LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN

MATEMÁTICA Y COMPUTACIONALPOSGRADOS DE

CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE

CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN

UNAMAUTOR:

ISMAEL HERRERA REVILLA1

Basado en el Libro ‘‘Mathematical Modeling in Science and Engineering:

An Axiomatic Approach’’Por

Ismael Herrera y George F. Pinder

2

3

John Wiley 2012

CAPÍTULO 8

4

RECUPERACIÓN MEJORADA

DEL

PETRÓLEO

BIBLIOGRAFÍA

5

1. Herrera I. & G.F. Pinder, "Mathematical Modeling in Scienceand Engineering: An Axiomatic Approach", John Wiley andSons, Inc., Hoboken, New Jersey, pp.243, 2012.2. Herrera, I. & Herrera G. “Unified Formulation on EnhancedOil-Recovery Methods”, Geofísica Internacional 50 (1) pp., 85-98 2011.3. Chen, Z., G.Huan & Y. Ma, "Computational Methods forMultiphase Flows in Porous Media", SIAM, Society for Industrialand Applied Mathematics, Philadelphia, pp.521, 2006.4. Green, D.W. & G.P. Willhite, "Enhanced Oil Recovery", SPETEXTBOOK SERIES, Vol. 6, Richardson, TX USA, pp.545,1998.5. Lake, L.W., "Enhanced Oil Recovery", Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliff, New Jersey, pp.550, 1989.

6

A.

PERSPECTIVA GENERALREPASO

7

LOS PROCESOS DE LA

PRODUCCIÓN DEL

PETRÓLEO

8

¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?

Está constituido de un material sólido y poroso(la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidosque generalmente se separan en tres fases: agua,aceite y gas. Inicialmente en la fase agua sólohay H2O, pero tanto en la fase de aceite como enla fase de gas hay muchos hidrocarburos dedistinta composición. En algunas técnicas EORocurren más de tres fases; por ejemplo, espuma.También, algunas componentes pueden sersolubles en la fase agua.

9

¿CÓMO SE REALIZA LA EXPLOTACIÓN?

• PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a través de pozos utilizando su presión original

• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Es la segunda etapa de la explotación, y usualmente se implementaba cuando la producción primaria declinaba

• RECUPERACIÓN MEJORADA: Anteriormente se le llamó ‘recuperación terciaria’, pero en actualidad los términos Recuperación Mejorada son más aceptados

10

¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?

• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases

• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: En actualidad estos términos son usados casi exclusivamente para la inyección de agua. Al caer la presión, parte del petróleo pasa a ser gas y se tienen cuando menos dos fases (aceite y gas) y frecuentemente tres fases (agua, aceite y gas)

• RECUPERACIÓN MEJORADA: Control de la movilidad (agua con polímero), químicos (para reducir la tensión superficial), miscibles, térmicos (agua caliente, vapor y combustión in-situ) y otros (ej., microbianos)

11

¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN DE ESTOS PROCESOS?

• Cómo se debe desarrollar y producir el yacimiento para aumentar su rendimiento

• Cual es la estrategia de producción mejorada más adecuada y cómo debe implementarse

• Cuando el comportamiento observado se desvía del esperado, cómo corregirlo

• Cuál será su vida útil y su rendimiento total • Valioso auxiliar en la administración o manejo

de los pozos

12

B.FORMULACIÓN AXIOMÁTICA

DE LOS

MODELOS MATEMÁTICOS DE LA

RECUPERACIÓN MEJORADA

13

MODELOS

• De una fase • De dos fases• De petróleo negro • Composicional • Térmicos • Con interacción química • En medios fracturados

14

DESARROLLO SISTEMÁTICO DE LOS MODELOS

• Modelo conceptual • Modelo matemático • Modelo numérico • Modelo computacional • Validación

15

B.1

FLUJO MONOFÁSICO

(FLUJO DE UNA FASE)

Chen et al. pp.10-22

16

17

FLUJO DE UNA FASE

EN UN

MEDIO POROSO(Ya se estudió)

18

,

1,...,

: 1,..., 1,...,

El modelo matemático básico de los sistemas

multifásicos

gt

N Número de propiedades extensivas M Número de fases

N M

Fase asociada a la propiedad

v

REPASO

Sólo hay una fase y una propiedad

extensiva, lo que corresponde a N=M=1

en el modelo general. Supondremos que

la única propiedad extensiva es la masa

de aceite.

19

20

El modelo matemático básico de los sistemas

de una fase y una componente

gt

v

LA PROPIEDAD INTENSIVA

21

lim

FAMILIA DE UNA PROPIEDAD EXTENSIVA

SU EXPRESIÓN ES:

, , ,

B t B t

B t

E

E t x t d x = x t x t d x

d x

V B

E

V=0

22

Velocidad de Darcy

El modelo matemático básico del flujo de una fase en un medio poroso

gt

u

u gt

v

v

Comparación con Chen

23

0

CONCLUSIÓNNuestra ecuación es más general que la de Chen.La Ec.2.2, p12 de Chen desprecia los flujos difusivos,l

La ecuación

u gt

cuando y q g se puede escribir

u qt

o cual haremos en lo que sigue.

