New Déduction et Unification dans les Théories Permutatives · 2 days ago · ge h e =2bo+mb b...

233
HAL Id: tel-00011236 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011236 Submitted on 19 Dec 2005 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Déduction et Unification dans les Théories Permutatives Mnacho Echenim To cite this version: Mnacho Echenim. Déduction et Unification dans les Théories Permutatives. Autre [cs.OH]. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG, 2005. Français. tel-00011236

Transcript of New Déduction et Unification dans les Théories Permutatives · 2 days ago · ge h e =2bo+mb b...

  • HAL Id: tel-00011236https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011236

    Submitted on 19 Dec 2005

    HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

    L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

    Déduction et Unification dans les Théories PermutativesMnacho Echenim

    To cite this version:Mnacho Echenim. Déduction et Unification dans les Théories Permutatives. Autre [cs.OH]. InstitutNational Polytechnique de Grenoble - INPG, 2005. Français. �tel-00011236�

    https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011236https://hal.archives-ouvertes.fr

  • ����������������������������������������������������������! ��"���#$�%�

    & ◦ ')(*(*+*,.-0/21435')+768'9-0,.-06.,;:@?A/2B

    CEDGFIHKJ

    3L:

  • ��������������������������������������� �½{2�pw{2z��{��

  • ������ÿ����

    � 65Bu,;*(MB7S0B!N2:

  • ��� �GE ����H�E

    � =2BO+MB Bj,;M(½RB �oBO+R')6!(*=2B@:

  • ��� � � � H � � � ��� EG�

    �oB�(*,;BON2�BON930+MBO¨,;BO+�6.,;BO/)�_+MBO¨BO+MfO,;BO+�(M:

  • , �

  • � ������� ��� � �����������

    � � � E � C!"qÿ�H�E � C � � �

    � � ú�ó�ã ú���� ù�ä���ø �)ä !" # � ��J � � � ��� � ����� $¼ � � �7BO68')(*,;:

  • ¿ � ¿ �1@*/0¨1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 �� QSR T E � � � �K� � E ���E ��� ��� ���

    1 � � � :

  • �0� # � �&% T � E � � � J � EG� �KEÿ � ��� H ��E � C � � � P��� � ���7N0,/.5f')(*,;:

  • �§,.,.,

  • � ������� ��� ������ ��

    & � � � B@*(Sw ')3035')+*(MBON5')N2f@B � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¼ �& � ¼ 76.Po:

  • �¾ � ��BO¨¨B��¾ � � � �2% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � & (�¾ � ¼ 6.Po:

  • � ���������

    � �

    ��� ��� � ��� ���� �

    �«°����5³7®®������®! à°#"$ %³!�Ò°% &��'("�

    ')N2�� �*)_ � ��¼�� �6;B@30+*,.N2fO,.3LB@BO(4:

  • �B430+MBO¨,;BO+Qf@:

  • 30+M:O¨BB@*( �,.6 � � ��� � �� � � �

    ��B@S0BO/�30+M:O¨B@�M:O+MB@M:

  • BO( �Q,.+MfR=0N2BO+ � �3� � � 1 � � �:

  • S01.2N0,w35')+�/0N BON2MBO¨-06;BS0BPo1ON21O+R')(MBO/0+M X BO(�/0N BON2MBO¨-06;BS0B_+MBO68')(*,;:

  • Sw ��� � ?��@#���� + ��� ���A" �?§/0,AN2:

  • ��� ��� � � � ���� �

    � �U���� � �� ���� �

  • � ���������

    � �

    � ����� � � � � ��������

    ')N24f@BfR=5')30,.(*+MB��N2:��� �(R')NA(KS0:

  • & ������������������������������������������

    � � " � �7�� '� *,�BO(7MBO/06;BO¨BON§(*, ∀x ∈ A 〈x, x〉 ∈ R � # � "������ 4 � *,�BO(KMBO/06;BO¨BON§(*, ∀x, y ∈ A (〈x, y〉 ∈ R)⇔ (〈y, x〉 ∈ R) � ��� ��� # � "������ 4 � *,LBO(�MBO/06;BO¨BON§(!*, ∀x, y ∈ A A*, 〈x, y〉 ∈ R BO( 〈y, x〉 ∈ R §')6;:

  • �� �� ���� � ������� ����� ���� � ��������� ��� ¿� � � � � E � C � "�� " � " e :

  • 1 ������������������������������������������

    )Nh1O(MBON2S½N5')(*/0+MBO6.6;BO¨BONA(�/0N2BK*/0-2M(*,.(*/0(*,;:

  • ���� � ������� ������� � � � ��� ���� � ������� ��� (� ª�� � ®���½±$°% �M³K® � '2"9°% &�R³K®®� � ���� � � � � E � C � "�� $ �4��

    ET ÿ � ��� H ��E � C � � �(R')NA(�S0:

  • � ������������������������������������������

    � � � � � E � C � "�� $ �48 e :

  • ���� � ������� ������� � � � ��� ���� � ������� ��� �� ä � óoâ K2ú"åAãä0� �!ä2åGF���ó

  • �¾ ������������������������������������������

    /0N2B9f@:

  • � ���������

    � �

    � � � ��� ��� ��� ����� ��� ��

    ')N2!f@BQfM=5')30,.(*+MB�0N2:

  • �¼ ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����

    � ��:

  • � � ���� � ������� � �������� � � �� � � � � � � � � ������� �2%

    � � 6wBj,;M(MB(M:

  • � & ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����

    � 3�:

  • � � ���� � ������� � �������� � � �� � � � � � � � � ������� �¿� � ��� � $ � " � � � � ���� � G ��� 2 � � �7% �� �� A �� A′ � �P7���F# )+ � $# � �� #;4 � G �72�� � #��� A ��#$� �

    A′ �� � � �$# G �G2 � � � ��� ��� �� �� �� ��#$� � � $# ���# �+ ��$# 2A �� A × A′ � � &% � ��# �,# � A �� A′# � � � ��� # � � � � �(# ����� � �$# G �G2 � � � � � � � ���� �� � #$� � A ]A′ �

    �7pw{5z��${� & :

  • �21 ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����

    � ��:

  • � ��� � � � � ��� � � � � ����� �5(& :

  • � � ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����

    � � � � � E � C � $ � $ � � e :

  • � ��� � � � � ��� � � � � ����� ���

    � � ��� .9J � $ � $ � � P "BP�+M:

  • ¼�¾ ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����

    �7pw{2z��q{�;� � ��+MBON2:

  • � ��� ����� � � � � ������� ��� �������� ��� ��� ¼���4ª � � � � ���³�" 1� � ���$� � � ��'("�� �

    & :O+MBO¨BONA(�')/�P�+M:

  • ¼�¼ ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � ������ ��� � � $ � 3 � ��� � ���� � G �� G′ � ��47-# � ��# �(2 � � �7% $# � Sym(A) � �� #$�7% % � # � ��#;4 � G �� G′# � � � � #�G%K% � ���(# ��� # � � ��� �(# � � � � �$# �9: ���# )+ �

    GG′ = {σσ′ | σ ∈ G ∧ σ′ ∈ G′}

    $#�� ��� # � �K#��(2�� � �7% � Sym(A) �

    �7pw{2z��q{� e :

  • � ��� ����� � � � � ������� ��� �������� ��� ��� ¼B%& :

  • ¼?& ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����

    :� σ1 = µ1µ3 . . . µ2n−1 0BO( σ2 = µ2µ4 . . . µ2n �09 ')30+M>@76;B4�BO¨¨B % � & � �¾:

  • � ��� ����� � � � � ������� ��� �������� ��� ��� ¼�¿

    ¼ � e :

  • ¼B1 ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����

  • � ���������

    � �

    � � � ��� ��� ��� � ��� �� � � ��� �� ��� ����� ��� ��

    ')N24f@BfR=5')30,.(*+MB��N2:

  • ¼ � ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �����

    EstElem(σ) =,�g��è¾B@*( � BO¨-0+MBhg�� � �� �E � � E 6 ÿ �

    i < n� E B@M( � BO¨-0+MB % � � ��

    i := i+ 1(?)

    � �∃µ ∈ Ui

    (MBO6"?§/2B iµ = iσ �FJ(C�� �σ := σµ−1� � �>C � B@*( � BO¨-0+MBhg�� % �2ÿ��

    � � E � � E 6 ÿ ���� � � C ��� � B@*( � BO¨-0+MB

    � v£ 0& � � � � B@*(KSw ')3035')+*(MBON5')N2f@B# � C � J�� � � g )+MSu+MB4Sw /0NIP�+M:

  • � ��� � � ��� ��� ��� ��������� � � ��� � � ����� ��� ¼��

    Sift(π,M) =i := 0B@*( � BO¨-0+MBhg�� � ��� �E � � E 6 ÿ��

    i < n�KE B@*( � BO¨-0+MB % � � ���

    i := i+ 1j := iπ� �Mi,j

    N�B@*(!35'

  • %�¾ ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �����

    MatRep(K) =��� � � ��������� � #�� ��� � � � M�GC � EM /0N2B¨h')(*+*,;f@B4f')+*+M1@B " � �>�.0C%ÿ��i ∈ {1, . . . , n}

    % � � ��

    Mi,i := id.0C%ÿ��j ∈ {i+ 1, . . . , n}

    % � � ��

    Mi,j :=�§,;S0B

    � � .0C%ÿ��� � .0C%ÿ����� � � ��#����$� � ��� � � �� M�GC � E

    Q := K S2')N2 ��� Q $#�� ��� 0*���E � � E 6 ÿ �Q B@*(!N2:

  • � � ������ ����� ��� ��� � � � ����� � ��� �� ��� � ��� � %��

    BO(KM:

  • %�¼ ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � ������ � � � � E � C � 3 � "�� � �N 2 � �$% � #�� % � B@*(�/0Nf@:

  • � � ������ ����� ��� ��� � � � ����� � ��� �� ��� � ��� � %B%� C�� C J J � � ��� 3 � "�� P % � �K+ � 5 ;½pLs��2 =��4zwt # � " ��� � ��% � � ��� �� ����� �� � ��� % � �K+ � 5 kMlwtw{2p �

    ��:

  • %?& ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � ������ª � � � �L³�� � ����� �

    �� �����

    & :

  • � ��� ����� ��� ��� ����� � ;>=94~% �� %�¿

    �7pw{5z��${� e :

  • %B1 ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �������� M � ! � ��ä åAä0�ó

  • � ��� � � � � ��� � � � � � %:(

    */0+�/0NBON2MBO¨-06;B A � � 62B@*(�fO68'),.+�?A/2BKN2:

  • % � ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �����

  • � ����� ����� � � � �� �

    � � ���

    ��� �� �� � � ������� �� �����������������

    ���

  • � ���������

    � �

    � � ���

    ��� ��

    ���������������������! #"��%$&��')(��*��+!+,')������')(������-"#.�!"0/�� ����1�����,23(�������"�'�������4/������-+!+,�����-5���+,'7698�����:')(�";+p\UKq-Wcr

    s>')(��D��')5�5A�-�����-"�')���D����";/�8FZ����!"D+,���M=%"1���������;8- #�,2k(��- �8��7$/�')�3 D+,���?[t]vuw ��-"#5A���?��')���# #�! #(��-�3 (����0��')(��xuc�-+(����*ÌÆ')���- #�,')�É23(��8- #�,23(��- # �������)�-(��É/����0��')5�5A�- �����.9���(��

