Ml 13

Instance based learning

И. Куралёнок, Н. Поваров

Яндекс

СПб, 2013

И. Кураленок, Н. Поваров, Яндекс Санкт-Петербург, 2013 Стр. 1 из 26

Содержание

1 Принцип локальности2 k-ближайших соседей

kNNМетоды прототипирования

3 Лирическое отступление: проклятье размерности4 Адаптивные соседи5 Поиск k-ближайших соседей

kd-treeLocality-Sensitive Hashing


Принцип локальности(совсем не физика)Близкие точки похожи!

что значит близки?lq, косинусная мера, Mahalanobis distance,KL-divergence, более хитрые преобразования,Metric Learning etc.что значит похожи?близкие значения целевой функции, возможностипростой аппроксимации, схожее распределение,etc.что значит точки?точки из learn, центройды классов, прочиепрототипные точки.


Алгоритм k-NN

1 Вычислим значения факторов из интересующейнас точки.

2 Найдём k ближайших соседей по выбранной мереиз learn’а.

3 Аггрегируем значения искомой характеристикидля найденных точек (попробуем провестиотдельный семинар).


Параметры k-NN

Сколько точек выбрать?ничего лучше подбора по validate или crossfoldvalidation не придумалиКак искать соседей?см. вторую частьСпособ агрегации.голосовалка, усреднение, моделированиераспределения

Далее речь пойдет про мульти-классификацию на Kклассов.


Сколько точек выбрать I


Сколько точек выбрать II


Свойства k-NN

Очень часто работает!Простота реализации и наглядность.Ничего не требует на стадии обучения.Известная оценка сверху эффективности приотсутствии bias’а в learn’е.

BE = 1− p(x |k∗)E =

∑Ki=1 p(x |k)(1− p(x |k))

BE ≤ E ≤ 2BE

Часто требователен на фазе решения (!)


Основные способы прототипирования

Может много точек и не надо? Будет быстрееработать, глаже границы.Как выбрать прототипные точки:

выбрать рандомно;покластеризовать каждый класс(напримерk-means’ами) и назначить центроидыпрототипами;выбрать как-нибудь точки и подвигать ихподальше от границ классов.


Learning Vector Quantization

1 построить вашим любимым методом прототипныеточки;

2 до сходимости уменьшая ε (learning rate):1 Случайно, равномерно выберем точку x из learn’а с

возвращением2 Найдём ближайший прототип

прототип нужного класса: подвинем его ближеmt+1

j = mtj + ε(x −mt

j )"чужой"прототип: подвинем его подальше

mt+1j = mt

j − ε(x −mtj )


Проклятье размерностиЧто происходит с расстояниями когда размерностьувеличивается?Проведем простой опыт: будем равномерно выбиратьточки из кубика [0, 1]n ⊂ R.Оказывается, что при увеличении n:

Точки все ближе “жмутся” к краюУглы между точками выравниваютсяОкрестности все чаще упираются в границыДля того, чтобы пространство было плотным надослишком много точек

⇒ Большая размерность — зло для kNN и не толькодля него!


Discriminant Adaptive Nearest-Neighbor(DANN)Идея: а давайте в расстоянии учитывать локальную топологию вискомой точке Выберем много ближайших соседей (напримерm=50):

T = mΣ =∑m

i=1(xi − µ(x))(xi − µ(x))T

=∑K

k=1

∑i∈Ik (xi − µk(x))(xi − µk(x))T

+∑K

k=1(µk(x)− µ(x))(µk(x)− µ(x))T

= W + B

Пересчитаем все расстояния для k-NN:

D(x , x0) = (x − x0)TD(x − x0)

D = W− 12 (W− 1

2BW− 12 + εE )W− 1

2

Заметим, что ранги матриц, которые мы используем не болееm. Получается очень точный, но крайне медленный метод.


DANN результат


Поиск ближайших соседей

Это область на годовой курс, так что за поллекции мыничего не успеем :).

