Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
-
Upload
putu-roby-adhitya-sapanca -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
Transcript of Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
1/14
MODUL PERKULIAHAN
STATISTIKA & PROBABILITAS
POKOK BAHASAN :
Distribusi Sampling
Teri Limit Pusat
FakultasProgramStudi
TatapMuka
KodeMK
DisusunOleh
FTPD Teknik Sipil 05 11006 Sediyanto,ST,MM
Abstrat Kompetensi
Distribusi Sampling dan Teori Limit
Pusat. Teori limit pusat merupakanteori yang sangat penting dalamstatistika inferensial karena denganteori ini memungkinkan untukmemprediksi parameter populasidari sampel tanpa harus mengetahuibentuk distribusi populasi
Mahasiswa mampu menjelaskan
pengertian sampling random danteori limit pusat
!01" 1
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
2/14
Pendahuluan
Distribusi sampling adalah distribusi dari mean"mean yang diambil se!ara berulang kali
dari suatu populasi. #ila pada suatu populasi tak terhingga dilakukan pengambilan sampel
se!ara a!ak berulang"ulang hingga semua sampel yang mungkin dapat ditarik dari populasi
tersebut. Sampel yang diambil dari populasi terbatas dan sebelum dilakukan pengambilan
sampel berikutnya sampel unit dikembalikan kedalam populasi. Proses ini dilakukan berulang"
ulang dalam jumlah yang sangat banyak sehingga dihasilkan sampel
$%
sebanyak buah sampel
n%&$"n'%
#ila sampel"sampel yang dihasilkan dihitung rata"ratanya maka akan menghasilkan nilai rata"
rata yang berbeda hingga dapat disusun menjadi suatu distribusi yang disebut distribusi rata-
rata sampel . #ila dihitung de(iasi standarnya dinamakan de(iasi standar distribusi rata"rata
sampel atau kesalahan baku rata"rata (standard error rata-rata)
Distribusi sampling merupakan dasar atau langkah awal dalam statisti! inferensial
sebelum mempelajari teori estimasi, dan uji hipotesis. )ntuk memahami distribusi sampling ini
perlu kita ketahui suatu ketentuan yang dapat membedakan beberapa ukuran antara sampel
dan populasi
)kuran"ukuran untuk sampel dan populasi
$ilai &karakteristik' SampelStatistik
PopulasiParameter
Mean &rata"rata hitung' * +Standar de(iasi jumlah S )nit $ $
Misalkan suatu populasi yang mempunyai mean -+ dengan $ elemen dan standar de(iasi - . Dilakukan pengambilan sampel random yang besarnya &/,/01. /n',dihitung rata"rata / dan
simpangan baku s. Sampel yang diambil berulang kali ini akan menghasilkan berma!am"
ma!am nilai rata"rata. Dari sampel satu sampai sampel ke n didapatkan rata"rata hitung
*1.. *n0. Mean atau rata"rata dari sampel"sampel ini &*1.*n' kalau disusun akan membentuk
suatu distribusi. Distribusi dari nilai mean"mean sampel inilah yang di sebut sampling harga
mean.
!01" 2
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
3/14
P2P)L3S4*,*011..*nMean -+ Standar de(iasi -
Sampel Sampel 0 Sampel 5 Sampel n/i1../n /i11/n /i11./n /i11./n
* *0 *5 *n
Distribusi sampling
Sifat"sifat Distribusi Sampling
6entral Limit Theorem &teorema limit pusat', mendasari teori inferensial.
. Sampel random dengan n elemen diambil dari populasi normal mempunyai Mean -+ ,
7arian -0,maka distribusi sampling harga mean akan mempunyai mean sama dengan +
dan (arian atau standar de(iasi - 8n. Standar de(iasi distribusi sampling harga mean ini
dikenal sebagai 9Standar rror;0. #ila populasi berdistribusi normal maka distribusi sampling dari mean tersebut juga
berdistribusi normal.
* " +
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
4/14
kesalahan sampling &sampling error'. De(iasi standar distribusi rata"rata sampel disebut
kesalahan baku rata"rata.
