Контрольные работы для...
36
1 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно-технической политики и образования Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра высшей математики КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ специальности 110302 – Электрификация и автоматизация с.х. Волгоград 2010
Transcript of Контрольные работы для...
1
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно-технической политики и образования
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра высшей математики
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
специальности 110302 – Электрификация и автоматизация с.х.
Волгоград 2010
2
Контрольные работы по математике для студентов-заочников специ-альности 110302 – Электрификация и автоматизация с.х. /Сост. В.С. Кор-ниенко; Волгогр. гос. с.-х. акад. – Волгоград, 2010. – 36 с.
Содержатся варианты всех контрольных работ, выполняемых студентами-заочниками специальности 110302.
3
Рекомендации по выполнению
и оформлению контрольных работ
Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с ос-новами математического аппарата, необходимого для решения теоретиче-ских и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и её приложениям; развить в достаточной степени логическое мышление и повысить общий уровень математической и вычислительной культуры; выработать навыки матема-тического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык. Рабочей программой предусматривается выполнение семи контроль-ных работ (их нумерация начинается с нуля; контрольная работа № 0 вы-полняется по разделу «Введение в вузовскую математику», под изучение которого Совет факультета электрификации сельского хозяйства выделяет дополнительные часы), причем каждое задание (которое обозначено в тек-сте жирной римской цифрой) содержит по 20 вариантов. Номер варианта N есть остаток от деления дроби
20книжкизачетнойномер .
Если этот остаток равен нулю, то 20N . Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетра-
ди, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фами-лию, инициалы и адрес, номер контрольной работы, название дисциплины и дату отправки работы в академию. Решения задач необходимо проводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом решение задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.
При выполнении контрольных работ допускается использование компьютера в математической программе Mathcad.
Контрольная работа № 6 выполняется каждым студентом полно-стью.
Приведем распределение контрольных работ по семестрам:
Семестр
Номера контрольных
работ 1 0, 1, 2 2 3 3 4 4 5,6
4
Контрольная работа № 0 I. Вычислить
75 12
4 560
0 575
3 5 0 84
1510
2 4 1 3 188 0 84 0 8
a N a N
N a
N,
, ,
( , , , )( , , ).
II. Упростить
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )N x a yN x a y a y N x
N x a yx a x a N
x a N
3 3
2 2 1 11
2 2 21 2 .
III. Решить уравнение
21 12
ax
Na N x
ax
N
.
IV. Разложить на простейшие дроби
a x Nx x a x a
( )( )1 2 2 .
V. Решить неравенство a Nx a x a N
1 .
VI. Решить неравенство | | ( )x a N x 1 . VII. Вычислить с точностью до 10 3
cos( ) sin( )a tgN
ctgN
0 23
11
( 0a - это градусная мера угла a ).
VIII. Под каким углом 0 к горизонту следует произвести бросок из начала координат и с заданной начальной скоростью v0 15 5 , м/с, чтобы попасть в цель (трение при полете не учитывается), находящуюся на рас-стоянии N м от начала координат ( g 9 81, ).
5
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
I. По координатам вершин пирамиды 4321 AAAA найти: 1) длины рёбер 21 AA и 31 AA ; 2) угол (в градусах и радианах) между рёбрами 21 AA и 31 AA ;
3) площадь грани 321 AAA ; 4) объём пирамиды; 5) уравнения прямых 21 AA и 31 AA ; 6) уравнения плоскостей 321 AAA и 421 AAA ; 7) угол (в градусах и радиа-
нах) между плоскостями 321 AAA и 421 AAA .
N A1 A2 A3 A4 1 (-1;2;1) (-2;2;5) (-3;3;1) (-1;4;3) 2 (-2;1;-1) (-3;1;3) (-4;2;-1) (-2;3;1) 3 (1;1;1) (0;1;6) (-1;2;2) (1;3;4) 4 (-1;-2;1) (-2;-2;5) (-3;-1;1) (-1;0;3) 5 (2;-1;1) (1;-1;5) (0;0;1) (2;1;3) 6 (-1;1;-2) (-2;1;2) (-3;2;-2) (-1;3;0) 7 (1;2;1) (0;2;5) (-1;3;1) (1;4;3) 8 (-2;-1;1) (-3;-1;5) (-4;0;1) (-2;1;3) 9 (1;-1;2) (0;-1;6) (-1;0;2) (1;1;4)
10 (1;-1;2) (0;-2;5) (-1;-1;1) (1;0;3) 11 (0;3;2) (-1;3;6) (-2;4;2) (0;5;4) 12 (-1;2;0) (-2;2;4) (-3;3;0) (-1;4;2) 13 (2;2;3) (1;2;7) (0;3;3) (2;4;5) 14 (0;-1;2) (-1;-1;6) (-2;0;2) (0;1;4) 15 (3;0;2) (2;0;6) (1;1;2) (3;2;4) 16 (0;2;-1) (-1;2;3) (-2;3;7) (0;4;1) 17 (2;3;2) (1;3;6) (0;4;2) (2;5;4) 18 (-1;0;2) (-2;0;6) (-3;1;2) (-1;2;4) 19 (2;0;3) (1;0;7) (0;1;3) (2;2;5) 20 (2;-1;2) (1;-1;6) (0;0;2) (2;1;4)
II. Дана неоднородная СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений). Требуется найти её общее решение и проверить его. Найти ка-кие-нибудь три частных решения.
N СЛАУ N СЛАУ 1
95,10242
,52
32
321
321
xxxxx
xxx
11
336,206148
,10374
321
321
321
xxxxxx
xxx
2
4,24104
,1252
321
32
32
xxxxx
xx
12
13733,66102
,135
321
321
321
xxxxxx
xxx
6
3
332,42
,1033
321
32
321
xxxxx
xxx
13
3423,525
,10342
321
321
321
xxxxxxxxx
4
1223,1042
,52
321
31
31
xxxxxxx
14
1612104,957
,8652
321
321
321
xxxxxx
xxx
5
73,451836
,1562
31
321
321
xxxxx
xxx
15
14,8532
,33123
321
321
321
xxxxxxxxx
6
0222,1343
,0
322
321
321
xxxxxx
xxx
16
42,8224
,5893
321
321
321
xxxxxxxxx
7
2224,73
,12
321
31
321
xxxxx
xxx
17
6362,149
,126124
321
321
321
xxxxxx
xxx
8
2242,12
,523
321
321
21
xxxxxx
xx
18
942,654
,18842
321
321
321
xxxxxx
xxx
9
12,4262
,23
21
321
321
xxxxx
xxx
19
158,6274
,210162
321
321
321
xxxxxx
xxx
10
32,9336
,43
321
321
21
xxxxxx
xx
20
64142,553,327
321
321
321
xxxxxxxxx
III. Найти общее решение однородной СЛАУ и какую-нибудь ФСР
(фундаментальная система решений). Сделать проверку.
