PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE

Plano tangente y normal a una superficieI. INTRODUCCIN

Hemos visto muchos ejemplos de la utilidad de las rectas normales en aplicaciones con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes en el anlisis de superficies y slidos. Por ejemplo, consideremos la colisin de dos bolas de billar. Cuando se le da el golpe a una bola detenida, en un punto P de su superficie, esta se mueve en la recta de impacto determinada por P y el centro de la bola. El impacto puede suceder de dos maneras. Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto, esta se para en seco y cede todo su momento a la bola detenida, como se muestra en la figura . Este tipo de disparo requiere precisin, ya que la recta de impacto debe coincidir exactamente con la direccin de la bola lanzada. Frecuentemente, la bola lanzada se desva a un lado u otro, reteniendo parte de su momento. La parte de momento que se trasmite a la bola detenida siempre se orienta sobre la lnea de impacto, con independencia de la direccin de la bola lanzada, como se indica en la figura . Llamamos a esta recta de impacto, recta normal a la superficie de la bola en el punto P.

En el proceso de encontrar una recta normal a una superficie, se nos da la posibilidad de resolver el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por F(x,y,z)=0, y sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S. Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la funcin vectorial

Entonces, para todo t,

Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que

En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es=(gradiente).(vector tangente) Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente a cualquier curva sobre S que pase por P. Por lo tanto, todas las rectas tangentes en P estn en un plano que es normal a y contiene a P, como se ve en la figura 6.3. Llamamos a este plano, plano tangente a S en P, y a la recta que pasa por P en la direccin de recta normal a S en P.

Plano tangente a la superficie S en PII. OBJETIVOS Calcular la ecuacin del plano tangente a una superficie. Calcular la ecuacin de la recta normal a una superficie. Determinar cundo un plano es tangente y normal a una superficie.

III. MARCO TEORICOPlano tangente a una superficieSi se tiene una superficie f(x,y,z)=0, la ecuacin del plano tangente en un punto P(x1,y1,z1) es: f,x(x1,y1,z1)(x- x1) + f,y(x1,y1,z1)(y- y1) + f,z(x1,y1,z1)(z- z1) = 0Siendo f,x ,f,y, f,z derivadas parciales.Normal a una superficieLa normal a la superficie f(x,y,z)=0 en un punto P(x1,y1,z1) est dada por la frmula:

Los subndices indican valores de las derivadas en el punto P(x1,y1,z1).Definicin 1Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.Si la superficie est definida de manera implcita por la ecuacin F(x,y,z)=0, entonces la ecuacin del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuacin:

y la recta normal por:

Si la ecuacin de la superficie est definida de manera explcita z = f(x,y) entonces la ecuacin del plano tangente en el punto viene definida por:

y la ecuacin de la recta normal:

La ecuacin del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una funcin. Grficamente significa medir el valor de la funcin sobre el plano tangente y no sobre la superficie.

Figura : Plano tangente y vector normal

Figura : Plano tangente

Ejemplos1) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la normal a la superficie:X3+3y2+6xy+z2-3z-5=0 en el punto (1,2.-1)SolucinSiendo:f,x= X3+6y=15f,y=-6y+6x=-6f,z=2z-3=-5plano tangente:15(x-1)-6(y-2)-5(z-1)=0 15x-6y-5z-8=0Normal: 2) Hallar el ngulo formado por las superficies:3x2+2y2-2z-1=0X2+y2+z2-4y-2z+2=0En el punto (1,1,2)SolucinEl plano tangente a la 1 superficie es:3(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0 o 3x+2y-z-3=0El plano tangente a la 2 superficie es: x-y+z-2=0n1=(3,2,-1) , n2=(1,-1,1)n1.n2=3-2-1=0 entonces cos=0|n1|= , |n2|= , =EJERCICIOS1. Hallar la ecuacin del plano tangente al hiperboloide

en el punto (1,-1,4)SolucinConsiderando tenemos

y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son

Luego una ecuacin del plano tangente en (1,-1,4) es

La figura muestra una parte del hiperboloide y del plano tangente.

Plano tangente a la superficiePara encontrar la ecuacin del plano tangente en un punto a una superficie dada por z=f(x,y), definimos la funcin F medianteF(x,y,z)=f(x,y)-zEntonces S viene dada por la superficie de nivel F(x,y,z)=0, y por el teorema 6.1 una ecuacin del plano tangente a S en el punto (x0,y0,z0) es

2. Hallar la ecuacin del plano tangente al paraboloide

en el punto (2,-2,2)SolucinDe obtenemos

Por lo tanto, una ecuacin del plano tangente en (2,-2,2) es

Se muestra este plano en la figura.

Plano tangente a la superficieEl gradiente proporciona un mtodo conveniente para encontrar ecuaciones de rectas normales.3. Hallar la ecuacin del plano tangente al paraboloide en el punto . Solucin

El vector gradiente est dado por

con lo cual el vector normales y la ecuacin del plano tangente es

simplificando

En la figura siguiente se muestra el paraboloide y el plano tangente.

Plano tangente

4. Hallar la ecuacin del plano tangente al hiperboloide

en el punto . Solucin

Consideremos

de donde obtenemos que

Y as, la ecuacin del plano tangente en el punto es

5. Hallar el o los puntos de la esfera en los cuales el plano tangente es paralelo al plano . Solucin

Sea uno de estos puntos, entonces por esta en la esfera

Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto y el plano paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir

Entonces de (3) y (4) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

De donde obtenemos que los puntos que buscamos son

6. Determine la ecuacin del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos en el punto . Solucin

Haciendo

tenemos que

Por tanto, la ecuacin del plano tangente es

Por otro lado, la ecuacin de la recta normal es

con . O en su forma simtrica

7. Halla la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuacinen el punto P(1,2,3).

SolucinHallamos las derivadas parciales:; En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:;Luego la ecuacin del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:, o bien, simplificando y la ecuacin de la recta normal es:

8. Halla las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie que sean paralelos al plano .

SolucinConsideramos la funcinHallamos las derivadas parciales:; ;El vector gradiente es perpendicular a la superficie en el punto de tangencia y, por tanto, ser paralelo al vector normal al plano dado luego sus componentes sern proporcionales:

Despejando x, y, y z en funcin de t y sustituyendo en la ecuacin de la superficie resulta . Luego los puntos de tangencia son P(1,2,2) y Q(-1,-2,-2), y el gradiente: y Por consiguiente las ecuaciones de los planos tangentes son:, o bien, simplificando y, o bien, simplificando

IV. CONCLUSIONES se aprendi a calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a una superficie.

V. BIBLIOGRAFIA Anlisis Matemtico II, Moiss Lzaro. Anlisis Matemtico II, Eduardo Espinoza Ramos. Anlisis Matemtico II, Armando Venero Calculo, leithold.

ANLISIS MATEMTICO II10