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Practica 4Gradiente, Derivada Direccional y Plano Tangente.

Instituto Tecnologico de Costa RicaEscuela de Matematicawww.cidse.itcr.ac.cr

1. Para cada una de las superficies cuya ecuacion se da, determine

a.) La razon de cambio de z en el punto P dado y en la direccion u indicada.b.) El valor de la maxima y de la mnima razon de cambio de z en el punto P .

c.) La direccion de esa maxima o mnima razon de cambio.

1) z = x2 + 2xy; P = (3, 1), u =(32,12

)2) z =

12log(x2 + y2

); P = (2, 1), u = (2, 1)

3) w = xy + yz + zx; P = (3, 4,12), u = (3, 4,12)

2. Considere la superficie S definida por la ecuacion 3x2y2 6yz = z2 donde z es funcion de x , y .

a) Si P = (1,2, c) es un punto de S, calcule c .

b) Determine la derivada direccional de f en x = 1 , y = 2 en la direccion del vector u , dondeu = (2,2) .

c) Calcule la ecuacion cartesiana del plano tangente a S en P.

Ayuda: en este ejercicio, la derivada direccional requiere el gradiente z(P ) = (zx(P ), zy(P )) mien-tras que el plano tangente requiere G = (Gx(P ), Gy(P ), Gz(P )).

3. Hallar los vectores unitarios u para los cuales la derivada direccional de z = x2 + 3y + 1 se anulaen el punto P = (1, 1) siguiendo la direccion de u .

4. Sea S una superficie de ecuacion 3z2+2x+3y = 24 , con z > 0 . Determine Duz(P ) donde P = (3, 2)y u es cualquier vector perpendicular a z(P ) .

5. Considere la superficie S de ecuacion 3x2 y2 + z 12 = 0 , P = (2,1, 1) un punto de S . SeanA = (1, 3) y B = (4, 5) . Determine

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a) La derivada direccional de z en (2,1) en la direccion del vector que va desde A hasta B .

b) Los vectores unitarios u = (a, b) tales que la derivada direccional de z en (2,1) en ladireccion de u , sea igual a 2 .

c) Los vectores unitarios u = (a, b) tales que la derivada direccional de z en (2,1) y siguiendola direccion de u , sea maxima.

6. La ecuacionx2y

2 yz exyz = 0 define a z como funcion implcita de x , y . Considere el punto

P = (1, 2, 0) de la superficie definida por la ecuacion anterior.

a) Calcule la derivada direccional de z en (1, 2) y en la direccion de un vector normal a la curvade ecuacion x2 + 2y2 = 4 en el punto Q = (2, 0) de esta superficie.

b) Determine la direccion en que la derivada direccional de z en (1, 2) es maxima y determine estevalor maximo.

c) Calcule la ecuacion cartesiana del plano tangente a S en P.

d) Verifique que el punto P pertenece tambien a la superficie S, de ecuacion 32z8x2y2+12 = 0.Calcule la ecuacion cartesiana del plano tangente a S en P.

7. En cierta montana, la altura z , sobre el nivel del mar en la que se encuentra un alpinista, viene dadapor z = 2000 2x2 4y2 (en metros).Un alpinista se encuentra en un punto de referencia A , dondeA = (20, 5, 1100) . Sean P = (1, 2) y Q = (1,1) dos puntos en el plano xy .

a) Determine la razon de cambio de z (derivada direccional) si el alpinista se mueve desde el puntoA , siguiendo la trayectoria del vector que va del punto P al punto Q .

b) Que direccion debe seguir el alpinista para que la razon de cambio sea maxima y de cuanto esesta razon?.

8. Demostrar que la derivada direccional de la funcion cuya ecuacion es z =y2

xcalculada en cualquier

punto de la elipse 2x2 + y2 = 1 a lo largo (en la direccion) de la normal de la misma, es igual a cero.

Ayuda: podemos ver la curva C : 2x2 + y2 = 1 como una curva de nivel de z = 2x2 + y2. Luegoz(a, b) es perpendicular a C si (a, b) C.

9. El punto en que la derivada direccional de una funcion , en cualquier direccion es igual a cero, se llamapunto estacionario de esta funcion. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes funciones:

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a) z = x2 + xy + y2 4x 2y

b) w = 2y2 + z2 xy yz + 2x

10. Sea z = F (ax+ b) , con F derivable, a y b constantes.

a) Demuestre que en cualquier punto A = (x0, y0) el gradiente de z es paralelo al vector u =(a, b) .

b) Determine los puntos Q = (x1, y1) tales que la derivada direccional de z en Q y en la direcciondel vector v = (b, a) es igual a cero.

11. Sea S una superficie de ecuacion f(x, y) = 4x+ 3y . Sea P = (a, b) un punto de S .

a) Encuentre un vector unitario u de manera Duf(a, b) = 0 .

b) Encuentre un vector unitario v de manera que Dvf(a, b) sea maxima y determine Dvf(a, b) .

12. Sea z = f(x, y) una funcion definida en R2 con derivadas parciales continuas.

Sea B = (x0, y0) un punto en R2 tal que Duf(B) =35

y Dvf(B) = 1 , donde u = (3, 4) yv = (5, 12) . Determine f(B) .