?esalahan baku tidak hanya menggambarkan besarnya penyimpangan atau kesalahan yang
diakibatkankan pengambilan sampel, tetapi dapat pula digunakan untuk menggambarkan
ketepatan estimasi terhadap populasi. #ila kesalahan baku ke!il berarti penyebaran rata"ratasampel juga ke!il, maka estimasi terhadap parameter populasi akan lebih tepat dan sebaliknya,
bila nilai kesalahan baku besar berarti penyebarannya juga besar maka estmasi terhadap
parameter populasi menjadi kurang tepat.
Distribusi Rata-rata
Distribusi rata"rata diperoleh dengan pengambilan sampel yang dilakukan berulang hingga
semua kemungkinan sampel yang dapat diambil dari populasi tersebut terpenuhi. Selanjutnya,
rata"rata masing"masing sampel dihitung.*,*0,*5,1,..*k
$ilai rata"rata yang dihasilkan berbeda"beda sehingga dapat disusun menjadi distribusi
yang disebut distribusi rata"rata sampel. #ila dari rata"rata yang dihasilkan itu dihitung pula rata"
rata dan de(iasi standarnya maka akan dihasilkan rata"rata dari distribusi rata"rata &+0' dan
de(iasi standar distribusi rata"rata &0'
@ata"rata dari distribusi rata"rata sampel akan sama dengan rata"rata populasi dan
de(iasi standar distribusi rata"rata dinamakan kesalahan baku &standard error= SE) samadengan de(iasi standar populasi dibagi dengan akar n
+/ - + 1111111111111111111.persamaan 0
/ - 1111111111111111111.persamaan 5
8n
Pengambilan sampel dari populasi tak terhingga dibedakan berdasarkan bentuk distribusi
populasi, yaitu populasi yang berdistribusi normal dan populasi yang tidak berdistribusi normal
PENGAMB!AN SAMPE! PADA P"P#!AS DS$RB#S N"RMA!
Pengambilan sampel yang dilakukan berulang dari populasi yang berdistribusi normal memiliki
!iri sebagai berikut.
!01" 4
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
5/14
. ?esalahan baku &S' lebih ke!il dibandingkan dengan simpangan baku &de(iasi standar'
populasi nya0. Makin besar sampel makin ke!il kesalahan baku &S'
PENGAMB!AN SAMPE! PADA P"P#!AS $DAK BERDS$RB#S N"RMA!
)ntuk mengetahui bentuk distribusi sampel pada populasi tidak berdistribusi normal akan akan
menghasilkan rata"rata sampel yang sama dengan rata"rata populasi + - +, dan apabila
jumlah sampel ditambah sedikit saja maka akan menghasilkan distribusi rata"rata yang
mendekati distribusi normal.
$E"R !M$ P#SA$ (%EN$RA! !M$ $&E"REM)
Teori limit pusat adalah hubungan antara bentuk distribusi populasi dengan bentuk distribusisampling rata"rata. Aubungan tersebut sebagai berikut :
. @ata"rata dari distribusi rata"rata sampel sama dengan rata"rata populasi dan tidak
bergantung pada besarnya sampel dan bentuk distribusi populasi
+ -+
0. Dengan penambahan jumlah sampel maka distribusi rata"rata sampel maka distribusi rata"
rata sampel akan mendekati distribusi normal dan tidak bergantung pada bentuk distribusi
populasi
Teori limit pusat merupakan teori yang sangat penting dalam statistika inferensial karena
dengan teori ini memungkinkan untuk memprediksi parameter populasi dari sampel tanpa harus
mengetahui bentuk distribusi populasi. Dari teori ini diketahui bahwa untuk pendekatan ke
distribusi normal, distribusi rata"rata sampel tidak membutuhkan sampel yang besar.
DS$RB#S PR"P"RS
!01" 5
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
6/14
Distribusi proporsi sampel tidak berbeda dengan distribusi rata"rata. 2leh karena itu, semua
ketentuan yang berlaku untuk distribusi rata"rata sampel berlaku pula untuk distribusi proporsi.
#ila (ariabel * terdapat pada populasi $ maka proporsi (ariabel * terhadap populasi adalah
*$ - p. #ila dari populasi tersebut diambil sampel sebesar n maka akan terdapat (ariabel /
dan proporsi (ariabel tersebut adalah /n - p .
