MODULO DE TORSIONM. en Ing. Daniel E. Reyna Valdivia UAA Aguascalientes, Ags.

Mecnica de materiales

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Mecnica de materiales Elmdulo de torsinomomento de torsin(oinercia torsional) es una propiedad geomtrica de la seccin transversal de unavigaoprisma mecnicoque relaciona la magnitud delmomento torsorcon las tensiones tangenciales sobre la seccin transversal. Dicho mdulo se designa porJy aparece en las ecuaciones que relacionan las tensiones tangenciales asociadas, el momento torsor (Mx) y la funcin delalabeo unitario(), esa relacin viene dada aproximadamente por las dos ecuaciones siguientes: dondelas coordenadas delcentro de cortantede la seccin.

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Mecnica de materiales Para unapieza prismticarecta de seccin constante torsionanda aplicando un momento torsorTconstante a travs de sus extremos el mdulo de torsin se relaciona con el ngulo girado y la longitud total de la pieza mediante la expresin: dondeGes elmdulo de elasticidad transversaldel material de la pieza.

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Mecnica de materiales Mdulo de torsin para una seccin circularPara una seccin circular o circular hueca el mdulo de torsin coincide con elmomento de inercia polar, es decir, coincide con la suma de los dos segundos momentos de rea de la seccin transversal: Mdulo de torsin para una seccin rectangularPara una seccin rectangular de dimensionesbyh(b

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Mecnica de materiales Para una seccin cuadrada conh=bse tiene: Donde el momento de inercia polar viene dado por: Mdulo de torsin para una seccin triangularPara una seccin triangular equiltera de alturahy ladoL, el mdulo de torsin viene dado por la expresin

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Mecnica de materiales Mdulo de torsin para una seccin elpticaPara una seccin eltptica maciza de semijesayb, elalabeo unitariopuede determinarse exactamente de manera sencilla. Eso lleva a una mdulo de torsin dado por: Mdulo de torsin para una seccin cualquieraDeterminar el mdulo de torsin de una seccin requiere conocer elalabeo unitario de la seccin y la posicin delcentro de cortante. El clculo del alabeo unitario o seccional, por lo que con resolver un problema de Von Neumann sobre la seccin para la que se busca el mdulo de torsin. Una vez conocida la funcin de alabeo unitario, basta calcular:

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Mecnica de materiales Equivalententemente el mdulo de torsin puede calcularse a partir de las frmulas anteriores, llegndose a la expresin compacta: Si la seccin tiene dos ejes de simetra perpendiculares el clculo anterior se simplifca un poco ya que, entonces (Yc, Zc)=(0,0) y el alabeo unitario es una funcin de simetra definida.

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Mecnica de materiales Mdulo de torsin en secciones de pared delgadaLa determinacin del mdulo de torsin de una seccin general es un problema matemtico complejo que requiere hacer uso de frmulas, Sin embargo, para cierto tipo de secciones puede obtenerse un resultado satisfactorio usando algn medio alternativo. Por ejemplo para piezas huecas o en canal de pared delgada, como lo son la prctica totalidad de las secciones usadas en construccin metlica, puede aproximarse laseccin transversalmediante una curva (abierta o cerrada) y un cierto espesor alrededor de la curva. Debido al diferente comportamiento del "flujo" detensiones tangencialesa lo largo de la seccin deben distinguirse tres casos:

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Mecnica de materiales Piezas de perfil abierto, en ellas lascurvas integralesdel campo de tensiones tangenciales, no encierran ninguna rea. Los perfiles metlicos en H, en I, en U y L son ejemplos de este tipo de seccin. Piezas de perfil cerrado simple, Son secciones formadas por una curva cerrada simple, que por tanto encierra un rea, y un cierto espesor constane sobre la curva. Los perfiles tubulares huecos de seccin exterior cuadrada, rectangular o circular son ejemplos de seccin cerrada simple. Piezas de perfil multicelular, son secciones de pared delgada que no sonsimplemente conexasal estar formadas por un cierto nmero de huecos yuxtapuestos

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Mecnica de materiales Seccin de pared delgada abiertaDonde , es la longitud de total de la curva media que define la seccin. , es el espesor de la pared (sino fuera constante la primera parte de la frmula anterior sigue siendo vlida, aunque el resultado de la integral sera diferente.

