Tp Maple : Réduction des endomorphismes - correction

8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction

1/14

(1.3)(1.3)

(1.2)(1.2)

OO

OO

(1.1)(1.1)

TP 03Rduction des endomorphismes

CPGE - Laayoune

Essaidi AliMP1-2013-2014

Exercice 01 :

Dterminer les lments propres, le polynme minimal et le polynme caractristique de la matrice :

1 1 1 3 1

3 5 6 0 3

3 6 7 0 3

1 2 2 5 1

3 7 7 3 5

.

restart;with LinearAlgebra :

AdMatrix 1, 1, 1, 3, 1 , 3, 5, 6, 0, 3 , 3, 6, 7, 0, 3 , 1, 2, 2, 5, 1 ,3, 7, 7, 3, 5 ;

A :=

1 1 1 3 1

3 5 6 0 3

3 6 7 0 3

1 2 2 5 1

3 7 7 3 5

Valeurs propres deA:

convert Eigenvalues A ,set ;1, 2, 4, 5

Vecteurs propres deA:

Eigenvectors A ;

5

2

1

1

4

,

1 1 1 0 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

1 1 1 0 0

Polynme minimal :


2/14

OO

OO

(1.5)(1.5)

OO

(2.4)(2.4)

(2.3)(2.3)

(2.2)(2.2)

(2.1)(2.1)

(2.5)(2.5)

(1.4)(1.4)factor MinimalPolynomial A,X ;

XK5 XK1 XK2 XK4

Polynme caractristique :

factor CharacteristicPolynomial A,X ;

XK5 XK2 XK4 XK1 2

Exercice 02 :

Dterminer les relsx,y,z, t, uet vpour que le systme

1

1

0

,

1

2

1

,

1

1

2

forme une base de vecteurs propres de la

matriceA =

x 1 y

1 z t

u v 1

.


PdMatrix 1, 1, 1 , 1, 2, 1 , 0, 1, 2 ;

P :=1 1 11 2 1

0 1 2

AdMatrix x, 1, y , 1, z , t , u, v, 1 ;

A :=

x 1 y

1 z t

u v 1

Le systme

1

1

0

,

1

2

1

,

1

1

2

forme une base de vecteurs propres de la matrice A si et seulement si la matrice

P 1AP:

MdMatr i xMatr i xMul t i pl y Matr i xI nverse P ,MatrixMatrixMultiply A,P ;

M:=3

2xC1K

1

2zK

1

2uK

1

2v,

3

2xC3C

3

2yKzK

1

2tK

1

2uKv,

3

2xC2C3yK

1

2zK t

K1

2uK

1

2v ,

xCz, xK1KyC2zC t, xK2yCzC2 t ,

1

2xK

1

2zC

1

2uC

1

2v,

1

2xC

1

2yKzK

1

2tC

1

2uCv,

1

2xK1CyK

1

2zK tC

1

2uC

1

2v

MdMat r i xAdd M, Di agonal Mat r i x M 1, 1 ,M2, 2 , M 3, 3 , 1, 1 ;

M:= 0,3

2xC3C

3

2yKzK

1

2tK

1

2uKv,

3

2xC2C3yK

1

2zK tK

1

2uK

1

2v ,

xCz, 0, xK2yCzC2 t ,

1

2xK

1

2zC

1

2uC

1

2v,

1

2xC

1

2yKzK

1

2tC

1

2uCv, 0

sysdconvert M,set ;


3/14

OO

(3.3)(3.3)

OO

(2.6)(2.6)

(3.4)(3.4)

(3.1)(3.1)

OO

OO

OO

(2.5)(2.5)

(2.7)(2.7)

(3.2)(3.2)

OO

sys := 0, xCz, xK2yCzC2 t,1

2xK

1

2zC

1

2uC

1

2v,

1

2xC

1

2yKzK

1

2tC

1

2uCv,

3

2xC2

C3yK1

2zK tK

1

2uK

1

2v,

3

2xC3C

3

2yKzK

1

2tK

1

2uKv

sdsolve sys, x,y,z,t,u,v ;s := t= 3,u = 4,v = 4,x = 4,y = 3,z = 4

assign s;A

;4 1 3

1 4 3

4 4 1

Exercice 03 :

Soient a, b2=. Rduire la matrice :

A =

a2 ab ab b2

ab a2 b2 ab

ab b2 a2 ab

b2 ab ab a2

.


