Masterthesis-MatthiasVanderDonck.pdf

7/21/2019 Masterthesis-MatthiasVanderDonck.pdf

1/132

Faculteit WetenschappenDepartement Fysica

Enorme pseudomagneetvelden inbilaag grafeen

AuteurMatthias Van der Donck

PromotorProf. dr. Franois Peeters

BegeleiderBen Van Duppen

Proefschrift ter verkrijging van de graad van Master in de Fysica

Academiejaar 2014-2015


2/132

Abstract

The goal of this thesis is to investigate the effects of a uniform magnetic field,in arbitrary direction, on the electronic properties of bilayer graphene andlink this with the so-called pseudomagnetic fields stemming from changesin the bilayer crystal. The magnetic field is incorporated in the continuumapproximation by means of the Peierls substitution. For fields perpendicularto the graphene plane this reproduces the well-known Landau levels, whilefields parallel to the plane result in a splitting of each of the bilayer Diracpoints into two monolayer Dirac points. Based on this splitting I demon-strate the equivalence between the effects of applying a parallel magnetic

field, twisting the two layers with respect to each other and applying a layerdependent stress. Through this equivalence I show that extremely strongpseudomagnetic fields can be achieved by simply twisting or deforming oneof the two layers. The relationship between the parallel magnetic field andthe relative twisting of the two layers corresponds to literature results, how-ever the link with applying a layer dependent stress is new. To obtain themeasurable conductance, I calculate the wave function and with it the dif-ferent transmission and reflection probabilities for electrons scattering on apotential step and barrier in the presence of such a strong pseudomagneticfield in bilayer graphene. To explain the behaviour of electrons at perpen-dicular incidence the concept of pseudospin is introduced. The conductance

as a function of the electron energy is drastically altered by the pseudomag-netic field and can serve as an experimental signature for the presence of suchfields in bilayer graphene. These are new results that are not available inthe literature. Subsequently, the effects of a tilted magnetic field on bilayergraphene are investigated. This problem turns out not to be exactly solvableand thus different approximations are used. On the one hand, in the limit ofa small parallel magnetic component the Landau levels, stemming from theperpendicular magnetic component, and the corresponding charge densityare shown to be robust to second order in the parallel component. The wavefunction, however, is altered to first order. On the other hand, in the limit ofa small perpendicular magnetic component the wave function is calculatedthat could be used in the future analysis of the electron transport propertiesof this system. Finally, to bridge the two limits a variational approach isimplemented allowing to access tilted magnetic fields of arbitrary tilt angle.The results show that changing the direction of the magnetic field can tunethe system between a bilayer type and a monolayer type system and thata pseudomagnetic field in combination with a perpendicular magnetic fieldcan separate the charge densities of the two layers. These results are alsonot available in the literature and are therefore new.


3/132

Samenvatting

Deze thesis bestudeert de effecten van een magneetveld op de elektronischeeigenschappen van bilaag grafeen, dat bestaat uit twee lagen koolstofatomenbovenop elkaar, en legt het verband met zogenaamde pseudomagneetvel-den als gevolg van veranderingen in het bilaag kristal. Als gevolg van eenmagneetveld dat loodrecht gericht is op deze lagen blijkt dat de energie vande elektronen in het materiaal nog slechts een discreet aantal waarden kanaannemen, wat een gekend resultaat is. Als gevolg van een magneetveld datparallel gericht is aan de lagen blijkt dat heel laag-energetische elektronen inbilaag grafeen zich gedragen als elektronen in monolaag grafeen. Er wordt

aangetoond dat het effect van het parallelle magneetveld op bilaag grafeenequivalent is met het effect van het roteren of vervormen van een van detwee lagen ten opzichte van de andere. De equivalentie met het vervormen iseen nieuw resultaat. Aan de hand van deze equivalentie kunnen pseudomag-neetvelden, fictieve magneetvelden als gevolg van het roteren of vervormen,worden gerealiseerd in bilaag grafeen welke vele malen sterker kunnen zijndan de huidige experimenteel haalbare magneetvelden en zo toelaten om heteffect van extreem sterke velden te meten. Vervolgens wordt in de aanwe-zigheid van zo een pseudomagneetveld in bilaag grafeen de waarschijnlijk-heid berekend dat een elektron doorheen een aangelegde potentiaalstap of-barrire kan geraken en het blijkt dat deze waarschijnlijkheid voor elektro-

nen die loodrecht op de potentiaal invallen kan worden verklaard door middelvan de zogenaamde pseudospin, een begrip dat in deze thesis verder wordtuitgelegd. Met deze resultaten wordt dan de conductantie berekend en deinvloed van het pseudomagneetveld hierop. Deze experimenteel verifieerbareresultaten zijn nieuw en kunnen worden gebruikt om de aanwezigheid vanpseudomagneetvelden in bilaag grafeen aan te tonen. Verder wordt ook deinvloed van een magneetveld dat schuin gericht is ten opzichte van de lagenonderzocht. Dit probleem kan echter niet exact worden opgelost en daarommoeten er benaderingen worden gemaakt. Enerzijds wordt de limiet be-schouwd van een magneetveld dat bijna loodrecht is, waarvoor blijkt dat deenergie en de verdeling van de elektronen in de aanwezigheid van het lood-rechte deel slechts miniem veranderen ten gevolge van het parallelle deel,anderzijds wordt de golffunctie bepaald in de limiet van een magneetvelddat bijna parallel is. Ten slotte wordt een variationele methode toegepastom magneetvelden in een willekeurige richting te beschrijven. Het blijkt dateen combinatie van een pseudomagneetveld en een loodrecht magneetveldde elektronen van de twee lagen uit elkaar kan trekken en de aard van deelektronen kan veranderen van die van elektronen in bilaag grafeen naar dievan elektronen in monolaag grafeen. Deze resultaten zijn ook nieuw.


4/132

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

1.1 Opbouw van de thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ontdekking van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Productiemethodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Micromechanische afsplitsing . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Chemische afsplitsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Thermische decompositie van SiC. . . . . . . . . . . . 41.3.4 Chemische dampdepositie . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.5 Andere methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Opvallende eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.1 Hoge intrinsieke mobiliteit. . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Relativistische ladingsdragers . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 Geleidt elektriciteit zonder netto ladingsdichtheid. . . 61.5 Mogelijke toepassingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Bilaag grafeen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Monolaag grafeen 9

2.1 Kristalstructuur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Opstellen van de Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Tight binding Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Dirac Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Golffunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Grafeen in een loodrecht magneetveld . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 Eigentoestanden in positierepresentatie . . . . . . . . 222.5 Verstrooiing aan een potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1 Stroomdichtheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.2 Potentiaalstap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3 Potentiaalbarrire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Pseudospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

i


5/132

Inhoudsopgave ii

3 Bilaag grafeen 39

3.1 Kristalstructuur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Opstellen van de Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Tight binding Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Lage-energie Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Golffunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1 Vierbandsbehandeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.2 Tweebandsbenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Bilaag grafeen in een loodrecht magneetveld . . . . . . . . . . 533.4.1 Vierbandsbehandeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2 Tweebandsbenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Verstrooiing aan een potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.1 Stroomdichtheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.2 Potentiaalstap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.3 Potentiaalbarrire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.6 Pseudospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.1 Tweebandsbenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.2 Vierbandsbehandeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Bilaag grafeen in een parallel magneetveld 73

4.1 Hamiltoniaan en energiespectrum . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Pseudomagneetvelden als gevolg van relatieve rotatie en me-

chanische spanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1 Relatieve rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.2 Mechanische spanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.3 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.4 Benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3 Golffunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.1 Vierbandsbehandeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.2 Tweebandsbenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4 Verstrooiing aan een potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.1 Stroomdichtheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.2 Potentiaalstap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.3 Potentiaalbarrire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5 Pseudospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5 Bilaag grafeen in een hellend magneetveld 100

5.1 Kleine parallelle magneetcomponent . . . . . . . . . . . . . . 1025.2 Kleine loodrechte magneetcomponent. . . . . . . . . . . . . . 1055.3 Variationele methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6 Conclusies en vooruitzichten 114


6/132

Inhoudsopgave iii

A Lineaire elasticiteitstheorie 117

B Berekening van de overlap elementen 119

C Fysische grootheden en parameters 121


7/132

Voorwoord

Deze thesis is het eindproduct van een vijf jaar durende opleiding fysica. Netals deze opleiding en de voorbije vijf jaar werd het werken aan en schrijven

van deze thesis gekarakteriseerd door veel zwoegen, veel frustraties maarvooral ook veel mooie momenten wanneer alle puzzelstukken uiteindelijktoch in elkaar vielen. De mogelijkheid om actief bij te dragen aan de weten-schappelijke wereld werkt hierbij enorm motiverend maar ook mijn oprechtefascinatie voor fysica maakte het voor mij persoonlijk gemakkelijk om hiertwee jaar alles voor te geven. Daar staat tegenover dat het zelfs met allemotivatie in de wereld voor mij onmogelijk had geweest om deze thesis vol-ledig alleen tot een goed einde te brengen. Het is daarom hoog tijd om demensen te bedanken zonder wie deze thesis niet hetzelfde had geweest.Allereerst mijn promotor, professor Peeters, om er steeds voor te zorgen datik een duidelijk doel voor ogen had. Uiteraard ook mijn begeleider, Ben,

aan wie ik een schijnbaar eindeloos aantal vragen heb gesteld maar die tochsteeds uitgebreid de tijd nam om oprecht en behulpzaam te antwoorden.Verder ook mijn medestudenten: onder het motto gedeelde smart is halvesmart stuwden we elkaar vooruit in deze toch wel zware tijden.Ten slotte zijn er ook nog een aantal mensen in mijn directe omgeving dieik dien te bedanken. Zo zijn er mijn ouders en mijn zus die mij steeds min-der zagen omdat ik weer eens een thesismarathon aan het houden was enuiteraard ook mijn vriendin Charlotte die mij af en toe uit mijn isolementhaalde.

Matthias Van der Donck

Mei 2015

iv


8/132

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Opbouw van de thesis

In deze thesis worden de eigenschappen van bilaag grafeen, dit zijn tweelagen van een enkele laag grafeen (monolaag grafeen) op elkaar, in een mag-neetveld onderzocht. Doorheen deze thesis wordt de vereiste kennis voor hetbereiken van dit doel stelselmatig opgebouwd. In hoofdstuk1worden de be-langrijkste eigenschappen van monolaag en bilaag grafeen en hun belang inmogelijke technologische toepassingen uitgelicht. In hoofdstuk2en3wor-den reeds gekende resultaten, waaronder het effect van het aanleggen van

een magneetveld loodrecht op het materiaal, voor respectievelijk monolaagen bilaag grafeen herhaald en besproken. Deze hoofdstukken vormen eennoodzakelijke basis voor het bekomen en begrijpen van de nieuwe resulta-ten in de daaropvolgende hoofdstukken. In hoofdstuk4wordt het probleembeschouwd van bilaag grafeen in een magneetveld parallel aan het materiaalen wordt onder andere de link gelegd met het relatief roteren en het relatiefvervormen van de twee lagen ten opzichte van elkaar. Vervolgens wordenin hoofdstuk5de gevolgen van een magneetveld met zowel een loodrechteals een parallelle magneetcomponent op bilaag grafeen onderzocht. Dit pro-bleem is niet exact oplosbaar en daarom worden er verschillende benaderendemethodes gehanteerd. In hoofdstuk6wordt ten slotte alles nog eens op een

rijtje gezet en wordt een overzicht gegeven van de bekomen resultaten.

