granos?.

Problema 14

1. La dimension de ciertas piezas sigue una distribucion normal de media 150 y desviaciontpica 0.4. Sabiendo que se consideran aceptables todas aquellas piezas cuya longitud seencuentre dentro del intervalo (1492 , 1504). Determinar:

(a) El porcentaje de piezas defectuosas.

(b) Supongamos que se empaquetan en paquetes de 12 unidades, y un lote se rechaza sicontiene mas de 3 defectuosas. Determinar la proporcion de lotes que se rechazaran.

(c) Un determinado comprador decide comprarlas a granel en cajas de 360 unidades,pero no aceptara aquellas cajas con mas de 90 defectuosas. Que probabilidadtenemos de que nos acepte las cajas?. Comentar los resultados obtenidos en los dosultimos apartados.

Problema 15

1. Una determinada empresa dedicada a la fabricacion de cemento-cola ha adquirido unamaquina de envasado. Segun los datos que le suministra el fabricante de la envasadora,la cantidad que proporciona por bolsa es una variable aleatoria normal cuyo promedioes de 2000 gramos y su desviacion tpica es de 50 gr. Por otro lado, el fabricante de lasbolsas en las que se que se empaqueta el producto le garantiza que el peso de las bolsas sedistribuye segun un modelo Normal de media 50 gr. y desviacion tpica de 5 gr. Sabiendoque un saco de cemento-cola se considera defectuoso si su peso final es inferior a 1950 gr.,


(a) Determinar la proporcion de sacos defectuosos que producira con esta envasadora.

(b) Si los sacos se almacenan en pales de 500 unidades, determinar la probabilidad deque un pale contenga mas de 20 sacos defectuosos. Cual es el numero de sacosdefectuosos esperado en cada pale?.

(c) Determinar un intervalo que contenga el 95% de los valores del la variable peso delpale.

Problema 16

El valor de una determinada a senal s producida por un aparato sufre pequenas perturba-ciones que consideramos aleatorias.II.1 (a) Que queremos decir con la expresion las perturbaciones son aleatorias? Introduce

la variable aleatoria conveniente.

(b) Decidimos modelizar la distribucion de los valores de la senal por una distribucionNormal. Cual es, en tu opinion, el procedimiento que nos ha llevado a escoger estemodelo de distribucion para nuestra variable aleatoria? Que representan la mediay la desviacion tpica de esta variable aleatoria?

(c) Supongamos que la distribucion de los valores de s se puede aproximar por una dis-tribucion normal con media 12 y desviacion tpica igual a 0.5. Cual es la proporcionde los valores de la senal que estan comprendidos entre 11.75 y 12.25? y mayoresde 13? y mayores de 11?

(d) Entre los valores de la senal que son mayores que 12.5, cual es la proporcion devalores que son mayores que 13?

Problema 17

II.1 El tiempo de vida (en horas) de un componente electronico viene determinado por lasiguiente funcion de densidad:

f(x) =

2ke15x si x > 0

0 resto

1. Calcular k y la funcion de distribucion acumulada asociada.

2. Que porcentaje de componentes de este tipo duran entre 2 y 10 horas?. Y masde un da?. Determinar la probabilidad de que un componente dure exactamente 1hora.

3. Si se consideran 40 componentes del tipo anterior, obtener razonadamente la proba-bilidad de que la vida media de los 40 componentes este comprendida entre 2 y 10horas.

4. El consumo electrico de cada componente es de 0.2 euros por hora de funcionamiento.Un determinado sistema trabaja cada da con 40 componentes simultaneamente, sinque exista reposicion tras el fallo. Si nos proponen una tarifa plana para el consumoelectrico de 50 euros al da, aceptara la oferta?


Problema 18

1. El tiempo de duracion de un ensamble mecanico en una prueba de vibracion sigue unadistribucion exponencial de media 400 horas. Entonces:

(a) Determinar la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba antes de 100horas. Cual es la probabilidad de se produzca el fallo despues de 500 horas?.

(b) Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin fallo, determinar la probabilidadde que falle antes de las 500 horas.

(c) Si durante el ensayo se han probado 10 ensambles de manera independiente, deter-minar la probabilidad de que falle al menos uno de ellos antes de 500 horas. Cualsera la probabilidad de que fallasen todos transcurridas 800 horas?.

2. El diametro del punto producido por una impresora sigue una distribucion normal demedia 2 milipulgadas y desviacion tpica de 0.4 milipulgadas.

(a) Determinar entre que valores se encontraran el 95% de los diametros de los puntosque produce la impresora. Podemos acotar dicha probabilidad, utilizando algunadesigualdad, si no suponemos que su distribucion es normal?. Razona tu respuesta

(b) Determinar la probabilidad de que el diametro del punto este entre 1.4 y 2.6 milip-ulgadas.

(c) Si deseamos que el 95% de los puntos tengan un diametro comprendido entre 1.4y 2.6 milipulgadas, determinar la desviacion tpica a la que deberamos ajustar laimpresora.

Problema 19

Se esta probando un nuevo conservante en un determinado producto alimenticio que secomercializa por piezas. En el 75% de los casos se consiguio aumentar su duracion, en el 20%no vario y en el 5% restante su duracion disminuyo.

1. Si se utiliza el nuevo conservante en 12 piezas, calcular la probabilidad de que i) 7 de ellostengan una duracion superior a la usual, ii) al menos 3 mejoren , iii) como maximo 3 delas piezas tengan una duracion inferior a la usual .

2. Si se utiliza en 150 unidades, calcular la probabilidad de que mejoren su duracion i) entreel 70 y el 75% de las piezas, ii) mas del 80%.

Se esta probando un nuevo pienso con determinados animales. En el 70% de los casos losanimales mejoran en peso, en el 20% no varan de peso y en el 10% pierden peso.

1. Si se administra el nuevo pienso a 10 animales, calcular las probabiliades de que i) 7mejoren en peso, ii) al menos 3 mejoren en peso, iii) 4 sigan igual, iv) como maximo 3pierdan peso.

2. Si se administra a 100 animales, calcular las probabilidades de que mejoren en peso i)entre el 60 y el 65% de los animales, ii) mas del 80%.


Problema 20

1. En un proceso de fabricacion se elaboran dispositivos electronicos cuyos tiempos de vidavienen determinados por una exponencial de media 1 hora. Los dispositivos se inspeccio-nan antes de ser exportados, considerandose defectuosos aquellos cuyo tiempo de vidano supere los 12 minutos. Para ello, el responsable de control de calidad pone en fun-cionamiento cada uno de los dispositivos fabricados durante 12 minutos.

(a) Que porcentaje de dispositivos defectuosos se elaboran diariamente?

(b) Si un usuario adquiere un dispositivo que ha superado el control de calidad, cuales la probabilidad de que falle antes de 12 minutos?

(c) Los dispositivos se comercializan en cajas de 300 unidades. Determinar la probabi-lidad de que en una caja se encuentren mas de 20 dispositivos con tiempo de vidainferior a 12 minutos.

Problema 21

II Consideramos el experimento aleatorio: escogemos al azar un usuario del ascensor B y lavariable aleatoria T= Tiempo de espera en segundos. Decidimos que vamos a modelizarla distribucion de los valores de T por una exponencial de parametro .

1. Basandonos en los valores del apartado I.1, cual debera ser apro

problemas de estadistica inferencial.pdf

Documents

Transcript of problemas de estadistica inferencial.pdf