UNIVERSITÄT LINZJOHANNES KEPLER JKU

Technisch-Naturwissenschaftliche

Fakultät

Optimale Platzierung vonMomentaktorik auf Platten

MASTERARBEIT

zur Erlangung des akademischen Grades

Diplom-Ingenieur

im Masterstudium

Mechatronik

Eingereicht von:

Martin Meindlhumer

Angefertigt am:

Institut für Technische Mechanik

Beurteilung:

Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Michael Krommer

Linz, März 2015

ii

iii

Vorwort

Meine Masterarbeit bildet den Abschluss meines Studiums. Dieses wäre mirnicht möglich gewesen, ohne die Hilfe von vielen FreundInnen und KollegeIn-nen. An dieser Stelle möchte ich allen, die mich während meiner Studienzeitbegleitet haben und mich unterstützt haben herzlich danken.

Bedanken möchte ich mich beim Institut für Technische Mechanik, wel-ches die nötigen Rahmenbedingungen für die Verfassung dieser Arbeit zurVerfügung stellte und mich in Form einer Anstellung auch finanziell un-terstützte.

Besonders bedanken möchte ich mich bei Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Mi-chael Krommer für die fachliche Betreuung meiner Arbeit.

Meinen Eltern möchte ich danke, dass sie mir meine Ausbildung ermöglichthaben und mich in jeglicher Hinsicht unterstützt haben.

Schließlich Martina - Danke auch für diene Unterstützung, und dafür,dass du mich immer wieder aufmunterst.

Linz, März 2015 Martin Meindlhumer

iv

v

Kurzfassung

In dieser Arbeit wird ein evolutionärer Algorithmus zur optimalen Platzie-rung von Momentaktoren auf einer Platte zur Kompensation eines vorgegebe-nen Verschiebungsfeldes vorgestellt. Als Optimum wird hier die bestmöglicheAusnutzung der applizierten Aktoren verstanden.Für die Beschreibung von Platten wird die Kirchhoff’sche Plattentheorieverwendet. Auf Basis dieser wird eine FEM-Formulierung zur effektiven nu-merischen Berechnung einer Platte entwickelt.

In einem ersten Schritt wird eine Verteilung von Momenten auf einerallseits eingespannten oder allseits frei drehbar gelagerten Platte zur Kom-pensation der von einer äußeren Belastung hervorgerufenen Durchbiegungberechnet. Hierzu ist eine Poisson’sche Differentialgleichung für das einzu-bringende Moment zu lösen.

Auf diese Ergebnisse aufbauend wird erst ein freies, darauf folgendein restringiertes Optimierungsproblem formuliert mit dem eine Verteilungvon Momenten zur Kompensation vorgegebener Verschiebungsfelder gefun-den werden soll. Mit dieser Methode können auch Momentverteilungen be-rechnet werden für eine Aktorik, die nur ein beschränktes Gebiet der Plattebedeckt.

Auf Basis der Lösungen des restringierten Optimierungsproblems wirdein evolutionärer Algorithmus entworfen, der aus einem gegebenen Feld vonAktoren sukzessiv die am wenigsten effizienten entfernt um eine Verteilungvon Aktoren zu finden, die optimal ausgenützt wird.

vi

Abstract

In this theses an evolutionary algorithm is presented in order to find anoptimal distribution of moment actuators which compensate a given field ordeformation on a plate. As an optimum is understood a distribution, whichmakes best use of the applied actuators. To provide an effective numericalcalculation of the plate a FEM modelling based on the theory of plates byKirchhoff is presented.

In a first step a distribution of moments is calculated in order to com-pensate the deflection caused by external loads for clamped and hitchedplates. For this a Poisson’s equation is solved.

Based on these results a free optimization problem is formulated andextended to a restricted optimization problem. Solving those problems givesa distribution of moments which compensates a given field of displacement.This method as well can be used for actuators which do not cover the wholeplate surface.

Based on the restricted optimization problem an evolutionary algorithmis developed which removes the least efficient parts out of a field of actuatorsan so gradually finds an optimally used design of actuators.

INHALTSVERZEICHNIS vii

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung - Aufgabenstellung 1

2 Grundlagen 3

2.1 Plattengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Grundlegende Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Kinematische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4 Konstitutive Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.5 Biharmonische Plattengleichung . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.6 Deformationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.7 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.8 Eingeprägte Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 FEM-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Geometrische Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Assemblierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Assemblierte Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Analytische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1 Lösung nach Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

viii INHALTSVERZEICHNIS

2.5.2 Allgemeine Lösung nach Levy . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.3 Frei drehbar gelagerte Platte nach Levy . . . . . . . . . 27

2.5.4 Vergleich - analytischer und FEM Lösung . . . . . . . 28

3 Kompensation 31

3.1 Idee - Grundsätzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 FEM-Diskretisierung - eingebrachtes Moment . . . . . . . . . 33

3.2.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 Energien und Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.3 Assemblierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Allseits frei drehbar gelagerte Platte . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Allseits eingespannte Platte . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.3 Modale Assurance Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Optimierungslösung 41

4.1 Vorbemerkung - Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Freie Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.2 Kompensation Kragplatte 1 . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.3 Kompensation Kragplatte 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Restringierte Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

INHALTSVERZEICHNIS ix

4.3.1 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.2 Kompensation Kragplatte - beschränkte Aktorik . . . . 50

5 Generischer Algorithmus 53

5.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Kompensation Eigenformen 61

6.1 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Berechnung Eigenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1 Einleitung - Aufgabenstellung

Ziel dieser Arbeit ist es, die Verteilung von Momentaktoren auf einer Platteso zu optimieren, dass ein gegebenes Verschiebungsfeld bestmöglich kompen-siert werden kann. Zur Beschreibung von Platten wird die Kirchhoff’schePlattentheorie verwendet. Zur Lösung der Biharmonischen Differentialglei-chung der Platte wird die Methode der Finiten Elemente angewandt.

In einem ersten Schritt soll eine Verteilung von Momenten über die ge-samte Platte so gefunden werden, dass die Verschiebung der gesamten Platteidentisch 0 wird. Hierzu ist eine Poisson’sche Differentialgeichung für dieVerteilung des Moments zu lösen. Diese wird wiederum mit der Methode derFiniten Elemente gelöst.

Im nächsten Schritt wird zuerst ein freies Optimierungsproblem zurKompensation eines Verschiebungsfeldes mithilfe von Momentaktoren formu-liert und gelöst. Für dieses freie Optimierungsproblem werden anschließendNebenbedingungen in Form von Beschränkungen der Momentaktorik formu-liert. Hierbei werden auch Verteilungen von Aktoren betrachtet die nicht diegesamte Platte bedecken.

Auf die Optimierung mit Nebenbedingungen aufbauend wird ein evo-lutionärer Algorithmus entworfen, der eine optimale Verteilung von Aktorenfindet um ein bestimmtes Verschiebungsfeld zu kompensieren. Als Optimumwird hierbei verstanden, dass die applizierten Aktoren effizient genutzt wer-den und eine möglichst geringe Anzahl von Aktoren appliziert werden muss.Das kann durch das sukzessive Entfernen

”ineffizienter“ Aktoren aus einer

ursprünglich völlig mit Aktoren bedeckten Platte erreicht werden.

Schließlich soll mithilfe des entworfenen evolutionären Algorithmus eineVerteilungen von Aktoren zur Kompensation von Eigenformen einer Plattegefunden werden. Dabei wird eine Kragplatte und eine an zwei Seiten freidrehbar gelagerte Platte betrachtet.

1

2

2 Grundlagen: Plattengleichung, Diskretisie-

rung mit FEM, Momentaktorik

In diesem Kapitel werden die Grundlagen für diese Arbeit erläutert. Im erstenTeil werden die Gleichungen der Kirchoff’schen Plattentheorie beschrieben.Diese ist in der Literatur weit verbreitet. Für diese Arbeit dienten Selvadu-rai [13], Altenbach u. a. [2] und Mang u. Hofstetter [10] als Grundlage. Desweiteren wird auf eine Akorik in Form von verteilten Momenten eingegangen.

Im nächsten Teil dieses Kapitels wird die Diskretisierung der Platten-gleichung mithilfe der Methode der Finiten Elemente (FEM) beschrieben.Grundlagen für diese wurden Vetyukov [15] und Langer u. Jung [9] entnom-men.

Schließlich werden die Ergebnisse der FEMmit den analytischen Lösungennach Levy verglichen.

2.1 Plattengleichung

Der Ausgangspunkt für diese Arbeit ist eine schubstarre Platte. Diese wirddurch die Kirchoff’sche Plattentheorie beschrieben, die sich für hinreichenddünne Platten und kleine Deformationen gut bewährt hat [3, S. 100].

Eine Platte ist ein dünnes ebenes Flächentragwerk der Dicke h, dassenkrecht zu seiner Ebene mit Kräften p(x, y) belastet ist. Dünn bedeutet,dass die Ausdehnung normal zur Plattenebene viel kleiner ist, als die Aus-dehnungen in Plattenebene (h

Alle Punkte auf der Mittelebene erfahren nur Verschiebungen in z-Richtung w(x, y). Es treten keine Verschiebungen in der Ebene auf.Die Mittelebene wird daher auch neutrale Ebene genant.

Durch die Deformation werden in die Platte keine resultierenden Kräftein der Plattenebene eingebracht. Die resultierenden Schnittkräfte sindnormal zur Plattenebene.

Es wird angenommen, dass in der Referenzkonfiguration auf einer Nor-malen zur neutralen Ebene liegende Punkte in der verformten Lage wie-derum auf einer Normalen zur neutralen Ebene liegen. Diese Annahmeist eine Verallgemeinerung der Bernoulli-Hypothese der Balkentheorieauf Platten [2]. In der neutralen Ebene selbst treten keine Verzerrungenauf.

Es werden Platten aus (abschnittsweise) homogenen und isotropenWerkstoffen, für die jeweils ein lineares Materialgesetz (Hooke’schesGesetz) gilt, betrachtet.

Die statische Hypothese (keine Schnittkräfte in der Plattenebene) unddie kinematische Hypothese stehen zwar im Rahmen der linearen Elasti-zitätstheorie im Widerspruch, für dünne Platten kann dieser jedoch ohnegrößere Fehler zu machen, in Kauf genommen werden [2, S. 147].

2.1.2 Kinematische Beziehungen

Die Verschiebung eines Punktes der neutralen Ebene wird mit w(x, y) be-zeichnet. Die Verschiebung u eines Punktes mit Abstand z zur neutralenEbene kann durch Gleichung (2.1) beschrieben werden. Die Referenzlage unddie verformte Platte sind in Abbildung 2.2 dargestellt.

u(x, y, z) =

−z ∂w(x,y)∂x

−z ∂w(x,y)∂y

w(x, y)

, z ∈ (−h/2, h/2) (2.1)

Unter der Annahme kleiner Verschiebungsableitungen kann der linea-risierte Verzerrungstensor aus Gleichung (2.2) verwendet werden [10].

4

h

x

yzz

Ω

∂Ω

Abbildung 2.1: Skizze Platte - Koordinatensystem

y

z

ϕx ≈∂w∂x

w(x, y)

z1

z1

Abbildung 2.2: Verformte Platte - Schnitt in y-Richtung

5

εij =1

2

(

∂ui∂j

+∂uj∂i

)

i, j = x, y, z (2.2)

Wird Gleichung (2.1) in Gleichung (2.2) eingesetzt, so ergeben sich dieKomponenten des Verzerrungstensors in Gleichung (2.3).