1.2 Ontdekking van grafeen

Grafeen is een tweedimensionaal materiaal bestaande uit koolstofatomen ineen hexagonaal rooster. Het kan worden gezien als het basisonderdeel vanandere bekende grafietachtige vormen: het kan worden opgevouwen tot nul-dimensionale fullerenen (ook wel buckyballs genoemd), worden opgeroldtot eendimensionale koolstofnanobuizen of worden gestapeld tot driedimen-

1


9/132

Hoofdstuk 1. Inleiding 2

Figuur 1.1: Links: Vorming van verschillende grafietvormen, van links naarrechts een buckyball, en koolstofnanobuis en grafiet, op basis van grafeen.Figuur overgenomen van [2]. Rechts: De stabiliserende rimpels in een graf-eenlaag. Figuur overgenomen van[2].

sionaal grafiet, zoals getoond in het linkerdeel van figuur1.1. Dit is de redendat grafeen al vele jaren, ook voor de ontdekking ervan, theoretisch uitvoerigis bestudeerd. Deze uitgebreide theoretische kennis stond echter jarenlang inschril contrast met het feit dat grafeen pas in 2004 voor het eerst experimen-

teel werd gerealiseerd, vele jaren na de andere grafietachtige vormen. Hetwaren Andre Geim, Kostya Novoselov en hun medewerkers die in de vormvan micromechanische afsplitsing een volledig nieuwe methode hanteerdenwelke hen in 2010 de Nobelprijs opleverde en in sectie 1.3.1verder wordtuitgelegd.[1]

Het feit dat grafeen uiteindelijk experimenteel werd gerealiseerd is echter zeeropmerkelijk. Gedurende zeer lange tijd werd aangenomen dat zuiver twee-dimensionale kristallen thermodynamisch instabiel zijn en bijgevolg niet opzichzelf kunnen bestaan. Peierls en Landau toonden aan dat thermische fluc-tuaties voor zulke kristallen zouden leiden tot atomaire verplaatsingen dievergelijkbaar zijn met de interatomaire afstand en dat deze als gevolg van

het Lindemann criterium dus zouden smelten.[3][4][5]

Later werd inderdaadbevestigd dat de smelttemperatuur sterk daalt naarmate het aantal lagenin een dunne grafeenfilm kleiner wordt. Als gevolg hiervan worden deze on-stabiel vanaf dat deze nog ongeveer twaalftal lagen dik zijn.[6] De reden datgrafeen uiteindelijk toch werd geobserveerd wordt enerzijds toegeschrevenaan het feit dat het bekomen werd uit een driedimensionaal kristal en dat dekleine afmetingen van de grafeenfilms en de sterke interatomaire bindingende gevolgen van de thermische fluctuaties onderdrukken.[5] Anderzijds blijktdat de grafeenlaag aan stabiliteit kan winnen door uit het vlak te rimpelen .[7]


10/132


Hierdoor wint de grafeenlaag aan elastische energie maar worden thermischefluctuaties onderdrukt. Voor voldoende hoge temperaturen leidt dit tot eenverlaging van de totale vrije energie. De hoogte hvan deze rimpels schaaltmet de grootte Lvan de laag als h L0.6.[8] In het rechterdeel van figuur1.1worden deze rimpels geschetst.

1.3 Productiemethodes

Er bestaan veel verschillende methodes voor de productie van grafeen. De ge-hanteerde aanpak kan sterk variren met als gevolg dat ook de geproduceerdegrafeenfilms sterk verschillen in onder andere afmetingen en ladingsmobili-

teit. Voor praktische toepassingen moeten de grafeenfilms bij voorkeur grootzijn, voor wetenschappelijk onderzoek zijn zuivere grafeenfilms met een hogeladingsmobiliteit ideaal. Enkele productiemethodes worden hier nu bespro-ken en worden getoond in figuur1.3.

1.3.1 Micromechanische afsplitsing

Deze aanpak bestaat erin om te vertrekken van grafiet en hier herhaalde-lijk lagen van te verwijderen op een mechanische manier. Op deze manierkonden Geim en Novoselov ongeveer 10 m grote grafeenfilms bekomen dieslechts een tot enkele lagen dik zijn.[1] Verbetering van de techniek heeftervoor gezorgd dat er nu op deze manier grafeenfilms kunnen worden gepro-duceerd met afmetingen tot 1 mm,[9] zoals getoond in figuur1.2. Bovendienzijn deze grafeenfilms van hoge kwaliteit, met ladingsmobiliteiten tot 15000cm2V1s1 bij kamertemperatuur.[10] Deze techniek is goedkoop en efficinten wordt daarom vaak gehanteerd voor de productie van grafeenfilms voorwetenschappelijk onderzoek. Bovendien wordt de techniek ook gebruikt omtweedimensionale kristallen van andere materialen te bekomen, hoewel dezeniet steeds de uitzonderlijke eigenschappen bezitten die eigen zijn aan graf-een.

1.3.2 Chemische afsplitsing

Deze techniek levert geen grotere grafeenfilms of hogere ladingsmobiliteit opdan de eerder besproken micromechanische afsplitsing maar het is wel detechniek die reeds jaren voor de uiteindelijke ontdekking van grafeen werdtoegepast. Hierbij wordt er vertrokken van grafiet en worden er atomenof moleculen tussen de verschillende grafeenlagen ingevoegd. Indien er vol-doende grote moleculen kunnen worden ingevoegd, kunnen de grafeenlagenverder van elkaar worden gescheiden en bijgevolg als verschillende gesoleerdelagen worden beschouwd.[12] Bovendien is het mogelijk om met behulp vaneen chemische reactie de ingevoegde moleculen opnieuw te verwijderen en zo


11/132


Figuur 1.2: Optische afbeelding van een grafeenfilm van ongeveer 1 mm2

bekomen met micromechanische afsplitsing. Aan de hand van de opgemetenreflectie kan het aantal lagen in de grafeenfilm worden bepaald. Figuurovergenomen van [11].

de verschillende grafeenlagen van elkaar te scheiden. Het nadeel is echter datdeze grafeenlagen vaak gaan hercombineren en/of oprollen. De gesoleerdegrafeenlagen kunnen wel nog worden afgezonderd van de gehercombineerdegrafeenlagen door middel van centrifugatie of ultrasoon geluid maar dit on-voorspelbare karakter is de reden dat deze techniek ondertussen niet meerzo veel wordt gebruikt.[13]

1.3.3 Thermische decompositie van SiC

Bij deze methode wordt het siliciumoppervlak van het SiC substraat in ultra-hoog vacum verhit tot temperaturen tussen 1000C en 1500C. Als gevolghiervan zal het silicium sublimeren en zo een grafietachtig koolstofopper-vlak achterlaten dat zich bovenop het SiC substraat bevindt. Als gevolgvan resterende covalente bindingen met het silicium vertoont dit oppervlakechter nog niet de typische elektronische eigenschappen van grafeen. Doorvervolgens waterstof tussen dit koolsofoppervlak en het SiC substraat in tevoegen kan een zwak gekoppelde grafeenfilm worden bekomen welke wel de

typische eigenschappen van grafeen vertoont.[12] De grootte van de hiermeebekomen grafeenfilms bedraagt ongeveer 50 m en de mobiliteit is aanzien-lijk lager dan die bekomen met micromechanische afsplitsing, met waardenvan ongeveer 2000 cm2V1s1.[10]

1.3.4 Chemische dampdepositie

Bij het toepassen van deze methode wordt vertrokken van een koolstofrijkgas. Dit gas wordt toegevoerd aan een metallisch substraat waarop het


12/132


Figuur 1.3: Verschilende productiemethodes van grafeen. Linksboven: Mi-cromechanische afsplitsing. Rechtsboven: Chemische afsplitsing. Linkson-der: Thermische decompositie van SiC. Rechtsonder: Chemische dampde-positie. Figuur bewerkt overgenomen van [12].

vervolgens na koeling aangroeit. Veelgebruikte metalen zijn nikkel, kobalt,iridium, koper en rubidium, elk met hun eigen voor- en nadelen. Het soortmetaal en de snelheid van afkoeling bepalen op wat voor manier de grafeen-

film aan het substraat wordt gebonden. Er bestaan verschillende variatiesop deze techniek, zoals het gebruik van isolatoren in plaats van metalenof zelfs het gebruik van plasmas.[12] De mobiliteit van de grafeenfilms diemet behulp van chemische dampdepositie worden geproduceerd hangt sterkaf van het soort metaal dat wordt gebruikt. Voor nikkel is de mobiliteitongeveer 3700 cm2V1s1, wat hoger is dan die bekomen met thermischedecompositie van SiC maar aanzienlijk lager dan die bekomen met microme-chanische afsplitsing, voor koper ongeveer 16000 cm2V1s1, wat hoger isdan die bekomen met micromechanische afsplitsing.[10] Hier staat tegenoverdat de bekomen grafeenfilms zeer grote afmetingen kunnen hebben. Gemid-deld zijn deze van de orde van centimeters groot maar het wereldrecord staat

voorlopig op een grafeenfilm van 100 meter op 23 centimeter. Dit record isin handen van Sony en werd gerealiseerd met een methode gebaseerd opchemische dampdepositie op een kopersubstraat.[14]

1.3.5 Andere methodes

Andere methodes die hier niet verder worden besproken maar wel vaak wor-den toegepast zijn onder andere molecular beam epitaxy, warmtegestuurdeomvorming van amorfe koolstof, openknippen van koolstofnanobuizen, che-mische synthese, . . .[12]


13/132


1.4 Opvallende eigenschappen

Grafeen bevat vele opvallende eigenschappen. Zo is het het sterkste mate-riaal dat ooit is gemeten, maar is het tegelijkertijd ook heel rekbaar, totongeveer 20%.[15] Verder is het, hoewel het doorzichtig is, extreem ondoor-dringbaar en heeft het een zeer hoge thermische geleiding, beter dan die vandiamant.[16] Ten slotte bezit het ook nog enkele uitzonderlijke elektronischeeigenschappen, welke hieronder worden besproken.

