TERCERA EDICIONFUNCIONES, GRAFICAS Y GEOMETRA ANALTICA2xy+y2: x 2v2FORMULASDE ALGEBRA Productosnotables (x+aXx+b)mx 2+()(jc+by)(cx+y)=ac*2 +(ad+bc)xy+bdy2(xy)3- Jr3 +3*2y+3*y2 +y 3( l f-y)3 jr3 3jt2y+3*y2 - y3Factorizacinde polinomiosax+ay+az=a(x+y+z)x2- y 2=* (x+y)(jcy)ar2+(fl+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+2xy+y2=(jc+y)2jr22xy+y2=(jc y)2acjr2 +(a*/+bc)xy+bdy2=(ax+&y)(cjt+/y) ar3 +y3=(jc+y)(jc2 xy+y2) jr3 - y3 s=(jc- y)(jc2 +xy+y2)Exponentes a" am=am+m(aHT =anma",a r *= a">"7a\"_a"-wr yb+0a=1 a^0a " =a^ 0 a"a l/"==(Va)"1fl-/-=Va"*Radicales Va =N/fljbanfauJ-n-~7==\ 7b 0^TbVb+r~H |af nisodd \ a n { |- ...11 a |ifnis evenFrmulacuadrticaSi a? 0, las soluciones de la ecuacin t*4-hx+c=0estn dadas porbV P 4ailaMv . ^woldgdM rvS* o1i(X|, yt) y Pj(x2, v2J est dada por\ftP2\=V(x2Xi)2 +(yzyi)2Frmulasdelpuntomedio SiA/(jc, y) es elpuntomedio delsegmento de recta de P\(x\* yi) a Pito, y), entoncesXi+x2 Vi+ V:V =22 EcuacionesdeunacircunferenciaLa circunferencia con centro en (h, k) y radio r tiene como una ecuacin(x- h)2+(y- k)2= r2Pendientede unarectaSiP\(xu yi)yPz(x, yj)sondospuntosdiferentes cualesquiera de una recta no vertical, entonces la pendiente de la recta es m, y est dada poryi- yX2- X\Ecuacin deunarecta Laformapunto-pendienteparaunarectaquetiene pendiente m y que pasa por el punto Pi(x, y) es yy|= m(x|)Laformapendiente-intercepIn paramvi- jcia que tiene pendiente m e intercepcin y igual a /os y=mx*fbContenidoPrlogoxlii1Nmeros, expresiones algebraicas ygrficas deecuaciones11.1Conjunto de nmerosreales21.2Expresiones algebraicas161.3Conjunto denmeros complejos311.4Planonumrico421.5Grficas de ecuaciones50RevisindelCaptulo1 592Ecuaciones y desigualdades632.1Ecuaciones linealesconunaincgnita642.2Ecuaciones cuadrticas conunaincgnita732.3Ecuaciones como modelosmatemticos882.4Otras ecuaciones conunaincgnita982.5Desigualdadeslineales1092.6Desigualdadespolinomiales^' 72.7Ecuaciones y desigualdades queimplicanvalor absoluto126RevisindelCaptulo21353Rectas,parbolas,circunferencias ytraslacinde ejes1393.1Rectas140vU)CONTIWIPO3.2Sistemas de ecuaciones lineales con dosincgnitas1533.3Parbolas1653.4Circunferencias1713.5Traslacinde ejes178Revisin delCaptulo 3186Funciones y susgrficas1904.1Funciones1914.2Grficas de funciones1984.3Funciones cuadrticas 2094.4Funciones comomodelosmatemticos 2214.5Funciones compuestas 230RevisindelCaptulo 4 236Funcionespolinomiales y racionales 2425.1Grficas de funcionespolinomiales 2435.2Teoremadel factor y sustitucinsinttica 2545.3Ceros racionales de funciones polinomiales 2645.4Ceros complejos de funcionespolinomiales 2745.5Funciones racionales 285Revisin delCaptulo 5 298Funcionesinversas,exponenciales ylogartmicas 3026.1Funcionesinversas3036.2Exponentes y nmero e3156.3Funciones exponenciales3276.4Funciones logartmicas3376.5Propiedades de las funciones y ecuacioneslogartmicas3486.6Ecuaciones exponenciales358Revisin delCaptulo 366Contenidoix7Funciones trigonomtricas denmeros reales 3717.1 Funciones seno y coseno 3727.2 Valores de las funciones seno y cosenoy funcionesperidicas 3827.3 Grficas de las funciones seno y cosenoy de otras ondas senoidales 3927.4 Aplicaciones de las funciones seno y cosenoa fenmenosperidicos 4077.5 Otras grficas que implican alasfunciones seno y coseno 4167.6 Funciones tangente,cotangente,secantey cosecante 4227.7 Periodicidady grficas de las funcionestangente, cotangente,secante y cosecante 432Revisin delCaptulo7 4448Funciones trigonomtricas de ngulos4498.1 ngulos y sumedicin 4508.2 Funciones trigonomtricas demedidasangulares 4608.3 Solucinde tringulos rectngulos 4778.4 Ley de los senos 4888.5 Ley de los cosenos 500Revisin delCaptulo 8508Trigonometra analtica5139.1 Identidades trigonomtricas5149.2 Identidades de suma y diferencia5229.3 Identidades de valor mltiple 5359.4 Identidades para elproducto, sumay diferenciade seno y coseno 5489.S Funciones trigonomtricasinversas 5559.6 Ecuaciones trigonomtricas570Revisindel Captulo 958010Vectores, ecuaciones paramtricas,coordenadas polares y nmeros complejos58510.1Vectores 58610.2Fundones vectoriales y ecuacionesparamtricas 59810.3Coordenadaspolares 60610.4Grficas de ecuacionespolares 61410.5Formapolar denmeroscomplejos 62510.6Potencias y races denmeros complejosy teoremadeDe Moivre 634RevisindelCaptulo10 647Secciones cnicas 65111.1Elipses65211.2Hiprbolas66411.3Ecuacingeneralde segundo gradoendos variablesy rotacinde ejes67811.4Sistemasqueimplicanecuacionescuadrticas68811.5Tratamientounificado delas seccionescnicas y ecuacionespolares delas cnicas698RevisindelCaptulo11708Temas de lgebra71212.1Sistemas de ecuacioneslineales y matrices71312.2Propiedades de las matrices y solucinde sistemas linealespor medio dematricesinversas73012.3Fraccionesparciales74612.4Sucesiones, series y notacinsigma75412.5Induccinmatemtica76312.6Sucesiones y series aritmticas y geomtricas77312.7Teoremadelbinomio78912.8Introduccinalas seriesinfinitas801RevisindelCaptulo12811Apndice:propiedades de los nmeros reales817Respuestas alos ejercicios impares824ndice de materias8952CAPTULO1NMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICAS DE ECUACIONES1.1CONJUNTODENUMEROSREALESOBJETIVOS1.Aprender acerca de los nmeros reales y sus subconjuntos.2.Aprender las propiedades del sistema numrico real.3.Establecer la correspondencia uno a uno entre los nmeros reales y los puntos en la recta numrica real.4.Aprender la notacin de intervalospara definir un conjunto de nmeros.5.Determinar siun conjunto de nmeros es subconjunto de otro.6.Determinar la unin o interseccin de dos conjuntos de nmeros.7.Utilizar la notacin de conjuntos y los smbolos de desigualdad para denotar un conjunto de nmeros.8.Ilustrar un conjunto de nmeros sobre la recta numrica de nmeros reales.9.Definir el valor absoluto de un nmero real.10. Representar nmeros por medio de puntos sobre la recta numrica real y determinar las distancias entre puntos.Ellgebra yla aritmtica involucrannmeros sobre los cuales se realizan operaciones tales como adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin. Mientras la aritmtica trata operaciones con nmeros especficos, por ejemplo,2+5,u89;enlgebraseestudianoperaciones sobre nmeros no especificados o desconocidos. stos son designados por medio de smbolos o letras, como x, y, z,a,b,o c. La palabra lgebra provienedelvocablorabeal-jabr,queestenelttulodeuntrabajo publicado a inicios del siglo IX, ilm al-jabr w al muqbalah (traducido como la ciencia de la reduccin y cancelacin).Elsimbolismo algebraico usado para generalizar las operaciones de la aritmtica, fue formulado en los siglos XVI y XVII.Ocasionalmente,seutilizaralgunanotacinyterminologade conjuntos.Sepuededecir queunconjuntoesuna coleccinde objetos,ylosobjetosdeunconjuntosellamanelementosdelconjunto. Cada objeto particular podr estar o no en el conjunto.Las llaves,{ }, utilizadas con palabras o smbolos, pueden descri* bir un conjunto.Si S es el conjunto de nmerosnaturales menores que6,el conjunto S puede representarse as:{1,2, 3,4,5}El conjunto S tambin puede simbolizarse como:{*, tal que x es unnmero naturalmenor que 6 }dondeelsmbolo x recibeelnombredevariable.Unavariable esun smbolo queseutilizapara representar cualquier elementodeuncon- junto dado, y a ste se le denomina dominio (conjunto de reemplazo)delavariable.Otramanera derepresentar elconjuntoanterior S consiste en aplicar la notacin constructiva para conjuntos, en la cual se utiliza una barra verticalenlugar delaspalabras tal que.Conla notacin constructiva para conjuntos, el conjunto S se representa como:{x|x es un nmero naturalmenor que 6 }lo cualselee comoelconjunto detodaslas x tal que x es unnmero naturalmenor que 6*.Se dice que dos conjuntos A yB son iguales, lo cual se escribe A = B, si y slo si A y B tienenlos mismos elementos. Por ejemplo,{1,2,3}| {3,1,2}La unin de dos conjuntos A yB, denotada por AU B y que se lee i4unin B, es el conjunto de todos los elementos que estn en A o en B o tanto en A como en B. La interseccin de A y B, que se denota por medio de Afl B y se lee Ainterseccin B", es el conjunto de todos los elementosqueestntantoenAcomoenB.Elconjuntoqueno contiene elementos recibe elnombredeconjunto vaco ysedenota por 0 .__________________1.1CONJUNTO Pg NMEROS RgAifs3>EJEMPLOILUSTRATIVO1Suponga que A={2, 4, 6,8,10,12}, B ={1, 4, 9,16}y C ={2,10}. Entonces AUB= {1,2,4,6,8,9,10,12,16}ADB={4}B U C = { 1 , 2 , 4 , 9,10,16}BDC0 b , a < t b , y a ^ bson llamados desigual* dades. Enparticular, a < b y a> b son desigualdades estrictas, mientras que a b ya bson desigualdades no estrictas.Unnmero x est entre a y b s i a < x y x < b . Se puede escribir lo anterior como una desigualdad continua de la forma siguiente:aEJEMPLOILUSTRATIVO9Enlos incisos(a),(b) y(c) se emplea loestablecido enla parte(i) de la definicin anterior, y enla parte (d) se utiliza (ii).(a)y4=2 (lase la raz cuadrada principal de 4 es igual a 2). Observe que aunque - 2tambin es una raz cuadrada de 4 no es la raz cuadrada principal. Sin embargo, se puede escribir -V4_=-2.' ^ VsT = 3(lase la raz cuarta principal de 81esigual a 3).Elnmero -3estambinuna raz cuarta de81 y es posible escribir -\8T =-3.V64~ = 4 (lase la raz cbica principal de 64 es iguala 4 ). >/-64* = - 4(lase la raz cbica principal de -64 es igual -4 )4Observeque siaEJEMPLOILUSTRATIVO10(a)2Sm=V25~(b)(-8)'=(c) ~ j=5= - 2 . " I *Considere ahora cmo se deben definir expresiones tales como 9382/3(_27ya7V4Silafrmulaa " =(a'1)esaplicabletantoparanmerosracionales como para exponentes enteros, entonces a mh' puede ser definida de forma tal que^ P j M P INMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICAS PE ECUACIONESEnla definicin se tienela restriccinde que m y nson primos relatj. vos,io cualsignifica queambos no tienenfactores comunes enteros ypositivos diferentes de1.DEFINICINamjKSi m y n son enteros positivos que son primos relativos y a es un nmero real, entonces si >laes un nmero real, nn =('a)m EJEMPLOILUSTRATIVO13(a)[(-9)2]1/2 =|- 9 | (b) [(9)2] 1/4 =|- 9 |2/4=9= 9 in= 3x-fh---------7------- dondex>0,x+h>Oy h*0SolucinMultiplique elnumerador y el denominador por el conjugado delnumerador.Vx. +h - V x _(Vx+ h- Vx)(Vx+h+Vx)hh(Vx+h+Vx)_( Vx+ h f - VxVx4-h+V x V x +h- (Vx)2h(VX+h+Vx)(x+h)x h ( V f +- h+Vx)_______h_______h(Vx+. h+Vx)- 1Vx+h+Vxfactor1)EJERCICIOS1.2I(I ] Enlosejercicios1a8,laexpresinracional ci-SBcomplejaessimilar altipodeexpresionespresentes en Clculo.En cada ejercicio,encuentre una expresin racional simple equivalente, considere que h 0 .1 Ix+hx2.3+h34+h45.-.(4+h)216x + h( x +h)2+ 1 x 2+ 13x+3h+23x+24.2x-r2h- 52*- 57.8.I+/)'+1 230CAPTULO1 NUMEROS,EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICAS DEECUACIONESEnlosejercicios9 a16,escribala cantidad como un23.[(4)4(m +1)8(m 4)4] 14nmero racional con exponente1.(b)(2 3)5 9.(a)(32)4(c)(b)210.(a)(22) \( o (A y11.(a)< - 5 r 3(c)36,/2212.(a).(c)( 8)l/313.(a)( - s ) 2/ (c)2~3 7~'14.(a)(jy)( - 3 ) 4(c)15.(a)16.(a)24.( - S ) V(x2+4)2(d)(b)(3,-5)4( 2a 52\ 2(d)7(4)'\2"3+ 3' 22"4+3_l6"'+ 2~35+4(b)( - 6)~2(d)(b)9-3(d)(f) ' 4(b)0.163/2 (d)2~4- 24(b)0.0016~3/4(d)(4_12~3Y X(b)[4(y- 2)2Ji/2(b)[(2)8(jt~2)*(2v)4l l/422.(a)[-2a\*h+2)*]l/4 (bf [ EJEMPLOILUSTRATIVO1(a)Elnmero - 3 + 6iesunnmerocomplejocuyapartereales - 3 ) la parte imaginaria es 6 .