New Déduction et Unification dans les Théories Permutatives · 2 days ago · ge h e =2bo+mb b...
Transcript of New Déduction et Unification dans les Théories Permutatives · 2 days ago · ge h e =2bo+mb b...
-
HAL Id: tel-00011236https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011236
Submitted on 19 Dec 2005
HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.
Déduction et Unification dans les Théories PermutativesMnacho Echenim
To cite this version:Mnacho Echenim. Déduction et Unification dans les Théories Permutatives. Autre [cs.OH]. InstitutNational Polytechnique de Grenoble - INPG, 2005. Français. �tel-00011236�
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011236https://hal.archives-ouvertes.fr
-
����������������������������������������������������������! ��"���#$�%�
& ◦ ')(*(*+*,.-0/21435')+768'9-0,.-06.,;:@?A/2B
CEDGFIHKJ
3L:
-
��������������������������������������� �½{2�pw{2z��{��
-
������ÿ����
� 65Bu,;*(MB7S0B!N2:
-
��� �GE ����H�E
� =2BO+MB Bj,;M(½RB �oBO+R')6!(*=2B@:
-
��� � � � H � � � ��� EG�
�oB�(*,;BON2�BON930+MBO¨,;BO+�6.,;BO/)�_+MBO¨BO+MfO,;BO+�(M:
-
, �
-
� ������� ��� � �����������
� � � E � C!"qÿ�H�E � C � � �
� � ú�ó�ã ú���� ù�ä���ø �)ä !" # � ��J � � � ��� � ����� $¼ � � �7BO68')(*,;:
-
¿ � ¿ �1@*/0¨1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 �� QSR T E � � � �K� � E ���E ��� ��� ���
1 � � � :
-
�0� # � �&% T � E � � � J � EG� �KEÿ � ��� H ��E � C � � � P��� � ���7N0,/.5f')(*,;:
-
�§,.,.,
-
� ������� ��� ������ ��
& � � � B@*(Sw ')3035')+*(MBON5')N2f@B � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ¼ �& � ¼ 76.Po:
-
�¾ � ��BO¨¨B��¾ � � � �2% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � & (�¾ � ¼ 6.Po:
-
� ���������
� �
��� ��� � ��� ���� �
�«°����5³7®®������®! à°#"$ %³!�Ò°% &��'("�
')N2�� �*)_ � ��¼�� �6;B@30+*,.N2fO,.3LB@BO(4:
-
�B430+MBO¨,;BO+Qf@:
-
30+M:O¨BB@*( �,.6 � � ��� � �� � � �
��B@S0BO/�30+M:O¨B@�M:O+MB@M:
-
BO( �Q,.+MfR=0N2BO+ � �3� � � 1 � � �:
-
S01.2N0,w35')+�/0N BON2MBO¨-06;BS0BPo1ON21O+R')(MBO/0+M X BO(�/0N BON2MBO¨-06;BS0B_+MBO68')(*,;:
-
Sw ��� � ?��@#���� + ��� ���A" �?§/0,AN2:
-
�
��� ��� � � � ���� �
� �U���� � �� ���� �
�
-
� ���������
� �
� ����� � � � � ��������
')N24f@BfR=5')30,.(*+MB��N2:��� �(R')NA(KS0:
-
& ������������������������������������������
� � " � �7�� '� *,�BO(7MBO/06;BO¨BON§(*, ∀x ∈ A 〈x, x〉 ∈ R � # � "������ 4 � *,�BO(KMBO/06;BO¨BON§(*, ∀x, y ∈ A (〈x, y〉 ∈ R)⇔ (〈y, x〉 ∈ R) � ��� ��� # � "������ 4 � *,LBO(�MBO/06;BO¨BON§(!*, ∀x, y ∈ A A*, 〈x, y〉 ∈ R BO( 〈y, x〉 ∈ R §')6;:
-
�� �� ���� � ������� ����� ���� � ��������� ��� ¿� � � � � E � C � "�� " � " e :
-
1 ������������������������������������������
)Nh1O(MBON2S½N5')(*/0+MBO6.6;BO¨BONA(�/0N2BK*/0-2M(*,.(*/0(*,;:
-
���� � ������� ������� � � � ��� ���� � ������� ��� (� ª�� � ®���½±$°% �M³K® � '2"9°% &�R³K®®� � ���� � � � � E � C � "�� $ �4��
ET ÿ � ��� H ��E � C � � �(R')NA(�S0:
-
� ������������������������������������������
� � � � � E � C � "�� $ �48 e :
-
���� � ������� ������� � � � ��� ���� � ������� ��� �� ä � óoâ K2ú"åAãä0� �!ä2åGF���ó
-
�¾ ������������������������������������������
/0N2B9f@:
-
� ���������
� �
� � � ��� ��� ��� ����� ��� ��
')N2!f@BQfM=5')30,.(*+MB�0N2:
-
�¼ ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����
� ��:
-
� � ���� � ������� � �������� � � �� � � � � � � � � ������� �2%
� � 6wBj,;M(MB(M:
-
� & ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����
� 3�:
-
� � ���� � ������� � �������� � � �� � � � � � � � � ������� �¿� � ��� � $ � " � � � � ���� � G ��� 2 � � �7% �� �� A �� A′ � �P7���F# )+ � $# � �� #;4 � G �72�� � #��� A ��#$� �
A′ �� � � �$# G �G2 � � � ��� ��� �� �� �� ��#$� � � $# ���# �+ ��$# 2A �� A × A′ � � &% � ��# �,# � A �� A′# � � � ��� # � � � � �(# ����� � �$# G �G2 � � � � � � � ���� �� � #$� � A ]A′ �
�7pw{5z��${� & :
-
�21 ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����
� ��:
-
� ��� � � � � ��� � � � � ����� �5(& :
-
� � ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����
� � � � � E � C � $ � $ � � e :
-
� ��� � � � � ��� � � � � ����� ���
� � ��� .9J � $ � $ � � P "BP�+M:
-
¼�¾ ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����
�7pw{2z��q{�;� � ��+MBON2:
-
� ��� ����� � � � � ������� ��� �������� ��� ��� ¼���4ª � � � � ���³�" 1� � ���$� � � ��'("�� �
& :O+MBO¨BONA(�')/�P�+M:
-
¼�¼ ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � ������ ��� � � $ � 3 � ��� � ���� � G �� G′ � ��47-# � ��# �(2 � � �7% $# � Sym(A) � �� #$�7% % � # � ��#;4 � G �� G′# � � � � #�G%K% � ���(# ��� # � � ��� �(# � � � � �$# �9: ���# )+ �
GG′ = {σσ′ | σ ∈ G ∧ σ′ ∈ G′}
$#�� ��� # � �K#��(2�� � �7% � Sym(A) �
�7pw{2z��q{� e :
-
� ��� ����� � � � � ������� ��� �������� ��� ��� ¼B%& :
-
¼?& ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����
:� σ1 = µ1µ3 . . . µ2n−1 0BO( σ2 = µ2µ4 . . . µ2n �09 ')30+M>@76;B4�BO¨¨B % � & � �¾:
-
� ��� ����� � � � � ������� ��� �������� ��� ��� ¼�¿
¼ � e :
-
¼B1 ��������� ���� � � ���� � ��� ����� ��� � � � �����
-
� ���������
� �
� � � ��� ��� ��� � ��� �� � � ��� �� ��� ����� ��� ��
')N24f@BfR=5')30,.(*+MB��N2:
-
¼ � ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �����
EstElem(σ) =,�g��è¾B@*( � BO¨-0+MBhg�� � �� �E � � E 6 ÿ �
i < n� E B@M( � BO¨-0+MB % � � ��
i := i+ 1(?)
� �∃µ ∈ Ui
(MBO6"?§/2B iµ = iσ �FJ(C�� �σ := σµ−1� � �>C � B@*( � BO¨-0+MBhg�� % �2ÿ��
� � E � � E 6 ÿ ���� � � C ��� � B@*( � BO¨-0+MB
� v£ 0& � � � � B@*(KSw ')3035')+*(MBON5')N2f@B# � C � J�� � � g )+MSu+MB4Sw /0NIP�+M:
-
� ��� � � ��� ��� ��� ��������� � � ��� � � ����� ��� ¼��
Sift(π,M) =i := 0B@*( � BO¨-0+MBhg�� � ��� �E � � E 6 ÿ��
i < n�KE B@*( � BO¨-0+MB % � � ���
i := i+ 1j := iπ� �Mi,j
N�B@*(!35'
-
%�¾ ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �����
MatRep(K) =��� � � ��������� � #�� ��� � � � M�GC � EM /0N2B¨h')(*+*,;f@B4f')+*+M1@B " � �>�.0C%ÿ��i ∈ {1, . . . , n}
% � � ��
Mi,i := id.0C%ÿ��j ∈ {i+ 1, . . . , n}
% � � ��
Mi,j :=�§,;S0B
� � .0C%ÿ��� � .0C%ÿ����� � � ��#����$� � ��� � � �� M�GC � E
Q := K S2')N2 ��� Q $#�� ��� 0*���E � � E 6 ÿ �Q B@*(!N2:
-
� � ������ ����� ��� ��� � � � ����� � ��� �� ��� � ��� � %��
BO(KM:
-
%�¼ ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � ������ � � � � E � C � 3 � "�� � �N 2 � �$% � #�� % � B@*(�/0Nf@:
-
� � ������ ����� ��� ��� � � � ����� � ��� �� ��� � ��� � %B%� C�� C J J � � ��� 3 � "�� P % � �K+ � 5 ;½pLs��2 =��4zwt # � " ��� � ��% � � ��� �� ����� �� � ��� % � �K+ � 5 kMlwtw{2p �
��:
-
%?& ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � ������ª � � � �L³�� � ����� �
�� �����
& :
-
� ��� ����� ��� ��� ����� � ;>=94~% �� %�¿
�7pw{5z��${� e :
-
%B1 ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �������� M � ! � ��ä åAä0�ó
-
� ��� � � � � ��� � � � � � %:(
*/0+�/0NBON2MBO¨-06;B A � � 62B@*(�fO68'),.+�?A/2BKN2:
-
% � ������������� � � ���� � ��������� � � ��������� ����� ��� ��� � � � �����
-
� ����� ����� � � � �� �
� � ���
��� �� �� � � ������� �� �����������������
���
-
� ���������
� �
� � ���
��� ��
���������������������! #"��%$&��')(��*��+!+,')������')(������-"#.�!"0/�� ����1�����,23(�������"�'�������4/������-+!+,�����-5���+,'7698�����:')(�";+p\UKq-Wcr
s>')(��D��')5�5A�-�����-"�')���D����";/�8FZ����!"D+,���M=%"1���������;8- #�,2k(��- �8��7$/�')�3 D+,���?[t]vuw ��-"#5A���?��')���# #�! #(��-�3 (����0��')(��xuc�-+(����*ÌÆ')���- #�,')�É23(��8- #�,23(��- # �������)�-(��É/����0��')5�5A�- �����.9���(��
�#654Ê:')+,�A/��Σ$v�-
aG : VG → V?G
���# �(����ÌÆ')���- #�,')�Í2k(��\�ÏÎ:���- ��gl¦�1���)23(����')5�5A�- v ∈ VG(����0+!�,�# ���B')(¦(��¦5A') fX;/��>�1')5�5A�- ��y��"#=%(�5A�-�3 ��7$�/�')�k ?+
-
á3V ��������������������������������
a : f
b : b c : g
� �C["! Q r!q�#JjE��-5���+,�*/v (��Ä=%"1��������8- #�,23(��- �8
/������#�!��8����Y���# j�!5��:')"# 1���3 @Þ%�-+!+,���Y��')�k i/������#�!��8����Y.9�-"��j+,�DÊ��)�Y�- Y/��D=3��(��1���@l>/K"�')�! ��y���-+,')�+wI')"�/K"��/����y��')5�5A�- ��m��"#=%(�5A�-�k ��m/������
a(v)r
Ñ&�=%"1��������1')(��xu%$#�)���-�k ¦lG���� ')Ê� ��-�3( �-� "��- #�!"1���3 ¦+,����#6k5�Ê')+,���¬�� # 1�)�1��8��Ä��(KE #"�')�,�
��')5�5A�- ��4�- 4�-�������"��-�����3 ���)�*�-���')5��� ��g+wI')"�/K"��g/������*+,��2k(��-+i+,���*����������')�3 4/����1�#�!��8����7r& ��=%"1�������*��')(��xu%$��)���-�3 m���# y/�')���
GG = 〈{a, b, c}, {〈a, b〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉}〉.
ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ¶�µ(' ·*)�½^¾kÚÒ¯C®,+)ÁR')�! G = (VG, sG, aG)
(��=%"1��������8- #�,23(��- �8%r:s>')(���/�8FZ����,�xu��')���+,���¦Õ-KbFe{|Ö�h/������
G$/��-��(��,�(��¸��')5�5A�- h�)Çkd#Õ1b-$ (��123(&Ðl(�� ��')5�5A�- *Çk{`ChF$����"/����
+!�,�# ����y�#(�"?+wÐ��+!������Ê:�- VG ∪ N
r& ��������-5��!������')�k /�8FZ����,��!��/K(��- #�!.9�-5A�-�3 ��')5�5A��#(��! ¦Þ^+��� p ���� @(�������-5��!�É/������ G /�� u l v /���+,')��=%(��-(�" k $�- w ���# m+,� i 13254 8-+,8-5A�-�3 �/��+~3Õ�Õ1bfhfhf{wzF}!b4/��-��(��,�
v���¡�- D���-(�+,�-5A�-�3
�7 �!+��FE�,�# ��D(����1���-5��!�g/��vlur%ÑiI�-���1�-54Ê�+,�y/����i�1')5�5A�- ��\�)���������#�!Ê�+,���Y/��-��(��,�
v���# j��') �8
VG|vr
:c+����# M8-.k�,/��-�k M2k(��(VG|v, s
′, a′)���� i8-=3��+,�-5A�-�3 ;(��A=%"1�������@8- #�,2k(��- �8y�#(�"
Σ$9')È
s′�- a′��')�k i+,���
"����# #"#�,�- #�,')���D"����#�:���- #�!.9���;/��sG
�- aG
lVG|v
r & �@=%"1���������1�-"1�*��') �8G|v
rKÂm���')5�5A�- r ∈ VG���# ?(�����d#~9Õ-{CÖb�/��
G�#�&�- y���-(�+,�-5A�-�k m�#�
G = G|rr
R')�! p = u1.i1. · · · .un.in
(�� �����-5��!� /������(���=%"1�������¦8- #�,23(��- �8G = (V, s, a)
$Y�- ���')�! η : V → V ′
rkom+,')"��D')�¦/�8FZ����! η(p)
��')5�5A�08- 1���k ;+') �')���;2k(��η(p)
�&I���# y�-�=98-��8-"1��+&���)�y(���1���-5��!�&r3
Ñt�¬��') #�,')�Ò/��A"1�)�-�!���A�-5���+,'±698��g�,�-�i�����')"#"����#�:')��/É���)��l¬���-+!+,�g(� #�!+!�,��8��A�-�"�8�8��-"#�! #(�"��/��=%"1���������t/��Y ��-"#5A���;BC(����Y"1�)�-�!���i�& 60���# t�-�4�FÎv�- &2k(& (��4��')5�5A�- t/K�,�# #�!��=%(�8±XFrÏJY+!+,�\���� v��87����5A')�!����#(
-
����� ��� ������������������������� �� � ���������� �"� á ��¾kÚ»�º�¿&À^¾�µ4Rk�D+�����-5��!����Þ�#�
p���# >(�������-5��!�É/��
ul
v$��-
q���# ?(�������-5��!�/��
vlw$���+,')"��
p.q���# @(�������-5��!�/��
ulwr
�i¾ÚÍÚ;³:µ¶¡µ,³�){`G
ÇÖ Ã)dx~F�Kb-`{ÆÅ-Ç�b�`c � b-`pb-`p′
3bFÇ�� ÕFKb-e{CÖ�hÄ){|hF`{CÖ¡Õ�`ChÄ3b¬e 6Fegbh-%Çkd#Õ1b����m}n)dfh � �)Çkd�`w)Ç`cb���)Ö¡Õ7`{)Ö
η� },bfh�} {/K�,�# #�!���- ����7rª¬«9Y®¯/���+/������G$�/��
al
aËp′���# y(�������-5��!�/������
G′/��
a′l
f′r�o@+,')"��
p1�- p′��')�3 ?����"1��+!+,-+,���7$¡�-
p1$p2�- p′��')�k @8�23(��!.%��+,�-�3 ��±r
'*º�²�¼º�¯C«3°7«³:µ¶¡µ"()){`GÇÖÉÃ)dx~F�Kb¦-`{ÆÅ-Ç�b�`c � b-`yh-){wbFÖ�`
pb-`p′3b-Ç*�ÕFKb-e{CÖ�hg9~)Ö�h
G3b
e 6Fegb*h-)ÇdxÕfb � Å-Ç{Yh�)Ö�`:�~)dx~%}|}$#F},bfh����m}n)dfhp = p′
�
������� ��� !>pj��"@�!��/K(��- #�,')� #"#�!.k�
-
á%á ��������������������������������
a : f
b : g
d : g
c : g
a′ : f
b′ : g c′ : g
d′ : g e′ : b
f′ : a
� �C[ ! Q rÐV�#¦L0"1���������@8- #�,2k(��- �8��y/���+wIJjE��-5���+,� Q r!q%r O
'*ºÏ²¡¼^º)¯C«9°7«³vµ¶�µ����?%Çkd�3bFÇ��AÃ)d#~f�KbFh�-`{ÆÅ-Ç�b-`cfhGb�`G′
9%Ö�Öfh � hf{pbfh-`;ÇkÖÍÕF�bFe{|ÖÍ3b
u�v9~)Ö�h
Gb-`0Å-Ç�b
ηbfhF`mÇÖb��-)ÖÕ�`{%Ö¸`cbF}C},bÅ�Ç�b
η(p)bfh-`@ÇÖ ÕFKbFe{CÖ 3~)Ö�h
G′� ~)}n%d1h
pb-`
η(p)h-)Ö�`vK~)d#~)}C}"#F},bfh � b-`
η(p)bfhF`\ÇkÖÕF�bFe{|ÖÉ3b
η(u)�η(v)
�
ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ¶�µ¶�� ·�����°7¾kº�Ú;¾9°���°7¾kº�Ú;�ÁR')�! j(����#6k5�Ê')+,�◦ /∈ Σ
$�/v��"#�! �80$��- Y��')���#�nu
/�8-"�')���?+���)�@/�����')5�5A�- >.)��"#������;��')5�5A�- ��7rKpj��"
�FE ��-���#�,')�&$:')�����"#+,�-"1�/��4+
-
����� ��� ������������������������� �� � ���������� �"� á Q
a : f
b : g
d : b
c : g
e : b d : b
b : g c : g
a : f a : f
b : g
d : b
� �|[ ! Q r � #��&"�')�,�@"��-��"�8����-�3 1�� #�,')���>/��f(g(b), g(b))
'*º�²�¼º�¯C«3°7«³:µ¶¡µC¶[t]vuw ��-"#5A���m��')�k y/�')����54(� #(��-+!+,�-5A�-�k 0Ê��,�#�!5��!+
-
� ��������������������������������
Ñ&��+,�-5�5A�*��(��!.)���k y��-"#5A�- m/����7��"1�)�- �8-"#�,���-"@++/�������(� ��-(�"
n + 1r & ')5�5A���"�8���8�/��-5�5A�-�3 7$&')��:'%���
s(r) = v1. · · · .vn$s′(r′) =
v′1. · · · .v′n
$)�- Y�')(�"j �')(� i = 1, . . . , n
$)')���') ��Ti = T |vi
$)�- T ′i = T
′|v′ir)p')(�"
i ∈ {1, . . . , n}$
��')�! v(����')5�5A�- >/��
Ti�- q(���1���-5��!�/��
vilv/������
Ti$¡��+,')"��
p = r.i.q���# >(�������-5��!�
/��rlv/������
T$�- >����">�36�:') #������%$�!+�FEK�,�# ��(���1���-5��!�
p′ = r′.i.q′����"1��+!+,-+,��l
p$¡/��
r′l
(��¦�1')5�5A�- v′/������
T ′ ��-+v23(��
s′(v′) = s(v)r
-
����� � ���"���"���"������ � � �"� á O
a : f
b : g
c : a d : a
e : f
f : g g : g
h : a i : a
� �|[ ! Q r á�#[t]vuw ��-"#5A���@/���+wIJjE��-5���+,� Q r!q%r!q �
Rk�^+w ��')5A')5A')"#�����,�#5A�h���# @�-+,'%�±$�')�/K�! m23(��
T ′���# D¡} ÇkhÕ�)emK~9Õ7`y23(��
T$����*2k(&I')���') ��
T ′ b Tr
Ñ&�md�fhf{Æ)Ç�/��h���� &+w �!5g��=9�M/������
VT ′/������')5�5A�- ��^.)��"#�(����')5A')5A')"#�����,��5A��/��
T.9�-"��
T ′Ë��')�"�8����,/K(���#
{b′, d′}$¡�- ���')�
���3 #�!"�8����,/K(���# {a′, c′}
rh�&I���� y/�')�������)�@�-+,'%�7$��7��"
s(d′) 6= s(d)r
v a b c d
h(v) a′ b′ c′ d′
ØmÙ&¾kÚ¼jÛC¾³vµ,Üvµ('�������*+�')(�"> �')(� ���')5�5A�- m.%��"#�
-
á N ��������������������������������
a : f
b : ◦ c : g
d : ◦
a′ : f
b′ : b c′ : g
d′ : g
e′ : b�"�C[ ! Q r Q #Ñ&���m[^]:uw ��-"#5A���TBÆl=3��(������±Xy�-
T ′BÆl�/K"�')�! ��±X
T �Ä�*+,���;��"�')��"#�,8- �8��y�#(��!.%���3 ����±$K�)�1�����>8-.�,/��-�3 ����±$k5g���,�?2k(��:���-"#.k�!"�')�k ;ÌC"�8�2k(��-5�5A�-�3 ?����"D+
-
����� � ���"���"���"������ � � �"� á �
a : f
b : f c : f
d : b e : c f : c
a′ : f
b′ : f c′ : f
d′ : b e′ : b f′ : c
�"�C[ ! Q r ��#�>�-(KE[^]:uw ��-"#5A���y��,���!5��!+��nu�#�!5��!+
-
Q U ��������������������������������
����� � �� !�Rk�h���# >(���,��')5A')"#�����,�#5A�%$�!+j���# >8-.�,/��-�3 �2k(����%I���� m(����')5A')5A')"#�����,�#5A���-+,'%�0�-
�!� $x���- #�nÌ#$K�!+t�7Ð��=%�! y/�')���*/��4/�8-5A')�3 #"��-"m2k(���+�!� $x���- #�nÌ#$��%I���# y(����*Ê�� $x���- #�,')�&r¡sm')(��@��+!+,')���@5A')�3 #"��-">23(��
h−1���#
(����')5A')5A')"#�����,�#5A��/��T ′
.9�-"��TrR')�!
