Mcanique des milieux continus

Sance 2 : Cinmatique

Guilhem MOLLON

GEO3 2012-2013

Plan de la sance

A. Dfinitions

B. Points de vue de Lagrange et lEuler

1. Point de vue de Lagrange 2. Point de vue dEuler 3. Relations entre les deux approches

C. Drive particulaire

1. Applique un champ scalaire 2. Autres applications

D. Cinmatiques particulires

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A. Dfinitions

Sance 2

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A. Dfinitions

Cinmatique :

Description mathmatique du mouvement : GEOMETRIE + TEMPS = CINEMATIQUE On va donc sintresser un milieu soumis un mouvement au cours du temps. Systme matriel :

Ensemble de particules matrielles qui constitue lobjet de ltude. Particule matrielle :

Une particule matrielle est une petite rgion de lespace compose de matire. Il ne faut pas la confondre avec la particule lmentaire, que lon rencontre en physique fondamentale. Une particule matrielle est reprsente mathmatiquement par un point. Pourtant, elle na ni un volume nul, ni une masse nulle. La particule matrielle (ou point matriel) est donc le volume infinitsimal de

matire situe autour dun point donn.

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A. Dfinitions

Domaine matriel :

Un domaine matriel est une partie dun systme matriel qui peut se dplacer, mais qui contient toujours exactement les mmes particules matrielles.

A travers la frontire dun domaine matriel, aucune matire ne rentre et aucune matire ne sort au cours du mouvement.

Par consquent, un domaine matriel est dfini par une frontire ferme qui suit les particules lors de leur dplacement tout instant. Domaine fixe :

Un domaine fixe est le contraire dun domaine matriel : il ne suit pas les particules dans leur mouvement, et reste toujours immobile.

A travers la frontire dun domaine fixe, il est tout fait possible que de la

matire rentre ou sorte au cours de son mouvement.

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A. Dfinitions

Domaine matriel :

Domaine fixe :

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A. Dfinitions

Domaine matriel :

Domaine fixe :

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A. Dfinitions

Rfrentiel :

Un rfrentiel est un observateur du mouvement. La plupart du temps on se placera dans un rfrentiel galilen, dfini comme celui

dans lequel le principe fondamental de la dynamique est vrifi. Le rfrentiel terrestre sera suppos galilen, mme si, en ralit, il ne lest

pas compltement.

Tout rfrentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport au rfrentiel terrestre sera donc galement considr galilen.

Tout mouvement est dfini par rapport un rfrentiel. Un changement de

rfrentiel modifie de manire drastique la description dun mouvement.

B. Points de vue de Lagrange et dEuler

Sance 2

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 1. Point de vue de Lagrange

Deux descriptions diffrentes dun mouvement coexistent, chacune ayant ses avantages et ses inconvnients. On appelle ces points de vue les descriptions Lagrangienne et Eulrienne

du mouvement. La premire est plus adapte la mcanique du solide et la deuxime est plus adapte la mcanique des fluides, mais ce nest pas fig. On va sintresser au mouvement dun point M, qui se dplace au cours du temps dans un repre de lespace not :

Joseph-Louis Lagrange

1736-1813

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 1. Point de vue de Lagrange

La description de Lagrange consiste suivre une particule matrielle (identifie par un point M) au cours de son mouvement, partir de sa position dorigine.

Cette description suppose donc quil y a un tat du systme que lon suppose parfaitement connu, et que lon nommera tat initial ou tat de rfrence. On suppose que cet tat correspond au temps . La position dorigine du point M est dfinie par son vecteur position (en majuscule). La position du point M (et de la particule associe) un instant est dfinie par son vecteur position (en minuscule). La position dorigine joue le rle dtiquette pour la particule associe au point M. Il permet de lidentifier sans quivoque. La position de M un instant quelconque peut donc scrire :

Ce qui se traduit par : position linstant de la particule qui tait en .

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 1. Point de vue de Lagrange

La description de Lagrange travaille donc sur la notion de trajectoire.

La trajectoire de M est la ligne qui contient lensemble des positions du point matriel M au cours du temps. Trs souvent, on oublie mme de mentionner le temps t, et on cherche simplement comparer un tat initial et un tat final. Dans notre exemple, on a : Etat initial : Etat final :

Dans ce cas, le point de vue de Lagrange cherche comparer et .