(b)Elnmero 7+ ( - 4 ) iesunnmerocomplejocuya parte real es 7 yla parte imaginaria es - 4 . ' puede escribirse como a -pi. Por tanto7+( - 4 ) =7 - 4 /Unnmerorealesunnmerocomplejocuyaparteimaginaria es 0 ;o sea,que si a es unnmero real,a=a+OPor tanto,R esunsubconjunto deC.OtrosubconjuntodeC es el con junto9denmeros imaginarios definidosporJ =[a + bitb R,2 = - l , > * 0 )El nmero 0+bi se puede escribir ms fcilmente como bi, o sea. 4bi=0+biEste nmero se denomina nmero imaginario puro.1.3CONJUNTO PE NMEROS COMPLEJOS33EJEMPLOILUSTRATIVO2(a)Elnmero complejo -5+2i es un nmero imaginario.(b)Elnmero complejo 8/ es un nmero imaginario puro.(c)Elnmeroreal- 3 esunnmerocomplejo,ypuedeserescrito como- 3 +0/.(d)Elnmeroreal0esunnmerocomplejo,ypuedeserescritocomo 0+O.^Eltrminonmeroimaginarioesunaeleccinhistricapoco afortunada, y proviene delhecho de queuna ecuacin talcomo jc* = -1 notienesolucinenelconjuntodenmerosreales.Desdeelsiglo XV,losmatemticos encontraron convenienteelconsiderar una ecuacin como Jt2 = -1de la misma manera que una ecuacin como x2 = 4, lacualtienesolucionesreales.Desdesupuntodevista,unnmero cuyocuadradoes-1noerarealsino algoimaginario.ReneDescartes,en1637,introdujolaspalabrasreal(vraye) eimaginario(imagi- naire)relacionadasconlosconjuntosdenmeros,yLeonhard Euler(1707-1783)en1748emple,elsmboloipararepresentar unnmerocuyocuadradoes- 1 . Eltrminoylasimbologahan permanecido, aun cuando los nmeros imaginarios son cosas reales comolosnmeros7,- 4 yAhora se establecer una definicin que permite que.cualquier nmero real (positivo, negativo o cero) tenga una raz cuadrada.DEFINICINRaz cuadrada de cualquier nmero realSe dice que el nmero s esuna raz cuadrada de un nmero real r si y slo sis2=rSe sabe que cualquier nmero positivo tiene dos races cuadradas, una positiva yotranegativa,y elnmero 0 tieneslouna raz cuadrada, 0.Quhayacerca dela raz cuadrada deunnmeronegativo? En particular considrese elnmero 2. EntoncesCAPTULO1NMEROS,EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICAS DEECUACIONESporloqueapartirdeladefinicin,tantoi^2como- h 2sonraces cuadradas de -2.Demanera ms generalsi - pes cualquier nmero negativo,entonces pesunnmeropositivoytantoi'ipcomo- i'pson racescuadradasdep.Aligualqueconlasracescuadradasdelos nmerospositivos,sedistingueentrelasdosracescuadradasusando elconcepto de raz cuadrada principal.DEFINICINRaz cuadrada principal de un nmero negativoSipesunnmeropositivo,entonceslarazcuadradaprincipal de - p ,denotada por V-p,est definida por | j |= i'fpLas dos racescuadradas de - p se escriben comoV-/?y-V-p, c cmo i 'Jpy - i vp.>EJEMPLOILUSTRATIVO3(a)^P5= /V5~Las dos races cuadradas de - 5son i>5y - i ^ S .(b)j A 6 =bIl6= 4iLas dos races cuadradas de -16 son 4/ y 4i.(c)-T=/VT==Las dos races cuadradas de -1son i y - i. EJEMPLOILUSTRATIVO4Si*+4i=- 6 +yi Entonces x=- 6y y=4.-Se desea definir la adicin yla multiplicacin de nmeros complejos, de tal forma que sean validos los axiomas para estas operaciones en elconjuntodenmerosreales.Afindellegaratalesdefiniciones,se consideran dos nmeros complejos a+b i y c +di como si fueran polinomioseni yluegose simplifica elresultado considerando i}=- 1. De esta manera(a+bi)+(c+di)ma+c+bi+di.= (a+c)+(b+d)iy(a+bi){c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac4-(ad+bc)i+bd(1)=(ac bd)+(ad+be) iEntonces se tiene la definicin siguiente.DEFINICINSuma y producto de dos nmeros complejosSi a+bi yc+di sonnmeros complejos, entonces(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi) (c+di)=(ac- bd)+(ad+bc)iCAPTULO1 NUMEROS,EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICAS DEECUACIONESMediante la anterior definicin se puede demostrar que el conjur toC es cerrado bajolas operacionesde adicin ymultiplicacin. TairfbinpuedeprobarsequelaadicinymultiplicacinenCsu conmutativasyasociativas,yquelamultiplicacines distributiva sobre la adicin;esto es, si u , v , w C,entoncesu+V== V+ uuvvu(u+v)+ w= U+ (+ w)(uv)w= u(vw)u(v+w)=uv+uwMs quememorizar las definiciones,sesugiere que realice clcu- los con nmeros complejos,como en el ejemplo siguiente. EJEMPLO2Suma y multiplicacin de nmeros complejosEncuentre la suma yproducto de los siguientes nmeros complejos: 5 - 4 / y- 2 +6i Solucin(5- 4i)+( - 2 +60=5- 2- 4/+61=3+2/(5- 4/)(2+61)=- 1 0 +30/+8/- 24i 2= - 1 0 +38i - 24(1)= - 1 0 +38/+24=14+38/Elelemento neutro (o idntico) aditivo enelconjunto de nuntf roscomplejoses0,elcualpuedeescribirsecomo0+O.Elinven* aditivo deun nmerocomplejo a + b i e s - a-bi, debido a que(ia+bi) +(-a - bi) =[a+(-fl)]+[b+(-b)]i=0+0/Por tanto,- (a+bi) = - a - biComoenlosnmeroreales,larestadenmeroscomplejos definida en trminos de adicin; es decir,(a+bi)- (c+di)=(a+ bi)+[(c+di)]=(a+ bi)+(cdi)=(flc)+(bd)i1.3CONJUNTODENMEROS COMPLEJOS37 EJEMPLO3Sustraccin de nmeros complejosEncuentre la diferencia de los nmeros complejos del ejemplo 2. Solucin(5- 4)- (-2+00=5- 4/+2- 6/=7- 10/EJEMPLOILUSTRATIVO5(a)El conjugado de 3+ 2es 3 -2.(b)El conjugado de - 4 - 5 es - 4- (Si)o de formaequivalente$ - 4 +5i.EJEMPLOILUSTRATIVO6Elinverso multiplicativo de 4 -3 esPara representar este nmero complejo en la forma estndar a + bi,multiplique el numerador y edenominador por el conjugado de 4 -3. Entonces se tiene_ J __ ^ 1 (4+3)4- 3(4- 3)(4+3/)=4+316- 9/ 2=4+3/16- 9( 1)= +h iAs, el inverso multiplicativo de 4 -3 es ^ +--i.Por lo que (4- 3 0 &+ ) = +%i- 551 ~ h i 2=16+9254-=1En resumen, se tienenlaspropiedades siguientes del conjul1.3CONJUNTO DE NUMEROS COMPLEJOS39Elconjunto denmeroscomplejos1.ElconjuntoCescerradobajolasoperacionesdeadiciny multiplicacin.2.LaadicinylamultiplicacinenC sonconmutativas yasociativas; la multiplicacin es distributiva sobre la adicin.3.Hay un elemento idntico para la adicin y un elemento idntico para la multiplicacin.4.Cada elemento en C tiene uninverso aditivo y cada elemento en C, excepto 0+O, tiene un inverso multiplicativo.Estas propiedades son los axiomas de campo discutidos en la Seccin A.ldel Apndice.Por tanto, el conjunto C esuncampobajolas operacionesdeadicinymultiplicacin.Consecuentemente,lasleyes de los exponentes se aplican a potencias positivas enteras de /.>EJEMPLOILUSTRATIVO7=i2i4 =I 2/ 2i5= i4iI 6= I 4/ 2=( - ! ) / = ( - ! ) ( _ ! ) )i- 0 K - 1 )=~ i ' - 1=i= - 1 1111 111 1111,2)=1701 11 1 1 1 1 1 1 t -10-501 1 1 1 1** 5=|G*I2FIGURA 1.25As, eltringulo esuntringulo rec que conecta los puntos Q y R.Ahora se obtendrnlas frmulas para determinar el punto mofede un segmento de recta.Suponga que M(x, y) es el punto medio del segmento de recta quen Ide Pi(xu y)a P2(x2, y2).Refiraseala Figura1.26.Debido aqueta tringulos P{RM y MTP2 son congruentes,|pTR|=\MT\y\RM\=\TP\X\= X2X2x= X\+x2X\+ x2y- y\=y2- y2y =y x +y2_ y*+ j *Frmulas de punto medioSiM(x,y)eselpuntomediodelsegmentoderecta que va deP\(x\, yt) a P2(x2, y2), entoncesX=Xli h y- ?i >222Enla deduccin delasfrmulas,seha considerado que j y2>Se obtienenlasmismas frmulasusando cualquier orden p-estos nmeros.1A PLANONUMRICO47alculc(8 2?; ellado I41>medio I1 que vaque loside> m y n p ^ EJEMPLO2Aplicacinde las frmulas de punto medio y distancia(a)DeterminelascoordenadasdelpuntomedioMdelsegmentode recta que va de 4(5, -3) a B(- 1,6).(b)Localice los puntos A,M y B, y demuestre que|AM|=|MB| .Solucin(a)De las frmulas de punto medio, si M es el punto (x, >) entonces5-y==2- 3 +6232Por tanto, M es el punto ^2,(b)La Figura1.27muestra los puntos A,M y B. Aplicando la frmula de distancia se obtiene\AM\=\ / ( 2 ^ 5 ) 2 +( | +3U \MB\=y l ( - 1 - 2Y+I 6- |3V= I* 5I81V9 + t=^ / 3Por tanto,I AM|=|MB\ .(1,- 2 ) 4.P(2,2)5.P&2)6.P ( - 2,- 2 ) 7.#>(-1,- 3 ) S.P(0,-))En los ejercicios 9 a 12, describa el conjunto de punaP(x, y) en un sistema coordenado cartesiano recta*? lar que satisfagan la condicin dada.En los ejercicios 3 a 8,localice en un sistema coordenado cartesiano rectangular el punto P y cada uno de los puntossiguientes:(a)El punto Qtal quelarecta que pasa por Qy P es perpendicular al eje x y es bisec- tada por l.D las coordenadas deQ.(b)El puntoR tal que la recta que pasa a travs de P y Res perpendicular al eje y y es bisectada por este eje. D las coordenadas de R. (c) El punto S tal que la recta que pasa por P y S es bisectada por el origen.D las coordenadas de 5. (d) El punto T tal que la recta que pasa a travs de P y T es perpendicular y bisectada por unarecta ele 459.(a)y=4 (c)x > 010.(a)*=7 (c)x- 212.(a)y=0 (c)v 0(b)x< 4 (d)xy> 0(b)x23 (d)xy< 01.4PLANONUMERICO49Enlos ejercicios13a16,paratos puntos AyB.en-Icuentre las distancias dirigidas (a) B; (b) A13.A(-1.7) y 0(6, 7)14.A(-2,3) y B(-4 , 3)15.4(3, -4) y B(3, - 8)16.4(-4,-5) y fl(-4,6)17.Si Aeselpunto(-2,3)yeselpunto(x,3)encuentre x tal que (a) AB = - 8; (b) AB = - 8.18.Si Aes elpunto (-4, y) yBes elpunto (-4, 3) encuende y tal que (a) AB = -3; (b) BA = -3.En los ejercicios19 a 22,hagalo siguiente:(a) localice los puntos Ay B y dibuje el segmento derecta entre ellos; (b) encuentre la distancia entre A y B; (c) halle el punto medio del segmento de recta que va de A a B.19.4( 1,3) y fl(-2,7)20.4(-4, -1) y fl(4, 5)21.A(8, 5) y 5(3, -7)22.>4(6, -5) y B(2, -2)Enlos ejercicios23 a26,hagalo siguiente:(a)determine las coordenadas del punto medio del segmento de recta que va de Aa B;(b)localicelos puntos A,M, y B y demuestre que|AM|=|MB|.23.4(-4, 7) y 5(1,-3) 24.A(3,4) y fl(4, -3)25.A(l, 3) y B(4,0) 26.A(0, -2) y B(2,0)Enlosejercicios27 y28,dibujeeltringuloconsus vrticesen A,B,yC,y encuentrelas longitudes de los lados.27.,4(4, -5), B(-2, 3), C(-1,7)28.4(2,3), 5(3, -3), C(-l, -1)29.Unamedianadeuntringuloesunsegmentode recta queva deunvrticealpuntomediodellado opuesto. Encuentre la longitud de lasmedianas del tringulocuyosvrticessonA(2,3),B(3,-3)y C ( - l , - 1).30.Encuentrelaslongitudesdelasmedianasdel tringulocuyosvrticesson4(-3,5),B(2,4)y C(-l, -4).31.Pruebe que el tringulodevrtices 4(3,- 6),B(8, -2)yC(~ 1,-1)esuntringulorectngulo.(Sugerencia:use el recproco del teorema de Pitgoras.)32.Hallelos puntosmediosdelas diagonales delcuadrilterocuyosvrticesson(0,0),(0,4),(3,5)y (3,1).33.Pruebe quelospuntos 4(7, 2),B(3, -4)y C(l, 4) son los vrtices de un tringulo issceles.34.CompruebequelospuntosA(-4,-1),B(-2,-3), C(4, 3) y O (2,5) son los vrtices de un rectngulo.35.Emplee la frmula de distancia para probar que los puntos(-3,2), (1, -2)y(9, -10)se ubican en una recta.36.Determine silos puntos (14,7), (2,2) y (-4, -1) se encuentranenunarecta,use lafrmuladedistancia.37.Pruebequelospuntos4(6,-13),B(-2,2),C(13, 10)y>(21,-5)sonlosvrticesdeuncuadrado. Encuentre la longitud de una diagonal.38.Siuno de los extremos deun segmento de recta es elpunto(-4,2)yelpuntomedioes(3,-1),encuentrelascoordenadasdelotroextremodelsegmento de lnea recta.39.Siuno delos extremos de un segmento de recta es elpunto (6, -2)y elpunto medio es(-1,5), determine las coordenadas del otro extremo del segmento de recta.40.Pruebe que los tres puntos 4(-5,0), B(3,0) y C(-l, 4>/3)sonlosvrticesdeuntringuloequiltero, para ello muestre que los tres lados tienen la misma longitud.Dibuje el tringulo.41.La abscisa de un punto es - 6, y su distancia al punto (1,3) es V74".Encuentre la ordenada del punto.42.Dadoslosdospuntos 4(-3,4)yB(2,5),obtenga lascoordenadasdeunpuntoPqueestsobrela recta que pasa por 4y B, y que no se encuentra entre 4y B, tal que (a) la distancia de P a A sea el doble que la de P a B, (b) la distancia de P a B sea el doble que la de P a A.Enlos ejercicios 43 a 46,utilice la geometra ancdticapara probar el teorema dado de geometra plana.43.Laslongitudes delasdiagonalesdeunrectngulo son iguales.44.El punto medio de la hipotenusa de cualquier tringulo rectngulo equidista de los vrtices de 1tringulo.45.El segmento de recta queune lospuntos medios de dosladosopuestosdecualquiercuadrilteroyel segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales del cuadriltero, se bisectan mutuamente.46.Para unparalelogramo la suma de los cuadrados de laslongitudesdelasdiagonales esigualala suma de los cuadrados de las longitudes de los lados.50CAPTULO1 NMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICAS PE ECUACIONES1.5GRFICASDEECUACIONESOBJETIVOS Aprender la definicin de la grfica de una ecuacin. Representar grficamente ecuaciones en una graficadora ellgebra.Ahorasevercmounsistemacoordenadonos pemuasociar una grfica (concepto geomtrico) con una ecuacin (concept algebraico).Una ecuacin algebraica con dos variables x y y es un enuncia- do en elque se establece la igualdad de dos expresiones algebraicas, las cuales contienen a las variables x y y.Cuando x y y se sustituyes por nmeros especficos, digamos a y b, el enunciado resultante puede ser verdadero o falso. Si es verdadero, se dice que el par ordenado(a, b) es una solucin de la ecuacin.