OPTIMISASI bab2 dan3

7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3

1/34

llrrb

2

I'ITOGRAI\{A

LINIER

3.1

Pengertlan

Umum

l'r'ograma

linier

yang

diter.lemahkan

dari

Linear Programming

tl,l')

adalah

suatu cara untuk

menyelesaikan

persoalan

peng-

lLrkrrsian

sumber-sumber

yang

terbatas

di

antara

beberapa akti-

vllrrs yang

bersaing, dengan cara

yang

terbaik

yang

mungkin

di-

lnkukan. Persoalan

pengalokasian

ini

akan

muncul

manakala

se-

-snonrng

harus

memilih

tingkat aktivitas-aktivitas tertentu

yang

lrrsning

dalam

hal

penggunaan

sumber daya langka

yang

di-

lrrt[uhkan

untuk

melaksanakan

aktivitas-aktivitas

tersebut.

Be-

lrnrnpa

contoh situasi dari

uraian

di

atas antara

lain ialah

per-

eonlan

pengalokasian

fasilitas produksi,

persoalan

pengalokasian

surnber

daya

nasional

untuk

kebutuhan

domestik, penjadwalan

pro


2/34

dengan

harga

Rp

27.0004usin

yang

setiap

nusinnya

memerlukan

biaya

material

sebesar

Rp

10.000

serta

biaya

tenaga

kerja

sebesar

Rp

14.000.

Kereta

api

yang

dijual

seharga

Rp

21.000/lusin

me-

mlrlukan

biaya

material

sebesar

Rp 9.000

dan

biaya

tenaga

kerja

sebesar

Rp

10.000.

untuk

membuat

boneka

dan kereta

api

ini

di-

perlukan dua

kelompok

tenaga

kerja,

yaitu

tukang

kayu

dan

iukang

poles.

Setiap

lusin

boneka

memerlukan

2

jam

pemolesan

dan

i

jam

pekerjaan

ka,ru, sedangkan

setiap

lusin

kereta

api

memerlukan

l

jam

pemolesan

dan

1

jam

pekerjaan

kayu.

Meski'

pun

pada

setiap

minggunya

perusahaan

ini

dapat

memenuhi

se-

iu"rrt

material

yang

diperlukan,

jam

kerja

yang

tersedia

hanya

100

jam

untuk

pemolesan

dan

80

jam

untuk

pekerjaan

kayu'

Dari

pengamatan

pasar selama

ini

dapat

dikatakan

bahwa

kebutuhan

atai

tereta

api

tidak

terbatas,

tetapi

untuk

boneka

tidak

lebih

dari

40

lusin

yang

terjual

setiap

minggunya.

Bagaimanakah

formulasi

dari

persoalan

di

atas

untuk

mengetahui berapa

lusin

jenis

mainan

masing-masing

yang

harus

dibuat

setiap

minggu

agar

diperoleh

keuntungan

yang

maksimum?

-

DJam

membangun

model

dari

formulasi

persoalan di

atas

akan

digunakan

karakteristik-karakteristik

yang biasa digunakan

dalam

persoalan

programa

linier,

yaitu:

a. Variabel

kePutusan

Variabel

keputusan

adalah

variabel

yang

menguraikan

secara

lengkap

keprrtusan-keputusan

yang

akan

dibuat.

Dalam

persoalan

ini,

variabel

keputusan

akan

menentukan

berapa

banyak

boneka

dan

kereta

api

masing-masing

harus

dibuat

setiap

minggunya'

Misalkan:

xl

=

banyaknya

boneka

yang dibuat

setiap

minggu

xz

=

banyaknya

kereta

api

yang dibuat

setiap

minggu

b.

Fungsi

tujuan

Fungsi

tujuan

merupakan

fungsi

dari

variabel

keputusan

yang

akan

dimaksimumkan

(untuk

pendapatan atau

keuntungan)

atau

diminimumkan

(untuk

ongkos)'

Pada

persoalan

ini akan

di-

maksimumkan

(pendapatan/minggu)

-

(ongkos

materiaVmingeu)

-

(ongkos

tenaga

kerja/minggu)'

18

Pendapatan

dan ongkos-ongkos

ini

dapat

diekspresikan

dengan

menggunakan

variabel

keputusan xr

dan

xz sebagai

berikut:

Pendapatan/minggtr

=

pendapatan/minggu

dari boneka

+

pen-

dapatan/minggu

dari

kereta

api

=

27

xt +

Zlxz

Ongkos

materiaVminggu

=

10

xr +

9

xz

Ongkos

tenaga

kerja/minggu

=

14 xr

+

10 xz

eehingga

yang

akan dimaksimumkan

adalah:

(27

xr

+

21 rz)-

(10

xr

+

9 xz)-

(14

xr

+

10

xz)

=

3

xl

*

2 xz

(latatan:

ongkos

dan

pendapatan

dalam

ribuan

rupiah.

Untuk

menyatakan

nilai

fungsi tujuan

ini

akan digunakan

varia-

lxrl

z

sehingga

fungsi

tujuannya

menjadi:

Maksimumkanz=3xl

*2x2

(..

Pembatas

Itrmbatas

merupakan kendala

yang

dihadapi sehingga kita

tidak

blsa menentukan harga-harga

variabel

keputusan

secara

sem-

lxrrang. Pada

persoalan

di

atas

ada

3

pembatas

yang

kita

hadapi,

ylri[u:

I'ombatas

1:

Setiap

minggu

tidak

lebih

dari 100

jam

waktu

pe-

molesan

yang

dapat digunakan

l'ombatas

2: Setiap minggu

tidak

lebih

dari 80

jam

waktu

pe-

ngerjaan kayu

yang

dapat digunakan

Pombatas

3:

Karena

permintaan

yang

terbatas, maka

tidak

lebih

dari

40

lusin boneka

yang

dapat dibuat setiap

minggu.

Jumlah

material yang

dapat

digunakan

di-

asumsikan

tidak

terbatas

sehingga

tidak

ada

pem-

batas untuk

hal

ini.

ii.lrln;,r1nt",

ekspresihan

pembatas-pembatas

itu ke dalam

xr

'lnrr

x2

sebagai

berikut:

lrrrrn[a1ur

t'

2

xr

+

rz S

100

l'r'rnbatas

2: xr

+

xz

0

Dengan demikian,

formulasi lengkap

dari

persoalan

Pl

Sayang

Anak

adalah:

Maksimumkan

z=3xl

+2xz

berdasarkan

2xt

+

xz

b

*lnlrrh

ketidaksamaan

linier.

Sebagai

contoh,

2xr

+

3xz

,l lrrr krnlah

ketidaksamaan

linier.

?.?

Model Programa

Linier

I'n,ln contoh

persoalan

Pt Indah

Gelas

terdapat

tiga

buah sumber

l.r lrrrt,ns

(yaitu

kapasitas

produksi

pada

ketiga

pabrik)

yang

harus

'ltnl,rknsikan

di

antara

dua aktivitas

yang

bersaing

(yaitu

dua

rur('nrn

produk

baru

yang

dipesan).

Sekarang,

bagaimana

jika

ada

d.llurnhlh

(katakan

m buah)

sumber

yang

terbatas

yang

harus

,linlrklsikan

di

antara sejumlah

(katakan

n

buah)

aktivitas

yang

l,,tr

rttittg?

z=3xl+5x2

x1

2xz

150

200

300

Departemen

Jam kerja

maksimum

per

minggu

Tingkat

produksi (uniVjam)

komp.

1 komp.2

komp. 3

1

2

100

80

8

6

5

12

10

4

33


10/34

Secara

matematis,

persamaan

ini

dapat

diganti

dengan:

Maksimumkan

Y

berdasarkan

Pembatas:

Sxtr+

6xzr>Y

Sxtz

+

L?xzz?

I

10xrs+

4xzs

>Y

dimanaY>0.

Dengan

demikian,

model

lengkap

dari

persoalan

ini dapat

kita

nyatakan

sebagai:

Maksimumkan

z

=

Y

berdasarkan

Pembatas:

8xu+6xzr-

y:0

5x

+LZx

Y

10xrs+

4xzs-

y

xll+

xLz +x130

2.5 Soal

1.

sebuah

perusahaan elektronik

memproduksi

tape

recorder

dan

arnpiift.er

yar.g

prosesnya

dilakukan

di

dua

stasiun

kerja,

yaitu perakitan

dan pengetesan.

Setiap

wittape

record'er

me-

merlukan

2

jam

perakitan dan

2

jam

pengetesan,

sedangkan

setiap

unit

arnplifier

memerlukan

4

jam

perakitan

dan

3

jam

p"rrglte"utt.

Waktu

yang tersedia

di departemen

perakitan

uauur,

72

jam/minggu

sedangkan

di

departemen

pengetesan

adalah

48

jam/minggu.

Kontribusi

profit

dari

tape

recorder

adalah

Rp

25.000/unit,

dan

dar.i

setiap

unit

anzplifier

adalah

Rp

50.000.

Bagaimanakah

formulasi

persoalan

di

atas

agar

dapat

ditentukan

strategi

produksi

terbaik

yang

memberikan

kontribusi

Profit

maksimum?

34

Sebuah

perusahaan

membuat 2

jenis

produk,

A

dan

B.

Harga

jual

produk

A

adalah

Rp 20.000/unit

sedangkan

produk

B

dijual

dengan

harga

Rp

30.000/unit.

Untuk

membuat

1

unit

produk

A

dibutuhkan

waktu

2

jam-orang

(man-hour),

sedang-

kan

untuk

I

unit

produk

B

diperlukan

6

jam-orang.

Jumlah

pekerja

adalah

2

orang,

masing-masing

bekerja

8

jam/hari

termasuk

istirahat

selama

30 menit.