u′(���1')5�5A�- 0/��
T ′$��-
u = h−1(u′)r :a+^�7Ð��=%�! 0/��
5A')�3 #"��-"m2k(��s(u) = s′(u′)
$��- @2k(��a(u) = h−1(a′(u′))
r & ���-�t���# @8-.�,/��-�3 4���')5�5A�h���# @(��
��')5A')5A')"#�����,�#5A�%$K')��1���! ;23(��s′(h(u)) = s(u)
$3�- ;/�')���%$k')�¦��Ê��,�-�s′(u′) = s(u)
r3�0�y5/.-5A�%$��')5�5A�
a′(h(u)) = h(a(u))$¡')��
h−1(a′(u′)) = h−1(a′(h(u))) = a(u).
ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ23(���Þ'*ºÏ²¡¼^º)¯C«9°7«³vµ
-
����� � ���"���"���"������ � � �"� Q q
������� ��� ! T �¬/�8-5A')�3 #"��0+,�>"�8��#(�+! 1�� D����"D�!��/K(��- #�,')�¬�#(�"D+."1���Y�:')(�"> �')(��*+,���������-5��!���4/����1')(�"����r′/������
T ′$:/��+,')��=%(��-(�"*�!�KÌ8-"#�,�-(�"���')(
8-=3��+,�4lk$��- @2k(��
p′���# y/���+,')��=%(��-(�"
k + 1r T ��'%�1�
p′ = q′.u′.i,
')Èq′���# D����"?/�8FZ����! #�,')�¬(��¬�����-5��!�/��
rlu′/������
T ′rKp��"?�k6k�:') #������0/v �!��/K(��- #�,')�&$��!+v�FE�,�� ��
(��Ä�����-5��!�¸BC(����,23(��±Xq/�����')(�"����
r/������
T ��-+v2k(��
q′ = h(q)Ëq���# y/�')���0(��¬�����-5��!�/��
rl
u/������
T$�')È
u′ = h(u)r
& ')5�5A�h���# Y(��A��')5A')5A')"#�����,��5A�m�-+,'%�7$%')��
s(u) = s′(u′)$3���y23(�����"�')(�.9�m23(��
p = q.u.i���# ?Ê��,�-�Ä(�������-5��!�/������T$��- @23(&I')��
p′ = h(p)r�Ñi (����,�-�! �8�/��
p���# @��+,')"��@8-.�,/��-�3 ��%r
T � ��8-=3��+,�-5A�-�k (����"�8��-�!��"�'23(����+!(��¦ÌÆ���!Ê�+,�É/K(Ñt�-5�5A� Q rÐVKr!q7V Þ?�#�0(����ÌÆ')���- #�,')�h #"1�����xÌÆ')"#5A�+,��������-5��!���¦/v (��[t]vuw ��-"#5A�
T�-� /�����1���-5��!���¦/v (�� [^]:uw ��-"#5A�
T ′�- g.98-"#�nZ��
���-"# 1���!�����y��"�')��"#�,8- �8��>�#(�����+,8-5A�-�k 1���!"����7$¡��+,')"��h���# y(��¬��')5A')5A')"#�����,�#5A�/��
T.9�-"��
T ′r
�i¾ÚÍÚ;³:µ
-
Q V ��������������������������������
�i¾kÚÒÚ¾³:µÊ��,�#�!5��!+')(��
/�8-5A')�3 #"�')���+,�A"�8��#(�+! 1�� ����"4�!��/K(��- #�,')���#(�"*+Ìw���! ?23(��
A���# ?(��
]:uw ��-"#5A�%rRk(����'%�1')���05g���!�3 ��-�����3 23(��
h�&I���# 0���)�0�!� $#���- #�nÌxr :a+Y�FE�,�# ��/�')����/��-(KE�1')5�5A�- ��
v�- v′/��
T ��-+,�@23(��
h(v) = h(v′)r�om+,')"��7$K��')5�5A����"�8���8�/��-5�5A�-�3 7$�#�
p���# ?(���1���-5��!�/��
rlv$��-
p′(�������-5��!�/��
rlv′/������
T$���+,')"��
h(p)�- h(p′)
��')�k @/��-(KE¬�����-5��!���>/K�,�# #�!���- ��@/��h(r)
lh(v) = h(v′)
/������A$��- m')���Ê')(� #�! ml�+
-
����� � ���"���"���"������ � � �"� Q��������� ��� !>s>') �')���
r+23(��4���*"�8��#(�+! 1�� 0��')�! @."1���t�:')(�"@ �')(� >]:uw ��-"#5A�
�- >[^]:uw ��-"#5A�*/��*����(� ��-(�"y�!�KÌ8-"#�,�-(�"���')(Ä8-=3��+,�4lk$��- @2k(��
A���� y/�������(� ��-(�"
k + 1r T ��:'%���
a(r) = v1. · · · .vn,�- a′(r′) = v′1. · · · .v
′n,
��+,')"��7$:�:')(�"0 �')(� i = 1, . . . , n
$v')��A|vi $ T |v
′i
$v�- 0/�')���%$:����"��k6k�:') #�������/v �!��/K(��- #�,')�&$&')��-�/�8�/K(��! 42k(& �!+i�FE�,�� ���(����')5A')5A')"#�����,��5A�g�-+,'%�
hi/��
A|vi.9�-"��
T |v′ir:�0���+!(��7$v��')5�5A�
A���# ?(��]vuw ��-"#5A�%$�')��¬Þ
∀i, j ∈ {1, . . . , n}, (i 6= j) ⇒ (V |vi ∩ V |vj = ∅).
& ���-�&��"�')(�.9�*2k(���+
-
Q á ��������������������������������
h′
h1 h2
A1 T A2
� �|[ ! Q r O #Ñ&�-5�5A� Q rÐVKrÐVKq
� ½^«3²�º��kÚ;³vµ,Üvµ')(��@��+!+,')���@5A')�3 #"��-"m2k(��
h′���# ?(����')5A')5A')"#�����,�#5A�4/��
A1.9�-"��
A2r
R')�! v(��Ò8-+,8-5A�-�k /��
V1 \ SV(A1)$^�- ���')�!
p1+,�A�1���-5��!� /��
r1lv/������
A1rR')�!
p2+,���1���-5��!�/��A2
��-+2k(��h2(p2) = h1(p1)
rp��"0/�8FZ����! #�,')�É/��h′$p2
���# @(�������-5��!�É/��r2l
h′(v)/������
A2$��- @��')5�5A�
h2(p2)���# ?(���1���-5��!�/��
rlh1(v)
/������T$�')��
s2(h′(v)) = s(h1(v)) = s1(v).
