Optimisation et planification optimale multi-objectifs

Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux

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Institut français

des sciences et technologies

des transports, de l’aménagement

et des réseaux

Optimisation et

planification optimale multi-objectifs

Olivier OrfilaDirecteur-adjoint LIVIC

Chercheur sénior


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Plan du cours

Partie 1• Les planifications

• Planification faisable

• Planification optimale

• Planification discrète

• Planification continue

• Discussions

• Les échelles de la planification• Planification de route

• Planification de trajectoires (voies, stationnement)

• Planification de commandes

• Introduction à l’optimisation mono-objectif• Principes (minimisation, maximisation)

• Méthodes analytiques

• Optimisation linéaire

• Optimisation non linéaire

• Programmation dynamique

• Optimisation combinatoire

• Heuristiques et méta heuristiques

• Problèmes classiques

Partie 2

• Optimisation multi-objectifs• Introduction

• Espace de décision

• Espace objectifs

• Concept de dominance

• Front de Pareto

• Problèmes convexes et non convexes

• Construction de front de Pareto

• Par scalairisation (cas mono-objectif)

• Méthodes idéales

• Planification multi-objectifs• Application automobile


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COURTE INTRODUCTION


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La Planification

• Planifier consiste à organiser son comportement dans le temps et dans l’espace dans des situations où un but doit être atteint. (Owen, 1997)


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La planification pour le véhicule

autonome• Pour aller d’un point A à un point B

:• Déterminer les routes à prendre ?

• Choisir quelle vitesse pratiquer, quelle accélération, quelle voie ?

• Déterminer comment atteindre cette vitesse, cette accélération, cette voie

• Cette planification est réalisée de manière itérative et en permanence par les humains, avec différents empans temporels selon le type de planification


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LES PLANIFICATIONS


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Planification faisable

• Planifier une solution

faisable mais pas

nécessairement optimale

• La solution permet

d’atteindre le but de la

planification en un temps fini


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Planification optimale

• La planification faisable recherche

n’importe quelle solution réalisable alors

que la planification optimale recherche la

meilleure (ou les) solution.

• Meilleure solution : celle qui minimise une

fonction de coût dépendante de l’objectif à

réaliser


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Planification discrête

• Toutes les situations du problèmes sont distinctes (états, x)

• L’ensemble des états possibles : X

• Un état x peut être modifié par une action, u pour devenir un nouvel état x’ :• x’=f(x,u)

• Chaque état x possède un ensemble d’actions U(x)


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Planification continue

• Planifier les variations d’état d’un corps

régies par des équations analytiques et/ou

différentielles. L’état du corps est continu.

• Se ramener au cas discret par

décomposition de l’espace (polyèdres

(Voronoi, Sukharev,…), algébriques


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LES ECHELLES DE LA

PLANIFICATION


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Les échelles de la planification :

éléments de langage

• Niveau stratégique :

• navigation, choix de route. Fréquence spatiale de l’action requise entre 200 et 1000 m

• Niveau tactique :

• guidage, planification de trajectoire. Fréquence spatiale de l’action requise entre 20 et 100 m

• Niveau opérationnel :

• Stabilisation, planification de commande. Fréquence spatiale de l’action requise entre 1 et 10 m


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Planification de route

• Planifier sa route d’une origine à une destination (choisir les manœuvres à chaque intersection)

• Planification discrète

• Largement exploré lors des précédents cours


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Planification de trajectoire

• Sur la route planifiée, prévoir les vitesses

à pratiquer, l’accélération, le choix de voie

de circulation, le rapport de boîte.

• Problème continu ou discret


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Planification de commandes

• Planifier les commandes à appliquer pour

atteindre la trajectoire choisie.

• Proche du contrôle. Assure la stabilité du

système.

• Problème continu


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Discussions

• Planification hybride ?


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OPTIMISATION MONO-

OBJECTIF

Planification optimale


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Définition du problème

d’optimisation

• Problème d'optimisation— Sachant f:AR

• Trouver un élément xopt

de A tel que f(xopt) ≤ f(x) pout tout x appartenant à A

• x est soumis a un ensemble de contraintes

• f est communémentappelée function de coût


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Optimisation linéaire

• Minimiser ou maximiser une fonction linéaire sur un polyèdre convexe défini par des contraintes linéaires

• Une solution existe si les contraintes ne sont pas incompatibles et si le problème est borné.