Линейный поискРазбиение пространстваЧувствительное к локальности хеширование (LSH)Кластерный/Пожатый поискДеревья в пространстве меньшей размерности


kd-дерево

Идея: разложим множество по поторому будем искатьв бинарное дерево с простыми условиями иконкретными точками в узлах. Будем надеяться направило треугольника (не подходит для cosine(!))Некоторые свойства:

Один из самых простых способов поискаближайших соседейРаботает только в малых размерностяхЗатратные алгоритмы перестроения (если нужнадинамика смотрим R-деревья)


kd-дерево: построение

1 По циклу, или рандомно выбираем ось.2 Ищем точку, разбивающую множество на как

можно более равные части.3 Повторяем 1-2 для каждого из получившихся

подмножеств

Сложность: O(n log n)


kd-дерево: построение (в картинках)


kd-дерево: поиск1 Бежим по бинарному дереву поиска2 Когда добежали, сохраняем листовую точку как x̄

- текущую лучшую3 Бежим обратно вверх по дереву:

1 если текущая точка лучше то теперь она x̄ ;2 сравниваем расстояние от точки-запроса до

гиперплоскости текущего уровняпересекает: не повезло, бежим в поддеревоне пересекает: повезло, бежим наверх

4 Повторяем 1-3 для каждого из получившихсяподмножеств пока делятся

Сложность сильно зависит от множества: в лучшемслучае O(log n), в худшем O(nN1− 1

n ) Классическийпример проклятия размерности.


kd-дерево: поиск (в картинках)


kd-дерево: свойства

1 Необходимо правило треугольника2 Исходит из одинаковости направлений3 Работает только в малых размерностях.

⇒ точно искать в реальных условиях не получается,будем неточно


Немного определений

Рандомизированнный R-ближайший сосед если есть R-соседи,то алгоритм должен вернуть каждого из них свероятностью 1− δ

Р-я c-аппроксимация R-ближайшего соседа ((c ,R)− NN) еслиесть R-сосед, то алгоритм должен вернуть хотя быодного cR-соседа с вероятностью 1− δ


Locality-Sensitive Hash Functions

H = {h|h : Rn → Z+}, (R , cR , p1, p2) :

‖p − q‖ ≤ R ⇒ pH(h(p) = h(q)) ≥ p1‖p − q‖ ≥ R ⇒ pH(h(p) = h(q)) ≤ p2

Понятно, что хотим p1 > p2


LSH алгоритмПостроение:

1 Выберем L-функций семейства Hk

2 Поделим все данные на кусочки с одинаковымизначениями gi = (hi ,1, ..., hi ,k)

Поиск по точке q:1 Выкинем j ∼ U{1, ..., L}2 Найдем значение Lj(q) и соответствующий этому значению

“кусочек”

3 Линейно поищем в “кусочке”

4 Одно из двух:1 повторим 1-3 пока не найдется L′ точек (включая

дубли) ближе чем R .2 переберём все L-функций.


Свойства LSH

Первая стратегия: с L′ = 3L, для любой пары(R , δ),∃L = O(N

ln p1ln p2 ),

гарантирующий (c ,R)− NN

Вторая стратегия: гарантирует рандомизированного Rближайшего соседа при δ = δ(k , L)


Некоторые известные семействафункций

l1: возьмёмw >> R , si ∼ U[0,w ], i = 1, ..., n,

hs1,...,sn = (

[(x1 − s1)

w

], ...,

[(xn − sn)

w

])

ls : возьмёмw >> R , ri ∼ N(0, 1), hw ,r ,b = [ r

T x+bw ]

при δ = δ(k , L)

косинусная мера: возьмём ri ∼ N(0, 1), hr = sign(x , r)


Что мы сегодня узнали

Instance based learningИногда можно использовать learn в качестверешающей функцииЕсть проклятье размерности, которое нам мешаетМожно учитывать проклятье при построении метода

Поиск ближайших соседейЭто большая областьЕсли размерность мелкая и есть правилотреугольника, то можно искать точно (kd-tree, r-tree)Можно искать неточно, но с гарантиями (LSH)


Ml 13

Documents

Transcript of Ml 13