εx =∂u

∂x= −z

∂2w

∂x2εy =

∂v

∂y= −z

∂2w

∂y2

εz =∂w

∂z= 0 γxy = 2εxy = −2z

∂2w

∂x∂y

(2.3)

Wegen der Betrachtung eines zweidimensionalen Gebietes bietet sichauch eine Tensornotation an, die nur die Komponenten in der Ebene berücksichtigt.Das zweidimensionale Äquivalent des Verzerrungstensors ist

ε̊ = iiεxx + ijεxy + jiεyx + jjεyy = ε̊c. (2.4)

Dabei sind i und j die Basisvektoren in der Plattenebene (in einemkartesischen Koordinatensystem ex und ey). ε̊

c ist der transponierte Verzer-rungstensor. Analog zu ε̊ aus Gleichung (2.4) werden der Differentialoperator∇̊, der Identitätstensor I̊ und der Spannungstensor σ̊ in der Ebene definiert.

∇̊ = i∂

∂x+ j

∂

∂y

I̊ = ii + jj

σ̊ = iiσxx + ijσxy + jiσyx + jjσyy = σ̊c

(2.5)

Damit kann der Verzerrungstensor ε̊ auch in der Form

ε̊ = −z sym(

∇̊∇̊w)

= −zκ̊ (2.6)

geschrieben werden. κ̊ wird als Tensor der linearisierten Krümmungen be-zeichnet. Seine Komponenten sind

6

κxx = −∂2w

∂x2, κyy = −

∂2w

∂y2, κxy = −

∂2w

∂x∂y. (2.7)

2.1.3 Gleichgewichtsbedingungen

In Analogie zur Balkentheorie werden auch bei Platten alle auftretendenSpannungen über die Dicke h der Platte integriert um resultierende Schnitt-größen zu erhalten.

M̊ =

∫ h/2

−h/2

σ̊ zdz =

[

Mxx MxyMyx Myy

]

,

Q̊ =

∫ h/2

−h/2

[

σxzσyz

]

dz .

(2.8)

M̊ ist der Tensor der Schnittmomente, Q̊ ist der Vektor der Querkräfte.Die Komponenten von M̊ und Q̊ in kartesischen Koordinaten sind

Mxx =

∫ h/2

−h/2

σxxz dz Myy =

∫ h/2

−h/2

σyyz dzMxy =

∫ h/2

−h/2

σxyz dz

qx =

∫ h/2

−h/2

σxz dz qy =

∫ h/2

−h/2

σyz dz

. (2.9)

Dabei sind Mxx und Myy die auftretenden Biegemomente, Mxy dasTorsions- oder Drillmoment, qx und qy werden als Querkräfte bezeichnet.Da die Integration nur über die Dicke der Platte erfolgt sind die Schnitt-größen auf Längeneinheiten bezogen. Die Momente haben daher die Dimen-sion Nm/m = N , die Querkräfte haben die Dimension N/m. Die Indizes derSchnittmomente bezeichnen den Normalvektor zur Schnittebene und habennicht die Bedeutung der Orientierung des Momentes selbst.Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors muss für den Tensor derSchnittmomente

M̊ = M̊c (2.10)

7

bzw. für die Torsionsmomente

Mxy = Myx (2.11)

gelten.

dx

dy

x

yz

Mxxdy

Myydx

Mxydy

Myxdx

q(x, y)dxdy

qxdy

qydx

(Mxx +∂Mxx∂x

dx)dy

(Myy +∂Myy∂y

dy)dx

(Mxy +∂Mxy∂x

dy)dx

(Myx +∂Myx∂y

dy)dx

(qx +∂qx∂x

dx)dy

(qy +∂qy∂y

dy)dx

Abbildung 2.3: Freigeschnittenes infinitesimales Plattenelement

Abbildung 2.3 zeigt ein freigeschnittenes infinitesimales Plattenelementder Länge dx und Breite dy. An diesem Plattenelement werden die statischenGleichgewichtsbedingungen betrachtet.

Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung ist

(qx +∂qx∂x

dx)dy + (qy +∂qy∂y

dy)dx− qx dy − qy dx+ p dx dy = 0. (2.12)

Division durch dx dy und Grenzübergang limdx,dy→0

ergibt die Beziehung

∂qx∂x

+∂qy∂y

+ p = 0. (2.13)

8

Das Momentengleichgewicht in x-Richtung um den Schwerpunkt desinfinitesimalen Plattenelements ergibt

Myydx+Mxydy − (Myy +∂Myy∂x

dx)dy − (Mxy +∂Mxy∂x

dx)dy

+ qydxdy

2+ (qy +

∂qy∂y

dy)dxdy

2= 0.

(2.14)

Division durch dx dy und Grenzübergang limdx,dy→0

ergibt sich die Bezie-

hung

∂Myy∂x

+∂Mxy∂x

− qy = 0. (2.15)

In Analogie zu Gleichung (2.15) ergibt sich aus dem Momentengleich-gewicht in y-Richtung die Beziehung

∂Mxx∂x

+∂Mxy∂y

− qx = 0. (2.16)

Werden Gleichung (2.15) und Gleichung (2.16) in Gleichung (2.13) ein-gesetzt ergibt sich daraus eine Differentialgleichung für die Schnittmomente.

∂2Mxx

∂x2+ 2

∂2Mxy∂x∂y

+∂2Myy

∂y2+ p = ∇̊ · ∇̊ · M̊+ p = 0 (2.17)

2.1.4 Konstitutive Beziehungen

Um die Differentialgleichung der Platte zu erhalten werden konstitutive Be-ziehungen, die Spannungen und Verzerrungen miteinander verknüpfen benötigt.Es werden Platten aus Materialien mit einem linearen Zusammenhang zwi-schen den Spannungen und Verzerrungen, auch Hook’sche Materialien ge-nannt, betrachtet. Die allgemeinste Form eines derartigen Materialgesetzesist

σ = 4C · ·ε. (2.18)

9

Gleichung (2.18) ist die verallgemeinerte Form eines Hook’schen Elas-tizitätsgesetzes, 4C ist der Elastizitätstensor 4. Stufe.

Für homogene und isotrope Materialien lautet das Hook’sche Gesetzfür den räumlichen Spannungs- und Verzerrungszustand

σ = λtr (ε) I+ 2µε (2.19)

beziehungsweise

Eε = (1 + ν)σ − νtr (σ) I. (2.20)

Der Elastizitätstensor hat in diesem Fall nur noch 2 voneinander un-abhängige Einträge. In Gleichung (2.19) sind diese die Lame-Parameter λund µ, in Gleichung (2.20) der Elastizitätsmodul E und die Poisson-Zahl(od. Querdehnzahl) ν.Gemäß den vereinfachenden Annahmen liegt in Platten ein ebener Span-nungszustand vor (σzz = 0, σxz = 0, σyz = 0). Der Zusammenhang zwischenSpannung und Verzerrungen kann für die Komponenten in der Ebene in derForm

Eε̊ = (1 + ν )̊σ − νtr (̊σ) I̊ (2.21)

bzw.

σ̊ =E

(1 + ν)ε̊+

νE

(1− ν2)tr (̊ε) I̊ (2.22)

geschrieben werden.

Die Spannungen aus Gleichung (2.22) werden in die Definition derSchnittmomente Gleichung (2.10) eingesetzt.

M̊ =

∫ h/2

−h/2

Ez

1− ν2

[

(1− ν) ε̊+ νtr(̊ε)̊I]

dz (2.23)

10

Wird in Gleichung (2.23) die Beziehung für die Verzerrungen aus Glei-chung (2.6) eingesetzt, ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen denSchnittmomenten und den Schnittkräften

M̊ = −K[

(1− ν) κ̊+ ν tr(̊κ) I̊]

. (2.24)

Dabei ist K die Plattensteifigkeit.

K =

∫ h/2

−h/2

E

1− ν2z2dz =

Eh3

12(1− ν)2. (2.25)

Werden die Gleichungen (2.22) und (2.6) in Gleichung (2.8) eingesetzt,so ergibt sich für die Querkräfte die Beziehung

Q̊ = K[

∇̊tr (̊κ)]

. (2.26)

2.1.5 Biharmonische Plattengleichung

Wird Gleichung (2.26) noch einmal abgeleitet (mit ∇̊· vor multipliziert, alsodie Divergenz berechnet) und in das Kräftegleichgewicht Gleichung (2.13)eingesetzt, führt das zur (biharmonischen) Plattengleichung.

K∆∆w − p = 0 (2.27)

Der Differentialoperator ∆ bezieht sich hierbei auf die Koordinaten inder Ebene.

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2(2.28)

Gleichung (2.17) führt zu den folgenden Gleichungen für die Biegemo-mente Mxx und Myy

11

Mxx = −K

(

∂2w

∂x2+ ν

∂2w

∂y2

)

= K(κxx + νκyy),

Myy = −K

(

∂2w

∂y2+ ν

∂2w

∂x2

)

= K(κyy + νκxx).

(2.29)

Wird

M =Mxx +Myy

1 + ν(2.30)

definiert, so führt Gleichung (2.29) zur Beziehung

M = −K∆w,

∆M = −K∆∆w.(2.31)

Nun wird Gleichung (2.27) in Gleichung (2.31) eingesetzt. Das führtzu zwei Poisson’schen Differentialgleichungen Gleichung (2.32) die statt derbiharmonischen Plattengleichung Gleichung (2.27) gelöst werden können.

∆M = q,

K∆w = −M(2.32)

2.1.6 Deformationsenergie

Für einen elastischen Körper gilt für die Deformationsenergie pro VolumenU allgemein

U =1

2tr (σ · ε) . (2.33)

Im Fall des in einer Platte vorliegenden ebenen Spannungszustandsvereinfacht sich der Zusammenhang zu

U =1

2tr (̊σ · ε̊) . (2.34)

12

In Gleichung (2.34) wird Gleichung (2.4) und des weiteren die Defi-nition der Schnittmomente aus Gleichung (2.9) eingesetzt und über die Di-cke der Platte integriert. Daraus folgt die Verzerrungsenergie der Platte proFlächeneinheit UA.

UA =1

2tr(

M̊ · κ̊)

(2.35)

Werden die Schnittmomente aus Gleichung (2.24) in Gleichung (2.35)eingesetzt folgt die Verzerrungsenergie pro Fläche als eine Funktion κ̊.

UA =D

2

[

(1− ν) tr (̊κ · κ̊) + ν{tr (̊κ)}2]

,

UA =D

2

[

(1− ν)(κ2xx + κ2yy + 2κ

2xy) + ν(κxx + κyy)

2]

(2.36)

2.1.7 Randbedingungen

Um die Differentialgleichungen der Platte (Gleichung (2.27) bzw. Gleichung (2.32))lösen zu können müssen entsprechende Randbedingungen formuliert werden.An den Rändern ∂Ω der Platte müssen die Schnittmomente oder die erstenAbleitungen der Verschiebung ∂w

∂nin Normalenrichtung, sowie die Querkräfte

oder die Verschiebung vorgegeben werden. Diese Formulierung der Randbe-dingungen wurde erstmals von Kirchhoff hergeleitet [13].

Im Folgenden werden drei unterschiedliche Randbedingungen jeweilsam geraden Rand x = 0 betrachtet:

Starre Einspannung: An Rändern mit starrer Einspannung verschwin-den die Verschiebung und deren Normalenableitung. Die Schnittmo-mente und Querkräfte sind beliebig. Diese Randbedingung ist eine reinkinematische.

w(x, y) = 0,∂w

∂x(x, y) = 0 (2.37)

Freier Rand: An freien Rändern verschwinden die Querkräfte unddie Schnittmomente. Folglich sind die Verschiebung und deren Nor-malenableitung an freien Rändern beliebig, es werden rein statische

13

Randbedingungen formuliert.

Mxx(x, y) = 0, Mxy(x, y) = 0,

qx(x, y) = 0(2.38)

Hier ist es im Allgemeinen nötig die Kirchhoff’sche Ersatzquerkraft q̄xeinzuführen und q̄x = 0 zu fordern. Darauf wird hier allerdings nichtnäher eingegangen.