AdMatrix a2, a$b, a$b, b

2, a$b,a

2,b

2, a$b , a$b, b

2, a

2, a$b , b

2, a$b, a$b,

a2

;

A :=

a2 ab ab b2

ab a2 b2 ab

ab b2 a2 ab

b2 ab ab a2

MdEigenvectors A ;

M:=

a2Kb2

a2Kb2

a2C2 abCb2

a2K2 abCb2

,

0 1 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

Aest diagonalisable si et seulement si =4admet une base forme de vecteurs propres deA:

Determinant M2 ;8

Matrice diagonale semblable A:

DiagonalMatrix M1 ;

a2Kb2 0 0 0

0 a2Kb2 0 0

0 0 a2C2 abCb2 0

0 0 0 a2K2 abCb2

Matrice de passage :

M2 ;


4/14

(4.1)(4.1)

OO

OO

OO

(4.2)(4.2)

(3.5)(3.5)

OO

(4.4)(4.4)

OO

(4.5)(4.5)

(4.3)(4.3)

OO

0 1 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

Exercice 04 :

A quelle condition sur a, b2=la matrice

1 1 0 0

0 a b 0

0 b a 0

0 0 1 1

est-elle diagonalisables ?


AdMatrix 1, 1, 0, 0 , 0,a,b, 0 , 0, b, a, 0 , 0, 0, 1, 1 ;

A :=

1 1 0 0

0 a b 0

0 b a 0

0 0 1 1

MdEigenvectors A 2 ;

M:=

0 1 1 1

0 0 bCaK1 bKaC1

0 0 bCaK1 bCaK1

1 0 1 1

La matriceAest diagonalisable si et seulement si =4admet une base forme de vecteurs propres de Adonc si et

seulement si detM0. Il suffit alors d'carter le cas detM= 0 :

SdDeterminant M ;

S:= 2 b2K2 a2C4 aK2

solsdsolve S ;sols := a = bC1,b =b , a =bC1,b =b

La matrice Aest diagonalisable si et seulement si as bC1 ouasbC1.

Etude du cas a = bC1 :

assign sols 1 ;Determinant M ;JordanForm A ;unassign 'a ' ;unassign 'b

' ;0

2 bC

1 0 0 00 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Etude du cas a =bC1 :

assign sols 2 ;Determinant M ;JordanForm A ;unassign 'a ' ;unassign 'b

' ;

0


5/14

(5.1)(5.1)

(5.2)(5.2)

OO

(5.5)(5.5)

OO

OO

OO

(4.6)(4.6)

OO

OO

(5.4)(5.4)

2 bC1 0 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Exercice 05 :

A quelle condition sur a, b,c2=la matrice :

a 0 0 0 b

0 a 1 b 0

0 0 c 0 0

0 b 1 a 0

b 0 0 0 a

Est-elle diagonalisable ?


MdMatrix a, 0, 0, 0, b , 0,a, 1, b, 0 , 0, 0,c, 0, 0 , 0, b, 1, a, 0 , b,

0, 0, 0,a ;

M:=

a 0 0 0 b

0 a 1 b 0

0 0 c 0 0

0 b 1 a 0

b 0 0 0 a

PdEigenvectors M 2 ;

P :=

0 1 1 0 0

1 0 0 1 1

0 0 0 0 bKaCc

1 0 0 1 1

0 1 1 0 0

La matriceMest diagonalisable si et seulement si =5admet une base forme de vecteurs propres deMdonc si etseulement si det P0. Il suffit alors d'carter le cas det P= 0 :

SdDeterminant P ;S:= 4 bK4 aC4 c

solsdsolve S, a,b,c ;

sols := a =cKb,b =b,c =c

La matrice Aest diagonalisable si et seulement si aCbsc.