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 1. Point de vue de Lagrange

La description de Lagrange travaille donc sur la notion de trajectoire.

La trajectoire de M est la ligne qui contient lensemble des positions du point matriel M au cours du temps. Trs souvent, on oublie mme de mentionner le temps t, et on cherche simplement comparer un tat initial et un tat final. Dans notre exemple, on a : Etat initial : Etat final :

Dans ce cas, le point de vue de Lagrange cherche comparer et .

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 1. Point de vue de Lagrange

La description de Lagrange travaille donc sur la notion de trajectoire.

La trajectoire de M est la ligne qui contient lensemble des positions du point matriel M au cours du temps. Trs souvent, on oublie mme de mentionner le temps t, et on cherche simplement comparer un tat initial et un tat final. Dans notre exemple, on a : Etat initial : Etat final :

Dans ce cas, le point de vue de Lagrange cherche comparer et .

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 1. Point de vue de Lagrange

La description de Lagrange permet de dfinir de manire rigoureuse les notions de vitesse et dacclration dune particule. La vitesse est la drivation temporelle du vecteur position dune particule identifie par sa position initiale : Lacclration est la drivation temporelle du vecteur vitesse dune particule identifie par sa position initiale : Le symbole reprsente la drivation par rapport au temps pour fix.

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 2. Point de vue dEuler

La description dEuler est radicalement diffrente de celle de Lagrange. On ne considre plus dinstant initial, et on nessaie mme plus de suivre une particule dans son mouvement. Cette description est bien adapte la cinmatique dun fluide, pour lequel il est difficile de dfinir un instant initial pour lequel les positions de toutes les particules seraient connues

Leonard Euler

1707-1783

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 2. Point de vue dEuler

Dans la description dEuler, on ne sintresse plus un point M reprsentant une particule au cours de son mouvement, mais on sintresse un point M fixe, dont les coordonnes sont indiques par le vecteur position . La description du mouvement du milieu seffectue par lintermdiaire du vecteur vitesse : Cette vitesse est en fait la vitesse (au sens lagrangien) de la particule qui occupe la position

linstant t.

Il nest donc nulle part fait mention Dune coordonnes initiale .

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 2. Point de vue dEuler

Dans la description dEuler, on ne sintresse plus un point M reprsentant une particule au cours de son mouvement, mais on sintresse un point M fixe, dont les coordonnes sont indiques par le vecteur position . La description du mouvement du milieu seffectue par lintermdiaire du vecteur vitesse : Cette vitesse est en fait la vitesse (au sens lagrangien) de la particule qui occupe la position

linstant t.

Il nest donc nulle part fait mention Dune coordonnes initiale .

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 2. Point de vue dEuler

Dans la description dEuler, on ne sintresse plus un point M reprsentant une particule au cours de son mouvement, mais on sintresse un point M fixe, dont les coordonnes sont indiques par le vecteur position . La description du mouvement du milieu seffectue par lintermdiaire du vecteur vitesse : Cette vitesse est en fait la vitesse (au sens lagrangien) de la particule qui occupe la position

linstant t.

Il nest donc nulle part fait mention Dune coordonnes initiale .

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 3. Relations Lagrange-Euler

On peut rcapituler en disant que : -Les variables de Lagrange sont les coordonnes initiales , , et dune particule et linstant t. -Les inconnues de Lagrange sont les coordonnes actuelles , , et de cette mme

particule. -> On travaille avec une particule donne, de position variable. -Les variables dEuler sont les coordonnes spatiales , , et , et linstant t. -Les inconnues dEuler sont les composantes du vecteur vitesse , , et . -> On travaille en un point constant, qui nest jamais occup par la mme particule

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B. Points de vue de Lagrange et dEuler 3. Relations Lagrange-Euler

On peut basculer dune reprsentation lautre laide des deux expressions suivantes : La premire nonce que la position dune particule linstant est sa position initiale. La seconde nonce que la vitesse en un point et un instant donns est gale la drive temporelle du vecteur position de la particule qui passe en ce point cet instant prcis.

C. Drive particulaire

Sance 2

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C. Drive particulaire 1. Applique un champ scalaire

La notion de drive particulaire, aussi appele drive matrielle, est un outil mathmatique propre la MMC. Supposons un champ scalaire qui reprsente une grandeur physique : La drive matrielle exprime la variation de cette grandeur lorsque lon suit une particule dans son mouvement.