    �#654Ê:')+,�A/��Σ$v�-

    aG : VG → V?G

    ���# �(����ÌÆ')���- #�,')�Í2k(��\�ÏÎ:���- ��gl¦�1���)23(����')5�5A�- v ∈ VG(����0+!�,�# ���B')(¦(��¦5A') fX;/��>�1')5�5A�- ��y��"#=%(�5A�-�3 ��7$�/�')�k ?+

  • á3V ��������������������������������

    a : f

    b : b c : g

    � �C["! Q r!q�#JjE��-5���+,�*/v (��Ä=%"1��������8- #�,23(��- �8

    /������#�!��8����Y���# j�!5��:')"# 1���3 @Þ%�-+!+,���Y��')�k i/������#�!��8����Y.9�-"��j+,�DÊ��)�Y�- Y/��D=3��(��1���@l>/K"�')�! ��y���-+,')�+wI')"�/K"��/����y��')5�5A�- ��m��"#=%(�5A�-�k ��m/������

    a(v)r

    Ñ&�=%"1��������1')(��xu%$#�)���-�k ¦lG���� ')Ê� ��-�3( �-� "��- #�!"1���3 ¦+,����#6k5�Ê')+,���¬�� # 1�)�1��8��Ä��(KE #"�')�,�

    ��')5�5A�- ��4�- 4�-�������"��-�����3 ���)�*�-���')5��� ��g+wI')"�/K"��g/������*+,��2k(��-+i+,���*����������')�3 4/����1�#�!��8����7r& ��=%"1�������*��')(��xu%$��)���-�3 m���# y/�')���

    GG = 〈{a, b, c}, {〈a, b〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉}〉.

    ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ¶�µ(' ·*)�½^¾kÚÒ¯C®,+)ÁR')�! G = (VG, sG, aG)

    (��=%"1��������8- #�,23(��- �8%r:s>')(���/�8FZ����,�xu��')���+,���¦Õ-KbFe{|Ö�h/������

    G$/��-��(��,�(��¸��')5�5A�- h�)Çkd#Õ1b-$ (��123(&Ðl(�� ��')5�5A�- *Çk{`ChF$����"/����

    +!�,�# ����y�#(�"?+wÐ��+!������Ê:�- VG ∪ N

    r& ��������-5��!������')�k /�8FZ����,��!��/K(��- #�!.9�-5A�-�3 ��')5�5A��#(��! ¦Þ^+��� p ���� @(�������-5��!�É/������ G /�� u l v /���+,')��=%(��-(�" k $�- w ���# m+,� i 13254 8-+,8-5A�-�3 �/��+~3Õ�Õ1bfhfhf{wzF}!b4/��-��(��,�

    v���¡�- D���-(�+,�-5A�-�3

    �7 �!+��FE�,�# ��D(����1���-5��!�g/��vlur%ÑiI�-���1�-54Ê�+,�y/����i�1')5�5A�- ��\�)���������#�!Ê�+,���Y/��-��(��,�

    v���# j��') �8

    VG|vr

    :c+����# M8-.k�,/��-�k M2k(��(VG|v, s

    ′, a′)���� i8-=3��+,�-5A�-�3 ;(��A=%"1�������@8- #�,2k(��- �8y�#(�"

    Σ$9')È

    s′�- a′��')�k i+,���

    "����# #"#�,�- #�,')���D"����#�:���- #�!.9���;/��sG

    �- aG

    lVG|v

    r & �@=%"1���������1�-"1�*��') �8G|v

    rKÂm���')5�5A�- r ∈ VG���# ?(�����d#~9Õ-{CÖb�/��

    G�#�&�- y���-(�+,�-5A�-�k m�#�

    G = G|rr

    R')�! p = u1.i1. · · · .un.in

    (�� �����-5��!� /������(���=%"1�������¦8- #�,23(��- �8G = (V, s, a)

    $Y�- ���')�! η : V → V ′

    rkom+,')"��D')�¦/�8FZ����! η(p)

    ��')5�5A�08- 1���k ;+') �')���;2k(��η(p)

    �&I���# y�-�=98-��8-"1��+&���)�y(���1���-5��!�&r3

    Ñt�¬��') #�,')�Ò/��A"1�)�-�!���A�-5���+,'±698��g�,�-�i�����')"#"����#�:')��/É���)��l¬���-+!+,�g(� #�!+!�,��8��A�-�"�8�8��-"#�! #(�"��/��=%"1���������t/��Y ��-"#5A���;BC(����Y"1�)�-�!���i�& 60���# t�-�4�FÎv�- &2k(& (��4��')5�5A�- t/K�,�# #�!��=%(�8±XFrÏJY+!+,�\���� v��87����5A')�!����#(

  • ����� ��� ������������������������� �� � ���������� �"� á ��¾kÚ»�º�¿&À^¾�µ4Rk�D+�����-5��!����Þ�#�

    p���# >(�������-5��!�É/��

    ul

    v$��-

    q���# ?(�������-5��!�/��

    vlw$���+,')"��

    p.q���# @(�������-5��!�/��

    ulwr

    �i¾ÚÍÚ;³:µ¶¡µ,³�){`G

    ÇÖ Ã)dx~F�Kb-`{ÆÅ-Ç�b�`c � b-`pb-`p′

    3bFÇ�� ÕFKb-e{CÖ�hÄ){|hF`{CÖ¡Õ�`ChÄ3b¬e 6Fegbh-%Çkd#Õ1b����m}n)dfh � �)Çkd�`w)Ç`cb���)Ö¡Õ7`{)Ö

    η� },bfh�} {/K�,�# #�!���- ����7rª¬«9Y®¯/���+/������G$�/��

    al

    aËp′���# y(�������-5��!�/������

    G′/��

    a′l

    f′r�o@+,')"��

    p1�- p′��')�3 ?����"1��+!+,-+,���7$¡�-

    p1$p2�- p′��')�k @8�23(��!.%��+,�-�3 ��±r

    '*º�²�¼º�¯C«3°7«³:µ¶¡µ"()){`GÇÖÉÃ)dx~F�Kb¦-`{ÆÅ-Ç�b�`c � b-`yh-){wbFÖ�`

    pb-`p′3b-Ç*�ÕFKb-e{CÖ�hg9~)Ö�h

    G3b

    e 6Fegb*h-)ÇdxÕfb � Å-Ç{Yh�)Ö�`:�~)dx~%}|}$#F},bfh����m}n)dfhp = p′

    ������� ��� !>pj��"@�!��/K(��- #�,')� #"#�!.k�

  • á%á ��������������������������������

    a : f

    b : g

    d : g

    c : g

    a′ : f

    b′ : g c′ : g

    d′ : g e′ : b

    f′ : a

    � �C[ ! Q rÐV�#¦L0"1���������@8- #�,2k(��- �8��y/���+wIJjE��-5���+,� Q r!q%r O

    '*ºÏ²¡¼^º)¯C«9°7«³vµ¶�µ����?%Çkd�3bFÇ��AÃ)d#~f�KbFh�-`{ÆÅ-Ç�b-`cfhGb�`G′

    9%Ö�Öfh � hf{pbfh-`;ÇkÖÍÕF�bFe{|ÖÍ3b

    u�v9~)Ö�h

    Gb-`0Å-Ç�b

    ηbfhF`mÇÖb��-)ÖÕ�`{%Ö¸`cbF}C},bÅ�Ç�b

    η(p)bfh-`@ÇÖ ÕFKbFe{CÖ 3~)Ö�h

    G′� ~)}n%d1h

    pb-`

    η(p)h-)Ö�`vK~)d#~)}C}"#F},bfh � b-`

    η(p)bfhF`\ÇkÖÕF�bFe{|ÖÉ3b

    η(u)�η(v)

    ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ¶�µ¶�� ·�����°7¾kº�Ú;¾9°���°7¾kº�Ú;�ÁR')�! j(����#6k5�Ê')+,�◦ /∈ Σ

    $�/v��"#�! �80$��- Y��')���#�nu

    /�8-"�')���?+���)�@/�����')5�5A�- >.)��"#������;��')5�5A�- ��7rKpj��"

    �FE ��-���#�,')�&$:')�����"#+,�-"1�/��4+

  • ����� ��� ������������������������� �� � ���������� �"� á Q

    a : f

    b : g

    d : b

    c : g

    e : b d : b

    b : g c : g

    a : f a : f

    b : g

    d : b

    � �|[ ! Q r � #��&"�')�,�@"��-��"�8����-�3 1�� #�,')���>/��f(g(b), g(b))

    '*º�²�¼º�¯C«3°7«³:µ¶¡µC¶[t]vuw ��-"#5A���m��')�k y/�')����54(� #(��-+!+,�-5A�-�k 0Ê��,�#�!5��!+

  • á�� ��������������������������������

    Ñ&��+,�-5�5A�*��(��!.)���k y��-"#5A�- m/����7��"1�)�- �8-"#�,���-"@++/�������(� ��-(�"

    n + 1r & ')5�5A���"�8���8�/��-5�5A�-�3 7$&')��:'%���

    s(r) = v1. · · · .vn$s′(r′) =

    v′1. · · · .v′n

    $)�- Y�')(�"j �')(� i = 1, . . . , n

    $)')���') ��Ti = T |vi

    $)�- T ′i = T

    ′|v′ir)p')(�"

    i ∈ {1, . . . , n}$

    ��')�! v(����')5�5A�- >/��

    Ti�- q(���1���-5��!�/��

    vilv/������

    Ti$¡��+,')"��

    p = r.i.q���# >(�������-5��!�

    /��rlv/������

    T$�- >����">�36�:') #������%$�!+�FEK�,�# ��(���1���-5��!�

    p′ = r′.i.q′����"1��+!+,-+,��l

    p$¡/��

    r′l

    (��¦�1')5�5A�- v′/������

    T ′ ��-+v23(��

    s′(v′) = s(v)r

  • ����� � ���"���"���"������ � � �"� á O

    a : f

    b : g

    c : a d : a

    e : f

    f : g g : g

    h : a i : a

    � �|[ ! Q r á�#[t]vuw ��-"#5A���@/���+wIJjE��-5���+,� Q r!q%r!q �

    Rk�^+w ��')5A')5A')"#�����,�#5A�h���# @�-+,'%�±$�')�/K�! m23(��

    T ′���# D¡} ÇkhÕ�)emK~9Õ7`y23(��

    T$����*2k(&I')���') ��

    T ′ b Tr

    Ñ&�md�fhf{Æ)Ç�/��h���� &+w �!5g��=9�M/������

    VT ′/������')5�5A�- ��^.)��"#�(����')5A')5A')"#�����,��5A��/��

    T.9�-"��

    T ′Ë��')�"�8����,/K(���#

    {b′, d′}$¡�- ���')�

    ���3 #�!"�8����,/K(���# {a′, c′}

    rh�&I���� y/�')�������)�@�-+,'%�7$��7��"

    s(d′) 6= s(d)r

    v a b c d

    h(v) a′ b′ c′ d′

    ØmÙ&¾kÚ¼jÛC¾³vµ,Üvµ('�������*+�')(�"> �')(� ���')5�5A�- m.%��"#�

  • á N ��������������������������������

    a : f

    b : ◦ c : g

    d : ◦

    a′ : f

    b′ : b c′ : g

    d′ : g

    e′ : b�"�C[ ! Q r Q #Ñ&���m[^]:uw ��-"#5A���TBÆl=3��(������±Xy�-

    T ′BÆl�/K"�')�! ��±X

    T �Ä�*+,���;��"�')��"#�,8- �8��y�#(��!.%���3 ����±$K�)�1�����>8-.�,/��-�3 ����±$k5g���,�?2k(��:���-"#.k�!"�')�k ;ÌC"�8�2k(��-5�5A�-�3 ?����"D+

