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“Arreglos yMatrices”

Carlos ValleVidal

Introduccion

Creacion devectores ymatrices

Operadores yFunciones

Sistemas deEcuacionesLineales

“Arreglos y Matrices”

Carlos Valle [email protected]

Departamento de Informatica -Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Rancagua, Agosto 2009

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Temario

1 Introduccion

2 Creacion de vectores y matrices

3 Operadores y Funciones

4 Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Temario

1 Introduccion




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Introduccion

Los nombre matrices y arreglos son equivalentes.

Una matriz es un arreglo de dos dimensiones de numerosenteros, reales o complejos.

Una matriz representa una transformacion lineal.

Operaciones lineales definidas sobre matrices se puedenencontrar en la mayorıa de las ingenierıas

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1 Introduccion




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Creacion de vectores y matrices

Creacion de un vector fila:

a = [1 2 3]a =1 2 3

Creacion de un vector columna

b = [1 ; 2 ; 3]b =123

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Creacion de vectores y matrices (2)

Creacion de vectores de rango

variable = inicio:incremento:final

El primer valor asignado al vector es el valor de inicio, luegose agrega al vector un nuevo elemento que es el ultimoelemento mas el incremento, esto se repita mientras el valorgenerado no sobrepase el valor final

b = 1:2:9b =

1 3 5 7 9

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Traspuesta

El operador “ ’ ” genera la traspuesta de un vector o matriz.

>> a’ans =

1 2 3

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Traspuesta (2)

� B =10 3 85 7 96 11 4

� F=B’F =10 5 63 7 118 9 4

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Traspuesta Conjugada

Si la matriz contiene numeros complejos, el operador “ ’ ”genera la traspuesta conjugada de un vector o matriz.

� b=[1+3i -4i 9]b =1.0000 + 3.0000i 0 - 4.0000i 9.0000

� b’ans =1.0000 - 3.0000i0 + 4.0000i9.0000

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Operador Punto

El operador punto juega un rol importante en el algebra linealde MATLAB.

Permite aplicar un operador componente por componente.

� a.*aans =

1 4 9

� a.ˆ2ans =

1 4 9� a.ˆ3ans =

1 8 27

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Funciones aplicables a matrices

Existen funciones predefinidas cuyos argumentos sonmatrices:

length(A): Si A es un vector devuelve el tamano. Si es unamatriz, el tamano de una fila.[m,n]=size(A): devuelve el numero de filas y de columnas dela matriz A

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Matrices Especiales

MATLAB posee muchas funciones que crean matricesespeciales.

zeros(m,n): Construye una matriz de ceros de m x n.ones(m,n): el mismo caso anterior, pero con unosMatriz aleatoria

>> rand(2,3)ans =0.9501 0.6068 0.89130.2311 0.4860 0.7621

Creacion de matriz unitaria

>> eye(3)ans =1 0 00 1 00 0 1

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Matrices Especiales (2)

Cuadrado magico: la suma de filas, columnas y diagonaleses igual

>> magic(3)ans =

8 1 63 5 74 9 2

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Sumas y Restas

X = A+B

Y = X−A

Sumas y restas se realizan elemento por elemento.

Se requiere que ambas matrices tengan la misma dimensiono una de ellas sea un escalar.

Si las dimensiones son incompatibles se genera un error.

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Multiplicacion de Matrices

El producto de dos matrices C = A∗B se define cuando elnumero de columnas de A es igual al numero de filas de B ocuando uno de los dos es un escalar.

Si A es m×p y B es p×n, C es de m×n

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Ejemplo de Multiplicacion

A =8 1 63 5 74 9 2

>> BB =10 3 85 7 96 11 4

>> C=A*BC =121 97 9797 121 9797 97 121

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Determinante

El determinante de una matriz cuadrada se calcula con lafuncion det

A =8 1 63 5 74 9 2

>> det(A)ans =-360

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Seleccion de elementos de una matriz

¿Como seleccionar una sub matriz?

¿Como seleccionar un elemento simple?

Ejemplo:

>> A =0.0196 0.8318 0.42890.6813 0.5028 0.30460.3795 0.7095 0.1897

>> A(2,3)ans =0.3046

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Seleccion de elementos de una matriz (2)

Se puede utilizar un vector como ındiceEjemplo:>> A =16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1

>> fila =2 4>> columna =1 3>> A(fila, columna)ans =5 104 15

Notese que esto se generaliza tambien para vectores derango o mezcla de ambos(siempre y cuando esten dentro delrango de ındices)

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Uno de los problemas mas frecuentes en computaciontecnica es resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Dado dos matrices A y B, ¿existe una unica matriz X tal queAX=B o XA=B?

Un ejemplo escalar:

7x=21 x=21/7

X = A\B denota la solucion de AX = B

X = B/A denota la solucion de XA = B

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Ejemplos

3x1 +2x2− x3 = 10

−x1 +3x2 +2x3 = 5

x1− x2− x3 = −1

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En forma matricial

3 2 −1−1 3 21 −1 −1

x1x2x3

=

105−1

AX = B

A =

3 2 −1−1 3 21 −1 −1

X =

x1x2x3

B =

105−1

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En forma matricial

>> x=A\Bx =-2.00005.0000-6.0000

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En forma matricial (2)

Notese que lo mismo se logra haciendo

>> x=inv(A)*bx =

-2.00005.0000-6.0000

Pero la solucion anterior es mejor

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Consultas y Comentarios

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