Ñ&��Ñ&�-5�5A� Q rÐVKr!q � 5A')�k #"�����+,')"��y2k(��h′���# DÊ��,�-�Ä(��¬��')5A')5A')"#�����,�#5A��/��
A1.9�-"��
A2$��- y���-
��')5A')5A')"#�����,�#5A�4���# ?�!� $#���- #�nÌi/vÐ����"���y+,��Ñ&�-5�5A� Q rÐVKr!q �Kr
-
������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� Q%Q
0� �� ���� ��� x¡�� ¥A§%¡jv¨©Y�������i���- # ��D����"# #�,�%$%��')(��M��+!+,')���Y/�8FZ����!"i+,���j��') #�,')���\/��D�#(�Ê���')5��� #�,')��- i/v (����nZ¡��Ê��!+!�! �8?�')(�"
/����?]:uw ��-"#5A���7r & �-"# 1���!���y/����;"�8��#(�+! 1�� ��?/��>���- # ��0����"# #�,�0��')�3 ?8-=3��+,�-5A�-�k y.)��+����+,���>/�8-5A')�k #"��-"�')���*2k(���:')(�"y+,���y]:uw ��-"#5A���7rª¬«9Y®¯(��¬��')5A')5A')"#�����,�#5A�
h/��
A.9�-"��
T |v$K')�Ä/K�!"1�2k(��
AhfÇ�zfhFÇkegb
T�-�v$�')(23(��
T |v���# ?(�����{CÖ�hF`w~%Ö¡Õ1b4/��
A$��- y')���') ��-"1�
h, v : A E Tr
Rk�v���# y+
-
Q � ��������������������������������
a : f
b : g c : ◦
d : ◦ e : a
a′ : f
b′ : ◦ c′ : h
f′ : ◦
a′′ : f
b′′ : g c′′ : h
d′′ : a f′′ : b
A : A′ :
T :
� �C["! Q r N #JjE��-5���+,� Q r � r �
ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® ³:µ('vµ/��A.9�-"��
T�- @/��
A′.9�-"��
Tr
sm')(��?�7.9')���?+,�>+,�-5�5A�>/��0/�8���')5��:'%�#�! #�,')�Ä�#(��!.%���3 7$K2k(����')(��D�:�-"#5A�- # #"1������"D+/vI�FÌCuÌ���- #(��-"@/����@/�8-5A')���# #"1�� #�,')���@����"?�!��/K(��- #�,')��#(�"?+
-
������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� Q O(�����"����# #"#�,�- #�,')�É/��
hBC"����#�&r
h′X?���# >(����')5A')5A')"#�����,��5A��/��
A|viBC"����#�&r
A′|v′iX?.9�-"��
T |h(vi)BC"����#�&rT |h′(v′i)
XË:�- *��')5�5A�h(vi)
�- h′(v′i)
��')�k � �')(��*/��-(KE+,�i 13254 ��"#=%(�5A�-�3 4/��+')(��y/�8-5A')�3 #"�')���>5g���!�k ��-�����3 >+')(��0/�8FZ����,����')���05g���!�3 ��-�����k *+
-
Q N ��������������������������������
a : f
b : g c′ : h
d : ◦ e : a f′ : ◦
�"�C[ ! Q r � #JjE��-5���+,� Q r � r!q%q
#V ′′ ⊆ V ∪ V ′
$# �#�
s(r) = ◦$���+,')"��
A tA′ = A′$
# �#�!��')�Ä�#�s′(r′) = ◦
$���+,')"��A tA′ = A
$# �#�!��')�&$&')��'%�1�
a(r) = v1. · · · .vn$a′(r′) = v′1. · · · .v
′n
$&�- A t A′
���# *+,�A]:uw ��-"#5A�/��"1�)�-�!���
r ��-+¡2k(��
s′′(r) = s(r)$3�- D�#�
a′′(r) = w1. · · · .wn$K��+,')"��\�:')(�"; �')(�
i = 1, . . . , n$
wi���# ?+23(& �!+t���� ?(����0��+!(��?��- #�! ��*�!���# 1�������*/��A�- @/��
A′r
sm')(��@��')5�5A�-� ��')���@����"y��"�')(�.9�-"m23(��A tA′
���� ?Ê��,�-�Ä(��Ä5g� $#')"1���3 @/��A�- @/��
A′Þ
�i¾kÚÒÚ¾³:µ('vµ¶KÜ��{Ab-`A′
h�)Ö�`\ÇkÖ�{ �M~3z-}!bfh � ~)}!)dfhA v A tA′
b-`A′ v A tA′
�
����� � �� ! T ��:'%���A = (V, s, a)
$A t A′ = (V ′′, s′′, a′′)
�- ')�Ò/�8-5A')�k #"��+,�"�8��#(�+! 1�� ����"�!��/K(��- #�,')�&r T � ��') ��"���������- #�!.9�-5A�-�k
r�- r′′
+,���¦"1�)�-�!�����¬/��A�- A t A′
Ë;���s(r) = ◦
$��+,')"��@+,��"�8���(�+! 1�� m���# y #"#�!.�
-
������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� Q��)4²�º�²¡ÛÛC»�¯CºÏ¾³:µ('vµ¶ ')){wbFÖ�`
A�A1
b-`A2
`dx%{��bA v A1
� b-`^hfDZ9K�h�)Ö�hmÅ-Ç�bA1
b-`A2
h-)Ö¡`iÇÖ�{ �;~3zF},bfh����m}!)dfhA v A1 tA2
�
������� ��� !>�Ð����"���+,�gÑ&�-5�5A� Q r � r!q7VK$')�¸�A1 v A1 t A2
$t�- �/vÐ����"����+�Ð����"���>+,�4Ñ&�-5�5A� Q r � r!q7VK$A′ v A t A′
$��- m��')5�5A�A v A′
�- A′ v A′
$�/v����"���+,� �D��8�')"�-5A� Q r � r!q Q $
A tA′ v A′r
JY�����"# #�,�-(�+!�,�-"7$�')��+w �,/��-5��:') ��-�����4/���+wI')�:8-"1�� ��-(�"t5A'/K(�+,'��,��')5A')"#�����,�#5A�%r
ØmÙ&¾kÚ¼jÛC¾³vµ%'&µ¶ % �m�-��"��-��')���i+,���M]:uw ��-"#5A���A�- A′$3���!���#��2k(��?+,�m[^]:uw ��-"#5A�
T/��?+wIJjE��-5���+,�
Q r � r � BC.9')�!"+
-
�%U ��������������������������������
v a b c′ d e f′
h′′(v) a′′ b′′ c′′ d′′ d′′ f′′
���# ?(��Ä��')5A')5A')"#�����,�#5A��/��A tA′
.9�-"��Tr
Ñ&���')"�')+!+pY(��,��2k(��A1
�- A2
��')�3 (����nZ¡��Ê�+,���7$�!+M�FEK�,�# ��g(�� [^]:uw ��-"#5A�T�- /������')5A')5A')"xu
�����,�#5A���h1
�- h2
"����#����- #�!.9�-5A�-�k /��A1
.9�-"��T�- ¦/��
A2.9�-"��
TrDR')�,�-�k
η1�- η2
+,����,��')5A')"#�����,�#5A����/��
A′1.9�-"��
A1�- /��
A′2.9�-"��
A2$^"����#����- #�!.9�-5A�-�k 7rYo@+,')"��/v����"���++/��
A′2.9�-"��
Tro@+,')"��>/v����"���>+
-
������� ������� � ��� �� �9�� � ���������� ��� �Kq
������� ��� ! T �¦�:'%���A = (V, s, a)
$A′ = (V ′, s′, a′)
$K�- A′′ = (V ′′, s′′, a′′)
$k')�¦��') ��r, r′
�- r′′+,�-(�"��0"1�)�-�!������"����#�:���- #�!.9���7$:�- �')�/�8-5A')�3 #"���+,�"�8��#(�+! 1�� 0����"��!��/K(��- #�,')��#(�"0+
-
�%V ��������������������������������
����� � �� ! T � /�8-5A')�3 #"��¬+,�"�8��#(�+! 1�� ����"��!��/K(��- #�,')� �#(�"+��+!+,')���0/�8FZ����!">(�����)�- #�,')�É/��*=%"�')(��:��#(�"m/����0�-�����-5�Ê�+,���>/���[^]:u
��-"#5A���7rDsm')(��¦��')5�5A�-�����-"�')���¬����"¦/�8FZ����!"¦(�����)�- #�,')� /��=%"�')(����#�!5���+,��#(�"+,���=%"1���������8- #�,23(��- �8��7$��- ?��')(��?8- #(�/K�,�-"�')���m��')(��?2k(��-+!+,���?��')��/K�! #�,')���@���- # ���')�:8-"1�� #�,')�/��-5A�-(�"��0(����*�)�- #�,')��#(�"^(���-�����-5�Ê�+,�?/��D[^]:uw ��-"#5A���7r)ÑiÐ�)�- #�,')�A/��M=%"�')(��:�;/�8FZ����,�D�#(�"+,���=%"1���������Y8- #�,23(��- �8��j���-5�Ê�+,��#�!5���+,�%$�5g���,�?+,���?5g�����!��(�+
-
�����/�')���@2k(��?+wI�-�����-5��+,�0[^]��T (V, s)
�&I���# i���)�;�# 1���+,�y��')(��\+w�)�- #�,')�/��
Sym(V )r & �-��-��/����k 7$&�����-"��1���-"�l/�8- ��-"#5��!���-"*(����')(��xuw=%"�')(��:��/��
Sym(V )2k(��Y�# 1����!+!�,���
[^]��T (V, s)
�&Ð����)�;ÌÆ')"���8-5A�-�3 >/������-���7$��(��,��2k(�������23(��v��')(��?�!�k �8-"��������*���� D/��0�:�-"#54(� ��-">/������"#=%(�5A�-�3 ��>/������y(��[^]:uw ��-"#5A�4����"# #�,�-(�+!�,�-"7r :a+&���# y/�')�������� #(�"��-+t/��4�����-"������-"�l������')���#�,/�8-"��-"2k(��+,����:�-"#54(� 1�� #�,')���Ä/��
Sym(V )2k(��> #"1�����xÌ')"#5A�-�k ÇkÖ [^]:uw ��-"#5A�/�')����8�-�[t]vuw ��-"#5A�%r
���+!���-(�"��-(����-5A�-�3 7$v+wIJYEK�-5���+,� Q r á�rÐVg5A')�3 #"���2k(������- 0�-�����-54Ê�+,��&I���# 0���)�m(��=%"�')(���¦B�7��"σ�-
µ�-�¦ÌÆ')�3 y����"# #�,�%$�5g���,�@���)�?+,�-(�"y��"�'/K(��!