Untuk

1

unit A

di-

butuhkan

6 kg

bahan

baku,

sedangkan

setiap

unit B

mem-

butuhkan

3

kg

bahan

bakrr.

Harga

per

kg

bahan

baku

adalah

Itp

1.500.

Upah

pekerja

per

jam-orang

adalah

Rp

2.000.

Jika

bahan

baku

yang

tersedia

per

hari

adalah

40 kg,

bagai-

rnanakah

formulasi

persoalan

ini

agar diperoleh

kontribusi

grrofit

maksimum?

.Scorang petani

yang

memiliki

7

ha

tanah

sedang

memikirkan

lrt'rapa

ha tanah

yang

harus ditanami jagung

dan

berapa

ha

vnng

harus

ditanami

gandum.

Dia

mengetahui

bahwa

jika

di-

l,nnami

jagung,

setiap

ha

tanah

akan menghasilkan

10

ton

jugung.

Untuk ini

diperlukan

4

jam-orang

setiap minggunya.

,lika

ditanami

gandum,

hasilnya

adalah 25

ton/ha

dan

di-

;rcrlukan

10

jam-orang/minggu.

Setiap kg

jagung

dapat

dijual

aoharga

Rp

30, sedangkan

harga

jual

gandum

adalah

Rp 40/

hg.

Saat

ini

petani

tsb. hanya

memiliki

40

jam-orang

setiap

rninggunya.

Karenb

ada

peraturan

pemerintah

yang

meng-

lurruskan

setiap

petani

untuk

menghasilkan gandum

paling

gltlikit

30

ton

setiap kali

panen,

bagaimanakah

formulasi

per-

sunlnn

ini

agar

petani

tsb. dapat menggarap

tanahnya

secara

llrl,irnal?

lir,ornng pedagang

buah-buahan

membeli

buah

dukuh

dari

B

nlnng

petani.

Kualitas

buah

ini

biasa dinyatakan

dengan

lr,srrrny&,

dan

diklasifikasikan

dalam

B

kategori, yaitu

besar,

q.rlrng,

dan

kecil. Berikut ini

adalah

data harga

dan

per-

c*'rrl.n.se

ukuran buah

yang

dimiliki

oleh

masing-masing pe-

lrrtri:

35


11/34

IGbutuhan

minimum

pedagang

tsb'

akan

masing-masing

kua-

iit".

U.r"t,

setiap

bulainya

adalah

ukuran

besar

500

kg,

ukur'

rr,

,"aurrg

300

tg,

dan

uku"a"

kecil

300

kg' Modal

perusaha-

an

itu

.*t

irri

hanya

mampu

untuk

membeli

maksimum

500

kg

dari

masing-masing

petani'

Formulasikanlah

persoalan

ini

untuk

meminimumkan

ongkos'

5.

Seseorang

yang sedang

dalam

pengawasan

seorang

aili

gizi

mendapat

petunjuk

bahwa

kebutuhan

minimal

orang

tersebut

setiap

iarl

ailalah

500

kalori,

6

ons

cokelat'

10

ons

gula'

dan

8 orrs

lemak.

Saat

ini

orang

tsb'

'sedang

berada

di

suatu

iempat

yang

hanya

menyediakan-kue

kering'

es

krim'

Coca

Cola,

dan

roti

keju'

Harga

dan

kandungan

bahan

masing-

masing

makanan/minuman

tsb'

adalah

sebagai

berikut:

Harga/kg

(Rp)

Persentase

untuk

ukuran

(%)

Besar

Sedang

Kecil

Petani

I

Petani

2

Petani

3

s-000

4.000

3-000

40

30

20

40

35

20

20

35

60

lalui

unit

kerja

perakitan

dan

pengecatan.

Apabila unit kerja

pengecatan

hanya digunakan

untuk mengerjakan

truk

jenis

I,

maka akan

dapat

dihasilkan

800

unit

truk

jenis

I

per

hari,

tetapi

jika

hanya

digunakan

untuk

mengerjakan

truk

jenis

II,

hasilnya

adalah

700 unit truk

jenis

II.

Apabila

unit kerja

pe-

rnlritan

hanya

digunakan

untuk

mengerjakan

truk

jenis

I,

akan

dihasilkan

1.500 unit truk

jenis

I

per

hari,

sedangkan

jika

hanya

digunakan

untuk

mengerjakan

truk

jenis

II

akan

dihasilkan

1.200

unit truk

jenis

II

per

hari.

IGuntungan

dari

truk

jenis

I

adalah

Rp

300.000/unit, sedangkan dari

jenis

II

akan

diperoleh

keuntungan sebesar Rp 500.000/unit. Bagai-

manakah

formulasi

persoalan

ini

agar diperoleh keuntungan

yang

maksimum?

Seorang

pengusaha yang

memiliki

3

buah

pabrik

sedang

menghadapi

masalah

yang berkaitan

dengan

pembuangan

limbah

dari

pabriknya.

Selama

ini ia membuang

limbah

tsb.

ke sungai

sehingga

menimbulkan dua

macam

polutan.

Se-

tolah

berkonsultasi

dengan

pihak

berwenang,

diperoleh in-

formasi

bahwa

ongkos untuk

memproses

zat

buangan dari

lrnbrik

I

adalah Rp

15.000/ton

dengan kemampuan

dapat

me-

ngurangi

polutan

I

sebanyak 0,1

ton

dan

polutan

2 sebanyak

0,46

ton dari

setiap 1

ton

zat

buangan.

Ongkos

untuk

mem-

l)roses

zat

buangan dari

pabrik

II

adalah

Rp

10.000/ton

dongan kemampuan mengurangi 0,2

ton

polutan

1 dan

0,25

l,on

polutan

2.

Untuk

memproses 1

ton

zat

buangan dari

grnbrik

III

diperlukan

biaya Rp

20.000

yang akan mengurangi

0,4

ton

polutan

1

dan 0,3 ton

polutan

2.

Peraturan

pe-

rnorintah

mengharuskan

perusahaan

ini

untuk dapat me-

rrgurangi

polutan

I

paling

sedikit

30

ton

dan

polutan

2

paling

Eorlikit

40

ton.

Formulasikan

persoalan ini

agar

diperoleh

nngkos

total minimum.

agaimanakah

formulasi

untuk

memenuhi

kebutuhan

hian

makanan

dengan

biaYa

minimum?

Indah

Motor

ailalah

sebuah

perusahaan

yang

memproo

dua

jenis

truk.

Setiap

jenis

truk

yang dibuatnya

harus

36

37


12/34

Bab

3

TEKNIK PEMECAIIAN

MODEL

PROGRAI\{A

LINIER

Pada

dasarnya,

metode-metode

yang

dikembangkan untuk me-

mecahkan

model

programa

linier

ditujukan

untuk

mencari solusi

dari

beberapa

alternatif solusi

yang

dibentuk oleh

persamaan-

persamaan pembatas

sehingga

diperoleh

nilai fungsi tujuan

yang

optimum.

Ada

dua

cara yang

bisa digunakan

untuk

menyelesaikan

per-

soalan-persoalan

programa

linier

ini,

yaitu

dengan cara

grafis

dan

dengan

metode

simpleks.

Cara

grafis

dapat

kita

pergunakan apabila

persoalan

pro-

grama

linier

yang

akan

diselesaikan

itu

hanya

mempunyai

dua

buah variabel

(lihat

Bab 2).

Walaupun demikian,

cara ini

telah

memberikan

satu

petunjuk

penting

bahwa

untuk

memecahkan

persoalan-persoalan

programa

linier,

kita

hanya'

perlu

memper-

hatikan

titik

ekstrem

(titik

terjauh)

pada

ruang solusi atau

daerah

fisibel. Petunjuk

ini

telah

menjadi

kunci

dalam

me-

ngembangkan

metode

simpleks.

Metode simpleks

merupakan

teknik

yang

paling

berhasil

di-

kembangkan

untuk

memecahkan

persoalan programa

linier

yang

mempunyai

jumlah

variabel

keputusan

dan

pembatas

yang

besar.

Algoritma

simpleks

ini

diterangkan

dengan menggunakan logika

secara aljabar

matriks, sedemikian

sehingga

operasi

perhitungan

dapat

dibuat lebih efisien.

3.1

Solusi Grafis

Untuk

mencari

solusi

suatu

persoalan

programa

linier

dengan

cara

grafis,

berikut

ini

dikemukakan dua buah

contoh,

yaitu

per-

soalan maksimasi dan minimasi.

38

:l.I-7

Solusi

grafis

untuh

persoala.n

mahsima.si

l'crhatikan

kembali contoh

soal

PT

Indah

Gelas.

Pada prosedur

grafis

ini

kita

harus

membuat

grafrk

ber_

rlirnensi

dua dengan

xr

dan xz

sebagai

sumbu-sumbunya.

Langkah

lrcrtama

ialah

mengidentifikasi

harga-harga

(xr,

xz)

yang

me-

rnr:nuhi

pembatas-pembatas

yang

ada dengan

cara

menggambar_

krrn

garis-gBris

yang

harus

membatasi

daerah

harga-harga

yang

rliperbolehkan.

Ingat

bahwa

adanya

pembatas

nonnegatif

xl

>

0

rlnn x2

>

0

akan menyebabkan

(x1,

xz)

harus

berada

pada

sisi

positif

dari

sumbu-sumbunya

(pada

kuadran

I).