Etude du cas c =aCb:

assign sols ;Determinant Eigenvectors M 2 ;JordanForm M ;unassign 'a' ;unassign 'b ' ;unassign 'c ' ;

0

cK2 b 0 0 0 0

0 c 1 0 0

0 0 c 0 0

0 0 0 c 0

0 0 0 0 cK2 b


6/14

(6.6)(6.6)

(6.4)(6.4)

(6.3)(6.3)OO

OO

(6.7)(6.7)

(6.2)(6.2)

OO

OO

(6.9)(6.9)

(6.5)(6.5)

OO

OO

OO

(6.1)(6.1)

(6.8)(6.8)

OO

OO

Exercice 06 :

Montrer que la matrice :

A=

2 2 2

2 2 2

2 2 2

est diagonalisable et calculerAno n2;.


AdMatrix 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ;

A :=

2 2 2

2 2 2

2 2 2

BdEigenvectors A ;

B :=

4

2

0

,

2 1 1

1 1 1

1 1 0

Det er mi nant B 2 ;

3

PdB 2 ;

P :=

2 1 1

1 1 1

1 1 0

dDiagonalMatrix B 1 ;

:=

4 0 0

0 2 0

0 0 0

fdx/xn;

f:=x/xn

dndmap f, ;

dn :=

4n 0 0

0 2 n 0

0 0 0

AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,dn ,MatrixInverse P ;

An :=

2

3 4nC

1

3 2 n 2

3 4nK

1

3 2 n

2 n

1

34nC

1

3 2 n

1

34nK

1

3 2 n 2 n

1

34nC

1

3 2 n

1

34nK

1

3 2 n 2 n

subs n =1,An ;


7/14

(7.1)(7.1)

OO

(7.3)(7.3)

(7.5)(7.5)

(6.9)(6.9)

(7.4)(7.4)

OO

OO

OO

(7.6)(7.6)

OO

OO

OO

(7.2)(7.2)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Exercice 07 :

Soit la matriceA2M = telle quec i,j2 1, 2, 3, 4,5 , aij= 1Cij.Montrer que la matriceAest diagonalisable et calculerAno n2;


AdMatrix5, 5, i,j /piecewise i =j, 2, 1 ;

A :=

2 1 1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 2 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 2

BdEigenvectors A ;

B :=

1

1

1

1

6

,

1 1 1 1 1

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

Determinant B 2 ;

5

PdB 2 ;

P :=

1 1 1 1 1

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

dDiagonalMatrix B 1 ;

:=

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 6

dndmap x/xn, ;

dn :=

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 6n


8/14

(8.1)(8.1)

OO

OO

(7.7)(7.7)

OO

(8.2)(8.2)

(7.8)(7.8)

OO


An :=

4

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

4

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5

C1

5

6n1

5

C1

5

6n4

5

C1

5

6n1

5

C1

5

6n1

5

C1

5

6n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

4

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

1

5C

1

56n

4

5C

1

56n

subs n =1,An ;

2 1 1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 2 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 2

Exercice 08 :

Calculer la puissance n-ime de la matrice :

A=

9 2 8

8 5 4

14 2 13

.