σµXFr
�������4���g23(��\��(��! 7$:��')(�����+!+,')���4/�')���/�8- ��-"#5��!���-"4(������!�KÌÆ')"#5g�� #�,')�Ò/�')�k 4��')(��4�')(�"#"�')�����')(��@�1�-"#.k�!"y�:')(�"@/�8FZ����!"m(����')(��xuw=%"�')(��:�*/��
Sym(V )b�`D(���-�����-54�+,��/���[^]:uw ��-"#5A���>�# 1���+,�
����"@������')(��#uw=%"�')(���%r
������� � # ,��'������������ ��,'# �'� � � ��Âm�����"��-5��,-"���,/�8�����!5���+,����� >/�������')���#�,/�8-"��-"�23(��+,���08-+,8-5A�-�3 ��4/��
Sym(V )2k(���:�-"xu
54(� ��-�k @(���-���1�-54�+,�*/�����')5�5A�- ��@�!��/�8-��-��/����k ��@/������@(��[t]vuw ��-"#5A�*/�')����8Tr & ���-�v"��-.�,�-�3
/�')���0l*����')�,���!"M(��¦�-�����-54Ê�+,�U/��m��')5�5A�- ��M�!��/�8-�:�-��/����3 ��?/������
T$3�- D/��@��')���#�,/�8-"��-";+w�)�- #�,')�
/��Sym(U)
�#(�";+wI�-�����-54�+,�0/����y[^]:uw ��-"#5A���?/������;+,����2k(��-+,�U���# M�!��/�8-��-��/����k 7r ���+!���-(�"��-(����Fu
5A�-�3 7$¡���- # ��*��')+!(� #�,')����� ? #"�')�Ä"����# #"#�,�- #�!.9�%$���')5�5A�4+,�05A')�3 #"��*+wI�FE��-5���+,�*�#(��!.%���3 7r
-
��á ��������������������������������
(b e)
(c d) (c d)
(b e)
a : f
b : g
d : a
c : g
e : b
a : f
c : gb : g
a : f
d : a e : b
c : gb : g
a : f
d : a e : b
b : g c : g
d : a e : b
� �|[ ! Q r!q7U #¬L>"1���������y8- #�,2k(��- �8��@/��*+wIJjEK�-5���+,� Q r á�rÐV
Ø@Ù&¾Ú¼jÛ|¾³:µ%=&µ%=R')�! E+/��m"��-��"�8��1�-�3 ��-"
+/��*��')5�5A�- ��y/������
Tr�JY��FÎv�- 7$�')��
f(a, g(b, d)) =E f(g(b, d), a) =E f(g(d, b), a),�- /�')���%$\�#�D(��¸ ��-+
T�FEK�,�# 1���! 7$+wI�-�����-54�+,�
U/��-."1���! ��')�k ��-���!"g+,������')5�5A�- ��
u1�- u2
"����xu����- #�!.9�-5A�-�k 8- #�,2k(��- �8��*����"
a�- g/v (����A����"# ¦BC��"��-5��,-"��g8�2k(��� #�,')�¡XF$t�- 4+,���4��')5�5A�- ��
u3�-
u4"����#�:���- #�!.9�-5A�-�3 >8- #�,23(��- �8��@����"
b�- d/vÐ��(� #"��4����"# �B/��-(KE�,-5A��8�23(��� #�,')�¡XFr T "7$�+wI�-�����-5�Ê�+,�
{u2, u3, u4}�&I���# y���)�?�!��/�8-�:�-��/����3 >/������
Tr
Â@���¸��(� #"��Í�,/�8��¸���# /��Í��')���#�,/�8-"��-"(����Í����"# #�! #�,')�P
/��V$@�- /vI8- #(�/K�,�-"+w�)�- #�,')�/��
SymV (P)�#(�"�+wI�-�����-54�+,�/����[^]:uw ��-"#5A���/�������+,����2k(��-+,�� �')(� ����A+,����-+
-
���������23(���#(��! 7$
��')(��¦��+!+,')���A"����# #"��-�!��/K"�����- # ��������')��/���-+')(���5A')�k #"��-"�')����2k(��+wI�-�����-54Ê�+,�/�����[^]:uw ��-"#5A���4/������*+,����23(��-+,�(���������"# #�! #�,')�
P���# y�# #"1�� #�nZ�8��*���# y�� 1���+,�*��')(��?+w�)�- #�,')�/��
SymV (P)r
ª¬«9Y®¯��h1h7#9~)Ö�`@ÇkÖ:bd#~9Õ-{CÖb
r� b-`Dh-%{C`
PÇÖb>K~)dF_
`{`{)Öh-`dx~%`{ �;�b3~)Ö�hG� �m}!)dfh4{C}&Öb?�bFÇK`@b �){|hF`cbFd�3bÕF�bFe{|ÖÒbFÖ¡`d#b3b-Ç*�-}!FegbFÖ¡`Ch){|hF`{CÖ¡Õ�`Ch
t ÇkÖ:b*e 6FegbP_ Õ-}!~�hfh�b��
������� ��� ! & �"�8��#(�+! 1�� 0���# 08-.k�,/��-�k �7 �!+j�FE�,�� 1���! m(�������-5��!��-�k #"��/��-(KE8-+,8-5A�-�3 ���/K�,�# #�!���- ��u�- v/v (����>5/.-5A�
Puc�-+
-
� � ��������������������������������
a : f
b : f c : f
d : b e : b f : c g : d
� �C["! Q r!q%q�#[^]:uw ��-"#5A�*/���+wIJjE��-5���+,� Q r á�r �
a : f
b : f c : f
d : b e : c f : c
a : f
b : f c : f
d : b e : b f : c
�"�C[ ! Q r!q7V�#[^]:uw ��-"#5A���m/���+wIJjE��-5���+,� Q r á�r O
Â@������')���18�23(��-�����4�!5�5A8�/K�
-
�������(KE�)�- #�,')���?/��>=%"�')(��:���;��(�"D/����
[^]:uw ��-"#5A���>�-+,'%�7$�����23(��^/�')������+!�,�-(l+2k(������- # ��4�)�- #�,')����� y���-5��nuw"�8-=%(�+!�,-"��%r
R')�,�-�k T ∈
[^]��Tc(V, s,P)
$v ∈ V
$9�- M��(����'%��')���;2k(��T σ = T
r9o@+,')"��;��')�! v���# M+/������y+,����2k(��-+,�y+wI�-���1�-54�+,�
U���# �!��/�8-�:�-��/����3 7$Y�!+?���# ��-+
-
� N ��������������������������������
0 � Y�£¨©�������@���*�1�������! #"��%$���')(��m�7.9')���m/�8FZ����t+,���>[^]:uw ��-"#5A���0l����"# #�!"m/����y=%"1���������m8- #�,23(��- �8��@ ��-+,�
23(& �!+,���')�3 ¬/�8FZ����,�¦/������+/������?+,����2k(��-+,�P���� y�# #"1�� #�nZ�8��%r
-
� ���������
� �
� � ���
��� �� ������� ��������
�������;+,�m�1�������! #"��>��"�8���8�/��-�3 7$K��')(��?��.9')���?/�8FZ����(����>�)�- #�,')�¬�#(�";/����y[t]vuw ��-"#5A���DÊ��)��8��m��(�"+,���Y�:�-"#54(� 1�� #�,')���M/��?+,�-(�"��i��')5�5A�- ��7r%s>')(��\�7.9')���i/�8FZ��������- # ��@�)�- #�,')�A/��;Ìw����')�A #"���\��Ê��# #"1���! ��%$������')(��DÌÆ'�7��+!�,�1���3 @2k(����#(�"?+(��]:uw ��-"#5A���- >(�������-"#5�(� 1�� #�,')�/��������
��')5�5A�- ��7r:JY����(��! ��%$¡��')(���/�8FZ����!"�')���0+,����hF{nÃ)Ö~%`Çkd�bfhhF`d#~%`{ �;�bfhΣE
$v���!���#�j23(���+,���*[t]i_a`cbFdFegbfhhF`d#~%`{ �;fh-$M2k(��m��')�k /����¬[^]:uw ��-"#5A���¦����"# #�,�-(�+!�,�-"��¦�#(�"
Σ ∪ ΣErMJY 1���3 ¬/�')����8(�� [^]:uw ��-"#5A�
�# #"1�� #�nZ�8T$��')(���5A')�k #"��-"�')������')5�5A�-�k 4��')���# #"#(��!"���(��������"# #�! #�,')��# #"1�� #�nZ�8��A�#(�"
Tl����"# #�!"
/����D��')5�5A�- ��;8- #�,23(��- �8��;����"D/����;8-+,8-5A�-�k ��D/��ΣE
Ë���- # ��@����"# #�! #�,')�¦��')(��D���-"#.�!"1�4l�/�8FZ����!"M(�����)�- #�,')�Ò/��g=%"�')(���g�#(�"*+,���[^]:uw ��-"#5A����# #"1�� #�nZ�8��7r^JY�KZ��&$&��')(�����')���# #"#(��!"�')����(��Í=%"�')(��:�A/�')�3 �����)2k(��?8-+,8-5A�-�3 Y��')"#"����#�:')��/�lm+wÐ������+!�,�7�� #�,')�B�#�!54(�+! 1����8��±X/��;"�-=%+,���j/��;+p\UKq-Wcr & �D"�8���(�+! 1�� Y��')(��Y��-"#5A�- # #"1�*/��?/�8-5A')�3 #"��-"M2k(��D+,���Y�-�����-5�Ê�+,���\�# #"1�� #�nZ�8��/��AGIo>p\UKq-W&�:�-(�.9�-�3 .- #"��4')Ê� ��-�3(��0l����"# #�!"@/����y')"#Ê��! ����@/��4���0=%"�')(���%r
JY�KZ��&$t��')(��� ��-"#5��!���-"�')���4���g���������! #"��g�-�8- #(�/K��!+!+!(��# #"��-">�')(�"02k(��-+!+,�4"1���,��')�+,���> ��-"#5A���m�# #"1�� #�nZ�8��0')�k >8- �8��!�3 #"�'�u
/K(��! ��@/������4GIomp\UKq�WcrpY"��-��')���\(����? #��8�')"#�,�y8�2k(��� #�,')�����-+!+,�
E/�8FZ����,�y����"i+wÐ�ÏE�,')5A�@/��?��')5�54(� 1�� #�!.�! �8
f(x, y)
f(y, x)
r>R')�! T = (V, s, a)
+,�]vuw ��-"#5A�/��É+���,��8*/���.98-"#�nZ��-">23(���+
-
O U �������������� � ��������������� � ������� � ���
a : f
b : f c : f
d : a e : b f : c g : d
�"�C[ ! �Kr!q�#Ä]:uw ��-"#5A�4"��-��"�8����-�3 1���k f(f(a, b), f(c, d))
a : f
b : g c : c
d : d e : b
�"�C[ ! �KrÐV�#¬]:uw ��-"#5A�4"��-��"�8����-�3 1���k f(g(d, b), c)
& �- # ��¦����"# #�! #�,')� �8- �8¦')Ê� ��-�k(��Ä�-��"��-=%"�')(������3 /������(����5/.-5A�¦����"# #�,�¦+,����/��-(KE���')5�5A�- ����"#=%(�5A�-�3 ��A/��¦�����)2k(��¬�#654Ê:')+,�8- #�,2k(��- �8¦����"
fr^Ñt�����"# #�! #�,')�
P���# �# #"1�� #�nZ�8��¬/������
T$�-
/�')���%$t+wÐ�)�- #�,')�¸/K(Ò=%"�')(��:�G = SymV (P)
��(�"T���� *Ê��,�-�¸/�8FZ����,�%r & �A=%"�')(��:�g��')5��:')"# ��
88-+,8-5A�-�3 ��7$i�- g+w �!5g��=9�Ä/��T����"A�����)�-(����/�������-"#5�(� 1�� #�,')���g"��-��"�8��1�-�3 ��¬(�� ��-"#5A�/K�,�# #�!���-
8-=3��+tlt5A'k/K(�+,'
Er�p��"@�FE��-5���+,�%$��#�
σ = (b c)(f g)$K��+,')"��
τ(Aσ) = f(f(d, c), f(a, b)) =E tr
�>')���%$k/������\���m�7�)�i����"# #�,�-(�+!�,�-"7$k+w �!5g��=9�@����"i+/�')���%$(����*ÌÆ')�,�m/�����+!(��7$�+wÐ�)�- #�,')�/K(=%"�')(��:�
G = SymV (P)�#(�"
T
-
� ��� � � ��� ��� �,����� � ������� � ���"� O q
���# ?Ê��,�-�/�8FZ����,�%r T �¬�'%�1��Þ
T1 = T(d e), T2 = T
(c e),�- T3 = T
(c e d).