Setelah itu,

per_

lrrrfikan

bahwa

pembatas

xt

28

2xr+ l2xz> 24

xl20,x2>0

EDaerah*

Daerah fisibel

tidak

terbalae

(unbounded)

nsrDt

:

Titik

optimum:

E

Solusioptimum:

x

-3,6;xr

1,4

z-32

c E

tol2

14

S.2

Kasus Khusus

llun

contoh

soal

yang

telah

dibahas dengan cara

grafis

di atas

nrnrnpunyai hanya

satu solusi optimal.

Akan

kita lihat

berikut

ini

lrnlrwn ada

persoalan

programa

linier

yang

mempunyai kasus

llnrrus

seperti:

I

Mompunyai solusi

optimal

yang

tidak

terbatas, biasa disebut

juga

mempunyai

solusi

alternatif

atau

bersolusi

optimal

lxrnyak.

I

'l'idak

mempunyai

solusi

frsibel

atau

persoalan programa

li-

rrit:r yang

infisibel.

fl Mempunyai

ruang

solusi

yang

tidak

terbatas,

yaitu

kasus

di

rnnna

ada

titik-titik

pada

daerah

frsibel

dengan

harga

z

yang

enngat besar

(pada

persoalan

maksimasi).

llJ

-l

Solusi

alternatif

atau

solusi

optimal

banyah

I'ttttloh:

Mlksimumkan

z=3xl+2xz

lxrrdasarkan

(U40)

xt

+

(V60)

xz

0

Solusi

grafis

dari

persoalan

ini

adalah:

Tidak ada ruang

fisibel sehingga

tidak

ada solusi

optimal

10

20

30

40 50

60

Gambar

3.5:

Tidak

ada

ruang fisibel

3.2-?

Persoalan programc

linier.

dengon

ruang

solusi

yang

tidale

terbatqs

(unbounded)

Kasus ini

terjadi

apabila ruang

solusi

tidak tcrbatas

-sehingga

nilai

fungsi

tujuan

dapat

meningkaVmenurun

sccar.a

tid:rk

ter-

44

l,nlnH.

l)ada umumnya,

kasus

ini

terjadi

karena kesalahan dalam

rrrl

r r r

li rrmulasikan

persoalan.

t

't

trt

l

.

)lt:

Mrrksimumkan

z=2xt-xz

lrordasarkan

xl-x26

xl>0,

x2>0

Frlrrni

graflrs

dari

persoalan

ini

adalah:

,t

:l

llentuk

Standar

Model

Programa

Linier

lr-lrrlr rli[crangkan

pada

bab

di

muka

bahwa

model

programa

lintr,r

rrri

rlapat

memiliki

pembatas-pembatas

yang

bertanda

s,

=,

'* rrlrun

'.

Demikian

juga

variabel-variabelnya

yang

dapat berupa

Gambar

3.6:

Ruang

solusl

tldak terbatas

45


16/34

variabel

nonnegatif,

dapat

pula

variabel-variabel

yang

tidak

ter-

batas dalam

tanda

(unrestricted

in

sign).

Di

dalam

menyelesaikan

persoalan

programa

linier

dengan

menggunakan metode

simpleks, bentuk

dasar

yang

digunakan

haruslah

bentuk standar,

yaitu

bentuk

formulasi yang

memiliki

sifat-sifat

sebagai berikut:

1.

Seluruh

pembatas

harus

berbentuk

persamaan

(bertanda

=)

dengan

ruas kanan

yang

nonnegatif.

2.

Seluruh

variabel harus

merupakan

variabel nonnegatif.

3.

Fungsi

tujuannya

dapat

berupa

maksimasi

atau

minimasi.

Untuk mengubah

suatu bentuk formulasi yang

belum

standar

ke

dalam bentuk

standar

ini

dapat dilakukan

cara-cara

sebagai

ber-

ikut:

1.

Pembatas

(constraint)

a. Pembatas yang

bertanda

S

atau

>

dapat

dijadikan

suatu

persamaan (bertanda =)

dengan

menambahkan

atau

me-

ngurangi

dengan

suatu variabel

qlack

pada

ruas kiri

pem-

batas itu.

Contoh

1:

xt

+

2x2

5

karena

ruas

kirinya

tidak

lebih kecil

dari

ruas

kanan,

maka harus

dikurangkan

variabel

Sz

>

0

pada

ruas

kiri

sehingga

diperoleh

persamaan:

3xt

+

2xz-

3xg

-

52

=

5,

Sz

>

0

b.

Ruas

kanan

dari

suatu

persamaan

ilapat

d[iadikan

bilangan

nonnegatif

dengan

cara mengalikan

kedua

ruas

dengan

-1.

46

Contoh:

2xt

-

3xz

-

7xs

-

-5,

secara

matematis

adalah

sama

dengan

-2xt

+

3xz

+

7:$

=

5.

(:.

Arah

ketidaksamaan

dapat

berubah

apabila

kedua ruas

dikalikan

dengan

-1.

Contoh:

2

-4

Zxt

-

rz

5

tl.

Pembatas

dengan

ketidaksamaan yang

ruas

kirinya

ber-

ada dalam

tanda mutlak

dapat

diubah menjadi

dua ke-

tidaksamaan.

Contoh

1:

untukb>0,larxr+

azxzl

dengan

alxr

+ azxz

s

b

dan alxl

+

azxz

>

-b.

Contoh

2:

untuk e

)

0,

I prxr

+ pzx2l

>

q

adalah

sarna

dengan

prxr

+

p2x2

>

q

atau

prxr

+

pzx2

S

-q.

Variabel

Huntu

variabel

yi yang

tidak terbatas

dalam

tanda

dapat

di-

lr.yntakan

sebagai

dua

variabel nonnegatif

dengan mengguna-

hnn

substitusi:

y,

=

yi'-

yi"

di

mana

yi

dan

yi"

>

0

Hubstitusi

seperti

ini harus

dilakukan

pada

seluruh

pembatas

rlnn

fungsi

tujuannya.

h'ttrtgsi

tujuan

Wnlrrupun

model

standar

programa

linier

ini

dapat

berupa

irrnksimasi

atau minimasi,

kadang-kadang

diperlukan

per-

ttlurhnn

dari satu

bentuk ke

bentuk lainnya.

Dalain

hal ini,

rrrnksimasi

dari

suatu

fungsi

adalah

sama dengan minimasi

rlari

ncgatif

fungsi

yang

sama.

l'rrrrloh:

Maksimumkan

z=lxL

+

2x2

a

gs3

Er,('nnr

matematis

adalah

sama dengan:

rninimumkan

(-z)

=

-5x1 -

2xz

-

3xe

47


17/34

3.4

Metode

Slmpleks

Metode

simpleks

merupakan

prosedur

aljabar

yang

bersifat ite-

ratif,

yang

bergerak

selangkah

demi

selangkah,

dimulai

dari

suatu

titik

ekstrem

pada

daerah

fisibel

(ruang

solusi) menuju

ke

titik

ekstrem yang optimum.

Untuk

dapat

lebih

memahami

uraian

selanjutnya, berikut

ini

diberikan

pengertian

dari

beberapa

terminologi

dasar

banyak digunakan dalam

membicarakan

metode

simpleks. Untuk

itu,

perhatikan

kembali

model

programa

linier berikut ini:

Maks.

atau min.:

z

=

cr xt

+

c2

xz

+

...

*

cn

Xn

berdasarkan:

a1l

xl

+

a:rzx2

+

...

+ &ln

xn

=

bl

A2I xI

+

a22

xZ

+

...

+ a2n

xn

=

b2

8m1

xl

*

8;r'rr2

x2

+

...

*

Zlm. Xn

=

bm

xi

>

0

(i

=

1.,

2,

...,

n)

Jika

kita

definisikan:

llntuk mendapatkan

solusi

basis

dari

AX

-

b maka sebanyak

(n

-

m) variabel harus dinolkan. Variabel-variabel

yang

dinol-

krrn ini

disebut uariabel nonbasis

(NBV).

Selanjutnya,

dapat-

knn

harga

dari

n

-

(n

-

m)

=

m variabel lainnya

yang

me-

menuhi

AX

=

b,

yang

disebut uariabel

bosis

(BV).

I

Solusi basis frsibel

,lika

seluruh variabel

pada

suatu

solusi basis

berharga

non-

nogatif, maka

solusi

itu

disebut

solusi

basis

fi,sibe,

(BFS).

H Solusi frsibel

titik

ekstrerm

Ytng

dimaksud

dengan solusi

fisibel

titik ekstrem

atau

titik

rudut

ialah

solusi

frsibel

yang

tidak terletak

pada

suatu

a(lgmen

garis yang

menghubungkan dua

solusi

fisibel lainnya.

,lndi,

titik-titik

(0,0), (0,6),

(2,6),

(4,3),

dan

(4,0)

adalah solusi-

:olusi

fisibel

titik sudut

atau titik-titik

ekstrem

pada persoal-

nn

PT Indah Gelas,

Apabila

ada sejumlah

n

(n

< 3)

buah

va-

rirrbel keputusan,

maka

definisi

di

atas

tidak

cocok lagi

rrnluk

mengidentifikasi

solusi

fisibel

titik

sudut

(titik

t'kstrem)

sehingga

pembuktiannya

harus dengan cara al-

inbar.

Arle l,iga

sifat

pokok

titik ekstrem

ini,

yaitu:

Etfit

La:

Jika

hanya

ada

satu

solusi

optimum, maka

pasti

ada

satu

titik

ekstrem.

Hlltt l.b:

Jika

solusi optimumnya banyak, maka

paling

sedikit

ada

dua titik ekstrem

yang

berdekatan.

(Dua

buah

titik ekstrem dikatakan

berdekatan

jika

segmen

garis

yang

menghubungkan

keduanya

itu

terletak

pada

sudut dari

batas daerah

frsibel.)