#ila pengambilan sampel dilakukan berulang dan masing"masing sampel dihitung proporsinya
maka akan diperoleh nilai proporsi yang berbeda"beda. $ilai"nilai tersebut dapat disusun
menjadi distribusi yang disebut disribusi proporsi . @ata"rata proporsi populasi sama dengan p
dan kesalahan baku proporsi sama dengan akar pB dibagi n.
+prop - p 1111111111111111111.persamaan C
prop - 8 pBn 1111111111111111111.persamaan
Persamaan diatas berlaku bila fraksi sampel x/n lebih kecil dari 5% atau bila populasi
tak terhingga dengan sampel yang relatif kecil dibandingkan populasi . #ila fraksi sampel lebih
besar dari 5% atau populasi terbatas maka rumus di atas harus dikalikan dengan faktor
perkalian seperti pada distribusi rata"rata hingga persamaan kesalahan baku proporsi menjadi
sebagai berikut.
prop - &8 pBn' / &8 $"nn"' 11111111.11.11.persamaan E
Semua persamaan diatas berlaku bila sampel lebih besar atau sama dengan 5F karena
dengan sampel sebesar itu terjadi pendekatan ke distribusi normal hingga semua ketentuan
untuk distribusi normal dapat digunakan. Gika sampel kurang dari 5F maka kur(a akan menjauhi
distribusi normal sehingga perlu dilakukan perhitungan nilai
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
7/14
Dari hasil pengamatan yang lalu diperkirakan terdapat I penduduk balita menderita giJi
kurang. Dari populasi itu diambil sampel sebanyak FF anak. Tentukan probabilitas dari FF
anak tersebut terdapat lebih dari 0F anak dengan giJi kurang.
p - F,
B - F,Kn - FF
/ - 0F
p - / - 0FFF - F,0
n
prop - 8 pBFF - 8 &F, / F,K'FF - F,F5E
&/n' " p
< - prop - &F,0F"F,'F,F5E - ,5
Dari distribusi normal standar diperoleh nilai F,CHH. Probabilitas untuk mendapatkan lebih dari
0F anak menderita giJi kurang adalah F, F,CHH - F,FK05.
)raian untuk distribusi proporsi sejalan dengan untuk distribusi rata"rata. Misalkan
populasi diketahui berukuran $ yang didalamnya didapat peristiwa 3 sebanyak N diantara $.
Maka didapat parameter proporsi peristiwa 3 sebesar + - &N$'. Dari populasi ini diambil
sampel a!ak berukuran n dan dimisalkan didalamnya ada peristiwa 3 sebanyak /. Sampel inimemberikan statistik proporsi peristiwa 3 - /n. Gika semua sampel yang mungkin diambil dari
populasi itu maka didapat sekumpulan harga"harga statistik proporsi. Dari kumpulan ini kita
dapat menghitung rata"ratanya, diberi symbol /n.
)ntuk itu ternyata bahwa, jika ukuran populasi ke!il dibandingkan dengan ukuran
sampel, yakni &n$' O I, maka :
+/n - 1111111111111111111.persamaan K
&" ' $ " n /n - 8 8 111111persamaan
n $ "
!01" 7
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
8/14
dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni &n$' Q I maka :
+/n -
&" '
/n - 8 11111111111.111.persamaan F n
/n dinamakan kekeliruan baku proporsi atau galat baku proporsi .
)ntuk ukuran sampel n !ukup besar, berlaku : Gika dari populasi yang berdistribusi binom
dengan parameter untuk peristiwa 3, F Q Q , diambil sampel a!ak berukuran n dimana
statistik proporsi untuk peristiwa 3 - &/n', maka untuk n !ukup besar, distribusi proporsi &/n'
mendekati distribusi normal dengan parameter sepeti dalam persamaan jika &n$' O I, dan
seperti dalam persamaan F' jika &n$' Q I.