1.4.1 Hoge intrinsieke mobiliteit

Grafeen vertoont een ambipolair effect, wat betekent dat de aard van de la-

dingsdragers continu kan worden veranderd door het teken van de aangelegdepotentiaal te veranderen.[2] De mobiliteit die met deze ladingsdragers over-eenkomt is zeer hoog, ongeveer 100 keer hoger dan de mobiliteit in silicium,en blijkt bovendien nagenoeg onafhankelijk te zijn van de temperatuur. Ditbetekent dat, hoewel reeds erg hoog, deze nog steeds beperkt wordt door ver-strooiing aan onzuiverheden en dus nog verder kan worden verhoogd doordeze onzuiverheden weg te werken. Ook in sterk gedopeerde grafeenlagenblijft de mobiliteit erg hoog, wat als gevolg heeft dat de gemiddelde vrijeweglengte van de ladingsdragers kan oplopen tot 1 m.[1]

1.4.2 Relativistische ladingsdragers

De vanuit theoretisch oogpunt veruit interessantste eigenschap van grafeenis het feit dat de ladingsdragers zich relativistisch gedragen. Het blijkt dathet hexagonale rooster van grafeen op een natuurlijke manier aanleidinggeeft tot een beschrijving van de ladingsdragers in termen van een mas-saloze Dirac Hamiltoniaan, wat in deze thesis nog uitgebreid aan bod zalkomen. Dit heeft tot gevolg dat typische kwantumrelativistische effectenzoals Klein tunneling,[17] welke doorgaans uitsluitend in hoge-energie fysicaworden waargenomen, zich zelfs bij kamertemperatuur voordoen in grafeenen zo op een experimenteel meer toegankelijke manier kunnen worden nage-bootst en getest.

1.4.3 Geleidt elektriciteit zonder netto ladingsdichtheid

Een andere opvallende eigenschap van grafeen is dat de conductiviteit nietverdwijnt wanneer de ladingsdichtheid verdwijnt, er blijft steeds een mini-male conductiviteit aanwezig. Dit is een gevolg van de aanwezigheid vanelektron-gaten-poelen. Er kunnen namelijk bij elke temperatuur elektron-gaten-paren worden gecreerd aangezien het energiespectrum van grafeengeen bandkloof vertoont, wat verder in deze thesis zal worden aangetoond.


14/132


Het zijn deze poelen die aanleiding geven tot Klein tunneling en die voor degeleiding zorgen wanneer de ladingsdichtheid verdwijnt.[2]

1.5 Mogelijke toepassingen

Gezien de vele opmerkelijke eigenschappen is het niet onrealistisch dat graf-een in de toekomst in vele praktische toepassingen zijn waarde zal bewijzen.Nu de siliciumgebaseerde technologie tegen zijn fundamentele limieten aan-zit wordt er uitgebreid gezocht naar een materiaal om deze rol over te nemenen grafeen lijkt de ideale kandidaat.Vanwege de hoge Fermisnelheid, welke later in deze thesis zal worden be-

rekend, de zeer hoge en bovendien dopingonafhankelijke mobiliteit en debijhorende grote vrije weglengte zou het mogelijk kunnen zijn om een bijkamertemperatuur werkende ballistische transistor, welke kleiner en duur-zamer zou zijn dan de standaard transistor, te maken op basis van grafeen.Op die manier kunnen de kosten en moeite die gepaard gaan met het koe-lingsproces dat normaal gezien noodzakelijk is om lekstromen te voorkomenworden bespaard.[2]

Een andere mogelijke toepassing is het gebruik van grafeen in gassensors.Absorptie van gasmoleculen leidt tot dopering met elektronen of gaten af-hankelijk van het soort gas dat wordt geabsorbeerd. Aangezien grafeen elek-tronisch gezien een uitzonderlijk ruisloos materiaal is, is het mogelijk om de

absorptie van individuele gasmoleculen te detecteren door verandereringenin de resistiviteit als gevolg van deze dopering op te meten.[18]

Verder staan vele, vooral Aziatische, bedrijven reeds ver met het ontwikke-len van touchscreens gemaakt uit grafeen, zoals getoond in figuur1.4. Hethuidige touchscreen materiaal, indiumtinoxide, is breekbaar. Met grafeenzou het daarentegen mogelijk zijn om plooibare touchscreens te maken en zouiteindelijk plooibare electronica te realiseren.[19]

Ten slotte dient te worden opgemerkt dat het feit dat de conductiviteitvan grafeen niet verdwijnt voor verdwijnende ladingsdichtheden in eersteinstantie een probleem vormt voor de ontwikkeling van op grafeen geba-seerde logische poorten. Dit probleem kan echter op verschillende manieren

worden omzeild door een bandkloof te creren in het energiespectrum, bij-voorbeeld door monolaag grafeen op een substraat te plaatsen of door eenlaagafhankelijke potentiaal op bilaag grafeen aan te leggen. Deze twee mo-gelijke manieren worden verder in deze thesis nog besproken.Naast de hierboven kort besproken toepassingen zijn er nog vele anderenwaarvoor grafeen mogelijk kan worden gebruikt, waaronder fotodetectoren,LEDs, qubits, fotovoltasche cellen, het gebruik van grafeen poeder in elek-trische batterijen, . . .[2][18]


15/132


Figuur 1.4: Plooibaar touchscreen gemaakt uit grafeen. Op de randen ervanzijn elektroden bevestigd. Figuur overgenomen van[19].

1.6 Bilaag grafeen

Zoals reeds vermeld in sectie 1.3wordt met de verschillende productieme-thodes niet altijd grafeen bestaande uit een enkele laag bekomen. Vaakbestaat een grafeenfilm uit meerdere lagen en dit aantal kan variren vangrafeenfilm tot grafeenfilm. Met behulp van optische of Raman microscopie

kan het aantal lagen in een bepaalde grafeenfilm worden bepaald door dereflectie ervan op te meten. Dit is getoond in figuur1.2in het geval van opti-sche microscopie. Beide methodes zijn echter niet toepasbaar op zeer kleinegrafeenfilms als gevolg van de diffractielimiet van het licht. Dit probleemkan worden opgelost met behulp van een rasterelektronenmicroscoop.[20] Opdeze manier kan steeds bijvoorbeeld bilaag grafeen worden geselecteerd uitde geproduceerde grafeenfilms om zo dit specifieke materiaal verder te on-derzoeken.Bilaag grafeen vertoont vele van de opmerkelijke eigenschappen die ook ei-gen zijn aan monolaag grafeen. Zo is het ook heel sterk maar tegelijk heelrekbaar en is het ook doorzichtig maar tegelijk heel ondoordringbaar. Ver-

der vertoont het ook een heel hoge thermische geleiding en een heel hogeintrinsieke mobiliteit. Bijgevolg kan bilaag grafeen voor vele van dezelfdetoepassingen als monolaag grafeen worden gebruikt.[21]

Het belangrijkste verschil tussen monolaag en bilaag grafeen is de banden-structuur en bijgevolg de aard van de ladingsdragers. Hoewel bilaag grafeennet als monolaag grafeen geen bandkloof vertoont, is het energiespectrumbij lage energie kwadratisch in tegenstelling tot het lineaire energiespectrumvan monolaag grafeen. Dit is een fundamenteel verschil en zal verder in dezethesis nog uitgebreid worden besproken.


16/132

Hoofdstuk 2

Monolaag grafeen

In dit hoofdstuk worden de belangrijkste eigenschappen van monolaag graf-een, waaronder het energiespectrum, de golffunctie, het effect van een lood-recht magneetveld en de verstrooiing van elektronen aan een potentiaal, af-geleid en besproken. Dit vormt de basis voor de volgende hoofdstukken overbilaag grafeen.

2.1 Kristalstructuur

Het grafeenrooster is hexagonaal en is opgebouwd uit twee trigonale sub-

roosters, aangeduid met Aen B overeenkomstig met de twee inequivalentekoolstofatomen. Het rooster kan worden beschreven met behulp van tweeroostervectoren a1en a2welke een primitieve eenheidscel vormen. Dit wordt,samen met het reciproke rooster, gellustreerd in figuur2.1. Hierop is te ziendat de roostervectoren in het (x, y)cordinatensysteem gegeven zijn doora1 = cos 6aex+ sin

6aey =

32 a,

a2

en a2 =

32 a, a2

met a de rooster-

constante. De hoek 6 volgt uit het feit dat de grootste scherpe hoek in derechthoekige driehoek gevormd doora1, dexas en de A Bverbinding diedeze verbindt, welke in het rood is aangeduid op figuur2.1, gelijk is aan 3aangezien alle hoeken in een regelmatige zeshoek 23 bedragen. Bovendiengeldt in deze zelfde driehoek ook dat tan 6 =

aCCa

met aC

C de naaste

nabuur afstand welke 1.42 bedraagt en waarbij de letter Cop het kool-stofatoom duidt. Bijgevolg geldt er dat a=

3aCC= 2.46 .

De reciproke roostervectorenb1 enb2 kunnen worden bepaald aan de handvana1 ena2en zijn gegeven door

9


17/132

Hoofdstuk 2. Monolaag grafeen 10

Figuur 2.1: Links: Grafeenrooster met bijhorende roostervectoren, primi-tieve eenheidscel en cordinatensysteem. Enkele A en B atomen zijn res-pectievelijk in het rood en het groen aangeduid. De driehoek waaruit hetverband tussen a en aCC kan worden bepaald is in het rood aangeduid.Het loodrechte magneetveldB(zie secties2.4en3.4) en het parallelle mag-neetveld B(zie hoofdstuk4) zijn ook aangeduid. Rechts: Reciproke roostermet bijhorende reciproke roostervectoren, eerste Brillouinzone en cordina-tensysteem. Enkele Ken K punten zijn respectievelijk in het groen en hetrood aangeduid. Deze kleuraanduiding staat los van die van de subroosters.Figuur bewerkt overgenomen van [22].

b1= 2 a2 ez

a1.(a2 ez)= 2

3a,2

a

,

b2= 2 ez a1

a2.(ez a1)= 2

3a, 2

a

,

(2.1)

metezde eenheidsvector langs dezas, welke verder geen belang heeft aan-gezien grafeen volledig in hetxyvlak ligt. Bijgevolg is de reciproke rooster-constante gegeven door b = 4

3a. De eerste Brillouinzone is de Wigner-Seitz

eenheidscel van het reciproce rooster en is aangeduid door de grijze zeshoek

in figuur2.1. De zes hoeken van dit gebied zijn gegeven door

0, 43a en 23a

, 23a

in(kx, ky)cordinaten. Aangezien elk hoekpunt door middelvan de reciproke roostervectoren kan worden getransformeerd tot twee vande andere hoekpunten, zijn er slechts twee unieke hoekpunten. Deze puntenworden hetKen Kpunt genoemd en zijn aangeduid op figuur2.1. Een mo-gelijke keuze van hun cordinaten is gegeven door respectievelijk

23a

, 23a

en 23a

, 23a. De punten die zich halverwege de lijnen die de KenKpun-

ten verbinden bevinden worden de Mpunten genoemd en hun cordinaten


18/132


zijn gegeven door 2

3a, 0 en

3a,

a. Uit een redenering analoog

aan die voor de Ken K punten volgt dat er slechts drie unieke M puntenin het reciproke rooster zijn.