N СЛАУ N СЛАУ 1
03542,07368
,0253
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
11
0536,05,157
,0783
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
2
01567,03435
,0923
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
12
0345,072
,0243
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
3
032,020754
,01033
321
4321
4321
xxxxxxx
xxxx
13
04423,032
,0268
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxx
7
4
03435,015237
,063
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
14
0375,0223
,033
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
5
01254,018737
,063
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
15
059,03242
,02593
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
6
0323,05275
,043
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
16
0332,0354
,023
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
7
0852,01073
,0934
4321
432
4321
xxxxxxx
xxxx
17
02324,012542
,083
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
8
0622,04425
,0322
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
18
035,04294
,0242
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
9
0222,04823
,03
4321
4321
431
xxxxxxxx
xxx
19
0543,0367
,042
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
10
0632,04532
,022
4321
4321
4321
xxxxxxxx
xxxx
20
053,032,0374
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxx
IV. Определить действительные собственные значения и собствен-
ные векторы матрицы А. Сделать проверку полученного результата.
N А N А 1
628314582
11
431121321
2
682528
341
12
413312112
3
143825286
13
123121134
4
628314582
14
211341231
8
5
682528341
15
134132
123
6
285413
826
16
143132123
7
628314
582
17
321231
431
8
682528341
18
312314213
9
143825286
19
211213
314
10
134268852
20
321231
341
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
I. Привести уравнение кривой второго порядка 0),( yxf к канони-
ческому виду и найти точки пересечения её с прямой 0 CByAx . По-строить графики кривой и прямой.
N 0,0),( CByAxyxf N 0,0),( CByAxyxf 1 012,0342 2 yxyxx 11 023,0322 yxyxx 2 012,0342 2 yxyyx 12 0103,0642 xyxy 3 0,0222 yxyxx 13 02,010122 22 yxxyx 4 02,0222 yxyyx 14 042,0222 yxyxx 5 02,0222 yxyxx 15 022,0242 22 yxyxx 6 01,0322 yxyyx 16 03,010122 22 yxyyx 7 032,0782 2 yxyxx 17 062,05622 yxxyx 8 042,0442 2 yxyyx 18 022,0342 yxyxy 9 03,0342 yxyxx 19 045,0482 22 yyyx
10 012,0142 2 yxyyx 20 033,03422 yxyyx
9
II. Требуется: 1) построить по точкам график функции )( в по-лярной системе координат. Значения функции вычислять в точках
8/kk ; 2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox - с полярной осью; 3) определить вид кривой.
N )( N )( 1 )cos(6 11 )2cos(22 2 )sin(2 12 )2sin(22 3 )cos(2 13 )2cos(42 4 )sin(4 14 )2sin(42 5 )cos(4 15 )2cos(62 6 )cos(2 16 )2cos(22 7 )cos(4 17 )2sin(22 8 )sin(6 18 )2cos(42 9 )sin(4 19 )2sin(42
10 )sin(2 20 )2sin(62 III. Вычислить пределы функций.
1. 1) 15
53lim 2
2
xxxx
x; 2)
)2()4ln(lim
2
xctgx
x; 3)
1)exp())(sin1ln(lim 2
2
0
xx
x;
4) )7/(5
1)23(lim
x
xx ; 5) 2
3
0
2161limx
xxx
.
2. 1) xxxx
x 5272lim 2
2
; 2)
)5,0ln(12lim
5,0 xx
x
; 3)
)3ln()4arcsin(lim
4
xx
x;
4) 22/12
0)31(lim x
xx
; 5) 20
2)2/exp(2limx
xxx
.
3. 1) 173
4lim 2
2
xxxx
x; 2)
)/2cos(13lim
x
x
x ; 3)
1)1exp(44lim
1
x
xtg
x
;
4) )4/(2
4)5(lim
x
xx ; 5) 30
12)2sin(6limx
xxx
.
4. 1) xx
xxx 35
522lim 2
2
; 2)
)13sin()1ln(lim
2
1
xx
x; 3) 2
2
0
))3(sin1ln(limx
xx
;
4) )3/(4
3)27(lim
x
xx ; 5) 20
2141limx
xxx
.
5. 1) 232
lim 2
2
xxxx
x; 2)
65)3exp(lim 23
xx
xx
; 3) 2
2
3/ )3()3(lim
xxtg
x;
10
4) )24/(3
2)32(lim x
xx
; 5) 30
6)2(3limx
xxtgx
.
6. 1) xxxx
x 4253lim 2
2
; 2)
2
1
0 11ln
2lim
x
x
x; 3)
1)2/(lim
1 xxctg
x
;
4) 2/32
0)51(lim x
xx
; 5) 20
3)31ln(limx
xxx
.
7. 1) 34
53lim 2
2
xxxx
x; 2)
43)/1sin(lim 2 x
xx
; 3) )31ln(
1lim5
0 xe x
x
;
4) )4/(6
4)29(lim
x
xx ; 5) 20
51)5exp(limx
xxx
.
8. 1) xx
xxx 32
165lim 2
2
; 2)
)5sin(
22lim
0 x
xtg
x
; 3)
x
xtgx
4sin
)(1lim4/
;
4) )2/(2
2)23(lim
x
xx ; 5) 30
4)4arcsin(limx
xxx
.
9. 1) 23
47lim 2
2
xxxx
x; 2) xx
xctg2
)3(lim3
; 3) )2arcsin(
42lim2
x
xx
;
4) )1/(3
1)2(lim
x
xx ; 5) 30
6)3sin(2limx
xxx
.
10. 1) xx
xxx 24
136lim 2
2
; 2)
)1(34lim
2
1
xtgxx
x; 3)
1)exp()6cos(1lim 20
x
xx
;
4) )26/(1
3)4(lim x
xx
; 5) 20
)5,01ln(2limx
xxx
.
11. 1) 3
2)3cos(lim3
x
xxx
; 2) 233
4lim 2
2
xxx
x; 3)
12156lim 2
2
5,0
xxxx
x;
4) )4/(2
4)5(lim
x
xx ; 5)
)ln(1lim
1 xx
x
.
12. 1) )(
2lim1 xtg
xx
; 2) 722135lim 2
2
xxxx
x; 3)
6223lim 2
2
2
xxxx
x;
4) )3/(4
3)27(lim
x
xx ; 5)
xx
x
24lim0
.
13. 1) 1)ln(lim
0 xx
x; 2)
23442lim 2
2
xxxx
x; 3)
16132lim 2
2
5,0
xxxx
x;
4) ))4cos(1/(12
0))(sin1(lim x
xx
; 5)
2)2(lim
2
xxarctg
x.
14. 1)
x
xx 11ln
53lim3
; 2) 6
234lim 3
23
xxxx
x; 3)
2252lim 2
2
2
xxxx
x;
4) ))2cos(1/(1
0))3sin(1(lim x
xx
; 5)
)3(sin)3(lim 2
2
3
xx
x.
11
15. 1) ))(()sin(lim2/
xxtgxx
; 2) xxx
xx
23
3
57118lim ; 3)
253143lim 2
2
3/1
xxxx
x;
4) ))3(3/(1
3)310(lim x
xx
; 5)
271lim
31
xx
x.
16. 1) 2/1
0)2(lim x
xx
; 2)
105324lim 3
23
xxxxx
x; 3)
123273lim 2
2
3/1
xxxx
x;
4) )2/(1
2)25(lim
x
xx ; 5)
)2sin(14lim
)sin(
0 x
x
x
.
17. 1) )(
1)exp(lim2
xarxtgx
x
; 2) 25383lim 2
2
xxxx
x; 3)
1612lim 2
2
5,0
xxxx
x;
4) )2/(43
2)9(lim
x
xx ; 5)
271lim
31
xx
x.
