DISSERTATIO,DE

MEMORABILIORI QÜODAMLOGO GEOMETRICO

QUARTI ORDINIS,

QUAM,

CONSENT. AMPL. ORD. PHILOS.

CINSURJE MODESTE OFFJERUNT

MAG. ANDREAS ,

ET

ELIAS CHRISTOPH.VäSTROGOTHI,

IN AUDXT. GUST. MAJ. D. XIII. JUNII MDCCXCIV.

H. C.

UPS ALIAE,

LITTIIIS YIDUÄ DIUCT* JOH. XDMAN.

SACRAMREGIAM

MAXIMM FIDEl VIRO,DIOECESEOS SC A K ENS1S

EM IN EN TIS SIM O,

EEGII ORDINIS DE STELLA POLARI

S. S. THEOV DOCTORUREVERENDISSIMO-

MMCENATI MAXIMO,

SÅCRUM

VOtUERUNT

fEiESES et RESPONDEN&N

DE

MEMORABILIORI QUODAMLOGO GEÖMETRICO QUARTI ORDim

§. I.

Quamvis idoneis judicibus fingulae fe Mathefeos par¬tes, cvidentia, certirudine Sc concinnitate commcn«dent; habet tarnen Do&rina Curvarum incitament» quas«dam fibi propria, quibus ingenia allicit, derinetque. Pri-mum enim eft hujus argumenti non fumma ranturn Sc in-telle&u confequenda, Ted etiam ipfis ocuiis percipiendavarietasj deinde ejus ufus per roram Mathefin latisfimepaténs j ipfa denique traöandi methodus ita fagax, utingenium, quam fperare fas esfet, Sc acutius Sc longiusccrnere ßbi videatur. Inrendirur quafi mentis acies cal-culis Analyticis, quorum ope acriori vifu pun&a Curva¬rum multiplicia diftinguere, harumque in infinitum ex-currentia crura perfequi licet, quam posfet oculus micro-fcopio Leuvenhcekiano, vel Herfcheliano telefcopio, in-Prudis imus. Non amplisfimis rerum geftarum monu¬ment is tam accurate alicujus fata recenfentur, quam bre-vi aequatione continetur curvae cujusque natura; cujus o-mnes res arcanae ex paucis, quibus illa conftat, terminiseruuntur, modo linguam illam Algebraicam, qua invo-hitae funt, re£le tenueris.

Sed, quemadmodum non iine Mathematica volupta-te, ex data Curvae aequatione, hujus naturam Sc proprie¬täres, pun&a multiplicia, nodos, Afymptotos, ramos in-finitos, cetera, inveftigamus; ita nec minus jucunditatishabet, « dato motu quodam, quo curva defcribitur, vele dads quibusdam proprietatibus chara&erifticis, ipfamcurvae aequationena eruere. Hanc Doftrinae Curvarum

A z par-

4 Be Mentorabiliori quodum

partem in primis cxcoluisfe cenfendus eß Celeberrimusille Maclaurinus, qui in Geometrin Ria Ovganica, Defcri-ptionem maxime Curvarum Gaometricarum Newtonia-nam, rotatione angulorum darorum re£larumque fe inter-fecantium ope perficiendam, eximiis proiTus inventis am-plificavit, Sed quoniam eft hoc argumentum vaftisfimiambitus, fieri non potuit, quin permulta huc fpe£ka? tiaperleviter tantum perßrinxerit, pluriumque CurvarumOrdinem tantummodo ge neråt im, non item aequationemindicaverit. Exempli ioco fit Prop. 2. Part. II. Lib. c i t.pag. 83, ubi oftenditur: fi nnguli clati EBK FCH circapun&a data B Zf C rotentur, crurumque BE & CF interfe-Bio G percurrnt SeBionem Conicam AGD, per nnitrum Polo¬rum B vet C iranseuntem; reliquorum crurum BK Cficoncurfnm L defcriptarum esfe lineam ovdinis quarti. Perele¬gantem hunc locum Au£lor indire&a tantum demonftra-tione munivir, generatim tantum oftendendo, oriundamcurvam re&ae occurrere non posfe, in pluribus, quamquatuor, puncUs; unde esfe illam quarti Ordinis debereeolligitur. Cum igirur adhuc ipfi* sequatio plane defide-retur, eaque fit complicatior, & ordinem, quam re ipfatenet Curva, multo alnorem facile mentiatur, nifi bre~visiima ad illam via contendatur; veniam nos impetratu-ros confidimus, fi quid huic defe£lui fupplendo, pro in-gcnioli modulo & Speciminis Åcademici loco, meditatifuerimus, perbenigno oequi Le&oris judicio hisce pageLIis modefte fubmiferimus.