Frei drehbar gelagerter Rand: an diesen Rändern verschwindet dieVerschiebung und das Schnittmoment normal zum Rand. Frei dreh-bar gelagerte Lagerungen sind gemischte Randbedingungen, da sowohlstatische als auch kinematische Größen vorgeschrieben werden.

w(x, y) = 0, Mxx(x, y) = 0 (2.39)

Zusätzlich verschwindet die Krümmung tangential zum Rand.

∂2

∂y2w(x, y) = 0 (2.40)

Aus Gleichung (2.29) ergibt sich, dass auch die Krümmung normal zumRand verschwinden muss und somit gilt für das Biegemoment am Rand

Myy(x, y) = 0. (2.41)

Alternativ kann die Randbedingung an frei drehbar gelagerten geradenRändern auch mit

w(x, y) = 0, ∆w(x, y) = 0 (2.42)

formuliert werden.

2.1.8 Eingeprägte Verzerrungen - Belastung durch verteilte Mo-

mente

Im Hook’schen Gesetz Gleichung (2.20) können auch im Material eingeprägteVerzerrungen ε̄ berücksichtigt werden.

σ = 4C · · (ε− ε̄) (2.43)

14

Eingeprägte Verzerrungen ε̄ können unter anderem durch Temperaturgra-dienten in der Platte oder piezoelektrisch aktive Strukturen hervorgerufenwerden. Deren Ursachen werden in dieser Arbeit jedoch nicht näher behan-delt.

Für den ebenen Spannungszustand und linear isotrope Materialien ver-einfacht sich das Materialgesetz analog zu Gleichung (2.22).

σ̊ =E

(1 + ν)(̊ε−˚̄ε) +

νE

(1− ν2)tr(

ε̊−˚̄ε)

I̊ (2.44)

Des weiteren wird angenommen, dass in den betrachteten Platten nur Verzer-rungskomponenten ε̄xx und ε̄yy eingeprägt werden. Das ist zum Beispiel füreingeprägte Verzerrungen zufolge eines Temperaturgradienten in z-Richtungder Fall [17] sowie bei einigen piezoelektrisch aktiven Materialien [8, 12].

Werden die eingeprägten Verzerrungen in Gleichung (2.23) eingesetzt,so folgen eingeprägte Momente.

M̊ =

∫ h/2

−h/2

Ez

1− ν2

[

(1− ν) ε̊+ νtr(̊ε)̊I]

dz (2.45)

Da nur Verzerrungen εxx und εyy in die Platte eingeprägt werden, folgendie entsprechenden eingeprägte Momente Mxx und M yy. Die eingeprägtenMomente können analog zu Gleichung (2.30) zu einem eingeprägten MomentM̄ zusammengefasst werden.

M =Mxx +M yy

1 + ν(2.46)

Gleichung (2.32) wird dann zu

∆M = q,

K∆w = −(

M +M) (2.47)

beziehungsweise wird 2.31 zu

M = −K∆w −M,

K∆(

M +M)

= −K∆∆w.(2.48)

15

Ebenso geht M in die statischen Randbedingungen ein.

16

2.2 FEM-Diskretisierung

Um eine effektive numerische Lösung der betrachteten Platten zu erhaltenwird die Methode der finiten Elemente angewandt. Dazu wird das betrachteteGebiet in (kleine) viereckige Teilgebiete unterteilt - die sogenannten finitenElemente. Jedem dieser Elemente werden 4 (lokale) Knoten zugeordnet.

2.2.1 Geometrische Interpolation

Die Verschiebung w(x, y) in einem finiten Element wird durch Knotenfrei-heitsgrade (in den Knoten) und Ansatzfunktionen im Element approximiert.Die lokalen Freiheitsgrade des Knotens i sind

Uilokal =

[

wi,∂wi

∂q1,∂wi

∂q2,∂2wi

∂q1∂q2

]T

≡[

wi, ∂1wi, ∂2w

i, ∂1,2wi]T

. (2.49)

q1 und q2 sind die lokalen Koordinaten im Element und laufen von −1bis 1. Die 4 Knoten im Element werden mit 1 bis 4 nummeriert. Das Gebieteines finiten Elements wird als Ωel bezeichnet.

Ωel = q1 × q2,

q1, q2 ∈ [−1, 1](2.50)

Die Verschiebung ist die Summe der lokalen Kontenfreiheitsgrade mul-tipliziert mit den Formfunktionen (Shape-Functions) Si,j.

w(q1, q2) =∑

n=1..4

wn Sn,1 + ∂1wn Sn,2 + ∂2w

n Sn,3 + ∂1,2wn Sn,4 (2.51)

Es werden bi-kubische Formfunktionen zur Interpolation des Verschie-bungsfeldes w(q1, q2) im finiten Element verwendet. Aus der Forderung, dassdie interpolierten Verschiebungen und deren Ableitungen an den Eckpunktendes finiten Elements mit den Knotenfreiheitsgraden übereinstimmen müssen,

17

ergibt sich eine eindeutige Menge von Ansatzfunktionen. Für die Freiheitsgra-de des ersten Knotens sind diese die Ansatzfunktionen aus Gleichung (2.52)[15]. Diese sind in Abbildung 2.4 graphisch dargestellt.

S1,1(q1, q2) =1

16(q1 − 1)

2(q2 − 1)2(q1 + 2)(q2 + 2),

S1,2(q1, q2) =1

16(q1 − 1)

2(q2 − 1)2(q1 + 1)(q2 + 2),

S2,3(q1, q2) =1

16(q1 − 1)

2(q2 − 1)2(q1 + 2)(q2 + 1),

S1,4(q1, q2) =1

16(q1 − 1)

2(q2 − 1)2(q1 + 1)(q2 + 1).

(2.52)

(a) Shapefunktion S1,1 (b) Shapefunktion S1,2

(c) Shapefunktion S1,3 (d) Shapefunktion S1,4

Abbildung 2.4: Ansatzfunktionen der Freiheitsgrade des Knotens 1 im Ba-siselement

Wird das betrachtete Gebiet Ω in quadratische Elemente der Größe

18

h× h unterteilt, so ergeben sich für die Differenziale dx und dy die folgendenSubstitutionsregeln

dx =h

2dq1

dy =h

2dq2 .

(2.53)

2.2.2 Energien

Die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingung und der statischen Randbedin-gungen ist äquivalent zum Prinzip des Minimums der totalen mechanischenEnergie in einer statischen Gleichgewichtslage [15, S. 169].

UΣ[w(qi)] = Udef + Uext → min (2.54)

Udef ist die Verzerrungsenergie der Platte, Uext ist die Energie deräußeren (externen) Belastungen p(x, y) und M(x, y). Ω ist das gesamte Ge-biet der betrachteten Platte. Die Integrale in Gleichung (2.54) werden jeweilsnur für einzelne finite Elemente ausgewertet und müssen anschließend assem-bliert werden.

Die Energie einer lateralen angreifende verteilten Flächenlast p(x, y) ineinem Element ist

Πextel = −

∫

Ωel

p(x, y) w dx dy . (2.55)

Ωel ist die Fläche eines finiten Elements. Diese wird von q1 × q2 beziehungs-weise [−1, 1]× [−1, 1] aufgespannt. Werden die lokalen Koordinaten in Glei-chung (2.55) substituiert, und für die Verschiebung w die Näherung aus Glei-chung (2.51) eingesetzt, so ergibt sich für die Energie einer Flächenlast

Πextel = −h2

4

∫ 1

−1

∫ 1

−1

p(q1, q2)w(q1, q2) dq1 dq2 . (2.56)

Für den Fall einer Belastung durch Gravitation wird die Flächenlast pdurch ρg ersetzt.

19

Die Energie ΠMomel eines angreifenden (äußeren) Moment gemäß Gleichung (2.46)ist

ΠMomel = −

∫

Ωel

M(κx + κy)dx dy = −h2

4

∫ 1

−1

∫ 1

−1

M(κx + κy)dq1 dq2 .

(2.57)

Integration von Gleichung (2.36) über die Fläche des finiten Elementsergibt die Deformationsenergie im Element Πdefel .

Πdefel =

∫

Ωel

1

2D

[

ν(κx + κy) + (1− ν)(κ2x + κ

2y + 2κ

2xy)

]

dx dy =

h2

4

∫ 1

−1

∫ 1

−1

1

2D

[

ν(κx + κy) + (1− ν)(κ2x + κ

2y + 2κ

2xy)

]

dq1 dq2

(2.58)

Die kinetische Energie Tel eines finiten Elements wird für die Kreisfre-quenz ω unter der Annahme harmonischer Anregungen und Verschiebungs-amplituden w̄(x, y, t) = w(x, y) sin(ωt) berechnet.

Tel =

∫

Ωel

1

2ρ ω2w(x, y)2dx dy =

h2

4

∫ 1

−1

ρ ω2w(q1, q2)2 dq1 dq2. (2.59)

Im Folgenden wird die kinetische Energie zur Ermittlung der Eigenformenund Eigenfrequenzen benötigt.

2.2.3 Assemblierung

Um ein Gleichungssystem für die gesamte Platte zu erhalten muss über allefiniten Elemente summiert werden. Allen lokalen Knoten der einzelnen Ele-mente werden globale Knotennummern zugewiesen. Zusätzlich müssen dievorgegebenen Randbedingungen berücksichtigt werden.

Betrachtet wird eine Platte mit den Abmessungen 2a× 3a. (Die Größeder Platte a muss zu diesem Zeitpunkt noch nicht genauer spezifiziert wer-den.) Die betrachtete Platte wird in 3n×2n Elemente unterteilt. Ein Element

20

hat somit die Größe a/n× a/n.Die gesamte Energie im System ergibt sich durch summieren der Energien inallen finiten Elementen.

UΣ =∑

allleElemente

Πdefel +Πextel +Π

Momel (2.60)

Die kinematischen Randbedingungen werden mit sogenannten Penalty-Termen berücksichtigt [15]. Für Knoten i, j am Rand, deren Verschiebung mit0 vorgegeben ist, wird ein zusätzlicher Energie-Term ΠPenalty berechnet.

Πi,jP enalty = αPwi,j (2.61)

Sind Verschiebungsableitungen am Rand ebenfalls vorgegeben, so könnendiese Randbedingungen analog zu Gleichung (2.61) berücksichtigt werden.Durch diese Methode werden Randbedingungen nur näherungsweise imple-mentiert, mit größer werdendem αP steigt jedoch die Genauigkeit der Ap-proximation [7].

Alternativ können die Knotenfreiheitsgrade am Rand durch zusätzlicheGleichungen identisch 0 gesetzt werden. Die Minimierung der Gesamtenergieaus Gleichung (2.54) ist äquivalent zur Lösung eines linearen Gleichungssys-tems [9]. Diese hat die folgende Form:

KUU = F (2.62)

U ist der Vektor der globalen Freiheitsgrade. Dieser setzt sich aus allenlokalen Freiheitsgraden zusammen. Jedem lokalen Knoten wird eine globa-le Knotennummer zugewiesen. Die globalen Knoten werden mit 2 Indizesnummeriert die von 0...3n und 0...2n laufen.

U =

U0,0

...Ui,j

...U3n,2n

(2.63)

21

Die Matrix K wird Steifigkeitsmatrix genannt. Sie kann durch Koef-fizientenvergleich der Gesamtenergie aus Gleichung (2.60) mit den globalenFreiheitsgraden U aus Gleichung (2.63) in der quadratischen Form erhaltenwerden. Somit gilt für die Deformationsenergie und die Energie der Penalty-Terme

Πdef +Πpenalty =1

2UTKUU. (2.64)

Der Vektor F wird als Lastvektor oder Vektor der externen Kräfte be-zeichnet. Er kann, analog zur Steifigkeitsmatrix, durch Koeffizientenvergleichder Gesamtenergie aus Gleichung (2.60) mit den globalen Freiheitsgraden inlinearen Form ermittelt werden [15, S. 176].