18. 1) )(
)3cos(1limxctg
xx
; 2) 1563852lim 2
2
xxxx
x; 3)
2672lim 2
2
2
xxxx
x;
4) ))1(2/(12
1)23(lim x
xx
; 5)
)2sin(14lim
)sin(
0 x
x
x
.
19.1) )2ln(
1)2exp(lim2
x
xx
; 2) 21021
17914lim 3
3
xxxx
x; 3)
4113273lim 2
2
3/1
xxxx
x;
4) ))4(2/(1
4)29(lim
x
xx ; 5)
1)2/cos(lim
1 xx
x
.
20. 1) 2)1/(1
1)40(lim x
xx
; 2)
483294lim 3
23
xxxxx
x; 3)
132156lim 2
2
5,0
xxxx
x;
4) )1/(3
1)34(lim
x
xx ; 5)
1252lim
2
xx
x.
IV. Функция )(xf представляет собой сумму одночленов. Указать
среди них одночлен, эквивалентный всей сумме: а) при 0x ; б) при x .
N )(xf N )(xf 1 32 35 xxx 11 )2sin(73 2 xx 2 4 323 xxx 12 )cos(15 3 xx 3 3 22 45 xxx 13 )(sin2 24 xx 4 4 52 342 xxx 14 2)cos(23 5 xx 5 3 42 524 xxx 15 )3(sin4 23 xx 6 52 274 xxx 16 )cos(12 26 xx 7 3 52 326 xxx 17 )sin(3 3 xx 8 5 22 4 xxx 18 )2cos(334 xx 9 42 35 xxx 19 )(sin2 35 xx
10 5 52 263 xxx 20 )2cos(16 2 xx
12
V. Исследовать функцию )(xfy на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.
N )(xf N )(xf 1
xxx 5
5|5|
11
22
1,224
,22
|2|
2
xприx
xприx
xприxx
2
xxx 5
5|5|
12
33
1,339
,33
|3|
2
xприx
xприx
xприxx
3
xxx 4
4|4|
13
11
1,101
,0||
2
xприx
xприx
xприxx
4
xxx 4
4|4|
14
22
1,204
,0||2
2
xприx
xприx
xприx
x
5
xxx 3
3|3|
15
33
1,309
,02||3
2
xприx
xприx
xприx
x
6
xxx 3
3|3|
16
22
|2|,224
,22
1
2
xприxx
xприx
xприx
7
xxx 2
2|2|
17
33
|3|,339
,33
1
2
xприxx
xприx
xприx
13
8
xxx 2
2|2|
18
0||,011
,11
1
2
xприxx
xприx
xприx
9
xxx 1
1|1|
19
2||2,224
,22
1
2
xприxx
xприx
xприx
10
xxx 1
1|1|
20
0||3,039
,33
1
2
xприxx
xприx
xприx
VI. Найти производные первого порядка данных функций )(xy .
1. 1) )sin(3)( 5 xxxy , 2) )()( xtgxxy ,
3) )cos(34
)ln()(x
xxy
, 4)
2411
),2arcsin(
ty
tx.
2. 1) xexxy 44)( , 2) )ln()sin()( xxxy ,
3) )(
)(3
xctgxxy , 4)
2
2
)1cos(,)1(
tytx .
3. 1) )ln(3)( 3 xxxy , 2) )arcsin()( xexy x ,
3) 4
)()(x
xctgxy , 4)
2
2
)1sin(,)1(
tytx .
4. 1) )arcsin(5)( 2 xxxy , 2) )ln()( 3 2 xxxy ,
3) xexxy
3 4
)( , 4)
5),(
2
2
tyttgx .
5. 1) )(4)( 4 xarctgxxy , 2) xexxy 5)( ,
3) )ln()()(
xxtgxy , 4)
)3(,72
2
tctgytx .
6. 1) )(75)( 5 xarcctgxxy , 2) )13()cos()( xxxy ,
3) xexxy
53)( , 4)
)arccos(),1ln(2
4
tytx .
7. 1) )cos(210)( 3 xxxy , 2) 4)sin()( xxxy ,
14
3) )arcsin(
)ln()(x
xxy , 4)
)(
,1
32
tarcctgyt
x .
8. 1) )(76)( 3 2 xtgxxy , 2) )arccos()( xexy x ,
3) 42)()(
xxctgxy , 4)
22
,)1(2
2
tty
tarctgx.
9. 1) )(32)( xctgx
xy , 2) )()ln()( xarctgxxy ,
3) )arcsin(
)(x
exyx
, 4)
)41(cos),41(sin
2
2
tytx .
10. 1) )arccos(27 6 xx , 2) )()( xctgexy x ,
3) 3 2
)ln(5)(x
xxy , 4)
3)2(,3
t
t
eyex .
11. 1)
7 557)(
xxy
, 2) )4/(sin)( 4 xxy ,
3) )3/(exp)( xarctgxy , 4)
)1ln(),(
4
2
tytarctgx .
12. 1) 4 334)(
xxy
, 2) )5/2()( 5 xtgxy ,
3) )1ln(cos)( 2xxy , 4)
32 )1(
),arccos(
ty
tx.
13. 1) 5 665)(
xxy
, 2) )3/4(cos)( 3 xxy ,
3) xectgxy 7)( , 4)
)25(),25ln(
tarctgytx .
14. 1) 3 773)(
xxy
, 2) )4/()( 4 xctgxy ,
3) 3 54arcsin)( xxy , 4)
2
4
)41(,ty
etx t
.
15. 1) 3 433)(
xxy
, 2) )5/(ln)( 5 xxy ,
3) )42arcsin(exp)( xxy , 4)
)21(cos1
),21(
2 ty
tctgx.
16. 1) 5 775)(
xxy
, 2) )3/5(arcsin)( 4 xxy ,
15
3) ))3cos(ln()( xxxy , 4)
)4(cos),4(sin
3
3
tytx .
17. 1) 4 554)(
xxy
, 2) )3/5(arccos)( 4 xxy ,
3) )1ln(sin)( 3 xxy , 4)
2
5
)15(,
tyetx t
.
18. 1) 6 556)(
xxy
, 2) )5/2()( 5 xarcctgxy ,
3) xetgxy 25)( , 4)
)62(sin),62(cos
3
3
tytx .
19. 1)
7 667)(
xxy
, 2) )3/4()( 3 xarctgxy ,
3) )(cos2ln)( 2 xxy , 4)
)2(
,)2(sin
12
ttgyt
x.
20. 1) 5 445)(
xxy
, 2) 4/sin)( 4 xexy ,
3) )2(3ln)( 2 xtgxxy , 4)
)arcsin(,)1( 32
tytx .
VII. Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой )(xfy в точке, абсцисса которой равна 0x .
1. 223)( 3 2 xxxy ; 10 x . 2. 183)( 3 2 xxxy ; 10 x . 3. 363)( 3 2 xxxy ; 10 x . 4. 223)( 3 2 xxxy ; 10 x . 5. 163)( 3 2 xxxy ; 10 x . 6. 223)( 3 2 xxxy ; 10 x . 7. 183)( 3 2 xxxy ; 10 x . 8. 363)( 3 2 xxxy ; 10 x . 9. 223)( 3 2 xxxy ; 10 x . 10. 163)( 3 2 xxxy ; 10 x .