§. ILSumta itaqtie BC pro radio feu = r, Sc demisfis

normalibus GN <k LM; fint Tang. EBK = /*, Tang. FCH= BM=.x, LM = y, MC =z r — x, BN~z, NG= Ut NC = r — & Ob BM {x): ML (y) :; r ; Tang. MBL^

erii

Loco Geometrico Qyurti Oväinis„ $

erit Tang. MBL = — ■ Similiter habentur T. MCL ss12!jr

rtt ru——, T. GBN=2 —y T. GCN = • Sed ex Tngo«f mom- X Si t' Ä

(7nometricis conftit, esfe Tang. [A— B) — ß-^j- j-ß-

fit itaque T. GBN=z ~~ = ( — =st

<-?) (ax—ry) *u— r2 = ry & T, GCN sss ;

/7^-5/ rx 4- ay r — zr2 4- —

^ (br — bx—ry)T- WH-MCL) = —

y2 .+ ——y— x

Ut brevitarl fcriptionis per aliquam calculi parrem con-fulatur, (nam ultimo coordinatas x & y refumturi fumus)}fit ax — ry = nty rx -h ny — ff, — bx — yjy =/>> &

y« rw r«f2 — fAf + ^ habebiturque — =s —, atque y—-s

vp m%ss ; ex quibus orientur duo valöres u z= —, & u es

q 7tpr — pz m% pv — pz

quibus acquatis fit — sr , arque£ n q

h 3 ass

€ Dt Memrabiliori quodam

nrp* Haec omnia un iver fe vaient, qux demum»

mq 4- npcunque fir Curva AGD/ quippe cujus aequationem ia ca!»culum noodum inrroduximus.^

§. III.Ur jam impiearur conditio Problemaris, qua interfe&io

G in Seviione Conica, per neutrum Polorum B vel C rrans-eunte, incedere poftulabatur, fumenda eft hujus aequariogeneralisfima, quae, refipeftu ad coordinatas u åc z habito,fit u2 4- (cz -q- d) u 4- ez1 4- fz 4- g = o; habebirurquc,per methodum vulgarem aequationis quadraticae afFe£lses

j-[cz->rd)zhV(s1 — 4') *9 -4- (icd — 4f) % 4- {J* —4g).2

.. m%Si jam ammadvertatur, mventaqa etiam fuisfe u = —,

n

hicque valör nuper invento aequetur, orieturwä —{cz+d) A-Vic2*—4t)z2 4- {2cd*~- 4/")&4-(</3—4g)

n 2

2mz

(e% 4—-—h d)2 zzz (c2 .— 4<)z2 4- {icd>— 4/) z 4- A«—

4cm 4w2\ 4wA(4* 4- — 4 — 1 z2 4- (4/ + U + 4f = 0n n* J ny

{fo1 4- dmn)% gn%*a + rrr~——— +f;;2 4~ r 7» * 4- m 2 en2 4^ cmn m2- [fn2~4-dmn) -f-ai/(/2-4gc)« 4 +{2df~4cg)mn-4r{d2 ~4g)m2% zzl —— —8