  • ����� � ���"���"���"������ � � �"� á �

    a : f

    b : f c : f

    d : b e : c f : c

    a′ : f

    b′ : f c′ : f

    d′ : b e′ : b f′ : c

    �"�C[ ! Q r ��#�>�-(KE[^]:uw ��-"#5A���y��,���!5��!+��nu�#�!5��!+

  • Q U ��������������������������������

    ����� � �� !�Rk�h���# >(���,��')5A')"#�����,�#5A�%$�!+j���# >8-.�,/��-�3 �2k(����%I���� m(����')5A')5A')"#�����,�#5A���-+,'%�0�-

    �!� $x���- #�nÌ#$K�!+t�7Ð��=%�! y/�')���*/��4/�8-5A')�3 #"��-"m2k(���+�!� $x���- #�nÌ#$��%I���# y(����*Ê�� $x���- #�,')�&r¡sm')(��@��+!+,')���@5A')�3 #"��-">23(��

    h−1���#

    (����')5A')5A')"#�����,�#5A��/��T ′

    .9�-"��TrR')�!

    u′(���1')5�5A�- 0/��

    T ′$��-

    u = h−1(u′)r :a+^�7Ð��=%�! 0/��

    5A')�3 #"��-"m2k(��s(u) = s′(u′)

    $��- @2k(��a(u) = h−1(a′(u′))

    r & ���-�t���# @8-.�,/��-�3 4���')5�5A�h���# @(��

    ��')5A')5A')"#�����,�#5A�%$K')��1���! ;23(��s′(h(u)) = s(u)

    $3�- ;/�')���%$k')�¦��Ê��,�-�s′(u′) = s(u)

    r3�0�y5/.-5A�%$��')5�5A�

    a′(h(u)) = h(a(u))$¡')��

    h−1(a′(u′)) = h−1(a′(h(u))) = a(u).

    ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ23(���Þ'*ºÏ²¡¼^º)¯C«9°7«³vµ

  • ����� � ���"���"���"������ � � �"� Q q

    ������� ��� ! T �¬/�8-5A')�3 #"��0+,�>"�8��#(�+! 1�� D����"D�!��/K(��- #�,')�¬�#(�"D+."1���Y�:')(�"> �')(��*+,���������-5��!���4/����1')(�"����r′/������

    T ′$:/��+,')��=%(��-(�"*�!�KÌ8-"#�,�-(�"���')(

    8-=3��+,�4lk$��- @2k(��

    p′���# y/���+,')��=%(��-(�"

    k + 1r T ��'%�1�

    p′ = q′.u′.i,

    ')Èq′���# D����"?/�8FZ����! #�,')�¬(��¬�����-5��!�/��

    rlu′/������

    T ′rKp��"?�k6k�:') #������0/v �!��/K(��- #�,')�&$��!+v�FE�,�� ��

    (��Ä�����-5��!�¸BC(����,23(��±Xq/�����')(�"����

    r/������

    T ��-+v2k(��

    q′ = h(q)Ëq���# y/�')���0(��¬�����-5��!�/��

    rl

    u/������

    T$�')È

    u′ = h(u)r

    & ')5�5A�h���# Y(��A��')5A')5A')"#�����,��5A�m�-+,'%�7$%')��

    s(u) = s′(u′)$3���y23(�����"�')(�.9�m23(��

    p = q.u.i���# ?Ê��,�-�Ä(�������-5��!�/������T$��- @23(&I')��

    p′ = h(p)r�Ñi (����,�-�! �8�/��

    p���# @��+,')"��@8-.�,/��-�3 ��%r

    T � ��8-=3��+,�-5A�-�k (����"�8��-�!��"�'23(����+!(��¦ÌÆ���!Ê�+,�É/K(Ñt�-5�5A� Q rÐVKr!q7V Þ?�#�0(����ÌÆ')���- #�,')�h #"1�����xÌÆ')"#5A�+,��������-5��!���¦/v (��[t]vuw ��-"#5A�

    T�-� /�����1���-5��!���¦/v (�� [^]:uw ��-"#5A�

    T ′�- g.98-"#�nZ��

    ���-"# 1���!�����y��"�')��"#�,8- �8��>�#(�����+,8-5A�-�k 1���!"����7$¡��+,')"��h���# y(��¬��')5A')5A')"#�����,�#5A�/��

    T.9�-"��

    T ′r

    �i¾ÚÍÚ;³:µ

  • Q V ��������������������������������

    �i¾kÚÒÚ¾³:µÊ��,�#�!5��!+')(��

    /�8-5A')�3 #"�')���+,�A"�8��#(�+! 1�� ����"4�!��/K(��- #�,')���#(�"*+Ìw���! ?23(��

    A���# ?(��

    ]:uw ��-"#5A�%rRk(����'%�1')���05g���!�3 ��-�����3 23(��

    h�&I���# 0���)�0�!� $#���- #�nÌxr :a+Y�FE�,�# ��/�')����/��-(KE�1')5�5A�- ��

    v�- v′/��

    T ��-+,�@23(��

    h(v) = h(v′)r�om+,')"��7$K��')5�5A����"�8���8�/��-5�5A�-�3 7$�#�

    p���# ?(���1���-5��!�/��

    rlv$��-

    p′(�������-5��!�/��

    rlv′/������

    T$���+,')"��

    h(p)�- h(p′)

    ��')�k @/��-(KE¬�����-5��!���>/K�,�# #�!���- ��@/��h(r)

    lh(v) = h(v′)

    /������A$��- m')���Ê')(� #�! ml�+

  • ����� � ���"���"���"������ � � �"� Q��������� ��� !>s>') �')���

    r+23(��4���*"�8��#(�+! 1�� 0��')�! @."1���t�:')(�"@ �')(� >]:uw ��-"#5A�

    �- >[^]:uw ��-"#5A�*/��*����(� ��-(�"y�!�KÌ8-"#�,�-(�"���')(Ä8-=3��+,�4lk$��- @2k(��

    A���� y/�������(� ��-(�"

    k + 1r T ��:'%���

    a(r) = v1. · · · .vn,�- a′(r′) = v′1. · · · .v

    ′n,

    ��+,')"��7$:�:')(�"0 �')(� i = 1, . . . , n

    $v')��A|vi $ T |v

    ′i

    $v�- 0/�')���%$:����"��k6k�:') #�������/v �!��/K(��- #�,')�&$&')��-�/�8�/K(��! 42k(& �!+i�FE�,�� ���(����')5A')5A')"#�����,��5A�g�-+,'%�

    hi/��

    A|vi.9�-"��

    T |v′ir:�0���+!(��7$v��')5�5A�

    A���# ?(��]vuw ��-"#5A�%$�')��¬Þ

    ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, (i 6= j) ⇒ (V |vi ∩ V |vj = ∅).

    & ���-�&��"�')(�.9�*2k(���+

  • Q á ��������������������������������

    h′

    h1 h2

    A1 T A2

    � �|[ ! Q r O #Ñ&�-5�5A� Q rÐVKrÐVKq

    � ½^«3²�º��kÚ;³vµ,Üvµ')(��@��+!+,')���@5A')�3 #"��-"m2k(��

    h′���# ?(����')5A')5A')"#�����,�#5A�4/��

    A1.9�-"��

    A2r

    R')�! v(��Ò8-+,8-5A�-�k /��

    V1 \ SV(A1)$^�- ���')�!

    p1+,�A�1���-5��!� /��

    r1lv/������

    A1rR')�!

    p2+,���1���-5��!�/��A2

    ��-+2k(��h2(p2) = h1(p1)

    rp��"0/�8FZ����! #�,')�É/��h′$p2

    ���# @(�������-5��!�É/��r2l

    h′(v)/������

    A2$��- @��')5�5A�

    h2(p2)���# ?(���1���-5��!�/��

    rlh1(v)

    /������T$�')��

    s2(h′(v)) = s(h1(v)) = s1(v).

    Ñ&��Ñ&�-5�5A� Q rÐVKr!q � 5A')�k #"�����+,')"��y2k(��h′���# DÊ��,�-�Ä(��¬��')5A')5A')"#�����,�#5A��/��

    A1.9�-"��

    A2$��- y���-

    ��')5A')5A')"#�����,�#5A�4���# ?�!� $#���- #�nÌi/vÐ����"���y+,��Ñ&�-5�5A� Q rÐVKr!q �Kr

  • ������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� Q%Q

    0� �� ���� ��� x¡�� ¥A§%¡jv¨©Y�������i���- # ��D����"# #�,�%$%��')(��M��+!+,')���Y/�8FZ����!"i+,���j��') #�,')���\/��D�#(�Ê���')5��� #�,')��- i/v (����nZ¡��Ê��!+!�! �8?�')(�"

    /����?]:uw ��-"#5A���7r & �-"# 1���!���y/����;"�8��#(�+! 1�� ��?/��>���- # ��0����"# #�,�0��')�3 ?8-=3��+,�-5A�-�k y.)��+����+,���>/�8-5A')�k #"��-"�')���*2k(���:')(�"y+,���y]:uw ��-"#5A���7rª¬«9Y®¯(��¬��')5A')5A')"#�����,�#5A�

    h/��

    A.9�-"��

    T |v$K')�Ä/K�!"1�2k(��

    AhfÇ�zfhFÇkegb

    T�-�v$�')(23(��

    T |v���# ?(�����{CÖ�hF`w~%Ö¡Õ1b4/��

    A$��- y')���') ��-"1�

    h, v : A E Tr

    Rk�v���# y+

  • Q � ��������������������������������

    a : f

    b : g c : ◦

    d : ◦ e : a

    a′ : f

    b′ : ◦ c′ : h

    f′ : ◦

    a′′ : f

    b′′ : g c′′ : h

    d′′ : a f′′ : b

    A : A′ :

    T :

    � �C["! Q r N #JjE��-5���+,� Q r � r �

    ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ('vµ/��A.9�-"��

    T�- @/��

    A′.9�-"��

    Tr

    sm')(��?�7.9')���?+,�>+,�-5�5A�>/��0/�8���')5��:'%�#�! #�,')�Ä�#(��!.%���3 7$K2k(����')(��D�:�-"#5A�- # #"1������"D+/vI�FÌCuÌ���- #(��-"@/����@/�8-5A')���# #"1�� #�,')���@����"?�!��/K(��- #�,')��#(�"?+

  • ������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� Q O(�����"����# #"#�,�- #�,')�É/��

    hBC"����#�&r

    h′X?���# >(����')5A')5A')"#�����,��5A��/��

    A|viBC"����#�&r

    A′|v′iX?.9�-"��

    T |h(vi)BC"����#�&rT |h′(v′i)

    XË:�- *��')5�5A�h(vi)

    �- h′(v′i)

    ��')�k � �')(��*/��-(KE+,�i 13254 ��"#=%(�5A�-�3 4/��+')(��y/�8-5A')�3 #"�')���>5g���!�k ��-�����3 >+')(��0/�8FZ����,����')���05g���!�3 ��-�����k *+

  • Q N ��������������������������������

    a : f

    b : g c′ : h

    d : ◦ e : a f′ : ◦

    �"�C[ ! Q r � #JjE��-5���+,� Q r � r!q%q

    #V ′′ ⊆ V ∪ V ′

    $# �#�

    s(r) = ◦$���+,')"��

    A tA′ = A′$

    # �#�!��')�Ä�#�s′(r′) = ◦

    $���+,')"��A tA′ = A

    $# �#�!��')�&$&')��'%�1�

    a(r) = v1. · · · .vn$a′(r′) = v′1. · · · .v

    ′n

    $&�- A t A′

    ���# *+,�A]:uw ��-"#5A�/��"1�)�-�!���

    r ��-+¡2k(��

    s′′(r) = s(r)$3�- D�#�

    a′′(r) = w1. · · · .wn$K��+,')"��\�:')(�"; �')(�

    i = 1, . . . , n$

    wi���# ?+23(& �!+t���� ?(����0��+!(��?��- #�! ��*�!���# 1�������*/��A�- @/��

    A′r

    sm')(��@��')5�5A�-� ��')���@����"y��"�')(�.9�-"m23(��A tA′

    ���� ?Ê��,�-�Ä(��Ä5g� $#')"1���3 @/��A�- @/��

    A′Þ

    �i¾kÚÒÚ¾³:µ('vµ¶KÜ��{Ab-`A′

    h�)Ö�`\ÇkÖ�{ �M~3z-}!bfh � ~)}!)dfhA v A tA′

    b-`A′ v A tA′

    ����� � �� ! T ��:'%���A = (V, s, a)

    $A t A′ = (V ′′, s′′, a′′)

    �- ')�Ò/�8-5A')�k #"��+,�"�8��#(�+! 1�� ����"�!��/K(��- #�,')�&r T � ��') ��"���������- #�!.9�-5A�-�k

    r�- r′′

    +,���¦"1�)�-�!�����¬/��A�- A t A′

    Ë;���s(r) = ◦

    $��+,')"��@+,��"�8���(�+! 1�� m���# y #"#�!.�

  • ������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� Q��)4²�º�²¡ÛÛC»�¯CºÏ¾³:µ('vµ¶ ')){wbFÖ�`

    A�A1

    b-`A2

    `dx%{��bA v A1

    � b-`^hfDZ9K�h�)Ö�hmÅ-Ç�bA1

    b-`A2

    h-)Ö¡`iÇÖ�{ �;~3zF},bfh����m}!)dfhA v A1 tA2

    ������� ��� !>�Ð����"���+,�gÑ&�-5�5A� Q r � r!q7VK$')�¸�A1 v A1 t A2

    $t�- �/vÐ����"����+�Ð����"���>+,�4Ñ&�-5�5A� Q r � r!q7VK$A′ v A t A′

    $��- m��')5�5A�A v A′

    �- A′ v A′

    $�/v����"���+,� �D��8�')"�-5A� Q r � r!q Q $

    A tA′ v A′r

    JY�����"# #�,�-(�+!�,�-"7$�')��+w �,/��-5��:') ��-�����4/���+wI')�:8-"1�� ��-(�"t5A'/K(�+,'��,��')5A')"#�����,�#5A�%r

    ØmÙ&¾kÚ¼jÛC¾³vµ%'&µ¶ % �m�-��"��-��')���i+,���M]:uw ��-"#5A���A�- A′$3���!���#��2k(��?+,�m[^]:uw ��-"#5A�

    T/��?+wIJjE��-5���+,�

    Q r � r � BC.9')�!"+

  • �%U ��������������������������������

    v a b c′ d e f′

    h′′(v) a′′ b′′ c′′ d′′ d′′ f′′

    ���# ?(��Ä��')5A')5A')"#�����,�#5A��/��A tA′

    .9�-"��Tr

    Ñ&���')"�')+!+pY(��,��2k(��A1

    �- A2

    ��')�3 (����nZ¡��Ê�+,���7$�!+M�FEK�,�# ��g(�� [^]:uw ��-"#5A�T�- /������')5A')5A')"xu

    �����,�#5A���h1

    �- h2

    "����#����- #�!.9�-5A�-�k /��A1

    .9�-"��T�- ¦/��

    A2.9�-"��

    TrDR')�,�-�k

    η1�- η2

    +,����,��')5A')"#�����,�#5A����/��

    A′1.9�-"��

    A1�- /��

    A′2.9�-"��

    A2$^"����#����- #�!.9�-5A�-�k 7rYo@+,')"��/v����"���++/��

    A′2.9�-"��

    Tro@+,')"��>/v����"���>+

  • ������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� �Kq

    ������� ��� ! T �¦�:'%���A = (V, s, a)

    $A′ = (V ′, s′, a′)

    $K�- A′′ = (V ′′, s′′, a′′)

    $k')�¦��') ��r, r′

    �- r′′+,�-(�"��0"1�)�-�!������"����#�:���- #�!.9���7$:�- �')�/�8-5A')�3 #"���+,�"�8��#(�+! 1�� 0����"��!��/K(��- #�,')��#(�"0+

  • �%V ��������������������������������

    ����� � �� ! T � /�8-5A')�3 #"��¬+,�"�8��#(�+! 1�� ����"��!��/K(��- #�,')� �#(�"+��+!+,')���0/�8FZ����!">(�����)�- #�,')�É/��*=%"�')(��:��#(�"m/����0�-�����-5�Ê�+,���>/���[^]:u

    ��-"#5A���7rDsm')(��¦��')5�5A�-�����-"�')���¬����"¦/�8FZ����!"¦(�����)�- #�,')� /��=%"�')(����#�!5���+,��#(�"+,���=%"1���������8- #�,23(��- �8��7$��- ?��')(��?8- #(�/K�,�-"�')���m��')(��?2k(��-+!+,���?��')��/K�! #�,')���@���- # ���')�:8-"1�� #�,')�/��-5A�-(�"��0(����*�)�- #�,')��#(�"^(���-�����-5�Ê�+,�?/��D[^]:uw ��-"#5A���7r)ÑiÐ�)�- #�,')�A/��M=%"�')(��:�;/�8FZ����,�D�#(�"+,���=%"1���������Y8- #�,23(��- �8��j���-5�Ê�+,��#�!5���+,�%$�5g���,�?+,���?5g�����!��(�+

  • �����/�')���@2k(��?+wI�-�����-5�Ê�+,�0[^]��T (V, s)

    �&I���# i���)�;�# 1���+,�y��')(��\+w�)�- #�,')�/��

    Sym(V )r & �-��-��/����k 7$&�����-"��1���-"�l/�8- ��-"#5��!���-"*(����')(��xuw=%"�')(��:��/��

    Sym(V )2k(��Y�# 1����!+!�,���

    [^]��T (V, s)

    �&Ð����)�;ÌÆ')"���8-5A�-�3 >/������-���7$��(��,��2k(�������23(��v��')(��?�!�k �8-"��������*���� D/��0�:�-"#54(� ��-">/������"#=%(�5A�-�3 ��>/������y(��[^]:uw ��-"#5A�4����"# #�,�-(�+!�,�-"7r :a+&���# y/�')�������� #(�"��-+t/��4�����-"������-"�l������')���#�,/�8-"��-"2k(��+,����:�-"#54(� 1�� #�,')���Ä/��

    Sym(V )2k(��> #"1�����xÌ')"#5A�-�k ÇkÖ [^]:uw ��-"#5A�/�')����8�-�[t]vuw ��-"#5A�%r

    ���+!���-(�"��-(����-5A�-�3 7$v+wIJYEK�-5���+,� Q r á�rÐVg5A')�3 #"���2k(������- 0�-�����-54Ê�+,��&I���# 0���)�m(��=%"�')(���¦B�7��"σ�-

    µ�-�¦ÌÆ')�3 y����"# #�,�%$�5g���,�@���)�?+,�-(�"y��"�'/K(��!

    σµXFr

    �������4���g23(��\��(��! 7$:��')(�����+!+,')���4/�')���/�8- ��-"#5��!���-"4(������!�KÌÆ')"#5g�� #�,')�Ò/�')�k 4��')(��4�')(�"#"�')�����')(��@�1�-"#.k�!"y�:')(�"@/�8FZ����!"m(����')(��xuw=%"�')(��:�*/��

    Sym(V )b�`D(���-�����-54�+,��/���[^]:uw ��-"#5A���>�# 1���+,�

    ����"@������')(��#uw=%"�')(���%r

    ������� � # ,��'������������ ��,'# �'� � � ��Âm�����"��-5��,-"���,/�8�����!5���+,����� >/�������')���#�,/�8-"��-"�23(��+,���08-+,8-5A�-�3 ��4/��

    Sym(V )2k(���:�-"xu

    54(� ��-�k @(���-���1�-54�+,�*/�����')5�5A�- ��@�!��/�8-��-��/����k ��@/������@(��[t]vuw ��-"#5A�*/�')����8Tr & ���-�v"��-.�,�-�3

    /�')���0l*����')�,���!"M(��¦�-�����-54Ê�+,�U/��m��')5�5A�- ��M�!��/�8-�:�-��/����3 ��?/������

    T$3�- D/��@��')���#�,/�8-"��-";+w�)�- #�,')�

    /��Sym(U)

    �#(�";+wI�-�����-54�+,�0/����y[^]:uw ��-"#5A���?/������;+,����2k(��-+,�U���# M�!��/�8-��-��/����k 7r ���+!���-(�"��-(����Fu

    5A�-�3 7$¡���- # ��*��')+!(� #�,')����� ? #"�')�Ä"����# #"#�,�- #�!.9�%$���')5�5A�4+,�05A')�3 #"��*+wI�FE��-5���+,�*�#(��!.%���3 7r

  • ��á ��������������������������������

    (b e)

    (c d) (c d)

    (b e)

    a : f

    b : g

    d : a

    c : g

    e : b

    a : f

    c : gb : g

    a : f

    d : a e : b

    c : gb : g

    a : f

    d : a e : b

    b : g c : g

    d : a e : b

    � �|[ ! Q r!q7U #¬L>"1���������y8- #�,2k(��- �8��@/��*+wIJjEK�-5���+,� Q r á�rÐV

    Ø@Ù&¾Ú¼jÛ|¾³:µ%=&µ%=R')�! E+/��m"��-��"�8��1�-�3 ��-"