>EJEMPLOILUSTRATIVO1 Considere la ecuaciny=3x- 2donde (x, y) es un punto en R2. Si x se sustituye por el numeral 2enecuacin, se observa que y = 4; as el par ordenado (2,4) es unasolu cin.Si cualquier nmero es sustituido por x en ellado derecho de iEcuacin (1), se obtiene el valor de y correspondiente al de.v. Por tanto, la Ecuacin(1) tiene un nmero ilimitado de soluciones. Las solucionesobtenidasdela Tabla1 son(-2,- 8),(-1, -5), (0, -2), 0*' (2, 4) y (3, 7).Tabla lX - 2-101 23y = 3x - 2 - 8 -5-214 7_41.5GRAFICAS DEECUACIONES51DEFINICINGrfica de una ecuacinFIGURA 1.29+-+IMIt-f1 0.10]por ( - 1 0 , I0J FIGURA131LagrficadeunaecuacinenR2eselconjuntodetodoslos puntos en R2, cuyas coordenadas son soluciones de la ecuacin.Debidoa quela Ecuacin(1)tieneunnmeroilimitado de soluciones,sugrfica consiste deunnmero ilimitado de puntos. Los seis puntosdadosenlaTabla1 ymostradosenlaFigura1.29,aparecen ubicados en una recta. De hecho, aprender en la Seccin 3.1que cada solucindelaEcuacin(1)correspondeaunpuntosobrela recta,y recprocamente,lascoordenadasdecadapuntosobrela recta satisfacen la Ecuacin (1).Larecta es,por tanto,la grfica dela ecuacin.Dicha grfica se muestra enla Figura1.30, donde las puntas de lasflechasindican que larectacontinaenambossentidos.Lascoordenadasdecualquier punto sobrela recta (x,y)satisfacen( 1), ylas coordenadas de cualquierpuntoquenoestubicadosobrelarectanosatisfacenla ecuacin.Losinstrumentosautomticosdealtavelocidadcapacesde ilustrar grficas, como las calculadoras grficas o graficadoras y las computadorascon softwareadecuado,nospermitenobservar grficasenuninstante.Setomarnlasventajas deestosinstrumentosy se aplicarn a travs del desarrollo del texto. Las calculadoras y computadorasoperandemanera similar,pero parauso de los estudiantes, lascalculadorasgrficassonobviamentemsprcticasquelas computadoras deescritorio.Por tanto,se har referencia a calculadorasgrficasograficadorasenelentendidodequesepueden utilizar,conelmismofin,computadoraspersonalesconsoftware para elaborar grficas.Estrictamente,lascalculadorasgrficas,nosonautomticasya querequierendeunoperadorhumanoparapulsarteclasespecficas, pero en virtud de que las teclas mencionadas dependen del fabricante y modelo de la graficadora, ser necesario la consulta del manual del usuario para obtenerlainformacinde cmorealizar operaciones especficas.Lo que se exhibe en la pantalla de su calculadora muestra una porcin delplano numrico R2 llamado rectngulo de inspeccin. El rectngulodeinspeccindenotadopor[X^,Xmx)por!Ynln,Y^]esel conjunto de puntos en R2para los cuales Xmn EJEMPLOILUSTRATIVO2La grfica de la ecuacin y =3x -2,mostrada en el rectngulo de y peccinestndar,aparece enlaFigura1.32.Compare las figuras i* y1.30, las cuales muestran la misma recta/1Como se mencion,se puedenobtener grficas de dos maneras. mano y por medio de una graficadora.Cuando se obtiene una grffi a mano,comola mostrada enla Figura1.30,se emplea el trmino^ buje la grfica. Cuando se obtenga la grfica en una graficadora, con*la mostrada enla Figura1.32, se le solicita:trace la grfica.aparece en la Figura1.33, trazada en el rectngulo de inspeccin estndar.4>EJEMPLOILUSTRATIVO4Considere la ecuacin y=x 2+14Siseintenta trazarla grfica deesta ecuacinen elrectngulo de inspeccinestndar,seobtienelaFigura1.34,laqueporsupuesto nocontienepuntossobrelagrfica.Estehechononosdebe causar sorpresa,porque elvalor mspequeo para y en la ecuacin es 14, el culi sepresentacuandox=0.Cambiandoelrectngulodeinspeccin de[-10,10]por[-15,15]nosdalaFigura1.35la quemuestra slounapequeaporcindelagrfica.LaFigura1.36muestra la grfic* trazadaenunrectngulodeinspeccinmsconveniente, donde H| 10] ha sido cambiado por [0, 50].Observe que la escala en el eje unidades,mientras que en eleje x es1 unidad.Con frecuencia, es pvechosocambiarlas escalassobrelosejescuandosemodifica elret tngulo deinspeccin.N.delK.Alcompararlas grfica*indicadas,seobservaqueladelacalculadora estunpocoms"acostada.Esto que ensus ejesnosetomalamismalongitudparalaunidaddemedicin; enla graficadora,launidad deleje xes mas la delejev Estomismo ocurre conla computadora.y(c)Por qulas curvasobtenidasenlosincisos (a) y (b) son i&Jticas?Solucin(a)Debido a que y 2 esunnmero positivo o cero, los valores dejI restringen a nmeros no negativos. Para cada valor positivo de * LI dos valores de y.La Tabla 2 nos muestra los valores de y cuandoil es 0,1, 2, 3, y 4. Allocalizar y unir los puntos, cuyas coordenada I sonlosvalores de x y y dela tabla,se obtiene la grfica dibuja] en la Figura1.40.Tabla 254CAPTULO1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICAS PE ECUACIONESv2 = 4jc -22V2-2V22>3- 2 V3 4- 4FIGURA 1.40[-1,5] por [-5,5] y, = 2'lxyyt =-2'Ix FIGURA 1.41-10,JO] por (-10,10] y ABS(x) FIGURA 142(b)En la graficadora se tieneI=2' = 2 y I y = -I'Jx.Por tanto,la unin de las grficas de y\ y yi trazadas a I el inciso (b) es la misma que la grfica dibujada en la parte (a).4La curva en el ejemplo 2 es tambin una parbola. EJEMPLO3Obtencin de la misma grfica en una graficadora y a mano(a)Trace la grfica de la ecuacin y =|x|.(b)Dibuje la grfica de la ecuacin del inciso (a).Solucin(a)Elclculodelvalorabsolutodeunnmero es efectuado interna- mente enla graficadora y enla mayora delas c a l c u l a d o r a s se denota por ABS.Consideremosy=ABS(jc)sugrfica,trazadaenelrectngulodeinspeccin....+...* muestra enla Figura1.42.(b)A partir de la definicin delvalor absoluto de un nmeroy=x six>0 sixEJEMPLOILUSTRATIVO6Lospuntos(3,2)y(3,-2)sonsimtricosconrespectoalejex,los puntos(3,2)y(-3,2)sonsimtricoscon respecto aleje y;ylos puntos(3,2) y (-3, -2) son simtricos con respecto al origen.Vase la Figura1.44.-4Engeneral,los puntos(x,y) y(x,-y) sonsimtricos con respecto aleje x,(x,y)y(-*, y)sonsimtricos con respecto aleje y,y(x,y) y (jc, - y) son simtricos con respecto al origen.DEFINICINSimetra de una grficaLa grfica de una ecuacin es simtrica con respecto a larecta /siyslosiparacadapuntoPenlagrficahayunpuntoQ, tambinsobrelagrfica,talqueP yQ sonsimtricosconrespectoa /.La grfica de una ecuacin es simtrica con respecto alpunto R siyslo sipara cada punto P sobre la grfica existe un punto S,tambinsobrelagrfica,talquePyS sonsimtricos con respecto a R.La Figura 1.45 muestra una grfica simtrica con respecto al la Figura1.46 muestraunasimtrica conrespecto al eje y y la 1.47 una simtrica con respecto alorigen.A partir de la definicinde simetra de una grfica, se puede afe mar que si un punto (x, y) est sobre una grfica simtrica con respeq, al eje x, entonces el punto (x,-y) tambin deber estar sobre la grficaY silos puntos (jc,y) y (x,-y)estnsobre la grfica, entonces lagtffl. caessimtricaconrespectoalejex.Portanto,lascoordenadas EJEMPLOILUSTRATIVO7Lagrfica queapareceenlaFigura1.33essimtrica conrespecto eje y y tiene la ecuaciny =x 2- 3Si x se sustituye porse obtiene la ecuaciny =(-*)*- 3 y=x 2- 3>EJEMPLOILUSTRATIVO8La grfica dibujada enla Figura1.40 essimtrica con respecto al Ln(iii)y=-Vx2- 2576.(i)y2 =25- x 2(ii)y=V25- x 2(iii)y=-V25- x 2Enlos ejercicios77 a80, cin.77.(a)y = 4|x - 1 J(c)y = 4|x I- I78.( a ) y = 3 1 x - 4 |(c)y = 3 | x|- 479.(a)y = x |x|ib)y = 4|x +1 | (d)y * 4 | a|+1 (b)y = 31x + 4| (d)y = 31x|+ 4, - J i L62CAPTULO1 NMEROS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRFICASPEECUACIONES(c)y= \80.(a)y = lxl + jc(b)y = \ x \ - x81.Basado en la grfica de la ecuacinI x I +I yI =1.(a)Pruebe que la grfica es simtrica con respecto aambosejesyalorigen,(b)Dibuje la porcin de la grfica en el primer cuadrante,y use laspropiedadesdesimetrapara dibujar la grfica completa(c) Qu figura geomtrica representa la grfica?82.Trace la grficadela ecuacindelejercicio81, en su calculadora grfica, y escriba una descripcin de cmo lo hizo.83.Realice laspartes(a)y(b)delejercicio81para la ecuacin|x I |y|=1.Tracelagrfica en so graficadora,yescribaunadescripcindecmo k) hizo., o n o-rocio ne s lineales ,W con una incgnita *pcuacbnes cuadrticas icon una incgnita *3 Ecuacionescomo modelosr m a te m tic a 2.4 Otrasecuacionescon unaincgnita ^2.5 Desigualdadeslineales2.6Desigualdadespolinomialei'2.7 Ecuacionesy desigualdad^'Q ue im p lica n va lo r c*~'Lafacilidad pararesolver ecuaciones y desigualdades escrucialen Clculo.Eneste captulo se tratar la resolucin de ecuaciones y desigualdades con una incgnita.Lasprimerastressecciones contienentemasde lgebraintermedia;deberrevisarlosenesta ocasin.Estudiecuidadosamentelosprocedimientos sugeridos en la Seccin 2.3 a fin de obtenerunaecuacincomomodelomatemtico para resolver un problema.La Seccin 2.4 incluye material que,posiblemente,estudiarpor primeravez.Las secciones2.5 a 2.7debernrevisarse detalladamente.Los proce- cflmtentos para obtener conjuntos solucin de desigualdades,y aqullosrequeridos parareempla-,zarunadesigualdadporotraequivalentems simple, son necesarios en Clculo.2.1ECUACIONESLINEALES CONUNAINCGNITA^OBJETIVOS1.Resolver algebraicamente ecuaciones lineales.2.Mostrar la solucin de una ecuacin lineal en una grfica.3.Resolver ecuaciones lineales en una calculadora grfica o graficadora.4.Resolver ecuaciones racionales transformndolas en ecuacin' lineales.5.Obtener y aplicar una ecuacin como modelo matemtico.6.Resolver ecuaciones con literales considerndolas ecuaciones lineales.* 4 CAPTULO 2ECUACIONES Y D E S I G U A L D A D E S ______________________________EnlaSeccin1.5,seintrodujeronlasecuacionesalgebraicas con doil variables.Enestecaptulotrataremosecuacionesalgebraicas de una variabledenominadasenocasionescomoconunaincgnita. El domi. nio de la incgnita, deuna ecuacin,esel conjunto de nmeros para k#cuales las expresiones algebraicas de la ecuacin estn definidas.r>EJEMPLOILUSTRATIVO1En las ecuaciones algebraicas siguientes sea xun nmero real:- * - 5 =0(ljix 2+12=I x (J)x +5m5+x (3)x +2 .asx +3(493=2(j)x +43x- 2Paralasecuaciones(1) hasta(4) eldominio es R. Debido a que el la*>izquierdo dela ecuacin(5)no est definido si xes 0, el dominio ese*conjuntodetodoslosnmerosrealesexceptocero.Ellado izquierdode la ecuacin (6) no est definido si xes - 4y ellado derecho no esuidefinidosixesportanto,eldominioeselconjunto delos nineroSj reales excepto 4y4Cuandolavariable enuna ecuacinesreemplazada por un nun'J ro especfico,laproposicinresultantepuedeserfalsa o verdadera j*j esverdadera,entonceselnmeroesllamadosolucin(oraz)2 . 