AdMatrix 9, 2, 8 , 8, 5, 4 , 14, 2, 13 ;

A :=

9 2 8

8 5 4

14 2 13

BdEi genvect orsA ; PdB 2 ; dDiagonalMatrix B 1 ;

B :=

3

1

5

,

1 11

2

2 11

2

1 1 1

P :=

1 1 12

2 11

2

1 1 1

:=

3 0 0

0 1 0

0 0 5


9/14

(8.3)(8.3)

(9.3)(9.3)

(9.1)(9.1)

OO

(8.4)(8.4)

OO

(9.4)(9.4)

(8.5)(8.5)

(9.2)(9.2)

OO

dndmap x/xn, ;

dn :=

3n 0 0

0 1 0

0 0 5n


An :=

3 3nC5K5n 3nC1 2 3nK3C5n

6 3nK5K5n 2 3nK1 4 3nC3C5n

3 3nC5K2 5n 3nC1 2 3nK3C2 5n

subs n =1,evalm An ;

9 2 8

8 5 4

14 2 13

Exercice 09 :


A=

1 4 2

0 6 3

1 4 0

.


AdMatrix 1, 4, 2 , 0, 6, 3 , 1, 4, 0 ;

A :=

1 4 2

0 6 3

1 4 0

TdJ or danFor mA ;PdJordanForm A,output ='Q' ;

T:=

3 0 0

0 2 1

0 0 2

P :=

3 4 2

3 3 3

3 4 3

Del t ad DiagonalMatrix Diagonal T ; NdMatrixAdd T, Del t a, 1, 1 ;

:=

3 0 0

0 2 0

0 0 2

N:=

0 0 0

0 0 1

0 0 0

dn/map x/xn, Del t a ;

:=n/map x/x^n, Delta


10/14

(9.8)(9.8)

(9.7)(9.7)

OO

(10.1)(10.1)

OO

OO

(9.5)(9.5)

OO

(9.6)(9.6)

(10.2)(10.2)

OO

MatrixPowerN, 2 ; #Indice de nilpotence de N

0 0 0

0 0 0

0 0 0

La puissance n-ime de Test alors Tn= DnCnDnK1:

TndMat r i xAdd del t a n ,MatrixMatrixMultiplydel t anK1 ,N, 1,n ;

Tn :=

3n 0 0

0 2n n2nK1

0 0 2n

La puissance n-ime deAest alorsAn=PTnP 1:

AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,Tn ,MatrixInverse P ;

An :=

3 3nK4 n2nK1K2 2n 4 3nK4 2n 6 3nC6 2nC4 n2nK1




1 4 2

0 6 3

1 4 0

Exercice 10 :


A=

2 0 0

2 4 2

3 2 0

.


AdMatrix 2, 0, 0 , 2, 4, 2 , 3, 2, 0 ;

A :=

2 0 0

2 4 2

3 2 0

TdJ or danFor mA ;PdJordanForm A,output ='Q' ;

T:=

2 1 0

0 2 1

0 0 2

P :=

0 0 1

2 2 0

2 3 0

d DiagonalMatrix Diagonal T ; NdMatrixAdd T, , 1, 1 ;

:=

2 0 0

0 2 0

0 0 2


11/14

OO

(10.4)(10.4)

(10.6)(10.6)

(10.8)(10.8)

(10.9)(10.9)

(10.3)(10.3)

(10.7)(10.7)

(10.5)(10.5)

OO

N:=

0 1 0

0 0 1

0 0 0

dn/map x/xn, ;

:=n/map x/x^n, Delta

MatrixPowerN, 2 ;MatrixPowerN, 3 ; #Indice de nilpotence de N0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

La puissance n-ime de Test alors Tn= DnCnDnK1Cn nK1

2Dn 2N2:

Cdk/piecewise k =0, 1,simplify productnKp

pC1 ,p =0. .kK1 ;C0 ;

C1 ;C2 ;

C:=k/piecewise k= 0, 1,simplify ?p = 0

kK1nKp

pC1

1

n

1

2n nK1

Tndadd Mat r i xScal arMul t i pl y Mat r i xMat r i xMul t i pl y nKk ,MatrixPower N,

k ,C k ,k =0. . 2 ;