Contraintes

Fonction de coût


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Optimisation linéaire : simplexe

• Proposée en 1947 par Dantzig• Choix d’un sommet de

départ

• Déplacement vers un sommet adjacent dont le coût est supérieur (cas de la maximisation)

• S’arrêter quand aucun sommet adjacent n’a de coût supérieur


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Optimisation non linéaire

• Extension de l’optimisation linéaire où au moins une des équations de contrainte ou la fonction de coût est non-linéaire

• Conditions d’optimalité :• La tangente, cône tangent : minimum local dans

le cas général, minimum global si f est convexe.

• Condition de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

• Les méthodes de résolution :


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Résolution analytiques

• Descente de gradient

• Newton (f de classe C2)

• Problème : la convergence vers un minimum global n’est garantie que dans certaines conditions (f convexe, Lipschitz, Wolfe condition.


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Programmation (« planification »

dynamique

• Principe : découper un problème en sous-

problèmes et résoudre chaque sous-

problème de manière indépendante avec

réutilisation des solutions en cas de sous-

problèmes identiques.

• Nécessité d’avoir une structure de sous-

problèmes optimale


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Recherche opérationnelle

• Recherche du plus

court chemin dans un

graphe (discrétisation

d’un problème continu

ou problème discret)

• Type A*, Dijkstra et

bien d’autres

• Largement étudié lors

des précédents cours


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Méta-heuristiques

• Heuristique (du grec Heurisko, trouver) : qui aide à la recherche, à la découverte

• Méthode heuristique : méthode qui procède par approches successives :

• en éliminant progressivement les alternatives

• en ne conservant qu'une gamme restreinte de solutions tendant vers celle qui est optimale

• Algorithme méta-heuristique : méthode heuristique générique pouvant résoudre un ensemble de problèmes différents

• En utilisant des optimisations stochastiques (solutions générées aléatoirement)

• Types d’algorithmes :• Biologiques : évolutionnistes, algorithmes

génétiques

• Ethologiques : colonies de fourmis, essaims particulaires

• Technologiques : recuit simulé


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Algorithmes évolutionnistes :

principe

• Imiter l’évolution des espèces telle que décrite par Darwin

• En y ajoutant la génétique pour expliquer l’évolution au travers des croisements et mutations

• Chaque solution possible est considéré comme un individu d’une génération

• La solution est codée dans les gènes de l’individu

« Comme il naît beaucoup plus d'individus de chaque espèce qu'il n'en peut survivre, et que, par conséquent, il se produit souvent une lutte pour la vie, il s'ensuit que tout être, s'il varie, même légèrement, d'une manière qui lui est profitable, dans les conditions complexes et quelquefois variables de la vie, aura une meilleure chance pour survivre et ainsi se retrouvera choisi d'une façon naturelle. En raison du principe dominant de l'hérédité, toute variété ainsi choisie aura tendance à se multiplier sous sa forme nouvelle et modifiée » C. Darwin, On the origin of species. 1859


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Algorithme évolutionniste

standard• Tir aléatoire de n individus

• Création de l’archive (contenant les meilleurs individus au fil des générations)

• Sur N générations :• Evaluation des individus par la

fonction de coût (calcul de l’adaptation)

• Mise à jour de l’archive

• Sélection des individus (création de la réserve d’accouplement) puis sélection des parents (par paires ou plus)

• Nouvelle génération• Croisement

• Mutation

• Insertion


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Codage de l’information

• Codage binaire :• La solution est codée sur une chaîne

binaire

• Avantage : grande quantité de croisements possibles, la chaîne binaire étant la plus longue possible

• Inconvénient : codage parfois peu naturel

• Codage d’ordre supérieur :• La solution est codée à l’aide de 3 ou

plus caractères.

• Avantage : plus naturel à coder

• Inconvénients : plus l’ordre de codage est grand, plus les possibilités de croisement sont faibles


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Sélection des individus

• Par rang : • les meilleurs sont sélectionnés pour

faire partie de la réserve d’accouplement

• Probabilité de sélection proportionnelle à l'adaptation : • à chaque individu est associé un

poids proportionnel à son adaptation. Un tir aléatoire permet de sélectionner, en fonction des poids.