11. 2
4)(2xxy
; 20 x . 12. 224)( xxy ; 10 x .
13. 3
6)(2xxy
; 30 x . 14. 2
4)(2xxy
; 20 x .
15. 224)( xxy ; 10 x . 16. 3
6)(2xxy
; 30 x .
17. 2
4)(2xxy
; 20 x . 18. 224)( xxy ; 10 x .
16
19. 3
6)(2xxy
; 30 x . 20. 224)( xxy ; 10 x .
VIII. Построить график функции )(xfy . 1. 496)( 23 xxxxf . 2. 593)( 23 xxxxf . 3. 8156)( 23 xxxxf . 4. 28243)( 23 xxxxf . 5. 504512)( 23 xxxxf . 6. 496)( 23 xxxxf . 7. 593)( 23 xxxxf . 8. 8156)( 23 xxxxf . 9. 28243)( 23 xxxxf . 10. 504512)( 23 xxxxf .
11. 1
342)( 2
2
xxxxxf . 12.
3365)( 2
2
xxxxxf .
13. 123)( 2
2
xxxxxf . 14.
33342)( 2
2
xxxxxf .
15. 135)( 2
2
xxxxxf . 16.
3397)( 2
2
xxxxxf .
17. 123)( 2
2
xxxxxf . 18.
333)( 2
2
xxxxxf .
19. 1
13)( 2
2
xx
xxxf . 20. 33982)( 2
2
xxxxxf .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
I. А. Найти градиент скалярной функции
rrf
23)( , где
222 zyxr . Вычислить производную этой функции в точке A по направлению
вектора
AB . 1. 6 ; )2;6;2(),2;2;1( BA . 2. 6 ; )2;6;2(),1;2;2( BA . 3. 5 ; )2;2;6(),1;2;2( BA . 4. 5 ; )2;6;2(),2;2;1( BA . 5. 4 ; )2;6;2(),1;2;2( BA . 6. 4 ; )6;2;2(),2;2;1( BA . 7. 3 ; )2;6;2(),2;2;1( BA . 8. 3 ; )6;22(),2;1;2( BA . 9. 2 ; )6;2;2(),2;2;1( BA .10. 2 ; )2;6;2(),2;2;1( BA . I. Б. Дана скалярная функция ),( yxuu . Требуется: 1) составить
уравнение линии уровня Cu и построить её график; 2) вычислить с по-мощью градиента производную функции ),( yxuu в точке A по направле-
нию вектора
AB ; 3) найти наибольшую скорость изменения этой функции в точке A .
17
11. yxyxyxu 24),( 22 ; 4C ;
0;
232,
21;
232 BA .
12. yxyxyxu 22),( 22 ; 2C ;
231;0,
231;
21 BA .
13. yxyxyxu 42),( 22 ; 1C ;
0;
231,
25;
231 BA .
14. yxyxyxu 22),( 22 ; 7C ;
231;0,
231;
21 BA .
15. yxyxyxu 42),( 22 ; 4C ;
0;
231,
23;
231 BA .
16. yxyxyxu 22),( 22 ; 2C ;
231;0,
231;5,1 BA .
17. yxyxyxu 42),( 22 ; 1C ;
0;
231,
25;
231 BA .
18. yxyxyxu 24),( 22 ; 4C ;
231;0,
231;
23 BA .
19. yxyxyxu 42),( 22 ; 4C ;
0;
231,
25;
231 BA .
20. yxyxyxu 2),( 22 ; 7C ;
231;0,
231;
21 BA .
II. Найти неопределенные интегралы. Проверить правильность по-
лученных результатов.
1. 1) 27 xxdx ; 2)
124
)18(2 xx
dxx ; 3) dxxx )cos()3( .
2. 1) )5/(sin 2 xdx ; 2)
82
)4(2 xx
dxx ; 3) dxxx )31ln( .
3. 1) 25 xdx ; 2)
20
)23(2 xx
dxx ; 3) dxex x7 .
4. 1) 35xdx ; 2)
6
)12(2 xx
dxx ; 3) dxxarctg )4( .
5. 1) dxx)32sin( ; 2)
152)19(
2 xxdxx ; 3) dxxx )ln(3 .
6. 1)
dxx
42exp ; 2)
124
)65(2 xx
dxx ; 3) dxxx )5sin( .
7. 1) 247 xdx ; 2)
20
)75(2 xx
dxx ; 3) dxxx )sin()52( .
18
8. 1) )2(cos2 xdx ; 2) 6
52 xx
xdx ; 3) xdxx)ln( .
9. 1)
dxx 4
3cos ; 2)
82
)25(2 xx
dxx ; 3) dxx )3/arcsin( .
10. 1) 3 2)12( x
dx ; 2)
152)15(
2 xxdxx ; 3) dxex x3 .
11. 1) 3 1 x
x
edxe ; 2)
dxxx
x32
4192 ; 3) dxxx )ln()25( .
12. 1) dxxx 23 ; 2) dxxx
x65
922 ; 3) dxxx )2(cos2 .
13. 1) 21)(
xdxxarctg ; 2)
dxxx
x32
92 ; 3) dxx )3ln( 2 .
14. 1) dxxx )(cos2)2sin( 2 ; 2) dxxx
x12
2722 ; 3) dxxx )arcsin( .
15. 1) )cos(1)sin(
xdxx ; 2)
dxxx
x12112
3142 ; 3) dxxx )sin()2( .
16. 1) xdxx3 )ln( ; 2) dx
xxx
2211
2 ; 3) dxx)ln(1 .
17. 1) dx
xxtg)(cos)(1
2 ; 2) dx
xxx
45217
2 ; 3) dxxx )cos()43( .
18. 1) 3
2
8 xdxx ; 2)
dxxxx
6529
2 ; 3) dxxarcctg )4( .
19. 1) )(cos3
)2sin(2 xdxx ; 2)
dxxx
x62
2742 ; 3) dxxx )(ln 2 .
20. 1) )(cos 32
2
xdxx ; 2)
dxxx
x82
132 ; 3) dxxx )3sin(2 .
III. Вычислить определенный интеграл.
1. 7
2
2 dxx
x . 2.
0
4/33)1(
3xxdx . 3.
1
0 4 xdxx . 4.
0
83 25 x
dx . 5.
4
0 3xdx .
6.
1
43)5( x
xdx . 7.
0
4/3 12 xdx . 8.
1
13 28 x
dx . 9.
0
4/1 131 xdx .
10.
0
13 24 x
dx . 11.
4
0 4 xdxx . 12.
6
3
3 dxx
x . 13. 3
0
2
11 dxx
xx .
14. 3
2 212 dx
xx . 15.
49
25 6dx
xx . 16.
1
0 72xxdx . 17.
0
83 2
3 2
3dx
xx .
18.
9
4 1xxdx . 19.
2
14 12 xdx . 20.
4
0 5 xdx .
19
IV. Вычислить несобственный интеграл или установить его расхо-димость.
1.
5
33 3x
dx . 2.
0
2 )exp( dxxx . 3.
e xxdx
)(ln 2 . 4.