2.3 Implementierung

Die im Kapitel 2.2 beschriebene Diskretisierungsmethode wurde in dem Comp-uteralgebra-SoftwarepaketMathematica implementiert. Dieses stellt eine um-fangreiche Bibliothek von Funktionen und Algorithmen zur Verfügung. Füreine detailliertere Beschreibung der Implementierung in Mathematica wirdauf Vetyukov [15] verwiesen.

2.4 Assemblierte Platte

Zur Veranschaulichung von Ergebnissen wird eine Aluminiumlatte mit denAbmessungen 0.75m×0.5m und einer Dicke von 1mm betrachtet. Der Elasti-zitätsmodul wurde mit 6500N/mm2 angenommen, die Querdehnzahl ν = 0.3.Die Platte ist allseits frei drehbar gelagert und wird durch ihr Eigenge-wicht belastet. Die Dichte ist ρ = 2700kg/m3 und die Erdbeschleunigungg = 9, 81m/s2.

In Abbildung 2.5 ist die Durchbiegung der betrachteten Platte gra-phisch dargestellt. Die Platte wurde mit n = 24 vernetzt, das heißt die Plattewurde in 72 × 48 Elementen unterteilt. Um eine graphische Darstellung zuermöglichen ist die Durchbiegung um den Faktor 1000 vergrößert dargestellt.

22

Abbildung 2.5: Durchbiegung allseits frei drehbar gelagerte Platte

In Abbildung 2.6 ist das Schnittmoment in der Platte gemäß Glei-chung (2.30) dargestellt. Die Welligkeit der Lösung für die Biegemomente istauf die Implementierung der Randbedingungen, die Interpolation der Lösungin den einzelnen Elementen und den für die Lösung des linearen Gleichungs-system benutzen Algorithmus zurückzuführen.

Abbildung 2.6: Biegemoment allseits frei drehbar gelagerte Platte

In Abbildung 2.7 sind die Durchbiegung und die Schnittmomente ei-ner allseits starr eingespannten Platte graphisch dargestellt. Hier sind dieSchnittmomente an den Rändern von 0 verschieden, daher treten an denRändern keine Welligkeiten auf.

23

(a) Durchbiegung (b) Schnittmoment

Abbildung 2.7: Durchbiegung und Schnittmoment - allseits starr eingespann-te Platte

2.5 Analytische Lösungen

Zum Testen der Implementierung wurden die numerischen Ergebnisse mitanalytischen verglichen. Die Lösungen von Navier und Levy für rechteckigePlatten der Dimension a× b sind in der Literatur weit verbreitet. Ausgangs-punkt ist Gleichung (2.27).

K∆∆w(x, y) = p(x, y). (2.65)

2.5.1 Lösung nach Navier

Die Lösung von Navier für eine allseits gelenkig gelagerte Platte beruht aufeiner doppelten Fourier-Reihenentwicklung der Durchbiegung w(x, y) im Ge-biet x ∈ [0, a] 0, a und y ∈ [0, b]. Es wird vorausgesetzt, dass sich p(x, y) ineine doppelte Fourier-Reihe entwickeln lässt. [13, 6, 2]

w(x, y) =∞∑

m=1

∞∑

n=1

wmn sinmπx

asin

nπx

b, x ∈ [0, a] ; y ∈ [0, b] . (2.66)

Die Belastung p(x, y) wird ebenfalls in eine doppelte Fourier-Reihe ent-

24

wickelt.

p(x, y) =∞∑

m=1

∞∑

n=1

pmn sinmπx

asin

nπx

b(2.67)

Die Koeffizienten der Lösung wmn sind

wmn =pmn

Kπ4[

(

ma

)2+(

nb

)2]2 . (2.68)

Bei gleichförmiger Last p(x, y) = p0 verschwinden die Koeffizienten pmn fürgerade Indizes m = n = 2, 4, 6, ... .

Die Lösung von Navier weist jedoch vor allem für konzentrierte Ein-zellasten geringe Konvergenz auf. Die Biegemomente und Querkräfte weisenan Kraftangriffsstellen Singularitäten auf, welche nicht korrekt beschriebenwerden können.

2.5.2 Allgemeine Lösung nach Levy

Levy’s Methode zur Lösung der Durchbiegung einer an den Ränder x = 0und x = a frei drehbar gelagerten Platte geht von einer einfachen Fourierrei-henentwicklung aus.

w(x, y) =

∞∑

m=1

Fm(y) sin(mπx

a

)

(2.69)

Die Lösung wird in einen Partikuläranteil wP (x, y) und einen homoge-nen Teil wH(x, y) aufgespalten.

w(x, y) = wP (x, y) + wH(x, y) (2.70)

Die Funktion Fm(y) wird ebenso in einen Partikulärteil und einen homogenenTeil aufgespalten.

25

wP (x, y) =∞∑

m=1

F Pm(y) sin(mπx

a

)

,

wH(x, y) =∞∑

m=1

FHm (y) sin(mπx

a

)

,

w(x, y) =

∞∑

m=1

(

F Pm(y) + FHm (y)

)

sin(mπx

a

)

.

(2.71)

Für den homogenen Anteil FH(y) gilt

∞∑

m=1

[

d4FHm (y)

dy4− 2

(mπ

a

)2 d2FHm (y)

dy2+(mπ

a

)4 dFHm (y)

dy

]

sin(mπx

a

)

= 0 .

(2.72)Jeder Term der Summe in Gleichung (2.72) muss für sich 0 ergeben. FürFHm (y) ergibt sich die allgemeine Lösung

FHm (y) = Amemπya + Bme

−mπya + Cmye

mπxya +Dmye

−mπya . (2.73)

Die Koeffizienten Am, Bm, Cm und Dm müssen aus den Randbedingungender Differentialgleichung bestimmt werden. Die Belastung der Platte p(x, y)wird, analog zur Durchbiegung w(x, y) in eine Fourier-Reihe entwickelt.

p(x, y) =

∞∑

m=1

pm(y) sin(mπx

a

)

(2.74)

Die einzelnen pm(y) werden durch

pm(y) =2

a

∫ a

0

p(x, y) sin(mπx

a

)

dx (2.75)

berechnet. Für jedes F Pm(y) ergibt sich analog zu FHm (y) die Differentialglei-

chung

K

[

d4F Pm(y)

dy4− 2

(mπ

a

)2 d2F Pm(y)

dy2+(mπ

a

)4 dF Pm(y)

dy

]

= pm(y) . (2.76)

26

Die Lösung mithilfe eines einfachen Fourierreihenansatzes nach Levykann, da die Randbedingungen für die Ränder y = 0 und y = b in der allge-meinen Lösung Gleichung (2.71) nicht vorgegeben sind, auch für geklemmteRänder ermittelt werden. Mit dieser Methode erhaltene Lösungen könnenkombiniert werden und so kann auch eine Lösung für eine allseits geklemmteRechteckplatte gefunden werden. Des weiteren weist die Lösung mit einemeinfachen Fouriereihenansatz eine bedeutend bessere Konvergenz auf als dieLösung mithilfe eines doppelten Fourierreihenansatzes.

2.5.3 Lösung - allseits frei drehbar gelagerten Platte nach Levy

Betrachtet wird eine allseits frei drehbare Platte unter dem Einfluss einer kon-stanten Flächenlast p(x, y) = p0 im Gebiet x ∈ [0, a] und y ∈

[

− b2, b2

]

. DieKoeffizienten pm(y) für den betrachteten Lastfall werden mit Gleichung (2.75)berechnet.

pm(y) =

4p0mπ

; m = 1, 3, 5, ...

0; m = 2, 4, 6, ...(2.77)

Werden die Koeffizienten aus Gleichung (2.77) in Gleichung (2.76) eingesetztergibt sich F Pm(y).

F Pm(y) =4p0a

4

m5π5D; m = 1, 3, 5, ... (2.78)

Das Problem ist symmetrisch bezüglich der x-Achse, daher muss für dieLösung Fm eine entsprechende Symmetriebedingung gelten.

Fm(y) = Fm(−y) (2.79)

Die Bedingung aus Gleichung (2.79) erlaubt Gleichung (2.73) in zwei hyper-bolischen Funktionen zusammenzufassen.

w(x, y) =∑

m=1,3,5,...

[

Am coshmπy

a+Bmy sinh

mπy

a+

4p0a4

m5π5D

]

sin(mπx

a

)

(2.80)

27

Die verbleibenden Randbedingungen sind

w(x,±b

2) = 0 und

[

∂2w

∂y2

]

y=± b2

= 0 (2.81)

Damit ergibt sich die Lösung

w(x, y) =4p0a

4

π5K

∞∑

m=1,3,

1

m5

[

1−

(

ζm tanh ζm + 2

2 cosh ζm

)

cosh(mπy

a

)

+

1

2 cosh ζm

(mπy

asinh

(mπy

a

))

]

sin(mπx

a

)

,

(2.82)

mit

ζ =mπb

2a. (2.83)

2.5.4 Vergleich - analytischer und FEM Lösung

Die Lösung für die in Kapitel 2.4 untersuchten Platte wurden auch analytischermittelt. Die analytische Lösung ist in Abbildung 2.8 graphisch dargestellt.

Abbildung 2.8: Analytische Lösung

In Abbildung 2.9 wird die FEM-Lösung aus Kapitel 2.4 mit der ana-lytischen Lösung verglichen. In Abbildung 2.9a ist die absolute Abweichungder FEM-Lösung von der analytischen Lösung dargestellt. Abbildung 2.9bzeigt die relative Abweichung der FEM-Lösung von der analytischen Lösung

28

(a) Vergleich Analytische Lösung -FEM absolut

(b) Vergleich Analytische Lösung -FEM relativ

Abbildung 2.9: Vergleich der Analytischen Lösung und der FEM-Lösung

in % bezogen auf die maximale Durchbiegung der analytischen Lösung.

Der relative Fehler von (maximal) 0.35% ist auf Diskretisierungsfehlerder FEM und die nicht exakte Implementierung der Randbedingungen mitPenalty-Termen zurückzuführen.

29

30

3 Kompensation: Allseits eingespannte und

allseits frei drehbare Platte unter Eigenge-

wicht

Ein Ziel der Verwendung von Momentaktorik in Form von piezoelektrischenElementen ist die Kompensation einer durch verteilte äußere Belastungenhervorgerufenen Deformation einer Platte. Diese Deformationen können sta-tisch sein, in der praktischen Anwendung ist jedoch die Kompensation vonharmonischen Deformationen von größerer Bedeutung. Einerseits können Schwin-gungen in tragenden Strukturen störend auf weitere Elemente einer Kon-struktion wirken und z.B. exakte Positionierung erschweren. Andererseitskönnen schwingende Platten akustisch als Lärm wahrgenommen werden. Bei-des kann vermieden werden, wenn es gelingt die Deformation einer Plattekomplett zu unterdrücken.

3.1 Idee - Grundsätzliches

Es soll eine Verteilung des externen Moments M(x, y) so gefunden werden,dass die resultierende Deformation für die gesamte Platte exakt verschwindet.

w(x, y) = 0; ∀x, y ∈ Ω (3.1)

Unter Berücksichtigung eines eingebrachten Moments aus Gleichung (2.46)ergibt sich für das (gesamte) Schnittmoment folgende Gleichung

M̊ = 4K̊ · ·̊κ+M I̊ . (3.2)

Zuerst wird die erste der beiden Poisson’schen Differentialgleichungenaus Gleichung (2.32) betrachtet und umformuliert.

∇̊ · ∇̊ ·(

4K̊ · ·̊κ+M I̊)

+ p = 0

∇̊ · ∇̊ ·(

4K̊ · ·̊κ)

+(

∆M + p)

= 0(3.3)

31

Im ersten Schritt wird nur der zweite Summand von Gleichung (3.3)betrachtet. Dieser liefert eine Differentialgleichung für die einzubringendeMomentenverteilung.