Si el perfil tiene ramificaciones, como sucede en las secciones en I o H entonces la ltima integral de longitud se extiende sobre cada una de las ramas y la ltima frmula se puede generalizar como:

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Mecnica de materiales Seccin cerrada simple de pared delgadaEn este caso el flujo de tensiones es aproximadamente constante a lo largo del espesor de la pared que conforma la seccin. LlamandoAal rea encerrada por la curva media que define la seccin y a su permetro; el mdulo de torsin viene dado por la frmula de Bredt: Si la seccin est formada por una curva simple cerrada ms algunas ramificaciones que no constituyen curvas cerradas, el mdulo de torsin puede obtenerse sumando la contribucin de la curva que encierra un rea y las ramas:

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Mecnica de materiales Seccin cerrada compuesta de pared delgadaEste caso es ms complicado que el anterior y la frmula viene dada por una generalizacin de la frmula de Bredt. Si la seccin encierra como mximo un reaA, formada pornsubreas o paneles que encierran cada uno un reaAi[siendo el caso obviamente queA=A1+ ... +An] y adems existenmramificaciones como en el caso anterior el mdulo de torsin viene dado por: Donde los coeficienes que aparecen en la frmula anterior son los coeficientes de la matriz

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Mecnica de materiales Frmula de Saint-Venant para secciones macizasPara piezas de gran inercia torsional, latorsines de tipo de Saint-Venant pura o dominante. Adems debido a que el mdulo de torsin debe ser independiente del sistema de ejes elegido, puede construirse como una funcin de los invariantes algebraicos que se pueden formar a partir del rea y losmomentos de reade la seccin transversal de la pieza. En 1855 Saint-Venant propuso una frmula que cumpla ese requerimiento y que da buenos resultados para la mayora de secciones macizas: Donde el valor de kse toma frecuentemente entre 35 y 40, la nica restriccin que se impone normalmente al uso de esta frmula es que la seccin transversal sea convexa.

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Mecnica de materiales Torsin general: Dominios de torsinEn el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una seccin no es constante y no coincide tampoco con la funcin dealabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo laesbeltez torsionalcomo: DondeG, Eson respectivamente elmdulo de elasticidad transversaly elmdulo elasticidad longitudinal,J, Ison elmdulo torsionaly elmomento de alabeoyL, es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsin general dentro de lmites donde resulten adecuadas las teoras aproximadas.

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Mecnica de materiales De acuerdo con Kollbruner y Basler Torsin de Saint-Venant pura, cuando . Torsin de Saint-Venant dominante, cuando . Torsin alabeada mixta, cuando . Torsin alabeada dominante, cuando . Torsin alabeada pura, cuando . El clculo exacto de la torsin en el caso general puede llevarse a cabo mediantemtodos variacionaleso usando unlagrangianobasado en laenerga de deformacin. El caso de la torsin alabeada mixta slo puede ser tratado la teora general de torsin. En cambio la torsin de Saint-Venant y la torsin alabeada puras admiten algunas simplifaciones tiles.

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Mecnica de materiales Diremos que una seccin en la que slo acta el momento torsor est sometida atorsin puracuando el resto de los esfuerzos son nulos. Si actan adems algunos de los restantes esfuerzos, diremos que la pieza est sometida atorsin compuesta. La torsin pura, dependiendo de la forma de la seccin y de la vinculacin de la pieza a la que pertenezca, puede ser de tres tipos:Torsin uniforme o de Saint-Venant, que nicamente provoca en la seccin tensiones tangenciales.Torsin de alabeo, que provoca tensiones tangenciales y normales.Torsin mixta, mezcla de los dos tipos anteriores.

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