• Par tournoi : • on créé des paires d’individus

(plusieurs méthodes). On sélectionne le meilleur de la paire

• Sélection uniforme : • sélection aléatoire uniforme


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Les croisements

• En 1 point :• Chaque chromosome est

coupé en un point et l’enfant reprend chaque partie des parents. Le point de pivot est choisi au hasard

• En deux (ou plus) points• L’enfant est généré à

partir de plusieurs parties des codes génétiques des parents


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La mutation

• Chaque gène possède une probabilité de muter, càd, d’être régénéré aléatoirement

• Taux de mutation généralement faible, de l’ordre de 0,05 à 0,1

• Participe à l’évolution de la population (évitement minimum local)


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Problèmes d’optimisation : sac à

dos

• Maximiser la valeur chargée

dans le sac à dos

• Respecter le poids

maximum

• Utilisé pour le chargement

des avions


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Problème du voyageur de

commerce

• Etant donné une liste de villes

• Déterminer le chemin le plus court qui:

• Visite chaque ville une seule fois

• Revient à son point de départ

• Pour 71 villes ?


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Les 7 ponts de Koenigsberg

• Comment passer sur

les 7 ponts une seule

fois

• Extension du voyageur

de commerce

• Problème résolu par

Euler


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Problème n°1

• Sachant

• En utilisant la condition d’optimalité de KKT, trouver xqui minimise f.

• Pour cela, poser le problème sous la forme Au=b avec :

• Puis résoudre le problème numérique sous Matlab


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OPTIMISATION MULTI-

OBJECTIFS

POMO : Problèmes d’Optimisation Multi Objectifs (MOOP)


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Introduction

• Comment trouver une solution optimale

quand plusieurs objectifs s’opposent ?

• Temps de parcours-sécurité

• Economie d’énergie- temps de parcours

• …

• A la recherche du compromis


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Optimisation multi-objectifs

• Minimiser ou maximiser f(x)

• F (x)=(F1(x), F2(x),…,Fm(x))T, m=1,2,…,M

• Sous les contraintes suivantes :

• Gj(x)>=0, j=1,2,…,J (XLi< Xi < XU

i, i=1,2,…,n)

• Hk(x)=0, k=1,2,…,K

• M est le nombre d’objectifs, n le nombre de variables, J+K le nombre de contraintes


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Espace de décision, espace

objectifs

• L’espace de décision est l’espace contenant

les solutions dans ses dimensions physiques

(variables)

• L’espace des objectifs est l’espace contenant

les valeurs des objectifs pour chaque


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Dominance de Pareto

• Une solution x1 domine une solution x2 si :• La solution x1 est au moins égale à

x2 selon tous les objectifs• Fi(x1)≤ Fi(x2) pour tout i

• La solution x1 est strictement meilleure que x2 sur, au moins, un objectif

• Il existe j tel que Fj(x1)≤ Fj(x2)

• Les solutions dominantes se décomposent en :• Solutions dominantes fortes : une

solution x1 domine fortement x2 si x1est strictement meilleure que x2selon tous les objectifs

• Solutions dominantes faibles : L’ensemble des solutions non fortement dominées


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Front de Pareto

• On définit l’ensemble des solutions Pareto optimales comme la frontière de l’espace des objectifs sur laquelle se trouve l’ensemble des solutions non-dominées


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Objectifs de l’optimisation multi-

objectifs

• Trouver les

solutions les plus

proches du front de

Pareto

• Trouver les

solutions les plus

variées possibles


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Solutions particulières : vecteur

idéal

• Le vecteur idéal z

(défini dans l’espace

objectifs) est celui

dont chaque

composante (zi) est

la valeur minimale de

l’objectif

correspondant (fi(x)) z1

z2

f1

f2


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utopique

• Le vecteur utopique

possède des

composantes

légèrement inférieure

à celles du vecteur

idéal

• Zutopiquei=Zideal

i-εi

z1

z2

f1

f2

ε1

ε2

Point utopique

Point idéal


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nadir• Le vecteur nadir z

(défini dans l’espace objectifs) est celui dont chaque composante (zi) est la valeur maximale de l’objectif correspondant (fi(x)) pour x appartenant à l’ensemble des solutions Pareto-optimales z1

z2

f1

f2

Point utopique

Point idéal

Point nadir


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MOOP convexes et non

convexes

• Fonction convexe :

• MOOP convexe : MOOP dont toutes les

fonctions objectifs sont convexes


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Méthodes de résolution

• Par scalairisation ou par préférence :

• Une seule fonction objectif composite est

générée à partir des différentes fonction

objectifs

• F(x)=g(f1(x),…,fm(x))

• Méthode idéale

• Trouver l’ensemble des solutions optimales

• Choisir une solution à l’aide d’information haut

niveau.