∆M + p = 0 (3.4)

Um die Differentialgleichung (3.4) lösen zu können müssen Randbedin-gungen vorgegeben werden. Diese sind allerdings von den Randbedingungender Platte selbst abhängig. Das eingeprägte Moment hat nur einen Einflussauf die statischen Randbedingungen. Daher ergeben sich die folgenden Be-dingungen für M am Rand:

starre Einspannung: M kann am Rand beliebig gewählt werden.

Frei drehbar gelagert: M = 0, da dann der Term zufolge M in denRandbedingungen Mxx = 0 verschwindet. Die Lösung für M in diesemFall kann dann auch für die starre Einspannung verwendet werden.

Freier Rand: Da am freien Rand das Moment Mxx und die Kirch-hoff’sche Ersatzscherkraft q̄x verschwinden müssen, ergeben sich zweiRandbedingungen für M . Somit ist eine Lösung von Gleichung (3.4)nicht möglich.

Eine Lösung von Gleichung (3.4) kompensiert den zweiten Term vonGleichung (3.3) und diese reduziert sich zu

∇̊ · ∇̊ ·(

4K̊ · ·̊κ)

= 0. (3.5)

Die Lösung von Gleichung (3.5) ist noch von den Randbedingungenabhängig. Für eine allseits frei drehbar gelagerte Platte gilt mit M = 0

∆w(x, y) = 0 ∀x, y ∈ ∂Ω

w(x, y) = 0 ∀x, y ∈ ∂Ω(3.6)

Daher verschwindet die Verschiebung der gesamten Platte identisch.

w(x, y) = 0 ∀x, y ∈ Ω (3.7)

Im Fall der starren Einspannung mit w = 0 und ∂∂xw = 0 gilt dies aber auch

und es ergibt sich w = 0 für die gesamte Platte.

32

3.2 FEM-Diskretisierung - eingebrachtes Moment

Da bereits die Plattengleichung durch eine FEM-Diskretisierung numerischgelöst wird, bietet sich diese Vorgehensweise auch für die Lösung der Glei-chung der Momentaktorik (Gleichung 3.4) an.

In praktischen Anwendungen werden häufig piezoelektrische Patchesverwendet, welchen in bestimmten Dimensionen erhältlich sind. Diese Pat-ches liefern über ihre Fläche ein konstantes Aktormoment. Zufolge dieserÜberlegungen bietet sich eine Diskretisierung der Aktorik mit der Methodeder finiten Volumen an. Hierbei wird in einem diskreten Bereich ein konstan-tes Moment angenommen. Die Methode der finiten Volumen führt allerdingszu gleichen Steifigkeitsmatrizen wie die Methode der finiten Elemente mitlinearen Ansatzfunktionen und daher auch zu gleichen Lösungen [4]. Daherwurde die Methode der finiten Elemente gewählt.

Die Vorgangsweise bei der Diskretisierung ist grundsätzlich die gleiche,wie in Kapitel 2.2.

3.2.1 Interpolation

Das betrachtete Gebiet Ω wird wiederum in quadratische Teilgebiete, diesogenannten Finiten Elemente, unterteilt. Jedes finite Element besteht aus4 Knoten Im Inneren des finiten Element wird das Moment wiederum durchAnsatzfunktionen interpoliert. Im Gegensatz zur Diskretisierung der Durch-biegung der Platte werden hier lineare Interpolationsfunktionen verwendet.Ein finites Element hat wiederum die Dimension [−1, 1]× [−1, 1] die lokalenKoordinaten sind q1 und q2.

Ωel = q1 × q2, q1, q2 ∈ [−1, 1] (3.8)

Die lokalen Freiheitsgrade im Knotens i sind

Uilokal = Mi . (3.9)

Das Moment im finiten Element ergibt sich durch die Multiplikation derKnotenfreiheitsgrade mit den Interpolationsfunktionen (Shape-Functions).

33

M(q1, q2) =4

∑

i=1

M iSiM (3.10)

Die Interpolationsfunktionen sind durch die Forderung, dass die In-terpolation des Moments an den Eckpunkten der finiten Elemente mit denKnotenfreiheitsgraden übereinstimmt festgelegt.

S1M =1

4(q1 − 1) (q2 − 1)

S2M =1

4(q1 + 1) (q2 − 1)

S3M =1

4(q1 + 1) (q2 + 1)

S4M =1

4(q1 − 1) (q2 + 1)

(3.11)

Für die Differentiale dx und dy gelten wiederum die Substitutionsregelnaus Gleichung (2.53).

3.2.2 Energien und Potentiale

Die Lösung von Gleichung (3.4) ist - analog zu Kapitel 2.2.2 - äquivalent zurMinimierung der gesamten Energie.Das Potential des Moments ist

ΠMomM,el =h2

4

∫

Ωel

1

2

[

(

∂M

∂x

)2

+

(

∂M

∂y

)2]

dq1 dq2 . (3.12)

Das Potential der externen Kräfte p(x, y) ist

ΠextM,el =h2

4

∫

Ωel

p(q1, q2)Mdq1dq2 . (3.13)

Die Gesamtenergie in einem finiten Element ist dann

ΠM,el = ΠMomM,el +Π

extM,el . (3.14)

34

Die Energie aus Gleichung (3.14) kann nicht (wie jene in Kapitel 2.2)physikalisch interpretiert werden. Gleichung (3.12) ist die Bilinearform ei-ner Variationsformulierung. Formal ist ΠMomM,el einer physikalischen Energieähnlich, daher wird ΠMomM,el als (Ritz’sches) Energiefunktional bezeichnet [9].

3.2.3 Assemblierung

Die Assemblierung des Gesamtsystems erfolgt analog zu Kapitel 2.2. Es wirdein Gebiet der Größe 3a × 2a betrachtet, und diese wird in 3n × 2n finiteElemente unterteilt. Den lokalen Knoten werde globale Knotennummern mit2-dimensionalen Indizes i, j zugewiesen.

Zusätzlich müssen noch Randbedingungen in die Assemblierung einge-arbeitet werden. Es werden nur Ränder berücksichtigt, an denen das einge-prägte Moment verschwindet. An einer Platte sind das eingespannte und freidrehbar gelagerte Ränder.

Diese werden mit Penalty-Terms multipliziert und zu der Gesamtener-gie addiert.

Πpenalty = Ppenalty∑

i,j∈Rand

M i,j2

(3.15)

Die Konstante P penalty muss dabei um ein Vielfaches höher sein, als alleanderen Koeffizienten der Gesamtenergie. Diese Vorgehensweise entsprichtmechanisch dem Lagern des Randes auf nahezu unendlich steifen Federn. Inder vorliegenden Implementierung wurde P penalty = 1010 gewählt.

Analog zu Abschnitt 2.2.3 kann wiederum durch Koeffizientenvergleichein lineares Gleichungssystem zur Lösung des FEM-Problems gefunden wer-den.

KMM = FM (3.16)

Die Matrix KM wird als Steifigkeitsmatrix bezeichnet und besteht aus den

35

Quadratischen Termen der Gesamtenergie. M ist der Vektor der globalenFreiheitsgrade.

M =

M0,0

...M i,j

...M3n,2n

(3.17)

Der Vektor FM wird als Vektor der äußeren Kräfte bezeichnet.

3.3 Ergebnisse

Die im vorherigen Abschnitt beschriebene FEM-Diskretisierung wurde inMathematica implementiert. Es wurden die benötigte Momentverteilung zurKompensation der Durchbiegung einer Platte unter Eigengewicht mit denRandbedingungen allseits frei drehbar und allseits eingespannt ermittelt. DieParameter der Platte sind die Gleichen wie in Abschnitt 2.4.

Abbildung 3.1: FEM-Lösung - Moment zur Kompensation der Durchbiegungzufolge Eigengewicht

Der in Abbildung 3.1 dargestellte Momentenverlauf ist der Gleiche wiein Abbildung 2.6, jedoch mit negativem Vorzeichen.

36

3.3.1 Allseits frei drehbar gelagerte Platte

Das berechnete Moment wird als eingeprägtes Moment in eine allseits freidrehbar gelagerte Platte eingebracht. Die Durchbiegung zufolge der äußerenBelastung ist Abbildung 2.5 zu entnehmen. Die Durchbiegung zufolge der Ak-torik ist in Abbildung 3.2a dargestellt. Alle Größen in Abbildung 3.2 werdenum den Faktor 1000 vergrößert dargestellt. Abbildung 3.2b zeigt die Summeder Durchbiegung zufolge Eigengewicht und der Aktorik. Die maximale ver-bleibende Durchbiegung (nach Kompensation) ist um den Faktor 250 kleinerals die ursprüngliche (bezogen auf die jeweils maximale Verschiebung). Dieseverbleibende Abweichung ist auf Diskretisierungsfehler zurückzuführen undnimmt mit steigender Anzahl an verwendeten Elementen ab.

(a) Durchbiegung zufolge Momentakto-rik

(b) resultierende Durchbiegung - kom-pensiert

Abbildung 3.2: Kompensation der Durchbiegung zufolge Eigengewicht einerallseits frei drehbar gelagerten Platte

3.3.2 Allseits eingespannte Platte

Mit der mit den Randbedingungen M = 0 berechneten Momentverteilungkann auch die Deformation einer allseits (fest) eingespannten Platte kom-pensiert werden. Zwar verschwindet an deren Rändern das Biegemomenti.A. nicht, es leistet jedoch keine Arbeit, da auch die Krümmung an diesenRändern verschwindet.

Die Verschiebungen zufolge Aktorik und die aus der Überlagerung vonAktorik und äußerer Belastung resultierende Verschiebung sind in Abbildung 3.3

37

(a) Durchbiegung zufolge Momentakto-rik

(b) resultierende Durchbiegung - kom-pensiert

Abbildung 3.3: Kompensation der Durchbiegung zufolge Eigengewicht einerallseits eingespannten Platte

dargestellt. Die Verschiebungen sind um den Faktor 1000 vergrößert darge-stellt.Die verbleibende Verschiebung (nach Kompensation) ist um den Faktor 750kleiner als die Ursprüngliche (bezogen auf die jeweils maximale Verschie-bung). Die verbleibende Verschiebung ist eine Folge von Diskretisierungsfeh-lern.

3.3.3 Vergleich von Ergebnissen - Modal Assurance Criteria

Die Bewertung der Kompensation anhand der maximalen ursprünglichen undder maximalen verbleibenden Verschiebung ist u.U. nicht zielführend, be-sonders dann, wenn ein Verschwinden der Verschiebung auf der gesamtenPlatte das Ziel der Kompensation ist. Als Kriterium eignet sich das Modal-Assurance Criteria (MAC). Diese ist ein statistischer Indikator, vergleichbarmit Kohärenz. Ursprünglich wurde es entwickelt um Eigenformen auf Güteund Orthogonalität zu prüfen [1]. Das MAC zweier Vektoren A und B istdefiniert als

MAC =AB

(AA BB)1/2. (3.18)

38

Das MAC nimmt einen Wert zwischen 0 und 1 an, wobei 0 bedeutet, dass diebeiden Vektoren orthogonal sind, 1 bedeutet, dass die beiden Vektoren bis aufeinen Faktor identisch sind (bzw. im Sinne der linearen Algebra parallel sind).Zu beachten ist, dass somit lediglich die Form der Deformation bewertet wird,nicht deren Amplitude.

Für die Kompensation der allseits frei drehbar gelagerten Platte (Ab-bildung 3.2) ergibt sich ein MAC von 0.999992 für die eingespannte Platte(Abbildung 3.3) ein MAC von 1.Für die Bewertung einzelner, statischer Verschiebungsfelder ist das MACvon geringer Bedeutung. Erst beim Vergleich von mehreren Verschiebungs-feldern, insbesonder bei der Bewertung von Eigenformen ist das MAC aus-sagekräftiger.