5
42)4(x
dx . 5.
2
1 1xxdx .
6.
0
2/
)(
dxxtg . 7. 4/
02 )(sin
)cos(
xdxx . 8.
02 52xx
dx . 9.
0
13)1(x
dx . 10. 2/
0
)(
dxxctg .
11.
1
021 x
dx . 12.
02 19xdx . 13.
8
03
23 dxx
x . 14.
0
5 dxe x . 15.
)2exp(
03 )(ln xx
dx .
16.
0
2 )exp( dxxx . 17.
0
13)1(x
dx . 18.
02 14xdx . 19.
4
53 4)5(x
dx .
20.
144 2x
dx .
V. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными
кривыми. Сделать чертеж области. 1. 0142,043 2 yxyx . 2. 0142,043 2 yxyx . 3. 0122,023 2 yxxy . 4. 0142,043 2 yxyx . 5. 0142,043 2 yxyx . 6. 0122,023 2 yxxy . 7. 0122,023 2 yxyx . 8. 0124,043 2 yxxy . 9. 0122,023 2 yxyx . 10. 0124,043 2 yxxy . 11. 2,1,0,33 xxyxxy . 12. 2,2,0,23 xxyxxy . 13. 2,3,0,13 xxyxxy . 14. 2,5,0,13 xxyxxy . 15. 2,6,0,23 xxyxxy . 16. 2,7,0,33 xxyxxy . 17. 2,6,0,23 xxyxxy . 18. 2,5,0,13 xxyxxy . 19. 2,3,0,13 xxyxxy . 20. 3,2,0,23 xxyxxy . VI. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L . 1. 0,1,02 yxyx . 2. 1,0,02 yxyx . 3. 0,1,022 yxyx . 4. 1,0,02 yxyx . 5. 0,1,02 yxyx . 6. 0,11,02 yxxy . 7. 1,0,02 yxxy . 8. 0,1,02 yxxy . 9. 1,0,02 yxxy . 10. 1,0,02 yxxy . 11. 4,0,4 3 yxxy . 12. 0,1,4 3 yxxy . 13. 4,0,4 3 yxxy . 14. 0,1,4 3 yxxy .
20
15. 9,0,18 3 yxxy . 16. 4,0,4 3 yxxy . 17. 0,1,4 3 yxxy . 18. 4,0,4 3 yxxy . 19. 0,1,4 3 yxxy . 20. 1,2/1,18 3 yxxy .
VII. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сде-лать чертёж области интегрирования. Вычислить площадь области интег-рирования.
1.
62
8
0
1 2
),(x
x
dyyxfdx . 2.
38
44
1
0
),(y
y
dxyxfdy . 3. 44
8
1
0 3
),(x
x
dyyxfdx .
4.
38
62
0
1
),(y
y
dxyxfdy . 5.
38
44
0
1
),(x
x
dxyxfdx . 6. 62
8
1
0 3
),(y
y
dxyxfdy .
7.
38
62
1
0
),(x
x
dyyxfdx . 8.
44
8
0
1 3
),(y
y
dxyxfdy . 9.
38
44
1
0
),(x
x
dyyxfdx .
10.
38
44
0
1
),(y
y
dxyxfdy . 11. 24
0
3
1
),(xx
dyyxfdx . 12.
26
0
1
5
),(yy
dxyxfdy .
13.
0
8
5
3 2
),(xx
dyyxfdx . 14.
0
4
1
3 2
),(yy
dxyxfdy . 15.
24
0
1
3
),(xx
dyyxfdx .
16. 28
0
7
1
),(yy
dxyxfdy . 17.
0
6
2
4 2
),(xx
dyyxfdx . 18.
0
4
3
1 2
),(yy
dxyxfdy .
19. 28
0
6
2
),(xx
dyyxfdx . 20.
0
6
4
2 2
),(yy
dxyxfdy .
VIII. А. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхно-стями. Сделать схематический чертёж. 1. 0,042,422 zzyyx . 2. 0,022,122 zzyyx . 3. 0,042,422 zzyyx . 4. 0,022,122 zzyyx . 5. 0,062,922 zzyyx . 6. 0,042,422 zxyyx . 7. 0,022,122 zzyyx . 8. 0,042,422 zzyyx . 9. 0,022,122 zzyyx . 10. 0,062,922 zxyyx . VIII. Б. Выполнить следующие задания, сделав схематичный чер-тёж. 11. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями
0,02,32 zzyyx .
21
12. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями 0,0,04,0 zyxzyx .
13. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями 0,02,042 zzyyx .
14. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями 0,0,04,0 zxyzyx .
15. Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями 02,0,0,01,01 zzxyxyx . 16. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями
0,023,022 zzyyx . 17. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями
0,02,0,03 zxyxzy . 18. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями
0,02,012 zzyyx . 19. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями
0,02,02,03 zyzxyx . 20. Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями 3,0,01,0,0 zzxyxyx .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
I. А. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы ком-плексного числа 21 zzz . Изобразить числа 1z , 2z и z на комплексной плоскости. Вычислить 12z . Дать геометрическую интерпретацию получен-ному результату.
N 1z 2z N 1z 2z 1 -2
34sin
34cos2 i 6 i2
65sin
65cos2 i
2 -2
3sin
3cos2 i 7 i2
1211sin
1211cos2 i
3 2
34sin
34cos2 i 8 i2
6sin
6cos2 i
4 2
35sin
35cos2 i 9 i2
67sin
67cos2 i
5 2
32sin
32cos2 i 10 i2
65sin
65cos2 i
22
I. Б. Используя схему Горнера, решить уравнение 023 dczbzaz и изобразить его корни 1z , 2z , 3z на комплексной плоскости. Проверить,
что abzzz
321 ; aczzzzzz 323121 ;
adzzz
321 .
N a b c d N a b c d 11 9 15 11 5 16 9 -21 17 -5 12 4 -12 13 -5 17 2 4 3 1 13 9 21 17 5 18 4 8 9 5 14 4 12 13 5 19 9 -15 11 -5 15 2 -4 3 -1 20 4 8 9 5
II. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследо-
вать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
1.
0
2
)3(3
3n
nn xn . 2.
3
2
)6(6
6n
nn xn . 3.
3
2
)4(4
4n
nn xn .
4.
0
2
)2(2
2n
nn xn . 5.
0
2
)6(6
6n
nn xn . 6.
3
2
)5(5
5n
nn xn .
7.
2
2
)2(2
2n
nn xn . 8.
0
2
)4(4
4n
nn xn . 9.
0
2
)5(5
5n
nn xn .
10.
2
2
)3(3
3n
nn xn . 11.
0 )1()4(
n
n
nnx . 12.
0 3)3(
nn
nx .
13.
1
2 )2)(12(n
nxn . 14.
0 5)1(
nn
nx . 15.
0
2
)24ln()2(
n
n
nx .
16.
2 3 4 2)4(
n
n
nx . 17.
0 2)3(
nn
nx . 18.
2
)2)(13(n
nxn .
19.
0 4)1(
nn
nx . 20.
2
2
)12ln()3(
n
n
nx .
III. Вычислить приближенно определенный интеграл, используя
разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное ин-тегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точно-стью до 0,001.
1.
0
4,0
2
25sin dxx . 2.