13. Determine la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva C, en el punto P dado, sabiendo queC se obtiene al intersecar la superficie S con el plano indicado, en cada uno de los siguientes casos:

a) S1 : x3 + y3 + xyz 6 = 0, 1 : y = 2, P = (1, 2, 1).

b) S2 : 36x2 9y2 + 4z2 36 = 0, 2 : z = 3, P = (1, 2,3)

c) S3 : z = 4 x2 y2, 3 : x+ y + z = 2, P = (0,1, 3)

Ayuda: la ecuacion vectorial de la recta tangente es (x, y, z) = P + t v donde v debe serperpendicular a cualquier vector normal N1 a S en P, tanto como a cualquier vector normal N2 delplano . En la figura que sigue se muestra la superficie S3, el plano 3 y la recta tangente L, enP.

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X

Y

Z

P

N

N

1

2

L

14. El elipsoide de ecuacion 4x2 + 2y2 + z2 = 16 corta al plano y = 2 en una elipse. Determine lasecuaciones parametricas de la recta tangente a esa elipse en el punto (1, 2, 2) .

15. El paraboloide de ecuacion z = 6 x x2 2y2 corta al plano x = 1 en una parabola. Determinelas ecuaciones parametricas de la recta tangente a esa parabola en el punto (1, 2,4) .

16. Determine la ecuacion cartesiana del plano tangente y de la recta normal, para cada una de las super-ficies cuyas ecuaciones se dan a continuacion, en los puntos P dados.

a) z = 2x2 4y2, P = (2, 1, 4)

b) z =x2 + y2 xy, P = (3, 4,7)

c) x3 + y3 + z3 = 6 xyz, P = (1, 2, 1)

d) 4 +x2 + y2 + z2 = x+ y + z, P = (2, 3, 6)

17. Determine la ecuacion cartesiana del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuacionz = 9 x2 y2 en el punto P = (1, 2, 4) .

18. Determine los puntos en los que la superficie de ecuacion x2 + 2y2 + z2 = 1 tiene un plano tangenteparalelo al plano de ecuacion x y + 2z = 1 .

19. Determine los puntos en la superficie S, de ecuacionx2

4+ y2 +

z2

4= 11, en los cuales el plano tan-

gente a S es paralelo al plano x + 2y + 3z = 3 . Para cada uno de los puntos obtenidos, escriba laecuacion cartesiana del plano tangente.

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20. Hallar todos los puntos en la superficie de ecuacion (x 1)2 y2 + y + z2 + 4 = 0 en los cuales elplano tangente a la superficie es paralelo al plano de ecuacion y = 5 . Para cada uno de los puntosobtenidos, escriba la correspondiente ecuacion cartesiana del plano tangente.

21. Determine el o los puntos P , en la superficie S de ecuacion x2 + 2y2 + 3z2 10 en los que el planotangente es perpendicular a la recta de ecuacion: (x, y, z) = (1, 3, 2) + t (2, 8,6) R .

22. Encuentre el punto P en la superficie S de ecuacion z = xy de forma tal que el plano tangente a S

en P sea perpendicular a la recta de ecuacionx+ 22

=y + 22

=z 11 .

23. Determine el punto P o puntos P, pertenecientes a la superficie de ecuacion 2x+ y2 +z = 7 , tal

que el plano tangente a S en P es perpendicular a la recta de ecuacion x = 1 + 4t, y = 1 + 4t, yz = 2 + 0.5t, con t numero real.

24. Hallar todos los puntos en la superficie de ecuacion x2+ y2+ z2 6y+4z = 12 en los cuales el planotangente a la superficie es paralelo a alguno de los planos coordenados.

25. Determine los puntos pertenecientes a la elipsoide de ecuacion x2 y2+2z2 = 1 en los cuales la rectanormal es paralela a la recta que une los puntos (3,1, 0) y (5, 3, 6) .

26. Verifique que toda recta normal a la superficie de ecuacion x2 + y2 + z2 = a2, pasa por el origen.

27. Si dos superficies tienen un plano tangente comun en un punto P, se dice que las dos superficies sontangentes en P.

a) Muestre que las esferas de ecuacion x2 + y2 + z2 = a2 y (x b)2 + y2 + z2 = (b a)2 sontangentes en el punto (a, 0, 0) .

b) Muestre que las superficies xyz = 63 y 4x2+y29xz2 = 108 son tangentes en el punto (3, 6, 2).

28. Obtener la ecuacion vectorial de la recta tangente a la curva de interseccion entre las superficies deecuacion 3x2 + 2y2 + z2 = 49, x2 + y2 2z2 = 10 en el punto (3,3, 2) .

29. Dibuje la superficie de ecuacion z = 9 x2 y2 . Dibuje en forma separada las curvas de interseccionC1 y C2 que se obtienen al intersecar la superficie anterior con los planos de ecuacion: y =

13

y

x = 2, respectivamente. Obtenga y dibuje las rectas tangentes a C1 y a C2 en P =(2,13, 4).

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30. Consideremos la superficie S de ecuacion z = x2 + y2. Encuentre los puntos P = (a, b, c) S talque el plano tangente en P contenga los puntos Q = (1, 0, 0) y R = (0, 1, 0). Los planos tangentesson

Ayuda: Los puntos son P = (0, 0, 0) y P = (1, 1, 2). La figura que sigue le indica como puedeconstruir un sistema para obtener estos puntos.

X

Y

Z

P = (1,1,2)

11

P

Q

R

N

Figura 1.1: Plano tangente en P.