On note cette drive : On peut donc dire que la drive particulaire est une drive temporelle constant.

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C. Drive particulaire 1. Applique un champ scalaire

En description lagrangienne, la drive particulaire est une notion immdiate puisquelle suit une particule dans son mouvement : On rappelle que la coordonne initiale joue ici le rle de carte didentit dune particule. En eulrien cest plus compliqu, car cette position initiale est inconnue. En revanche, on sait trs bien calculer une drive partielle en un point fixe : Sans dmonstration, on donne les formules suivantes (qui sont quivalentes) :

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C. Drive particulaire 1. Applique un champ scalaire

On va sattarder un peu sur cette formule : Elle est valable en un point donn, dfini par son vecteur position , et un instant t. est la variation temporelle de pour la particule qui passe ce point cet instant. est la variation temporelle de , en ce point fixe et cet instant prcis. -> Cest le terme instationnaire, qui dcrit la variation de en un point donn est li la vitesse de la particule et au gradient de . -> Cest le terme convectif, qui dcrit la variation de due au mouvement.

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C. Drive particulaire 2. Autres applications

La drive particulaire peut aussi tre applique un champ vectoriel : On peut donc redfinir de manire prcise les notions de vitesse et dacclration : La vitesse est la variation temporelle du vecteur position dune particule suivie dans son mouvement, et lacclration est la variation de la vitesse dune particule suivie dans son mouvement. On en dduit en particulier :

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C. Drive particulaire 2. Autres applications

On peut suivre une particule dans son mouvement, mais il est souvent intressant de suivre un domaine matriel dans son mouvement. Si on suit un domaine infinitsimal de volume , on peut crire : Ceci permet de donner un sens physique loprateur divergence. La divergence du champ de vitesse est gale au taux de dilatation volumique dun domaine matriel infinitsimal. Enfin, on peut appliquer la drive matrielle une intgrale de volume sur un domaine matriel suivi dans son mouvement : Sans dmonstration, on donne : On retrouve dans cette expression un terme instationnaire et un terme convectif.

D. Cinmatiques particulires

Sance 2

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C. Cinmatiques particulires

Trs souvent, lapplication de la MMC des mouvements rels se fera par lintermdiaire de simplifications, qui reposent sur des hypothses cinmatiques particulires. Le mouvement permanent est par exemple trs utilis en mcanique des fluides :

Un mouvement est dit permanent (ou stationnaire) si toutes les grandeurs qui le caractrisent sont indpendantes du temps en description eulrienne.

Tous les champs scalaires, vectoriels et tensoriels vrifient alors : Toute grandeur en un point donn est constante. En revanche, les drives matrielles nont pas de raison dtre nulles, puisque les particules se dplacent. Simplement, la drive particulaire est purement convective, et on a :

Un mouvement nest permanent que par rapport un rfrentiel donn

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C. Cinmatiques particulires

Le mouvement isochore est une classe de mouvement pour laquelle le volume de tout domaine matriel reste constant.

Dans ce cas, le milieu est qualifi dincompressible, et on a : Le volume dun domaine matriel est la somme des volumes lmentaires quil contient : On a donc pour un mouvement isochore : Avec les rsultats noncs dans la section prcdente, on obtient : Un mouvement isochore (milieu incompressible) est donc un mouvement pour lequel la divergence de la vitesse est nulle en tout point et tout instant.

Aucun matriau nest rellement incompressible, mais cette hypothse

fonctionne trs bien sous certaines conditions.

Exemples : leau liquide, largile en comportement non-drain, le caoutchouc

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C. Cinmatiques particulires

Le mouvement plan est une simplification courante de la MMC, qui permet de passer de

trois deux dimensions despace. Un mouvement sera plan si tous les vecteurs vitesses sont parallles un plan donn, et si ils sont invariants par translation perpendiculaire ce plan. Si on choisit une base , alors un mouvement plan sera caractris par : Dans ce cas, le mouvement est plan par rapport . La plupart du temps, ces simplifications ne seront pas suffisantes pour rendre un problme abordable. On peut avoir un mouvement plan, permanent et isochore, et ne pas tre

capable de rsoudre le problme analytiquement.