    +/��*��')5�5A�- ��y/������

    Tr�JY��FÎv�- 7$�')��

    f(a, g(b, d)) =E f(g(b, d), a) =E f(g(d, b), a),�- /�')���%$\�#�D(��¸ ��-+

    T�FEK�,�# 1���! 7$+wI�-�����-54�+,�

    U/��-."1���! ��')�k ��-���!"g+,������')5�5A�- ��

    u1�- u2

    "����xu����- #�!.9�-5A�-�k 8- #�,2k(��- �8��*����"

    a�- g/v (����A����"# ¦BC��"��-5��,-"��g8�2k(��� #�,')�¡XF$t�- 4+,���4��')5�5A�- ��

    u3�-

    u4"����#�:���- #�!.9�-5A�-�3 >8- #�,23(��- �8��@����"

    b�- d/vÐ��(� #"��4����"# �B/��-(KE�,-5A��8�23(��� #�,')�¡XFr T "7$�+wI�-�����-5�Ê�+,�

    {u2, u3, u4}�&I���# y���)�?�!��/�8-�:�-��/����3 >/������

    Tr

    Â@���¸��(� #"��Í�,/�8��¸���# /��Í��')���#�,/�8-"��-"(����Í����"# #�! #�,')�P

    /��V$@�- /vI8- #(�/K�,�-"+w�)�- #�,')�/��

    SymV (P)�#(�"�+wI�-�����-54�+,�/����[^]:uw ��-"#5A���/�������+,����2k(��-+,�� �')(� ����A+,����-+

  • ���������23(���#(��! 7$

    ��')(��¦��+!+,')���A"����# #"��-�!��/K"�����- # ��������')��/���-+')(���5A')�k #"��-"�')����2k(��+wI�-�����-54Ê�+,�/�����[^]:uw ��-"#5A���4/������*+,����23(��-+,�(���������"# #�! #�,')�

    P���# y�# #"1�� #�nZ�8��*���# y�� 1���+,�*��')(��?+w�)�- #�,')�/��

    SymV (P)r

    ª¬«9Y®¯��h1h7#9~)Ö�`@ÇkÖ:bd#~9Õ-{CÖb

    r� b-`Dh-%{C`

    PÇÖb>K~)dF_

    `{`{)Öh-`dx~%`{ �;�b3~)Ö�hG� �m}!)dfh4{C}&Öb?�bFÇK`@b �){|hF`cbFd�3bÕF�bFe{|ÖÒbFÖ¡`d#b3b-Ç*�-}!FegbFÖ¡`Ch){|hF`{CÖ¡Õ�`Ch

    t ÇkÖ:b*e 6FegbP_ Õ-}!~�hfh�b��

    ������� ��� ! & �"�8��#(�+! 1�� 0���# 08-.k�,/��-�k �7 �!+j�FE�,�� 1���! m(�������-5��!��-�k #"��/��-(KE8-+,8-5A�-�3 ���/K�,�# #�!���- ��u�- v/v (����>5/.-5A�

    Puc�-+

  • � � ��������������������������������

    a : f

    b : f c : f

    d : b e : b f : c g : d

    � �C["! Q r!q%q�#[^]:uw ��-"#5A�*/���+wIJjE��-5���+,� Q r á�r �

    a : f

    b : f c : f

    d : b e : c f : c

    a : f

    b : f c : f

    d : b e : b f : c

    �"�C[ ! Q r!q7V�#[^]:uw ��-"#5A���m/���+wIJjE��-5���+,� Q r á�r O

    Â@������')���18�23(��-�����4�!5�5A8�/K�

  • �������(KE�)�- #�,')���?/��>=%"�')(��:���;��(�"D/����

    [^]:uw ��-"#5A���>�-+,'%�7$�����23(��^/�')������+!�,�-(l+2k(������- # ��4�)�- #�,')����� y���-5��nuw"�8-=%(�+!�,-"��%r

    R')�,�-�k T ∈

    [^]��Tc(V, s,P)

    $v ∈ V

    $9�- M��(����'%��')���;2k(��T σ = T

    r9o@+,')"��;��')�! v���# M+/������y+,����2k(��-+,�y+wI�-���1�-54�+,�

    U���# �!��/�8-�:�-��/����3 7$Y�!+?���# ��-+

  • � N ��������������������������������

    0 � Y�£¨©�������@���*�1�������! #"��%$���')(��m�7.9')���m/�8FZ����t+,���>[^]:uw ��-"#5A���0l����"# #�!"m/����y=%"1���������m8- #�,23(��- �8��@ ��-+,�

    23(& �!+,���')�3 ¬/�8FZ����,�¦/������+/������?+,����2k(��-+,�P���� y�# #"1�� #�nZ�8��%r

  • � ���������

    � �

    � � ���

    ��� �� ������� ��������

    �������;+,�m�1�������! #"��>��"�8���8�/��-�3 7$K��')(��?��.9')���?/�8FZ����(����>�)�- #�,')�¬�#(�";/����y[t]vuw ��-"#5A���DÊ��)��8��m��(�"+,���Y�:�-"#54(� 1�� #�,')���M/��?+,�-(�"��i��')5�5A�- ��7r%s>')(��\�7.9')���i/�8FZ��������- # ��@�)�- #�,')�A/��;Ìw����')�A #"���\��Ê��# #"1���! ��%$������')(��DÌÆ'�7��+!�,�1���3 @2k(����#(�"?+(��]:uw ��-"#5A���- >(�������-"#5�(� 1�� #�,')�/��������

    ��')5�5A�- ��7r:JY����(��! ��%$¡��')(���/�8FZ����!"�')���0+,����hF{nÃ)Ö~%`Çkd�bfhhF`d#~%`{ �;�bfhΣE

    $v���!���#�j23(���+,���*[t]i_a`cbFdFegbfhhF`d#~%`{ �;fh-$M2k(��m��')�k /����¬[^]:uw ��-"#5A���¦����"# #�,�-(�+!�,�-"��¦�#(�"

    Σ ∪ ΣErMJY 1���3 ¬/�')����8(�� [^]:uw ��-"#5A�

    �# #"1�� #�nZ�8T$��')(���5A')�k #"��-"�')������')5�5A�-�k 4��')���# #"#(��!"���(��������"# #�! #�,')��# #"1�� #�nZ�8��A�#(�"

    Tl����"# #�!"

    /����D��')5�5A�- ��;8- #�,23(��- �8��;����"D/����;8-+,8-5A�-�k ��D/��ΣE

    Ë���- # ��@����"# #�! #�,')�¦��')(��D���-"#.�!"1�4l�/�8FZ����!"M(�����)�- #�,')�Ò/��g=%"�')(���g�#(�"*+,���[^]:uw ��-"#5A����# #"1�� #�nZ�8��7r^JY�KZ��&$&��')(�����')���# #"#(��!"�')����(��Í=%"�')(��:�A/�')�3 �����)2k(��?8-+,8-5A�-�3 Y��')"#"����#�:')��/�lm+wÐ������+!�,�7�� #�,')�B�#�!54(�+! 1����8��±X/��;"�-=%+,���j/��;+p\UKq-Wcr & �D"�8���(�+! 1�� Y��')(��Y��-"#5A�- # #"1�*/��?/�8-5A')�3 #"��-"M2k(��D+,���Y�-�����-5�Ê�+,���\�# #"1�� #�nZ�8��/��AGIo>p\UKq-W&�:�-(�.9�-�3 .- #"��4')Ê� ��-�3(��0l����"# #�!"@/����y')"#Ê��! ����@/��4���0=%"�')(���%r

    JY�KZ��&$t��')(��� ��-"#5��!���-"�')���4���g���������! #"��g�-�8- #(�/K��!+!+!(��# #"��-">�')(�"02k(��-+!+,�4"1���,��')�+,���> ��-"#5A���m�# #"1�� #�nZ�8��0')�k >8- �8��!�3 #"�'�u

    /K(��! ��@/������4GIomp\UKq�WcrpY"��-��')���\(����? #��8�')"#�,�y8�2k(��� #�,')�����-+!+,�

    E/�8FZ����,�y����"i+wÐ�ÏE�,')5A�@/��?��')5�54(� 1�� #�!.�! �8

    f(x, y)

    f(y, x)

    r>R')�! T = (V, s, a)

    +,�]vuw ��-"#5A�/��É+���,��8*/���.98-"#�nZ��-">23(���+

  • O U �������������� � ��������������� � ������� � ���

    a : f

    b : f c : f

    d : a e : b f : c g : d

    �"�C[ ! �Kr!q�#Ä]:uw ��-"#5A�4"��-��"�8����-�3 1���k f(f(a, b), f(c, d))

    a : f

    b : g c : c

    d : d e : b

    �"�C[ ! �KrÐV�#¬]:uw ��-"#5A�4"��-��"�8����-�3 1���k f(g(d, b), c)

    & �- # ��¦����"# #�! #�,')� �8- �8¦')Ê� ��-�k(��Ä�-��"��-=%"�')(������3 /������(����5/.-5A�¦����"# #�,�¦+,����/��-(KE���')5�5A�- ����"#=%(�5A�-�3 ��A/��¦�����)2k(��¬�#654Ê:')+,�8- #�,2k(��- �8¦����"

    fr^Ñt�����"# #�! #�,')�

    P���# �# #"1�� #�nZ�8��¬/������

    T$�-

    /�')���%$t+wÐ�)�- #�,')�¸/K(Ò=%"�')(��:�G = SymV (P)

    ��(�"T���� *Ê��,�-�¸/�8FZ����,�%r & �A=%"�')(��:�g��')5��:')"# ��

    88-+,8-5A�-�3 ��7$i�- g+w �!5g��=9�Ä/��T����"A�����)�-(����/�������-"#5�(� 1�� #�,')���g"��-��"�8��1�-�3 ��¬(�� ��-"#5A�/K�,�# #�!���-

    8-=3��+tlt5A'k/K(�+,'

    Er�p��"@�FE��-5���+,�%$��#�

    σ = (b c)(f g)$K��+,')"��

    τ(Aσ) = f(f(d, c), f(a, b)) =E tr

    �>')���%$k/������\���m�7�)�i����"# #�,�-(�+!�,�-"7$k+w �!5g��=9�@����"i+/�')���%$(����*ÌÆ')�,�m/�����+!(��7$�+wÐ�)�- #�,')�/K(=%"�')(��:�

    G = SymV (P)�#(�"

    T

  • � ��� � � ��� ��� �,����� � ������� � ���"� O q

    ���# ?Ê��,�-�/�8FZ����,�%r T �¬�'%�1��Þ

    T1 = T(d e), T2 = T

    (c e),�- T3 = T

    (c e d).