T ��A/�')���%$��')(�"> �')(� i = 1, . . . , 3
$τ(Ti) = ti
r�Ñt�g�-++,���> ��-"#5A���t1�- t2r & �-��-��/����k 7$:�!+^�&I���� m�:'%���#�!Ê�+,�/vÐ������+!�,23(��-"�2k(��4+,�
��"��-5��,�-"y�ÏE�,')5A�0lt1r :a+��&I���� ;/�')���m���)�; �')( $x')(�"��M�'%�1�#�!Ê�+,�m/vÐ������+!�,2k(��-"D+,���\5/.-5A���?�ÏEK�,')5A���?l
/��-(KEA ��-"#5A���;8-=3��(KEA5A'k/K(�+,'EË9+')Ê� ��-�3(��0l����"# #�!"m/��
t�- @/��*�����m8�23(��� #�,')���m�:')(�"#"1�-.- #"��*"��-��"�8Fu
���-�k �8*��')5�5A�*(�����')"#Ê��! �����')(��D+wÐ�)�- #�,')�/v (��Ä=%"�')(��:�%r�������¬���23(����#(��! 7$M��')(��Ä��+!+,')���¬/�8FZ����!"¦+
-
O V �������������� � ��������������� � ������� � ���
Â@���8�23(��� #�,')� �-�3 #"��/��-(KE ��-"#5A���+!�!��87���!"����t�- t′/��T (Σ,V)
���# A�:�-"#54(� 1�� #�!.9��#�@�- ���-(�+,�-5A�-�3 @���
t�- t′��')�3 ?.%��"#�
-
� ��� � � ��� ��� �,����� � ������� � ���"� O �
ε : f
1 : g 2 : ◦
1.1 : b 1.2 : ◦
� �|[ ! �Kr � #Ä]:uw ��-"#5A�4/��0+wIJjE��-5���+,� �KrÐVKrÐV
s>') �')����23(���+wI�-�����-5�Ê�+,��/����>�1')5�5A�- ��0.)��"#�/�8FZ����! #�,')�&$¡���
x ∈ {x1, . . . , xn}$��-
p���# y+
-
O á �������������� � ��������������� � ������� � ���
� ½^«3²�º��kÚ; !&µ,Üvµ$! · � ½^«3²¡º �Ú¾¶¡µ%=��¾���� ' �v¶�� Á %{C`EÇkÖb*`CK#)dF{wb;�b-dfeÇK`w~%`{ 0 b43 �iÖ�{wbK~)d0ÇkÖÉbFÖ�h7bFegzF}!b�t ~��){Æ)egbfh0ÇkÖ�{ ��)dfegb � b-`ih-){wbFÖ�`
σ1, . . . , σn}!bFhM�bFdfeÇK`w~%`{Æ)Ö�h*~�h1h�7Õ-{w�bfh4~)Ç��
~��){Æ)egbfhg3 �iÖ�{|h1h�~)Ö�`E� ¡{
cbFhF`y},bÕ�)Ö�`cb �9`cb~)h1h-±Õ-{Æ � Õ1bfhg~��){Æ)egbfh � ~%}n)dfhmK)Çdg`w)ÇK`cb>�b-df_
eÇK`w~%`{Æ)Öσ ∈ Sym(SV(c))
� }# #Å-Ç�~%`{Æ)Ö��bFdfeÇK`w~%`{ 0 bz#~�h�1b0hFÇkd c b-`\kbM�bFdFeÇ`w~9`{)Ö~�h1h�7Õ-{w�bσbfhF`m-}!FegbFÖ¡`m3b
EhF{yb�`Dh�bFÇ},bFegbFÖ�`?hF{
σbfhF`m-}!FegbFÖ¡`m)ÇÄÃ)d#)DZ�b¦bFÖkÃ3bFÖ)d#�K~%d}� bFÖ�h�b-eAz-}!b
{σ1, . . . , σn}�
����� � �� !>p^')(�"i ∈ {1, . . . , n}
$M')� ��') ��ei+wÐ�ÏE�,')5A�/��
E/���:�-"#54(� 1�� #�,')� �)����'�-�,8��
σi$
�- ')����') ��G+,�g=%"�')(��:�¬�-��=9�-��/K"�8¦����"+wI�-�����-54Ê�+,�
{σ1, . . . , σn}riR')�!
t(��� ��-"#5A� ��-+?2k(��
c = arbre(t)$��- y�#(����:'%��')���y2k(��
σ ∈ Gr�om+,')"��y')��
σ =
m∏
j=1
σij ,')È∀j = 1, . . . ,m, ij ∈ {1, . . . , n}.
�')�k #"�')���0����"m�!��/K(��- #�,')��#(�"m2k(���#�
t′���# 0')Ê� ��-�3(Ílg����"# #�!"�/��
t����"����������+!�,�7�� #�,')�/���+/K(Ä=%"�')(��:�*�-��=9�-��/K"�84����"
{σ, µ}BC�,�-�w$�+,��=%"�')(���
Sym({1.1, 1.2, 2})XF$m+wI8�2k(��� #�,')� ��-"#5�(� 1�� #�!.9���)��8���#(�"+,���')�k ��FE ��
c�- /����-"#5�(� 1�� #�,')�
�)����'�-�,8��σ′���� y8-+,8-5A�-�3 m/��
Er
sm')(��y�')(�.9')���@5g���!�3 ��-�����3 0/�8FZ����!"?ÌÆ')"#5A�-+!+,�-5A�-�3 m+,���y�#�!=%���� #(�"����@�� #"1�� #�nZ�8����4Þ
-
� ����� � ������� ������ � � �� ��� ������������� O Q
ª¬«9Y®¯��-"#5�(� 1�� #�!.9�E/�8Fu
Z����,�y����"M(���-�����-5�Ê�+,�m/vÐ�ÏEK�,')5A���;�#(�"Σ$%(����*hf{!Ã)Ö¡~%`Çd�bmhF`d#~%`{ �;�b
ΣE�#(�"
E���# i(���-���1�-54�+,�
/��@��6k5�Ê')+,���M/��y+ÌÆ')"#5A�〈f, c,G〉
$')Èf���� i(���#654Ê:')+,�y/��yÌ')���- #�,')�/��
Σ$c���# M(��g]:uw ��-"#5A�
�#(�"Σ$��-
G���# y(��¬=%"�')(��:�*/����:�-"#54(� 1�� #�,')���@��(�"y+,���y��')5�5A�- ��?.%��"#�p\UKqFWc$D��')(��¬�:')(�"#"�')���Í3FeA~)d#Å-Ç�bFd (�� �#654Ê:')+,�É�# #"1�� #�nZ�8%$y���É2k(��"��-.�,�-�3 ?�!�3 #(��! #�!.9�-5A�-�k >l4"��- #�!"��-"?+w �!�KÌ')"#5g�� #�,')�¬��"�8��1�-�3 ��0/������
c�- GrÑt�4Ì')���- #�,')�Ä/��0/�8-5g��"xu
2k(���=9�dm : ΣE → Σ
���� @/�8FZ����,������"4Þdm(〈f, c,G〉) = f
rs>')(��8- ��-��/K"�')���¬���- # ��ÌÆ')���- #�,')� /��/�8-5g��"�23(���=9�É��(KE [^]:uw ��-"#5A���¦�-� /�8FZ����,���1���3
dm :[^]��T (Σ ∪ ΣE)→
[^]��T (Σ)
����"4�:')(�"y �')(� >[^]:uw ��-"#5A�
T = (V, s, a), dm(T ) = (V,dm ◦ s, a).
& �- # ��>')�8-"1�� #�,')�"��-.k�,�-�k ;/�')���>l�"��-5���+ �')(��0+,�����1')5�5A�- ����1��(KÌ\+@�+!�&���6$������6$��9�
〈c, G〉 A%B /0'%�C�312/���D-;E�/��)��F�%��6$�,*�!��/����@+ f �@G%�%���)-,���!�,6$��9�D� /0'�+H�����I+;�����/���C�%��������)"%���)�
-
O � �������������� � ��������������� � ������� � ���
ε : 〈f, c,G〉 dm
1 : g 2 : 〈f, c,G〉
1.1 : a 1.2 : b 2.1 : g 2.2 : b
2.1.1 : c 2.1.2 : a
ε : f
1 : g 2 : f
1.1 : a 1.2 : b 2.1 : g 2.2 : b
2.1.1 : c 2.1.2 : a
� �|[ ! �Kr á�#A�-
dm(A)
/��-"#���,�-"�����')�k �')Ê� ��-�k(���-�Í�!5��'%�1���k ���-"# 1���!�������')��/K�! #�,')������(KE��')5�5A�- ���8- #�,2k(��- �8��*����"/�����#6k5�Ê')+,���0/��
ΣEr&R')(��������0��')��/K�! #�,')���7$v���- �8- #�,23(��- 1��=9��!��/K(��!"1�(��������"# #�! #�,')��# #"1�� #�nZ�8���#(�"
+,�4[t]vuw ��-"#5A�*��')���#�,/�8-"�8%$��- ?+wÐ�)�- #�,')�/��>=%"�')(��:�*/�8FZ����,��/������?+,�����������! #"��*��"�8���8�/��-�3 y��')(��?�:�-"xu5A�- # #"1��/���"��-��"�8����-�k ��-"m+,���y�-���1�-54Ê�+,���>�# #"1�� #�nZ�8��@/���GIo>p\UKq-W^��')5�5A�4/����@')"#Ê��! ����@�1')(��?+wÐ�)�- #�,')�/v (��Ä=%"�')(���4/�')����8%rª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® !vµ('vµ¶Ò·�� ��°7¾3º)Ú¾ +�°7ºÏ»K°±¯|j«�ÁJY 1���3 Y/�')����8��M(����M�#�!=%���� #(�"��
�- ^(����M���!=%���� #(�"��
�# #"1�� #�nZ�8��ΣE
$j(�� [^]Y_ `cbFdfegb¬hF`d#~%`{ �;�#(�"Σ,ΣE
���# �(��´[^]:uw ��-"#5A��-+,'%�T = (V, s, a)
�#(�"Σ ∪ ΣE
��-+t2k(���Þq%r?�:')(�"^ �')(� Y��')5�5A�-
v ∈ V/�')�3 j+,�M��6k5�Ê')+,�
s(v)���# j8-+,8-5A�-�3 i/��
ΣE$��#�
s(v) = 〈f, c,G〉$
��+,')"��m�!+�FEK�,�# ���(����')5A')5A')"#�����,�#5A�h[T,v]
/K(]:uw ��-"#5A�c.9�-"��
dmr(T |v)rÑ&��"�8��#�,/K(/��
h[T,v]���# ?��') �8
RT (v)$��- ?+w���3 #�!"�8��#�,/K(
RT (v)Ë
VKr∀u, v ∈ V
$±�#�v���# t8- #�,2k(��- �8i����"t(���#654Ê:')+,�i/��
ΣE$7�-
u���# t8-+,8-5A�-�k Y/��
RT (v)∪RT (v)$
��+,')"��y�!+&�FEK�,�# ��0(��Ä(����,2k(��*�1���-5��!�/���+
-
� ����� � ������� ������ � � �� ��� ������������� O%O
ε : f
1 : b
2.1.1 : b
2.2 : b
2 : F
2.1 : g
2.1.2 : d
� �|[ ! �Kr Q #Ä]:uw ��-"#5A�4/��0+wIJjE��-5���+,� �Kr � rÐV
a : F1
b : g c : f
d : a e : a f : b
a : F2
b : g c : f
d : a e : b
a : F2
b : F3 c : F2
d : a e : a f : b g : b
� �|[ ! �Kr ��#[t]vuw ��-"#5A���@�# #"1�� #�nZ�8��@Ê��,�-�¬Ì')"#5A8��
ØmÙ&¾kÚ¼jÛC¾ !&µ%'&µ(' Rk(����:'%��')���g2k(��Σ′ = {F1, F2, F3}
$\')È �')(�"i = 1, 2
$Fi = 〈f, ci, Gi〉
$F3 = 〈g, c3, G3〉
$
τ(c1) = f(g(◦, ◦), ◦), τ(c2) = f(◦, ◦),�- τ(c3) = g(◦, ◦),
�- \�:')(�"i = 1, 2, 3
$Gi
���# i(��g��')(��#uw=%"�')(���m/��Sym(SV(ci))
rko@+,')"��Y+,���\ #"�')�,�D[^]:uw ��-"#5A���;/��?+���+!(��±$:+,�ÌÆ���! *2k(��+,���4��(� #"����4��6k5�Ê')+,���*/��
T |v������')�,�-�3 4���)�*/�8-5g��"�23(�8��
�#�!=%���nZ��A2k(�� �')(���+,���*��')5�5A�- ��4/�������+w���3 #�!"�8��#�,/K(RT (v)
��(� #"����*2k(��v��')�k *��8��������1���!"��-5A�-�k
8- #�,2k(��- �8��y����"@/����y��6k5�Ê')+,���y/��Σr
�¾kÚ»�º�¿&À^¾�µ & ')5�5A�\(��A[^]:uw ��-"#5A�;�# #"1�� #�nZ�8M���� t��8��������1���!"��-5A�-�k Y�-+,'%�7$± �')(� ^��')5A')5A')"#�����,�#5A�/v (��[^]:uw ��-"#5A���# #"1�� #�nZ�8�.9�-"��?(����(� #"��4���# y8-=3��+,�-5A�-�3 >�-+,'%�7r
-
O)N �������������� � ��������������� � ������� � ���
a : F2
b : g c : f
e : b
a′ : F1
b′ : F3 c′ : F2
d′ : a e′ : a f′ : b g′ : b
f : ag : a
d : F2
�"�C[ ! �Kr O #[^]:uw ��-"#5A���m�# #"1�� #�nZ�8��y5g��+:ÌÆ')"#5A8��
T ��0�!5�5A8�/K�/��*+ÌÆ')���- #�,')�/��
Σ$���+,')"��
bT c = 1 + max{bT |a(r)ic | 1 ≤ i ≤��"#�! �8
(f)},
# �#�s(r)
���# ?(��Ä��6k5�Ê')+,�*/��ΣE
$���+,')"��
bT c = 1 + max{bT |vc | v ∈ RT (r)}.