1 ECUACIONES LINEALES CON UNA INCGNITA65ecuacin.Elconjuntodetodaslassolucionesrecibeelnombrede conjuntosolucindelaecuacin.Sedicequeunnmerosatisface una ecuacin si ese nmero es una de las soluciones de la ecuacin.>EJEMPLOILUSTRATIVO2(a)SienlaEcuacin(1)sesustituyepor5,laproposicinresulta verdadera,pero si x es reemplazadopor otronmero diferente de 5 el enunciado es falso. Por tanto, elconjunto solucin es{5}.(b)EnlaEcuacin(2),sixsesustituyepor3o4laproposicines verdadera, y si x es reemplazado por otro nmero que no sea 3 o 4 setieneuna proposicinfalsa.Por tanto,la ecuacintiene dos soluciones, 3 y 4, y el conjunto solucin es{3,4}.(c)SienlaEcuacin(3)cualquiernmerorealsustituyeax,se obtieneunaproposicinverdadera.Portanto,elconjuntosolucines R.(d)Cuando cualquier nmero realsustituyea jc enla Ecuacin(4),se obtiene una proposicinfalsa.De este modo,elconjunto solucin es 0 .(e)Enla Ecuacin(5),sicualquier nmero diferente de 0 sustituye a x,se obtieneuna proposicin verdadera. Por tanto, el conjunto solucin es[x|jce R, x * 0}.(f)Elconjunto solucin dela Ecuacin(6) no est aparentemente definido. Sin embargo, se mostrar cmo encontrarlo en el ejemplo 3.son equivalentes:l x - 2 \ = 0 7jc = 21jc = 3Confrecuencia pueden resolverseecuaciones por sustitucin, medianteunasucesindeecuacionesequivalentes,cada unadealg* naforma mssimple quela anterior,as seobtiene eventualmeoteyJ ecuacinparala cualelconjunto solucines evidente. Se pueden apt jarpropiedadesdelosnmerosrealesparasustituiruna ecuacin pul otra equivalente.Por ejemplo, elconjunto solucin de una ecuacin* cambiasilamisma expresinalgebraica es sumada o restada a ambosladosdela ecuacin.Adems,elconjuntosolucinno se altera si ambosladosdeuna ecuacinsonmultiplicadoso divididos por la mison' expresinalgebraica,siemprequela expresinalgebraica no sea cao Esrecomendablecomprobarqueelvalorobtenidoalresolver un ecuacin essolucin de sta,lo cualnosindicar sise cometieronooo erroresaritmticosoalgebraicosalresolverla.Lacomprobacin seefecta sustituyendo, en la ecuacin original, elvalor encontrado.Una ecuacinpolinomialdeprimer grado esllamada ecuacin lineal,debidoaquesugrficaesunalnearecta,comosever en b Seccin 3.1.d e s i g u a l d a d e s __DEFINICINEcuacin linealUna ecuacin lineal en la variable xes una ecuacin de la forma ax+b 0 donde a yb son nmeros reales y a *0 .A fin de resolver la ecuacin ax + b = 0 para jc,se resta b de amboladosydespussedividenambosladosentrea,locualpuede haca* porque a0. As, se tieneq las siguientes ecuaciones equivalentes:ax+7 =0ax+bb=0bax=- bax_b aa x- _ baSe demostrar elteorema siguiente.2 . 1 ECUACIONES LINEALES CONUNAINCGNITA67TEOREMA1Laecuacinlinealax+b=0(dondea*0)tieneexactamente una solucin, .*Para mostrar la solucinde la ecuacinlineal ax+b=0en una grfica se define y igualalladoizquierdo, yse dibuja la grfica de esa ecuacin.Lagrficaesunalnearectaquecruzaalejexenelpuntocuya abscisa es x = - la solucin dela ecuacin.Elnmero --es denomi-aanadola intercepcin x de la recta.**EJEMPLO1 Resolucinalgebraica deuna ecuacin lineal y presentacindel asolucin en una grficaResuelva la ecuacin5 * - 2 x - 1 1 = 2 +j cymuestre la solucin enuna grfica.SolucinSisereducenlostrminossemejantes encadalado dela ecuacinydespusseagrega- xy11aamboslados,obtienenlassiguientes ecuaciones equivalentes:3x- 11=x- 63x- 1.1.x +11=x- 6- x+113x- x=11- 62x=55X=2Por tanto,elconjunto solucines{|}. Para verificar la solucin, sercierto que 5'5 2v- 2f 5 l211= 2 +^ - 8? 2N. del R.El hecho de que la solucin de la ecuacin es nica est basado en que los nmeros - b(inverso aditivo de b) y ^ (inverso multiplicativo de a), componentes de la solucin, son nicos. Esto ltimo corresponde a los teoremas del campo R.N.delR.Eltrminointercepcinx puedeinterpretarse geomtricamentecomo la longitud delsegmento determinado en el eje x por la interseccin de la grfica y el eje x, y el origen. Otro nombre para la intercepcin x es abscisa al origen.68CAPTULO 2ECUACIONES Y DESIGUALDADES[-10,10] por (-10,10) y - 2 x - 5FIGURA 2.1Al sustituir |en cada miembro, se tiene11Esto comprueba la solucin.Debido a quela ecuacin dada es equivalente con 2jc-5-n la grfica de:y=2x- 5enunacalculadoragrficaograficadoraobteniendo la recta m*muestra enla Figura 2.1.La intercepcin x de esta recta es 2.5, la54 cin de la ecuacin.Unmtodo grfico estricto de solucin de la ecuacin del se mostrar en el siguiente ejemplo.[-10,10] por [-10, 10] y, = 5 x - 2 x - l l yy2= 2 + x - 8FIGURA 2.2 EJEMPLO2Resolver una ecuacin lineal mediante unagraficadoraUse una graficadora para resolver la ecuacin del ejemplo 1.SolucinSe definenyt=5x- 2x- 11yy2 =2+x- 8y se trazan las grficas de estas dos ecuaciones en el mismo rectngob inspeccin, obtenindose las rectas mostradas en la Figura 2.2. La cooj nada x del punto de interseccin de las rectas es 2.5, lo cual concuerdic*la solucin del ejemplo1.Para resolver una ecuacinque contiene expresiones racinate! multiplicanambosladosdela ecuacinpor elMCDn (mnimocon] denominador)delasfracciones,talcomo semuestra en el ejemplo9', guiente. EJEMPLO3Resolver una ecuacin racionalHalle el conjunto solucin de la ecuacin3=2x+43jt2ISolucinObserve que cuando x es - 4ose obtiene cero en minador deuna de las fracciones en la ecuacin dada. Por tanto. -q estn en el dominio de la incgnitas.I2 . 1 ECUACIONESLINEALESCONUNAINCGNITA69ElMCDnes(x + 4)(3x -2).Sise multiplicanamboslados de la ecuacin por elMCDn, se obtiene(x+4)(3*- 2) =(x+4) (3jc- 2 ) - *+4 3jc 23(3*- 2)=2(jc +4)9x- 6= 2*+ 89 x - 6 +6 - 2* = 2jr+ 8 +6 - 2x9jc2*=8 +6Ix= 14* = 2Por tanto,el conjunto splucin es{2}.Ahora se verificar la solu-31cion.Ser cierto q u e ---------= -------------?2+43(2)- 23=322+46 3(2)- 2=12De este modo, la solucin ha sido comprobada. 3)2=?10014.(x- 4)2+(y +7)2=64[En os ejercicios15 a20,determinelaecuacindela ucircunferencia con centro enC y radio r.Escriba la ecuacin en la forma de centro-radio y en la forma general. (Trace la circunferencia.15.C(4,- 3 ) , r= 516. C(0,0),r =817.C( - 5,- 12) ,r =318.C ( - \ , 1),r=219.C(0,7), r=1 20.C +12 = 0 y 4* -6y -3 = 0sonPJ las, y dibuje sus grficas.VREVISIONDEL CAPITULO3 1 8 711.Encuentre la abscisa delpunto cuya ordenada es -3 y para la cual la recta que pasa por ese punto y el punto(2,7)esparalelaalarectaquetienela ecuacin 3* -4y =12.12.Empleandopendientes, haga el ejercicio 39 de los ejercicios de repaso para el Captulo1.En los ejercicios 13 y 14,utilice las pendientes para determinar silostres puntosseencuentranenlamisma recia.13.(-2,-3), (-1,4), (1,17)14.(0,-3), (1,4), (2,11)En los ejercicios15a18,tracelagrficadel sistema de ecuaciones.Clasifiquelas ecuaciones como (i) consistentes e independientes,(ii) inconsistentes,o (i) dependientes.Silasecuacionessonconsistentese independientes,determineelconjuntosolucindel sistemapormediodelasgrficas,yverifiquelas respuestas sustituyndolas en las dos ecuaciones.15.17.4y+3y=6 (2x+y=42y=4x- 6 6x=3y+916.18.3x | |2y=4 9x- 6y=84x+2y=5 8x- 2y=1En los ejercicios19 a22,encuentre,algebraicamente, el conjuntosolucindelsistemautilizandocualquiera de los mtodos,ya sea de sustitucin o de eliminacin. Verfique la solucintrazando la grfica del sistema de ecuaciones.19.21.2x+y+1,* 0 [3x+2y+40t e - 5y=7 6*- 15y=14:a.22.3x+4y - 6 =0x - 2y +8 =03*- 2y +7 =02*- 3y +8 =0En los ejercicios 23y24,encuentre,algebraicamente, el conjunto solucin del sistema.23.4 . 1 =424.Enlos ejercicios 25 y 26,trace las grficas de las tres ecuaciones en el mismo rectngulo de inspeccin.Son tasecuaciones consistentes oinconsistentes?Verifiquealgebraicamente la respuesta: para demostrar que son inconsistentes,resuelvadosecuacionesdelsistemay demuestrequeningnmiembrodelconjuntosolucin satisfacelaterceraecuacin;parademostrar que son consistentes,encuentre el conjunto solucin.3x+2y=83*+4y=125.(2,6)Enlosejercicios65a74,tracelagrficaquetienela ecuacin dada.65.3x2+4y=066. 5x2- 16y= 067.5y2- 12x=068. 7y2- 24x= 069.x 2+y 2=1070. 4x2+4y2= 2571.x 2+ y 2- 2x + 6y+1 =072.x 2+ y 2+4x -8y+4*073.3x2- 12*- 2y+10=074.4y2 - 3x+16y+4=0En losejercicios75a 82,hagalo siguiente:(a) dibuje la grfica de la primera ecuacin:(b) de la grfica obtenidaenelinciso(a)yunatraslacin adecuada,dibuje la grfica de la segunda tcuacj Compruebe las grficas de los incisos (a)y do las en el mismo rectngulo de inspeccin.75.y = |x | ; y=| x - 3 | +276. y=| x | ; y=| x +2 | - 377.y=Vx;y=Vx+5- 878.y=2x2;y*2(x- l ) 2+479.y= 2 x m\y=2(x- 4)w- 680.y= i - x 3;y =^ (x +3)3+7799SI . y =\ x*- . y =+6) +14482.y =4 x 1'4;y= 4(x-5)w- 2En los ejercicios 83a 86, lospuntos A, B, CjDmkvrticesdeuncuadriltero.Utilizando pendiaiBterminesielcuadrilteroesunrecttg paralelogrcuno,o un trapezoide. Dibuje el cuaim83.A(3, 1),B (5,2), C (15,5), D (17,6)84.A (-8,0), B (-3, -5), C(1,4),D(3.2)85.A ( 3 , 1), B (2, -2), C (-1, -1 ),D (0,2)86.A ( 2 , 13), B (-2,5), C(3, -1), />(7,7)87.Encuentre la ecuacin del bisector popt* del segmento de recta entre los puntos (-1.( 3 , 2).88.Determine la ecuacin de la recta que p**!**punto(5,-3)yesperpendicular a la rao ecuacin es 2x -5y = 1.89.Hallela ecuacin delaparbola que oeoe* tice en ( - 3 , 5 )y su foco en (-3, -I)*90.Encuentre la ecuacin de la parbola cuyest en(5,1), cuyo eje esparalelo al pfilJ por el punto (9,3).Enlos ejercicios 91a96,resuelva el proble***^ trandounsistemadeecuacionescomomatemticodelasituacin.Completed escribiendo una conclusin.91.Unhombrecolocsusahorros endos in;s.Latasadeintersdelainversinit*1REVISINDELCAPTULO3 18910% y de la inversin B de12%. El ingreso anual delasdosinversionesesde$3 760.Silainversin Afuera a12%yla inversin B a10%,su ingresoanualserade $3 720.Culeslacantidad total de sus ahorros?92.Enunsupermercadoquevendefrutaporlibra, una persona compra3Ib de naranjas y 6 Ib detoronjaspor uncostototalde$6,mientrasque una segundapersonapaga$6.40por 5Ibdenaranjas y 4 Ib detoronjas.Culeselprecio por librade las naranjas y de las toronjas?93.Un qumico tiene una solucin que es50% cido. Al ponerle agua,lasolucinreducesucontenido de cido a 40%.Al agregar 500 cm3 ms de agua, la solucin contienesloel35%decido.Determine(a)cuntoscm3delasolucinal50%de cidotenaoriginalmenteelqumico?,y(b) cuntos centmetros cbicos de la solucin cida al 35% obtuvo el qumico finalmente?94.Una inversinproduceunintersanualde$7500. Si se invierten$5 000 ms y la tasa es1%menor, el inters anual es $6 500. Cul es la cantidad invertida y la tasa de inters?95.Los trabajadores AyB puedencompletaruntrabajo juntosen12das.SiAtrabajaslopor20 dasyBterminaeltrabajoenslo6dasms. Cunto tiempotomar a cada trabajador para hacereltrabajosolo?Vaselasugerenciaparael ejercicio 33 en la Seccin 3.2.96.Una mujer tiene cierta cantidaddedinero invertida a una tasa deintersparticular.Siellatuviera $2 000 msinvertidosaunatasa2%menor,debera recibir elmismo intersanual.Si ella tuviera $2 000 menos invertidos y una tasa 3%mayor, tambindeberarecibirelmismointersanual. Cunto tiene ella invertido y a qu tasa?