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Dip

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geg

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Numeri binari

Fondamentidi informatica

Michele Tomaiuolotomamic@ce.unipr.it

http://www.ce.unipr.it/people/tomamic

M.

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Analogico e digitale

Una grandezza (fisica o astratta) può essere rappresentata in due forme:

Analogica– Rappresentazione con valori

da insieme continuo(denso e “senza buchi”)

Digitale (o numerica)– Rappresentazione con valori da insieme discreto

(tutti i punti sono isolati)

M.

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Approssimazione discreta

Alcune informazioni sono intrinsecamente discrete– Informazioni “artificiali”, es. un testo scritto– Scala atomica o subatomica …

Molte grandezze fisiche hanno forma continua– Per loro elaborazione al calcolatore: rappresentazione

digitale– Approssimazione del valore analogico– Errore dipende dalla precisione della rappresentazione

digitale scelta

M.

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Codice

Sistema basato su simboli, che permette la rappresentazione dell’informazione

Simbolo: elemento atomico

Alfabeto: insieme dei simboli possibili (A)

Stringa: sequenza di simboli (s ∈ A*)

Linguaggio: insieme stringhe ben formate(L ⊆ A*)

Cardinalità del codice: numero di simboli dell’alfabeto

M.

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Codici numerici

Un numero naturale può essere espresso da un codice (numerazione posizionale)

N = c0 · base0 + c1 · base1 + … + cn · basen

Codici numerici di uso comune– Decimale (base 10; c: 0-9)

– Ottale (base 8; c: 0-7)

– Esadecimale(base 16; c: 0-9, A-F)

M.

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Codice binario

Base 2; c: 0-1

Informazione digitale nei calcolatori rappresentata con una sequenza di 0 e 1

Ogni elemento di una sequenza binaria viene detto bit

Una sequenza di 8 bit viene detta byte

M.

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Codifica dell’informazione

Codifica: regole di corrispondenza per passare da un certo codice ad un altro

Corrispondenza biunivoca– Tra un simbolo o una stringa di un codice

– E un simbolo/stringa di un altro codice

Ad una certa stringa in un alfabeto ricco di simboli, corrisponde una stringa più lunga in un alfabeto più ridotto

M.

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Codifica decimale → binaria

n n/B n%B peso

35 17 1 20

17 8 1 21

8 4 0 22

4 2 0 23

2 1 0 24

1 0 1 25

1. Dividere il numero decimale per 2

2. Assegnare il resto come valore del bit

3. Ripetere dall'inizio (1)

Ossia continuare a dividere per 2 il quoziente, finché non si annulla

3510 = 00100011

2

M.

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Esadecimale (Hex)

Bin Hex Dec Bin Hex Dec Bin Hex Dec

0000 0000 00 000 0001 0000 10 016 0010 0000 20 032

0000 0001 01 001 0001 0001 11 017 0010 0001 21 033

0000 0010 02 002 0001 0010 12 018 0010 0010 22 034

0000 0011 03 003 0001 0011 13 019 0010 0011 23 035

0000 0100 04 004 0001 0100 14 020 0010 0100 24 036

0000 0101 05 005 0001 0101 15 021 0010 0101 25 037

0000 0110 06 006 0001 0110 16 022 0010 0110 26 038

0000 0111 07 007 0001 0111 17 023 0010 0111 27 039

0000 1000 08 008 0001 1000 18 024 0010 1000 28 040

0000 1001 09 009 0001 1001 19 025 0010 1001 29 041

0000 1010 0A 010 0001 1010 1A 026 0010 1010 2A 042

0000 1011 0B 011 0001 1011 1B 027 0010 1011 2B 043

0000 1100 0C 012 0001 1100 1C 028 0010 1100 2C 044

0000 1101 0D 013 0001 1101 1D 029 0010 1101 2D 045

0000 1110 0E 014 0001 1110 1E 030 0010 1110 2E 046

0000 1111 0F 015 0001 1111 1F 031 0010 1111 2F 047

M.

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Bin ↔ Hex

10100011 01100111 10110111 11100001

Bin Hex

0000 0

0001 1

0010 2

0011 3

0100 4

0101 5

0110 6

0111 7

1000 8

1001 9

1010 A

1011 B

1100 C

1101 D

1110 E

1111 F

A3 67 B7 E1

Ciascuna delle 16 diverse combinazioni di 4 bit possibili (24 = 16)…

corrisponde ad uno dei 16 simboli esadecimali

M.

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Numeri naturali

Rappresentare un numero naturale N in forma binaria

– Occorrono K bit, t.c. 2K > N

– Es. 3 bit per numeri naturali da 0 a 7

Un calcolatore assegna un numero fisso di bit per diversi tipi di informazione

– Casi di valori non rappresentabili

– Overflow, underflow

M.