2.2 Opstellen van de Hamiltoniaan

Om de elektronische eigenschappen van grafeen te onderzoeken en te begrij-pen is allereerst kennis van de Hamiltoniaan vereist. Hieruit kan naast hetenergiespectrum ook de golffunctie worden bepaald, waarmee dan bijvoor-beeld verstrooiingsprocessen aan een potentiaal kunnen worden onderzocht.Een veel gebruikte methode voor het opstellen van de Hamiltoniaan van

grafeen is de tight binding methode.[23][24]

2.2.1 Tight binding Hamiltoniaan

Bij deze methode wordt een set benaderende golffuncties, welke opgebouwdzijn uit een superpositie van de atomaire orbitalen, als basis gebruikt omde Hamiltoniaan in te ontbinden. Deze benadering is geldig omdat de elek-tronen uit de hier relevante atomaire orbitalen nauwelijks interageren metelkaar. De dominante bijdrage aan de potentiaal waarin de elektronen zichbevinden is de kristalpotentiaal, welke restricties oplegt aan de golffunctie.

Bloch functies

Als gevolg van de periodiciteit van het grafeenrooster, en dus van de kris-talpotentiaal, moet de golffunctie van het elektron voldoen aan het Blochtheorema

Tai = eik.ai, (i= 1, 2, 3), (2.2)

met Tai de translatie-operator langs de roostervector ai en k de golfvec-tor. Er zijn echter meerdere types van golffuncties die aan het Bloch theo-rema voldoen. Het meest eenvoudige voorbeeld is dat van de vlakke golven.Het nadeel van het gebruik hiervan is dat vlakke golven niet op een duide-

lijke manier aan de atomaire orbitalen kunnen worden gerelateerd. Daaromwordt zoals reeds gezegd een superpositie van atomaire orbitalen beschouwdwelke aan het Bloch theorema voldoet. Meer bepaald wordt de Bloch func-tiej(k, r)in positierepresentatie geconstrueerd door het atomaire orbitaal

j(r R) te wegen met een fasefactor eik. R en te sommeren over de Neenheidscellen in het rooster:

j (k, r) = 1

N

NR

eik. Rj(r R), (j= 1, . . . , n). (2.3)


19/132


Figuur 2.2: De pz orbitalen van twee naburige atomen vormen samen een binding die zich uit het vlak bevindt. Figuur overgenomen van [25].

Hierin is Rde positievector van het atoom dat aanleiding geeft tot het ato-maire orbitaal j . Het aantal Bloch functies n wordt dus bepaald door

het aantal atomaire orbitalen in de eenheidscel. Bovendien voldoet boven-staande functie aan het Bloch theorema (2.2). Dit kan worden ingezien doorde transformatie r r+ai uit te voeren en in de fasefactor ai bij R opte tellen en er terug van af te trekken. Verandering van de sommatie-indexR R ai leidt dan tot dezelfde functie op de fasefactor eik.ai na.De golffunctie van het elektron kan dan worden ontbonden in de basis ge-vormd door de Bloch functies horende bij de verschillende atomaire orbitalen.De2s, 2px en2py orbitalen vormen drie sp2 orbitalen. Dit proces heet sp2

hybridisatie en zorgt dus voor de vorming van drie bindingen. Deze bin-

dingen zijn sterker dan die in diamant en zijn de reden dat elk atoom in hetrooster drie naaste naburen heeft. De pz orbitalen van de koolstofatomen,welke loodrecht op het grafeenrooster staan, vormen bindingen zoals ge-llustreerd in figuur2.2. Aangezien de elektronen in deze orbitalen bovenen onder het grafeenvlak gedelokaliseerd zijn, zijn het deze elektronen dievoornamelijk bijdragen tot de elektrische geleiding van grafeen. Bijgevolgzullen in wat volgt enkel deze orbitalen in beschouwing worden genomen.

Matrixelementen in de Bloch basis

Aangezien de eenheidscel van grafeen slechts twee atomen met in benaderingelk slechts n orbitaal bevat, kan de tight binding Hamiltoniaan in de basisgevormd door de Bloch functies A en B worden uitgedrukt en zal dezebijgevolg een twee bij twee matrix zijn. Elk van deze Bloch functies bestaatvoor N eenheidscellen uit N termen. Dit zal er dus voor zorgen dat elkelement van de Hamiltoniaan uitN2 termen bestaat en bijgevolg zal ter ver-eenvoudiging de naaste nabuur benadering worden gehanteerd. Dit houdt indat in de dubbele sommaties, die in de berekening van de matrixelementenvan de Hamiltoniaan verschijnen, alleen de termen die overeenkomen metnaaste naburen worden behouden.Aangezien een A atoom alleen maar B atomen als naaste naburen heeft zul-


20/132


len in de berekening van het matrixelementHAA=A

|H

|A

in de naaste

nabuur benadering dus enkel de termen met RA= RAworden behouden aan-gezienA atomen waarvoor geldt dat RA= RA geen naaste naburen kunnenzijn. Dit geeft dan

HAA(k) = 1N

NRA, R

A

eik.(RARA)

A, RA

| H|A, RA

1N

NRA=R

A

2pz , (2.4)

waarbij 2pz dus gedefinieerd is alsA, RA| H|A, RA. Dit is echter niet deenergie van het vrije orbitaal omdat er een kristalpotentiaal aanwezig is.

Deze waarde is echter wel dezelfde voor alle eenheidscellen en dus onafhan-kelijk van RA. Bijgevolg geldt er dus dat HAA= 2pz . De waarde van dezeparameter is vrij te kiezen aangezien hier enkel energieverschillen van belangzijn. Vanaf nu zal dan ook steeds2pz = 0 worden gesteld. Analoog geldt erook dat HBB = 2pz = 0.Met de notaties R1= RB1 RA=

a3

, 0, R2= RB2 RA=

a23

, a2

enR3= RB3 RA =

a23

, a2

(zie figuur2.1) voor de vectoren die een Aatoom met zijn drie naaste naburen verbinden, is HAB in de naaste nabuurbenadering gegeven door

HAB(k) = 1N

NRA

3i=1

eik. Ri

A, RA| H|

B, RBi 1

N

NRA

03i=1

eik. Ri. (2.5)

De nieuw ingevoerde parameter 0=A, RA| H|B, RBi , ook de hopping-parameter genoemd, is een maat voor de sterkte van de interatomaire bin-ding tussen de naaste naburen en heeft wegens symmetrieredenen dezelfdewaarde voor de drie verschillende naaste naburen. Deze parameter heeft ty-pisch een waarde van ongeveer3.12eV en hoewel deze waarde werd bepaaldvoor grafiet is het aannemelijk dat deze voor grafeen op zijn minst zeer ge-lijkaardig is.[26] Aangezien 0

3i=1e

ik. Ri onafhankelijk is van RA geldt dus

datHAB=0(eik.

R1 +ei

k.

R2 +ei

k.

R3) 0f(k).

Het matrixelement HBA kan op identieke manier worden bepaald maardan met de substituties Ri Ri voor i = 1, 2, 3. Hieruit volgt datHBA = 0f(k).De tight binding Hamiltoniaan van grafeen is dus gegeven door

H=

0 0f(k)

0f(k) 0

, (2.6)


21/132


Figuur 2.3: Links: Het volledige tight binding energiespectrum van grafeenvoor 0 = 3.12 eV. Rechts: Uitvergroot energiespectrum rond een van deDirac punten. Het lineaire karakter is hier duidelijk zichtbaar.

met de functie f(k)gegeven door

f(k) = eikxa3 + 2ei

kxa

23 cos

kya

2

. (2.7)

Energiespectrum

Het energiespectrum volgt nu door de eigenwaarden van deze Hamiltoniaante berekenen. Dit geeft

E(k) = 0

|f(k)|2 = 0

1 + 4cos

3kxa2

coskya

2 + 4cos2

kya

2 . (2.8)

en is getoond in figuur2.3. De onderste band is de bindingband of va-lentieband en de bovenste band is de antibindingband of conductieband.

De punten waar de twee banden elkaar raken worden de Dirac punten ge-noemd. Aangezien er twee elektronen in de eenheidscel zijn vullen deze devalentieband volledig en blijft de conductieband leeg en dus is grafeen eenzero-gap halfgeleider.Wanneer het gebied rond een van de Dirac punten wordt uitvergroot krijgt debandenstructuur een kegelvorm en wordt de energie dus een lineaire functievan kx en ky. Dit is getoond in het rechterdeel van figuur2.3. De Hamil-toniaan kan worden ontwikkeld rond de Dirac punten en het zal blijken datdit leidt tot een massaloze Dirac Hamiltoniaan.


22/132


2.2.2 Dirac Hamiltoniaan

Dirac punten

De locaties van de Dirac punten kunnen worden bepaald uit het feit datde energie er 0 is. Uit vergelijking (2.8) volgt dat dit equivalent is met devoorwaarde f(k) = 0. Aangezien f(k) een complexe functie is leidt dezevoorwaarde tot de vergelijkingen

cos

kxa3

= 2cos

kxa

23

cos

kya2

sin

kxa3

= 2 sin

kxa

23

cos

kya2

. (2.9)Kwadrateren en optellen van beide vergelijkingen levert onmiddellijk de ver-gelijking voor ky:

2cos

kya

2

= 1. (2.10)

Invullen van deze vergelijking in de eerste vergelijking van (2.9) geeft dande vergelijking voor kx:

cos

kxa3

= cos

kxa

2

3

. (2.11)

De oplossingen van de vergelijkingen met het bovenste teken zijn gegeven

door

(kx, ky) =

(2m+ 1) 2

3a, (1 + 6n)2

3a

, (2.12)

met men n gehele getallen. De oplossingen van de vergelijkingen met hetonderste teken zijn gegeven door

(kx, ky) =

2m 2

3a, (2 + 6n)2

3a

, (2.13)

met men nopnieuw gehele getallen. Het blijkt dus uit bovenstaande tweevergelijkingen dat de Dirac punten samenvallen met de in sectie2.1bespro-

ken K en K punten. De mogelijke keuze voor de inequivalente K en Kpunten die in die sectie werd gegeven volgt door m = n = 0 te stellen invergelijking (2.12). De omgevingen rond de Dirac punten worden ook deverschillende valleien van het energiespectrum genoemd.