0
25,0
)2sin( dxx
x . 3.
0
3/12
)3cos(1 dxx
x . 4.
0
75,0
2
34cos dxx .
5.
0
3,0
2
310cos dxx . 6.
0
2,0
3 )21ln( dxx
x . 7.
0
2,0
2 )5exp( dxx . 8. 16,0
0
dxe x .
23
9.
0
1
2
5sin dxx . 10.
0
5,0
2 )( dxxarctg . 11.
0
5,0
2 )1ln( dxx
x . 12. 6,0
0
)6,0sin( dxx
x .
13.
1,0
03 38 x
dx . 14.
1
1
2 )sin( dxx . 15. 5,0
0
2 )exp( dxx . 16. 4/3
0
2 )( dxxarctg .
17.
0
2,031 x
dx . 18. 1,0
0
2 1 dxx
e x
. 19.
0
5,0
3 )2exp( dxxx . 20. 1
0
)2cos( dxx .
IV. Ограничившись первыми семью гармониками, разложить в ряд
Фурье в трёх формах периодическую функцию )(xf . Построить амплитуд-но-частотную и фазочастотную характеристики (спектры) этой функции.
1.
).2,0(),(3
],0,2[,0)(
xxx
xf
2.
).,0(,0
],0,[),(32
)(
x
xxxf
3. ]3,0[,)( 2 xxxf . 4.
).,0(),(43
],0,[,0)(
xx
xxf
5. ]1,0[,)( xxxf . 6. ],[),()( xxsignxf .
7.
].2,1(,0),1,1(,1
),1,2[,0)(
xxx
xf 8.
].2,0(,0
),0,[),(3)(
xxx
xf
9.
].6,4(,6],4,0[,4
)(xx
xf 10.
].,0(),(76
],0,[,0)(
xx
xxf
11.
].1,0[,1
),0,1[,0)(
xx
xf 12.
].2,0(,0
],0,[),(32
)(
x
xxxf
13.
.0),(3
,0,0)(
xxx
xf 14.
.31,0,10,11
)(x
xxf
15.
].,0(,0
),0,[),(3)(
xxx
xf 16.
].5,3(,5],3,0[,3
)(xx
xf
17. ],[,)( xexf x . 18. ]2,0[,)( 2 xxxf .
19.
].2,0(),(43
],0,[,0)(
xx
xxf 20.
.31,0,10,13
)(x
xxf
24
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
I. Решить аналитически задачу Коши для линейного (относительно y и y ) ОДУ первого порядка. Сделать проверку полученного решения и начального условия. 1. 0,2/;1)cos()sin( 00 yxxyxy . 2. 3,2/;)cos(exp)sin( 00 yxxxyy .
3. 1,3;200
2 yxxxyy . 4. 2,0;
1 002
yxx
eyyx
.
5. 5,2;12)1( 00222 yxxxyyx .
6. 1,);cos(2 003 yxxxyyx .
7. 0,);(ln3)ln( 0023 yexxxyxxy .
8. 4,0);exp(2 002 yxxxxyy .
9. 3,0;2)sin(2)cos( 00 yxxyxy .
10. eyxexxyy x 00
3 ,1;3 . 11. eyxexyyx x 004 ,1;3 .
12. 2,0;1)sin()cos( 00 yxxyxy .
13. 1,2/;)sin(00 yx
xx
xyy . 14. 1,1);ln(2 00 yxx
xyy .
15. 1,3;12 00 yxx
yyx . 16. 3,0);cos()cos( 00 yxxxyy .
17. 1,0);exp(2 002 yxxxyy . 18. 2,1;01 00
2 yxxyyx .
19. 5,0;)cos(
1)( 00 yxx
xytgy .
20. 2/1,0;)1(1
200
3
yxxx
yy .
II. Решить аналитически задачу Коши для линейного (относительно
y , y и y ) неоднородного ОДУ второго порядка с постоянными коэффи-циентами. Сделать проверку полученного решения и начального условия.
1. 2/1)0(,3)0();cos(265 yyxyyy . 2. 5/1)0(,3)0(;152 2 yyxyyy . 3. 3/4)0(,3)0(;344 2 yyxxyyy . 4. 4/3)0(,0)0();2sin(102 yyxyyy . 5. 9)0(,3)0(;34 5 yyeyyy x . 6. 0)0(,4/1)0(;1)2sin(4 yyxyy . 7. 1)0(,1)0(; yyeyy x . 8. 3)0(,1)0(;212996 2 yyxxyyy .
25
9. 0)0(,0)0(;369 3 yyeyy x . 10. 2/3)0(,1)0();sin(382 yyxyyy . 11. 2)0(,3/2)0(;8136 yyeyyy x . 12. 3)0(,2)0(;4884 2 yyxyyy . 13. 5)0(,3)0();cos(505 yyxyyy . 14. 4)0(,1)0(;1352 2 yyeyyy x . 15. 6)0(,10)0(;1054 yyxyyy . 16. 3/4)0(,3)0(;344 2 yyxxyyy . 17. 8)0(,3)0(;496 yyeyyy x . 18. 16)0(,12)0();3sin(16944 yyxyyy . 19. 6)0(,2)0(;41682 yyxyyy . 20. 5/3)0(,25/2)0(;4554 2 yyxyyy . III. Операторным методом решить задачу Коши. Сделать проверку
полученного решения и начального условия. 1. 0)0(,1)0(;0 yyyy . 2. 1)0(,2)0(;022 yyyyy . 3. 1)0(; yeyy x . 4. 0)0()sin(2 yxyy . 5. 1)0(,0)0(;1 yyyy . 6. 1)0(,0)0(;3 yyeyy x . 7. 1)0(,0)0(;32 yyeyyy x . 8. 0)0(,0)0();sin(2 yyxyy . 9. 0)0(,0)0(,0)0();sin( yyyxyy . 10. 0)0(,0)0(,0)0(;10 2 yyyeyy x . 11. 2)0(,1)0(,0)0(;0 yyyyy . 12. 0)0(,0)0(;2 yyeyyy x . 13. 1)0(,0)0(;3 3 yyeyy x . 14. 2)0(,1)0();2sin(4 yyxyy . 15. 3)0(,1)0();sinh(9 yyxyy . 16. 0)0(,0)0(,1)0(; yyyeyy x . 17. 2)0(,1)0(;023 yyyyy . 18. 1)0(,0)0(,2)0(;0 yyyyy . 19. 2)0(,1)0(;23 5 yyeyyy x . 20. 1)0(,0)0();cos(2 yyxyy . IV. А. Требуется: 1) найти поток векторного поля
a через замкнутую поверхность 21 (выбирается внешняя нормаль к ); 2) вычислить
циркуляцию векторного поля
a по контуру Г, образованному пересечени-ем поверхностей 1 и 2 (направление обхода должно быть так, чтобы об-
26
ласть, ограниченная контуром Г, находилась слева); 3) дать заключение о наличии источников или стоков внутри области, ограниченной поверхно-стью ; 4) сделать схематический чертёж поверхности . 1. 1:,)1(:;)44()56()53( 2
2221
zzyxkxyzjyxixya .
2. 4:,)2(:;)42()2()( 2222
12
zzyxkzxjyxiyxa .
