Maple et réduction des endomorphismes

8/14/2019 Maple et rduction des endomorphismes

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Maple

Rduction des endomorphismes

Essaidi Ali

CPGE Lissane Eddine Laayoune

Mercredi 30 octobre 2013

Essaidi Ali (CPGE Lissane Eddine Laayoune) Maple Rduction des endomorphismes Mercredi 30 octobre 2013 1 / 12
http://find/http://goback/


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Package LinearAlgebra :



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Les commandes Maple de rduction des endomorphismes se trouvent dansle packagesLinearAlgebra.

http://goforward/http://find/


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Les commandes Maple de rduction des endomorphismes se trouvent dansle packagesLinearAlgebra.

>with(LinearAlgebra) ;[&x, Add, Adjoint, BackwardSubstitute, BandMatrix, Basis, BezoutMatrix, BidiagonalForm, BilinearForm, CharacteristicMatrix, CharacteristicPolynomial,

Column, ColumnDimension, ColumnOperation, ColumnSpace, CompanionMatrix, ConditionNumber, ConstantMatrix, ConstantVector, Copy,

CreatePermutation, CrossProduct, DeleteColumn, DeleteRow, Determinant, Diagonal, DiagonalMatrix, Dimension, Dimensions, DotProduct,

EigenConditionNumbers, Eigenvalues, Eigenvectors, Equal, ForwardSubstitute, FrobeniusForm, GaussianElimination, GenerateEquations, GenerateMatrix,

Generic, GetResultDataType, GetResultShape, GivensRotationMatrix, GramSchmidt, HankelMatrix, HermiteForm, HermitianTranspose, HessenbergForm,

HilbertMatrix, HouseholderMatrix, IdentityMatrix, IntersectionBasis, IsDefinite, IsOrthogonal, IsSimilar, IsUnitary, JordanBlockMatrix, JordanForm,

KroneckerProduct, LA_Main, LUDecomposition, LeastSquares, LinearSolve, Map, Map2, MatrixAdd, MatrixExponential, MatrixFunction, MatrixInverse,

MatrixMatrixMultiply, MatrixNorm, MatrixPower, MatrixScalarMultiply, MatrixVectorMultiply, MinimalPolynomial, Minor, Modular, Multiply, NoUserValue, Norm,

Normalize, NullSpace, OuterProductMatrix, Permanent, Pivot, PopovForm, QRDecomposition, RandomMatrix, RandomVector, Rank,

RationalCanonicalForm, ReducedRowEchelonForm, Row, RowDimension, RowOperation, RowSpace, ScalarMatrix, ScalarMultiply, ScalarVector,

SchurForm, SingularValues, SmithForm, StronglyConnectedBlocks, SubMatrix, SubVector, SumBasis, SylvesterMatrix, ToeplitzMatrix, Trace, Transpose,

TridiagonalForm, UnitVector, VandermondeMatrix, VectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiply, VectorNorm, VectorScalarMultiply, ZeroMatrix, ZeroVector,

Zip]



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Polynme minimal :Commande MinimalPolynomial :

http://find/


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Description :

La commandeMinimalPolynomialpermet de donner le polynme minimaldune matrice carre donne.



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Description :

La commandeMinimalPolynomialpermet de donner le polynme minimaldune matrice carre donne.Syntaxe de la commande :

MinimalPolynomial(A,X)o A est une matrice carre et X le nom choisit pour la variable

http://find/


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Description :



Exemple :

> M := Matrix( [ [ 1, 1, -1 ], [ 2, 1, 1 ], [ 1, -1, 2 ] ] ) ;

M :=

1 1 12 1 1

1

1 2



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Description :



Exemple :

> M := Matrix( [ [ 1, 1, -1 ], [ 2, 1, 1 ], [ 1, -1, 2 ] ] ) ;

M :=

1 1 12 1 1

1

1 2

> MinimalPolynomial(M,X) ;

3 + 5X 4X2 + X3

http://find/


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Matrice caractristique :Commande CharacteristicMatrix :

http://find/


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Description :

La commandeCharacteristicMatrixpermet de donner la matricecaractristique XIn A dune matrice donne A.

http://find/


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Description :

La commandeCharacteristicMatrixpermet de donner la matricecaractristique XIn A dune matrice donne A.Syntaxe de la commande :

CharacteristicMatrix(A,X)o A est une matrice carre et X le nom choisit pour la variable

http://find/


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Description :



Exemple :

> M := Matrix( [ [ 1, 0, -1 ] , [ 2, 4, 1 ] , [ 1, 1, 5 ] ] ) ;

M :=

1 0 12 4 1

1 1 5



14/52


Description :



Exemple :

> M := Matrix( [ [ 1, 0, -1 ] , [ 2, 4, 1 ] , [ 1, 1, 5 ] ] ) ;

M :=

1 0 12 4 1

1 1 5

> CharacteristicMatrix(M,X) ;

X 1 0 12 X 4 11 1 X 5


P l i i
http://find/


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Polynme caractristique :Commande CharacteristicPolynomial :


P l t i ti
http://find/


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Description :

La commandeCharacteristicPolynomialretourne le polynme caractristiquedune matrice carre donne.