Lage-energie benadering

Indienf(k)tot op eerste orde rond een van de Dirac punten wordt ontwikkeldgeeft dit


23/132


f(k) f( K()) + kx f(k)kx

K(

)+ ky

f(k)ky

K(

). (2.14)

Zoals reeds gezien is de eerste term 0. De afgeleiden zijn gegeven door

f(k)kx

K(

)=

ia3

ei232 ia

2

3ei

3 cos

3

=

ia3

3

4+i

3

34

=

3

4 a

3i

,

(2.15)

f(k)ky

K(

) = aei

3 sin3 = a12i

3

2

3

2

=

34 a1+i3,

(2.16)en dus kan f(k)worden geschreven als

f(k) =

34

a

3 +i

kx iky

. (2.17)

Bovendien is

3 + i = 2ei6 . De fasefactorei6 kan worden weggewerkt

door een rotatie van de reciproke cordinaten en wordt in het vervolg vandeze thesis weggelaten. De Hamiltoniaan wordt dan

H=

32 0a

0 kx ikykx iky 0

. (2.18)

Het K en K punt, en dus ook de Hamiltonianen in hun respectievelijkevalleien, zijn aan elkaar gerelateerd via een puntspiegeling in de reciprokeruimte. Dit is equivalent aan de transformatie k k en wordt daaromook tijdsomkeersymmetrie genoemd.[27] Vanaf nu zal steeds in de Kvallei, endus met de bovenste tekens in bovenstaande Hamiltoniaan, worden gewerkt.Hierbij is het belangrijk om op te merken dat kx en ky steeds het verschil ingolfgetal ten opzichte van hetKpunt voorstellen, dat vanaf nu dus de nieuweoorsprong van het reciproke vlak voorstelt. Deze Hamiltoniaan is bovendienidentiek aan de Dirac Hamiltoniaan, in het algemeen gegeven door

HD= c.p+mc2, (2.19)

maar dan zonder massaterm en in twee dimensies, waarvoor geldt dat x=x,y= yen= z metx,yenz de Pauli matrices. Bovendien zal deFermisnelheid vF, de snelheid van de elektronen met een energie gelijk aande Fermi-energie, nu de rol spelen van de lichtsnelheid c. De Hamiltoniaankan dus worden herschreven als


24/132


H= vF.p= vF

0 kx ikykx+iky 0

. (2.20)

Door uitdrukkingen (2.18) en (2.20) te vergelijken kan de Fermisnelheidworden bepaald. Dit geeftvF=

32

0

a 106 ms 1300cvoor 0= 3.12eV.

Lage-energie spectrum

De Hamiltoniaan (2.18) commuteert met zowelkxals kyen dus zijnkxen kybehouden en verliezen deze hun operatorkarakter. Het zijn dus goede kwan-tumgetallen en voor de golffunctie geldt dan eikxxeikyy. Het berekenen

van de eigenwaarden van deze Hamiltoniaan leidt dan tot het energiespec-trum

E=

32

0a

k2x+k2y E

0=

3

2

(kxa)2 + (kya)2. (2.21)

Dit resultaat is weergegeven in figuur2.4(a). Aangezien de energie symme-trisch is ten opzichte van uitwisseling van kx en ky wordt enkel als functievan kx geplot met ky = 0. Voor algemene waarden van kx en ky geeft ditaanleiding tot de kegelvorm zoals getoond in het rechterdeel van figuur 2.3.Een mogelijke uitbreiding is het toevoegen van een verschillende potentiaalop de verschillende subroosters, bijvoorbeeld V2 op subrooster Aen V2 opsubrooster B. Deze situatie kan worden gerealiseerd door de grafeenlaagop een substraat te bevestigen, bijvoorbeeld door het A atoom boven hetbooratoom en het B atoom boven het stikstofatoom van boornitride, datongeveer dezelfde roosterconstante heeft als grafeen, te plaatsen. Aangeziendit alleen de potentiaal op de roosterpunten benvloedt, wordt de Hamilto-niaan nu gegeven door

H=

V

2

32 0a(kx iky)

32 0a(kx+iky) V2

. (2.22)

Dit leidt tot het nieuwe energiespectrum

E

0= 1

2

3(kxa)2 + (kya)2+

V

0

2. (2.23)

Voorkx= ky= 0blijkt dat de conductieband zich op E= V2 bevindt terwijlvoor de valentieband geldt dat E=V2. Er is dus een bandkloof ontstaanmet grootte V. Dit resultaat is getoond in figuur2.4(b).


25/132


0.40.2 0.0 0.2 0.4

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

kxa

0

(a) V = 0

0.4 0.2 0.0 0.2 0.4

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

kxa

0

V0

(b) V = 0.20

Figuur 2.4: Links: Lage-energie spectrum van grafeen zonder potentiaalver-

schil op de subroosters. De rode band correspondeert met een pseudospin = 1, de blauwe band met pseudospin =1 (zie sectie 2.6). Rechts:Lage-energie spectrum van grafeen met potentiaalverschil 2V = 0.40op desubroosters. Dit geeft aanleiding tot een bandkloof welke ook is aangeduid.In deze situatie is het begrip pseudospin niet meer gedefinieerd.

Geldigheid van de benadering

Aangezien de K en K punten samenvallen met de Dirac punten volgt hetdat deMpunten samenvallen met de punten halverwege twee Dirac punten.Opdat de kans dat een elektron verstrooit naar een naburige vallei voldoende

klein zou zijn, is aan de hand van figuur 2.3 te zien dat de energie van hetelektron aanzienlijk lager moet zijn dan de energie in het Mpunt aangeziende bandenstructuur daar een lokaal extremum vertoont. Invullen van dehiervoor in sectie 2.1 gegeven cordinaten levert onmiddellijk f(M) = 1en dus volgt uit vergelijking (2.8) dat de energie in het Mpunt gegeven isdoorE= 0. De voorwaarde opdat de hierboven doorgevoerde benaderinggeldig zou zijn is dus gegeven door

E 0

32

a|k| 1

3a , (2.24)

waarbij vergelijking (2.21) en

|k

|= 2

werden gebruikt. Het blijkt dus dat

de lage-energie benadering equivalent is met de benadering dat de golflengtevan het elektron veel groter is dan de roosterconstante. Dit betekent dathet elektron onvoldoende resolutie heeft om de afzonderlijke atomen waar tenemen en bijgevolg is dit een continumbenadering.De thermische energie van de elekronen bedraagt bij kamertemperatuur (T=293K) kBT = 0.0252 eV, wat inderdaad aanzienlijk lager is dan 0 = 3.12eV. Bijgevolg is de lage-energie benadering geldig en zullen de elektronenzich steeds in dezelfde vallei bevinden en dus succesvol worden beschrevendoor de Hamiltoniaan (2.18).


26/132


2.3 Golffunctie

Met behulp van de Hamiltoniaan (2.20) kan ook de golffunctie worden be-paald. Deze is noodzakelijk om bijvoorbeeld verstrooiingsprocessen van elek-tronen aan een potentiaal te beschouwen. Indien zon potentiaal alleen inde xrichting varieert, dan is deze extra term in de Hamiltoniaan enkel eenfunctie van x en zal de Hamiltoniaan dus nog steeds commuteren met ky.Bijgevolg kan nog steeds worden verondersteld dat eikyy. De Schrdin-gervergelijking H| =E|met| =

|A|B

leidt dan tot het stelsel

(kx iky) |B = EvF |A

(kx+iky) |A =

E

vF |B . (2.25)

Vermenigvuldigen van de tweede vergelijking met(kx iky), de eerste verge-lijking erin substitueren en overgaan op positierepresentatie, met dus kx =i

x, leidt dan tot de differentiaalvergelijking

2

x2A(x) =

E

vF

2 k2y

A(x). (2.26)

De oplossing van deze differentiaalvergelijking is, met = EvF

, gegeven door

A(x) = c1ei

2k2yx +c2ei

2k2yx. (2.27)

Invullen van dit resultaat in de tweede vergelijking van (2.25) geeft dan

B(x) = c1

kx+iky

eikxx +c2

kx+iky

eikxx, (2.28)

metkx=

2 k2y . De totale golffunctie wordt dus gegeven door

(r) = c1

1

kx+iky

eikxxeikyy +c2

1

kx+iky

eikxxeikyy. (2.29)

De tijdsafhankelijkheid van deze toestand volgt uit het oplossen van de tijds-afhankelijke Schrdingervergelijking voor een stationaire toestand:

i(r, t)

t =E(r, t) (r, t) = e iEt (r). (2.30)

De totale golffunctie is dus een superpositie van twee in tegengestelde zinlopende golven.


27/132


2.4 Grafeen in een loodrecht magneetveld

Een veel voorkomende experimentele manipulatie is het aanleggen van eenmagneetveld. Hierbij is het belangrijk dat er onderscheid wordt gemaakttussen enerzijds een magneetveld dat loodrecht op de grafeenlaag is gerichten anderzijds een magneetveld dat parallel aan de grafeenlaag is gericht,zoals getoond in figuur 2.1. Het zal blijken dat deze twee situaties zeerverschillende gevolgen hebben op het energiespectrum en de golffunctie. Hierwordt enkel de situatie van het loodrechte magneetveld beschouwd. Hetparallelle magneetveld wordt in hoofdstuk4 uitgebreid besproken.

2.4.1 Hamiltoniaan

Een mogelijke vectorpotentiaal die aanleiding geeft tot een magneetveldloodrecht gericht op het grafeenvlak is A= Bxey, met overeenkomstig mag-neetveld B= A= Bez. De aanwezigheid van de vectorpotentiaal kan inde Hamiltoniaan worden meegenomen door middel van de Peierls substitutieky ky+ eBx. De Hamiltoniaan wordt dan, met eB = 1l2

B

, gegeven door

H= vF

0 kx i

ky+ xl2

B

kx+i

ky+ xl2

B

0

. (2.31)

De Hamiltoniaan commuteert dus nog steeds metky waardoor ky een goedkwantumgetal blijft. Verder geldt er dat

kxi

ky +

xl2B

kx +i

ky +

xl2B

=k2x +

ky +

xl2B

2+

i

l2B

kx,x

, (2.32)

en omdat

kx,x

= i1, met1de eenheidsoperator, volgt dus dat

kx i

ky+ xl2B

, kx+i

ky+

xl2B

=

2il2B

kx,x

=

2l2B

1. (2.33)

Bijgevolg kunnen de ladderoperatoren

a= lB

2

kx i

ky+

xl2B

, (2.34)

a= lB

2

kx+i

ky+

xl2B

, (2.35)

worden gedefinieerd, welke dus per constructie voldoen aan de commutatie-relatie[a, a] =1. Bovendien geldt er data= iaHO en a= iaHO met aHOenaHO de ladderoperatoren voor de harmonische oscillator ten opzichte van


28/132


0 2 4 6 8 10

0.06

0.04

0.02

0.00

0.02

0.040.06

BT

n

0

n0

n1n2 n

3

n4

n1n2

n3

n4

Figuur 2.5: Energiespectrum van grafeen als functie van het loodrechte mag-neetveld voor n= 0, . . . , 4.

de cordinaten xlB

+lBky. De Schrdingervergelijking leidt met bovenstaandesubstituties tot het stelsel

a |B = lB2

EvF

|Aa |A = lB2

EvF

|B . (2.36)

Laten inwerken van a op de eerste vergelijking leidt dan tot aa |B =

lB2

EvF

2

|B

. De toestand

|B

is dus een eigentoestand

|n

van de tel-

operatoraamet bijgevolg bijhorende eigenwaarde n. Aangezien geldt dataa = aHO aHO is deze toestand dus een harmonische oscillator toestand.Uit bovenstaand stelsel volgt dan dat |A ook een eigentoestand van deteloperator is, die bovendien een trap lager op de ladder staat. De totaleeigentoestand is dus gegeven door

|n = 12

i |n 1

|n

, (2.37)

en de bijhorende energie is En = vF2n

lB= vF

2neB

, met n =

0, 1, 2, . . .Met behulp van de relatie vF=

32 0avolgt dat

En0 = a3e2nBen dit resultaat is weergegeven in figuur 2.5. Het energiespectrum is dus

discreet, wat het gevolg is van de Landau kwantisatie in het loodrechte mag-neetveld. Indien n = 0 geldt er dat E0 = 0,|0B =|0 en uit de tweedevergelijking van (2.36) volgt dan dat|0A = 0. Voor n= 0 is er dus eenenergieniveau met energie 0 dat onafhankelijk is van het magneetveld. Voorn >0 is de afhankelijkheid van het magneetveld sterker voor grotere waar-den van n. Het feit dat En

n

Bis bovendien opmerkelijk aangezien ervoor een tweedimensionaal elektrongas geldt dat En nB.