Hanya ada

sejumlah

terbatas

titik ekstrem

pada

setiap

persoalan.

Jika

suatu

titik ekstrem

memberikan

harga

z

yang

lebih

baik dari

yang lainnya,

maka

pasti

solusi

itu me-

rupakan

solusi optimum.

iiifrrl

ll ini

menjadi

dasar

dari

metode

simpleks

yang

prosedurnya

*:nltlrrrl,i 3

langkah

sebagai berikut:

I l,rrngkah

inisialisasi: mulai

dari

suatu titik ekstrem

(0,0).

all 412 ...

81n

A2l a22...

a2n

8m1 &m2 ,,.

&mrr

x1

x2

br

bz

btt

A=

;

X=

;b=

dituliskan ke

m

persamaan

maka

pembatas

dari

model tersebut

dapat

bentuk sistem

persamaan

AX

=

b.

Perhatikan

suatu

sistem

AX

=

b

dari

dalam

n

variabel

(n

> m)

Definisi:

1.

Solusi basis

Solusi basis

untuk

AX

=

b

adalah solusi di

mana

sebanyak-banyaknya

m

variabel berharga bukan

nol.

48 49


18/34

2. Langkah

iteratifi

bergerak

menuju

titik

ekstrem

yang

lebih

baik. Langkah

ini

diulangi

sebanyak

diperlukan.

3.

Aturan penghentian:

memberhentikan

langkah

ke-2

apabi

telah

sampai

pada

titik

ekitrem

yang

terbaik

(titik

optimum).

Sebagai

ilustrasi,

kita

lihat kembali

persoalan

Pt

Indah

Gelas.

Algoritma

simpleks

dimulai dari

titik

A

(0,0)

yang biasa

sebut

sebagai solusi

awal

(starting

solution).

Kemudian

ber

ke

titik

sudut

yang

berdekatan,

bisa

ke

B

atau ke E.

Dalam

ini,

pemilihan

(B

atau E)

akan

bergantung

pada

koefisien

tujuan.

Karena

koefisien

xz lebih

besar

daripada xl,

dan

fu

tujuannya

maksimasi,

maka

solusi

akan

bergerak

searah

peningkatan

xz

hingga

mencapai

titik

ekstrem E.

Pada

titik

proses

yang

sama

diulangi

untuk

menguji

apakah

masih

ada

ti

ekstrem

lain yang

dapat memperbaiki

nilai

fungsi

tujuan.

titik ekstrem

D

(2,6)

memberikan

nilai fungsi

tujuan

yang

lebi

baik

daripada

titik

E

(0,6)

dan

titik

C

(4,3),

maka iterasi berhenti

dengan

titik

D

(2,6)

sebagai

titik

optimum.

Dengan

demikian,

ada

dua aturan

yang

berlaku

dalam

milih

titik ekstrem

yang

berikut

setelah

mencapai

suatu

ekstrem tertentu,

yaitu:

1. Titik

ekstrem

yang

berikutnya

ini

harus

merupakan

ekstrem

yang

berdekatan

dengan titik

ekstrem

yang

dicapai.

Sebagai contoh,

dari

titik A

tidak

bisa

langsung

ke

titik

D

atau

C

karena

mereka

tidak berdekatan.

2.

Solusi

ini

tidak

akan

pernah

kembali

ke

titik

ekstrem

telah

dicapai

sebelumnya. Misalnya

dari

E

tidak

akan

bali lagi

ke A.

Sebagai

ringkasan

dari

ide metode

simpleks ini ialah

bahwa

tode ini selalu

dimulai

pada

suatu

titik sudut fisibel,

dan

bergerak

melalui

titik

sudut

fisibel

yang

berdekatan,

masing-masing

titik

mengenai

optimalitasnya

sebelum

pada

titik lainnya.

Pada

persoalan

PT

Indah

Gelas diperlukan

iterasi

untuk mencapai

solusi

optimum,

yaitu

A,

E,

dan

D.

Untuk

mengekspresikan

ide

ini

dalam

konteks

simpleks;

diperlukan

suatu

korespondensi

antara metode

rlnn

metode

simpleks

mengenai ruang

solusi dan titik-titik

sudut

(

l,itik-titik

ekstrem)

sebagai berikut:

Tabel 3.1: Kgrespondensi

mei.ode

grafis

dengan metode simpleks

Mnkn, sebagai

ilustrasi dari representasi

ruang

solusi secara

al-

InLnr

ini, kita

lihat

lagi

persoalan

PT Indah

Gelas.

Bentuk

rlnnrlar model

persoalan

ini adalah:

Maksimumkan:

2

=

3xt

*

5xz+

OSr

+ OSz+OSg

lnrdasarkan

pembatas:

xl

+Sr

-

4

2xz

+Sz

=I2

3xr+2xz

+Sa-18

Xl, X2, 51, 52,

Sa > 0

Gambar

3.7:

Ruang

solusi

Pembatas-pembatas dalam

bentuk

standar

Solusi-solusi basis dari

bentuk

standar

50

5l


19/34

Setiap

titik

pada

ruang

solusi

di

atas dapat direpresentasikan

bagai variabel-variabel

xl,

x2,

St, 52,

dan

Sa dari

bentuk

nya. Jika

51

=

0,

maka

garisnya

adalah

x1

=

4 yang

presentasikan sudut BC.

Jika

Sr

>

0,

maka

titik-titik

frsibel

gerak

ke

arah

produk

1 dari ruang

solusi tersebut.

Dari

Gambar

3.7

di

atas

kita

juga

dapat

titik-titik ekstrem

secara

aljabar

sebagai berikut:

Tabel

3.2: ldentilikasl titik-Utik ekstrem

secara allabar

Dari

uraian di

atas,

ada dua

hal

yang

dapat kita

si

yaitu:

1. Karena bentuk standar

persoalan

ini memiliki 3

persam

pembatas

dengan 5 anu,

maka

setiap

titik ekstrem

pasti

miliki

sebanyak

2

(=

5

-

3) variabel

yang

berharga

nol.

2. Titik-titik

ekstrem

yang

berdekatan,

berbeda

hanya

pada

variabel.

Kesimpulan

pertama

menunjukkan bahwa

kita

dapat

identifikasi

titik-titik

ekstrem

suatu

ruang solusi

secara

dengan cara

mengenolkan

sebanyak

(n

-

m) variabel.

Bany

persamaan

pembatas

fungsional

adalah

m,

sedangkan

variabel (m < n) adalah

n.

Secara

matematis, solusi

yang

diperoleh

dari

pengenolan

(n

m)

variabel

itu

kemudian disebut

sebagai

solusi bosls

(basic

tion).

Jika

suatu

solusi

basis

dapat

memenuhi

pembatas-pem

nonnegatif,

maka solusi

ini

disebut

sebagai

solusi

basis

(feasible

basic

solution).

Variabel-variabel

yang

dinolkan

di

sebagai

variabel-uariabel

nonbasis

(non-basic

variables),

dan

si

nya disebut

sebagai

uariabel-uariabel

basis

(basic

vari

Jumlah

iterasi maksimum dalam

metode simpleks

adalah

dengan

jumlah

maksimum

solusi basis

dalam

bentuk

lh'ngan

demikian,

iumlah

iterasi

simpleks ini

tidak

nkan

lebih

rlnri:

Cf.=n /t(n-m) m

l

Dari kesimpulan

yang

kedua,

titik

ekstrem

yang

berdekat-

nrnyn

hanya

berbeda

pada satu

variabel,

kita

dapat menetapkan

lll.lk

ekstrem

berikutnya

dengan mengganti

variabel

nonbasis

tvnrinbel

yang

dinolkan)

yang

telah

dicapai

dengan

variabel

basis

varrg

telah

dicapai.

Sebagai contoh,

pada

persoalan

Pl

Indah

(lelns,

misalkan

bahwa kita

sedang

berada di titik

A dan

akan

lnlgorak ke

titik

E.

Untuk

dapat

mencapai

titik E ini kita

naik-

lnn

harga

variabel nonbasis xg

dari nilainya

semula

(yaitu

0)

Irlrrgga mencapai

titik

E. Pada

titik E, variabel

Sz

(yang

sebelum-

rrvn

merupakan

variabel basis di

titik

A)

secara

otomatis

menjadi

nrrl,

nrtinya menjadi

variabel nonbasis.

Dengan

demikian,

per-

;nrrl.inn

ini

terjadi

antara x2

dan

52,

seperti

terlihat

pada

tabel

hallh

ut:

ekstrem

Variabel

nonbasis

Variabel

basis

A

E

xt

,

xl

,

Sr,

Sr,

,Ss

,Ss

Tabel

3.3:

Pergantian

varlabel

basls

dan nonbasls

9 4

I Algoritma

simplehs untuh

persoalan

mahsimasi

l,rrlrrk

menyelesaikan persoalan

programa

linier

dengan

meng-

g

rl

rn

h rr

n metode

simpleks,

lakukanlah

langkah-langkah

berikut:

I

l(onversikan

formulasi

persoalan

ke

dalam

bentuk

standar.

1

(

lrrri

solusi

basis

fisibel

(BFS).

,t

,likn

seluruh

NBV mempunyai koefisien

nonnegatif

(artinya

lrr,r'[1s1g" positif

atau

nol)

pada

baris fungsi tujuan

(baris

per-

6,unrran

z

yang

biasa

juga

disebut baris

0), maka

BFS

sudah

ogrl,irnal.

Jika

pada

baris

0

masih

ada variabel

dengan ko-

llir;icn

negatif,

pilihlah

salah

satu

variabel

yang

mempunyai

Ilhk

52


20/34

0

48

20

I

5

4.

koefisien

paling

negatif

pada

baris

0

itu.

