INSTITUTO TECNOLOGICO DE CD. VALLES

MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES

CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL

IV SEMESTRE GRUPO D

EQUPO NO 3

INTEGRANTES:ALTAMIRANO MORQUECHO JUAN PABLO

CARPIO CHAVEZ VICTOR HUGOGARCIA RODRIGUEZ JUAN CARLOS

PEREZ LOPEZ OZIELRAMIREZ SANCHEZ RICARDO

TORRES AVILA KEVINVEGA LARA DAVID

METODO DE LAS DOS FASES

El Método de las Dos Fases es una variante del Algoritmo simplex, que es usado como alternativa al Método de la Gran M, donde se evita el uso de la

constante M para las variables artificiales. Se puede resumir así:

Fase Uno:

Minimizar la suma de las variables artificiales del modelo. Si el valor de la Z óptima es cero, se puede proseguir a la Fase Dos, de lo contrario el

problema no tiene solución.

Fase Dos:Con base en la tabla óptima de la fase uno, se elimina de las

restricciones las variables artificiales, y se reemplaza la función objetivo, por la función objetivo original y se resuelve a partir de ahí,

con el método Simplex tradicional.

¿Porque existe el método Simplex de 2 fases?

La desventaja de la técnica M es el posible error de cómputo que podría resultar de asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación podría presentar errores de redondeo en las operaciones de la computadora digital. Para evitar esta dificultad el problema se puede resolver en 2 fases. Éste método difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que consiste en realizar el método Simplex normal.

Algoritmo para la aplicación del método de 2 fases

¿Aparecen Var. Art?

Método Simplex

Método 2 Fases

Construimos Primera Tabla

Cumple Parada

Elegir Variable Entrante

Elegir Variable que Sale

Actualizar Tabla

Construimos tabla para minimizar

suma de Var. Artificiales

Cumple Parada

Elegir Variable Entrante

Elegir Variable que Sale

Actualizar Tabla

F.Objetivo=0

Eliminar Columnas de Var. Artificiales

No existe Solución

Dar resultado

SINO

SI

NO

SI

NO

SI NO

Reglas:

- Construcción de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la función objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la función objetivo, por lo tanto aparecerán todos los términos a cero excepto aquellos que sean variables artificiales, que tendrán valor "-1" debido a que se está minimizando la suma de dichas variables (recuerde que minimizar F es igual que maximizar F·(-1)). La otra diferencia para la primera tabla radica en la forma de calcular la fila Z. Ahora tendremos que hacer el cálculo de la siguiente forma: Se sumarán los productos Cb·Pj para todas las filas y al resultado se le restará el valor que aparezca (según la columna que se éste haciendo) en la fila de la función objetivo.

• - Condición de parada: La condición de parada es la misma que en el método Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la función toma un valor 0, que significa que el problema original tiene solución, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene solución.

- Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusión de que el problema original tiene solución, debemos preparar nuestra tabla para la segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de las variables artificiales, modificar la fila de la función objetivo por la original, y calcular la fila Z de la misma forma que en la primera tabla de la fase 1.

Identificación de Casos Anómalos y Soluciones

- Infinitas soluciones: Cumplida la condición de parada, si se observa que alguna variable que no está en la base, tiene un 0 en la fila Z, quiere decir que existe otra solución que da el mismo valor óptimo para la función objetivo. Si estamos ante este caso, estamos ante un problema que admite infinitas soluciones, todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porción del plano, o región del espacio, dependiendo del número de variables del problema) que define Ax+By=Z0. Si se desea se puede hacer otra iteración haciendo entrar en la base a la variable que tiene el 0 en la fila Z, y se obtendrá otra solución. -

• - Empate de variable entrante: Se puede optar por cualquiera de ellas, sin que afecte a la solución final, el inconveniente que presenta es que según por cual se opte se harán más o menos iteraciones. Se aconseja que se opte a favor de las variables básicas, ya que son aquellas las que quedarán en la base cuando se alcance la solución con estos métodos.

- Solución ilimitada: Si al intentar buscar la variable que debe abandonar la base, nos encontramos que toda la columna de la variable entrante tiene todos sus elementos negativos o nulos, estamos ante un problema que tiene solución ilimitada. No hay valor óptimo concreto, ya que al aumentar el valor de las variables se aumenta el valor de la función objetivo, y no viola ninguna restricción.

- No existe solución: En el caso de que no exista solución, seguro que no tendremos que realizar las dos fases, por lo que al término de la primera sabremos si estamos en tal situación.

- Empate de variable saliente: Se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas, aunque se puede dar el caso degenerado y entrar en ciclos perpetuos. Para evitarlos en la medida de lo posible, discriminaremos a favor de las variables básicas haciendo que se queden en la base. Ante el caso de estar en la primera fase (del método de las Dos Fases), se optará por sacar en caso de empate las variables artificiales.

• Ejemplo Simplex de 2 Fases

• Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:

• FASE 1: Al agregar S1 como variable de exceso en la restricción 1 resulta evidente que no se dispone de una solución básica factible inicial, por tanto utilizaremos una variable auxiliar "y" que incluiremos en el lado izquierdo de la restricción y que servirá como variable básica inicial. Esto define el problema inicial de la Fase 1 junto a su tabla.

Luego la variable X2 entra a la base (costo reducido negativo) y claramente "y" deja la base. Se actualiza la tabla utilizando el método simplex:

Con esta tabla finaliza la Fase 1. Notar que el valor de la función objetivo al finalizar la Fase 1 es cero, por tanto podemos continuar la Fase 2.

• FASE 2: Se elimina la columna asociada a la variable artificial "y" y se actualiza el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original. De esta forma se obtiene la tabla inicial de la Fase 2.

Dado que X2 es variable básica al finalizar la Fase 1 buscamos dejar esta misma variable como básica al iniciar la Fase 2. Para ello multiplicamos por -3 la fila 1 y luego la sumamos a la fila 2.

En este sencillo ejemplo se llega inmediatamente a la tabla final de la Fase 2, con solución óptima X1=0 y X2=10. El valor óptimo V(P)=-30.