& los ejercicios97 y98,resuelvael problemaencontrandolaecuacindeunaparbolacomomodelo Matemticodelasituacin.Completeelejercicio escribiendo la conclusin.97.Cualquier seccin de un espejo parablico formada alpasarunplanoporelejedelespejoesun segmento de unaparbola, la altura delsegmentoes12cmylalongituddelabasees18cm.Una seccindelespejoformada porunplano perpendicular a su eje es un crculo. Encuentre la circunferenciadelaseccinplanacircularsielplano perpendicular se halla a 3 cm del vrtice.98.Unalambre seune60 piearribadelsueloa dos postes telefnicos distantes entre s180 pie, el cable cuelga en forma deparbola.Sia lamitad de la distancia entrelospostes,elalambre est 50 pie arriba del suelo, encuentre la altura del alambre a 45 pie de distancia de cualquiera de los postes.Enlosejercicios99y100,utilicelageometra analtica para demostrar el teorema de geometra plana dado.99.Silasdiagonalesdeunrectngulosonperpendiculares, el rectngulo es un cuadrado.100.Elsegmentoderecta queunelospuntosmedios dedos lados deuntringuloesparaleloaltercer ladoysulongitudeslamitaddelalongituddel tercer lado.Sumario. _,4.1Funciones4.2 Grficos de funciones4.3 Funciones cuadrticas 4 Funciones como modelos4c p..matemticos unc iones compuestas4 . 1 FUNCIONES1014.1FUNCIONES OBJETIVOS 1.Aprender el concepto intuitivo de funcin.2.Determinar el dominio de una funcin.3.Enunciar la definicin formal de funcin.4.Calcular valores de funciones.5.Calcular cocientes diferencia.6.Encontrar la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones.Debido a que el Clculo est relacionado con funciones de nmeros reales,talesfuncionessonde inters primario para nosotros.A continuacin se introducir el concepto de fondn de manera intuitiva.Una funcin puede considerarse como una correspondencia de unconjunto X denmerosrealesa un conjuntoY de nmeros reales, donde el nmero y es nico para un valor especfico de x.La Figura 4.1muestra talcorrespondencia, en este caso, los conjuntos X yY estn formados por puntos de una regin plana.Elconceptodeincinpuedeenunciarse deotra manera,intuitivamentesepuedeconsiderar queelnmerorealy delconjuntoY es una funcindelnmerorealxdelconjuntoX,siexistealgunaregla por mediodela cualseasigneunvalor nico de y a cadavalor de x. Esta regla confrecuencia se determina por una ecuacin.Por ejemplo, la ecuacinX: todos loa nmeros realesFIGURA4.2yx ldefinelafuncinpara la cual X es el conjunto de todos los nmeros reales yy es el conjunto de los nmeros no negativos.El valor de y en Y asignado al valor de x en X se obtiene multiplicando x por s mismo. LaTabla1 proporciona elvalor de y asignadoaalgunosvaloresparticulares de x, la Figura 4.2 muestra la correspondencia para los nmeros en la tabla.Tabla 1_________ _Ynmeros no negativosy=x 2 160- 416Se emplearnsmbolos como/, g y h para denotar una funcin. El conjunto X denmeros reales descritos anteriormente es el dominio de lafuncin,yelconjuntoY denmerosrealesasignadosalosvalores de x en X es elcontradominio (o mbito) de la funcin. Los nmeros x y y sonvariables.Dado quelosvalores estnasignadospara x, por loFIGURA 4.1192CAPTULO 4FUNCIONES Y SUS GRFICAScual elvalor de y es dependiente de la x elegida, x es la variohi pendiente y y la variable dependiente."i>EJEMPLOILUSTRATIVO1La ecuaciny=2x2+5define una funcin llamada funcin/. La ecuacin proporcionalaie^j pormedio dela cualpuededeterminarseunvalor nico deysiemJ que x est dado;talregla es:multiplicar x por s misma, este prod*se multiplica por 2,yse suma 5.El dominio de/es el conjunto dedoslos nmeros reales,elcual puede denotarse con la notacin de: tervalo como ( -oo, + oo).Elvalor ms pequeo que y puede asumir5(cuando x = 0).Entonces, elcontradominio de/es el conjunto dt&dos los nmeros positivos mayores o iguales que 5, el cual es [5, +oo). i>EJEMPLOILUSTRATIVO 2Sea g la funcin definida por la ecuacin y=V x 2- 4Debidoaquelosnmerosestnrestringidosa losnmeros reate.!es una funcin de x slo para x >2, o bien, x < -2 (o simplemente | j >2); para cualquier x que satisfaga alguna de estas desigualdades,* determinaunnicovalor de y.Sinembargo,si X est en el inteni ( - 2,2),seobtienelarazcuadrada deunnmeronegativo y (te*!1 que y no sea un nmero real. Por tanto, se deber restringirla |El dominio deges (-oo, - 2] U[2, + oo), y su contradominio es [0, +09) jSe puede considerar unafuncincomo el c o n j u n t ode pares nados. Por ejemplo, la funcin definida por la ecuacin y=*Jconflsr detodoslospares ordenados(x, y) quesatisfacen la ecuacin. LJ resordenadosdeestafuncinpresentadosenla Tabla1son (1. (f, |), (4,16), (0, 0), ( - , 1), ( - f ,| )y ( - 4 , 16). Por supuesto, exi** nmeroinfinitodeparesordenadosenlafuncin.Algunos otros(2,4), (-2,4), (5, 25), (-5, 25), (VF, 3) y as sucesivamente.>EJEMPLOILUSTRATIVO 3Lafuncin fdelejemplo ilustrativo1 es el conjunto de 108nados( x ,y)paralos cuales y =2 * 2+5.Algunos de l o s tdos en/ son (0,5), (1,7), (V2 , 9), (2,13), (-1, 7), (-V^,15) y o*054.1FUNCIONES193>EJEMPLOILUSTRATIVO 4La funcin g del ejemplo ilustrativo 2 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los cuales y = V*2- 4.Algunos de los pares ordenados de g son (2,0), (5, V2F), (-2,0), (3, V5), (-9, V78), y muchos ms.4Ahora,se dar la definicin formal de una funcin. sta se define comoun conjunto de pares ordenados ms que como una regla de correspondencia , lo cual hace su significado preciso.DEFINICINUna funcinUnafuncineselconjuntodeparesordenadosdenmeros reales (x, y) en los cuales dos pares ordenados distintos no tienen elmismoprimer nmero.Elconjunto de todoslosvalores permisibles de x es llamado dominio de la funcin, y el conjunto de todoslos valores resultantes de y se conoce como contradominio (o mbito) de la funcin.En esta definicin,el hecho de que dos pares ordenados distintos no puedentenerigualelprimer nmero,asegura que y esnico para un valor especfico de x.Si/es la funcin en la que la variable x representa a los elementos desudominioylavariable y representaalosdelcontradominio,el smbolo fix) (lase / d ex) denota el valor particular de y que correspondealvalor de x.Esta notacin se debe alfsico-matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783).>EJEMPLOILUSTRATIVO5Enelejemploilustrativo1,/ es la funcin definida por la ecuacin y = 2x2+5. As,f(x)=2jc2+5Dado que cuando x=l, 2x2 + 5 = 7, se tiene que/(1) = 7. De manera similar f (-2) =13,/(O) = 5, y as sucesivamente.M>EJEMPLO ILUSTRATIVO 6Enelejemplo ilustrativo 2, g se define por la ecuacin y = Vx 2 - 4 Por tanto,g(x)V*2- 4CAPTULO 4 FUNCIONES Y SUS GRFICASAhora se calcular g(x) para algunos valores especficos de x. gQ) g(S) = EJEMPLOILUSTRATIVO1Dada,f(x)= V2- XLagrficade /semuestraenlaFigura4.4.Observela rectavertical quetienela ecuacinx= k,dondekEJEMPLOILUSTRATIVO 2Considere el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) para los cualesx 2 +y 2=25La grfica de este conjunto se muestra en la Figura 4.5.Este conjunto deparesordenadosnoesunafuncin,debidoa queparacualquier x enelintervalo(-5,5)haydosparesordenados quetienen xcomo el primer nmero.Por ejemplo (3, 4) y(3, -4) son pares ordenados en elconjunto dado. Adems, observe que la grfica delconjunto es una circunferencia con centro en el origen y radio 5, y cualquier recta vertical cuya ecuacin esx = k, donde -5 < k < 5, intersecta a la circunferencia en dos puntos.4Eldominiodeunafuncines,generalmente,evidentea partir de ladefinicindelafuncin.Confrecuencia,elcontradominiopuede ser determinado por medio de la grfica de la funcin.>EJEMPLOILUSTRATIVO3La grfica de la funcin definida porf(x)=|x- 4|- 6es,por supuesto,la grfica de la ecuacin y =|x -4|-6,la cual se obtuvo en elejemplo 4dela Seccin3.5.Aqu sereproduce como la200CAPTULO 4FUWCIOWIS Y SUS GRFICASflx) = |x 41-6 FIGURA 4.64f +H- -T^2II-FIGURA 4.7Figura 4.6. El dominio de/es (-00, +oo), y el contradominio, te en la grfica, es ( - 6, +oo).1En el siguiente ejemplo ilustrativo se tiene una funcin definid, trozos (o tramos) la cual se obtiene por ms de una ecuacin.1 EJEMPLOILUSTRATIVO 4Sea g la funcin definida porg(x)si xL I si- 1 < x< 2 si2< xLa grfica de g se muestra en la Figura 4.7. El punto slido (-1,-3) el punto vaco (1,1) indican que el valor de y es -3 cuando r=-Mdominio de g es (-oo,+oo),mientrasque el contradominio comade tres nmeros -3,1 y 4.jPara trazar la grfica de una funcin de este tipo se requierea&sultar el manual de procedimientos de la calculadora grfica ografio-dora.Las funciones definidas a trozos se emplean por lo comn enCfeNcomo ejemplos y contraejemplos de funciones que poseen ciertas| piedades.Esto es,la grfica dela funcin en el ejemplo ilustrativo^tiene rupturas en los puntos donde x = -1y x = 2, lo cual indica q u e s jfuncin es discontinua para esos valores de x. En el ejemplo sigue*se tiene una funcin definida a trozos cuya grfica no se rompe es1,elvalor de jc enelcuallasecuacionesde definicin cambian. S embargo, al estudiar Clculo se aprender que esta grfica no tiene recta tangente en el punto donde x =1. EJEMPLO1 D i b u j o d o l a g r f i c a d o u n a fundn dtfai# a t r o z o *y d e t e r m i n a c i n d o sudominio f c o n t r a d o m i n i oDibuje la grfica de la funcin h definida por3x- 2 *>=< + ,)six< si1 EJEMPLOILUSTRATIVO6La funcin definida por / ( x)=3x- 2 es lineal. Su grfica es la recta que aparece en la Figura 4.17.La funcin lineal particular definida por ftx)=xsedenominafuncinidentidad.Sugrfica,mostrada enk 4.18, es la recta que bisecta los cuadrantes primero y tercero.T f(x) =xFIGURA 4.184.2GRFICAS DE FUNCIONES205Si una funcin/est definida porf ( x ) = aHx n+an-ix"~l+an- 2Xn~2+ ...+ ax+dodondea0,al t . . . , ansonnmerosreales(an* 0)y nesunenterono negativo,entonces,/sellama funcinpolinomialdegrado n.As,la funcinf(x)=3x5 - x 2 +I x- 1es una funcin polinomial de grado 5.Unafuncinlinealesunafuncinpolinomialdegrado1.Siel grado deuna funcinpolinomiales2,sta se denomina funcincuadrtica, y s el grado es 3 se llama funcin cbica.Las funciones cuadrticas se discutirn en la Seccin 4.3, y la grfica de la funcin polinomial se tratar en la Seccin 5.3.Unafuncinquepuedeexpresarsecomoelcocientededosfunciones polinomialesselellama funcinracional.Lasgrficasdelas funciones racionales estn consideradas en la Seccin 5.5.Unafuncinalgebraicaesaquellaqueestformadaporunnmero finito de operaciones algebraicas sobrelafuncinidentidad yla funcinconstante.Estasoperacionesalgebraicasincluyenadicin, sustraccin,multiplicacin,divisin,elevacinapotenciasyextraccinderaces.Lasfuncionespolinomialesyracionalessonformas particularesde funcionesalgebraicas.Unejemplocomplicado deuna funcin algebraica es el que est definido por, , ,_ W - 3x+l )3f ( x ) ------ 7= = = V x 4+1Lasfuncionestrascendentalestambinsediscutenenestetexto. Ejemplosdefuncionestrascendentalessonlasfuncionesexponenciales ylogartmicas que se presentan en elCaptulo 6,as como las funciones trigonomtricas tratadas en el Captulo 7.Una funcin cuya grfica es simtrica con respecto aleje y es una funcin par,yunafuncincuyagrficaessimtricaconrespectoal origenenuna funcinimpar.Acontinuacinsedanlasdefiniciones formales.DEFINICINFuncin par y funcin impar(i)Se dice queuna funcin / es par sipara cada x en eldominio de/,/ ( - x) =f(x).