Incorporación de la Ley de Darcy

24

Ley de Darcy

1

Consecuentemente, la ecuación de flujo monofásico es :

Aquí, el tensor de . En algunos casos se puede diagonalizar

u k p z

k qp zt

k permeabilidad absolutak

y, cuando el medio es isotrópico, .

k k

Incorporación de la Compresibilidad

25

En procesos isotérmicos, tanto como son funciones de la presión exclusivamente, por lo que

Consecuentemente :

Ésta es una ecuac

t t t

p k qp ztt t

ión para la presión, porque los téminos de compresibilidad están determinados por la naturaleza dela matriz porosa y el fluido. Hay diversas formas de aproximar los téminos de compresibilidad. Un caso en quela compresibilidad es muy importante es cuando el fluido es gas (ver [3]).

Condiciones de Frontera

26

Los es decir capaces de predecirel comportamiento, incluyen

; en el caso que se considera, para la presión. Las condiciones iniciales son la distri

modelos completoscondiciones de frontera

e iniciales

,

bución inicial dela presión. En la frontera se puede prescrbir :LA PRESIÓN en

EL FLUJO DE MASA en

UNA CONDICIÓN MIXTA

p p

u n g

en .

p u n f

27

B.2

MODELO COMPOSICIONAL

Chen et al.

pp.35-37 y CAP.9 pp.347-380

28

CARACTERÍSTICAS GENERALES

• Tiene tres fases: agua, aceite y gas; • Tanto en la fase aceite como en la de gas hay

NC componentes • El sistema está en equilibrio termodinámico

estable; y • Entre las fases de aceite y gas hay intercambio

de masa • Se desprecia la difusión y la dispersión

29

FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVAS

• La masa del agua• Las masas de NC componentes en la

fase aceite • Las masas de NC componentes en la

fase gas

30

,

,

,

ww ww w

ioo ioio io

igg igig ig

gt

gt

gt

v

v

v

MODELO MATEMÁTICO BÁSICO

31

IDENTIFICAMOS LAS PROPIEDADES EXTENSIVAS E INTENSIVAS

,w

o

g

ww wB t

ioo io CB t

igg igB t

M t S dx

M t S dx i = 1,...,N

M t S dx

32

FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS

,

ww w

ioo io C

igg ig

S

S i = 1,...,N

S

33

, ,

,

w w ww ww w

o io ioo ioo io

g igg ig igg ig

S S gt

S S gt

SS g

t

v

v

v

MODELO MATEMÁTICO BÁSICO

34

Falta identificar fuentes y flujos difusivos

35

FUENTES Y FLUJOS DIFUSIVOS

, 0,

, , 0

, , 0

0

ww we

ioio io ioe ig

igig ig ige io

io igig io

x tg x t g

g x t g g x t

g x t g g x t

g g

36

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

,

1 0

w ww ww w

o io ioo ioo io e ig

gg ig ig igg ig e io C

ig iow o g io ig

S S gt

S S g gt

SS g g i = 1,...,N

t S S S g g

v

v

v

37

EL MODELO COMPOSICIONAL EN OTRA FORMA

,

1

w ww ww w

o io g ig o go io g ig

io ige e C

w o g

S S gt

S SS S

tg g i = 1,...,N

S S S

v

v v

Incorporación de la Velocidad de Darcy

38

,

, =

1

w ww ww w

o io g ig o gio ig

io ige e C

w o g

S S u gt

S Su u

tg g i = 1,...,N

u S w, o, g

S S S

v

39

DENSIDAD MOLAR, DENSIDAD MOLAR DE UNA FASE Y FRACCIÓN MOLAR

1

,

C

w w w

io io i C

ig ig i

Ni

i ii

WW i = 1,...,NW

and

- densidad molar de la componente en la fase - peso molecular de la componente - densidad molar de la fase - fracción molar de la componente en la fase

i

i

i

iW i

i

40

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE

,

0

1

www w e

w ww

o io ioio o ioio e ig i o

Cgig g ig ig

ig e io i g

ig ioio ig

w o g

S g qWtS g g W q i = 1,...,NtS

g g W qt

g g

S S S

u

u

u

41

EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE MOLAR

1

ww ww w

io o o ig g gC

o gio o ig g io o ig g

w o g

S qt

S S, i = 1,...,N

tq q

S S S

Aquí q q

u

u u

Ley de Darcy e Identidades

42

1

Ley de Darcy para flujo multifásico

; = , ,

. , , ...,La viscosidad se puede calcularcomo función de la presión, temperatura y composición [3]. Además,

c

r

ku k p z w o g

p T

1 1 = 1 y 1

1 = y =

c cN N

io igi i

w o g

cow o w cgo g o

S S Sp p p p p p

43

UNA ECUACIÓN CONSTITUTIVA BÁSICA

DETERMINA INTERCAMBIO ENTRE LAS FASES

La condición de equilibrio termodinámico estable

1 1, ,..., , ,..., ,c cio o o N o ig g g N g

c

f p f p

i = 1,...,N

- fracción molar de la componente en la fase i i

44

RESUMEN MODELO COMPOSICIONAL

1 1

1

, ,..., , ,...,

,

1

C C

C

ww ww w

io o o ig g g

o gio o ig g io o ig g C

io o o N o ig g g N g

r

N

ioi

S qt

S St

q q , i = 1,...,Nf p f p

k p z = w,o,g

u

u u

u k

11

1

CN

igi

cow o w cgo g o

w o g

y

p p p y p p p

S S S

45

ECUACIONES CONSTITUTIVAS ECUACIONES DE ESTADO

Ecuaciones constitutivas :

Todas aquellas a través de las cuales se introduce la información científica y tecnológica acerca delsistema que se modela.

¿Cuales son? (Che, Cap. 3 y 9) Propiedades de la Roca

Propiedades de los Fluidos