3. 3:,)1(:;)33()25()23( 2222
12
zzyxkyzjyxiyxa .
4. 4:,)2(:;)42()3()43( 2222
1
zzyxkzxyjxyiyxa .
5. 1:,)3(:;)923()2()2( 2222
1
zzyxkxyzjyxiyxa .
6. 3:,)1(:;)223()8()57( 2222
1
zzyxkzxyjyxiyxa .
7. 1:,)4(:;)626()45()32( 2222
12
zzyxkyzjyziyxa .
8. 6:,)4(:;)42()3()56( 2222
12
zzyxkzyjyxizxa .
9. 5:,)3(:;)923()34()2( 2222
12
zzyxkyzjyxixya .
10. 2:,)4(:;)42()27()45( 2222
1
zzyxkzxyjyxiyxa .
IV. Б. Выполнить те же задания, что и п. А, взяв в качестве вектора
a вектор
Grot . 11. 2:,032:;)24()2()2( 2
221
zzyxkxjxzyizxG .
12. 1:,012:;)3()()2( 222
1
zzyxkzjxzyixG .
13. 1:,032:;)3()2()2( 222
1
zzyxkxjxzyizxG .
14. 2:,052:;)1()()6( 222
12
zzyxkzjyxzixG .
15. 3:,072:;)3()4(3 222
12
zzyxkxzjxzizG .
16. 2:,032:;)2()()( 222
1
zzyxkxzjxzyizxG .
17. 1:,032:;)4()2(2 222
12
zzyxkzjyxzixG .
18. 1:,012:;)()2()2( 222
1
zzyxkzxjyxzizxG .
19. 2:,032:;)1()3()3( 222
1
zzyxkxjxzyizxG .
20. 3:,052:;)2()1( 222
1
zzyxkzjxzyixG .
27
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6 1. Из урны, содержащей S шаров, в которой находится M голубых шаров, извлекается n шаров. Требуется определить вероятность того, что в выборке объема n будет обнаружено m голубых шаров. 2. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов? 3. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов? 4. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помо-щью цифр 1; 1; 1; 2; 2? 5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы: на двух карточ-ках л, на остальных трех и. Выкладываются наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии? 6. Игральный кубик подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадут соответственно 2, 3, 1, 1, 1, 2 раза (событие A )? 7. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых кар-точках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5? 8. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым (т.е. имеет в точности два делителя)? 9. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы? 10. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее – получить в сумме 7 или 8?
11. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти относительную частоту бракованных деталей. 12. При стрельбе по мишени относительная частота попаданий
75,0w . Найти число попаданий при 40 выстрелах. 13. Относительная частота нормального всхода семян 97,0w . Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно? 14. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти относительную частоту простых чисел. 15. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова ве-роятность того, что из урны будет извлечен цветной (т.е. не белый) шарик? 16. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность со-бытия A «сумма выпавших очков не превосходит четырех». 17. С первого автомата на сборку поступило 200 деталей, из которых 190 стандартных; со второго – 300, из которых 280 стандартных. Найти ве-роятность события A , состоящего в том, что наудачу взятая деталь будет
28
стандартной, и условные вероятности его относительно событий B и
B , если событие B состоит в том, что деталь изготовлена на первом станке. 18. Мастер обслуживает 5 станков. 10% рабочего времени он прово-дит у первого станка, 15 % - у второго, 20 % - у третьего, 25 % - у четвер-того, 30 % - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент он находится: 1) у первого или третьего станка; 2) у второго или пятого; 3) у первого или четвертого станка; 4) у третьего или пятого; 5) у первого или второго, или четвертого станка. 19. Партия электрических лампочек на 20 % изготовлена первым за-водом, на 30 % - вторым, на 50 % - третьим. Вероятности выпуска брако-ванных лампочек соответственно равны: 01,01 q , 005,02 q , 006,03 q . Найти вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется стандарт-ной. 20. На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60 % изготовлено первым заво-дом и 40 % - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовлен-ных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, из-готовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 85. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампочка будет удовлетворять стан-дарту. 21. Партия электрических лампочек на 25 % изготовлена первым за-водом, на 35 % - вторым, на 40 % - третьим. Вероятности выпуска брако-ванных лампочек соответственно равны: 03,01 q ; 02,02 q ; 01,03 q . Како-ва вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной? 22. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2 %, у второго – 1 %. Изделия, вы-пущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие со второго завода, если оно оказалось испорченным?
23. Задают ли законы распределения дискретной случайной величи-ны следующие таблицы? а) б)
ix 2 3 4 5 ix 6 7 8 9 )( ixP 0,1 0,4 0,3 0,2 )( ixP 0,1 0,2 0,3 0,5
24. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения
ix 0,2 0,4 0,6 0,8 1
)( ixP 0,1 0,2 0,4 4p 0,1
29
Чему равна вероятность 4p ? Построить многоугольник и диаграмму рас-пределения. 25. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается число очков, выпавших на обеих верхних гранях. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - суммы выпавших очков на двух иг-ральных кубиках. 26. Вероятность изготовления нестандартного изделия при некото-ром технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из партии из-делие и сразу проверяет его на качество. Если оно оказывается нестан-дартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, контролер берет следующее и т.д., но всего проверяет не более пяти изделий. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - числа проверяемых изделий.
27. Дана функция
.0,1
,02
),cos(
,2
,0
)(
xесли
xеслиx
xесли
xF
Показать, что эта функция является функцией распределения некоторой случайной величины X . Найти вероятность того, что эта случайная вели-
чина принимает значения из интервала
0,
3 .
28. Дана функция
.2,1
,20,,0,0
)( 2
xеслиxеслиx
xеслиxF
Является ли эта функция функцией распределения некоторой случайной величины? 29. Является ли функцией распределения случайной величины функ-ция 21
1)(x
xF
( x )?
30. Плотность распределения случайной величины X задана функ-цией 21
)(x
cxp
. Найти значение параметра c .
31. Плотность вероятности случайной величины X задается функци-ей
.20,202/
,00)(
xприxприx
xприxp
30
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение из интервала (1;2). 32. Найти математическое ожидание дискретной случайной величи-ны, закон распределения которой задан таблицей
ix 3 4 5 6 7
ip 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
33. Плотность распределения вероятности случайной величины X задана функцией
.20
,208/3,00
)( 2
xприxприx
xприxp
Найти математическое ожидание случайной величины X . 34. Найти математическое ожидание случайной величины X , если известна функция распределения этой величины
.11
,10,00
)( 2
xприxприx
xприxF
35. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения
ix 0 1 2
ip 0,3 0,5 0,2 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величи-ны X . 36. Найти числовые характеристики )(XM , )(XD , )(X непрерывной случайной величины X , заданной плотностью распределения вероятности
.40,425,0
,20)(
xприxпри
xприxp
37. В энергетической системе имеется группа из четырех одинако-вых агрегатов, находящихся в одинаковых условиях. Вероятности исправ-ного состояния агрегатов в течение времени T равны 0,6 и независимы. Рассматривается случайная величина X - число агрегатов, находящихся в исправном состоянии в течение времени T . Построить ряд и функцию рас-пределения случайной величины X . 38. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в слу-чайно отобранной партии из 75 изделий.