Variabel

ini

akan

memasuki

status

variabel basis,

karena

itu

variabel

ini

di-

sebut

sebagai

variabel

yang

masuk

basis

(entering

variable,

disingkat

EV).

Hitung

rasio

dari

(Ruas

kanan)

l(Koefisien

EV)

pada

setiap

baris

pembatas

di

mana

EV-nya

mempunyai

koef,rsien

positif'

Variabel

basis

pada

baris

pembatas

dengan

rasio

positif

kecil akan

berubah

status

menjadi

variabel

nonbasis.

V

ini

kemudian

disebut

sebagai

riariabel

yang

basis

atau

leauing

uariable,

disingkat

LV'

Lakukan

operasi

baris

elementer

(ERO)

untuk

koeflrsien

EV

pada

baris

dengan

rasio

positif

terkecil

ini

jadi

berharga

1 dan

berharga

0

pada

baris-baris

lainnya.

Kembali

ke

langkah

3.

Catatan:

Jika

ditemukan

lebih

dari

satu

baris

yang nr

Formulasi

ini

dapat

juga

ditulis

dalam bentuk kanonik

sbb.:

llarls0 z-60xr-

30xz

-

20xg

=

8xr+ 6xz+

xg+Sr

=

4xr

+

2 xz+

1,5x9

+Sz

=

Zxr

+

1,512+

0,5x9 +Sg

=

+Sl

=

Lunghah

2.: Menentukan

solusi

basis

frsibel

(BFS)

llarl

bentuk

kanonik

di atas,

jika

kita

tetapkan

xl

=

x2

=

xB

=

0

rrrakn

akan kita

dapatkan harga-harga

Sl,

52,

SB,

dan

Sl,

yaitu

rnrnn dengan

ruas

kanan

masing-masing

baris.

Dengan

mengikut-

ror[nkan baris 0

maka

kita

dapatkan:

llV

=

{

z,

Sl, Sz, Sg, Sl

I

;

NBV

=

{

xl,

x2,

xg

}

llFS-nyaadalah:

z=0; Sr=

48,

Sz=20, Sa=

$

Se=5; dan

xl

=x2=x3=0

Frlxrrti

terlihat

dari

contoh

di

atas,

variabel slack

dapat

diguna-

Iltr robagai

variabel basis untuk suatu

persamaan

pembatas

apa-

hile

ruas

kanan

dari

pembatas

itu

berharga

nonnegatif.

I,ughah

3:

llarl

formulasi

kanonik

di atas

kita

tahu

bahwa.

seluruh

NBV

rtlarrrlrunyai

koefisien

yang

berharga

negatif sehingga

pada

iterasi

lnl llFS

belum

optimal. Karena variabel

xl

mempunyai koefisien

ynrrg

paling

negatif

(lihat

baris 0

formulasi kanonik,),

maka

va-

rlelxrl

xr terpilih

sebagai

variabel

yang

akan

menjadi

variabel

hnsla

(cntering

variabel).

t.nqhuh

4:

Menghitung rasio dan melakukan

ERO

Itrrgio

dari

baris

I

adalah

48/8

=

6

Itnnio

dari baris

2

adalah

20/4

=

5

Itngio

dari baris 3 adalah

8/2

=

4 rasio

terkecil

llcl

trrl

menunjukkan

bahwa

xr

akan

menjadi

variabel

basis

pada

l,er

tn

il,

rnenggantikan

Se

yang

berubah statusnya

menjadi

varia-

l,el

rrlrrbasis

(NBV).

Dengan

kata lain,

sebagai

akibat dari

ter-

Ftlilrrryn

xr

sebagai

EV, maka Ss

menjadi LV.

llnris

1

hnrls

2

llarh

3

llarls

4

punyai rasio

positif

terkecil,

pilihlah

salah

satu

Cara

ini

tidak

akan

mempengaruhi

hasil

perhitung

an

akhir.

Contoh:

Maksimumkan:

z

=

60

xl

+

30

x2

+

20

x3

berdasarkan:

8xr

+

6

x2 +

4xt

+

2

x2

+

2xt +

1,5x2

+

x2

xLX2r$

>

0

xa

18,

adalah

sama dengan

-3xr -

2xz

-18.

Dengan

menambahkan

variabel

slaclz

menjadi

-3xr

-

2xz

SB

=

-18,

Se

tidak

bisa

menjadi

variabel

basis

awal

karena

nya negatif.

Untuk

menyelesaikan

kedua

jenis

kasus

tersebut,

kita

merlukan

adanya

variabel dummy

(variabel

palsu)

yang

di

uariabel aftifisial,

sehingga variabel

basis

awal

bisa

tetap

ada.

bagai

ilustrasi,

kita lihat

contoh

berikut:

Contoh

7:

Maksimumkan:

z

=

3xt

+

5x2

berdasarkan

pembatas:

xl

2xz

s 72

3xt+2xz=18

xlrx220

lh,nluk

di

atas

kita

ubah

menjadi:

z

-3xt-5xz

x1

+Sr

=Q

=4

2xz

+Sz

=12

3xr

+2xz

+Ra-18

x1X2r

Sl, 52,

Ra

2

0

l','ngaruh

variabel artifisial

(R)

ini

adalah

untuk

memperluas

dae-

urlr

(rsibel.

Pada kasus

di atas,

daerah

fisibel

berkembang

dari

se-

lrrrln

berupa segmen

garis

yang

menghubungkan

titik-titik

(2,0)

rlnrr

(4,3)

menjadi

bidang

ABCDE

pada

Gambar 3.1.

t'rttt oh

2l

Maksimumka;r; z

=

3xr

+

5xz

lxrrdasarkan

pembatas:

xl

3xr

Xlr

Fl'rrl.uk di

atas

menjadi:

z

-3xt

-5x2

n

-v

A

+Rz

=

12

+Rs

-

18

x1

-Sr

+Rr

>4

Zxz

>

L2

+2x2

=lg

x2>0

2xz

-

Sz

3xr

+

2xz

Xlr X2r

Sl, Sz,

R1, R2, Rs

)

0

Fn'lrr

rrkhirnya,

iterasi-iterasi

metode

simpleks

akan secara

oto-

*ulia

rncnjadikan

variabel

artifisial

ini

tidak

muncul lugr (b""-

h'rr

gn

nol),

yaitu

apabila

persoalan

semula telah

terselesaikan.

It,,lgrrn

kata lain,

kita

gunakan

variabel artifisial ini hanya

untuk

r*,,.rnrrlni

solusi,

dan

harus

menghilangkannya

(menjadikannya

r.erl,rrpirr

nol)

pada

akhir

solusi.

Jika

tidak demikian,

solusi

yang

.li1,r'rrlr,lr

akan

tidak

fisibel.

Untuk

itu,

maka

harus diberikan

,'e"ttl v

M

(IU

bilangan

positif

yang

sangat

besar)

pada

setiap

.erirrl,r.i

artifisial

dalam fungsi tujuannya.

Contoh:

dari

contoh 2

'lt

nlrr,;,

lirngsi

tujuannya

menjadi:

z

,=

3xl

+

lxz

-

MRr

-

MRz

-

MRe

64 65


26/34

atau

z- 3x1-5xz

+

MRr

+

MRz

+MRs

-

0

Perhatikan bahwa

penalty

di

atas bertanda

(-)

karena

tujuannya

berupa maksimasi.

Jika

fungsi

tujuannya

minimasi,

maka

penalty

bertanda

(+).

fungsi

Ada

dua teknik

penyelesaian

untuk

kasus

dengan variabel

artifisial

ini,

yaitu

(1)

teknik

M

dan

(2)

teknik dua

fase.

Kedua

teknik

ini

saling

berkaitan erat.

3.6-1

Tehnih

M

(metode

penalty)

Perhatikan

persoalan

di bawah

ini:

Maksimumkan:

z

=

1xt

+

lxz

berdasarkan

pembatas:

x1

s

4

2xz

1

12

3xr

+

2xz-

18

x1rx2>0

Karena

pembatas

ketiga

bertanda

(-),

maka

untuk mendapa

solusi basis awalnya kita

harus

menambahkan

variabel

arti

sehingga diperoleh

bentuk:

Maksimumkan: z=lxL

+

5xz

+ OSr

+ OSz-MRs

berdasarkan

pembatas:

xl

+

Sr

=

4

2xz

+Sz

=

12

3xt+2xz

+R3=

l$

'

xlr x2,

St, Sz,

Rg )

0

Untuk

memasukkan

model

di atas

ke

dalam bentuk

tabel,

terlebih dahulu

substitusikan

Rs

dengan cara:

Re

=

18

-3.xt-2xz

kemudian masukkan

ke

dalam

persamaan

z

sebagai

berikut:

z

=

3xL

+

5xz

+ OSr +

OSz

-

M(18

-

lxt

-

2xz)

atau:

z

=

(3M

+ 3)xr

+

(2M

-

5)xz+

OSr +

OSz

-

18M

z

-

(3M

+

3)xr

-

(2M

+

5)xz

-

OSr

-

OSz

= -18M

Hal ini

dilakukan dengan maksud agar dalam

pembuatan

simpleks awalnya, Re

sudah secara

otomatis

"dipaksa"

berh

nol.