29/132


2.4.2 Eigentoestanden in positierepresentatie

De positierepresentatie van de eigentoestanden (2.37) kan worden gevon-den door te vertrekken van aa |nB = n |nB, de ladderoperatoren tevervangen door uitdrukkingen (2.34) en (2.35) en vervolgensx| hierop teprojecteren. Dit levert de differentiaalvergelijking

2

x2nB(x)

x2

l4BnB(x)

2kyxl2B

nB(x) =

2n+ 1l2B

+ k2y

nB(x). (2.38)

Substitutie van nB(x) = nB(x)ea(xb)2, met dus

2

x2nB(x) =

2

x2nB(x)4a(xb)

xnB(x)+2a

2a(xb)21

nB(x)

ea(xb)

2

(2.39)levert dan

2

x2nB(x) 4a(x b)

xnB(x) +

4a2 1

l4B

x2nB(x) +

2ky

l2B 8a2b

xnB(x)

=

2n+ 1l2B

+k2y+ 2a 4a2b2

nB(x).

(2.40)

Door geschikte keuze van a en b kunnen de derde en vierde term wordengelimineerd. Meer bepaald blijkt dat de derde term wegvalt voor a= 1

2l2B

en bijgevolg dat de vierde term wegvalt voor b= ky4a2l2

B

= l2Bky. Invullenvan deze waarden in de overige termen levert dan

2

x2nB(x)

2l2B

(x+l2B ky)

xnB(x) =

2nl2B

nB(x). (2.41)

Doorvoeren van de substitutie y = x+l2B

kylB

leidt ten slotte tot de differenti-

aalvergelijking

2

y2nB(y) 2y

ynB(y) = 2nnB(y). (2.42)

Dit is de differentiaalvergelijking voor de Hermietpolynomen Hn en dus isde positierepresentatie van|nBgegeven door

nB(x) = Hnx+l2Bky

lB

e (x+l

2Bky)

2

2l2B , (2.43)


30/132


20 10 0 10 200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xnm

en

1020

C nm

Figuur 2.6: Elektronladingsdichtheid van grafeen voor ky = 0 in een lood-recht magneetveldB = 10T voor n= 0(blauw) en n = 1 (rood).

wat inderdaad de positierepresentatie is van de eigentoestanden van de har-monische oscillator. De tweede oplossing van (2.42) is een hypergeometrischefunctie die zelfs na vermenigvuldiging met de Gaussische factor divergeertvoor x voor oneven nen daarom niet als oplossing wordt meegeno-men. De positierepresentatie van|nA is dan gegeven door bovenstaandeuitdrukking met de substitutie n n1. De eigentoestanden zijn nugelokaliseerd rond het punt x0 = kyeB met breedte 2lB. Nu de positiere-presentatie gekend is kan ook de ladingsdichtheid worden bepaald. Hierbijis het belangrijk dat de golffunctie genormeerd is. De normeringsfactor voorde golffunctie (2.43) is gegeven door

Nn= 12nn!

lB

. (2.44)

In figuur2.6wordt de ladingsdichtheid, gegeven door en(x) = en(x)n(x),in absolute waarde weergegeven. Hierbij wordt verondersteld dat de elek-tronen zich enkel langs de xas kunnen bevinden. Indien er ook een uit-gebreidheidL in de yrichting wordt verondersteld, zal de ladingsdichtheidzich hier uniform over verspreiden en zal dit resulteren in een extra voorfac-

tor 1L . Het blijkt dus dat zelfs voor sterke magneetvelden de ladingsdichtheidzich verspreidt over een afstand die veel groter is dan de eenheidscel, welke0.426nm lang is in de xrichting, aangezien er voor B = 10 T geldt datlB = 8.11nm. Voor kleine magneetvelden zal de ladingsdichtheid nog meerworden verspreid. Het effect van ky bestaat erin de gehele ladingsdichtheiduniform te verschuiven over de xas. Hogere waarden van n leiden tot meeroscillaties in de ladingsdichtheid.


31/132


2.5 Verstrooiing aan een potentiaal

Indien een externe potentiaal wordt aangebracht op de grafeenlaag, kunnende elektronen hieraan verstrooiien. De twee meest eenvoudige potentiaalge-ometrien zijn de potentiaalstap en de potentiaalbarrire. Indien de potenti-aal bovendien alleen in de xrichting varieert dan zal de Hamiltoniaan nogsteeds metky commuteren en zal ky dus een behouden grootheid zijn.

2.5.1 Stroomdichtheid

Om de verschillende verstrooiingswaarschijnlijkheden te kunnen berekenenmoet de stroomdichtheid in de verschillende potentiaalgebieden gekend zijn.

De stroomdichtheid kan worden bekomen door de continuteitsvergelijkingop te stellen. Meer bepaald kan worden vertrokken van

t =

t

=

t +

t

(2.45)

en kunnen hierin de Schrdingervergelijking en zijn hermitisch toegevoegdeworden gesubstitueerd. Voor grafeen zijn deze vergelijkingen gegeven door

it

=H = vF(.k) = ivF.(),

i

t =ivF()..(2.46)

Substitutie in (2.45) levert dan

t = vF(). vF.() .j, (2.47)

met de stroomdichtheidj dus gegeven door

j= vF. (2.48)

Aangezien de beschouwde potentialen steeds in de xrichting variren, zal

dex

component van bovenstaande stroomdichtheid de relevante componentzijn. Indien dit wordt uitgewerkt voor de eerste term van de golffunctie (2.29)dan geeft dit

j+x,1= vFc1

1,

kx iky

eikxxeikyyc1

kx+iky

1

eikxxeikyy

= 2vFkx

|c1|2.

(2.49)


32/132


Het plusteken in het superscript duidt hier op het feit dat dit de stroom-dichtheid van een rechtspropagerende golf is en het subscript 1 duidt oppotentiaalgebied 1, namelijk links van de potentiaalstap of de potentiaalbar-rire. Analoog duiden de subscripts 2 en 3 op respectievelijk het gebied inde stap of de barrire en het gebied rechts van de barrire. De stroomdicht-heid voor de tweede term van de golffunctie (2.29) kan uit de bovenstaandestroomdichtheid worden bekomen door middel van de substituties kx kxenc1 c2. Indienkximaginair wordt,kx= ik xmetkx=Im(kx), dan wordtbovenstaande stroomdichtheid gegeven door

j

+

x,1= vFc1

1, ikx

iky

ekxx

eikyy

c1 ik

x+iky

1

ekxx

e

ikyy

= 0. (2.50)

Er is in dit geval dus geen stroomdichtheid met de toestand geassocieerd.Dit is het gevolg van het feit dat de toestand nu geen propagerende golf meeris.Aangezien de hier beschouwde golffunctie een oplossing is van de stationaireSchrdingervergelijking geldt er dat onafhankelijk is van de tijd. Uit decontinuteitsvergelijking volgt dan dat .j = jx

x + jy

y = 0. Aangezien y

uitsluitend in een fasefactor voorkomt kan jy niet afhankelijk zijn van y enmoet er dus gelden dat jx

x = 0 ofwel dat jx een constante is. De som

van de stroomdichtheden in de x

richting in het potentiaalgebied moet dus

gelijk zijn aan de som van de stroomdichtheden in de xrichting buiten hetpotentiaalgebied. Beide leden delen door j+x,1geeft dan voor de situatie vande potentiaalstap

|jx,1|j+x,1

+j+x,2

j+x,1 |j

x,2|

j+x,1= 1, (2.51)

waarbij gebruik werd gemaakt van het feit dat jx,1 en jx,2 negatef zijn.

Deze vergelijking stelt het behoud van waarschijnlijkheid voor en kan wordengebruikt om de transmissie- en reflectiewaarschijnlijkheden te definiren. Hetresultaat voor de situatie van de potentiaalbarrire is volledig analoog maar

dan met het subscript 3 in plaats van het subscript 3.

2.5.2 Potentiaalstap

De potentiaalstap kan worden geschreven als V(x) = V(x), met (x)de Heaviside stapfunctie. Dit verstrooiingsprobleem kan worden opgelostdoor de golffunctie links en rechts van de potentiaalstap te beschouwen. Degolffunctie (2.29) bestaat zoals reeds gezegd uit een lineaire combinatie vaneen linksen rechtspropagerende golf, naargelang het teken van kx. Rechtsvan de stap moet bovendien de wijziging E E Vworden doorgevoerd.


33/132


Het komt er dan bovendien op aan om de juiste randvoorwaarden te kiezen.

Randvoorwaarden

De cofficint van de invallende golf (de rechtspropagerende golf links vande stap) wordt op 1 genormaliseerd. De cofficint van de gereflecteerde golf(de linkspropagerende golf links van de stap) is gegeven door de reflectie-cofficint r. De uitgaande golf (de rechtspropagerende golf rechts van destap) gaat gepaard met de transmissiecofficint t. Voor de situatie van depotentiaalstap moet ten slotte worden opgelegd dat er rechts van de stapgeen linkspropagerende golf is, aangezien deze van oneindig zou komen endus geen gevolg zou zijn van de verstrooiing van de invallende golf.

Verder is het ook nog van belang of de energie van het invallend elektrongroter of kleiner is dan de hoogte van de potentiaalstap. Rechts van de stapis E Vals het ware de effectieve energie. De groepssnelheid van een golfis gegeven door vx = 1

Ekx

. Indien E < Vdan zal rechts van de stap duseen negatief golfgetal in de xrichting vereist zijn om alsnog een positievegroepssnelheid en dus rechtspropagerende golf te bekomen. De energie Ekan ook zowel positief als negatief zijn, wat overeenkomt met respectievelijkelektronen en gaten. Indien de energie negatief is moet het golfgetal linksvan de stapkxom dezelfde reden van teken worden gewisseld. Hier zal echtersteeds de situatie E >0worden beschouwd.Aangezien de Hamiltoniaan lineair is in de golfgetallen, en dus in de af-

geleiden naar de positie, moet enkel continuteit van de golffunctie aan depotentiaalrand worden vereist en niet van de afgeleide naar de positie ervan.In het algemeen kan de vergelijking die moet worden opgelost dus als volgtworden geschreven:

1

kx+iky

eikxxeikyy +r

1

kx+iky

eikxxeikyy =t

1

sqx+iky

eisqxxeikyy,

(2.52)met s = sgn(E V) het teken van E V, kx gedefinieerd zoals voorheenen qx = (

)2

k2y de golfvector rechts van de stap met =

VvF

. De

exponentile factoreneikyy kunnen worden weggelaten aangezien deze in elketerm voorkomen. Bovendien kan de stap inx= 0worden geplaatst waardoorook de overige exponentile factoren wegvallen. De overgebleven vergelijkingkan dan worden opgelost om zo de cofficinten ren t te bepalen.

