Precipitation Volatility and its Causes: Probability of Daily Extremes Alexander Gershunov 1, Anna...
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Precipitation Volatility and its Causes: Probability of Daily Extremes Alexander Gershunov 1 , Anna Panorska 2 and Tomasz Kozubowski 2 1 Climate, Atmospheric Science and Physical Oceanography (CASPO), Scripps Institution of Oceanography epartment of Mathematics and Statistics, University of Nevada Reno Kozubowski, T.J., A.K. Panorska, F. Qeadan and A. Gershunov, and D. Rominger, 2009: Testing exponentiality versus Pareto distribution via likelihood ratio. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 38, 118-139. Panorska, A.K., A. Gershunov and T.J. Kozubowski, 2007: From diversity to volatility: Probability of daily precipitation extremes. In: A. Tsonis and J. Elsner (Eds.), Nonlinear Dynamics in Geosciences, Springer, New York, pp. 465-484.
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Heavy-tailed modeling of extreme event probabilities »Heavy-tailed PDFs (power laws) allow for more extremes than traditional PDFs »Arise naturally as limit sums of random variables »Random variable X (e.g. precipitation) is "heavy tailed" if the probability (P) that it exceeds a value x is of power order x - for large x P(X > x) cx - , as x , where c, > 0 Are precipitation extremes exponentially distributed? If not, what is a reasonable distribution?
Transcript of Precipitation Volatility and its Causes: Probability of Daily Extremes Alexander Gershunov 1, Anna...
Precipitation Volatility and its Causes: Probability of Daily Extremes
Alexander Gershunov1, Anna Panorska2 and Tomasz Kozubowski2
1Climate, Atmospheric Science and Physical Oceanography (CASPO), Scripps Institution of Oceanography
2Department of Mathematics and Statistics, University of Nevada Reno
Kozubowski, T.J., A.K. Panorska, F. Qeadan and A. Gershunov, and D. Rominger, 2009: Testing exponentiality versus Pareto distribution via likelihood ratio. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 38, 118-139.
Panorska, A.K., A. Gershunov and T.J. Kozubowski, 2007: From diversity to volatility: Probability of daily precipitation extremes. In: A. Tsonis and J. Elsner (Eds.), Nonlinear Dynamics in Geosciences, Springer, New York, pp. 465-484.
MotivationsMotivations• A rigorous view of extreme precipitation events in
climate requires a parametric approach.• Exponential tails may not be adequate to model
probabilities of high-frequency precipitation extremes in volatile precipitation regions. We want to check how adequate or inadequate they are.
• Indications are that heavy tailed distributions may be more appropriate for this task.
• However, identifying and fitting heavy tails is difficult» Typical methods involve graphical analysis» There are many heavy-tailed distributions» Identification and parameter estimation needs to be
automated
Heavy-tailed modeling of extreme event probabilities»Heavy-tailed PDFs (power laws) allow for more extremes than traditional PDFs
»Arise naturally as limit sums of random variables
»Random variable X (e.g. precipitation) is "heavy tailed" if the probability (P) that it exceeds a value x is of power order x- for large x
P(X > x) cx- , as x , where c, > 0
Are precipitation extremes exponentially distributed?
If not, what is a reasonable distribution?
ApproachPeaks over threshold (POT) methodology
Three possible limiting PDFs for exceedances (approximations)
Balkema - de Haan - Pickands theorem (Balkema and de Haan 1974 and Pickands 1975) provides the limiting distribution of exceedances. The theorem says that when the threshold (u) increases, the distribution of the exceedance X[u] converges to a Generalized Pareto (GP) distribution. Any GP distribution has to be one of the following three kinds: exponential, Pareto or beta (finite, not applicable). So: no matter what the original distribution of X is, the exceedance X[u] over any threshold u is (approximately) one of only three distributions (effectively two).
Moreover, if original distribution has exponential tails, then the exceedance pdf will be exponential. If it has heavy tails, then the exceedance pdf will be Pareto.
Using this result, we seek a statistic, a decision rule, to classify observed daily precipitation tails into
exponential and heavy
We approached this problem using ideas from the theory of likelihood ratio tests (Lehmann, 1997). The approach is to consider the ratio of the maxima of the likelihoods of the observed sample under the null (Pareto in the numerator) and alternative (exponential in the denominator) models. The logarithm of the likelihood ratio statistic is:
Where is the observed sample (of excesses); and are the likelihood functions of the sample under Pareto and exponential hypotheses, respectively. We use a Pareto distribution with the survival function S(x) = P(X>x) = (1/(1+1/sα))α and exponential distribution with the survival function S(x) = P(X>x) = exp(-x/σ). In the Pareto case, the α parameter determines the thickness of its tail and is of primary importance. The scale parameter s is of secondary importance. In the exponential case σ is the scale parameter.
