Mukavemet Hafta 4 sunumu

MECHANICS OF

MATERIALS

Third Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

CHAPTER

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

2Eksenel Yükleme

Fatih Alibeyoğlu


MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

Eksenel Yükleme

Bir önceki bölümde, uygulanan yükler neticesinde ortaya çıkan

gerilmelerin nasıl hesaplandığı verildi.

Güvenilir bir tasarımın nasıl hesaplandığı verildi.

Ancak…

Bu hesaplamalarda yapılar ve elemanların şekil değiştirmediği yani

rijit yapılar kabulüne dayanır.

Halbuki mühendislikte pek çok yapı şekil değişimine uğrar

Ayrıca şekil değişimlerden statikçe belirsiz (yani sadece statik ilkeleri

uygulanarak çözülemeyen) problemlerin çözümünde de yararlanılır.



Th

irdE

ditio

n


Fig. 2.1

Gerilme

Normal Şekil Değişimi(birim uzunluktaki def.)



Th

irdE

ditio

n


Çekme Cihazı



Th

irdE

ditio

n


Çekme Deneyi

Önemli bir malzeme özelliği olan gerilme-şekil değiştirme

değerleri çekme numunesinin çekme deneyinde kullanılarak elde

edilir.

Çekme numunesi artan bir yükle (P)

yüklendiğinde boyu doğrusal olarak y

noktasına kadar uzar.

y noktasında sonra uygulanan

kuvvetteki küçük bir artış çekme

numunesinde büyük bir deformasyon

doğurur.

Uygulanan yük maksimum değere

ulaştığında numune kesiti azalmaya

başlar buna boyun verme denir.

Çekme deneyinden;



Th

irdE

ditio

n


Çekme Deneyi



Th

irdE

ditio

n


Fig. 2.4

Mekanik Özellikler(Tasarım)

Mukavemet

(Strength)

Rijitlik

(Stiffness)

Süneklik

(Ductility)

Akma Mukavemeti

Çekme Mukavemeti

Kopma gerilmesi

Şekil değiştirmeye karşı gösterilen

dirençtir.(E)

Sünek

Gevrek



Th

irdE

ditio

n


Akma Mukavemeti

• Akma gerilmesi(Yield stress): Plastik şekil değiştirmenin

başladığı gerilme seviyesidir. Eğer bir malzeme belirgin akma

gösteriyorsa grafikten direkt tespit edilebilir. Belirgin akma

göstermiyorsa % 0.2 şekil değiştirme noktasından elastik

doğruya paralel bir doğru çizilir. Bu doğruyu kestiği yer akma

gerilmesi olarak adlandırılır.



Th

irdE

ditio

n


Çekme Mukavemeti- Kopma Gerilmesi- Rijitlik

• Çekme Mukavemeti(Ultimate Strength): Mühendislik

gerilme- değiştirme grafiğinde en yüksek gerilme

değeridir.

• Kopma(Kırılma ) Gerilmesi (Fracture Stress ): Kopma

anındaki gerilme değeridir.

• Rijitlik(Stiffness): Şekil değiştirmeye karşı gösterilen

dirençtir. Malzemenin rijitliğinin elastisite(elastiklik)

modülü temsil edilir.



Th

irdE

ditio

n


Sünek Malzemelerin Gerilme- Şekil Değiştirme Eğrisi



Th

irdE

ditio

n


Gevrek Malzemelerin Gerilme- Şekil Değiştirme Eğrisi



Th

irdE

ditio

n


Eksenel Yüklemede Deformasyon

Çubuğa P kuvveti uygulandığında

Eğer elastik sınırı aşmıyorsa Hooke bağlantısı

yazılabilir.

Şekil değiştirme önceden tanımlanmıştı.

Yukarıdaki iki denklemi çözersek, deformasyon değeri:

Farklı kesite ve malzemedeki çubukta, toplam uzama değeri:



Th

irdE

ditio

n


Soru 2.1.

E=200 GPa olduğuna göre çubuğun deformasyonunu

belirleyiniz?



Th

irdE

ditio

n


Çözüm



Th

irdE

ditio

n


Bağıl Deformasyon

• Önceki problemde çubuk sabit bir

mesnete bağlıydı. Bu yüzden

serbest ucun deformasyonu toplam

deformasyona eşitti. Eğer iki ucuda

serbest hareket edebilen bir

çubuğun deformasyonu ne olur:

• Bu çubuğun deformasyonu bağıl

deformasyona eşittir.



Th

irdE

ditio

n


Soru 2.2.



Th

irdE

ditio

n


Soru 2.2.