JY�KZ��&$��:')(�"y �')(� @��')5�5A�- v/��
T$K+
-
� ���+�����M"�8��#�,/K(��7$��')5���+,8- �8m����"/����D�#�!��=%+,�- �')���7$���# \(����m����"# #�! #�,')�¦�# #"1�� #�nZ�8��0/������
Trksm')(��M�')(�"#"�')���D/�')���0������+!�,23(��-";+w�)�- #�,')�
/���=%"�')(��:�g/�8FZ����,�/������*+,�A�1�������! #"��A��"�8���8�/��-�3 �lT$&�- 4��')(��*5A')�3 #"��-"�')���2k(��� �')(� ��A�!5g��=9�
/��T����"m+w�)�- #�,')�/��
SymV (RT )���# m8-=3��+,�-5A�-�3 0(��[^]:uw ��-"#5A�4�� #"1�� #�nZ�8g�')���(�"1��/�')���*(����
�)�- #�,')�/���=%"�')(��:�*�#(�"?(����')(��xuc�-�����-5��+,�*/���[^]��S(V, s)
r�i¾ÚÍÚ; !vµ%=tµC¶ �?)Çdm`w)ÇK`?[t]i_a`cbFdFegbmhF`d#~%`{ �;
T-}!FegbF֡`jkb?[t]��
S(V, s)b�`��)Çkd>`w)ÇK`cb\K~){Cd#b
3b*h-%eegb-`Ch4){|hF`{CÖ¡Õ�`Chu, v
3bVs
� )Ö~ �� �*hf{
ubfh-`ibFÖ�_ kbfh1h�)Ç3h�3b
v� ~)}!)dfh
ubfhF`ibFÖ�_ 3bfhfh-)Çkh0^ b �3~9Õ�`cbFegbFÖ�`iÇkÖ¦h�)eeAb�`jkb
RT (v)�
� �4}!bfh�d�fhf{Æ)ÇkhRT (u)
b-`RT (v)
h-%Ö�`M){|h|Ó�){CÖ�`Ch �
�4}!bfh4~)Ö¡`{|d�fhf{Æ)Çkh
RT (u)b-`
RT (v)h-%�`M){|h|�){C�`Ch��
������� ��� !q%rKpY(��,��2k(��s(u) ∈ ΣE
$u���>��-(� D���)� .- #"���8-+,8-5A�-�3 y/��
RT (v)r�R')�!
v′+,�@��"��-5��,�-"
��')5�5A�- */������0+,������-5��!�Ò/��vlu2k(��j�&I���# 0���)��/������
RT (v)rto@+,')"��
v′���� >��8������1�1���!"��-5A�-�3
8-+,8-5A�-�3 ?/K("�8��#�,/K(RT (v)
$k�- u ≤T v
′ rkÑ&���M8-+,8-5A�-�k ��?/�� RT (v) �1')�3 \5�(� #(��-+!+,�-5A�-�3 y�!��/�8-�:�-�Ku/����3 ��±$¡�- @/�')���%$�#�u8- 1���! m�-�Kuc/������1')(��m/���/��-(KE¬/��������@��')5�5A�- ��±$��!+^�FEK�,�# ��-"1���! >/��-(KE¬�1���-5��!���
/���+
-
N U �������������� � ��������������� � ������� � ���
ª¬«9Y®^¯|°±¯C²¡® !vµ%=&µ(��Ä(����,2k(��������-5��!��-�k #"��+�:�-(� ;���)�?�7.9')�!"
u = vr
:c+v�FEK�,�# ��0(��¬(����,2k(��������-5��!�/��0+
-
� ��������D/��-(KE�-�����-5��+,���?��')�3 ?/K�,� $#')�!�3 ��D�#�u = v
$k')�¦�:�-(� ;/�')���0�#(����:'%���-"2k(��
u 6= vrpY(��,��2k(��
RT (u) /��
RT (v)$¡�- y���# y/�')����(��
�:')�!�3 ?Z�E��*/��πr��0')���AÞ
s( π ◦ h[T,v](w) ) = s( h[T,v](w) ) = sc(w).
p'%��')���a(h[T,v](w)) = u1. · · · .un
$;�- Ä�1')�! i ∈ {1, . . . , n}
r@Rk�ui
���# Ä/������¦+,�"�8��#�,/K(RT (v)
$��+,')"��uσi = u
πi
rRk�!��')�&$ui
���# �/������*+w���3 #�!"�8����,/K(RT (v)
5g���,�4���� */K�nÎ:8-"��-�k /��v$&�-
/�')���%$t/vÐ����"���4+,��Ñ&�-5�5A� �Kr á�r Q $ui/�')�! .- #"���(���:')�!�3 4Z�EK��/��
σ$t�- *')�Ò�¦(����ÌÆ')�,�*/����+!(��
uσi = uπi = ui
r T ��-�Ä/�8�/K(��! >23(��
aσ( π ◦ h[T,v](w) ) = [a( h[T,v](w) )]σ
= [a( h[T,v](w) )]π B�7��" uσi = uπi X
= [h[T,v]( ac(w) )]π
= π ◦ h[T,v]( ac(w) ).
pj��"@(����,�-�! �8*/����y��')5A')5A')"#�����,�#5A����B & ')"�')+!+
-
N V �������������� � ��������������� � ������� � ���
)4²�º�²¡ÛÛC»�¯|º�¾ !&µ =tµ&% )Çkh�}!bFh� 8fK%`C #fh7bfh)Ǭ},bFeegb � � � � %Ö~h[Tσ,v] = π ◦ h[T,v]
�
Â@���*��(� #"��*��')���18�23(��-�����4�!5�5A8�/K�
-
� � ��� � � ������ ���� � ������� � ��� �� � � �� � � � � � ������ N �ε : f
1 : b 2 : F
2.1 : g
2.1.1 : b 2.1.2 : d
ε : f
1 : b 2 : F
2.1 : g
2.2 : b 2.1.1 : b 2.1.2 : d 2.2 : b
� �C["! �Kr N # T �- T (2.1.2 2.2)
�0')���%$
GA(2) = Gh[A,2] = Sym({1.1, 1.2, 2})h[A,2] = Sym({2.1.1, 2.1.2, 2.2}).