Tn :=

2n n2nK11

2n nK1 2nK2

0 2n n2nK1

0 0 2n

La puissance n-ime deAest alorsAn=PTnP 1:

AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,Tn ,MatrixInverse P ;

An :=

2n 0 0

n nK1 2nK2K2 n2nK1 2nC2 n2n 1 2 n2n 1

n nK1 2nK2K3 n2nK1 2 n2nK1 2nK2 n2nK1


2 0 0

2 4 2

3 2 0

Exercice 11 :

Donner une CNS pour sur a,bet cpour que la matriceAsoit diagonalisable. Dans ce cas, calculerAn.


12/14

(11.6)(11.6)

(11.3)(11.3)

(11.5)(11.5)

OO

(11.7)(11.7)

(11.2)(11.2)

(11.1)(11.1)

(11.8)(11.8)

(11.4)(11.4)

OO

A=

aKbKc 2 a 2 a

2 b bKaKc 2 b

2 c 2 c cKaKb

.


AdMatrix aKbKc, 2$a, 2$a , 2$b,bKaKc, 2$b , 2$c, 2$c,cKaKb ;

A :=

aKbKc 2 a 2 a

2 b bKaKc 2 b

2 c 2 c cKaKb

BdEigenvectors A ;

B :=

aCbCc

cKaKb

cKaKb

,

a

c1 1

b

c0 1

1 1 0

PdCol umnOper at i onB 2 , 1, c ;

P :=

a 1 1

b 0 1

c 1 0

Determinant P ;cKaKb

La matrice A est diagonalisable si et seulement si aCbCcs0.

dDi agonal Mat r i x B 1 ;

:=

aCbCc 0 0

0 cKaKb 0

0 0 cKaKb

QdMatrixInverse P :Qdsubs aCbCc =u,Q;

Q :=

1

u

1

u

1

u

c

u

c

u

aCb

u

b

u

aCc

u

b

u

Dndmap x/xn, ;

Dn :=

aCbCc n 0 0

0 cKaKb n 0

0 0 cKaKb n

Dndsubs aCbCc =u, cKaKb =u,Dn : Dndsubs un

= 1n

un, Dn ;

Dn :=

un 0 0

0 1 nun 0

0 0 1 nun

Expression deAn:


13/14


14/14

(12.2)(12.2)

(12.3)(12.3)

(12.1)(12.1)

OO

OO

(12.4)(12.4)

OO

Programmer cette mthode et comparer avec les rsultats obtenus l'aide de Maple.


dprocA

local k,n,M,P, ;

MdA;

ndRowDimension M ;

PdXn

; for k from 1 to n do

d1

k$Trace M ;

PdPK$XnKk

;

MdMatrixMatrixMultiply MatrixAdd M,IdentityMatrix n , 1, ,A ;

end do;

P;

endproc:

AdRandomMat ri x 10, 10, gener at or =1. . 10 ;

A :=

7 10 1 6 7 3 1 2 9 4

3 1 9 2 5 10 10 3 10 1

4 4 1 3 8 7 6 6 7 6

5 5 2 3 9 8 6 7 2 2

9 4 9 3 7 7 8 7 3 4

10 9 2 3 3 10 9 9 2 5

6 1 10 9 7 1 9 2 7 8

5 10 2 7 3 6 10 6 1 7

5 4 5 4 6 9 10 2 8 3

10 9 8 2 1 7 3 10 6 5

UdA ;

U:=X10K57X9C61X8K1461X7K11665X6C154267X5K925077X4C6809820X3K14766335X2

K8685946XC60663808

VdCharacteristicPolynomial A, X ;

V:=X10K57X9C61X8K1461X7K11665X6C154267X5K925077X4C6809820X3K14766335X2

K8685946XC60663808

evalb U=V ;true

Tp Maple : Réduction des endomorphismes - correction

Documents

Transcript of Tp Maple : Réduction des endomorphismes - correction