Exponential vs. Heavy TailsHo: data comes from an exponential distribution, versus the alternativeH1: data comes from a Pareto distribution.
Computation of L: the maximum likelihood procedure
Statistical Properties of L
010
0020
0030
0040
00
P.0.5 P.1 P.1.5 P.2 P.5 exp
L 05
1015
2025
P.5 exp
Boxplots of simulated distributions of L. The first five boxplots were done using 10,000 observations of L from Pareto samples of size 1,000 with α varying from 0.5 (first boxplot) to 5 (second to the last boxplot). The last boxplot corresponds to 10,000 observations of L from exponential samples of size 1,000. The inset blows up the last two boxplots.
Critical Values of L
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xx = 0x <=1o > 1o > 3o > 5o > 10o > 15o > 20
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xx = 0x <=90%o > 90o > 95o > 98o > 99
L values, absolute magnitude L values, Ho rejection certainty in %
Log likelihood ratio (L) computed for daily excesses over local 75 th percentile at each of the 560 stations. (a) Values close to zero, L <= 1 (blue and green x’s) represent approximately exponential tails, while yellow, red and black circles represent progressively heavier tails. (b) Level of confidence, (1 - γ)*100, for rejecting the null hypothesis (Ho) of exponential tails. Blue x’s represent exponential tails, green x’s represent stations at which the H o cannot be rejected with reasonable (90%) confidence. Yellow and progressively redder circles represent stations at which Ho can be rejected with 90, 95, 98 and 99% confidence in favor of the Pareto alternative. For example, Ho can be rejected at 81% of stations with 95% confidence.
Log likelihood ratio: all data
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x = 0x <=90%o > 90o > 95o > 98o > 99
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x
xx
x
x
xx
x xxxxxxx
xx = 0x <=90%o > 90o > 95o > 98o > 99
DJF MAM
JJA SON
51% heavy with 95% confidence47% heavy with 95% confidence
37% heavy with 95% confidence 40% heavy with 95% confidence
Four Seasons
Log likelihood ratio: seasonal data
81% heavy
Probability plots for selected stations
Probability plots for excesses over threshold (75th percentile) at selected stations arranged in order of increasing L. Sorted observed excesses displayed in mm along the x-axis are plotted against the corresponding theoretical quantiles derived from the fitted exponential (blue x’s) and Pareto (red o’s) models.
Precipitation Stats at Selected Stations
Summary 1• Diversity is the mother of volatility• Exponential tails are inadequate to model daily
extremes in most regions of North America• Heavy tailed models are appropriate on theoretical
and empirical grounds• These results can be directly extended to many
climatic studies and applications• What about climate change? • How do climate models do?
The Role of Topography
-125 -120 -115 -110 -105
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3638
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% of precip falling in summer Tail structure
The Role of Topography
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o > 90o > 95o > 98o > 99
Station Elevation
% of precip falling in summer Tail structure
Aspect, Slope and tail structure
The Role of Topography
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o < 0o > 250o > 500o > 750o 1000o 1250o 1500o 1750o 2000o 2500
xx
yy
-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
x = 0x <=90%
o > 90o > 95o > 98o > 99
o1137o1194 o1157x1119o1411
x1086
distance from origin and direction from originSLOPE and ASPECT
How do climate models do?
-124 -120 -116
3436
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-4 -3 -2 -1 0 1 2
-2-1
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o 0.9o 0.8o 0.7o 0.6o 0.5o 0.4o 0.3o -0.3o -0.4o -0.5o -0.6o -0.7o -0.8o -0.9
Year-to-year correlation of modeled and observed max/median precipitation (a relative measure of volatility that is appropriate for model data) as a function of location (left) and as a function of slope and aspect (right). Contours show elevation in 250m (1000m) increments in black (blue).
Statistics from 56 years of station observations (more than 400 stations) and a fine resolution (10km) downscaling of the NCEP/NCAR reanalysis (CaRD-10, performed by Kanamitsu and Kanamaru at SIO) over California were compared.
Modeled Precipitation
• Models don’t do heavy precipitation tails. • Untreated modeled daily extremes may be
sensitive to climate only where observed precipitation tails are exponential.
• Dynamical and/or statistical correction may be possible for other locations.
• However, with climate change, non-stationarity is a big issue.
Climate Change Challenges
The choice between heavy tailed and exponentially tailed models is of a qualitative nature. The heavy tailed distributions have much larger high percentiles relative to the rest of the data values than the exponentially tailed ones. That implies that in places where heavy tailed models are appropriate, the future large events may be much larger than those observed up to date. The exponentially tailed models of precipitation will not be able to predict very large (relative to the observed data) events, because their mathematical properties do not allow such extremes.
There is also the problem of non-stationarity…