P l t i ti
http://find/


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Description :

La commandeCharacteristicPolynomialretourne le polynme caractristiquedune matrice carre donne.Syntaxe de la commande :

CharacteristicPolynomial(A,X)o A est une matrice carre et X le nom choisit pour la variable


P l t i ti
http://find/


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Description :



Remarque :Le polynme caractristique sous Maple dune matrice carre Adordre n estdet(XIn A)et non pasdet(AXIn).


Polynme caractristique :
http://find/


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Description :



Remarque :Le polynme caractristique sous Maple dune matrice carre Adordre n estdet(XIn A)et non pasdet(AXIn).> M := Matrix( [ [ 0 , -1 , 1 ] , [ 2 , 1 , 3 ] , [ 3 , 3 , -2 ] ] ) ;

M :=

0 1 1

2 1 33 3 2


Polynme caractristique :
http://find/


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Description :



Remarque :Le polynme caractristique sous Maple dune matrice carre Adordre n estdet(XIn A)et non pasdet(AXIn).> M := Matrix( [ [ 0 , -1 , 1 ] , [ 2 , 1 , 3 ] , [ 3 , 3 , -2 ] ] ) ;

M :=

0 1 1

2 1 33 3 2

> CharacteristicPolynomial(M,X) ;

10 + X3 + X2 12X


Valeurs propres :
http://find/


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Valeurs propres :Commande Eigenvalues :


Valeurs propres :
http://find/


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Description :

La commandeEigenvaluesretourne un vecteur form des valeurs propresdune matrice carre.


Valeurs propres :
http://find/


23/52


Description :

La commandeEigenvaluesretourne un vecteur form des valeurs propresdune matrice carre.Syntaxe de la commande :

Eigenvalues(A)o A est une matrice carre


Valeurs propres :
http://find/


24/52


Description :



> M := Matrix( [ [ -9 , -2 , 8 ] , [ 8 , 5 , -4 ] , [ -14 , -2 , 13 ] ] ) ;

M :=

9 2 88 5 4

14 2 13


Valeurs propres :
http://find/


25/52


Description :



> M := Matrix( [ [ -9 , -2 , 8 ] , [ 8 , 5 , -4 ] , [ -14 , -2 , 13 ] ] ) ;

M :=

9 2 88 5 4

14 2 13

> Eigenvalues(M) ;

513


Vecteurs propres :
http://find/


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Vecteurs propres :Commande Eigenvectors :


Vecteurs propres :
http://find/


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Description :

La commandeEigenvectorsretourne un ensemble form dun vecteur formde valeurs propres et une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propresassocis.


Vecteurs propres :
http://find/


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Description :

La commandeEigenvectorsretourne un ensemble form dun vecteur formde valeurs propres et une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propresassocis.Syntaxe de la commande :

Eigenvectors(A) o A est une matrice carre donne


Vecteurs propres :
http://find/


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Description :



Exemple :> M := Matrix( [ [ 1 , -1 , -1 ] , [ 0 , -1 , 0 ] , [ 0 , -1 , 0 ] ] ) ;

M :=

1 1 10 1 00 1 0


Vecteurs propres :
http://find/


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p pCommande Eigenvectors :

Description :



Exemple :> M := Matrix( [ [ 1 , -1 , -1 ] , [ 0 , -1 , 0 ] , [ 0 , -1 , 0 ] ] ) ;

M :=

1 1 10 1 00 1 0

> Eigenvectors(M) ;

011

,

1 1 10 1 01 1 0


Vecteurs propres :
http://find/


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Vecteurs propres :
http://find/


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Remarque :Si la dimension de lespace propre associ une valeur propre

est infrieur strictement sa multiplicit alors la matrice des vecteurs propressera complte par des vecteurs nuls.


Vecteurs propres :
http://find/


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est infrieur strictement sa multiplicit alors la matrice des vecteurs propressera complte par des vecteurs nuls.Exemple :

> M := Matrix( [ [ 1 , 0 , -1 ] , [ -1 , 1 , -1 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ] ) ;

M :=

1 0 1

1 1

1

0 0 1


Vecteurs propres :
http://find/


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est infrieur strictement sa multiplicit alors la matrice des vecteurs propressera complte par des vecteurs nuls.Exemple :

> M := Matrix( [ [ 1 , 0 , -1 ] , [ -1 , 1 , -1 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ] ) ;

M :=

1 0 1

1 1

1

0 0 1

> Eigenvectors(M) ;

1

11

,

0 0 0

1 0 00 0 0


Form de Jordan :
http://find/


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Commande JordanForm :


Form de Jordan :
http://find/


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La commandeJordanFormpermet de diagonaliser une matrice si elle lest

dansC

. Sinon, elle la trigonalise. Pour avoir la matrice de passage on ajouteloptionoutput=Q.