Selanjutnya

selesaikan

persoalan

di atas

dengan cara

yang

rArrra

(lihat

Tabel

3.6).

ia&el I

i:

Tabel simpleks

penyelesaian

persoalan

PT

lndah Gelas

dengan

penr

batas

ketiga bertanda

(=)

'

,,:itrtlr

lttinnya:

illrrrirnumkani

z=

3xt

+

5xz

I'r:r

{lrrsrrrkan

pembatas:

x1

2x"

3xt

+

;t

xtrXz

beru

=12

>18

0

Basis

z

S1 D2 Rs

l

,Q

Solusi

z

1

(-3N,H)(-2M-5)000

-18M

S.l

S2

Rt

0

0

0

1

1 0 0

4

0

3

010

001;

12

18

z

1

0

(-2[Fs)

(3M+3)

0

0

-6M+12

x1

Se

Rr

0

0

0

1

0

0

0

2

100

010

4

12

2

-3

0 1 6

2

-9t2

0

(M+5/2)

0

27

X1

Sz

x2

xl

5r

Xr

0

0

0

1

0

0

0

0

1

4

6

3

1

0 312

(M+1)

0

36

0

0

0

0

-1t3

1t3

1 1t3

-1t3

01t20

1

0

0

0

0

1

2

2

6

66

o/


27/34

Bentuk

standar:

z= 3x,

+

5xz

+

OSr

+

OSg

+

MRz+

MRr

X1

*Sr

=

2x,

aRz

=

3xt

+

Zxz

-S3

a

R:

=

Xl , Xz,

S,

,

S.

, R, , R.)0

(Perhatikan

bahwa

penalty

M

bertanda

positif).

Substitusi:

Rz=L2-2xz

Re=18-3xr-2xz+Sa

sehingga

didapat:

z

=

3xl

+

5xz

+ OSr

+

OSs

+

M(L2-2xil

+ M(18-3xr-2xr+gt

atau

z

=

(-3M+3)x1

+(-4lttt+5;;, +OSr

+MSa +30M

z

-

(-3M+3)xr

-(-4M+5)x, -

OSt

-MSr

-30M

:l.li

2

'Il:hnih

dua

fase

lh'rrHnn

digunakannya

konstanta M yang

merupakan

bilangan

po-

attil

yrrrrg

sangat

besar

sebagai

pendlty,

maka

bisa

terjadi

ke-

anlnlr,n

perhitungan,

terutama

apabila

perhitungan

itu

dilakukan

'L,rrg'.

menggunakan

komputer. Kesalahan

itu

bisa

terjadi

kare-

fu &rrr,fisien

fungsi

tujraan

relatif

sangat

kecil

dibandingkan

'lelgnn

harga

M,

sehingga

komputer

akan memperlakukannya

se-

I'ndnr koeFlsien yang

berharga

nol.

Sebagai

contoh,

apabila

pada

lrFrar)nlrrn

teknik

M di

atas

ditetapkan

harga

M

=

100.000,

maka

lrnrlleron xr

dan x2

pada

fungsi

tujuannya

menjadi

(900.000

-

g)

rlnu

('l(X).000

-

5).

lirrssll;un

ini

bisa

dikurangi

dengan menggunakan

teknik

dua

taer'

l)i

sini

konstanta

IVI dihilangkan

dengan

cara menyelesaikan

Fere'nlnn

dalarn

dua fase

(dua

tingkatan)

sebagai

berikut:

Fitcr

L'

Fero

rrri

digunakan

untuk menguji

apakah persoalan

yang

kita

he,lof

i rnemiliki

solusi frsibel

atau tidak. Pada

fase

ini

fungsi

irrfrrarr

rrcmula

diganti

dengan

meminimurnkan

jumlah

uariabel

atttftztulnya.

Jika nilai

minimum

fungsi

tujuan

baru

ini

berharga

*r,'l tnr'[inya

seluruh

variabel

artifisial

berharga

nol),

berarti

per-

c+relnrr

rnemiliki

solusi

fisibel,

lanjutkan

ke fase

2.

Tetapi,

jika

nllnl

rrrinimum

fungsi

tujuan

baru

ini

berharga

positif,

maka

per-

.pelprr

l.irlak

memiliki

solusi

fisibel.

STOP.

f=xttt

'.'.

rilnnhrrn

solusi

basis optimum

dari

fase

1

sebagai solusi

awal

Fagl

pr,r'sonlan

semula.

Dalam

hal ini

ubahlah

bentuk fungsi

tuju-

*r

lireo I

dengan

mengembalikannya pada

fungsi tujuan

persoal-

elr

d.,rurlrr.

Pemecahan

persoalan

dilakukan

dengan

cara

seperti

l,i

q

ett

"tl1tl1

t.'

l\lrrlt:iirnumkan:

z=3'xt

+

lxz

I'r.t

r

I

r t.sirrkan

pembatas:

4

t2

18

x2

Sr 53

Rz

Rr

1

0

3

01000

1001120

-1

(-M+3/2)

(-M+1)

0

0

1

0

1 1t3

113

-113

1001120

0

0

-1t3

-'ll3

113

68

Tabel 3.7:

Tabel simpleks

penyelesalan

contoh soal

di atas

69


28/34

x1

3xt

+

Xlr X2

Bentuk

standar:

Maksimumkan:

z

2xz

2xz

=

>0

4

t2

18

I'.rsoalan

di

atas memiliki

solusi

fisibel.

selanjutnya

R

tidak

di-

tkutsertakan

lagi.

l,'use

2:

=

3xr +

5xz

+

OSr

+

OSz

-

MRt

x1

aSr

-

4

2x,

aSz

=

L2

3x,

+Zxz aRr

=18

X1,X2

rSr,Sr,Rt)0

Dari

persamaan

di

atas diperoleh harga

Rs

=

18

-

3ixt

-

?.xz

Fase 1:

Minimumkan:

r=Ra

atau

r= 1E-SNr-2xa

berdasarkan

pembatas:

xl

+

Sr

=

4

2xz

+Sz

=L2

3xt+

2xz

+

Rg

-

18

xttx2t

St, 52,

Rs,2 0

3Sr

+Sz

=6

xz

-

3/2Sr

-3

-ex =3+3/2Sr

Krrrnfuali

kepada

model

persoalan

semula,

dan dengan

rr

yu

bstitusikan

persamaan-persamaan

di

atas,

kita

dapatkan:

Maksimumkan: z

=

3(4-Sr)

+

5(3

-

3/2

Sr)

atau

z=9/2Sr+27

berdasarkanpembatas:

x1

+

Sr

=4

3Sr+Sz=6

-312fi

-3

Itirlnlrrrt

solusi

optimal: xt

=

2,

xz

=

6, dengan

z

=

86.

t'rtttlrth.

2

Minimumkan:

z=3xr+5xz

l,r,r'tlasarkan

pembatas:

x1 s

4

2xz

--

12

3xr+2x22

18

x1rx2>0

llnri

tabel

optimum

pada

Hn

tn

aan-persamaan

berikut:

xl+Sr

fase

1

di

atas

dapat

dituliskan

per-

=4

-+xl

=4-Sr

Iterasi Basis

Jt

Sz Rs

1

x2

Soh.rsi

0

r 0

0

0

2

18

Sr

Sa

Rs

010

0012

't2

18

1

r

{

0 0

2 6

xl

S?

Rs

100

0100

4

12

lzl

-3

o

1

lt

J

2

I

0

0

-1

0

0

xl

Se

,Q

1010

0031

01-3t20

0

-1

1t2

4

6

3

Iterasi

Basis

x2

Sr

Sz

1

Solusi

0

z

0

-9/2

0

27

x1

Se

x2

0

0

1

'l

0

0

4

31

1

4t2]

o

6l

3

1

z

0

0 3t2

36

x1

Sr

x2

100-1t3

0011t3

0101/2

2

2

6

70

77


29/34

Bentuk standar:

MinimumkarL:

z

=

3xr +

5xz

+

OSr

+

OSs

+

MRz

+

MRs

xl

+Sr

=

4

2xz

+Rz

=72

3xt+2xz -Sa

+Rs=18

xlrx2rStrSa,R2,Rg>0

Diperoleh

persamaan-persamaan:

Rz=

L2

-

2xz

Ra=18-3xr-2xz+Ss

Fase

7:

Minimumkan:

r=Rz+Rs

r

=

L2

-

2xz

+

18

-

3xl"-

2xz

+ Sn

r+3xt*4xz-Ss=30

Persoalan

memiliki

solusi

fisibel.

72

l,'ose

2:

Sr +1/3Ss

=2

xz

=6

:1

-1l3Sa

=2

Itrrrnfali

ke

persamaan

semula:

Minimumkan:

z=3(2

+

1/3

Sa)

+ 5

(6)

-+xl

=2+V3Sa

atau: z-Sa-36

Tabel

di atas sudah langsung

merupakan

tabel optimum

lfsri

kedua

contoh di

atas ternyata

bahwa

jumlah

iterasi

pada

lalnik

dua fase

ini

sama dengan

jumlah

iterasi

pada

teknik M.

Sntu hal

lagi

yangjuga

penting

untuk diingat

adalah bahwa

vlr'inbel-variabel artifisial tidak diikutsertakan

lagi

dalam

per-

liiltrngan

pada

fase

2 apabila

pada

akhir

fase 1,

variabel-variabel

ar lrlisial

itu

berstatus

sebagai variabel

nonbasis.

Ada kemungkin-

en

vnriabel-variabel

artifisial

itu

berstatus

sebagai

variabel

basis

y,lrrgl

bcrharga nol

pada

akhir

fase 1.

Dalam

hal ini

harus

dilaku-

barr

l.indakan

pencegahan

untuk

memastikan

bahwa

vzu'iabel

Arlrli:.;ial itu

tidak

akan

pernah

berharga

positif

selama

per-

lllrrrrpi;rn

fase 2,

Aptbila

pada

iterasi

optimum

masih

ada

variabel

artifisial

yang

lx'r'status

sebagai

variabel

basis dan

berharga

positif

(bukan

*r,li,

11111[s

hal ini

rnenjadi

tanda

bahwa

persoalan yang

ber-

=


30/34

berdasarkan:

Zxt+ xz12

xtrx2)0

Solusinyd

adalah

sebagai

berikut:

I(arena

variabel

artifisial R

berharga

positif

(=

4)

pada

"solusi

op.

timum"-nya, maka

sebenarnya

persoalan

di

atas

tidak memiliki

ruang

solusi

yang

fisibel. Karena

itu,

solusi

di atas hanya me-

rupakan

solusi optimum

samaran

(pseudooptimum).

