Met-Num-01-L4

Metode Numerik

Petrus Paryono - R. Gunawan Santosa

Teknik Informatika Universitas Kristen Duta Wacana

Pendahuluan

Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1

Sub-Topik Mathematical Modeling and Engineering

Problem Solving Programming and Software

2


Apa itu Metode Numerik Teknik-teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematis agar dapat diselesaikan dengan operasi matematik pipalanda (ping para lansuda) yaitu * / + -

dan dengan demikian mudah dilakukan oleh komputer.

3

Metode Non Komputer Solusi masalah menggunakan metode

analitis atau eksakta Solusi grafis digunakan untuk

menunjukkan perilaku sistem Kalkulator dan Penggaris geser digunakan

metode numerik secara manual

Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1 4


Pra Komputer Era Komputer

5 Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1

Apa perlunya belajar Met-Num? Metode Numerik merupakan alat yang ampuh

untuk penyelesaian masalah. Mungkin ketika anda bekerja, anda menghadapi

program komputer yang berkaitan dengan metode numerik. Anda perlu memahami teori metode numerik yang ada di balik komputasi tersebut.

Kadangkala anda menemui suatu persoalan yang tidak dapat diselesaikan dengan program komputer yang ada, anda perlu menulis sendiri program kecil dengan metode numerik.

Metode numerik dapat dipakai sebagai bantuan untuk mempelajari matematika dan sekaligus pemrograman komputer

6


Mathematical Background

Roots of equations: concerns with finding the value of a variable that satisfies a single nonlinear equation especial valuable in engineering design where it is often impossible to explicitly solve design equations of parameters.

Systems of linear equations: a set of values is sought that simultaneously satisfies a set of linear algebraic equations. They arise in all disciplines of engineering, e.g., structure, electric circuits, fluid networks; also in curve fitting and differential equations.

Optimization: determine a value or values of an independent variable that correspond to a best or optimal value of a function. It occurs routinely in engineering contexts.

Curve fitting: to fit curves to data points. Two types: regression and interpolation. Experimental results are often of the first type.

Integration: determination of the area or volume under a curve or a surface. It has many applications in engineering practice, such as


Ordinary differential equations: very important in engineering practice, because many physical laws are couched in terms of the rate of change of a quantity rather than the magnitude of the quantity itself, such as

Partial differential equations: used to characterize engineering systems where the behavior of a physical quantity is couched in terms of the rate of change with respect to two or more independent variables. Examples: steady-state distribution of temperature of a heated plate (two spatial dimensions) or the time-variable temperature of a heated rod (time and one spatial dimension).

Mathematical Background

8

Model Matematis dan Penyelesaian Masalah Teknik


Bab 1

9 Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1 10

Model Matematis Sederhana


Suatu model matematis disajikan sebagai hubungan fungsional dalam bentuk

Dependent independent forcingVariable = f variables, parameters, functions

Dependent variable (variabel gayut): karakteristik yang mencerminkan keadaan sistem

Independent variables (variabel tak-gayut): dimensi seperti waktu dan ruang yang menentukan perilaku sistem

Parameters (parameter): menunjukkan sifat atau komposisi sistem

Forcing functions (fungsi pengaruh): pengaruh eksternal yang mengenai sistem

11

Hukum Newton 2


Menyatakan bahwa Perubahan waktu momentum dari suatu benda sama dengan gaya yang terjadi yang ada padanya.

Model ini diformulasikanF = m a (1.2)

F = gaya neto yang ada pada benda (N)m = massa objek (kg)a = akselerasi (m/s2)

12


Formulasi hukum Newton 2 mempunyai beberapa karakteristik yang menunjukkan model matematis dari dunia fisis: Menjelaskan proses atau sistem alami secara matematis Menyajikan idealisasi atau simplikasi dari suatu realitas Memberikan hasil-hasil yang dapat diproduksi yang dengan

demikian dapat digunakan untuk tujuan prediksi.


Beberapa model matematis dari fenomena fisis bisa jadi jauh lebih kompleks.

Model kompleks tidak dapat diselesaikan secara eksak dan mungkin memerlukan teknik matematis yang lebih canggih daripada aljabar sederhana untuk mendapatkan solusi.

Contoh, pemodelan terjun payung (parasut) :

14


FD

FU


mcvmg

dtdv

cvFmgF

FFF

mF

dtdv

U

D

UD

==

=+=

=

16


Ini adalah persamaan diferensial dan ditulis dengan diferensial laju perubahan dari variabel dimana kita tertarik untuk memprediksinya.

Bila parasut pada mulanya diam (v=0 pada t=0), dengan kalkulus

vmcg

dtdv =

( )tmcec

gmtv )/(1)( =Independent variable

Dependent variable

ParametersForcing function

(1.10)

17

Solusi Analitis Soal : Seorang penerjun payung plus

parasut memiliki massa 68.1 kg melompat dari balon udara diam. Gunakan persamaan (1.10) untuk menghitung kecepatan setelah parasut membuka. Koefisien hambatan (drag) 12.5 kg/s

Solusi


( ) ( )tt eetv )1.68/5.12()1.68/5.12( 139.5315.12

)1.68(8.9)( ==

18


t (s) v (m/s)

0 0.00

2 16.40

4 27.77

6 35.64

8 41.10

10 44.87

12 47.49

~ 53.39

19

Persamaan (1.10) disebut solusi analitis atau eksak, karena secara eksak memenuhi persamaan diferensial asli.

Sayangnya, ada banyak model matematis yang tidak dapat diselesaikan secara eksak.

Gunakan metode numerik, yang mereformulasikan kembali model matematis sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika.


Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1 21 Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1

ii

ii

tttvtv

tv

dtdv

=

+

+1

1 )()(tv

dtdv

t = 0lim

)()()(

1

1i

ii

ii tvmcg

tttvtv =

+

+

)()()()( 11 iiiii tttvmcgtvtv

+= ++

Nilai baru = Nilai lama + slope x step size

Pendekatan ini disebut metode Euler

(1.12)

22

Solusi Numeris Soal : Lakukan perhitungan seperti solusi

analitis tetapi gunakan persamaan (1.12) untuk menghitung kecepatan. Pakailah ukuran langkah (step size) sebesar 2 s untuk perhitungan.

Solusi : pada saat awal komputasi (ti = 0), kecepatan parasut nol

Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1 23 Reference - Numerical Methods for Engineers - Steven C. Chapra and Raymond P. Canale - PT1 & Ch.1

6.192)0(1.685.128.90 =

+=v m/s

dari t = 2 menjadi 4 s

00.322)60.19(1.685.128.960.19 =

+=v m/s

24


t (s) v (m/s)

0 0.00

2 19.60

4 32.00

6 39.85

8 44.82

10 47.97

12 49.96

~ 53.39

25

Hukum Kekekalan (konservasi)dan Teknik


Perubahan = kenaikan - penurunan

Bila tak ada perubahan, berarti perubahan = 0

Perubahan = 0 = kenaikan - penurunan

atau

kenaikan = penurunan

26

Hukum Kekekalan (konservasi)dan Teknik


Untuk aliran fluida keadaan steady dan tak-tertekan dalam pipa:

Aliran masuk = Aliran keluaratau

100 + 80 = 120 + Flow4Flow4 = 60

27

Pemrograman dan Software

Pakai Project R Atau

Pakai Excel



Akhir Pertemuan ke-1

Takut akan TUHAN adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang bodoh menghina hikmat dan didikan.

(Ams 1:7)

29

Met-Num-01-L4

Documents

Transcript of Met-Num-01-L4