Seperti dalam distribusi rata"rata, disinipun akan digunakan n O 5F untuk memulai
berlakunya sifat diatas. )ntuk perhitungan, daftar distribusi normal baku dapat digunakan dan
untuk itu diperlukan transformasi :
/n "
J - 1111111111111..persamaan
/n
Gika perbedaan antara proporsi sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan tidak
lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku :
/n Q d 1111111111111...persamaan 0
?arena /n mengandung faktor dengan - parameter populasi, maka persamaan 0berlaku jika parameter sudah diketahui besarnya. Gika tidak, dapat ditempuh cara konseratif
dengan mengambil harga kekeliruan baku atau galat baku yang terbesar, yakni & ' - R.
!01" 8
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
9/14
6ontoh :
3da petunjuk kuat bahwa FI anggota masyarakat tergolong kedalam golongan 3. Sebuah
sampel a!ak terdiri atas FF orang telah diambil.
a. Tentukan peluangnya bahwa dari FF orang itu akan ada paling sedikit orang darigolongan 3.
b. #erapa orang harus diselidiki agar persentase golongan 3 dari sampel yang satu dengan
yang lainnya diharapkan berbeda paling besar dengan 0I
Penyelesaian :
Populasi yang dihadapi berukuran !ukup besar dengan - F,F dan - F,F.
a. )ntuk ukuran sampel FF, diantaranya paling sedikit tergolong kategori 3, maka paling
sedikit /n - F,.?ekeliruan bakunya adalah :
& '
/n - 8
n
F,F / F,F
- 8 FF
- F,F5.
F, F,F
#ilangan J paling sedikit - - ,EH.
F,F5
Dari daftar normal baku, luasnya - F, F,C0 - F,FCH.
Peluang dalam sampel itu akan ada paling sedikit kategori 3 adalah F,FCH.
!01" 9
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
10/14
b. Dari persamaan F dengan - F, dan - F, sedangkan d - F,F0, maka :
F, / F,
8 n Q F,F0 , sehingga n O 00
Paling sedikit sampel harus berukuran 00.
DS$RB#S SMPANGAN BAK#
Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran $. Diambil sampel"sampel a!ak
berukuran n, lalu untuk tiap sampel dihitung simpangan bakunya, yaitu s. Dari kumpulan inisekarang dapat dihitung rata"ratanya, diberi simbul +s dan simpangan bakunya, diberi simbul s.
Gika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka distribusi simpangan baku, untuk n
besar, biasanya n O FF, sangat mendekati distribusi normal dengan :
+s - 11111111111111.persamaan 5
s - 11111111111111.persamaan C
8 0n
dengan - simpangan baku populasi.
Transformasi yang diperlukan untuk membuat distribusi menjadi normal baku adalah :
J - s "
s
6ontoh :7arians sebuah populasi yang berdistribusi normal E,0 diambil sampel berukuran 00.
Tentukan peluang sampel tersebut akan mempunyai simpangan baku lebih dari 5,.
Gawab :
!01" 10
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
11/14
7arians E,0 berarti - 8E.0 - 0,. )kuran sampel !ukup besar, maka distribusi simpangan
baku mendekati distribusi normal dengan rata"rata +s - 0, dan simpangan baku
0,
Persamaan C s - - F,K. 8 CF
Transformasi bilangan J untuk s - 5, adalah
5, 0,
J - - K,CH.
F,K
Praktis tidak mungkin terjadi sampel berukuran 00 dengan simpangan baku lebih dari 5,.
DS$RB#S MEDAN
Gika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka untuk sampel a!ak berukuran n O
5F, distribusi median Me akan mendekati distribusi normal dengan rata"rata +Me dan simpangan
baku Me.
+Me - + 111111111111111.persamaan
,055
Me - 111111111111111.persamaan E 8n
DS$RB#S SE!S& RA$A-RA$A
#ila kita mempunyai dua populasi sebesar dengan standart de(iasi ₁ dan ₂. Dari
kedua populasi tersebut diambil sampel se!ara independen masing"masing n₁ dan n₂ yang
dilakukan berulang"ulang.