39

40

4 Optimierungslösung

In Kapitel 3 wurde eine kontinuierliche Verteilung von eingeprägten Momen-ten - diskretisiert durch die FEM - ermittelt. Diese Verteilung ist in prak-tischen Anwendungen oft nur mit großem Fertigungsaufwand realisierbar.Eine Möglichkeit, die berechneten Verteilungen mit diskreten Bauelementenzu realisieren ist die Verwendung von piezoelektrischen Patches. Diese wer-den in verschiedenen Dimensionen hergestellt und können auf Strukturenaufgeklebt werden [11, 12].Ein weiterer gravierender Nachteil der im vorherigen Kapitel vorgestelltenMethode ist, dass für ihre Anwendung die Kenntnis des Moments M an denRändern der Platte Voraussetzung ist. Ein Beispiel dafür ist eine nur an ei-ner Seite eingespannte Platte, eine sogenannte Kragplatte, oder Platten, dienicht an allen 4 Ränder gleichartig gelagert sind.In diesem Kapitel soll die Verteilung von Momenten zur Kompensation einesgegebenen Verschiebungsfeldes mithilfe einer quadratischen Optimierung ge-funden werden. Hierbei fließen die Randbedingungen der Momente nicht indie Berechnungen eine. Es müssen lediglich die Randbedingungen der Plat-tengleichung berücksichtigt werden.

4.1 Vorbemerkung - Idee

Die im Kapitel 3 verwendete Methode der finiten Elemente setzt voraus,dass auf dem gesamten betrachten Gebiet Aktorik aufgebracht ist. In vie-len praktischen Anwendungen werden piezoelektrische Patches als Aktorenverwendet. Meist werden nur wenige dieser Patches appliziert, die nur einenkleinen Bereich des betrachteten Gebiets bedecken. Die von diesen Patches indie Struktur eingebrachten Momente sollen so verteilt sein, dass die Durch-biegung der gesamten Struktur minimal wird.

Allgemein werden nAct Aktoren betrachtet. Im ersten Schritt wird, umdie Assemblierung zu vereinfachen, angenommen, dass die gesamte Plattemit Aktoren bedeckt ist, die jeweils die Größe eines Finiten Elements haben.Die Durchbiegung w(x, y) wird zufolge äußerer Belastungen und der Akto-rik ermittelt. Im linearen Fall können Durchbiegungen zufolge der einzelnenLastfälle getrennt berechnet und anschließend überlagert werden [2]. wE istdie Durchbiegung zufolge äußerer Kräfte, wM die Durchbiegung zufolge derAktorik.

41

w(x, y) = wE(x, y) + wM(x, y) (4.1)

Der Vektor der externen Kräfte F aus Gleichung (2.62) kann aufgrundder Linearität ebenfalls in einen von der Belastung q(x, y) abhängigen Teil FQund einen von den Aktormomenten M iAct abhängigen Teil FM aufgespaltenwerden.

F = FM + FQ (4.2)

Die Aktormomente der nAct Aktoren werden in einem Vektor MActzusammengefasst.

MAct =

M1Act...

M iAct...

MnactAct

(4.3)

Die beiden Anteile der Durchbiegung aus Gleichung (4.1) können jeweilsseparat berechnet werden. Analog zu den Durchbiegungen können auch dieFreiheitsgrade der FEM-Diskretisierung separiert werden.

U = UQ +UM (4.4)

Für die Freiheitsgrade UQ undUM kann das aus der FEM gewonnene lineareGleichungssystem (2.62) separat gelöst werden.

KU ·UM = FM

KU ·UQ = FQ(4.5)

Der Vektor UM ist die Summe der Wirkung der einzelnen Aktoren.

UM =

nAct∑

i=1

UMiM iAct = KActMAct (4.6)

UMi ist die Wirkung (Lösung) des iten Aktors mit einem eingeprägten

Moment von 1, also das von Aktormoment M iAct der Größe 1 hervorgerufene

42

Verschiebungsfeld.Die einzelnen UM

i werden in der Matrix KAct zusammengefasst. KAct hatDimension 6n2 × nAct.

4.2 Freie Optimierung

Das Ziel der Aktorik ist die Kompensation der Verschiebung der gesamtenPlatte.

w(x, y) = 0, ∀x, y ∈ Ω (4.7)

Das lokale Kriterium Gleichung (4.7) kann durch Integration über diegesamte Plattenfläche in ein Optimierungsproblem umgeformt werden.

J(x, y,M(x, y)) = min!, ∀x, y ∈ Ω; M(x, y) ∈ R (4.8)

J ist das zu minimierende Zielfunktional.

J =

∫

Ω

w(x, y)2dxdy (4.9)

Die Zielfunktion aus Gleichung (4.9) kann mithilfe von Gleichung (2.51)analog zur Methode der Finiten Elemente näherungsweise berechnet werden.

J ≈ JD = UTU (4.10)

Zur Berechnung der Näherung der Zielfunktion JD werden nur die Verschie-bungen und deren Ableitungen in den Knotenpunkten der Finiten Elementeherangezogen. Auf die Integration über die einzelnen Elemente kann ver-zichtet werden, da, wenn alle Kontenfreiheitsgrade identisch 0 sind auch dieInterpolation der Verschiebung in den Elementen 0 ist.In die Zielfunktion Gleichung (4.10) werden die Gleichungen (4.4), (4.5) und(4.6) eingesetzt.

JD = (UQ +KActMAct)T (UQ +KActMAct) (4.11)

43

Das (uendlichdimensionale) kontinuierliche Optimierungsproblem Glei-chung (4.8) wird zu einem endlich dimensionalen Problem mit nAct freienVariablen.

JD(MAct) = min!, MAct ∈ RnAct (4.12)

Durch Umformen der Zielfunktion ist ersichtlich, dass es sich bei dem Opti-mierungsproblem Gleichung (4.12) um eine quadratisches Optimierung ohneNebenbedingungen handelt [5].

JD = MActTKAct

TKActMAct + 2UQT (KActMAct) +UQ

TUQ (4.13)

Der Summand UQTUQ in Gleichung (4.13) kann von der Zielfunktion

subtrahiert werden, da er nicht von den freien Variablen abhängig ist.

J̄D = MActTKAct

TKActMAct + 2UQT (KActMAct) (4.14)

Gleichung (4.14) ist eine Lagrange-Funktion für das OptimierungsproblemGleichung (4.12) [5]. Das Optimierungsproblem kann durch Ableiten derLagrange-Funktion nach den freien Variablen (MAct) und anschießendem0-setzen der Ableitung gelöst werden.

∂

∂MActJ̄ =

∂

∂MAct

[

MActTKAct

TKActMAct + 2UQT (KActMAct)

]

=

2[

KActTKActMAct +UQ

TKAct]

= 0

(4.15)

Das Lösen des Optimierungsproblem Gleichung (4.12) ist somit gleich-bedeutend mit dem Lösen des linearen Gleichungssystems (4.15).

Sind die gewählten Aktoren identisch mit der Diskretisierung der FEMaus Kapitel 3, sind auch die Ergebnisse identisch. Das ergibt sich zwangsläufigaus der Äquivalenz des Lösens FEM und des Lösens eines Optimierungspro-blems [9]. Ein wesentlicher Vorteil der in diesem Kapitel entworfenen Me-thode ist, dass nun eine gegebenes Verschiebungsfeld UQ kompensiert wird.

44

Die Ursachen dieser Verschiebungen treten im Optimierungsproblem nicht inErscheinung. Für statische Probleme entsteht dadurch kein wesentlicher Un-terschied, da die Belastungen ohnehin gegeben sind um die VerschiebungenUQ zu erhalten. Sollen jedoch Aktormomente ermittelt werden, die eine Ei-genform der Platte kompensieren, so existiert dazu keine äußere Belastung.Um die Methode aus Kapitel 3 anwenden zu können müsste hierzu ersatzwei-se eine äquivalente äußere Belastungsverteilung qequ(x, y) ermittelt werden.Desweiteren ist es nicht notwendig, die Randbedingungen für das Problemder Momentaktorik Gleichung (3.4) gesondert zu betrachten, da diese eben-falls in der Optimierung nicht vorkommen.

4.2.1 Implementierung

Das im vorherigen Abschnitt beschriebene Verfahren wurde wiederum in Ma-thematica implementiert. Die in den folgenden Abschnitten präsentierten Er-gebnisse sind mit einer Diskretisierung von n = 6 berechnet worden, das heißtmit 18× 12 Elementen. Dadurch verringert sich der Rechenaufwand und da-mit die Rechenzeiten erheblich. Der Diskretisierungsfehler ist mit n = 6 nochin einem akzeptablen Bereich. Für die allseits frei drehbar gelagerte Platteergibt sich hier ein maximaler relativer Fehler (bezogen auf die maximaleDurchbiegung der analytischen Lösung) von −1, 5%.

4.2.2 Kompensation Kragplatte 1

Die Durchbiegung einer Kragplatte zufolge ihres Eigengewichts soll kompen-siert werden. Eine Kragplatte ist eine an einer Seite eingespannte Rechteck-platte, deren restliche Ränder freie Ränder sind. In diesem Fall ist der linkeRand (x = 0) eingespannt. Auf der gesamte Platte ist Aktorik aufgebracht.Die betrachtete Platte hat die gleichen Abmessungen und Parameter wie jeneaus Kapitel 2.4.

In Abbildung 4.1a ist die Durchbiegung zufolge Eigengewicht graphischdargestellt. Abbildung 4.1b zeigt die Durchbiegung zufolge der Mithilfe desOptimierungsalgorithmus berechneten Aktorik. In Abbildung 4.1c ist die ausEigengewicht und Aktorik resultierende Durchbiegung dargestellt. Abbildung4.2 zeigt die berechnete Momentverteilung. Wird das MAC auf die hier be-rechneten Deformationen angewandt, so ergibt sich ein Wert von 0, 999993

45

(a) Durchbiegung - Ei-gengewicht

(b) Durchbiegung - Mo-ment

(c) Resultierende Durch-biegung - kompensiert

Abbildung 4.1: Kompensation der Durchbiegung einer Kragplatte

Abbildung 4.2: Momentverteilung zur Kompensation der Durchbiegung einerKragplatte

46

4.2.3 Kompensation Kragplatte 2

In Abbildung 4.2 ist zu erkennen, dass die Aktormomente am eingespanntenRand in der Mitte die betragsmäßig größten sind. Jene an den freien Rändernsind nahezu 0.

Es kann mithilfe der Lösung des Optimierungsproblems auch eine Ak-torik berechnet werden, die nicht die ganze Platte bedeckt. Aus den in Ab-bildung 4.2 dargestellten Ergebnissen ergibt sich, dass die Aktorelemente ameingespannten Rand

”effektiver“ sind als jene am freien Rand. Daher soll

eine Aktorik berechnet werden, die nur jenen Bereich bedeckt, in dem diese

”effektiv“ arbeitet. Konkret gewählt wurde ein Bereich mit einer Größe von2× 4 Elementen. Dies sind am eingespannten Rand in der Mitte platziert.

Die Ergebnisse dieser Optimierung sind in Abbildung 4.3 dargestellt.Die resultierende Durchbiegung ist in Abbildung 4.4a, dargestellt, der resul-tierend Momentenverlauf in der Platte in Abbildung 4.4b. Für diese Vertei-lung von Aktorik ergibt sich ein MAC von 0, 997236.