Form de Jordan :
http://find/


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dansC

. Sinon, elle la trigonalise. Pour avoir la matrice de passage on ajouteloptionoutput=Q.Syntaxe de la commande :

JordanForm(M), JordanForm(M, output = J) ou JordanForm(M, output = Q)o M est une matrice carre


Form de Jordan :
http://find/


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dansC



Exemples :> M := Matrix( [ [ -9 , -2 , 8 ] , [ 8 , 5 , -4 ] , [ -14 , -2 , 13 ] ] ) ;

M :=

9 2 88 5 4

14 2 13


Form de Jordan :
http://find/


39/52



dansC



Exemples :> M := Matrix( [ [ -9 , -2 , 8 ] , [ 8 , 5 , -4 ] , [ -14 , -2 , 13 ] ] ) ;

M :=

9 2 88 5 4

14 2 13

> JordanForm(M) ;

1 0 00 3 00 0 5


Form de Jordan :
http://find/


40/52


Form de Jordan :
http://find/


41/52

> JordanForm( M, output = Q) ;

5 3 1

5 6

1

5 3 2


Form de Jordan :
http://find/


42/52


5 3 1

5 6

1

5 3 2

> N := Matrix( [ [ 1 , 0 , -1 ] , [ -1 , 1 , -1 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ] ) ;

N :=

1 0 11 1 1

0 0 1


Form de Jordan :
http://find/


43/52


5 3 1

5 6

1

5 3 2

> N := Matrix( [ [ 1 , 0 , -1 ] , [ -1 , 1 , -1 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ] ) ;

N :=

1 0 11 1 1

0 0 1

> JordanForm(N) ;

1 1 00 1 1

0 0 1


Form de Jordan :
http://find/


44/52


5 3 1

5 6

1

5 3 2

> N := Matrix( [ [ 1 , 0 , -1 ] , [ -1 , 1 , -1 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ] ) ;

N :=

1 0 11 1 1

0 0 1

> JordanForm(N) ;

1 1 00 1 1

0 0 1

> JordanForm( N, output = Q) ;

0 1 11 0 00 0 1


Matrices semblables :Commande IsSimilar :
http://find/


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Commande IsSimilar :


http://find/


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La commandeIsSimilarpermet de tester la similitude des deux matricescarres A et B. Si les deux matrices sont semblables, Maple retourneTrue,sinon il retournefalse.


http://find/


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La commandeIsSimilarpermet de tester la similitude des deux matricescarres A et B. Si les deux matrices sont semblables, Maple retourneTrue,sinon il retournefalse.Exemple :

> A := Matrix( [ [ -1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 1 , 1 ] , [ -1 , -1 , 0 ] ] ), B := Matrix( [ [ 1 , 0 , 0] , [ 0 , 1 , 0 ] , [ -1 , 1 , 1 ] ] ) ;

A :=1 0 01 1 11 1 0

, B :=

1 0 00 1 01 1 1


http://find/


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La commandeIsSimilarpermet de tester la similitude des deux matricescarres A et B. Si les deux matrices sont semblables, Maple retourneTrue,sinon il retournefalse.Exemple :

> A := Matrix( [ [ -1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 1 , 1 ] , [ -1 , -1 , 0 ] ] ), B := Matrix( [ [ 1 , 0 , 0] , [ 0 , 1 , 0 ] , [ -1 , 1 , 1 ] ] ) ;

A :=1 0 01 1 11 1 0

, B :=

1 0 00 1 01 1 1

> IsSimilar(A,B) ;

false


Matrice compagnon :Commande CompanionMatrix :
http://find/


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p


http://find/


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p

La commandeCompanionMatrixpermet de construire la matrice compagnondun polynme donn.


http://find/


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La commandeCompanionMatrixpermet de construire la matrice compagnondun polynme donn.Exemple :

> P := X3 + 3*X2 - 5*X + 7 ;

P := X3 + 3X2 5X+ 7


http://find/


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La commandeCompanionMatrixpermet de construire la matrice compagnondun polynme donn.Exemple :

> P := X3 + 3*X2 - 5*X + 7 ;

P := X3 + 3X2 5X+ 7

> CompanionMatrix(P) ;

0 0 71 0 50 1 3

http://find/

Maple et réduction des endomorphismes

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