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Fluidodinâmica Computacional

Paulo A. B. de Sampaio – IEN/CNENAlvaro L.G.A. Coutinho – PEC/COPPE/UFRJ

Milton Alves Gonçalves Jr. - PEC/COPPE/UFRJMarcos Filardy Curi – IEN/CNEN

II Semana de Engenharia Nuclear

I International Symposium of Nuclear Engineering

13-17 de Agosto de 2012, UFRJ, Rio de Janeiro - RJ

Topics

Introduction

Incompressible viscous flow model

Deriving stable finite element formulations

Numerical examples

Some new developments

Concluding remarks

Introduction

The drawbacks of the Galerkin mixed formulation for incompressible viscous flows:

1. Occurence of wiggles (spatial oscillations of the solution) in convection-dominated flow problems.

2. Restrictions on the choice of interpolating spaces for velocity and pressure.

Introduction

Stabilised finite element methods can be used to overcome deficiencies of the Galerkin method when applied to flow problems.

Examples: 1. Controlling wiggles in convection-dominated flow problems; 2. Circumventing the Babuska-Brezzi condition for incompressible flows modelled by N-S equations in primitive variables (u, p).

Introduction

Stabilised finite element methods can be often interpreted as Petrov-Galerkin weighted residual approximations, where the Galerkin weighting function is modified with the addition of a perturbation.

The terms resulting from the interaction of the perturbation with the residual generate the desired stabilization effect, without compromising the consistency of the approximation.

Introduction

In this work we present a framework for deriving stable finite element formulations for coupled flow problems.

The “stabilising terms” emerge naturally in the derivation, rather than being introduced a priori in the variational formulation of the problem.

Flow and Heat Transfer Model

Incompressible N-S equations with buoyancy force and a convection-diffusion energy equation.

( ) 0TTgβρx

p

x

τ

x

uu

t

uρ 0a

ab

ab

b

ab

a =−+∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

0=∂

∂

a

a

x

u

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

b

b

b

bx

q

x

Tu

t

Tcρ

( )abbaab xuxu ∂∂+∂∂= µτ

bb xTq ∂∂−= κ(with the usual i.c and b.c.)

Flow and Heat Transfer Model

In some applications we may also consider the transport and radioactive decay of radionuclides.

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂φλ

ξφφ

b

b

b

bxx

ut

0=−∂

∂+

∂

∂+

∂

∂φλ

ηϕϕ

b

b

b

bxx

ut

bb x∂∂−= φψξ bb x∂∂−= ϕςη

with diffusive fluxes given by Fick’s Law

Numerical Examples

Cylinder in cross flow (forced convection)

Mesh transientfor Re=100

Numerical Examples


Force coefficients for Re=100, 125 and 150

-0,6-0,4-0,2

00,20,40,60,8

11,21,41,6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Time

Fo

rce

Co

effic

ien

ts

CD

CL

-0,6-0,4-0,2

00,20,40,60,8

1

1,21,41,6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Time

Fo

rce

Co

effi

cien

ts

CD

CL

-0,6-0,4

-0,20

0,20,40,60,8

11,2

1,41,6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Time

Fo

rce

Co

effi

cien

ts

CD

CL

Numerical Examples


Comparison of our results with CD mean results of Baranyi (2003)and CLrms results of Norberg (2001).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

100 110 120 130 140 150

Reynolds Number

CDmean [29]

CDmean [present]

CLrms [30]

CLrms [present]

Numerical Examples


Comparison of our results with Strouhal number results of Williamson (1988)

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,2

100 110 120 130 140 150

Reynolds Number

Strouhal [31]

Strouhal [present]

Numerical Examples


Local Nusselt Number

0 60 120 180 240 300 3600

2

4

6

8

10N

u lo

cal

θ

θ

sentido do fluxo

Numerical Examples


Mean Nusselt Number

100 110 120 130 140 1505,0

5,5

6,0

6,5 Nu - obtido Nu - Lange et al. [36] Nu - Bernstein et al. [35]

Nu

Número de Reynolds

Numerical Examples

Free convection around a hot horizontal cylinder

Temperature field and adaptive mesh for Pr=0.71, Ra=100000

Numerical Examples

Free convection around a hot horizontal cylinder

Comparison of our results with Nusselt number experimental correlations of Churchill & Chu (1975) and Hyman et al. (1953)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08 1.00E+09 1.00E+10

