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MATEMATICA III
TITULO:
APLICACIÓN DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN LA INGENIERÍA CIVIL
APPLICATION OF DIFFERENTIAL CALCULUS IN CIVIL ENGINEERING
INTEGRANTES:
CHRISTIAN LAUREANO REYESMORENO VELASQUEZ GREISI
ESTUDIANTES DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL VI CICLO DE LA UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ÁNGELESDE CHIMBOTE
EMAIL:
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MATEMATICA III
DECLARACIÓN DE FINANCIAMIENTO Y CONFLICTO DE INTERESES:
Declaro bajo juramento que no he recibido ningún tipo de financiamiento, ni existió conflicto de intereses para la ejecución de esta monografía : APLICACIÓN DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN LA INGENIERÍA CIVIL
Atentamente: Los integrante
RESUMEN:
Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial, ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas.
La Ingeniería civil como rama de la ingeniería, también usa con frecuencia el cálculo, sin lugar a dudas para obtener un análisis estructural adecuado, que se considera una subdiciplina dentro de la ingeniería civil. Este proyecto pretende demostrar como esa disciplina usa los fundamentos del cálculo que aprendimos durante el curso de Cálculo integral y diferencial de una variable, además de su aplicación en el análisis de estructuras.
SUMMARY:
It is common bathroom in all branches of Engineering of the use of integral calculus and differential , as Do USE facilitates understanding of phenomena that need a Distributed numerical determination , either for the calculation of areas , velocities, forces and resistance .
The Civil Engineering as a branch of engineering , also with US calculating frequency , sin doubt for structural Get proper analysis that a subdiciplina considered within civil engineering. This project aims to demonstrate how that discipline US That calculation fundamentals learned during the course variable calculation and integral differential : In addition to its application in the analysis of structures .
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INTRODUCCIÓN
La madera ha sido en el pasado el material más utilizado para construir, hasta que los
avances tecnológicos en hormigón y acero la relegaron a un segundo plano. El uso del
cálculo diferencial es muy amplio tanto en los trabajos de ingeniería civil, al igual que en
diversas ramas. Teniendo en cuenta la importancia de la madera, no solo en el sentido
tradicional o decorativo, sino también como material suplente del hormigón (tal como se lo
hacía hasta unas cuantas décadas atrás en nuestro país), se ha dedicado un espacio para
presentar un ejemplo práctico y muy útil, como es el cálculo de la máxima resistencia de
una viga en función de sus dimensiones; lo cual es muy útil al momento de cortar una barra
a partir de un tronco, aprovechando completamente su espesor y su anchura.
Una demostración muy sencilla, pero ventajosa al momento de decidir las medidas de la
viga que será extraída. Un problema matemático que, sin el conocimiento del cálculo de
máximos y mínimos a través de la derivada, sería muy complejo de solucionar.
En la ingeniería civil la aplicación del cálculo diferencial, principalmente las derivadas de
puntos máximos y mínimos son de gran relevancia ya que nos ayudan a identificar la
flexibilidad de una viga de madera dependiendo de la calidad de esta. Los futuros
ingenieros civiles debemos tener dominio de estos conceptos que sustentan los sistemas de
la ciencia y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y precisar el
comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional. En este proyecto se detalla la
aplicación de máximos y mínimos en una función para calcular la viga con mayor
resistencia que se puede obtener a partir de un tronco en general.
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Objetivo: Reconocer y comprobar la aplicación de los fundamentos básicos de la
ingeniería dentro del análisis de estructuras como subdiciplina de la ingeniería civil.
Marco Teórico:
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVIL
Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan
para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A
partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales
aproximados.
Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples
aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un
ejemplo es:
· FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:
Una viga o una barra delgada son sólidos
homogéneos e isótropos cuya longitud es
grande comparada con las dimensiones
de su sección trasversal.
Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas
partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea,
denominada eje neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje se encuentra en el centro de
gravedad de la sección trasversal.
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Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de
espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre.
Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza
aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la
barra sea pequeña.
A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle,
calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho
extremo que produce una flexión considerable.
Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al
Cálculo de la raíz de una ecuación.
Integral definida.
Supongamos que
La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección
trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.
Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra
es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy
poco.
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En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento
flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
El radio de curvatura de una función y(x) es
Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0
Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el
extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)
Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0
El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada
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Y es el módulo de Young del material
I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra
neutra
Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del
extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados
aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α<0.375, (véase al final del
siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada Fm=2Y·I·α/L2
Ejemplo:
Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra.
Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra.
La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede cambiar.
Elegimos como material, el Acero.
Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación del
extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es
m=3.683 cm/N=0.03683 m/N
· El momento de inercia I vale
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Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo de Young Y
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