3.7 Soal

1.

Persamaan

matematis suatu

programa

linier

adalah

se

berikut:

Maksimasi:

Z=3Xr+2Xz

dengan

pembatas:

4Xr

+5X25

69

ZXr

+2Xzs

30

Xr,Xz>o

Carilah harga

Xr

dan

Xz.

74

Persarnaan

matematis

suatu

program

berikut:

Minimasi:

g'

=

6Xt *

7,5X2

dengan

pembatas:

7Xr+

3

Xz>210

6Xr+12X2>180

4Xz

>

LZO

xr,xz>o

linier adalah

sebagai

Carilah

harga

Xr

,

)(z

tvt Unilever bermaksud

membuat

2

jenis

sabun,

yakni

sabun

bubuk

dan

sabun

batang.

Untuk

itu

dibutuhkan

2 macam

zat

kimia,

yakni

A

dan

B. Jumlah

zat

kimia

yang

tersedia

adalah

A

=

200

kg

dan

B

=

360

kB.

Untuk

membuat

1

kg

sabun

bubuk

diperlukan

2 kgA

dan

ll

kg B.

Untuk

membuat

1

kg

sabun

batang diperlukan

5

kg

A

rlnn

3

kg

B.

Bila

keuntungan

yang

akan

diperoleh

setiap

rnombuat

1

kg

sabun

bubuk

=

$

3 sedangkan

setiap

1 kg

enbun

batang

=

$

2, berapa

kg

jumlah

sabun

bubuk

dan

snbun batang

yang

sebaiknya

dibuat?

Srrl;uah

perusahaan

film sedang

membuat

rencana

kegiatan

unluk

tahun

yang

akan

datang.

Ada 2

jenis

frlm

yang

akan

rlilruat,

yakni

film

untuk

TV dan

film

untuk

di

gedung.

Iliaya

pembuatan

film

TV adalah

sebesar

Rp

750.000,00

a.rlnngkan biaya

pembuatan

frlm

gedung

adalah

Rp

'J

(xX).000,00

sebuah.

Film TV

dapat

dijual

dengan

harga

Rp

I :lr'0.000,00

sedangkan

frlm

gedung

dapat

dijual

dengan

lrnrgn:

Rp 3.000.000,00

sebuah.

Waktu ekuivalen

yang

dibutuhkan

untuk

membuat

se-

l,rlrl,

film

TV

-

12

minggu,

sedangkan

untuk

film

gedung

=

ll)

rninggu. Waktu

ekuivalen

yang

tersedia

selama

tahun

l.rrrrg

rrkan

datang

adalah sebanyak

600

minggu

(1

tahun

=

tirl

111i11ggu,

terdapat

L2 alaL,iadi

waktu

ekuivalen

=

50

x

12

=

rltr{)

rninggu).

75


31/34

Bila

dana

yang

tersedia adalah sebesar

Rp

25.000.000,00,

berapa

jumlah

masing-masing

jenis

film

yang

harus dibuat?

5. Sebuah

perusahaan

mebel

bermaksud

membuat

2

produk,

yakni

lemari

pakaian

dan tempat tidur.

Keun

setiap

lemari

pakaian adalah

sebesar

Rp

6.000,00,

bila

membuat

tempat

tidur

keuntungannya adalah

sebesar

5.000,00

sebuah.

Pembuatan

kedua

produk

tersebut

harus

melalui

2

kerja,

yakni

unit

kerja

1

dan

unit kerja 2.

Jam

kerja

pada

unit

kerja

1

adalah

40

jam/minggu,

sedangkan

pada

kerja 2

adalah 50

jam/minggu.

Setiap

lemari

pakaian

membutuhkan

unit

kerja

1

dan

1

jam

pada

unit kerja 2,

tempat

tidur

memerlukan

waktu

1,25

jam

waktu 2

jam

sedangkan

seti

pada

unit kerja

dan 1

jam

pada

unit

kerja

2.

Berapa

jumlah

lemari

pakaian dan tempat

tidur

yang

baiknya

dibuat

setiap

minggu?

6.

PI

Sayang Anak

memproduksi

dua

jenis

mainan

A dan

yang

keduanya terbuat dari

campuran

pasir

dan lilin.

A

dapat

dibuat

melalui

proses

1

atau

proses

2,

sedan

produk

B

dapat dibuat melalui proses

3

atau

proses

4.

U

mendapat

1

unit

produk

A

dan

B

pada

masing-masing

diperlukan

masukan

(input)

sebagai

berikut:

Tenaga

kerja

yang

tersedia tidak

lebih

dari

15

jam-or

sedangkan

persediaan pasir

dan

lilin adalah

120 m3

dan

rlus.

Keuntungan

proses

L,

2,

3,

dan

4

masing-masing

Rp

4,00/unit,

Rp

5,00/unit,

Rp

9,00/unit,

dan

Rp

11,00/unit.

Formulasikan persoalan

di atas

sebagai

persoalan

l)r'ograma

linier,

dan

buatlah

tabel

iterasi

awalnya.

Suatu perusahaan membuat

5

tipe

truk.

Adapun

jumlah

truk

vnng

diproduksi dibatasi

oleh

kapasitas

tiap bagian

yang

rncmbuat

masing-masing

tipe truk,

yaitu:

n. Bagian

rnetal

starnping

tidak

menangani lebih

dari

jumlah

ekuivalen 10.000

truk tipe

I.

Perbandingan

jumlah

truk

yang

dibuat

pada

bagian rnetal

stamping

adalah tipe

I :

tipe

II

: tipe

III

:

tipe

IV.:

tipe V

=

L: L,4:

2:0,8

:2,2.

h.

Bagian

asembling mesin

tidak dapat menangani

lebih

dari

jumlah

ekuivalen 15.000

truk

tipe

I.

Perbandingan

jumlah

truk

yang

dibuat

pada

bagian

asembling

mesin

adalah

tipe

I

: tipe II :

tipe

III

:

tipe IV

:

tipeV

=

1

:

1,6

:

3:1:2,6.

l

Jumlah

truk

maksimum

yang

dapat

ditangani

oleh bagi-

an

asembling

akhir adalah

sebagai

berikut:

tipe

I

7.500

buah

tipe

II

r.........,r..

5.000 buah

tipe

III

1.000

buah

tipe

fV

9.000

buah

[ipe

V

3.000

buah

Keuntungan

yang

diperoleh

dari

tipe

I

s-d.

V

masing-

rnasing

adalah Rp

350.000,

Rp

450.000,

Rp 500.000,

Rp

:|00.000,

dan Rp 400.000 per

buah.

Tentukanlah

model

matematis programa

liniernya.

'1,'rrrr,

Wall

Paper

Company"

adalah sebuah

perusahaan

yang

rrr,,rrrlrroduksi

linear

board. Produk

ini

mempunyai

lebar

,,1;rrrrlrtr

68

inci.

t

Inbuk

tahun

depan

perusahaan

ini

mendapat

pesanan

I'r

",luk

dengan

lebar

yang

berbeda-beda,

yaitu:

76 77


32/34

110

unit

yang

lebarnya

22

inci,

120

unit

yang

lebarnya

20

inci,

dan

80

unit

yang

lebarnya 12 inci.

Bayangkanlah

bahwa Saudara adalah

seorang

konsultan

percayaan perusahaan

tersebut. Bagaimanakah usul

Sauda

untuk

dapat

memenuhi

pesanan

tersebut,

tetapi

syarat,

jumlah

linear board

yang

terbuang

sekecil

mungkin?

9.

PT

Philips Ralin memproduksi

3

jeniVmodel

radio,

yai

model A, B,

dan

C

yang

masing-masing

memberikan

untungan

sebagai

berikut:

Model

A:

$

16

per

set

Model

B:

$

30

per

set

Model

C:

$

50

per

set

Menurut informasi

dari

bagian

penjualan,

keperluan

m

mum

per

minggu dari masing-masing

model

adalah:

ModelA=

20set

ModelB= 120set

ModelC= 60set

Proses

pembuatan

radio ini

meliputi

proses-proses

buatan

komponen,

perakitan,

dan

pengepakan

yang

un

masing-masing

model,

waktunya

adalah

sebagai

berikut:

Model A:

pembuatan

komponen :

3

jam/set

perakitan

pengepakan

Model

B:

pembuatan

komponen

perakitan

pengepakan

Model C:

pembuatan

komponen

perakitan

pengepakan

Untuk

minggu

yang

akan datang,

waktu

sebanyak:

-

untuk

pembuatan

komponen

:

1440

jam

-

untuk

perakitan

:

1920

jam

-untukpengepakan

: 576

jam

I'r'r'tanyaan:

n. Formulasikan

persoalan

di

atas

sebagai persoalan

program

linier.

lr.

Buatlah

tabel

simpleks

untuk

iterasi

awalnya

saja

li.buah

perusahaan

elektronik

membuat

2

jenis

pesawat tele-

lrrrrr,

yakpi

jenis

pusfr

button

(pB)

dan

dial

(D),

masing_

rrrnsing

dalam

3 warna

(abu-abu,

mer.ah,

hijau).

proses

grt,ngerjaannya

melalui

4 mesin,

yaitu

p,

e,

R,

dan

S.