Nu-Chu

Nu-Hyman

h=0.02

h=0.01

h=0.005

h=0.002

Numerical Examples

Cylinder in cross flow (mixed convection)

Numerical simulation with Re=100, Ri=0, +/- 0.25, Pr=1.0

Numerical Examples

Cylinder in cross flow (the effect of the Ri number):

Re=1000 ; Ri=0 (forced convection only)

Numerical Examples


Re=1000 ; Ri=1 (buoyancy aiding convection)

Numerical Examples


Re=1000 ; Ri=2 (buoyancy aiding convection)

Numerical Examples


Re=1000 ; Ri=1 (buoyancy opposing convection)

Numerical ExamplesCrossflow past a square cylinder at Re=22000.

LES with Implicit subgrid modelling

DE SAMPAIO, P. A. B. ; HALLAK, P. H. ; COUTINHO, A. L. G. A. ; PFEIL, M. S. , IJNMF, 44 (6), 673-693, 2004.

Numerical ExamplesRio-Niteroi Bridge (Reynolds 5.8E+6 to 1.0E+7).

ALE + LES with Implicit subgrid modelling

DE SAMPAIO, P. A. B. ; HALLAK, P. H. ; COUTINHO, A. L. G. A. ; PFEIL, M. S. , IJNMF, 44 (6), 673-693, 2004.


01

2

2

=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

r

ur

rrx

u

x

P

r

uv

x

uu

t

uµρ

01

22

2

=

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

r

v

r

vr

rrx

v

r

P

r

vv

x

vu

t

vµρ

( ) 01

=∂

∂+

∂

∂rv

rrx

u

Momentum balance (axial)

Momentum balance (radial)

Mass balance

Axissymmetric Problems


Developing flow in a pipe


Flow in a Pressurised Water Reactor (PWR) downcomer


Flow in a Pressurised Water Reactor (PWR) downcomer: Velocity field410x73.8Re =


Flow in a Pressurised Water Reactor (PWR) downcomer: Adaptive mesh410x73.8Re =


Alternative time discretisation of convection:

So far we have used

b

n

an

bx

uu

∂

∂ + 2/1

which is formally )( tO ∆

But if this is replaced by

∂

∂+

∂

∂ ++

b

n

an

b

b

n

an

bx

uu

x

uu 1

1

2

1 we obtain )( 2tO ∆

In this case the equations for updating the velocity components become fully coupled.


Escoamento com Expansão Abrupta

Escoamento com expansão abrupta. Caso

de referência: Malha estruturada com

74497 nós e 147456 elementos.

Resultados do campo de velocidade com

o método proposto para ReH = 100 no

instante t = 0.1H/u0 .

0H

u HRe

r

m=


Dados utilizados na comparação entre os métodos com precisão temporal de 1ª e 2ª ordem.

bε = e u

r b= −e u u

0 0.756340bu =

0 0.995090bv = −




Erro relativo da velocidade e tempo de CPU para os métodos de 1ª e 2ª ordem. Exemplo de um transiente rápido em

diferentes níveis de refinamento.


Implementação 3D

Características Método original - EdgeCFD® Método presente

Discretização Espacial Temporal Temporal Espacial

Termos de estabilização SUPG / PSPG / LSIC (a priori) Surgem naturalmente

Modelo de turbulência LES – Smagorinsky / VMS LES - Implícito

Sistemas de equações

EDOs não lineares totalmente

acopladas u-p (4 graus de liberdade

por nó). Não simétricas.

Algébricas lineares

parcialmente acopladas

p u. Simétricas,

positivo-definidas.

Esquema de integração temporal Preditor / Multi-corretor Não possui

Solver não linear Newton Inexato Não possui

Solver linear GMRES PCG

Estrutura de dados Aresta por aresta Aresta por aresta

Implementação paralela MPI/OpenMP/Híbrida MPI/OpenMP/Híbrida


Cavidade – 3D

Escoamento induzido no interior de uma

cavidade 3D pelo movimento de uma tampa.

Malha não estruturada com 108104

elementos tetraédricos e 20589 nós.

Linhas de corrente no escoamento induzido

no interior de uma cavidade 3D pelo

movimento de uma tampa para ReL = 100.