(t)Se dice que una funcin f e simpar si para cada x en eldominio de /,/(-*) = -f(x).En ambos incisos,(i) y (ii), se sobreentiende que -x est en el dominio de/ siempre que x lo est.206CAPTULO 4FUNCIONES Y SUS GRFICASA i1 1 10FIGURA 4.19Las propiedades de simetra delas funciones pares e ducen a partir de las pruebas de simetra determinabas en>EJEMPLOILSTRATIVT~(a)Si f(x)= x 2, f(-x)=(x)2.Por tanto, f(-x) =/(*)yfuncinpar.Sugrfica esuna parbola simtrica con*4 eje y.Vase la Figura 4.19.resPecio((b)Si g(x) = x 3, g(-x) = (-x)3.Dado que g(-x) = -g(X)t| | | | icinimpar.La grfica de g,mostrada enla Figura 4 20trica con respecto al origen. EJEMPLO7Determinacin grfica y algebraba d*cundo una funcin t ipar, impar o dninguna de las dos clasesTracelagrficadelafuncindadayapartir de sta establezal funcin es par,impar o ninguna de ellas. Demuestre lo mencioaj| manera algebraica.(a)/ ( x)=3xA- 2x2 +7(b)g(x)=3x54x3 9x(c)h(x)=2x4 +l x 3 - x 2+9Solucin(a)La grfica de /, presentada en la Figura 4.21, es simtricacapecto al eje y.Por tanto,la funcin es par. Para demostrare^ manera algebraica se calcula/(-Jc):f { - x )= 3(jc)4- 2 ( - x ) 2 +7 =3*4| 2x2+7= /WDebido a que/(-jc) =/(*),fes par.[-5.5J por [0,10] A) m3x* -lx + 7 FIGURA 4.214 5]por[-30.30] =W-r+942, dibu ^MsiiJomiriioyconi ^ihenmgrafil1/)=3i-WL*3Ife+2|4.2GRFICAS Di FUNCIONESM7pares se de.ccin 1.5s , / e sunrespecto i;s una fueonado:ca con ic trar esto(b)LaFigura 4.22muestralagrficadeg,lacualessimtricacon respecto al origen.Por consiguiente, la funcin es impar. Al calcular g(-x) se obtiene:* ( - * ),.; ,.. ,.; g(x) = 3x54* -9x FIGURA 4.22[-5,5] por [-30,30] h(x) = lxi + 7 x ' - x 1+ 9 FIGURA 4.23EJERCICIOS4.2= 3(jc)5- 4(x)3- 9(jc) =3jc3 +4x3+9x =~( 3x5 - 4jc3- 9x)=~g(x)Dado que g(-x) = -g(x), se ha comprobado algebraicamente que g es impar.(c)La grfica deh,que aparece enla Figura 4.23,no es simtricani cohrespectoalorigen,nienrelacinconeleje y.Portanto,la funcin no es par ni impar. Si se calcula h(-x) se tiene:h ( - x ) i 2 ( x)4+7 ( x)3- ( -jc)2+9 =2x4- 7jc3- x2+9Debido a que h(-x) *h(x) y h(-x) * -h(x), h no es ni par ni impar.4En los ejercicios 1a 42,dibuje la grfica de la funcin y determine su dominio y contradominio.Compruebe la grfica obtenida en una graficadora.2.g{x)=4- x 4.G(x)= x2+2 x ) = ( x - l )28.F(x)=V 9ti-*U)=V9~-x 33\x- 31io.g(x)=v r ^!2.f(x)=V ?14.H(X)- |5 Vi!) Cul eselpago diarioparaunacuadrilla de 15 trabajadores?*Para un gas a presinconstante, suvolumen es directamente proporcional a la temperatura absoluta, y a unatemperatura de180 elgasocupa100 m3. (a) Exprese elnmero demetros cbicos delvolumen delgascomounafuncin delnmero de grados en latemperatura absoluta,(b) Cul es elvolumen del gas a una temperatura de150o?3.El periodo de un pndulo (tiempo para una oscilacincompleta)esdirectamenteproporciona]ala raz cuadrada de la longitud del pndulo, dicha longitud es de 8pie y tiene un periodo de 2 s.(a) Expreseelnmerodesegundosdelperiododeun pndulo en funcin del nmero de pies de su longitud. (b) Encuentre el periodo de un pndulo de longitud de 2 pie.4.Paraunacuerda envibracin,la rapidez devibracin es directamente proporcionalala raz cuadradadelatensinenlacuerda,(a)Siunacuerda particularvibra864vecespor segundobajo una tensinde 24 kg, exprese el nmero de vibracionesporsegundocomounafuncindelnmerode kilogramos de la tensin.(b)Encuentreelnmerodevibracionesporsegundobajounatensin de 6 kg.5.El peso de un cuerpo es inversamente proporcional alcuadradodesudistanciaa)centrodelaTierra, (a)Sielcuerpopesa200Ibsobrelasuperficiede laTierra,expreseelnmerodelibrasdesupeso comounafuncindelnmero demillasdelcentro de la Tiena. Considere que elradio de la Tierra es de4 000 mi.(b) Cunto ser el peso del cuerpo a una distancia de 400miporencimadelasuperficiede la Tierra?6.Para un cable elctrico delongitudfija,laresistenciaesinversamenteproporcionalalcuadradodel dimetrodelcable,(a)Uncabledelongitudfija tieneun dimetro de jcmyunaresistenciade0 . 1ohm,expreseelnmerodeohmenlaresistencia comounafuncindelnmerodecentmetrosdel dimetro,(b) Cul eslaresistencia de uncable de longitud fija y un dimetro de jcm?7.En un pequeo pueblo de 5 000 habitantes elndice decrecimientodeunaepidemia(elporcentajede cambio delnmero de personas infectadas) es conjuntamente proporcionalalnmero depersonasinfectadasyalnmerodenoinfectadas,(a)Sila epidemiaestcreciendoaunritmode9personas porda cuando100personasestninfectadas,exprese elndice de crecimiento dela epidemia como una funcin delnmero de personasinfectadas,(b) Qu tan rpido est creciendo la epidemia siestn infectadas 200 personas? (c)Determine cuntas estn infectadas cuando elndice de crecimiento de la epidemia es un mximo.8.En una comunidad de 8 000 habitantes la velocidad conlacualcorreunrumoresconjuntamenteproporcionalalnmero de gente queha odo elrumor yalnmerodegentequenolohaescuchado,(a) Sielrumorcorreconunavelocidadde20gentes por horacuando200genteslohanescuchado,exprese lavelocidadala cualelrumorseestdifundiendocuando500genteslohanescuchado,(b) Cuntasgenteshanescuchadoelrumorcuando ste est corriendo con la mxima rapidez?9.Unlagoenparticularpuedecontenerunmximo de14(XX)peces,yelndicedecrecimientodela poblacindestosesconjuntamenteproporcional2 2 8 CAPTULO4FUNCIONESYSUSGRAFICASalnmerodepecespresentes yla die^14000 ydichonmero,(a) Si /(*) pece*p* elndicedecrecimiento cuando xpeco sentes,escribaunaecuacinquedefina Culeseldominiodela funcin lor de xhace que/(x) sea un mximo?10.Elmximonmero debacterias soportables pgmedioparticulares900000,y elndice demientobacterianoesconjuntamentepropon alnmerodebacteriaspresentes yala entre900000ydichonmero.1V P +3o/ w =Ig(x)=Entonces( f 8)t o * / ^ )=/(V?Ti =1v ? n ;i los ejercicios15 a24,definalassiguientes funcionesydetermineeldominiodelasfuncionescom- pestas: (a) f f; (b) g0g-Las funciones del ejercicio 5.|16.Las funciones del ejercicio 6.7.Las funciones del ejercicio 7.P8.Las funciones del ejercicio 8.P$* funciones del ejercicio 9.Las funciones del ejercicio10.21.Las fundones del ejercicio11.22.Las funciones del ejercicio12.23.Las funciones del ejercicio13.24.Las funciones del ejercicio14.ffjbEnlosejercicios25a30,expresededos ^ manerasdiferenteshcomolacomposicinde dos funciones fy g.25.h(x)=Vx*- 427.h(x)=x- 2comolacomposicinde 26.h(x)=(9+x 2)-228.h(x)=y f P T J29.h(x)=(x2+4x- 5)430.h(x)=V|x|+ 4Enlosejercicios31a34,resuelvaelenunciadodel problemaencontrandounafuncincompuestacomo modelomatemticodelasituacin,noolvideescribir una conclusin.31.Elreadelasuperficiedeunaesfera esunafuncin de suradio.Sir centmetros es el radio de una esfera y A(r) centmetros cuadrados es el rea de la superficie,entoncesA(r)=4nr2.Supongaqueun balnmantienelaformadeunaesferacuandose infladetalmaneraquesuradioestcambiando conuna rapidezconstante de3cm/s.Si f(t) centmetros es elradio del baln despus de t segundos, haga lo siguiente:(a) Calcule (A / ) ( / )e interprete elresultado,(b)Encuentre elreadelasuperficie del baln despus de 4 s.32.En unlago, unpez grandesealimenta deuno mediano, y la poblacin del pez grande es una funcin de/d e x, elnmero de pecesmedianos en ellago. Encambio,elpezmedianosealimentadepeces pequeos,ylapoblacindelosmedianosesuna funcindew,elnmerodepecespequeosenel lago.Sif(x)ssV2r+1 500yg(w)=Jw+5 000hagalosiguiente:(a)Expreselapoblacindepeces grandescomo unafuncin dew\(b)encuentre el nmero de peces grandes en ellago cuando existen en este lugar 9 millones de peces pequeos.33.La demandadelosconsumidoresparaunjuguete particular en ciertomercado es una funcin /de p, su precio en dlares, elcual encambio es unafuncin g de t, el nmero de meses desde que el juguete lleg al mercado. Si2 3 6 CAPTULO 4FUNCIONES Y SUSGRFICAS5000f ( p ) *)=j'+2,+5haga lo siguiente:(a)Expresela demanda delconsumidorcomounafuncinde/.(b)Encuentrela demandadelconsumidorSmesesdespusdeque el juguete ha llegado almercado.34.Elvolumendeuna esfera esuna funcindesuradio.Sir pieseselradio deunaesferayV(r)pies cbicos es elvolumen,entonces,V{r)= 4 n r 3.Suponga que una bola de nieve de forma esfrica con unradiode2pie,hacomenzadoafundirsedetal formaquesuradiocambiaconrapidezconstante de 4.Spulg/min.Si /(/)pieseselradio delabola denievedespusde/minutos,hagalosiguiente: (a) Calcule (V/)(r) e interprete elresultado,(b) Encuentre elvolumendela boladenieve despus de 3 min.35.Es conmutativa la composicin dedosfunciones, esdecir,si /ygsondosfuncionescualesquiera, ( / gX*)y(g/)(*)soniguales?Justifiquela respuesta proporcionando un ejemplo.Si fygsondos funci onestalesque ( / g)(x)= * y(f./X*)=*;entonces fygson funcionesinversas.Enlos ejercicios 35 a 40,demuestre que fy g son funciones inversas.x+336./ ( je) =2x- 3 y g(x)=- 37. /U)* y (*)58X+1 X38.f(x)s jt2, x0, y g(x)=>/TREVISIONDEL CAPITULO 4 VISINRETROSPECTIVA4.1Antesdeestablecerladefinicinformaldeuna funcin,setratlafuncincomolacorrespon-39.f ( x)=x 2, x 0FIGURA 5.19El empleo de la regla de reflexin con respecto al ejexi^. las otras transformaciones geomtricas de esta seccin nos tener la grfica de la funcinF(x)=-a(x- h)n +ka es una constante positivia partir de la grfica def(x) = x*. Esto es cierto, sin embargo,^ serealizalareflexinconrespectoaleje x,como se muestrejemplo siguiente. EJEMPLO6 O/bu/e d el ag r f i c a de una fundn p o l i n o m i o !p o rmedio de transformaclonn geomtricosDibuje la grfica deF(x) = ~ ( x+ 4)3+ 2 median? transform geomtricas apropiadas de la grfica de f ( x ) = x \Compruebekpi ca trazando las grficas de ambas funciones en el mismo rectfaft inspeccin.SolucinLagrficadeF , mostradaenla Figura 5.17, seob aplicando las siguientes transformaciones geomtricas de la grifiat f e n el orden indicado.1.Reflexin con respecto al eje x.2.Traslacin horizontal de 4 unidades hacia la izquierda.3.Traslacin vertical de 2 unidades hacia arriba.La Figura 5.18muestra las grficas de ambas funciones ai aparecen en la graficadora.Ahora setratarnlasgrficas de funciones polinomiabnMneralesdegradomayoroigualque3.SiP esuna funcin potomial de n-simo grado, entoncesP(x)=anx n+an- \ x ~l+a*-2X"~2 +. . . + ft* + *donde oq, ai , . . . ,a sonnmerosrealescon o#Oyn no negativo. Considere a j? como el primer trmino del elcaso de que| x |aumente sin lmite,tambin lo harmayor quela suma delos dems trminos del polinomior^ forma delagrfica paravaloresgrandes de| x| ser afccj*Jjj, valoresdeltrmino a*x".Se puede concluir que la forma depara valores grandes de| jc|ser similar a la grfica dla^tencia de grado n.Ahora se considerarn los casos en que0:Losvalores de la funcin aumentarn 0grandes de x\por esto,la grfica ir hacia arriba y aenla Figura 5.19(a) y(b).Sinespar, la grfica izquierda como enla Figura 5.19(a), y si n es imparaf der desde la izquierda como en la Figura 5.l9(b).nos par (a)ioes impar (b)ft1,tieneporlo menosnceros,algunosdeloscualespuedenestarrepetidos.Elsegundoteoremaestablecequeunodeestospolinomiostieneexactamente n ceros.>EJEMPLOILUSTRATIVO1La funcin P definida comoP(x)= (jr- 4) 3U + l ) 2(jt- 3)es de grado 6, por lo que P tiene seis ceros; stos son 4 , 4 , 4 ,- 1 ,- 1 y 3. El nmero 4 es un cero de multiplicidad3, y - 1 es un cero de multiplicidad 2 .4Para cadateorema relativoa losceros deunafuncinpolinomial, setieneunenunciado relacionado conlas races deuna ecuacinpolinomial.Porejemplo,delteoremaqueestablecequeunpolinomiode gradontiene exactamentenceros,setieneelhecho de queuna ecuacin polinomial de grado n tiene exactamente n races.>EJEMPLOILUSTRATIVO 2Laecuacinpolinomialcorrespondientealafuncinpolinomialdel ejemploilustrativo1 es(x~ 4)3(*+ \ ) \ x - 3)=0Estaesunaecuacindesextogrado,ysusseisracesson4,4,4,- 1 ,- 1 y 3.