Abbildung 4.3: Momentverteilung zur Kompensation der Durchbiegung einerKragplatte - Aktorik am Rand

47

(a) Resultierende Durchbiegung (b) Resultierender Momentenverlauf

Abbildung 4.4: Kompensation der Durchbiegung einer Kragplatte Aktorikam Rand der Platte

48

4.3 Restringierte Optimierung

Ein Nachteil der bisher vorgestellten Methoden zur Berechnung einer Ak-torik mit dem Ziel der Kompensation bestimmter äußerer Belastungen ist,dass das Aktormoment beliebig wählbar ist, und daher beliebig groß wer-den kann. Werden die beiden Beispiele der Kragplatte aus dem vorhergehen-den Abschnitt verglichen, so ist zu erkennen, dass bei geringer geometrischerAusdehnung der Aktorik die eingebrachten Momente beträchtlich steigen.Desweiteren stiegt das zur Kompensation der Durchbiegung zufolge Eigen-gewicht benötigte Moment am gelagerten Rand x = 0 linear mit deren Länge(Ausdehnung in x-Richtung).

Die meisten in praktischen Anwendungen verwendeten Aktoren erlau-ben jedoch nur Moment bis zu einem maximalen Wert MMax aufzubringen.Diese Beschränkung der Aktorik darf nicht überschritten werden.Mathematisch kann eine Beschränkung des maximal zulässigen Aktormo-ments in Form einer Ungleichung formuliert werden.

|M iAct| ≤ MMax; i = 1...nAct (4.16)

Die Ungleichung (4.16) ist eine Nebenbedingung für das Optimierungspro-blem Gleichung (4.12). Dieses lautet somit

min J̄

s.t.(

M iAct)2

< MMax2.

(4.17)

4.3.1 Implementierung

Für diese Optimierungsprobleme existieren eine Vielzahl von Lösungsalgorithmen.Hier wird auf die Literatur verwiesen [5, 16, 9].

Zur Lösung des Optimierungsproblems wurde der Algorithmus Minimi-ze des Symbolischen Mathematikprogramms Mathematica verwendet. DieseFunktion berechnet das exakte globale Optimum [16].

49

4.3.2 Kompensation Kragplatte - beschränkte Aktorik

Die Kragplatte mit Aktorik auf der gesamten Platte aus dem vorherigenAbschnitt wurde mit einem maximalen Aktormoment von 25Nm/m berech-net. Die Aktormomente sind in Abbildung 4.5 dargestellt. Nur zwei Aktorenwerden mit dem maximalen Aktormoment beaufschlagt. Die resultierendeDurchbiegung und der resultierende Momentenverlauf sind in Abbildung 4.6dargestellt. Die resultierende Durchbiegung unterscheidet sich kaum von je-ner ohne Beschränkung der Aktormomente. Das ist eine Folge der aus dergroßen Zahl von Aktoren. Da - im Vergleich zur unbeschränkten Aktorik - nur2 Aktoren in ihrer Wirkung eingeschränkt wurden, kann diese Beschränkungvon anderen Aktoren kompensiert werden.

Abbildung 4.5: Momentverteilung zur Kompensation der Durchbiegung einerKragplatte - Beschränkung 25 Nm/m

Um die Auswirkung der Beschränkung besser darstellen zu können wur-de die Aktorik der Kragplatte ein weiteres Mal mit einer Beschränkung derAktormomente von 5Nm/m berechnet. In diesem Fall ist die Beschränkungniedriger gewählt als das Schnittmoment am eingespannten Rand. Die Ak-torik und die resultierende Durchbiegung sind in Abbildung 4.7 dargestellt.

Die Aktormomente aus Abbildung 4.7b zeigen, dass jetzt ein großer Teilder Aktoren mit dem maximalen Aktormoment beaufschlagt wird. Daherergibt sich auch eine größere resultierende Durchbiegung. Das MAC ergibtfür diese Kompensation einen Wert von 0.99893.

50

(a) Resultierende Durchbiegung (b) Resultierender Momentenverlauf

Abbildung 4.6: Kompensation der Durchbiegung einer Kragplatte zufolgeEigengewicht - Beschränkung 25Nm/m

(a) Resultierende Durchbiegung(b) Verteilung der Aktormomente zurKompensation der Durchbiegung

Abbildung 4.7: Kompensation der Durchbiegung einer Kragplatte zufolgeEigengewicht - Beschränkung 5Nm/m

51

52

5 Generischer Algorithmus

Die bisher vorgestellten Methoden lieferten eine optimale Beaufschlagungder Aktorik. Deren Verteilung beziehungsweise deren Geometrie müssen da-bei bereits gegeben sein. Für praktische Anwendungen ist es oft von Interesseso wenige Aktoren als nötig zu verwenden, da diese im Allgemeinen mit Fer-tigungsaufwand und Produktionskosten verbunden sind. In diesem Kapitelwird ein evolutionärer Algorithmus beschrieben, der das Ziel hat eine opti-male Verteilung beziehungsweise eine günstige Platzierung von Aktoren zurKompensation eines vorgegebenen Verschiebungsfeldes zu finden. Ein Algo-rithmus dieser Art wurde in [14] vorgestellt. Dieser bildete die Grundlage fürdieses Kapitel.

5.1 Idee

Aktoren, die mit einem (vergleichsweise) geringen Moment beaufschlagt wer-den liefern nur einen kleinen Beitrag zur Kompensation eines vorgegebenenVerschiebungsfeldes. Diese Aktoren können aus der Struktur entfernt wer-den, ohne große Veränderungen der erreichten Kompensation. Im Beispielder Kragplatte sind das Aktoren, die am freien Rand gegenüber der Ein-spannung der Platte platziert sind.

Diese grundsätzliche Idee kann systematisch angewandt werden. Ausder Struktur sollen sukzessiv jene Aktoren entfernt werden, die mit dem je-weils minimalen Moment beaufschlagt werden. Anschließend wird eine neueVerteilung von Momenten berechnet und der gesamte Vorgang wird wie-derholt, bis ein bestimmtes Abbruchkriterium erreicht ist. Bezüglich des Ab-bruchkriteriums und der Methode zur Optimierung der Aktorik im jeweiligenIterationsschritt ist dieser Algorithmus flexibel. Ein mögliches Abbruchkrite-rium ist, so lange Aktoren aus der Struktur zu entfernen, bis alle verbliebenenAktoren mit dem maximalen Moment Mmax beaufschlagt sind. Eine weite-re Möglichkeit ist die Anzahl von Aktoren, die in der Struktur verbleibensollen vorzugeben und so lange Aktoren zu entfernen, bis die gewünschteAnzahl an Aktoren verblieben ist. Bei dieser Vorgehensweise ist jedoch eineBeschränkung des maximal zulässigen Aktrormoments nicht möglich.

In Abbildung 5.1 ist der beschriebene Algorithmus zur Berechnung einerAktorverteilung schematisch dargestellt.

53

Initialisierung

MAct berechnen

Abbruchkriterium erfüllt?

min. M iAct finden

min. M iAct entfernen

neues MAct berechnen

EndeJa

Nein

Abbildung 5.1: Schema des evolutionären Optimierungsalgorithmus

54

5.2 Implementierung

Der beschriebene Algorithmus wurde wiederum in Mathematica implemen-tiert. Die Übergabeparameter des Algorithmus sind das maximal zulässigeAktormoment Mmax, die zu kompensierende Deformation, eine Liste derWirkung der einzelnen Aktoren, die Anzahl von Aktoren zu Beginn des Op-timierungsprozesses und die maximale Anzahl von Iterationen. Das maxi-mal zulässige Aktormoment wird für alle Aktoren gleich vorgegeben. Dieseskönnte auch für jeden Aktor einzeln definiert werden, darauf wird hier jedochverzichtet. Als Abbruchkriterium wurde die maximale Anzahl an Iterationenimplementiert sowie die Bedingung, dass alle in der Struktur befindlichenAktoren mit mehr als einem bestimmten Moment beaufschlagt werden.

Aus den Ergebnissen der Kompensation der Durchbiegung einer Krag-platte unter Eigengewicht aus Kapitel 4 ist ersichtlich, dass in manchen Fällenviele Aktoren nur mit sehr geringen Momenten beaufschlagt werden. Daherwerden im Schritt

”min. M iAct entfernen“ nicht nur jene Aktoren entfernt,

die mit dem minimalen Moment beaufschlagt werden, sondern alle Aktorendie mit weniger als 1.1 Mmin beaufschlagt werden.

Das Ergebnis des Algorithmus ist ein Vektor der die Momente M iActenthält. Dass ein Aktor aus der Struktur entfernt wurde, wird im Ergebnisdargestellt, indem der entsprechende Wert M iAct identisch 0 gesetzt wird.

Analog der schematischen Darstellung in Abbildung 5.1 wurde der Al-gorithmus in folgenden Teilen implementiert:

Initialisierung: die benötigten Variablen werden deklariert beziehungs-weise angelegt.

MAct berechnen: hier wird die initiale Beschaltung der Aktorik be-rechnet. Dazu wird das restringierte Optimierungsproblem aus Kapitel4.3 gelöst. Diese Verteilung von Aktorik wird Generation 0 genannt.

Iterationsschleife: Hier wird in jedem Schritt geprüft, ob das gewählteAbbruchkriterium erfüllt wurde und ob die maximale Anzahl an Ite-rationen noch nicht überschritten wurde. In jedem Schleifendurchlaufwerden die folgenden Schritte durchgeführt:

– minimales M iAct finden: es wird eine Liste jener Aktoren erstellt,die mit weniger als dem 1.1-fachen des minimal aufgebrachten

55

Moments beaufschlagt werden.

– minimales M iAct entfernen: die zuvor gefundenen Aktoren wer-den aus der Platte entfernt und im Ergebnisvektor wird an denentsprechenden Stellen 0 eingetragen.

– neues MAct berechnen: Es wird wiederum das restringierte Op-timierungsproblem gelöst und somit eine neue Verteilung von Mo-menten der reduzierten Aktorik gefunden. Für den n-ten Schlei-fendurchlauf wird diese Aktorik Generation n genannt.

5.3 Ergebnisse

Um die Funktionsweise des Algorithmus exemplarisch zu zeigen, soll eine op-timale Platzierung von Aktoren für die Kompensation der Kragplatte unterEigengewicht gefunden werden. Als Abbruchkriterium wird hierbei formu-liert, dass alle in der Struktur verbleibenden Aktoren mit mindestens 85 %des maximal zulässigen Aktormoments beaufschlagt werden. Um die Rechen-zeit zu verringern werden als initiale Konfiguration n× n Aktoren mit einerGröße von jeweils 3 × 2 Elementen auf der Platte verteilt. Für die FEM-Diskretisierung wird n = 6 gewählt, die Aktorik wird mit Mmax = 5 Nm/mbeschränkt.

In Abbildung 5.2 ist der Verlauf der Optimierung zu sehen. In diesemBeispiel sind bereits zu Beginn des Optimierungsprozesses ein großer Teil derAktoren mit dem maximal zulässigen Moment beaufschlagt. Die Schnittmo-mente in der Kragplatte sind zufolge Eigengewicht am eingespannten Randfür dieses Beispiel höher als das maximal zulässige Aktormoment. Daherist eine Kompensation der Verschiebung w auf der gesamten Platte nichtmöglich. Aus diesem Grund ist des weiteren die Optimierung bereits nach 8Generationen abgeschlossen und es verbleibt eine große Zahl von Aktoren inder Struktur.

In Abbildung 5.3 sind die resultierenden Durchbiegungen mit der Ak-torik der 0., der 4. und der 8. Generation dargestellt. Zwischen der resultie-renden Durchbiegung der Startgeneration und der 4. Generation sind nochkaum Unterschiede zu erkennen. Die Wirkung der in den ersten 4 Schrittender Optimierung entfernten Aktoren kann noch weitgehend von den verblie-benen Aktoren kompensiert werden.

56

Das MAC für diese Generationen ergibt 0.99783, 0.99783 und 0.99892.Somit liefert das MAC für die letzte Generation einen besseren Wert als fürdie ersten beiden. An diesem Beispiel zeigt sich ein Schwachpunkt des MAC,da dieses nur die Ähnlichkeit von Verschiebungsfeldern bewerten kann.