Some new developmentsCavidade – 3D

MétodoMemória (MB) /

processador

1ª Ordem 2,6

2ª Ordem 3,8

EdgeCFD® 20,7

Número de CPUs

EdgeCFD® 2ª OrdemToler_linear = 10-3;

Toler_n-linear = 10-3. Toler_linear = 10-3

Tempo de CPU por passo de tempo (s)

Tempo de CPU por passo de

tempo (s)1 5,33 3,002 3,37 1,594 1,89 0,788 1,75 0,4816 1,04 0,2632 0,90 0,18

ESTUDOS DE LIMITES TERMO-HIDRÁULICOS PARA PROJETO DE VARETAS COMBUSTÍVEL

DE REATORES NUCLEARES

Paulo Augusto Berquó de Sampaio

Maria de Lourdes Moreira

Isaque de Souza Rodrigues

João Carlos Aguiar Gaspar Junior

Renato Raoni

Ajustar o Nível de Potência de uma vareta

combustível verificando os seguintes limites termo-

hidráulicos:

• Temperatura limite do combustível

• Temperatura limite do revestimento

• DNBR mínimo

MODELAGEM FÍSICA- Discretização axial

-1830

-915

0

915

1830

q```

z

Distribuição da taxa volumétrica de geração de calor [ q’’’(z) ] ao longo da vareta combustível

( )

+=′′′ z

HzBAzq .cos).(

π

AB .α=

( )

+=′′′ z

HzAzq .cos).1(

πα

(1) Tong,L.S.; Weisman,J. ; THERMAL ANALYSIS OF PRESSURIZED WATER REACTORS; American Nuclear Society; 1979. pp. 29.

(1)

é o parâmetro que permite a alteração no perfil de distribuição de q’’’α

MODELAGEM FÍSICA- Discretização axial

dzzqAQout

in

z

z

S )('''∫=outin EQE =+

zin hmE•

=

Cálculo da entalpia

Balanço de energia:

Onde:

MODELAGEM FÍSICA- Discretização transversal

MODELAGEM FÍSICA

O problema variacional consiste em determinar o campo de

temperatura que satisfaça a equação

é o espaço de funções definidas em onde suas

derivadas primeiras e elas próprias são quadrado-integráveis.

)(1 Ω∈ HT

∫∫∫∫Γ

∞

ΩΓΩ

Γ∂+Ω∂=Γ∂+Ω∂∂

∂

∂

∂

cece

zhTQhTx

Tk

x ii

)(ϕϕϕϕ

1H

para qualquer .)(1 Ω∈ Hϕ

.

Ω

- Discretização transversal

O MEF é empregado para discretizar essa formulação (Júnior, 2010 e Sampaio, 2007)

MODELAGEM COMPUTACIONAL

Exemplos de gráficos esquemáticos de perfis de temperatura em seções transversais com a pastilha combustível concêntrica e excêntrica ao revestimento.

O software GID (interface gráfica) foi customizado para apresentar os resultados gerados pelo código VARETA_COMBUSTÍVEL.

MODELAGEM COMPUTACIONAL

- Ajuste do nível de potência

O problema de ajuste do nível de potência pode ser entendido pela pergunta: “Qual deve ser o nível máximo de potência do reator para que as temperaturas máximas do combustível e do revestimento e o DNBR mínimo alcancem os limites estabelecidos pelo projeto?”.

VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL

Validação do código computacional em relação à discretização axial de q’’’(z) para pastilha concêntrica ao revestimento.

A validação do código VARETA_COMBUSTÍVEL em relação àdiscretização axial de q’’’(z) para pastilha concêntrica ao revestimento foi feita comparando-se a resolução analítica de um problema apresentado e resolvido por Todreas e Kazimi (1993, p.587) com os resultados numéricos gerados por ele.

ESTUDO DE CASOSCOMPARAÇÃO DE RESULTADOS DE TEMPERATURA PARA PASTILHAS EXCÊNTRICAS AO REVESTIMENTO COM RESULTADOS DE TEMPERATURA PARA PASTILHAS CONCÊNTRICAS AO REVESTIMENTO.

Essa tabela mostra que excentricidade na pastilha combustível fez o DNBR alcançar seu limite mais rapidamente com o aumento dos níveis de potência.

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