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Méthodes de résolution :

scalairisation• Linéaire :

• Somme de poids• F(x)=∑wi.fm(x)

• Problème : ne peut pas trouver l’ensemble du front de Pareto dans des problèmes non convexes

• ε-contraint : • Fixer tous les objectifs sauf un qui varie.

• Linéaire avec métrique : • Utiliser le vecteur idéal pour « attirer » les

solutions

• Utiliser un vecteur quelconque (Benson)

• Non linéaire : • La fonction de coût globale est une fonction des

fonctions de coûts de chaque objectif

• Problème : nécessite une forte connaissance des objectifs

• Méthode interactive : • Les solutions sont présentées à un opérateur qui

dirige la direction de la recherche de solution


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Méthode idéale : Strength Pareto

Evolutionnary Algorithm : SPEA 2• Algorithme évolutionniste

qui vise à maximiser la densité des solutions.

• Diffère d’un AG uniquement sur l’adaptation

• L’adaptation des solutions dépend uniquement de leurs caractères de dominance et de leur densité


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SPEA2 : Détermination de

l’adaptation

• Evaluation totale :

• brute + densité

• Evaluation brute

• Densité


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Méthode idéale : Non-dominated

Sorting Genetic Algorithm,

NSGA2

• Adaptation des solutions :

• en fonction de leur front d’appartenance

• en fonction de la distance entre les solutions


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PLANIFICATION MULTI-

OBJECTIFS


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Objectifs

• La planification multi-objectifs vise à utiliser l’optimisation multi-objectifs dans le but de planifier un trajet, des manœuvres ou des commandes en tenant compte de plusieurs objectifs.

• Des informations de haut niveau sont nécessaires : issues du style du conducteur ou d’une gestion supervisée


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Quels objectifs ?

• La sécurité

• Le bruit

• Le trafic

• La consommation d’énergie

• Les émissions de GES

• La pollution

• Le confort


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Pression sociale

• Baisse continue du

nombre de décès

sur les routes

européennes

• Mais objectifs

contraignants

Identifying the causes of road crashes in Europe, Pete Thomas, Andrew Morris, Rachel Talbot, Helen Fagerlind, Annals of Advances in Automotive Medicine


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Pressions de la régulation

• Normes

d’émissions :

• Contraintes de plus

en plus fortes

• COP21 :

• Limiter le

réchauffement

climatique à 2°C en

visant 1,5°C

Historical fleet CO2 emissions performance and current or proposed passenger vehicle standards (ICCT, International Council on Clean Transportation):


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Effet des congestions• Retards : pèse sur l’économie

• Stress : les usagers de la route perdent le contrôle (risques d’accident)

• Pollution, consommation :• Consommation de carburant US (IEA)

• En France, 55% des émissions de GES sont dues aux véhicules légers (source : MEDDE)

• Gêne aux services d’urgence


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Une vulgarisation de

l’écoconduite

Peu d’énergie atteint la

roue et les conducteurs

la gaspille !

L’écoconduite =

cuisine des restes


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Définition de l’écoconduite :

proposition• L’écoconduite est, à chaque instant, une optimisation multicritère

(consommation d’énergie, confort, temps de parcours,…) des

différentes tâches de conduite (navigation, guidage, stabilisation)

sous contraintes de sécurité.


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Application du problème de

planification multi-objectifs

• Poser le problème de planification revient à :

• définir le but à atteindre

• définir les variables à planifier

• définir les objectifs (évaluation, adaptation)

• définir les fonctions de coût de chaque objectif

• définir les contraintes

• réduire l’espace de décision


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APPLICATION :

PLANIFICATION DE

TRAJECTOIRE


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But à atteindre

• Planifier les positions, vitesses et accélérations

longitudinales et latérales en fonction du temps

ou de l’abscisse curviligne, d’un véhicule d’un

point A à un point B sur sa voie de circulation

sans véhicule à l’avant.V

dA B


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Positionnement du problème

• Application à la planification de la vitesse en fonction de l’abscisse curviligne, d’un véhicule thermique, d’un point A à un point B sur sa voie de circulation sans véhicule à l’avant.