Transmissiewaarschijnlijkheid

De transmissiewaarschijnlijkheid Tis naar analogie met vergelijking (2.51)gedefinieerd als de verhouding van de stroomdichtheid rechts van de stap


34/132


Figuur 2.7: Transmissiewaarschijnlijkheid als functie van het transversalegolfgetalkyen de energieEvoor een potentiaalstap met hoogte V = 0.050.De zwarte en witte streepjeslijnen duiden respectievelijk de maximale invals-hoek en de kritische hoek aan.

op de invallende stroomdichtheid. Invullen van de voor vergelijking (2.52)relevante waarden in de stroomdichtheden geeft dan

T= qx

kx

| | |t|2. (2.53)

De reflectiewaarschijnlijkheidRis volstrekt analoog gedefinieerd als de ab-solute waarde van de fractie van de stroomdichtheid links van de stap nareflectie op de invallende stroomdichtheid. Opnieuw de voor vergelijking(2.52) relevante waarden invullen geeft dan R = |r|2. Uit vergelijking (2.51)volgt nu bovendien dat R+ T = 1 aangezien jx,2 nu gelijk is aan 0. Ditstelt het behoud van waarschijnlijkheid voor. In figuur2.7is Tgeplot als

functie van de behouden grootheden kyaen E0 . Hierbij is opnieuw gebruikt

gemaakt van de relatie vF=32 0a.

In het niet-gedefinieerde gebied (wit) geldt dat32 kya >

E0

ofwel ky > en dus is kx er imaginair en zijn er dus geen propagerende golven links vande stap. Dit is niet de fysische situatie die hier wordt beschreven en vereistandere randvoorwaarden.In het lage-transmissie gebied is kxwel reel maar is qximaginair aangeziendaar geldt datky > ||. Er is dus wel een invallende en een gereflecteerdegolf links van de stap maar rechts van de stap is er geen doorgelaten golf en


35/132


bijgevolg is de transmissie daar 0.De hoge-transmissie gebieden zijn het gevolg van het feit dat ookqxdaar re-el is en er ook rechts van de stap dus een propagerende toestand beschikbaaris.

Invloed van ky

Bovenstaand resultaat kan ook worden begrepen in termen van de invals-hoek en brekingshoek van het elektron. De invalshoek is gegeven door =

arctan

kykx

. Op de grens tussen het gedefinierde en het niet-gedefinierde

gebied is kx = 0 en dus =sgn(ky) 2 . Dit is de maximale invalshoek vanhet elektron en is aangeduid op figuur2.7.De brekingshoek is gegeven door = arctan

s

kyqx

. Op de grens tus-

sen het lage-transmissie en het hoge-transmissie gebied is qx = 0 en dus= sgn(ky)s 2 . In het lage-transmissie gebied treedt dus totale interne re-flectie op. De waarde van op deze scheidingslijn is dus de kritische hoek enis aangeduid op figuur2.7. Uit de voorwaardeqx= 0volgt datky= ()en substitutie hiervan in levert dan de uitdrukking voor de kritische hoek:

c=arctan

EV 1

2 EV 1

. (2.54)

Voor E < V

2 bestaat er dus geen kritische hoek. Dit is in overeenstemmingmet figuur2.7aangezien in deze situatie de witte stippellijn nooit kan wordenbereikt door ky te variren bij constante energie. Voor E Vgeldt er datc 0wat ook in overeenstemming is met de figuur.Bovendien valt het op dat voor ky= 0de transmissie steeds gelijk is aan 1.Dit volgt uit het oplossen van het stelsel (2.52) voor ky = 0. Er geldt dankx= en qx= | |en het stelsel herleidt zich dan tot

11

+r

11

=t

1

s2

. (2.55)

Aangezien s2 = 1 levert het verschil nemen van beide vergelijkingen on-

middellijk r = 0 en dus T = 1. Dit fenomeen, waarbij het elektron voorloodrechte inval met 100% zekerheid propageert in de potentiaalstap, wordtKleintunneling genoemd.[17] Indienkyvervolgens wordt verhoogd zal het re-levante deel van het energiespectrum er anders gaan uitzien. De doorsnedezoals getoond in figuur2.4(a) moet dan worden verschoven in de kyrichting.Aangezien de energie ook lineair toeneemt met ky zal dit ervoor zorgen dathet energiespectrum de vorm zal krijgen van figuur 2.4(b), waarbij uit ver-gelijking (2.21) volgt dat de bandkloof nu gegeven is door

30kyain plaats

van V. Bijgevolg zijn toestanden met een energie gelegen in deze bandkloof


36/132


1

1

1

r

r

r

t

t

3 0kya

3 0kyaV

E1

E2

E3

Figuur 2.8: Schematische voorstelling van de verstrooiing van een elektronaan een potentiaalstap. Het energiespectrum (rood) is weergegeven linksen rechts van de potentiaalstap (zwart) met hoogte V = 0.050. Het elek-tron heeft een transversaal golfgetal kya= 0.01en de hierdoor veroorzaaktebandkloven in de energiespectra zijn aangeduid. De propagerende toestan-den voor een elektron met energie E1= 0.090,E2= 0.0550en E3= 0.020zijn aangeduid (zwarte pijlen) met hun bijhorende cofficinten.

niet beschikbaar.Om meer inzicht te verkrijgen in de situatie wordt deze schematisch voorge-steld in figuur2.8. Aan de hand hiervan kan worden ingezien dat er voor hetelektron met energie E2dus geen toestand beschikbaar is rechts van de stap.Dit is overeenkomstig met het feit dat het punt (kya = 0.01, E0 = 0.055)in figuur2.7 zich in het lage-transmissie gebied bevindt. Indien ky wordtverhoogd dan zullen de bandkloven dus toenemen en zal de toestand metenergieE3 links van de stap eerder verdwijnen dan rechts van de stap. Ditis equivalent aan het feit dat translatie naar rechts vertrekkende vanuit ditpunt in figuur2.7ervoor zal zorgen dat het punt in het niet-gedefinierdegebied terecht komt. Vertrekkende van het elektron met energie E1 zal de

toestand rechts van de stap als eerste niet meer beschikbaar zijn wat over-eenkomt met het ingaan van het lage-transmissie gebied in figuur2.7.In figuur2.9is de transmissiewaarschijnlijkheid ten slotte geplot als functievan de staphoogte. Deze plot is volledig te verklaren aan de hand van figuur2.8. Voor dit elektron is er steeds een toestand beschikbaar links van destap. Voor kleine Vis er ook een toestand beschikbaar rechts van de stap.De situatie van het elektron is nu te vergelijken met dat van het elektron metenergieE1in figuur2.8. Aangezien er een bandkloof aanwezig is ter groottevan

30kyais er rechts van de stap geen toestand meer beschikbaar wan-


37/132


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V0

T

3kya

Figuur 2.9: Transmissiewaarschijnlijkheid voor de verstrooiing van een elek-tron met E= 0.150 en kya= 0.05aan een potentiaalstap als functie vande staphoogte V

0. De invloed van dekybandkloof is duidelijk zichtbaar en

is ook aangeduid.

neerVwordt verhoogd tot op het punt waarvoor geldt dat V0 +32 kya=

E0

.Het elektron bevindt zich nu in de situatie van het elektron met energie E2.Indien de potentiaal verder wordt verhoogd tot op het punt waarvoor geldtdat V

0

32 kya=

E0

dan is er rechts opnieuw een toestand beschikbaar endeze situatie is vergelijkbaar met die van het elektron met energie E3. Eris dus steeds een interval met breedte3kya waarvoor de transmissie 0 is.Een andere opvallende conclusie uit deze figuur is dat de transmissie in delimiet van een oneindig hoge potentiaalstap naar een hoge waarde conver-geert. Dit is het gevolg van het feit dat het elektron in de potentiaalstapdan als elektrongat verder kan propageren.

Conductantie

Aan de hand van de transmissiewaarschijnlijkheid kan ook de conductantieG worden uitgerekend. Deze meetbare grootheid is volgens de Landauer-Bttiker formule gedefinieerd als de som over alle mogelijke transmissiekana-

len vermenigvuldigd met het kwantum van conductantie G0.[28] De verschil-lende transmissiekanalen worden gegeven door de verschillende kywaardendie een elektron kan aannemen. In werkelijkheid zal de grafeenlaag waarvande conductantie wordt gemeten steeds eindige afmetingen hebben en dit heeftals gevolg dat de behouden grootheid kyslechts de discrete waardenn Ly kanaannnemen met Ly de lengte van de grafeenlaag in de yrichting en neengeheel getal. De elementaire conductantie G0 is gegeven door 4 e

2

h waarbij

de factor 4 het gevolg is van de tweevoudige spin- en vallei-ontaarding. Detotale conductantie is dus gegeven door


38/132


G(E) = G0ky

T(E, ky) = G0 Ly

a1

d(kya)T(E, ky), (2.56)

waarbij de som werd benaderd door een integraal in de limiet van grote Ly.De conductantie voor de potentiaalstap is getoond in figuur2.12. Er is duseen lokaal maximum in conductantie voor E= V2 zoals te verwachten aande hand van figuur2.7. VoorE > Vstijgt de conductantie quasi lineair metde energie.

2.5.3 Potentiaalbarrire

Een andere eenvoudige potentiaalgeometrie is de potentiaalbarrire, ofweleen potentiaalstap met eindige breedte d. De potentiaal kan in dit gevalworden geschreven als V(x) = V(x)(d x). Dit probleem kan op eengelijkaardige manier als de potentiaalstap worden opgelost.

Randvoorwaarden

Links van de barrire is er opnieuw een invallende en een gereflecteerde golfmet golfgetal kx en rechts van de stap is er enkel een doorgelaten golf, ookmet golfgetal kx. In de barrire zijn beide golven aanwezig, nu met golfgetalqx. Aangezien beide golven aanwezig zijn moet er nu geen onderscheid wor-den gemaakt tussen E < V en E > V.

Er zijn nu vier onbekenden, naast de cofficinten ren tzijn er nu ook nogde cofficinten a en b van de golven in de barrire. Dit wordt gecompen-seerd door het feit dat er nu twee potentiaalranden zijn waar continuteitvereist is, namelijk voor x= 0 en voor x= d. Indien de golffunctie (2.29)als(kx, c1, c2)wordt geschreven dan kunnen de vergelijkingen die moetenworden opgelost worden genoteerd als

(kx, 1, r) = (qx, a , b) (2.57)

voor x= 0 en

(qx, a , b) = (kx, t, 0) (2.58)voor x =d. Dit is al een aanzienlijk ingewikkelder probleem dan dat van depotentiaalstap. Er zijn tweemaal zo veel vergelijkingen om op te lossen envoor x= dzullen de exponentile factoren niet wegvallen. Er is echter eenalternatieve manier om dit probleem op te lossen, namelijk met behulp vande transfermatrixmethode.