    T ��A/�')���%$��')(�"> �')(� i = 1, . . . , 3

    $τ(Ti) = ti

    r�Ñt�g�-++,���> ��-"#5A���t1�- t2r & �-��-��/����k 7$:�!+^�&I���� m�:'%���#�!Ê�+,�/vÐ������+!�,23(��-"�2k(��4+,�

    ��"��-5��,�-"y�ÏE�,')5A�0lt1r :a+��&I���� ;/�')���m���)�; �')( $x')(�"��M�'%�1�#�!Ê�+,�m/vÐ������+!�,2k(��-"D+,���\5/.-5A���?�ÏEK�,')5A���?l

    /��-(KEA ��-"#5A���;8-=3��(KEA5A'k/K(�+,'EË9+')Ê� ��-�3(��0l����"# #�!"m/��

    t�- @/��*�����m8�23(��� #�,')���m�:')(�"#"1�-.- #"��*"��-��"�8Fu

    ���-�k �8*��')5�5A�*(�����')"#Ê��! �����')(��D+wÐ�)�- #�,')�/v (��Ä=%"�')(��:�%r�������¬���23(����#(��! 7$M��')(��Ä��+!+,')���¬/�8FZ����!"¦+

  • O V �������������� � ��������������� � ������� � ���

    Â@���8�23(��� #�,')� �-�3 #"��/��-(KE ��-"#5A���+!�!��87���!"����t�- t′/��T (Σ,V)

    ���# A�:�-"#54(� 1�� #�!.9��#�@�- ���-(�+,�-5A�-�3 @���

    t�- t′��')�3 ?.%��"#�

  • � ��� � � ��� ��� �,����� � ������� � ���"� O �

    ε : f

    1 : g 2 : ◦

    1.1 : b 1.2 : ◦

    � �|[ ! �Kr � #Ä]:uw ��-"#5A�4/��0+wIJjE��-5���+,� �KrÐVKrÐV

    s>') �')����23(���+wI�-�����-5�Ê�+,��/����>�1')5�5A�- ��0.)��"#�/�8FZ����! #�,')�&$¡���

    x ∈ {x1, . . . , xn}$��-

    p���# y+

  • O á �������������� � ��������������� � ������� � ���

    � ½^«3²�º��kÚ; !&µ,Üvµ$! · � ½^«3²¡º �Ú¾¶¡µ%=��¾���� ' �v¶�� Á %{C`EÇkÖb*`CK#)dF{wb;�b-dfeÇK`w~%`{ 0 b43 �iÖ�{wbK~)d0ÇkÖÉbFÖ�h7bFegzF}!b�t ~��){Æ)egbfh0ÇkÖ�{ ��)dfegb � b-`ih-){wbFÖ�`

    σ1, . . . , σn}!bFhM�bFdfeÇK`w~%`{Æ)Ö�h*~�h1h�7Õ-{w�bfh4~)Ç��

    ~��){Æ)egbfhg3 �iÖ�{|h1h�~)Ö�`E� ¡{

    cbFhF`y},bÕ�)Ö�`cb �9`cb~)h1h-±Õ-{Æ � Õ1bfhg~��){Æ)egbfh � ~%}n)dfhmK)Çdg`w)ÇK`cb>�b-df_

    eÇK`w~%`{Æ)Öσ ∈ Sym(SV(c))

    � }# #Å-Ç�~%`{Æ)Ö��bFdfeÇK`w~%`{ 0 bz#~�h�1b0hFÇkd c b-`\kbM�bFdFeÇ`w~9`{)Ö~�h1h�7Õ-{w�bσbfhF`m-}!FegbFÖ¡`m3b

    EhF{yb�`Dh�bFÇ},bFegbFÖ�`?hF{

    σbfhF`m-}!FegbFÖ¡`m)ÇÄÃ)d#)DZ�b¦bFÖkÃ3bFÖ)d#�K~%d}� bFÖ�h�b-eAz-}!b

    {σ1, . . . , σn}�

    ����� � �� !>p^')(�"i ∈ {1, . . . , n}

    $M')� ��') ��ei+wÐ�ÏE�,')5A�/��

    E/���:�-"#54(� 1�� #�,')� �)����'�-�,8��

    σi$

    �- ')����') ��G+,�g=%"�')(��:�¬�-��=9�-��/K"�8¦����"+wI�-�����-54Ê�+,�

    {σ1, . . . , σn}riR')�!

    t(��� ��-"#5A� ��-+?2k(��

    c = arbre(t)$��- y�#(����:'%��')���y2k(��

    σ ∈ Gr�om+,')"��y')��

    σ =

    m∏

    j=1

    σij ,')È∀j = 1, . . . ,m, ij ∈ {1, . . . , n}.

    �')�k #"�')���0����"m�!��/K(��- #�,')��#(�"m2k(���#�

    t′���# 0')Ê� ��-�3(Ílg����"# #�!"�/��

    t����"����������+!�,�7�� #�,')�/���+/K(Ä=%"�')(��:�*�-��=9�-��/K"�84����"

    {σ, µ}BC�,�-�w$�+,��=%"�')(���

    Sym({1.1, 1.2, 2})XF$m+wI8�2k(��� #�,')� ��-"#5�(� 1�� #�!.9���)��8���#(�"+,���')�k ��FE ��

    c�- /����-"#5�(� 1�� #�,')�

    �)����'�-�,8��σ′���� y8-+,8-5A�-�3 m/��

    Er

    sm')(��y�')(�.9')���@5g���!�3 ��-�����3 0/�8FZ����!"?ÌÆ')"#5A�-+!+,�-5A�-�3 m+,���y�#�!=%���� #(�"����@�� #"1�� #�nZ�8����4Þ

  • � ����� � ������� ������ � � �� ��� ������������� O Q

    ª¬«9Y®¯��-"#5�(� 1�� #�!.9�E/�8Fu

    Z����,�y����"M(���-�����-5�Ê�+,�m/vÐ�ÏEK�,')5A���;�#(�"Σ$%(����*hf{!Ã)Ö¡~%`Çd�bmhF`d#~%`{ �;�b

    ΣE�#(�"

    E���# i(���-���1�-54�+,�

    /��@��6k5�Ê')+,���M/��y+ÌÆ')"#5A�〈f, c,G〉

    $')Èf���� i(���#654Ê:')+,�y/��yÌ')���- #�,')�/��

    Σ$c���# M(��g]:uw ��-"#5A�

    �#(�"Σ$��-

    G���# y(��¬=%"�')(��:�*/����:�-"#54(� 1�� #�,')���@��(�"y+,���y��')5�5A�- ��?.%��"#�p\UKqFWc$D��')(��¬�:')(�"#"�')���Í3FeA~)d#Å-Ç�bFd (�� �#654Ê:')+,�É�# #"1�� #�nZ�8%$y���É2k(��"��-.�,�-�3 ?�!�3 #(��! #�!.9�-5A�-�k >l4"��- #�!"��-"?+w �!�KÌ')"#5g�� #�,')�¬��"�8��1�-�3 ��0/������

    c�- GrÑt�4Ì')���- #�,')�Ä/��0/�8-5g��"xu

    2k(���=9�dm : ΣE → Σ

    ���� @/�8FZ����,������"4Þdm(〈f, c,G〉) = f

    rs>')(��8- ��-��/K"�')���¬���- # ��ÌÆ')���- #�,')� /��/�8-5g��"�23(���=9�É��(KE [^]:uw ��-"#5A���¦�-� /�8FZ����,���1���3

    dm :[^]��T (Σ ∪ ΣE)→

    [^]��T (Σ)

    ����"4�:')(�"y �')(� >[^]:uw ��-"#5A�

    T = (V, s, a), dm(T ) = (V,dm ◦ s, a).

    & �- # ��>')�8-"1�� #�,')�"��-.k�,�-�k ;/�')���>l�"��-5���+ �')(��0+,�����1')5�5A�- ����1��(KÌ\+@�+!�&���6$������6$��9�

    〈c, G〉 A%B /0'%�C�312/���D-;E�/��)��F�%��6$�,*�!��/����@+ f �@G%�%���)-,���!�,6$��9�D� /0'�+H�����I+;�����/���C�%��������)"%���)�

  • O � �������������� � ��������������� � ������� � ���

    ε : 〈f, c,G〉 dm

    1 : g 2 : 〈f, c,G〉

    1.1 : a 1.2 : b 2.1 : g 2.2 : b

    2.1.1 : c 2.1.2 : a

    ε : f

    1 : g 2 : f

    1.1 : a 1.2 : b 2.1 : g 2.2 : b

    2.1.1 : c 2.1.2 : a

    � �|[ ! �Kr á�#A�-

    dm(A)

    /��-"#���,�-"�����')�k �')Ê� ��-�k(���-�Í�!5��'%�1���k ���-"# 1���!�������')��/K�! #�,')������(KE��')5�5A�- ���8- #�,2k(��- �8��*����"/�����#6k5�Ê')+,���0/��

    ΣEr&R')(��������0��')��/K�! #�,')���7$v���- �8- #�,23(��- 1��=9��!��/K(��!"1�(��������"# #�! #�,')��# #"1�� #�nZ�8���#(�"

    +,�4[t]vuw ��-"#5A�*��')���#�,/�8-"�8%$��- ?+wÐ�)�- #�,')�/��>=%"�')(��:�*/�8FZ����,��/������?+,�����������! #"��*��"�8���8�/��-�3 y��')(��?�:�-"xu5A�- # #"1��/���"��-��"�8����-�k ��-"m+,���y�-���1�-54Ê�+,���>�# #"1�� #�nZ�8��@/���GIo>p\UKq-W^��')5�5A�4/����@')"#Ê��! ����@�1')(��?+wÐ�)�- #�,')�/v (��Ä=%"�')(���4/�')����8%rª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® !vµ('vµ¶Ò·�� ��°7¾3º)Ú¾ +�°7ºÏ»K°±¯|j«�ÁJY 1���3 Y/�')����8��M(����M�#�!=%���� #(�"��

    �- ^(����M���!=%���� #(�"��

    �# #"1�� #�nZ�8��ΣE

    $j(�� [^]Y_ `cbFdfegb¬hF`d#~%`{ �;�#(�"Σ,ΣE

    ���# �(��´[^]:uw ��-"#5A��-+,'%�T = (V, s, a)

    �#(�"Σ ∪ ΣE

    ��-+t2k(���Þq%r?�:')(�"^ �')(� Y��')5�5A�-

    v ∈ V/�')�3 j+,�M��6k5�Ê')+,�

    s(v)���# j8-+,8-5A�-�3 i/��

    ΣE$��#�

    s(v) = 〈f, c,G〉$

    ��+,')"��m�!+�FEK�,�# ���(����')5A')5A')"#�����,�#5A�h[T,v]

    /K(]:uw ��-"#5A�c.9�-"��

    dmr(T |v)rÑ&��"�8��#�,/K(/��

    h[T,v]���# ?��') �8

    RT (v)$��- ?+w���3 #�!"�8��#�,/K(

    RT (v)Ë

    VKr∀u, v ∈ V

    $±�#�v���# t8- #�,2k(��- �8i����"t(���#654Ê:')+,�i/��

    ΣE$7�-

    u���# t8-+,8-5A�-�k Y/��

    RT (v)∪RT (v)$

    ��+,')"��y�!+&�FEK�,�# ��0(��Ä(����,2k(��*�1���-5��!�/���+

  • � ����� � ������� ������ � � �� ��� ������������� O%O

    ε : f

    1 : b

    2.1.1 : b

    2.2 : b

    2 : F

    2.1 : g

    2.1.2 : d

    � �|[ ! �Kr Q #Ä]:uw ��-"#5A�4/��0+wIJjE��-5���+,� �Kr � rÐV

    a : F1

    b : g c : f

    d : a e : a f : b

    a : F2

    b : g c : f

    d : a e : b

    a : F2

    b : F3 c : F2

    d : a e : a f : b g : b

    � �|[ ! �Kr ��#[t]vuw ��-"#5A���@�# #"1�� #�nZ�8��@Ê��,�-�¬Ì')"#5A8��

    ØmÙ&¾kÚ¼jÛC¾ !&µ%'&µ(' Rk(����:'%��')���g2k(��Σ′ = {F1, F2, F3}

    $\')È �')(�"i = 1, 2

    $Fi = 〈f, ci, Gi〉

    $F3 = 〈g, c3, G3〉

    $

    τ(c1) = f(g(◦, ◦), ◦), τ(c2) = f(◦, ◦),�- τ(c3) = g(◦, ◦),

    �- \�:')(�"i = 1, 2, 3

    $Gi

    ���# i(��g��')(��#uw=%"�')(���m/��Sym(SV(ci))

    rko@+,')"��Y+,���\ #"�')�,�D[^]:uw ��-"#5A���;/��?+���+!(��±$:+,�ÌÆ���! *2k(��+,���4��(� #"����4��6k5�Ê')+,���*/��

    T |v������')�,�-�3 4���)�*/�8-5g��"�23(�8��

    �#�!=%���nZ��A2k(�� �')(���+,���*��')5�5A�- ��4/�������+w���3 #�!"�8��#�,/K(RT (v)

    ��(� #"����*2k(��v��')�k *��8��������1���!"��-5A�-�k

    8- #�,2k(��- �8��y����"@/����y��6k5�Ê')+,���y/��Σr

    �¾kÚ»�º�¿&À^¾�µ & ')5�5A�\(��A[^]:uw ��-"#5A�;�# #"1�� #�nZ�8M���� t��8��������1���!"��-5A�-�k Y�-+,'%�7$± �')(� ^��')5A')5A')"#�����,�#5A�/v (��[^]:uw ��-"#5A���# #"1�� #�nZ�8�.9�-"��?(����(� #"��4���# y8-=3��+,�-5A�-�3 >�-+,'%�7r

  • O)N �������������� � ��������������� � ������� � ���

    a : F2

    b : g c : f

    e : b

    a′ : F1

    b′ : F3 c′ : F2

    d′ : a e′ : a f′ : b g′ : b

    f : ag : a

    d : F2

    �"�C[ ! �Kr O #[^]:uw ��-"#5A���m�# #"1�� #�nZ�8��y5g��+:ÌÆ')"#5A8��

    T ��0�!5�5A8�/K�/��*+ÌÆ')���- #�,')�/��

    Σ$���+,')"��

    bT c = 1 + max{bT |a(r)ic | 1 ≤ i ≤��"#�! �8

    (f)},

    # �#�s(r)

    ���# ?(��Ä��6k5�Ê')+,�*/��ΣE

    $���+,')"��

    bT c = 1 + max{bT |vc | v ∈ RT (r)}.

    JY�KZ��&$��:')(�"y �')(� @��')5�5A�- v/��

    T$K+

  • � ���+�����M"�8��#�,/K(��7$��')5���+,8- �8m����"/����D�#�!��=%+,�- �')���7$���# \(����m����"# #�! #�,')�¦�# #"1�� #�nZ�8��0/������

    Trksm')(��M�')(�"#"�')���D/�')���0������+!�,23(��-";+w�)�- #�,')�

    /���=%"�')(��:�g/�8FZ����,�/������*+,�A�1�������! #"��A��"�8���8�/��-�3 �lT$&�- 4��')(��*5A')�3 #"��-"�')���2k(��� �')(� ��A�!5g��=9�

    /��T����"m+w�)�- #�,')�/��

    SymV (RT )���# m8-=3��+,�-5A�-�3 0(��[^]:uw ��-"#5A�4�� #"1�� #�nZ�8g�')���(�"1��/�')���*(����

    �)�- #�,')�/���=%"�')(��:�*�#(�"?(����')(��xuc�-�����-5��+,�*/���[^]��S(V, s)

    r�i¾ÚÍÚ; !vµ%=tµC¶ �?)Çdm`w)ÇK`?[t]i_a`cbFdFegbmhF`d#~%`{ �;

    T-}!FegbF֡`jkb?[t]��

    S(V, s)b�`��)Çkd>`w)ÇK`cb\K~){Cd#b

    3b*h-%eegb-`Ch4){|hF`{CÖ¡Õ�`Chu, v

    3bVs

    � )Ö~ �� �*hf{

    ubfh-`ibFÖ�_ kbfh1h�)Ç3h�3b

    v� ~)}!)dfh

    ubfhF`ibFÖ�_ 3bfhfh-)Çkh0^ b �3~9Õ�`cbFegbFÖ�`iÇkÖ¦h�)eeAb�`jkb

    RT (v)�

    � �4}!bfh�d�fhf{Æ)ÇkhRT (u)

    b-`RT (v)

    h-%Ö�`M){|h|Ó�){CÖ�`Ch �

    �4}!bfh4~)Ö¡`{|d�fhf{Æ)Çkh

    RT (u)b-`

    RT (v)h-%�`M){|h|�){C�`Ch��

    ������� ��� !q%rKpY(��,��2k(��s(u) ∈ ΣE

    $u���>��-(� D���)� .- #"���8-+,8-5A�-�3 y/��

    RT (v)r�R')�!

    v′+,�@��"��-5��,�-"

    ��')5�5A�- */������0+,������-5��!�Ò/��vlu2k(��j�&I���# 0���)��/������

    RT (v)rto@+,')"��

    v′���� >��8������1�1���!"��-5A�-�3

    8-+,8-5A�-�3 ?/K("�8��#�,/K(RT (v)

    $k�- u ≤T v

    ′ rkÑ&���M8-+,8-5A�-�k ��?/�� RT (v) �1')�3 \5�(� #(��-+!+,�-5A�-�3 y�!��/�8-�:�-�Ku/����3 ��±$¡�- @/�')���%$�#�u8- 1���! m�-�Kuc/������1')(��m/���/��-(KE¬/��������@��')5�5A�- ��±$��!+^�FEK�,�# ��-"1���! >/��-(KE¬�1���-5��!���

    /���+

  • N U �������������� � ��������������� � ������� � ���

    ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® !vµ%=&µ(��Ä(����,2k(��������-5��!��-�k #"��+�:�-(� ;���)�?�7.9')�!"

    u = vr

    :c+v�FEK�,�# ��0(��¬(����,2k(��������-5��!�/��0+

  • � ��������D/��-(KE�-�����-5�Ê�+,���?��')�3 ?/K�,� $#')�!�3 ��D�#�u = v

    $k')�¦�:�-(� ;/�')���0�#(����:'%���-"2k(��

    u 6= vrpY(��,��2k(��

    RT (u) /��

    RT (v)$¡�- y���# y/�')����(��

    �:')�!�3 ?Z�E��*/��πr��0')���AÞ

    s( π ◦ h[T,v](w) ) = s( h[T,v](w) ) = sc(w).

    p'%��')���a(h[T,v](w)) = u1. · · · .un

    $;�- Ä�1')�! i ∈ {1, . . . , n}

    r@Rk�ui

    ���# Ä/������¦+,�"�8��#�,/K(RT (v)

    $��+,')"��uσi = u

    πi

    rRk�!��')�&$ui

    ���# �/������*+w���3 #�!"�8����,/K(RT (v)

    5g���,�4���� */K�nÎ:8-"��-�k /��v$&�-

    /�')���%$t/vÐ����"���4+,��Ñ&�-5�5A� �Kr á�r Q $ui/�')�! .- #"���(���:')�!�3 4Z�EK��/��

    σ$t�- *')�Ò�¦(����ÌÆ')�,�*/����+!(��

    uσi = uπi = ui

    r T ��-�Ä/�8�/K(��! >23(��

    aσ( π ◦ h[T,v](w) ) = [a( h[T,v](w) )]σ

    = [a( h[T,v](w) )]π B�7��" uσi = uπi X

    = [h[T,v]( ac(w) )]π

    = π ◦ h[T,v]( ac(w) ).

    pj��"@(����,�-�! �8*/����y��')5A')5A')"#�����,�#5A����B & ')"�')+!+

  • N V �������������� � ��������������� � ������� � ���

    )4²�º�²¡ÛÛC»�¯|º�¾ !&µ =tµ&% )Çkh�}!bFh� 8fK%`C #fh7bfh)Ǭ},bFeegb � � � � %Ö~h[Tσ,v] = π ◦ h[T,v]

    Â@���*��(� #"��*��')���18�23(��-�����4�!5�5A8�/K�

  • � � ��� � � ������ ���� � ������� � ��� �� � � �� � � � � � ������ N �ε : f

    1 : b 2 : F

    2.1 : g

    2.1.1 : b 2.1.2 : d

    ε : f

    1 : b 2 : F

    2.1 : g

    2.2 : b 2.1.1 : b 2.1.2 : d 2.2 : b

    � �C["! �Kr N # T �- T (2.1.2 2.2)

    �0')���%$

    GA(2) = Gh[A,2] = Sym({1.1, 1.2, 2})h[A,2] = Sym({2.1.1, 2.1.2, 2.2}).

    Ñ&�Ä�1')5�5A�- 28- 1���k A+,�¬���-(�+?��')5�5A�- g/��

    Al�.- #"��Ä8- #�,2k(��- �8¦����"�(�� 8-+,8-5A�-�3 /��

    ΣE$Y')� �

    GA = GA(2)r T �É�:�-(� �/�')���A������+!�,23(��-"*����"��FE��-5���+,��+') �')���y2k(&I')�¬�7.)���! A = arbre( f(b, F (g(b, d), b)) )

    $K5g���,�?2k(& �!+:�&I�FE�,�� ��0���)�?/��0 ��-"#5A�t′ ��-+&2k(��

    Aσ = arbre(t′)r�om�!���#�w$K����"@�FE��-5���+,�%$�')��

    τ(Aσ)|2.2 = d = τ(Aσ |2.1.2)r

    Ñ&�A��"�'k/K(��! 4/����GT (v)

    �')(�"v ∈ Vs

    ���# �Ê��,�-�Í/�8FZ����\��(��,��23(��+,���4�-�����-54Ê�+,���RT (v)

    �1')�3 /K�,� $#')�!�3 ��7r & ')5�5A�

    GT (v)���# ?(����')(��xuw=%"�')(��:�*/��

    Sym(RT (v))$�')�Ä�-�Ä/�8�/K(��! @2k(��

    GT���# ?(��

    ��')(��xuw=%"�')(��:�0/��SymV (RT )

    r & ���-�&�#�!=%���nZ��023(��m+,���D��-"#5�(� 1�� #�,')���y/������GT

    ��"�8����-"#.9�-�3 ? �')(� ����+,���i��"�')��"#�,8- �8��D�# #"#(��- #(�"��-+!+,���M5A�-�3 #�,')����8����D��+!(��\����(� 7$3�- M��"�8����-"#.9�-�3 ?��(����#��+,���\=%"�')(�����

    GT (v)Þ

    �i¾ÚÍÚ; !vµ

  • N á �������������� � ��������������� � ������� � ���

    ����� � �� !>p^')(�"u ∈ Vs

    $K��') �')���µu

    +��-"#5�(� 1�� #�,')�

    G/��V$

    ')���') ��[^]��S(V, s,P, G)

    +wI�-�����-5�Ê�+,�/�����[^]:uw ��-"#5A����� #"1�� #�nZ�8��T8-+,8-5A�-�3 ��/��¦[^]��

    S(V, s) ��-+,�y23(��RT = P

    �- GT = G

    r3

    :c+K���# j�-+

  • � � ��� � � ������ ���� � ������� � ��� �� � � �� � � � � � ������ N Q

    ª¬«9Y®¯

  • N � �������������� � ��������������� � ������� � ���

    ����� � �� !��')�k #"�')���� �')(� */vÐ��Ê:')"�/����"��!��/K(��- #�,')�Í23(���:')(�"� �')(� n ∈ N

    �- 0�:')(�"� �')(� �[t]vu ��-"#5A�

    T ′ ��-+t2k(��

    T →n T ′$��!+^�FE�,�# ��*(�������-"#5�(� 1�� #�,')�

    σ ∈ GT ��-+!+,�*2k(��

    T ′ = T σr & ���-�t���#

    #"#�!.k��# #"1�� #�nZ�8���# ��-+,'%������"*/�8FZ����! #�,')�¡XFr & ���0��"�')��"#�,8- �8��4��')(�����-"#5A�- # #"�')�k *����"*�FE��-5���+,�A/���/�8-5A')�3 #"��-"�Ìw�Ïu�-�!+,�-5A�-�3 ¦23(��Ä���@/��-(KE [^]:uw ��-"#5A����1')�3 gÊ��,���!5��!+��')�! u(����')5�5A�- �/��

    A ��-+2k(��

    h(u) = vr :a+^�7��=%�! �/��

    ��"�')(�.9�-"02k(& �!+j�FE�,�# ��4(����')5A')5A')"#�����,��5A��/��c.9�-"��

    dmr(A|u)r:�����"���>+

  • � � � �������������� ��� � ������� � ��� �� � �"���"���"������ � ����� N9O�i¾ÚÍÚ; !vµ$!&µ,Ü�){wbFÖ�`

    Tb-`T ′

    kbFÇ*� [^]Y_a`cbFdFegbfhgh-`dx~9`{ �;Fhg`cbF} h¦Å-ÇY {C}Db �){|hF`cb¦ÇkÖ�%e�%e�%df_�3{|hfegb

    h3bT 0 bFd1h T ′ � �m}!)d1hD�)Çkd`w)ÇK`Mh-)eegb-` u 3b T -`{ÆÅ-Ç�b�`cmK~)d�ÇkÖh 8)eAz�)}!bA3b ΣE �)ÖÉ~ �

    h[T ′,h(u)] = h ◦ h[T,u]�

    ������� ��� ! & �>"�8��#(�+! 1�� ?���# ?8-.�,/��-�3 �Þu�- h(u)

    �1')�3 D��8��������1���!"��-5A�-�k y8- #�,23(��- �8��D����"D(��¦5/.-5A��#654Ê:')+,�@/��

    ΣEr9�0�y��+!(��7$BC(����@"����� #"#�,�- #�,')�/��±X

    h���# ;8-=3��+,�-5A�-�3 D(��g��')5A')5A')"#�����,��5A�>/��

    T |u.9�-"��T ′|h(u)

    BpY"�')��"#�,8- �8 Q rÐVKr Q XF$t�- *���- # ��A"����# #"#�,�- #�,')�Í���� �(����')5A')5A')"#�����,�#5A�g/��dmr(T |u).9�-"��

    dmr(T′|h(u))

    $\��(��,��2k(��+,���g"1�)�-�!�����¦/�������¦[^]:uw ��-"#5A���¦��')�k 8- #�,2k(��- �8��������"+,�5/.-5A��#654Ê:')+,�%r:�Ð����"���0+���,�18-5A�-�3 @+,�0"�8���(�+! 1�� @�#(��!.%���3 4Þ

    )4²�º�²¡ÛÛC»�¯CºÏ¾ !vµ$!vµ('�¡{Tb-`T ′

    h-)Ö�`�3b-Ç*� [^]Y_a`cbFdFegbfhgh-`dx~9`{ �;Fh`cbF}Ôh¦Å-Çi {C}Db �){/��-(KE[t]vuw ��-"#5A�����# #"1�� #�nZ�8��m')�k 0+/��-(KE�1���-5��!���/K�,�# #�!���- ��y/��0+

  • N%N �������������� � ��������������� � ������� � ���

    a : F

    b : f c : f

    d : a e : a f : b g : b

    a′ : F

    b′ : f c′ : f

    d′ : a e′ : b

    � �C[ ! �Kr � #[^]:uw ��-"#5A���@�� #"1�� #�nZ�8��@/��0+wIJjE��-5���+,� �Kr �Kr �

    )4²�º�²¡ÛÛC»�¯|º�¾ !&µ"!&µd�bfhF`dF{ÆÕ�`{%Ö�h�kb

    h�

    RT (u)b-` �

    RT (u)∪RT (u)h-)Ö�`;3bfhzF{ Ó7b#Õ�`{Æ)Ö�h � d�bfhc�b#Õ�`{ 0 bFegbFÖ�` 0 bFdfh RT ′(h(u)) � b-` RT ′(h(u)) ∪RT ′(h(u)) ������ � �� !�Rk�

    u���# (����1')5�5A�- A/��

    T8- #�,2k(��- �8¦����"(�� �#654Ê:')+,�

    〈f, c,G〉 ∈ ΣE$Y��+,')"��+,���

    "����# #"#�,�- #�,')���0/��hl

    RT (u)�- >l

    RT (u)��')�k m/����mÊ�� $x���- #�,')���±$�"����#�:���- #�!.9�-5A�-�3 0.9�-"��

    RT ′(h(u))�- RT ′(h(u))

    /vÐ����"���*+,��Ñ&�-5�5A� �Kr �Kr á�r & ���*/��-(KE�-���1�-54Ê�+,���*8- 1���k 4/K�,� $#')�!�3 ��7$v')��-�/�8�/K(��! 23(��0+

  • � � � �������������� ��� � ������� � ��� �� � �"���"���"������ � ����� N �� ½^«3²¡º �Ú¾ !vµ$!vµ���:){Æb-Ö�`

    Tb-`T ′

    3bFÇ��¦[t]i_a`cbFdFegbfhMh-`dx~9`{ �;Fh � `cbF} h?Å-Çi {C}�b �){|hF`cb;ÇÖA%e�%e�%df_�3{|hfegb

    h3bT 0 bFdfh T ′ � �m}!)d1hD�)Çkd`w)ÇK`cbD�bFdfeÇK`w~%`{Æ)Ö σ ∈ GT � h bFhF`MÇkÖ)eA)eA)dc�3{|hfegb3b

    T σ 0 bFdfh T ′σh �������� ��� !>p'%��')���

    T = (V, s, a)$T ′ = (V ′, s′, a′)

    $K�- µ = σh

    rkom+,')"��M')�Ä�T σ = (V, s, aσ)

    $k�- T ′µ = (V ′, s′, a′µ)

    Ë7�!+3�±Ð��=%�! ^/��Y��"�')(�.9�-"j23(��i�')(�"& �')(� ��')5�5A�- v ∈ V

    $a′µ(h(v)) = h(aσ(v))

    rR')�!

    v ∈ V$��- y�:'%��')���

    a(v) = v1. · · · .vn$���+,')"���Þ

    a′(h(v)) = h(v1). · · · .h(vn),

    aσ(v) = vσ1 . · · · .vσn,

    a′µ(h(v)) = h(v1)µ. · · · .h(vn)

    µ.

    R')�! i ∈ {1, . . . , n}

    $M�7 �!+>�FE�,�� ��Ä(�� ��')5�5A�- u ∈ Vs

    ��-+m2k(��vi ∈ RT (u)

    $;��+,')"��h(vi) ∈

    RT ′(h(u))/vÐ����"���g+,� & ')"�')+!+Ñt�Ì')���- #�,')�η���# DÊ��,�-�Ä/�8FZ����,��/vÐ����"���y+,� �D��8�')"�-5A� �Kr �Kr � r��Ð����"���?+,� �D��8�')"�-5A�

    Q r á�r!q7V�- m+,� & ')"�')+!+

  • � U �������������� � ��������������� � ������� � ���Ñt� ����1�����,23(��4(� #�!+!�,��8����:')(�"y+

  • � � � �������������� ��� � ������� � ��� �� � �"���"���"������ � ����� � q�i¾ÚÍÚ; !vµ$!&µC¶�³ %{ÆbFÖ¡`

    Tb-`T ′

    3bFÇ���[t]i_a`cbFdFegbfh4h-`dx~%`{ �;fh3bd#~9Õ-{CÖbfh�d�bfhc�b#Õ�`{ 0 bfh r b�` r′ �Õ1bfh�3bFÇ���d#~9Õ-{CÖbfh0�`w~)Ö�`i-`{ÆÅ-Ç�b�`c�bfhMK~)d>}!bme 6Fegb@h*8)egz#)},b�3bΣE

    � D {|}b �){ÇÖbi�bFdFeÇ`w~%`{Æ)Öσ ∈ GT

    b�`�ÇÖ {|h-)eA)dc�3{|hfegbη3b

    T σ 0 bFdfh T ′ � ~%}n)dfh�K%Çkd`w)ÇK`h-)eegb-` u F}!-eAb-Ö�`A3bRT (r) ∪RT (r)

    � %Ö~hT[r�r′](u) = η(u

    σ)�

    ������� ��� !�Rk(����:'%��')���;23(��r�- r′��')�k M8- #�,2k(��- �8��\����"

    〈f, c,G〉r & ')5�5A�y �')(��M+,���\��')5�5A�- ��M/��

    RT (r)�1')�3 >Z�EK8��m����"

    σ$¡')���')5�5A�-���������"m��"�')(�.9�-"0����">�!��/K(��- #�,')�23(��4�')(�"> �')(� ���')5�5A�-

    w/��

    RT (r)$K')��

    hT[r�r′](w) = η(w)r & ���-�&���# ?8-.k�,/��-�k ?�')(�"

    w = r$�#(����:'%��')���D5g���!�3 ��-�����k

    2k(���+,�0"�8��#(�+! 1�� @���# ?."1���v�:')(�"y(��Ä��')5�5A�- v ∈ RT (r)

    r T �����+,')"��4Þ

    hT[r�r′](aT (v)) = h[T ′,r′]( h−1[T,r](aT (v)) )

    = h[T ′,r′]( ac( h−1[T,r](v) ) )

    = aT ′( h[T ′,r′]( h−1[T,r](v) ) )

    = aT ′( η(v) )BC����"@�36�') #������4/v �!��/K(��- #�,')�¡X

    = η( aσT (v) ).

    om�!���#�w$��:')(�"? �')(� @��')5�5A�- u/��*+/��

    RT (r)$���+,')"��@��8��������1���!"��Fu

    5A�-�3 7$uσ = u

    $��- @/�')���hT[r�r′](u) = η(u

    σ) = η(u)$����*23(��&��')5���+,- ��*+w �!��/K(��- #�,')�&r

    p')(�"m �')(� u ∈ RT (r)

    $��!+^�FEK�,�# ��*(����')5�5A�- v/������

    RT (r) ��-+^2k(��

    u���# m(��8-+,8-5A�-�3 0/��

    +

  • � V �������������� � ��������������� � ������� � ����Ð����"���?���02k(��