• Deux positionnement du problème possibles :• Continu

• Discret

V

dA B

V

dA B


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Les variables à optimiser

• Cas discret (après discrétisation de l’espace) :

• l’ensemble des vitesses V(t)

• l’ensemble des vitesses V(d)

• l’ensemble des distances d(t)

• Cas continu : dépendant des fonctions choisies maisau minimum :

• accélération à l’origine

• vitesse de croisière

• décélération tolérée


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Discrétisation de l’espace de

décision

V

dA B


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Définition des objectifs

(exemples)

• Avoir des objectifs contradictoires

• Minimiser le temps de parcours

• Maximiser la vitesse moyenne

• Minimiser la consommation de carburant

• Telle que définie à partir d’un modèle de consommation de carburant dépendant de la vitesse


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Définition des contraintes

• V(d)≥0

• A ≤ d ≤ B

• Vitesse initiale : V(A)=0

• Vitesse finale : V(B)=0

• Vitesse limite : [V(A),V(A+dd),V(C)]=V1

• Vitesse limite : [V(C),V(C+dd),V(B)]=V2

• Accélération maximale (phases d’accélération et de freinage) : • limité par le jerk maximal

• limite la variation de vitesse

• Accélération latérale maximale• déduite du rayon de courbure et du dévers

• limite la vitesse

• Présence d’éléments de l’infrastructure• Intersections (stop, cédez-le-passage, rond-point, feu tricolore, dos

d’âne, passage piéton)


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Réduction de l’espace de

décisionV

dA B


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Problème 2 : planification de

vitesse• En utilisant la méthode de l’ε contraint, tracer le front de

Pareto (Temps, Consommation) pour un véhicule parcourant une distance D de 4 km à vitesse constante V.• Définir les objectifs et leurs unités.

• Définir la ou les variables.

• Définir le positionnement du problème. Donner les avantages et inconvénients des problèmes discrets et continus.

• Définir les fonctions de coût.

• Définir les contraintes sur les variables.

• A l’aide de la fonction de coût fournie, résoudre le problème sous Matlab.

• Choisir l’objectif à contraindre

• Faire varier cet objectif pas à pas puis en déduire la valeur optimale de la vitesse

• Tracer les couples Temps, Consommation obtenus

• Décrire sur le graphique le front de Pareto, les solutions dominantes et dominées


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Pour aller plus loin• Adrian M. Owen, Cognitive planning in humans: Neuropsychological,

neuroanatomical and neuropharmacological perspectives, Progress in Neurobiology, Volume 53, Issue 4, November 1997, Pages 431-450, ISSN 0301-0082

• Nonlinear Multiobjective optimization, Kaisa Miettinen, Springer Science + Business Media, LLC, ISBN 978-1-4613-7544-9, 1999

• Multi-objective optimization using evolutionnary algorithms, Kalyanmoy Deb, Wiley, ISBN 0-471-87339-X, 2002

• Planning algorithms, Steven M. LaValle, University of Illinois, http://gamma.cs.unc.edu/courses/planning-f07/PAPERS/Lavalle-Planning.pdf

• Identifying the causes of road crashes in Europe, Pete Thomas, Andrew Morris, Rachel Talbot, Helen Fagerlind, Annals of Advances in Automotive Medicine

• Road users and accident causation. Part 1: Overview and general statistics, Deliverable 1.1, Project No. FP6-2004-IST-4 027763

• Méthodes de l’AG, Vincent Magnin, http://magnin.plil.net/spip.php?article45

• http://quicklatex.com/

• SPEA2: Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm, Eckart Zitzler, Marco Laumanns, and Lothar Thiele, TIK-Report 103, 2001, http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:24689/eth-24689-01.pdf

• A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm: NSGA-II, Kalyanmoy Deb, AssociateMember, IEEE, Amrit Pratap, Sameer Agarwal, and T. Meyarivan, IEEE transactions on evolutionary computation, vol. 6, no. 2, april 2002

http://magnin.plil.net/spip.php?article45

http://quicklatex.com/

http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:24689/eth-24689-01.pdf

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