< EJEMPLO1Demostracindequeun nmero esuncero de multiplicidad 2deuna funcinpolinomial y determinacindelos otroscerosSea:P(x)=2x 4- l l * 3+ 1 U 2+15jc- 9Tracela grfica deP yobserve quela grfica sea tangentealeje x.Entoncespruebequelaabscisa delpunto detangencia esuncero demultiplicidad2 deP ydeterminelos otros dos ceros. SolucinLaFigura5.23muestralagrficadeP.Elpuntodetangencia aparece donde x - 3.Para probar que3 esun cero de multiplicidad2 deP, se comienza porla divisinsinttica deP(x) entre x - 3.4 r t x u t oU 2- 1 16111515- 91292 - 5 - 4 3 0De aqu., 4 i u 3 +1U2 +'5x- 9=(x- 3)(2x- 5*-4, + j UAhora se dividir 2at3- 5*- 4,+3 entre*- 3.2 5""4u3- 321 - 1 0 Por tanto,2x3 - 5 x2 - 4x+3=(x- 3)(2x2 +x- 1)Al sustituir (3) en (2), se obtiene2jc4- l l x 3 +11**+15jc- 9- ! *P(x)* *44* 37* 2+22*+24y determine los otros dos ceros.10, Demuestre que 5 y -1son ceros de la funcin poli- oomial definida porP(x)=Xa+x 3- 31*2- x +30+4 *}y determine los otros dos ceros.!ll.Muestre que - 4es un cero de multiplicidad 2 de la funcin polinomial definida porP(x) x A+9x3 +23*2+8*- 163 del me:, . ...jy determine los otros dos ceros.[11Demuestre que3esuncerodemultiplicidad2de )=1, con coeficientes complejos, entonces P tiene exactamente n ceros complejos.DemostracinPor el Teorema1, P tiene por lo menos n ceros complejos.Si demostramos que P no puede tener ms que n ceros, el teor rema estar probado.La Ecuacin (1) esP(x)=On(x- ri)(*- r 2 ) ... (x- rn)an * 0donde cada r (i =1 , 2 , . . . ,n) es un cero complejo de P. Sea r otro nmero distinto de n, r2, . . . ,'*/ Como la Ecuacin (1) es una identidad,P(r)=a(r- r\)(r- r2)...(r- rn)a# 0Debido a que r = r , ninguno de los factoresr- res cero; por tanto, el miembro derecho de esta ecuacin es diferente de cero. As, P(r) * 0, y enconsecuencia,r no es un cero de P.Por tanto, P tiene exactamente n ceros complejos.La funcin polinomial con coeficientes reales, del ejemplo 3 de la Seccin 5.3, tiene dos ceros ^ (-1+ i V5") y |(-1- i V3) que son conjugados uno del otro.Adems, de la frmula cuadrtica, se deduce que si una funcin cuadrtica con coeficientes reales tiene un cero complejo, entonces el otro cero es su conjugado. Estas dos situaciones son casosespecialesdelteoremasiguiente,elcualsepresentasin demostracin.Enelenunciadodelteoremalanotacinzseemplea para denotar el conjugado del nmero complejo z; esto es,si z=a+entoncesz=abiTEOREMA 3SiP(x)esunpolinomioconcoeficientesrealesysii escero complejo de P, entonces el conjugado z tambin es un cero de P.278CAFmJLO SFUNgONiSP^ W Q M ^ YMOONAUS EJEMPLO1A p l i c a c i n dolTeorema 3Encuentre un polinomio PC*) de cuarto grado con p tiene a1- i y - 2 como ceros.SolucinDel Teorema 3, si1coefjcimei y - 2i son ceros de/>conjugados1 + i y 2i tambin son ceros de P. Por tanto,/>(*)* [*- o - o it* - (1+ OH*- ( - 1 )11, -j=(x2- 2 x +2)(x2+4) s x 4- 2x3 +6 x 2- Sx+8EnlaSeccin5.2,seestableci elteorema del factor nmeroresunnmerorealyelpolinomio P{x) tiene coefc^ realesCuandores complejoyP(x) tiene coeficientes coopfc* teorema del factor tambin es vlido. EJEMPLO2D e t e r m i n a r l o s o t r o s corosdo una funcinp o l i n o m i o I c o n o c i e n d o unodo sus c mc o m p l e j o sPuesto que i es un cero de la funcin polinomial definida por P(x)=2x4- 5x3 +3x2 - 5x+1determine los otros ceros.SolucinComo i es uncero de la funcin dada, su coojupfe tambinesuncerodeP.Seutilizala divisinsinttica pwP(x) entre x - i; y despus se divide el cociente entre x- H-2 *5 3 - 512 i - 2 - 5 i 5+i-12 - 5 +2 i 1 - 5ii0- 2 i 5 i- i2 - 5 10As, por el teorema del factor, se puede escribir Pi*)0000P(x)=(jc- i)(x+)(2jc2- 5x+D Al igualar a cero el factor cuadrtico, se obtiene2jc2 5jc+1=05 V25- 8V7As, los ceros de P son i, - i ,|(5 + Vl7) y\(Ahorasepresentarndosteoremasquesonconsecuenciasdel Teorema 3.5 . 4 CEROSCOMPLEJOS PEFUNCIONES POUNOMIALESa wTEOREMA 4SiP(x)esunpolinomio concoeficientes realesyelgrado de P es un nmero impar, entonces P tiene por lo menos un cero real.DemostracinSuponga que P no tiene ceros reales. Como elgrado de P esunnmeroimpar, entonces l tiene un nmero impar de ceros imaginarios.Sinembargo,elnmerodecerosimaginarios deP debe serparporquemedianteelTeorema3,para cada ceroimaginariossu conjugado debe ser tambin un cero.Por tanto, tenemos una contradiccin. De este modo, la suposicin de que P no tiene ceros reales es falsa. En consecuencia, P tiene por lo menos un cero real.TEOREMA 5SiP(x)esunpolinomioconcoeficientesreales,entoncesP(x) puedeexpresarsecomounproductodepolinomioslinealeso cuadrticos con coeficientes reales.DemostracinSiP(x)esdegrado n,entoncespor elTeorema2,P tieneexactamentenceroscomplejos.Denotemosestoscerosporct C2, . . . ,cn. As,P(x)a{xci)(xCi). . . 4 (x c jPara cadac,queseaunnmeroreal,xc,esfactorlinealdeP(x).Supongamos que z es un cero imaginario de P. Entonces por el Teorema 3, Zies tambin un cero de P y es uno de los ceros complejos Ci, ci, . . . ,c.Por tanto,x -zy x - z son factores de P(x), y(jc~ Z/)(jc- Zi)= x 2- ( Z i + Zi)*+ Z.* Zi Sea Zi =a+biyZi = o - bi%entoncesZt+z= (a+ bi)+(a- bi)Zi z,=(a+bi)(a - bi)=2a4,= a 2b 2i 2= a 2+ b 2280q*PTkQ^YKAqowALISAs,(x ~Z/ )( x~Zt)=x 2- 2ax+(a2 +b*)Como -2a y a 2+ b 2sonnmeros reales, entonces (x- un polinomio cuadrtico con coeficientes reales.'Portanto,seconcluyeque P(x)puedeexpresarse con* ducto de polinomios lineales o cuadrticos con coeficiente0 81^r/t i El Teorema 5 se aplica en Clculo cuando las fraccione*/discutidas enla Seccin12.3,se emplean como una tcnica r iJIdxi0iLosdosejemplosilustrativossiguientesverifican el teore?i dos polinomios particulares.wenu pnI>EJEMPLOILUSTRATIVO1La funcin P del ejemplo 3 de la Seccin 5.3 est definida por P(x)=x4+3x3 - 12x2- 13*- 15 En la solucin de ese ejemplo se mostr que P(x)=(x+5)(x3)(jc2+x+1) el cual es un producto de polinomios lineales y cuadrticos.>EJEMPLOILUSTRATIVO2Para la funcin P del ejemplo 2P(x)=(x- /)(*+0(2*2- 5*+1)=(x2+\)(2x2 - 5*+1) el cual es un producto de dos polinomios cuadrticos.DelTeorema 3,loscerosimaginarios de una concoecientesrealesdebenpresentarse enpares. Esto unafuncinpolinomialdebetenersiempreunnmero imaginarios.Estehechonosayudaa determinar la nans**^ ceros de una funcin polinomial.>EJEMPLOILUSTRATIVO3En el ejemplo 5 de la Seccin 5.3 se mostr que la ecuaci 2*3- 2*2- 4x+1 =05.4CIROS COMPLEJOS DIFUNCIONES POUNOM1ALES__281no posee races racionales o, equivalentemente, que la funcin P(x) definida porP(x)=2x3- 2x 2- 4x+1no tiene ceros racionales. Debido a que P es de tercer grado, lo cual se sabe por el Teorema 2,queP tiene exactamente tres ceros complejos. Portanto,estoscerosdebenserirracionalesoimaginarios.Comoel nmero de cerosimaginarios debeser par, entonces P tiene tres ceros reales,loscualessonirracionales,odoscerosimaginariosyuncero real irracional.4Enla discusinquesiguesenecesitarelconceptodevariacin de signo de un polinomio.Silostrminos deun polinomio con coeficientesrealesseescribecomopotenciasdecrecientesdelavariable (los trminos que tienen coeficiente cero se omiten), entonces una va* nacindesignoocurresidoscoeficientessucesivostienensignos opuestos.>EJEMPLOI L U S T R A T I V O 4SiQ(x)= x 4- 6x2- 2x- 1entonces los coeficientes tienen, sucesivamente, los signos As, Q(x) tiene una variacin de signo. Adems,Q ( - x ) =x 4- 6x2+2x- 1y Q(-x) tiene tres variaciones de signo.El polinomio x 3 + 2x + 5 no tiene variaciones de signo.^Regladelos signos deDescartesSiP(x)esunpolinomioconcoeficientesreales,elnmerode races positivas de la ecuacin P(x) = 0 es igual al nmero de variacionesdesignodeP(x),o esmenor queestenmeropor un nmero naturalpar. Adems, el nmero de races negativas de la ecuacin esigualalnmero de variaciones de signo de P{x), o es menor que este nmero por un nmero natural par.Elnombredeesta regla es enhonor almatemticofrancsRene Descartes, creador de la geometra analtica. La demostracin de la regla de los signos est ms all del alcance de este libro.2*2CAPTULO 5FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALf SEJEMPLOILUSTRATIVO5FIGURA 5.28La. P(a))y *Hx)(b. P(b)) FIGURA 5.29La funcin P delejemploilustrativo 3 tiene dos variaci Por tanto, por la regla de los signos de Descartes, P tiene cero positivo. Adems,P ( - x )=- 2 x 3 - 2x2 +4x+1y P(-x) tiene una variacin de signo. En consecuencia, P tienenegativo.Ahora sepuedendescribir completamente los tres cero*kt' la conclusin del ejemplo ilustrativo 3 y de lo que se ha mnn deloscerossonnmerosirracionalespositivos y unot* irracionalnegativo,delocontrario,dossonnmeros uno es un nmero irracionalnegativo.Elteoremasiguienteproporcionamsinformacin acercai aceros reales de una funcin polinomial.TEOREMA 6Suponga que P(x) es un polinomio y que a y b son nmeros rAi tales que a0- za al eje x en el punto (c, 0), donde a < c < b. La Figura el caso cuando P(a)> 0 y P(b) < 0.i#!' 5'51 .>EJEMPLOILUSTRATIVO6 Para la funcin P del ejemplo ilustrativo 5 defin!p*^ P(x)* 2x3- 2x2 4x+1se calcula P( 1) y P(2) mediante sustitucin sinttica-(b)5.4CEROS COMPLEJOSDEFUNCIONES POLINOMIALES283:iones de sne dotoajJJ224120 - 420 - 4 - 32 1 2 - 2 - 4 14402201Por tanto, J*() = 3y P(2) =1. Como / \ 1 )y P(2) tienen signo contrario,delTeorema6se deduce que existeunnmero realc entre1 y2 tal que P(c) = 0. As, P tieneun cero positivo entre1 y2. Con este hecho yla conclusindel ejemplo ilustrativo5,estamosseguros de que Ptiene dos ceros irracionales positivos y un cero irracionalnegativo.SepuedeaplicarelTeorema6paradeterminarnmerosenteros entrelos cualesse encuentranlos otros dos ceros.Como P(0) =1, deducimosqueP(0)yP(\)tienensignosopuestos,yportanto,P tiene unceropositivoentre0y1.SicalculamosP{r\)yP(-2)mediante sustitucin sinttica obtenemos2 - 2 - 4 1- 2 40- 2 1 2 - 2 - 4- 4 12 162- 4 0 2- 6 - 1 5As, P ( - l )y P(-2) tienen signos contrarios, y en consecuencia P tiene un cero negativo entre - 2y -1.LaFigura5.30muestralagrficatrazadaenlagraficadora.Las intercepciones x verifican nuestras conclusiones acerca de los ceros de P. E J E M P L O 3 Determinacin de la naturaleza de los ceros de una funcin polinomialParacadauna delassiguientesfunciones,determinetodala informacinconcernientealnmerodecerospositivos,negativoseimaginarios. Trace la grfica de las funciones yverifique la informacin.(a)F(x)= 3x4+x 2+7x+1 (b)G(x)= x 5+Sx2- 4Solucin(a)Como F(x) no tienevariaciones designo,entoncesno tiene ceros positivos.F(-x) = 3x* + x 2- l x + 1.Debido a que F(-x) tiene dos variacionesdesigno,Ftienedosoningnceronegativo.Sise calcula F(0) y fl (- l ) se obtiene, respectivamente,1 y - 2 ,opuestos ensigno.Por tanto,delTeorema 6,existeunnmeroc entre0 y -1talqueF(c) = 0.Estenmero c es un cero negativo de F.As, Ftienedoscerosnegativosydosimaginarios.LagrficadeF, mostrada enla Figura 5. 3 1 , verifica nuestra conclusin.