Zur Kompensation der Durchbiegung einer Kragplatte zufolge Eigen-gewicht wurde eine weitere Optimierung durchgeführt, allerdings mit einemmaximal zulässigen Aktormoment von 25 Nm/m. Hier wurden nach dem 18.Schleifendurchlauf des Optimierungsalgorithmus eine Akrotik gefunden, beider alle verblieben Aktoren mit Mmax beaufschlagt werden. Im Gegensatz zurOptimierung mit Mmax = 5 verbleiben lediglich 3 Aktoren in der Struktur.Die Verteilung der Aktormomente und die resultierende Durchbiegung fürdie 0., die 8. und die 18. Generation des Optimierungsprozesses sind in denAbbildungen 5.4 und 5.5 dargestellt.

57

(a) Startgeneration - Ge-neration 0 (b) 1. Generation (c) 2. Generation

(d) 3. Generation (e) 4. Generation (f) 5. Generation

(g) 6. Generation (h) 7. Generation (i) 8. Generation

Abbildung 5.2: Verlauf der Aktorik bei der Optimierung - 8 Generationen

58

(a) Generation 0 (b) Generation 4 (c) Generation 8

Abbildung 5.3: resultierende Durchbiegung der 0., 4. und 8. Generation desOptimierungsprozesses

(a) Generation 0 (b) Generation 9 (c) Generation 18

Abbildung 5.4: Verlauf der Aktorik - 0., 9. und 18. Generation des Optimie-rungsprozesses

(a) Generation 0 (b) Generation 9 (c) Generation 18

Abbildung 5.5: resultierende Durchbiegung - 0., 9. und 18. Generation desOptimierungsprozesses

59

60

6 Kompensation Eigenformen

Als Eigenformen einer Struktur werden Verschiebungsfelder bezeichnet, dieohne die Einwirkung einer äußeren Belastung bei einer zugehörigen Frequenz(der sogenannten Eigenfrequenz) harmonisch schwingen. Sind harmonischeäußere Belastungen mit den Eigenfrequenzen vorhanden, können diese zubeliebig hohen Auslenkungen führen. Diese Eigenschwingungen stellen oftein Problem dar, häufig in Form von störenden Vibrationen, akustischemSchall oder kritischen Verschiebungen.

In diesem Kapitel sollen Verteilungen von Aktorik mithilfe der in Ka-pitel 5 vorgestellten Methode gefunden werden, um die Eigenformen einerPlatte zu kompensieren.

6.1 Bewegungsgleichung

Für dynamische Probleme sind die Freiheitsgrade der FEM U im allgemei-nen zeitabhängig. In der FEM wird die Methode der Separation der Varia-blen angewandt. Die Knotenfreiheitsgrade werden als Multiplikation einerZeitfunktion U t und einer Funktion des Ortes Ux dargestellt.

Ui(x, t) = Uxi (x)U

ti (t) (6.1)

Um die Bewegungsgleichung einer Platte zu erhalten wird die kineti-sche Energie benötigt. Analog zu der Verzerrungsenergien kann die kinetischeEnergie der gesamten Platte nach der Assemblierung in der Form

T =1

2U̇TM U̇ (6.2)

geschrieben werden. Dabei wird M als Massenmatrix bezeichnet. Dieeinzelnen Komponenten der Massenmatrix können wiederum durch Koeffizi-entenvergleich erhalten werden.Die Bewegungsgleichung einer mit der FEM diskretisierten Platte kann mit-hilfe der Lagrange-Gleichung berechnet [15] werden und ergibt sich zu

61

MÜ(t) +KUU(t) = F(t). (6.3)

6.2 Berechnung Eigenformen

Werden Eigenschwingungen betrachtet, so werden harmonische und einge-schwungene Zustände des freien Systems betrachtet (d.h. der Vektor derexternen Kräfte F(t) = 0). Allgemein können als Zeitfunktionen der Frei-heitsgrade Winkelfunktionen mit Phasenverschiebungen verwendet werden.Somit ergibt sich für den (globalen) Vektor der Freiheitsgrade der FEM

U(t) = U sin (ωt+ ϕ) . (6.4)

Wird diese Verschiebung nun in die Bewegungsgleichung (6.3) einge-setzt so erhält man die Gleichung

(

−Mω2 +KU)

U sin (ωt+ ϕ) = 0. (6.5)

Diese Gleichung kann für bestimmte Frequenzen ω, die sogenannten Ei-genfrequenzen, und zugehörigen Vektoren U, die Eigenvektoren, gelöst wer-den. Die Eigenvektoren beschreiben in Kombination mit den Interpolations-funktionen Eigenformen der Platte. Diese sind im Allgemeinen nur von derGeometrie, dem Material und den Randbedingungen der Platte abhängig.

Treten harmonische externe Erregungen bei den Eigenfrequenzen auf,so kann es zu sehr großen Auslenkungen der Platte kommen. Da hier kei-ne Dämpfungsmechanismen modelliert wurden führen Anregungen mit denexakten Eigenfrequenzen zu unendlich großen Auslenkungen.

Mit den Eigenvektoren U können mithilfe des generischen Algorithmusaus Kapitel 5 Verteilungen von Aktorik gefunden werden, so dass störendeAnregungen im Bereich der Eigenfrequenzen gedämpft oder idealerweise eli-miniert werden können.

62

6.3 Ergebnisse

Kragplatte

In Abbildung 6.1 sind die ersten 9 Eigenformen einer Kragplatte dargestellt.Die berechneten Eigenfrequenzen sind in Tabelle 1 zu entnehmen.

1. Eigenfrequenz 9.12 rad/s2. Eigenfrequenz 30.8 rad/s3. Eigenfrequenz 56.7 rad/s4. Eigenfrequenz 103 rad/s5. Eigenfrequenz 141 rad/s6. Eigenfrequenz 163 rad/s7. Eigenfrequenz 212 rad/s8. Eigenfrequenz 225 rad/s9. Eigenfrequenz 316 rad/s

Tabelle 1: Eigenfrequenzen einer Kragplatte

Für die ersten 6 Eigenformen soll eine Verteilung der Aktorik berechnetwerden, so dass Schwingungen dieser Eigenformen gedämpft beziehungsweiseunterdrückt werden können. Dazu wird der in Kapitel 5 vorgestellte Algo-rithmus verwendet. Dabei wurde keine Beschränkung der Aktorik vorgeben,da nur eine Verteilung von Aktoren und das Verhältnis der einzelnen Mo-mente von Interesse ist. Die Ergebnisse der Optimierung für die jeweiligenEigenformen sind in Abbildung 6.2 dargestellt, die Durchbiegungen zufolgeder jeweiligen Aktorik sind in Abbildung 6.3 dargestellt.

Um die Möglichkeit zur Kompensation der Eigenfrequenzen bewertenzu können wird das MAC verwendet. Dabei wird eine quadratischen Matrixder Dimension n × n gebildet, deren i,j-ter Eintrag das MAC ist, welchesaus den Verschibungsvektoren zufolge der Aktorik zur Kompensation deri-ten Eigenfrorm und der j-ten Eigenform gebildet ist. Würden alle Eigen-formen ideal kompensiert, so wäre diese Matrix eine Einheitsmatrix. Für dieerrechnete Aktorik ist die Matrix der MAC-Einträge in Abbildung 6.4 dar-gestellt. In Abbildung 6.1 ist ersichtlich, dass die 1. und die 3. EigenformÄhnlichkeiten aufweisen. Das Selbe gilt für die Durchbiegungen zufolge derAktorik zur Kompensation der 1. und 3. Eigenform. Daher sind auch dieentsprechenden MAC-Kriterien vergleichsweise hoch. Die Abweichung der inAbbildung 6.4 dargestellten Matrix von dem idealen Ergebnis der Einheits-

63

(a) 1. Eigenform (b) 2. Eigenform (c) 3. Eigenform

(d) 4. Eigenform (e) 5. Eigenform (f) 6. Eigenform

(g) 7. Eigenform (h) 8. Eigenform (i) 9. Eigenform

Abbildung 6.1: Eigenformen einer Kragplatte

matrix ist ein Indiz dafür, dass mit der Aktorik zur Kompensation der 1.Eigenform auch die 3. Eigenform gut angeregt werden kann und umgekehrt.

64

(a) 1. Eigenform (b) 2. Eigenform (c) 3. Eigenform

(d) 4. Eigenform (e) 5. Eigenform (f) 6. Eigenform

Abbildung 6.2: Verteilungen der Aktorik zur Kompensation der ersten 6 Ei-genformen einer Kragplatte

(a) 1. Eigenform (b) 2. Eigenform (c) 3. Eigenform

(d) 4. Eigenform (e) 5. Eigenform (f) 6. Eigenform

Abbildung 6.3: Durchbiegung zufolge der Aktorik zur Kompensation der ers-ten 6 Eigenformen einer Kragplatte

65

Abbildung 6.4: Matrix der MAC-Einträge für die Akrotik zur Kompensationder Eigenformen einer Kragplatte

66

Zweiseitig frei drehbar gelagerte Platte

So wie für die Kragplatte werden auch für eine am linken und am vorderenRand gelenkig gelagerte Platte die Eigenformen und -frequenzen berechnetund eine Aktorik zur Kompensation der ersten sechs Eigenformen gesucht.Die Eigenformen dieser Platte sind in Abbildung 6.5 dargestellt. Die zu-gehörigen Eigenfrequenzen sind Tabelle 2 zu entnehmen. Die Durchbiegungenzufolge der Aktorik zur Kompensation der Eigenformen ist in Abbildung 6.7dargestellt. Die Aktorik zur Kompensation der Eigenformen ist in Abbildung6.6 dargestellt.

Die Eigenformen der zweiseitig frei drehbar gelagerten Platte unter-scheiden sich stärker als jene der Kragplatte. Daher ist es leichter möglicheine Aktorik zu finden, die jeweils nur eine der Eigenformen der Platte gutanregt. Daher ist die Matrix der MAC-Kriterien in diesem Fall nahezu eineEinheitsmatrix mit den Einträgen 1 in der Hauptdiagonale und 0 abseits die-ser. Die Matrix der MAC-Einträge ist in Abbildung 6.8 graphisch dargestellt.

1. Eigenfrequenz 13.4 rad/s2. Eigenfrequenz 57 rad/s3. Eigenfrequenz 99.2 rad/s4. Eigenfrequenz 146 rad/s5. Eigenfrequenz 161 rad/s6. Eigenfrequenz 263 rad/s7. Eigenfrequenz 286 rad/s8. Eigenfrequenz 304 rad/s9. Eigenfrequenz 364 rad/s

Tabelle 2: Eigenfrequenzen einer zweiseitig frei drehbar gelagerten Platte

67

(a) 1. Eigenform (b) 2. Eigenform (c) 3. Eigenform

(d) 4. Eigenform (e) 5. Eigenform (f) 6. Eigenform

(g) 7. Eigenform (h) 8. Eigenform (i) 9. Eigenform

Abbildung 6.5: Eigenformen einer zweiseitig frei drehbar gelagerten Platte

68

(a) 1. Eigenform (b) 2. Eigenform (c) 3. Eigenform

(d) 4. Eigenform (e) 5. Eigenform (f) 6. Eigenform

Abbildung 6.6: Verteilungen der Aktorik zur Kompensation der ersten 6 Ei-genformen einer einer zweiseitig frei drehbar eingespannten Platte

(a) 1. Eigenform (b) 2. Eigenform (c) 3. Eigenform

(d) 4. Eigenform (e) 5. Eigenform (f) 6. Eigenform

Abbildung 6.7: Durchbiegung zufolge der Aktorik zur Kompensation der ers-ten 6 Eigenformen einer zweiseitig frei drehbar eingespannten Platte

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Abbildung 6.8: Matrix der MAC-Einträge für die Akrotik zur Kompensationder Eigenforen einer zweiseitig frei drehbar eingespannten Platte

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