2{tn1 4- m» 4- f*a)Sed

Loco Geometrico Quarti Orditiis. 7

nrpSed in antec. habuimus valörens ipfius % = — —»mq 4- np

qui fi jam jam eruro acquerur, & utrimque divifio pern inftituatur, obtinebirur

rp - (fn t dm) + V (f2- 4ge)n a t (2df- ^cg)mn t (d2 -4g)m1mq\np 2(f«a 4~ £7724- *»a)quae aequatio redu&ione primum migrat in hane ivp (en24- cmn -h m2) 4- (ntq -h np) (fn dm) ren ztz (mq 4- np)X Vif2 —* 4%e) »2 4- (2df — 4cg) mn 4- (d2 — 4g) m2; de-inde in fcquentem 4r%p1 (en2 4- cmn 4- m2)2 4- 4vp (niq4- np) (fn 4- dm) (en2 4-cmn 4- m2 ) 4-(mq 4- np)2 (fn4- dm)2 — ymq 4- np)2 ((f2 — 4g*) #2 4- (2df — qcg) mn4-(d2 — 4g) m2) — o; tum in hane Form am 4 r2p2 (en24- cmn 4- m2)2 4- 4.7? (7/27 4- np) (fn 4- 2/«?) (<r&2 4- cmn +'m2) -4- 4g (mq 4~ *?/>)* (<?»2 4- cmn 4- ni2) er: 03 öc, divi flö¬sse demum per 4 (en3 4- emu 4- m2) inftiruta, tandem inhane ulrimain

r2p2(en2 4-cmn 4- m2) 4-rp(mq-bnp) (fn-4-dm)>+g(mq-4-np)2 =o :quam quia neque zy neque u ingredirur, fed, praeter con-ftanres, folse inccgnitae p & q abfolvunt, quarum valöresin fimplicisfimis Fun£lionibus ipfarum x & y (§ 2.) exhi-bentur; liquet\ bis valoribus pro p & q fuffe&is, obren-tum iri relationens coordinatarurrc x & y mutuam, h. &curvae OLP aequationero quacfitam.

§". IV,Antequam autem illa fubftiturio reapfe inßituarur, ob-

fervare convenit, arquationern ültimam dignof endo ordi-ni curvar iuffieere. Curn enim ipfarum p Se q valöres{§' 2.) unas tanium coordinatarum x & y dimenfionefCO»'

f Di MemorMiori quoäamcontineant 4 patet, nunquam altius adfcendere posfe x Scy, fi fubftitutio fiat, quam p Sc q eve&ae reperiantur.Quare, cum fumma dignitatum ipfarum p Sc q in nuliotermino aequationis poftremae (§. 3.) numerum quaterna-rium excedar; liquer, neque fumrrram Exponentium ipPa¬rum x Sc y, in aequatione inde oriunda, hoc numero fis-ri posfe majorem.

Quod fi autccn ipfam fubflitutionem exfequamur,prodir primor2 Cyiyz -+~ ibryx 4- b2 x2 — ibr2y — 2 £ 2 r.** 4- r2 r2)X (äze — aer 4- r2. y2 •4-2 aer 4~ a2c — cr2 — 2ar. yx 4~er- 4- ner

r. a 4-

4- a2, x2) 4~ r (—ry ~bx 4- fr) (—■ r.tf-f- b. y21. r# _ r*. j 4- ,-4 x) (<7/—dr, j

4- 4-fr. Jt") 4~ g Q — r. a -h b.y2 r. a 4- b. x2 4-f. — r3.y-f- r2. *-+• b. a*)2 =r o;quam deinde, operariones imperstas peragendo, facileabfoivimus; atque hac ratione nos quidem primam, quaminveniebamus, folutionem tra£avimus. Sed quoniam tan-tum abeft, ut commodiori coefficientium datarum expres-lione aliquid patiatur sequatio, ut plerumque eo ipfo fiatfolum expeditior; posfumus brevitati Typographicse con-fulére, ponendo a21 — acr -4- v2 cr b, 2aer -4- a2c — cr*— tar cr: k, er2 -y- aer a* zn l, a -4- b rr s, ab — r~= t, tf/ —- r v, W 4- r/= A j quibus adhibitis in fcri-bendo compendiis, & divifione per r2 pera&a, obtinebi-tur (>2jy2 4- ibryx 4- b2x2 — sfr2^ — 2barx 4- ^2ra) X