• Denge şartlarında kuvvetleri bul

• Her elemanı ayır. Bu

denklemde verileri yerine koy



Th

irdE

ditio

n


Çözüm



Th

irdE

ditio

n




Th

irdE

ditio

n


Statikçe belirsiz Problemler

• İç kuvvetlerin sadece statikteki denge şartlarından elde edilemediği

birçok problem vardır. Denge denklemleri deformasyonları içeren

bağıntılarla elde edilir.»

»

Soru: Silindirik kesitli bir tüpün içine

bir demir çubuk(rod) yerleştirilmiştir.

P kuvveti etkisi altında çubuk ve tüpün

deformasyonunu bulalım.

Deformasyonların eşit olması gerekir.



Th

irdE

ditio

n


Süperpozisyon ilkesi

Şekilde A ve B tepki kuvvetlerini bulunuz?



Th

irdE

ditio

n


Çözüm



Th

irdE

ditio

n


Sıcaklık değişimi içeren problemler

Homojen bir yapıya sahip ve

mesnetlenmemiş üniform kesitli bir

çubuğun sıcaklığı T kadar artırılırsa

çubukta meydana gelen uzama

Burada; malzemenin ısıl genleşme

katsayısı (1/C0)



Th

irdE

ditio

n


Sıcaklık değişimi içeren problemler



Th

irdE

ditio

n


Soru

Şekilde gösterilen çelik çubuğun

AC ve BC kısımlarındaki,

çubuğun sıcaklığının -45 ͦ C

olduğu andaki gerilme

değerlerini, sıcaklık +24 ͦ C iken

her iki Rijit mesnedin tam

oturduğu bilgisini kullanarak,

belirleyiniz.

α = 11.7 𝑥 10 −6/ ͦ C

E= 200 GPa



Th

irdE

ditio

n


Çözüm

Problem statikçe belirsiz olduğu için B’deki

mesneti ayırıyoruz.

Sıcaklık değişimi

ΔT= (-45)-(-24) ͦ C= -69 ͦ C

B olmasaydı oluşacak olan sıcaklığa bağlı

deformasyon

δ𝑇= α( ΔT) L

= (11.7 𝑥 10 −6/ ͦ C)(-69 ͦ C)(600 mm)

=-0,484 mm



Th

irdE

ditio

n


Çözüm

B ucunda oluşan tepki 𝑅𝐵ve bunun neticesinde

oluşan deformasyon δ𝑅

𝐿1=𝐿2=300 mm

𝐴1 = 380 𝑚𝑚2 𝐴2 = 750 𝑚𝑚2

𝑃1=𝑃2=𝑅𝐵 E=200GPa

δ𝑅 =𝑃1𝐿1

𝐴1𝐸+

𝑃2𝐿2

𝐴2𝐸

=𝑅𝐵

200𝐺𝑃𝑎(

300 𝑚𝑚

380 𝑚𝑚2 + 300𝑚𝑚

750 𝑚𝑚2)

=(5.95 𝑥 10 −6 mm /N) 𝑅𝐵

δ=δ𝑅 + δ𝑇 =0

= -0,484 mm +(5.95 𝑥 10 −6 mm /N) 𝑅𝐵=0

𝑅𝐵= 81.34 kN



Th

irdE

ditio

n


ÇözümA daki tepki eşit ve zıt yönlüdür.

𝑃1=𝑃2=𝑅𝐵=81,34 kN

σ1= 𝑃1

𝐴1=

81.34 𝑘𝑁

380 𝑚𝑚2= 0,214 GPa= 214 MPa

σ2= 𝑃2

𝐴2=

81.34 𝑘𝑁

750 𝑚𝑚2= 0,1085 GPa= 108,5 Mpa

TOPLAM DEFORMASYON SIFIRDIR FAKAT ÇUBUKLARDAKİ

DEFORMASYON SIFIR DEĞİLDİR.

AC çubuğu BC çubuğu

Sıcaklıktan dolayı = (11.7 𝑥 10 −6/ ͦ C)(-69 ͦ C)

=−807,3 𝑥 10 −6 mm/mm

Sıcaklıktan dolayı = (11.7 𝑥 10 −6/ ͦ C)(-69 ͦ C)=−807,3 𝑥 10 −6 mm/mm

𝑅𝐵tepkisinden dolayı oluşan def

= +214.1 𝑀𝑃𝑎

200 𝐺𝑃𝑎= +1070,5𝑥 10 −6 mm/mm

𝑅𝐵tepkisinden dolayı oluşan def

= 108.5 𝑀𝑃𝑎

200 𝐺𝑃𝑎= 542,5𝑥 10 −6 mm/mm

Toplam= +263,2 𝑥 10 −6 mm/mm Toplam= -264,8 𝑥 10 −6 mm/mm

Mukavemet Hafta 4 sunumu

Documents

Transcript of Mukavemet Hafta 4 sunumu