Dari kedua populasi tersebut akan diukur !iri"!iri tertentu yang sama misalnya rata"rata + ₁ dan
+₂ . pengukuran dilakukan melalui sampel"sampel yang dihasilkan yaitu ₁ dan ₂. @ata rata
sampel yang diambil dari populasi pertama dan kedua masing"masing disusun menjadi
!01" 11
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
12/14
distribusi rata"rata dan standar de(iasinya. ?emudian rata"rata tersebut dihitung selisihnya
maka akan diperoleh selisih rata"rata dengan rumus sbb:
+ " ₂ U - +₁ " +₂ 111111111111111.persamaan H
" ₂ U -8& V '111111111111111.persamaan K
#ila jumlah sampel !ukup besar maka distribusi sampel akan mendekati distribusi normal
< - 1111111111111.persamaan
6ontoh :
@ata"rata tinggi mahasiswa laki"laki E5 !m simpangan bakunya .0 !m, sedangkan tinggi
mahasiswa perempuan rata"rata 0 !m dan simpangan bakunya C. !m. dari kedua klpk
diambil sampel a!ak se!ara independen berukuran sama sejumlah CF orang. #erapa peluang
rata"rata tinggi mahasiswa laki"laki paling sedikit F !m lebihnya dari rata"rata tinggi mahasiswa
perempuan.
Penyelesaian
Ditanya peluang paling sedikit F !m
+₁-+/₁-E5 !m +₂-+/₂-0 !m ₁-/₁- .0 !m ₂-/₂-C. !m
n₁- n₂ -CF maka + ₁" ₂ - &E5"0'!m - !m
₁" ₂ - &.0 / .0' V &C. / C.' - F.EFK5 !m
< - F - ".EE
F.EFK5
Luas daerah normal baku - F. V F.C - F. Peluang - F..
DS$RB#S SE!S& PR"P"RS
!01" 12
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
13/14
Distribusi selisih proporsi sejalan dengan distribusi selisih rata"rata. #ila besar dua populasi $₁
dan $₂ yang berdistribusi binominal memliki e(ent yang sama *₁ dan *₂ maka proporsi e(ent
tersebu adalah *₁$₁ - P₁ dan *₂$₂ - P₂
Pada kedua populasi diambil sampel se!ara independent, n₁ dan n₂ yang masing"masing
terdapat e(ent /₁ dan /₂ sehingga diperoleh proporsi /₁n₁ - ₁ dan /₂n₂ - ₂. Selisih kedua
proporsi adalah p₁ " p₂.
#ila pengambilan sampel dilakukan berulang maka akan dihasilkan sekumpulan proporsi
sampel dari kedua populasi yang hasilnya berbeda sehingga masing"masing dapat disusun
menjadi distribusi sampel proporsi. #ila dihitung selisih masing"masing proporsi maka akan
dihasilkan distribusi selisih proporsi. Dari distribusi selisih proporsi dapat dihitung rata"rata danstandar de(iasinya sbb:
- p₁ " p₂ 11111111111111.persamaan 0F
- 8&p₁B₁ n₁' &p₂B₂ n₂' 111111...persamaan 0
#ila besarnya sampel yang diambil dari kedua populasi sama atau lebih besar dari 5F maka
distribusi binominal akan mendekati distribusi normal sehingga digunakan rumus :
-
8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat
14/14
- 8&F.F / F.'FF V &F.FC / F.'FF
- F.F5
< - &F.FH"F.FF'F.F5 - F.FH
Probabilitas perbedaan antara daerah 3 dan # paling banyak F.HI - F. V F.F0H - F.0H.
Daftar Pustaka . Pro f. Dr. 3gus 4 rian to , , 9Stat is ti k : ?onsep Dasar dan 3p li kasinya; ,
Gakarta, ?en!ana, 0FFE0 . Dr. 4 r. Aar inaldi , M.ng , 9Pr insip"Pr insip S ta ti st ik untuk Teknik dan
Sains;,Gakarta, rlangga, 0FF.5. Prof. Dr. Sudjana, M3.,MS!., ;Metoda Statist ika;, #andung, Tarsito, 0FFHC. Sudaryono, M.Pd., 9Stat istika Probabil i tas WTeoriX3pl ikasiY ; , Nogyakarta,
3ndi, 0F0.
!01" 14
Statistik # Probabilitas
Pusat $ahan A%ar dan e&earning
Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id