39/132


Transfermatrixmethode

De methode van de transfermatrix bestaat erin om bijvoorbeeld vergelijking(2.57) te herschrijven als

1r

=TI

a

b

, (2.59)

met TI de transfermatrix voor de eerste potentiaalovergang. De transfer-matrix voor de algemene overgang (kx, a1, b1) = (qx, a2, b2) in x = c isgegeven door

TI = 12kx( )

(kx+qx) (kx iky)

ei(kxqx)c

(kx qx) (kx iky)

ei(qx+kx)c(kx qx) (kx+iky)

ei(qx+kx)c

(kx+qx) (kx+iky)

ei(kxqx)c

.

(2.60)

Uit deze transfermatrix voor de eerste overgang kan ook de transfermatrixTII voor de tweede overgang worden bepaald. Aangezien dit een overgang isvan in de potentiaalbarrire naar uit de barrire, moeten nu de veranderingenkx qxen worden doorgevoerd. Aangezien er nu een veranderingin potentiaal

is bij de overgang, moet ook

worden doorgevoerd.

Verder moet ook nog c d worden aangepast. Doorvoeren van al dezesubstituties in TI levert onmiddellijk TII. Nu geldt er

a1

b1

=TI

a2

b2

=TITII

a3

b3

M

a3

b3

. (2.61)

Op deze manier zijn de cofficinten a2en b2van de toestanden in de barriredus gelimineerd. Nu kan worden teruggekeerd naar het oorspronkelijkeprobleem met a1= 1, b1= r , a3= t en b3= 0. Oplossen van bovenstaandstelsel levert dan dat de transmissiecofficint gegeven is door t = 1

M11.

Aangezien het golfgetal en de energie links en rechts van de barrire hetzelfde

zijn, is de transmissiewaarschijnlijkheid nu dus gegeven door T =|t|2

=1|M11|2 . Hierin kan nuc= 0worden gesteld en kunnen de uitdrukkingen voorkx en qx worden ingevuld.

Resonanties in de transmissiewaarschijnlijkheid

De transmissiewaarschijnlijkheid kan nu worden geplot als functie van kyaen E

0en is weergegeven in figuur2.10. De transmissie heeft dus grotendeels

dezelfde vorm als die van de potentiaalstap. In de hoge-transmissie gebie-den vertoont de transmissie nu echter een oscillerend gedrag als functie van


40/132


Figuur 2.10: Transmissiewaarschijnlijkheid als functie van het transversalegolfgetal ky en de energie Evoor een barrire met hoogte V = 0.050 enbreedte d = 100nm. De zwarte en witte streepjeslijnen duiden respectieve-lijk de maximale invalshoek en de kritische hoek aan.

de energie en het aantal van deze oscillaties blijkt evenredig te zijn met debreedte dvan de barrire. Voor een vaste waarde van E, V en ky blijkt detransmissie ook te oscilleren als functie van d. Indien het gebied rondE= Ven ky = 0wordt uitvergroot dan blijkt dat er een eindige transmissiewaar-schijnlijkheid is in het gebied waarvoor er in de barrire geen propagerendegolven zijn. Dit is een gevolg van het feit dat de barrire, in tegenstelling totde stap, eindig is en dat er ook rechts van de barrire dus nog een aanzienlijkeamplitude aanwezig kan zijn ondanks het feit dat de golffunctie exponentieldaalt in de barrire. Dit effect neemt toe naarmate de barrire minder breedwordt.In figuur2.11wordt opnieuw de transmissiewaarschijnlijkheid als functie van

de barrirehoogte geplot. Deze volgt een verloop dat gelijkaardig is aan detransmissie voor de situatie van de potentiaalstap, ook nu convergeert dezenaar een hoge waarde in de limiet van een oneindig hoge potentiaalbarri-re. De oscillaties zijn hier ook duidelijk zichtbaar. De resonanties van detransmissie (de maxima van de oscillaties) zijn gerelateerd aan toestandenwaarvoor de halve golflengte van het elektron een geheel aantal keer in debarrire past. De voorwaarde is dus gegeven door d = n 2 wat zich met= 2

qxonmiddellijk herleidt tot qx= n d met neen natuurlijk getal groter

dan 0. Uit de definitie van qx volgt dan de voorwaarde voor de resonanties:


41/132


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V

0

T

Figuur 2.11: Transmissiewaarschijnlijkheid voor de verstrooiing van een elek-tron met E= 0.150 en kya= 0.05aan een potentiaalbarrire met dikte 10nm als functie van de barrirehoogte V

0. De invloed van de kybandkloof is

opnieuw duidelijk zichtbaar. Er treden ook resonanties op welke theoretischkunnen worden voorspeld zoals weergegeven door de stippellijnen.

=

n

d

2+k2y. (2.62)

Voor gegeven waarden voor , ky en dkunnen hiermee de waarden voor ,en dus ook voor V

0, worden bepaald waarvoor de resonanties in figuur2.11

optreden. Dit geeft als resultaat de waarden zoals weergegeven door de ver-ticale stippellijnen op de figuur. Dit komt duidelijk perfect overeen met deresonanties.Ten slotte is de conductantie voor de potentiaalbarrire weergegeven in fi-guur2.12. Het verloop is zeer gelijkaardig aan dat voor de situatie van depotentiaalstap en bovendien is de invloed van de resonanties hier ook dui-delijk zichtbaar. Het valt ook op dat de conductantie nu niet 0 wordt voorE= V. Dit is het gevolg van de hierboven reeds besproken eindigheid vande barrire. Verder blijkt de conductantie voor E > V steeds iets lager te

zijn dan de conductantie voor de potentiaalstap.

2.6 Pseudospin

Als gevolg van de specifieke vorm van de Hamiltoniaan (2.18) is het mo-gelijk om een extra behouden grootheid te definiren. Deze zal helpen omde transmissiewaarschijnlijkheden uit figuur 2.7 en figuur 2.10 te verkla-ren. Door over te gaan op poolcordinaten in de reciproke ruimte, (kx =


42/132


0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.00

0.01

0.02

0.03

E0

G

aG0L

y

Figuur 2.12: Conductantie voor een potentiaalstap (blauw) met hoogte V =0.050 en een potentiaalbarrire (rood) met dezelfde hoogte en breedte d=100nm als functie van de energie van het elektron.

k cos , ky= k sin ), kan de Hamiltoniaan worden herschreven als

H=

3

2 0ka

0 cos i sin

cos +i sin 0

=

3

2 0ka

cos()x+sin()y

.

(2.63)

Bijgevolg kan de Hamiltoniaan worden voorgesteld als een vector in de ope-ratorruimte met x en y op de assen. De hoek bepaalt dan de relatievebijdrage van deze twee operatoren. Bovendien commuteert de Hamiltoni-aan met de operator cos()x+ sin()y en bijgevolg moet er een gemeen-schappelijk stel eigentoestanden bestaan waarvoor zowel deze operator alsde Hamiltoniaan diagonaal zijn in de bijhorende basis. Op die manier kun-nen de verschillende banden in het energiespectrum worden gelabeled metde eigenwaarden van bovenstaande operator. Aangezien de operator com-muteert met de Hamiltoniaan moet dit label behouden zijn en dit wordt depseudospin genoemd. De operator wordt de pseudospinoperator genoemd.De eigenwaarden van cos()x+ sin()y zijn gegeven door =

1 en de

eigenvectoren door

| = 12

1ei

. (2.64)

Transformatie van bovenstaande operator naar deze basis geeft de matrixDiag[1,-1]. Indien de Hamiltoniaan ook naar deze basis wordt getransfor-meerd dan wordt deze gegeven door


43/132


H=3

2 0ka 00

32 0ka

. (2.65)

De Hamiltoniaan is dus ook diagonaal in deze basis en bijgevolg kunnen deverschillende banden nu worden geassocieerd met een verschillende pseudo-spin.Om op basis van het behoud van pseudospin selectieregels te vinden om detransmissiewaarschijnlijkheden uit figuur2.7en figuur2.10te verklaren moetook de Hamiltoniaan in aanwezigheid van de potentiaalVworden beschouwden moet deze bovendien diagonaal zijn in dezelfde basis. De Hamiltoniaankan in dit geval worden geschreven als

H=32

0qa

cos()x+ sin()y

+V I2, (2.66)

metq=

q2x+k2y , = arctan

skyqx

en I2de twee bij twee eenheidsmatrix.

Transformatie van deze Hamiltoniaan naar de basis gevormd door | geeftdan

H=

V+

32 0qa cos( ) i

32 0qa sin( )

i32 0qa sin( ) V

32 0qa cos( )

, (2.67)

wat niet meer diagonaal is. Bijgevolg kunnen de energiebanden nu niet wor-

den gelabeled met dezelfde pseudospinwaarden als die links van de stap enkunnen dus geen selectieregels worden gevonden. Dit is enkel mogelijk indienbovenstaande Hamiltoniaan ook diagonaal is en uit bovenstaande uitdruk-king volgt dat dit alleen maar zo is indiensin( ) = 0ofwel = nmetneen geheel getal.Aangezien zowel als gedefinieerd zijn tussen 2 en 2 kan enkel aan dezevoorwaarde worden voldaan voor(, ) = (2 , 2 )en voor = . De situ-atie waarbij en gelijk zijn aan 2 komt echter overeen met de situatievan een elektron dat langs de rand van de stap of de barrire beweegt. Erkan dus niet worden gesproken van een overgang van het ene naar het anderegebied en deze situatie wordt daarom niet in beschouwing genomen.

Opdat zou gelden dat = moet gelden dat kx= qx. Uit de definities vandeze golfgetallen volgt dat hieraan voldaan is voor E= V2. Aangezien diteen energie is die lager is dan de potentiaalhoogte zal de rechtspropagerendetoestand in het potentiaalgebied echter een negatief golfgetal vereisen en zijnkx en qx, en dus en , niet gelijk maar wel tegengesteld.Bijgevolg kan enkel aan de voorwaarde = worden voldaan voor ky = 0aangezien dan geldt dat = = 0 ongeacht de waarde van kx en qx endus ook van Een V. In dit geval blijkt dat de energiebanden E=

32 0kxa

en E = V +32 0qxa pseudospin = 1 hebben en dat de energiebanden


44/132


0.10 0.05 0.00 0.05 0.10

0.10

0.05

0.00

0.05

0.10

kx

a

ky

a

0.10 0.05 0.00 0.05 0.10

0.10

0.05

0.00

0.05

0.10

kxa

ky

a

R T

V0 V0

Figuur 2.13: Links: Relatieve fase van de golffunctie van een elektron opeen curve van constante energie E= 0.080 (rood) in de reciproke ruimte.Rechts: Relatieve fase van hetzelfde elektron in een potentiaalgebied methoogte V = 0.020(lichtblauw) en V = 0.1650(groen). Verder zijn ook detoestanden aangeduid waarnaar een elektron met een bepaalde kywaardekan verstrooiien.

E =32 0kxa en E = V

32 0qxa pseudospin =1 hebben. De

pseudospin van

Masterthesis-MatthiasVanderDonck.pdf

Documents

Transcript of Masterthesis-MatthiasVanderDonck.pdf