4- kyx 4- lx2) 4- (— ry — bx 4- br) (— jrjy2 — sx24- ty 4- rx*) (vjy 4- **) ■+• £ (— ry2 — x#2 4- ty 4- rx*)2= 0: qu«, exfequendo operationes iudicata!, dat tandemaequationena queefitam

Loco Geometrico Quiirti Ordinis.

hr2ly4 -^lbbr^y^x -\-bzh \y2A*2 -4-b2k "^yx^ Hbb2lj.x*H- s\r > -+-kr1 i * I -Jriblrl H-£rA4-fl2\ H-bsv i H--bSV \ -Hfj2

J^-sKr ) H-n^j||: -HfAf-#4.fA

il^br^^x—2b2 kr\yx2^ 2b2lv'Jx^-Jbb2hr2J')[f—tyr ( —2Mfa ) —**/>* / —ifoArC 4-^f '—bsvr ( —vsr2 I —ibsw 1 —2gs2r\ -*-££2—2gst ) —btv —shr2

tÅr [ —btÅhsKr \ —2gst■2gs2r/

4-b2 kr2 )yx-hb 2 Ir21 x2*^~bsvr2 i -jrhÅr2 > Cu-IrbtKr f n-gs2r2\Hb igstrj

§. v.Compleftitur haec aequario valde affiplatn inter lineas

quarti ordinis clasfem; valde amplam dicimus; nam, fi tlineis fecund! ordinis recesferis, nondum invenra eft al»tiorum ordinum defcriptio quasdam organica ita univerfa-lis, ut omnes lins exceptione lineas alicujus ordinis fubfe comple&eretur, quemadrnodum fua cuique ordini com-petir aequatio generalis. Quod autem ad curvas illas at<ti«net, quae aequitione noftra repraefentantur, posfunt ill«metbodis vulgaribus, in Analyfi curvarum explicaxi Coli¬tis, in perrnukas diftribui fpecies; quas fiogulae pendent tmutua coefficientium relatiqne, quas, prout haec ve! diteft, pro determinarae Seélionis Conicae AGB fpecie? fitu& magnitudine, ita mirum quantum curvae OLP fpeciemvariet. Quae fingula adcurate perfeqni3 peene immeufi es«

B fet

io De Memorabiliori quodam

fet Sc operis & fumtus. Interim in transitu quafi monii»isfe juvabit, curvas has omnes tribus gaudere punctis du-plicibus, quo rum duo fuot ipfi Foli B Sc Cy tertius deni-

, ß b \ r ' r

que in fummitate ordmats (y =) luper. ablcislsbr

(x =) - ere£iae confiituitur. Qiiod fi e.nrm primo fiata-+-bin- sequatione curvce x = o, reflabunt folum terminl

br2 } —ibbr^y* ~\-b2br2 ) y2~-svr > —tvr ( -f-btvr v = o»

+.gs* Jy —hsvr ? s—igst )

q-uae asquatio , quippe per y2 — oro divifibilis, oftenditc urv am bis transire per pun£hirn B, originem a b fe is fa-rum , k. e. esfe B punctum duplex. Simiiicer fi fumariirx = r r= BC, arque in sequatione curvce r pro ju fubfti-tuatur, fxatque debita reduclio; roigrabk ilia in fequentem

br2l y^ -f-kr1 >y% 4-T*4 ly2-%-tvr > —-fvr j> —JAr2> ~ oj-f-gs*\ —2gst\ 4-gt2 \

quae, utpote eti-am per y2 - oro divifibilis, demonffratGurvam etiam bis transire per C. Tandem ii in amuatio-ne curvae,rloco coeffieientium fimplicium /?, k, /, s, f, v,A refumantur compoficce illa a2e — aer -q- r2, Scq. (§. 4 ),

brSc fumatur ju =r • , fiarque debita redti£lio * exfurgetsequa tio valde prolixa illa quidem, (qua de causfa brevitatis

ab Vergo hic eam omittimus), fed ramen per fy ~ ——

a -{" bJ= o divifibilis: unde tertium illud, quod indicavimus,puncluoi duplex coafirmatur,