(b)G(x)tieneunavariacindesigno.Portanto,Gtieneunceropositivo.G(-x) = - x 5+ 5x2 - 4 y G(-x) tiene dos variaciones de signo.Como G(-l) = 0, entonces -1es un cero de G.Consecuentemente,Gtieneun cero positivo,doscerosnegativosydos ceros imaginarios.La Figura 5.32muestrala grfica de P trazada en la graficadora. Dicha grfica verifica la conclusin.por De modo que se tiene slo un valor paraD eu n acalcu0 = 25.7Se determina y y c para este tringulo.y - 180- a- (5 =180- 47.6- 25.7=106.7De la ley de los senos casenysenaesobtusoya> b un tri ng ulo(a)*aesobtusoya< b 10 existe tri ng ulo(b)FIGURA 8.66c5.21M U YDIOS SINOS495sen106.7sen 47.65.21(sen 106.7)C sen 47.6 c=6.76Esevidenteque elconjunto devaloresdadosatisfacela Posibilidad 4 porque a = 5.21, b = 3.06 y 5.21> 3.06.4Si un ngulo de untringulo es obtuso,la longitud del lado opuesto a ldebe ser mayor quelaslongitudes de los otros lados.Por tanto, sisetienena,byex,siendoa obtuso,entoncesuntringulo es posible, si y slo si, a > b.La Figura 8.66(a) muestra un tringulo donde a es obtuso y a > b.La Figura 8.66(b)indica queno existetringulo alguno cuandoaes obtuso y a:|scafi=*)': s e f l i s " c 6)seda*, J 1Q{t)- 0.04 sen(2iwf- | t c )Defina la suma de F y G mediante una ecuacin de la forma/(r)=a sen(2crf:c)Verifiquelasrespuestastrazandolasgrficasde F +G i f[ 5 2 . Enun circuitoelctricolafuerzaelectromotrizes -(f) volts, donde(0=50+6 sen 60tw+3.2 eos 60nt- 0.6 sen120tu+0.8 eos12071/Defina (/) mediante una ecuacin de la forma0 = a + a{sen(60ni+cj)+Oj sen(120iu+c2)KUna partcula se mueve a lo largo de una lnea rec- I ta de acuerdo con la ecuacin de movimientos=sen(4/+In)+sen(4/+-j- 7t)36Idonde scentmetrosesladistanciadirigidadela Ppartculadesdeelorigenalost segundos,(a) |Uestre que dmovimiento es armnico simple de- | |finiendo smedianteunaecuacindelaforma1Z aXn(bt+c^'^ Encuentrelaamplitudyla ^^wncia del movimiento. *^ ccrc,cio53considerando5=6 sen(/+j*) + 4sen(t- i ).|S5 i* 15 pie de longitud est situada en la par- raiperior de un edificio de10 pie de longitud.Enunpuntoenelsuelo,a x pies delabase deledificio, el asta y el edificio subtienden ngulos iguales. Determine x.No olvide escribir una conclusin.56.Dunaexplicacindeporqusen(a+b)y sena+sen b no son iguales para valores arbitrarios deaybdiscutiendocmopuedenobtenerselas grficas deF(x)=sen(x+2)yG(x)=sen x+sen 2 a partir de la curva del seno.El cocientesen(x+A)- senx ----------- 1----------- d)sepresenta en Clculo y no est definido cuando h=0. Sin embargo, en Clculo es necesario conocerelcomportamientodelcocienteconforme hse aproxima cada vez ms a 0. (a) Muestre que57.sen(jt+h)- senx=eos x/sen h- sen1 - eos h(b) Apartir de las conclusiones de los ejercicios 49 y 50 de la Seccin 7.3 y de la identidad del inciso (a), aquvalorparecequeseaproximaelcociente (10) conforme h se acerca cada vez ms a 0?0|ENTIDADESDEVALORMLTIPLEo b j e t i v o s1.Aprender y aplicar la identidad del seno de valor doble.2.Aprender y aplicar la identidad del coseno de valor doble.CAPTULO 9t w o o n o m i t r aANALTICA3.Aprender y aplicar formas alternativas de la identidad del coseno de valor doble.4.Aprender y aplicar la identidad de la tangente de valor doble.5.Aprender y aplicar identidades para sen2*, eos2* y tandeo trminos de eos 2*.6.Aprender y aplicar las identidades de semivalor.7.Encontrar valores de funcin exactos a partir de las identidades de valor mltiple.8.Probar otras identidades a partir de las identidades de valor mltiple.9.Expresar potencias pares de seno y coseno en trminos de valores del coseno con exponentes no mayores que 1.10. Expresar sen x y eos xcomo funciones racionales de z mediante la sustitucin z=tan j i .Lasidentidades devalor doble son casos especiales de las identidades delseno de la suma,cosenode la suma y tangente de la suma obtenidas en la Seccin 9.2. En la identidad del seno de la sumasen(* + y)=sen x eos y+eos xsen yse considera y=x, y se obtienesen(*+x)=sen* eos je+eos* sen*a partir dela cualseobtienelasiguienteidentidad delseno de valor doble.Identidad del seno de valor doblesen 2x=2 sen x eos xSe procede de manera semejante con la identidad del coseno de Iacos(*+y)=eos x eos y- sen x sen y cos(*+*)=eosx eosx- senx sen*De donde se obtiene la identidad del coseno de valor doble.Identidad del coseno de valor doblesuma.eos2**eos1 x- sen2*Sixesunngulo,lasidentidades-devalordoblesonreferidas como identidades de ngulo doble.Existen otras dos formas para la identidad del coseno de valor doble.Si1- sen2 * se sustituye por eos2 x en la frmula para eos 2x, se obtieneeos2x=(1sen2 x)sen2 x = 1 2 sen2 xAdems,si1 - eos2 x se sustituye por sen2 x en la identidad del coseno de valor doble, se tieneeos2x=eos2 x (1eos2 x)= 2eos2 x 1A continuacin, se establecen formalmente estos resultados.______________________9.3IDENTIDADES PE VALOR MLTIPLE537Formas alternativas de la identidad del coseno de valor dobleeos 2x=1 - 2 sen2 x eos 2x=2 eos2 x - 1 EJEMPLO1 U s o d o l a s d e n t i d a d o s d e ls e n o yc o s e n o d ev a l o r d o b l eSi sen /= |y^7C*=arccos(-j),calcule el valor exactodecadaunadelasexpresionessiguientes:(a)eos x(b)sen v(c)tanx(d) tan y7LDadoi=eosy y=tan "'(- j-), encuentre el valor exactodecadaunadelasexpresionessiguientes:(a)sen x(b) sen y(c) eos y(d) tan xjnlos ejercicios 77 a 82, encuentre el valor de Juncin vacio.W. (i)sen-'(eos ^ n)(c) cos-'[sen(-7C)] () coi-(sen Jn) ^( )eos-'(sen iti)^ ' [cos(-1 ti)]k)**,(COS ,|)6 rb)'**12*-.,,2.. )](b)sen"[ e o s ( - ^jc)](d)sen _1(cos |n)(b)c o s - [ s e n ( - | i c ) ](d)cos_' ( s e n |7t)(b)t a n - ' ( c o t | i i )(d) t a n " ' [ c o t ( - | i t ) ](b)t a n - ' ( c o t | j t )(d)t a n - ' [ c o t ( - | n ) lNco-i s+82.(a)tan[2 sen-l(-~)](b)cos[tan~'|- sen*'(- -^)]En los ejercicios 83 y 84,(a) exprese /(/) en la forma a sen(bi+c),(b) determine la amplitud,el periodo y el defasamiento def,(c) dibuje la grjica de f y ( d )compruebe la grfica del inciso (c) en la graficadora.83. /(/)- 1.47 sen 2/+2.6S eos 2184.f{t)=2 sen 4/- 2 >/3"eos 41En los ejercicios 85 y 86,emplee el mtodo del ejemplo4dela Seccin9.4 para dibujarla grfica dela funcin en el intervalo indicado.Verifique la grfica en la graficadora.85.f(t)=sen10nt+sen\2nr, [0,2]86./(/)=2 eos 30nt- 2 eos 50nr, [0, j)87.Dado /(/)=sen 417u+sen 39t/, (a) exprese /(/) como elproducto defunciones senoy coseno,ib) Dibujela grfica de /correspondiente a medio perodo de la funcin coseno determinada en el inciso(a) y compruebe la grfica en la graficadora.88.Enunpunto particular del espacio, dos ondas atmosfricasproducenpresionesde F(t) dinaspor centmetrocuadradoyGit)dinaspor centmetrocuadradoalostsegundos,dondeF(t)= 0.02sen(200ft/+|jc) y G(t)=0.04 sen (200ra-jn).Defina la suma de F y G por una ecuacin de la forma/(/)=a sen(2007U+c)Verifique la respuesta trazando las grficas de F + Gy f89.Hagaelejercicio88siF(t)=0.037sen(200nt+ 0.26) y G(/) = 0.024 sen 200tu.90.Un cuerpo suspendido de un resorte vibra vertical- mente de acuerdo con la ecuacinf(t)=- 4 sen10/- 3 eos10/donde /(/)centmetrosesladistanciadirigidadel cuerpo desde su posicin central a los / segundos y elsentidopositivoeshaciaarriba,(a) Dena /(/) por una ecuacin delaforma/(/)= asen(bt + rV584CAPTULO9TRIGONOMETRA ANALTICA(b)Determine la amplitud, elperiodo y la frecuencia de / (c)Dibujela grfica de f (d) Compruebe la grfica del inciso (c) en la graficadora.91.Una partcula se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo con la ecuacin de movimientos=sen(6/- ~n)+sen(6/+7 )dondescentmetrosesladistanciadirigidadela partcula desdeelorigenalos/ segundos,(a)Demuestrequeelmovimientoesarmnicosimpleal definirsmedianteunaecuacindelaformas= asenibi+c).(b)Determinelaamplitudyfrecuencia del movimiento.92.Haga el ejercicio 91si s=8 eos2 6/- 4.93.Un cuerpo suspendido de un resortevibra vertical- mente de acuerdo con la ecuacindondeycentmetrosesladistanciadirigidadel cuerpodesdesuposicincentraltsegundosdespus deiniciado el movimiento y elsentido positivo es hacia arriba,(a) Resuelva la ecuacinpara 1.(b)Utilicela ecuacindelinciso (a)para determinar los dosvalores positivos menores det para los cualeseldesplazamientodelcuerpoporarribade su posicin central es de 3 cm.(c)Verifique la respuesta del inciso (b) en la graficadora.94.Enuncircuitoelctricolafuerzaelectromotrizes E(t)volts,donde(/)=20eos120ic/.Encuentre elmenorvalorpositivodetparaelcuallafuerza electromotriz es (a) 5 volts y (b) -5 volts, (c) Compruebelasrespuestas delosincisos(a)y (b)enla graficadora.95.Un cuadro de 5 pie de altura se coloca en una pared con subase a 4 pie por arriba delnivelde los ojos de un observador.Sea 0la medida en radianes de ngulo subtendido por el cuadro en los ojos del ob servador cuando ste se encuentra a x pies de la pa red.(a)Defina0comounafuncindex Encuentre 0 cuando (b) x = 5. (c) x = 6 y (d) x = 7(e) Empleelagraficadorapara estimar,conprecisinde centsimos depie. a qu distancia debe situarseelobservadorparaquetenga la mejor vistadelcuadro,estoes,demodoqueelngulo subtendido por el cuadro en los ojos del observador sea el valor mximo.96.Si t es cualquier nmero real. A, B y b son constantes, y A > 0, compruebe queA eos bi+B sen bt=a eos(bi- c) donde a='J A 2 +B2yc=tanB 97.Dada/r)*V3" eos 2t- sen 2t. (a) Utilice la fmuladelejercicio96paradefinir f(t)medameuna ecuacin delaforma f(t) = aeos(bt- c). (b) Determinelaamplitud,periodoydefasamiento de /(c)Dibujelagrficade /.(d)Compruebe lie respuestas trazando las grficas de la ecuacin dada; la ecuacin del inciso (a).98.Haga el ejercicio 97 si /(/)=4.83 eos 4x/+S.07 sen 4iu.99.Compruebe la identidadsen 2x+sen 2y- sen 2(x+j)4 sen x sen y senu+ 7)100.Pruebe que tan-l x+tan' 1 j*. sii>0.[,Sugerencia; emplee la frmula de reduccin cot& tan(| n- 11)]SUMARIOI10t f10.1Vectores ^ funciones vectoriales yN lo3^ Ci0nesparamtricas I'0 4 G,Ardenadas polares 03 de ecuaciones | 0-5Fnrrn^polaresL Polar de nmerosmtS c b s v , . 'l^tos v toes de nmeros err|a de De Molvre\ 0 $ 0 L58610.1pVECTORESCAPTULO10VECTORES, ICUAClONiS PARAMTRICAS, COORDENADAS POLARES .OBJETIVOS1.Definir un vector.2.Calcular la magnitud de un vector.3.Calcular el ngulo director de un vector.4.Encontrar la suma de dos vectores dados.5.Encontrar la diferencia de dos vectores dados.6.Encontrar el producto de un escalar y un vector.7.Expresar un vector en trminos de su magnitud y su ngulo director.8.Resolver enunciados de problemas que implican vectores.PQ=RSfigur a 10.1Lasaplicacionesmatemticassuelenrelacionarseconcantidades queposeentantomagnitudcomodireccin.Unejemplodetales cantidadeseslavelocidad.Porejemplo,lavelocidaddeun avin tienemagnitud(larapidezconquestevuela)ydireccin, la cual determina sucurso.Otrosejemplosdetalescantidadesson fuerza, desplazamientoyaceleracin.Losfsicoseingenierosentiendes porvectoralsegmentorectilneodirigido,yalascantidades que tienenmagnitud y direccinsondenominadas cantidades vectoriales.Encontraste,unacantidadquetienemagnitudperono direccinsellamacantidadescalar.Ejemplosdecantidadesescalares sonlongitud,rea, volumenyrapidez.Elestudio de los vectores sedenomina anlisis vectorial.El estudio del anlisis vectorial se puede hacer de forma geomtricaoanaltica.Sielestudioesgeomtrico,primerose define ei segmentorectilneodirigidodelpuntoPalpuntoQyse denou por PQ.Elpunto P se denomina puntoinicial, y el punto Q se llamapunto terminal. Se dice que dos segmentosrectilneos dirigidos PQy RSsonigualessistostienenlamismalongitud yla misma direccin,y se escribe PQ=R(vase la Figura10.1). Elsegmento recdb- neo dirigido PQ se denomina vector de P a Q. Un vector se representa mediante una sola letra en tipo negro tal como A. En algunos libros * emplea unaletra entipocursivoconunaflecha arriba para denotar unvector,porejemploA .Cuandotrabajeconvectores,puede usa esa notacin o Aa fin de distinguir el smbolo para un vector del smbolo asignado para un