Dari

hasil

penelitian

diperoleh

data-data

sebagai

berikut:

FglUnrlrran

;'ale

trrosin

It

u

't

F

curlrltt{

tet

rtttil

lfln

Push button

Dial

Jam

mesin

tersedia

A

M H

A

M H

0,02

0,02

0,02

0,40

-

0,40

0,06

0,06

0,06

0,06

0,'t0

_

0,10

0,16

1.700

1.400

200

1.800

0,80

0,56

0,64

1,44

1,28

1,20

3,5

jamlset

5

jam/set

4

jam/set

5

jam/set

8

jam/set

1

jam/set

1,5

jam/set

3

jam/set

llll^

Saudara

diminta

bantuannya,

bagaimanakah

rencana

l,rorluksi

yang

paling

optimum,

dan

berapa

keuntungan

yang

rrhnrr

diperoleh?

I

i

ilrurt.u

perusahaan

konfeksi pakaian

memproduksi

tiga

jenis

I'nkrriun,

yaitu

pakaian

anak-anak,

pakaian

pria,

dan

pakaian

wnrril.n.

Untuk

satu

lusin

pakaian anak-anak

diperlukan

dua

r,'l krrin

berbagai

corak

dan

warna

serta

empat

orang tenaga

Lrrln.

Untuk

satu lusin

pakaian

pria

dan satu lusin pakaian

rviurrl.r

diperlukan

masing-masing

sebanyak

empat

dan

dua

r,,l

ktin

berbagai

corak

dan warna

dengan

jumlah

tenaga

Li,r

1n

rnasing-masing

dua dan enam

orang. Kain

yang

diguna-

blrr

:rcliap

harinya

tersedia

sebanyak

dua

puluh

rol.

Tenaga

tr,r

111

.tntrt

ada mempunyai

keahlian yang

sama,

dan

jumlah-

rrr.ir

( nam

belas

orang.

perusahaan mem

78 79


33/34

Policy

perusahaan

mengharuskan

seluruft

tenaga

kerj

digunakan,

artinya

tidak

boleh

ada

tenaga

kerja

yang

mer

urrggtt.

Ongkos

membuat

masing-masing

jenis

pakaian

i

kan.

Tetapi,

sebagai

patokan dapat

digunakan

biaya

rata-rat

yang

besarnya

$

lSAusin pakaian

anak-anak,

$

30/lusi

pakaian

pria,

dan

$

45llusin

pakaian

wanita'

Jika

masing-masing

jenis

pakaian

itu

laku

terjual

d

harga

$

2SAusin

pakaian anak-anak,

$

54llusin

pakaian

aa"

$

53/lusin

pakaian

wanita,

bagaimanakah

model

grama

linier

persoalan

di

atas?

didasarkan

atas

model,

aksesori,

dan

jam

kerja

yang di

Direktur

Pertamina

mengatakan

bahwa

ada

dua

maca

proses

pengolahan

minYak,

Yaitu:

lro.".

lt dengan

menggunakan

bahan

I batel

mi

mentah

A

dan

3

barrel

minyak

mentah

B

sehi

dihasilkan:

50

galon

gasolin

x dan

20

galon

gasolin

Y.

dengan

menggunakan

bahan

4

barrel

mi

-"ttt

tt

A dan

Zbarrel

minyak

mentah

B

sehi

Scbuah

perusahaan

bermaksud

akan

mengiklankan

hasil

grroduksinya

dengan

menggunakan

radio

dan televisi. Anggar-

nn

yang

disediakan untuk

kebutuhan

ini

adalah sebesar

satu

.iuta

rupiah per

minggu.

Biaya

iklan

di radio

adalah Rp

5000

lror

menit,

sedangkan

biaya

iklan

di

TV

adalah

Rp

100.000

pur menit.

Perusahaan

ini

akan

menggunakan

radio

paling

rlrdikit

dua

kali

dari

penggunaan

TV

setiap

minggunya. Peng-

nlnman

perusahaan

lain

yang

sejenis

menunjukkan

bahwa

nctiap

menit

iklan

di

TV

akan

menghasilkan

peningkatan

ornzet

penjualan

sebanyak 25 kali

dari

yang

dicapai

oleh

ucliap

menit

iklan di

radio.

Pemerintah setempat menetapkan

bahwa setiap

per-

rusahaan hanya

boleh menggunakan

waktu

maksimum l

jam

aotiap

bulannya untuk keperluan iklan

di

radio

dan atau TV

ini.

Jika

persoalan

di atas kita

pandang

sebagai

persoalan

|

)rograma

linier, bagaimanakah

formulasinya?

"lndah

Leather" adalah

sebuah

perusahaan

yang

mem-

produksi

4

jenis

tas untuk

berbagai keperluan,

yaitu

tas

runtuk

belanja, tas

sekolah

anak-anak,

tas

kantor

pria,

dan

l,ns

tangan

wanita.

Seluruh

jenis

produk

ini

dibuat dari bahan

hrrlit

dan

plastik,

yang

setiap harinya

dihabiskan

paling

se-

rlikit

30

m kulit

dan

paling

sedikit

20

m

plastik.

Banyaknya

I'rrhan

yang

dibutuhkan

untuk

masing-masing

jenis

produk

1r,,r

buah

adalah

sebagai

berikut:

-

Ta*s

belanja

-

Tas

sekolah

anak-anak

-

Tas

kantor

pria

-

Tas

tangan

wanita

lmkulitdan2mplastik

2mkulitdanlmplastik

2mkulitdanSmplastik

3mkulitdan2mplastik

lrrlirrmasi

dari

kepala

bagian

produksi

menyatakan

bahwa

rrrrl.rrk

membuat

1

unit

tas

belanja diperlukan

waktu

l

jam,

1

urrit,

tas

sekolah

anak-anak 2

jam,

1

unit tas

kantor

pria

3

lrrrrr,

dan 1

unit

tas tangan

wanita

4

jam.

Diketahui

pula

lrrrlrwil

ongkos

pembuatan

masing-masing

jenis

produk

ini

di-

,lrrrrrrrkan

langsung

atau

lamanya

(waktu)

proses.

ll

t2.

t{

Proses

2:

dihasilkan:

30

galon

gasolin x dan

80

galon

gasolin

Y'

Diketahui

bahwa

persediaan

maksimum

minyak

mentah

adalah

L20

barrel

dan

minyak

mentah

B

sebanyak

180

Bagian penjualan melaporkan bahwa

untuk

tahun

d

diperlulan

sekurang-kurangnya

2800

galon

gasolin

x

2200

galon

gasolin

Y.

Keuntungan

masing-masing

proses

adalah:

US

$

5/unit

Proses

1 dan

US

$

8/unit

Proses

2.

Tentukanlah

berapa

barrel

masing-masing

minyak

yang

harus

dipakai

pada

proses

1

dan

2

agar

diperoleh

80

untungan

Yang

maksimum-

81


34/34

Persoalan:

1. Formulasikan

persoalan

di

atas

sebagai

persoal

programa

linier.

2. Dapatkan solusi

optimumnya dengan

syarat

tidak

boleh

menggunakan

artifi.cial

uariable.

3.

Apa yang terjadi

jika

banyaknya bahan

kulit

yang

gunakan

setiap

harinya 45

m

paling

sedikit?

4. Apa

yang

terjadi

jika

ada ketentuan baru

yang

ngatakan

bahwa

untuk

tas belanja

dan

tas wanita

dibuat

harus

dipasang

masing-masing

sebuah

sedangkan

banyaknya

gesper

yang

dapat

digunakan

tiap

harinya

paling

sedikit

20

buah?

15.

"Mini

Super

Market"

mempekerjakan

tiga

karyawan

kecakapan

yang

berbeda-beda. Oleh

sebab

itu,

"Mini

Super

Market"

menetapkan

besarnya

gaji

untuk

ketiga karyawan

tersebut

berbeda-beda,

pada

kecakapannya dan tugas apa

yang

harus di

Gqji

per

bulan

ketiga

karyawan

tersebut adalah

berikut:

Bagaimanakah

pimpinan

"Mini

Super

Market"

harus

atur

tugas

ketiga karyawan

tersebut agar

biaya

minimal?

'Adi

Teknik"

adalah

sebuah

perusahaan

yang khusus

buat

roda

gigi kendaraan

bermotor. Perusahaan

ini

keterampilan

ketiga

pekerja

tersebut

berbeda_beda,

maka

upah

perjam

merekajuga

berbeda,

yakni

sebagai

berikut:

A

=

Rp

0.000,00

per

jam,

B

=

Rp

8.000,00 per

jam,

C

=

Rp 1.000,00

per

jam.

'lirbel

berikut

memperlihatkan

waktu

yang diperlukan

(iam)

,lch

ketiga

pekerja

tersebut

untuk

-"rry"i"ruikan

tiga

;;iis

;rckerjaan:

per

bul

bergantu

Pekerjaan

Lama

waktu yang

diperlukan

(jam)

A

B

c

Frais

&

bor

5

3

6

Bubut

4

5

I

Gerinda

6

7

1

llila

Saudara

adalah pemilik

,Adi

Teknik",

bagaimana

peng_

nturan

tugas

ketiga

pekerja

tersebut

agar

ongko,

p&""j-"

trrinimal?

16.

Pekerjaan

Gaji karyawan

per

bulan

(Rpl.000,00)

A

B

c

Kasir

t00

124

140

Pelayan

60 80 96

Pengafuran/Penyim-

panan

barang 88

76 68

82

punyai

3 orang

pekerja.

Karena lama

kerja

(pengalaman)

83

OPTIMISASI bab2 dan3

Documents

Transcript of OPTIMISASI bab2 dan3