'"T §• VI

Loco Geometrico Quarti Ordinis, 22

§. VF»v •

Quod ii au tern Se£tio Conica, quam percurrit pun¬ctum G, per akerutrum Polorum, ex» gr. £>, transiret;ex cequarione ipfuis in inirio §. 3, exulare debet terminusconftans g, quo, exiftente a = o, posfit sequatio dividiper it = o. Sed quandcquidem jain in hac hypothefi eftg = o, avanefcit terminus g {rnq -+• npY in aequatione ul¬tima §. g; quse deinde per p dividi poreft. Sed quoni-am hasc a?quario sequipollet eequatiöni curvae ad finem §. 4,Sc p=zbr — b x — vy; erit, in hoc cafu Sectionis Co¬rnea: per B transeunris, xquatio cur va per hr — bx — ry

o divifibilis, evaderque tertii ordinis-. Itaque etiam exfolurione noftra Propolitio I. Part. II. Geom. Org. p. 75t.faciilimi inflar Corollarii, directe colligitur; quam quidemindirekta demonflratione, nulla aequatione. eruta , munivitMaclaurinus, generatim tan tum hic etiam ofiendens, re-ctam in piano curvae duetarn huic ipfi ter folummodo,non iteni feepius, occurrere posfe.

' J , N . ■ ' * '

Sed, quamvis per neutrum Polorum B Sc C träns-eat Sectio Conica, in qua Punctum G fertur; datur tarnencafus quidam fpecialis aequationis noftrae (§. 4.), in quohaec ipfa nihilo minus ad tertium grad um deprimi poteft.Hic obtinet, quando snguli EBK Sc FCH ea funt magni-tudine, ut crura BK & CH fimul cum r®£ta BC coinci-dant; h. e. ut angulus GBN eodem momento fiat = an-gulo EBK, quo evadit ang. GCB = FCH; adeoque Tang.GBN = T. EBK„ fimulqué Tang. GCN z=z T. FCH. Hinc,ut relatio coefficientium mutua in hoc cafu eruatur, fiert

ru ru a zdebet — = a (§. 2.), Sc = b; unde u = — , Sc

z y—% rbr — bz az br — bz br

u = ——, adeoque — = —— , atque a =B 2 * ide©-

12 De Mentorribiliori quo*!am Loco Geometr, Quarti Ordin*az\ ab

ideoque u ( = —j = Determinati hoc modo va¬löres coordinatarum Seftionis Conicar, qui memoratumnuper cafum indicant, fuöftiruendi funt in locum ipfarum% Sc u in scquatione u2 -+- (cz 4- d) u 4- ez% 4-/> 4~ £ = o;

azbz ( her ab ebzrz fbrunde oritur ,—777 + 7 4- d) —, 4- 7—777 4 —7(a+b)2 \a^-b a-Arh (a+b)2 a+b4-g = o, five azhz 4- abzcr 4- abd (a+b) 4- ebzrz 4-fbr (a 4 b)4- g (4 4 /7)2 =0, vel (er* 4- acr 4- a2) 4- -f rf)X b {a 4- b) 4- g (a 4- b)9 = o: quac quidem sequatio, fi as-fumta in §. 4. fcriptionis compendia adhibeantur, fit b2i4- bsK 4- gs2 = oj vel, fi per r* multiplicetur, b2lr2 4-bsKr2 4- gr2r2 = 0. Sed hsec expresfio eld coefficiens ter¬minorum xz Sc x4 in aequatione §. 4., atque per — 2multiplicata dat coéfficientem terrnini x3 ; ergo in eo}quem examinamus, cafu, evanefcunt fimul tres hi terrni¬ni, atque finguli, qui fuperfunt, divifionem per y ad-mirtunt: qua peragenda ad tertium grad um aequatio deji-citur, exhibetque tertii ord in is curvam.

Sed omnibus, quas huc fpe&anr, examinandis im-morän non vacat.