31
39. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год? 40. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятности следующих событий: «в течение часа 5 або-нентов позвонят на станцию»; «в течение часа не более 4 абонентов позво-нят на станцию»; «в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на стан-цию». 41. Определить закон распределения случайной величины X , если ее плотность вероятности задана функцией:
1)
50)1(exp
251)(
2xxp
; 2)
18)2(exp
181)(
2xxp
.
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распреде-ления случайной величины X . 42. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчи-ненные нормальному закону распределения с параметром мм10 . Най-ти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосхо-дящей мм15 . 43. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент раз-говаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова? 44. Сколько следует произвести независимых испытаний, чтобы ве-
роятность выполнения неравенства 05,0 pnm превысила 0,75, если веро-
ятность появления данного события в отдельном испытании 8,0p ? 45. Пусть двумерная случайная величина ),( YX задана законом рас-пределения (табл. 1). Таблица 1
X \ Y 1 2 3 4 ∑ 10 0,2 0,02 0,01 0 0,23 20 0,03 0,3 0,02 0 0,35 30 0,02 0,1 0,2 0,1 0,42 ∑ 0,25 0,42 0,23 0,1 1
а) Найти законы распределения величин X и Y . б) Найти условное распределение Y при условии 30X . в) Найти условное распределение X при условии 3Y . г) Выяснить, будут ли случайные величины X и Y независимыми.
32
46. Пусть распределение двумерной случайной величины ),( YX за-дано табл. 2.
Таблица 2 YX \ -1 0 1 2 ∑
1 0,10 0,25 0,30 0,15 0,80 2 0,10 0,05 0,00 0,05 0,20 ∑ 0,20 0,30 0,30 0,20 1
Требуется: 1) найти распределения ее компонент X и Y ; 2) найти распределения суммы YX , разности YX и произведения YX ; 3) вы-числить математические ожидания )(XM , )(YM , )( YXM , )( YXM и
)( YXM ; 4) вычислить ковариацию ),cov( YX ; 5) вычислить ),( YXM и ),( YXD ; 6) вычислить двумя способами дисперсии )( YXD и )( YXD ;
7) проверить независимость величин X и Y ; 8) найти коэффициент корре-ляции между случайными величинами X и Y . 47. Имеется выборка, содержащая 45 числовых значений некоторого признака случайной величины X :
39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.
Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумуляту и эмпириче-скую функцию распределения.
48. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипников дали численные значения (в мкм), приведенные в табл. 3.
Таблица 3 -1,752 -0,291 -0,932 -0,450 0,512 -1,256 1,701 0,634 0,720 0,490 1,531 -0,433 1,409 1,730 -0,266 -0,058 0,248 -0,095 -1,488 -0,361 0,415 -1,382 0,129 -0,361 -0,087 -0,329 0,086 0,130 -0,244 -0,882 0,318 -1,087 0,899 1,028 -1,304 0,349 -0,293 -0,883 -0,056 0,757 -0,059 -0,539 -0,078 0,229 0,194 -1,084 0,318 0,367 -0,992 0,529
Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд,
построить полигон, гистограмму, графики эмпирической функции распре-деления и эмпирической плотности распределения. Построить кумуляту. 49. Имеется выборка (табл. 4), содержащая 100 числовых значений некоторого признака случайной величины X .
33
Таблица 4
11 15 23 44 58 63 55 28 78 25
18 32 35 36 48 60 78 25 26 42
45 52 44 53 44 44 62 37 58 36
15 22 78 59 65 44 45 44 39 22
16 75 32 44 52 46 48 69 75 36
75 26 33 46 46 52 45 32 58 15
76 60 32 33 35 26 24 44 48 49
50 62 65 64 50 43 49 47 32 11
21 23 44 46 37 57 48 42 15 67
50 30 40 45 50 20 17 69 22 31
По приведенным данным требуется:
1) сгруппировать варианты значений признака по нескольким интер-валам и получить таблицу статистического распределения выборки; 2) построить гистограмму частот; 3) считая iys равными значению середины каждого интервала, по-строить полигон частот, найти выборочную среднюю и выборочную дис-персию.
34
Рекомендуемая литература а) основная литература:
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. «Наука» 1988 г. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М. «Наука» 1985 г. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и ана-литической геометрии. М. «Наука» 1984 г. 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник… М. «Наука» 1982 г. 5. Шипачев В.С. Высшая математика. М. «Высшая школа» 1998 г. 6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1 и 2. М. «Наука» 1985 г. 7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. «Высшая школа» 1998 г. 8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятно-стей и математической статистике. М. «Высшая школа» 1997 г. 9. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М. «Высшая школа» 1998 г. 10. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. С-П. 2000 г. 11. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. М. «Высшая шко-ла» 1998 г. 12. Шнейдер В.И., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. Т. 1 и 2. М. «Высшая школа» 1978 г. 13. Мироненко Е.С. Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специально-стей вузов. М. «Высшая школа» 1998 г. и последующие издания. б) дополнительная литература:
14. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 1 и 2. М. «Высшая школа» 1996 г. 15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Наука» 1999 г. 16. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М. «Высшая шко-ла» Т. 1 и 2 1998 г., Т. 3 1999 г. 17. Бутузов В.Ф., Крутицкий Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Ма-тематический анализ в вопросах и задачах. М. «Наука», Физматлит 2000 г.
35
18. Корниенко В.С. Методика изучения математики на агроинженер-ных специальностях с помощью системы Mathcad: Монография. В 2-х ч. Ч. 1 /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2002.- 248 с. 19. Корниенко В.С. Методика изучения математики на агроинженер-ных специальностях с помощью системы Mathcad: Монография. В 2-х ч. Ч. 2 /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2002.- 252 с. 20. Корниенко В.С. Практические занятия по математике /Волгогр. гос. с.-х. акад. – Волгоград, 2005. – 200 с. (CD) 21. Корниенко В.С. Приложения производной /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2004. – 40 с. 22. Корниенко В.С. Представление гармонических колебаний в ком-плексной форме. /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2004.- 16 с. 23. Корниенко В.С., Горковенко Л.Г. Вычислительная математика в электротехнических расчетах. /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2005. – 20 с. 24. Мильченко Н.Ю., Корниенко В.С. Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию: Методические разработки /Волгогр. гос. с.-х. акад. – Волгоград, 2005. – 72 с. 25. Гурский Д.А. Вычисления в Mathcad /Д.А. Гурский. - Мн.: Новое знание, 2003. – 814 с. 26. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образова-нии. Практика применения систем MathCAD Pro: Учеб. пособие /Р.И. Ива-новский. – М.: «Высшая школа», 2003. – 431 с. 27. Семененко М.Г. Математическое моделирование в Mathcad.- М.: Альтекс-А, 2003. – 208 с. 28. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2005. – 448 с. 29. Кирьянов Д.В. Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург. 2005. – 576 с. 30. Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. По-пулярный самоучитель. – СПб.: Питер, 2005. – 400 с.
31. Корниенко В.С. Решение задач по математике на калькуляторе ALGEBRA /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2008. – 144 с.
32. Корниенко В.С. Элементы математики. /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2009. – 296 с.
33. Корниенко В.С. Элементы теории вероятностей и математической статистикти. /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2009. – 244 с.
36