Ñ&�Ä�1')5�5A�- 28- 1���k A+,�¬���-(�+?��')5�5A�- g/��
Al�.- #"��Ä8- #�,2k(��- �8¦����"�(�� 8-+,8-5A�-�3 /��
ΣE$Y')� �
GA = GA(2)r T �É�:�-(� �/�')���A������+!�,23(��-"*����"��FE��-5���+,��+') �')���y2k(&I')�¬�7.)���! A = arbre( f(b, F (g(b, d), b)) )
$K5g���,�?2k(& �!+:�&I�FE�,�� ��0���)�?/��0 ��-"#5A�t′ ��-+&2k(��
Aσ = arbre(t′)r�om�!���#�w$K����"@�FE��-5���+,�%$�')��
τ(Aσ)|2.2 = d = τ(Aσ |2.1.2)r
Ñ&�A��"�'k/K(��! 4/����GT (v)
�')(�"v ∈ Vs
���# �Ê��,�-�Í/�8FZ����\��(��,��23(��+,���4�-�����-54Ê�+,���RT (v)
�1')�3 /K�,� $#')�!�3 ��7r & ')5�5A�
GT (v)���# ?(����')(��xuw=%"�')(��:�*/��
Sym(RT (v))$�')�Ä�-�Ä/�8�/K(��! @2k(��
GT���# ?(��
��')(��xuw=%"�')(��:�0/��SymV (RT )
r & ���-�&�#�!=%���nZ��023(��m+,���D��-"#5�(� 1�� #�,')���y/������GT
��"�8����-"#.9�-�3 ? �')(� ����+,���i��"�')��"#�,8- �8��D�# #"#(��- #(�"��-+!+,���M5A�-�3 #�,')����8����D��+!(��\����(� 7$3�- M��"�8����-"#.9�-�3 ?��(����#��+,���\=%"�')(�����
GT (v)Þ
�i¾ÚÍÚ; !vµ
-
N á �������������� � ��������������� � ������� � ���
����� � �� !>p^')(�"u ∈ Vs
$K��') �')���µu
+��-"#5�(� 1�� #�,')�
G/��V$
')���') ��[^]��S(V, s,P, G)
+wI�-�����-5�Ê�+,�/�����[^]:uw ��-"#5A����� #"1�� #�nZ�8��T8-+,8-5A�-�3 ��/��¦[^]��
S(V, s) ��-+,�y23(��RT = P
�- GT = G
r3
:c+K���# j�-+
-
� � ��� � � ������ ���� � ������� � ��� �� � � �� � � � � � ������ N Q
ª¬«9Y®¯
-
N � �������������� � ��������������� � ������� � ���
����� � �� !��')�k #"�')���� �')(� */vÐ��Ê:')"�/����"��!��/K(��- #�,')�Í23(���:')(�"� �')(� n ∈ N
�- 0�:')(�"� �')(� �[t]vu ��-"#5A�
T ′ ��-+t2k(��
T →n T ′$��!+^�FE�,�# ��*(�������-"#5�(� 1�� #�,')�
σ ∈ GT ��-+!+,�*2k(��
T ′ = T σr & ���-�t���#
#"#�!.k��# #"1�� #�nZ�8���# ��-+,'%������"*/�8FZ����! #�,')�¡XFr & ���0��"�')��"#�,8- �8��4��')(�����-"#5A�- # #"�')�k *����"*�FE��-5���+,�A/���/�8-5A')�3 #"��-"�Ìw�Ïu�-�!+,�-5A�-�3 ¦23(��Ä���@/��-(KE [^]:uw ��-"#5A����1')�3 gÊ��,���!5��!+��')�! u(����')5�5A�- �/��
A ��-+2k(��
h(u) = vr :a+^�7��=%�! �/��
��"�')(�.9�-"02k(& �!+j�FE�,�# ��4(����')5A')5A')"#�����,��5A��/��c.9�-"��
dmr(A|u)r:�����"���>+
-
� � � �������������� ��� � ������� � ��� �� � �"���"���"������ � ����� N9O�i¾ÚÍÚ; !vµ$!&µ,Ü�){wbFÖ�`
Tb-`T ′
kbFÇ*� [^]Y_a`cbFdFegbfhgh-`dx~9`{ �;Fhg`cbF} h¦Å-ÇY {C}Db �){|hF`cb¦ÇkÖ�%e�%e�%df_�3{|hfegb
h3bT 0 bFd1h T ′ � �m}!)d1hD�)Çkd`w)ÇK`Mh-)eegb-` u 3b T -`{ÆÅ-Ç�b�`cmK~)d�ÇkÖh 8)eAz�)}!bA3b ΣE �)ÖÉ~ �
h[T ′,h(u)] = h ◦ h[T,u]�
������� ��� ! & �>"�8��#(�+! 1�� ?���# ?8-.�,/��-�3 �Þu�- h(u)
�1')�3 D��8��������1���!"��-5A�-�k y8- #�,23(��- �8��D����"D(��¦5/.-5A��#654Ê:')+,�@/��
ΣEr9�0�y��+!(��7$BC(����@"����� #"#�,�- #�,')�/��±X
h���# ;8-=3��+,�-5A�-�3 D(��g��')5A')5A')"#�����,��5A�>/��
T |u.9�-"��T ′|h(u)
BpY"�')��"#�,8- �8 Q rÐVKr Q XF$t�- *���- # ��A"����# #"#�,�- #�,')�Í���� �(����')5A')5A')"#�����,�#5A�g/��dmr(T |u).9�-"��
dmr(T′|h(u))
$\��(��,��2k(��+,���g"1�)�-�!�����¦/�������¦[^]:uw ��-"#5A���¦��')�k 8- #�,2k(��- �8��������"+,�5/.-5A��#654Ê:')+,�%r:�Ð����"���0+���,�18-5A�-�3 @+,�0"�8���(�+! 1�� @�#(��!.%���3 4Þ
)4²�º�²¡ÛÛC»�¯CºÏ¾ !vµ$!vµ('�¡{Tb-`T ′
h-)Ö�`�3b-Ç*� [^]Y_a`cbFdFegbfhgh-`dx~9`{ �;Fh`cbF}Ôh¦Å-Çi {C}Db �){/��-(KE[t]vuw ��-"#5A�����# #"1�� #�nZ�8��m')�k 0+/��-(KE�1���-5��!���/K�,�# #�!���- ��y/��0+
-
N%N �������������� � ��������������� � ������� � ���
a : F
b : f c : f
d : a e : a f : b g : b
a′ : F
b′ : f c′ : f
d′ : a e′ : b
� �C[ ! �Kr � #[^]:uw ��-"#5A���@�� #"1�� #�nZ�8��@/��0+wIJjE��-5���+,� �Kr �Kr �
)4²�º�²¡ÛÛC»�¯|º�¾ !&µ"!&µd�bfhF`dF{ÆÕ�`{%Ö�h�kb
h�
RT (u)b-` �
RT (u)∪RT (u)h-)Ö�`;3bfhzF{ Ó7b#Õ�`{Æ)Ö�h � d�bfhc�b#Õ�`{ 0 bFegbFÖ�` 0 bFdfh RT ′(h(u)) � b-` RT ′(h(u)) ∪RT ′(h(u)) ������ � �� !�Rk�
u���# (����1')5�5A�- A/��
T8- #�,2k(��- �8¦����"(�� �#654Ê:')+,�
〈f, c,G〉 ∈ ΣE$Y��+,')"��+,���
"����# #"#�,�- #�,')���0/��hl
RT (u)�- >l
RT (u)��')�k m/����mÊ�� $x���- #�,')���±$�"����#�:���- #�!.9�-5A�-�3 0.9�-"��
RT ′(h(u))�- RT ′(h(u))
/vÐ����"���*+,��Ñ&�-5�5A� �Kr �Kr á�r & ���*/��-(KE�-���1�-54Ê�+,���*8- 1���k 4/K�,� $#')�!�3 ��7$v')��-�/�8�/K(��! 23(��0+
-
� � � �������������� ��� � ������� � ��� �� � �"���"���"������ � ����� N �� ½^«3²¡º �Ú¾ !vµ$!vµ���:){Æb-Ö�`
Tb-`T ′
3bFÇ��¦[t]i_a`cbFdFegbfhMh-`dx~9`{ �;Fh � `cbF} h?Å-Çi {C}�b �){|hF`cb;ÇÖA%e�%e�%df_�3{|hfegb
h3bT 0 bFdfh T ′ � �m}!)d1hD�)Çkd`w)ÇK`cbD�bFdfeÇK`w~%`{Æ)Ö σ ∈ GT � h bFhF`MÇkÖ)eA)eA)dc�3{|hfegb3b
T σ 0 bFdfh T ′σh �������� ��� !>p'%��')���
T = (V, s, a)$T ′ = (V ′, s′, a′)
$K�- µ = σh
rkom+,')"��M')�Ä�T σ = (V, s, aσ)
$k�- T ′µ = (V ′, s′, a′µ)
Ë7�!+3�±Ð��=%�! ^/��Y��"�')(�.9�-"j23(��i�')(�"& �')(� ��')5�5A�- v ∈ V
$a′µ(h(v)) = h(aσ(v))
rR')�!
v ∈ V$��- y�:'%��')���
a(v) = v1. · · · .vn$���+,')"���Þ
a′(h(v)) = h(v1). · · · .h(vn),
aσ(v) = vσ1 . · · · .vσn,
a′µ(h(v)) = h(v1)µ. · · · .h(vn)
µ.
R')�! i ∈ {1, . . . , n}
$M�7 �!+>�FE�,�� ��Ä(�� ��')5�5A�- u ∈ Vs
��-+m2k(��vi ∈ RT (u)
$;��+,')"��h(vi) ∈
RT ′(h(u))/vÐ����"���g+,� & ')"�')+!+Ñt�Ì')���- #�,')�η���# DÊ��,�-�Ä/�8FZ����,��/vÐ����"���y+,� �D��8�')"�-5A� �Kr �Kr � r��Ð����"���?+,� �D��8�')"�-5A�
Q r á�r!q7V�- m+,� & ')"�')+!+
-
� U �������������� � ��������������� � ������� � ���Ñt� ����1�����,23(��4(� #�!+!�,��8����:')(�"y+
-
� � � �������������� ��� � ������� � ��� �� � �"���"���"������ � ����� � q�i¾ÚÍÚ; !vµ$!&µC¶�³ %{ÆbFÖ¡`
Tb-`T ′
3bFÇ���[t]i_a`cbFdFegbfh4h-`dx~%`{ �;fh3bd#~9Õ-{CÖbfh�d�bfhc�b#Õ�`{ 0 bfh r b�` r′ �Õ1bfh�3bFÇ���d#~9Õ-{CÖbfh0�`w~)Ö�`i-`{ÆÅ-Ç�b�`c�bfhMK~)d>}!bme 6Fegb@h*8)egz#)},b�3bΣE
� D {|}b �){ÇÖbi�bFdFeÇ`w~%`{Æ)Öσ ∈ GT
b�`�ÇÖ {|h-)eA)dc�3{|hfegbη3b
T σ 0 bFdfh T ′ � ~%}n)dfh�K%Çkd`w)ÇK`h-)eegb-` u F}!-eAb-Ö�`A3bRT (r) ∪RT (r)
� %Ö~hT[r�r′](u) = η(u
σ)�
������� ��� !�Rk(����:'%��')���;23(��r�- r′��')�k M8- #�,2k(��- �8��\����"
〈f, c,G〉r & ')5�5A�y �')(��M+,���\��')5�5A�- ��M/��
RT (r)�1')�3 >Z�EK8��m����"
σ$¡')���')5�5A�-���������"m��"�')(�.9�-"0����">�!��/K(��- #�,')�23(��4�')(�"> �')(� ���')5�5A�-
w/��
RT (r)$K')��
hT[r�r′](w) = η(w)r & ���-�&���# ?8-.k�,/��-�k ?�')(�"
w = r$�#(����:'%��')���D5g���!�3 ��-�����k
2k(���+,�0"�8��#(�+! 1�� @���# ?."1���v�:')(�"y(��Ä��')5�5A�- v ∈ RT (r)
r T �����+,')"��4Þ
hT[r�r′](aT (v)) = h[T ′,r′]( h−1[T,r](aT (v)) )
= h[T ′,r′]( ac( h−1[T,r](v) ) )
= aT ′( h[T ′,r′]( h−1[T,r](v) ) )
= aT ′( η(v) )BC����"@�36�') #������4/v �!��/K(��- #�,')�¡X
= η( aσT (v) ).
om�!���#�w$��:')(�"? �')(� @��')5�5A�- u/��*+/��
RT (r)$���+,')"��@��8��������1���!"��Fu
5A�-�3 7$uσ = u
$��- @/�')���hT[r�r′](u) = η(u
σ) = η(u)$����*23(��&��')5���+,- ��*+w �!��/K(��- #�,')�&r
p')(�"m �')(� u ∈ RT (r)
$��!+^�FEK�,�# ��*(����')5�5A�- v/������
RT (r) ��-+^2k(��
u���# m(��8-+,8-5A�-�3 0/��
+
-
� V �������������� � ��������������� � ������� � ��������"���?���02k(��