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Somma e sottrazione

1 1

1 0 1 1 0 +

1 0 1 0 1 =

1 0 1 0 1 1

0 10

1 1 1 0 -

0 1 0 1 =

1 0 0 1

RiportoRiporto PrestitoPrestito

M.

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Moltiplicazione

1 0 1 1 x

1 1 0 1 =

1 0 1 1 +

0 0 0 0

0 1 0 1 1 +

1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 +

1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

M.

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Dip

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Un

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Divisione

1 0 1 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 –

0 1 1

1 0 1 –

0 1 1

1 0 0 –

0 1 1

0 1 1 –

0 1 1

0

M.

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Un

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mam

ic/

Numeri interi

Occorre rappresentare anche i numeri negativi

Necessario riservare un bit per il segno– Ovvero, si dimezza il massimo modulo ammesso

Modulo e segno– Il primo bit indica il segno

– 0 positivo, 1 negativo

M.

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w.c

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mam

ic/

Complemento a due

Rappresentazione alternativa, diversa da quella modulo e segno

Un numero negativo si ottiene dall’equivalente numero positivo

1. Complemento il numero(cambio gli 1 con 0 e viceversa)

2. Sommo 1

Anche così, il primo bit indica il segno– 0 positivo, 1 negativo

M.

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Es. numero intero

Avendo un byte, +35 è in binario: 00100011

Numero –35, in modulo e segno: 10100011

Numero –35, in complemento a due: 11011101

0 0 1 0 0 0 1 1 ¬

1 1 0 1 1 1 0 0 +

1 =

1 1 0 1 1 1 0 1

ComplementoComplemento

M.

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Dip

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Un

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Somma con segno

0 0 0 0 1 1 0 0 +

1 1 0 1 1 1 0 1 =

1 1 1 0 1 0 0 1

Sommare 12 e -35 su 8 bit, modulo e segno– Sottrazione tra 35 e 12

– Cambio di segno

Stessa operazione, complemento due– Semplice somma

1212

–35–35

–23–23

M.

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Numeri reali

Grandezza analogica, rappresentabile solo in modo approssimato

– Parte frazionaria:

– F = c-1 · base-1 + … + c

-n · base-n

1. Virgola fissa– Segno, parte intera, parte decimale

2. Virgola mobile– Segno, mantissa, esponente

M.

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Un

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nip

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mam

ic/

Parte frazionaria in binario

fract fract*B int peso

0,375 0,750 0 2-1

0,750 1,500 1 2-2

0,500 1,000 1 2-3

1. Moltiplicare la parte frazionaria per 22. Assegnare la parte intera del risultato come valore del

bit3. Ripetere dall'inizio

(Ossia continuare a moltiplicare per 2 la parte frazionaria del risultato... finché non si annulla)

0,375 =1/4 + 1/8

0,375 =1/4 + 1/8

M.

To

mai

uo

lo –

Fo

nd

amen

ti d

i in

form

atic

aM

. T

om

aiu

olo

– F

on

dam

enti

di

info

rmat

ica

Dip

. In

geg

ner

ia d

ell'i

nfo

rmaz

ion

e –

Un

iPR

Dip

. In

geg

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ia d

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nfo

rmaz

ion

e –

Un

iPR

htt

p:/

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w.c

e.u

nip

r.it

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ple

/to

mam

ic/

htt

p:/

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w.c

e.u

nip

r.it

/peo

ple

/to

mam

ic/

Virgola fissa

Numero espresso come: r = (i, f)– i e f sono in base p

– i è la parte intera, n1 bit

– f è la parte frazionaria, n2 bit

Precisione costante lungo l’asse reale

0

R

M.

To

mai

uo

lo –

Fo

nd

amen

ti d

i in

form

atic

aM

. T

om

aiu

olo

– F

on

dam

enti

di

info

rmat

ica

Dip

. In

geg

ner

ia d

ell'i

nfo

rmaz

ion

e –

Un

iPR

Dip

. In

geg

ner

ia d

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nfo

rmaz

ion

e –

Un

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nip

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ple

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mam

ic/

Virgola mobile

Numero espresso come: r = m·bn

– m e n sono in base p

– m è la mantissa (numero frazionario con segno), n1 bit

– b è la base della notazione esponenziale

– n è la caratteristica (intero), n2 bit

Precisione variabile lungo l’asse reale

0

R

M.

To

mai

uo

lo –

Fo

nd

amen

ti d

i in

form

atic

aM

. T

om

aiu

olo

– F

on

dam

enti

di

info

rmat

ica

Dip

. In

geg

ner

ia d

ell'i

nfo

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Un

iPR

Dip

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nfo

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e –

Un

iPR

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e.u

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mam

ic/

htt

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w.c

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nip

r.it

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ple

/to

mam

ic/

IEEE 754

118.625 = 1110110.1012 = 1.1101101012 × 26

All’esponente bisogna sommare 28 − 1 − 1 = 127